Нелинейная динамика и бифуркации в многомодовых и пространственно распределенных лазерных системах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.21 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Владимиров Андрей Георгиевич

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА И БИФУРКАЦИИ В МНОГОМОДОВЫХ И ПРОСТРАНСТВЕННО-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЛАЗЕРНЫХ СИСТЕМАХ

Специальность 01.04.21 — лазерная физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2006

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук профессор Розанов Николай Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Занадворов Петр Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор Козлов Сергей Аркадьевич

доктор физико-математических наук, профессор Мельников Леонид Аркадьевич

Ведущая организация:

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Защита состоится ".

А 2006 в

АГЧ, 3 С? мин на заседании Дис-

сертационного совета Д 212.232.45 по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, г. Санкт-Петербург, Университетская наб. дом 7/9, СПбГУ, Большая Физическая Аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького СПбГУ

Учёный секретарь Диссертационного совета доктор физико-математических наук

Ионих Ю.З.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы диссертации. Изучение нелинейной динамики оптических систем занимает важное место в современных исследованиях в области лазерной физики. Интерес к этой теме вызван причинами как фундаментального, так и прикладного характера. Лазеры и другие нелинейные системы, основанные на взаимодействии когерентного света с веществом, представляют собой пример самоорганизующихся систем, которые демонстрируют широкий спектр различных нелинейных режимов, от самых простых стационарных до сложных хаотических и пространственно-временных структур. Они являются удобными объектами для экспериментального изучения и теоретического анализа динамических состояний различного типа и их бифуркаций. С другой стороны, многие динамические режимы генерации лазеров, такие как, например, пассивная модуляция добротности, синхронизация мод, биение мод и т.д., имеют обширные технологические применения. В связи с этим, исследование возможностей улучшения динамических характеристик лазеров представляет собой очень важную прикладную задачу.

Нелинейная динамика одномодовых лазеров и лазеров с небольшим числом мод, активно исследовавшаяся в последние десятилетия /1/, к настоящему времени сравнительно хорошо изучена. Вместе с тем, динамические процессы и бифуркации в лазерных моделях с очень большим или бесконечным числом степеней свободы пока еще изучены недостаточно. Особо важное значение в таких системах имеют приводящие к самоорганизации процессы синхронизации различных элементов системы. В частности, в диссертации рассматриваются два типа синхронизации, связанные с использованием полупроводниковых лазеров. Это синхронизация в решетке связанных лазеров, позволяющая генерировать мощный пучок света с малой расходимостью в дальней зоне, и синхронизация мод в монолитных лазерах, которые являются источниками коротких световых импульсов с высокой частотой повторения, необходимых во многих технологических приложениях. При этом основное внимание уделяется малоизученным бифуркационным механизмам возникновения и нарушения синхронизации и сопутствующих ей режимов. Вторая часть диссертации посвящена изучению бифуркаций оптических автосолитонов /2, 3, 4/, которые также представляют собой пример самоорганизации в нелинейных системах, далеких от равновесия /5, б/. В связи с потенциальным использованием таких автосолитонов в качестве битов в оптических системах хранения и передачи информации, важное значение приобретает изучение их взаимодействия, которому в диссертации также уделено особое внимание.

Цели и задачи работы

Основными целями диссертационной работы являлись:

• Разработка теоретических методов исследования динамики решетки полупроводниковых лазеров с запаздывающей оптической обратной связью между ними.

• Использование этих методов для изучения бифуркационных механизмов, ответственных за возникновение и разрушение различных режимов синхронизации в решетке, и определение условий, при которых достигается синфазная синхронизация лазеров. Исследование влияния дисперсии частот генерации лазеров и временного запаздывания обратной связи на свойства и качество синхронизации.

• Построение достаточно простой и адекватной модели для описания синхронизации мод в монолитных полупроводниковых лазерах .

• Исследование бифуркаций режима синхронизации мод в монолитном полупроводниковом лазере и его устойчивости по отношению к пассивной модуляции добротности.

• Разработка теоретических методов для исследования свойств оптических автосоли-тонов, их устойчивости и бифуркаций, а также применение этих методов для анализа автосолитонов в конкретных нелинейных оптических системах.

• Построение асимптотической теории слабого взаимодействия автосолитонов в активных и пассивных нелинейных оптических системах и использование этих методов для анализа устойчивости и бифуркаций связанных состояний таких автосолитонов и автосолитонных кластеров.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• Исследованы режимы генерации одномерной решетки идентичных полупроводниковых лазеров с глобальной запаздывающей связью между ними за счет отражения от внешнего зеркала.

• Проанализировано влияние запаздывания на качество синхронизации решетки полупроводниковых лазеров.

• Изучены свойства синхронизации решетки неидентичных полупроводниковых лазеров с близкими, но различными частотами генерации.

• Разработана и проанализирована модель для описания пассивной синхронизации мод в полупроводниковых лазерах, основанная на системе дифференциальных уравнений с запаздыванием.

• В приближении медленного поглотителя предложено аналитическое описание режима синхронизации мод в полупроводниковом лазере. Построено и проанализировано отображение, описывающее преобразование параметров импульса синхронизации мод за проход резонатора.

• Численно исследованы устойчивость и бифуркации режима синхронизации мод в монолитном полупроводниковом лазере.

• Разработана полуаналитическая процедура для расчета оптических автосолитонов в широкоапертурных лазерах и нелинейных резонаторах, анализа их устойчивости и бифуркаций.

• Получены и проанализированы асимптотические уравнения для описания слабого взаимодействия оптических автосолитонов. Исследованы устойчивость и свойства простейших связанных состояний оптических автосолитонов и двумерных автосолитон-ных кластеров.

Научная новизна работы

• Впервые предложена и проанализирована обобщенная фазовая модель Курамото для описания синхронизации решетки полупроводниковых лазеров, связанных за счет зеркала обратной связи. Помимо задержки оптической обратной связи, эта модель учитывает релаксационные колебания лазеров.

• Впервые аналитически и численно показано, что запаздывание обратной связи между лазерами в решетке благоприятствует синфазной синхронизации во всех возможных режимах генерации.

• Впервые показано, что для решетки неидентичных связанных полупроводниковых лазеров, помимо первого порога синхронизации, аналогичного порогу, описанному Курамото, существует второй порог по силе связи, выше которого происходит деградация синхронизации, связанная с возбуждением релаксационных колебаний лазеров. Дано аналитическое описание первого порога по силе связи в присутствии запаздывания и второго порога в случае малого запаздывания.

• Предложена и проанализирована новая модель для описания пассивной синхронизации в мод в полупроводниковых лазерах, представляющая собой систему дифференциальных уравнений с запаздыванием.

• Впервые для полупроводникового лазера с пассивной синхронизацией мод аналитически построено отображение, описывающее преобразование параметров импульса за проход резонатора. Полученное отображение справедливо в ситуации, когда потери и усиление за проход резонатора велики.

• Впервые показано теоретически, что в полупроводниковых лазерах с пассивной синхронизацией мод могут существовать устойчивые импульсы, для которых критерий устойчивости Нью не выполняется на переднем фронте импульса. Исследованы область существования таких импульсов и влияние на них шум а спонтанной эмиссии.

• Разработан оригинальный метод анализа устойчивости и бифуркаций лазерных автосолитонов. Впервые дана классификация одномерных лазерных автосолитонов и их связанных состояний, основанная на анализе гетероклинических и гомоклинических траекторий системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

• Впервые даио аналитическое описание бифуркации неподвижного лазерного автосо-литона в автосолитон, движущийся в поперечном направлении.

• Впервые теоретически предсказано существование неподвижных поперечных Брэг-говских автосолитонов в широкоапертурных пассивных нелинейных резонаторах с помещенным в них фотонно-кристаллическим материалом.

е

• Разработана асимптотическая теория слабого взаимодействия идентичных одномерных и двумерных оптических аетосолитонов. На основе этой теории впервые получены аналитические условия устойчивости связанных состояний лазерных автосолитонов.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы для улучшения динамических характеристик конкретных лазерных устройств: решеток связанных полупроводниковых лазеров /7/ и монолитных полупроводниковых лазеров с синхронизацией мод. Результаты исследования устойчивости и бифуркаций лазерных и резонатор-ных автосолитонов имеют потенциальное практическое применение, основанное на использовании этих автосолитонов в качестве носителей информации. Предложенные и развитые в работе методы для изучения слабого взаимодействия оптических автосолитонов и анализа свойств их связанных состояний могут быть применены для оценки емкости оптических устройств памяти, основанных на автосолитонах, а также для создания на основе связанных автосолитонных состояний "алфавита" для кодирования и передачи информации.

Положения выносимые на защиту

1. Предложена и проанализирована обобщенная модель Курамото для описания синхронизации лазеров, связанных глобальной оптической связью. Эта модель учитывает временную задержку обратной связи и релаксационные колебания отдельных лазеров.

2. В результате аналитического и численного изучения синхронизации решетки полупроводниковых лазеров показано, что достаточно большая временная задержка благоприятствует синфазной синхронизации.

3. При анализе синхронизации лазеров с различными частотами генерации обнаружен второй порог по силе связи между лазерами, выше которого происходит постепенная деградация синхронизации в решетке. При зтом максимальная степень синхронизации достигается при конечной величине силы связи. Существование второго порога связано с возбуждением релаксационных колебаний части лазеров.

4. Предложена и проанализирована новая модель для описания синхронизации мод в полупроводниковых лазерах, представляющая собой систему дифференциальных уравнений с запаздыванием.

5. Построены отображения для описания преобразования параметров импульса синхронизации мод зэ обход резонатора.

6. Найден новый бифуркационный механизм разрушения режима синхронизации мод, типичный для полупроводниковых лазеров. Этот механизм связан с переходом через перемежаемость от регулярных пульсаций к хаотическим.

7. На основе разработанной процедуры полуаналитического нахождения одномерных лазерных автосолитонов дана классификация таких автосолитонов, проанализированы их свойства устойчивости и бифуркации.

8. Для широкоапертурного лазера класса В предложено аналитическое описание бифуркации неподвижного лазерного солитона в солитон, движущийся в поперечном направлении.

9. Теоретически предсказано существование неподвижных Брэгговских автосолитонов в широкоапертурных нелинейных резонаторах в присутствии поперечной модуляции коэффициента преломления. Проанализированы условия существования таких автосолитонов и их устойчивость.

10. Показано, что аксиально симметричные двумерные лазерные и резонэторные автосо-литоны могут испытывать неустойчивость по отношению к возмущениям с угловым индексом, равным двум. Подобная неустойчивость приводит к нарушению пространственной симметрии этих автосолитонов. Предложен аналитический критерий устойчивости квазиодномерного резонаторного автосолитона в виде полосы, бесконечной в одном из двух направлений.

11. Построена асимптотическая теория слабого когерентного взаимодействия идентичных лазерных и резонаторных оптических автосолитонов.

12. Исследована устойчивость связанных состояний одномерных автосолитонов и простейших кластеров двумерных оптических автосолитонов, в частности, кластеров, вращающихся и движущихся в поперечном направлении.

Апробация работы. Полученные в работе результаты были представлены автором на следующих конференциях:

1. Всесоюзная конференция "Аналитические вычисления на ЭВМ в автоматизации научно-исследовательских работ," Вильнюс, 1990.

2. International Conference on Nonlinear Dynamics in Optical Systems, Afton, Oklahoma, USA, 4-8 June, 1990.

3. 2-е Всесоюзное совещание "Нелинейные и когерентные явления во внутрирезонатор-ной лазерной спектроскопии", Ленинград, 1991.

4. International conference "Nonlinear Dynamics in Lasers and Optical Systems," Moscow-Nizhny Novgorod, июнь 1993.

5. Международная конференция "Оптика лазеров", Санкт-Петербург, 27 июня - 1 июля

1995.

6. International Conference on Nonlinear Dynamics, Chaotic and Complex Systems, Zakopane, Poland, 7-12 November 1995.

7. International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos, Saratov State University, 1996.

8. Международная конференция "Современные проблемы теории динамических систем". Нижний Новгород, июль 1996.

9. International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. (ICND-96), Saratov, 8-14 July,

1996.

10. IX Международная конференция "Оптика лазеров", Санкт-Петербург, 22-26 июня 1998.

11. European Quantum Electronics Conference, Glasgow, UK, September 14-18 1998.

12. European conference "Control of Complex Behavior in Optical Systems and Applications" (COCOS), Muenster, Germany October, 7-10, 1999.

13. X Международная конференция "Оптика лазеров", Санкт-Петербург, 26-30 июня 2000.

14. International Quantum Electronics Conference, Nice, France 10-15 September 2000.

15. Quantum Electronics and Photonics Conference, Glasgow, 3-6 September 2001.

16. International Quantum Electronics - Laser Science Conference, Moscow, 22-28 June 2002.

17. International Quantum Electronics Conference, Munich, Germany, 22-27 June 2003.

18. 3-rd International Workshop on Dynamics of Semiconductor Lasers, Berlin, Germany, 15-17 September 2003.

19. EPS-QEOD Europhoton Conference on Solid State and Fiber Coherent Light Sources, Lausanne, Switzerland, 29 August - 3 September 2004.

20. International Conference on Coherent and Nonlinear Optics /Lasers, Applications, and Technologies (ICONO/LAT), St. Petersburg, Russia, 11-15 May 2005.

21. International Quantum Electronics Conference, Munich, Germany, 12-17 June 2005.

22. Nonlinear Guided Waves and their Applications, 1-4 September 2005 Dresden, Germany.

23. International workshop on Dissipative Solitons, Dresden, Germany, January 23 - 29, 2006.

24. 6th International School and Workshop on Nonlinear Dynamics, Chaos, and Applications, Yalta, Crimea, Ukraine, 15-26 May, 2006.

25. Международная конференция "Оптика лазеров", Санкт-Петербург, 26-30 июня 2006.

Публикации и личный вклад. По теме диссертации опубликовано 48 научных статей, приведенных в конце автореферата. В диссертацию включены данные самостоятельных исследований автора, из совместных работ - результаты, полученные при его непосредственном участии или под его научным руководством.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и выводов. Она изложена на 392 страницах, включая 79 рисунков, список литературы из 305 наименований и 5 приложений.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемых проблем, сформулированы цели и задачи диссертационной работы, перечислены полученные в диссертации новые результаты, их практическая ценность, представлены положения, выносимые на защиту, дан обзор литературы и описана структура диссертации.

Рис- 1. Схематическое изображение решетки связанных полупроводниковых лазеров. 11 - поперечный размер решетки. М - сферическое зеркало обратной связи радиуса г, помещенное в фокальную плоскость собирающей линзы на расстоянии Ь от решетки. А - аттенюатор, управляющий силой связи между лазерами.

Ь

В главе 1 изучаются свойства синхронизации решетки полупроводниковых лазеров, связанных посредством запаздывающей оптической обратной связи. Цель этого исследования состоит в том, чтобы определить условия достижения синфазной синхронизации, при которой лазеры имеют одинаковые или близкие по величине фазы. Синфазная синхронизация лазеров необходима для получения в дальней зоне излучения максимальной мощности электромагнитного поля, сконцентрированной в единственном дифракционном максимуме. Описание модели лазерной решетки дано в параграфе 1.2.

Рассматриваемая решетка состоит из N одномодовых полупроводниковых лазеров (см. рис. 1) и описывается системой связанных уравнений Ланга-Кобаяши /8, 9/ для безразмерных амплитуд электрического поля Е} и плотностей носителей 2,у

= г^Е, + (1 + ¿а) -I- £ с~<^)Еп (4 - 10), (1)

(2)

с периодическими граничными условиями £о = Ец, г+1 = Ех. В уравнениях (1) и (2) индекс у нумерует лазеры. В качестве единицы измерения времени выбрано время жизни фотона в резонаторе тр 2 х Ю-12 сек., 7 =» тр/тс ~ 10~3 - отношение времени жизни фотона к времени релаксации носителей, аг:5 - фактор уширения спектральной линии (а-фактор), и Р, - частота и параметр накачки лазера с номером 3, соответственно. Величина г} характеризует силу, - временное запаздывание, а х)]п - асимметрию глобальной обратной связи. Связь между лазерами предполагается слабой. Как видно из рис. 1, сферическая форма зеркала обратной связи минимизирует разности оптических путей между лазерами.

В параграфе 1.3 проведено подробное аналитическое исследование устойчивости и бифуркаций решетки идентичных связанных лазеров, работающих в режиме стационарной генерации. Показано, что, если параметры лазеров идентичны, и величина силы связи не превышает некоторого порогового значения, выше которого возбуждаются незатухающие колебания лазерных интенсивностей, то динамика синхронизации связанных лазеров может быть описана с помощью модифицированной системы фазовых уравнений Курамото /10,

Рис. 2. Относительное расположение двух бифуркаций Андронова-Хопфа. Пунктирная линия Нх обозначает минимальную силу связи, необходимую для достижения вырожденной бифуркации Андронова-Хопфа г) <= т)]ц. Сплошная линия На представляет минимальную силу связи, соответствующую "синфазной" бифуркации Андронова-Хопфа 7) = 1)НЧ-

■ 71 ''

~си = ~ N1/1+02 £бЬ+ Фs-Ф^^(t~tD)~ агйап(1/а)], (3)

где фу - фазы колебаний лазеров на оптической частоте.

В зависимости от набега оптической фазы поля обратной связи, эта связь способствует установлению либо синфазного, либо антифазного стационарного режима генерации. Из результатов аналитического анализа устойчивости стационарных режимов генерации следует, что с увеличением временной задержки области устойчивости синфазного режима генерации расширяются, в то время как области устойчивости антифазного режима генерации сжимаются и исчезают. В более реалистической ситуации, когда существует распределение частот генерации полупроводниковых лазеров, для достижения синфазной синхронизации необходимо, чтобы сила связи превысила некоторую критическую величину Т1С. Оценка величины г/с получена с помощью фазовых уравнений (3) в пределе N —► оо.

Ситуация, когда сила связи превышает порог бифуркации Андронова-Хопфа, рассмотрена в параграфе 1.4. В этом случае лазерные интенсивности становятся периодическими во времени. Они испытывают либо синфазные, либо антифазные пульсации с частотой, близкой к частоте релаксационных колебаний О отдельного лазера. Бифуркация Андронова-Хопфа, приводящая к антифазной динамике, существует даже при отсутствии временной задержки. Напротив, бифуркация, приводящая к синфазным периодическим режимам генерации, может возникнуть только если время задержки обратной связи сравнимо по величине с периодом релаксационных колебаний, Шо — О (1). Для умеренных задержек, когда ~ Л, синфазный режим стационарной генерации дестабилизируется одной из двух бифуркаций Андронова-Хопфа, описанных выше. Какая из них происходит первой, зависит от разности фаз релаксационных колебаний между выходящим из лазера излучением и полем обратной связи, повторно инжектированным в лазеры. В этом случае было найдено, что, даже если антифаэная бифуркация Андронова-Хопфа происходит первой, синфазный периодический режим генерации может стать устойчивым с увеличением силы связи. Вместе с тем, показано, что Для достаточно больших задержек 1о > (2Р+1) , где

11/ с временным запаздыванием:

1 ГсРФ* ,„„ -d?«/

Р = N'1 '¡ZPj, синфазная бифуркация Андронова-Хопфа всегда предшествует антифазной (см. рис. 2), сохраняя, таким образом, синфазную синхронизацию в периодическом режиме генерации.

Выше порога возникновения периодических режимов генерации фазовые уравнения (3) не справедливы. Для описания динамики связанных лазеров в этой области, в параграфе 1.5 получена и проанализирована обобщенная версия фазовой модели Курамото:

' ^ = "i ~ Е Sb + Ф; - ф„ (« - tp)) , (4)

которая учитывает наличие в системе слабо затухающих или незатухающих релаксационных колебаний и включает вторую и третью производные фаз индивидуальных лазеров Ф3. Такие колебания типичны для твердотельных и полупроводниковых лазеров. Даже будучи затухающими, они приводят к ухудшению свойств синхронизации лазеров. Заметим, что частота релаксационных колебаний обычно на несколько порядков меньше оптической частоты. На основании этого факта произведена редукция уравнений (4) к системе "амплитудных" уравнений для переменных <¡>j и Р}^1- Здесь переменные ф} описывают фазы колебаний лазеров на оптической частоте, a p¡ и соответственно, амплитуду и фазу их релаксационных колебаний. Параметр К в уравнениях (4) представляет собой нормированную силу обратной связи. С помощью амплитудных уравнений дается аналитическое описание различных периодических режимов генерации, возникающих в точках бифуркаций Андронова-Хопфа, и их устойчивости. В частности, изучаются вторичные антифазные бифуркации синфазного периодического режима генерации. Для умеренных задержек, когда te ~ эти бифуркации могут разрушить синфазную синхронизацию периодического режима и, следовательно, привести к уменьшению интенсивности суммарного поля ££ излучаемого лазерами. Однако, в случае большой задержки (2д ~ 7-') первой происходит вторичная бифуркация, приводящая к синфазному режиму генерации с квазипериодическими интенсивностями лазеров. В этом случае из результатов численного моделирования следует, что синфазная синхронизация может сохраняться даже в хаотических режимах генерации, которые возникают с увеличением параметра связи (см. рис. 3). Наконец, в параграфе описан специфический антифазный периодический режим генерации, при котором релаксационные колебания одного из лазеров практически подавлены. Существование такого устойчивого режима было проверено с помощью численного моделирования исходных лазерных уравнений (1) и (2). Если в системе присутствует слабая локальная связь, то лазер, работающий в режиме, близком к стационарному, становится дискретным аналогом волны переключения.

