Некоторые задачи для сингулярно возмущенных гиперболических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Міністерство Освіти України Львівський державний університет ім. Ів. Франка

На правах рукопису

' Волошин Віктор Володимирович

Деякі задачі для сішгулярно збурених гіперболічних систем

01.01.02 - Диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико - математичних наук

Львів 1996

Дисертація е рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського державного університету ім. Ів. Франка.

Науковий керівник - кандидат фізико-математичних наук, доцент Цішбал В. М. '

Офіційні опоненти: доктор фізико-матемаїичних наук, професор Хома Г. П.,

. кандидат фізико-математичних наук,

доцент Бомба А. Д. .

Провідна установа - Інститут математики НАН України, м. Київ. •

^ * - _

Захист дисертації відбудеться «.'/.£...1996 р.

о і51 . год на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 04.04.01 при Львівському державному університеті ім. Ів. Франка за адресою: 290001, м. Львів, вул. Університетська 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Львівського державного університету (м. Львів, вул. Драгоманова, 5).

Автореферат розіблаяо йЬ. 199С р.

Вченій секретар -

спеціалізованої ради

Микитюк Я. В.

з

Загальна характеристика роботи.

Актуальність теми. В багатьох областях фізики, механіки, хімії та інших науках виникають задачі, які описуються диференціальними рівняннями з малими множниками біля старших похідних або, як їх називають, сингулярно збуреними диференціальними рівняннями. На сьогодні велика кількість досліджень присвячена вивченню сингулярно збурених задач для звичайних диференціальних рівнянь. Що стосується рівнянь з частинними похідними, то більш вивченими є сингулярно збурені . задачі для рівнянь і систем еліптичного і параболічного типів. Тому актуальним е вивчення задач для сингулярно збурених гіперболічних рівнянь і систем, як менш вивчених. До задач для сингулярно збурених гіперболічних рівнянь і систем приводять питання поширення тепла в пористому середовищі, теорії транспортних потоків,хімічних процесів обміну та інші.

Так, наприклад, система гіперболічних рівнянь .

з початковими умовами и(х,о,£) = и<,(.х),У(х,о,г) = Г0(х), де в- малий додатній параметр, /(х,і), ¿(х,і), (/„(х), Уа (х) - відомі гладкі функції, а, Ь, с, ё -константи, при деяких умовах на коефіцієнти і праві частини в різних випадках описує рух коливання струни в сильно в’язкій рідині, проходження струму по провіднику з великим опором, поширення випромінювання через сильно абсорбне середовище.

Одним з ефективних методів теорії сингулярних збурень є метод . примежевого шару, основи якого було закладено в працях Вішика М. Й., Люстер'ніка Л. А.,Васильєвої А. Б. Цей метод и багатьох працях використано для побудови наближених розв’язків звичайних диференціальних рівнянь, інтегро-диференціальних рівнянь та •рівнянь у частинних похідних.

Є багато праць вітчизняних та зарубіжних авторів, у яких розглядаються сингулярно збурені задачі для гіперболічних рівнянь і систем першого порядку. Ці задачі досліджувались різними методами і з різних точок зору.

Так, Касимов K. A., Кадикенов Б. M., Мельник 3. О., Цимбал В. М. побудували асимптотику розв’язку задачі Коші для систем гіперболічних рівнянь першого порядку з одним малим параметром у випадку неповного виродження вихідної системи. Крім того, Цимбал В.М. в подальших роботах вивчив подібну задачу з декількома малими параметрами. ' ■ '

Також є роботи, в яких будується асимптотичне розвинення розв’язку початкової задачі для сингулярно збурених гіперболічних рівнянь і систем з повним виродженням. Так, Сисоева Т. Н. вивчила нелінійні сингулярно збурені гіперболічні системи першого порядку.

Змішана задача для систем сингулярно збурених гіперболічних рівнянь першого порядку з повним та неповним виродженням розглядалась у роботах Васильєвої А. Б., Мельника З.О., Цимбала В. М., Сухаревського Ö.I., Сисоевої Т.Н.

Кадикенов Б. М., Цимбал В. М. досліджували задачу іурса для гіперболічних рівнянь та систем у випадку неповного та повного виродження. *

Крім цього, відзначимо робота Е. Тадмора, Б. Густафсона, Д. У. Баркера, які вивчали задачі ініціалізації для гіперболічних рівнянь і систем першого порядку з малим параметром.

