Нелинейная динамика генераторов с фазовым и частотным управлением - процессы возбуждения и синхронизации сложных автомодуляционных колебаний тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

На правах рукописи

МАТРОСОВ Валерий Владимирович

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ГЕНЕРАТОРОВ С ФАЗОВЫМ И ЧАСТОТНЫМ УПРАВЛЕНИЕМ - ПРОЦЕССЫ ВОЗБУЖДЕНИЯ И СИНХРОНИЗАЦИИ СЛОЖНЫХ АВТОМОДУЛЯЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ

Специальность 01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Нижний Новгород - 2006

Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского

Научный консультант:

д.ф.-м.н., профессор В.Д.Шалфеев

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., профессор, член-корр. РАН Д.И. Трубецков, д.ф.-м.н., профессор A.C. Дмитриев,

д.ф.-м.н., профессор В.Н. Белых.

Ведущая организация - Московский энергетический институт (Технический университет)

Защита состоится 18 октября 2006 г. в час. на заседании диссертационного совета Д 212.166.07 при Нижегородском государственном университете им.Н.И.Лобачевского по адресу: 603950, Н.Новгород, ГСП-20, проспект Гагарина, 23, корп.1, ауд.420.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им.Н.И.Лобачевского

Автореферат разослан $ г.

Ученый секретарь CL^

диссертационного совета В.В.Черепенников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из наиболее ярких событий в нелинейных науках последних десятилетий явилось открытие динамического хаоса - колебаний детерминированного происхождения, обладающих свойствами случайных процессов: сплошным спектром, конечным временем корреляции, высокой чувствительностью к возмущениям, непредсказуемостью поведения на больших временных интервалах и т.д. Такие движения возникают в нелинейных системах и их свойства полностью определяются свойствами динамической системы. Осмысление того факта, что в нелинейных системах при полном отсутствии каких-либо случайных воздействий возможно возникновение сложного нерегулярного поведения - динамического хаоса, привело к существенному изменению традиционных взглядов на колебательно-волновые явления..Стало понятным, что для большинства физических, химических, биологических и других природных систем простые периодические автоколебания являются скорее исключением, а правилом для реально наблюдаемых систем являются хаотические автоколебания с той или иной степенью хаотичности.

Изучение фундаментальных свойств динамического хаоса породило естественный интерес к прикладной стороне этого явления, связанной с возможностью построения технических систем, в основе функционирования которых использовались бы свойства динамического хаоса. Одним из перспективных направлений использования динамического хаоса является применение его в системах связи. Динамический хаос обладает многими привлекательными свойствами, которые могут быть полезны при передаче информации1: сигналы, сформированные на базе динамического хаоса, обладают большой информационной емкостью, устойчивы к замираниям при многолучевом распространении, позволяют обеспечить управление хаотическими режимами с помощью малых изменений параметров систем, предоставляют возможность организации конфиденциальной связи и т.д.

Направление, связанное с использованием динамического хаоса в связи, начало развиваться в начале 90-х годов прошлого века во многом благодаря достигнутым к этому времени результатам по созданию генераторов хаотических колебаний (генераторы Астахова-Анищенко, Дмитриева-Кислова, Кияшко-Рабиновича-Пиковского, Чуа и др.) и открытию явлений хаотиче-

1 Дмитриев A.C., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Изд. Физико-математической литературы, 2002.

ской синхронизации2 и хаотического синхронного отклика3. Начиная с 1992 года был предложен ряд способов передачи информации, использующих хаотические сигналы: хаотическая маскировка (chaotic masking), переключение хаотических режимов (chaos shift keying), нелинейное подмешивание (nonlinear mixing) и другие. С их помощью была продемонстрирована возможность применения хаоса для передачи информации и тем самым созданы предпосылки для развития нового направления в системах связи.

Первые эксперименты по передаче информации (Дмитриев A.C., Панас А.И., Старков С.О., Chua L.O., Kocarev L., Eckert К., Cuomo К., Oppenheim A., Hasler M., Kennady M.P., Kolumban G. и др.) продемонстрировали принципиальную возможность передачи информации с использованием хаоса, однако дальнейшее развитие этой идеи натолкнулось на серьезные проблемы. Во-первых, оказалось, что схемам связи, построенным на использовании явления самосинхронизации хаотических колебаний, свойственна высокая чувствительность к искажениям в канале, шумам и неполной идентичности генераторов хаоса в передатчике и приемнике. Во-вторых, при использовании динамического хаоса в качестве поднесущих колебаний, модулирующих высокочастотный носитель, существенно терялась такая привлекательная черта хаоса, как его широкополосность, обеспечивающая высокие скорости передачи информации сигналов с большой базой. Появилось понимание того, что для дальнейшего развития хаотических систем связи необходимо решить ряд проблем, среди которых: разработка высокоэффективных генераторов хаоса, непосредственно работающих в широком частотном диапазоне, охватывающем высокие и сверхвысокие частоты; разработка способов, обеспечивающих устойчивую синхронизацию хаотических колебаний.

Для разрешения вышеуказанных проблем представляется перспективным обратиться к использованию фазовых и частотных систем [19]. Как известно, в устройствах передачи информации, использующих регулярные сигналы, широко применяются фазовые (системы фазовой автоподстройки - ФАП) и частотные (системы частотной автоподстройки -ЧАП) системы. Эти системы изначально разрабатывались для решения задач синхронизации, стабилизации и управления частотой и фазой радиоколебаний, филь-

'Fujisaka H., Yamada Т. Stability theory of synhronized motion in coupled oscillator systems // Prog.Theor.Phys. 1983. V.69, №1, pp.32.; Pikovsky A.S. On the interaction of strange attractors. - Z.Physik B. 1984. V.55. P.149; Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв.вузов. Радиофизика. 1986. Т.29, Jf'9. С.795.

3Pécora L.M., Carrol] T.L. Synchronization in chaotic system // Phys. Rev.Lett. 1990. V.64, №8. P.821.; Волковский A.P., Рульков Н.Ф. Синхронный хаотический отклик нелинейной колебательной системы как принцип детектирования информационной компоненты хаоса // Письма в ЖТФ. 1993. Т.9, №3. С.71-75.

трации, демодуляции, формирования и обработки сигналов и многих других задач. Высокая точность, надежность, помехоустойчивость, управляемость, способность работать на высоких и сверхвысоких частотах, технологичность сделали эти системы неотъемлемой частью практически любых систем связи. Естественно, что вышеперечисленные свойства делают такие системы весьма привлекательными для создания на их основе новых систем связи, использующих не регулярные, а хаотические сигналы.

К настоящему времени теория фазовых и частотных систем для регулярных сигналов достаточно хорошо развита благодаря работам В.В. Шах-гильдяна, М.В. Капранова, A.A. Ляховкина, JI.H. Белюстиной, Ю.Н. Бакаева, В.Н. Белых, В.Н. Кулешова, Г.А. Леонова, В.И. Некоркина, В.П. По-номаренко, В.И. Тихонова, H.H. Удалова, В.Д. Шалфеева, Б.И. Шахтари-на, W.C. Lindsey, A.J Viterbi и др. Что касается вопросов использования ФАП и ЧАП для передачи информации на основе хаотических сигналов, то теоретические основы этого направления практически отсутствуют. Объем результатов в области теории динамического поведения таких систем в асинхронных режимах явно недостаточен для объяснения многочисленных явлений, которые демонстрируют эти системы вне областей существования и устойчивости синхронного режима (в области существования автомодуляционных режимов), для определения динамических характеристик хаотических сигналов, для целенаправленной разработки радиофизических устройств, использующих хаотические свойства систем ФАП и ЧАП.

Характерной особенностью рассматриваемого класса систем является наличие цепей управления по фазе или частоте. Именно эти цепи позволяют решать задачу стабилизации частоты управляемых генераторов относительно регулярных опорных сигналов в большом диапазоне начальных рассогласований. Однако эти же цепи вне области синхронизации предоставляют широкие возможности для возбуждения разнообразных автомодуляционных колебаний, в том числе и хаотических. Примечательно, что формируемые на выходе управляемых генераторов хаотические сигналы могут передаваться в канал связи непосредственно после своего формирования, не подвергаясь никаким дополнительным преобразованиям. К преимуществам рассматриваемых систем следует отнести и тот факт, что они легко объединяются в ансамбли управляемых генераторов путем организации различных связей. Возникающие в результате объединения генераторов новые свойства расширяют функциональные возможности этих систем как в традиционных, так и в нетрадиционных направлениях. В обычных приложениях к объединению рассматриваемых систем в ансамбли прибегают, например, для разрешения противоречивых требований, предъявляемых к различным характеристикам систем - полосе захвата, фильтрующим свойствам, быстродействию,

вероятности срыва слежения и т.д. Существует также ряд задач, где принципиально необходимо объединение нескольких систем в ансамбль, например, оптимальный прием и следящая оценка параметров сложных сигналов. Для новых приложений, в частности для хаотических систем связи, представляют интерес реализующиеся в ансамблях сложные автомодуляционные колебания. Для ансамблей примечательно то, что здесь динамические свойства автогенераторных систем определяются не только параметрами самих систем, но и структурой и силой связей между системами.

Следует отметить, что рассматриваемые ансамбли взаимосвязанных управляемых генераторов являются одним из видов многоэлементных автоколебательных систем, к которым в настоящее время проявляется большой интерес не только в радиофизике, но и в биологии, химии, "экономике и т.д. Нелинейные явления коллективной динамики, демонстрируемые такими моделями (процессы синхронизации, автоколебательные регулярные и хаотические режимы), во-первых, имеют большое значение для установления основных закономерностей динамического поведения взаимосвязанных управляемых систем, а во-вторых, могут быть полезными при исследовании других объектов (многоэлементные фазированные антенные решетки, джо-зефсоновские соединения, энергетические сети, системы пространственно-временной обработки и т.д.).

Все вышесказанное делает актуальным исследование сложных режимов нелинейной динамики автогенераторных систем с частотным и фазовым управлением и их ансамблей.

Цель работы - развитие теории динамического поведения нелинейных систем с частотным и фазовым управлением и малых ансамблей таких систем, а также её приложений к задачам генерации и синхронизации сложных автомодуляционных колебаний в связи с перспективой их применения для передачи информации. Приоритетными фундаментальными задачами являются: ■

- разработка способов и подходов к исследованию автомодуляционных режимов автогенераторных систем с фазовым и частотным управлением;

- исследование нелинейной динамики однокольцевых автогенераторных систем с фазовым и частотным управлением: изучение механизмов возникновения автомодуляционных режимов и их хаотизации, определение областей существования динамического хаоса в пространстве параметров, анализ размеров и структуры областей существования хаоса в зависимости от типа нелинейностей и параметров цепей управления;

- исследование динамических процессов и бифуркационных явлений в, малых ансамблях генераторов с фазовым и частотным управлением, выяснение общих закономерностей коллективного поведения: изучение син-

хронных режимов, процессов возникновения и хаотизации автомодуляционных режимов, исследование свойств хаотических режимов, определение областей захвата в синхронный режим, определение областей возбуждения динамического хаоса и анализ их структуры, изучение зависимости динамических режимов от параметров цепей управления и от структуры и силы связей;

- исследование процессов синхронизации хаотических колебаний в системах с фазовым и частотным управлением, изучение возможностей управления этими процессами в целях использования генерируемых хаотических колебаний для передачи информации;

- компьютерное моделирование процессов передачи информации с использованием хаотических колебаний, генерируемых фазовыми и частотными системами.

Научная новизна работы. В диссертации впервые проведено систематическое исследование сложных режимов нелинейной динамики класса автогенераторных систем с частотным и фазовым управлением. Получены следующие новые результаты.

Проанализированы автомодуляционные режимы однокольцевых генераторов с фазовым и частотным управлением. Изучены механизмы возникновения автомодуляционных колебаний и процессы их хаотизации. Проанализированы свойства и области существования хаотических колебаний в зависимости от формы нелинейности и параметров цепей управления. Установлено, что фазоуправляемый генератор с фильтрами второго порядка и частотноуправляемый генератор с фильтром третьего порядка характеризуются высокой степенью мультистабильности, области существования хаотических колебаний этих систем сравнительно малы.

Проведено моделирование динамических процессов малых ансамблей фа-зоуправляемых систем с различными типами соединений (каскадным, параллельным, перекрестным). В результате установлены общие закономерности коллективного поведения, определяемые собственными параметрами систем и связями между подсистемами ансамблей. Изучены условия реализации и характеристики синхронных режимов, процессы возникновения и развития автомодуляционных режимов, сценарии хаотизации автомодуляционных режимов, характеристики и области существования хаотических колебаний. В процессе численных экспериментов с моделями ансамблей зафиксированы практически все известные в настоящее время сценарии перехода от регулярных колебаний к хаотическим. Обнаружен новый механизм перехода от синхронного режима к квазисинхронному режиму в отдельных генераторах ансамблей. Новый механизм проявляется при установлении связи "назад" между однонаправлено связанными генераторами,

функционирующими в синхронном и асинхронном режимах соответственно. Он аналогичен возникновению вынужденных колебаний, но имеет свою специфику, обусловленную наличием обратной связи с "внешним" источником колебаний. В фазовом пространстве динамических моделей новый механизм возбуждения квазисинхронных колебаний не связан с бифуркациями особых траекторий, а сопровождается изменением формы аттрактора. Проанализированы свойства хаотических колебаний генераторов ансамблей в зависимости от параметров цепей управления и от структуры и силы связей. Установлено, что переход к коллективной динамике предоставляет широкие возможности по генерации разнообразных хаотических колебаний, в том числе хаотически модулированных колебаний с несущей, стабилизированной по опорной частоте, объединение генераторов в ансамбль позволяет существенно расширить области генерации хаотических колебаний. Получены сведения, позволяющие осуществить эффективное управление свойствами генерируемых колебаний.

Проведено исследование хаотических колебаний в ансамбле двух каскад-но связанных генераторов с частотным управлением. Изучены свойства хаотических колебаний и механизмы их возбуждения. Установлено, что принципы возбуждения хаотических колебаний за счет объединения нескольких систем в ансамбль для частотных и фазовых систем являются общими. Показано, что свойствами хаотических колебаний в ансамблях частотных систем можно эффективно управлять с помощью параметров связей.

Рассмотрены вопросы синхронизации хаотических колебаний фазовых систем. Предложено использовать для синхронизации хаотических колебаний принцип автоподстройки. Продемонстрировано, что применение принципа автоподстройки позволяет повысить точность синхронизации хаотических колебаний, а также расширить области существования режима хаотической синхронизации в пространстве параметров как однокольцевых генераторов, так и генераторов объединенных в ансамбль. Установлено, что для процесса синхронизации хаотических колебаний характерна гистерезис-ность.-

Практическая значимость работы. Результаты изучения областей существования динамических режимов, условий их устойчивости и реализации могут использоваться как при создании радиотехнических устройств синхронизации и слежения регулярных сигналов, так и при конструировании генераторов хаотических колебаний.

Проведенные в диссертации исследования выполнены на основе моделей, являющихся базовыми в теории нелинейных колебаний, поэтому результаты представляют интерес для других приложений (взаимосвязанные джо-зефсоновские контакты, объекты типа "взаимосвязанные ротаторы", сети

генераторов, кольцевые автоколебательные системы и т.д.).

Результаты работы используются в учебном процессе на радиофизическом факультете ННГУ им. Н.И.Лобачевского. Методическая база и программные средства созданного программного комплекса моделирования нелинейной динамики многомерных систем предоставляют широкие возможности для поддержки процесса обучения по различным дисциплинам: теория колебаний и волн, теория управления, дифференциальные уравнения, математические модели естествознания и техники и др. Разработанные подход и средства моделирования могут быть использованы при изучении режимов поведения и расчета динамических характеристик различных типов конкретных динамических систем. В настоящее время созданный программный комплекс используется на радиофизическом факультете и факультете вычислительной математики и кибернетики ННГУ, ИПФ РАН, НИИ прикладной математики и кибернетики, ИМАШ РАН.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Подход к исследованию автомодуляционных режимов генераторов с частотным и фазовым управлением.

