Нелинейная динамика радиофизических систем: теоретические и прикладные аспекты тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Введение. ф

Глава I Нслинсйно-парамстричсские эффекты и динамический хаос.

Вводные замечания.

1.1 Построение математической модели общего вида.

1.2 Математическая модель в резонансном случае.

1.3 Результаты численного анализа математической модели.

1.4 Оценка ляпуновской размерности аттрактора.

1.5 Физический эксперимент (вариации амплитуды внешней силы).

1.6 Исследование бифуркационных процессов при вариациях частоты t внешней силы. Численный и натурный эксперименты.

Краткая история, состояние проблемы и ее актуальность

Одним из основных предметов исследования радиофизики являются физические процессы, связанные с генерацией электромагнитных колебаний и волн.

Стандартным требованием, предъявляемым к автогенераторам, является высокая чистота спектра выходного сигнала, узость его спектральной линии. К настоящему времени известны многообразные технические приемы, позволяющие добиться требуемого результата. К ним можно отнести приемы, связанные с явлением затягивания частоты автогенератора внешним высокодобротным резонатором, умножение в требуемое число раз частоты низкочастотного кварцевого генератора или какого-либо стандарта частоты, использование систем фазовой привязки (фазовой синхронизации) и ряд других, реже используемых, методов.

Однако можно сформулировать ряд чрезвычайно важных с точки зрения практических приложений задач, для решения которых требуются источники сигналов с совершенно противоположными свойствами, а именно: устройства воспроизводящие сигналы с широкой спектральной линией, с высокой спектральной плотностью, занимающей широкий частотный диапазон.

Так, например, современная радиофизика и радиоэлектроника испытывает повышенную потребность в источниках широкополосных, шумоподобных колебаний. Эта потребность обусловлена возможностью построения на их основе современных систем радиопротиводействия и радиомаскировки, шумовой радиолокации и конфиденциальной связи, сверхбыстродействующей радиосвязи, криптографических структур, приборов нетрадиционного воздействия на биологические объекты, различного рода устройств специального назначения.

Кроме того, интерес к нелинейным радиофизическим структурам, генерирующим хаотические типы колебаний, обусловлен потребностью получения новых знаний, повой информации, новых законов функционирования, поскольку эти новые знания могут быть востребованы па практике для решения ряда важных прикладных задач нетрадиционными методами.

Теория колебаний, являясь междисциплинарной наукой, исследует наиболее общие свойства динамических систем различной природы и в настоящее время интенсивно развивается. В немалой мере этому способствовало открытие ограниченных непериодических движений в нелинейных консервативных и диссипативных системах с небольшим числом степеней свободы. Такие движения, называемые стохастическими или хаотическими, как следует из огромного числа посвященных им публикаций, к настоящему времени обнаружены в механических, электромагнитных, химических, биологических и многих других структурах.

В фазовом пространстве геометрическим образом хаотических движений является странный аттрактор, отличительным свойством которого является фрак6 талыюсть, а одной из мер странности - дробная размерность Хаусдорфа-Безиковича. Демонстрировать указанные режимы способны лишь структуры, обладающие существенной зависимостью от малых вариаций начальных условий, что находит отражение в положительном значении хотя бы одного из полного спектра характеристических показателей Ляпунова.

Исследованием указанных типов колебаний занимается новая область физики, которая называется по-разному: нелинейная физика, нелинейная динамика, теория детерминированного хаоса, синергетика, nonlinear science, complexity. Предмет этой новой области необычайно широк и разнообразен. Он включает в себя радиофизику, гидродинамику, механику, акустику и многое другое [1-4].

Открытие ограниченных, неустойчивых по Ляпунову, но устойчивых по Пуассону движений в физических системах самой разнообразной природы явилось одним из крупнейших достижений современной физической науки. Стало ясно, что на длительное время от нас был скрыт целый мир динамических явлений и процессов - мир динамического хаоса. В этом мире уже нет места ранее незыблемой уверенности в абсолютной предсказуемости поведения системы на любом этапе ее эволюции. Потребовались принципиальные перемены во взглядах на вопросы функционирования давно и детально изученных физических структур.

По мнению таких известных ученых, популяризаторов и методологов науки современности как И.Р. Пригожин [5,6], Г. Хакен [7,8], Д.И. Трубецков [9,10], С.П. Курдюмов [11,12], Ю.И. Неймарк, П.С. Ланда [1,13], Заславский Г.М. [14], С.П. Капица, Г.Г. Малинецкий [15], B.C. Аншцепко [16], С.П. Кузнецов [17], А.С. Дмитриев, В.Я. Кислов [18] и многих других, нелинейная физика является лидером наук на рубеже XX-XXI столетий. Лауреат Нобелевской премии по физике 2003 г. В.Л. Гинзбург в своем известном списке тридцати наиболее важных и интересных проблем физики и астрофизики XXI века [19] на одном из первых мест располагает нелинейную физику, турбулентность, детерминированный хаос и фракталы.

Для понимания современного состояния проблемы необходимо, вкратце, коснуться ее истории. В начале 19-го века Навье впервые вывел уравнения + (uV)u - vV2u = -Vp + f, dt

Vu = 0,

Bl) описывающие течение несжимаемой жидкости, движущейся со скоростью и под действием внешней силы f; р- давление, v- вязкость, t- время. В классической постановке (точная формулировка и доказательство теоремы о трехмерном движении на достаточно больших интервалах времени) проблема не решена до сих пор, о природе турбулентности (термин, введенный Кельвином) известно достаточно пемного. Поэтому турбулентность является одной из старейших нерешенных проблем современной физики.

