Регулярные и хаотические автомодуляционные колебания в системах фазовой синхронизации

Бакунов, Глеб Михайлович

Регулярные и хаотические автомодуляционные колебания в системах фазовой синхронизации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Бакунов, Глеб Михайлович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Нижний Новгород МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Регулярные и хаотические автомодуляционные колебания в системах фазовой синхронизации»

Автореферат диссертации на тему "Регулярные и хаотические автомодуляционные колебания в системах фазовой синхронизации"

На правах рукописи

Бакунов Глеб Михайлович

РЕГУЛЯРНЫЕ И ХАОТИЧЕСКИЕ АВТОМОДУЛЯЦИОННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХ ФАЗОВОЙ СИНХРОНИЗАЦИИ

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 СЕН 2011

Нижний Новгород - 2011

4853122

Работа выполнена на кафедре теории колебаний и автоматического регулирования радиофизического факультета Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского"

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук профессор Матросов Валерий Владимирович

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук профессор

Пономаренко Валерий Павлович

кандидат технических наук, профессор Капранов Михаил Владимирович

Саратовский филиал Института радиотехники и электроники им. В.А. Котельникова РАН

Защита состоится 2011 г. в часов

на заседании диссертационного совета Д 212.166.07 при Нижегородском государственном университете им. Н.И. Лобачевского по адресу: 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 1, ауд. 420.

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Автореферат разослан " 2.С " 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к.ф.-м.н., доцент

Черепенников В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Исследование автоколебаний - базовая проблема теории нелинейных колебаний. Эта проблема постоянно привлекает интерес исследователей, начиная с Б. Ван-дер-Поля, A.A. Андронова не только в силу своей фундаментальности, но и в силу чрезвычайной прикладной значимости. С открытием динамического хаоса интерес исследователей заметно сместился в сторону изучения хаотических автоколебаний. Поскольку в различных динамических системах в зависимости от конкретных приложений эффект возбуждения автоколебаний может рассматриваться либо как позитивный, желаемый, либо как негативный, паразитный, то вполне понятно появление работ, целенаправленно ориентированных на проблему управления автоколебаниями.

Если для регулярных периодических автоколебаний проблема управления представлена в литературе достаточно широко (генерация колебаний, гашение вибраций и др.), то для хаотических автоколебаний это направление представлено значительно слабее и, в основном, связано с задачей подавления или стабилизации хаоса. Одной из первых работ в этом направлении была работа E.Ott, C.Grebogi, J.Yorke (1990), где был предложен метод стабилизации неустойчивых периодических орбит системы с хаотической динамикой с помощью малых управляющих воздействий. В 1992 г. К. Pyragas предложил вводить в хаотическую систему с целью подавления хаоса дополнительные обратные связи с задержкой, сравнимой с периодом стабилизируемого движения. Ряд задач по управлению хаосом в распределенных радиофизических системах представлен в книге Д.И. Трубецкова, А.Е. Храмова «Лекции по СВЧ электронике для физиков», т.2 (2004), а также в ряде работ Н.М. Рыскина, О.С. Хаврошина (2009 г.). Для СВЧ электроники, где характерно наличие запаздывания в моделях, важна задача подавления паразитных колебаний. Именно эта задача рассматривается в работе A.M. Долова, С.П. Кузнецова (2003), где предложен способ подавления хаотической автомодуляции в лампе обратной волны.

Наряду с задачами подавления хаоса, в последние годы становится актуальной задача генерации и усиления хаоса в связи с попытками реализовать идею использования динамического хаоса для передачи информации. Эту идею высказали два десятилетия назад L.M. Pécora, T.L. Carrol (1990), а затем были предложены различные схемы, использующие хаотические колебания как несущие, и изучены свойства таких схем (A.C. Дмитриев, А.И. Панас, С.О. Старков, J1.B. Кузьмин, А.Р. Волковский, Н.Ф. Рульков, А.К. Козлов, М.В. Капранов, В.Д. Шалфеев, L. Kocarev, М. Hasler, М.Р. Kennedy, L.O. Chua, G. Kolumban и др).

В дальнейшем, однако, выявились определенные сложности в применении хаотических сигналов для связи. В частности, было обнаружено, что системам связи, построенным на основе явления самосинхронизации хаотических систем, свойственна высокая чувствительность к искажениям в канале, шумам и неполной идентичности параметров передатчика и приемника. Все эти сложности побудили исследователей заняться разработкой высокоэффективных генераторов

хаоса, работающих в широком частотном диапазоне, и созданием систем, обеспечивающих устойчивую синхронизацию хаотических колебаний.

Перспективными для решения указанных проблем представляются возможности использования систем фазовой синхронизации (систем фазовой автоподстройки частоты - ФАП) для решения всего комплекса задач генерации, синхронизации хаотических сигналов и передачи информации на этой основе (Шалфеев В.Д., Матросов В.В., 1998). Динамика систем ФАП для регулярных сигналов изучена достаточно хорошо. Характерной особенностью систем ФАП является наличие цепи управления по фазе, позволяющей успешно решить задачу синхронизации частоты управляемого генератора относительно опорного сигнала. В то же время, вне области синхронизации такая цепь может обеспечивать широкие возможности для возбуждения разнообразных автомодуляционных колебаний, в том числе и хаотических. Достоинствами систем ФАП являются высокая точность, надежность и помехоустойчивость, гибкость в управлении, способность работать на высоких и сверхвысоких частотах. Вышеперечисленные качества систем ФАП делают их привлекательными и для создания систем связи на основе хаотических колебаний.

Теоретическому исследованию динамики систем ФАП посвящена обширная литература (Шахгильдян В.В., Ляховкин A.A., Капранов М.В., Бакаев Ю.Н., Тузов Г.И., Леонов Г.А., Шахтарин Б.И., Белюстина Л.Н., Линдсей В., Ви-терби А., Тихонов В.И., Кулешов В.Н., Удалов H.H., Белых В.Н., Пономаренко В.П., Шалфеев В.Д., Некоркин В.И., Первачев C.B., Сафонов В.М., Матросов В.В., Савватеев Ю.И. и др), основные результаты относятся к определению областей существования и устойчивости синхронных режимов для регулярных колебаний. Гораздо менее изученными являются условия реализации хаотических, в том числе автомодуляционных, режимов в системах ФАП. В этой связи весьма актуальным представляется рассмотреть свойства и характеристики различных видов (периодических, хаотических) автомодуляционных колебаний в системах ФАП и предложить способы управления автомодуляционными колебаниями в таких системах, позволяющие решать как важную для практики задачу подавления паразитных автомодуляционных колебаний, так и альтернативную задачу усиления эффектов автомодуляции в целях создания эффективных генераторов сложномодулированных колебаний на этой основе.

На основании вышесказанного можно сформулировать следующую цель и задачи диссертационного исследования.

Цель работы

Целью диссертационного исследования является изучение влияния инерционности фильтра и величины запаздывания в цепи управления типовой системы ФАП на условия реализации и характеристики периодических и хаотических автомодуляционных режимов и разработка эффективных способов управления (подавления, усиления) эффектов автомодуляции.

Для достижения указанной цели ставятся следующие задачи:

1. Изучить характеристики автомодуляционных колебаний в зависимости от параметров в типовой системе ФАП с интегрирующим фильтром (первого порядка) и запаздыванием.

2. Исследовать влияние усложнения фильтра (переход к фильтру второго порядка) на условия возбуждения автомодуляционных режимов в системе ФАП без учета запаздывания и с учетом запаздывания и изучить их характеристики в зависимости от параметров.

3. Исследовать влияние введения дополнительного кольца управления по частоте на условия возбуждения, усиления и подавления, а также характеристики режимов автомодуляции.

Научная новизна

Научная новизна работы состоит в следующем.

1. Проведено компьютерное моделирование системы ФАП с двумя типами фильтров в цепи управления, как без учета, так и с учетом запаздывания, на основании которого в пространстве параметров выделены области квазисинхронизации (регулярной и хаотической).

