Некоторые задачи теории усреднения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НАЦЮНАЛЬНА АКАДЕМ1Я НАУК УКРА1НИ 1нститут математики

Фоайд Собх1 Ал1 Обайд

УДК 517.9

Деям задач! теорн усереднення сингулярно збурених диференщальних р1внянь

01.01.02 - диференцгальн! р!вняннп

Автореферат дисертацн на здобуття наукового сгупеня кандидата ф1зико-матемятични.ч наук

КиТв-1998

Дисертац1ею с рукопис.

Робота виконана у Bifw'm нелшшного анализу 1нсти гуту математики Нацюнально'| академй' наук У кражи. Науковий кер|'вник: кандидат ф|'з.-мат. наук

СУКРЕТНИЙ Василь 1ванович, учений секретер IM HAH Укражи.

Офщ1йн1 опоненти:

доктор фшко-математичних наук САМОЙЛЕНКО Валер1й Григорович,

Кишський нацганальний ужверситет ¡м. Тараса Шевченка, кафедра математичноУ ф1зики, завщуючий кафедрою;

Провщна уствнова:

кандидат ф'о.-мат. наук МАЛИШЕВ Дмитро Вггалмович,

1нститут математики HAH УкраУни, вадд1л математичних методш в статистичнм моханщ1, науковий cniopoGiTHHK

1нститут прикладной математики i механжи HAH Укра'/ни, м. Донецьк

■JL

.1998 р. о J_5__ годин!

Захист вщбудеться

на зааданн! спец1ал1зованоУ^чв^о1 ради D.26.206.02 при 1нститул математики HAH УкраТни за адресою:

252601 Ки'/в 4, МСП, вул, Терещеншська 3.

3 дисергац(сю можна ознайомитися у öiönioreqi (нституту математике HAH УкраГни.

Автореферат роз'юпано " y^fö^fft/^L' 1998 р.

Учений секретар ^

А.Ю.Лучка

спЕпОапгаованоУ эчено! ради дпчюр ф1з.-мат. наук

ЗАГЛЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальн1сть теми. В ф1змц(, Х1ми, бгалогм, техн'иу часто досл!д-жуються процеси в сильно неоднорщних середовищах, яю, як правило, описуються диференфальними р1вняннями з швидкоосцилюючими коеф5ц!емтами I приводять до иеобх1Дност! побудови усереднених моделей для цих середовищ. Досить часто ц1 р1внякня мютять ще I сингулярн! збурення (прикладом може служити пластинка з сильно неоднорщного матер1алу з малою жорстюстю).

В таких задачах необхщно побудувати модель середовища, локальн! властивост! якого р|'зко зм!нюються, I тому зручжше перейти вщ мжроско-шчного його опису до макросхогичного, тобто розглядати усереднем! характеристики такого середовища. Г«ор1я усередиення для звичайних диферен-ц1альиих р^внянь а зв'пзку з задачами мехамки була створена М.М.Боголю-бовим, Ю.О.Митропольським, А.М.Самойленком та Ух учнями. Систематичне вивчения ф'шчних задач, що приводять до усереднення ртнянь в частин-них похадних, почалося в 70-1 роки I поа'язане з роботами Е.Де Джорджу С.Спаньоло, А.Беисусана, Ж.Люнса, Г.Папан!колау, О.А. ОлШник, В.В.Жи-копа та ¡нших автора.

Для ф1зичних задач ¡нколи необидно отримати асимптотичне розви-нення розв'язку крайоаоУ задач! для р1вИяння з частинними похщними з швидкоосцилюючими коефЩ1ентами виду о ( х / е ) за ступенями малого параметра £. 3 ц!ею метою, як ! в теорн звичайних диференц'/альних рш-Ийнв, можо бути використаний Метод двомасштабнйх розклад|'в. Розвйток иього методу Для р1внянь в частинних похщних запропоновано й роботах М.С, Бахвалоаа. В роботах О.А. Ол1йник, Г.А.1ос1фьяна, О.С. Шамасва Г.П.Панасенко, В.1.Сукретного побудсван) асимптотичн! розеинення розв'язкш крайових задач для елтичних р!виянь з шеидкоосцилкзючими коеф!Ц1ентоМи, як другого гак! вмсокого порядку, а тэкож для систем» теорм лружност!, враховуеали повйдшку розв'йзю'в поблизу границ!.