В то же время проблемы перехода от ламинарных течений к турбулентным важны для целого ряда практических приложений, например, для гидро- и аэромеханики. Более того, проблема возникновения турбулентности и анализа возникающих неустойчивостей важна не только в связи с инженерными потребностями. Ведь большая часть среды, заполняющей Вселенную, находится в турбулентном движении, поэтому с неустойчивостями сталкиваются в физике атмосферы и астрофизике, в радиофизике, в океанологии, физике планет?многих других областях пауки.

Одним из первых (1934г.), кто предпринял попытку создания теории турбулентности, был французский исследователь Д. Лерой [20]. Возникновение нерегулярных во времени и пространстве решений для потока (В1) он объяснял следующим образом. Теорема существования и единственности для трехмерных уравнений Навье - Стокса доказана лишь для локальных полупотоков, т.е. для потоков текущих в положительном направлении изменения времени и на малых временных интервалах. Следовательно, турбулентность обусловлена просто нарушением теоремы на больших временных интервалах. Но вскоре было доказано существование глобальных решений во времени для двумерных уравнений Навье - Стокса, а это указывало на противоречивый характер теории Лероя. Кроме того, теория Лероя была далека от физики явления.

В 1944г. советский физик Л.Д. Ландау предложил свою стройную и внутренне непротиворечивую теорию слабой турбулентности [21], в которой рассматривался переход от ламинарного течения жидкости к турбулентному по мере увеличения числа Рейнольдса Re - параметра, пропорционального скорости течения жидкости и обратно пропорционального ее вязкости. Суть теории Ландау сводилась к следующему.

Пусть равновесное состояние замкнутой системы нарушается, например, при возникновении градиента давления. При этом жидкость будет двигаться в сторону меньших значений давления и возникает ламинарное течение, в котором потоки и термодинамические силы связаны линейными соотношениями, а производство энтропии минимально.

Из-за неизбежных флуктуаций возникают малые отклонения скорости движения от стационарных значений, экспоненциально затухающие во времени. При увеличении средней скорости потока выше критической некоторые из малых возмущений перестают затухать, скорость движения жидкости начинает осциллировать с некоторой частотой со,. Происходит первая бифуркация Хопфа. Линейная зависимость между потоками и силами нарушается и уже не выполняется теорема Пригожина о минимальном приросте энтропии.

При дальнейшем увеличении Re периодический режим также теряет устойчивость. Появляются осцилляции скорости еще с одной частотой со2» в общем случае несоизмеримой с частотой со,. Устанавливается квазипериодический режим, которому в фазовом пространстве соответствует двумерный тор . Далее последовательно возбуждаются частоты со3,со4,.,соЛ/, при этом интервал частот сокращается, и, по теории Ландау, появляющиеся новые движения имеют все более мелкие масштабы. Нерегулярное поведение, типичное для турбулентного движения, есть результат бесконечного каскада бифуркаций. Из-за нелинейности наряду с частотами со3,со4,.,сол/ возникают их суммарные и разностные комбинации. Аттрактор турбулентного потока представляет тор достаточно большой размерности Тм. Фурье-спектр такого движения имел бы линейчатый характер, но неизбежное присутствие малых флуктуаций ведет к размыванию дискретиых спектральных линий и приданию спектру континуального характера. В результате каскада бифуркаций Хопфа при достаточно больших М и возникает турбулентный поток. Из теории Ландау непосредственно следовало, что хаотическое поведение во времени и пространстве может возникать только в системах с очень большим числом степеней свободы, с размерностью фазового пространства, превышающей размерность аттрактора Тм.

Ситуация изменилась коренным образом в 60-х годах прошлого века, когда американский метеоролог Э. Лоренц в численном эксперименте показал [22], что существует поток х = -ох + оу, < у = гх-у-xz, (В2) z = ~bz + ху, с положительными параметрами o,b,r, который воспроизводит хаотические типы колебаний при отсутствии каких-либо внутренних и внешних флуктуаций. Нерегулярное поведение определялось только внутренней динамикой системы (В2). Поток Лоренца имел всего полторы степени свободы, а размерность вложения его фазового пространства равнялась всего трем. Таким образом, впервые было показано, что генерация сложных хаотических колебаний не является свойством физических систем с большим числом степеней свободы, достаточно чтобы система описывалась системой трех нелинейных диффереициальиых уравнений.

Справедливости ради, необходимо отметить, что сам Э.Лоренц признавал приоритет в открытии ограниченных непериодических движений Б. Зальцману [23], кроме того, на приоритет в обозначенной проблеме вполне обоснованно претендует горьковская школа теории нелинейных колебаний [1].

Представленные Э.Лоренцем результаты долгое время рассматривались, как сомнительные, как результат непонятой до конца погрешности численного эксперимента и, поэтому, не привлекали особого внимания исследователей. Потребовалось еще около восьми лет для того, чтобы научное сообщество осознало фундаментальное значение этого открытия.

