Некоторые задачи теории вероятностей и математической статистики, связанные с распределением Стьюдента

У Да

Некоторые задачи теории вероятностей и математической статистики, связанные с распределением Стьюдента тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

У Да АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Некоторые задачи теории вероятностей и математической статистики, связанные с распределением Стьюдента»

Автореферат диссертации на тему "Некоторые задачи теории вероятностей и математической статистики, связанные с распределением Стьюдента"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М. В.ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

Направахрукописи УДК. 519.2

У Да

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ, СВЯЗАННЫЕ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ СТЬЮДЕНТА

01.01.05—теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва

2004

ОБЯЗАТЕЛЬНА

бесплатный

__ЭКЗЕМПЛЯР

Работа выполнена на кафедре математической статистики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

Доктор физико-математических наук, профессор В. Е. Бенинг ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

Доктор физико-математических наук, профессор С. Я. Шоргин; кандидат физико-математических наук, с.н.с. А. В. Колчин

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ: Тверской государственный университет

Защита состоится« « 200 года

В « « часов на заседании Диссертационного Совета Д 501.001.44 при МГУ им. М. В. Ломоносова (119899, ГСП-3, Москва В-234, Воробьевы горы, МГУ, факультет ВмиК, ауд. 685).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ

Автореферат разослан« « 200 года

Ученый секретарь Диссертационного Совета,

Профессор Н. П. ТРИФОНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы.

Как хорошо известно, распределение Стьюдента, возникающее в задачах проверки гипотез о среднем значении нормального рапределения в случае неизвестной дисперсии, зависит от целочисленного параметра у, называемого числом степеней свободы, и имеет плотность

где Г(-) - эйлерова гамма-функция. Здесь параметр 7 тесно связан с объемом выборки и принимает натуральные значения. Однако можно сказать, что в таких задачах роль распределения Стьюдента в значительной мере вспомогательна, оно является в определенном смысле абстрактной идеальной теоретической моделью. (Отметим также здесь, что формально распределение Стьюдента определено при любом положительном значении параметра формы 7 И при 7=1 мы имеем "тяжёлохвостное" распределение Коши.)

Вместе с тем, в описательной статистике распределение Стьюдента практически не используется в качестве аналитической модели, "подгоняемой" к экспериментальным данным. Лишь относительно недавно появились работы, в которых распределение Стьюдента применяется (впрочем, без надлежащего теоретического обоснования) для описания динамики некоторых финансовых индексов, в частности приращений логарифмов биржевых цен. В первую очередь здесь следует упомянуть работы П. Прэтца (Praetz 1972) и Р. Блаттберга, Н. Гоундса (Blattberg, Gonedes 1974).

По-видимому, недостаточное доверие прикладных статистиков к распределению Стьюдента как к модели, описывающей статистическое поведение реальных данных, связано с тем, что, в отличие от, скажем, нормального или пуассоновского распределений, фигурирующих в качестве предельных соответственно в центральной предельной теореме и теореме Пуассона о редких событиях, распределение Стьюдента не считается асимптотической аппроксимацией.

В прикладной математике вообще и в статистике в частности, принято считать, что адекватной может быть лишь та аналитическая модель, в основе которой лежит какая-либо предельная теорема с довольно простыми и общими условиями, в то время как та асимптотическая схема, которая используется для обоснования возможности применения распределения Стьюдента в качестве предельной аппроксимации (в тех редких случаях, когда распределение Стьюдента используется в таком качестве) и связана с его безграничной делимостью (кстати, установленной сравнительно недавно), довольно сложна. А именно, известно, что любое безгранично делимое распределение может быть слабым пределом для распределений сумм независимых равномерно предельно малых случайных величин. Поэтому в принципе, если при статистическом анализе реальных данных можно предположить, что каждое наблюдение является результатом суммарного воздействия большого числа случайных факторов, которые вносят примерно одинаковый (в определенном смысле) вклад в наблюдаемое значение, то при выполнении условий, гарантирующих сходимость распределений сумм независимых равномерно предельно малых случайных величин к распределению Стьюдента, последнее вполне может быть использовано в качестве модели, описывающей статистическое поведение

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

экспериментальных данных. Однако упомянутые условия формулируются в терминах элементов так называемого канонического представления безгранично делимой характеристической функции и имеют сложный вид, что серьезно затрудняет их практическую проверку. В результате в рамках такого подхода до сих пор не удалось найти достаточного обоснования возможности более или менее широкого применения распределения Стьюдента в задачах описательной статистики.

Отметим ещё раз, что аналитическая форма плотности распределения Стьюдента (0.1) формально определена для любых положительных значений параметра 7. Здесь следует отметить недавние результаты Бенинга и Королёва. Работа (Бенинг, Королёв 2004) посвящена математическому обоснованию возможности использования распределения Стьюдента, зависящего от параметра формы (число степеней свободы) в качестве статистической модели, описывающей распределение наблюдаемых случайных величин.

Для обоснования такой возможности показано, что распределение Стьюдента с произвольным может быть получено в качестве предельного в случае выборки случайного объёма. При этом особо выделен случай, когда параметр формы распределения Стьюдента 7 > 0 мал. Этот случай представляет интерес как модель распределения с "тяжёлыми хвостами". В этом случае подчеркивается возможность использования семейства распределений Стьюдента в качестве удобной модели распределений с "тяжелыми хвостами", так как для него (в отличие от устойчивых законов) многие формулы, в частности функция правдоподобия, приобретают явный вид.

Диссертация посвящена дальнейшему развитию идей работы (Бенинг, Королёв 2004).

Доказана общая теорема, позволяющая автоматически получать оценки скорости сходимости распределений статистик, построенных по выборкам случайного объёма, к распределению Стьюдента из оценок скорости сходимости к нормальному закону этих же статистик, но уже построенным по обычным не случайным выборкам.

В качестве иллюстрации возможностей статистического анализа, основанного на стьюдентовом семействе, рассматривается задача статистического оценивания центра распределения Стьюдента в предположении, что параметр формы (число степеней свободы) 7 > 0 известен. В диссертации рассматриваются эквивариантные оценки центра распределения Стьюдента, основанные на порядковых статистиках, оценки Ходжеса -Лемана, М-оценки и оценки максимального правдоподобия. Находится их асимптотическая относительная эффективность и изучается её поведение при стремлении числа степеней свободы к нулю.

Рассматривается также задача из теории риска, а именно, задача оценивания необходимого резервного капитала страховой компании в случае большого числа неодинаковых клиентов. Для этой оценки также используется распределение Стьюдента.

Цель работы. Она состояла в том, чтобы обосновать возможность систематического использования распределения Стьюдента в задачах теории вероятностей и математической статистики, как распределения с "тяжёлыми хвостами", возникающего в качестве предельного в случае выборок случайного объёма.

Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с помощью методики, сочетающей элементы метода характеристических функций, теории предельных теорем и прямых методов анализа.

