Некоторые задачи теории дифференциальных уравнений с нелинейностями диодного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ6 од

/ з :лл;1 loos

шгагалк:! ордза лшт ПК^рспийй УШ!ЕГС1КВТ нтая .тайского ксмсккогл

hl м>"1.гч..£ рут-ГОГИСЦ

Соепстьяноет. Елена Етад^лроела

шюхсяк здош такт Д^скгжщая^л ук^ешй с Еимиилсвга л;:од'01\) ти:л

/01,01 .0?. - ^ия^пс-рсшитплысзе угппгазга п ¡тлтст^гт^с:^ ф'лэтта/

Л в торе :р о i) п ? диссертации на со'.!сухш;:д '-tomíl степ-' кгли'лглта фгсико-мятемчппмзспсс наук

Работа наполнена в Воронежском государственном университете,

НаучшД руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Б.Н. Садовский. Официальные оппонент: доктор физико-математических

иаук ©.'И. Сапронов, доктор физико-Математических

Г) 'Л tt

riCLy l\ AJ. W » l I.IJ Г.* U1 .

Ведущая организация: Инсгиаут проблем управления РАН.

Зацита дпсаергоции состоиток 18 мая 1993 г. в 16,10 на заседании специализированного соЕета К 063.48,09 по присуждению ученой степени :санд;;дета фйзико-ыатемйтнчесин: наук при Воронежской ордена Ленина государственном университете имени Ленинского комсомола по адресу: 394693, Воронеж, Университетская пл., ВТУ, математический факультет.

G диссертацией можно ознакомиться .в библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан "_"_1993г.

Учений секретарь _

специализированного совета B.I', Задорожний

асцяа ХАРлктшюкт работы

Исследование ст:те?1, содертагпзс звенья гастерззисиого типа, является в настояло .врс;гя rscfcva актуальной задачей в связи с запросами разнообразная областей современной науки и техники, особенно танк, ка:с механика,- тссры пластичноеTiit гидродшанигл, тоорул элоятршоекзе: цепей с веншльныш элементами, теория управлении Как Известно, тают звенья удобно огисызать дпфферзшдоальщм! эдешнеягши с нногознагпи'и или разртвшглг оддог'начткн функцигаги. ЭтбЛ тем о посвящена кногочисленшо публикация соеотошх и заруба-гих учешх.

Цель -работы. Исследование' асге.штотмеского поведеюл рслэ-ний систем с диодной нелинейностью, раакоспсг: аппроксимаций и возмущений таких систем.

Шявление условий, при которых решения, иачнн?л с иэкото-рого момента времени, принадлежат заданной груше граней к*лусй воомогашх состояний, Изучение вопросов сходимости и устойяяво-стп по начальным приближениям Полуниной и неявной схем Эйлера для систем с диодншл недине йнослши. Получение оценок вог.чу^э-ний решений; шзванпых изменением диодной и более обцай нелп-иойюстой.

Научная новизна. Найдены необходимый и достаточные признаки асимптотической принадлежности решений определенной грани или группе граней конуса состояний, 'которые в олектротехгагаес-ких приложениях шделявт тепы устанонишихся рьяшов, характеризующихся чередованием включения тех или шгых групп вентилей. Получены ноше оцени! точности Полуниной "и неявной схем Эйлера

для рацсиаарпваеышс уравнении Доказаны ношо теоремы о Олнао~ сти решений ьозыуценнш: садач и исходной задачи с дцо;ук/!". иелвшойносФью.

.Практическая ценность. Роэульташ работы могут прш.;шиться для качественного и численного анализа поведения влектричеок:« цепей о воняшьиши о'леменкдш, а также систем управления, содерлмфпс звзииГ г.ютореансиого типа, На основе результатов диссертаций ыогут быть предложены алгоритм и программы численного анализа сиогеи с гасторезиснышг нелинейноетами, которю включают опбциалыща аппроксимации днодних и щшлопгШ-К налшекностей или используют разностный мотод, дакщий гаранти-роводшуа сгешнь точности. Пример такой програнш разработан и ош^ан в диссертации.

Апробация работа. Результаты работ докладывал, .оь на семинарах Воронежского госуниверситета, конференции молсдах учешх Ш® ЕГУ; на семинаре М,А, Красносельского.