Проте, не зважаючи на велику кшьюсть роб'и з дано? тематики, багато питань лишаються ввдкритими. Tax, становить ¡нтерес знаходження коеф'|Ц1ент'т граничних полшом!в в теоремах типу Фрагмена - Шндельофа для елттичних рюнянь високого порядку як з постмними так i з змЫними ковфщ!ентами. Актуальною лишаеться задача побудови асимптотичного розвинення для розв'язюв крайоаих задач для сингулярно збурених елттичних р!внянь з швидкоосцилюючими коефадентами високого порядку.

Перераховаш вище питания i стали предметом розгляду дисертацн. Зв'нзок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота проводилась згвдно з загальним планом дослщжень диференц1альних ртнянь в частинних похщних 1нституту математики НАН УкраУни.

Мета I задач! доелдокення. Мата цгеУ робоги - побудувати асимптотичт розвинення розв'язюв задач! flipixne в HanianpocTopi, що обмежений пперплощиною i,=0 , для сингулярно збурених елттичних р!внянь з швидкоосцилюючими коефщ!ентами високого порядку.

Наукова новизна одержаних результат!в. OchoshI результат», що визначають наукову новизну i виносяться на захист, тая : 1. Дослщжено поведЫку на нескшченност! перйдичних по ecix з^инних, kp'im oflHie'i, розв'язмв задач'1 Д!р'1хле в Hanianpocropi для елттичного р!вкянкя 3 перюдичними коефщ'юнтами високого порядку. Знайдено козфщ'юнти пол'жому по неперюдичнш амшнш, до якого на несимченност прямуе цей розв'язок.

2 Аналопчна задача роглянута для суми двох елттичних оператора. Показано, що порядок по/нному визначае оператор меншого порядку.

3. Розглянута третя крайова задача для ел'ттичного р1вняння другого порядку. Знайдено сталу,до яко! прямуе розв'язок задача

4. Побудовано асимптотичш розвинення розв'язмв задач1 flipixre в nanienpocTopi для сингулярно збуреного елютичного р!вняння з швидкоосцилюючими перюдичними коефауентами високого порядку.

Показано, що це асимптотичне розвинення мае р1зний вигляд в залеж-

ност1 Ыд ступеня сингулярного збурення. 5. Знайдено ощнки похибки цих асимптотичних розвинень.

Практичне значения одсржаних результата. Результати, одержан!' в робот!, можна використати для дослщження ф!зичних процес1в, як! виникають в сильно меоднор!дних середовищах.

Особистий внесок здобувача. По тем! дисертацп опубш'ковано 5 роб!т. Математичн! результата роб'!Т [ 2 - 4 ] одержан! дисертантом самостийно. В даних роботах оивавтору належить BMÖip напрямку дослщжень та обговорення теоретичних результате. Результати решти роб!т отриман! дисертантом семоспйно.

Апробац1я результат^ дисертаци. Основы результат дисертацП' допов!дались та обговорювались :

1) на заоданн! семшару !з заичайних диференц!альних р1внянь в1дд'ту звичайних диференц|'альннх р!енянь !нституту математики HAH У краж и;

2) на засщанн! сем!нару з нелнийиого анал!зу 1нституту математики HAH УкраТни;

3) на мЬкнароднй* конференцП' "Асимптотами! та яюсн! методи в reopii нелМйних коливань" (серпень 1997 р., м. КиУв);

4) на мЬкнароднЮ конференцД "Сучась проблеми математики" (20 - 28 червня 1998 р., м. Черн1вц1.).

Публ1кацГ|. По тем! дисертац» опубл!ковано S роб!т, з них 2 роботи самого автора, 4 роботи надруковано в пров^дмих наукопи* профшьних виданнях.

Структура I об'ем роботи. Дисертац!йна робота обсягом 13?. машинописи! сторЫки складасться ¡з вступу, рвох роздМв, висновку та списку цитованоУ л!тератури, що м!стигь 62 найменування.