Из результатов проведенного численного и аналитического исследования можно заключить, что эффект временного запаздывания проявляется в усложнении динамики решетки связанных лазеров, приводя к появлению новых ветвей синфазных решений со стационарными, периодическими, квазипериодическими или хаотическими зависимостями ла-

% ъ.

Рис. 3. Бифуркационная диаграмма для системы (1) и (2) с большим параметром запаздывания. Синфазный стационарный режим теряет устойчивость в результате бифуркации Андронова-Хопфа, приводящей к появлению синфазного режима с периодическими интенсивностями лазеров. С увеличение силы связи т] это решение бифурци-рует в синфазный квазипериодический режим, который, в свою очередь, порождает синфазный хаотический режим при дальнейшем увеличении параметра г). Пунктирные линии показывают аналитические решения.

1.0

15 20 2.5 1.0

ч(хю-'>

зерных интенсивностей от времени. Симметрия глобальной связи предполагает, что эти решения лежат в пределах синфазного многообразия, где все элементы решетки ведут себя тождественно. Для больших задержек, бифуркации, ведущие к синфазным периодическим режимам генерации, предшествуют "антифазным" бифуркациям Андронова-Хопфа. Вследствие этого фазовая траектория системы остается на многообразии синфазной синхронизации. Выше порога бифуркации Андронова-Хопфа синфазная синхронизация периодических осцилляция лазерных интенсивностей может быть достигнута с помощью правильного выбора временного запаздывания одновременно на трех различных временных масштабах: и шЬр. Увеличение <£> благоприятствует синфазной синхронизации, увеличивая область устойчивости существующих синфазных решений, и приводит к появлению новых ветвей нестационарных синфазных решений, возникающих в результате бифуркаций, которые не нарушают синфазную синхронизацию. В конце концов, этот процесс приводит к синфазным хаотическим колебаниям интенсивностей лазеров. Из результатов численных расчетов следует, что свойства синхронизации, о которых идет речь в этой главе, сохраняются и в решетке полупроводниковых лазеров со слабой локальной связью, и со слегка асимметричной глобальной связью в уравнении (1): 0 < < 0.1.

В параграфе 1.6 исследуется влияние дисперсии собственных частот бщ = Л''-1 (Еш*)-щ лазеров на свойства синхронизации решетки. Степень синхронизации решетки описывается с помощью комплексного параметра порядка Курамото /10, 11/, который может быть записан в виде:

¿г (4) е'«<> = 1 ¿2 (5)

п

где Ф„ удовлетворяют уравнениям (4). В пределе ¿V —+ со абсолютное значение параметра порядка а обращается в ноль, если лазеры полностью десинхронизированы, и стремится к единице в случае, когда они близки к полной синхронизации. Таким образом, задача состоит в том, чтобы определить зависимость а от силы связи К и безразмерной ширины

распределения частот лазеров Г. При достаточно малых силах связи К лазеры, за счет различия их частот, десинхронизированы (<т = 0). Выше определенного порога по параметру К происходит переход к частично синхронизированному решению, 0 < с < 1, которое может быть описано в рамках фазовой модели (3) с запаздыванием. Показано, что с увеличением силы связи в точке К = ст-1, это решение испытывает бифуркацию, которая приводит к появлению новой ветви частично синхронизированных решений с независящим от времени модулем параметра порядка а.

В случае, когда К < а~х, релаксационные колебания лазеров затухают во времени. В этом случае амплитудные уравнения, полученные в параграфе 1.5, переходят в фазовую модель с запаздыванием, аналогичную (3). Для этой модели с помощью метода Курамото /10/ получена аналитическая связь между параметром порядка и силой обратной связи

сгг = 1 — 2Г/ {К cos Ф), (6)

где ф = (-/V -f oj) to, созФ > 0 и и удовлетворяет трансцендентному уравнению и — —К sin Ф+rtg Ф. Решения этого уравнения представляют собой моды внешнего резонатора для частично когерентной решетки. Они являются обобщением мод внешнего резонатора, найденных для одного полупроводникового лазера с внешней обратной связью (см., например, /8, 12/) на случай решетки связанных полупроводниковых лазеров. В пределе сг —» О с помощью (б) можно воспроизвести результаты линейного анализа устойчивости некогерентного состояния, проведенного в работе /13/, а в пределе малой задержки, jtp <£. 1, это выражение переходит в результат, полученный для решеток твердотельных лазеров при значительных превышениях накачки над порогом генерации /14/.

Наибольший интерес представляет исследование поведения абсолютной величины параметра порядка <т выше порога автоколебательной неустойчивости К — а'1 , где часть осцилляторов подвергается бифуркации Андронова-Хопфа, приводящей к незатухающим пульсациям их интенсивностей. Для этого случая в пределе малых задержек 7to -С 1 получена аналитическая оценка зависимости величины а от силы связи К. Полученное решение характеризуется десинхронизованными фазами релаксационных осцилляций лазеров, что означает постепенную деградацию синхронизации решетки. Максимальное значение Стотм параметра порядка, характеризующего степень синхронизации решетки, достигается при конечном значении силы связи Ктвх — l/ffmw и может быть оценено с помощью

соотношения __

<7m« ^ \jl + [rsec(vio)]2 — Г gee (u/tD), (7)

с ограничением sec (wto) > 0. Аналитические результаты находятся в хорошем согласии с результатами прямого численного моделирования решетки полупроводниковых лазеров с близкими, но неодинаковыми частотами генерации (см. рис. 4). Результаты численного интегрирования лазерных уравнений (1) и (2) свидетельствуют о том, что описанная динамическая деградация синхронизации может быть, - по крайней мере частично, - подавлена

Рис. 4. Абсолютная величина параметра порядка а как функция силы связи между лазерами К. Точки (крестики) показывают усредненные значения а, полученные численным интегрированием фазовых уравнений (4) [исходных лазерных уравнений (1) и (2)]. Сплошная (штрихованная) линия соответствует устойчивым (неустойчивым) решениям, полученным аналитически. Пунктирная линия — а = 1/К. Вставка показывает увеличенную окрестность бифуркационной точки К = а~1. Черные квадратики показывают численные результаты, полученные для случая большого запаздывания.

К

при использовании глобальной связи с достаточно большим запаздыванием td — O(l) (см. рис. 4).

В главе 2 рассматривается пассивная синхронизация мод в полупроводниковом лазере, представляющая собой эффективный метод генерации коротких световых импульсов с высокими частотами повторения, используемых в телекоммуникационных технологиях. Так как длительность импульсов синхронизации мод обычно много меньше периода их повторения, с математической точки зрения они подобны лазерным эвтосолитонам, рассмотренным в главах 3 и 4. После краткого введения, данного в параграфе 2.1, в параграфе 2.2 выводится новая модель для описания пассивной синхронизации мод в полупроводниковых лазерах, представляющая собой систему трех дифференциальных уравнений с временным запаздыванием. Эта система, задающая временную эволюцию комплексной амплитуды электрического поля А, насыщенного усиления G и насыщенного поглощения Q, вносимых усиливающей и поглощающей секциями лазера, записывается в форме;

"f~1dtA + А = (S)

dtG = yo - т9G - (e° - l) \A?, (9)

aQ = 9o-T»Q-s(l-e-t?)|4|3. (10)

Здесь коэффициенты ненасыщенного усиления и поглощения до и ?о описывают то к ин-жекции в усиливающей секции и напряжение, приложенное к поглощающей секции, соответственно. QPlg и 75i, - факторы уширения спектральной линии и скорости релаксации плотности носителей в поглощающей и усиливающей секциях, 7 - параметр, характеризующий ширину линии спектрального фильтра, к < 1 - коэффициент ослабления за проход резонатора, описывающий линейные нерезонансные потери, s - отношение интенсивностей насыщения в усиливающей и поглощающей секциях. Наконец, параметр временного запаздывания Т равен времени обхода холодного резонатора.

9.

Рис. 5. Аналитические границы устойчивости режима синхронизации мод. В горизонтально (вертикально) заштрихованных областях существуют устойчивые по критерию Нью /18/ импульсы синхронизации мод с частотой повторения 40 (80) ГГц. Эти области ограничены линиями, на которых критерий Нью нарушается на переднем или на заднем фронте импульса. В серой области амплитуда импульсов промодулирована колебаниями на частоте пассивной модуляции добротности.

Вблизи порога генерации, с помощью подхода, описанного в работе /15, 16/, уравнение (8) может быть приведено к дифференциальному уравнению в частных производных типа Гинзбурга-Ландау. Эта редукция проясняет связь между моделью (8) - (10) и известным уравнением Хауса /17/. Важным отличием модели (8) - (10) от моделей, основанных на уравнении Хауса, является то, что она не предполагает малости усиления и потерь за обход резонатора, слабого насыщения и бесконечно широкой спектральной полосы фильтра. Эти предположения, - в особенности, приближение малых усиления и потерь, - не справедливы для полупроводниковых лазеров. Единственные предположения, которые были использованы при выводе уравнений (8) - (10), касаются Лоренцевой формы линии спектрального фильтра и однонаправленной генерации в кольцевом лазере. Будучи более общими, чем классические модели, предложенные Нью /18/ и Хаусом /19, 17/, уравнения (8) - (10) включают обе эти модели в качестве предельных случаев. Заметим также, что другая модель, основанная на дифференциальных уравнениях с временными запаздываниями, была ранее предложена Гуревичем и Ханиным для описания динамики твердотельного лазера /1/.

В параграфе 2.3 в пределе бесконечной ширины полосы спектрального фильтра, эквивалентном приближению медленного поглотителя, предложено аналитическое описание режима синхронизации мод, которое остается справедливым и в случае большого усиления и потерь за обход резонатора. В частности, определены границы устойчивости режима синхронизации мод по критерию Нью, согласно которому параметр интегрального усиления за обход резонатора 0 = б (I) — С) (1) + 1пк должен быть отрицательным в течении всего интервала времени между двумя последовательными импульсами, когда амплитуда лазерного поля близка к нулю /18/. Получено условие вк > 1, являющееся необходимым для существования импульсов, устойчивых по критерию Нью, и обобщающее известное условие в > 1 на случай больших потерь за проход резонатора. Согласно полученным результатам, в диапазоне значений параметров, типичном для полупроводниковых лазеров, границы неустойчивости импульсов синхронизации мод могут быть весьма хорошо аппрок-

Рис. 6. Бифуркационная диаграмма, полученная численным интегрированием уравнений (8) - (10). На диаграмме представлены максимумы временной зависимости интенсивности лазерного поля. При малых токах инжекции д0 лазер генерирует импульсы с пиковой мощностью, промодулированной на частоте пассивной модуляции добротности. При больших да происходит переход к фундаментальному режиму синхронизации мод, затем - к гармоническим режимам, к хаотическим пульсациям, и, наконец - к режиму стационарной генерации.

симированы с помощью обобщения метода Нью, предложенного в параграфе 2.3.4 (см. рис. 5).

Отображение, описывающее преобразование параметров импульса синхронизации мод после полного обхода резонатора, построено аналитически в параграфе 2.4. Нетривиальная неподвижная точка периода один этого отображения соответствует фундаментальному режиму синхронизации мод, а неподвижные точки периода два и больших периодов -гармоническим режимам синхронизации мод. Граница неустойчивости по отношению к пассивной модуляции добротности была найдена как бифуркационное множество в пространстве лазерных параметров, на котором два комплексных мультипликатора неподвижной точки периода один пересекают единичную окружность (бифуркация Неймэрка-Сэкера). Согласно нашим результатам, зта граница неустойчивости может быть весьма хорошо оценена в рамках подхода, в котором не учитывается спектральная фильтрация лазерного излучения. Однако, такой подход не годится для определения длительности импульса и его частоты повторения. Поэтому для этих целей использовался более реалистичный подход, основанный на вариационном методе. Было обнаружено, что граница неустойчивости пассивной модуляции добротности определяется главным образом произведением двух параметров: отношения интенсивностей насыщения в и коэффициента линейного ослабления за проход к. При этом, если произведение вк зафиксировано, ее положение почти не зависит от каждого из этих двух параметров по отдельности. Оценки зависимости от лазерных параметров границы неустойчивости пассивной модуляции добротности и области устойчивости режима синхронизации мод находятся в качественном согласии с экспериментальными данными, полученными с монолитным полупроводниковым лазером, работающим в режиме пассивной синхронизации мод.

В параграфе 2.5 проведено численное исследование системы дифференциальных /равнений с запаздыванием (8) - (10). Изучены бифуркации Андронова-Хопфа режима

ое

2500

2520

2540 25S0 t

Рис. 7. Непериодические временные зависимости интенсивности лазерного поля, (а)

- Решение в виде импульсов синхронизации мод, промодулированных на частоте пассивной модуляции добротности; д0 = 0.67. (Ь)

— Режим, который появляется после разрушения гармонического режима синхронизации мод, показанного на рис. 8с; д0 = 4.67.

з 2 1 О

гч_ г < 1

0 2

1 о

(а) : i 1

111111 п

(С) Ü шшиш

Рис. 8. Периодические временные зависимости интенсивности лазерного поля, соответствующие различным режимам синхронизации мод. (а) - Фундаментальный режим синхронизации мод; до = 2.0. (Ь) -Режим с двумя импульсами в резонаторе; до = 3.0. (с) - Режим с тремя импульсами е резонаторе; so =» 3.6.

2900 2502 2504 2506 250В t

стационарной генерации и рождающиеся в точках этих бифуркаций решения с периодическими во времени интенсивностями лазерного поля. Показано, что, помимо бифуркации, ответственной за возникновение периодического решения, соответствующего фундаментальному режиму синхронизации мод, существуют бифуркации, приводящие к возникновению гармонических режимов синхронизации мод с периодом повторения импульсов в два, три и большее число раз меньшим времени обхода резонатора. Подобные режимы с частотой повторения в два раза большей, чем у фундаментального режима, наблюдались экспериментально в монолитном полупроводниковом лазере в работе /20/. Бифуркационная диаграмма, полученная прямым численным интегрированием уравнений (8)-(10), представлена на рис. 6, а временные зависимости лазерной интенсивности для различных регулярных и хаотических режимов генерации - на рисунках 7 и 8.

Согласно полученным результатам, в кольцевом лазере самые короткие импульсы с самыми высокими пиковыми мощностями наблюдаются в случае, когда факторы уши-

(а)

о

1

Л-

Рис. 9. Временные зависимости лазерной интенсивности (сплошная линия) и параметра интегрального усиления за проход резонатора О (пунктирная линия) для (а) -устойчивых и (Ь) - неустойчивых по критерию Нью импульсов синхронизации мод. Для импульсов, показанных на рис. (Ь), параметр интегрального усиления положителен на переднем фронте импульса. <1 и £а соответствуют концу и началу "медленной" стадии эволюции решения уравнений (8)-(10), а С - моменту времени, когда б меняет знак.

О

«2 1

1*2 «1 3

I

рения спектральной линии в усиливающей и поглощающей секциях равны друг Другу, т.е. ад = а,г Уменьшение ад относительно ад приводит к уменьшению пиковой мощности и увеличению ширины импульса. С другой стороны, для > ач наблюдался новый механизм разрушения режима синхронизации мод, связанный с переходом от регулярных пульсаций синхронизации мод к хаотическому режиму генерации через перемежаемость. Из результатов численного анализа следует, что для значений факторов уширения спектральной линии отличных от нуля, этот последний механизм является весьма общим, как и известные механизмы, связанные с возникновением неустойчивости на частоте пассивной модуляции добротности, а также переход к гармоническим режимам синхронизации мод с двумя или большим числом импульсов в резонаторе.

Заметим, что критерий устойчивости режима синхронизации Нью /18/ имеет качественную природу. Он не учитывает того, что небольшие возмущения могут распространяться в промежутке между импульсами и, а конечном счете, в течение интервала времени порядка т-1 быть поглощены передним или задним фронтом импульса. Это означает, что, даже тогда, когда критерий Нью не выполняется, усиление небольших возмущений не всегда разрушает импульс синхронизации мод. Факт существования устойчивых режимов синхронизации мод с импульсами, имеющими положительное интегральное усиление <3 на переднем и на заднем фронте, подтверждается численными расчетами (один из таких режимов представлен на рис. 9). Подобные импульсы являются устойчивыми, но не удовлетворяют критерию устойчивости Нью. Количественный подход к описанию их чувствительности к шуму предложен в параграфе 2.6, где получена аналитическая оценка критической мощности шума, достаточной для разрушения режима синхронизации мод.

Дифференциальные уравнения с запаздыванием, описанные в главе 2, могут быть соответствующим образом модифицированы для описания активной и гибридной синхронизации мод или учета таких дополнительных физических эффектов, наблюдаемых в по-

Рис. 10. Гетероклиническая траектория Ь

системы (13), идущая из седлофокуса I__

в седлофокус 1-4. Эта траектория соответствует стационарному автосолитонному решению уравнения (11).

лупроводниковых лазерах, как, например, быстрая нелинейность, связанная с внутриэон-ными процессами релаксации. Кроме того, при определенных условиях, модель (8) - (10) была обобщена на случай линейного лазера (параграф 2.2). Модификация этой модели для описания пассивной синхронизации мод в полупроводниковом лазере на квантовых точках предложена в работе /21/.

В главе 3 для случая одного поперечного измерения исследованы области существования и устойчивости, а также бифуркации локализованных структур (автосолитонов) света /22, 2/. возникающих в щелевом широкоапертурном лазере с насыщающимся поглощением. В рамках приближения среднего поля рассмотрена модель бистабильного лазера класса А, которая задается квазиоптическим уравнением /2/ :

f = + di)

Здесь Е - амплитуда электромагнитного поля, i и t - безразмерные переменные, описывающие поперечную координату и время, d - коэффициент пространственной фильтрации (диффузии). Функция / представляет собой разность насыщенного коэффициента усиления и коэффициента общих, линейных и нелинейных, потерь:

Д|£|)~-1+ 1 + №p (12)

В уравнение (12) введены коэффициенты ненасыщенного усиления до и поглощения аа, нормированные на коэффициент нерезонансных потерь, и отношение интенсивностей насыщения усиливающей и поглощающей сред s. Параметры Ад и Да описывают безразмерные расстройки между частотами спектральных линий внутрирезонаторных сред и частотой резонатора. Безразмерная интенсивность излучения определяется соотношением I = {Е{2.

Рис. 11. Различные локализованные решения уравнений (11) и (12) с д0 = 2.102, ас = 2, а = 10, й = 0. Ад = Да = 0. Кривые 1, 2, 3 и 4 соответствуют а = 0.14175, а = 0.04218, а = 0.06663 и а = 0.05934 соответственно. Устойчиво только автосоли-тонное решение, помеченное цифрой 4.

Заметим, что в пределе безынерционной нелинейности одна и та же математическая модель (11) с соответствующим образом заданными граничными условиями и функцией /(|£|г) описывает одномерную поперечную динамику бистабильного лазера, динамику волоконного лазера с пассивной синхронизацией мод и распространение света в одномодовом оптическом волокне с насыщающимися усилением и потерями.

В параграфе 3.2 применяется полуаналитическая процедура нахождения стационарных автосолитонных решений уравнения (11). Эти решения могут быть записаны в виде Е (т., г) = А (х) где величина а описывает частотный сдвиг автосолитонного решения. Амплитуды автосолитонных решений А (я) = а (х) е"^1' определяются путем нахождения гетероклинических траекторий системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая в случае с1 = 0 принимает вид:

^ = ак, + ^ = -а + д2 - - 1т/(а2), (13)

где о = |Л|, д = йц>/¿х и к = а~1Ла/йх - вещественные переменные (см. рис. 10). В случае, когда интенсивность лазерного поля может обращаться в нуль, вместо гетероклинических траекторий системы (13) следует искать гомоклинические траектории четырехмерной системы уравнений:

~ = -ау3 - №Ис/Ы - узЬи/Ы. ^ = -2йШ+2у2-2у]1т/(у1),

^ = (14)

где = |Л|2. г/г = \<1А/с1х\2, уз = <1\А\2/йх, У4. = i (А'<1А/<1х - АйА'/йх) и 4у1у2-у23-у1 = 0.

&

Рис. 12. Кривая, соответствующая стационарному решению уравнения (11) в виде одиночного автосолитона. ао ~ 2.0, « 10, й = 0, Да = Д0 ** 0. На врезке изображена увеличенная окрестность точки Р. Автосо-литонное решение устойчиво (неустойчиво) на участках кривой, обозначенных сплошной (пунктирной) линией. 5 и 5' - точки седлоузловой бифуркации, а Я и Я' -точки бифуркации Андронова-Хопфа авто-солитонного решения. Р - бифуркационная точка коразмерности два системы (13).

