Некоторые задачи прикладной теории гравитационных градиентометров тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

лЦСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ со ^ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи УДК 528.56 531.383

ЦАЙ Тицзин

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИОННЫХ ГРАДИЕНТОМЕТРОВ

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1997

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета Московского Государственного Университета им. М. В. Ломоносова

Научный руководитель: Академик РАН Л. И. Седов Официальные оппоненты: Академик РАН А. А. Красовский

Защита состоится " 20 " июня 1997 г. в 16:20 час. на заседании Диссертационного Совета Д.053.05.02 при МГУ им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Воробьевы Горы, МГУ, Главное здание, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан " " 1X10 1дд7 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

Доктор физико-математических наук,

профессор В. П. Карликов

кандидат физико-математических наук В. К. Милюков

Ведущая организация: Институт прикладной математики

им. М. В. Келдыша

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Гравитационным градиентометром называется прибор, измеряющий в данной точке пространства компоненты тензора гравитационных градиентов. Гравитационный градиентометр играет важную роль в инерциальной навигации, геопотенциальном исследовании, геодинамике, науке о космосе и т. д. В настоящее время в инерциальных навигационных системах используется математическая модель гравитационного поля — эллипсоидальная модель гравитационного поля Земли. Когда точность современных навигационных приборов, например, гироскопов, акселерометров, достигла такого уровня, что аномалии тяготения являются основной причиной возникновения ошибок в инерциальной навигации, нужно знать более точные величины гравитационного поля для уточненного навигационного расчета. Одним из возможных решений этой проблемы является измерение компонентов тензора гравитационных градиентов во время движения с помощью гравитационного градиентометра. Требования развивающейся науки и технологии принуждают активно проводить программу «Геопотенциальная исследовательская задача», в которой собираются и анализируются более новые точные данные гравитационного и магнитного полей, а также создаются и интерпретируются их модели. Ясно, что более точные гравитационные данные могут быть получены гравитационным градиентометром, позволяющим быстро производить съемку для горизонтальных и вертикальных компонентов силы тяготения во время движения. Исследование окружающей среды микрогравитации очень важно для науки жизни, обработки лекарств и материалов в космосе. Гравитационное поле космоса можно измерять гравитационным градиентометром.

Целью работы является исследование теории и приложения гравитационных градиентометров, что включает в себя:

1) Обзор современного уровня и перспектив гравитационных градиентометров.

2) Анализ ошибок гравитационного градиентометра.

3) Получение формул для гравитационных градиентов и углового ускорения вращения для канонического гравитационного градиентометра.

4) Приложение гравитационных градиентометров в системе инерциальной навигации.

Научная новизна работы. Проанализированы ошибки гравитационного градиентометра, в частности, исследованы смещение осей и ошибки в ориентации градиентометра. Получены формулы для гравитационных градиентов и углового ускорения вращения для канонического гравитационного градиентометра. Выведены уравнения системы инерциальной навигации с помощью гравитационного градиентометра при наличии и отсутствии платформы.

Практическая ценность работы состоит в том, что анализ ошибок градиентометра может быть использован для создания усовершенствованной модели ошибок прибора. Полученное динамическое уравнение канонического гравитационного градиентометра позволяет производить съемку для горизонтальных и вертикальных конпонентов гравитационного поля. Выведенные уравнения инерциальной навигационной системы и бесплатформенной инерциальной навигационной системы с помощью гравитационного градиентометра позволяет проводить уточненные навигационные расчеты.

Положения, выносимые на защиту

1. Анализ ошибок гравитационного градиентометра.

2. Формулы для канонического гравитационного градиентометра.

3. Исходные уравнения инерциальной навигационной системы с помощью гравитационного градиентометра.

4. Уравнения бесплатформенной инерциальной навигационной системы с помощью канонического гравитационного градиентометра

Апробация Работы. По теме диссертации сделан доклад на Конференции молодых ученых (механико-математический факультет МГУ, секция прикладной механики, 7-11 апреля 1997 г.). Ре-

зультаты докладывались на научных семинарах Л. И. Седова и Н. Р. Сибгатуллина.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения; всего содержит 101 страницу, включая 12 рисунков и 1 таблицу. Библиография состоит из 61 работы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, указаны цель и новизна исследований, показана их практическая ценность.