2. Определены основные характеристики колебательных аттракторов рассматриваемых систем ФАП.

3. Найдены аналитические выражения для кривых потери устойчивости синхронного режима через бифуркацию Андронова-Хопфа в системе ФАП с фильтром второго порядка с учетом запаздывания.

4. Проведено сравнение влияния инерционности фильтра и времени запаздывания на структуру пространства параметров системы ФАП с фильтром второго порядка с учетом запаздывания. Выделены области пространства параметров с динамикой, характерной для системы ФАП с учетом запаздывания и простым фильтром в цепи управления, и динамикой, характерной для систем ФАП со сложным фильтром без учета запаздывания.

5. Проведено изучения влияния дополнительного частотного кольца управления на условия возбуждения периодических и хаотических автомодуляционных режимов в системе ФАП. Сформулированы рекомендации по управлению (подавлению, усилению) автомодуляционными режимами.

Научно-практическая значимость результатов работы

В диссертации рассматриваются различного рода неустойчивости в системах ФАП, приводящие к возникновению автомодуляционных колебаний, что ведет к снижению точности подстройки частоты в режиме синхронизации. Предложен способ подавления автомодуляции, что позволяет расширить диапазон параметров систем ФАП, обеспечивающий точную синхронизацию. Предложенный способ позволяет также реализовать не только подавление, но и усиление эффекта автомодуляции в системе, что дает возможность получить на основе такой ФАП генератор сложно модулированных колебаний со средней частотой, стабилизированной по опорной частоте.

Результаты диссертационной работы использованы при выполнении научно-исследовательских работ по грантам РФФИ № 10-02-00865, № 07-02-

01404 и контрастам П2308, 02.740.11.0565, 14.740.11.0075 ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009-2013 гг.

Полученные в работе результаты по возбуждению и подавлению автомодуляции в системе ФАП используются в учебном процессе в рамках спецкурсов на радиофизическом факультете ННГУ. Основные положения, выносимые на защиту

1. Характеристики периодических и хаотических автомодуляционных колебаний, возбуждающихся в системе ФАП, существенно зависят от параметров инерционности и запаздывания в цепи управления ФАП.

2. Автомодуляционный режим системы ФАП является режимом квазисинхронизации, когда частота колебаний на выходе ФАП периодически или хаотически меняется около среднего значения, стабилизированного по опорной частоте.

3. Введение дополнительного частотного кольца управления в систему ФАП позволяет подавить или усилить автомодуляционные колебания в зависимости от использования частотного дискриминатора с прямой или инвертированной характеристикой нелинейности.

Достоверность научных выводов

Достоверность научных выводов диссертационной работы обеспечивается использованием классических методов теории колебаний и теории бифуркаций в сочетании с апробированными и хорошо зарекомендовавшими себя методами компьютерного моделирования, соответствием аналитических результатов и результатов численного моделирования, совпадением с известными результатами других авторов.

Личный вклад автора

Автором были самостоятельно выполнены аналитические исследования, проведены численные эксперименты, а также сделана обработка данных расчетов. Постановка задач и анализ полученных результатов проводились совместно с научным руководителем Матросовым В.В., а обсуждения с участием Шалфее-ва В.Д.

Апробация результатов и публикации

По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 3 статьи в рецензируемых научных изданиях из списка ВАК и 4 работы в трудах конференций.

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на IX Международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2010 г.) и 14-ой Научной конференции по радиофизике (Н.Новгород, 2010 г.).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы и списка работ по диссертации. Общий объем диссертации со-

ставляет 112 страниц текста, включая 27 рисунков, список литературы из 104 наименований, список работ по диссертации из 7 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность работы, формулируются её цели, кратко излагается содержание диссертации, приводятся основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе представлен краткий обзор результатов по динамике типовой системы ФАП. Приведена базовая математическая модель системы

^ + = Л (!)

где <р - текущая разность фаз подстраиваемого и опорного генераторов, р = - оператор дифференцирования, П - максимальная расстройка по частоте, которая может быть скомпенсирована цепью управления, у = Пн/О - относительная начальная частотная расстройка подстраиваемого и опорного генераторов, К(р) -коэффициент передачи фильтра, /-'(ф) - нормированная нелинейная характеристика фазового дискриминатора. Нелинейные свойства динамики модели (1) определяются нелинейной характеристикой фазового дискриминатора, а инерционные зависят от фильтра в цепи управления, который подбирается, исходя из обеспечения желаемых свойств динамических процессов. Отмечается, что в зависимости от инерционности и сложности фильтра на выходе системы ФАП могут устанавливаться синхронные колебания, квазисинхронные колебания, регулярные или хаотические биения и приведены примеры аттракторов в фазовом пространстве модели (1), являющихся образами таких колебаний.

Основной интерес при изучении динамики ФАП в литературе связан с анализом синхронных режимов, условий потери устойчивости синхронных режимов и возникновения биений. Что касается квазисинхронных колебаний, то они изучены в литературе значительно слабее. Квазисинхронные колебания представляют собой автомодуляционные колебания (периодическая или хаотическая автомодуляция). С точки зрения достижения точной синхронизации появление автомодуляции колебаний на выходе системы ФАП ведет к ухудшению точности синхронизации, и актуальной становится задача поиска путей эффективного подавления автомодуляции.

Классический пример возбуждения автомодуляционных колебаний изучался в типовой системе ФАП с фильтром первого порядка при приближенном учете запаздывания (с1''' » 1 -Т;р, где Т3 - время запаздывания). В этом случае полагая в (1) фильтр интегрирующим К(р) = (/+7(1)"', нелинейность /'(ф) = втер и вводя безразмерное время т = О/ и параметры е = С1Т, с1= Г3/Т, модель (1) можно записать в следующей форме:

¿ф

— = V, с!т '

£ — = у-(1-с]£С05<р))'-5\П<р. йт

Эту систему изучали Огиеп, М.В. Капранов, Н.А. Губарь и др. Качественное исследование динамики системы (2) проведено в работе Л.Н. Белюстиной (1959). Установлено, что наряду с существованием устойчивого состояния равновесия на фазовой поверхности (ср,у), соответствующего режиму синхронизации подстраиваемого и опорного генераторов, возможно нарушение устойчивости этого состояния равновесия с ростом запаздывания <1 через бифуркацию Андронова-Хопфа с образованием устойчивого предельного цикла вокруг состояния равновесия, соответствующего режиму периодической автомодуляции подстраиваемого генератора.

Основываясь на этих результатах, в диссертации проведено с целью анализа автомодуляционного режима компьютерное моде- У лирование динамики системы (2): получено разбиение плоскости параметров (</,у) на области качественно различной динамики системы (2) для различных значений параметра 8.

На рис. 1 дан пример разбиения плоскости параметров (с!,у) при е = 5 на области различной динамики и соответствующие фазовые портреты (рис. 2).

Выполнен анализ характеристик автомодуляции. Режим квазисинхронизации определен в областях 02. 04. Математическим образом этого режима является устойчивый предельный цикл 1-го рода, возникающий в результате бифуркации Ан-дронова-Хопфа. С ростом величины запаздывания

(параметра с!) предельный рис. 2. Фазовые портреты системы (2).

Рис. 1. Разбиение плоскости параметров (с/,у) на области качественно различной динамики системы (2) для е = 5.

О,

о,

04 > £< О, А

-к к -71 /С / л -л

У^уV о" •чг-- X- Ч> Х-X ф

\У

ж.

'-V—

цикл увеличивается в размерах, и затем при пересечении кривой уьо влипает в петлю сепаратрис и исчезает. Глубина автомодуляционных колебаний (определяемая размерами предельного цикла) увеличивается с ростом величины запаздывания, причем при малых запаздываниях с) эта зависимость близка к линейной, а с ростом запаздывания зависимость становится существенно нелинейной. Период автомодуляционных колебаний с ростом запаздывания увеличивается и в пределе стремится к бесконечности (при влипании цикла в петлю сепаратрис).

