Нелинейная динамика атомных и поляритонных бозе-конденсатов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ СПЕКТРОСКОПИИ РАН

005007626

Корнеев Святослав Вячеславович

Нелинейная динамика атомных н поляритонных бозе-копденсатов

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ЯНВ 2072

Троицк — 2011

005007626

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институт спектроскопии РАН (ИСЛН)

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, Камчатнов Анатолий Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, Сазонов Сергей Владимирович кандидат физико-математических наук, Карташов Ярослав Вячеславович

Ведущая организация:

Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Защита состоится 19 января 2012 в 14 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 002.014.01 в Учреждении Российской академии наук Институт спектроскопии РАН по адресу: Московская обл., г. Троицк, ул. Физическая, д. 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИСАН

Автореферат разослан «16» декабря 2011г.

Ученый секретарь

1)1

доктор физико-математических наук

Диссертационного совета, профессор, ^^ ^ М.Н. Попова

1. Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена численному и аналитическому исследованию процесса формирования и динамики различных солитонных структур как в атомном и поляритоном бозе-эйнштейновском конденсате (БЭК), так и в нелинейной оптике. Для атомного конденсата рассмотрена картина течения в квазиодномерном канале под действием ускоряющегося поршня (непроницаемого резкого потенциала). Кроме того, рассмотрена задача описания конвективной неустойчивости косых темных солитонов, которые формируются течением БЭК мимо малого препятствия. На примере простой модели, которая основывается на уравнении Гросса-Питаевского (ГП) с дополнительным членом, учитывающим затухание, рассмотрена аналогичная задача обтекания препятствия поляритонным конденсатом и показана возможность формирования косых солитонов при дозвуковой скорости натекающего течения. Также рассмотрена динамика кольцевого солитона, который движется в атомном БЭК на неоднородном фоне, создаваемом потенциалом параболической ловушки, и динамика кольцевого солитона на однородном фоне пучка света, распространяющегося в фоторефрактивной среде.

1.1. Актуальность исследования

Динамика бозе-эйнштейновского конденсата (далее предполагается отталкивающее взаимодействие между атомами или дефокусирующая нелинейность в

аналогичных оптических задачах) привлекает к себе большое внимание с момента его

экспериментального обнаружения. Сначала

изучались задачи о колебаниях конденсата как целого или же течение конденсата из выключенной ловушки. Затем много усилий было потрачено на изучение формирования и динамики вихрей,

генерации звуковых волн и солитонов. В настоящее время одной из актуальных задач динамики БЭК является проблема образования дисперсионных ударных волн при

Рисунок 1: Дисперсионные ударные волны в атомном БЭК, образовавшиеся под воздействием силового поля лазерного луча при двух различных значениях мощности лазерного луча (рисунок из [2,3]).

эволюции больших возмущений конденсата. Впервые на эксперименте такие волны были обнаружены при воздействии относительно интенсивного лазерного луча на цилиндрически симметричный конденсат в параболической ловушке (см. рис. 1), когда луч, распространяющийся вдоль оси конденсата, передавал ему импульс в радиальном направлении. В результате распространяющаяся от оси конденсата волна «опрокидывалась» с образованием цилиндрически симметричной волновой структуры, которая была интерпретирована в [1] как дисперсионная ударная волна (ДУВ). Похожие волновые структуры уже наблюдались ранее в течении мелкой воды (например, во время прилива поступающие в широкий залив массы воды нагнетаются в суженное русло, где они концентрируются, образуя волновой фронт или бор), в плазме и в нелинейной оптике, но изучение дисперсионных ударных волн стало наиболее актуальным в связи с экспериментальной реализацией в 1995 году бозе-

эйнштейновской конденсации. Как известно, дисперсионная ударная волна формируется в результате сильного возмущения плотности, давления или скорости течения в средах с достаточно сильной дисперсией, так что ее эффекты в определенных условиях гораздо более существенны, чем эффекты диссипации или вязкости. Тогда именно эффекты дисперсии останавливают

«опрокидывание» волны, то есть формирование особенности в профиле плотности, и вместо скачка параметров, как это происходит в классической ударной волне, образуется

расширяющаяся во времени область осцилляций. Эксперименты, в которых наблюдаются дисперсионные ударные волны в БЭК, можно условно разделить на два типа: во-первых, зависящее от времени внешнее воздействие вызывает сильное возмущение течения конденсата и эволюция импульса возмущения приводит к формированию ударной волны; во-вторых, при сверхзвуковом течении конденсата мимо препятствия возникает стационарная волновая картина, которая при большой амплитуде волн также может быть рассмотрена как дисперсионная ударная волна. Первой ситуации отвечают описанные выше эксперименты по воздействию интенсивного лазерного луча на БЭК в параболической ловушке, и формирующаяся в этих экспериментах ДУВ с цилиндрической симметрией до сих пор не получила полного аналитического описания. Однако эта задача упрощается, если расстояние между кольцами, которые определяются минимальными значениями плотности в ДУВ

Рисунок 2: Волновая картина, которая образуется сверхзвуковым течением атомного БЭК мимо малого препятствия (рисунок из [ 1]).

(см. рис. 1), больше ширины кольца. В этом случае каждое кольцо можно рассматривать как отдельный кольцевой солитон и тогда динамику ударной волны можно рассмотреть как динамику кольцевых солитонов. Если ловушка, в которой удерживается БЭК, сильно вытянута по одной координате, то кольцевой солитон вырождается в два квазиодномерных темных солитона. В работе [4] был предложен физически наглядный подход к решению задачи движения такого солитона, который основывается на «квазичастичном» приближении, а в [5] этот подход был обобщен на случай нелинейности произвольного типа.

Эксперименты с течением конденсата мимо препятствия также представляют большой интерес, эта тема важна в связи с вопросом о нарушении сверхтекучести при

больших скоростях течения. Было найдено, что при больших размерах препятствия сверхтекучесть исчезает вследствие генерации вихрей при скоростях натекающего течения выше критической, которая равна примерно 0.43 от скорости звука. Однако если препятствие достаточно мало (его размер много меньше корреляционной длины), то вихри не могут порождаться столь малым препятствием и сверхтекучесть исчезает лишь вследствие черенковского звукового

Рисунок 3: Волновая картина плотности излучения, когда скорость течения поляритонного БЭК, которая образуется превышает скорость звука. Этот вопрос течением мимо препятствия, размер интенсивно изучался экспериментально, которого в несколько раз превышает например в одном из экспериментов [2] длину корреляции (рисунок из [б]). бозе-конденсат выпускался из магнитной

ловушки, а перпендикулярно его движению направлялся лазерный луч, выталкивающий атомы конденсата. Скорость течения достигала сверхзвуковых значений, что приводило к потере сверхтекучести и генерации волн (см. рис. 2). Проведенные численные расчеты показали, что при сверхзвуковом обтекании большого препятствия с размерами много больше длины корреляции образуются две стационарные дисперсионные ударные волны, одна из которых находится перед препятствием, а другая — вниз по течению за препятствием. В «передней» ДУВ, по мере удаления от препятствия, амплитуда осцилляций уменьшается, и в результате ударная волна асимптотически переходит в линейные волны модуляции черенковского звукового излучения, расположенные вне конуса Маха. Напротив, ударная волна позади препятствия на достаточном расстоянии от препятствия распадается на «веер» стационарных темных солитонов (см. рис. 3), который всегда расположен внутри

конуса Маха. Картина упрощается, если размер препятствия имеет порядок длины корреляции. В этом случае «передняя» ударная волна уже на близком расстоянии от препятствия обладает настолько малой амплитудой, что с хорошей точностью описывается линейной теорией, а «задняя» ударная волна трансформируется в два симметрично расположенных темных солитона (см. рис. 4). Наблюдаемая в численном счете устойчивость косых солитонов противоречит, на первый взгляд, известной неустойчивости двумерных темных солитонов относительно изгибных возмущений. Однако теория изгибных возмущений разрабатывалась для солитонов бесконечной длины и без течения конденсата вдоль солитона. Поэтому в работе [7] был исследован вопрос формирования двумерного солитона течением конденсата мимо препятствия. Как показал численный счет, солитон может генерироваться, то есть становится эффективно устойчивым, лишь при достаточно больших числах Маха (М > 1.44). Также численный счет показал, что один конец солитона примыкает к препятствию, а другой, противоположный, является свободным и поэтому постепенно распадается на вихревые пары (см. рис. 9). Если рассмотреть солитон в системе отсчета, связанной со свободным концом, то в этой системе отсчета солитон будет неустойчив.

Следовательно, вопрос устойчивости солитона зависит от системы координат, в которой рассматривается солитон, что означает

необходимость различать его абсолютную

неустойчивость и

конвективную: если темный солитон

неустойчив в любой системе отсчета, то он неустойчив абсолютно, а если существует система отсчета, в которой неустойчивые моды «сносятся» течением вдоль солитона, не успев разрушить солитон, то это означает конвективную неустойчивость, то есть эффективную устойчивость. Именно конвективная неустойчивость реализуется на численных экспериментах когда значение Маха превышает М > 1.44. На основании вышесказанного можно сформулировать следующие задачи. Сначала необходимо вывести критерий перехода к конвективной неустойчивости солитона в системе отсчета, связанной с препятствием. Эта задача была решена в работе [7], но предложенный подход не позволяет решить вторую важную задачу, а именно, сделать оценку скорости роста длины солитона в системе отсчета, в которой он является эффективно устойчивым.

-20 0 20 -20 О 20

Рисунок 4: Распределение плотности (слева) и фазы течения поляритонного БЭК мимо малого препятствия, скорость натекающего течения "Чцт, ~ 1.7рт/рв, скорость звука с, ~ 3.5рт/рв (рисунок из [б]).

На экспериментах также активно изучался вопрос о течении квазиодномерного конденсата мимо плавного проницаемого препятствия. Например, недавно были опубликованы результаты по управлению течением конденсата вдоль квазиодномерной ловушки с помощью поршня, образованного движущимся потенциалом лазерного луча. В этом эксперименте был использован широкий и невысокий потенциал, так что течение в области потенциала может быть описано в рамках так называемого "гидравлического" приближения. Стационарные течения конденсата в этом приближении были изучены в работе [8]; они реализуются при скоростях движения потенциала вне так называемой транскритической области у < и_, V > >:+. Если же скорость движения потенциала находится внутри транскритической области V- < V < г>+, то гидравлическое решение становится неустойчивым и по обеим сторонам от него образуются дисперсионные ударные волны. Соответствующая теория была развита в работе [9] и аналитические результаты качественно согласуются с результатами эксперимента. Однако если потенциал является высоким и имеет резкую границу, то течение конденсата под действием такого "поршня" требует особого рассмотрения. Простейший случай движения поршня с постоянной скоростью был рассмотрен в работе [10].

Следующим толчком к изучению нелинейных структур в бозе-конденсатах послужили недавние эксперименты по конденсации квазичастиц. Наибольшее внимание привлекает серия экспериментов с конденсатом поляритонов в полупроводниковых микрорезонаторах (МР) с квантовыми ямами. Поляритон — это составная квазичастица, которая является суперпозицией электромагнитной волны и экситона. Поляритонные состояния реализуются в МР при условии, что затухание как фотонной, так и экситонной мод не превышает энергию экситон-фотонного взаимодействия. Такие состояния получили название микрорезонаторных поляритонов. Дисперсия МР-поляритонов определяется двумя параметрами — величиной рассогласования энергий экситонной и фотонной мод в точке к = 0 и величиной экситон-фотонного взаимодействия. В режиме сильного экситон-фотонного взаимодействия экситонная и фотонная моды расщепляются и возникает две — верхняя и нижняя — поляритонные ветви. В плоских МР полярптоны являются квазидвумерными частицами. В отличии от поляритонов в объемных полупроводниках, поляритоны в МР аннигилируют без сохранения компоненты импульса, которая перпендикулярна плоскости квантовой ямы, что приводит к коротким (порядка пикосекунд) временам жизни. Вместе с тем, эффективная масса МР-поляритонов оказывается на несколько порядков меньше эффективной массы экентона (порядка 10~8 массы атома водорода), а их когерентный размер превышает несколько микрон. Небольшая эффективная масса МР-поляритонов способствует бозе- конденсации и конденсация МР-полярнтонов может происходить при температурах от нескольких Кельвинов до комнатной, а наличие затухания существенно изменяет свойства

нелинейных волн, что позволяет рассматривать новые эффекты, которые не наблюдаются в атомном конденсате. Например, в недавних экспериментах по обтеканию препятствия бозе-конденсатом МР-поляриотонов [6], за препятствием наблюдались темных косые солитоны при скоростях натекающего течения меньше скорости звука. В этом эксперименте поляритонный конденсат накачивался непрерывным одномодовым гауссовым лазерным лучом высокой стабильности по частоте, который светил в микрорезонатор, охлажденный до 10 градусов Кельвина. Непрерывная накачка необходима для компенсации потерь поляритонов ввиду наличия затухания в такой системе. Диаметр пятна лазерного луча на образце составлял порядка 30 микрон и угол падения (отсчитывается от нормали к плоскости МР) варьировался в пределах нескольких градусов. Длина волны лазера накачки подбиралась таким образом, чтобы обеспечить резонансную накачку поляритонов нижней дисперсионной ветви. Наличие ненулевого угла падения обеспечивало течения конденсата со скоростью порядка Vfl„ш ~ 1.7[гт/рз, причем скорость звука была порядка е., ~ 3.5/шг/рв и размер конденсата I ~ 50цгп. В качестве препятствия выступали дефекты, сформировавшиеся в процессе производства квантовой ямы, размер дефектов был порядка корреляционной длины. Генерация солитонов дозвуковым течением (см. рис. 4) в таком эксперименте противоречит, на первый взгляд, теории конвективной неустойчивости темного солитона, и это противоречие требует разъяснений.

