Некоторые задачи теоретической механики(Относительные равновесия двойного сферического маятника и их устойчивость. Стационарные движения осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне. Движение математического маятника в случаесхода со связи) тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

С!_

Московский Государственный университет имени М.В. Ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи

Агарева Ольга Юрьевна

Некоторые задачи теоретической механики.

(Относительные равновесия двойного сферического маятника и их устойчивость. Стационарные движения осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне. Движение математического маятника в случае

схода со связи).

01.02.01 - теоретическая механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1997

Работа выполнена на кафедре теоретической механики Механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

- академик РАН, доктор физ.-мат. наук, профессор В.В.Румянцев

- доктор физ.-мат. наук, профессор В.Н.Рубановский

- доктор физ.-мат. наук, профессор С.А.Мирер

- НИИ механики МГУ

Защита диссертации состоится " /2п ЛГЦХ^ 1997г.

в 16 часов на заседании специализированного Совета по механике Д 053.05.01 при МГУ по адресу 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-10. С диссертацией можно ознакомится в библиотеке механико-математического факультета МГУ. Главное здание, 14 этаж.

Автореферат разослан " № " 1997г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.05.01 при МГУ

доктор физ.-мат. наук Д.В.Трещев

Общая характеристика работы.

Диссертационная работа посвящена исследованию:

1) уравнений относительных равновесий двойного сферического маятника и устойчивости их решений под действием потенциальных сил;

2) стационарных движений осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне в точке на оси симметрии;

3) движения тяжелой материальной точки по вертикальной окружности, когда связь считается неудерживающей, а удар при выходе на связь абсолютно неупругим.

Актуальность темы.

Вопросы исследования движений двойного сферического маятника, тяжелого осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне, и задача о движении математического маятника в случае неудерживающей связи являются актуальными в теоретической механике. Особенно большое число работ посвящено исследованию движения тяжелого абсолютно твердого тела, подвешенного на струне или стержне.

Изучение поведения вращающихся тел на струне началось в 40-ые годы с экспериментов Лаврентьева М.А. и Малашенко C.B. Большой цикл исследований по этой тематике был выполнен Ишлинским А.Ю. и его коллегами и учениками Темченко М.Е., Стороженко В.А., Малашенко C.B., Шишкиным П.Г. и др. Ими изучено многообразие стационарных движений тела на струнном подвесе, их устойчивость и бифуркации, предложен метод динамической балансировки вращающихся тел.

Аналитические исследования задачи движения тела на струне или стержне развивались в работах Румянцева В.В., Рубановского В.Н., Возлинского В.И. и их учеников. Значительное число исследователей занимались вопросами полного описания многообразия форм стационарных движений и относительных равновесий подвешенного на струне или на невесомом стержне осесимметричного твердого тела. К данному направлению относятся работы Турецкого В.В. и Добринской Т.А., Сарычева В.А., Мирера С.А., Исакова A.B., Одинцовой С.А., Янковского И.В.

Гораздо меньше работ посвящено исследованию относительных равновесий и стационарных движений двойного сферического маятника. Относительные равновесия системы, состоящей из двух однородных стержней, соединенных цилиндрическим шарниром, рассматривались Нозадзе Г.Т.

Стационарные движения двойного сферического маятника и их устойчивость изучаются в совместной работе американского ученого Marsden J. и немецкого - Scheurle J.

Задача о движении математического маятника является классической задачей механики. Она излагается почти во всех курсах теоретической механики, в том числе в курсах Суслова Г.К. и Ляпунова A.M. Однако, движение точки после схода со связи в них не рассматривается, за исключением вида траектории для свободного движения. Такие движения изучались Белецким В.В., Журавлевым В.Ф., Ивановым А.П., Маркеевым А.П.; удар точки о связь в их работах считался абсолютно упругим. В данной работе удар считается абсолютно неупругим.

Цель работы.