Публикации. По кше диссертации опубликовано 5 работ

Структура и объем табога. Диссертация состоит из введения, чо'шрох гаав и приложения. Текст диссертации занимает 104 •страницы й.включает б рисунков. Библиография содержит 47 наименований,'

СОДЕВЙШИЕ ГЛБО'Ш

Во введении пригодится об лор литератур! по вопроса)! диссертации и кратко излагается содержание рабож. * В пергой главэ формулируются ешденга, используемые в дальнейшем.

ВО ПТОРОП ГЛавО ИССЛОДУЮГСЯ ВОПРОСЫ ПСШПТОПРС-ЭСКОТ'О ПОВ'Т-

дешм систем, содершцм: диодную иолшгойность. В пзрпой часта стой глаю рассматривается система вица:

мм,

1М, " (.<1,и>=0

/I/

/2/

с начолыпл! условно'

/з/

гдз ( и:М - неизь.эспгыо пектор-фуикц;ш,

НЧС([0Г),Г) ' ^ - граненый конус в ,

- сопряженный к конус в (- ^

К » где ^ - конечное множество иядексоз, С (Л)"

коническая оболочка шютес-гва J, ) , ) > - обычное

' Г)" .

скалярное произведение п \

Из результатов работы Петровой Л.П., Садовского Б.Н. /сл. Петрова Л.П., Садовский Б.Н. К матаптичвч-кой теории электрических цепей с диоднкми преобразователстш тот. Деп. в ЕШПВД 10 авг. 1562, ¡¡5 ФЮЗ-бЭДеп./ слодуег, что системой /I/, /2/ в достаточно широких предполояеышх описывается работа олектриче-

ской 'цошх, состоящей via индуктншостей и идеаямых диодов; в втой статье также получены теоремы суцествоваюш и единственности абсолюто непрерывного решоши 1(1) задачи Кош /1/-/3/.

Пусть Г\ - замкнутая грань конуса И , [< ортогональная к I ^ грань конуса -Г , H^ciFiUFi1 ),

С СI/ Ш!, = С (Ц (Л" Г/)) 5 rdJl - относительная

внутренность шпуклого иножестаа л- , и,а -

i

шуТрЙННОСтЬ ШОНЬ'ОХВА Jf .

Teopcua I. Предположим, что I(L)^f[ » Утверждается, что 1 ((*) 6 ti Г| при 1!аждоы { > |0 тогда и только тогда , когда прн всех "1: >io

t»

и

W) 4 ■

Тзореиа 2. Если при всех

U

4«

причем

I й-О

lJvIW,^!^;

/гдэ - расстояние отмочки ^ до множестго Ж

Ж - граница множества К{ /, то существует такая

течка , что при гат-доч 7 >/у

Кроме того, в это;'; .главе приведем условия, при котоукх 1(1) при {>10 (1(1() Г<] принадлежит эдмяцттеЗ грана или объединению двух замхенутих граней. .В качестве пр!-г.,:ероз рассмотрены две электротехнические схемы: мостохая схема с двухполупериодчым етщнпиталем и схела Ларионова - для потерю: приведены условия и шчисленн границы различных тапов установившихся режимов в зависимости от чередования тех или киле групп проводящих ддодов.

Во второй част первой главы рассматриваются лянеГдоо систеш с диодной нелинейностью, т.е.

М>МН ' /4/

М, " •

и е-К> ' т

<1,и>-и,

где I'I? , У --неизвестные Еэктар-Лунту^,

\ £ С ([О,00) ) $>!) !? " известная матрица, удойлотворя;х-ая условию

Из результатов работы Петровой Л.П.,*Садовского Е.И. слодуо?, что системой /4/, /5/ в достаточно варопвс прздполо:-оь.ж оаи-сивается работа -и.епой, содзргагрн адзалкглз р.ода,

а тз:-;с получек:! тесромп ср'остг-оаг'гк и едгхтетг.сгзгссж абсолпт-по 1>?;п:зш1зюг0 р-яйквя I (г) задачи Копи: /4/-/С/ на Мл'7"/ . • Пуст*? Ц -с (о^Ы , ... о ) . , лрхеи , -

минус сопряженный к Гу конус в Р Теорема 3. Пусть 1Р£ Г] . Если

4-«РЛ1-Рв.(01><*,УМ /з/

/где - проекция ,в К вэктора 1 на грань I { /,

то существует такая точка {^0 , что Г) при .