Интерес к дисперсионным ударным волнам в физике атомного и поляритонного БЭК обусловлен не только своеобразными свойствами этой новой искусственной среды, демонстрирующей квантовые свойства в макроскопическом масштабе, но и потенциальными приложениями к процессам транспорта БЭК в атомных чипах — микроприборах, в которых электрические, магнитные и оптические поля позволяют удерживать сверххолодные атомы и управлять их движением. На основе атомных чипов в настоящее время предлагается создание сверхточных сенсоров электрического, магнитного полей и ускорения.

1.2. Основные задачи работы

1. В связи с недавними экспериментами по изучению течения квазиодномерного БЭК через проницаемый плавный потенциал рассмотреть картину течения конденсата, находящегося под действием непроницаемого резкого потенциала (поршня), который движется с ускорением по произвольному закону.

2. В связи с последними экспериментами по изучению обтекания МР-поляритонным конденсатом препятствия и наблюдением темных косых солитонов при дозвуковой скорости натекающего течения вне области накачки детально рассмотреть переход от абсолютной неустойчивости темных

солитонов к их конвективной неустойчивости как в более простом случае, когда нет затухания, так и в случае затухания. Для случая, когда нет затухания, вычислить скорость роста длины косого темного солитона.

3. В связи с последними экспериментами по наблюдению цилиндрических ДУВ в облаке конденсата, который удерживается параболической осесимметричной ловушкой, рассмотреть в такой системе движение отдельного кольцевого солитона. Так как задача движения кольцевого солитона актуальна и в оптических экспериментах, необходимо описать динамику темного кольцевого солитона на однородном фоне интенсивности пучка света, распространяющегося в фоторефрактивной среде.

1.3. Научная новнзна работы

1. Рассчитана дисперсионная ударная волна, которая образуется в квазиодномерном атомном БЭК под действием равномерно ускоряющегося поршня. Также рассчитана начальная стадия формирования ДУВ поршнем, ускоряющимся по произвольному закону.

2. Рассмотрена новая интерпретация перехода темного косого солитона к конвективной неустойчивости. На основе этой интерпретации рассчитана скорость роста косого солитона в задаче об обтекании БЭК малого препятствия.

3. Рассмотрен переход к конвективной неустойчивости косых солитонов, которые образуются течением поляритонного конденсата мимо малого препятствия. Рассчитана форма косого солитона, профили плотности и скорости течения конденсата вне области накачки.

4. Рассчитана динамика кольцевого солитона, который движется на неоднородном фоне атомного БЭК, удерживаемого параболической ловушкой, и на однородном фоне интенсивности пучка света, распространяющегося в фоторефрактивной среде.

1.4. Научная и практическая ценность

В настоящее время, установки по получению бозс-конденсата становятся более доступными для широких исследований [11], что даст возможность говорить о создании различных сенсоров и устройств на основе БЭК. Например, уже предлагаются схемы на основе БЭК для сверхточного детектора электрического,

магнитного [12] и гравитационных полей, где вопрос формирования ДУВ во время транспорта конденсата становится особенно важным.

Бозе-конденсация МР-поляритонов реализована относительно недавно, но количество новых и потенциальных экспериментов делает эту область одной из самых перспективных. Уже реализованы эксперименты с течением квазидвумерного и квазиодномерного конденсата мимо потенциала и эксперименты по генерации вихрей. Одним из таких экспериментов [6], который требует более детального теоретического изучения, была мотивирована данная работа. Изучение обтекания поляритонами препятствия может быть интересно для задачи детектирования неоднородностей среды.

1.5. Автор выносит на защиту

1. Расчет основных параметров дисперсионной ударной волны, которая образуется перед поршнем, движущимся с постоянным ускорением в атомном квазиодномерном БЭК. Также рассчитана начальная стадия формирования ДУВ для поршня, который движется по закону at3/3. Предложенный метод обобщен для произвольного закона движения.

2. Описание перехода от абсолютной неустойчивости к конвективной для темного солитона уравнения ГП. На основе предложенной интерпретации вычислена скорость роста длины темного солитона в задаче об обтекании атомным БЭК малого препятствия.

3. Объяснение результатов последних экспериментов с течением поляритонного конденсата [6] и рождением косых солитонов течением с дозвуковой скоростью. Расчет профилей плотности, скорости течения и формы солитона.

4. Разработка «квазичастичного» приближения для расчета динамики кольцевого и сферического солитона. Расчет динамики темного кольцевого солитона на однородном фоне интенсивности пучка света, распространяющегося в фоторефрактивной среде и на фоне профиля плотности Томаса-Ферми атомного БЭК.

1.6. Личный вклад автора

Все результаты численного моделирования автор провел самостоятельно. В задаче об ускоряющимся поршне основную аналитическую работу провел д.ф.-м.н. A.M. Камчатнов. Аналитическую часть задачи о кольцевом солитоне автор провел самостоятельно, используя метод, разработанный д.ф.-м.н. A.M. Камчатновым.

1.7. Апробация работы и публикации

Результаты работы были представлены в докладах на следующих конференциях и конкурсах:

1. Конкурс молодых ученых, ИСАН, Троицк 2009. Доклад «Течение Бозе-Эйнштейновского конденсата в квазиодномерном канале под действием поршня», C.B. Корнеев (Институт спектроскопии РАН), A.M. Камчатнов (Институт спектроскопии РАН).

2. Нелинейная сессия, Москва, 2010. Доклад «Развитие неустойчивости косых темных солитонов в Бозе-Эйнштейновском конденсате генерируемых при обтекании вогнутого угла.», C.B. Корнеев (Институт спектроскопии РАН), A.M. Камчатнов (Институт спектроскопии РАН).

3. Молодежная школа-конференция «Нелинейные волны — 2010», Звенигород, 2010. Доклад «Течение Бозе-Эйнштейновского конденсата в квазиодномерном канале под действием поршня», C.B. Корнеев (Институт спектроскопии РАН), A.M. Камчатнов (Институт спектроскопии РАН).

4. Ill сессия научной школы-практикума «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» Санкт-Петербург, 2010. Доклад «Решение стационарного нелинейного уравнения Шредингера на параллельной архитектуре.». C.B. Корнеев (Институт спектроскопии РАН).

5. Конкурс молодых ученых имени Александрова, ТРИНИТИ, Троицк, 2011. «Динамика кольцевых солитонов в бозе-эйнштейновском конденсате и нелинейной оптике.». C.B. Корнеев (Институт спектроскопии РАН), A.M. Камчатнов (Институт спектроскопии РАН).

Результаты исследования были премированы на конкурсе научных работ Института спектроскопии РАН (3 место совместно с A.M. Камчатновым) и на 111 сессии научной школы-практикума «Технологии высокопроизводительных

вычислений и компьютерного моделирования».

Список работ по теме диссертации приведен в конце автореферата.

1.8. Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, благодарностей и списка литературы. В конце каждой главы приводится обсуждение

основных результатов. Общий объем диссертации составляет 120 страниц, включая 34 рисунка. Библиография включает 100 наименований.

2. Основное содержание работ ы

Во введении рассмотрены ключевые эксперименты по генерации дисперсионных ударных волн в БЭК, которые обосновывают актуальность выбранной темы и направления исследований. Описана общая характеристика БЭК. Рассматривается редукция полного трехмерного уравнения ГП на примере квазиодномерного течения. Такую процедуру можно применить, когда движение атомов в БЭК «заморожено» вдоль одного или двух направлений. На эксперименте для реализации квазиодномерного конденсата используют оптические дипольные ловушки, в которых облако конденсата принимает сильно вытянутую сигарообразную форму. Квазидвумерный конденсат был реализован в дискообразных ловушках, образованных периодическим потенциалом лазерного луча. Приводится стандартная процедура перехода к безразмерным переменным и выписывается безразмерное уравнение ГП в стандартной и гидродинамической форме. Кратко описан эксперимент по обтеканию поляритонным конденсатом малого препятствия, когда течение порождает косые темные солитоны. Определены цели работы и сформулированы защищаемые положения.

В первой главе изучается течение квазиодномерного БЭК под действием ускоряющегося поршня.

В нервом разделе приводятся общие уравнения и краткий обзор по литературе. Выписано солитонное решение уравнения ГП, выраженное через инварианты Римана, система уравнений Уизема в

диагональной римановой форме и выражение для Уиземовских скоростей. Описывается

обобщенный метод годографа для решения системы уравнений Уизема с последующей сшивкой с бездисперсионным решением

Рисунок 5: Сравнение аналитической огибающей ДУВ (красная линия) с точным численным решением уравнения ГП (черная линия)

задачи о поршне.

Во втором разделе рассматривается течение конденсата на начальных этапах ускорения поршня, когда градиенты плотности и скорости невелики и дисперсией можно пренебречь. В бездисперсионном случае получается система уравнений классической газодинамики с показателем адиабаты 7 = 2. Приведено решение этой системы с граничными условиями на поршне, который движется с ускорением по произвольному закону. Решение выписано через инварианты Римана. Также приводится условие «опрокидывания» волны, то есть формирования особенности в профиле плотности и скорости течения, когда бездисперсионное приближение уже перестает работать.

В третьем разделе бездисперсионное решение для течения под действием поршня конкретизируются на случай равномерного ускорения поршня.

В четвертом разделе бездисперсионное решение для течения под действием поршня

конкретизируются на случай ускорения поршня по

произвольному закону.

В пятом разделе описывается процесс образования

дисперсионных ударных волн, когда градиенты плотности и скорости течения становятся настолько велики, что необходимо учитывать влияние дисперсии. Описываются общие свойства ДУВ, которая на одном конце представляет собой последовательность солитонов. а на другом — малоамплитудные осцилляции, причем в этом приближении ударная волна занимает конечную, но расширяющуюся со временем область пространства, сшиваясь в концевых точках и ж+(£) с гладким бездисперсионным решением. Таким

образом, бездисперсионное решение остается справедливым и после «опрокидывания», но только вне области ДУВ. Также приводится общий алгоритм сшивки гладкого решения с дисперсионным.

В шестом разделе конкретизируются коэффициенты сшивки в случае равноускоренного поршня. Приводится сравнение аналитической огибающей ДУВ, вычисленной методом Уизема, с точным численным решением уравнения ГП с равноускоренным непроницаемым потенциалом (см. рис. 5). Также приводится численное и

160 140 120 100 80 60 40 20 О

/ /

/ /1

У 1 1 1

^^ 1 1

10 12

Рисунок 6: Движение границ ДУВ: сплошные черные линии — аналитическое решение, красные квадратики — численное решение. Так же показан закон движения поршня зеленой сплошной линией.

аналитическое сравнение движения концевых точек и ДУВ (см. рис. 6).

В седьмом разделе приведен алгоритм сшивки гладкого решения с дисперсионным при произвольном законе ускорения поршня. В этом случае гладкое решение, с которым сшивается ДУВ, аппроксимируется кубической параболой. Также приведено сравнение аналитических огибающих с численным решением уравнения ГП. Учитывая, что гладкое решение является приближенным, согласие аналитических и численных результатов следует считать удовлетворительным. Нужно отметить, однако, что с увеличением времени, когда область, занимаемая ДУВ, все сильнее отклоняется от области кубической аппроксимации гладкого решения, согласие ухудшается. Тем не менее, развитая теория дает удовлетворительное описание ДУВ на начальной стадии ее эволюции.