ОСНОВНИЙ ЗМ1СТ РОБОТИ

У встугм обгрунтовуеться актульнгсть теми, формулюеться мета дослщження, даеться короткий анало сучасного стану проблем, ям вивчаготься в дисертацн , I наводиться анотацм одержаних результат .

В роздМ I розглядаються перюдичж по вс1х змЫних , кр!м одше'|, розв'язки задач'1 Др1хле в нашвпростор1 для елютичного ршняння з посп'йними та змЫними коефщюнтами високого порядку. Показано, що на несюнченност1 розв'язок Ц1С1' задач! прямуе до доя кого полЫому по неперюдичжй зм1ни1й. Знайден'| коефщ1енти цього полмому. Розглянута третя крайова задача для ел'штичного р'даняння другого порядку.

• В §§ 1.1 • 1.3 розд'ту I розглядаетьоя наступна крайова задача:

1ти(х)ш(-1)" (</.(*)£'"(*))* I Гр(х),хеъй, (1)

' I» I•1/> I •«• »

,у=Ь..„т-\ , (2)

и(х)-1 - пер1одична по х,

]E„{v)dx* \ У а0%(х)0* О " \{х)<1х < » ,

П . 0,1° 1-1*1-•

(3)

де 115=

хеЗ? ":0<х,<1,1=0,1.....и-1,х„ б(-«\®)|,П(г(,/г)вПП{/, <-<,<'1},

И "(С!) * прост!р функц1Й з нормою

11Н

V'

!

а Я*(С1('м<г))- гюповнення по норм! простору//"(П((,,»,)) множини 1-

перкздичних по х (*......х„.,) I несюнченно диферетуйовних на множим

[* сЗГ:/,<х„<<,]функцШ, //^,(5,,) просгп'р сл^в 1- пер!одичних по х

функфй, як1 мають обмежену норму в Ят(П(0,1)). Норма в Н^ ^(S0) визна-чаеться р!вн1стю

Вважасмо , ицо для функцШ /р(х) мае мюце оц1нка

jfp{x)2zxp(>cxn)dx< р, ц , ä">0 , (4)

для деяких додатних стапих ц та к.

Bei функцй", яю входять в прав! частини (1) - (2), е I - пергадичними по х, . Кр!м того, для оператора Lm виконуеться

умова ел!птичност1;

Л о!<|2 S Е </»<£ Kaiß S /I ,|f|2 , с 6Я ""

до Я 0 и Я | додатн! стал'|.

В § 1.1 розд!лу I розглядаються узагальнен! моменти m-ro порядку Q?{s,w), = доведен! TeopeMi затухания енерпУ Е(и) для розв'язку вл1пгичного р!вняння (1), як! використовуються при дослщженн1 асимптотики на неск1нченност! розв'язк1а задач1 (1)-(3) ⧧ 1.2,1.3,1.5.

Означения. Узэгаяьнешм моментом т - so порядку I - пер!одичного по .i розв'язку uYх) р'тняння (1) будемо називати величину Qm(s,w), яка визначаеться формулою

d*Jf , ( Ul \

Яюцо функцй /„).<»„(,.....„)(■*) достатньо глади, то можна

эаписати Qm(s,иО внаступному вигляд!:

t

X /-р^к"......

Покладемо

^ | -—,-(<».....„)Р(*)пЫх))с&,

И =«5, '

Теорема2. б облает! 0(0,я+ +1), ¿в розгпянэыо

I -пер'юдичний по х розв'язок и(х) р/'вняння (1) у випадку нульово! право! частини / ? (дг) = 0, |/>| </я , I нехвй + 1,ы) = 0, 1 = 1,...,т. Той/

Iснують стал/Л,Л|>0 незалвжн/в/3 « такI, що мають м!сце наступиIощнки:

В § 1.2 розд1лу I розглядаеться крайова задача (1)-(3) для елттичного ршняння високого порядку з сталими коефщгёнтами.