В доказательстве Toopemj используется обобщенная теорс

■Л1С1

Ляпунова /см. Steel t. PaJt.tx } ila/Jat (I сл£иА<л

jit Ccwj>u/irtj ^fiii^oTi d^iMtiint ihcluMCiv Mhli OLj^ucdimi, 4> t!wüaMi sifiucit te. евк,~1хЛ «j/f "iokc'1 /m^sula/vii, —

jfft tfiiihiaciuM, c-l c'otculü cud tyduni im,

Для каждого ребра ög построим конус

•МеМШИ)

Г1 У /. rZ I I / \ г?

- грани конуса К такие, что сикЦ ~M-L , cfajcj^

i- , .... И? (ctu*^ - размерность множества , Конусы

^ посгроим^для всех ребер грани Г{ . Обозначим через

)0(0 Множество Lfj является объединением

граненых конусов, содержаться в гранях конуса -/у »т.е.

Легко видеть, что Of(I]--L , где Д1) t

Теорема 4. Пусть (tkvwFpi) .Если

/ L - некоторая константа, которая вычисляется в доказательстве теореш/, то существует такая точка

1>о

. что

ЦМ при . .

- о -

Г{ -о(ос) к

О 1 '/ м

/где , ••■ ''е) ~ , =глг{Л,0) /} то чествует такая точка "[о>0 , что £ для 4 ^/о

Кроме того, в этой главе приведет достаточные условия при которут для t >t0 принадлежит , грани

Гг0 1 П /если КЦ 6 Г3 /. Применен::« приведенных в этой части глаш методов иллюстрируется на примере в пространстве

В общем ~е случае для научения поведения рассматриваешь систем удобно использовать различного рода приближения к численные гетода, легко реализуемые на ЭШ в шде пакетов прикладяж программ, прииенясмгг для репевкя больших классов практических задач. Вопросам построения различных разности« метод« л,дс:са-зательству их точности, ксследоЕШпю устойчивости по началььъм дакши и посвящена трети глава диссертации.

В первой части третьей глаш построен неявный метод Эйлера решения задачи о люфте с характеристикой шгогогранникои з 2

, -Г-У \ ™

ЛЗ" е ¿д^-М)

/ - субдлфйеренциал индикаторной функции шпуклого

многогранника в К , т.е.

'•ГгТ1 Г)^ [г\ г] (У

^ о^Ч ^К - кусочно-гладкая вектор-фуищия, -

неизвестная зектор-функция/ на равномерной сетке, т.о.

и - о„ е 2

/ N /10/

/ ¡ЫЬ ,«--0,1.....Иь, М|,1)Л [ - некоторое раэбненио отрезка

, / о,начальным условием

/И/

приведена рекуррентная формула штаслешш решения разностной задачи, доказана устойчивость по начальным данним.

Обозначим через $¡,(1) и кусочно линейшз

вектор-функции, принимающие значения , и ^

СООТВ0ТСТВЭ1ШО При

• Теорема 5. Вектор-функций ^кШ аппроксимирует '1а V 'С точностью

£о второй части глаш полученные результат обобщаются на более сложные систеш, для котогчх построены полуявше и неявные методы Эйлера на равномерной сетке. Приведем одно из утверждений, полученных в работе. Пусть

решение задачи

Кош

' М}У*Н. ■ /IV

■ ■ и ^ВД!,

/ , ^ - неизвестные вектор-функции,

^ € С (1Р(П , К/ > " известная матрица, удовлетзоряюцал

условию ПИ с начальным условием

/хз/

Еяряду с задачей /12/, /13/ рассмотрим рагностнуп задачу

и„ йо7(У,)

с началыкм условием /13/. В работа доказана однозначная разреши,юсть разностной задачи /14/, /13/; при | } ~ установлена устойчивость по напальтгм дышим; приведена рекуррентная фордула пгчислеиия решения разностной задачи /14/, /13/.

Теорема 5. Если шполнено условно '(] ~ ^ И ^ { » т0 вектор-функция аппроксимирует с точностью

ОШ / ^к(^) " «У^очно-линейная вентор-фунлция, принкма-гг;ая значение Д ^ при

п^ОД,.....Мь /.

Вопросы сходимоста неявного метода ЭГшера исследовались в работах ^елсч (мтлг^ь <ж- сст*^»«*.