Положение радикально изменилось только после появления в 1971 г. важной работы французских математиков Д. Рюэля и Ф. Такенса [24]. В ней впервые было введено понятие "странного аттрактора" и строго доказана реальность его возникновения и существования в потоковых системах с размерностью фазового пространства равной или большей трем. Аттрактор был назван "странным" вследствие того, что топологически он отличался от хорошо известных в то время аттракторов - точки покоя, предельного цикла и тора. На странном аттракторе любые две первоначально сколь угодно близкие траектории, в конце концов, расходятся. Более того, расхождение траекторий (усредненное по коротким интервалам времени) возрастает со временем экспоненциально.

Работа Рюэля и Такенса имела сугубо математический характер, поэтому природа турбулентности аттрактора авторами не обсуждалась, а само существование такого аттрактора просто постулировалось. Турбулентное течение определялось как течение, у которого фазовые траектории не притягивались ни к одной замкнутой кривой.

Согласно Рюэлю и Такенсу, последовательность бифуркаций, приводящая к хаосу, может выглядеть следующим образом: состояние покоя => предельный цикл => тор Т2 => странный аттрактор. Следовательно, хаотическое движение становится возможным после двух бифуркаций Хопфа, когда у фазовых траекторий появляется возможность выхода в дополнительное третье измерение, т.к. двухчас-тотное движение соответствует движению на торе Т2, на котором пересечение фазовых траекторий запрещается известной теоремой Пуанкаре [25].

После выхода в свет работы [24] хлынул поток публикаций, посвященный хаотическим колебаниям динамических систем. Апериодические, устойчивые но Пуассону режимы были обнаружены в объектах самой различной природы. Знания о природе турбулентности существенно пополнились.

Уместно кратко перечислить основные причины, которые привели к тому, что хаотические явления и процессы длительное время не привлекали внимания исследователей нелинейных систем. Таких причин можно назвать несколько.

• Теорема Коши, согласно которой движение детерминированной системы однозначно определяется начальными условиями и, следовательно, не может быть случайным.

• Теория слабой турбулентности Ландау, которая утверждала, что турбулентному потоку соответствует тор очень высокой размерности, следовательно, в системах с небольшим числом степеней свободы нерегулярности быть не может.

• Отсутствие ЭВМ, что не позволяло методами качественного исследования решений дифференциальных уравнений изучать динамические системы с размерностью фазового пространства большей, чем два, но, как было установлено позднее, хаос возможен только в нелинейных системах с размерностью фазового пространства не менее трех.

В силу указанных причин хаотические движения воспринимались как нечто физически не реализуемое, если и возможное в консервативном мире гам ил ьто новых систем с несжимаемым фазовым пространством, то никак невозможное в мире систем диссипативных, обладающих отрицательной дивергенцией фазового потока, с непрерывно сжимающимся фазовым объемом.

Однако тщательные численные и натурные эксперименты и новый взгляд на проблему позволили установить, что теорема Коши не препятствует сложной апериодической, нетрадиционной динамике. Действительно, если рассматривать фазовое пространство с размерностью три и более, то оказывается, что фазовые траектории могут блуждать в этом пространстве сколь угодно долго, ни разу не пересекаясь, т.е. не нарушая условия теоремы. На двухмерном пространстве - плоскости такого не могло бы произойти, так как в ограниченной области фазового пространства (что следует из условия диссипативности) траектории, соответствующие нерегулярным колебаниям непременно бы пересеклись. В этом случае из одной точки выходило бы уже две траектории, а именно эта неоднозначность и запрещается теоремой Коши.

После появления работы Рюэля-Такенса стало ясно, что теория Ландау описывает лишь один из возможных сценариев возникновения динамической неустойчивости и, может быть, далеко не самый распространенный в природе.

Появление мощной электронной вычислительной техники и оснащение ею обычных лабораторий открыло исследователям доступ в мир систем, обладающих сложной, нетрадиционной динамикой. Таким образом, неприятие динамических систем с хаотическими типами колебаний долгое время было обусловлено не какими-либо принципиальными теоретическими запретами, а определенной инерционностью в смене представлений о динамике достаточно простых систем.

Отметим, что динамический хаос еще не является турбулентностью, поскольку под развитой турбулентностью понимается нерегулярное поведение, как во времени, так и в пространстве. Однако хаос являет собой начальную стадию турбулентности - турбулентность только во времени, поэтому многие исследователи справедливо считают, что исследование хаотических процессов существенно прояснит понимание механизмов происхождения развитой турбулентности.

В то же время в ряде случаев возникновение и развитие хаотических состояний является крайне нежелательным. В качестве негативного примера можно привести хорошо известный случай [26], когда 13 июля 1977 г. произошла катастрофа - внезапная потеря управляемости энергосистемой города Ныо-Йорка. Вследствие резкого и неожиданного разбаланса между притоком и оттоком электрической энергии энергетическая система перешла из равновесного состояния в хаотическое, способы управления которым были неизвестны. В таком состоянии город находился около 25 часов, материальные потери были колоссальны. Поэтому изучение способов управления степенью упорядоченности движений в динамических системах представляется также крайне важным и своевременным.