Теорема 3. В облает! а0 розглянемо задачу (1)~(3) при аар=соШ.Тод)

Л1-1

1снуе пол/ном Р£~\(хп) ~ С?х„г / додатнI сталI г, р>0 такI, що для

/•«О

будь-пкого ч>0 мае м/сцв нветупна оцта:

о

/ коеф/'ц/'енти цього пол/ному С? визначаються формулами

с,;~±[-лгмо(п......пИп,....п)" | -^(ет)/« <*)<,х+

дч у 1, /0=/. /|=/<я)./2=/(я1и).-»/л,=/1я,.^).

т-Г"

В §1.3 роздЫу I розглядаеться крайова задача (1)-(3) для елттичного ртмпннп ¡з змжними коефщ'юнтами високого порядку.

Иехай функцП' = належать класу зростаючих при х„ м

розв'язюв I визначаються як |~пер1одичн1 по х, узагальнен! розв'язки наступних задач:

—=0 , у= 0,1.....т-1 ^б^о , (5)

и1 ;(дг)-1 - перюдична по х,

¡Ет( IV )«/* = =о , еГ(5У)=Н)га+|<5 /,/,; = 1,...,и . По

Тод! для »^(я),У = !.•..,"». а облает) 0(5, ¿ + 1) справедлив! наступи! ощнки:

1К-.»м, 1 '""«"С-«*'» у

Мае М1сца наступив твердження. Тоорема 4. В облает! Оо розглянемо задачу (1)-(3) .Тод! 1снуе пол/ном

т

Рт-\(хп)~ 2 1 ' ' ' додатн! стал/ г, р>0 так/, що для будь-якого У«»

мае м/'сце наступив оц!нка :

II ™ 41« ~(П(» , 5 + 1)) / коеф!ц!енти цього пол/ному С"., визначаються формулами

с;.,« X нг"^1 .

|/)| 5 и П(0 , ю)

+ I £н)/+"+ы } т'-'гтК,,, / ^.....

И ¿о '

бо -розо'лзки задач! {5).

В § 1.4 розд!лу I розглядасться задача Д!р1хле для елштичного р1вняння високого порядку !з зм1нними коеф'1ц!ентами, пк! м)стять молодш! члени (випэдок суми деох елштичних оператор!в), Роэлянэмо наступну крайопу задачу:

Оги(х)-=гг(2) , |у| = 0,...,м-1.*€50 , (6)

и(х)-1 -перюдичнзпо *®(*|,...,*и_|),

I Ет (и)с!х + ¡£я. ( и )с!х < со _ По "о

де т'<т, оператор Ьт, так само як I оператор Ьт задовольняе умови апатичности функцм /р(х), |р| й т ,-1-пвр1одичн1 по х I задовольняють умови (4). , Визначимо наступну множину

%г («,.?>) = {реНт(П,):[Уд>(х) = у/г(х)на ,\г 13 т- 1,Ла.т.(<р,,) < со},

т » V / т " т

Тут ^у(х)-1-пергадичн1 функцн по х, у/г(*)ете' -1.

Лема 3. Нвхай множина Фуг(П„<р) непорожня . 7о<5/ задача (6) мае

единий узагапьнвний розв'язок и(х )еНт(С1,).

Теорема 5. Нвхай и(*)-1 - пер!одичн! по х узвгальнен! розв'язки задач!(6), «(*)€Лг"'(П(0,«+ I)) таю, що для будь-якого е>0 }£„(«)</* + |£я. (и )Нх < К «~А ',

дв ,1, К > 0, Тод1 юнуе пол/ном стелет 1

г» О

тении, що при двяких додвтних справедлива оцта II т Чнт(о.{1,1+1» и

дпп будь-якого í>0.

Розлянемо наступну крайову задачу:

(/.„♦¿я.)гл(*)«= .хеПо,

(фт

DrU(x) = v/},(x) + hr , \y | = 0,...,m'-l,x eS0 ,

DrU(x)=vr(.x) , \y\=m'.....m - l,x e S0 , (7)

U(x)-1 - периодична по x=(r, ),

¡E„{u)dx+ ¡E„.(u)dx<*> . По n0

Припустимо, що для правих чаотин виконуються умови (4). Мае мгсце наступив тверджекня .