В восьмом разделе описано численное решение задачи. Приведены основные численные схемы и параметры алгоритмов.

Во второй главе изучается конвективная неустойчивость косого темного солитона, который образуется течением атомного БЭК мимо малого препятствия.

Предложена новая интерпретация конвективной неустойчивости, на основе которой вычислены скорость роста солитона, формирующегося течением мимо малого препятствия.

В первом разделе в общем случае объясняется развитие изгибной неустойчивости темного солитона на качественном уровне.

Инкремент для линейных

Во втором разделе выписаны все необходимые формулы: формула для

Рисунок 7:

возмущений вдоль темного солитона профиля косого солитона, который

уравнения ГП. Когда 0 < р < рс (красная формируется течением атомного БЭК линия) инкремент неустойчивости, рс < р мимо малого препятствия, инкремент

(зеленая линия) дисперсионное соотношение для линейных волн возмущения вдоль

устойчивых гармонических мод.

' мелкого солитона уравнения 111 и

система уравнений для инкремента линейных волн возмущения, распространяющихся

вдоль солитона произвольной глубины.

В третьем разделе приводится интерпретация перехода к конвективной неустойчивости темного солитона, когда вдоль него есть течение. Когда темный солитон образуется течением мимо малого препятствия, то один его край примыкает к препятствию, а

другой, находящийся ниже по течению, является свободным и плавно переходит в последовательность вихрей (см. рис. 9). На численном счете видно, что солитон разрушается на своем свободном крае. На основании этого предлагается следующий критерий перехода от абсолютной неустойчивости к конвективной: если скорость течения вдоль солитона больше скорости разрушения солитона на вихри, то фронт разрушения сносится течением вдоль солитона, и солитон вытягивается вниз по течению (см. рис. 9), это случай конвективной неустойчивости; если скорость течения меньше скорости фронта, то развитие неустойчивости переходит в нелинейную стадию

в любой точке вдоль солитона и разрушает солитон на вихри, этот случай отвечает абсолютной неустойчивости. Выдвинуто предположение, что скорость разрушения солитона, то есть скорость фронта неустойчивых возмущений, равна минимальному значению групповой скорости линейных волн возмущений, которые распространяются вдоль солитона Vcr = min (см. рис. 7). Такое

предположение основывается на анализе асимптотического поведения пакета возмущений ф(у, t) = f f{p)ei(-pv~ílMt)dp при его эволюции вдоль солитона, где график |П(р)| представлен на рисунке 7. В методе перевала интеграл определяется значениями седловых точек функции, стоящей в показателе экспоненты, причем седловые точки определяются уравнением f = Показано, что границе пакета соответствует переход двух седловых точек в комплексную плоскость. Также это соответствует совпадению корней уравнения для седловых точек т.е. = 0, другими словами, граница пакета движется со скоростью, равной минимальной групповой скорости линейных волн, распространяющихся вдоль темного солитона. Это предположение проверено аналитически для мелкого солитона, инкремент которого известен в аналитической форме. Таким образом, можно утверждать, что на достаточно больших временах фронт возмущений темного солитона распространяется в невозмущенную область со скоростью Vcr, которая определяется параметрами солитона, а не начальной формой возмущения, при условии, что спектр возмущения достаточно широкий Ар > рст. Это утверждение было проверено прямым численным решением уравнения ГП с начальным слабо возмущенным солитонным решением. На рисунке 8 показаны две стадии развития возмущения. Несмотря на то,

-100 -80 -60 -40 -20 f О 20 40 60 80 100

t=15 ' ■ 1 /

О 5 10 15 20 25 30 15 20 25 30 35 40 45

Рисунок 8: Эволюция во времени локализованного возмущения.

Планарный солитон слабо возмущен вблизи точки у — 0, начачьное положение солитона х = 10, а его скорость V = 0.355. Фронт возмущенной области расширяется со скоростью V~ ±1.30.

что возмущенная область быстро развивается в нелинейную стадию с рождением вихрей, граница возмущения распространяется со скоростью V/ S ±1.30, что хорошо согласуется с значением критической скорости Vcr = 1.27, вычисленной по линейной теории.

В четвертом разделе на основе предложенной интерпретации вычисляется скорость роста длины темного солитона, который формируется течением БЭК мимо малого препятствия. Если скорость течения вдоль солитона превышает критическое значение, которое определено в предыдущем разделе, то следует ожидать, что темный солитон растет со скоростью, которую можно вычислить по следующей формуле:

dL/dt = V¡| - Vcr, где V|| — проекция скорости течения вдоль солитона. Это предположение было проверено прямым численным расчетом. На рисунке 9 показаны несколько стадий формирования косого солитона. Для выбранных параметров течения скорость косого солитона равна Vj_ = 0.355, компонента скорости натекающего течения вдоль солитона равна V¡| = 2.98, а минимальная групповая линейных волн возмущения вдоль солитона равна Vcr = 1-27 при значении волнового числа рсг = 1.08. В итоге получаем скорость роста солитона dL/dt = 1.71, что практически совпадает с численной оценкой dL/dt ~ 1.69, которая получена линейной аппроксимацией данных, извлеченных из измерений (см рис. 9).

В пятом разделе описано численное решение задачи. Приведены основные численные схемы и параметры алгоритмов. Описан способ численной оценки скорости разрушения солитона.

В третьей главе рассмотрено формирование косых солитонов течением поляритонного БЭК мимо малого препятствия вне области накачки. Показано, что наличие затухания в системе сильно меняет условие перехода к конвективной

40 ~

-50 0 50 100 150 200 250 300 350

X

Рисунок 9: Процесс формирования косых солитонов течением мимо препятствия. Число Маха натекающего течения равно М = 3, скорость косого солитона равна У± = 0.355 что соответствует скорости солитона на рисунке 8. Длина косого солитона растет со временем со скоростью dL/dt ~ 1.69, в соответствии с аналитическим значением, вычисленным по линейной теории.

неустойчивости косого темного солитона и, как найдено на эксперименте, солитоны появляются при дозвуковых скоростях натекающего течения [6].

В первом разделе сформулирована теоретическая модель поляритонного конденсата в микрорезанаторе вне области накачки х > 0 на основе уравнения ГП с дополнительным эффективным членом д^ф = —7ф, который учитывает затухание, и граничными условиями для плотности и скорости течения в соответствии с экспериментом [6]. Результат численного решения задачи в такой постановке задачи приведен на рисунке 10. Также выписана гидродинамическая форма уравнения ГП с затуханием.

Во втором разделе предложено гидравлическое приближение (бездисперсионное) для уравнения ГП с затуханием. Гидравлическое приближение работает, когда течение

достаточно плавное и можно пренебречь дисперсионным

членом. Приведено стационарное аналитическое решение

уравнения ГП с затуханием в гидравлическом приближении. Полученное решение определяет профиль плотности и скорости течения. На рисунке 11 показано сравнение аналитического

профиля локального значения числа Маха с численным решением уравнения ГП. Как видно, значение числа Маха натекающего течения меньше единицы, но недалеко от препятствия существует область, где значение числа Маха М > 1.44, что делает возможным в этой области эффективную стабилизацию косого солитона.

на медленно затухающем фоне. Выписано солитонное решение в приближении медленно затухающего фона. В этом решении все параметры солитона пропорциональны ~ ехр(—7^, где 7 — величина затухания. Это решение было проверено численно для фоновой плотности, затухающей со временем, и было получено хорошее согласие. Также было рассмотрено движение фронта неустойчивых возмущений и получено выражение для минимальной групповой

х

Рисунок 10: Распределение поляритонного конденсата в области х > 0, для величины затухания 7 = 0.02. Препятствие расположено в точке х = 1.0, у = 0 и моделируется цилиндрическим потенциалом единичного диаметра. Параметры натекающего течения следующие: ро = 1.0, щ = 0.625. Белая кривая показывает форму солитона, которая вычислена по аналитическим формулам.

В третьем разделе рассмотрен темный солитон

скорости Уд = Удо ехр(—74), где УПо — минимальная групповая скорость в начальный момент времени. Приведенная формула показала хорошее согласие с численным измерением групповой скорости пакета возмущений, который движется вдоль солитона на затухающем от времени фоне. Для случая затухающего фона в зависимости от координаты х рассчитана форма солитона. Она определяется фоновыми профилями плотности и скорости течения, поскольку солитон стационарен в системе отсчета, связанной с препятствием, когда его локальная скорость движения компенсируется компонентой скорости течения, перпендикулярной солитону. Форма солитона, вычисленная аналитически, хорошо согласуется с результатами численных расчетов

(см. рис. 10).

Четвертый_раздел посвящен

устойчивости темного косого солитона на неоднородном по пространственной координате фоне. Высказано предположение относительно

формирования течением мимо препятствия темного косого солитона на неоднородном фоне: если область около препятствия является

неустойчивой для солитона (М < 1.44), а вниз по течению существует область устойчивости (М > 1.44), то тень от препятствия может достичь устойчивой области и в результате растущий из области тени солитон может стабилизироваться во всем

пространстве. При этом фронт возмущений на конце солитона сносится течением от препятствия, вытягивая солитон. Предложена оценка расстояния хсг ~ 0.055уро/у, с которого начинается устойчивая область, где ро — плотность натекающего течения. На численном эксперименте (см. рис. 10) ро = 1 и 7 = 0.02, и для этих значений расстояние хсг порядка единицы, что и объясняет формирование солитона на эксперименте [6] при дозвуковом течении. На эксперименте скорость звука вблизи препятствия была равна приблизительно е., ~ Ъ.Ьрт/ря, а время жизни поляритона равно примерно 1/7~15рв, что дает хсг ~ 0.055с,,/7 Е» Здтг, то есть область неустойчивости имеет размер порядка наблюдаемой ширины солитона.

В пятом разделе описано численное решение задачи. Приведены основные численные схемы и параметры алгоритмов. Описан способ численного измерения групповой скорости пакета возмущений, который бежит вдоль солитона на затухающем фоне.

х

Рисунок 11: Локальное значение Маха как функции х. Параметры натекающего течения: р0 = 1.0, щ = 0.625. Красная сплошная кривая показывает аналитическое решение в гидравлическом приближении, а зеленые кружки численное решение уравнения ГП с затуханием.

Четвертая глава посвящена изучению динамики кольцевого солитона в атомном БЭК и нелинейной оптике. Для описания динамики темного кольцевого солитона был использован квазичастичный подход. Показано, что использование закона сохранения энергии позволяет получить эффективное уравнение движения темного кольцевого солитона для общего вида нелинейности в НУШ и для уравнения ГГ1 с неоднородным распределением фоновой плотности.

В первом разделе приведены формулы для солитонного решения и энергии солитона для НУШ с произвольной нелинейностью. Выписан закон сохранения энергии темного

солитона НУШ Е(р0,У2) = Д>, где ро фоновая плотность, V — скорость солитона. Если ввести «коллективную» координату

солитона Х(Ь), то закон сохранения энергии темного солитона можно интерпретировать как уравнение движения. Если солигон движется на неоднородном фоне, который, например, создается

параболической ловушкой, то уравнение движения примет вид Е(р(Х),Х{Ь)2)=Е0, и это уравнение в общем случае можно

100

Рисунок 12: Зависимость радиуса кольцевого темного солитона от времени в случае фоторефрактивной нелинейности: черная решить численно. Такой подход сплошная линия показывает аналитическое можно обобщить на случай решение, а красные квадратики численное кольцевого солитона, если ширина решение НУШ. солитона много меньше его радиуса

1/\/ро - V'2 <С R и сохраняется цилиндрическая симметрия; тогда полная энергия кольцевого солитона радиуса R равна R ■ E{p{R), R{t)2) = R0 ■ E0.

Во втором разделе формула для энергии кольцевого солитона конкретизируется в случае уравнения ГП и однородного фона. Уравнение движения уже было получено в работе [13] методом теории возмущений. Дифференцируя закон сохранения энергии по времени, получаем аналог уравнения Ньютона для кольцевого солитона, которое было получено в работе [14] как частный случай уравнения контурной динамики для темного солитона.