Во второй главе рассматриваются автомодуляционные колебания в системе ФАП с фильтром второго порядка в цепи управления.

Вначале обсуждается возможность установления автомодуляционных колебаний в системе ФАП без учета запаздывания, но при использовании фильтра второго порядка. Рассматривается КЬС фильтр с передаточной функцией вида К(р)=(1+ар+Ьр:)~!. Переходя в (1) к дифференциальной форме и вводя безразмерные время г^Ю и параметры е=а£Э, получаем из (1) систему дифференциальных уравнений 3-го порядка:

йю с!у ск

■У, ,=7ч ц— = у-£г-у-5т<р, (3)

йт

определенную в цилиндрическом фазовом пространстве 11-{(р(тоА2я),у,:}.

Выполнено компьютерное моделирование системы (3). На рис. 3 приведено разбиение пространства параметров (е,у) при ц=сопб1 на области, соответствующие различным динамическим режимам работы системы, полученные путем компьютерного моделирования в пакете «Динамика нелинейных систем. Программный комплекс для исследования нелинейных динамических систем с непрерывным временем: учебно-методическая разработка» (Матросов В.В.).

Здесь О, - область синхронного режима, где все траектории идут к устойчивому состоянию равновесия, переход через кривую 1 ведет к потере устойчивости состояния равновесия через бифуркацию Андронова-Хопфа и образованию предельного цикла около неустойчивого состояния равновесия (режим периодической автомодуляции). На кривой 2 происходит первое удвоение периода предельного цикла и далее через серию бифуркаций удвоения (бифуркационные кривые не представлены на рис. 3) в системе образуется хаотический аттрактор (область Ош) около неустойчивого состояния равновесия (режим хаотической автомодуляции).

Рис. 3. Структура пространства параметров модели (3) при //=0.5.

Рассмотрены характеристики автомодуляционных колебаний. В качестве таких характеристик использованы: амплитуды колебаний переменных ср и у при движении по аттрактору, характеризующие глубину модуляции выходного колебания; усредненные значения <ср> и <у>, характеризующие средние ошибки синхронизации; период (частота) автомодуляционных колебаний. Для хаотических колебаний, не имеющих периода, в качестве характеристики таких колебаний использованы средний период движения по аттрактору и частотный спектр. На рис. 4 представлены зависимости характеристик автомодуляционных колебаний от параметров у и 5. Глубина автомодуляционных колебаний растет с уменьшением величины инерционности фильтра е. При больших е эта зависимость близка к линейной, а с уменьшением е зависимость становится существенно нелинейной. Таким образом, компьютерное моделирование показало, что наличие более сложного фильтра в цепи управления ФАП (второго порядка) приводит к нарушению устойчивости состояния равновесия и возникновению около него предельного цикла, который в результате каскада бифуркаций удвоения периода может переходить в хаотический аттрактор.

0.0 0.1 0.2 0,3 0,4 0,5

(б)

0.25

0,20

0,10

0,0 0,1 0,2 0,3 0.4 0,5

(Г)

Рнс.4. Зависимости характеристик автомодуляционных колебаний (регулярный режим квазиснн-хроннзации) от параметров у и с: глубина модуляции по фазе (а) и частоте (б); среднее отклонение фазы колебаний от фазы опорного сигнала (в); частота модуляции сот (г)

Далее проведено исследование особенностей возникновения автомодуляционных режимов в случае, когда присутствуют оба вышеуказанных фактора: сложный фильтр второго порядка в цепи управления и запаздывание, В этом случае при приближенном учете запаздывания в цепи управления уравнение (1) после введения безразмерного времени и параметров можно записать в виде системы

(1<р

(Ь

/и-= у - £2 -(1- (¡£СО$(р)У -БИКр,

йт

(4)

<1т ' с/г

определенной в цилиндрическом фазовом пространстве и={ср(то<12л),у,:}■

С помощью компьютерного моделирования определена структура разбиения пространства параметров системы (4). На рис. 5 приведено сечение (е,у) пространства параметров (е.у.ц) для ц = 0.5 при (1 = 0.6. В пространстве параметров выделены следующие области: область синхронизации Бь области регулярной квазисинхронизации области биений Об1, В62, области хаотической

квазисинхронизации Оц2 и области 04, 05, соответствующие различным сложным режимам.

(а)

>1=1,5

хх х ,

\ мШ.5Г//

М-0.5

е, 1 £• £,

(б)

Рис.5, (а) - структура пространства параметров модели (4) при ц = 0,5; с) = 0,6; (б) - эволюция областей устойчивости синхронного режима модели ФАП с фильтром второго порядка и малым запаздыванием при изменении ц в случае с! = 0,3.

Исследованы характеристики автомодуляционных колебаний системы (4) - такие, как амплитуды колебаний Лср и Ду переменных ф и у при движении по аттрактору (рис. 6 а, б), средние значения <ф> переменной <р, характеризующие средние фазовые ошибки стабилизации подстраиваемого генератора опорным сигналом (рис. 6, в). Отметим наличие характерного минимума значений Дф, Лу, <Ф> при некоторых значениях параметра е. Наличие такого минимума позволяет осуществить в некоторых пределах управление характеристиками автомодуляционных колебаний путем соответствующего выбора параметра инерционности фильтра е.

Рис.6. Характеристики регулярных автомодуляционных колебаний системы (4).

Установлено, что период Т (рис. 6 г) автомодуляции практически не зависит от у для достаточно большого интервала значений параметра е. При увеличении е он, стартуя с некоторого постоянного значения, растет почти линейно, однако при некотором £ график резко устремляется в бесконечность. Такой быстрый рост периода колебаний объясняется приближением параметров к бифуркационной кривой петли сепаратрис, где предельный цикл влипает в го-моклиническую кривую седла с бесконечным периодом обращения.

Анализ полученных характеристик позволяет сделать вывод, что система (4) в области сравнительно малых значений параметра £ демонстрирует поведение, характерное для системы ФАП со сложным фильтром без учета запаздывания, а в области больших значений е наблюдается динамика, характерная для системы ФАП с фильтром первого порядка и с учетом запаздывания. Разделение на области малых и больших е можно условно произвести по отношению к значению £*, при котором достигается минимум бифуркационной кривой Андроно-ва-Хопфа, или по отношению к значениям е12 - точкам пересечения этой кривой с осью е (см. рис.5б, на котором приведены бифуркационные кривые Андронова-Хопфа при различных значениях параметра ц). В области £ ~ е* (или £1 < е < е2) оба фактора являются существенными, то есть динамика системы обладает свойствами, характерными как для системы ФАП со сложным фильтром, так и для системы ФАП с запаздыванием.

В третьей главе обсуждается возможность управления автомодуляционными колебаниями и, в частности, их подавления в системе фазовой автоподстройки частоты при введении дополнительного частотного кольца подстройки.

Модель двухкольцевой системы ЧФАП с запаздыванием в фазовом кольце можно записать в виде (М.В. Капранов):

рр + О.^ (р)е~ТзР 5т<р + П.2К2(р)Ф(рр) = Дсо, (5)

где К}(р), К2(р) - коэффициенты передачи фильтров в фазовом и частотном кольцах соответственно, эгпф и Ф(р<р) = —_ нелинейности фазового

1 + {Р\р<РУ

и частотного дискриминаторов, Пь П2 - максимальные расстройки по частоте, которые могут быть скомпенсированы фазовым и частотным кольцами соответственно, ТI - время запаздывания, Дсо - начальная частотная расстройка подстраиваемого и опорного генераторов. Полагая для простоты фильтры одинаковыми К|(р) = К2(р) = 1/(1+Тр), а запаздывание малым е~т,р = I - Т,р, и, вводя безразмерные время т=И2 и параметры е = Ш, <3 = 7УГ, Ь = П^'О, (3 = р^, получаем из (5) систему:

<1(р

тгу

е— = у - (I - с1есо5(р) V - бш^ - ЬФ(у). (6)

ёт

Ф(у)= 1РР(Р

КУ) 1+ш2

При = с/0 = 8 ? устойчивое состояние равновесия системы (6) ста-еф ~Г

новится неустойчивым через бифуркацию Андронова-Хопфа с появлением устойчивого предельного цикла при <1 > с/о. При увеличении параметра Ь (что означает увеличение влияния частотного кольца) граница смены устойчивости состояния равновесия смещается в сторону большего значения сто есть для возбуждения автомодуляционных колебаний в системе ФАП с дополнительным частотным кольцом подстройки требуются большие величины запаздывания, чем при отсутствии частотного кольца.