Показано, что при ¿ = 0 стационарные локализованные структуры могут быть двух типов. Структуры первого типа задаются четными функциями переменной х. Для таких структур интенсивность лазерного поля не обращается в нуль при конечных х. Структуры второго типа задаются нечетными функциями х и имеют единственную точку, в которой их интенсивность обращается в нуль. Классификация "многообходных" и "многооборотных'1 гетероклинических (гомоклинических) траекторий служит основой для классификации стационарных решений в виде одиночных и связанных автосолитонов. В частности, продемонстрировано существование бесконечного набора решений в виде одиночного автосолитона с различной шириной (некоторые из них показаны на рис. 11). Показано, что при заданных значениях параметров лазера из существования одиночного автосолитонного решения, соответствующего "однообходной" гетероклинической траектории системы (13), следует существование бесконечного счетного набора стационарных состояний, образованных двумя связанными автосолитонами и соответствующих "двухобходным" гетероклиническим (го-моклиническим) траекториям. Такие "двухсолитонные" решения могут быть двух типов, описанных выше, причем разные решения одного типа отличаются расстоянием между связанными автосолитонами, которое определяется числом оборотов траектории вблизи неподвижных точек системы (13).

Устойчивость автосолитонных решений, полученных с помощью систем (13) и (14), исследуется в параграфе 3.2.3 с помощью численного решения линеаризованного уравнения и качественного анализа. В частности, в этом параграфе показано, что на ветви автосолитонных решений существует счетное число интервалов устойчивости, каждый из которых ограничен с одной стороны точкой седло-узловой бифуркации, а с другой стороны, -при больших значениях коэффициента ненасыщенного усиления до, - точкой бифуркации Андронова-Хопфа (см. рис. 12). В частности, наиболее широкий интервал устойчивости автосолитона ограничен точкой суперкритической бифуркации Андронова-Хопфа, которая

- в : п=3

г В : П=4

Г Я П=5

I , 1 , , п=б Я

20 23 X 30

Рис. 13. Абсолютное значение безразмерного частотного сдвига |6а| = а„ — а0 как функция безразмерного расстояния X между максимумами интенсивности для синфазного связанного состояния двух звтосо-литонов. Здесь а„ и а0 - частота связанного состояния и частота уединенного автосо-литона, соответственно, an- номер связанного состояния. Черные (белые) квадратики показывают связанные состояния, полученные численно (аналитически с помощью редуцированных уравнений).

приводит к мягкому возбуждению осциллирующего автосолитона.

Исследование влияния на динамику лазерных автосолитонов конечных скоростей релаксации населенностей в усиливающей и поглощающей средах проведено в параграфе 3.3, где получен аналитический критерий устойчивости неподвижного солитона и описана бифуркация вилки, приводящая, при изменении скоростей релаксации внутрирезонаторь ных сред, к появлению автосолитонных структур, равномерно движущихся в поперечном направлении. Показано, что граница бифуркации вилки неподвижного автосолитона представляет собой прямую линию на плоскости параметров тя и га, задающих времена релаксации усиливающей и поглощающей среды, соответственно. Хотя в зтом параграфе для простоты рассмотрен только случай одномерных автосолитонов, аналогичная бифуркация имеет место и для двухмерных автосолитонов, рассмотренных в главе 4.

Исследование взаимодействия пары слабо перекрывающихся одномерных лазерных автосолитонов проведено в параграфе 3.4 главы 3. С помощью асимптотического подхода, предложенного в работе /23/, получены редуцированные уравнения, описывающие медленную временную эволюцию координат и фаз взаимодействующих автосолитонов. Проведен анализ устойчивости связанных состояний автосолитонов в той области пространства параметров, где изолированное автосолитонное решение устойчиво. Рассмотрены два различных случая, первый из которых соответствует взаимодействию автосолитонов в поперечном сечении широкоапертурного лазера с насыщающимся поглотителем, когда Галиле-евская симметрия модельных уравнений лишь слегка нарушена. Второй случай относится к взаимодействию импульсов синхронизации мод в волоконных лазерах, рассмотренному в работах /24, 25/, и характеризуется отсутствием Галилеевской симметрии в модельных уравнениях. Получены аналитические условия устойчивости различных связанных автосолитонных состояний. Анализ редуцированных уравнений показал, что, в зависимости от значений параметров модельных уравнений, существует две ситуации, характеризующиеся качественно различной динамикой взаимодействующих автосолитонов. В одной из этих

поперечная координата

Рис. 14. Профиль безразмерной интенсивности поперечных Брэгговских автосолито-ное в нелинейном резонаторе с Керровской средой и фотонно-кристаллическим слоем, коэффициент преломления которого промо-дулирован в поперечном направлении, (а) -Неустойчивая неподвижная автосолитонная структура. (Ь) - Устойчивый неподвижный автосолитон.

ситуаций результаты анализа редуцированных уравнений хорошо согласуется с полученными ранее численными результатами исследования взаимодействия одномерных автосо-литонных решений обобщенного комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау /24, 25, 26/. В другой ситуации, включающей в себя случай поперечных лазерных автосолитонов, могут быть сформированы устойчивые синфазные и антифазные связанные состояния двух автосолитонов, которые ранее в этом уравнении не наблюдались. Движущиеся связанные состояния с разностью фаз ±тг/2 между автосолитонами неустойчивы в этом последнем случае. Заметим, что из проведенного анализа следует, что в поперечном сечении лазера с насыщающимся поглотителем синфазные и антифазные двухсолитонные связанные состояния устойчивы в том случае, когда значение коэффициента пространственной фильтрации (I, являющегося параметром, разрушающим Галилеевскую симметрию, превосходит некоторую малую пороговую величину. Полученные в параграфе 3.4 аналитические результаты хорошо согласуются с численным расчетом связанных автосолитонных состояний, полученных с использованием методов, описанных в параграфе 3.2 (см. рис. 13).

Наконец, в параграфе 3.5 исследуются Брэгговские световые автосолитоны, которые могут возникать в широкоапертурных нелинейных резонаторах с внешней накачкой в присутствии поперечной модуляции коэффициента преломления. Накачка представляет собой две когерентные плоские волны, находящиеся в условии Брэгговского резонанса по отношению к поперечному профилю коэффициента преломления фотонно-кристаллического материала, помещенного в резонатор. Для изучения этих автосолитонов используются главным образом два метода. Первый из них основан на построении амплитудных уравнений для двух волн, распространяющихся навстречу друг другу в поперечном сечении резонатора и связанных за счет Брэгговского отражения на осцилляциях поперечного профиля коэффициента преломления, а второй - на прямом численном моделировании исходных квазиоптических уравнений, записанных в приближении среднего поля. В отличие от обычных резонаторных автосолитонов, характерной особенностью рассматриваемых Брэгговских поперечных автосолитонов являются быстрые пространственные осцилляции интенсивности

0.005

Рис. 15. Собственное число А, характеризующее устойчивость квазиодномерной полосы, локализованной вдоль оси х, по отношению к возмущениям с волновым вектором к, действующим вдоль оси у. Автосолитон в виде полосы устойчив при Е± = 20, слабо неустойчив при Е^ = 20.2 и неустойчив при £1 = 20.5.

0.0 0.1 0.2 0] 0.4 0.5 0.6

к

с периодом, равным периоду модуляции козффициента преломления (см. рис. 14). В параграфе исследованы условия возникновения поперечной модуляционной неустойчивости в нелинейном резонаторе с периодической зависимостью коэффициента преломления от пространственной координаты и существования связанных этой неустойчивостью Брэггов-ских резонаторных автосолитонов. Показано, что для того, чтобы эти автосолитоны были неподвижными, необходимо, чтобы поле накачки было симметричным относительно оси резонатора, и сдвиг фазы между профилем коэффициента преломления и профилем интенсивности поля накачки был равен 0 или тт. Рассмотрено влияние малых расстроек, нарушающих симметрию накачки, на свойства Брэгговских автосолитонов и показано, что существует некоторая область захвата, в которой эти автосолитоны остаются неподвижными. За пределами области захвата Брэгговские резонаторные автосолитоны приобретают отличную от нуля поперечную скорость.

В главе 4 исследуются свойства двумерных оптических автосолитонов в пассивных и активных оптических системах. В параграфе 4.2 рассмотрена модель оптического резонатора с внешней инжекцией и с внутрирезонаторной двухуровневой поглощающей средой, время релаксации которой считается намного меньшим времени жизни фотона в резонаторе /2/:

Здесь Е - безразмерная, медленно меняющаяся комплексная амплитуда электрического поля, усредненная в продольном направлении, ахи у — поперечные координаты. Амплитуда внешней инжекции Е; однородна в пространстве и не зависит от времени, в и Д -безразмерные отстройки частоты накачки и частоты атомного перехода от резонаторной частоты, 2С - коэффициент ненасыщенного поглощения.

Проведен полуаналитический анализ неустойчивостей простейших двумерных ав-тосолитонных решений уравнения (15) по отношению к возмущениям, разрушающим их пространственную симметрию. Рассмотрены два типа локализованных структур: круговые

дЕ

-ж5=1

2С(1-*А) '

(15)

1 + Л2+|Я12

аксиально симметричные автосолитоны и квазиодномерные автосолитоны в виде полосы, бесконечной вдоль одного из двух пространственных направлений. Найдены критические значения напряженности входного поля, выше которых эти два типа автосолитонных решений становятся неустойчивыми относительно возмущений, разрушающих их пространственную симметрию. В частности, круговой автосолитон испытывает неустойчивость по отношению к возмущениям с угловым индексом 2. В результате происходит эллиптическое искажение его формы и расщепление на два светлых пятна, разделенных областью более низкой интенсивности. Квазиодномерная локализованная полоса разрушается в результате пространственной модуляционной неустойчивости (см. рис. 15), граница возникновения которой определяется условием:

1т П $ (х) ф (х) (1х = О,

./—со

где ф (х) и фТ (я) - трансляционная нейтральная мода линейного оператора, описывающего устойчивость одномерного автосолитонного решения, и нейтральная мода сопряженного оператора, соответственно. С возникновением неустойчивости оба типа двумерных автосо-литонов теряют устойчивость с постепенным переходом к одному и тому же стационарному решению в виде гексагонов, заполняющих всю поперечную плоскость резонатора. Результаты исследования устойчивости круговых и квазиодномерных автосолитонов, полученные с помощью полуаналитического подхода, находятся в хорошем согласии с результатами прямого численного интегрирования уравнения (15).

Автосолитоны в резонаторах с когерентной накачкой могут быть возбуждены с помощью узкого пучка света, добавленного к однородному в поперечном направлении пучку накачки /27/. Последний, в идеальном случае, очень широк по сравнению с резонаторным автосолитоном. Поэтому независимые автосолитоны могут быть возбуждены в произвольных точках поперечного сечения резонатора. В том случае, когда они возбуждаются достаточно близко друг к другу, они могут взаимодействовать за счет перекрытия их хвостов, амплитуда которых обычно экспоненциально убывает и осциллирует при удалении от центра автосолитона. В результате этого взаимодействия резонаторные автосолитоны могут формировать кластеры различных геометрических конфигураций. Кластеры различной формы могут также появиться в результате модуляционной неустойчивости, в случае, когда пучок накачки имеет ограниченную ширину, так что может быть возбуждено только ограниченное число резонаторных автосолитонов. Наибольший интерес, естественно, представляют те двумерные кластеры, которые не имеют аналогов в одном измерении, например, треугольники, четырехугольники и т.д. Подобные типы структур наблюдались в оптических резонаторах и экспериментально /27/, и численно /28, 29, 2, 30/.

Для описания взаимодействия двумерных аксиально симметричных резонаторных автосолитонов в параграфе 4.2.5 применен аналитический подход, аналогичный подходу, использовавшемуся в главе 3 для случая одного поперечного измерения. Выведены асимп-

Рис. 16. Потенциал описывающий взаимодействие двух резонаторных автосоли-тонов, как функция расстояния Я между ними. Его минимумы соответствуют устойчивым стационарным двухсолитонным кластерам. Точки (крестики) на оси Д указывают межсолитонные расстояния для устойчивых (неустойчивых) кластеров, полученных с помощью численного решения уравнения (15).

тотические уравнения, описывающие временную эволюцию 2Ы пространственных координат N взаимодействующих резонаторных автосолитонов. Эти уравнения могут быть записаны в градиентной фоме

(16)

где П„ - радиус-вектор, задающий положение центра симметрии автосолитона с номером п, а Сдг - функция потенциала N взаимодействующих автосолитонов. Было получено замкнутое аналитическое выражение для потенциала взаимодействия Су через модифицированные функции Бесселя Ко-

N

<7Л = 4тг1ш

-ЕЯЬМ^-Я«!)

(17)

где с ид- комплексные константы, которые находились численно. Выражение (17) имеет универсальный характер и область применимости, выходящую далеко за пределы рассматриваемой модели. Условия существования и устойчивости различных двумерных автосо-литонных кластеров, соответствующих критическим точкам потенциала (см. рис. 16), были проанализированы с помощью уравнений (16) и (17). Было продемонстрировано качественное различие между свойствами устойчивости треугольных и квадратных автосоли-тонных кластеров, которое подчеркивает роль диагональных взаимодействий в последнем. Кроме того было проведено сравнение аналитических результатов с результатами прямого численного моделирования исходных уравнений, а так же с результатами численного линейного анализа устойчивости кластеров. Заметим, что автосолитоны в рассматриваемой модели пассивного резонатора имеют минимальное число возможных степеней свободы, которые определяются только координатами их положения в поперечной плоскости.

Взаимодействие двумерных диссипативных солитонов, имеющих фазовую и другие степени свободы, представляет собой еще более интересную проблему. Такое взаимодействие рассмотрено в параграфе 4.3 на примере автосолитонов в двумерном поперечном сечении бистабильного лазера, когда, помимо трансляционной симметрии, модельные уравнения инвариантны по отношению к сдвигу фазы. Вследствие этой симметрии в редуцированных уравнениях появляется N дополнительных переменных, соответствующих фазам индивидуальных автосолитонов. Присутствие этих новых степеней свободы существенно

Рис. 17. Амплитуда устойчивого кластера уравнения (20) в виде равностороннего треугольника, образованного тремя синфазными автосолитонами.

влияет на характер взаимодействия. В частности, оно приводит к появлению двигающихся и вращающихся двумерных автосолитонных кластеров. Так как рассматривается типичный для широкоапертурных бистабильных лазеров случай, когда Галилеевская симметрия модельных уравнений лишь слегка нарушена, уравнения, управляющие временной эволюцией пространственных координат автосолитонов, представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка, подобные тем, которые описывают взаимодействие материальных точек в механике Ньютона. Следует однако заметить, что из-за присутствия вышеупомянутых фазовых переменных третий закон Ньютона для взаимодействующих автосолитонов не выполняется.

В параграфе 4.3 3 с помощью метода многих масштабов в замкнутой аналитической форме выводятся редуцированные уравнения, описывающие временную эволюцию координат П„ и фаз 'рп N взаимодействующих автосолитонов в поперечном сечении би-стабильного лазера:

Здесь О - эффективный коэффициент трения, <5 - описывает сдвиг частоты автосолито-на за счет его движения. Вещественные коэффициенты 9х, вг, 7 и ш зависят

от параметров исходной лазерной модели. Величина Унпредставляет собой силу, действующую на автосолитон п со стороны автосолитона q. Из нашего анализа следует, что, когда автосолитоны достаточно хорошо разнесены а пространстве, их взаимодействие определяется только симметриями модельных уравнений и асимптотическим поведением самого автосолитонного решения и нейтральных мод сопряженного линейного оператора, описывающего устойчивость этого решения.

С помощью редуцированных уравнений (18) и (19) описаны двумерные кластеры, состоящие из двух и трех лазерных автосолитонов (см. рис. 17). Изучены свойства устойчивости различных связанных состояний двух автосолитонов и трехсолитонных кластеров. Предсказано существование новых типов устойчивых, равномерно двигающихся и рае-

(18)

№ = [(7 - М !Кп " Нч1]} •

(19)

Рис. 18. Зависимость угловой скорости вращающегося трехсолитонного кластера от коэффициента диффузии й, полученная с помощью редуцированных уравнений (18) и (19). Тонкая линия получена без учета центробежной силы. Точки соответствуют значениям угловой скорости, полученным с помощью прямого численного решения обобщенного уравнения Гинзбурга-Ландау (20).

» 0.02 0.(Н 0.06 0.08 ' <1

номерно вращающихся треугольных кластеров. Полученные аналитически характеристики и свойства устойчивости этих кластеров, такие как угловая скорость вращающегося кластера, хорошо согласуются с результатами прямого численного моделирования взаимодействия двумерных автосолитонных решений обобщенного комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау

^ = («+ а) + 0) + Е [-со + (с, + ¿С) |Я|а - (Сз + <*) |Я|4], (20) которое представляет собой частный случай уравнения (11) (см. рис. 18).

Основные результаты работы

1. Предложена обобщенная фазовая модель Курамото для описания синхронизации лазеров, связанных запаздывающей глобальной оптической связью.

2. Проанализировано влияние временной задержки обратной связи и релаксационных колебаний лазеров на качество синхронизации. Показано, что достаточно большая временная задержка благоприятствует синфазной синхронизации.

3. Проведено исследование влияния дисперсии частот генерации лазеров на качество синхронизации в решетке. Обнаружен второй порог по силе связи между лазерами, выше которого происходит постепенная деградация синхронизации в решетке и показано, что максимальная степень синхронизации достигается при конечной величине силы связи.

4. Предложена и проанализирована новая модель для описания синхронизации мод в полупроводниковых лазерах, представляющая собой систему дифференциальных уравнений с запаздыванием.

5. Построены отображения для описания преобразования параметров импульса синхронизации мод в полупроводниковом лазере за обход резонатора. Проведено сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными, полученными для монолитного полупроводникового лазера.

6. Проведено численное исследование режима синхронизации мод в монолитном полупроводниковом лазере, а также его устойчивости и бифуркаций.

7. Разработана процедура полуаналитического нахождения и классификации одномерных лазерных автосолитонов. Исследованы свойства устойчивости таких автосолито-нов и их бифуркации.

8. Аналитически описана граница бифуркации неподвижного лазерного автосолитона в автосолитон, движущийся в поперечном направлении.

9. Теоретически предсказано существование неподвижных Брэгговских автосолитонов в широкоапертурных нелинейных резонаторах в присутствии поперечной модуляции коэффициента преломления. Изучены условия существования таких автосолитонов и их устойчивость.

10. Исследована устойчивость простейших двумерных лазерных и резонаторных автосолитонов по отношению к возмущениям, разрушающим их пространственную симметрию. Проанализированы бифуркации таких автосолитонов.

11. Построена асимптотическая теория слабого взаимодействия идентичных одномерных и двумерных оптических автосолитонов.

12. Изучены свойства простейших связанных состояний и двумерных кластеров оптических автосолитонов, включая кластеры, вращающиеся и движущиеся в поперечном направлении.

Основное содержание диссертационной работы изложено в нижеперечисленных статьях:

1. Владимиров А. Г., Фрадкин Э. Е. Режим динамического хаоса в генерации лазера с поглощающей ячейкой // Оптика и спектроскопия. —1989. — Т. 67, Ns 1. — с. 219— 221.

2. Владимиров А. Г., Пелюхова Е. Б., Фрадкин Э. Е. Периодическая одномодовая генерация в лазере с поглощающей ячейкой // Оптика и спектроскопия. —1989. — Т. 67. № 4. - с. 944-948.

3. Vladimirov A. G., Pelyukhova Е.В., Fradkin Е.Е. Periodic and Chaotic Operations of a Laser with a Saturable Absorber // OSA Proceedings on Nonlinear Dynamics in Optical Systems. —1991. — Optical Society of America — Vol. 7, — Pp. 527-530.

4. Vladimirov A. G., Volkov D. Yu. Low-intensity chaotic operations of a laser with a saturable absorber // Optics Communications. —1993. — Vol. 100, no. 1-4. — Pp. 351-360.

5. Vladimirov A. G. Theoretical Analysis of Multimode Instability in a Laser with a Saturable Absorber // Nonlinear Dynamics in Lasers and Optical Systems, Proceedings of SPIE. -1994. — Vol. 2099 — Pp. 130-140.

6. Владимиров А. Г., Торонов В. Ю., Дербое В. Л. О комплексной модели Лоренца // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. —1995. — Т. 3, № б. — с. 7882.

7. Skryabin D. V., Vladimirov A. G., Radin А. М. Spontaneous phase symmetry breaking due to cavity detuning in a dass-A bidirectional ring laser // Optics Communications. — 1995.

- Vol. 116, no. 1-3. - Pp. 109-115.

8. Скрябин Д. В., Владимиров А. Г., Радин А. М. Автоколебательные режимы в кольцевом газовом лазере // Оптика и спектроскопия. — 1995. — Т. 78, N' 6. — с. 989-998.