2. Основные свойства нелинейной динамики фазовой системы с фильтром второго порядка: сведения об автомодуляционных режимах и областях их существования в пространстве параметров, информация о зависимости областей с хаосом от вида нелинейной характеристики фазового дискриминатора и параметров цепей управления.

3. Основные свойства нелинейной динамики малых ансамблей фазовых систем с фильтрами первого и второго порядков: сведения о синхронных и автомодуляционных режимах, об областях их существования в пространстве параметров, информация о зависимости областей с хаосом от параметров цепей управления, структуры и силы связей.

4. Анализ хаотических колебаний в однокольцевых и малых ансамблях генераторов с частотным управлением: сведения о размерах и структуре областей существования хаотически модулированных колебаний, а также характеристики автомодуляционных колебаний в зависимости от вида нелинейной характеристики частотного дискриминатора, параметров цепей управления и связей.

5. Использование принципа автоподстройки для синхронизации хаотических колебаний.

Публикации и апробация результатов. Основные результаты представлены публикациями в российских научных журналах, рекомендованных ВАК. Результаты диссертации отражены в 130 публикациях, в том числе в 2 коллективных монографиях, 2 учебных пособиях, 29 статьях в центральных рецензируемых журналах, 9 статьях в научно-технических сборниках,

23 публикациях в сборниках трудов российских и международных конференций.

Результаты диссертации докладывались на Всероссийских (Всесоюзных) конференциях "Повышение качества и эффективности устройств синхронизации" (Каунас, 1982, Ярославль, 1993), "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Иркутск, 1986), "Развитие и совершенствование устройств синхронизации в системах связи" (Горький, 1988), "Нелинейные колебания механических систем" (Н.Новгород, 1990, 1993, 1999, 2002, 2005), Научных сессиях НТОРЭС им.А.С.Попова, посвященных Дню радио (Москва, 1987, 1989, 1991, 1997, 1999, 2001, 2003, 2005, 2006), Научно-технических конференциях "Применение вычислительной техники в научных исследованиях" (Киев, 1989, Севастополь, 1990), Всесоюзной школе по стабилизации частоты (Канев, 1989), на Международных конференциях "Dynamic and stochastic wave phenomena - DSWP'94" (N.Novgorod, 1994), "Nonlinear Dynamics of Electron Systems - NDES" (Dublin, 1995, Seville, 1996, Moscow, 1997), "Contemporary Problems in the Theory of Dynamical Systems -CPTDS'96" (N.Novgorod, 1996), "Control of Oscillations and Chaos -COC'97" (St.Petersburg,

1997), "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(Москва,

1998), "IEEE Int. Conf. on Circuits and Systems for Communications" (New York, 1998, Moscow, 2004), "Int. Conf. dedicated to the 100th Anniversary of A.A. Andronov" (N.Novgorod, 2001), "Topical problem of nonlinear wave physics" (N.Novgorod, 2003, 2005), "Frontiers of Nonlinear Physics" (N.Novgorod, 2004), "8-th experimental chaos conference" (Florence, 2004), на Всероссийских научных конференциях "Нелинейные дни в Саратове" (Саратов,

1999), "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ" (Саратов, 2001), "Устройства синхронизации, формирования и обработки сигналов для связи и вещания", (Н.Новгород, 2002, Самара, 2005), "Сверхширокополосные сигналы в радиолокации, связи и акустике" (Муром, 2003, 2006), на школах по нелинейным волнам (Н.Новгород, 2002, 2004, 2006), международных школах-семинарах "Хаотические автоколебания и образование структур" (Саратов, 1998, 2004), на научных конференциях по радиофизике (ННГУ, 1998-2003, 2005, 2006).

Личный вклад соискателя. В совместных работах [6-8,10,22,23,25,27, 30] соискателю принадлежит ведущая роль в постановке задач, объяснении и интерпретации рассматриваемых процессов и явлений. В остальных работах вклад соискателя эквивалентен вкладу соавторов. Все расчеты, связанные с компьютерным моделированием исследуемых систем, выполнены на основе разработанного соискателем программного комплекса лично автором, либо при его непосредственном участии. Участие в физических экспериментах заключалось в формулировке основных задач, выборе оптималь-

ных вариантов реализации эксперимента, обсуждении и сравнении результатов с теоретическим исследованием и компьютерным моделированием.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, списка литературы и изложена на 483 страницах, включает 222 рисунка. Список литературы содержит 221 наименования и занимает 25 страницы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы: обоснована актуальность, сформулированы цель исследования и основные результаты работы, приведены сведения об апробации и практическом использовании результатов, кратко изложено содержание работы.

Первая глава посвящена исследованию нелинейной динамики одноколь-цевой фазоуправляемой системы с фильтром второго порядка в цепи управления, динамические процессы которой описываются уравнением с 1.5 степенями свободы:

l+nxeF'i^+ni^F"^)^

%+F(<p) = 7, (1)

где - текущее фазовое рассогласование, 7 - параметр, характеризующий начальную расстройку по частоте, 0<ni<l, 0<пг<1 - безразмерные параметры фильтра, F(tp) - нормированная характеристика фазового дискриминатора. Рассмотрены следующие аппроксимации функции F((p): F(<p)= sin <р, F(ip)=s'm3 <р, F(tp)=sin1/3 tp, пилообразная и трапецеидальная.

Изучение модели (1) проведено путем численного моделирования, основанного на методах теории колебаний и теории бифуркаций, при этом широко использовались сведения о динамике системы (1), полученные ранее. Исследования базировались на установленном взаимно однозначном соответствии между аттракторами модели (1) и динамическими режимами системы (рис.1).

В результате изучения аттракторов модели (1) получены новые сведения о характере границ области захвата в режим синхронизации (области глобальной устойчивости состояния равновесия) - границами могут являться бифуркационные поверхности, соответствующие кризису хаотических аттракторов. Показано, что изменяя форму характеристики фазового дискриминатора и варьируя параметры фильтра, можно существенно улучшить синхронизирующие свойства фазовой системы.

Изучены динамические режимы системы. Выявлены широкие возможности фазовой системы по генерации автомодуляционных колебаний различной сложности. Проведена классификация автомодуляционных режимов си-

(в)

(г)

Рис. 1: Примеры проекций аттракторов и соответствующих им спектров модели (1), характеризующие основные автомодуляционные режимы фазовой системы: регулярный квазисинхронный (а), хаотический квазисинхронный (ХМК) (б), регулярные биения (в), хаотические биения (г).

Рис. 2: Карты динамических режимов модели (1), построенные для оценки области удержания (а) и захвата (б) в режим ХМК.

стемы, среди хаотических режимов выделены колебания, наибольший интерес для новых практических приложений - колебания с хаотической угловой модуляцией с несущей, стабилизированной по опорной частоте (ХМК).

Предложены алгоритмы для выделения в пространстве параметров областей с различным динамическим поведением, для анализа выделенных областей и для расчета характеристик модулирующих колебаний. Предложенные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ, с использованием которого построены двухпараметрические карты динамических режимов модели (1) в плоскостях (м,7), (£,7)1 (м> £)> ("117)1 (п2>7); проведена оценка областей удержания режима ХМК и областей захвата в режим ХМК при различных характеристиках фазового дискриминатора и параметров фильтра. Установлено, что представляющие практический интерес области

существования ХМК фазовой системы с фильтром второго порядка невелики и имеют сложную структуру (рис.2). В силу сравнительной малости области существования ХМК для их реализации на практике потребуется достаточно точная настройка параметров системы.

Во второй главе рассмотрена динамика фазовой системы с дополнительным управлением по частоте (система частотно-фазовой автоподстройки - ЧФАП) в случаях, когда в фазовой и частотной цепях управления стоят разные фильтры первого порядка или одинаковые фильтры второго порядка. Модели системы с фильтрами первого порядка и второго порядка имеют вид:

5 "«Й- <2)

s dz Adro

и

= 7 - [1 + е + Ь0&(0\у)] z - [А + у - F(V) -Щ0Ху)

dip dy dz

— =у, [1— =-у-EZ-у-sin <р-ЬФ(Ру), (3)

в которых tp и у - текущее фазовое и частотное рассогласования, 7 - начальная частотная расстройка, ¡i,e, А - безразмерные параметры фильтров, Ь отражает влияние частотного кольца управления, F(ip) = sm<p и Ф(у) = 2&у/[1 + (Al/)2] - нормированные нелинейные характеристики фазового и частотного дискриминаторов. Рассмотрены случаи традиционной характеристики частотного дискриминатора Pi>Q и инвертированной 0i<Q.

В результате компьютерного исследования модели (2) установлена возможность существования в ЧФАП с фильтрами первого порядка новых динамических режимов, выявлены новые бифуркационные механизмы возникновения асинхронных режимов, что позволило объяснить явления сложного поведения исследуемой системы. В частности, впервые обнаружена возможность генерации двухчастотных и хаотических колебаний. Установлено, что при Pi<0 несущая хаотических колебаний может быть стабилизирована опорным сигналом. Показано, что полоса захвата в синхронный режим может состоять из нескольких зон, разделенных узкими полосами, где синхронный режим существует совместно с асинхронными режимами. Проведена оценка размеров областей существования автомодуляционных режимов. Установлено, что области существования ХМК крайне малы и не могут представлять интерес для практических приложений.

В системе ЧФАП с фильтрами второго порядка изучены механизмы возникновения и возможные сценарии развития асинхронных режимов при изменении параметров цепей управления и начальной частотной расстройки,

проанализированы области ХМК. Установлено, что в системе ЧФАП квазисинхронные режимы всегда существуют совместно либо с синхронным режимом, либо с режимом биений, поэтому гарантированный захват в квазисинхронный режим невозможен. Введение частотного кольца управления с инвертированной характеристикой частотного дискриминатора позволяет расширить области существования квазисинхронных режимов, при этом области генерации ХМК уменьшаются. Увеличение областей существования квазисинхронных колебаний происходит за счет ухудшения синхронизирующих свойств системы.

Проведен сравнительный анализ динамики ЧФАП и ФАП. В результате установлено, что введение частотного кольца управления с обычной характеристикой частотного дискриминатора приводит к улучшению синхронизирующих свойств управляемого генератора, что представляет интерес для традиционных задач синхронизации и слежения, основанных на использовании регулярных сигналов. Области существования ХМК систем ФАП и ЧФАП различаются мало. Установленные эффекты и явления нелинейной динамики моделей ФАП и ЧФАП имеют принципиальное значение для понимания и объяснения поведения рассматриваемой системы в процессе ввода в синхронный режим и при срыве синхронного режима в результате возмущения фазовых переменных и параметров системы, а также при использовании этих устройств в качестве генераторов хаотических колебаний.

В третьей главе исследуется коллективная динамика двух каскадно связанных фазовых систем с дополнительными связями через сигналы фазовых рассогласований и фильтрами первого и второго порядка в цепях управления. В разделе 3.1 приводятся описание структурной схемы ансамбля и динамических моделей, на изучении которых базируется исследование:

модель ансамбля с фильтрами первого порядка

¿Ч>\

йт

щ — т 1 [зт^г + квт((р2 — VI)] >

= 71 - - (1 - "г^Нп^!+ - VI)],

"2 — гп.2 [зт(р2 - VI) + ¿вт <£>1]» (4)

йт йт

= 72 ~ «2 - (1 - т2) [эт(^2 - VI)+ VI].

ат

модель ансамбля с фильтрами второго порядка

скрх <1у\ <1г\ . . . . . .

— = уи — = 2Г1, //!— = 71-у1-Е1.г1-81Пу?1-К:8т(^2^1)> (5)

<1-р2 Ф/2 <кг - / \ Г •

бифуркации и перестройки режимов аналогичны тем, которые установлены в модели ансамбля с малоинерционными цепями управления, и области, соответствующие существенно большему диапазону значений постоянных времени, в которых модели ансамбля демонстрируют сложные автомодуляционные режимы, вплоть до хаотических. На основании этих результатов сделан вывод о том, что степень влияния связей усиливается с возрастанием постоянных времени £\ и сг- Характерным для динамики ансамбля является наличие бифуркаций петель сепаратрис седел (в том числе многообходных) и седло-фокусов, удвоение периода предельных циклов, рождение инвариантных торов, седло-узловых предельных циклов. Эти бифуркации позволили объяснить принципиально новые явления коллективного поведения ансамбля взаимосвязанных фазовых систем (хаотические переходные процессы, явления мультистабильности и гистерезиса), не возникающие в парциальных системах.

Для теории и практического применения ансамбля с перекрестными связями в устройствах обработки информации и связи, основанных на использовании регулярных сигналов, наибольший интерес представляют результаты о структуре и характере границы области захвата, о ее зависимости от параметров ei, £2, а, о перестройках динамического поведения генераторов ансамбля при переходе с изменением параметров через границы области захвата и о различном характере и длительности переходного процесса к состоянию синхронизации. Эти результаты позволяют прогнозировать и устранять нарушение синхронизирующих свойств ансамбля. В других приложениях представляют интерес свойства асинхронных движений и динамика их развития и преобразования при изменении параметров. В частности, полученные результаты имеют большое значение в приложениях, связанных с формированием хаотических сигналов.

Седьмая глава посвящена изучению автоколебательных режимов систем с частотным управлением. Рассмотрены одиночная система и ансамбль, состоящий из двух каскадно связанных генераторов. Исследование нелинейной динамики однокольцевой системы базировалось на изучении аттракторов модели с полутора степенями свободы:

dx dy /т\

Тт= У\Тт = ... (10)

= a-F{x)-[\ + beF,{x)]y-[\-p + pF'{x)}z~pF"{x)y\

в которой Ь,р- параметры цепи управления, F(x) = х+Ф(х) - обобщенная нелинейность, Ф(г) - характеристика частотного дискриминатора. Исследование проведено для двух форм частотного дискриминатора: традиционной "одногорбой" - Ф(х)=2а\х/(1+afx2) и модифицированной "многогор-

бой" - Ф(х)=с1Ф1(г)+саФ2(®)> ф,,2(х)= (1+ (а;—01,г)2) 1/2-(1+ (я+а^)2) 1/2, в случаях отрицательной и положительной обратной связи в петле управления, параметры а 1, а^, с\, определяют крутизну и раствор характеристик Ф^я), Ф2(я;) и Ф(ж).

В рамках динамической модели (10) при Ь—р=0, соответствующей применению в петле управления простейшего фильтра третьего порядка типа [0/3], изучены механизмы возникновения автомодуляцонных режимов в системе с отрицательной обратной связью (а1>0). Построены бифуркационные диаграммы динамических режимов, выявлено большое разнообразие регулярных колебательных режимов и их бифуркаций, а также режимов хаотических колебаний. Установлены характерные закономерности возбуждения и развития автоколебательных движений в петле управления, ответственных за возникновение колебательных режимов генератора с регулярной и хаотической частотной модуляцией. Показано, что хаотизация колебаний происходит в результате каскадной субгармонической неустойчивости, а также жестким образом после прекращения периодической автомодуляции. В пространстве параметров выделены области существования хаотически модулировных колебаний, изучена структура этих областей, рассмотрена эволюция характеристик модулирующих колебаний при изменении параметров внутри выделенных областей.