В третьем разделе рассматривается случай однородного фона и нелинейности с насыщением /(р) = В этом случае волновая функция НУШ описывает

140

огибающую электромагнитных волн в фоторефрактивной среде. Выражение для энергии темного солитона конкретизируется для заданной нелинейности и полученное уравнение движения интегрируется относительно На рисунке 12 приведено сравнение радиуса вычисленного аналитически, с прямым численным расчетом НУШ.

Рисунок 13: Зависимость радиуса кольцевого темного солитона от времени для солитона, который распространяется по распределению плотности БЭК, который удерживается гармонической ловушкой: черная сплошная линия показывает аналитическое решение, а красные

В

четвертом

разделе

рассматривается движение

кольцевого солитона в атомном БЭК, который удерживается параболической ловушкой

квадратики численное решение НУШ, синими и(г) = шЦг2/2. В этом случае кружками обозначается зависимость радиуса от фоновая плотность в приближении времени для структуры из вихрей, а зеленой Томаса-Ферми принимает вид обозначается формальное ро(г) = 1^2 _ г2); где радиус

распределения конденсата I связан с химическим потенциалом р и количеством частиц на единицу длины вдоль ловушки N соотношениями р = I2, N = В случае двухчастичного отталкивающего

сплошной линиеи аналитическое решение.

взаимодействия между атомами БЭК

конденсат описывается уравнение ГП и выражение для энергии темного солитона

хорошо известно, так что легко написать закон сохранения

энергии для кольцевого солитона. Если

получившиеся выражение

х х продифференцировать

Рисунок 14: Разрушение кольцевого солитона на по времени, то ожерелье вихрей: в момент времени (а) t = 120 кольцевой приходим к аналогу солитон возмущен слабо, а при (б) Ь = 130 нелинейная уравнения Ньютона для стадия неустойчивости разрушает солитон на ожерелье хемного солитона в вихрей.

2 2 ) — гармонической ловушке ^т = —" зя°/3 " • Первый член в правой части

соответствует колебаниям кольцевого солитона с частотой шо/у/2, то есть описывает

эффект неоднородного фона, исследованный в работе [4]. Второй член описывает

эффект кривизны солитона, который был исследован в работе [12]. Полученное

уравнение движения интегрируется относительно /?(£). На рисунке 13 приведено

сравнение радиуса который вычислен аналитически, с прямым численным

расчетом НУ111. Из численного расчета следует, что кольцевой солитон в ловушке

после точки поворота начинает разрушаться из-за изгибной неустойчивости (см. рис.

14) и формально закон сохранения энергии не работает, но структура из вихрей

продолжает двигаться так, как если бы на ее месте был кольцевой солитон. На рисунке

13 кружками показано движение структуры из вихрей, а пунктиром — формальное

решение. Стоит отметить, что число длин волн Л ■ к ~ 12, которые соответствуют моде

с максимальным неустойчивым инкрементом для параметров солитона в момент

времени Ь = 130, примерно совпадает с числом вихрей.

В заключении формулируются основные выводы:

1. При действии на квазиодномерный конденсат движущегося поршня образуется дисперсионная ударная волна, которая представляет собой конечную, но расширяющуюся во времени область осцилляций. На начальных этапах ускорения поршня течение перед поршнем плавное и описывается классическими уравнениями бездисперсионной газодинамики с показателем адиабаты 7 = 2. После опрокидывания бездисперсионного решения, то есть формирования особенности, производные становятся настолько большими, что необходимо учитывать дисперсию. В итоге формируется дисперсионная ударная волна, эволюцию которой можно описать уравнений Уизема. Аналитическое решение уравнений показывает хорошее согласие с прямыми численными расчетами уравнения Гросса-Питаевского.

2. Теорию перехода абсолютной неустойчивости темного солитона к его конвективной неустойчивости можно развить на основе изучения движения фронта возмущений, разрушающего солитон. Если скорость течения конденсата вдоль солитона больше скорости, с которой он разрушается, то солитон переходит от абсолютной неустойчивости к конвективной, то есть становится эффективно устойчивым; в противоположном случае солитон неустойчив абсолютно. Показано, что на достаточно больших временах скорость разрушения солитона не зависит от вида начального возмущения при условии, что спектр возмущения достаточно широкий, и равна минимальной групповой скорости линейных волн возмущений, распространяющихся вдоль солитона. На основе такой интерпретации была рассчитана скорость роста

длины темного косого солитона, формирующегося течением атомного БЭК мимо малого препятствия, и аналитическая оценка показала хорошее согласие с численными расчетами.

3. Если косой темный солитон формируется неоднородным течением мимо препятствия, как, например, в случае поляритонного конденсата, то условие перехода к конвективной неустойчивости видоизменяется. Даже если скорость натекающего на препятствие конденсата ниже критической скорости, косой солитон может тем не менее сформироваться, если вниз по течению не слишком далеко от препятствия находится область течения, где солитон эффективно устойчив. Этот процесс можно интерпретировать как волновое проникновение солитона через неустойчивую область. Численное моделирование на основе уравнения ГП с затуханием показало справедливость такого предположения, если расстояние xcr 2 0.055 v/pn/7 от препятствия до области устойчивости не слишком большое, где 7 — коэффициент затухания и Ро — плотность натекающего течения. Эта оценка объясняет эксперимент [6], в котором наблюдались косые солитоны, сформированные дозвуковым натекающим течением. Также рассчитана форма солитона на фоне плавно меняющегося течения, которая хорошо согласуется с результатами численных расчетов.

4. Показано, что использование закона сохранения энергии позволяет получить эффективное уравнение движения темного кольцевого солитона в случае общего вида дефокусирующей нелинейности. Рассмотрен пример динамики кольцевого солитона, распространяющегося на фоне однородной интенсивности пучка света в фоторефрактивной среде или на неоднородном фоне атомного БЭК, удерживаемого в параболической ловушке. Аналитические результаты показали хорошее согласие с результатами численных расчетов.

3. Публикации по теме диссертации

1. A.M. Камчатнов, C.B. Корнеев, «Течение бозе-эйнштейновского конденсата в квазиодномерном канале под действием поршня.» ЖЭТФ 137, № 1 (2010): 191204.

2. A.M. Kamchatnov, and S.V. Kornecv, «Dynamics of ring dark solitons in Bosc Einstein condensates and nonlinear optics.» Physics Letters A 374, no. 45 (October 11,2010): 4625-4628.

3. A.M. Kamchatnov, and S.V. Korneev, «Condition for convective instability of dark

solitons.» Physics Letters A 375, no. 26 (June 4,2011): 2577-2580.

4. A.M. Kamehatnov, and S.V. Korneev, «Oblique solitons in the flow of polariton condensate past an obstacle», arXiv: 1111.4170 (2011).

Список цитируемой литературы

[1] A.M. Kamehatnov, A. Gammal, and R.A. Kraenkel, Phys. Rev. A 69 (2004), 063605.

[2] E.A. Cornell Talk at the «Conference on Nonlinear Waves, Integrable Systems and their Applications», Colorado Springs, June (2005).

[3] M.A. Hocfer et al., Phys. Rev. A 74 (2006), 023623.

[4] V.A. Brazhnyi, V.V. Konotop, L.P. Pitaevskii, Phys. Rev. A 73 (2006), 053601.

[5] A.M. Kamehatnov et al., J. Phys. B, 42 (2009), 185303.

[6] A. Amo et al. Science, 332 (2011), 6034.

[7] A.M. Kamehatnov, and L.P. Pitaevskii, Phys. Rev. Let. 100 (2007), 16.

[8] V. Hakim, Phys. Rev., E 55 (1997), 2835.

[9] A.M. Leszczyszyn, G.A. El, Yu.G. Gladush, A.M. Kamehatnov, Phys. Rev. A 79 (2009) 063608.

[10] M. Hoefer, M. Ablowitz, and P. Engels, Phys. Rev. Let. 100 (2008), 8.

[11] D.M. Farkas et al. Л p. Phys. Let., 96 (2010), 9.

[12] S. Wildermuth et al., Л p. Phys. Let. 88 (2005), 26.

[13] Y.S. Kivshar, X. Yang, Phys. Rev. E 50 (1994), R40.

[14] B.A. Миронов, A.M. Смирнов, Л.А. Смирнов, ЖЭТФ 139 (2011), 1.

Подписано в печать 16.12.2011 г. Формат 60x84/16. Печ. л. 1.5 Тираж 60 экз. Заказ 6407.

Издательство «Тровант» ЛР 071961 от 01.09.1999 г.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии издательства «Тровант». 142191, г. Троицк Московской обл., м-н «В», д. 52. Тел. (495) 775-43-35, (4967) 50-21-81 E-mail: trovant@trtk.ai, http://www.trovant.ru/

ВВЕДЕНИЕ з

1 Течение бозе-эйнштейновского конденсата в квазиодномерном канале под действием поршня

1.1 Основные уравнения.

1.2 Течение конденсата до момента опрокидывания волны

1.3 Равноускоренное движение поршня

1.4 Неравноускоренное движение поршня.

1.5 Образование дисперсионных ударных волн.

1.6 Эволюция дисперсионной ударной волны при равноускоренном движении поршня.

1.7 Эволюция дисперсионной ударной волны непосредственно после опрокидывания при не равноускоренном движении поршня

1.8 Численная реализация.

2.2 Основные формулы .58

2.3 Переход к конвективной неустойчивости и движение фронта неустойчивости.бЭ

2.4 Скорость роста длины темного солитона .71

2.5 Численная реализация.72

2.6 Заключение.74

3 Темный косой солитон, гене рируемый течением поляри-тонного конденсата мимо препятствия 75

3.1 Теоретическая модель. .76

3.2 Гидравлическое приближение.79 Л

3.3 Темный солитон на медленно затухающем фоне.82

3.4 Устойчивость темного солитона на неоднородном фоне . . 87

3.5 Численная реализация.91

3.6 Заключение.91

4 Динамика темного кольцевого солитона в бозе-эйнштейновском конденсате и нелинейной оптике 93

4.1 Основные уравнения. 93

4.2 Динамика темного кольцевого солитона на однородном фоне 98

4.3 Динамика темного кольцевого солитона с среде с фоторе-фрактивной нелинейностью. 99

4.4 Динамика кольцевого темного солитона на неоднородном фоне.101

4.5 Заключение.105

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 105

Благодарности 108

Введение

Динамика бозе-эйнштейновского конденсата (БЭК) (далее предполагается отталкивающее взаимодействие между атомами или дефокусиру-ющая нелинейность в аналогичных оптических задачах) привлекает к себе большое внимание с момента его экспериментального обнаружения. Сначала изучались задачи о колебаниях конденсата как целого [1-3] или же течение конденсата из выключенной ловушки [4-8]. Затем много усилий было потрачено на формирование и динамику вихрей [9,10], генерации звуковых волн [11] и солитонов [12-14]. В настоящее время одной из актуальных задач динамики БЭК является проблема образования дисперсионных ударных волн при эволюции больших возмущений конденсата. Впервые на эксперименте такие волны были обнаружены при воздействии относительно интенсивного лазерного луча на цилиндрически симметричный конденсат в параболической ловушке (см. рис. 1), когда луч, распространяющийся вдоль оси конденсата, передавал ему импульс в радиальном направлении. В результате распространяющаяся от оси конденсата волна «опрокидывалась» с образованием цилиндрически симметричной волновой структуры [15], которая была интерпретирована в [16] как дисперсионная ударная волна (ДУВ). Похожие волновые структуры уже наблюдались ранее в течении мелкой воды (например, во время прилива поступающие в широкий залив массы воды нагнетаются в суженное русло, где они концентрируются, образуя волновой фронт или бор [17]), в плазме [18] и в нелинейной оптике [19], но изучение дисперсионных ударных волн стало наиболее актуальным в связи с экспериментальной реализацией в 1995 году бозе-эйнштейновской конденсации [20]. Как известно, дисперсионная ударная волна формируется в результате сильного возмущения плотности, давления или скорости течения, в тех средах, в которых линейные волны обладают настолько сильной дисперсией, что ее эффекты в определенных условиях гораздо более существенны, чем эффекты диссипации или вязкости; тогда именно эффекты дисперсии останавливают «опрокидывание» волны, то есть формирование особенности, и вместо скачка параметров, образующейся в классической ударной волне, в ДУВ образуется расширяющаяся во времени область осцилляций.

Рис. 1: Дисперсионные ударные волны в атомном БЭК, образовавшиеся под воздействием силового поля лазерного луча при двух различных значениях мощности лазерного луча (рисунок из [15,20]).