9. Vladimirov A. G., Skryabin D. V. Dynamics of transverse modes in a class-В laser // Nonlinear Dynamics in Lasers, Proceedings of SPIE. —1996. — Vol. 2794 — Pp. 242252.

10. Владимиров А. Г., Розанов H. H., Федоров С. В., Ходова Г. В. Бифуркационный анализ лазерных автосолитонов // Квантовая электроника. — 1997. — Т. 24, № 11.

- с. 978-982.

11. Владимиров А. Г., Скрябин Д. В. Динамические неустойчивости при взаимодействии поперечных мод в лазере класса В // Квантовая Электропика. — 1997. — Т. 24, N> 10. — с. 913-917.

12. Скрябин Д. В., Владимиров А. Г., Радин А. М. Фазовая и амплитудная динамика мод ТЕМ10 и ТЕМ01 в лазере класса В // Квантовая электроника. — 1997. — Т. 24, N» 10. - с. 918-922.

13. Vladimirov A. G., Toronov V. Yu„ Derbov V. L. Complex Lorenz equations // Current Russian Research in Optics and Photonics on Nonlinear Dynamics of Laser and Optical Systems, Proceedings of SPIE. —1997. — Vol. 3177 — Pp. 97-106.

14. Владимиров А. Г. Возникновение генерации в многомодовом лазере с насыщающимся поглотителем // Оптика и спектроскопия. — 1997. — Т. 82, N> 4. — с. 688-695.

15. Владимиров А. Г., Розанов Н. Н., Федоров С. В., Ходова Г. В. Анализ устойчивости лазерных солитонов // Квантовая электроника. — 1998. — Т. 25, №. 1. — с. 58-60.

16. Федоров С. В., Розанов Н. Н., Владимиров А. Г. Автосолитоны в бистабильных лазерах класса В // Оптика и спектроскопия. — 1998. — Т. 85, № 6. — с. 986-988.

17. Vladimirov A. G., Toronov V., Derbov V. The complex Lorenz model: geometric structure, homodinic bifurcation and one-dimensional map // International Journal of Bifurcations and Chaos. — 1998. — Vol. 8, no. 4. — Pp. 723-729.

18. Владимиров А. Г., Торонов В. Ю., Дербов В. Л. Свойства фазового пространства и бифуркации в комплексной модели Лоренца // Термическая физика. — 1998. — Т. 43, N» 8. — с. 877-729.

19. Vladimirov A. G. Bifurcation analysis of a bidirectional class В laser // Optics Communications. — 1998. — Vol. 149, no. 1-3. — Pp. 67-72.

20. Vladimirov A. G., Mandel P., Yelin S., Lukin M. Nonlinear dynamics in a single mode three-level laser without inversion // Phys. Rev. E. — 1998. — Vol. 57, no. 2. — Pp. 1499-1510.

21. Vladimirov A. G., Mandel P. Intracavity second harmonic generation: the steady-state solutions // Phys. Rev. A.— 1998. — Vol. 53, no. 4. — Pp. 3320-3327.

22. Vladimirov A. G., Viktorov E.A., Mandel P. Multidimensional quasiperiodic antiphase dynamics // Phys. Rev. E- 1999. — Vol. 60, no. 2. — Pp. 161&-1629.

23. Vladimirov A. G., Fedorov S. V., Kaliteevskii N. A., Khodova G. V., Rosanov N. N. Numerical investigation of laser localized structures // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. — 1999. — Т. 1. — Pp. 101-106.

24. Владимиров А. Г.. Розанов H. H. Об устойчивости и осцилляциях солитонов, описываемых возмущенным нелинейным уравнением Шредингера Ц Оптика и спектроскопия. — 2000 - Т. 89, N» 5. - с. 731-739.

25. Розанов К. Н., Высотииа Н. В., Владимиров А. Г. Непараксиальный пространственный оптический солитон в среде с Керровской нелинейностью // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2000. — Т. 91, Ns б. — с. 1130-1140.

26. Веретенов Н. А., Владимиров А. Г., Кэлитеевский Н. А., Розанов Н. Н., Федоров С. В., Шацев А. Н. Об условиях существования лазерных пуль // Оптика и спектроскопия. — 2000. — Т. 89, № 3. — с. 416-419.

27. Kozyreff G., Vladimirov A.G-, Mandel P. Global coupling with time delay in an array of semiconductor lasers // Phys. Rev. Lett. — 2000. — Vol. 85, no. 18. - Pp. 3809-3812 .

28. Viktorov E. A., Vladimirov A. G., Mandel P. Symmetry breaking and dynamical independence in a multimode laser // Phys. Rev. E. — 2000. — Vol. 61, no. 5. — Pp. 6312-6317.

29. Malomed В., Vladimirov A. G„ Khodova G. V., Rosanov N. N. Stable autosolitons in dispersive media with saturable gain and absorption// Physics Letters A. — 2000. — Vol. 274. - Pp. 111-116.

30. Fedorov S. V., Vladimirov A. G., Khodova G. V., Rosanov N. N. Effect of frequency detunings and finite relaxation rates on laser localized structures // Phys. Rev. E.— 2000. — Vol. 61, no. 5. — Pp. 5814-5824.

31. Vladimirov A. G., Khodova G. V., Rosanov N. N. Stable bound states of one-dimensional autosolitons in a bistable laser // Phys. Rev. E. — 2001. — Vol. 63. — P. 056607-1-6.

32. Kozyreff G., Vladimirov A.G., Mandel P. Dynamics of semiconductor laser array with delayed global coupling // Phys. Rev. E. — 2001. — Vol. 63, no. 1. — Pp. 016613-1-12 .

33. Fedorov S. V„ Rosanov N. N., Shatsev A. N., Veretenov N.A., Vladimirov A. G. Oscillating and rotating states for laser solitons // Nonlinear Optical Phenomena and Nonlinear Dynamics of Optical Systems, Proceedings of SPIE. —2002. — Vol. 4751 — Pp. 471477.

34. Vladimirov A. G., McSloy J., Skryabin D. V., Firth W. J. Two-dimensional clusters of solitary structures in driven optical cavities // Phys. Rev. E. — 2002. — Vol. 65. — P. 046606-1-11.

35. Skryabin D. V., Vladimirov A. G. Vortex induced rotation of clusters of localized states in the complex Ginzburg-Landau equation // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 89, no. 4. — P. 044101-1-4.

36. Tlidi M., Vladimirov A. G., Mandel P. Curvature instability in passive difFractive resonators // Phys. Rev. Lett. — 2002. — Vol. 89, no. 23. — P. 233901-1-4.

37. Rosanov N. N., Vladimirov A. G„ Skryabin D. V., Firth W. J. Internal oscillations of solitons in two-dimensional NLS equation with nonlocal nonlinearity // Physics Letters A. — 2002.

— Vol. 293, no. 1-2. — Pp. 45-49.

38. Vladimirov A. G., Kozyreff G., Mandel P. Synchronization of weakly stable oscillators and semiconductor laser arrays // Europhysics Letters. — 2003. — Vol. 61, no. 5. — Pp. 613 -619.

39. Tlidi M., Vladimirov A. G., Mandel P, Interaction and stability of periodic and localized structures in optical bistable systems // IEEE Journal of Quantum Electronics. — 2003.

- Vol. QE-39, no. 2. - Pp. 197-205.

40. Fedorov S. V., Rosanov N. N.. Shatsev A. N„ Veretenov N.A., Vladimirov A. G. Topological^ multicharged and multihumped rotating solitons in wide-aperture lasers with a saturable absorber // IEEE Journal of Quantum Electronics. — 2003. — Vol. QE-39, no. 2. — Pp. 216-226.

41. Владимиров А. Г., Тураев Д. Новая модель для описания синхронизации мод в полупроводниковом лазере // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. — 2004. - Т. 47, № 10-11. — с. 857-865.

42. Vladimirov A. G., Turaev D., Kozyreff G, Delay differential equations for mode-locked semiconductor lasers // Optics Letters — 2004. — Vol. 29. — Pp. 1221-1223.

43- Vladimirov A. G., Turaev D. Model for passive mode-locking in semiconductor lasers // Phys. Rev. A. — 2005. - Vol. 72. — P. 033808-1-13.

44. Vladimirov A. G., Skryabin D. V., Kozyreff G., Mandel P., Tlidi M. Bragg localized structures in a passive cavity with transverse modulation of the refractive index and the pump // Optics Express. — 2006. — Vol. 15, no. 1. — Pp. 1-6.

45. Viktorov E, A., Mandel P., Vladimirov A. G., Bandelow U. A model for mode-locking in quantum dot lasers // Appl. Phys. Lett. — 2006. — Vol. 88. — P. 201102-1-3.

46. Rachinskii D., Vladimirov A. G., Bandelow U., Huettl В., Kaiser R. Q-switching instability in a mode-locked semiconductor laser // J. Opt. Soc. Am. B. — 2006. — Vol. 23, no. 4.

- Pp. 663-670.

47. Bandelow U., Radziunas M., Vladimirov A. G., Huettl В., Kaiser R. 40 GHz modelocked semiconductor lasers: Theory, simulations and experiment // Optical and Quantum Electronics.

— 2006. - Vol. 38, no. 4. — Pp. 495-512.

48. Nizette M., Rachinskii D., Vladimirov A. G., Wolfrum M. Pulse interaction via gain and loss dynamics in passive mode-locking // Physica D. — 2006. — Vol. 218, no. 1. — Pp. 95-104.

Цитированная литература

1. Ханнн, Я. И. Основы динамики лазеров / Я. И. Ханин.— М.: Физматлит, 1999.

2. Розанов, Н. Н. Оптическая бистабильность и гистерезис в распределенных нелинейных системах / Н. Н. Розанов, — М.: Наука, 1997.

3. Rosanov, N. N. Spatial Hysteresis and optical patterns / N. N. Rosanov.— Berlin: Springer, 2002. — Vol. XII of Springer series in synergetics. — 308 p.

4. Розанов, H. H. Большая Российская Энциклопедия / H. Н. Розанов.— М.: Научное издательство Большая Российская Энциклопедия, 2005. — Р. 171.

5. Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах: От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации / Г. Николис, И. Пригожин. — М.: Мир, 1979,— 512 с.

6. Хакен, Г. Синергетика. / Г. Хакен.— М.: Мир, 1980.

7. Глова. А. Ф. Синхронизация излучения лазеров с оптической связью / А. Ф. Глова // Квант, электроника. — 2003. — Т. 33, № 4. — С. 283-306.

8. Розанов, Н. Н. О спектре лазера с дополнительным зеркалом / Н. Н. Розанов // Оптика и спектроскопия. — 1974,— Т. 36, N< 1. — С. 179-182.

9. Lang, R. External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties / R. Lang, K. Kobayashi // IEEE J. Quantum Electron. -1980. - Vol. QE-16. - Pp. 347-355.

10. Kuramoto, Y. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence / Y. Kuramoto. — Berlin: Springer-Verlag, 1984.

11. Strogatz, S. H. From Kuramoto to Crawford: Exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators / S. H. Strogat2 // Physica D.— 2000.— Vol. 143, no. 1-4. - Pp. 1-20.

12. Tartwijk, G. H. M. V. Semiconductor lasers with optical injection and feedback / G. H. M. V. Tartwijk, D. Lenstra // Quantum Semidass. Opt. — 1995. — Vol. 7. — Pp. 87-143.

13. Yeung, M. K. S. Time delay in the Kuramoto model of coupled oscillators / M. K. S, Yeung, S. H. Strogatz // Pbys. Rev. Lett.- 1999.- Vol. 82, no. 3, — Pp. 648-651.

14. The theory of phase locking of globally coupled lasers / S. Y. Kourtchatov, V. V. Likhanskii, A. P. Napartovich et al. // Phys. Rev. A- — 1995. — Vol. 52, no. 5, — Pp. 4089-4094.

15. Giacomelli, C. Relationship between delayed and spatially extended dynamical systems / G. Giacomelli, A. Politi // Phys. Rev. Lett.- 1996. —Vol. 76.- Pp. 2686-2689.

16. Кащенко, С. А. Уравнение Гинзбурга-Ландау как нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием / С. А. Кащенко // Журнал вычислительной математики и математической физики, — 1998, — Т. 38, № 3. — С. 443-451.

17. На us, Н. Modelocking of lasers j H. Ha us // IEEE J. Set. Top. Quantum Electron. — 2000. — Vol. 6. - Pp. 1173-1185.

18. New, С. H. С. Pulse evolution ¡n modi-locked quasi-continuous lasers / G. H. C. New // IEEE J. Quantum Electron.— 1974. - Vol. 10.- Pp. 115-124.

19. Haus, H. Theory of mode locking with a slow saturable absorber / H. Haus // IEEE J. Quantum Electron. — 1975.— Vol. 11.— Pp. 736-746.

20. 40 GHz modelocked semiconductor lasers: Theory, simulations and experiment / U. Bandelow, M. Radziunas, A. G. Vladimirov et al. // Optical and Quantum Electronics.— 2006.— Vol. 33, no. 4. — Pp. 495-512.

21. A model for mode-locking in quantum dot lasers / E. A. Viktorov, P. Mandel, A. G.VIadimirov, U. Bandelow // Appl. Phys. Lett. — 2006. — Vol. 88. — P. 201102 (3 pages).

22. Розанов, H. H. Дифракционные волны переключения и автосолитоны в лазере с насыщающимся поглощением / Н. Н. Розанов, С. В. Федоров // Оптика и спектроскопия. — 1992. — Т. 72, № 6. — С. 1394-1399.

23. Gorshkov, К. A. Interactions of solitons in nonintegrable systems: Direct perturbation method and applications / K. A. Gorshkov, L. A. Ostrovsky // Physica.— 1981.— Vol. 3D,— Pp. 428-438.

24. Akhmediev, N. N. Multisoliton solutions of the complex Ginzburg-Landau equation / N. N. Akhmediev, A. Ankiewicz, J. M. Soto-Crespo // Phys. Rev. Lett. — 1997. —Vol. 79, no. 21. — Pp. 4047-4050.

25. Akhmediev, N. N. Stable soliton pairs in optical transmission lines and fiber lasers / N. N. Akhmediev, A. Ankiewicz, J. M. Soto-Crespo // Journal of the Optical Society of America B. — 1998. — Vol. 15, no. 2. - Pp. 515-523.

26. Ахмедиев, H. H. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки / Н. Н. Ахмедиев, А. Анке-вич.— М.: Физматлит, 2003.

27. Patterns and localized structures in bistable semiconductor resonators / V. B. Taranenko, I. Ganne, R. J. Kuszelewicz, С. O. Weiss // Phys. Rev. A. — 2000.— Vol. 61, no. 6.— P. 063818 [5 pages],

28. Rosanov, N. N. Diffractive autosolitons in nonlinear interferometers / N. N. Rosanov, G. V. Khodova // Journal of the Optical Society of America B. — 1990. — Vol. 7. — Pp. 10571065.

29. Rosanov, N. N. Transverse Patterns in Wide-Aperture Non-Linear Optical Systems / N. N. Rosanov // Progress in Optics / Ed. by E. Wolf. — Amsterdam: North-Holland, 1996. — Vol. XXXV. - Pp. 1-60.

30. Tlidi, M. Localized structures and localized patterns in optical bistability / M. Tlidi, P. Mandel, R. Lefever // Phys. Rev. Lett. — 1994. — Vol. 73, no. 5. — Pp. 640-643.

Отпечатано копировально-множительным участком отдела обслуживания учебного процесса физического факультета СПбГУ. Приказ № 571/1 от 14.05.03. Подписано в печать 17.10.06 с оригинал-макета заказчика. Ф-т 30x42/4, Усл. печ. л. 2 Тираж 100 экз., Заказ № 438/с 198504, СПб, Ст. Петергоф, ул. Ульяновская, д. 3, тел. 428-43-00.

Введение

1 Динамика связанных полупроводниковых лазеров

1.1 Введение.

1.2 Математическая модель решетки лазеров.

1.3 Синхронизация в стационарном режиме генерации.

1.3.1 Синфазная синхронизация

1.3.2 Антифазная синхронизация.

1.4 Бифуркации Андронова-Хопфа.

1.4.1 Антифазная бифуркация Андронова-Хопфа

1.4.2 Синфазная бифуркация Андронова-Хопфа.

1.5 Решения с периодической по времени интенсивностью

1.5.1 Синфазное периодическое решение.

1.5.2 Антифазные периодические решения.

1.6 Синхронизация неидентичных полупроводниковых лазеров и нелинейных осцилляторов.

2.2 Модельные уравнения.102

2.3 Аналитический анализ режима синхронизации мод в пределе бесконечно широкого спектрального фильтра.113

2.3.1 Критерий устойчивости Нью.114

2.3.2 Медленная стадия.117

2.3.3 Быстрая стадия.118

2.3.4 Лазер без спектральной фильтрации.119

2.3.5 Предел слабого насыщения.124

2.4 Пассивная модуляция добротности в режиме синхронизации мод .129

2.4.1 Лазер без спектральной фильтрации.131

2.4.2 Вариационный подход.138

2.4.3 Сравнение с экспериментальными результатами . . . 144

2.5 Результаты численных расчетов.147

2.6 Влияние шума спонтанного излучения.165

2.7 Заключение.171

Бифуркационный анализ одномерных лазерных автосолитонов 175

3.1 Введение.175

3.2 Одномерные стационарные лазерные автосолитоны.178

3.2.1 Модель и исходные соотношения.178

3.2.2 Стационарные автосолитоны.180

3.2.3 Устойчивость одномерных автосолитонных решений . 194

3.3 Автосолитоны в лазере класса В.204

3.3.1 Модельные уравнения.204

3.3.2 Устойчивость неподвижных автосолитонов.205

3.3.3 Бифуркация к медленно движущемуся автосолитопу 210

3.4 Взаимодействие и связанные состояния одномерных автосолитонов в бистабильном лазере.215

3.4.1 Слабое взаимодействие автосолитонов.215

3.4.2 Вывод редуцированных уравнений для автосолитонной пары .218

3.4.3 Связанные состояния автосолитонов.222

3.5 брэгговские автосолитоны в нелинейном резонаторе с поперечной модуляцией показателя преломления и накачки . . . 233

3.5.1 Модельные уравнения.233

3.5.2 Уравнения для связанных амплитуд брэгговских волн 237

3.5.3 Численные результаты.244

3.6 Заключение.254

Двумерные автосолитоны в поперечном сечении пассивных и активных лазерных систем 262

4.1 Введение.262

4.2 Двумерные автосолитоны в пассивном резонаторе с инжекцией265

4.2.1 Модельные уравнения.265

4.2.2 Квазиодномерные резонаторные автосолитоиы . 268

4.2.3 Круговые автосолитоны и их асимптотическое поведение .274

4.2.4 Устойчивость двумерных резонаторных автосолитонов .279

4.2.5 Асимптотическая теория взаимодействия двумерных резонаторных автосолитонов.282

4.2.6 Автосолитонные кластеры .287

4.3 Устойчивость и взаимодействие двумерных лазерных автосолитонов .303

4.3.1 ^/равнения и симметрии.303

4.3.2 Автосолитоны, их устойчивость, нейтральные моды и хвосты.305

4.3.3 Асимптотическая теория взаимодействия.311

4.4 Заключение.335

Выводы по работе 338

Литература 341

5 Приложения 383

5.1 Вывод амплитудных уравнений (1.28) и (1.29).383

5.2 Вычисление скалярных произведений в уравнениях (3.54) и (3.55).386

5.3 Вычисление интеграла перекрытия (5.6) .388

5.4 Выражения для величин Л^ь .389

5.5 Вычисление интегралов перекрытия (4.56) и (4.57) .390

Введение

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы диссертации. Изучение нелинейной динамики оптических систем занимает важное место в современных исследованиях в области лазерной физики. Интерес к этой теме вызван причинами как фундаментального, так и прикладного характера. Лазеры и другие нелинейные системы, основанные на взаимодействии когерентного света с веществом, представляют собой пример самоорганизующихся систем, которые демонстрируют широкий спектр различных нелинейных режимов, от самых простых стационарных до сложных хаотических и пространственно-временных структур. Они являются удобными объектами для экспериментального изучения и теоретического анализа динамических состояний различного типа и их бифуркаций. С другой стороны, многие динамические режимы генерации лазеров, такие как, например, пассивная модуляция добротности, синхронизация мод, биение мод и т.д., имеют обширные технологические применения. В связи с этим, исследование возможностей улучшения динамических характеристик лазеров представляет собой очень важную прикладную задачу.