У даній дисертаційній, роботі досліджується змішана задача для сингулярно збурених їнтегро-диференціальних гіперболічних систем першого порядку та періодична, нелокальна і обернена задачі для сингулярно збурених гіперболічних' систем першого порядку. Зауважимо, що асимптотика розв’язку нелокально! задачі для гіперболічних систем і оберненої задачі взагалі будується вперше. Для дослідження використано метод примежевого шару. Результати дисертації доповнюють і розвивають результати робіт згаданих вище авторів.

Мета роботи полягає в побудові асимптотичних розвинень розв’язків змішаної, нелокальної, періодичної та оберненої задач для сингулярно збурених гіперболічних систем першого порядку та встановленні коректності вказаних розвинень.

Методика досліджень. В дисертаційній роботі використано метод примежевого шару, методи загальної теорії диференційних рівнянь з частинними похідними, звичайних диференційних рівнянь, функціонального аналізу і теорії рядів Фур’е.

Наукова новизна роботи полягає : .

- у побудові асимптотики розв'язку змішаної задачі для сингулярно збурених інтегро-диференційних гіперболічних систем та періодичної, нелокальної і оберненої задач для сингулярно збурених гіперболічних систем першого порядку;

- у доведенні коректності побудованих розвинень.

Наукова і практична цінність роботи. Результати роботи е певним внеском в теорію сингулярно збурених задач для рівнянь з частинними похідними. Побудовані асимптотичні розвинення розв’язків задач можуть бути використані для вивчення конкретних задач практики.

Апробація роботи. Результати роботи доповідались на таких конференціях і семінарах :

1.Всеукраїнська наукова конференція “Нові підходи до розв’язання диференціальних рівнянь’Чм.Дрогобич, 1994 р.);

2.Міжнародна наукова конференція ім. академіка Кравчука (м. Київ, 1994 р., 1995 р.); •

3.Всеукраїнська конференція молодих вчених (м. Київ, 1994 р.,

1995 р.); ' * ' .

4.Міжнародна наукова конференція “Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения”(м. Тернопіль, 1994 р.);

5.Львівський міський семійар з диференційних рівнянь (керівники Б.Й. Пташник,.П.Я. Скоробагатько, С. П. Лаврснюк, 1995 р.).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 8 робіт, перелік яких наведено в кінці автореферату.

Особистий внесок дисертанта. Результати досліджень періодичної, нелокальної, оберненої задач отримані автором самостійно. Результати вивчення змішаної задачі отримані разом з Цимбалом В. М., де останньому належить постановка задач. -

Основні положення, що виносяться на захист:

1. Побудова асимптотичних розвинень розв’язків змішаної задачі в прямокутнику для систем сингулярно збурених інтегро-диференціальних гіперболічних рівнянь першого порядкуй

2. Побудова асимптотичних розвинень розв’язків періодичної задачі в смузі для систем сингулярно збурених гіперболічних рівнянь першого порядку.

3. Побудова асимптотичних розвинень розв’язків нелокальної по

часовій змінній задачі в прямокутнику для сингулярно збурених гіперболічних диференціальних та інтегро-диференціальних систем першого порядку. ,

4. Побудова асимптотичних розвинень розв’язків оберненої задачі

Коші в смузі та змішаної оберненої задачі в прямокутнику з перевизначенням всередині області і невідомими у правій частині функціями від Ь для систем сингул; рно збурених гіперболічних рівнянь першого порядку. "

Структура і об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, 12 параграфів, об’єднаних у 4 розділи та списку цитованої літератури, іцо нараховує 90 найменувань. Повний об'єм роботи 127 сторінок.

Зміст роботи.

У вступі обгрунтовується актуальність теми, зроблений короткий

огляд літератури по темі дисертації, сформульовані основні

• І ■■

результати роботи, а також наведені позначення та деякі відомі результати, що використовуються у роботі.

Відзначимо, що всюди в роботі е>0 - малий дійсний параметр, N і. і -натуральне число, що визначає порядок асимптотичного

розвинення, розглядаються дійснозначні достатньо гладкі функції дійсного аргумента (у кожній задачі вказано необхідний порядок гладкості для побудови асимптотичного розвинення порядку М).