Исследована система с "одногорбой" нелинейностью при положительной обратной связи в петле управления (с инверсным включением частотного дискриминатора, а1<0). Установлено, что в этом случай автогенераторная система демонстрирует колебательные режимы, характерные для случая отрицательной обратной связи, и ряд новых режимов, бифуркационных переходов и сценариев преобразования автомодуляционных режимов генератора. Отличительной особенностью системы с положительной обратной связью по сравнению с системой с отрицательной связью является способность генерировать сложные хаотические колебания, которым в фазовом пространстве математической модели соответствуют двухспиральные аттракторы. Поэтому хаотические колебания системы с инвертированной характеристикой имеют ббльшую степень хаотичности, ббльшую глубину модуляции, а частота, на которой осуществляется модуляция, может варьироваться в б&лее широком диапазоне.

Анализ системы с "многогорбой" нелинейностью свидетельствует, что ей свойственно большое разнообразие автоколебательных режимов, обязанных своим возникновением приобретению системой свойства мультиравновесно-сти. Одними из важнейших проявлений многозначной нелинейности является расширение областей существования хаотических колебаний в простран-

стве параметров, повышение степени хаотичности этих областей, возникновение хаотических временных структур, определяемых многоспиральными хаотическими аттракторами. Хаотические колебания системы с комбинированным дискриминатором допускают ббльшую глубину модуляции и более широкий диапазон, для изменения частоты, на которой осуществляется модуляция по сравнению с системой с обычным дискриминатором.

Обнаружена сильная зависимость поведения колебательных режимов от изменения параметров инерционности и начальной частотной расстройки. Следовательно, варьируя величины этих параметров, можно стимулировать возбуждение различных видов колебаний в петле управления и тем самым не только формировать разнообразные частотно модулированные колебания генератора, но и управлять их свойствами и областями существования.

Изучена возможность генерации хаотических колебаний в ансамбле двух каскадно связанных частотных систем. Модель ансамбля представляется системой обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка:

<Рхх . сРхг йх 1 , . . , , . .„,.

Рг—цГ + + ~аГ + Х1+ фнХ1) + кф2\х2 ~ ж1) = (и)

(Рх2 , еРх 2 <1X2 ' , М Ж + + "д" + *2 + " *>> =

где Х{ и <?{ - текущие и начальные частотные рассогласования г-го генератора относительно опорного сигнала соответственно, /¿¡.А;,^ - безразмерные параметры фильтров, = 2<^1/(1 + (а,х)2) - характеристика частотного дискриминатора в цепи управления г-го генератора (г = 1,2), к - параметр дополнительной связи.

Установлено, что объединение систем в ансамбль позволяет расширить области генерации хаотических колебаний по сравнению с одиночной системой, а характеристиками автомодуляционных колебаний генераторов ансамбля можно управлять как за счет параметров объединяемых систем, так и с помощью параметра связи к.

Таким образом, можно констатировать, что частотно управляемые системы являются высокоэффективными генераторами хаотических колебаний. Благодаря инверсному включению обычного частотного дискриминатора генератор с петлей частотной автоподстройки приобретает свойства динамического поведения, характерные для кольцевых автогенераторов, генераторов Чуа и других автоколебательных систем с бистабильным поведением. Изменение формы характеристики частотного дискриминатора переводит частотно управляемую систему в класс систем с мультистабильным поведением и предоставляет более богатые возможности по выбору характеристик модулирующих колебаний. Объединение частотных систем в ансамбль

расширяет возможности частотных систем как генераторов хаоса. Из этого следует, что системы частотной автоподстройки могут быть применены для решения того же круга прикладных задач, которые реализуются на основе выше упомянутых автогенераторных систем (формирование шумо-подобных колебаний, синхронизация хаотических колебаний, управления хаосом, передача информации и др.). При этом имеющаяся в системах с частотным управлением возможность регулировать характеристики и области существования генерируемых колебаний с помощью изменения параметров инерционности, формы дискриминационной характеристики, начальной расстройки и параметров связей обеспечивает надежное формирование хаотических колебаний с требуемыми свойствами для указанных приложений.

В восьмой главе рассмотрены вопросы синхронизации хаотически модулированных колебаний двух однонаправленно связанных фазовых систем как парциальных, так и входящих в состав ансамблей, и проведено компьютерное моделирование процессов передачи информации с использованием динамического хаоса.

Установлена возможность почти полной синхронизации (синхронизации, при которой хаотические колебания отличаются друг от друга на малую величину е, характеризующую точность хаотической синхронизации) хаотически модулированных колебаний фазоуправляемых генераторов с неидентичными, но близкими параметрами. Установлено, что для процесса синхронизации хаотических колебаний характерна гистерезисность, т.е. вхождение (захват) в синхронизм и удержание (потеря) режима синхронизации происходят при различных значениях начальной расстройки частоты генератора относительно опорного генератора.

В целях расширения областей существования режима синхронизации ХМК в пространстве параметров, предложено использовать принцип автоподстройки. В пространстве параметров исследуемых моделей выделены области существования режима синхронизации ХМК, проанализировано влияние параметров петли автоподстройки хаотических колебаний на размеры выделенных областей и точность синхронизации. Показано, что путем вариаций параметров петли автоподстройки можно повысить точность синхронизации хаотических колебаний, а также расширить область существования режима хаотической синхронизации.

Проведено численное моделирование процессов передачи аналогового й бинарного сигналов между приемником и передатчиком, структурные схемы которых содержат неидентичные генераторы хаоса на базе фазовых систем, а для синхронизации хаотических колебаний используется принцип антоподстройки. Продемонстрирована возможность восстановления аналогового и бинарного сигналов на приемнике при рассогласованиях парамет-

ров генераторов хаоса приемника и передатчика в пределах 5%.

Из результатов проведенных компьютерных экспериментов следует, что системы ФАП могут быть использованы для создания генераторов хаотически модулированных колебаний, их синхронизации и построения на этой основе систем связи с использованием хаотической несущей.

В заключении приведены краткие выводы и сформулированы основные результаты.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Впервые проведено систематическое исследование синхронных и автомодуляционных колебаний однокольцевых генераторов с фазовым и частотно-фазовым управлением, динамические процессы которых описываются моделями с 1.5 степенями свободы.

• Установлено взаимнооднозначное соответствие между аттракторами математических моделей и динамическими режимами генераторов. Показано, что рассматриваемые системы обладают большим разнообразием

. динамических режимов как регулярных, так и хаотических. Среди аттракторов моделей выделены аттракторы, отвечающие формированию на выходе генераторов хаотически модулированных колебаний со стабилизированной по опорной частоте несущей (ХМК), которые могут представлять наибольший интерес для систем связи, использующих динамический хаос.

• Изучены бифуркации возникновения регулярных автомодуляционных колебаний и механизмы их хаотизации. Объяснены явления сложного поведения (мультистабильность, гистерезисы, явления затягивания переходных процессов к режиму синхронизации и т.д.) исследуемых систем при вариациях параметров.

• В пространстве параметров выделены и изучены области существования синхронных и квазисинхронных режимов. Показано, что одноколь-цевые генераторы с фильтрами второго порядка в области существования автомодуляционных режимов отличаются высокой степенью муль-тистабильности, а области существования ХМК имеют сравнительно небольшие размеры, что может создавать определенные трудности при практическом использовании формируемых на выходе систем ХМК.

2. Впервые исследована нелинейная динамика малых ансамблей фазо-управляемых генераторов с различными типами объединений (каскадным, параллельным, перекрестным).

Установлено соответствие между аттракторами математических моделей ансамблей и динамическими режимами управляемых генераторов. Среди аттракторов моделей выделен подкласс, отвечающий за режимы генерации ХМК.

Установлено, что фазоуправляемые генераторы с регулярной индивидуальной динамикой, объединенные в ансамбль, способны формировать ХМК.

Изучены механизмы возникновения автомодуляционных колебаний в генераторах ансамбля. Установлено, что аттракторы, характеризующие квазисинхронные режимы, возникают в результате бифуркации Андронова-Хопфа, бифуркаций петель сепаратрис первого и второго рода, касательных бифуркаций колебательных и колебательно-вращательных предельных циклов. Для отдельных генераторов ансамбля обнаружен новый механизм перехода от синхронного режима к квазисинхронному режиму, связанный с изменением формы аттракторов в фазовом пространстве моделей ансамблей. Выявлены мягкие и жесткие переходы между синхронными, квазисинхронными и асинхронными режимами генераторов.

Изучены сценарии хаотизации регулярных колебаний генераторов ансамблей. В процессе численных экспериментов зафиксированы практически все известные в настоящее время сценарии перехода от регулярных колебаний к хаотическим.

Получены оценки областей захвата и удержания синхронных, регулярных и хаотических квазисинхронных режимов. Показано, что за счет объединения фазовых систем в ансамбль, варьируя структурой и параметрами связей, можно добиться улучшения динамических характеристик генераторов как в традиционном их применении (в качестве устройств синхронизации регулярных сигналов), так и в нетрадиционном (в качестве генераторов хаотически модулированных колебаний). Установлено, что фазовые системы, объединенные в ансамбль, по сравнению с однокольцевыми системами способны генерировать ХМК в значительно больших диапазонах изменения параметров.

Изучена структура областей существования ХМК. Выявлена существенная неоднородность областей генерации ХМК в сечениях пространства параметров плоскостями, содержащими параметры связей, - области состоят из нескольких подобластей, отвечающих генерации хаотиче-. ских колебаний различных типов, а также содержат достаточно боль-

шие "окна"с регулярной динамикой. Сечения пространства параметров плоскостями, не содержащими параметры связей, демонстрируют достаточно высокую однородность режимов генерации ХМК определенного типа. Показано, что свойствами генерируемых колебаний достаточно эффективно можно управлять с помощью малых изменений параметров связей.

• Установлено, что коллективная динамика ансамбля, составленного из систем, индивидуальная динамика которых описывается моделями с полутора степенями свободы, характеризуется высокой степенью муль-тистабильности. Степень мультистабильности снижается по мере уменьшения размерности моделей парциальных систем.

• В рамках проведенных исследований, проанализирована динамика ансамблей в зависимости от типов связей. Установлено, что наилучшими показателями по генерации ХМК обладает каскадное соединение.

3. Исследована нелинейная динамика однокольцевого генератора и ансамбля, состоящего из двух каскадно связанных частотных систем с фильтрами третьего порядка.

• В однокольцевых системах с традиционной (квадратичной) характеристикой частотного дискриминатора выявлено большое разнообразие автомодуляционных режимов как регулярных, так и хаотических. Изучены бифуркационные механизмы возникновения и хаотизации автомодуляционных режимов. Проанализированы области существования хаотических колебаний в пространстве параметров. Показано, что в однокольцевых генераторах с традиционной характеристикой частотного дискриминатора и фильтрами третьего с порядка области хаотически модулированных колебаний малы и неоднородны.

• Установлено, что использование в цепи управления комбинированного дискриминатора расширяет многообразие автомодуляционных режимов; увеличивает размеры и повышает однородность областей существования хаотических колебаний в пространстве параметров. Хаотические колебания системы с комбинированным дискриминатором допускают ббльшую глубину модуляции и более широкий диапазон для изменения частоты, на которой осуществляется модуляция по сравнению с колебаниями в системе с обычным дискриминатором.

• Показано, что объединение частотных систем в ансамбль позволяет расширить области генерации хаотических колебаний по сравнению с

одиночной системой. Установлено, что характеристиками автомодуляционных колебаний генераторов ансамбля можно управлять как за счет параметров объединяемых систем, так и с помощью параметров связей.

4. Рассмотрены вопросы синхронизации хаотических колебаний фазовых систем и использования хаотических колебаний для передачи информации.

• Установлена возможность почти полной синхронизации ХМК фазо-управляемых генераторов с неидентичными параметрами. Показано, что для процесса синхронизации хаотических колебаний характерна гистерезисность.

• Предложено использовать для синхронизации хаотических колебаний принцип автоподстройки. Продемонстрировано, что применение принципа автоподстройки позволяет повысить точность синхронизации хаотических колебаний, а также расширить области существования режима хаотической синхронизации в пространстве параметров как одно-кольцевых генераторов, так и генераторов объединенных в ансамбль.

• Проведено численное моделирование процессов передачи аналогового и бинарного сигналов с использованием динамического хаоса, результаты которого позволяют сделать вывод о перспективности построения новых систем связи на базе динамического хаоса.

5. Разработана технология компьютерного моделирования нелинейной динамики и расчета динамических характеристик взаимосвязанных систем с фазовым и частотным управлением, а также процессов передачи информации на хаотической несущей (способы, алгоритмы и программные средства компьютерного исследования).

6. Полученные сведения о режимах и закономерностях динамического поведения взаимосвязанных систем с частотным и фазовым управлением и созданные программные средства компьютерного моделирования могут быть применены при анализе моделей из других приложений (например, взаимосвязанные джозефсоновские контакты, объекты типа "взаимосвязанные ротаторы", сети генераторов и др.).

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Список основных публикаций по теме диссертации

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Динамические свойства двухконтур-ной взаимосвязанной системы фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника. 1984. Т.29. №6. С.1125-1133.

2. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Исследование режимов динамического поведения двухпетлевой системы синхронизации сложного сигнала // Радиотехника и электроника. 1989. Т.34. №.9. С.1886-1895.

3. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Нелинейная динамика следящей системы синхронизации шумоподобного сигнала // Электросвязь. 1990 №8. С.17.

4. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Нелинейные явления в системе взаимосвязанных устройств фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38, №.4. С.711-720.

5. Пономаренко В.П., Матросов В.В. О динамике инерционной взаимосвязанной системы фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38, №4. С.721-730.

6. Корзинова М.В., Матросов В.В. Моделирование нелинейной динамики каскадного соединения фазовых систем // Изв.вузов. Радиофизика. 1993. Т.36, №8. С.815-819.

7. Матросов В.В., Корзинова М.В. Коллективная динамика каскадного соединения фазовых систем. // Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т.2, №2. С.10-16.

8. Матросов В.В., Шалфеева М.В. О влиянии связей на нелинейную динамику двух каскадно связанных управляемых генераторов // Изв.вузов. Радиофизика. 1995. Т.38. №3-4. С.275-279.

9. Матросов В.В. Регулярные и хаотические колебания в фазовой системе // Письма в ЖТФ. 1996. Т.22, №23. С.4-8.

10. Матросов В.В., Корзинова М.В. Синхронные и автоколебательные режимы каскадного соединения фазовых систем // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика - синхронизация и хаос. Н.Новгород. 1996. С.77-92.

11. Матросов В.В., Пономаренко В.П. Нелинейная динамика и хаотическое поведение мультиравновесной автогенераторной системы // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика - синхронизация и хаос. Н.Новгород. 1996. С.93-112.

12. Матросов В.В. Регулярные и хаотические колебания фазовой системы // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика - синхронизация и хаос -II, Н.Новгород. 1997. С.53-64.

13. Матросов В.В. Некоторые особенности динамического поведения каскадного соединения двух фазовых систем. // Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т.5, №6. С.52-61.

14. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Самоорганизация временных структур в мультиравновесной автогенераторной системе с частотным управлением // Журнал технической физики. 1997. Т.67, №3. С. 1-7.

15. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Сложная динамика автогенератора управляемого петлей частотной автоподстройки с комбинированным дискриминатором // Радиотехника и электроника. 1997. Т.42. №9, С.1125-1133.

16. Шалфеев В.Д., Матросов В.В., Корзинова М.В. Каскадное соединение фазовых систем - генерация и синхронизация хаотических колебаний // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика - синхронизация и хаос III, Серия радиофизика. Н.Новгород. 1998. С.35-44.

17. Шалфеев В.Д., Матросов В.В. Об эффектах захвата и удержания при синхронизации хаотически модулированных колебаний // Изв.вузов. Радиофизика. 1998. Т.41, №12. С.1033-1036.

18. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Сложные колебания в системе взаимодействующих автогенераторов с фазовым управлением // Известия вузов. Радиофизика. 1998. Т.41, №12. С.1604-1611.

19. Шалфеев В.Д., Матросов В.В., Корзинова М.В. Динамический хаос в ансамблях связанных фазовых систем // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. №11. С.44-56.

20. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Динамические режимы и бифуркации при взаимодействии двух систем синхронизации через перекрестные связи // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000, Т.8 №4. С.52-65. .

21. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Возбуждение хаотических колебаний в модели двух связанных систем с фазовым управлением // Радиотехника и электроника. 2000. Т.45. №8. С.984-992.

22. Матросов В.В., Касаткин Д.В. Динамические режимы связанных генераторов с фазовым управлением // Радиотехника и электроника. 2003. Т.48. №6. С.637-645.

23. Матросов В.В., Касаткин Д.В. Анализ процессов возбуждения хаотических колебаний во взаимосвязанных генераторах с фазовым управлением // Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. Т.11, №.4. С.31-43.

24. Матросов В.В. Динамические свойства генератора с частотно-фазовым управлением // Изв.вузов. Радиофизика. 2004. Т.47, №4. С.334-342.

25. Матросов В.В., Касаткин Д.В. Особенности динамики трех каскадно связанных генераторов с фазовым управлением // Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2004, Т.12, №1. С.159-168.

26. Мишагин К.Г., Матросов В.В., Шалфеев Д.В., Шохнин В.В. Экспериментальное исследование генерации хаотических колебний в ансамбле двух каскадно связанных фазовых систем // Письма в ЖТФ, Т.31, вып.24, 2005, С.31-38.

27. Касаткин Д.В., Матросов В.В. Хаотические колебания двух касакдно связванных генераторов с частотным управлением // Письма в ЖТФ. 2006. Т.32, №8. С.71-77.

28. Матросов В.В. Нелинейная динамика системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Изв.вузов. Радиофизика. 2006. Т.49, №.3. С.267-278.

29. Матросов В.В. Автомодуляционные режимы системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Изв.вузов. Радиофизика. 2006. Т.49, №.4. С.357-368.

30. Матросов В.В., Шалфеев В.Д., Касаткин Д.В. Анализ областей генерации хаотических колебаний взаимосвязанных фазовых систем // Изв.вузов. Радиофизика. 2006, Т.49, №.5. С.448-457.

31. Матросов В.В. Динамика двух параллельно связанных фазоуправляс-мых генераторов с малоинерционными цепями управления // Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. Т.14, №.1. С.25-37.

32. Матросов В.В. Моделирование динамики системы частотно-фазовой автоподстройки с фильтрами первого порядка // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2006. С. 17-28.

Другие издания

33. Пономаренко В.П., Заулин И.А., Матросов В.В. Динамические свойства взаимосвязанных систем автоматической синхронизации. Учебное пособие. Горький. ГГУ. 1989. 80с.

34. Ponomarenko V.P., Matrosov V.V. Nonlinear dynamics of multistable Chua's circuits // Int.J. Bifurcation and Chaos, 1996, V.6, n.ll, p.2087-2096.

35. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Моделирование динамических процессов в автогенераторных системах с частотным управлением. Учебное пособие. Н.Новгород. ННГУ. 1997. 114с.

36. Shalfeev V.D., Matrosov V.V., and Korzinova M.V. Communications Using Cascade Coupled Phase-Locked Loops Chaos // Int.J. Bifurcation and Chaos. 1999. V.9, n.5, p.963-973.

37. Shalfeev V.D., Matrosov V.V., and Korzinova M.V. Chaos in Phase Systems: Generation and Synchronization. // Controlling Chaos and Bifurcations in Engineering Systems / Ed. by G. Chen. CRC Press. Boca - Raton - London - New York - Washington, D.C. 1999, p.529-558.

38. Shalfeev V.D., Matrosov V.V. Dynamical Chaos in Phase-Locked Loops. // Chaos in Circuits and Systems. Ed. by G.Chen and T.Ueta. World Scientific Publishing Company, Singapore. 2002, p.130-150.

39. Шалфеев В.Д., Матросов В.В. Хаотически модулированные колебания в связанных фазовых системах // Нелинейные волны'2002 / Отв.ред. А.В.Гапонов-Грехов, В.И.Некоркин.-Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2003. С.77-89.

Подписано в печать 06.07.2006 г. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура «Тайме». Усл. п. л. 2. Заказ № 1088. Тираж 100 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского. Лиц. ПД № 18-0099 от 4.05.01. 603000, г. Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37

Введение

1 Нелинейная динамика однокольцевой системы ФАП

1.1 Математические модели ФАП.

1.2 Динамические режимы и характеристики системы ФАП

1.3 Динамика системы ФАП с фильтром первого порядка.

1.4 Бифуркационный анализ системы ФАП с фильтром второго порядка.

1.4.1 Динамика модели ФАП с симметрией (случай 7 = 0)

1.4.2 Влияние начальной частотной расстройки 7 на динамику системы ФАП с фильтром типа [0/2]

1.4.3 Особенности динамического поведения модели ФАП с фильтром типа [2/2].

1.4.4 Влияние формы характеристики фазового детектора

1.5 Анализ областей генерации автомодуляционных режимов

1.6 Характеристики модулирующих колебаний.

1.7 Выводы.

2 Особенности нелинейной динамики системы ФАП с дополнительным управлением по частоте

2.1 Структурная схема и математические модели ЧФАП.

2.2 Динамика модели ЧФАП с идентичными фильтрами 1-го порядка в цепях управления.

2.2.1 ЧФАП с обычной характеристикой частотного дискриминатора

2.2.2 ЧФАП с инвертированной характеристикой частотного дискриминатора

2.3 Система ЧФАП с фильтрами 1-го порядка при Т^Тг.

2.3.1 ЧФАП с неинвертированной характеристикой ЧД

2.3.2 ЧФАП с инвертированной характеристикой ЧД . 97 2.4 Моделирование динамики ЧФАП с фильтрами второго порядкаЮЗ

2.4.1 Влияние частотного кольца на динамику ЧФАП

2.4.2 Влияние параметров фильтров на динамику ЧФАП . . 108 2.5 Выводы.

3 Нелинейная динамика двух каскадно связанных ФАП

3.1 Математические модели двух каскадно связанных ФАП

3.2 Динамические режимы связанных ФАП.

3.3 Нелинейная динамика связанных ФАП без дополнительных связей.

3.3.1 Динамика ансамбля с малоинерционными цепями управления

3.3.2 Влияние параметров фильтров.

3.4 Влияние дополнительных связей на синхронные и автомодуляционные режимы связанных ФАП с малоинерционными цепями управления.

3.4.1 Синхронные режимы.

3.4.2 Автомодуляционные режимы в ансамбле с дополнительной связью "назад". Случай 71=72=7) к Ф 0> ^ ~ 0 •

3.4.3 Роль дополнительной связи "вперед". Случай 71=72=7,

3.4.4 Особенности динамики в случае 717^72, к ф 0,$ ф

3.5 Динамика ансамбля с фильтрами первого порядка.

3.5.1 Синхронные режимы.

3.5.2 Бифуркационная диаграмма динамических режимов

3.5.3 Развитие динамических режимов генераторов ансамбля при вариациях параметров связей

3.5.4 Сценарии возбуждения и области существования ХМК в пространстве параметров.

3.6 Хаотические колебания в ансамбле ФАП с фильтрами второго порядка.

3.6.1 Возбуждение хаотических колебаний.

3.6.2 Области хаотических колебаний в пространстве параметров

3.6.3 Анализ областей существования автомодуляционных колебаний в пространстве параметров.

3.7 Экспериментальное исследование ХМК в ансамбле двух кас-кадно связанных ФАП.

3.8 Выводы.

4 Особенности нелинейной динамики трех каскадно связанных ФАП

4.1 Математические модели и динамические режимы каскадного соединения трех ФАП.

4.2 Синхронные режимы.

4.3 Регулярные квазисинхронные режимы и механизмы их возникновения

4.4 Бифуркационные переходы к хаотическим колебаниям

4.4.1 Переход к хаосу через каскад удвоения периода предельного цикла.

4.4.2 Переход к хаосу через перемежаемость.

4.4.3 Бифуркация тор-хаос.

4.4.4 Переход к хаосу через удвоение инвариантных торов

4.4.5 Возбуждение хаотических колебаний за счет организации дополнительной связи.

4.5 Асинхронные режимы и их роль при генерации квазисинхронных режимов различной сложности.

4.6 Анализ структуры пространства параметров.

4.6.1 КФАП с малоинерционными цепями управления при идентичных дополнительных связях к\ = И2.

4.6.2 КФАП с малоинерционными цепями управления при не идентичных дополнительных связях к\ ф л^.

4.6.3 Области генерации ХМК в КФАП с инерционными цепями управления.

4.7 Выводы.

5 Нелинейная динамика двух параллельно связанных ФАП (ПФАП)

5.1 Структурная схема, математические модели и динамические режимы двух параллельно связанных ФАП.

5.2 Синхронные режимы и точность синхронизации.

5.2.1 ПФАП с единичными фильтрами.

5.2.2 ПФАП с фильтрами первого порядка.

5.3 Динамика ансамбля с малоинерционными цепями управления

5.3.1 Динамические режимы и структура пространства параметров в случае слабых связей.

5.3.2 Динамические режимы и структура пространства параметров при наличии сильных связей.

5.4 Влияние параметров фильтров на динамические режимы ансамбля

5.4.1 Эволюция динамических режимов и структуры пространства параметров ПФАП с фильтрами первого порядка

5.4.2 Эволюция динамических режимов ПФАП с фильтрами второго порядка.

5.5 Анализ областей генерации автомодуляционных режимов

5.5.1 ПФАП с фильтрами первого порядка.

5.5.2 ПФАП с фильтрами второго порядка.

5.6 Выводы.

6 Моделирование динамических процессов двухкольцевой системы ФАП

6.1 Исследуемая система и ее математические модели.

6.2 Анализ синхронных режимов.

6.3 Динамика ДФАП с малоинерционными цепями управления парциальных систем (¿I <С 1, ег 1)

6.3.1 Динамика ДФАП в отсутствии дополнительной связи с*=0.

6.3.2 Динамика ДФАП при а>0,6 < 1.

6.3.3 Особенности динамика ДФАП при си>0, Ь -С 1.

6.3.4 Динамика ДФАП при с*>0, Ъ > 1.

6.3.5 Особенности динамика ДФАП при а>0,6 >1.

6.4 Исследование динамических режимов ДФАП в зависимости от параметра инерционности £2.

6.4.1 Эволюция параметрического портрета {7, /3}.

6.4.2 Особенности параметрического портрета {£2,/?}

6.5 Динамические режимы и бифуркации системы при изменении

6.5.1 Параметрический портрет {£1,/?} при а =

6.5.2 Особенности параметрических портретов {£1, ¡3} систем при си > 0.

6.6 Выводы.

7 Регулярные и хаотические колебания в автогенераторных системах с частотным управлением

7.1 Математические модели исследуемой системы.

7.2 Бифуркационный анализ моделей ЧАП.

7.2.1 ЧАП с отрицательной обратной связью в петле управления

7.2.2 ЧАП с положительной обратной связью в петле управления

7.2.3 Регулярные и хаотические колебания системы ЧАП с комбинированным дискриминатором.

7.3 Анализ областей существования автомодуляционных режимов

7.3.1 ЧАП с отрицательной и положительной обратной связью в петле управления.

7.3.2 ЧАП с комбинированным дискриминатором

7.4 Автомодуляционные колебания в ансамбле связанных ЧАП

7.5 Выводы.

8 Моделирование процессов синхронизации ХМК и передачи информации с использованием ХМК

8.1 Синхронизация ХМК однокольцевых ФАП.

8.2 Синхронизация ХМК ансамблей ФАП.

8.3 Моделирование процессов передачи информации на хаотической несущей.

8.4 Выводы.

Одним из наиболее ярких событий в нелинейных науках последних десятилетий явилось открытие динамического хаоса - колебаний детерминированного происхождения, обладающих свойствами случайных процессов: сплошным спектром, конечным временем корреляции, высокой чувствительностью к возмущениям, непредсказуемостью поведения на больших временных интервалах и т.д. Такие движения возникают в нелинейных системах и их свойства полностью определяются свойствами динамической системы. Осмысление того факта, что в нелинейных системах при полном отсутствии каких-либо случайных воздействий возможно возникновение сложного нерегулярного поведения - динамического хаоса, привело к существенному изменению традиционных взглядов на колебательно-волновые явления. Стало понятным, что для большинства физических, химических, биологических и других природных систем простые периодические колебания являются скорее исключением, а правилом для реально наблюдаемых систем являются хаотические колебания с той или иной степенью хаотичности. Открытие динамического хаоса вызвало огромный интерес в научной среде, который не ослабевает и по сей день.

Первые работы по динамическому хаосу были опубликованы в середине 60-х годов, положив начало к теоретическим и экспериментальным исследованиям данного явления. К началу 90-х годов основные понятия связанные с динамическим хаосом были сформированы [1-16].

Изучение фундаментальных свойств динамического хаоса породило естественный интерес к прикладной стороне этого явления, связанной с возможностью построения технических систем, в основе функционирования которых использовались бы свойства динамического хаоса. Одним из перспективных направлений использования динамического хаоса является применение его в системах связи. Динамический хаос обладает многими привлекательными свойствами, которые могут быть полезны при передачи информации [17]:

- возможность получения сложных колебаний с помощью простых по структуре устройств;

- способность в одном устройстве реализовать большое количество различных хаотических мод;

- возможность управления хаотическими режимами путем малых изменений параметров систем;

- большая информационная емкость;

- разнообразие методов ввода информационного сигнала в хаотический;

- увеличение скорости модуляции по отношению к модуляции регулярных сигналов;

- нетрадиционные методы мультиплексирования;

- конфиденциальность при передаче сообщений.

Направление, связанное с использованием динамического хаоса в связи, начало развиваться в начале 90-х годов прошлого века во многом благодаря достигнутым к этому времени результатам по созданию генераторов хаотических колебаний: генератор с инерционной нелинейностью [18,19], кольцевой автогенератор [12,20], генератор с туннельным диодом [21], схема Чуа [8] и др.) и открытию явлений хаотической синхронизации [22-24] и хаотического синхронного отклика [25,26]. Начиная с 1992 года был предложен ряд способов передачи информации, использующих хаотические сигналы: хаотическая маскировка (chaotic masking), переключение хаотических режимов (chaos shift keying), нелинейное подмешивание (nonlinear mixing) и другие. С их помощью была продемонстрирована возможность применения хаоса для передачи информации и тем самым созданы предпосылки для развития нового направления в системах связи.

Первые эксперименты по передачи информации [27-41] подтвердили возможность передачи информации с использованием хаоса, однако их перспективность натолкнулась на серьезные проблемы и прежде всего следующие. Во-первых, оказалось, что схемам связи, построенным на использовании явления самосинхронизации хаотических колебаний, свойственна высокая чувствительность к искажениям в канале, шумам и неполной идентичности параметров передатчика и приемника. Во-вторых, в предложенных схемах, хаос использовался в качестве поднесущих колебаний, модулирующих высокочастотный носитель. При этом существенно терялась такая привлекательная черта хаоса, как его широкополосность, обеспечивающая высокие скорости передачи информации сигналов с большой базой. В связи с этим для дальнейшего развития хаотических систем связи необходимо решить ряд проблем, среди которых: разработка высокоэффективных генераторов хаоса непосредственно работающих в широком частотном диапазоне, охватывающим высокие и сверхвысокие частоты, и разработка способов, повышающих устойчивость синхронизации хаотических колебаний.