Нелинейная динамика одномодовых лазеров и лазеров с небольшим числом мод, активно исследовавшаяся в последние десятилетия /1/, к настоящему времени сравнительно хорошо изучена. Вместе с тем, динамические процессы и бифуркации в лазерных моделях с очень большим или бесконечным числом степеней свободы пока еще изучены недостаточно. Особо важное значение в таких системах имеют приводящие к самоорганизации процессы синхронизации различных элементов системы. В частности, в диссертации рассматриваются два типа синхронизации, связанные с использованием полупроводниковых лазеров. Это синхронизация в решетке связанных лазеров, позволяющая генерировать мощный пучок света с малой расходимостью в дальней зоне, и синхронизация мод в монолитных лазерах, которые являются источниками коротких световых импульсов с высокой частотой повторения, необходимых во многих технологических приложениях. При этом основное внимание уделяется малоизученным бифуркационным механизмам возникновения и нарушения синхронизации и сопутствующих ей режимов. Вторая часть диссертации посвящена изучению бифуркаций оптических автосолитонов /2, 3, 4/, которые также представляют собой пример самоорганизации в нелинейных системах, далеких от равновесия /5, 6/. В связи с потенциальным использованием таких автосолитонов в качестве битов в оптических системах хранения и передачи информации, важное значение приобретает изучение их взаимодействия, которому в диссертации также уделено особое внимание.

Цели и задачи работы

Основными целями диссертационной работы являлись:

• Разработка теоретических методов исследования динамики решетки полупроводниковых лазеров с запаздывающей оптической обратной связью между ними.

• Использование этих методов для изучения бифуркационных механизмов, ответственных за возникновение и разрушение различных режимов синхронизации в решетке, и определение условий, при которых достигается синфазная синхронизация лазеров. Исследование влияния дисперсии частот генерации лазеров и временного запаздывания обратной связи на свойства и качество синхронизации.

• Построение достаточно простой и адекватной модели для описания синхронизации мод в монолитных полупроводниковых лазерах .

• Исследование бифуркаций режима синхронизации мод в монолитном полупроводниковом лазере и его устойчивости по отношению к пассивной модуляции добротности.

• Разработка теоретических методов для исследования свойств оптических автосолитонов, их устойчивости и бифуркаций, а также применение этих методов для анализа автосолитонов в конкретных нелинейных оптических системах.

• Построение асимптотической теории слабого взаимодействия автосолитонов в активных и пассивных нелинейных оптических системах и использование этих методов для анализа устойчивости и бифуркаций связанных состояний таких автосолитонов и автосолитонных кластеров.

Для достижения поставленных целей были решены следующие задачи:

• Исследованы режимы генерации одномерной решетки идентичных полупроводниковых лазеров с глобальной запаздывающей связью между ними за счет отражения от внешнего зеркала.

Проанализировано влияние запаздывания на качество синхронизации решетки полупроводниковых лазеров.

Изучены свойства синхронизации решетки неидентичпых полупроводниковых лазеров с близкими, но различными частотами генерации.

Разработана и проанализирована модель для описания пассивной синхронизации мод в полупроводниковых лазерах, основанная на системе дифференциальных уравнений с запаздыванием.

В приближении медленного поглотителя предложено аналитическое описание режима синхронизации мод в полупроводниковом лазере. Построено и проанализировано отображение, описывающее преобразование параметров импульса синхронизации мод за проход резонатора.

Численно исследованы устойчивость и бифуркации режима синхронизации мод в монолитном полупроводниковом лазере.

Разработана полуаналитическая процедура для расчета оптических автосолитонов в широкоапертурньгх лазерах и нелинейных резонаторах, анализа их устойчивости и бифуркаций.

Получены и проанализированы асимптотические уравнения для описания слабого взаимодействия оптических автосолитонов. Исследованы устойчивость и свойства простейших связанных состояний оптических автосолитонов и двумерных автосолитонных кластеров.

Научная новизна работы

• Впервые предложена и проанализирована обобщенная фазовая модель Курамото для описания синхронизации решетки полупроводниковых лазеров, связанных за счет зеркала обратной связи. Помимо задержки оптической обратной связи, эта модель учитывает релаксационные колебания лазеров.

• Впервые аналитически и численно показано, что запаздывание обратной связи между лазерами в решетке благоприятствует синфазной синхронизации во всех возможных режимах генерации.

• Впервые показано, что для решетки неидентичпых связанных полупроводниковых лазеров, помимо первого порога синхронизации, аналогичного порогу, описанному Курамото, существует второй порог по силе связи, выше которого происходит деградация синхронизации, связанная с возбуждением релаксационных колебаний лазеров. Дано аналитическое описание первого порога по силе связи в присутствии запаздывания и второго порога в случае малого запаздывания.

• Предложена и проанализирована новая модель для описания пассивной синхронизации в мод в полупроводниковых лазерах, представляющая собой систему дифференциальных уравнений с запаздыванием.

• Впервые для полупроводникового лазера с пассивной синхронизацией мод аналитически построено отображение, описывающее преобразование параметров импульса за проход резонатора. Полученное отображение справедливо в ситуации, когда потери и усиление за проход резонатора велики.

Впервые показано теоретически, что в полупроводниковых лазерах с пассивной синхронизацией мод могут существовать устойчивые импульсы, для которых критерий устойчивости Нью не выполняется па переднем фронте импульса. Исследованы область существования таких импульсов и влияние на них шума спонтанной эмиссии.

Разработан оригинальный метод анализа устойчивости и бифуркаций лазерных автосолитонов. Впервые дана классификация одномерных лазерных автосолитонов и их связанных состояний, основанная на анализе гетероклинических и гомоклинических траекторий системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Впервые дано аналитическое описание бифуркации неподвижного лазерного автосолитона в автосолитон, движущийся в поперечном направлении.

Впервые теоретически предсказано существование неподвижных поперечных брэгговских автосолитонов в широкоапертурных пассивных нелинейных резонаторах с помещенным в них фотонно-кристаллическим материалом.

Разработана асимптотическая теория слабого взаимодействия идентичных одномерных и двумерных оптических автосолитонов. На основе этой теории впервые получены аналитические условия устойчивости связанных состояний лазерных автосолитонов.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы для улучшения динамических характеристик конкретных лазерных устройств: решеток связанных полупроводниковых лазеров /7/ и монолитных полупроводниковых лазеров с синхронизацией мод. Результаты исследования устойчивости и бифуркаций лазерных и резонаторных автосолитонов имеют потенциальное практическое применение, основанное на использовании этих автосолитонов в качестве носителей информации. Предложенные и развитые в работе методы для изучения слабого взаимодействия оптических автосолитонов и анализа свойств их связанных состояний могут быть применены для оценки емкости оптических устройств памяти, основанных на автосолитонах, а также для создаиия на основе связанных автосолитонных состояний "алфавита" для кодирования и передачи информации.

Положения выносимые на защиту

1. Предложена и проанализирована обобщенная модель Курамото для описания синхронизации лазеров, связанных глобальной оптической связью. Эта модель учитывает временную задержку обратной связи и релаксационные колебания отдельных лазеров.

2. В результате аналитического и численного изучения синхронизации решетки полупроводниковых лазеров показано, что достаточно большая временная задержка благоприятствует синфазной синхронизации.

3. При анализе синхронизации лазеров с различными частотами генерации обнаружен второй порог по силе связи между лазерами, выше которого происходит постепенная деградация синхронизации в решетке. При этом максимальная степень синхронизации достигается при конечной величине силы связи. Существование второго порога связано с возбуждением релаксационных колебаний части лазеров.

4. Предложена и проанализирована новая модель для описания синхронизации мод в полупроводниковых лазерах, представляющая собой систему дифференциальных уравнений с запаздыванием.

5. Построены отображения для описания преобразования параметров импульса синхронизации мод за обход резонатора.

6. Найден новый бифуркационный механизм разрушения режима син- . хронизации мод, типичный для полупроводниковых лазеров. Этот механизм связан с переходом через перемежаемость от регулярных пульсаций к хаотическим.

7. На основе разработанной процедуры полуаиалитического нахождения одномерных лазерных автосолитонов дана классификация таких автосолитонов, проанализированы их свойства устойчивости и бифуркации.

8. Для широкоапертурного лазера класса В предложено аналитическое описаиие бифуркации неподвижного лазерного солитона в солитон, движущийся в поперечном направлении.

9. Теоретически предсказано существование неподвижных брэгговских автосолитонов в широкоапертурных нелинейных резонаторах в присутствии поперечной модуляции коэффициента преломления. Проанализированы условия существования таких автосолитопов и их устойчивость.

10. Показано, что аксиально симметричные двумерные лазерные и резо-наторные автосолитоны могут испытывать неустойчивость по отношению к возмущениям с угловым индексом, равным двум. Подобная неустойчивость приводит к нарушению пространственной симметрии этих автосолитонов. Предложен аналитический критерий устойчивости квазиодномерпого резонаторного автосолитона в виде полосы, бесконечной в одном из двух направлений.

11. Построена асимптотическая теория слабого когерентного взаимодействия идентичных лазерных и резонаторных оптических автосолитонов.

12. Исследована устойчивость связанных состояний одномерных автосолитонов и простейших кластеров двумерных оптических автосолитонов, в частности, кластеров, вращающихся и движущихся в поперечном направлении.

Апробация работы. Полученные в работе результаты были представлены автором на следующих конференциях:

1. Всесоюзная конференция "Аналитические вычисления на ЭВМ в автоматизации научно-исследовательских работ," Вильнюс, 1990.

2. International Conference on Nonlinear Dynamics in Optical Systems, Afton, Oklahoma, USA, 4-8 June, 1990.

3. 2-е Всесоюзное совещание "Нелинейные и когерентные явления во внутрирезонаторной лазерной спектроскопии", Ленинград, 1991.

4. International conference "Nonlinear Dynamics in Lasers and Optical Systems," Moscow-Nizhny Novgorod, июнь 1993.

5. Международная конференция "Оптика лазеров", Санкт-Петербург, 27 июня - 1 июля 1995.

6. International Conference on Nonlinear Dynamics, Chaotic and Complex Systems, Zakopane, Poland, 7-12 November 1995.

7. International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos, Saratov State University, 1996.

8. Международная конференция "Современные проблемы теории динамических систем", Нижний Новгород, июль 1996.

9. International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos, (ICND-96), Saratov, 8-14 July, 1996.

10. IX Международная конференция "Оптика лазеров", Санкт-Петербург, 22-26 июня 1998.

11. European Quantum Electronics Conference, Glasgow, UK, September 1418 1998.

12. European conference "Control of Complex Behavior in Optical Systems and Applications" (COCOS), Muenster, Germany October, 7-10, 1999.

13. X Международная конференция "Оптика лазеров", Санкт-Петербург, 26-30 июня 2000.

14. International Quantum Electronics Conference, Nice, France 10-15 September 2000.

15. Quantum Electronics and Photonics Conference, Glasgow, 3-6 September 2001.

16. International Quantum Electronics - Laser Science Conference, Moscow, 22-28 June 2002.

17. International Quantum Electronics Conference, Munich, Germany, 22-27 June 2003.

18. 3-rd International Workshop on Dynamics of Semiconductor Lasers, Berlin, Germany, 15-17 September 2003.

19. EPS-QEOD Europhoton Conference on Solid State and Fiber Coherent Light Sources, Lausanne, Switzerland, 29 August - 3 September 2004.

20. International Conference on Coherent and Nonlinear Optics /Lasers, Applications, and Technologies (ICONO/LAT), St. Petersburg, Russia, 11-15 May 2005.

21. International Quantum Electronics Conference, Munich, Germany, 12-17 June 2005.

22. Nonlinear Guided Waves and their Applications, 1-4 September 2005 Dresden, Germany.

23. International workshop on Dissipative Solitons, Dresden, Germany, January 23 - 29, 2006.

24. 6th International School and Workshop on Nonlinear Dynamics, Chaos, and Applications, Yalta, Crimea, Ukraine, 15-26 May, 2006.

25. Международная конференция "Оптика лазеров", Санкт-Петербург, 26-30 июня 2006.

Публикации и личный вклад. По теме диссертации опубликовано 48 научных статей, приведенных в конце автореферата. В диссертацию включены данные самостоятельных исследований автора, из совместных работ -результаты, полученные при его непосредственном участии или под его научным руководством.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и выводов. Она изложена на 392 страницах, включая 79 рисунков, список литературы из 305 наименований и 5 приложений.

Выводы

1. Предложена и проанализирована обобщенная модель Курамото для описания синхронизации лазеров, связанных глобальной оптической связью. Эта модель учитывает временную задержку обратной связи и релаксационные колебания отдельных лазеров.

2. Проведено исследование влияния временной задержки обратной связи и релаксационных колебаний лазеров на качество синхронизации. Показано, что достаточно большая временная задержка благоприятствует синфазной синхронизации в различных динамических режимах генерации решетки.

3. Проанализировано влияние дисперсии частот лазеров на качество синхронизации в решетке. Обнаружен и описан аналитически второй порог по силе связи между лазерами, выше которого происходит постепенная деградация синхронизации в решетке. Существование этого порога связано с возбуждением релаксационных колебаний части лазеров. Показано, что максимальная степень синхронизации достигается при конечной величине силы связи.

4. Предложена и исследована новая модель для описания синхронизации мод в полупроводниковых лазерах, которая представляет собой систему дифференциальных уравнений с запаздыванием. Эта модель обобщает классическую модель Хауса на случай больших усиления и потерь за проход резонатора.

5. Построены аналитически отображения для описания преобразования параметров импульса синхронизации мод в полупроводниковом лазере за обход резонатора. Проведено сравнение теоретических результатов с экспериментальными данными, полученными для монолитного полупроводникового лазера.

6. Проведено численное исследование режима синхронизации мод в монолитном полупроводниковом лазере, его устойчивости и бифуркаций. Найден новый бифуркационный механизм разрушения режима синхронизации мод, типичный для полупроводниковых лазеров. Этот механизм связан с переходом через перемежаемость от регулярных пульсаций к хаотическим.

7. Разработана процедура полуаналитического нахождения и классификации одномерных лазерных автосолитоиов. Исследованы свойства устойчивости таких автосолитоиов и их бифуркации.

8. Для широкоапертурпого бистабильного лазера класса В аналитически описана граница бифуркации неподвижного лазерного автосолитона в автосолитон, движущийся в поперечном направлении.

9. Теоретически предсказано существование неподвижных брэгговских автосолитоиов в широкоапертурпых нелинейных резонаторах в присутствии поперечной модуляции коэффициента преломления. Изучены условия существования таких автосолитоиов и их устойчивость.

10. Исследована устойчивость простейших двумерных лазерных и резонаторных автосолитонов по отношению к возмущениям, разрушающим их пространственную симметрию. Показано, что аксиально симметричные двумерные лазерные и резоиаторные автосолитоны испытывают неустойчивость по отношению к возмущениям с угловым индексом, равным двум. Проанализированы бифуркации таких автосолитонов. Предложен аналитический критерий устойчивости квазиодномерного резонаторного автосолитона в виде полосы, бесконечной в одном из двух направлений.

11. Построена асимптотическая теория слабого когерентного взаимодействия идентичных одномерных и двумерных оптических автосолитонов.

12. Исследована устойчивость и свойства простейших связанных состояний и кластеров двумерных оптических автосолитонов, в частности, кластеров, вращающихся и движущихся в поперечном направлении.

4.4. Заключение

Итак, в данной главе мы проанализировали устойчивость простейших симметричных двумерных солитонов по отношению к возмущениям, разрушающим их пространственную симметрию. Было показано, что в случае, когда амплитуда входного поля превышает некоторое пороговое значение, круговой аксиально симметричный автосолитон разрушается за счет возмущений с угловым индексом т = 2. Аналогичную бифуркацию испытывает и солитон в виде полосы, бесконечной в одном из двух направлений. Для такого автосолитона был получен аналитический критерий устойчивости (4.7). Результаты, полученные с помощью полуаналитического анализа, находятся в хорошем согласии с прямыми численными расчетами.

В параграфе 4.2.5 была разработана асимптотическая теория формирования кластеров двумерных автосолитонов света в оптическом резонаторе с когерентной накачкой и нелинейным поглотителем. Было показано, что эти структуры взаимодействуют через силы, удовлетворяющие линейному правилу суперпозиции, и что они могут формировать различные типы кластеров. Был разработан метод вычисления потенциала взаимодействия через модифицированные функции Бесселя. Полученное выражение для потенциала взаимодействия является универсальным и применимо для анализа широкого класса моделей, характеризующихся трансляционной симметрией. Свойства устойчивости кластеров двух, трех и четырех резонаторных автосолитонов были проанализированы с помощью аналитических и численных методов. Выявлена качественная разница между свойствами устойчивости треугольных и квадратных кластеров, связанная с наличием диагональных взаимодействий в квадратном кластере.

В параграфе 4.3 была построена теория слабого взаимодействия автосолитонных решений уравнений типа Гиизбурга-Ландау. Выведены уравнения, описывающие медленную временную эволюцию координат и фаз произвольного числа взаимодействующих автосолитонов, и рассмотрены простейшие кластеры, состоящие из двух и трех автосолитонов. Главное внимание обращается на ситуацию, когда в дополнение к трансляционной и фазовой симметрии модельные уравнения характеризуются слегка нарушенной галилсевской симметрией. Эта ситуация типична для таких оптических систем как широкоапертурные лазеры /263, 188/. Было показано, что два взаимодействующих автосолитона могут формировать устойчивые синфазные и антифазиые связанные состояния. В случае, когда оба этих состояния неустойчивы, могут возникать слабо устойчивые равномерно движущиеся связанные состояния с разностью фаз ±7г/2 между автосолитонами. В наших численных расчетах, однако, двумерные устойчивые кластеры с разностью фаз ±7г/2 не наблюдались даже при тех значениях параметров, при которых аналогичные одномерные связанные состояния устойчивы /158/. Полученные в этой главе результаты, касающиеся слабого взаимодействия двумерных автосолитонов, могут быть легко обобщены на случай, когда взаимодействующие автосолитоны имеют одинаковые по абсолютной величине ненулевые топологические заряды. Численное исследование взаимодействия автосолитонов с ненулевыми топологическими зарядами было проведено в работе /305/, в которой был предложен критерий, позволяющий различать слабое и сильное взаимодействие таких автосолитонов.

Появление нестационарных связанных состояний и двумерных кластеров связано с тем фактом, что третий закон Ньютона не выполняется для взаимодействующих автосолитонов (см. параграф 4.3.3). Мы показали, что три автосолитона могут формировать равномерно вращающиеся кластеры с топологическим зарядом ±1 и равномерно двигающиеся кластеры. Полученные аналитические оценки для равновесных расстояний между автосолитонами, угловой частоты вращающихся кластеров и скорости равномерно двигающегося кластера находятся в хорошем согласии с результатами прямых численных расчетов.

1. Ханин, Я. И. Основы динамики лазеров / Я. И. Ханин.— М.: Физ-матлит, 1999.

2. Розанов, Н. Н. Оптическая бистабильность и гистерезис в распределенных нелинейных системах / Н. Н. Розанов. — М.: Наука, 1997.

3. Rosanov, N. N. Spatial hysteresis and optical patterns / N. N. Rosanov. — Berlin: Springer, 2002. — Vol. XII of Springer series in synergetics. — 308 P

4. Розанов, H. H. Большая Российская Энциклопедия / H. H. Розанов. — М.: Научное издательство Большая Российская Энциклопедия, 2005.-Р. 171.

5. Николис, Г. Самоорганизация в неравновесных системах: От диссипа-тивных структур к упорядоченности через флуктуации / Г. Николис, И. Пригожин.- М.: Мир, 1979. — 512 с.

6. Хакен, Г. Синергетика. / Г. Хакен. — М.: Мир, 1980.

7. Глова, А. Ф. Синхронизация излучения лазеров с оптической связью / А. Ф. Глова // Квант, электроника. 2003.- Т. 33, № 4.- С. 283306.

8. Strogatz, S. Simple model of collective transport with phase slippage /

9. S. Strogatz, С. Marcus, R. Westervelt, R. Mirollo // Phys. Rev. Lett.— 1988. Vol. 61, no. 20. - Pp. 2380-2383.

10. Wiesenfeld, K. Observation of antiphase states in a multimode laser / K. Wiesenfeld, C. Bracikowski, G. James, R. Roy // Phys. Rev. Lett.— 1990. Vol. 65, no. 14. - Pp. 1749-1752.

11. Winjul, H. G. Synchronized chaos and spatiotemporal chaos in arrays of coupled lasers / H. G. Winful, L. Rahman // Phys. Rev. Lett. — 1990. — Vol. 65, no. 13. Pp. 1575-1578.

12. Kuramoto, Y. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence / Y. Kuramoto. — Berlin: Springer-Verlag, 1984.

13. Winfree, A. T. The Geometry of Biological Time / A. T. Winfree. -Berlin: Springer, 1980.

14. Strogatz, S. H. Exploring complex networks / S. H. Strogatz // Nature. — 2001. Vol. 410. - Pp. 268-276.

15. Strogatz, S. H. From Kuramoto to Crawford: Exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators / S. H. Strogatz // Physica D. 2000. - Vol. 143, no. 1-4. - Pp. 1-20.

16. Wiesenfeld, K. Synchronization transitions in a disordered Josephson series array / K. Wiesenfeld, P. Colet, S. H. Strogatz // Phys. Rev. Lett. — 1996. Vol. 76, no. 3. - Pp. 404-407.