Основные результаты.

1. Получены оценки скорости сходимости отрицательного биномиального закона к гамма - распределению.

2. Найдены оценки скорости сходимости распределения асимптотически нормальных статистик к распределению Стьюдента в случае выборок случайного объёма.

3. Построена асимптотическая аппроксимация для асимптотической эффективности широкого класса эквивариантных оценок, применяемых для оценки центра распределения Стьюдента.

4. В качестве примера из теории риска рассмотрена простейшая модель страхования, в которой также естественно возникает распределение Стьюдента. Получена асимптотическая аппроксимация для необходимого резервного капитала страховой компании.

Научная новизна работы. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Теоретическое и прикладное значение. Работа имеет теоретический характер. Показано, что в случае выборок случайного объёма естественным образом вместо привычного нормального закона возникает распределение Стьюдента, которое приводит к утяжелению "хвостов" предельного закона, которое необходимо учитывать в практических расчётах.

Результаты могут найти применение в прикладных исследованиях, связанных, например, с теорией риска, поскольку их использование приводит к сокращению вычислений и повышению точности.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной Конференции посвященной 100 - летию со дня рождения академика А.Н.Колмогорова (Москва, 2003), на 24 Международной Конференции по Проблемам Устойчивости Стохастических Моделей (Юрмала, 2004), на научно - исследовательском семинаре Университета г. Нинбо (Китай, сентябрь 2004), на семинаре по теории вероятностей и математической статистике факультета ВМиК Московского Государственного Университета под руководством академика Ю.В.Прохорова (октябрь 2004).

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 4 работы (см. [1] - [4]), которые цитируются в диссертации.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литераруры, состоящего из 57 названий. Объем работы — 107 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В работе приняты следующие обозначения:

В. - действительная прямая, символ будет обозначать слабую сходимость, и <р(х) - функция распределения и плотность стандартного нормального закона, Л' ((I, а - нормальное распределение в И с указанными параметрами, Ру(х) и ^{х) - соответственно плотность и функция распределения распределения Стьюдента с параметром 7 > 0, Г(г) - эйлерова гамма-функция, Мр>г, т > 0, р € (0, 1) - отрицательно биномиальная случайная величина с параметрами - функция распределения гамма распределения с параметром формы параметром масштаба.

В первой главе приведены и прокомментированы следующие основные результаты из работы (Бенинг, Королёв 2004).

Рассмотрим случайные величины N\N2,...,Xi,X2,---, определенные на одном и том же измеримом пространстве (П, Л). Пусть на JI задано семейство вероятностных мер {Pj, В 6 6}. Предположим, что при каждом П > 1 случайные величины Nn принимают только натуральные значения и независят от последовательности Х\,Х2,... относительно каждой из семейства мер . Пусть - неко-

торая статистика, то есть измеримая функция от случайных величин Xi,...,Хп- Для каждого n > 1 определим случайную величину Тщ^, положив

для каждого элементарного исхода Ы 6 П. Будем говорить, что статистика Т„ асимптотически нормальна, если существуют функции сг(Й) > 0 И р(в) 6 К. такие, что при каждом

Примеры асимптотически нормальных статистик хорошо известны. Свойством асимптотической нормальности обладают, например, выборочное среднее (при условии существования дисперсий), центральные порядковые статистики, оценки максимального правдоподобия (при достаточно общих условиях регулярности) и многие другие статистики.

ЛЕММА 0.1. (Бенинг, Королёв 2004) Пусть {d„}n>i - некоторая неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел. Предположим, что Nn СЮ по вероятности при п 00 относительно каждой вероятности из семейства {Р}, В € 0}. Пусть статистика Тп асимптотически нормальна в смысле (0.2). Для того чтобы при каждом В 6 0 существовала такая функция распределения F{xt В),

что

р0(o{6)^(TNn - р(0)) <х) F{x, В) (п -> оо),

необходимо и достаточно, чтобы существовало семейство функций распредления % =■ В) В G 0}, удовлетворяющее условиям

Рo(Nn < <кх) Н(х, В), П 00, 0 6 0.

При этом, если функция распределения случайной величины Nn не зависят от в, то не зависят от в и функция распределения Н(х, В), то есть семейство % состоит из единственного элемента.

Пусть - случайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение вида

т,г = *) = r'Va-P)*-1, к=i,2,... (о.з)

Здесь Г > 0 ир 6 (0,1) - параметры, и при к = 1 первый множитель в правой части формулы (0.3) полагается равным единице. В частности, при т = 1 соотношение (0.3) задает геометрическое распределение. Известно, что

так что ЕЛ^, —> оо при р —> 0.

Отрицательное биномиальное распределение с натуральным г допускает наглядную интерпретацию в терминах испытаний Бернулли. А именно, случайная величина с распределением (0.3) - это число испытаний Бернулли, проведенных до осуществления г-й по счету неудачи, если вероятность успеха в одном испытании равна 1 — р.

ЛЕММА 0.2.(Бенинг, Королёв 2004) Для любого фиксированного г > 0

ton sup < - G„(x)\ = о,

¡>->°*€RI VEJV ) r,rw[

где Gr>r(l) - функция распределения гамма-распределения с параметром формы, совпадающим с параметром масштаба и равным г.

В подавляющем большинстве ситуаций, связанных с анализом экспериментальных данных, можно признать, что число случайных факторов, влияющих на наблюдаемые величины, само является случайным и изменяется от наблюдения к наблюдению. Поэтому вместо различных версий центральной предельной теоремы, обосновывающих нормальность распределения наблюдаемых случайных величин в классической статистике, в таких ситуациях следует опираться на их аналоги для выборок случайного объема (см. лемму 0.1).

ТЕОРЕМА 0.1.(Бенинг, Королёв 2004) Пусть f > 0 произвольно и {dn}n>i - некоторая неограниченно возрастающая последовательность положительных чисел. Предположим, что Nn —> 00 по вероятности при п —+ ОО относительно каждой вероятности из семейства {Ps, в S в}. Пусть статистика Т„ асимптотически нормальна в смысле (0.2). Для того чтобы при каждом в С ©

где F.,[x) - функция распределения Стьюдента с параметром 7, необходимо и достаточно, чтобы

Р,(Nn < <kx) 67/2,7/2(2). п -юо, в е в.

СЛЕДСТВИЕ 0.1. Пусть m > 0 произвольно. Предположим, что при каждом п > 1 случайная величина Nn имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами р — J « г. Пусть статистика Тп асимптотически нормальна в смысле (0.2). Тогда при каждом в € 0

равномерно по х G И, где F2r(x) - функция распределения Стьюдента с параметром

Для иллюстрации возможности возникновения предельных законов с "тяжёлыми хвостами" сделаем два замечания.