Вважаємо, ' що

и(х,1,£) = сЫ(т{и^х^,е),иг(х,1,е),...,и,(х,1,е)}, /(х,/) = со/ол{/,(х,/),/2(х,,/„(*,»)}. Л(х,і) ~ с/і^{Л,(х,(), Л,(х,і),Л,(х,і)}, А(х,і)-пхп матриця з елементами

а/т(х,і),В{х,ґ)-п хп матриця з. елементами Ьм(х,/),С(х)-пхл матриця з

елементами^«,/«=со/т{/(/), /М /„(')}, ^0 =а»ЦЧ«*Л Ч'(х,0,...'Н„(х,()},

у(і) = соіоп{і !</), уг{і), гМ}'- причому матриця Л(х,/) така, що всюди в

області визначення у кожній точці для її елементів виконується умова А,(х,/)гЛг(х,02...гЛ,(х,/)>о>Лм(х,Л„(х,0.

’ Під виродженою задачею (рівнянням, системою) надалі розуміємо задачу (рівняння, систему), яка отримується з сингулярно збуреної, якщо в останній малий параметр спрямувати до нуля.

Розділ І.’’Змішана задача для сингулярно збурених інтегро-диференціальних систем першого порядку” складається з трьох параграфів.

В §1 У прямокутнику />={(х,<)0£хі/,05/27} (0</«ч0<г<ос)розглядається

задача + М(0+^,)щх,+ ґВ(х,<т){/(*,оуіа=/(х,0 (1)

Зі Зх і

и(х, 0,г) = 0, (2)

г/Д0,/,£) = 0, j = TJ, £/,(/,/,*) = 0, ] = к + \,п (3)

Відносно вх! т.них даних' припускається виконання умов узгодження першого порядку }, (0,0) = о, у = її, (/,0) = 0, у = Г+Хп .

При вказаних припущеннях побудовано асимптотичне розвинення розв’язку задачі (^ - (3), яке складається з фунгчії регулярної частини асимптотики (розв’язки задач Коші для систем інтегро-диференціальних рівнянь першого порядку)та функггч примсжсвого шару, (визначаються зі. змішаїліх задач для систем інтегро-диференціальндх гіперболічних рівнянь першого порядку), що ’ підправляють розв’язок з околах г = о та х-І. Для доведення

асимптотичної коректності розвинення встановлено оцінку залишкового члена розвинення в нормі простору 1^(0).

Зауважено, що аналогічним чином будується асимптотика розв’язку задачі (1)-(3), якщо' у системі (1) маємо Л(*,<) та виконуються умови узгодження до (N+1) порядку.

У §2 в прямокутнику Б розглядається система , '

е— + Л(х)— + А(ж,/)С/+ (В(х,0)и(х,<г,£р0 = /(х,1) (4) .

ді дх \

з умовами (2), (3).

Відносно вхідних даних припускається, що виконуються умови узгодження першого порядку (як і в §1), та другого порядку. Крім цього, матриця А(х,0 симетрична та додатньо визначена; Л'Дх)^0,У = ЇГ *Є[0;/]. . •

При вказаних припущеннях побудовано асимптотичне розвинення розв’язку задачі (4), (2), (3),яке складається з функції регулярної частини асимптотики (визначаються • з систем звичайних диференціальних рівняні/ по просторовій ^.Лнній першого порядку)та функцій примежевого шару (є розв’язками змішаної задачі для систем гіперболічних рівнянь першого порядку), що підправляють розв’язок в околі / = 0. Доведено оцінку залишкового члена розвинення в нормі простору £,(£>). . .

Зауважено, що аналогічно будується асимптотика розв'язку задачі (4), (2), (3), якщо в системі (4) маємо Л(х,/)та виконуються умови узгодження до (N+2) порядку.

У §3 в прямокутнику Б розглядається система

£(— + А~)+А(х,І)и + \В(х,сг)1}{х,а,вуіа = /{х,І) (5)

Зі Лг І .

з умовами (2), (3). - .

Для проведення побудов припускається виконання, умов узгодження першого порядку та деякі додаткові умови на вхідні Ааш. Побудовано асимптотичне розвинення розв’язку, яке складається з функцій регулярної частини (розв’язки систем

"інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду), функцій . примежевого шару (розв’язки систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку), що підправляють розв’язок в околі 1=0, функцій примежевого шару (розв’язки систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку), що підправляють розв’язок в околах х=0 та х=/, функцій кутового примежевого шару (розв’язки систем гіперболічних рівнянь першого порядку), що підправляють розв’язок в околах точок (0;0) та (/;0). Доведено оцінку залишкового члена в нормі простору Ьг (Б).