Целью работы является исследование:

1) всех относительных равновесий двойного сферического маятника, условий их существования и устойчивости под действием потенциальных сил для всех возможных значений параметров системы;

2) стационарных движений осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне в точке на оси симметрии, нахождение всех этих движений в зависимости от параметров системы;

3) движения математического маятника в случае схода со связи при абсолютно неупругом ударе точки о связь.

Научная новизна.

Проведен полный анализ решений уравнений относительных равновесий двойного сферического маятника в зависимости от соотношения параметров системы, построены бифуркационные диаграммы. Получены достаточные условия устойчивости решений под действием потенциальных сил.

Изучены стационарные движения осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне. Для перманентных вращений построены бифуркационные диаграммы для всех возможных параметров системы.

Подробно описано движение математического маятника в случае схода точки со связи при абсолютно неупругом ударе о связь.

Апробация работы.

Результаты работы были доложены и обсуждены на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ им. М.ВЛомоносова , ИПМ им. М.В.Келдыша и МАТИ им. К.Э.Циолковского.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4].

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав и двух приложений, изложенных на 78 страницах, включая 41 рисунок и список цитируемой литературы из 52 наименований.

Содержание работы.

Во введении дан краткий обзор литературы по соответствующей тематике, описано содержание диссертации и кратко изложены полученные результаты.

Глава 1 посвящена подробному исследованию относительных равновесий двойного сферического маятника.

Рассматривается вращение с угловой скоростью СО как одного целого механической системы, состоящей из материальных точек масс тх,т2, шарнирно подвешенных на невесомых стержнях длин /,,/2, вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса первого маятника.

В §1.1 выводятся уравнения относительных равновесий системы из равенства нулю первой вариации измененной потенциальной энергии SW = 0, где

W = ~~ú}2[('"i + Щs¡n2 a + т2^г s^n2 0 +

+2m2lxl2 sinasin^cos^J-^/jgcosor-»?^/, cosa + l2 cosé?)

Уравнения относительных равновесий имеют вид:

со2 cos + т2)/, sin a + m2l2 sin 6\ = (т. + пи )g sin a

со1 cos sin a +12 sin в\ = g sin в

где, без ограничения общности считаем, что углы отклонения маятников от вертикали a, в меняются в пределах: 0 < ОС < 7Г , — к < 6 < л. Система уравнений относительных равновесий в пространстве (а, в, со2) задает кривую, неявный вид которой:

8 -1

со /, cos а

8 -1

co2l2 cos в

т.

т1 + т2

Методом, предложенным в работе1, находятся проекции этой кривой на плоскости (а, СО2), {в, СО2) - бифуркационные диаграммы.

1 Ишлинский А.Ю., Стороженко В.А., Темченко М.Е. О движении

осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне. Изв.АНСССР,МТТ,1979, N6, с.3-16.

Вводя замену переменных:

sin в = х cos в = ±yl\-x2

sinа = у cosa = ±^1-у2 '

геометрически ищутся решения системы уравнений:

X =

ка

Vk

— 1

= f¿y.v)

у = х

где v =

g

■к

U

.«т^Лог--

со 1Х /, щ+т2 как точки пересечения кривых /х и /2 при произвольном изменении параметра V и фиксированных значениях параметров к, а при изменении х в интервале [-1;1], у - в [0;1].

Возвращаясь к исходным обозначениям т1,т2,11,12,а,в,й), получаем полную картину относительных равновесий системы в зависимости от ее параметров.

В §1.2 находятся достаточные условия устойчивости относительных равновесий двойного сферического маятника, как условия положительной определенности второй вариации 8г1¥ измененной потенциальной энергии, и достаточные условия неустойчивости под действием потенциальных сил, когда 82Ш принимает отрицательные значения. Показано, что тривиальное решение а — в = 0 устойчиво при угло-

вых скоростях СО меньших, чем

вием потенциальных сил при со >

и неустойчиво под деист-

— или со >

Показано, что остальные три вертикальные формы равновесия системы неустойчивы.