Теорема 6 (про ¡снування погранпрошарку). Нвхай множима ФгДО0,р) не порожня. Todi¡снують сталi hr , \у | = 0,1;...,nf -1, так/, що для розв'язку Щх) задач! (7) виконусться нер'тн'ють

дэ Л/0, А/, = const / но залежать eid s.

В § 1.5 розд!пу I розгпядаеться тратя крайова задача для елттичного р'щняння другого порядку.

В розд1л! 2 дисертацй розглядагаться крайоо! задач! для сингулярно збурених ел1птичних дифврекфальных р|'внянь з швидкооосцилюючимй коефщ|'ентами.

Розлянвмо наступну крайову задачу:

(«'I^+t-l)'"-"'^)»/»)« хбП„, (8)

И5«

, |ri = O,...,m-l,xeS0 , (9)

ие(х)- S - перюдична no 5=(х,.....),

£ ¿i(u,u,Q0)+E ¿*(и,и,П0)< со, (10)

да s-малийпараметр,m,m' - Mini, Ocps 2{m-nf),p>2(m~/rf) >0, L/>* ZWai^D').

l У at l3(X//)Da u(x)Dfi v(x)dx, n k I» IP I • >■

a 1 (£) -1 -пер'юдичж no £ =(£,,...,£„) фумкцн, обмежен!та вимфн! в Я",

а Лра№> £ " х/е • Припускаемо, що /р(х)е12(П0) I еа функцП

у(*)], як1 входять а (7) I (в), е !-перюдичними функфши по

х, |<>и} еН^у^). Кр1м того, для операторов 1.ц' виконана умова

елттичносл:

И »И»*

Тут Л ,,/-0,1, додатн! стал1, (* » £|ь0.

Н-4

Теорема 9. 1снус единый узазапьнвний розв'язок к^х) задачI (7) - (9) I для цього розе 'язку при 0<р<,2(т-т') виконуються оц1нки

г ч

Ь<*> .{И<4> I КЧ,,««,.,,» .....

V т~/г М^"1

да стела с, не эалежить ей е .

Як звичайно ( • ) позначае середне по перюду

е

В § 2.1 розд!лу 2 будуеться асимптотичне розвинення розв'язку аадач1 (8) - (10) при 0 <р < 2 (т-т') у вигляд1

. >',(*)« |> 'ад,

г=0 г =0 ДО* г

Д0

л^)=)+*}'(£),И

Тут А/ ) - роэв'язки рекурентно! послщовност) задач

1 ) = ' 4 " ■

а Л^'^ ) е!дпов!дають пофаничним прошаркам I е розв'язками рекурентноУ посл1довност1 задач

7 (П^О.юХО^г.^ОД,...

¿>'<7 (¿0) =» -О' -'(¿,0)-5;;(¿,0)4 л'г на $0,

'["'/1~х М-'я-« М"'р-г М-"'/!-«

^<''7 (£)-1-пер1одична по г ,

Г" Л -г

стал! Л1 = 0,..,,т-1, вибраж так, щоб виконувались нер!вмост1 '}•'] (¿1 йсг, 1е~Х', ,»! .

достал! с г, . , не залежать в'щ , а функцн Т'. -ГТ2 ,С?,Г; г~г г~г

'\~'ц-г '1- р-г М" /¿-г

визначаються за допомогою функщй з меншою доажиною мульти-

¡ндекса.

Функци У,(л) е роэв'язками рекурентноУ послщовност! задач:

КУЛ*)* I (*))=/,(*).*

I/ «I,г(х),у = О,...,/* -1,г б5Ь, -перюдична по х ,

р Ьп-(лк

да I , их)

а^-нУ—( в | = | /? |= «•.

Тут вважаеться, що

) = >г )-0,//<0,г<0

Доведено твердження.

Теорема 10. Усереднений оператор Ьм задовольняе умов и

елттичност! ¿-¿Сз Ср^Л о > С еЯ " .'симетр/7 = .

I®

Нехай

Доведено наступив твердження.

Теорема 11. Функцт и}к\х) с розв'яэком задач!

[е" 1т.е)иеЩх) = Г(х)+г.к*хА(х,в),х еО0.