Зауважено, що аналогічно будується асимптотичне розвинення розв’язку задачі (5), (2), (3),якщо в системі (5) маємо Л(х,/) та •виконуються умови узгодження до (N+1) порядку.

Розділ II “Періодична задача для сингулярно збур<"шх гіперболічних систем першого порядку" складається з двох параграфів.

У §1 в смузі д. ={(х,/):0£х2/,-»</ <+«} 0</<ю розглядається система

та крайовими умовами (3).

Для проведення побудов припускається періодичність функцій Яу(х,/),а;.(х,0,//*,0 по /з періодом 2я та деякі додаткові умови на вхідні дані. Побудовано асимптотику розв’язку задачі (6), (7), (3), що складається з функцій регулярної частини асимптотики (розв’язки' алгебраїчних систем) та функцій примежевого шару (розв’язки систем звичайних диференціальних рівнянь), що підправляють розв’язок в околах х=0 та х-/. Доведено асимптотичну коректність розвиненая.

У §2 в смузі Т)_ розглядається система

(6)

з умовами періодичності по І и(х,І,£) = и(х,і + 2я,е)

(7)

— + «М*)^ + А(*)1/-/(*,0 . • (8)

з умовами (7), (3). .

Для проведення побудов припускається іп-періодичність функції / О,/) по і та деякі додаткові умови. Побудовано асимптотику розв’язку задачі (8), (7), (3), що складається з функцій регулярної частини (розв’язки систем звичайних диференціальних рівнянь) та функцій примежевого шару (розв’язки систем гіперболічних рівнянь першого порядку), що підправляють розв’язок в околах х=0 та х=/. Доведено асимптотичну коректність побудованого розвинення.

Розділ III “Нелокальна задача для сингулярно збурених інтегро-диференціальних та диференціальних гіперболічних систем першого порядку” складається з двох параграфів.

У §1 в прямокутнику Б розглядається система .

~+М*,')и = /(х,0 (9).

¿>х , .

Зауважимо, що в цьому розділі елементи матриці біля похідної по просторовій змінній є строго додатніми в області визначення. Тому кранові умови задаються лише на лівій стороні прямокутника Б. У/о,/ е)=о,;=ї7<- . (Ю)

До система (9) додаються ще нелокальна за часовою змінною умовк

и, (*А е) +и, (*)£/, (х,Т,є) = р1 (х), ]- і,л. . : , (11)

Накладаються деякі умови щодо малості функцій ау(х) та виконання умов узгодження нульового та першого. порядку. При виконанні цих умов побудовано асимптотику розв’язку задачі (9)-(11), що складається з функцій регулярної частини асимптотики (розв’язки систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку) та функцій примежевого шару (розв’язки , систем гіперболічних рівнянь першого порядку), що підправляють розв'язок в околі х-0. Дозедено асимптотичну коректність розвинення. ‘

Зауважено, що аналогічно будується асимптотика розв’язку задачі у випадку, коли а системі (9) маємо і виконуються умови

узгодження до порядку (N+1). Відзначено, що подібними міркуваннями будується асимптотика розв’язку задачі, якщо елементи матриці Л(х,г) е від’ємними всюди в області визначення і крайові умови відповідно задаються на правій стороні прямокутника.

У §2 в прямокутнику Б розглядається задача (5), (10), (11). Припускається, що виконуються умови узгодження нульового і першого порядку, певні умови щодо малості функцій а/г) та деякі додаткові умови. Побудовано асимптотику розв'язку задачі, що складається з функцій регулярно; частини (розв’язки систем інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду), функцій примежевого шару (розв’язки систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку,) що підправляють розв'язок в.околі і=0, функцій примежевого шару (розв'язки систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку), що підправляють розв'язок в околі х=0 та функцій кутового примежезого шару (розв'язки систем гіперболічних рівнянь першого порядку), що підправляють розв’язок в околі точки (0,-О). Доведено асимптотичну коректність побудованого розвинення.

-Для побудови розвинення використано асимптотичне розвинення .більш простішої (локальної) задачі. .

Мають місце зауваження, зроблені у попередній задачі.

Розділ IV “Обернені задачі для сингулярно збурених гіперболічних систем першого порядку” складається з п’яти параграфів.