Анализ изменения векторного поля системы (6) с изменением параметра Ъ показывает, что с увеличением параметра Ъ векторное поле на фазовой плоскости (<р,V') поворачивается по часовой стрелке, что позволяет сделать вывод о том, что при введении частотного кольца подстройки (с ростом параметра Ъ) не только граница потери устойчивости синхронного состояния равновесия смещается в сторону больших величин запаздывания д, но и размер предельного цикла уменьшается, то есть имеет место ослабление (подавление) эффекта автомодуляции.

Этот теоретический результат подтверждается результатами компьютерного моделирования. На рис. 7а на плоскости (<У,6) для различных значений параметра р даны области параметров (выделенные кривыми 1\ - левая кривая, А -правая кривая), соответствующие наличию около состояния равновесия предельного цикла. (Кривая I, соответствует рождению цикла либо через бифуркацию Андронова-Хопфа, либо через бифуркацию двукратного предельного цикла, ¡2 соответствует бифуркации влипания цикла в петлю сепаратрис седла).

(а) (б)

Рис.7. Области параметров системы (6), соответствующие наличию предельного цикла около синхронного состояния равновесия на плоскости (с/, Ь) (а) и (с/, р) (б)

Эта же область существования цикла на рис. 76 дана на плоскости (с/, Р) для разных значений Ъ. Из расположения бифуркационных кривых на рис. 7а и 76 следует, что с ростом Ъ область существования цикла смещается в сторону больших значений запаздывания с! и при достижении определенных значений Ъ область существования цикла схлопывается и исчезает.

На рис. 8 даны зависимости размеров цикла Ду по координате г, Дф по (р и периода Г движения по циклу от запаздывания с] при различных значениях параметра Ъ. Приведенные зависимости позволяют заключить, что при фиксированных значениях запаздывания с/, введение частотного кольца {Ъф0) приводит к уменьшению размеров предельного цикла системы (9) и уменьшению периода движения по циклу.

01 а; 0.3 С,4 О а 0 6 Э.7 0.Й 0.1 0,2 0,3 0,4 0 5 0,6 0,7 0.Э 0,1 0,2 0.3 0.4 0.5 0.6 0,7

(а) (6) (в)

Рис.8. Зависимости размеров цикла Ау (а), Д<р (б) и периода Т движения по циклу (в) от запаздывания сI при различных значениях параметра Ь.

Проведенный анализ позволяет заключить, что возникающий в системе ФАП эффект регулярной периодической автомодуляции можно ослабить введением частотного кольца подстройки, вплоть до подавления автомодуляции. Следует отметить, что аналогичным образом можно решить не только задачу подавления автомодуляции, но и задачу усиления эффекта автомодуляции. Действительно, если в добавленном частотном кольце подстройки использовать частотный дискриминатор с инвертированной характеристикой (что эквивалентно замене положительных значений параметра Ь на отрицательные), то рост влияния частотного кольца (увеличение \Ь\) приведет к увеличению размеров предельного цикла, то есть к усилению эффекта автомодуляции.

Проведенное компьютерное моделирование для случая неодинаковых интегрирующих фильтров и случая более сложных фильтров второго порядка в кольцах управления показало для просчитанных значений параметров справедливость сделанных выводов не только для регулярных периодических, но и для хаотических автомодуляционных колебаний, возникающих в системе ФАП со сложными фильтрами.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. В типовой системе фазовой автоподстройки с интегрирующим фильтром при учете запаздывания наряду с синхронным режимом возможен квазисинхронный режим, характеризующийся наличием регулярных периодических автомодуляционных колебаний подстраиваемого генератора. Глубина автомодуляционных колебаний (определяемая размерами предельного цикла) увеличивается с ростом величины запаздывания, причём при малых запаздываниях эта зависимость близка к линейной, а с ростом запаздывания зависимость становится существенно нелинейной. Период автомодуляционных колебаний с ростом запаздывания увеличивается и в пределе стремится к бесконечности (при "влипании" цикла в петлю сепаратрис).

2. Система фазовой автоподстройки с фильтром второго порядка в цепи управления демонстрирует существование как периодического квазисинхронного режима, так и хаотического. Для этих режимов характерны регулярные или хаотические автомодуляционные колебания на выходе ФАП, средняя частота которых стабилизирована по опорной частоте. График зависимости глубины модуляции от параметра инерционности фильтра при учете запаздывания характеризуется наличием минимума. В области сравнительно малых значений параметра инерционности фильтра система демонстрирует поведение, характерное для системы ФАП со сложным фильтром без учета запаздывания, а в области больших значений параметра инерционности наблюдается динамика, характерная для системы ФАП с фильтром первого порядка и учетом запаздывания.

3. Возникающий в системе ФАП эффект регулярной периодической или хаотической автомодуляции можно ослабить введением частотного кольца под-

стройки, вплоть до подавления автомодуляции. Использование инвертированной характеристики частотного дискриминатора обеспечивает увеличение размера регулярного или хаотического аттракторов, являющихся математическими образами режима регулярной или хаотической квазисинхронизации предельного цикла, то есть позволяет решить задачу усиления эффекта автомодуляции.

СПИСОК РАБОТ ПО ДИССЕРТАЦИИ

В журналах, рекомендованных ВАК

1. Шалфеев В.Д. Бакунов Г.М,, Матросов В.В. О регулярных квазисинхронных режимах в системе фазовой автоподстройки частоты // Вестник ИНГУ.— 2010 — № 6,— С. 43-47.

2. Шалфеев В.Д. Бакунов Г.М., Матросов В.В. О квазисинхронных режимах в системе фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Вестник ИНГУ,— 2011.— № 3,— С. 61-66.

3. Шалфеев В.Д., Бакунов Г.М., Матросов В.В. О квазисинхронных режимах в системе фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка при приближенном учете запаздывания // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика.—2011.— № 3.— С. 180-186.

В других изданиях

1. Бакунов Г.М. Сложные и хаотические колебания в системе ФАП с разделительной емкостью в цепи управления // Труды 13-й Науч. Конференции по радиофизике. Ред. A.B. Якимов.— Нижний Новгород: ННГУ, 2009.— С. 65-67.

2. Бакунов Г.М. Dynamical chaos in monopulse regime of phase synchronization //Труды 13-й Науч. Конференции по радиофизике. Ред. A.B. Якимов.— Нижний Новгород: ННГУ, 2009,— С. 258-260.

3. Шалфеев В.Д. Бакунов Г.М., Матросов В.В. О некоторых характеристиках автомодуляционных режимов в системе фазовой автоподстройки // Труды 14-ой Научной конференции по радиофизике.-— Нижний Новгород: ННГУ, 2010,—С. 127-128.

4. Бакунов Г.М. Об автомодуляционных колебаниях в системе фазовой автоподстройки частоты // Материалы 9-ой Международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур», 4-9 октября 2010 г.— Саратов: 2010 —С. 74.

Подписано в печать 17.08.2011. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1. Тираж 100. Заказ № 559.

Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Бакунов, Глеб Михайлович

Введение.

Глава 1. Регулярные автомодуляционные режимы в системах фазовой автоподстройки с фильтром первого порядка

1.1. Введение

1.1.1. Модель системы ФАП. Основные элементы

1.1.2. Динамические режимы системы фазовой автоподстройки

1.2. Регулярные квазисинхронные режимы в системе ФАП с фильтром первого порядка с приближенным учетом запаздывания

1.2.1. Приближенный учет запаздывания в системе ФАП с фильтром первого порядка в цепи управления

1.2.2. Области динамических режимов системы ФАП с фильтром первого порядка при учете запаздывания

1.2.3. Анализ характеристик автомодуляционных колебаний

1.3. Выводы.