17. Sompolinsky, H. Global processing of visual stimuli in a neural network of coupled oscillators / H. Sompolinsky, D. Golomb, D. Kleinfeld //

18. Proceedings of the National Academy of Sciences USA. — 1990. — Vol. 87. Pp. 7200-7204.

19. Hoppensteadt, F. C. Oscillatory neurocomputers with dynamic connectivity / F. C. Hoppensteadt, E. M.Izhikevich // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 82, no. 14. - Pp. 2983-2986.

20. Neda, Z. Physics of the rhythmic applause / Z. Neda, E. Ravasz, T. Vicsek, Y. Brechet, A. L. Barabasi // Phys. Rev. E. 2000.- Vol. 61, no. 6.-Pp. 6987-6992.

21. Pantaleone, J. Stability of incoherence in an isotropic gas of oscillating neutrinos / Л. Pantaleone // Phys. Rev. D. — 1998. — Vol. 58, no. 7. — P. 073002 (14 pages).

22. Kozyreff, G. Global coupling with time delay in an array of semiconductor lasers / G. Kozyreff, A. G. Vladimirov, P. Mandel // Phys. Rev. Lett.—2000. Vol. 85, no. 18. - Pp. 3809-3812.

23. Kozyreff, G. Dynamics of a semiconductor laser array with delayed global coupling / G. Kozyreff, A. G. Vladimirov, P. Mandel // Phys. Rev. E. —2001. Vol. 64, no. 1. - P. 16613 (12 pages).

24. Kim, S. Multistability in coupled oscillator systems with time delay / S. Kim, S. H. Park, C. S. Ryu // Phys. Rev. Lett 1997.- Vol. 79, no. 15.- Pp. 2911-2914.

25. Yeung, M. K. S. Time delay in the Kuramoto model of coupled oscillators./ M. K. S. Yeung, S. H. Strogatz // Phys. Rev. Lett. — 1999. — Vol. 82, no. 3.- Pp. 648-651.

26. Choi, M. Y. Synchronization in a system of globally coupled oscillators with time delay / M. Y. Choi, H. J. Kim, D. Kim, H. Hong // Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 61. - Pp. 371-381.

27. Acebron, J. A. Adaptive frequency model for phase-frequency synchronization in large populations of globally coupled nonlinear oscillators / J. A. Acebron, R. Spigler // Phys. Rev. Lett.— 1998.— Vol. 81, no. 11.- Pp. 2229-2232.

28. Acebron, J. A. Synchronization in populations of globally coupled oscillators with inertial effects / J. A. Acebron, L. L. Bonilla, R. Spigler // Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 62, no. 3. - Pp. 3437-3454.

29. Ariaratnam, J. T. Phase diagram for the Winfree model of coupled nonlinear oscillators / Л. T. Ariaratnam, S. H. Strogatz // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86, no. 19. - Pp. 4278-4281.

30. Ernst, U. Synchronization induced by temporal delays in pulse-coupled oscillators / U. Ernst, K. Pawelzik, T. Giezel // Phys. Rev. Lett. 1995. -Vol. 74, no. 9. - Pp. 1570-1573.

31. Gehrig, E. Nonequilibrium spatiotemporal dynamics of the Wigner distributions in broad-area semiconductor lasers / E. Gehrig, O. Hess // Phys. Rev A. 1998. - Vol. 57, no. 3. - Pp. 2150-2162.

32. Gerstner, W. Rapid phase locking in systems of pulse-coupled oscillators with delays / W. Gerstner // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 76, no. 10. -Pp. 1755-1578.

33. Izhikevich, E. M. Phase models with explicit time delays / E. M. Izhikevich 11 Phys. Rev. E.- 1998. Vol. 58, no. 1.- Pp. 905-908.

34. Reddy, D. V. R. Time delay induced death in coupled limit cycle oscillators / D. V. R. Reddy, A. Sen, G. L. Johnston // Phys. Rev. Lett. — 1998. Vol. 80, no. 23. - Pp. 5109-5112.

35. Adaehihara, H. Spatiotemporal chaos in broad-area semiconductor lasers / H. Adaehihara, 0. Hess, E. Abraham, P. Ru, J. V. Moloney // J. Opt. Soc. Amer. В.- 1993.- Vol. 10.- Pp. 658-665.

36. Hess, O. Filamentation and beam propagation in broad-area semiconductor lasers / O. Hess, S. W. Koch, J. V. Moloney // IEEE J. Quantum Electron. 1995. - Vol. 31. - Pp. 35-43.

37. Marciante, J. Nonlinear mechanisms of filamentation in broad-area semiconductor lasers / J. Marciante, G. Agrawal // IEEE J. Quantum Electron. 1996. - Vol. 32. - Pp. 590-596.

38. Marciante, J. R. Spatio-temporal characteristics of filamentation in broad-area semiconductor lasers: Experimental results / J. R. Marciante, G. P. Agrawal // IEEE Photonics Technology Letters.- 1998.- Vol. 10, no. 1.- Pp. 54-56.

39. Butler, J. K. Coupled-mode analysis of phase-locked injection laser arrays / J. K. Butler, D. E. Ackley, D. Botez // Appl. Phys. Lett.— 1984. Vol. 44. - Pp. 293-295.

40. Yoo, H. J. Array mode analysis of two-dimensional phased arrays of vertical cavity surface emitting lasers / H. J. Yoo, J. R. Hayes, E. G.

41. Раек, A. Scherer, Y. S. Kwon // IEEE J. Quantum Electron. 1990. — Vol. 26, no. 6.- Pp. 1039-1051.

42. Wang, S. S. Dynamics of phase-locked semiconductor laser arrays / S. S. Wang, H. G. Winful // Appl. Phys. Lett. 1988.- Vol. 52.- Pp. 17741776.

43. Winful, H. G. Stability of phase locking in coupled semiconductor laser arrays / H. G. Winful, S. S. Wang // Appl. Phys. Lett.- 1988. — Vol. 53. Pp. 1894-1896.

44. Li, R. D. Preferential instability in arrays of coupled lasers / R. D. Li, T. Erneux // Phys. Rev. A.- 1992.- Vol. 46, no. 7.- Pp. 4252-4260.

45. Li, R. D. Bifurcation to standing and traveling waves in large arrays of coupled lasers / R. D. Li, T. Erneux // Phys. Rev. A. 1994. - Vol. 49, no. 2.-Pp. 1301-1312.

46. Miinkel, M. Stabilization of spatiotemporally chaotic semiconductor laser arrays by means of delayed optical feedback / M. Miinkel, F. Kaiser, O. Hess // Phys. Rev. E.- 1997. Vol. 56, no. 4.- Pp. 3868-3875.

47. Li, R. Stability conditions for coupled lasers: series coupling versus parallel coupling / R. Li, T. Erneux // Optics Communications. — 1993. — Vol. 99, no. 3-4. Pp. 196-200.

48. Silber, M. Stability results for in-phase and splayphase states of solid-state laser arrays / M. Silber, L. Fabiny, K. Wiesenfeld j j J. Opt. Soc. Am.— 1993. Vol. В 10, no. 6. - Pp. 1121-1129.

49. Kourtchatov, S. Y. The theory of phase locking of globally coupled lasers / S. Y. Kourtchatov, V. V. Likhanskii, A. P. Napartovich, F. T. Arecchi, A. Lapucci // Phys. Rev. A. — 1995. — Vol. 52, no. 5.- Pp. 4089-4094.

50. Yaeli, J. Array mode selection utilizing an external cavity configuration / J. Yaeli, W. Streifer, D. R. Scifres, P. S. Cross, R. L. Thornton, R. D. Burnham // Appl. Phys. Lett. 1985. - Vol. 47.- Pp. 89-91.

51. Leger, J. R. Lateral mode control of an AlGaAs laser array in a talbot cavity / J. R. Leger // Appl.Phys. Lett. 1989. - Vol. 55.- P. 334.

52. DAmato, F. X. Coherent operation of an array of diode lasers using a spatial filter in a talbot cavity / F. X. D'Amato, E. T. Siebert,

53. С. Roychoudhuri // Appl. Phys. Lett. 1989. - Vol. 55, no. 9. - Pp. 816818.

54. Leger, J. R. Coherent addition of AlGaAs lasers using microlenses and diffractive coupling / J. R. Leger, M. L. Scott, W. B. Veldkamp // Appl. Phys. Lett. 1988. - Vol. 52. - Pp. 1771-1773.

55. Kandidov, V. P. Dynamics of collective lasing in a multichannel waveguide laser with a talbot cavity / V. P. Kandidov, A. V. Kondratev // Laser Physics. 2000. - Vol. 10, no. 5. - Pp. 1089-1100.

56. Glova, A. F. / A. F. Glova // Laser Physics. 2000. - Vol. 10. - P. 975.

57. Apollonov, V. V. Phase-locking of the 2d structures / V. V. Apollonov, S. Derzhavin, V. Kislov, V. Kuzminov, D. Mashkovskiy, A. M. Prokhorov // Optics Express. 1999.-Vol. 4.- Pp. 19-26.

58. Lenstra, D. Coherence collapse in singe-mode semiconductor lasers due to optical feedback / D. Lenstra, В. H. Verbeek, A. J. D. Boef // IEEE J. Quantum Electron. 1985. - Vol. JQE-21. - Pp. 674-679.

59. Cho, Y. Observation of chaos in a semiconductor laser with delayed feedback / Y. Cho, T. Umeda // Opt. Commun.- 1986.- Vol. 59, no. 2.- Pp. 131-136.

60. Moerk, J. Chaos in semiconductor lasers with optical feedback: Theory and experiment / J. Moerk, B. Tromborg, J. Mark // IEEE J. Quantum Electron. 1992. - Vol. 28. - Pp. 93-108.

61. Tartwijk, G. H. M. V. Semiconductor lasers with optical injection andfeedback / G. H. M. V. Tartwijk, D. Lenstra // Quantum Semiclass. Opt. 1995. - Vol. 7. - Pp. 87-143.

62. Pieroux, D. Minimal model of a Class-B laser with delayed feedback: Cascading branching of periodic solutions and period-doubling bifurcation / D. Pieroux, T. Erneux, K. Otsuka // Phys. Rev. A. — 1994. — Vol. 50, no. 2. Pp. 1822-1829.

63. Saboureau, P. Injection-locked semiconductor lasers with delayed optoelectronic feedback / P. Saboureau, J. P. Foing, P. Schanne j j IEEE J. Quantum Electron. 1997.- Vol. 33, no. 9. - Pp. 1582-1591.

64. Hadley, P. Dynamical states and stability of linear arrays of Josephson junctions / P. Hadley, M. R. Beasley // Appl. Phys. Lett. — 1987.— Vol. 50, no. 10. Pp. 621-623.

65. Wiesenfeld, K. Attractor crowding in oscillator arrays / K. Wiesenfeld, P. Hadley // Phys. Rev. Lett.- 1989.- Vol. 62, no. 12.- Pp. 13351338.

66. Yoshimoto, K. Asymmetric coupling stabilizes the out-of-phase mode: experimental evidence in the Belousov-Zhabotinsky reaction / K. Yoshimoto, K. Yoshikawa, Y. Mori, I. Hanazaki // Chem. Phys. Lett. — 1992.- Vol. 189, no. 1.- Pp. 18-22.

67. Freeman, W. J. Spatial eeg patterns, non-linear dynamics and perception: the neosherringtonian view / W. J. Freeman, C. A. Skarda // Brain Res. Rev. 1985. - Vol. 10. - Pp. 147-175.

68. Bracikowski, С. Chaos in a multimode solid-state laser system / C. Bracikowski, R. Roy // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 1991. — Vol. 1, no. 1. — Pp. 49-64.

69. Otsuka, K. Winner-takes-all dynamics and antiphase states in modulated multimode lasers / K. Otsuka // Phys. Rev. Lett.— 1991,— Vol. 67, no. 9.-Pp. 1090-1093.

70. Otsuka:, K. Alternate time scale in multimode lasers / K. Otsuka, P. Mandel, S. Bielawski, D. Derozier, P. Glorieux // Phys. Rev. A. — 1992. Vol. 46, no. 3. - Pp. 1692-1695.

71. Wang, J. Y. Antiphase dynamics of multimode intracavity second-harmonic generation / J. Y. Wang, P. Mandel // Phys. Rev. A. — 1993. — Vol. 48, no. l.-Pp. 671-680.

72. Wang, J. Y. Antiphased states in intracavity second harmonic generation / J. Y. Wang, P. Mandel, T. Erneux // Quantum & Semiclass. Opt.—1994. Vol. 7. - Pp. 169-184.

73. Wang, J. Y. Antiphased states in intracavity second-harmonic generation: Stability of the periodic solutions / J. Y. Wang, P. Mandel // Phys. Rev. A. 1995. - Vol. 52, no. 2. - Pp. 1474-1486.

74. Mandel, P. Theoretical Problems in Cavity Nonlinear Optics / P. Mandel. Cambridge Studies in Modern Optics. — Cambridge University Press,1995.

75. Скрябин, Д. В. Автоколебательные режимы в кольцевом газовом лазере / Д. В. Скрябин, А. Г. Владимиров, А. М. Радин j j Оптика и спектроскопия. — 1995. — Т. 78, № 6. — С. 989-998.

76. Skryabin, D. V Spontaneous phase symmetry breaking due to cavity detuning in a class-A bidirectional ring laser / D. V. Skryabin, A. G. Vladimirov, A. M. Radin // Optics Communications. — 1995. —Vol. 116, no. 1-3.-Pp. 109-115.

77. Vladimirov, A. G. Dynamics of transverse modes in a class-B laser j j Nonlinear Dynamics in Lasers, Proc. of SPIE / Ed. by N.B.Abraham, Ya.I.Khanin. Vol. 2794. - 1996. - Pp. 242-252.

78. Скрябин, Д. В. Фазовая и амплитудная динамика мод ТЕМ 10 и ТЕМ01 в лазере класса В / Д. В. Скрябин, А. Г. Владимиров, А. М. Радин // Квантовая электроника. 1997. - Т. 24, № 10. - С. 918-922.

79. Владимиров, А. Г. Динамические неустойчивости при взаимодействии поперечных мод в лазере класса В / А. Г. Владимиров, Д. В. Скрябин // Квантовая Электроника. — 1997. — Т. 24, № 10.— С. 913-917.

80. Vladimirov, A. G. Intracavity second harmonic generation: the steady-state solutions / A. G. Vladimirov, P. Mandel // Phys. Rev. A. — 1998. — Vol. 58, no. 4. Pp. 3320-3327.

81. Vladimirov, A. G. Bifurcation analysis of a bidirectional class В laser / A. G. Vladimirov // Optics Communications. — 1998. — T. 149, № 1-3.— C. 67-72.

82. Vladimirov, A. G. Multidimensional quasiperiodic antiphase dynamics /

83. A. G. Vladimirov, E. A. Viktorov, P. Mandel // Phys. Rev. E.— 1999. — Vol. 60, no. 2. Pp. 1616-1629.

84. Viktorov, E. A. Symmetry breaking and dynamical independence in a multimode laser / E. A. Viktorov, A. G. Vladimirov, P. Mandel // Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 61, no. 5. - Pp. 6312-6317.

85. Hohl, A. Localized synchronization in two coupled nonidentical semiconductor lasers / A. Hohl, A. Gavrielides, T. Erneux, V. Kovanis // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 78, no. 25. - Pp. 4745-4748.

86. Kuske, R. Localized synchronization of two coupled solid state lasers / R. Kuske, T. Erneux // Optics Communications. — 1997. — Vol. 139, no. 1-3.- Pp. 125-131.

87. Oliva, R. A. Dynamics of a large array of globally coupled lasers with distributed frequencies / R. A. Oliva, S. H. Strogatz // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 2001. — Vol. 11. — Pp. 2359-2374.

88. Haus, H. Modelocking of lasers / H. Haus // IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron. 2000. - Vol. 6. - Pp. 1173-1185.

89. VasiVev, P. Ultrafast Diode Lasers: Fundamentals and Applications / P. Vasil'ev. — Boston: Artech House, 1995.

90. Haus, H. Theory of mode locking with a slow saturable absorber / H. Haus // IEEE J. Quantum Electron. 1975. - Vol. 11. - Pp. 736-746.

91. New, G. H. C. Pulse evolution in mode-locked quasi-continuous lasers / G. H. C. New // IEEE J. Quantum Electron.- 1974.- Vol. 10.-Pp. 115-124.

92. Avrutin, E. A. Monolithic and multi-GigaHcrz mode-locked semiconductor lasers: Constructions, experiments, models, and applications / E. A. Avrutin, J. H. Marsh, E. L. Portnoi // IEE Proc.-Optoelectron. 2000. - Vol. 147. - P. 251.

93. Ha,us, H. Modelocking of semiconductor laser diodes / H. Haus // Jap. J. Appl. Phys. 1981. - Vol. 20. - Pp. 1007-1020.

94. Haus, H. Theory of mode locking with a fast saturable absorber /

95. H. Haus // J. Appl. Phys.- 1975.- Vol. 46.- Pp. 3049-3058.

96. Haus, H. A. Shape of passively mode-locked laser pulses / H. A. Haus, С. V. Shank, E. P. Ippen // Opt Commun. 1975. - Vol. 15. - Pp. 2931.

97. Kartner, F. Soliton mode-locking with saturable absorbers / F. Kartner,

98. Jung, U. Keller // IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron. 1996. — Vol. 2. - Pp. 540-556.

99. Kartner, F. Mode-locking with slow and fast saturable absorbers what is the difference / F. Kartner, J. A. der Au, U. Keller // IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron. - 1998. - Vol. 4. - Pp. 159-168.

100. Paschotta, R. Passive mode locking with slow saturable absorbers / R. Paschotta, U. Keller // Appl. Phys. B. — 2001. — Vol. 73. Pp. 653662.

101. Vladimirov, A. Delay differential equations for mode-locked semiconductor lasers / A. Vladimirov, D. Turaev, G. Kozyreff // Opt. Lett. 2004. - Vol. 29. - Pp. 1221-1223.

102. Haus, H. A. Parameter ranges for CW passive mode locking / H. A. Haus // IEEE J. of Quantum Electron.- 1976.- Vol. 12.- Pp. 169176.

103. Palaski, J. Parameter ranges for ultrahigh frequency mode locking of semiconductor lasers / J. Palaski, K. Y. Lau // Appl. Phys. Lett. — 1991. — Vol. 59,- Pp. 7-9.

104. Kartner, F. X. Control of solid-state laser dynamics by semiconductor devices / F. X. Kartner, L. R. Brovelli, D. Kopf, M. Kamp, I. Calasso, U. Keller // Optical Engineering. 1995. - Vol. 34. - Pp. 2024 -2036.

105. Dubbeldam, J. L. A. Theory of mode-locked semiconductor lasers with finite relaxation times / J. L. A. Dubbeldam, J. A. Leegwater, D. Lenstra // Appl. Phys. Lett. 1997.- Vol. 70.- Pp. 1938-1940.

106. Honniger, C. Q-switching stability limits of continuous-wave passive mode locking / C. Honniger, R. Paschotta, F. Morier-Genoud, M. Moser, U. Keller // J. Opt. Soc. Am. В.- 1999.- Vol. 16.- Pp. 46-56.

107. Kolokolnikov, T. The q-switching instability in passively mode-locked lasers / T. Kolokolnikov, M. Nizette, T. Erneux, N. Joly, S. Bielawski // Physica D. 2006. - Vol. 219. - Pp. 13-21.

108. Розанов, H. H. Автосолитоиы в бистабильных интерферометрах / Н. Н. Розанов, Г. Ходова // Оптика и спектроскопия. — 1988. — Т. 65, № 6. С. 1375-1377.

109. Rosanov, N. N. Transverse Patterns in Wide-Aperture Non-Linear Optical

110. Systems / N. N. Rosanov // Progress in Optics / Ed. by E. Wolf.— Amsterdam: North-Holland, 1996. Vol. XXXV. - Pp. 1-60.

111. Tlidi, M. Localized structures and localized patterns in optical bistability / M. Tlidi, P. Mandel, R. Lefever // Phys. Rev. Lett. 1994. -Vol. 73, no. 5. - Pp. 640-643.

112. Tlidi, M. Spatial patterns in nascent optical bistability / M. Tlidi, P. Mandel // Chaos, Solitons and Fractals. 1994. - Vol. 4. - Pp. 14751486.

113. Firth, W. J. Optical bullet holes: Robust controllable localized states of a nonlinear cavity / W. J. Firth, A. J. Scroggie // Phys. Rev. Lett. — 1996.-Vol. 76, no. 10.- Pp. 1623-1626.

114. Firth, W. J. Optical bullet holes / W. J. Firth, A. Lord, A. J. Scroggie // Physica Scripta. 1996. - Vol. 67. - Pp. 12-16.

115. Astrov, Y. A. Formation of clusters of localized states in a gas discharge system via a self-completion scenario / Y. A. Astrov, Y. A. Logvin // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 79, no. 16. - Pp. 2983-2986.

116. Am,melt, E. Hexagon structures in a two-dimensional dc-driven gas discharge system / E. Ammelt, Y. A. Astrov, H. G. Purwins // Phys. Rev. E.- 1998.- Vol. 58, no. 6.- Pp. 7109-7117.