3АМЕЧАНИЕ0.1.РаспределениеКоши (7 = 1) возникает в ситуации, описанной в следствии 0.1, когда объем выборки имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами р=^,'" = |ип велико.

ЗАМЕЧАНИЕ 0.2. В ситуации, когда объем выборки ЛГ„ имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами р = г = 1 (то есть геометрическое распределение с параметром р = в пределе при П —^ 00 мы получаем распределение Стьюдента с параметром 7 = 2, которому соответствует функция распределения

Такое распределение впервые описано как предельное для выборочной медианы, построенной по выборке случайного объёма, имеющего геометрическое распределение, по-видимому, в работе (Гнеденко 1989) (следует отметить, что в этой работе не указано, что функция распределения, стоящая в правой части (0.4), соответствует распределению Стьюдента).

Таким образом, основной вывод из приведенных выше результатов можно сформулировать следующим образом. Если число случайных факторов, определяющих наблюдаемое значение случайной величины, само является случайноц величиной, распределение которой может быть приближено гамма-распределением с одинаковыми параметрами (например, является отрицательным биномиальным с вероятностью успеха, близкой к единице, см. лемму 0.2), то те функции от значений случайных факторов, которые в классической ситуации считаются асимптотически нормальными, в действительности являются асимптотически стьюдентовскими. Следовательно, в силу довольно широкой применимости гамма-моделей с одинаковыми параметрами и отрицательных биномиальных моделей распределение Стьюдента может рассматриваться в задачах прикладной (описательной) статистики как вполне разумная модель.

Выше мы уже упоминали, что отрицательное биномиальное распределение (как мы убедились, тесно связанное с распределением Стьюдента следствием 0.1), при натуральном г может быть интерпретировано в терминах испытаний Бернулли, проведенных до г-й неудачи. В то же время, особенно в задачах, связанных с анализом больших рисков, большой интерес представляет изучение распределения Стьюдента с малым параметром формы, то есть с очень "тяжелыми хвостами". Более того, можно показать, что при 7 = 2т —> 0 максимум плотности р7(х) распределения Стьюдента (см. (0.1)) стремится к нулю как О(у^т) . Одновременно "хвосты" распределения Стьюдента становятся все более и более "тяжелыми". Поэтому распределение Стьюдента с малым параметром может рассматриваться как некий аналог равномерного распределения на бесконечном интервале.

Чтобы следствие 0.1 можно было использовать и в такой ситуации, следует разобраться, что из себя представляет отрицательное биномиальное распределение, то есть как оно может быть проинтерпретировано при В главе 1 приводятся также

два примера, иллюстрирующие возможность такой интерпретации.

В главе 2 доказана общая теорема, позволяющая автоматически получать оценки скорости сходимости к распределению Стьюдента распределений статистик, построенных по выборкам случайного объёма, из оценок скорости сходимости к нормальному

закону аналогичных статистик, использующих большой, но не случайный объём выборок. При этом предполагается, что объём выборок имеет отрицательное биномиальное распределение с малыми параметрами. Затем эта теорема применяется к линейным комбинациям порядковых статистик и ^ - статистикам, широко применяемым в теории риска и математической статистике.

Пусть - случайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение с параметрами (р, г), р € (0, 1), 0 < Г < 1, определённое формулой (0.3). Нас будет интересовать предельное поведение распределения нормированной случайной

величины Ы„г

' лг

(0.5)

Л» _ Мр.г

р-г ~ ЕЖ

р,г

при р —¥ 0. В главе 2 доказана следующая ТЕОРЕМА 0.2

Пусть 0 < Г <1, тогда существует постоянная Сг > 0 такая, что

При г — 1 правую часть неравенства (0.6) можно заменить нар/[1 —р). Затем эта теорема применяется следующим образом. Пусть статистика

построена по повторной выборке независимых одинаково распределённых

случайных величин, является асимптотически нормально распределённой и для её распределения справедлива оценка скорости сходимости вида: существуют числа <а > 0 и такие, что

Пусть - случайная величина, имеющая отрицательное биноми-

альное распределение (см. (0.3)) вида

(*-1)!

(0.8)

которая не зависит от исходных случайных величин Х\, Х2,... И П —> СЮ. Пусть - функция распределения распределения Стьюдента с параметром формы 7 = 2 Г.

Рассмотрим теперь статистику Тцп, построенную по выборке случайного объёма то есть

Доказана следующая теорема. ТЕОРЕМА 0.3

Пусть распределение статистики Тп = Тп(Х\

1 Хп) удовлетворяет соотноше-8ир|р(^(Гп -й<х)- Ф(*)| = 0(п"1/2), п = 1,2,...,

нию

тогда распределение статистики = Тцщ{Х\,... ,Хцп), где случайная величина Ип имеет отрицательное биномиальное распределение вида (0.8) и п —> 00, удовлетворяет равенству (г 6 (0, 1]^

sup |р (у m + 1 - г <т (Г„„ - Ii) < х) - = о(тгт),

(0.9)

Далее приведены два примера использования теоремы 0.3. Первый пример касается U - статистик, а второй - линейных комбинаций порядковых статистик, широко применяемых в статистике (см., например, (Королюк, Боровских 1989), (Serffing 1980), (Helmers 1984), (Bening 2000)). Совершенно аналогично, с учётом, например, результатов работы (Does 1982), могут быть рассмотрены ранговые статистики, или статистика Стьюдента (см. (Bentkus, Gotze 1996)) и вообще достаточно широкий класс симметричных статистик (см. работы (Van Zwet 1984) и (Alberink 2000), теорема 3.1). Эти результаты могут быть также использованы для уточнения теорем, касающихся оценок опасности отказа из работы (Wu Da 2003).

Пусть - повторная выборка независимых одинаково распределённых

случайных величин, имеющих общую функцию распределения F(x). Определим U -статистику Т^1' по формуле

т« = -7-Цт £ h(Xi,X>), п>2, (0.10)

где h(x, у) - симметричная измеримая функция двух переменных.

Определим теперь линейные комбинации порядковых статистик. Пусть (Xi:n < ... < ■Х».и) - вариационный ряд, построенный по исходной выборке (Aj, • • • ,Хп). Тогда линейная комбинация порядковых статистик определяется по формуле

(0.11)

гле Cjn - некоторые числа.

Пусть теперь Nn = Nij„iT, Г 6 (0,1] - случайная величина, имеющая отрицательное биномиальное распределение вида (0.8), которая не зависит от исходных случайных величин Xi,Xi... ЯП 00. Рассмотрим теперь статистики (см. определения (0.10) и (0.11)) Т^, i = 1,2, построенные по выборке случайного объёма Nn, то есть пусть

Следующая теорема является непосредственным следствием теоремы 0.3.