Глава 2. Сложные регулярные и хаотические автомодуляционные режимы в системах фазовой автоподстройки с фильтром второго порядка

2.1. Сложные регулярные и хаотические режимы в системе ФАП с фильтром второго порядка без учета запаздывания

2.1.1. Исходные уравнения.

2.1.2. Исследование структуры пространства параметров

2.1.3. Характеристики автомодуляционных колебаний

2.2. Квазисинхронные режимы в системе ФАП с фильтром второго порядка при приближённом учете запаздывания

2.2.1. Математическая модель.

2.2.2. Структура пространства параметров

2.2.3. Области преобладающего влияния факторов сложности фильтра и запаздывания

2.2.4. Автомодуляционные колебания

2.3. Выводы.

Глава 3. Управление автомодуляционными колебаниями в системе фазовой автоподстройки при введении частотного кольца.

3.1. Автомодуляционные колебания в системе ФАП с частотным кольцом подстройки.

3.1.1. Модель двухкольцевой системы ЧФАП.

3.1.2. Исследование характера границы смены устойчивости

3.1.3. Нелокальный анализ системы ЧФАП

3.2. Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Регулярные и хаотические автомодуляционные колебания в системах фазовой синхронизации"

Исследование автоколебаний - базовая проблема теории нелинейных колебаний [1, 2]. Эта проблема постоянно привлекает интерес исследователей, начиная с Б: Ван-дер-Поля, А.А. Андронова не только в силу своей,фундаментальности, но и в силу чрезвычайной прикладной значимости [3-7]. С открытием динамического хаоса интерес исследователей заметно1 смести лея в сторону изучения сложных и хаотических автоколебаний [8-13]. Поскольку в различных динамических системах в зависимости от конкретных приложений эффект возбуждения- автоколебаний может рассматриваться как позитивный, желаемый, либо как негативный, паразитный, то вполне понятно появление работ, целенаправленно ориентированных на проблему управления автоколебаниями.

Если для регулярных автоколебаний проблема управления представлена, в литературе-достаточно широко и давно (генераторы колебаний, гашение вибраций и др.), то для хаотических автоколебаний это направление представлено значительно слабее и, в основном, связано с задачей подавления или стабилизации хаоса [14, 15]. Одной из первых работ в этом направлении была работа Е. О^, С. Grebogi, Л. Уогке [16], где был: предложен метод стабилизации неустойчивых периодических орбит системы с хаотической динамикой с помощью малых управляющих воздействий. В 1992 г. K.Pyragas [17] предложил вводить в хаотическую систему с целью подавления хаоса дополнительные обратные связи с задержкой, сравнимой с периодом стабилизируемого движения. Ряд задач по управлению хаосом в распределенных радиофизических системах представлен в книге [18], а также в ряде работ Н.М. Рыскина, О.С. Хаврошина [19—21]. Для СВЧ электроники, где характерно наличие запаздывания в моделях, важна задача подавления паразитных колебаний. Именно эта задача рассматривается в работе [22], где предложен способ подавления хаотической автомодуляции в лампе обратной волны.

Наряду с задачами подавления хаоса в последние годы становится актуальной задача генерации и усиления хаоса в связи с попытками реализовать идею использования динамического хаоса для передачи информации [23]. Эту идею высказали два*десятилетия назад L.M: Pecora, T.L. Carroll [24], а затем были предложены [25-44] различные схемы, использующие хаотические колебания как несущие* и изучены свойства таких схем (А.С. Дмитриев, А.И. Панас, С.О. Старков, JI.B: Кузьмин, А.Р. Волковский, Н.Ф. Рульков, L. Kocarev, М. Hasler, М.P. Kennedy, L.O. Chua, G.' Kolumban, М.В. Капранов и др).

В дальнейшем, однако, выявились определённые сложности в применении хаотических сигналов для связи. В частности, было обнаружено, что системам связи, построенным на основе явления самосинхронизации, свойственна высокая чувствительность к искажениям в канале, шумам и неполной идентичности параметров передатчика и- приемника [45, 46]. Все эти сложности побудили исследователей заняться разработкой высокоэффективных генераторов хаоса, непосредственно работающих в широком частотном диапазоне, и созданием систем, обеспечивающих устойчивую синхронизацию хаотических колебаний.

Перспективными для решения указанных проблем представляются возможности использования систем фазовой автоподстройки (ФАП) для решения всего комплекса задач генерации [47-54], синхронизации хаотических сигналов и передачи информации на этой основе (В.Д. Шалфеев, В.В. Матросов). Динамика систем ФАП для регулярных сигналов изучена достаточно хорошо. Характерной особенностью системы ФАП является наличие цепи управления по фазе или частоте, что позволяет решать задачу стабилизации частоты управляемого генератора относительно опорного сигнала. В то же время, вне области синхронизации такая цепь может обеспечивать широкие возможности для возбуждения разнообразных автомодуляционных колебаний, в том числе и хаотических. Достоинствами систем ФАП являются высокая точность, надежность и помехоустойчивость, гибкость в управлении, способность работать на высоких и сверхвысоких частотах. Вышеперечисленные качества1 систем ФАП делают их привлекательными и для создания систем связи на основе хаотических колебаний.

Теоретическому исследованию динамики систем ФАП посвящена обширная литература (В.В. Шахгильдян, А.А. Ляховкин, М.В. Капранов, Ю.Н. Бакаев, Г.И. Тузов, Г.А. Леонов, Б.И. Шахтарин, Л.Н. Белюсти-на, В. Линдсей, А. Витерби, В.И. Тихонов, В.Н. Кулешов, Н.Н. Удалов, В.Н. Белых, В.П. Пономаренко, В.Д. Шалфеев, В.И. Некоркин, С.В. Пер-вачев, В.М. Сафонов, В.В. Матросов, Ю.И. Савватеев и др), основные результаты относятся к определению областей существования и устойчивости синхронных режимов для регулярных колебаний [55-67]. Гораздо менее изученными являются условия реализации хаотических, в том числе автомодуляционных, режимов в системах ФАП [68-80]. В этой связи весьма актуальным представляется рассмотреть свойства и характеристики различных видов (периодических, хаотических) автомодуляционных колебаний в системах ФАП и предложить способы управления авто-модуляционными колебаниями в таких системах, позволяющие решать как важную для практики задачу подавления паразитных автомодуляционных колебаний, так и альтернативную задачу усиления эффектов автомодуляции в целях создания эффективных генераторов сложномодулированных колебаний на этой основе.

На основании вышесказанного можно сформулировать следующую цель и задачи диссертационного исследования.

Цель работы: изучение влияния инерционности фильтра и величины запаздывания в цепи управления типовой системы ФАП на условия реализации и характеристики периодических и хаотических автомоду-ляционных режимов и разработка эффективных способов управления (подавления, усиления) эффектов автомодуляции.

Для достижения указанной цели ставятся следующие задачи:

2. Исследовать влияние усложнения фильтра (переход к фильтру второго порядка) па условия возбуждения автомодуляционных режимов в системе ФАП без учета запаздывания и с учетом запаздывания и изучить их характеристики в зависимости от параметров.

3. Исследовать влияние введения дополнительного кольца подстройки по частоте на условия возбуждения, усиления и подавления, а также характеристики режимов автомодуляции с целью выяснения возможностей реализации целенаправленного ослабления (подавления) или усиления эффекта автомодуляции.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Проведено компьютерное моделирование системы ФАП с двумя типами фильтров в цепи управления, как без учета, так и с учетом запаздывания. Для каждого вида системы ФАП в пространстве параметров выделены области различной динамики системы (регулярные колебания, квазисинхронизация, хаотические аттракторы).