Для разрешения вышеуказанных проблем представляется перспективным обратиться к использованию фазовых и частотных систем [А33,42]. Как известно, в устройствах передачи информации, использующих регулярные сигналы, широко применяются фазовые (системы фазовой автоподстройки - ФАП) и частотные (системы частотной автоподстройки -ЧАП) системы. Эти системы изначально разрабатывались для решения задач синхронизации, стабилизации и управления частотой и фазой радиоколебаний, фильтрации, демодуляции, формирования и обработки сигналов и многих других задач. Высокая точность, надежность, помехоустойчивость, управляемость, способность работать на высоких и сверхвысоких частотах, технологичность сделали эти системы неотъемлемой частью практически любых систем связи. Естественно, что вышеперечисленные свойства делают такие системы весьма привлекательными для создания на их основе новых систем связи, использующих не регулярные, а хаотические сигналы.

К настоящему времени теория фазовых и частотных систем для регулярных сигналов достаточно хорошо развита благодаря работам В.В. Шах-гильдяна, М.В. Капранова, A.A. Ляховкина, JI.H. Белюстиной, Ю.Н. Бакаева, В.Н. Белых, В.Н. Кулешова, Г.А. Леонова, В.И. Некоркина, В.П. Поно-маренко, В.И. Тихонова, H.H. Удалова, В.Д. Шалфеева, Б.И. Шахтарина, W.C. Lindsey, A.J Viterbi и др. [43-55]. Что касается вопросов использования ФАП и ЧАП для передачи информации на основе хаотических сигналов, то теоретические основы этого направления практически отсутствуют. Объем результатов в области теории динамического поведения таких систем в асинхронных режимах явно недостаточен для объяснения многочисленных явлений, которые демонстрируют эти системы вне областей существования и устойчивости синхронного режима (в области существования автомодуляционных режимов), для определения динамических характеристик хаотических сигналов, для целенаправленной разработки радиофизических устройств, использующих хаотические свойства систем ФАП и ЧАП.

Характерной особенностью рассматриваемого класса систем является наличие цепей управления по фазе или частоте. Именно эти цепи позволяют решать задачу стабилизации частоты управляемых генераторов относительно регулярных опорных сигналов в большом диапазоне начальных рассогласований. Однако эти же цепи вне области синхронизации предоставляют широкие возможности для возбуждения разнообразных автомодуляционных колебаний, в том числе и хаотических. Примечательно, что формируемые на выходе управляемых генераторов хаотические сигналы могут передаваться в канал связи непосредственно после своего формирования, не подвергаясь никаким дополнительным преобразованиям. К преимуществам рассматриваемых систем следует отнести и тот факт, что они легко объединяются в ансамбли управляемых генераторов путем организации различных связей. Возникающие в результате объединения генераторов новые свойства расширяют функциональные возможности этих систем как в традиционных, так и в нетрадиционных направлениях. В обычных приложениях к объединению рассматриваемых систем в ансамбли прибегают, например, для разрешения противоречивых требований, предъявляемых к различным характеристикам систем - полосе захвата, фильтрующим свойствам, быстродействию, вероятности срыва слежения и т.д. [44,46,47,50]. Существует также ряд задач, где принципиально необходимо объединение нескольких систем в ансамбль [13,56-66], например, оптимальный прием и следящая оценка параметров сложных сигналов. Для новых приложений, в частности для хаотических систем связи, представляют интерес реализующиеся в ансамблях сложные автомодуляционные колебания. Для ансамблей примечательно то, что здесь динамические свойства автогенераторных систем определяются не только параметрами самих систем, но и структурой и силой связей между системами.

Следует отметить, что рассматриваемые ансамбли взаимосвязанных управляемых генераторов являются одним из видов многоэлементных автоколебательных систем, к которым в настоящее время проявляется большой интерес не только в радиофизике, но и в биологии, химии, экономике и т.д [13,68-70]. Нелинейные явления коллективной динамики, демонстрируемые такими моделями (процессы синхронизации, автоколебательные регулярные и хаотические режимы), во-первых, имеют большое значение для установления основных закономерностей динамического поведения взаимосвязанных управляемых систем, а во-вторых, могут быть полезными при исследовании других объектов (многоэлементные фазированные антенные решетки, джозефсоновские соединения, энергетические сети, системы пространственно-временной обработки и т.д.).

Все вышесказанное делает актуальным исследование сложных режимов нелинейной динамики автогенераторных систем с частотным и фазовым управлением и их ансамблей.

Цель работы - развитие теории динамического поведения нелинейных систем с частотным и фазовым управлением и малых ансамблей таких систем, а также её приложений к задачам генерации и синхронизации сложных автомодуляционных колебаний в связи с перспективой их применения для передачи информации. Приоритетными фундаментальными задачами являются:

- разработка способов и подходов к исследованию автомодуляционных режимов автогенераторных систем с фазовым и частотным управлением;

- исследование нелинейной динамики однокольцевых автогенераторных систем с фазовым и частотным управлением: изучение механизмов возникновения автомодуляционных режимов и их хаотизации, определение областей существования динамического хаоса в пространстве параметров, анализ размеров и структуры областей существования хаоса в зависимости от типа нелинейностей и параметров цепей управления;

- исследование динамических процессов и бифуркационных явлений в малых ансамблях генераторов с фазовым и частотным управлением, выяснение общих закономерностей коллективного поведения: изучение синхронных режимов, процессов возникновения и хаотизации автомодуляционных режимов, исследование свойств хаотических режимов, определение областей захвата в синхронный режим, определение областей возбуждения динамического хаоса и анализ их структуры, изучение зависимости динамических режимов от параметров цепей управления и от структуры и силы связей;

- исследование процессов синхронизации хаотических колебаний в системах с фазовым и частотным управлением, изучение возможностей управления этими процессами в целях использования генерируемых хаотических колебаний для передачи информации;

- компьютерное моделирование процессов передачи информации с использованием хаотических колебаний, генерируемых фазовыми и частотными системами.

Научная новизна работы. В диссертации впервые проведено систематическое исследование сложных режимов нелинейной динамики класса автогенераторных систем с частотным и фазовым управлением. Получены следующие новые результаты.

Проанализированы автомодуляционные режимы однокольцевых генераторов с фазовым и частотным управлением. Изучены механизмы возникновения автомодуляционных колебаний и процессы их хаотизации. Проанализированы свойства и области существования хаотических колебаний в зависимости от формы нелинейности и параметров цепей управления. Установлено, что фазоуправляемый генератор с фильтрами второго порядка и частотноуправляемый генератор с фильтром третьего порядка характеризуются высокой степенью мультистабильности, области существования хаотических колебаний этих систем сравнительно малы.

Проведено моделирование динамических процессов малых ансамблей фа-зоуправляемых систем с различными типами соединений (каскадным, параллельным, перекрестным). В результате установлены общие закономерности коллективного поведения, определяемые собственными параметрами систем и связями между подсистемами ансамблей. Изучены условия реализации и характеристики синхронных режимов, процессы возникновения и развития автомодуляционных режимов, сценарии хаотизации автомодуляционных режимов, характеристики и области существования хаотических колебаний. В процессе численных экспериментов с моделями ансамблей зафиксированы практически все известные в настоящее время сценарии перехода от регулярных колебаний к хаотическим. Обнаружен новый механизм перехода от синхронного режима к квазисинхронному режиму в отдельных генераторах ансамблей. Новый механизм проявляется при установлении связи "назад" между однонаправлено связанными генераторами, функционирующими в синхронном и асинхронном режимах соответственно. Он аналогичен возникновению вынужденных колебаний, но имеет свою специфику, обусловленную наличием обратной связи с "внешним" источником колебаний. В фазовом пространстве динамических моделей новый механизм возбуждения квазисинхропных колебаний не связан с бифуркациями особых траекторий, а сопровождается изменением формы аттрактора. Проанализированы свойства хаотических колебаний генераторов ансамблей в зависимости от параметров цепей управления и от структуры и силы связей. Установлено, что переход к коллективной динамике предоставляет широкие возможности по генерации разнообразных хаотических колебаний, в том числе хаотически модулированных колебаний с несущей, стабилизированной по опорной частоте, объединение генераторов в ансамбль позволяет существенно расширить области генерации хаотических колебаний. Получены сведения, позволяющие осуществить эффективное управление свойствами генерируемых колебаний.

Проведено исследование хаотических колебаний в ансамбле двух каскад-но связанных генераторов с частотным управлением. Изучены свойства хаотических колебаний и механизмы их возбуждения. Установлено, что принципы возбуждения хаотических колебаний за счет объединения нескольких систем в ансамбль для частотных и фазовых систем являются общими. Показано, что свойствами хаотических колебаний в ансамблях частотных систем можно эффективно управлять с помощью параметров связей.

Рассмотрены вопросы синхронизации хаотических колебаний фазовых систем. Предложено использовать для синхронизации хаотических колебаний принцип автоподстройки. Продемонстрировано, что применение принципа автоподстройки позволяет повысить точность синхронизации хаотических колебаний, а также расширить области существования режима хаотической синхронизации в пространстве параметров как однокольцевых генераторов, так и генераторов объединенных в ансамбль. Установлено, что для процесса синхронизации хаотических колебаний характерна гистерезис-ность.

Практическая значимость работы. Результаты изучения областей существования динамических режимов, условий их устойчивости и реализации могут использоваться как при создании радиотехнических устройств синхронизации и слежения регулярных сигналов, так и при конструировании генераторов хаотических колебаний.

Проведенные в диссертации исследования выполнены на основе моделей, являющихся базовыми в теории нелинейных колебаний, поэтому результаты представляют интерес для других приложений (взаимосвязанные джо-зефсоновские контакты, объекты типа "взаимосвязанные ротаторы", сети генераторов, кольцевые автоколебательные системы и т.д.).

Результаты работы используются в учебном процессе на радиофизическом факультете ННГУ им. Н.И.Лобачевского. Методическая база и программные средства созданного программного комплекса моделирования нелинейной динамики многомерных систем предоставляют широкие возможности для поддержки процесса обучения по различным дисциплинам: теория колебаний и волн, теория управления, дифференциальные уравнения, математические модели естествознания и техники и др. Разработанные подход и средства моделирования могут быть использованы при изучении режимов поведения и расчета динамических характеристик различных типов конкретных динамических систем. В настоящее время созданный программный комплекс используется на радиофизическом факультете и факультете вычислительной математики и кибернетики ННГУ, ИПФ РАН, НИИ прикладной математики и кибернетики, ИМАШ РАН.

Публикации и апробация результатов. Основные результаты представлены публикациями в российских научных журналах, рекомендованных ВАК. Результаты диссертации отражены в 130 публикациях, в том числе в 2 коллективных монографиях, 2 учебных пособиях, 29 статьях в центральных рецензируемых журналах, 9 статьях в научно-технических сборниках, 23 публикациях в сборниках трудов российских и международных конференций.

Результаты диссертации докладывались на Всероссийских (Всесоюзных) конференциях "Повышение качества и эффективности устройств синхронизации "(Каунас, 1982, Ярославль, 1993), "Качественная теория дифференциальных уравнений"(Иркутск, 1986), "Развитие и совершенствование устройств синхронизации в системах связи"(Горький, 1988), "Нелинейные колебания механических систем"(Н.Новгород, 1990, 1993, 1999, 2002, 2005), Научных сессиях НТОРЭС им. А.С.Попова, посвященных Дню радио (Москва, 1987, 1989, 1991, 1997, 1999, 2001, 2003, 2005, 2006), Научно-технических конференциях "Применение вычислительной техники в научных исследова-ниях"(Киев, 1989, Севастополь, 1990), Всесоюзной школе по стабилизации частоты (Канев, 1989), на Международных конференциях "Dynamic and stochastic wave phenomena - DSWP'94"(N.Novgorod, 1994), "Nonlinear Dynamics of Electron Systems - NDES"(Dublin, 1995, Seville, 1996, Moscow, 1997), "Contemporary Problems in the Theory of Dynamical Systems -CPTDS'96" (N.Novgorod, 1996), "Control of Oscillations and Chaos-COC'97" (St.Petersburg,

1997), "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления"(Москва,

1998), "IEEE Int. Conf. on Circuits and Systems for Communications"(New York, 1998, Moscow, 2004), "Int. Conf. dedicated to the lOOth Anniversary of A.A. Andronov"(N.Novgorod, 2001), "Topical problem of nonlinear wave physics" (N.Novgorod, 2003, 2005), "Frontiers of Nonlinear Physics"(N.Novgorod, 2004), "8-th experimental chaos conference" (Florence, 2004), на Всероссийских научных конференциях "Нелинейные дни в Саратове"(Саратов, 1999), "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ"(Саратов, 2001), "Устройства синхронизации, формирования и обработки сигналов для связи и вещания", (Н.Новгород, 2002, Самара, 2005), "Сверхширокополосные сигналы в радиолокации, связи и акустике"(Муром, 2003, 2006), на школах по нелинейным волнам (Н.Новгород, 2002, 2004, 2006), международных школах-семинарах "Хаотические автоколебания и образование структур "(Саратов, 1998, 2004), на научных конференциях по радиофизике (ННГУ, 1998— 2003, 2005, 2006).

Личный вклад автора заключается в выборе направления исследований, в формулировке и постановке задач, в проведении теоретических исследований и расчётов, в обработке и интерпретации полученных результатов. Все вошедшие в диссертацию результаты получены лично автором, либо при его непосредственном участии. Работы в соавторстве с В.П. По-номаренко и В.Д. Шалфеевым выполнены на паритетных началах. Работы в соавторстве с Корзиновой М.В., Касаткиным Д.В., Черновым С.А., Сле-повым М.Ф. выполнены под научным руководством автора. Все исследования, связанные с компьютерным моделированием, выполнены на основе разработанного автором программного комплекса. Участие в физических экспериментах заключалось в формулировке основных задач, обсуждении и сравнении результатов с теоретическим исследованием и компьютерным моделированием. Обсуждение результатов проводилось совместно с научным консультантом проф. В.Д. Шалфеевым.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из Введения, восьми глав, Заключения, списков работ по теме диссертации и цитируемой литературы. Она изложена на 483 страницах, включая 222 рисунка. Список литературы содержит 221 наименование и занимает 25 страниц.

8.4 Выводы

В данной главе рассмотрены вопросы синхронизации хаотически модулированных колебаний двух однонаправленно связанных фазовых систем, как парциальных, так и входящих в состав ансамблей, и проведено компьютерное моделирование процессов передачи информации с использованием хаотических сигналов.

Установлена возможность почти полной синхронизации (синхронизации, при которой хаотические колебания отличаются друг от друга на малую величину б, характеризующей точность хаотической синхронизации) хаотически модулированных колебаний фазоуправляемых генераторов с неидентичными, но близкими параметрами. Установлено, что для процесса синхронизации хаотических колебаний характерна гистерезисность, т.е. вхождение захват) в синхронизм и удержание (потеря) режима синхронизации происходят при различных значениях начальной расстройки частоты генератора относительно опорного генератора.

В целях расширения областей существования режима синхронизации ХМК в пространстве параметров, предложено использовать принцип автоподстройки. В пространстве параметров исследуемых моделей выделены области существования режима синхронизации ХМК, проанализировано влияние параметров петли автоподстройки хаотических колебаний на размеры выделенных областей и точность синхронизации. Показано, что путем вариаций параметров петли автоподстройки можно повысить точность синхронизации хаотических колебаний, а также расширить область существования режима хаотической синхронизации.

Из результатов проведенных компьютерных экспериментов можно сделать вывод о возможности использования систем ФАП для создания генераторов хаотически модулированных колебаний, их синхронизации и построении на этой основе систем связи с использование хаотической несущей.