Весьма перспективными для решения ряда практических задач являются достижения нелинейной динамики в области динамического хаоса. Так, например, известны положительные результаты, достигнутые при построении систем высокоскоростной прямохаотической связи в радио и СВЧ диапазонах [27,28], при разработке широкополосных СВЧ автогенераторов с высокой спектральной плотностью [29]. В настоящее время широкополосные хаотические сигналы рассматриваются как новый класс сигналов, способных эффективно переносить информационную компоненту [30-32].

Выделим основные классы задач теории и практических приложений динамического хаоса, являющиеся наиболее актуальными в настоящее время.

• Общая теория бифуркационных явлений и процессов в хаотических системах. Исследования включают в себя изучение самых общих закономерностей в поведении автономных и неавтономных систем с хаотическими типами колебаний, поиск новых сценариев перехода от регулярных движений к хаотическим, анализ свойств источников хаоса, построение и исследование простейших моделей, способных демонстрировать непериодические колебания при минимальных вычислительных затратах. Чрезвычайно важными представляются вопросы, связанные с управлением хаосом, стохастическим резонансом, задачи управления поведением одного хаотического источником путем воздействия на него сигналом другого хаотического источника, хаотической синхронизации, исследования возможных типов коллективного поведения при взаимодействии ансамблей хаотических систем, условия синхронизации и десинхронизации движений в таких ансамблях [110, 13, 17, 24, 34-69].

• Генерация динамического хаоса аналоговыми и цифровыми структурами. Исследования направлены на практическое создание, исследование свойств и практического использования хаотических источников в различных диапазонах частот. Особое внимание уделяется созданию источников с воспроизводимыми спектральными и статистическими характеристиками в заданных областях электромагнитного спектра. Цифровые структуры в силу ряда причин генерируют псевдослучайный хаос, но перенесение его на реальную генерирующую структуру с непрерывным фазовым пространством и неизбежными внутренними флуктуа-циями позволяет формировать действительно случайный процесс, обладающий свойствами непредсказуемости и неповторяемостп. [18, 60-65, 68-104].

• Конфиденциальная передача информации в компьютерных сетях и системах радиосвязи. В подавляющем большинстве современных систем связи в качестве носителя информации используются гармонические колебания, модулированные по амплитуде, частоте или фазе. Передача информационной компоненты с использованием хаотической несущей существенно расширяют возможности разработчиков. Это обусловлено тем, что один и тот же хаотический источник может воспроизводить практически неограниченное число сигналов при малейших изменениях значения параметра одного из своих элементов. Возникающие при этом изменения характера колебаний может быть надежно зарегистрировано на приемной стороне. Важно отметить, что при таком способе передачи информации одновременно может быть достигнута и конфиденциальность самой передачи, невозможность ее декодирования при перехвате нежелательными лицами и организациями. Исследования по передаче аналоговой и цифровой информации, ведущиеся в низкочастотном и радио- диапазонах, в оптоволоконных системах и компьютерных сетях направлены на изучение помехоустойчивости и пропускной способности хаотических систем синхронной и асинхронной связи, разработку новых принципов кодирования и декодирования информационных сигналов, создание соответствующих алфавитов [27, 28,30-32,105-136].

• Динамический хаос и информационные технологии. Динамический хаос является перспективной основой построения принципиально новых систем обработки и хранения информации. В обоснование этого тезиса достаточно заметить, что человеческий мозг работает в хаотическом режиме, а синхронизация мозговых процессов является серьезной патологией [33, 137, 138]. Исследования в этой области направлены на построение математических моделей, в которых реализуются процессы обработки информации с использованием хаоса. В качестве таких моделей выступают нейроподобпые структуры, такие как одномерные и многомерные отображения, одномерные (цепи) и двумерные (решетки) массивы хаотических ячеек.

В последние годы теория нейронных сетей, как нелинейных динамических систем, привлекает внимание многих исследователей. Интерес к нейронным сетям обусловлен желанием понять принципы работы нервной системы и уверенностью, что с помощью нейронных сетей удастся приблизиться к той поразительной эффективности в процессах обработки информации, которой обладает человек. Уже накоплен достаточно большой опыт, позволивший получить обнадеживающие результаты в разработке подходов и идей, направленных па решение ряда сложных задач создания искусственного интеллекта. Появилась соответствующая техническая база для реализации этих идей, и создаются вычислительные системы нового поколения - нейрокомпьютеры. Функционирование последних основано на использовании нейросетевых принципов параллельной обработки информации -"пейрокомпыотинге" [31, 139-161].

Следует отметить, что существуют еще целые классы задач, непосредственно связанные с проблемами изучения динамического хаоса. Так, например, в задачах геофизики и астрофизики обработка данных наблюдений методами нелинейной динамики дает новое понимание давно известных, но нерешенных до конца проблем. В качестве примера можно привести задачу о земном динамо. Здесь палео-магнитные данные за последние 600 миллионов лет удалось объяснить наличием хаотического аттрактора, связанного с динамикой полей, которые возникают при вращении Земли ее железно-никелевым ядром [162,163]. Не менее важные задачи связаны с медицинской диагностикой. В ряде случаев удается увидеть качественное изменение аттрактора сердечной мышцы, полученного в результате обработки кардиограммы методами нелинейной динамики, задолго до внезапной смерти пациента от сердечного приступа. Многообещающие результаты получены при исследовании электрической активности желудочно-кишечного тракта. Здесь сигналы настолько сложны, что применение стандартных методик практически исключается. В то же время использование процедуры реконструкции аттрактора в сочетании с вейвлет-анализом позволяет эффективно регистрировать большой набор заболеваний [164].