Суть явления бозе-эйнштейновской конденсации заключается в том, что при температуре, близкой к абсолютному нулю, макроскопическое число частиц с целым спином (бозоны) собирается («конденсируется») в одном и том же квантовом состоянии системы. Если частицы не взаимодействуют друг с другом, то есть образуют идеальный газ, то при достижении нулевой температуры они оказываются в этом единственном состоянии и, будучи неразличимыми, описываются единой волновой функцией (параметром порядка) ф. Если же между атомами газа есть слабое взаимодействие, например, когда газ достаточно разряжен, то такой конденсат можно по-прежнему описывать общей волновой функцией, но уже для частиц, которые движутся в некотором среднем потенциале, возникающим вследствие взаимодействия частиц друг с другом. Впервые описание такого слабо неидеального бозе-газа было введено Боголюбовым [21] для случая газа с однородной равновесной плотностью и позднее оно было обобщено на неоднородные и нестационарные состояния Гроссом [22] и Питаевским [23]. В этом приближении среднего поля волновая функция ф = ф(г,t) зависит от координаты г и времени t и подчиняется уравнению Гросса-Питаевского (или нелинейному уравнению Шредингера (НУШ) с нелинейностью ${\ф\) — \ф\2)

Bib Ь2 "2тАФ + и{г)Ф + дМ2ф (1) где т — масса атомов, U(г) является внешним потенциалом, воздействующим на атомы конденсата (в частности, это может быть потенциал ловушки, удерживающей конденсат), и параметр д = 4тгh2as/m, где as -длина рассеяния, характеризует взаимодействие атомов друг с другом: положительные значения д > 0 соответствуют отталкиванию атомов, а отрицательные д < 0 — их притяжению. Плотность газа р{г, t) и скорость его течения u(r, t) выражаются через волновую функцию ^(r, t) следующим образом: р(т, t) = \ф(т, t) I2, u(r, t) = -Vifi r, t), (2) m где <p(r,t) — фаза волновой функции (ф = у/рexp(iip)). Очевидно, что первый член в правой части (1) описывает стандартную квантовую дисперсию частиц, а последний член определяет нелинейный потенциал, обусловленный взаимодействием атомов в конденсате. Таким образом, наличие нелинейности и дисперсии делает возможным формирование дисперсионных ударных волн в среде. Об основных свойствах конденсата в приближении теории среднего поля можно узнать, например, из обзоров [24,25].

Рассмотрим основные свойства конденсата, которые понадобятся в диссертации. Далее считаем, что конденсат состоит из атомов с отталкивающим взаимодействием, то есть д > 0. Пусть конденсат однороден и имеет в невозмущенном состоянии постоянную плотность ро. Еще H.H. Боголюбовым было показано [21], что в таком конденсате могу г распространяться волны 5р, <5и ~ ехр[г(кг — с законом дисперсии и,(к) = \1 (3) где с»=(4) V т скорость звука в длинноволновом пределе к —У 0. При малых волновых числах закон дисперсии (3) соответствует звуковым волнам, распространяющимся со скоростью с5, ш ~ с3к, к -» 0, (5) а при больших к он воспроизводит квантовый закон дисперсии свободных частиц с массой т,

Ы2 , и ~-, к оо. (6)

2т w

Переход от одного предельного случая к другому происходит при промежуточных значениях волнового числа, соответствующего длине волны порядка величины характерного параметра — корреляционного радиуса = * = (7) л/2тдр0 уД тс3' который также определяет длину волны де Бройля частиц, движущихся со скоростью звука.

На эксперименте активно изучалась реализация БЭК, когда движение частиц «заморожено» в одном или двух направлениях [26-28]. Для экспериментальной реализации квазиодномерного конденсата, например, используют оптические дипольные ловушки, в которых облако конденсата принимает сильно вытянутую сигарообразную форму [29]. Квазидвумерный конденсат был реализован в дискообразных ловушках, образованных периодическим потенциалом лазерного луча [30]. Если потенциалы таких ловушек достаточно глубокие, то движение поперек диска «заморожено» и конденсат расщепляется на несколько независимых квазидвумерных облаков. Для примера рассмотрим квазиодномерное течение конденсата в «сигарообразной» ловушке (канале). Если течением поперек канала можно пренебречь, то уравнение (1) допускает упрощение (см., например, [31]). Предположим для конкретности, что в поперечном направлении конденсат удерживается потенциалом магнитной или лазерной ловушки, причём в хорошем приближении этот потенциал можно считать гармоническим:

771

Щт,г) = -ш1(уг + 2?) + и(хЛ (8) где и(х,Ь) — потенциал в продольном направлении. В пренебрежении нелинейным взаимодействием в (1) поперечное движение описывается состояниями частицы в цилиндрически симметричном гармоническом потенциале с уровнями энергии, равными (п + \) , п = 0,1,2,., (9) причём характерный размер конденсата в радиальном направлении имеет порядок величины а± = (10)

Пусть погонная плотность конденсата вдоль ловушки равна р = I \ф\2с1ус1г ~ \ф\2а\. (11)

Тогда энергия нелинейного взаимодействия на единицу длины имеет порядок величины д / \ф\4с1у(1г ~ д\ф\Аа\ ~ д^-.

Если эта энергия много меньше, чем энергия поперечного движения атомов в первом возбуждённом состоянии порядка Ьи. то есть выполняется условие то можно считать, что поперечное движение атомов описывается волновой функцией основного состояния частицы в цилиндрически симметричном гармоническом осцилляторе. Таким образом, волновая функция конденсата факторизуется: г ,Ь) = Щх,г)ф(у,г)е-^, (13) где

Подстановка (8) и (23) в (1) с последующим умножением на ф и интегрированием по поперечным координатам даёт эффективное уравнение движения конденсата вдоль ловушки [31]: дФ К2 <92Ф где

910 = (16) перенормированная константа нелинейного взаимодействия. Уравнение (15) описывает квазиодномерную динамику конденсата.

Для дальнейшего удобно перейти к безразмерным переменным. Если в задаче существует характерная плотность ро (например, плотность в центре ловушки или вдали от препятствия) и соответствующая характерная скорость с5 и длина то можно ввести безразмерные переменные г ~ Сс и ~ Ф и , . так что уравнение Гросса-Питаевского принимает вид гфt + -Аф - \ф\2ф -иф = 0, (18) 2 где для удобства обозначений тильды опущены. В этих переменных закон дисперсии (3) волн в однородном конденсате принимает простую форму и{к) = к^1 + ^. (19)

Очевидно, что фазовая скорость всех гармоник больше скорости звука, равной единице в безразмерных переменных.

Помимо линейных волн, в конденсате могут распространяться и нелинейные волны, характерным примером которых является темный соли-тон: решение, зависящее лишь от одной пространственной координаты, к качестве которой выберем х, впервые найденное в [32] в виде ф = ф3(х - У г) = - У2Ьа.пЬ (У 1 - У2{х - Уг)) Л-гУ] ехр(-й).

20)

Глубина темного солитона зависит от его скорости У, которая не может превышать скорость звука.

Удобно перейти от параметра упорядочения ф(т,£) к гидродинамическим переменным посредством подстановки ф(г,1) = у/р(т, ¿) ехр , г ju(I/,t)dЛ , (21) V

Го где р{ г, ¿) - локальная плотность атомов в конденсате, и (г, Ь) — потенциальное поле скоростей течения конденсата. В результате приходим к системе рь + Щри) = 0, и£ + (иУ)и + Ур + V

Vр)2 А р

22)

8 р2 4 р допускающей наглядную гидродинамическую интерпретацию: первое уравнение здесь является уравнением непрерывности для плотности конденсата. а второе — модифицированным уравнением Эйлера для скорости течения, причем дополнительный последний член в левой части отражает квантовую-дисперсию атомов конденсата. Если пренебречь дисперсией, то второе уравнение переходит в классическое уравнение Эйлера для газа с показателем адиабаты 7 = 2. В этих переменных солитонное решение (20) имеет вид

1-У2 , . ./. 1 ' р(х,і) = 1 со 8Ъ2[у/1-У2{х-УЬ)У и(х,г) = У 1

К-М).

• (23)

После формулировки этих предварительных сведений вернемся к обсуждению дисперсионных ударных волн в бозе-эйнштейновском кондег-сате.

Эксперименты, в которых наблюдаются дисперсионные ударные волны в БЭК, можно условно разделить на два типа: во-первых, зависящее от времени внешнее воздействие вызывает сильное возмущение течения конденсата и эволюция импульса возмущения приводит к формированию ударной волны; во-вторых, при сверхзвуковом течении конденсата мимо препятствия возникает стационарная волновая картина, которая при большой амплитуде волн также может быть рассмотрена как дисперсионная ударная волна. Первой ситуации отвечают описанные выше эксперименты по воздействию интенсивного лазерного луча на БЭК з параболической ловушке, и формирующаяся в этих экспериментах ДУВ с цилиндрической симметрией до сих пор не получила полного аналитического описания. Однако эта задача упрощается, если расстояние между кольцами, которые определяются минимальными значениями плотности в ДУВ (см. рис. 1), больше ширины кольца. В этом случае каждое кольцо можно рассматривать как отдельный кольцевой солитон и тогда динамику ударной волны можно рассмотреть как динамику кольцевых солитонов. Если ловушка, в которой удерживается БЭК, сильно вытянута по одной координате, то кольцевой солитон вырождается в два квазиодномерных темных солитона. В работе [33] был предложен физически наглядный подход к решению задачи движения такого солитона, который основывается на «квазичастичном» приближении, а в [34] этот подход был обобщен на случай нелинейности произвольного типа.

Уравнение Гросса-Питаевского также описывает распространение пучка света в керровской нелинейной среде, когда переменная поля ф имеет значение огибающей поля электромагнитной волны, \ф\2 является интенсивностью, Ь играет роль координаты вдоль пучка света, г — радиус вектор в перпендикулярном направлении, и II(г) может быть связан с неоднородностью коэффициента преломления. В работе [36] методом

Рис. 2: Динамика темного кольцевого солитона на однородном фоне пучка света, распространяющегося в нелинейной среде с насыщением (рисунок из [35]). теории возмущения была решена задача движения кольцевого солитона на ровном фоне в случае керровской нелинейности /(р) = р, но в последних экспериментах с оптическими кольцевыми солитонами, обычно использовалась фоторефрактивная среда с насыщением (см. рис. 2\ которая описывается нелинейностью вида }{р) — р/(1+7р). Итак, сформулируем первую задачу диссертации: описание движения темного кольцевого солитона в атомном бозе конденсате, который удерживается параболической ловушкой и кольцевого солитона на однородном фоне интенсивности пучка света, распространяющегося в фоторефрактивной среде.

Эксперименты с течением конденсата мимо препятствия тоже представляют большой интерес, так как эта тема важна в связи с вопросом о нарушении сверхтекучести при больших скоростях течения. Было найдено, что при больших размерах препятствия сверхтекучесть исчезг-ет вследствие генерации вихрей при скоростях течения выше критической, которая равна примерно 0.43 от скорости звука. Однако, если препятствие достаточно мало (его размер много меньше корреляционной длины), то вихри не могут порождаться столь малым препятствием и сверхтекучесть исчезает вследствие черенковского звукового излучения лишь когда скорость течения превышает скорость звука. Этот вопрос интенсивно изучался экспериментально, например, в одном из эксперимен

Рис. 3: Волновая картина, которая образуется сверхзвуковым течением атомного БЭК мимо малого препятствия (рисунок из [20]) тов [20] бозе-конденсат выпускался из магнитной ловушки, а перпендикулярно его движению направлялся лазерный луч, выталкивающий атомы конденсата. Скорость течения достигала сверхзвуковых значений, что приводило к потере сверхтекучести и генерации волн (см. рис. 3). Проведенные численные расчеты показали [38-41], что при сверхзвуковом

Рис. 4: Волновая картина плотности поляритонного БЭК, которая образуется течением мимо препятствия, размер которого в несколько раз превышает длину корреляции (рисунок из [37]) обтекании большого препятствия с размерами много больше длины корреляции образуются две стационарные дисперсионные ударные волнь , одна из которых находится перед препятствием, а другая — вниз по течению за препятствием. В «передней» ДУВ по мере удаления от препятствия амплитуда осцилляций уменьшается, и в результате ударная волна асимптотически переходит в линейные волны модуляции черенковского звукового излучения, расположенные вне конуса Маха. Напротив, ударная волна позади препятствия на достаточном расстоянии от препятствия распадается на «веер» стационарных темных солитонов (см. рис. 4), который всегда расположен внутри конуса Маха. Картина упрощается, если размер препятствия имеет порядок длины корреляции. В этом случае «передняя» ударная волна уже на близком расстоянии от препятствия обладает настолько малой амплитудой, что с хорошей точностью описывается линейной теорией, а «задняя» ударная волна трансформируется в два симметрично расположенных темных солитона (см. рис. 5).