Ог ивЩх)(х )« е 1+*Л\г,(х,е) , \у | = 0,...,«-1;х еЯ0 , ие(х)~ 1 - перюдична по х,

дв

О 0 °

А'(,/С2 - стал! I но запожать в!д е .

Для ыас м!сцв оц/нка

Я ««"(По)

дв стала АГ, не залежить в/д £, и^\х)-узагальнвний роза 'язок задачI (8)- (10).

В § 2.2 розд1лу 2 будуеться асимптотичне розвинення розв'язку задач! (8) - (10) при />»2(т-т')у вигляд1

«ГПт-т,) >*>Ч(*) ■ *,<*>» ¿'ад .

14-у 1-0 .

де

е роав'язками рекурентноТ посл!довност1 задач:

-лер1одична по £ ,

Л' ¡(£) в!дпов1дають пограничним прошаркам I е роза'язками рекурентмо? посл(довност! задач:

(¿¿+(-1/'—' «о.

*/'!<:,Я = 5 {'(¿ОН А/'' ,Г » 0....." 1, е,

»И

.....»Й-1, «5в,

/

перюдична по £,

да стал1 h\ r -- 0,...,m'-1, вибран1 так, щоб виконувалось HepiBHicTb

S-^/Vil s с \e~ x>'', j = o,l,..., да стал'| c),r\ не залежать в'щ s,s .a

II IH"(n(j,»+l))

роэв'язки рекурентноТ посл1довност1 задач для усередменого оператора £ 2 да

Q ¡Г

) - узагэльнен1 розв'язки задач

И'т'

N-p(£)-\-перюдична no § .(л^)) = 0.

■ JL. '•V

|/| = j,t = 0,1, визначаготься за доломогою функц)й Nxa{£) з довжимою мультшндексу j а | S }.

Доведения !снуваинятаких ivj (f), h]'r ,y=G,.„rrf-I, випливае з теореми 5, Нохай

(х)в £ )D'Vj,(x) , - 2« = .

i*o № г-о

Теорема 12. Для u/"2<m_m')'(w> (i)-(г) справедлива

оц/нка

').<•> (х)-и/"г{т-т,)^) (*|//й(П ^АГ* *+I,

да стала к но залежить eide, - узагапьнвний роза 'язок задач! (8)-(10).

В § 2.3 розд'шу 2 у виладху р>2(т-т') в обмежен!й облает! ЙсЭТ "розглядзеться задача

(s'L$ — (*)- Si-D^-D'/pi*). хеП, (11)

0гис(х)«0 , |r|=0.....(12)

Доведено, використовуючи результатм Санчес - ПаленсП', що

ие (х!е )~>К0(.х) слабо в ЯИ(П) (ввдповадно ив (х/е сильно в

Яя._,(0)) при е ->0, де У0(х) - розв'язок задач'1

4Л « £ О * = /(г), * € О.

¡у 1=0.....т'~ 1. хеда,

и0(х)-1-перквдмчнало х ,

де =(-1>я'I - розв'язок

\ I' Н' /

наступно! задач!:

-пер!одичнапо £

ОСНОВН1 РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

1. Дослщжено поведЫку на неЫнченност! перкэдичних по вс!х зммних, кр!м сдшеТ, розв*язк(в задач! Д(р(хла в наш'впростор! для елттичного р!вняьня з пергадичними кое ф! центам и високого порядку. Знайдено коеф1ц'1енти пол!ному по неперюдичмй змжн!й, до якого на несюнченност! прямуе цей розв'язок.

2. Аналопчна задача роглянута для суми двох елттичних оператора. Показано, що порядок полному визначае оператор меншого порядку.

3. Розглянута третя крайова задача для елттичного р!вняння другого порядку. Знайдено сталу, до я ко)' прямуе розв'язок задач].

4. Побудовано асимптотичш розвинення розв'язмв задач! Д1р1хле в нзгивпростор! для сингулярно збуреного елттичного ртняння 3 швидхоосцилюючими перюдичними коефЩюитами високого порядку. Показано, що це асимптотичне розвинення мае р!зний вигпяд в залежност! в!д ступеня сингулярного збурення.