Заключение

В диссертации на основе единого подхода, базирующегося на сочетании качественных методах теории нелинейных колебаний и численного моделирования исследованы синхронные и автомодуляционные режимы класса радиотехнических систем с фазовым и частотным управлением. Рассмотрены однокольцевые системы и малые ансамбли этих систем с различными типами соединений. При ее выполнении получены следующие основные результаты:

1. Впервые проведено систематическое исследование синхронных и автомодуляционных колебаний однокольцевых генераторов с фазовым и частотно-фазовым управлением, динамические процессы которых описываются моделями с 1.5 степенями свободы.

• Установлено взаимнооднозначное соответствие между аттракторами математических моделей и динамическими режимами генераторов. Показано, что рассматриваемые системы обладают большим разнообразием динамических режимов как регулярных, так и хаотических. Среди аттракторов моделей выделены аттракторы, отвечающие формированию на выходе генераторов хаотически модулированных колебаний со стабилизированной по опорной частоте несущей (ХМК), которые могут представлять наибольший интерес для систем связи, использующих динамический хаос.

• Изучены бифуркации возникновения регулярных автомодуляционных колебаний и механизмы их хаотизации. Объяснены явления сложного поведения (мультистабилыюсть, гистерезисы, явления затягивания переходных процессов к режиму синхронизации и т.д.) исследуемых систем при вариациях параметров.

• В пространстве параметров выделены и изучены области существования синхронных и квазисинхронных режимов. Показано, что однокольцевые генераторы с фильтрами второго порядка в области существования автомодуляционных режимов отличаются высокой степенью муль-тистабильности, а области существования ХМК имеют сравнительно небольшие размеры, что может создавать определенные трудности при практическом использовании формируемых на выходе систем ХМК.

2. Впервые исследована нелинейная динамика малых ансамблей фазо-управляемых генераторов с различными типами объединений (каскадным, параллельным, перекрестным).

• Установлено соответствие между аттракторами математических моделей ансамблей и динамическими режимами управляемых генераторов. Среди аттракторов моделей выделен подкласс, отвечающий за режимы генерации ХМК.

• Установлено, что фазоуправляемые генераторы с регулярной индивидуальной динамикой, объединенные в ансамбль, способны формировать ХМК.

• Изучены механизмы возникновения автомодуляционных колебаний в генераторах ансамбля. Установлено, что аттракторы, характеризующие квазисинхронные режимы, возникают в результате бифуркации Андронова-Хопфа, бифуркаций петель сепаратрис первого и второго рода, касательных бифуркаций колебательных и колебательно-вращательных предельных циклов. Для отдельных генераторов ансамбля обнаружен новый механизм перехода от синхронного режима к квазисинхронному режиму, связанный с изменением формы аттракторов в фазовом пространстве моделей ансамблей. Выявлены мягкие и жесткие переходы между синхронными, квазисинхронными и асинхронными режимами генераторов.

• Изучены сценарии хаотизации регулярных колебаний генераторов ансамблей. В процессе численных экспериментов зафиксированы практически все известные в настоящее время сценарии перехода от регулярных колебаний к хаотическим.

Получены оценки областей захвата и удержания синхронных, регулярных и хаотических квазисинхронных режимов. Показано, что за счет объединения фазовых систем в ансамбль, варьируя структурой и параметрами связей, можно добиться улучшения динамических характеристик генераторов как в традиционном их применении (в качестве устройств синхронизации регулярных сигналов), так и в нетрадиционном (в качестве генераторов хаотически модулированных колебаний). Установлено, что фазовые системы, объединенные в ансамбль, по сравнению с однокольцевыми системами способны генерировать ХМК в значительно больших диапазонах изменения параметров.

Изучена структура областей существования ХМК. Выявлена существенная неоднородность областей генерации ХМК в сечениях пространства параметров плоскостями, содержащими параметры связей, - области состоят из нескольких подобластей, отвечающих генерации хаотических колебаний различных типов, а также содержат достаточно большие "окна"с регулярной динамикой. Сечения пространства параметров плоскостями, не содержащими параметры связей, демонстрируют достаточно высокую однородность режимов генерации ХМК определенного типа. Показано, что свойствами генерируемых колебаний достаточно эффективно можно управлять с помощью малых изменений параметров связей.

Установлено, что коллективная динамика ансамбля, составленного из систем, индивидуальная динамика которых описывается моделями с полутора степенями свободы, характеризуется высокой степенью муль-тистабильности. Степень мультистабильности снижается по мере уменьшения размерности моделей парциальных систем.

В рамках проведенных исследований, проанализирована динамика ансамблей в зависимости от типов связей. Установлено, что наилучшими показателями по генерации ХМК обладает каскадное соединение.

3. Исследована нелинейная динамика однокольцевого генератора и ансамбля, состоящего из двух каскадно связанных частотных систем с фильтрами третьего порядка.

• В однокольцевых системах с традиционной (квадратичной) характеристикой частотного дискриминатора выявлено большое разнообразие автомодуляционных режимов как регулярных, так и хаотических. Изучены бифуркационные механизмы возникновения и хаотизации автомодуляционных режимов. Проанализированы области существования хаотических колебаний в пространстве параметров. Показано, что в однокольцевых генераторах с традиционной характеристикой частотного дискриминатора и фильтрами третьего с порядка области хаотически модулированных колебаний малы и неоднородны.

• Установлено, что использование в цепи управления комбинированного дискриминатора расширяет многообразие автомодуляционных режимов; увеличивает размеры и повышает однородность областей существования хаотических колебаний в пространстве параметров. Хаотические колебания системы с комбинированным дискриминатором допускают большую глубину модуляции и более широкий диапазон для изменения частоты, на которой осуществляется модуляция по сравнению с колебаниями в системе с обычным дискриминатором.

• Показано, что объединение частотных систем в ансамбль позволяет расширить области генерации хаотических колебаний по сравнению с одиночной системой. Установлено, что характеристиками автомодуляционных колебаний генераторов ансамбля можно управлять как за счет параметров объединяемых систем, так и с помощью параметров связей.

4. Рассмотрены вопросы синхронизации хаотических колебаний фазовых систем и использования хаотических колебаний для передачи информации.

• Установлена возможность почти полной синхронизации ХМК фазо-управляемых генераторов с неидентичными параметрами. Показано, что для процесса синхронизации хаотических колебаний характерна гистерезисность.

• Предложено использовать для синхронизации хаотических колебаний принцип автоподстройки. Продемонстрировано, что применение принципа автоподстройки позволяет повысить точность синхронизации хаотических колебаний, а также расширить области существования режима хаотической синхронизации в пространстве параметров как одно-кольцевых генераторов, так и генераторов объединенных в ансамбль.

• Проведено численное моделирование процессов передачи аналогового и бинарного сигналов с использованием динамического хаоса, результаты которого позволяют сделать вывод о перспективности построения новых систем связи на базе динамического хаоса.

5. Разработана технология компьютерного моделирования нелинейной динамики и расчета динамических характеристик взаимосвязанных систем с фазовым и частотным управлением, а также процессов передачи информации на хаотической несущей (способы, алгоритмы и программные средства компьютерного исследования).

6. Полученные сведения о режимах и закономерностях динамического поведения взаимосвязанных систем с частотным и фазовым управлением и созданные программные средства компьютерного моделирования могут быть применены при анализе моделей из других приложений (например, взаимосвязанные джозефсоновские контакты, объекты типа "взаимосвязанные ротаторы", сети генераторов и др.).

Список работ, опубликованных по теме диссертации

А1] Пономаренко В.П., Матросов В.В. Динамические свойства двухконтур-ной взаимосвязанной системы фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника. 1984. Т.29. Ж С.1125-1133.

А2] Пономаренко В.П., Заулин И.А., Матросов В.В. О разработке комплекса программ для автоматизации научных исследований систем синхронизации по задержке // Автоматизация научных исследований. Меж-вуз.сб. Куйбышев. 1988. С.94-100.

АЗ] Пономаренко В.П., Матросов В.В. Исследование режимов динамического поведения двухпетлевой системы синхронизации сложного сигнала // Радиотехника и электроника. 1989. Т.34. №.9. С.1886-1895.

А4] Матросов В.В., Пономаренко В.П. Задачи и алгоритмы моделирования двухконтурных систем синхронизации // Математическое моделирование и методы оптимизации. Меж-вуз.сб. Горький. 1989. С.28-45.

А5] Матросов В.В., Пономаренко В.П. Влияние взаимных связей и цепей управления на режимы динамического поведения совместных систем фазовой и временной синхронизации // Теоретическая электротехника. Республ.межвед.науч.-техн.сб. Львов. Изд-во при Львовском ун-те, вып.47, 1989. С.94-104.

А6] Пономаренко В.П., Заулин И.А., Матросов В.В. Динамические свойства взаимосвязанных систем автоматической синхронизации. Учебное пособие. Горький.Издательство ГГУ. 1989. 80с.

А7] Матросов В.В., Пономаренко В.П. Учебно-исследовательский программный комплекс для моделирования нелинейной динамики систем автоматической синхронизации // Автоматизация научных исследований: Межвуз.сб.науч.тр. / Под ред. Прохорова С.А.; КуАИ, Куйбышев, 1989. С.167-172.

А8] Пономаренко В.П., Матросов В.В. Нелинейная динамика следящей системы синхронизации шумоподобного сигнала // Электросвязь. 1990 №8. С. 17.

А9] Пономаренко В.П., Матросов В.В. Нелинейные явления в системе взаимосвязанных устройств фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38, №.4. С.711-720.

А10] Пономаренко В.П., Матросов В.В. О динамике инерционной взаимосвязанной системы фазовой синхронизации // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38, М. С.721-730.

АН] Корзинова М.В., Матросов В.В. Моделирование нелинейной динамики каскадного соединения фазовых систем // Изв.вуз. Радиофизика. 1993. Т.36, Ш. С.815-819.

А12] Матросов В.В., Корзинова М.В. Коллективная динамика каскадного соединения фазовых систем. // Изв.вуз. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т.2, №2. С.10-16.

А13] Матросов В.В., Шалфеева М.В. О влиянии связей на нелинейную динамику двух каскадно связанных управляемых генераторов // Изв.Вузов. Радиофизика. 1995. Т.38. №3-4. С.275-279.

А14] Ponomarenko V.P., Zaulin I.A., Matrosov V.V. The oscillator regimes in the nonlinear multistable systems with the frequency and phase control // Proc. of the 3-rd Int specialist workshop on nonlinear dynamics of electron, systems - NDES'95. Dublin, Ireland, 1995. P.107-110.

А15] Матросов В.В. Регулярные и хаотические колебания в фазовой системе // Письма в ЖТФ. 1996. Т.22, №23. С.4-8.

А16] Матросов В.В., Корзинова М.В. Синхронные и автоколебательные режимы каскадного соединения фазовых систем // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика - синхронизация и хаос. Н.Новгород. 1996. С.77-92.

А17] Матросов В.В., Пономаренко В.П. Нелинейная динамика и хаотическое поведение мультиравновесной автогенераторной системы // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика - синхронизация и хаос. Н.Новгород. 1996. С.93-112.

А18] Ponomarenko V.P., Matrosov V.V. Dynamics of Multistable Chua's Circuit with Current Source // Proc. of the Fourth International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electron Systems - NDES'96. Seville, Spain, 1996. p.277. .

A19] Ponomarenko V.P., Matrosov V.V. Nonlinear dynamics of multistable Chua's circuits // Int.J. Bifurcation and Chaos, 1996, V.6., n.ll, P.2087-2096.

A20] Matrosov V.V. Regular and chaotic oscillations of phase-locked loop with the second-order filter // Proc. of the Five International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electron Systems - DES'97. Moscow, Russia. 1997. P.554-558.

A21] Матросов В.В. Регулярные и хаотические колебания фазовой системы // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика - синхронизация и хаос - II, Н.Новгород. 1997. С.53-64.

А22] Матросов В.В. Некоторые особенности динамического поведения каскадного соединения двух фазовых систем. // Изв.вуз. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т.5, №6. С.52-61.

А23] Пономаренко В.П., Матросов В.В. Автоматизация исследований нелинейной динамики систем синхронизации // Вестник Верхне-Волжского отделения Академии технологических наук Российской Федерации. Высокие технологии в радиоэлектронике. Вып. 2(4), Н.Новгород, 1997. С.15-21.

А24] Пономаренко В.П., Матросов В.В. Самоорганизация временных структур в мультиравновесной автогенераторной системе с частотным управлением // Журнал технической физики. 1997. Т.67, №3. С.1-7.

А25] Ponomarenko V.P., Matrosov V.V. Features of dynamical regimes of automatic frequency control system with compound discriminator // Proc. of the Five Int.Workshop on Nonlinear Dynamics of Electron Systems -NDES'97. Moscow, Russia, 1997, p.127-132.

A26] Матросов В.В. Анализ автомодуляционных режимов связанных систем ФАП // Труды научно-технического семинара "Системы синхронизации, формирования и обработки сигналов для связи и вещания", Самара, 2005. С.29-32.

А27] Пономаренко В.П., Матросов В.В. Сложная динамика автогенератора управляемого петлей частотной автоподстройки с комбинированным дискриминатором // Радиотехника и электроника. 1997. Т.42. №9, С.1125-1133.

А28] Пономаренко В.П., Матросов В.В. Моделирование динамических процессов в автогенераторных системах с частотным управлением. Учебное пособие. Н.Новгород. ННГУ, 1997. 114с.

А29] Ponomarenko V.P., Matrosov V.V. Nonlinear dynamics and chaotic behaviour of multistable frequency controlled autooscillatory systems // Proc. Of the Int. Conf. Control of Oscillations and Chaos-COC'97. St.Petersburg, Russia, 1998. V.l, p.48-49.

A30] Шалфеев В.Д., Матросов В.В., Корзинова М.В. Каскадное соединение фазовых систем - генерация и синхронизация хаотических колебаний Вестник ННГУ. Нелинейная динамика - синхронизация и хаос III, Серия радиофизика. Н.Новгород. 1998. С.35-44.

А31] Шалфеев В.Д., Матросов В.В. Об эффектах захвата и удержания при синхронизации хаотически модулированных колебаний // Изв.вузов. Радиофизика. 1998. Т.41, М2. С. 1033-1036.

А32] Пономаренко В.П., Матросов В.В. Сложные колебания в системе взаимодействующих автогенераторов с фазовым управлением // Известия вузов. Радиофизика. 1998. Т.41, №12. С.1604-1611.

АЗЗ] Шалфеев В.Д., Матросов В.В., Корзинова М.В. Динамический хаос в ансамблях связанных фазовых систем // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. №11. С.44-56

А34] Пономаренко В.П., Матросов В.В. Нелинейные колебания во взаимодействующих системах фазовой синхрнизации. Часть 1. Синхронизация и автоколебания в системе, не содержащей фильтров низких частот в цепях управления. Учебно-методическая разработка. Н.Новгород: ННГУ, 1998. 45с.

А35] Пономаренко В.П., Матросов В.В. Нелинейные колебания во взаимодействующих системах фазовой синхрнизации. Часть 2. Моделирование процессов возбуждения и эволюции автоколебаний в системе с инерционными цепями управления. Учебно-методическая разработка.-Н.Новгород: ННГУ, 1998. 68с.

А36] Shalfeev V.D., Matrosov V.V., Shalfeeva M.V. Chaos Synchronization in Coupled Phase Systems // Proc. of the 1998 IEEE International Symposium on Circuits and Systems -ISCAS'98. (Monterey, CA, USA, 31 may - 3June, 1998) New York, USA: IEEE, 1998, V.4, p.580 - 582.