117. Umbanhowar, P. Localized excitations in a vertically vibrated granular, layer / P. Umbanhowar, F. Melo, H. Swinney // Nature (London). — 1996. Vol. 382. - Pp. 793-796.

118. Umbanhowar, Р. В. Periodic, aperiodic, and transient patterns in vibrated granular layers / P. B. Umbanhowar, F. Melo, H. L. Swinney // Physica A. 1998. - Vol. 249, no. 1-4. - Pp. 1-9.

119. Crawford, C. Oscillon-type structures and their interaction in a Swift-Hohenberg model / C. Crawford, H. Riecke // Physica D.— 1999.— Vol. 129.- Pp. 83-92.

120. Saffman, M. Collapse of a transverse-mode continuum in a self-imaging photorefractively pumped ring resonator / M. Saffman, D. Montgomery, D. Z. Anderson // Optics Letters. 1994. - Vol. 19, no. 8. - Pp. 518-520.

121. Taranenko, V. B. Spatial soliton laser: Localized structures in a laser with a saturable absorber in a self-imaging resonator / V. B. Taranenko, K. Staliunas, С. O. Weiss // Phys. Rev. A. — 1997.- Vol. 56, no. 2.-Pp. 1582-1591.

122. Staliunas, K. Moving spatial solitons in active nonlinear-optical resonators / K. Staliunas, V. B. Taranenko, G. Slekys, R. Viselga, С. O. Weiss // Phys. Rev. A. 1998. - Vol. 57, no. 1. - Pp. 599-604.

123. Taranenko, V. B. Patterns and localized structures in bistable semiconductor resonators / V. B. Taranenko, I. Ganne, R. J. Kuszelewicz, С. O. Weiss // Phys. Rev. A. 2000.- Vol. 61, no. 6.- P. 063818 5 pages.

124. Barland, S. Cavity solitons in one-dimensional semiconductor amplifiers: Experiment and theory agree // Nonlinear Guided Waves and their

125. Applications / OS A Technical Digest (Optical Society of America).— Washington DC: 2001.- Pp. 2-4.

126. Skryabin, D. V. Instabilities of cavity solitons in optical parametric oscillators / D. V. Skryabin // Phys. Rev. E. 1999. - Pp. R3508-R3511.

127. Longhi, S. Stable multipulse states in a nonlinear dispersive cavity with parametric gain / S. Longhi // Phys. Rev. E. — 1996. — Vol. 53, no. 5. — Pp. 5520-5522.

128. Longhi, S. Perturbation of parametrically excited solitary waves / S. Longhi // Phys. Rev. E. 1997. - Vol. 55, no. 1.- Pp. 1060-1070.

129. Barashenkov, I. V. Bifurcation to multisoliton complexes in the ac-driven, damped nonlinear Schrodinger equation / I. V. Barashenkov, Y. S. Smirnov, N. V. Alexeeva // Phys. Rev. E.- 1998.- Vol. 57, no. 2.-Pp. 2350-2364.

130. Skryabin, D. V. Interaction of cavity solitons in degenerate optical parametric oscillators / D. V. Skryabin, W. J. Firth // Optics Letters.— 1999. Vol. 24, no. 15. - Pp. 1056-1058.

131. Maggipinto, T. Cavity solitons in semiconductor microresonators: Existence, stability, and dynamical properties / T. Maggipinto, M. Brambilla, G. K. Harkness, W. J. Firth // Phys. Rev. E.- 2000.-Vol. 62, no. 6. Pp. 8726-8739.

132. Brambilla, M. Interaction and control of optical localized structures / M. Brambilla, L. A. Lugiato, M. Stefani // Europhysics Letters. — 1996. — Vol. 34, no. 2.- Pp. 109-114.

133. Spinelli, L. Spatial solitons in semiconductor microcavities / L. Spinelli, G. Tissoni, M. Brambilla, F. Prati, L. A. Lugiato // Phys. Rev. A.— 1998. Vol. 58, no. 3. - Pp. 2542-2559.

134. Рахманов, A. H. Поперечные дифракционные структуры в системах с оптической обратной связью / А. Н. Рахманов // Оптика и спектроскопия. 1993. - Т. 74. - С. 1184.

135. Rakhmanov, А. N. Optical memory device based on the phenomenon of optical transversal autosolitons // Proc. SPIE. — Vol. 2108. — 1993. — Pp. 428-434.

136. Akhmediev, N. N. Solitons. Nonlinear Pulses and Beams / N. N. Akhmediev, A. Ankiewicz. — London: Chapman and Hall, 1997.

137. Kivshar, Y. S. Optical solitons: from a fiber to photonic crystals / Y. S. Kivshar, G. P. Agrawal.— Academic Press, 2003.

138. Malomed, B. A. Evolution of nonsoliton and "quasi-classical"wavetrains in nonlinear Schrodinger and Korteweg-de Vries equations with dissipative perturbations / B. A. Malomed // Physica D. — 1987. — Vol. 29, no. 1-2. — Pp. 155-172.

139. Cross, M. C. Pattern formation outside of equilibrium / M. C. Cross, P. C. Hohenberg // Rev. Mod. Phys. 1993. - Vol. 65. - P. 000851 (262 pages).

140. Васильев, В. А. Автоволновые процессы / В. А. Васильев, Ю. М. Рамановский, В. Г. Яхно. — М.: Наука, 1979.

141. Кернер, Б. С. Автосолитоны / Б. С. Кернер, В. В. Осипов.— М.: Наука, 1991.

142. Akhmediev, N. Dissipative Solitons / N. Akhmediev, A. Ankiewicz. — Springer, 2005. — Vol. 661 of Lecture Notes in Physics.

143. Mandel, P. Transverse dynamics in cavity nonlinear optics (2000-2003) / P. Mandel, M. Tlidi // J. Opt. B: Quant. Sernicl. Opt. 2004. - Vol. 6. -Pp. R60-R75.

144. Rosanov, N. Effects of spatial distributivity in semiconductor optical bistable systems / N. Rosanov, A. Fedorov, G. Khodova // Phys. Stat. Sol. В. 1988. - Vol. 150, no. 2. - Pp. 545-555.

145. Rosanov, N. N. Diffractive autosolitons in nonlinear interferometers / N. N. Rosanov, G. V. Khodova // Journal of the Optical Society of America В. 1990. - Vol. 7. - Pp. 1057-1065.

146. Ramazza, P. L. Localized versus delocalized patterns in a nonlinear optical interferometer / P. L. Ramazza, S. Ducci, S. Boccaletti, F. T. Arecchi // J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 2000. - Vol. 2. - Pp. 399-405.

147. Bortolozzo, U. Bistability between different localized structures in nonlinear optics / U. Bortolozzo, L. Pastur, P. L. Ramazza, M. Tlidi, G. Kozyreff // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. - P. 253901.

148. Pesch, M. Observation of a discrete family of dissipative solitons in a nonlinear optical system / M. Pesch, E. G. e Westhoff, T. Ackemann, W. Lange // Phys. Rev. Lett. 2005. - Vol. 95.- P. 143906.

149. Cavity solitons as pixels in semiconductor microcavities / S. Barland, J. R. Tredicce, M. Brambilla, L. A. Lugiato, S. Balle, M. Giudici, T. Maggipinto et al. // Nature. 2002. - Vol. 419. - Pp. 699-702.

150. Arecchi, F. Т. Pattern formation and competition in nonlinear optics / F. T. Arecchi, S. Boccaletti, P. L. Ramazza // Physics Reports. — 1999. — Vol. 318. Pp. 1-83.

151. Lugiato, L. A. Spatial dissipative structures in passive optical systems / L. A. Lugiato, R. Lefever // Phys. Rev. Lett. 1987. - Vol. 58, no. 22. -Pp. 2209-2211.

152. Розанов, H. H. Дифракционные волны переключения и автосолитоны в лазере с насыщающимся поглощением / Н. Н. Розанов, С. В. Федоров // Оптика и спектроскопия. — 1992. — Т. 72, Xй 6. — С. 1394-1399.

153. Розанов, Н. Н. Частицеподобные структуры света в широкоапертур-ном лазере с насыщающимся поглощением / Н. Н. Розанов, А. В. Федоров, С. В. Федоров, Г. В. Ходова // ЖЭТФ. 1995. - Т. 107, № 2. -С. 376-392.

154. Rosanov, N. N. Characterization of localized transverse structures in wideaperture lasers / N. N. Rosanov, A. V. Fedorov, S. V. Fedorov, G. V. Khodova // Physica D. — 1996. — Vol. 96, no. 10.- Pp. 272-281.

155. Chen, Y. F. Formation of repetitively nanosecond spatial solitons in a saturable absorber Q-switched laser / Y. F. Chen, Y. P. Lan // Phys. Rev. Lett. 2004. - Vol. 93. - P. 013901.

156. Tredicce, J. Comment on "Formation of repetitively nanosecond spatial solitons in a saturable absorber Q-switched laser-/ J. Tredicce, M. Guidici, P. Glorieux // Phys. Rev. Lett. 2005. - Vol. 94. - P. 249401.

157. Григорян, В. С. / В. С. Григорян, А. И. Маймистов, Ю. М. Скляров // ЖЭТФ. 1988. - Т. 94. - С. 174.

158. Окулов, А. Ю. / А. Ю. Окулов, А. Н. Ораевский // Труды ФИ АН СССР. 1988. - Т. 187. - С. 202.

159. Vanin, Е. V. Dissipative optical solitons / Е. V. Vanin, A. I. Korytin, A. M. Sergeev, D. Anderson, M. Lisak, L. Vazquez // Physical Review A. 1994. - Vol. 49, no. 4. - Pp. 2806-2811.

160. Калитпеевский, H. А. Формирование лазерных пуль / H. А. Калите-евский, Н. Н. Розанов, С. В. Федоров // Оптика и спектроскопия.— 1998. Т. 85, № 4. - С. 533-534.

161. Skryabin, D. V. Vortex induced rotation of clusters of localized states in the complex Ginzburg-Landau equation / D. V. Skryabin, A. G. Vladimirov // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 89, no. 4.- P. 044101.

162. Soto-Crespo, J. M. Stability of the pulselike solutions of the quintic complex Ginzburg-Landau equation / Л. M. Soto-Crespo, N. Akhmediev,

163. V. V. Afanasjev // J. Opt. Soc. America B. — 1996.- Vol. 13, no. 7.-Pp. 1439-1449.

164. Akhmediev, N. N. Multisoliton solutions of the complex Ginzburg-Landau equation / N. N. Akhmediev, A. Ankiewicz, J. M. Soto-Crespo // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 79, no. 21. - Pp. 4047-4050.

165. Akhmediev, N. N. Stable soliton pairs in optical transmission lines and fiber lasers / N. N. Akhmediev, A. Ankiewicz, J. M. Soto-Crespo // Journal of the Optical Society of America B. — 1998. — Vol. 15, no. 2. — Pp. 515-523.

166. Маймистов, А. И. Эволюция уединенных воли, близких к солитонам нелинейного уравнения Шредингера / А. И. Маймистов // ЖЭТФ.— 1993. Т. 104, № 5. - С. 3620-3629.

167. Маймистов, А. И. Распространение оптического УКИ в области нулевой дисперсии групповых скоростей второго порядка / А. И. Маймистов // Квантовая электроника. — 1994. — Т. 21. — С. 743-747.

168. Розанов, Н. Н. Характеристики лазерных автосолитонов в рамках метода моментов / Н. Н. Розанов // Оптика и спектроскопия. — 1996. — Т. 81, № 2.- С. 276-280.

169. Longhi, S. Ultrashort-pulse generation in degenerate optical parametric oscillators / S. Longhi // Opt. Lett 1995.- Vol. 20, no. 7. - Pp. 695697.

170. Staliunas, K. Localized structures in degenerate optical parametricoscillators / К. Staliunas, V. J. S&nchez-Morcillo // Opt. Commun.— 1996. Vol. 139, no. 4-6. - Pp. 306-312.

171. Longhi, S. Localized structures in optical parametric oscillation / S. Longhi // Physica Scripta.- 1997.- Vol. 56, no. 6.- Pp. 611-618.

172. Samson, B. A. Localized states in a nonlinear optical system with a binary-phase slice and a feedback mirror / B. A. Samson, M. A. Vorontsov // Phys. Rev. A. — 1997. — Vol. 56, no. 2.- Pp. 1621-1626.

173. Brambilla, M. Spatial soliton pixels in semiconductor devices / M. Brambilla, L. A. Lugiato, F. Prati, L. Spinelli, W. J. Firth // Phys. Rev. Lett. 1997.- Vol. 79, no. 11.- Pp. 2042-2045.

174. Michaelis, D. Multistable localized structures and superlattices in semiconductor optical resonators / D. Michaelis, U. Peschel, F. Lederer // Phys. Rev. A. 1997. - Vol. 56. - Pp. R3366-R3369.

175. Lodahl, P. Spatiotemporal structures in the internally pumped opticalparametric oscillator / P. Lodahl, M. Bache, M. Saffman // Phys. Rev.

176. A. 2001. - Vol. 63, no. 2. - P. 023815 12 pages.

177. Brand, H. R. Interaction of localized solutions for subcritical bifurcations / H. R. Brand, R. J. Dreissler // Phys. Rev. Lett.- 1989.- Vol. 63, no. 26. Pp. 2801-2804.

178. Захаров, В. E. О взаимодействии солитонов в усиливающей среде /

179. B. Е. Захаров, А. Б. Шабат // ЖЭТФ.- 1971.- Т. 61, № 1(7).1. C. 118-134.

180. Gorshkov, К. A. Interactions of solitons in nonintegrable systems: Direct perturbation method and applications / K. A. Gorshkov, L. A. Ostrovsky // Physica. 1981. - Vol. 3D. - Pp. 428-438.

181. Aranson, I. S. Stable particle-like solutions of multidimensional nonlinear fields / I. S. Aranson, K. A. Gorshkov, A. S. Lomov, M. I. Rabinovich // Physica D Nonlinear Phenomena. — 1990. — Vol. 43. — Pp. 435-453.

182. Afanasjev, V. V. Stability of bound states of pulses in the Ginzburg-Landau equations / V. V. Afanasjev, B. A. Malomed, P. L. Chu // Phys. Rev. E.~ 1997.- Vol. 56, no. 5.- Pp. 6020-6025.

183. Malomed, В. Bound solitons in the nonlinear Schrodinger-Ginzburg-Landau equation / B. Malomed // Phys. Rev. A — 1991.— Vol. 44, no. 10. Pp. 6954-6957.

184. Afanasiev, V. V. Soliton interaction in nonequilibrium dynamical systems / V. V. Afanasiev, N. Akhmediev j j Phys. Rev. E.— 1996.— Vol. 53.- Pp. 6471-6475.

185. Владимиров, А. Г. Бифуркационный анализ лазерных автосолитонов / А. Г. Владимиров, Н. Н. Розанов, С. В. Федоров, Г. В. Ходова // Квантовая электропика. — 1997. — Т. 24, № И. — С. 978-982.

186. Malomed, В. A. Potential of interaction between two- and three-dimensional solitons / B. A. Malomed // Phys. Rev. E. — 1998. — Vol. 58, no. 6. Pp. 7928-7933.

187. Владимиров, А. Г. Анализ устойчивости лазерных солитопов / А. Г. Владимиров, Н. Н. Розанов, С. В. Федоров, Г. В. Ходова // Квантовая электроника. 1998. - Т. 25, № 1. - С. 58-60.

188. Vladimirov, A. G. Numerical investigation of laser localized structures / A. G. Vladimirov, S. V. Fedorov, N. A. Kaliteevskii, G. V. Khodova, N. N. Rosanov // Journal of Optics B: Quantum & Semiclassical Optics. — 1999.-Vol. l.-Pp. 101-106.

189. Ostrovskaya, E. A. Multi-hump optical solitons in a saturable medium / E. A. Ostrovskaya, Y. S. Kivshar // Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics. — 1999. — Vol. 1, no. 1. — Pp. 77-83.

190. Ostrovskaya, E. A. Stability of multihump optical solitons / E. A. Ostrovskaya, Y. S. Kivshar, D. V. Skryabin, W. J. Firth // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 83, no. 2. - Pp. 296-299.

191. Schapers, B. Interaction of localized structures in an optical pattern-forming system / B. Schapers, M. Feldmann, T. Ackemann, W. Lange // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 85, no. 4.- Pp. 748-751.

192. Coullet, P. Stable static localized structures in one dimension / P. Coullet, C. Riera, C. Tresser // Phys. Rev. Lett.- 2000.- Vol. 84, no. 14.-Pp. 3069-3072.

193. Vladimirov, A. G. Stable bound states of one-dimensional autosolitons in a bistable laser / A. G. Vladimirov, G. V. Khodova, N. N. Rosanov // Phys. Rev. E. 2001. - Vol. 63. - Pp. 056607-1-6.

194. Pelinovsky, D. E. Bifurcations and stability of gap solitons in periodic potentials / D. E. Pelinovsky, A. A. Sukhorukov, Y. S. Kivshar // Phys. Rev. E.- 2004.- Vol. 70, no. 1,- Pp. 036618-1-17.

195. Staliunas, K. Midband dissipative spatial solitons / K. Staliunas // Phys. Rev. Lett. 2003. - Vol. 91. - P. 053901.

196. Staliunas, K. Midband solitons in nonlinear photonic crystal resonators / K. Staliunas // Phys. Rev. E. 2004. - Vol. 70. - P. 016602.

197. Yulin, A. V. Dissipative localized structures of light in photonic crystal films / A. V. Yulin, D. V. Skryabin, P. S. J. Russell // Optics Express. — 2005. Vol. 13. - Pp. 3529-3534.

198. Efremidis, N. К. Discrete Ginzburg-Landau solitons / N. K. Efremidis, D. N. Christodoulides // Phys. Rev. E. 2003. - Vol. 67.- P. 026606.

199. Maruno, K. Exact localized and periodic solutions of the discrete complex Ginzburg-Landau equation / K. Maruno, A. Ankiewicz, N. Akhmediev // Optics Communications.- 2003. -Vol. 221.- Pp. 199-209.

200. Peschel, U. Discrete cavity solitons / U. Peschel, O. Egorov, F. Lederer // Opt. Lett. 2004. - Vol. 29. - Pp. 1909-1911.

201. Ultanir, E. A. Dissipative photonic lattice solitons / E. A. Ultanir, G. I. Stegeman, D. N. Christodoulides // Opt. Lett- 2004.- Vol. 29.-Pp. 845-847.

202. Mullins, W. W. Morphological stability of a particle growing by diffusion or heat flow / W. W. Mullins, R. F. Sekerka // J. Appl. Phys. 1963. -Vol. 34, no. 2.- Pp. 323-329.

203. Mullins, W. W. Stability of a planar interface during solidification of a dilute binary alloy / W. W. Mullins, R. F. Sekerka // J. Appl. Phys. — 1964. Vol. 35, no. 2. - Pp. 444-451.

204. Pearson, J. E. Complex patterns in a simple system / J. E. Pearson // Science. 1993.- Vol. 261.- Pp. 189-192.

205. Lee, K. J. Pattern formation by interacting chemical fronts / K. J. Lee, W. D. McCormick, Q. Ouyang, H. L. Swinney // Science. — 1993. — Vol. 261.- Pp. 192-194.

206. Goldstein, R. E. Interface proliferation and the growth of labyrinths in areaction-diffusion system / R. E. Goldstein, D. J. Muraki, D. M. Petrich // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 53, no. 4. - Pp. 3933-3957.

207. Davies, P. W. Dividing blobs, chemical flowers, and patterned islands in a reaction-diffusion system / P. W. Davies, P. Blanchedeau, E. Dulos, P. D. Kepper // J. Phys. Chem. A. 1998.- Vol. 102, no. 43.- Pp. 82368244.

208. Peschel, U. Formation, motion, and decay of vectorial cavity solitons / U. Peschel, D. Michaelis, C. Etrich, F. Lederer // Phys. Rev. E. 1998. -Vol. 58, no. 3. - Pp. R2745-R2748.

209. Gallego, R. Self-similar domain growth, localized structures, and labyrinthine patterns in vectorial Kerr resonators / R. Gallego, M. San Miguel, R. Toral // Phys. Rev. E. 2000. - Vol. 61, no. 3.- Pp. 22412244.

210. Schenk, C. P. Interaction of self-organized quasiparticles in a two-dimensional reaction-diffusion system: The formation of molecules / C. P. Schenk, P. Schuetz, M. Bode, H. G. Purwins // Phys.' Rev. E.- 1998.-Vol. 57, no. 6. Pp. 6480-6486.

211. Mamaev, A. V. Bound dipole solitary solutions in anisotropic nonlocal self-focusing media / A. V. Mamaev, A. A. Zozulya, V. K. Mezentsev, D. Z. Anderson, M. Saffman // Phys. Rev. A. 1997. - Vol. 56, no. 2. -Pp. R1110-R1113.