2. С помощью методов компьютерного моделирования определены основные характеристики колебательных аттракторов систем ФАП с различными фильтрами в цепи управления без учета и с учетом запаздывания. Исследованы мягкие и жесткие режимы смены устойчивости состояний равновесия.

3. Найдены аналитические выражения для кривых потери устойчивости состояния равновесия через бифуркацию Андронова-Хопфа в системе ФАП с фильтром второго порядка с учетом запаздывания.

4. Проведено сравнение влияния инерционности фильтра и времени запаздывания на структуру пространства параметров системы ФАП с фильтром второго порядка с учетом запаздывания. Сделано качественное разбиение пространства параметров на области с динамикой, присущей системе ФАП с учетом запаздывания и простым фильтром в цепи управления, и динамикой, характерной для систем ФАП со сложным фильтром без учета запаздывания.

5. Проведено изучения влияния дополнительного частотного кольца подстройки на условия возбуждения периодических и хаотических автомодуляционных режимов в системе ФАП. Результаты исследования позволили сформулировать рекомендации по управлению (подавлению, усилению) автомодуляционными режимами.

Научно-практическая значимость работы. В диссертации рассматриваются различного рода неустойчивости в системах ФАП, приводящие к возникновению автомодуляционных колебаний, что ведет к снижению точности подстройки частоты в режиме синхронизации. Предложенный в диссертации способ подавления автомодуляции позволяет расширить диапазон параметров систем ФАП, обеспечивающий точную синхронизацию.

Также полученный способ позволяет осуществить не подавление, а усиление эффекта автомодуляции в системе ФАП, что позволяет получить на основе ФАП эффективный генератор сложно модулированных колебаний со стабилизированной по опорной частоте средней частотой.

Результаты диссертационной работы использованы при выполнении научно-исследовательских работ по грантам РФФИ № 10-02-00865, № 07-02-01404 и контрактам П2308, 02.740.11.0565, 14.740.11.0075 ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России"на 2009-2013 I гг. Полученные в работе результаты по возбуждению и подавлению автомодуляции в системе ФАП используются в учебном процессе в рамках спецкурсов на радиофизическом факультете ННГУ.

Основные положения, выносимые на защиту.

Достоверность научных выводов. Достоверность научных выводов диссертационной работы обеспечивается использованием методов теории колебаний и теории бифуркаций в сочетании с апробированными и хорошо зарекомендовавшими себя методами компьютерного моделирования, подтверждается соответствием результатов качественного анализа и численного моделирования, совпадением с известными результатами других авторов.

Личный вклад автора. Автором были самостоятельно выполнены аналитические исследования, проведены численные эксперименты, а также сделана обработка данных расчетов. Постановка задач и анализ полученных результатов проводились совместно с научным руководителем Матросовым В.В., а обсуждения с участием Шалфеева В.Д.

Апробация результатов и публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, в том числе 3 статьи в рецензируемых научных изданиях из списка ВАК [А1, А2, АЗ] и 4 работы в трудах конференций [А4, А5, А6, А7]. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на IX Международной школе "Хаотические автоколебания и образование структур "(Саратов, 2010 г.) и 14-ой Научной конференции по радиофизике (Н.Новгород, 2010 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы и списка работ по диссертации. Общий объем диссертации составляет 112 страниц текста, включая 27 рисунков, список литературы из 104' наименований, список работ по диссертации из 7 наименований.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

Заключение

Проведенный анализ автомодуляционных режимов в системах фазовой синхронизации в основном представлял собой попытку найти ответ на вопросы о том, велики ли области существования автомодуляционных режимов, как зависят характеристики автомодуляционных режимов от параметров, возможно ли ослабить, подавить или усилить автомодуляцию, не изменяя параметров цепи управления системы ФАП и т.д. Полученные результаты позволяют дать ответы на эти вопросы и сделать важный для практики вывод о том, что введение частотного кольца управления в систему ФАП не только позволяет при соответствующем выборе параметров расширить полосу захвата системы, что было известно в литературе, но и позволяет улучшить точность синхронизации, ослабляя или подавляя вовсе эффект автомодуляции. Сформулируем кратко основные результаты диссертации.

1. В типовой системе фазовой автоподстройки с интегрирующим фильтром при учете запаздывания наряду с синхронным режимом возможен квазисинхронный режим, характеризующийся наличием регулярных периодических автомодуляционных колебаний подстраиваемого генератора. Глубина автомодуляционных колебаний (определяемая размерами предельного цикла) увеличивается с ростом величины запаздывания, причём при малых запаздываниях эта зависимость близка к линейной, а с ростом запаздывания зависимость становится существенно нелинейной. Период автомодуляционных колебаний с ростом запаздывания увеличивается и в пределе стремится к бесконечности (при «влипании» цикла в петлю сепара

3. Возникающий в системе ФАП эффект регулярной периодической или хаотической автомодуляции можно ослабить введением частотного кольца подстройки, вплоть до подавления автомодуляции. Использование инвертированной характеристики частотного дискриминатора обеспечивает увеличение размера регулярного или хаотического аттракторов, являющихся математическими образами режима регулярной или хаотической квазисинхронизации предельного цикла, то есть позволяет решить задачу усиления эффекта автомодуляции.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Бакунов, Глеб Михайлович, Нижний Новгород

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний.— Москва: Наука, 1981.

2. Рабинович М.Н., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. — Москва: Наука, 1984. — С. 432.

3. Тондл А. Автоколебания механических систем.— Москва: Мир, 1979. С. 430.

4. Уткин Г.М. Автоколебательные системы и волновые усилители. — Москва: Сов. радио, 1978. — С. 272.

5. Ланда П. С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. — Москва: Наука, 1980. — С. 380.

6. Самсон А.М., Котомцева Л.А., Лойко И.А. Автоколебания в лазерах. — Минск: Навука і тзхніка, 1990. — С. 280.

7. Свирежев Ю.М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. — Москва: Наука, 1978. — С. 352.

8. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стахостическая динамика. — Москва: Мир, 1984.

9. Неймарк Ю.И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. — Москва: Наука, 1987.

10. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. — Москва: Наука, 1990.

11. Chua’s circuit: A Paradigm for Chaos. Edited by R. Madam. — Singapore: World Scientific, 1993.

12. Кузнецов С.П. Динамический хаос. — Москва: Физматлит, 2001.

13. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. — Саратов: Изд. ГосУНЦ «Колледж»,2005.

14. Chen G., Dong X. From chaos to order: methodologies, perspectives and applications. — Singapore: World Scientific, 1998.

15. Controlling chaos and bifurcations in engineering systems / edited by

16. G. Chen. — Boca Raton: CRC Press, 2000.

17. Ott E., Grebogi C., Yorke J.A. Controlling chaos. — 1990. — Vol. 64. — Pp. 1196-1199.

18. Pyragas K. Continuous control of chaos by self-controlling feedback // Phys. Lett A. 1992. - Vol. 170. - Pp. 421-428.

19. Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по СВЧ электронике для физиков, т. 2. — Москва: Наука, 2004. — С. 648.

20. Емельянов В.В., Рыскин Н.М., Хаврошин О.С. Подавление автомодуляции в автогенераторе с запаздыванием при помощи методики управления хаосом // Радиотехника и электроника. — 2009. — Т. 54, №6. -С. 719-725.t

21. Рыскин Н.М., Хаврошин О. С. Управление хаосом в системе Икеды. Упрощенная модель в виде точечного отображения // Изв. вуз. Прикладная нелинейная динамика. — 2009. — Т. 17, № 2. — С. 66-86.

22. Рыскин Н.М., Хаврошин О. С. Управление хаосом в системе Ике-ды. Пространственно-временная модель // Изв. вуз. Прикладная нелинейная динамика. — 2009. — Т. 17, № 2. — С. 87-98.

23. Долов А.М., Кузнецов С.П. Применение методики контроля хаоса для устранения автомодуляции в лампе обратной волны // ЖТФ. 2003. - Т. 73, № 8. - С. 139-142.

24. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. — Москва: Физматлит, 2002.

25. Peeora L.M., Carroll T.L. Synchronization in chaotic system. — 1990. Vol. 64, no. 8. - Pp. 821-824.

26. Oppenheim A.L., Wornell G. W., Isabell S.H., Cuomo K.M. Signal processing in the context of chaotic systems // Proc. IEEE ICASSP. — Vol. VI. 1992. - Pp. 117-120.

27. Kocarev L., Halle K.S., Eckert K. et al. Experimental demonstration of secure communication via chaotic synchronization. — 1992. — Vol. 2, no. 3. Pp. 709-713.

28. Hayes S., Grebogi G., Ott E. Communication with Chaos. — 1993.— Vol. 70.-Pp. 3031-3034.

29. Волковский A.P., Рулъков Н.Ф. Синхронный хаотический отклик нелинейной колебательной системы как принцип детектирования информационной компоненты хаоса // Письма в ЖТФ. — 1993. — Т. 19, № 3. С. 72-77.

30. Козлов А.К., Шалфеев В.Д. Избирательное подавление детерминированных хаотических сигналов // Письма в ЖТФ. — 1993. — Т. 19, № 23. С. 83-87.

31. Dmitriev A.S., Panas A.I., Starkov S.0. Experiments on speach and music signals transmission using chaos // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1995. - Vol. 5. - Pp. 1249-1254.

32. Dedieu H., Kennedy M.P., Hasler M. Chaos shift keying: modulation and demodulation of a chaotic carrier using self-synchronizing Chua’s Circuits // IEEE Trans. CAS. — 1993. — Vol. 40(17). — Pp. 634-642.

33. Hasler M. Engineering chaos for secure communcation systems // Phyl. Trans. R Soc. bond. — 1995. — Vol. 353(1701). — Pp. 115-126.

34. Kennedy M.P. Communication with chaos: state of the art and engineering challenges // Proc. NDES’96. Seville. — 1996.— Pp. 1-8.

35. Козлов А.К. Детеминированный хаос в фазовой системе с запаздыванием (генерация, управление, обработка), канд. дисс. — Нижегородский гос.университет, 1995.

36. Kozlov А.К., Shalfeev V.D. Chaos in controlled generators // Proc. NDES’95. Dublin. 1995. - Pp. 233-236.

37. Sato A., Endo T. Experiments of secure communications of phase-locked loops // Proc. NDES’94. — 1994. — Pp. 117-122.

38. Endo T. A review of chaos and nonlinear dynamics in phase-locked loops // J. of Franklin Institute. — 1994. — Vol. 331B, no. 6. — Pp. 859-902.

39. Smyth N.} Crowley C., Kennedy M.P. Improved receiver for CSK spread spectrum communications using analog phase locked loop chaos // Proc. NDES’96. Seville. — 1996. — Pp. 27-32.

40. Андреев Ю.В., Дмитриев А.С., Куминов А.А. Хаотические процессоры // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. — 1997. — № 10. — С. 50-709.

41. Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники — 1997. — № 10. С. 4-26.

42. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К., Волковский А.Р. Хаотические колебания генерация, синхронизация, управление // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. - 1997. - № 10. - С. 27-49.

43. Короновский А.А., Москаленко О.И., Попов П.В., Храмов А.Е. Способ скрытой передачи информации, основанный на явлении обобщенной синхронизации // Изв. РАН, сер. Физическая.— 2008. Т. 72, № 1. - С. 143-147.

44. Хаслер М. Передача информации с использованием хаотических сигналов. Последние достижения // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники.— 1998.— № 11.— С. 33-43.

45. Дмитриев А. С., Клецов А.В., Латюшкин А.М. и др. Сверхширо-кополосные коммуникационные системы на основе динамического хаоса // Успехи современной радиоэлектроники, — 2008.— № 1.— С. 4-16.

46. Корзинова М.В., Матросов В.В., Шалфеев В.Д. Каскадное соединение фазовых систем генерация и синхронизация хаотических колебаний // Вестник Нижегородского университета. Нелинейная динамика - синхронизация и хаос III, Серия радиофизика.

47. Н.Новгород. — 1998. — С. 35-44.

48. Korzinova М., Matrosov V., Shalfeev V. Communications using cascade coupled phase-locked loops chaos // Int. J. Bifurcation and Chaos. — 1999. — Vol. 9, no. 5. — Pp. 963-973.

49. Шалфеев В.Д., Матросов В.В., Корзинова М.В. Динамический хаос в ансамблях связанных фазовых систем // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники — 1998. — № 11. С. 44-56.

50. Шалфеев В.Д., Матросов В.В. Об эффектах захвата и удержания при синхронизации хаотически модулированных колебаний // Изв. вуз. Радиофизика. — 1998. — Т. 41, № 12. — С. 1033-1036.

51. Shalfeev V.D., Matrosov V.V., Korzinova M.V. Chaos in phase systems: generation and synchronization. Controling chaos and bifurcations in engineering systems / edited by G. Chen // CRC Press.— 1999. Pp. 529-558.

52. Shalfeev V.D., Matrosov V. V. Chaos in Curcuits and Systems. Ed by G. Chen and T. Ueta // World Scientific Publishing Company. — 2002.— Pp. 130-150.

53. Шалфеев В Д., Матросов В. В. Хаотически модулированные колебания в связанных фазовых системах // Нелинейные волны. Отв. ред. А.В.Гапонов-Грехов, В.И. Некоркин // ИПФ РАН. — 2002. — С. 77-89.

54. Матросов В.В., Шалфеев В.Д. Динамический хаос в фазовых системах: учебное пособие. — Н.Новгород: Изд. ННГУ, 2007.

55. Шахгилъдян В.В., Ляховкин А.А. Системы фазовой автоподстройки частоты. — Москва: Связь, 1972. — С. 447.

56. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении: Пер. с англ. / под ред. Ю.Н. Бакаева, М.В. Капранова. — Москва: Советское радио, 1978. — С. 600.

57. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. — Москва: Наука, 1984.— С. 320.

58. Системы фазовой синхронизации / под ред. В.В. Шахгильдяна,

59. JT.H. Белюстиной. — Москва: Радио и связь, 1982. — С. 288. '

60. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы.— Москва: Сов. радио, 1977. — С. 488.

61. Тузов Г.И. Выделение и обработка информации в доплеровских системах. — Москва: Сов. радио, 1977. — С. 256.

62. Гелиг А.Х., Леонов Г. А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным состоянием равновесия. — Москва: Наука, 1978.- С. 400.

63. Артым А.Д., Трифонов С.В. Частотные методы анализа и синтеза систем ФАП. — Москва: Связь, 1976. — С. 160.

64. Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Математические проблемы теории фазовой синхронизации. — СПб: Наука, 2000. — С. 398.

65. Капранов М.В. Элементы теории систем фазовой синхронизации. Уч. пособие по курсу теория колебаний. — Москва: Изд-во МЭИ, 2006. С. 208.

66. Шахтарин Б.И. Квазигармонический метод и его применение к анализу нелинейных фазовых систем. — Москва: Энергоатомиздат, 1987. С. 192.

67. Шахтарин Б. И. Анализ кусочно-линейных систем с фазовым регулированием.— Москва: Машиностроение, 1990. — С. 192.

68. Фазовая синхронизация / под ред. В.В. Шахгильдяна, J1.H. Белюстиной. — Москва: Связь, 1975. — С. 288.

69. Белых В.Н., Некоркин В. И. Качественные структуры и бифуркации в трехмерной системе фазовой синхронизации // Прикладная математика и механика. — 1978. — Т. 42, № 5. — С. 808-815.

70. Endo Т., Chua L.O. Chaos from phase-locked loops // IEEE Trans. Circ. Syst. 1988. - T. 35, № 8. - C. 987-1003.

71. Афраймович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. — Горький: Изд. ИПФАН, 1989.