Все вышеизложенное свидетельствует о том, что исследования, направленные на изучение динамических пеустойчивостей, детерминированного хаоса являются, безусловно, актуальными.

Заканчивая настоящий раздел, автор считает необходимым отметить, что изложенные здесь концепции, явились в значительной мере результатом влияния мыслей и идей, изложенных в ряде прекрасных монографий [1-7, 9, 14, 16-18], посвященных проблемам нелинейной физики, динамического хаоса и синергетики. Эти литературные источники являются "настольными" книгами автора, что не могло не отразиться на его мировоззрении. Считаю своим долгом выразить авторам указанных работ свою искреннюю благодарность и глубокую признательность.

Цели и задачи диссертационной работы

В связи с изложенным выше целью диссертационной работы является теоретическое и экспериментальное изучение основных принципов и законов функционирования радиофизических систем с непрерывным и дискретным временем, способных демонстрировать как регулярные, так и хаотические типы колебаний.

В рамках сформулированной цели были поставлены и решены следующие задачи:

Исследовать нелинейно-параметрические эффекты и динамический хаос, проявляющиеся в неавтономных электронных цепях с нелинейной емкостью и четырехмерным фазовым пространством. Исследовать возможность возникновения и существования в фазовом пространстве таких цепей странного нехаотического аттрактора, обладающего свойством грубости в смысле Аидронова-Понтрягина. Численные расчеты сравнить с натурным экспериментом. Построить и численно исследовать математические модели ряда автоколебательных систем осцилляторного и релаксационного типов с конечным и бесконечным числом степеней свободы, со знакопостоянной и знакопеременной дивергенцией фазового потока. Изучить возможность потери устойчивости периодическим движением и переход к хаосу в этих системах по одному и тому же универсальному автопараметрическому сценарию. Сравнить расчеты с физическим экспериментом.

Определить условия, при которых движения в нелинейных дискретных и распределенных структурах могут быть описаны единой системой спектрально-временных уравнений. Разработать прямой метод вычисления спектра характеристических показателей Ляпунова движения в динамических системах с запаздыванием на основе спектрально-временного разложения уравнений эволюции малых возмущений.

Исследовать основные законы функционирования системы с дискретным временем - модифицированного логистического отображения и систем таких отображений. Изучить возможность управления энтропией Колмогорова-Синая таких систем. Исследовать явления перемежаемой синхронизации и формирования геометрически упорядоченных структур фазового пространства при положительных значениях метрической энтропии. Рассмотреть возможность возникновения и существования в их фазовом пространстве странного нехаотического аттрактора, обладающего свойством грубости в смысле Анд-ронова-Понтрягина.

Исследовать возможные пути создания источников хаотических колебаний СВЧ диапазона с высокой спектральной плотностью, оценить наиболее перспективные их них, разработать источники 8-мм диапазона и исследовать их работоспособность в жестком диапазоне изменения климатических факторов и ударных нагрузок.

Провести сравнительный анализ ряда систем синхронной хаотической связи и экспериментально исследовать их характеристики. Исследовать систему частотно-модулированной синхронной хаотической связи. Провести сравнительный анализ одноканальных и двухкапальных систем с активной и пассивной синхронизацией.

Построить непротиворечивую классификацию физических систем, объектов и процессов по степени открытости и типу воспроизводимого движения. Рассмотреть влияние белого шума на системы с квазипериодическим возбужде

15 нием. Исследовать возможность построения хаотических источников на основе систем суммирования колебаний с иррационально связанными частотами.

Методы исследования

Для изучения основных закономерностей нелинейной динамики исследовавшихся структур использовались методы математической физики, теории функций комплексного переменного, применялось как численное моделирование, основанное на решении систем разностных и дифференциальных уравнений, описывающих движения соответствующих моделей, так и физический эксперимент. В ряде случаев получены аналитические решения.

Задача идентификации характера движений решалась с помощью собственного пакета прикладных программ, позволяющих строить одпопараметрические бифуркационные диаграммы, проекции фазовых портретов на требуемые плоскости, спектры Фурье колебаний, рассчитывать спектры характеристических показателей Ляпунова. При расчете спектра характеристических экспонент автоколебательных систем с запаздыванием применялся модифицированный вариант [165, 166] спектрально-временного метода, разработанного автором совместно с А.С. Майданов-ским [167, 168].

Расчет емкостей аттракторов, их фрактальной, корреляционной и информационной размерностей осуществлялся с помощью программы, любезно предоставленной автору диссертации профессором Калифорнийского университета Д. Са-рейлом [169, 170]. Он же помогал с интерпретацией возвращаемых этой программой результатов в затруднительных случаях.

Экспериментальное исследование радиофизических макетов автогенераторов хаотических колебаний, а также реализованных на их основе систем синхронной хаотической связи основывалось на использовании стандартной измерительной аппаратуры, с помощью которой производился анализ временных и спектральных характеристик наблюдаемых в экспериментах сигналов.