A37] Shalfeev V.D., Matrosov V.V., and Korzinova M.V. Chaos in Phase Systems: Generation and Synchronization. // Controlling Chaos and

Bifurcations in Engineering Systems / Ed. by G. Chen. CRC Press. Boca -Raton - London - New York - Washington, D.C. 1999, p.529-558.

A38] Shalfeev V.D., Matrosov V.V., and Korzinova M.V. Communications using cascade coupled phase-locked loops chaos // Int.J. Bifurcation and Chaos. 1999. V.9., n.5, p.963-973

A39] Касаткин Д.В., Матросов B.B. Синхронные и квазисинхронные режимы в системе трех каскадно связанных генераторов // Труды 3-й научной конференции по радиофизике. 7 мая 1999г./ Ред. A.B. Якимов. - Н.Новгород: ННГУ, 1999. С.110-111.

А40] Матросов В.В., Чернов С.А. Генерация хаотичеких колебаний в системе параллельно связанных ФАП Труды 4-й научной конференции по радиофизике, Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2000. С.128-129.

А41] Касаткин Д.В., Матросов В.В. Двухчастотные колебания в системе трех связанных генераторов // Труды 4-й научной конференции по радиофизике. 5 мая 2000г./ Ред. A.B. Якимов. - Н.Новгород: ННГУ, 2000. С.130-131

А42] Пономаренко В.П., Матросов В.В. Динамические режимы и бифуркации при взаимодействии двух систем синхронизации через перекрестные связи // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000, Т.8 т. С.52-65

А43] Пономаренко В.П., Матросов В.В. Возбуждение хаотических колебаний в модели двух связанных систем с фазовым управлением // Радиотехника и электроника. 2000. Т.45. №8. С.984-992.

А44] Матросов В.В., Слепов М.Ф. Динамические режимы генератора с частотным и фазовым управлением // Труды научн. конф. по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения А.А.Андронова /Ред. А.В.Якимов. -Н.Новгород: ННГУ, 2001. С.127-129.

А45] Касаткин Д.В., Матросов В.В. Генерация хаотических колебаний ансамблем трех связанных фазовых систем// Труды 5-й научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения А.А.Андронова / Ред. А.В. Якимов. - Н.Новгород: ННГУ. 2001. С.124-125.

А46] Мишагин К.Г., Матросов В.В., Шалфеев В.Д. О генерации и синхронизации хаотически модулированных колебаний в малом ансамбле связанных систем ФАП // Труды 5-й науч. конференции по радиофизике, посвященной 100-летию рождения А.А.Андронова / Ред. А.В.Якимов. Н.Новгород: ННГУ. 2001. С.129-130.

А47] Matrosov V.V. Self-oscillating Modes of a third-order phase-locked loop // Proc. of the Int. Conf. dedicated to the 100th Anniversary of A.A. Andronov. Nizhny Novgorod, Russia. 2002. Vol.3, p.219-224.

A48] Kasatkin D.V., Matrosov V.V. The Dynamics of three cascade coupled phase systems // Proc. of the Int. Conf. dedicated to the 100th Anniversary of A. A. Andronov. Nizhny Novgorod, Russia. 2002. Vol.3, p.225-230.

A49] Shalfeev V.D., Matrosov V.V. Dynamical Chaos in Phase-Locked Loops. // Chaos in Circuits and Systems. Ed. by G.Chen and T.Ueta. World Scientific Publishing Company, Singapore. 2002, p. 130-150.

A50] Шалфеев В.Д., Матросов В.В. Хаотически модулированные колебания в связанных фазовых системах // Нелинейные волны' 2002/ Отв.ред. А.В.Гапонов-Грехов, В.И.Некоркин.-Нижний Новгород: ИПФ РАН, 2003. С.77-89.

А51] Шалфеев В.Д., Матросов В.В. Генерация широкополосных сигналов в малых ансамблях связанных систем фазовой синхронизации // Сборник докладов Всероссийской научной конференции "Сверхширокополосные сигналы в радиолокации, связи и акустике". Муром, 1-3 июля 2003. Муром: Изд.-полиграфический центр МИ ВлГУ. 2003. С.122-125.

А52] Матросов В.В., Касаткин Д.В. Бифуркационные переходы к хаосу в системе трех каскадно связанных генераторов с фазовым управлением // Сборник докладов Всероссийской научной конференции "Сверхширокополосные сигналы в радиолокации, связи и акустике". Муром, 1-3 июля 2003. Муром: Изд.-иолиграфический центр МИ ВлГУ.2003. С.109-113.

А53] Матросов В.В., Касаткин Д.В. Динамические режимы связанных генераторов с фазовым управлением // Радиотехника и электроника. 2003. Т.48. M. С.637-645.

А54] Касаткин Д.В., Матросов В.В. Особенности коллективной динамики малых ансамблей связанных ФАП // Труды. LVI науч. Сессии, посвященной Дню радио. Москва. 2003. С. 100-102.

А55] Матросов В.В., Касаткин Д.В. Анализ процессов возбуждения хаотических колебаний во взаимосвязанных генераторах с фазовым управлением // Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. Т. 11, №.4. С.31-43.

А56] Матросов В.В. Динамические свойства генератора с частотно-фазовым управлением // Изв.вузов. Радиофизика. 2004. Т.47, №4. С.334-342.

А57] Матросов В.В., Касаткин Д.В. Особенности динамики трех каскадно связанных генераторов с фазовым управлением // Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2004, Т.12, №1. С.159-168.

А58] Kasatkin D.V., Matrosov V.V. Analysis of bifurcation transitions to chaos in ensemble of coupled phase-locked loop // Proc. Of the 2nd IEEE International Conférence on Circuits and Systems for Communications. Moscow, Russia, 2004.

А59] Matrosov V.V., Shalfeev V.D. Excitation of chaotic oscillations in coupled PLLs // Proc. Of the 2nd IEEE International Conference on Circuits and Systems for Communications. Moscow, Russia, 2004.

A60] Mishagin K.G., Matrosov V.V., Shalfeev V.D., Shohnin V.V. Chaotic oscillations in coupled Phase Locked Loops // Proc. Of the 2nd IEEE International Conference on Circuits and Systems for Communications. Moscow, Russia, 2004.

A61] Мишагин К.Г., Матросов В.В., Шалфеев Д.В., Шохнин В.В. Экспериментальное исследование генерации хаотических колебний в ансамбле двух каскадно связанных фазовых систем // Письма в ЖТФ, Т.31, вып.24, 2005, С.31-38.

А62] Матросов В.В. Хаотические автомодуляционные колебания в системах ФАП // Труды LX научной сессии, посвященной Дню радио. Москва. 2005. с.367-370

АбЗ] Касаткин Д.В., Матросов В.В. Анализ областей генерации хаотических колебаний в системах с частотным управлением // Труды науч. конф. по радиофизике /Ред. А.В.Якимов. - Н.Новгород: ННГУ, 2005, с.80-82.

А64] Касаткин Д.В., Матросов В.В. Хаотические колебания двух касакадно связванных генераторов с частотным управлением // Письма в ЖТФ. 2006. Т.32, т. С.71-77.

А65] Матросов В.В. Нелинейная динамика системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Изв.вуз. Радиофизика. 2006. Т.49, ЖЗ. С.267-278.

А66] Матросов В.В. Автомодуляционные режимы системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Изв.вуз. Радиофизика. 2006. Т.49, Ж4. С.357-368.

А67] Матросов В.В., Шалфеев В.Д., Касаткин Д.В. Анализ областей генерации хаотических колебаний взаимосвязанных фазовых систем // Изв.вуз. Радиофизика. 2006, Т.49, №.5. С.448-457

А68] Матросов В.В. Динамика двух параллельно связанных фазоуправля-емых генераторов с малоинерционными цепями управления // Изв.вуз. Прикладная нелинейная динамика. 2006. Т. 14, №.1. С.25-37.

А69] Матросов В.В. Моделирование динамики системы частотно-фазовой автоподстройки с фильтрами первого порядка // Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. 2006. С. 17-28

А70] Матросов В.В., Касаткин, Купцов A.B. Хаотически модулированные колебания генераторов с частотным управлением // Труды LXI научной Сессии, посвященной Дню радио. Москва. 2006. С.265-367

А71] Матросов В.В., Касаткин Д.В. Генерация широкополосных сигналов в ансамблях двух каскадно-связанных генераторов с частотным управлением // Сборник докладов Всероссийской научной конференции "Сверхширокополосные сигналы в радиолокации, связи и акустике". Муром,5-7июля 2006. Муром: Изд.-полиграфический центр МИ ВлГУ. 2006. С.130-133.

1. Странные аттракторы: Сб. статей под ред. Синая Я.Г. и Шильникова Л.П. - М. Мир, 1981.

2. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика М.: Мир, 1984. 529с.

3. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И. Нелинейная физика. Стоха-стичнось и структуры // Физика XX века: Развитие и перспективы. М.: Наука. 1984. С.219-280.

4. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Ведение в теориюколебаний и волн: учебное пособие. М.: Наука. 1984. 432с.

5. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. 272с.

6. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшеко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". Т.5. М. 1985, 218с.

7. Анищенко B.C. Стохастические колебания в радиофизических системах. Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1985.

8. Хаотические системы // ТИИЭР. 1987. Т.75, №8.

9. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. -423с.

10. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение. М.: Мир, 1988. 240 с.

11. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: от маятника до торбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. 368с.

12. Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.

13. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. Горький, изд. ИПФАН, 1989.

14. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. М.: Мир, 1990. 312с.

15. Анищенко B.C. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990. -312с.

16. Берже П., Помо И., Видаль К. О детерминированном подходе к турбулентности. М.: Наука, 1991. 386с.

17. Дмитриев A.C., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Изд. Физико-математической литературы, 2002.

18. Анищенко B.C., Астахов В.В., Летчфорд Т.Е. Многочастотные и стохастические автоколебания в автогенераторе с инерционной нелинейностью // Радиотехника и электроника, 1980. Т.27, №10. С. 1972.

19. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы / Под ред. B.C. Анищенко.- Изд-во Сарат.ун-та. 1999.

20. Дмитриев A.C., Кислов В.Я., Старков С.О. Экспериментальное исследование образования и взаимодействия странных аттракторов в кольцевом автогенераторе // ЖТФ. 1985. Т.5,№12. С.2417-2419.

21. Кияшко С.В., Пиковский А.С., Рабинович М.И. Генератор радиодиапазона со стахостическим поведеием // Радиотехника и электроника, 1980. Т.25, т. С.336-343.

22. Fujisaka Н., Yamada Т. Stability theory of synhronized motion in coupled oscillator systems // Prog.Theor.Phys. 1983. V.69, M, pp.32-46.

23. Pikovsky A.S. On the interaction of strange attractors. Z.Physik B. 1984. V.55. P. 149

24. Афраймович B.C., Веричев H.H., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах // Изв.вузов. Радиофизика. 1986. Т.29, №9, с.795-803.

25. Pecora L.M., Carroll T.L. Synchronization in chaotic system // Phys. Rev.Lett.1990. Vol.64, No.8., pp.821-824.

26. Волковский A.P., Рульков Н.Ф. Синхронный хаотический отклик нелинейной колебательной системы как принцип детектирования информационной компоненты хаоса // Письма в ЖТФ. 1993. Т.9, №3. С.71-75.

27. Kocarev L., Halle K.S., Eckert К., Chua L.O., Parlitz U. Experimental demonstration of secure communication via chaotic synchronization // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1992. V.2. №.3, pp.705-713.

28. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Эксперименты по передаче музыкальных и речевых сигналов с использованием динамического хаоса. // Препринт ИРЭ РАН, 1994. № 12 (600).

29. Dmitriev A.S., Panas A.I., Starkov S.O. Experiments on speech and music signals transmission using chaos // Int.J. of Bifurcation and chaos. 1995. V.5, №4. P.1249-1254.

30. Дмитриев A.C., Кузьмин JI.В., Панас А.И., Старков С.О. Радиосвязь с использованием хаотических сигналов. // Препринт ИРЭ РАН, 1997. № 1 (615).

31. Дмитриев А.С., Кузьмин JI.B., Панас А.И., Старков С.О. Эксперименты по передачи информации с использованием хаоса через радиоканал // Радиотехника и электроника. 1998. Т.43, №9, С.1115-1128.

32. Дмитриев А.С., Кузьмин JI.B., Панас А.И. Схема передачи информации на основе синхроннго хаотического отклика при наличии фильтрации в канале связи // Радиотехника. 1999. №4, С.75-80.

33. Дмитриев А.С., Емец С. В., Панас А.И., Старков С.О. Эксперименты по применению сигнальных процессоров для передачи информации с использованием хаотических колебаний. // Препринт ИРЭ РАН, 1997. № 4 (618).

34. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника/Успехи современной радиоэлектроники. 1997. №10. С.4-26.

35. Дмитриев А.С., Старков С.О. Передача сообщений с использованием хаоса и классическая теория информации. // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. №11. С. 4-32.

36. Хаслер М. Передача информации с использованием хаотических сигналов. Последние достижения. Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. С.33-43.

37. Тратас Ю. Г. Применение методов статистической теории связи к задачам приема хаотических колебаний. // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. С.57-80.

38. Старков С. О., Шварц В., Абель А. Многопользовательские системы связи с применением динамического хаоса. // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2000. №11. С.34-47.

39. Витерби Э.Д. Принципы когерентной связи. М.: Сов.радио. 1970.

40. Шахгильдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. М.: Связь, 1972.

41. Фазовая синхронизация / Под ред. Шахгильдяна В.В., Белюсти-ной Л.Н. М.: Связь, 1975.

42. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении / Пер. с англ. Под ред. Бакаева Ю.Н. и Капранова М.В. М.: Сов.радио. 1978.

43. Системы фазовой синхронизации / Под ред. В.В. Шахгильдяна, Л.Н. Белюстиной М.: Радио и связь, 1982.

44. Радиопередающие устройства: Учебник для Вузов / Л. А. Белов, М. В. Благовещенский, В. М. Богачев и др.; Под ред. М. В. Благовещенского, Г. М. Уткина. М.: Радио и связь, 1982.

45. Капранов М.В., Уткин Г.М. Синхронизация автогенераторов: Учебное пособие по курсу теория колебаний. М.: Изд-во МЭИ, 1978.

46. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. М.:Наука, 1984.

47. Системы фазовой синхронизации с элементами дискретизации / Под ред. Шахгильдяна В.В. М.-Радио и связь, 1989.

48. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. 2-е изд.перераб. и доп. М.: Радио и связь, 1982.

49. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь. 1991.

50. А.Х.Гелиг, Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука. 1978.

51. Леонов Г.А., Буркин И.М., А.И.Шепелявый Частотные методы в теории колебаний: В 2ч.4.1. Многомерные аналоги уравнения Ван-дер-Поля и динапмические системы с цилиндрическим фазовым пространством. Спб.: Изд-во С.-Петербургского университета. 1992. -368с.

52. Грачев И.Ю., Грибков Д.А., Кузнецов Ю.И. , Минакова И.И. Синхронные, многочастотные и хаотические процессы в системах связанных генераторов // Электричество. 1987. №7. С.50-78.

53. Сетевые спутниковые радионавигационные системы / Под ред. Дмитриева П.П., Шебшаевича B.C. М.: Радио и связь, 1982. -272с.

54. Тузов Г.И. Статистическая теория приема сложных сигналов. М.: Сов.радио. 1977. 400с.

55. Журавлев В.И. Поиск и синхронизация в широкополосных системах. М.: Радио и связь. 1986. 240с.

56. Пономаренко В.П. К теории систем синхронизации с перекрестными связями // Известия вузов. Радиофизика. 1971. Т.14. N11. С.1728.