(|. у>?и11.омл квиЪчач. к'оРи'Цол ми&Ьсьл М|

ЗШ ГЫ^Х Л Ьп^и , Ж У. 59, '

Й У', Р 5 ; ЪЪЛ ) ' и СкиМ Ш. Ч,, ¿а* /. С , у.» «»Ш^ о^^Г У* ыЛ^р

(Ок У» р[ С^МлМ О^^г 4' ыМ:^,

Р

без получегаи оценок скорости сходшости душ уравнений с максимальными монотоюшми и акнрогигашш операторами. Б работе

Пе

паи йЧхихШ <л(1 о тепп^

Соплу и а Оы'.нЛ ^ ^¡^^¿п//

полнена .оценка точности неявного метопа Ойлера порядка для задачи /9/, /II/ в случае 7 ~ , где ~

замкнутое шпукдоо множество в гильбертовом пространстве при

КЩ

кдом Ш] , причем мьогозначное отображение I ии&ет конечную ретракцию на отрезке [0,í] (luí ,{i,l) =

- н^Ш, &)). § М* ДО íf(«.£i).

- расстояние кеаду точками 0. и ¿ /. Предлагаемая в работа схема, благодаря использованию лшшшцевости оператора лхйта с зазором ~¡¿ /см. Красносельский U.A., Покровский A.B. Системы с гистерезисом,- Ы.: Наука, 1933/ позволяет в рассмотренных в работе случаях получить более то'иыо оценки, чем d указанных Hüte работах.

Для шчксления решений разностной задачи о лкфте в работе приведеш алгоритм програш для случаев, когда z? является конической или шпуклой оболочкой множества (I (ßTjJ<!,fc конечное множество индексов/ в 2 и ß , причел ^ телесно /множество ~t предварительно в программе строится/, lía каждом isare • вычисления решения разностной задачи приходится находить проекции на множество . В работе /За.t^iÁi J,,

i. ( К кс*оЛ.дг|о>аД "ЗеиМяч ецрашяи ^л come. (ilMmpOiltLSvv . — HUL tuöiiti, ej. oj>w-d&ii>

■ )1Ь, р. 5S3-573) построен алгоритм получения аналога разложения Фурье проекции do к тора на коцус ,... ) а гильбьргоьом пространстве, установлены некоторые его свойства, доказана сходииость. В настоящей работе эти результата используются в применении к конечномерному случаю.

Четвертая глава настоящей работ посвящена исследования вопросов о корректности математических моделей, т.е. об оценке изменения поведения систем, шзываемого заменой идеальных характеристик реалышш.

В первой части четвертой главы получен o6íi?i¡1 принцип

- 1П-

бшерсти рппютий гэдд;гш Кош!

' J ' /15/

Т^-'К'-'Ш)

/ еубднфферощипл в тонко

почупотрерншой снизу ншуклой 'Т/утиацин

V (Г^) из Р" на 1+| , т.о., по определению, у ь д*С(х) , если для любого снрашдшшо норягенетно ^ >

область определения оператора д^ / и соотнетстпух^сЧ) возмущенной задачи

^ , /16/.

/ х^: [о,Т] ) ]);'•(? 13 ~ некоторое возмущение оператора № такое, что для любого (0,1] задача /16/ имеет е^инсдтлзнное абсолютно непробивное решение /•

Обозначил через 1~л оператор, сопоставлявший в(кт^р~ фушпуш рГо.ТЫ реиешю задачи

^оЦДО-Жа?),

гд« ^

Тесрема V. Предположи, что оператор и удовлетворяет услсшю Ллттаща /по нор.'е пространства (0,7, 1 с

константой <л . Ест существует оператор удорлетворяи'[ий услог-шш:

а/ ^ЗТ(НЫ) для любого ; . .

¿'ДО С>0 «-некоторая константа, то вектор-фуккцкн (О раиомерш сходятся при \-*0 к реиошш задачи /15/, причем справ-дан»' оценка | £ - За I1, - с/1С

Предлагаемая схема, благодаря использованию такого свойства, как Липшице вое ть оператора I, ', позволяет получить для рассматриваемых задач более почте оценки, чем в теории максимальных монотонных операторов /см. //. 0^ла1еии

З/О^^пйлл I; Pi.c-EEi.mii (1 ^ио&д^игл С^аьА £л ]1И1>!лЬ> й^.ло!^ . - .кихия! ¿г р-мг'. о^&^ит,

1ЭД5, Т.54, й, р.53-ЭД

/. В работе также показана оущвоавшюоть этого условия для рассматриваемого класса возмущений, т.е. оценку сходимости порядка 0(1) можно получить в том II только том случае, когда оператор Ь удовлетворяет.условия Лигаща.