В первой главе сделан обзор современного уровня и перспектив гравитационных градиентометров. Описаны принципы работы этих различных гравитационных градиентометров, которыми являются: 1) вращающийся гравитационный градиентометр, 2) плавающий гравитационный градиентометр, 3) гравитационный градиентометр вращающегося акселерометра, 4) градио-орбитальный гравитационный градиентометр, 5) сверхпроводящий гравитационный градиентометр. Даны формулы для компонентов тензора гравитационных градиентов для вращающегося гравитационного градиентометра, плавающего сферического гравитационного градиентометра, гравитационного градиентометра вращающегося акселерометра и комментарии к этим различным гравитационным градиентометрам.

Во второй главе даны выражение ускорения чувствительной массы и формула для гравитационных градиентов. Рассмотрена в рамках ньютоновской механики кинематическая задача о движении некоторой индивидуализированной точки р относительно системы отсчета О^хуг, которая совершает движение с вращающейся угловой скоростью о; относительно другой системы отсчета движу-

щейся с абсолютной угловой скоростью вращения по отношению к инерциальной системе отсчета Если обозначить радиус-

вектор точки р через г в инерциальной системе отсчета 0£*77„С* и Гз в подвижной системе отсчета 0'2хуг, а радиус-вектор точки Ох

по отношению к системе отсчета 0£fr|r(t через г\ и радиус-вектор точки О2 по отношению к системе отсчета ( через то ускорение точки римеет вид

сРг _

^2 — ^пер ^доб О-от

¿Г з (Рг3

где адоб = 2(П + х —аот =

А"' от Л'«'

Опер = а02 + — (П + а;) х г3 4- (П + ш) х [(О + ш) х г3],

£¿0 ¿Г2 СрГ2

а02 = а01 + — х г2 + ^ х (П х г2) + 2£1 х — +

а01 представляет собой абсолютное ускорение точки О1, сРг^/М2, ¿г2/Л' — относительное ускорение и относительную скорость точки Ог в системе отсчета О^т]^ соответственно, сРгз/<И"2, йгз/сИ" — относительное ускорение и относительную скорость точки р в системе отсчета 02хуг соответственно.

При рассмотрении проблем инерциальной навигации, мы можем рассматривать систему отсчета О^т}^ как земную систему отсчета, начало которой совмещено с центром Земли, а ось ОгС направлена вдоль вектора абсолютной угловой скорости вращения Земли П. Мы можем рассматривать систему отсчета 02хуг как систему отсчета платформы с акселерометрами и гравитационными градиентометрами и точку р как центр чувствительной массы в акселерометре или в гравитационном градиентометре.

Предположим, что система отсчета платформы с гравитационным градиентометром имеет абсолютную угловую скорость и;(г), поступательное ускорение начала этой системы отсчета а{Ь) относительно инерциальной системы координат, и на чувствительную массу, движение которой ограничено в одном направлении, действует только сила тяготения. Уравнение движения чувствительной массы имеет вид

ат(г= д - ш х (ш х г) — ш х г —

где г — радиус-вектор от начала системы координат до центра чувствительной массы, аг{г,Ь) — относительное ускорение. Применяя оператор градиента к последнему уравнению, получим формулу для гравитационных градиентов

Т' = Т - П2 - П. где Т'(г,1) = Чаг, Т(г,1) = Уд,

" 0 -ш3 Ш2 '

0

—(¿2 VI 0 .

П2 = П • Г2, ш = ,Ш2,^з). Для получения диагонального элемента тензора Т+ мы измерим только относительное ускорение между двумя чувствительными массами, находящимися на одном и том же направлении по х¿. Что касается недиагональных элементов тензора Т^ (г ф то необходимы две пары чувствительных масс, находящиеся в плоскости Х{ и X], соответственно. Тц получаются путем складывания соответствующих относительных ускорений. На практике абсолютная угловая скорость из определяется по информации гироскопов. Таким образом, можно получить все компоненты тензора гравитационных градиентов.