57. Yuen J.H. A double-loop tracking system // IEEE Trans, on Commun. 1972. Vol.Com.-20. December. N6. P.1142.

58. Ohlson J.E. Polarization tracking of a partially coherent signal using a double loop // IEEE TYans. on Commun. 1975. Vol.Com.-23. N9. P.859.

59. Шахгильдян B.B., Саватеев Ю.И. К исследованию условий устойчивости двухпетлевых систем фазовой синхронизации //Известия вузов. Радиофизика. 1971. Т.14, №7. С.1035-1042.

60. Быховский М.А. Синтез и анализ двухканального компенсатора помех для сигналов с 4M // Электросвязь. 1980. №10. С.16-21.

61. Быховский М.А. Исследование нового метода раздления двух 4M сигналов, передаваемых в обшей полосе частот // Электросвязь. 1981. №2. С.62-65.

62. Федосова Т.С. Анализ систем фазовой синхронизации с двумя периодическими нелинейностями // Радиотехника. 1986. Т.ЗЗ, №6. С.46-48.

63. Федосова Т.С. Сложные системы фазовой синхронизации. Учебное пособие. Московский ин-т радиотехники, электроники и автоматикию М., 1992. 68с.

64. Арансон И.С., Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И., Рогальский A.B., Сагдеев Р.З. Решеточные модели в нелинейной динамике неравновесных сред. Препринт ИПФ АН СССР, 1987, №163. 24с.

65. Арансон И.С., Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И. Развитие хаоса в ансамблях динамических структур // ЖЭТФ.1985. Т.81, №1. С.92-104.

66. Анищенко B.C., Арансон И.С., Постнов Д.Э., Рабинович М.И. Пространственная синхронизация и бифуркации развития хаоса в цепочке связанных генераторов // ДАН СССР. 1986. Т.286, №5. С.1120-1124.

67. Шалфеев В.Д. К исследованию нелинейной системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с одинаковыми интегрирующими фильтрами в фазовой и частотной цепях. // Изв.вузов. Радиофизика. 1969. Т. 12. т. С. 1037.

68. Шалфеев В.Д. Качественное исследование цилиндрического фазового пространства одной нелинейной динамической системы из теории фазовой синхронизации // ГГУ, г.Горький. С.823-834.

69. Левин В.А. Стабилизация дискретного множества частот. М.: Энергия, 1970. (

70. Капранов М.В. Полоса захвата при фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника, 1956, т.11, №12, с.37-52.

71. Белюстина Л.Н. Исследование нелинейной системы фазовой автоподстройки частоты // Изв.вузов. Радиофизика, 1959, т.2, №2, с.277-291.

72. Губарь Н.А. Исследование одной кусочно-линейной системы с тремя параметрами // ПММ, 1961, т.42, в.25, №6, с.1011.

73. Баутин Н.Н. Качественное исследование одного уравнения теории фазовой синхронизации // ПММ, 1970, в.34, №5, с.850.

74. Белюстина Л.Н., Белых В.Н. Качественное исследование динамической системы на цилиндре // Дифференциальные уравнения. 1973. Т.9. №3. С.403.

75. Сафонов В.М. Фазовая подстройка частоты с фильтром втрого порядка. Науч. докл. выс. школы // Радиотехника и электроника, 1958, №4.

76. Бакаев Ю.Н. Синхронизирующие свойства фазовой системы автоматической подстройки частоты третьего порядка // Радиотехнка и электроника, 1965, т.Ю, №6.

77. Белюстина JI.H., Быков В.В. О бифуркациях и некоторых качественных характеристиках системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка //В кн.: III симпоз. по прикладной математики и кибернетики. М.: Наука, 1973, с.28-32.

78. Белых В.Н., Некоркин В.И. Динамика поисковой системы ФАЧП с фильтром второго порядка // Фазовая синхронизация / Под ред. Шахгильдяна В.В., Белюстиной JI.H. М.: Связь, 1975. С.106-116.

79. Леонов Г.А. Устойчивость и колебания фазовых систем. Сиб. ма-тем.ж., 1975, т.16, №5.

80. Белых В.Н., Некоркин В.И. Качественные структуры и бифуркации, порождаемые нелинейным уравнением фазовой синхронизации третьего порядка // ПММ, 1978. Т.42. В.5. С.808-819.

81. Белюстина Л.Н., Кивелева К.Г., Фрайман Л.А. Качественно-численный метод в исследовании трехмерных нелинейных СФС // Системы фазовой синхронизации/ Под ред. Шахгильдяна В.В., Белюстиной Л.Н. М.: Радио и связь, 1982. С.21-45.

82. Endo Т., Chua L.O. Chaos from phase-locked loops // IEEE Trans. Circ. Syst., 1988. V.35, №.8, pp.987-1003.

83. Endo T. A review of chaos and nonlinear dynamics in phase-locked loops // J. of Franclin Institute. 1994. V.331B, p.859.

84. Шахтарин Б. И., Голубев С. В., Рукавица К. А. Хаос в неавтономной системе фазовой автоподстройки частоты 2-го порядка. // Радиотехника и электроника. 2000. Т. 45, №1. С. 92-97.

85. Шахтарин Б.И., Голубев С.В. Хаос в системе фазовой автоподстройки частоты третьего порядка // Радиотехника и электроника. 2002. Т.47. т. С.637-645.

86. Капранов М.В., Чернобаев В.Г., Управляемые генераторы хаотических колебаний на базе систем фазовой синхронизации. // Радиотехнические тетради. М. МЭИ, 1998. № 15. С.86-90.

87. Chernobayev V.G., Kapranov M.V. Investigation of Multi Channel Phase Discriminator Phase Locked Loops. // 2-nd International Conference on Control of Oscillations and Chaos: proceedings, vol.1, St.Petersburg,Russia, 2000. pp. 130-132.

88. Kapranov M.V., Chernobayev V.G. Synchronism Area Spreading of Discrete Phase Locked Loop with Two-Frequency Input Signal.

89. International Forum on Wave Electronics and Its Applications: ' preliminary program and abstracts. - St.Petersburg: St.Petersburg, Russia, 2000 - pp. 110.

90. Чернобаев В. Г. Генераторы хаотических колебаний на основе систем фазовой синхронизации: Дис. : канд. техн. наук. М.: МЭИ, 2001. -184 с. 118.

91. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физ-матгиз, 1959.

92. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука, 1984.

93. Капранов М.В. О полосе захвата при частотно фазовой автоподстойке // Науч.докл.высш.школы.Сер/'Радиотехника и электроника". 1958.1. Т.2, т. С.162.

94. Белюстина Л.Н., Шалфеев В.Д. К теории нелинейной системы частотно-фазовой автоподстройки. // Изв.вузов. Радиофизика. 1968 Т.11, т. С.383.

95. Пономаренко В.П., Шалфеев В.Д. Нелинейная система частотно-фазовой автоподстройки частоты с широкой полосой захвата. // Изв.вузов. Радиофизика. 1968.Т.11. Ml. С.1694.

96. Ponomarenko V.P., Zaulin I.A., Matrosov V.V. The oscillator regimes in the nonlinear multistable systems with the frequency and phase control // Proc. NDES'95. Dublin. Irland. 1995. P.107-110.

97. Некоркин В.И. Качественные структуры и бифуркации многомерной фазовой системы с двумя нелинейностями // Дифференциальные и интегральные уравнения. 1980. С. 13-18.

98. Афраймович B.C., Шильников Л.П. Инвариантные двумерные торы, их разрушение и стохастичность. В сб."Качественные методы теории дифференциальных уравнений". Горький. 1983. С.3-26.

99. Пономаренко В.П. Динамика автогенратора с частотно-фазовым v управлением при инверсии характеристики частотного дискриминатора // Изв.вузов.Прикладная нелинейная динамика. 2003.Т.Н. №6.1. С.75-91.

100. Пономаренко В.П., Тихонов Е.А. Хаотическая и регулярная динамика автогенераторной системы с нелинейной петлей часотно-фазового управления // Радиотехника и электроника. 2004. Т.49. №2. С.205-214.

101. Капранов М.В. Каскадные системы фазовой автоподстройки часты // Динамика систем. Межвуз.сб. Горький. ГГУ. 1976. Ml. С.76-85.

102. Капранов М.В. Взаимодействующие многосвязанные СФС // Системы фазовой синхронизации / Под ред. Шахгильдяна В.В., Белюсти-ной Л.Н. М.: Радио и связь, 1982. Гл.4. С.55.

103. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. М.: Наука, 1969.

104. Кивелева К.Г., Фрайман JI.A. Бифуркационный анализ неавтономного маятникового уравнения из теории систем фазовой синхронизации. // Изв.вузов ПНД. 1997. Т.2. №2. с.52-61.

105. Плисс В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.: Наука, 1967.

106. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. 496с.

107. Белых В.Н., Веричев H.H. О динамике взаимосвязанных ротаторов // Изв. вузов. Радиофизика. 1988. Т.31, №6. С.668.

108. Афраймович B.C. Внутренние бифуркации и кризисы атракторов // Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. М.: Наука, 1987.

109. Белюстина Л.Н., Кивелева К.Г., Шалфеев В.Д. Применение ЭВМ к расчету полосы захвата нелинейных систем фазовой автоподстройки частоты // Радиотехника, 1972, т.27, №4, с.36-39.

110. Endo T., Chua L.O. Chaos from two coupled phase-locked loops // IEEE Trans. Circuits and systems. 1990. V.37, p.1580.

111. Белых В.H. Качественные методы теории нелинейных колебаний сосредоточенных систем: Учебное пособие / Горьк.гос.ун-т, Горький, 1980.

112. Сафонов В.М. Глобальная устойчивость многоконтурных систем ФАП // Радиотехника. 1987. Т.34, №9. С.47-50.

113. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных коллебаний. М.: Наука, 1972.

114. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца // Марсден Дж., Мак-Кракен. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. С.317.

115. Шильников JI.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Математический сборник. 1970. Т.81(123). N.l. С.92.

116. Шильников Л.П. О рождении периодических движений из траектории, двоякоасимптотической к состоянию равновесия типа седло // Математический сборник. 1968. Т.77(119). N.3. С.461.

117. Кислов В.Я., Кислов В.В. Новый класс сигналов для передачи информации: широкополосные хаотические сигналы // Радиотехника и электроника. 1997. Т.42. N8. С.962.

118. Пономаренко В.П. Об устойчивости системы частотной автоподстройки с фильтром второго порядка // Радиотехника и электроника. 1982. Т.27. т. С.113-116. 5.

119. Заулин И.А., Пономаренко В.П. Динамические режимы и бифуркационные явления в нелинейных статических системах синхронизации // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. №5. С.889-900

120. Пономаренко В.П., Заулин И.А., Шалфеев В.Д. Динамика систем синхронизации сложных сигналов: Учебное пособие / Горьк.гос.ун-т, Горький, 1987. 80с.

121. Заулин И.А., Пономаренко В.П. Анализ динамических процессов в статических системах синхронизации // Радиотехника и электроника. 1989. Т.ЗЗ. N1. С.106-114.

122. Заулин И.А., Пономаренко В.П. Синхронные и автоколебательные режимы в многоустойчивых системах с фазовым управлением // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. N4. С.732-741.

123. Пономаренко В.П., Заулин И.А. Сложная динамика систем с неединственным состоянием равновесия // Изв.вузов. Сер. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т.2. N1. С.30-42.

124. Пономаренко В.П., Заулин И.А. Динамика автогенератора, управляемого петлей частотной автоподстройки с инвертированной характеристикой дискриминатора // Радиотехника и электроника. 1997. Т.42. N7. С.828-835.

125. Пономаренко В.П. Моделирование эволюции динамических режимов в автогенераторной системе с частотным управлением // Изв.ВУЗ. Прикладная нелинейная динамика. 1997. Т5. N5.C.44-55.

126. Капранов М.В., Родионов М.Н. Формирование регулярных и хаотических колебаний с помощью системы частотной автоподстройки частоты. // Радиотехнические тетради. М: МЭИ, 1998. №16. С. 49-53.

127. Chua L.O., Komuro М. and Matsumoto Т. The double-scroll family. Pats I,II.// IEEE Trans.Circuits and Syst. 1986.Vol. CAS-33, N11.P.1073-1118. ■

128. Modan R.N. (Editor) Chua's Circuit: A paradigm for chaos // Word scientific series on nonlinear science, series B. 1993.Vol.l. World scientific, Singapore.

129. Кислов В.Я. Динамический хаос и его использование в радиоэлектронике для генерирования, приема и обработки колебаний и информации // Радиотехника и электроника. 1993. Т.38. N10. С.1783-1815.

130. Кузнецов Ю.И., Мигулин И.И., Минакова И.И., Сильнов Б.А. Синхронизация хаотических колебаний // ДАН СССР. 1984. Т.275, №.6. С.1388.

131. Анищенко B.C., Постнов Д.Э. Эффект захвата фазовой частоты хаотических колебаний. Синхронизация странных аттракторов // Письма ЖТФ. 1988. Т. 14, М. с.569.

132. Oppenheim A.L., Wornell G.W., Isabell S.H., Cuomo K.M. Signal processing in the context of chaotic systems // Proc. IEEE ICASSP. 1992. Vol.6, pp.117-120.

133. Волковский А.Р., Рульков Н.Ф. Эксперементальное исследование биффуркаций на пороге стахостической синхронизации // Письма ЖТФ. 1989. Т.15, №7. с.5.

134. Hayes S., Grebogi G.,Ott Е. Communication with Chaos. // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol.70, pp.3031- 3034.

135. Анищенко B.C., Астахов В.В., Т.Е. Вадивасова, Нейман А.В., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер JI. Нелинейные явления в хаотических и стох астических системах. Москва Ижевск. Институт компьютерных исследований, 2003.

136. Dedieu Н.,Kennedy М.Р., Hasler М. Chaos shift keying:modulation and demodulation of a chaotic carrier using self-synchronizing Chua's Circuits // IEEE Trans. CAS. 1993. Vol.40, No.10, pp.634-642.

137. Dmitriev A.S., Panas A.I., Starkov S.O. Experiments on speach and music signals transmission using chaos // Int. J. Bifurcation and Chaos, 1995. Vol.5, No.4, pp.1249-1254.

138. Hasler M. Engineering chaos for secure communication systems // Phyl.Trans R Soc.Lond. A. 1995. Vol.353, pp.115-126.

139. Kennedy M.P. Communication with chaos: state of the art and engineering challenges // Proc. NDES96 Seville. 1996, pp. 1-8.

140. Endo Т., Chua L.O. Synhronization of chaos in phase-locked loops // IEEE Trans. Circuits and systems. 1991. V.38, p. 1580.

141. Sato A., Endo T. Experiments on secure communications via chaotic synchronization of phase-locked loops // Proc. NDES'94, 1994, p. 117— 122.

142. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов A.K., Волковский А.Р. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники, 1997. №10. С.27-49.

143. Osipov G.V., Pikovsky A.S., Kurths J. Phase synhronization of chaotic rotators // Physical Review Letters.2002. V.88. P.0541021-0541024.

144. Ни В., Osipov G.V., Yang H.-L., Kurths J. Oscillatory and rotatory synhronization of chaotic of autonomous phase systems // Physical Review E. 2003. V.67. P.0662161-0662169.

145. Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Фазовая синхронизация хаотически модулированных сигналов // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика -синхрониза ция и хаос -II . 1997. С.77.

146. Shalfeev V.D., Osipov G.V. Chaotic phasesynhronization of coupled PLLs // Proc. of 5th Int. Spec. Workshop NDES. Moscow, Russia, 1997, pp.139144.

147. Пиковский А., Роземблюм M., Ю.Курте. Синхронизация. Фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003.