Наблюдаемая в численном счете устойчивость косых солитонов противоречит, на первый взгляд, известной неустойчивости двумерных темных солитонов относительно изгибных возмущений [42]. Однако теория из-гибных возмущений темного солитона разрабатывалась для солитонов бесконечной длины и без течения конденсата вдоль солитона. Поэтому в работе [43] был исследован вопрос формирования двумерного солитона течением конденсата мимо препятствия. Как показал численный счет, солитон может генерироваться, то есть становится эффективно устойчивым, лишь при достаточно больших числах Маха М > 1.44. Также численный счет показал, что один конец солитона примыкает к препятствия, а другой, противоположный, является свободным и поэтому постепенно распадается на вихревые пары (см. рис. 6). Если рассмотреть солитон в системе отсчета, связанной со свободным концом, то в этой системе отсчета солитон будет неустойчив. Следовательно, вопрос устойчивости солитона зависит от системы координат, в которой рассматривается солитон, что означает необходимость различать абсолютную неустойчивость и конвективную неустойчивость: если темный солитон неустойчив в любой системе'отсчета, то он неустойчив абсолютно, а если существует система отсчета, в которой неустойчивые моды «сносятся» течением вдоль солитона, не успев разрушить солитон, это означает конвективную неустойчивость, то есть эффективную устойчивость. Именно конвективная неустойчивость реализуется на численных экспериментах, когда значение числа Маха превышает М > 1.44, и на основании вышесказанного можно сформулировать следующие задачи. Сначала необходимо вывести критерий перехода к конвективной неустойчивости солитона в системе отсчета связанной с препятствием. Эта задача была решена в работе [43], но предложенный подход не позволяет решить вторую важную задачу, а именно оценить скорость роста солитона в той системе отсчета, в которой он является эффективно устойчивым. Итак, сформулируем вторую задачу диссертации: детально рассмотреть условие конвективной неустойчивости темного косого солитона, который образуется течением атомного Б ЭК мимо малого препятствия.

-20 0 20 -20 0 20

Рис. 5: Распределение плотности (слева) и фазы течения поляритонного БЭК миго малого препятствия, скорость натекающего течения г>/;ош ~ 1.7цт/ps, скорость звука cs ~ 3.5цт/ps (рисунок из [37])

На экспериментах также активно изучался вопрос о течении квазиодномерного конденсата мимо плавного проницаемого препятствия. Например, недавно были опубликованы результаты по управлению течением конденсата вдоль квазиодномерной ловушки с помощью поршня, образованного движущемся потенциалом лазерного луча (см. рис. 7). В этом эксперименте был использован широкий и невысокий потенциал, так что течение в области потенциала может быть описано в рамках так называемого «гидравлического» приближения. Стационарные течения конденсата в этом приближении были изучены в работе [44]: они реализуются при скоростях движения потенциала вне так называемой транскритической области v < V-, v > v+. Если же скорость движения потенциала находится внутри транскритической области V- < v < v+, то гидравлическое решение становится неустойчивым и по обеим сторонам от него образуются дисперсионные ударные волны. Соответствующая теория была развита в работе [45] и аналитические результаты качественно согласуются с результатами эксперимента [46]. Однако если потенциал является высоким и имеет резкую границу, то течение конденсата под действи

Рис. 6: Результат численного эксперимента по генерации вихревых пар течением однородного конденсата мимо малого препятствия. На рисунке показано распределение плотности, число Маха натекающего течение меньше М < 1.44. ем такого «поршня» требует особого рассмотрения. Простейший случай движения поршня с постоянной скоростью был рассмотрен в работе [47]. На практике этот случай соответствует настолько быстрому ускорению ар поршня на начальном этапе его движения, что за время ускорения т течение конденсата не успевает сколько-нибудь существенно развиться: арт » с3 (24) где с8 — скорость звука в невозмущенном конденсате. В этом случае начальным этапом течения можно пренебречь и использовать автомодельное решение [48] задачи о течении конденсата, что и было сделано в работе [47]. Но если условие (24) нарушено, необходимо рассмотреть течение на этапе ускорения поршня. Итак, сформулируем третью задачу диссертации: рассмотреть картину течения конденсата, нахо

Рис. 7: Экспериментальная картина течения конденсата через плавный проницаемый потенциальный барьер при разных скоростях течения. На эксперименте потенциал создавался лазерным лучом, который двигался через облако конденсата. Белой стрелочкой показано конечное положение потенциала (рисунок из [46]). дящегося под действием непроницаемого резкого потенциала (поршня), который двиснсется с ускорением по произвольному закону.

Следующим толчком к изучению нелинейных структур в бозе-конденсатах послужили недавние эксперименты по конденсации квазичастиц [49-54]. Наибольшее внимание привлекает серия экспериментов с конденсатом поляритонов в полупроводниковых микрорезонаторах (МР) с квантовыми ямами. Поляритон — это составная квазичастица, которая является суперпозицией электромагнитной волны и экситона. По-ляритонные состояния реализуются в МР при условии, что затухание как фотонной, так и экситонной мод не превышает энергию экситон-фотонного взаимодействия. Такие состояния получили название микро-резонаторных поляритонов. Дисперсия МР-поляритонов определяется двумя параметрами — величиной рассогласования энергий экситонной и фотонной мод в точке к = 0 и величиной экситон-фотонного взаимодействия. В режиме сильного экситон-фотонного взаимодействия эк-ситонная и фотонная моды расщепляются и возникает две — верхняя и нижняя — поляритонные ветви. В плоских МР поляритоны являются квазидвумерными частицами. В отличии от поляритонов в объемных полупроводниках, поляритоны в МР аннигилируют без сохранения импульса, который перпендикулярен плоскости квантовой ямы, что приводит к коротким (порядка пикосекунд) временам жизни. Вместе с тем, эффективная масса МР-поляритонов оказывается на несколько порядков меньше эффективной массы экситона (порядка Ю-8 массы атома водорода), а их когерентный размер превышает несколько микрон. Небольшая эффективная масса МР-поляритонов способствует бозе-конденсации и конденсация МР-поляритонов может происходить при температурах от нескольких Кельвинов до комнатной, а наличие затухания существенно изменяет свойства нелинейных волн, что позволяет рассматривать новые эффекты, которые не наблюдаются в атомном конденсате. Например, в недавних экспериментах по обтеканию препятствия бозе-конденсатом МР-поляритонов [37] за препятствием наблюдались темные косые соли-тоны при скоростях натекающего течения меньше скорости звука. В этом эксперименте поляритонный конденсат накачивался непрерывным одно-модовым гауссовым лазерным лучом высокой стабильности по частоте, который светил в микрорезонатор, охлажденный до 10 градусов Кельвина. Непрерывная накачка необходима для компенсации потерь поляритонов ввиду наличия затухания в такой системе. Диаметр пятна лазерного луча на образце составлял порядка 30 микрон и угол падения (отсчиты-вается от нормали к плоскости МР) варьировался в пределах нескольких градусов. Длина волны лазера накачки подбиралась таким образом, чтобы обеспечить резонансную накачку поляритонов нижней дисперсионной ветви. Наличие ненулевого угла падения обеспечивало течения конденсата со скоростью порядка Vf^ow ~ 1.7цт/рв, причем скорость звука была порядка с3 ~ З.Ь^т/рв и размер конденсата I ~ БО^т/рв. В качестве препятствия выступали дефекты, сформировавшиеся в процессе производства квантовой ямы, размер дефектов был как порядка корреляционной длины, так и больше этого значения. Наблюдаемые дозвуковые солитоны (см. рис. 5) в таком эксперименте, на первый взгляд, противоречат теории конвективной неустойчивости темного солитона, и это противоречие требует разъяснений. Итак, сформулируем последнюю задачу диссертации: детально рассмотреть условие конвективной неустойчивости темного косого солитона, который образуется течением поляритонного БЭК мимо малого препятствия.

Интерес к дисперсионно ударным волнам в физике атомного и поляритонного БЭК обусловлен не только своеобразными свойствами этой новой искусственной среды, демонстрирующей квантовые свойства в макроскопическом масштабе, но и потенциальными приложениями к процессам транспорта БЭК в атомных чипах [56, 57] — микроприборах, в которых электрические, магнитные и оптические поля позволяют удерживать сверххолодные атомы и управлять их движением. На основе атомных чипов в настоящее время предлагается создание сверхточных сенсоров электрического, магнитного полей и ускорения.

Новизна работы

1. Рассчитана дисперсионная ударная волна, которая образуется в квазиодномерном атомном БЭК под действием равномерно ускоряющегося поршня. Также рассчитана начальная стадия формирования ДУВ, для поршня, ускоряющегося по произвольному закону.

2. Рассмотрена новая интерпретация перехода темного косого солитона к конвективной неустойчивости. На основе этой интерпретации рассчитана скорость роста длины косого солитона в задаче об обтекании БЭК малого препятствия.

3. Рассмотрен переход к конвективной неустойчивости косых солитонов. которые образуются течением поляритонного конденсата мимо малого препятствия. Рассчитана форма косого солитона, профили плотности и скорости течения конденсата вне области накачки.

4. Рассчитана динамика кольцевого солитона, который движется на неоднородном фоне атомного БЭК, удерживаемого параболической ловушкой, и на однородном фоне интенсивности пучка света, распространяющегося в фоторефрактивной среде.

Автор выносит на защиту:

1. Рассчитаны основные параметры дисперсионной ударной волны, образующейся перед поршнем, который движется в атомном квазиодномерном БЭК с равномерным ускорением. Также рассчитана начальная стадия формирования ДУВ для поршня, который движется по закону а£3/3. Предложенный метод обобщен для произвольного закона движения.

2. Описан переход от абсолютной неустойчивости к конвективной для темного солитона уравнения ГП. На основе предложенной интерпретации вычислена скорость роста длины темного солитона в задаче об обтекании атомным БЭК малого препятствия.

3. Показано, что темные косые солитоны могут рождаться в поляри-тонном конденсате вне области накачки при дозвуковой скорости натекающего конденсата, что объясняет результаты последних экспериментов [37]. Рассчитаны профиль плотности, профиль скорости и форма солитона.

4. Предложено «квазичастичное» приближение для расчета динамики кольцевого и сферического солитона. Данным методом рассчитана динамика темного кольцевого солитона на однородном фоне интенсивности пучка света, распространяющегося в фоторефрактивной среде, и на фоне профиля плотности Томаса-Ферми атомного БЭК.

Научная и практическая ценность

В настоящее время установки по получению бозе-конденсата становятся более доступными для широких исследований [58], что дает возможность говорить о создании различных сенсоров и устройств на основе БЭК. Например, уже предлагаются схемы на основе БЭК для сверхточного детектора электрического, магнитного [59, 60] и гравитационных полей [61], где вопрос формирования ДУВ во время транспорта конденсата становится особенно важным.

Бозе-конденсация МР-поляритонов реализована относительно недавно, но количество новых и потенциальных экспериментов делает эту область одной из самых перспективных. Уже реализованы эксперименты с течением квазидвумерного и квазиодномерного конденсата мимо потенциала [37,51,53.62] и эксперименты по генерации вихрей [49]. Одним из таких экспериментов [37], который требует более детального теоретического изучения, была мотивирована данная работа. Изучение обтекания поляритонами препятствия может быть интересно для задачи детектирования неоднородностей среды.

Личный вклад автора

Все результаты численного моделирование автор провел самостоятельно. В задаче о ускоряющимся поршне основную аналитическую работу провел д.ф.-м.н. A.M. Камчатнов. Аналитическую часть задачи о кольцевом солитоне автор провел самостоятельно используя метод, разработанный д.ф.-м.н. A.M. Камчатновым.

Апробация

Результаты работы были представлены в докладах:

1. Конкурс молодых ученых, ИСАН, Троицк 2009.

Доклад "Течение бозе-эйнштейновского конденсата в квазиодномерном канале под действием поршня", C.B. Корнеев (Институт спектроскопии РАН), A.M. Камчатнов (Институт спектроскопии РАН).