ТЕОРЕМА 0.4

Пусть для статистик Т^, î = 1,2 выполнены условия регулярности, сформулированные в работах (Helmers, Van Zwet 1982) и (Helmers 1981, 1984). Тогда распределения статистик Т^ = i = 1,2, где случайная величина.Ып имеет отрицательное биномиальное распределение вида (0.8) и П —> 00, удовлетворяет равенству (т G (0, 1]^

где величины i = 1,2; ßi — 0, fä = р определены в этих работах, а F^ix) ~ функция распределения Стьюдента с параметром формы 7 = 2г.

В главе 3 рассматривается задача статистического оценивания центра распределения Стьюдента в предположении, что параметр формы этого распределения является известным и малым. Изучается асимптотика по этому параметру асимптотической относительной эффективности наиболее распространённых оценок центра этого распределения.

В качестве иллюстрации тех возможных преимуществ, которые предоставляет семейство распределений Стьюдента, если его использовать в качестве модели распределения с "тяжёлыми хвостами", мы вычислим некоторые асимптотические характеристики статистических процедур оценивания параметров распределения Стьюдента.

Наиболее очевидной и естественной задачей статистического оценивания, связанной с распределением Стьюдента, является задача оценивания параметра формы 7 - числа степеней свободы. Для ее решения могут быть использованы различные процедуры, например, метод максимального правдоподобия, метод логарифмических моментов. Особо следует отметить, что так как распределение Стьюдента принадлежит к классу законов с " тяжёлыми хвостами", а параметр является показателем " тяжести хвостов", то для оценивания этого параметра могут также применяться известные процедуры оценивания степени "тяжести хвостов", например, оценки Хилла (Hill 1975), Де Хаана (см, например, (Resnick 1995)) и другие (см., например, (Embrechts et al. 1997)). Оценки второй группы, как правило, вычисляются намного проще, нежели оценки максимального правдоподобия или оценки метода логарифмических моментов. Подробное сравнительное исследование упомянутых процедур не является целью данной диссертации.

Вместо этого, в соответствии с общей направленностью диссертации, ниже мы рассмотрим другую естественную задачу статистического оценивания, связанную с распределением Стьюдента, - задачу оценивания центра этого распределения, уделяя особое внимание асимптотическим свойствам соответствующих процедур при что важно при использовании распределения Стьюдента для описания больших рисков.

Пусть (Х\ • • • ,XJ - независимые одинаково распределённые наблюдения, имеющие функцию распределения F(x — 8),в 6 1R, причём функция распределения F(x) известна, симметрична и обладает положительной плотностью

Рассмотрим задачу оценивания параметра сдвига 0. С этой целью будем рассматривать эквивариантные оценки то есть такие, что при всех

Все традиционно используемые оценки параметра сдвига являются эквивариантными относительно сдвига, например, среднее, выборочная медиана или любое взвешенное среднее порядковых статистик с суммой весов, равной единице. Заметим, что оценка максимального правдоподобия также эквивариантна. Известно, что при квадратичной функции потерь при каждом п наилучшей эквивариантной оценкой является оценка

Питмэна (см. (Леман 1991), теорема 3.1.5; (Ибрагимов, Хасьминский 1979), стр. 33)

Однако эти оценки, являющиеся эталоном при сравнении оценок, как правило, являются трудновычислимыми и представляют в основном теоретический интерес.

Мы будем рассматривать асимптотический подход (при П —> оо) и асимптотически нормальные последовательности эквивариантных оценок

</п(6„ - в) ЩО, а1), п 00.

Для сравнения предельного качества таких оценок используем понятие асимптотической относительной эффективности (АОЭ) (см. (Леман 1991), стр. 305 - 307). Для двух последовательностей асимптотически нормальных эквивариантных оценок

¿»,1 = И 5П:2 - 6Щ2(Х1,--- ,Х„)

определим АОЭ оценки ¿„д относительно оценки ¿„,2 как

Отметим, что если определить число наблюдений т = тп(п) так, чтобы

\/п№п,з -8) =>Л"(0, (7?), п 00,

то

m(n)

ей = lim

rt-too ft

Таким образом, чтобы получить предельное распределение, совпадающее с предельным

распределением оценки ¿„д, оценке 6пу требуется примерно п • ей наблюдений. Итак, если ец > 1, то оценка 6п>2 асимптотически "хуже" оценки 6n,i- В случае еи = 1 эти

оценки асимптотически эквивалентны.

Рассмотрим теперь абсолютную АОЭ (ААОЭ), то есть асимптотическую эффективность относительно наилучшей оценки Питмэна i* (см. (0.12)), В работах (Stone 1974) и (Port, Stone 1974) показано, что при весьма общих условиях регулярности эти оценки асимптотически нормальны

где / - фишеровская информация

Заметим, что асимптотическая дисперсия 1~' оценки Питмэна совпадает с нижней границей дисперсий из неравенства Крамера - Рао. Обозначим ААОЭ последовательности эквивариантных асимптотически нормальных оценок <5„д (</п (¿„д — 9) относительно оценки Питмэна через

Рассмотрим теперь задачу оценивания параметра в по выборке независимых одинаково распределённых случайных величин (Xi, • • •, Хп), имеющих функцию распределения F(x — 9). Если функция распределения F(x) нормальна, то выборочное среднее

является несмещённой оценкой параметра в с минимальной дисперсией. Эта оценка обладает тем же свойством для всех распределений, имеющих плотность и нулевое математическое ожидание (см. (Леман 1991), стр. 99).

Свойства оценки (0.14) существенно зависят от поведения "хвостов" распределения наблюдений. Например, для распределения Коши (имеющего столь "тяжелые хвосты", что не существует математическое ожидание), как известно, при каждом оценка

(0.14) имеет такое же распределение, как и отдельное наблюдение. Естественный путь получения более устойчивых оценок состоит в отбрасывании крайних наблюдений. Особенно нечувствительной к поведению "хвостов" функции распределения ¥(х) является выборочная медиана

"•"{J

n = 2m-l, 2 (*<«) +X(m+ii), n = 2то,

(0.15)

где Х(1),...,.Х"(П) - вариационный ряд, построенный по исходным независимым наблюдениям

(Х1,---,Х).

Однако такое радикальное отбрасывание крайних членов выборки не всегда приводит к разумным результатам. Естественным компромиссом между средним и медианой является отбрасывание, например, [па] наименьших и [па] наибольших наблюдений, где то есть рассмотрение усечённых средних

J _ -У([„„]+1) + ••• +

п~ п-2[па\

(0.16)

или усечённых линейных комбинаций порядковых статистик

1 *

L« = - Е °<«х(о> ™ ¡=1

(0.17)

1 "

- Ci„ = 1, dn = 0, при i < [по] и i > п - [па], п t=i

или а - уинзоризованных средних (см. (Bickel 1965))

Рассмотрим также оценку Ходжеса - Лемана (см. (Hodges, Lehmann 1963) и (Леман 1991), стр. 339 - 341)

Ж„ = med

Г*м + хь)

, 1 < i < j <

nj,

(0.18)

то есть это медиана п(п + 1)/2 Значений (Хф + Ху))/2.