72. Козлов А.К., Шалфеев В.Д. Управление хаотическими колебаниями в генераторе с запаздывающей петлей фазовой автоподстройки // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1994. — Т. 2, № 2. С. 36-48.

73. Kolumban G., Vizvari В. Nonlinear dynamics and chaotic behaviourof the analog phase-locked loop // Proc. NDES’95. Dublin. — 1995. — Pp. 99-102. .*

74. Матросов В. В. Регулярные и хаотические автоколебания фазовой системы // Письма в ЖТФ. — 1996. — Т. 22, № 23. — С. 4-8.

75. Matrosov V. V. Regular and chaotic oscillations of phase-locked loop with the second-order filter. Proc. of the Five International Workshop of Nonlinear Dynamics of Electron Systems // Proc. NDES’97. Moscow, Russia. — 1997. — Pp. 554-558.

76. Матросов В.В., Касаткин Д.В. Динамические режимы связанных генераторов с фазовым управлением // Радиотехника и электроника. 2003. - Т. 48, № 6. - С. 637-645.

77. Матросов В.В., Касаткин Д.В. Анализ процессов возбуждения хаотических колебаний во взаимосвязанных генераторах с фазовым управлением // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 2003. Т. 11, № 4. - С. 31-43.

78. Пономаренко В.П., Заулин И.А. Сложная динамика систем с неединственным состоянием равновесия // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1994. — Т. 2, № 1. — С. 30-42.

79. Заулин И.А., Пономаренко В.П. Регулярные и хаотические колебания в многоустойчивой системе с фазовым управлением // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика: синхронизация и хаос — 1996.-С. 121-140.

80. Пономаренко В. П. Формирование сложных режимов в системе с фазовым управлением // Вестник ННГУ. Нелинейная динамика -синхронизация и хаос II.— 1997. — С. 103-112.

81. Капранов М.В., Томашевский А.И. Регулярная и хаотическая-динамика нелинейных систем с дискретным временем. —■ Москва: Изд. дом МЭИ, 2009. С. 256.

82. Gruen W.J. Theory of АРС synchronization // PIRE.— 1953.— Vol. 41, no. 8. P. 1043.

83. Капранов M.B. Полоса захвата при фазовой автоподстройке частоты // Радиотехника. — 1956. — Т. 11, № 12. — С. 37-52.

84. Губарь Н.А. Исследование одной кусочно-линейной динамической системы с тремя параметрами // ПММ.— 1956.— Т. 25, № 6.— С. 1011-1023.

85. Белюстина JI.H. Исследование нелинейной системы фазовой автоподстройки частоты // Изв. вузов. Радиофизика. — 1959. — Т. 2,2.-С. 277-291.

86. Капранов М. В. О полосе захвата при частотно-фазовой автоподстройке частоты // Научные доклады высшей школы, серия Радиотехника и электроника. — № 2. — 1958. — С. 162.

87. Пономаренко В.П., Шалфеев В.Д. Нелинейная система частотнофазовой автоподстройки частоты с широкой полосой захвата // Изв. вузов. Радиофизика. — 1968. — Т. 11, № 11. — С. 407-417.

88. Шалфеев В.Д. К исследованию системы частотно-фазовой автоподстройки частоты при одинаковых интегрирующих фильтрах в фазовой и частотной цепях // Изв. вузов. Радиофизика. — 1969. — Т. 12, № 7. С. 1037-1051.

89. Пиковский А., Розенблюм М., Курте Ю. Синхронизация. Фундаментальные нелинейные явления. — Москва: Техносфера, 2003. — С. 496.

90. Барбашин Е.А., Табуева В.А. Динамические системы с цилиндрическим фазовым пространством. — Москва: Наука, 1969.— С. 300.

91. Jelonek Z.J., Cowa.n С. I. Synchronized Systems with Time Delay in the Loop // Proe. Inst. Electr. Eng.— 1957.— Vol. 101, no. V.— Pp. 388-397.

92. Белюстина Л.Н., Быков В.В. О бифуркациях и некоторых качественных характеристиках системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1994. — Т. 2, № 2. — С. 36-48.

93. Мигулин В.В. Модуляция // Физический энциклопедический словарь // «Советская энциклопедия». — 1983. — С. 428.

94. Песков Р.Д. Приближенное определение периода движений в системе фазовой автоподстройки' частоты // Изв. вузов. Радиофизика. — 1964.-Т. 7, № 1.- С. 160.

95. Матросов В.В. Автомодуляционные режимы системы фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Изв. вузов. Радиофизика. — 2006. — Т. 49, № 4. — С. 357-368.

96. Матросов В.В. Динамика нелинейных систем. Программный комплекс для исследования нелинейных динамических систем с непрерывным временем: учебно-методическая разработка. — Нижний Новгород, 2002.

97. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. — Л.: Гостехиздат, 1949.

98. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приёмы качественного исследования динамических систем на плоскости. — Москва: Наука, 1976.

99. Шилъников Л.П. О некоторых случаях рождения периодических движений из особых траекторий // Мат. сб.— 1963.— Т. 61, № 104. С. 443-466.

100. Шилъников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокуса // Мат. сб. — 1970. Т. 81, № 123. - С. 92-103.

101. Дмитриев А. С., Клецов А.В., Кузьмин Л.В. Генерация высокочастотного хаоса в системе с фазовой автоподстройкой частоты // Успехи современной радиоэлектроники. — 2008. — № 1. — С. 46-53.

102. Пономаренко В.П., Тихонов Е.А. Динамика автогенератора с частотно-фазовым управлением при инверсии характеристики частотного дискриминатора // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 2003. — Т. 11, № 6. — С. 75-91.

103. Пономаренко В. П. Динамика систем с частотно-фазовым управлением. Учебно-методическая разработка. — Нижний Новгород, 2005.

104. Матросов В.В. Моделирование динамики системы частотно-фазовой автоподстройки с фильтрами первого порядка // Вестник ИНГУ, серия «Матем. моделирование и оптимальное управление». —2006. № 2(31). - С. 17-28.

105. Матросов В. В. Нелинейная динамика генераторов с фазовым и частотным управлением процессы возбуждения и синхронизации сложных автомодуляционных колебаний, докт. дисс. — Нижний Новгород: ННГУ, 2006.

106. Список публикаций по диссертации

107. А1. Бакунов Г.М., Матросов В.В., Шалфеев В.Д. О регулярных квази-синхронных режимах в системе фазовой автоподстройки частоты // Вестник ИНГУ. 2010. - № 6. - С. 43-47.

108. А2. Бакунов Г.М., Матросов В.В., Шалфеев В.Д. О квазисинхронных режимах в системе фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка // Вестник ННГУ. — 2011. — № 3. — С. 61-66.

109. АЗ. Бакунов Г.М., Матросов В.В., Шалфеев В.Д. О квазисинхронных режимах в системе фазовой автоподстройки частоты с фильтром второго порядка при приближенном учете запаздывания // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика.— 2011.— № 3.— С. 180-186.

110. А4. Бакунов Г. М. Об автомодуляционных колебаниях в системе фазовой автоподстройки частоты // Материалы 9-ой Международной школы «Хаотические автоколебания и образование структур», 4-9 октября 2010 г. — Саратов: 2010. — С. 74.

111. А5. Бакунов Г.М. Сложные и хаотические колебания в системе ФАП с разделительной емкостью в цепи управления // Труды 13-й Науч. Конференции по радиофизике. Ред. А.В.Якимов. — Нижний Новгород: ННГУ, 2009. С. 65-67.

112. А6. Бакунов Г.М. Dynamical chaos in monopulse regime of phase synchronization // Труды 13-й Науч. Конференции по радиофизике. Ред. А.В.Якимов. — Нижний Новгород: ННГУ, 2009. — С. 258-260.

113. А7. Бакунов Г.М., Матросов В.В., Шалфеев В.Д. О некоторых характеристиках автомодуляционных режимов в системе фазовой автоподстройки // Труды 14-ой Научной конференции по радиофизике.— Нижний Новгород: ННГУ, 2010. — С. 127-128.