2. Нелинейная сессия РАН, Москва, 2010.

Доклад "Развитие неустойчивости косых темных солитонов в бозе-эйнштейновском конденсате генерируемых при обтекании вогнутого угла", C.B. Корнеев (Институт спектроскопии РАН), A.M. Камча! -нов (Институт спектроскопии РАН).

3. Молодежная школа-конференция "Нелинейные волны - 2010", Звенигород, 2010.

Доклад "Течение бозе-эйнштейновского конденсата в квазиодномерном канале под действием поршня", C.B. Корнеев (Институт спектроскопии РАН), A.M. Камчатнов (Институт спектроскопии РАН).

4. III сессия научной школы-практикума «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» Санкт-Петербург, 2010.

Доклад "Решение стационарного нелинейного уравнения Шредин-гера на параллельной архитектуре.". C.B. Корнеев (Институт спектроскопии РАН).

5. Конкурс молодых ученых имени Александрова, ТРИНИТИ, Троицк, 2011.

Динамика кольцевых солитонов в бозе-эйнштейновском конденсате и нелинейной оптике.". C.B. Корнеев (Институт спектроскопии РАН), A.M. Камчатнов (Институт спектроскопии РАН).

Премии и гранты:

1. Конкурс научных работ Института спектроскопии РАН. Третье место. Совместно с A.M. Камчатновым.

2. Премия за лучший доклад на III сессии научной школы-практикума «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» Санкт-Петербург, 2010.

3. Грант фонда РФФИ по инициативным проектам 2009-2011гг., руководитель - Камчатнов A.M.

Основные результаты были опубликованы в следующих статьях в рецензируемых журналах:

1. A.M. Камчатнов, С.В. Корнеев. "Течение бозе-эйнштейновского конденсата в квазиодномерном канале под действием поршня." ЖЭТФ 137, № 1 (2010): 191-204.

2. A.M. Kamchatnov, and S.V. Korneev. "Dynamics of ring dark solitons in Bose-Einstein condensates and nonlinear optics." Physics Letters A 374, no. 45 (October 11, 2010): 4625-4628. http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0375960110012004.

3. A.M. Kamchatnov, and S.V. Korneev. "Condition for convective instability of dark solitons." Physics Letters A 375, no. 26 (June 4, 2011): 2577-2580. http://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0375960111006141.

В том числе тезисы докладов на конференциях:

4. С.В. Корнеев, "Численное и аналитическое исследование нелинейного уравнения Шредингера.", III сессия научной школы-практикума «Технологии высокопроизводительных вычислений и компьютерного моделирования» Санкт-Петербург, 2010.

5. A.M. Камчатнов, С.В. Корнеев, "Течение бозе-эйнштейновского конденсата в квазиодномерном канале под действием поршня". Молодежная школа-конференция "Нелинейные волны - 2010", Звенигород, 2010.

6. A.M. Камчатнов, C.B. Корнеев, "Развитие неустойчивости косых темных солитонов в бозе-эйнштейновском конденсате генерируемых при обтекании вогнутого угла.", Нелинейная сессия, Москва, 2010.

Структура и краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и раздела благодарностей. В конце каждой главы дано заключение, в котором обсуждается основные полученные результаты.

Заключение

При действии на квазиодномерный конденсат движущегося поршня образуется дисперсионная ударная волна, которая представляет собой конечную, но расширяющуюся во времени область осцилляций. На начальных, этапах ускорения поршня течение перед поршнем плавное и описывается классическими уравнениями бездисперсионной газодинамики с показателем адиабаты 7 = 2. После опрокидывания бездисперсионного решения, то есть формирования особенности, производные становятся настолько большими, что необходимо учитывать дисперсию. В итоге формируется дисперсионная ударная волна, эволюцию которой можно описать уравнений Уизема. Аналитическое решение уравнений показывает хорошее согласие с прямыми численными расчетами уравнения Гросса-Питаевского.

Теорию перехода абсолютной неустойчивости темного солитона к его конвективной неустойчивости можно развить на основе изучения движения фронта возмущений, разрушающих солитон. Если скорость течения конденсата вдоль солитона больше скорости, с которой он разрушается, то солитон переходит от абсолютной неустойчивости к конвективной, то есть становится эффективно устойчивым; в противоположном случае солитон неустойчив абсолютно. Показано, что на достаточно больших временах скорость разрушения солитона не зависит от вида начального возмущения при условии, что спектр возмущения достаточно широкий, и равна минимальной групповой скорости линейных волн возмущений, распространяющихся вдоль солитона. На основе такой интерпретации была рассчитана скорость роста длины темного косого солитона, формирующегося течением атомного БЭК мимо малого препятствия, и аналитическая оценка показала хорошее согласие с численными расчетами.

Если косой темный солитон формируется неоднородным течением мимо препятствия, как, например, в случае поляритонного конденсата, то условие перехода к конвективной неустойчивости видоизменяется. Даже если скорость натекающего на препятствие конденсата ниже критической скорости, косой солитон может, тем не менее, сформироваться, если вниз по течению не слишком далеко от препятствия находится область, где солитон эффективно устойчив. Этот процесс можно интерпретировать как волновое проникновение солитона через неустойчивую область. Численное моделирование на основе уравнения ГП с затуханием показало справедливость такого предположения, если расстояние хсг ~ 0.055^/^0/7 от препятствия до области устойчивости не слишком большое, где 7 — коэффициент затухания и ро — плотность натекающего течения. Эта оценка объясняет эксперимент [37], в котором наблюдались косые солитоны, сформированные дозвуковым натекающим течением. Также рассчитана форма солитона на фоне плавно меняющегося течения, которая хорошо согласуется с результатами численных расчетов.

Показано, что использование закона сохранения энергии позволяет получить эффективное уравнение движения темного кольцевого соли-тона в случае общего вида дефокусирующей нелинейности. Рассмотрен пример динамики кольцевого солитона, распространяющегося на фоне однородной интенсивности пучка света в фоторефрактивной среде или на неоднородном фоне атомного БЭК, удерживаемого в параболической ловушке. Аналитические результаты показали хорошее согласие с результатами численных расчетов.

Благодарности

В заключение выражаю глубокую благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. Камчатнову Анатолию Михайловичу, коллегам к.ф.-м.н. Гладушу Юрию Геннадьевичу, Мельникову Алексею Алексеевичу и ученому секретарю "ИСАН Перминову Евгению Борисовичу.

1. D. Jin, J. Ensher, M. Matthews, С. Wieman, and E. Cornell. Collective Excitations of a Bose-Einstein Condensate in a Dilute Gas. Physical Review Letters, 77(3):420-423, July 1996.

2. Mark Edwards, P. Ruprecht, K. Burnett, R. Dodd, and Charles Clark. Collective Excitations of Atomic Bose-Einstein Condensates. Physical Review Letters, 77(9): 1671-1674, August 1996.

3. S. Stringari. Collective Excitations of a Trapped Bose-Condensed Gas. Physical Review Letters, 77(12):2360-2363, September 1996.

4. Y. Castin and R. Dum. Bose-Einstein Condensates in Time Dependent Traps. Physical Review Letters, 77(27):5315—5319, December 1996.

5. Yu. Kagan, G. Shlyapnikov, and J. Walraven. Bose-Einstein Condensation in Trapped Atomic Gases. Physical Review Letters, 76(15):2670-2673, April 1996.

6. Yu. Kagan, E. Surkov, and G. Shlyapnikov. Evolution of a Bose-condensed gas under variations of the confining potential. Physical Review A, 54(3):R1753-R1756, September 1996.

7. M.Y. Azbel' and V.M. Tsukernik. Tunneling in an alternating potential: Multiple, fractal and chaotic activation resonances. Europhysics Letters (EPL), 41(1):7—12, January 1998.

8. K. Madison, F. Chevy, W. Wohlleben, and J. Dalibard. Vortex Formation in a Stirred Bose-Einstein Condensate. Physical Review Letters, 84(5):806-809, January 2000.

9. M. Andrews, D. Kurn, H.-J. Miesner, D. Durfee, C. Townsend, S. Inouye, and W. Ketterle. Propagation of Sound in a Bose-Einstein Condensate. Physical Review Letters, 79(4):553-556, July 1997.

10. Kevin E. Strecker, Guthrie B. Partridge, Andrew G. Truscott, and Randall G. Hulet. Formation and propagation of matter-wave soliton trains. Nature, 417(6885):150-3, May 2002.

11. S. Burger, K. Bongs, S. Dettmer, W. Ertmer, and K. Sengstock. Dark Solitons in Bose-Einstein Condensates. Physical Review Letters, 83(25):5198—5201, December 1999.

12. J. Denschlag. Generating Solitons by Phase Engineering of a Bose-Einstein Condensate. Science, 287(5450):97—101, January 2000.

13. M. A. Hoefer, M. Ablowitz, I. Coddington, E. Cornell, P. Engels, and V Schweikhard. Dispersive and classical shock waves in Bose-Einstein condensates, and gas dynamics. Physical Review A, 74(2):24, Augusc 2006.

14. A.M. Kamchatnov, A. Gammal, and R. Kraenkel. Dissipationless shock waves in Bose-Einstein condensates with repulsive interaction between atoms. Physical Review A, 69(6):6-9, June 2004.

15. P.M. Bazin. La propagation des ondes. Mem. Pres. Acad. Sci., 19(495). 1850.

16. R. Taylor, D. Baker, and H. Ikezi. Observation of Collisionless Electrostatic Shocks. Physical Review Letters, 24(5):206-209, February1970.

17. Joshua Rothenberg and D. Grischkowsky. Observation of the Formation of an Optical Intensity Shock and Wave Breaking in the Nonlinear Propagation of Pulses in Optical Fibers. Physical Review Letters. 62(5):531-534, January 1989.

18. E.A. Cornell. Colosprings. In Conference on Nonlinear Waves, Integrable Systems and their Applications, Colorado, 2005. Conference on Nonlinear Waves, Integrable Systems and their Applications.

19. H.H. Боголюбов. К теории сверхтекучести. Известия АН СССР, 11(77), 1947.22.- Е.Р. Gross. * Structure of a quantized vortex in boson systems. Nuovo Cimento, 20(454), 1961.

20. JI.П. Питаевский. Вихревые линии в неидеальном бозе-газе. ЖЭТФ, 40(646), 1961.

21. Л.П. Питаевский. Конденсаты Бозе-Эйнштейна в поле лазерного излучения. УФЯ, 176(4):345-364, 2006.

22. Л.П. Питаевский. Конденсаты Бозе-Эйнштейна в магнитных ловушках. Введение в теорию. УФЯ, 168(6):641—653, 1998.

23. А.Н. Н. van Amerongen. One-dimensional Bose gas on an atom chip. Annales de Physique, 33(3): 1-94, February 2009.

24. A. Görlitz, J. Vogels, A. Leanhardt, C. Raman, T. Gustavson, J. Abo-Shaeer, A. Chikkatur, S. Gupta, S. Inouye, T. Rosenband, and W. Ketterle. Realization of Bose-Einstein Condensates in Lower Dimensions. Physical Review Letters, 87(13), September 2001.

25. Henning Moritz, Thilo Stöferle, Michael Köhl, and Tilman Esslinger. Exciting Collective Oscillations in a Trapped ID Gas. Physical Review Letters, 91 (25): 1-4, December 2003.

26. K. Bongs, S. Burger, S. Dettmer, D. Hellweg, J. Arlt, W. Ertmer, and K. Sengstock. Waveguide for Bose-Einstein condensates. Physical

27. Review A, 63(3), February 2001.

28. O. Morsch, M. Cristiani, J. Müller, D. Ciampini, and E. Arimondo. Free expansion of a Bose-Einstein condensate in a one-dimensional optical lattice. Physical Review A, 66(2), August 2002.

29. Víctor Pérez-García, Humberto Michinel, and Henar Herrero. Bose-Einstein solitons in highly asymmetric traps. Physical Review A, 57(5):3837—3842, May 1998.

30. T. Tsuzuki. Nonlinear waves in the Pitaevskii-Gross equation. J. Low Temp. Phys., 4(441), 1971.

31. V. Brazhnyi, V. Konotop, and L. Pitaevskii. Dark solitons as quasiparticles in trapped condensates. Physical Review A, 73(5), May 2006.

32. A.M. Kamchatnov and Mario Salerno. Dark soliton oscillations in Bose-Einstein condensates with multi-body interactions. Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics, 42(18): 185303, September 2009.