Всюду далее будет рассматриваться семейство рапределений Стьюдента с параметром 7 > 0, функциями распределения F^X — в) и плотностями р-](х) = i^(x), определяемыми соотношением (0.1). Параметр формы (число степеней свободы) 7 > 0 предполагается известным. При 0 < i < 7 У этого распределения существует абсолютный момент порядка 6. При 2 < 7 у этого распределения существует дисперсия, которая в таком случае равна При 0 < 7 ^ 2 дисперсии не существует. В главе 3 доказана следующая

ЛЕММА 0.3

1. Для любого 7 > 0 существует фишеровская информация

/-pffilf-H1

7 Wxx)j 7 + 3-

S. Для любого х > 0 справедливо соотношение

РгМ ~ 7 -> 0

„ ,„ч _ ^уГ((Т + 1)/2) „

" 20f Г((7 + 2)/2) ~ 2 » 7

3. Для любого х > 0 справедливо равенство

Ж77/2Г((7 + 1)/2)

ВД = 1 -

(1 +

2vfiFr((7+2)/2)(7 + ii)^r><

7(7 + 1)

+ гт(®)),

(7 + 2)(7 + х2) где остаточный член г7(х) имеет вид

72(7 + 1)(7 + 3)(7 + Х2)^1 Г dt

ГНГ

Ф) =

ф + 2)

гх_I

L (7+

(7 + <Т

Далее с помощью этой леммы находится АОЭ указанных выше опенок. ТЕОРЕМА 0.5 Для о М„, W„, L„ U 6'п (см. (0.15), (0.18), (0.16), (0.12))

ведливы соотношения

7гГг((7 + 2)/2) 1

7Г2((7 + 1)/2)

у Т^О.

, . 4тгГ<((7 + 2)/2)Гг(7 + 1) 4

373Г4((7 + 1)/2)Г2(7 + 1/2) ~ 3Т3тг2' 7

3. АОЭ оценки Мп относительно оценки Wn равна

о1 _ 4Г2((7 + 2)/2)Г2(7 + 1) 4

372Г2((7 + 1)/2)Г2(7+1/2) 372ТГ3'

4. ЛЛОЭ оценок Мп и относительно оценки Питмэна соответственно рае-

^ " (7 + 1)7Г Г2 ((7 + 2)/2) 37'

1 _ Зт3(7 + 3) Г4((7 +1)/2) Г2(7+1/2)

*"* 4(7 + 1)тг Г4 ((7 + 2)/2) Г2 (7 +1) ~ 1 ' 7

(2а)1/? (1 - 2а)2

о;2 = (1-2а)2<7? + +

_ 4 /о'"" 1(1 ~ =

(1 - 2а)2

(1 + 0(7)), 7-Ю, = 1-а,

2а3 а

О,

М6-) #(&-») 27(2а)2/1-' и АОЭ оценки £„ относительно оценок М„, Ц^п, и X* соответственно равны

"2 4(2а)1Л(1-2 а)2

(2а)>/7(1-2а)2

— о?

ей = 7—5

073/2

3(2а)'/т(1-2а)г "/Г

— 2 <=т

, _

~ а? " 273/2(2а)1/7

(1 - 2а)г

Заметим также, что из теоремы 0.5 следует, что выборочная медиана М„ асимптотически "лучше" чем оценки Wn И ¿в-

Как уже отмечалось, усечённое среднее,£„ (см. (0.16)) является естественным компромиссом между средним Хп (см. (0.14)) и медианой Мп (см. (0.15)). Другой компромисс, предложенный Хьюбером (НиЬег 1964), подсказан тем фактом, что среднее и медиана являются величинами, минимизирующими по соответственно функции

1=1 ¡=1

Хьюбер предложил минимизировать более общее выражение вида

с некоторой разумно выбранной функциейр(х) (например, выпуклой и чётной). Оценки, минимизирующие выражение (0.19), будем называть М-оценками. Если функция р(х) дифференцируема, то при соответствующих условиях регулярности (см. (Huber 1964)), М-оценка является решением уравнения

Заметим также, что М-оценки являются эквивариантными, и оценки максимального правдоподобия (в случае параметра сдвига) являются М-оценками с функцией

Рассмотрим конкретную функцию />(х), предложенную в работе (Huber 1964):

№ м <*,

р{х) =

к\х\-кг/2, |i|>Jt.

Эта функция пропорциональна Хг при |х| < к, а вне этого отрезка заменяет ветви параболы на прямые линии. Эти куски согласованы так, что функция р{х) и её производная непрерывны. Оценки, минимизирующие выражение (0.19) с этой функцией, будем обозначать Нп. При растущем к функция р(х) будет совпадать с х2/2 на всё большей части области её определения, так что оценка будет сближаться с Хп. При уменьшении к оценка Нп будет сближаться с медианой Мп.

Обозначим оценку максимального правдоподобия через 6„. Справедлив следующий результат.

ТЕОРЕМА 0.6 Пусть случайные величины (XI, • • •, Хп) независимы, имеют одинаковую функцию распределения Р-/{х — в) и плотность р7(х) = ^[х) > 0. Тогда:

1. Оценка максимального правдоподобия 5п удовлетворяет уравнению

у =0

в при каждом С > 0 справедливо соотношение

81ф|Р»(^(гп - (?) < х) - Ф„(х)| = 0(п-3'2),

где

«1 =

_ 37(7 + 2)(7 + 3) (7 + 1)(7 + б)(7 + 7)'

2(7 + 2)(7 + 3)(У + 57 + Ю) . _ 7+1 7(7 + 1)(7 + 5)(7 + 7) 1 4 7 + 3'

2. Для дисперсии М-оценка Я„" справедливо соотношение

4 г*

о2 =

(2ВД - I)2 Акг

I 1(1-ад) сЬ

72(1ой7 -

и для АОЭ М-оценки Нп относительно оценок Мп, ственно справедливы соотношения

О,

Ж,, ¿Л и I* соответ-

вЛга

б/ш — 2

70°87 ~ 21og2^:)2 4 к2

еЫ ~~о

(1ое7 - 21о82*)а

Ъуг2к2

р _°\г ей- = —у

/т*

ел. =

аГ'/Ц^у - 2к^2<:)2 (2а)1/тг(1 — 2«)24Л:2 '

4*2

7«(к%7 - 2кц2<:)2

8*'(2в)3/т

7 -> О.

Заметим, что из теоремы 0.6 следует, что выборочная медиана Л/„ асимптотически "лучше" чем М-оценка Нп, но М-опенка Н„ "лучше" чем оценки \Уп И Ьп.

В главе 4 рассматривается задача аппроксимации необходимого резервного капитала страховой компании в случае большого числа различных клиентов.