Ео второй части этой главы приведет примеры некоторых бодауцений оператора , когда в уравнении /15/ много-

значный одоратор 'дЭД заменяется однозначный липшицеаш но с большой константой/ оператором; а именно, аппроксимация Иосида этого оператора, т.е.

проавдия вектора 1 на конус ~ /и оператор

Теорека 8. Вектор-функции равномерно сходятся при

крещению задачи /15/ /в случае /, причем

справедлива оцени.

¡К^иЛС / 0>0

- некоторая

константа/.

По язшшаешм фунхцичм расс\готре:м,;е лето возмущения юратора схо;.:и с функцией штрафа, в методе птркфгюс

,<-нкций. С помощью этого г.етода экстремальные задачи с ограни-знием сводятся к задача!,т безусловной опдаизации.

1 Следует залегать, что в первом случае для решения задели [6/ нуяно находить прое/ацш на конус - Ц* , а во второй -злыга скалярные произведения векторов.

Эти результат обобщаются такясе и на «¡шейные слстекн, здеркащие дкоднуя нелинейности.

Наряду с задачей /12/, /13/ (?= рэ.стбтрш

эзмуценнуи задачу Коии

МА^МА, "• /17/

Щ'1,

ад ЛДОЯ $ , Ух' ** ^ - неизвестные вектор-функции й) совпадает с однш из операторов, упомянутых ши, Теорема 9. Вектор-функции Уц (I) при }~*0 равномерно годятся к решению задачи /'12/, /13/, пшчсм справедлива оценка

.то

Р >0 - некоторая константа, - константа Ллгппща опера-

зра люфта с зазором ¡^ ' У " Н0Р:а ''атрицы /? •

Теорема 9 обобщает некоторое результат:! из работ Петровой ,П. /Возг^у!:;е1пю сисге.ч с диодными нелинейно с тя-ми. - Я" школа ) теории операторов в функциональных пространства:?. - Тезиси >кл. ч.П, с. 43, Рига ','П окт.-4 ноябр,' £963/, в которой под обит задача рассмагртвелась для случая >1-2 и / О восмуще-¡ях систем с дкодннии нелниоГлостями. - а сб. Динаыика

- i б -

nso^iopojiitrr. систе:д. &;тор;аяа семинара. - : ШЖ,' КЙ, с. 254-560/, и которой получыш сц»ик& скорости сходимости решений еадача порядйа 0(Х~)

Для сраваеш-: посодк-л ргцеиий петоданх и Ьоотвстстзукщйх вогмущвгаш: садач /с ои^тоторои возмусрнш íx^-^í? в К, и К разработаш прогрдому, написанные на язаке Фортран. Использование nporpaiD! иллхстрярузтсп Па кошфотгслх расчетах, щполненни;-; на ЭЕ! Электроника ЫС1212.

В заключешп: автор шраг.аэт искреннюю благодарность Б.Н. Садовсксыу оа руководство работой И вшыацЛб«

СПИСОК РАБОТ ГГ 1БЕ -ДПОТЕРЩЩ!

I. Садовсшй E.H., Севастьянова Е.В., К С1дапе о нногеизр-н'-м juuJiTO. - в сб. Динамика неоднородная систеи. Кйторкала семинара. - М.: РЛКСИ, 1984, с. 173-

'¿. Севастьянова Е.В. О воачуцениях систем с гистерезисгалш нелинейпостями Автоматика и телемеханика, 1986, Г<1» c«24-32.

3. Севастьянова Е.В. Об асимптотическом поведении систем с дподгомп нелинейностяып. Доп. в ВПНИ'лН 9 ижн. IS87,

4I67-B&7.

4. Сзвастьяноьа Е.В. Об пс;г:шот;п<:сксМ поведении систем с диодным;; келкнейтостянк. - в сС. трудов молоднх учен:;:: ШШ ВГУ, тезисы дог.-:., Доп. в B:3rK711, IS07.

5. Севастьянова Е.В, Дспштотическоз поведение cücicm с диодннми нелинейности!. Деп в БИВНИ 29 дек.-1969, И 7773-Ш9.

Заказ 134 от 8.U4.03 г. Тир. ÍU0 гкз. Формат 6CW/J I/ÍG* Объем I п.л» Офаем&ч лаборатория BI5'.