Научные положения, выносимые па защиту

1. Совместное проявление силового и параметрического резонансов в неавтономных радиоэлектронных цепях с двумя степенями свободы создает благоприятные условия для возбуждения в них хаотических типов колебаний. Смена регулярных режимов хаотическими происходит в областях проявления гистерезис-пых явлений скачком, что соответствует фазовым переходам первого рода в термодинамике. Предвестником бифуркации является рождение в фазовом пространстве грубого (в смысле Андронова и Понтрягина) странного нехаотического аттрактора даже при одночаетотпом гармоническом внешнем воздействии.

2. В автоколебательных системах, обладающих установленным набором свойств, реализуется особый тип автопараметрического сценария, который характеризуется следующей последовательностью бифуркационных явлений: состояние покоя - предельный цикл - полутор - странный хаотический аттрактор. Этот сценарий является типичным для широкого класса генерирующих структур осцил-ляторного и релаксационного типов, с конечным и бесконечным числом степеней свободы, со знакопостоянной и знакопеременной дивергенцией фазовых потоков.

Автоколебательные процессы в динамических системах с запаздыванием математически строго описываются системой дифференциальных спектрально-временных уравнений первого порядка, каждое из которых соответствует одной спектральной составляющей движения и не содержит членов с запаздывающим аргументом. Физически реализуемые дискретные системы и системы с запаздыванием имеют идентичные спектрально-временные разложения.

Спектрально-временные разложения уравнений эволюции малого возмущения позволяют точно описать основные свойства движения динамических систем с запаздыванием, доказать устойчивость стационарного режима, вычислить метрическую энтропию и оцепить верхнюю границу размерности аттрактора по гипотезе Каплана-Йорке.

Существует бифуркационное значение управляющего параметра, при превышении которого модифицированное логистическое отображение генерирует временные ряды строго хаотичные в смысле Девани. Управление метрической энтропией этих рядов достигается модуляцией управляющего параметра как гармоническим, так и предельно неупорядоченным процессом - белым шумом, причем с увеличением дисперсии белого шума энтропия уменьшается, а странный хаотический аттрактор трансформируется в странный нехаотический. Этот эффект является одним из проявлений стохастического резонанса, т.е. эффектом индуцированного хаосом порядка.

В системах связанных модифицированных логистических отображений существуют области таких значений коэффициентов связи, в которых проявляются новые явления "перемежаемой синхронизации" и формирования в фазовом пространстве геометрически упорядоченных структур при положительных значениях метрической энтропии. Первое явление обусловлено потерей системой свойства грубости, второе - возникновением областей-репеллеров.

Угловая модуляция квазигармонических генераторов СВЧ и оптического диапазонов низкочастотными хаотическими сигналами является эффективным путём создания источников широкополосных шумоподобных колебаний с высокой спектральной плотностью, способных функционировать в жестких условиях эксплуатации.

8. Принцип разделения канала передачи информационной составляющей и канала синхронизации позволяет создавать робастные системы конфиденциальной передачи информации па основе двухканальных систем хаотической связи с активной либо пассивной синхронизацией передающего и приемного сегментов.

Достоверность результатов диссертации

Достоверность результатов, выводов и научных положений диссертационной работы обеспечиваются:

- корректностью построения математических моделей систем с дискретным и непрерывным временем;

- жестким тестированием использовавшегося в работе программного комплекса на широком классе задач, решения которых известны;

- хорошим совпадением результатов численных и физических экспериментов во всех случаях, когда они проводились;

- непротиворечием полученных результатов сложившимся представлениям об основных законах функционирования хаотических систем;

- успешным использованием ряда результатов при построении действующих образцов радиоэлектронных устройств.

Научная новизна

Новизна полученных в процессе выполнения диссертационной работы результатов и выносимых па защиту положений подтверждается тем, что впервые:

1. Предложена математическая модель, адекватно описывающие процессы в колебательной системе с четырехмерным фазовым пространством и нелинейной емкостью, находящейся под воздействием внешней гармонической силы. В отличие от ранее предлагавшихся моделей, направленных, в основном, па изучение процессов параметрического умножения частоты, новая модель позволила в полной мере исследовать сложные динамические режимы, переходы в хаотические состояния, установить существование грубых аттракторов, обладающих фрактальной геометрической структурой при отсутствии положительных ляпу-новских показателей.

2. Сформулированы требования к частотным характеристикам линейных цепей и форме нелинейности, являющихся необходимыми условиями реализации автопараметрического сценария хаотизации движения в генерирующих структурах. В численных и физических экспериментах доказано, что этот сценарий является типичным для широкого круга автоколебательных систем.

18

3. Установлена физическая природа автопараметрического сценария, что облегчило его понимание на интуитивном уровне и обеспечило высокую надежность предсказания возможности его реализации уже при качественном анализе свойств конкретных автоколебательных систем.

4. Сформулированы условия, при которых движения в линейных и нелинейных, дискретных и непрерывных динамических системах могут описываться единой системой спектралыю-временных уравнений. Показано, что для получения всех коэффициентов такой системы достаточно решить линейную часть задачи.

5. Предложен прямой алгоритм вычисления полного спектра характеристических показателей Ляпунова движения в динамических системах с запаздыванием. При этом эволюция возмущений описывается уравнениями, не содержащими членов с отклоняющимися аргументами. Показана возможность редукции этой системы к конечномерной, без потери информации об основных характеристиках исследуемого движения.

6. Установлено бифуркационное значение управляющего параметра модифицированного логистического отображения, обеспечивающего воспроизводство строго хаотических, в смысле Девани, временных последовательностей.