У §1 в прямокутнику Б при певних умовах на вхідні дані доведено існування єдиного класичного розв’язку оберненої задачі

~ = ОДЛО+Ч'Ог.О. (12)

СІ ох -

Щх,0) = 0, ■ (13)

и,(о,о=о,;=Ц,иІ(/,/)=о,у=к+х,п, . ■ (14)

и(Г,1) = г(1) , о< Г </ (15)

по визначенню С/(*,<) та /(/) _

Результати цього параграфу використані при побудові асимптотичних розвинень сингулярно збурених задач такого виду.

У §2 В смузі Пт = {(х,ґ):-со<х<+со,0£/£ Т} (0< 7’<со) розглядається

система І—-і- Л(х,<)^| + А(х,г)£/(х,<,г) = О(х)/(<>е)+'Р(х,0 (16)

ч ді дх)

з умовами (13), (15), де /*=0. ’ '

Припускається, що виконуються умов«; узгодження у(0) = 0;

в(0) * о та деякі додаткові умови на вхідні дачі. Побудовано

асимптотичне розвинення розв’язку задачі. Асимптотика складається

з функцій регулярної- частини (розв’язки обернених задач для

систем алгебраїчних рівнянь) та функцій примежевого шару

(розв’зки обернених задач для систем звичайних диференціальних

рівнянь першого порядку). Оцінка залишкового члена розвинення

функції /(/.г) отримана в нормі простору неперервних функцій, а

оцінка залишкового члена розвинення и(х,і,е) отримана в нормі

простору Л!{ПГ).

У §3 в прямокутнику Б розглядається система

—+еЛ(0—+А(х, <)£/(*,і) = О(х)/(/,<?)+^(х, і), (17)

Єї дх

з умовами (13)-(15). .

Для проведення побудов припускається, що <іеіС?(Г)*о, шіконуються умови узгодження нульового порядку та. першого порядку. ,

При вказаних припущеннях побудовано асимптотику розв’язку, що складаєтеся г функцій регулярної частини (розв’язки обернених задач для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку) та функцій примежевого шару (розв’язки систем гіперболічних рівнянь першого іюрлдку), що підправляють розв’язок р околах х = 0та х=/. Залишковий член розвинення /(/,*) -

оцінено в нормі простору неперервних функцій, а залишковий член розвинення и(х, /, є) ' в нормі простору £, (О) .

У §4 в прямокутнику Б розглядається система є^ + Л(х)^.+А(х.Ои(х,І,г) = С(х)Хі,е) + 'Г(х,І) . (18)

з умовами (13)-(15).

Припускається, що сіег 0(0 * 0; Л, (дг) ^ 0, у = і/і, дг є [0, /], виконуються умови узгодження нульового і пертого порядку та деякі додаткові умови. Побудовано асимптотику розв'язку задачі, що складається з функцій регулярної частини (розв’язки оберненої задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку) та функцій примежевого шару' (розв’язки оберненої задачі, для систем гіперболічних рівнянь першого порядку), що' підправляють розв’язок в околі / = о. Доведено оцінку залишкового члена розвинення функції /(/,є) в нормі простору неперервних функцій, а залишкового члена розвинення Щх,і,є)- в нормі простору ¿2(С)

У §5 в прямокутнику Б розглядається задача (16), (13)-(15), причому . в системі (16) елементи матриці біля похідної по просторовій змінній е сталими (не обмежує загальності).

Припускається, що С(/')*0, виконуються умови узгодження нульового і першого порядку та деякі додаткові умови на вхідні дані. Побудовано асимптотику розв’язку задачі, що складається з функцій регулярної частини асимптотики (розв’язки оберненої задачі для системи алгебраїчних рівнянь), функцій примежевого шару (розв'язки оберненої задачі для систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку), що підправляють розв’язок в околі / = 0, функцій примежевого шару (розв’язки систем звичайних диференціальних рівнянь першого порядку), що підправляють розв'язок в околах * = о та х = і, функцій кутового примежевого шару (розв’язки систем гіперболічни. рівнянь першого порядку), що підправляють розв’язок в околах точок (0;0)та (/;0).

Доведено оцінку розвинення /(І, Є) в нормі простору неперервних функцій, а розвинення І/(х,і,є) в нормі простору £,(£>).

В §3,4,5 зауважено, що асимптотичне розвинення розв’язків задач, що . розглядаються в цих параграфах, якісно не змінюється, якщо у вихідних системах маємо Л(х^/) і додатково виконуються умови узгодження до порядку (N+1)

Висновки.