33. A. Dreischuh, D. Neshev, G. Paulus, F. Grasbon, and H. Walther. Ring dark solitary waves: Experiment versus theory. Physical Review E,66(6):l-7, December 2002.

34. Yuri Kivshar and Xiaoping Yang. Ring dark solitons. Physical Review

35. E, 50(1):R40-R43, July 1994.

36. A. Amo, S. Pigeon, D. Sanvitto, V. G. Sala, R. Hivet, I. Carusotto,

37. F. Pisanello, G. Leménager, R. Houdré, E. Giacobino, C. Ciuti, and A. Bramati. Polariton superfluids reveal quantum hydrodynamic solitons. Science (New York, N. Y.), 332(6034): 1167-70, June 2011.

38. G. El and A.M. Kamchatnov. Spatial dispersive shock waves generated in supersonic flow of Bose-Einstein condensate past slender body. Physics Letters A, 350(3-4): 192-196, February 2006.

39. G. El, A. Gammal, and A.M. Kamchatnov. Oblique Dark Solitons in Supersonic Flow of a Bose-Einstein Condensate. Physical Review Letters, 97(18):5, November 2006.

40. G.A. El, Yu.G. Gladush, and A.M. Kamchatnov. Two-dimensional periodic waves in supersonic flow of a Bose-Einstein condensate. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 40(4):611-619, January 2007.

41. Yu. Gladush, G. El, A. Gammal, and A.M. Kamchatnov. Radiation of linear waves in the stationary flow of a Bose-Einstein condensate past an obstacle. Physical Review A, 75(3):l-5, March 2007.

42. E.A. Kuznetsov and S.K. Turitsyn. Instability and collapse of solitons in media with a defocusing nonlinearity. Sov. Phys. JETP, 67(8): 1583— 1588, 1988.

43. A.M. Kamchatnov and L.P. Pitaevskii. Stabilization of Solitons Generated by a Supersonic Flow of Bose-Einstein Condensate Past an Obstacle. Physical Review Letters, 100(16):5, April 2008.

44. P. Engels and C. Atherton. Stationary and Nonstationary Fluid Flow of a Bose-Einstein Condensate Through a Penetrable Barrier. Physical Review Letters, 99(16):8-ll, October 2007.

45. M. Hoefer, M. Ablowitz, and P. Engels. Piston Dispersive Shock Wave Problem. Physical Review Letters, 100(8):5, February 2008.

46. Bogdan Damski. Formation of shock waves in a Bose-Einstein condensate. Physical Review A, 69(4), April 2004.

47. K. G. Lagoudakis, M. Wouters, M. Richard, A. Baas, I. Carusotto, R. André, Le Si Dang, and B. Deveaud-Plédran. Quantized vortices in an exciton-polariton condensate. Nature Physics, 4(9):706-710, August 2008.

48. M. Szymanska, J. Keeling, and P. Littlewood. Nonequilibrium Quantum Condensation in an Incoherently Pumped Dissipative System. Physical Review Letters. 96(23): 1-4, June 2006.

49. Georgios Roumpos, Michael D. Fraser, Andreas Löffler, Sven Höfling, Alfred Forchel, and Yoshihisa Yamamoto. Single vortex-antivortex pair in an exciton polariton condensate. Nature Physics. 129:2865, May 2010.

50. G. Grosso, G. Nardin, F. Morier-Genoud, Y. Léger, and B. Deveaud-Plédran. Soliton Instabilities and Vortex Streets Formation in a Polariton Quantum Fluid. September 2011.

51. Gabriel Christmann, Guilherme Tosi, Natalia G Berloff, Panos Tsotsis, . Peter S. Eldridge, Zacharias Hatzopoulos, Pavlos G Savvidis, and

52. Jeremy J Baumberg. Polariton ring condensates and sunflower ripples in an expanding quantum liquid. Arxiv preprint, pages 1-5, January 2012.

53. Jacek Kasprzak. Condensation of exciton polantons. PhD thesis, Joseph Fourier Grenoble 1, 2006.

54. Max F. Riedel, Pascal Böhi, Yun Li, Theodor W. Hänsch, Alice Sinatra, and Philipp Treutlein. Atom chip based generation of entanglement for quantum metrology. Nature, 464(7292):1170-3, March 2010.

55. Ron Folman, Peter Krüger, Donatella Cassettari, Björn Hessmo, Thomas Maier, and Jörg Schmiedmayer. Controlling Cold Atoms using Nanofabricated Surfaces: Atom Chips. Physical Review Letters. 84(20)-.4749-4752, May 2000.

56. S. Wildermuth, S. Hofferberth, I. Lesanovsky, S. Groth, I. Bar-Joseph. P. Krueger, and J Schmiedmayer. Sensing electric and magnetic fields with Bose-Einstein Condensates. Applied Physics Letters, 88(26):4, December 2005.

57. A.M. Kamchatnov. Nonlinear Periodic Waves and Their Modulations ' — An Introductory Course. World Scientific Pub Co Inc, Singapore,1st edition, 2000.

58. M.G. Forest and J.E. Lee. Theory, Computation, and Methods of Compensated Compactness. Springer, New York, 1987.

59. M.B. Павлов. No Title. ТМФ, 71(351), 1987.

60. A.B. Гуревич, A.JI Крылов, and Г.А. Эль. No Title. ЖЭТФ, 101(1797), 1992.

61. С.П. Царев. No Title. Известия РАН, сер. матем., 53(1048), 1990.

62. В.P. Кудашев and C.E. Шарапов. No Title. ТМФ, 85(205), 1990.

63. И.М. Кричевер. Метод усреднения для двумерных "интегриру-емых"уравнений. Функциональный анализ и его приложения, 77(3):37-52, 1988.

64. Л.Д. Ландау and Е.М. Лифшиц. Гидродинамика. Физматлит, Москва, 2005.

65. А.В. Гуревич and Л.П. Питаевский. No Title. ЖЭТФ., 65(590), 1973.

66. A.M. Kamchatnov, R. Kraenkel, and B. Umarov. Asymptotic soliton train solutions of the defocusing nonlinear Schrodinger equation. Physical Review E, 66(3): 1-10, September 2002.

67. А.Д. Юнаковский. Моделирование нелинейного уравнения Шредин-гера. Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород, 1995.

68. A.M. Kamchatnov. Nonlinear Periodic Waves and Their Modulations — An Introductory Course. World Scientific Pub Co Inc. Singapore, 1st edition, 2000.

69. M.G. Forest and J.E. Lee. Theory, Computation, and Methods of Compensated Compactness. Springer, New York, 1987.

70. M.B. Павлов. No Title. ТМФ, 71(351), 1987.

71. A.B. Гуревич, A.JI Крылов, and Г.А. Эль. No Title. ЖЭТФ, 101(1797), 1992.

72. С.П. Царев. No Title. Известия РАН, сер. матем., 53(1048), 1990.

73. В.P. Кудашев and C.E. Шарапов. No Title. ТМФ, 85(205), 1990.69.' И.М. Кричевер. Метод усреднения для двумерных "интегриру-емых"уравнений. Функциональный анализ и его приложения, 77(3):37—52, 1988.

74. Л.Д. Ландау and Е.М. Лифшиц. Гидродинамика. Физматлит, Москва, 2005.

75. А.В. Гуревич and Л.П. Питаевский. No Title. ЖЭТФ, 65(590), 1973.

76. A.M. Kamchatnov, R. Kraenkel, and B. Umarov. Asymptotic soliton train solutions of the defocusing nonlinear Schrodinger equation. Physical Review E, 66(3): 1-10, September 2002.

77. А.Д. Юнаковский. Моделирование нелинейного уравнения Шредин-гера. Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород, 1995.

78. A. Gammal and A.M. Kamchatnov. Temporal Talbot effect in interference of matter waves from arrays of Bose-Einstein condensates and transition to Fraunhofer diffraction. Physics Letters A, 324(2-3): 11, 2004.

79. G. El, A.M. Kamchatnov, V. Khodorovskii, E. Annibale, and A. Gammal. Two-dimensional supersonic nonlinear Schrodinger flow past an extended obstacle. Physical Review E, 80(4): 1-34, October 2009.

80. С. T. Law and G. A. Swartzlander, Jr. Optical vortex solitons and the stability of dark soliton stripes. Optics Letters, 18(8):586, April 1993.

81. G McDonald, К Syed, and W Firth. Dark spatial soliton break-up in the transverse plane. Optics Communications, 95(4-6):281—288, January 1993.

82. С Josserand and Y Pomeau. Generation of Vortices in a Model of Superfluid 4 He by the Kadomtsev-Petviashvili Instability. Europhysics Letters (EPL), 30(1):43—48, April 1995.

83. Vladimir Tikhonenko, Jason Christou, Barry Luther-Davies, and Yuri S. Kivshar. Observation of vortex solitons created by the instability of dark soliton stripes. Optics Letters, 21 (15): 1129, August 1996.

84. A. Mamaev, M. Saffman, and A. Zozulya. Propagation of Dark Stripe Beams in Nonlinear Media: Snake Instability and Creation of Optical Vortices. Physical Review Letters, 76(13):2262-2265, March 1996.

85. A. Mamaev, M. Saffman, D. Anderson, and A. Zozulya. Propagation of light beams in anisotropic nonlinear media: From symmetry breaking to spatial turbulence. Physical Review A, 54(l):870-879, July 1996.

86. Vladimir V. Konotop and Lev Pitaevskii. Landau Dynamics of a Grey Soliton in a Trapped Condensate. Physical Review Letters, 93(24), December 2004.

87. B.B Kadomtsev and V.I. Petviashvili. No Title. Sov. Phys. Doklady, 15(539), 1970.

88. B.E. Захаров. No Title. Письма в ЖЭТФ, 22(364), 1975.86.' J.С. Alexander, R.L. Pego, and R.L. Sachs. On the transverse instability of solitary waves in the Kadomtsev-Petviashvili equation. Physics Letters A, 226(3-4): 187-192, February 1997.

89. B.A. Миронов, А.И. Смирнов, and JI.А. Смирнов. Динамика образования вихревых структур в процессе развития модуляционной неустойчивости темных солитонов. ЖЭТФ, 139(1):55—70, 2011.

90. Е.А. Кузнецов and С.К. Турицын. Неустойчивость и коллапс солитонов в средах с дефокусирующей нели- нейностью. ЖЭТФ, 94(119), 1988.89.' P. Sturrock. Kinematics of Growing Waves. Physical Review, 112(5):1488-1503, December 1958.

91. A.M. Kamchatnov and S.V. Korneev. Condition for convective instability of dark solitons. Physics Letters A, 375(26) :2577-2580, June 2011.

92. C.W. Lai, N.Y. Kim, S. Utsunomiya, G. Roumpos, H. Deng, M D Fraser, T Byrnes, P Recher, N Kumada, T Fujisawa, and Y Yamamoto.

93. Coherent zero-state and pi-state in an exciton-polariton condensate array. Nature, 450(7169) :529-32, November 2007.

94. S. Pigeon, I. Carusotto, and C. Ciuti. Hydrodynamic nucleation of vortices and solitons in a resonantly excited polariton superfluid. Physical Review B, 83(14):l-6, April 2011.

95. T Busch and Jr Anglin. Motion of dark solitons in trapped bose-einstein condensates. Physical review letters, 84(11):2298—301, March 2000.

96. Th. Busch and J. Anglin. Dark-Bright Solitons in Inhomogeneous Bose-Einstein Condensates. Physical Review Letters, 87(1):2—5, June 2001.

97. Dmitry Pelinovsky, Yuri Stepanyants, and Yuri Kivshar. Self-focusing of plane dark solitons in nonlinear defocusing media. Physical Review E, 51(5):5016—5026, May 1995.

98. B.A. Ильина and П.К. Силаев. Численные методы для физиков-теоретиков II. Институт компьютерных исследований, Москва-Ижевск, 2004.

99. Ю.С. Кившарь and Г.П. Агравал. Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов. ФИЗМАТЛИТ,

100. Ю.Г. Гладуш. Теория волн, генерируемых при обтекании препятствия бозе-эйнштейновским конденсатом, и их оптические аналоги. PhD thesis, 2009.

101. G. Theocharis, D. Frantzeskakis, P. Kevrekidis, B. Malomed, and Yuri Kivshar. Ring Dark Solitons and Vortex Necklaces in Bose-Einstein Condensates. Physical Review Letters, 90(12): 1-4, March 2003.2005.