7. Показана возможность управления значением метрической энтропии в негладких отображениях при модуляции управляющего параметра не только гармоническим воздействием, но и белым шумом. Показана возможность возбуждения странного нехаотического аттрактора в негладких динамических системах и в отсутствии квазипериодического воздействия.

8. Исследованы бифуркационные явления и процессы характерные для системы двух связанных модифицированных логистических отображений. В роли управляющих параметров выступали коэффициенты взаимной связи. Обнаружено и детально исследовано явление синхронизации хаотических движений.

9. Обнаружено явление перемежаемой синхронизации (термин автора диссертации) и установлены соответствующие ей граничные значения коэффициента взаимной связи. Обнаружено явление возникновения геометрически упорядоченных структур в фазовом пространстве исследуемой системы с положительным значением энтропии Колмогорова-Синая.

10. Исследовано влияния белого шума на динамику нелинейной динамической системы с квазипериодическим возбуждением. Подтверждено, что между знаком ляпуновского характеристического показателя и существенной зависимостью от начальных условий имеется взаимно однозначное соответствие.

11. Доказана невозможность генерации пуассоновских потоков и динамического хаоса фазовым коррелятором двух гармонических процессов с несоизмеримыми частотами.

Научная ценность работы

Обобщение результатов значительного числа численных и натурных экспериментов, позволило открыть автопараметрический сценарий хаотизации движений в нелинейных генерирующих структурах. Показано, что при определенном виде нелинейности смена последовательности бифуркационных явлений и процессов происходит совершенно одинаково в физических объектах, свойства которых существенно различны. Сформулированы необходимые условия реализации такого сценария.

Установленные в работе связи между уравнениями движений систем с сосредоточенными и распределенными параметрами, позволяют анализировать их решения с общих позиций, отвлекаясь от формальных различий во внутреннем строении отдельных систем и их частей. Предложенные спектрально-временные соотношения позволяют в полной мере выявить все существенные особенности эволюции во времени исследуемых физических систем. Фактически, исследователь получает в доступной форме полную информацию о тонкой структуре движения, о внутренних взаимодействиях синхронного и асинхронного типов, о значащих и несущественных модах. Важно подчеркнуть, что проследить за внутренней динамикой системы в натурном эксперименте весьма затруднительно, так как физические приборы фиксируют интегральные эффекты, например, анализатор спектра в простом случае двухчастотиого движения укажет лишь па полигармонический характер режима со сложным спектральным составом, обусловленным угловой модуляцией компонент движения.

Доказанная возможность управления метрической энтропией систем с дискретным и непрерывным временем имеет высокую степень общности, поскольку подтверждена при модуляции управляющего параметра как регулярными сигналами, так и предельно неупорядоченными - белым шумом с равномерным и нормальным законами распределения.

Предложенный прямой метод вычисления спектра характеристических показателей Ляпунова позволяет исключить элементы субъективизма, присущие косвенным методам, базирующихся на процедурах реконструкции фазового пространства.

Установленные в работе закономерности служат методологической основой решения широкого круга задач, связанных с созданием источников хаотических колебаний в широких областях спектра электромагнитных колебаний, прогнозирования их поведения при вариациях параметров.

Практическая значимость работы

Детальное изучение законов функционирования ряда радиофизических автогенераторов с хаотическими типами колебаний может служить методологической базой при проектировании источников хаоса самой различной структуры с минимальными затратами времени.

Установленные закономерности функционирования систем с дискретным временем, позволяют использовать их в качестве тестовых, т.е. как источники образцовых временных последовательностей с точно известными значениями энтропии Колмогорова-Синая и дисперсии.

Исследованные отображения способны стать основой для проектирования микропроцессорных систем, цифровых автоматов и комбинационных схем, которые в сочетании с цифроаналоговыми преобразователями и частотными (фазовыми) модуляторами позволяют решить проблему создания источников широкополосных, шумоподобных колебаний практически в любом диапазоне частот электромагнитных колебаний. Перенесение динамического хаоса на реальные системы с неизбежным присутствием в них естественных флуктуаций позволит создавать источники истинно случайных, неповторяющихся процессов.

Ряд результатов позволяет строить алгоритмы генерации белого шума с нормальным и равномерным законами распределения и хаотических последовательностей с необходимым значением метрической энтропии. Кроме того, обнаруженное явление возникновения в фазовом пространстве областей репеллеров указывает на перспективность использования связанных отображений в системах конфиденциальной передачи информации и при создании алфавитов в системах ее преобразования и хранения.

Полученные результаты полезны для преподавания теоретических основ детерминированного хаоса и постановки лабораторных практикумов для студентов самых различных направлений обучения и специалистам при самостоятельном освоении нелинейной динамики и физики открытых, неравновесных систем.

Внедрение результатов работы

Автор диссертационной работы являлся руководителем хоздоговорных НИР "Хаос (2001-2002 г.г.)" и "Невод (2004-2005 г.г.)", проведенных между ОАО "НИИ ПП" (г. Томск) и Томским государственным университетом. Полученные результаты использованы ОАО "НИИПП" при выполнении работ по Договорам № 4053, № 4053/178 и № 4070, выполняемым по Госзаказу между ОАО "НИИПП" и "Корпорацией "Фазотрон-НИИР" (г. Москва) в обеспечение ОКР "Курьер", "Трасса-Т", "Курок" и "Панцирь". Соответствующие акты прилагаются.