5. Значено оцЫки похибки цих асимлтотичних розвинень.

OcHoniii положения диссртацп опубликован! в наступних роботах :

1. Фоиад Собхи Обаид . О предельном полиноме для решения эллиптического уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами II Укр.мат.журн. - 1998. - 50, № 3 , с. 437-445.

2. Фоиад Собхи Обаид, Сукрвтный В. И. О предельном полиноме для решения эллиптического уравнения высокого порядка с постоянными коэффициентами И Крайов! задач! для диференц1альних р1внянь : 36. наук, пр. - КиТв: 1н-т математики HAH УкраТни , 1998,- Вип.1 (17).- С. 192-207.

3. Сукретный В. И. Фоиад Собхи Обаид. О поведении на бесконечности решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка II СиметрШн1 та анал1тичн1 методи о математичнЮ фЬиц1: 36. наук. пр. / HAH УкраТни. 1н-т математики;Редкол.:А.Г.НМт1н та ¡н. - КиТв , 1998 .- С. 232-242.

4. Сукретный В. И. Фоиад Собхи Обаид. Асимптотическое разложение решений сингулярно возмущенных эллиптических дифференцальных уравнений // Нелинейные краевые задачи математической физики и их приложения. Сб. наук. тр. / HAH Украины. Ин-т математики; Редкол.:

А. М.Самойленко (отв. ред.), А. А. Березоэский (отв. ред.), и др. - Киев , 1998. С 210-214.

5. Фоиад Собхи Обаид. О предельном полинома для решения эллиптического уравнения четвертого порядка с постоянными коэффициентами II Асимптотичш та яюсн1 методи в твори нелмйних коливань : МЬкнэр конф.: Трет1 Боголюбова^ читання, КиТв, 18-23 серпня 1997 р. - КиТв, 1н-т математики HAH УкраТни, 1997 р. - С. 126-127.

ОБАЙД Фоайд Собх). Деяк! задач! теори усереднення сингулярно збурених диферени^альних рщнянь - Рукопис.

Дисертац'1я на здобуття наукового ступеня кандидата фЬико-математичних наук за спец1альн!стю 01.01.02 - диференц'1альн! ртняння. -Ыститут математики НАН /кражи, КиТ'в, 1998.

В дисертаци лобудовано асимптотичне розеинення розв'язкш крайових задач для сингулярно збурених елттичних р!внянь з швидкоосцилюючими кое-ф!фентами високого порядку. Знайдет кооф|'ц1енти граничних пол'мом'т в теоремах типу Фрагмена-Л/ндельофа для елттичних р'1внянь високого порядку.

Ключов! слова: малий параметр, швидкоосцилююч! коеф!циенти , сингулярне збурення, асимптотичне розвинення, узагальнеж моменти, затухания енерги.

ОБАИД Фоиад Собхи. Некоторые задачи теории усреднения сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений . - Рукопись.

Диссертация на соскание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения . - Институт математики НАН Украины, Киев, 1998.

В дисертацин построено асимптотическое разложение решений краевых задач для сингулярно возмущенных эллиптических уравнений о быстроосциллирующими коэффициентами высокого порядка. Найдены коэффициенты предельных полиномов в теоремах типа Фрагмена-Линделефа для эллиптических уравнений высокого порядка.

Ключевые слова: малый параметр, быстроосциллирующие коэффициенты, сингулярное возмущение, асимптотическое разложение, обобщенные моменты, затухание энергии.

OBAID Fouad Sobhl. Problems in theory of averaging tor differentia! equations with singular perturbation.

Doctor of thesis, speciality 01.01.02 - mathematical physics. - Institute of Mathematics, National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 1998.

In this thesis it Is built asymptotic expansion of solutions of boundary valus problems for high order partial differential elliptical equations with singular perturbation and fast-oscillating coefficients. In additional, it Is found coefficients of the polynomials in theorems type Frahmen - Lendilifa for high order elliptical equations.

Key words : small parameter, fast oscillating coefficients, singular perturbation, asimptotic expansion , generalized moments , damping energy,.