Рассмотрим простейшую модель страхования, в которой имеется большое число страховых контрактов (клиентов), п 00, и одна страховая компания, их обслуживающая. Страхование рассматривается с точки зрения страховой компании. Каждый контракт характеризуется величиной денежного "ущерба" $ = 1,.,,,п (формально здесь не предполагается неотрицательность и вероятностью 1,...,п, с которой этот ущерб может возникнуть. Тогда общий суммарный убыток страховой компании является случайной величиной вида

А. =

3=1

(0.20)

где мы предполагаем, что случайные величины независимы и принимают

только два значения 1 и 0 соответственно с вероятностями р]п и Щп = 1 — р^, то есть с математической точки зрения имеем так называемую схему серий. Заметим, что если контракты однородны, то есть

то случайная величина имеет вид

Д. = аВп(р),

где Ва(р) - биномиальная случайная величина с параметрами (п,р), и моделирование поведения случайной величины Д, при больших п сводится к имитационному моделированию биномиальной случайной величины или к использованию асимптотических свойств биномиального распределения (см. теорему 0.9 ниже).

Мы рассмотрим здесь также случай неоднородных контрактов, то есть случай, когда нарушаются условия (0.21). Для данного малого а £ (0,1) нас будет интересовать

определяется из условия малости вероятности того, что у страховой компании не хватит средств для покрытия общих суммарных убытков, то есть из условия

Р(А> > San) = а + о(п-1).

(0.22)

Здесь возможна так же следующая интерпретация. Пусть, например, на единичном отрезке "времени" [0,1] задана достаточно гладкая функция Ф(4), которая описывает "скрытый ущерб" в момент времени t Предположим, что "ущерб" может проявиться только, например, в моменты времени вида

и величина ущерба

= *0'/п), j = 1,...,п

проявляется с вероятностью Pjn в момент времени j/n. Тогда Dn - величина суммарного проявившегося ущерба и ,San - неслучайный порог, за который величина Dn не выходит с большой вероятностью 1 — а + о(п-1).

Используя результаты работ (Albers et al. 1976), (Бенинг, Королёв 1998) и (Molenaar 1970), в главе получено асимптотическое разложения по п для необходимого резервного капитала San (см. (0.22)) (см. теоремы 0.8 и 0.9 ниже). Рассмотрен так же случай случайного числа контрактов JV„.

Предельное поведение резервного капитала страховой компании San (см. (0.22)) в

случае, если случайные величины Vi„.....Vnn одинаково распределены (р,-„ S р, j =

1,..., п), может быть описано с использованием следующей предельной теоремы.

ТЕОРЕМА 0.7 (см., например, (Гаек, Шидак 1971), стр 198) Пусть Xi,X2,...,Xn -независимые одинаково распределенные случайные величины с конечными математическими ожиданиями и дисперсиями

Поэтому в этом случае, при выполнении условия (0.23), справедливо следующее предельное соотношение для резервного капитала

San = Р £ <*jn +

J=1

+ (0-24)

з=1 \\j=i /

Заметим, что условие регулярности (0.23) на константы означает, что асимпто-

тически (при п —V (X)) они себя ведут примерно одинаково. Для случая однородных контрактов

формула (0.24) приобретает следующий простой вид

San = пра + щ-аа^пр(1 - р) + о{л/п).

Рассмотрим вопрос об уточнении остаточного члена в формулах подобного типа, которые получаются с использованием предельных теорем. Для получения асимптотического разложения резервного капитала страховой компании San используем условия регулярности на константы ajn, j = 1,..., п и Pjn> j = 1,..., п из работы ((Albers et al. 1976), формулы (4.2.14) - (4.2.16)).

Обозначим математическое ожидание, дисперсию, третий и четвертый семиинварианты случайной величины D„ (см.(0.20)) соответсвенно через

п п

Мп = £ •„, ffjj = £ 4лп(1 - Pjn),

Кзп = -у/по? £ a)nVjn(l - Pjn)(2p,n - 1), n

«4n = ПО? £ aj4nPjn(l - P;n)(l ~ 6p,■„ + 6p2jn). i-1

Справедлива следующая

Теорема 0.8 Пусть выполнены условия из работы ((Albers et al. 1976), формулы (12.14) - (4-2.16)), тогда

Si ■ п/ 2 ,

an = Мп + ОпЩ-а + ГГ7="(и1-о ~ Ч + Ьу/П

<r*Ul-i 12п

где

*(«i—) = 1 - а.

Доказанная теорема показывает, что при больших п справедлива аппроксимация

Sm « Ih. + Wi-a + - !) +

byl

которая может быть применена на практике.

Рассмотрим теперь однородный случай, то есть пусть

ajn = а > 0, j = 1,...,п; и pjn = р, j = 1.....п,

и случайная величина Д, имеет вид

А, = оД.(р),

где Д>(р) - биномиальная случайная величина с параметрами (п,р). Доказана следующая

Теорема 0.9 Пусть Dn = a B„(p), р е (0,1), тогда

Sa, = a[\ + nP + + (2Р-1)(16 - +

, - 2Р - 1) - 1 ¥ + Щ - 2)\ + /1\

72^/пр(1 - р) J w'

Пусть теперь JV„ - случайная величина, имеющая геометрическое распределение вида

Р(ЛГ„ = к) = I (l - 1) , к = 1,2,..., (0.25)

п \ п/

которая не зависит от исходных случайных величин Vn, V12, V22 • • ■ и п оо. Предположим, что число клиентов теперь является случайной величиной и описывается случайной величиной Nn. Тогда общие нормированные потери страховой компании имеют вид

~ Ж"'

Рассмотрим симметричный случай

ft» = 5. i = 1,2,...,п. (0.26)

В главе 4 получена также следующая Теорема 0.10

Пусть выполнены условия регулярности, сформулированные в теореме 0.8, случайная величина Nn имеет геометрическое распределение вида (0.25) и выполнено условие (0.26). Тогда

sup

Р (уйD*Nn < г) - F2{x) = <?(?Г1/2), п ч- оо,

2 + V2T55) '

В случае случайного числа N„ (см. (0.25)) клиентов страховой компании определим необходимый нормированный резервный капитал по формуле

Тогда в условиях теоремы 0.10 имеем асимптотическую аппроксимацию для необходимого резервного капитала

§'т = úi-0 + о(я"1/2), п ->оо, где й,_а - (1 - а) - квантиль распределения Стьюдента Fj(z)

Fj(S = 1 — a.

Аналогичным образом, с учётом теорем 0.3 и 0.8, может быть рассмотрен общий несимметричный случай и случай, когда случайная величина Nn имеет отрицательное биномиальное распределение (0.8).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. У Да, Бенинг В.Е., Об оценивании центра распределения Стьюдента с малым числом степеней свободы. - Вестник Московского Университета, серия 15, Вычислительная Математика и Кибернетика, 2003, н. 3, с. 30 - 37.