Так же доказано, что в случае, когда маятники не расположены вдоль одной вертикали, движение устойчиво только при условии 8тазт#>0; в остальных случаях движение неустойчиво (возможность гироскопической стабилизации в работе не исследуется).

В приложении к Главе 1 с помощью компьютерной программы Maple V Release 3 построены кривые относительных равновесий /**/ в пространстве {а,в,со2), как пересечение поверхностей, задаваемых уравнениями относительных равновесий 1*1 для различных параметров системы.

Глава 2 диссертации посвящена исследованию уравнений стационарных движений осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне.

В §2.1 тем же методом, что и в Главе 1, ищутся решения уравнений перманентных вращений:

- тсог1 cos а{1 sin а + а sin 9) + mgl sin а = О

2 1 2 -meo acos9(ls'ma + asin9) + mgasm9 + — (С-А)а> sin 29= О

где т-масса тела, А = 5;С-главные центральные моменты инерции тела; I -длина струны, а - расстояние от точки подвеса тела к струне до центра масс, а ,<9-углы отклонения, соответственно, струны и оси симметрии тела от вертикали.

7С

Считаем, что а принадлежит интервалу 0;— , а 9 е [—я\ л~\, при

этом движение возможно лишь в случае, когда центр масс ниже неподвижной точки подвеса струны. Строятся бифуркационные диаграммы в зависимости от соотношений параметров системы. В §2.2 найдены решения уравнений регулярных прецессий осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне,

-mcoгlco%a{lsm.a + as\Yíв)-lrmgls\Vía = О -тсо2асо$в(1 эт а + а эт 9) + mga 5т 9 + , +(С- А)сог ът9соъ9 + Сцаътв = 0

где /л - скорость собственного вращения тела, когда а изменяется в

интервале

,а 9е

Л К 2;2

Глава 3 посвящена исследованию движения математического маятника в случае неудерживающей связи, когда удар о связь считается абсолютно неупругим.

В §3.1 решается задача о сходе математического маятника со связи. Известно2, что такая возможность реализуется лишь при подъеме маятника выше точки подвеса, при начальных данных _у0 (начальное положение), У0 ( начальная скорость, направленная по касательной к окружности), удовлетворяющих неравенству: 2&>0<Г02 <2&0+31***1

В §3.2 выписано уравнение параболы, по которой точка движется свободно до встречи со связью:

I2 , {1г~У*2} Ъ12у *2 ~/4

-— х + —--

У = ~

2у *3 2

х2+-

У

*з

2у

V2

* — 'о

где У ——уй— — . 3 Зg

Найдены координаты и скорость точки при выходе на связь: / ' ,*2\

У\ =~У

3-

4 у'

I2

8У'

,*2

/ — / , потеря энергии при абсолютно неупругом ударе о связь:

-13

Ъ2т%у

*з

12

г.

I

-1

и скорость после удара:

/ 4

VI-41

8У'

8

гТ-«К

+ 3

Кроме того, область начальных данных 1***1 разбивается на подобласти в зависимости от квадранта, в котором точка выйдет на связь. В §3.3 рассматривается дальнейшее движение точки, возможность ее повторного схода со связи.

В приложении к главе 3 даны примеры различных движений точки в зависимости от величины у*.

2 Суслов Г.К. Теоретическая механика. М.Л. Гостехтеоретиздат. 655 с.

С. 107-109.

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Агарева О.Ю. О перманентных вращениях осесимметричного твердого тела, подвешенного на струне. Вести. МГУ. Сер. Математика. Механика. 1987. N6. С.45-51.

2. Агарева О.Ю. О регулярных прецессиях твердого тела, подвешенного на струне. Вестн. МГУ. Сер. Математика.Механика. 1989. N3. С. 85-88.

3. Агарева О.Ю. Движение математического маятника в случае схода со связи. Деп. в ВИНИТИ 1.7.1992. Ш716-В92.

4. Агарева О.Ю. Относительные равновесия двойного сферического маятника и их устойчивость. Деп. в ВИНИТИ 4.12.1996. Ю493-В96.