В третьей главе проанализированы ошибки во внутренней конфигурации градиентометра и влияние окружающей среды на градиентометр. Доказано, что для градиентометра с точностью Ю-4 Е эффект конечного размера и ошибки неправильного положения градиентометра могут быть проигнорированы, а влияние смещение осей и ошибки в ориентации градиентометра на точность градиентометра нужно учитывать. Смещение осей состоит из отклонений чувствительных осей акселеромеров друг от друга и отклонений средних направлений чувсвительных осей от направлений базисных линий. Ошибки в ориентаций градиентометра представляют собой отклонения направлений базисных линий и средних направлений чувствительных акселерометров от теоретических направлений. Если угловое ускорение ш < Ю-6 рад/сек2, угловая скорость

и < Ю-5 рад/сек (интервал времени интегрирования 10 сек.), требуемая точность градиентометра Ю-2 Е, то отклонение прямолинейности и ошибки в ориентации должны быть меньше Ю-5 рад, влияние центробежного ускорения и углового ускорения на точность градиентометра из-за смещения осей и ошибки в ориентации можем не учитывать. Показано, что если градиентометр с точностью Ю-2 Е установлен на гиростабилизированной платформе, то дрейф гироскопа должен быть меньше 6 • Ю-6 град/час. Если эти условия не выполняются, необходимо эти ошибки компенсировать для градиентометра.

Рассмотрен шум брауновского движения в гравитационном градиентометре с системой пружины-массы. Известно, что основной тепловой шум системы пружины-массы является брауновским движением гармонического осциллятора при температуре Т. Браунов-ское движение одномерного грамонического осциллятора описывается системой уравнений Ланжевена

с1х ¿V 2 ,

_=„, -+1У + и)оХ = уМ.

Здесь 7 — коэффициент трения, и>о — собственная частота, уу (£) — случайная сила (член шума системы пружины-массы) или ланжеве-новский источник. Используя преобразование Фурье, получим спектральную плотность (уу)и, = 27кТ/тп шума гравитационного градиентометра с системой пружины массы (где к— постоянная Больц-мана, то — чувствительная масса).

Показано, что для гравитационного градиентометра с точностью Ю-2 Е удлинение базисной линии и отклонение прямолинейности из-за изменения температуры окружающей среды может быть проигнорировано, а влияние шума температуры на градиентометр через механизмы градиентометра будет более сложным и для разных градиентометров влияние температуры на них будет разным.

В четвертой главе получены формулы для гравитационного градиента и углового ускорения вращения для канонического гравитационного градиентометра. Канонический гравитационный градиентометр (КГГ) состоит из шести трехосных акселерометров (на-

пример, электростатический акселерометр) или восемнадцати одноосных акселерометров высокой точности, размещенных на расстоянии Ь/2 от начала системы координат О^С платформы. Формула измерения гравитационного градиента имеет следующий вид:

А = Т-П2 - га,

где Т = У5о, а* — ускорения, измеренные акселерометрами в точках Ри

1 /(а2-а!)? {а2~а{)п (а2-а!)Л

А = Ь И"4 _ (°4 _ (а4 _ I '

\(а6 - а5)? (а6 - 05),, (а6 - а5)^/

(О — и)^ и и>(; 0 — -шп О

Так как П является антисимметрическим тензором, а Т, П2 представляют собой симметрические тензоры, получим Формулу углового ускорения платформы

^г[(а2 - «:)„ - (а4 - а3)€] = шс,

^[(а6 - а5)€ - (а2 - аг)с] =

^[(а4 - а3)с - (а6 - а5)ч] =

Из формулы получим требование на точности акселерометров, образовывающих канонический гравитационный градиентометр. Показано, что если требуемая точность канонического гравитационного градиентометра имеет порядок Ю-2 ~ Ю-4 Е, то акселерометр должен иметь разрешающую способность Ю-12 ~ Ю-14 м/сек2. При этом разрешающая способность углового ускорения вращения получается Ю-11 ~ Ю-13 рад/сек2. Проанализированы ошибки канонического градиентометра и ошибки для углового ускорения вращения каноническим гравитационным градиентомром. Полученные выводы совпадают с результатами, описанными в предыдущей главе при анализе ошибок градиентометра.

В пятой главе получены уравнения, позволяющие применить гравитационный градиентометр к инерциальной навигационной си-стеме(ИНС). Рассмотрена гравиградиентная инерциальная навигационная система, построенная следующим образом. На платформе трехстепенного измерителя абсолютной угловой скорости установлены три акселерометра и гравитационный градиентометр.