2. Wu Da, Bening V.E., Small degree of freedom for the Student distribution family (in Chinese). - Mathematica Applicata, 2003, v. 16, p. 133 - 136.

3. У Да, Бенинг В.Е., Об аппроксимации необходимого резервного капитала страховой компании в случае большого числа неоднородных контрактов. - Вестник Московского Университета, серия 15, Вычислительная Математика и Кибернетика, 2002, н. 3, с. 49 - 54.

4. Wu Da, Two theorems for estimating risk refusal function. - J. Appl. Math., 2003, v. 18, ser. A, p. 311 - 317.

где

m =

Издательство ООО "МАКС Пресс". Лицензия ИД № 00510 от 01.12.99 г. Подписано к печати 11.11.2004 г. Формат 60x90 1/16. Усл.печл. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 1119. Тел. 939-3890,939-3891,928-1042. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В Ломоносова. 2-й учебный корпус, 627 к.

»27287

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, У Да

Введение

ГЛАВА 1 Вспомогательные результаты

1.1 Распределение Стьюдента.

1.2 Распределение Стьюдента как асимптотическая аппроксимация

1.2.1 Предварительные результаты.

1.2.2 Распределение Стьюдента как предельное при случайном объёме выборки.

1.3 Экстремальные энтропийные свойства распределения Стьюдента

1.4 Случай малого параметра 7 = 2г.

ГЛАВА 2 Оценки скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Стьюдента

2.1 Оценки скорости сходимости отрицательно биномиального распределения к гамма распределению при 0 < г <

2.2 Оценки скорости сходимости некоторых статистик, построенных по выборкам случайного объёма, к распределению Стьюдена.

2.3 Применения к U - статистикам и линейным комбинациям порядковых статистик.

ГЛАВА 3 Оценивание центра распределения Стьюдента с малым числом степеней свободы

3.1 Статистическое оценивание центра распределения Стью-дента

3.2 Асимптотическая эффективность эквивариантных оценок

3.3 Оценивание центра в случае малого числа степеней свободы

3.4 М-оценки и оценки максимального правдоподобия

ГЛАВА 4 Об аппроксимации необходимого резервного капитала страховой компании в случае большого числа различных клиентов

4.1 Описание модели страхования.

4.2 Асимптотическое разложение для резервного капитала страховой компании.

4.3 Примеры.

4.4 Случай случайного числа клиентов страховой компании

Введение диссертация по математике, на тему "Некоторые задачи теории вероятностей и математической статистики, связанные с распределением Стьюдента"

Как хорошо известно, распределение Стьюдента, возникающее в задачах проверки гипотез о среднем значении нормального рапределения в случае неизвестной дисперсии, (см., например, (Леман 1964), глава 5, § 2, 3), зависит от целочисленного параметра 7, называемого числом степеней свободы, и имеет плотность где Г(-) - эйлерова гамма-функция (см., например, (Крамер 1948), стр. 263). Здесь параметр 7 тесно связан с объемом выборки и принимает натуральные значения. Однако можно сказать, что в таких задачах роль распределения Стьюдента в значительной мере вспомогательна, оно является в определенном смысле абстрактной идеальной теоретической моделью. (Отметим также здесь, что формально распределение Стьюдента определено при любом положительном значении параметра формы 7 и при 7 = 1 мы имеем "тяжёлохвостное" распределение Коши.)

Г((7 +1)/2)

V/FуГ(7/2)

-оо < х < оо, (0.1)

Blattberg, Gonedes 1974). Лишним подтверждением этого служит то обстоятельство, что автором не удалось найти ни в одном руководстве по теории (или практике) статистического оценивания рассмотрения задачи оценивания параметра формы 7 распределения Стьюдента.

Отметим ещё раз, что аналитическая форма плотности распределения Стьюдента (0.1) формально определена для любых положительных значений параметра 7. Здесь следует отметить недавние результаты Бенинга и Королёва. Работа (Бенинг, Королёв 2004) посвящена математическому обоснованию возможности использования распределения Стьюдента, зависящего от параметра формы (число степеней свободы) 7 > 0, в качестве статистической модели, описывающей распределение наблюдаемых случайных величин.

Для обоснования такой возможности показано, что распределение Стьюдента с произвольным 7 > 0 может быть получено в качестве предельного в случае выборки случайного объёма. При этом особо выделен случай когда параметр формы распределения Стьюдента 7 > 0 мал. Этот случай представляет интерес как модель распределения с "тяжёлыми хвостами". В этом случае подчеркивается возможность использования семейства распределений Стьюдента в качестве удобной модели распределений с "тяжелыми хвостами", так как для него (в отличие от устойчивых законов) многие формулы, в частности, функция правдоподобия, приобретают явный вид.

Диссертация посвящена дальнейшему развитию идей работы (Бенинг, Королёв 2004).

В качестве иллюстрации возможностей статистического анализа, основанного на стьюдентовом семействе, рассматривается задача статистического оценивания центра распределения Стьюдента в предположении, что параметр формы (число степеней свободы) 7 > 0 известен. В диссертации рассматриваются эквивариантные оценки центра распределения Стьюдента, основанные на порядковых статистиках, оценки Ходжеса - Лемана, М-оценки и оценки максимального правдоподобия. Находится их асимптотическая относительная эффективность и изучается ее поведение при стремлении числа степеней свободы 7 > 0 к нулю.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав и списка литера-руры, состоящего из 57 названий.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, У Да, Москва

2. Wu Da, Bening V.E., Small degree of freedom for the Student distribution family (in Chinese). Mathematica Applicata, 2003, v. 16, p. 133 - 136.

3. У Да, Бенинг B.E., Об аппроксимации необходимого резервного капитала страховой компании в случае большого числа неоднородных контрактов. Вестник Московского Университета, серия 15, Вычислительная Математика и Кибернетика, 2002, 3, с. 49 - 54.

4. Wu Da, Two theorems for estimating risk refusal function. J. Appl. Math., 2003, v. 18, ser. A, p. 311 - 317.

5. Бенинг В. E. и Королёв В. Ю., Об использовании распределения Стьюдента в задачах теории вероятностей и математической статистики. Теория вероятностей и ее применения, 2004, т. 49, выпуск 3, с. 419 - 535.

6. Student, On the probable error of the mean. Biometrica, 1908, v. 8, n. 1.

7. Praetz P., The distribution of share prices changes. J. Business, 1972, v. 45, p. 49 - 55.

8. Blattberg R. and Gonedes N., A comparison of the stable and Student distributions as statistical models of stock prices. J. Business, 1974, v. 47, p. 244 - 250.

9. Круглов B.M., Королёв В.Ю., Предельные Теоремы для Случайных Сумм. Издательство МГУ, 1990, 269 стр.

10. Королёв В.Ю., Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными индексами. I. Теория вероятн. и ее примен., 1994, т. 39, вып.2, с. 313 - 333.