В роботі методом пр'їмс жевого шару та його модифікацій вперше побудовано асимптотичні розвинення розв'язку ряду задач для сингулярно збурених систем диференціальних та інтегро-диференціальних гіперболічних рівнянь першого порядку. .

Використаний в роботі метод можна застосувати не тільки для вивчення змішаних та періодичних задач (як більш вивчених для такого сорту рівнянь та систем), а й для нелокальних та обе{їнених задач. •

Нелокальні задачі для сингулярно збурених гіперболічних рівнянь

і систем та сингулярно збурені обернені задачі вивчені вперше, що • вимагало певної модифікації методу примежевого шару. '

Основні результати дисертації опубліковані в роботах:

1. Волошин В. В., Цимбал В. М. Змішана задача для сингулярно збуреної інтегро-диференціальної гіперболічної системи // Вісн. Львів, ун-ту. Сер. мех.-мат. - 1994. - Вип. 40. - с.6-8.

2. Волошин В. В. Періодична задача для сингулярно збуреної системи гіперболічних диференціальних рівнянь першого порядку // Праці Всеукраїнської конференції молодих вчеі..іх. Математика.

- Київ, 1994л. с.121-129.

3. Волошин В. В. Про одну обернену, задачу для гіперболічної сингулярно збуреної системи першого порядку // Праці Всеукраїнської конференції молодих вчених. Математика. - Київ,

1995. с.125-131.

4. Волошин В. В. Сингулярно збурена система гіперболічних інтегро-диференціальних рівнянь // Нові підходи до розв'язання диференціальних рівянь: Тези доп. Всеукр. конф. (Дрогобич, 25-27 січня 1994 р.) - К.: Ін-т математики АН України, 1994. - с.ЗЗ.

5. Волошин В. В. Періодична задача для системи гіперболічних. диференціальних рівнянь з малим параметром // Тези доп. Третьої Міжнародної конф. ім. академіка Кравчука М. П. - Київ, 1994. с.32.

6. Волошин В. В. Обернена задача для гіперболічних сингулярно

збурених систем першого порядку // Тези *цоп. Четвертої Міжнародної конф. ім. академіка Кравчука М. П<*- Київ, 1995. с.62. '

' 7. Волошин В. В. Нелокальна задача для • гіперболічних сингулярно збурених систем першого порядку / / Розробка та застосування математичних методів в науково-технічних дослідженнях: Тези доп. Всеукр. конф. присвяченої 70-річчю від дня народження професора П. С. Казімірського (Львів, 5-7 жовтня |995 р.) - Львів, 1995. - с.18 .8. Волошин В. В., Цимбал В. М. Інтегро-диференціальна гіперболічна система з малим параметром // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения: Сб. науч. тр. НАН Украины. Ин-т математики. - Киев, 1994. -с. 196-197.. .

Автор висловлйе щиру вдячність науковому керівнику доц. Цимбалу В. М. за постановку задач, неодноразове обговорення результатів, керівництво і постійну увагу до роботи.

Волошин В. В. Некоторые задачи для сингулярно возмущенных гиперболических систем. ' .

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.02-дифференциальные уравнения. Львовский государственный . университет им. Ив. Франко. Львов, 1996. • - '

Защищается 8 научных работ, которые содержат исследования по теории сингулярно возмущенных задач. Построены асимптотические разложения решений смешаной задачи. для систем сингулярно возмущенных гиперболических интегро-дифференциальных уравнений первого порядка, а также периодической, нелокальной и обратной задачи для сингулярно возмущенных • систем гиперболических уравнений первого порядка. Доказана корректность построенных разложений.

Voloshyn V.V. Some problems for singulary perturbed hyperbolic systems. . ‘

Candidat of Science Thesis (Physics and Mathematics), Specialization - differential equations. • Lviv State University, Lyiv,

1996. •

8 scientific papers containing theoretical studies on the theory of singularly perturbed problems are defended. Asymptotic expansions of solutions to the boundary value problem-for the singularly perturbed hyperbolic integro-differential systems equations of the first order as well as periodic, non-local and inverse problems for • singularly perturbed systems of hyperbolic differential equations of the first order are constructed. . .

Correctness of asymptotic expansions is proved^ .

Ключов1 слова: сингулярно збурена система, асимптотичне розвинення, примежевий шар. ,