Введем системы координат: 1) квази-инерциальную систему координат OiС*! начало которой совмещено с центром Земли, а ориентация осей неизменна по отношению к направлениям из центра Земли на удаленные (неподвижные) звезды; 2) земную систему координат Oi^rçC) начало которой совмещено с центром Земли, а ось Ol С направлена вдоль вектора абсолютной угловой скорости вращения Земли Яе. Ось Oi£ системы координат лежит на линии пересечения плоскости экватора и плоскости гринвичского меридиана; 3) геоцентрическую систему координат Oixyz, начало которой помещено в центр Земли, а оси параллельны соответствующим осям системы координат Oxyz, 4) подвижную связанную с объектом систему координат Oxyz с вращающейся абсолютной угловой скоростью ш. Известно, что вектор ускорения силы тяжести д(г) гравитационного поля Земли в земной системе не зависит от времени t.

Полученные исходные уравнения инерциальной навигационной системы с помощью градиентометра имеют следующий вид:

dr

— = г + и> X г,

dt

dv .

— = а — ш х V + g,

^ + (и - Пе) х д' = Т(г) • (и - Пе х г),

где г — радиус-вектор из центра Земли Oi до начала О системы координат Oxyz, точкой обозначена относительная производная по времени в системе координат 0\xyz, а — абсолютное ускорение, которое измеряется установленными на объекте акселерометрами,

д' — вектор ускорения поля тяготения, T(r) = Vg' — тензор гравитационного градиента, компоненты которого измеряются гравитационным градиентометром, v — абсолютная скорость. В результате интегрирования последних уравнений получим

г = / [v - ш х r]dt + г°, J о

v= [а — ш х v + g']dt + v°,

Jo

д' = f[T{r) -(v-aexr) + (i2e - w) x g']dt + g'°.

Jo

Кинематическое уравнение ИНС для системы координат в

подвижной системе координат 0\xyz имеет вид

i°= f\ex(U-ne))dt+?(p),

Jo

V°= [Ь(v0 x (ш — Cle))dt + 77°(0),

Jo

c°= [\c°x(u-sie))dt + t°(0).

Jo

Эти уравнения образуют полную систему гравиградиентную ИНС с помощью градиентометра и представляют собой замкнутую систему уравнений. По начальным условиям r°, v°, д'°, заданной угловой скорости Пе и измеряемым величинам ш,а и Т можно определить все векторы г, v и д' в системе координат 0\^г}С,.

Построены уравнения возмущенного движения ИНС с помощью градиентометра. Проанализированы влияния инструментальных погрешностей гироскопа, акселерометра и градиентометра на ошибки ИНС. Для выявления влияния инструментальных погрешностей инерциальных измерителей на ошибки ИНС рассмотрен случай движения объекта с постоянной скоростью v0 по экватору, когда Земля представляет собой невращающуюся сферу, т. е. Пе = 0.

Показано, что а) ошибка горизонтального местоположения объекта, к которой приводит погрешность гравитационного градиентометра, растет во времени; б) влияние погрешности гравитационного градиентометра на ошибки определения местоположения, скорости и ускорения силы тяготения сходно с влиянием погрешности гироскопов; в) используя градиентометр, можно повышать точность инерциальной навигационной системы; г) для повышения точности ИНС точность градиентометра должна согласоваться с точностью гироскопа и акселерометра. Если принять v — 48 м/сек, g = 9,81 м/сек2, дрейф гироскопа 6ш = 10_3 град/ч, то разрешающая способность гравитационного градиентометра должна иметь 1 Е, а разрешающая способность акселерометра должна иметь 4 • 10~6 g. Если дрейф гироскопа будет равен Ю-5 град/ч, то разрешающая способность градиентометра и разрешающая способность акселерометра должна иметь Ю-2 Е и 4 • Ю-8 g соответственно.

Рассмотрена бесплатформенная инерциальная навигационная си-стема(БИНС), чувствительными элементами которой являются акселерометры и гравитационный градиентометр. Будем использовать ранее введенные системы координат. Получаемые уравнения системы бесплатформенной гравиградиентной инерциальной навигации имеют следующий вид:

г + (ш — ïle) X Г = V,

¿ + (ш+ Sle) х- v = а + g,

v + 2П ■ v + (fi + fi2 - Т(г)) - v = à+(П-П1)-а,

где г — радиус-вектор из центра Земли Оi до начала О системы координат Oxyz, v — вектор скорости объекта относительно Земли, а — вектор ускорения который измеряется акселерометром, д(г) — вектор ускорения силы тяжести гравитационного поля Земли в земной системе OiÇrjÇ, не зависящий от времени t, T(r) = Vg' — тензор гравитационных градиентов,