212. Observation of dipole-mode vector solitons / W. Krolikowski, E. A. Ostrovskaya, C. Weilnau, M. Geisser, G. McCarthy, Y. S. Kivshar,

213. С. Denz, В. Luther-Davies 11 Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 85, no. 7. -Pp. 1424-1427.

214. Soljacic, M. Self-trapping of necklace beams in self-focusing Kerr media / M. Soljacic, S. Sears, M. Segev // Phys. Rev. Lett.- 1998.- Vol. 81, no. 22. Pp. 4851-4854.

215. Desyatnikov, A. S. Necklace-ring vector solitons / A. S. Desyatnikov, Y. S. Kivshar // Phys. Rev. Lett.- 2001.- Vol. 87, no. 3.- P. 033901 4 pages.

216. Buryak, A. V. Induced coherence and stable soliton spiraling / A. V. Buryak, Y. S. Kivshar, M. F. Shih, M. I. Segev // Phys. Rev. Lett.-1999. Vol. 82, no. 1. - Pp. 81-84.

217. Schjodt-Eriksen, J. Two-beam interaction in saturable media / J. Schjodt-Eriksen, M. R. Schmidt, J. J. Rasmussen, P. L. Christiansen, Y. B. Gaididei, L. Berge // Phys. Lett. A. — 1998. — Vol. 246. Pp. 423-428.

218. Soto-Crespo, J. M. Multisoliton regime of pulse generation by lasers passively mode locked with a slow saturable absorber / J. M. Soto-Crespo, N. N. Akhmediev // Journal of the Optical Society of America В.— 1999. Vol. 16, no. 4. - Pp. 674-677.

219. Skryabin, В. V. Frequency selection by soliton excitation in nondegenerate intracavity down-conversion / D. V. Skryabin, A. R. Champneys, W. J. Firth // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84, no. 3. - Pp. 463-466.

220. Vladimirov, A. G. Two-dimensional clusters of solitary structures in drivenoptica. cavities / A. G. Vladimirov, J. McSloy, D. V. Skryabin, W. J. Firth 11 Phys. Rev. E. 2002. - Vol. 65.- Pp. 046606-1-11.

221. Wolff, S. Intracavity stabilization of broad area lasers by structured delayed optical feedback / S. Wolff, H. Fouckhardt // Optics Espress.— 2000. Vol. 7, no. 6. - Pp. 222-227.

222. Vladimirov, A. Synchronization of weakly stable oscillators and semiconductor laser arrays / A. Vladimirov, G. Kozyreff, P. Mandel // Europhysics Letters. 2003. - Vol. 61, no. 5. - Pp. 613 -619.

223. Розанов, H. H. О спектре лазера с дополнительным зеркалом / Н. Н. Розанов // Оптика и спектроскопия. — 1974. — Т. 36, № 1. — С. 179182.

224. Розанов, Н. Н. О кинетике твердотельного лазера с дополнительным движущимся зеркалом / Н. Н. Розанов // Квантовая электроника. — 1974. Т. 1, № 10. - С. 2143-2147.

225. Lang, R. External optical feedback effects on semiconductor injection laser properties / R. Lang, K. Kobayashi // IEEE J. Quantum Electron. — 1980. Vol. QE-16. - Pp. 347-355.

226. Ohtsu, M. Highly Coherent Semiconductor Lasers / M. Ohtsu. — Bristol: Artech House Publishers, 1992.- Vol. 101-1052 of Artech House Optoelectronics Library. — pp. 124-140.

227. Nichols, S. Ubiquitous neutral stability of splay-phase states / S. Nichols, K. Wiesenfeld // Phys. Rev. A. — 1992.- Vol. 45, no. 12.- Pp. 84308435.

228. Strogatz, S. H. Splay states in globally coupled Josephson arrays: Analytical prediction of floquet multipliers / S. H. Strogatz, R. E. Mirollo // Phys. Rev. E. 1993. - Vol. 47, no. 1.- Pp. 220-227.

229. Carr, T. W. Theory of a multimode semiconductor laser with optical feedback / T. W. Carr, D. Pieroux, P. Mandel // Phys. Rev. A. 2001. -Vol. 63, no. 3,- P. 033817 (15 pages).

230. Bonilla, L. L. Chapman-Enskog method and synchronization of globally coupled oscillators / L. L. Bonilla // Phys. Rev. E.- 2000.- Vol. 62, no. 4. Pp. 4862-4868.

231. Alsing, P. M. Lang and Kobayashi phase equation / P. M. Alsing, V. Kovanis, A. Gavrielides, T. Erneux // Phys. Rev. A. 1996. - Vol. 53, no. 6. - Pp. 4429-4434.

232. Ахмедиев, H. H. Солитоны. Нелинейные импульсы и пучки / Н. Н. Ахмедиев, А. Анкевич. — М.: Физматлит, 2003.

233. Кившаръ, Ю. С. Оптические солитоны. От световодов к фотонным кристаллам / Ю. С. Кившарь, Г. П. Агравал. — М.: Физматлит, 2005.

234. Keener, J. P. Principles of Applied Mathematics: Transformation and Approximation / J. P. Keener. — Addison Wesley, 1988. — Vol. no. 2, 1917 of Advanced Book Program.

235. Tromborg, B. Travelling wave analysis of semiconductor lasers / B. Tromborg, H. E. Lassen, H. Olesen // IEEE J. Quantum Electron.— 1994. Vol. 30. - Pp. 939-956.

236. Bandelow, U. Impact of gain dispersion on the spatio-temporal dynamics of multisection lasers / U. Bandelow, M. Radziunas, J. Sieber, M. Wolfrum // IEEE J. Quantum Electron. 2001.- Vol. 37, no. 183188.

237. Владимиров, А. Г. Новая модель для описания синхронизации мод в полупроводниковом лазере / А. Г. Владимиров, Д. Тураев // Известия высших учебных заведений. Радиофизика. — 2004. — Т. 47, № 10-11.-С. 857-865.

238. Vladimirov, A. G. Model for passive mode-locking in semiconductor lasers / A. G. Vladimirov, D. Turaev // Phys. Rev. A. 2005. - Vol. 72. -R 033808 (13 pages).

239. Bandelow, U. 40 GHz modelocked semiconductor lasers: Theory, simulations and experiment / U. Bandelow, M. Radziunas, A. G. Vladimirov, B. Huettl, R. Kaiser // Optical and Quantum Electronics. — 2006. Vol. 38, no. 4. - Pp. 495-512.

240. Rachinskii, D. Q-switching instability in a mode-locked semiconductor laser / D. Rachinskii, A. Vladimirov, U. Bandelow, B. Hiittl, R. Kaiser // J. Opt. Soc. Am. В. 2006. - Vol. 23, no. 4. - Pp. 663-670.

241. Agrawal, G. P. Self-phase modulation and spectral broadening of opticalpulses in semiconductor laser amplifiers / G. P. Agrawal, N. A. Olsson // IEEE J. Quantum Electron. 1989. - Vol. 25. - Pp. 2997-2306.

242. Khalfin, V. B. A theoretical model of synchronization of a mode-locked semiconductor laser with an external pulse stream / V. B. Khalfin, J. M. Arnold, J. H. Marsh // IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron. 1995. — Vol. 1.- Pp. 523-527.

243. Ikeda, K. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity / K. Ikeda // Opt. Commun. — 1979. — Vol. 30.- Pp. 257-261.

244. Ikeda, K. Optical turbulence: Chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity / K. Ikeda, H. Daido, O. Akomoto // Phys. Rev. Lett. — 1980. Vol. 45. - Pp. 709-712.

245. Гуревич, Г. JI. / Г. JI. Гуревич // Известия ВУЗов. Радиофизика.— 1970.-Т. 13, № 1019.

246. Гуревич, Г. JI. / Г. Л. Гуревич, Я. И. Ханин // Журнал технической физики. 1970. - Т. 40. - С. 1566.

247. Mandel, P. Stationary, harmonic, and pulsed operations of an optically bistable laser with saturable absorber / P. Mandel, T. Erneux // Phys. Rev. A.- 1984.- Vol. 30.- Pp. 1893-1901.

248. Erneux, T. Q-switching bifurcation in a laser with a saturable absorber / T. Erneux // J. Opt. Soc. Am. B. 1988. - Vol. 5.- Pp. 1063-1069.

249. Yamada, M. A theoretical analysis of self-sustained pulsation phenomenain narrow stripesemiconductor lasers / M. Yamada // IEEE J. Quantum Electron. 1993. - Vol. QE-29. - P. 1330.

250. Владимиров, А. Г. Режим динамического хаоса в генерации лазера с поглощающей ячейкой / А. Г. Владимиров, Э. Е. Фрадкин // Оптика и спектроскопия. 1989. - Т. 67, № 1. - С. 219-221.

251. Владимиров, А. Г. Периодическая одномодовая генерация в лазере с поглощающей ячейкой / А. Г. Владимиров, Е. Б. Пелюхова, Э. Е. Фрадкин // Оптика и спектроскопия. — 1989. — Т. 67, № 4. — С. 944948.

252. Vladimirov, A. Low-intensity chaotic operations of a laser with a saturable absorber / A. Vladimirov, D. Volkov // Optics Communications. — 1993. Vol. 100, no. 1-4. - Pp. 351-360.

253. Chen, J. C. Stability of lasers mode locked by two saturable abssorbers / J. C. Chen, H. A. Haus, E. P. Ippen // IEEE J. Quantum Electron.— 1993. Vol. QE-29. - Pp. 1228-1232.

254. Low noise monolithic 40 GHz mode-locked DBR lasers based on GalnAsP/InP // Proceedings of The 17th Indium Phosphide and Related Materials Conference. — Glasgow, UK: 2005.

255. Engelborghs, К. DDE-BIFTOOL v. 2.00: A matlab package for bifurcation analysis of delay differential equations: Tech. Rep. TW-330 / K. Engelborghs, T. Luzyanina, G. Samaey. — Leuven, Belgium: Department of Computer Science, K.U.Leuven, 2001.

256. Guglielmi, N. Users' Guide for the Code RADAR5, 2000.

257. Nizette, M. Pulse interaction via gain and loss dynamics in passive mode-locking / M. Nizette, D. Rachinskii, A. G. Vladimirov, M. Wolfrum // Physica D. 2006. - Vol. 218, no. 1. - Pp. 95-104.

258. Yu, S. Mode locking in large monolithic semiconductor ring lasers / S. Yu, T. F. Krauss, P. J. R. Laybourn // Opt. Eng.- 1991.- Vol. 37.-Pp. 1164-1168.

259. Hohimer, J. P. Passive mode-locking of monolithic semiconductor ring lasers at 86 GHz / J. P. Hohimer, G. A. Vawter // Appl. Phys. Lett.— 1993. Vol. 63. - Pp. 1598-1600.

260. Catherall, J. M. Role of spontaneous emission in dynamics of mode locking by synchronous pumping / J. M. Catherall, G. H. C. New // IEEE J. Quantum Electron. 1986. - Vol. QE-22. - Pp. 1593-1599.

261. Catherall, J. M. Approach to the theory of mode locking by sinchronous pumping / J. M. Catherall, G. H. C. New, P. M. Radmore // Opt. Lett. — 1982.- Vol. 7.- Pp. 319-321.

262. New, G. H. C. Self-stabilization of synchronously mode-locked lasers / G. H. C. New j j Opt. Lett. 1990. - Vol. 15, no. 1306-1308.

263. Giacomelli, G. Relationship between delayed and spatially extended dynamical systems / G. Giacomelli, A. Politi // Phys. Rev. Lett — 1996. — Vol. 76.-Pp. 2686-2689.

264. Grigorieva, Е. V. Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback / E. V. Grigorieva, H. Haken, S. A. Kaschenko, A. Pelster // Physica D. 1999. - Vol. 125. - Pp. 123141.

265. Viktorov, E. A. A model for mode-locking in quantum dot lasers / E. A. Viktorov, P. Mandel, A. G.Vladimirov, U. Bandelow // Appl. Phys. Lett 2006. - Vol. 88. - P. 201102 (3 pages).

266. Staliunas, K. Laser Ginzburg-Landau equation and laser hydrodynamics / K. Staliunas // Phys. Rev. A. 1993. - Vol. 48, no. 2. - Pp. 1573-1581.

267. Vladimirov, A. G. Theoretical analysis of multimode instability in a laser with a saturable absorber // Nonlinear Dynamics in Lasers and Optical Systems, Proceedings of SPIE / Ed. by L. A. Melnikov. Vol. 2099. -1994. - Pp. 130-140.

268. Владимиров, А. Г. Возникновение генерации в многомодовом лазере с насыщающимся поглотителем / А. Г. Владимиров // Оптика и спектроскопия. 1997. - Т. 82, № 4. - С. 688-695.

269. Fedorov, S. V. Effect of frequency detunings and finite relaxation rates on laser localized structures / S. V. Fedorov, A. G. Vladimirov, G. V. Khodova, N. N. Rosanov // Phys. Rev. E.- 2000.- Vol. 61, no. 5.-Pp. 5814-5824.

270. Розанов, H. H. О свойствах солитонов, описываемых обобщенным квазиоптическим уравнением / Н. Н. Розанов // Оптика и спектроскопия. 1995. - Т. 78, № 1. - С. 88-91.

271. Malomed, В. A. Stable autosolitons in dispersive media with saturable gain and absorption / B. A. Malomed, A. G. Vladimirov, G. V. Khodova, N. N. Rosanov // Physics Letters A. 2000. - Vol. 274. - Pp. 111-116.

272. Розанов, H. H. Энергетический баланс и оценка параметров лазерного автосолитона / Н. Н. Розанов // Оптика и спектроскопия. — 1996. — Т. 80, № 5. С. 856-857.

273. Guckenheimer, J. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields / J. Guckenheimer, P. Holmes. — Springer NY, 1983.

274. Crawford, J. B. Introduction to bifurcation theory / J. D. Crawford // Rev. Mod. Phys. — 1991. — Vol. 63.- P. 000991(48 pages).

275. Кузнецов, Ю. А. Одномерные сепаратрисы системы обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящей от параметров, — Материалы по математическому обеспечению ЭВМ, вып. 8, Пущино. — 1983.

276. Шильников, Л. П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений / J1. П. Шильников // ДАН СССР.— 1965. Т. 160, № 3. - С. 558-561.

277. Шильников, Л. П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус / J1. П. Шильников // Математический сборник. 1970. - Т. 81(123), № 1.- С. 92-103.

278. Владимиров, А. Г. О комплексной модели Лоренца / А. Г. Владимиров, В. Ю. Торонов, В. Л. Дербов // Известия ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. — 1995. — Т. 3, № 6. — С. 78-82.

279. Vladimirov, A. G. Complex Lorenz equations // Current Russian Research in Optics and Photonics on Nonlinear Dynamics of Laser and Optical Systems, Proc. SPIE / Ed. by V. V. Tuchin. Vol. 3177.1997. - Pp. 97-106.

280. Vladimirov, A. The complex Lorenz model: geometric structure, homoclinic bifurcation and one-dimensional map / A. Vladimirov, V. Toronov, V. Derbov // International Journal of Bifurcations and Chaos. 1998. - Vol. 8, no. 4. - Pp. 723-729.

281. Буслаев, В. С. Рассеяние для нелинейного уравнения Шредиигера. Состояния близкие к солитону. / В. С. Буслаев, Г. С. Перельман // Алгебра и анализ. 1992. - Т. 4. - С. 63-102.

282. Vladimirov, A. Nonlinear dynamics in a single mode three-level laser without inversion / A. Vladimirov, P. Mandel, S. Yelin, M. Lukin, M. Scully // Phys. Rev E. 1998. - Vol. 57, no. 2.- Pp. 1499-1510.

283. Арнольд, В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В. И. Арнольд. — М.: Наука, 1978.— 304 с.

284. Федоров, С. В. Автосолитоны в бистабильных лазерах класса В / С. В. Федоров, Н. Н. Розанов, А. Г. Владимиров // Оптика и спектроскопия. 1998. - Т. 85, № 6. - С. 986-988.

285. Федоров, С. В. Автоволновые процессы в бистабильном лазере / С. В. Федоров, Н. Розанов // Квантовая электроника. — 1999. — Vol. 27. — Pp. 175-179.

286. Afanasjev, V. V. Interpretation of the effect of reduction of soliton interaction by bandwidth-limited amplification / V. V. Afanasjev // Optics Letters. — 1993. — Vol. 18, no. 10.- Pp. 790-792.

287. Vladimirov, A. G. Bragg localized structures in a passive cavity with transverse modulation of the refractive index and the pump / A. G. Vladimirov, D. V. Skryabin, G. Kozyreff, P. Mandel, M. Tlidi // Optics Express. 2006. - Vol. 15, no. 1. - Pp. 1-6.

288. Mc Laughlin, D. W. Solitary waves as fixed points of infinite-dimensional maps in an optical bistable ring cavity / D. W. Mc Laughlin, J. V. Moloney, A. C. Newell // Phys. Rev. Lett.- 1983.- Vol. 51, no. 2.-Pp. 75-78.

289. Scroggie, A. J. Pattern formation in a passive Kerr cavity / A. J. Scroggie, W. J. Firth, G. S. McDonald, M. Tlidi, R. Lefever, L. A. Lugiato // Chaos, Solitons and Fractals. 1994. - Vol. 4. - Pp. 1323-1354.

290. Trillo, S. Stable topological spatial solitons in optical parametric oscillators / S. Trillo, M. Haelterman, A. P. Sheppard // Opt. Lett.— 1997. Vol. 22. - Pp. 970-972.

291. Staliunas, K. Dynamics of phase domains in the Swift-Hohenberg equation / K. Staliunas, V. J. Sanchez-Morcillo // Phys. Lett. A 241 28. 1998. - Vol. 241. - P. 28.

292. Taranenko, V. B. Pattern formation and localized structures in degenerate optical parametric mixing / V. B. Taranenko, K. Staliunas, C. 0. Weiss // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81, no. 11.- Pp. 2236-2239.

293. Le Berre, M. Localized structures in chaotic patterns: From disorder to ordering / M. Le Berre, A. S. Patrascu, E. Ressayre, A. Tallet // Phys. Rev. A. 1997. - Vol. 56, no. 4. - Pp. 3150-3160.

294. Tlidi, M. Spatiotemporal patterns and localized structures in nonlinear optics / M. Tlidi, P. Mandel, M. Haelterman // Phys. Rev. E. — 1997. — Vol. 56. Pp. 6524-6530.

295. Tlidi, M. Space-time localized structures in the degenerate optical parametric oscillator / M. Tlidi, P. Mandel // Phys. Rev. A. — 1999. — Vol. 59, no. 4. Pp. R2575-R2578.

296. Tlidi, M. Scaling laws for localized pattern formation in optical bistability / M. Tlidi, P. Mandel // Europhys. Lett. 1998.- Vol. 44.-Pp. 449-453.

297. Tlidi, M. Kinetics of localized pattern formation in optical systems /

298. M. Tlidi, P. Mandel, R. Lefever // Phys. Rev. Lett.- 1998.- Vol. 81, no. 5. Pp. 979-982.

299. Tlidi, M. Curvature instability in passive diffractive resonators / M. Tlidi, A. G. Vladimirov, P. Mandel // Phys. Rev. Lett.- 2002.- Vol. 89, no. 23.- P. 233901 (4 pages).

300. Harkness, G. K. Computer-aided determination of existence and stability of optical patterns // International Quantum Electronics Conference. — Nice: 2000. paper QTuE12.

301. Tlidi, M. Interaction and stability of periodic and localized structures in optical bistable systems / M. Tlidi, A. G. Vladimirov, P. Mandel // IEEE Journal of Quantum Electronics. — 2003. — Vol. QE-39, no. 2. — Pp. 197-205.

302. Владимиров, А. Г. Об устойчивости и осцилляциях солитонов, описываемых возмущенным нелинейным уравнением Шредингера / А. Г. Владимиров, Н. Н. Розанов // Оптика и спектроскопия. — 2000.— Т. 89, № 5. С. 731-739.

303. Розанов, Н. Н. Непараксиальный пространственный оптический со-литон в среде с керровской нелинейностью / Н. Н. Розанов, Н. В.

304. Высотина, А. Г. Владимиров // ЖЭТФ.- 2000.- Vol. 91, по. 6.-Pp. 1130-1140.

305. Rosanov, N. Internal oscillations of solitons in two-dimensional NLS equation with nonlocal nonlinearity / N. Rosanov, A. Vladimirov, D. Skryabin, W. Firth // Physics Letters A. 2002. - Vol. 293, no. 1-2. -Pp. 45-49.

306. Веретенов, H. А. Об условиях существования лазерных пуль / Н. А. Веретенов, А. Г. Владимиров, Н. А. Калитеевский, Н. Н. Розанов, С. В. Федоров, А. Н. Шацев // Оптика и спектроскопия. — 2000.— Т. 89, № 3.- С. 416-419.

307. Rosanov, N. N. Curvilinear motion of multivortex laser-soliton complexes with strong and weak coupling / N. N. Rosanov, S. V. Fedorov, A. N.Shatsev // Phys. Rev. Lett. 2005. - Vol. 95. - P. 053903.