11. Королёв В.Ю., Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными индексами. II. Теория вероятн. и ее примен., 1995, т. 40, вып. 4, с. 907 - 910.

12. Korolev V.Yu., A general theorem on limit behavior of superpositions of independent random processes with applications to Cox processes. J. Math. Sci., 1996, v. 81, n. 5, p. 2951 - 2956.

13. Bening V.E., Korolev V.Yu., Generalized Poisson Models and their Applications in Insurance and Finance. VSP, Utrecht, 2002, 434 p.

14. Золотарев B.M., Одномерные Устойчивые Распределения. Москва, "Наука", 1983, 304 стр.

15. Alberink I.B., Berry Esseen Bounds for Arbitrary Statistics. - Ph.D. thesis, Enschede, 2000, 126 p.

16. Bentkus V. and Gotze F., Optimal results of convergence in the CLT for quadratic forms. Ann. Probab., 1996, v. 24, p. 466 - 490.

17. Bentkus V. and Gotze F., The Berry Esseen bound for Student's statistic. - Ann. Probab., 1996, v. 24, p. 491 - 503.

18. Prawitz H., Limits for a distribution, if the the characteristic function is given in a finite domain. Skand. Aktuar. Tidskr., 1972, p. 138 -154.

19. Uchaikin V.V. and Zolotarev V.M., Chance and Stability. Stable Distributions and their Applications. VSP, Utrecht, 1999.

20. Гнеденко Б.В., Об оценивании неизвестных параметров распределений по случайному числу независимых наблюдений. в: Теория вероятностей и математическая статистика. Труды Тбилисского математического института им. А. М. Размадзе, 1989, с. 146 - 150.

21. Gurland J., Some interrelations among compound and generalized distributions. Biometrika, 1957, v. 44, p. 265 - 268.

22. Quenouille M.H., A relation between the logarithmic, Poisson and negative binomial series. Biometrics, 1949, v. 5, p. 162 - 164.

23. Кендалл М.Дж. и Стьюарт А., Теория Распределений. Москва, "Наука", ГИФМЛ, 1966, 587 стр.

24. Greenwood М. and Yule G.U., An inquiry into the nature of frequency-distributions of multiple happenings, etc. J. Roy. Statist. Soc., 1920, v. 83, p. 255 - 279.

25. Bickel P.J., On some robust estimates of location. Ann. Math. Statist., 1965, v. 36, n. 3, p. 847 - 858.

26. Леман Э., Теория Точечного Оценивания. Москва, "Наука", 1991, 443 стр.

27. Леман Э., Проверка Статистических Гипотез. Москва, "Наука", 1964, 498 стр.

28. Крамер Г., Математические Методы Статистики. Москва, "Иностранная Литература", 1948, 631 стр.

29. Bening V.E., Asymptotic Theory of Testing Statistical Hypotheses: Efficient Statistics, Optimality, Power Loss, and Deficiency. VSP, Utrecht, 2000, 277 p.

30. Ибрагимов И.А., Хасьминский P.3., Асимптотическая Теория Оценивания. Москва, "Наука", 1979, 527 стр.

31. Does R.J.M.M., Berry Esseen theorems for simple rank statistics under the null-hypothesis. - Ann. Probab., 1982, v.10, p. 982 - 991.

32. Королюк B.C., Боровских Ю.В., Теория U статистик. - Киев, "Наукова Думка", 1989, 383 стр.

33. Stone C.J., Asymptotic properties of estimators of a location parameter. Ann. Statist., 1974, v. 2, p. 1127- 1137.

34. Port S.C. and Stone C.J., Fisher information and the Pitman estimator of a location parameter. Ann. Statist, 1974, v. 2, p. 225- 247.

35. Serfling R.J., Approximation Theorems of Mathematical Statistics. -John Wiley, 1980, 371 p.

36. Hodges J.L. and Lehmann E.L., Estimates of location based on rank tests. Ann. Math. Statist., 1963, v. 34, p. 598 - 611.

37. Friedrich K.O., A Berry Esseen bound for functions of independent random variables. - Ann. Statist., 1989, v. 17, n. 1, p. 170 - 183.

38. Guan Z., A Berry Esseen bound for k - sample symmetric statistics.- Northeast. Math. J., 1994, v. 10, p. 411 420.

39. Helmers R., Edgeworth Expansions for Linear Combinations of Order Statistics. Amsterdam, 1984, Mathematisch Centrum, 136 p.

40. Helmers R., A Berry Esseen bound for linear combinations of order statistics. - Ann. Probab., 1981, p. 342 - 347.

41. Helmers R., van Zwet W.R., The Berry Esseen bound for U-statistics. - Statistical Decision Theory and Related Topics 3, 1982, Academic Press, p. 497 - 512.

42. Huber P.J., Robust estimation of a location parameter. Ann. Math. Statist., 1964, v. 35, n. 1, p. 73 - 101.

43. Феллер В., Введение в Теорию Вероятностей и е Приложения, т.2. Москва, "Мир", 1984, 746 стр.

44. Двайт Г.Б., Таблицы Интегралов и Другие Математические Формулы. Москва, "Наука", 1977, 224 стр.

45. Kapur J. N., Maximum-Entropy Models in Science and Engineering. Wiley, New York, 1989.

46. Hill B.M., A simple general approach to inference about the tail of a distribution. Ann. Statist., 1975, v. 3, p. 1163-1174.

47. Resnick S.I., Heavy Tail Modeling and Teletraffic Data. Preprint, School of ORIE, Cornell University, Ithaka, NY, 1995.

48. Embrechts P., Kliippelberg C. and Mikosch T. Modeling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer, Berlin-New York, 1997.

49. Петров В. В., Суммы Независимых Случайных Величин. Москва, "Наука", 1972, 414 стр.

50. Селиванова Д. О., Оценки Скорости Сходимости в Предельных Теоремах для Случайных Сумм. Дисс. канд. физ.- мат. наук, МГУ, Москва, 1994, 123 стр.

51. Teicher Н., Identifiability of mixtures. Ann. Math. Stat., 1961, vol. 32, p. 244-248.

52. Albers, W., Bickel P.J., Van Zwet W.R. Asymptotic expansions for the power of distributionfree tests in the one sample problem. - Annals of Statistics, 1976, v.4, pp. 108 - 156; correction, 1978, v.6, p. 1170 -1171.

53. Molenaar W., Approximations to the Poisson, binomial and hypergeometric distribution functions. Mathematical Centre Report, 1970, Amsterdam.

54. Гаек Я., Шидак 3., Теория Ранговых Критериев. Москва, "Наука", 1971, 375 стр.57. van Zwet W.R., A Berry Esseen bound for symmetric statistics. -Z. Wahrsch. verw. Gebiete, 1984, v.66, p. 425 - 440.