(0 -шг "v \ ( 0 -fiez fie y

п = 0 -Vx , П' = I fiez 0 -fiex

0 J ^ex 0

Интегрируя последние уравнения по времени получим замкнутую систему уравнений для описания БИНС с помощью канонического гравитационного градиентометра

t

г —

о

t t t

П') ■ г)Л + Л

о

ь г г

V = -2 J П • гей + J j(2Г1 + А) ■ + J ЕсИ + г>°,

ООО о

í

д = -(П -П')-ь + ! (2П + А) ■ vdt + Р - а, о

г

^ = а + I(П - П') • а«Й + - (П° - П'°) • г;0, о

где индекс 0 вверху означает начальное значение, компоненты тензора А измеряются каноническим гравитационным градиентометром. Вектор углового ускорения измеряется каноническим гравитационным градиентометром одновременно. Получаемая угловая скорость вращения объекта

г

шх = ТГГ / [(«4

о

t

'y = Jl f[(a6 ~ "s)* - (а2 - ai)z]dt + о

г

= J[(a>2 ~ ai)у - (а4 - a3)x]dt +

t

1

¿L,

0

Решив уравнение по начальным условиям г°, и0, g0, заданной угловой скорости $7е и измеряемым величинам а, ш, ш, А, сначала можем

найти относительную скорость V, потом на этом основании получаем вектор ускорения силы тяжести д и вектор местоположения г соответственно. Все векторы г, V и д определены в системе координат Ох^С-

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертации получены следующие основные результаты

1) Выведены формулы для компонентов тензора гравитационных градиентов для вращающегося гравитационного градиентометра, плавающего гравитационного градиентометра и гравитационного градиентометра вращающегося акселерометра. Дан обзор различных гравитационных градиентометров, работающих при комнатной и низкой температурах. Показано,что электростатический и сверхпроводящий гравитационные градиентометры являются более точными градиентометрами в настоящее время.

2) Даны выражение ускорения о сложении движений индивидуализированной точки, которую можно рассматривать как чувствительная масса в акселерометрах и гравитационных градиентометрах, и принцип обнаружения гравитационных градиентов в градиентометрах.

3) Показано, что необходимо учитывать факторы, влияющие на точность показаний градиентометра: смещение осей и ошибки в определении ориентации градиентометра. Если необходимо обеспечить точность показаний градиентометра порядка Ю-2 Е, то смещение осей и ошибки в ориентации должны быть меньше Ю-5 рад. Если градиентометр с точностью порядка Ю-2 Е установлен на ги-ростабилизированной платформе, то дрейф гироскопа должен быть меньше 2 • Ю-6 град/час. Когда эти условия не выполняются, необходимо эти ошибки компенсировать. Для гравитационного градиентометра с точностью порядка Ю-2 Е удлинение базисной линии, смещений осей и ошибки в определении ориентации из-за изменения температуры окружающей среды могут быть проигнорированы.

4) Получены формулы для гравитационных градиентов и углового ускорения вращения для канонического гравитационного градиентометра. Проанализированы ошибки канонического градиентометра и ошибки для углового ускорения вращения акселерометрами. Показано, что если требуемая точность канонического гравитационного градиентометра имеет порядок Ю-2 ~ Ю-4 Е, то акселерометр должен иметь разрешающую способность Ю-12 ~ Ю-14 м/сек2. При этом разрешающая способность углового ускорения вращения получается Ю-11 ~ Ю-13 рад/сек2.

5) Получены исходные уравнения ИНС с помощью гравитационного градиентометра и проанализировав влияние инструментальных погрешностей гироскопа, акселерометра и градиентометра на ошибки ИНС. Показано, что а) ошибка горизонтального местоположения объекта, к которой приводит погрешность гравитационного градиентометра, растет во времени; б) влияние погрешности гравитационного градиентометра на ошибки определения местоположения, скорости и ускорения силы тяготения сходно с влиянием погрешности гироскопов; в) используя градиентометр, можно повышать точность инерциальной навигационной системы; г) для повышения точности ИНС необходимо, чтобы точность градиентометра согласовалась с точностью гироскопа и акселерометра. Выведена замкнутая система уравнений для описания БИНС с помощью канонического гравитационного градиентометра.