Кроме того, ряд результатов используется в учебном процессе при чтении лекций и в лабораторном практикуме по курсу "Основы теории колебании" для студентов радиофизического факультета Томского государственного университета.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались и представлялись па: 14-й Межд. конф. "СВЧ-техпика и телекоммуникационные технологии (КрыМи-Ко'2004)" (Севастополь, сентябрь 2004); 7-th Int. Conf. "Actual Problems of Electronic Instrument Engineering (APEIE'2004)" (Novosibirsk, September 2004); Bcepoc. научн.-практ. конф. "Электронные средства и системы управления" (Томск октябрь 2003); Межд. конф. "International Conference on the Noise Radar Technology (NRT'2003)" (Ukraine, Kharkov, October 2003); Межд. научп.-техн. конф. "Электроника и информатика XXI век" (Зеленоград, ноябрь 2000); Межд. симпозиум "Int. Symposium on Antennas and Propagation (ISAP'2000)" (Japan, Fukuoka, August 2000); IV-я Межд. научн.-техн. конф. "Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП'98)" (Новосибирск, сентябрь 1998); Межд. конф. "Современные проблемы физики и высокие технологии" (Томск, сентябрь - октябрь 2003); Н-я Всерос. научн.-техн. конф. по проблемам создания перспективной авионики (Томск, апрель 2003); IV-я Всерос. научн.-техн. конф. "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем" Чебоксары, 2001); III-й Межд. симпозиум " Application of the conversion research results for international cooperation (Sibconvers'99)" (Томск, май 1999); V-я Межд. научн.-техн. конф. "Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП'2000)" (Новосибирск, сентябрь 2000); Третий Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998); VI-th Int. Conf. "Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMMT'96)" (Ukraine, Lviv, September 1996); V-я Межд. научн.-техн. конф. "Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП'96)" (Новосибирск, сентябрь 1996); Второй Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996).

Публикации по теме диссертации

По теме диссертации опубликованы одна монография, одно учебное пособие, двадцать две статьи в центральной (УФН, ЖТФ, РЭ, Электронная промышленность, Изв. вузов. Физика, Изв. вузов. ПНД) и зарубежной (Int. J. of Bifurcation and Chaos) печати, еще более двадцати публикаций представляют собой труды, материалы и тезисы докладов международных, всероссийских и региональных конгрессов, симпозиумов, научно-технических конференций.

Вклад автора работы

При получении результатов настоящей работы вклад автора являлся определяющим. Он выражался в постановке решаемых задач, разработке методов их решения, руководстве проведением численных и натурных экспериментов, обсуждении и интерпретации полученных в ходе исследований результатов.

Диссертация является обобщением одного из циклов работ автора, посвященного исследованиям в области радиофизики, теории нелинейных колебаний и детерминированного хаоса. Ранние работы (1985-1988 г.г.) и раздел монографии (1993 г.) написаны в соавторстве с А.С. Майдаиовским (ТГУ), в более поздних работах (1997-2005 г.г.) участие принимали аспиранты автора диссертации В.В. Негруль (ТГУ) и А.А. Штраух (ТГУ). В выполнении экспериментальных исследований (2003 г.) по первой и пятой главам диссертации участвовал вед. п. с. В.И. Перфильев (ОАО "НИИПП" г. Томск).

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, 6-ти глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 318 страниц, в текст внедрены 159 рисунков. Список использованных литературных источников содержит 288 наименований.

Основные результаты работы сводятся к следующим.

1. Теоретически и экспериментально исследована неавтономная радиофизическая система с четырехмерным фазовым пространством, содержащая нелинейную емкость. При этом: а) предложена математическая модель динамической системы, позволяющая исследовать сложные динамические режимы, возникающие в тех случаях, когда имеют место проявления нелинейных силового и параметрического резопапсов одновременно. Увеличение размерности фазового пространства до четырех резко обогатило динамику системы, позволяя наблюдать такие типы движений как детерминированный хаос, возбуждение, как странного хаотического аттрактора, так и странного нехаотического аттрактора; б) установлено, что нелинейный силовой и параметрический резонапсы обеспечивают благоприятные условия для возбуждения хаотических типов колебаний в физических системах. Смена регулярных режимов хаотическими происходит в областях проявления гистерезисиых явлений скачком, что для термодинамических систем соответствует фазовым переходам первого рода; в) исследовано влияние амплитуды и частоты внешней силы на значение старшего ляпуновского показателя, фрактальную, информационную и корреляционную размерности возбуждаемых аттракторов; г) показано, что и при одночастотном гармоническом внешнем воздействии в фазовом пространстве неавтономных динамических систем, содержащих нелинейную емкость, существует странный нехаотический аттрактор, обладающий свойством грубости в смысле Андронова-Поптрягина. Следовательно, режим странного нехаотического аттрактора не является каким-то редким, экзотическим явлением, а является достаточно типичным проявлением нелинейных свойств динамических систем.

2. В численном и натурном экспериментах исследован автопараметрический сценарий хаотизации движения в автоколебательных системах. При этом: а) сформулированы необходимые условия реализации автопараметрического механизма потери устойчивости периодическим движением и переходу к хаотическому для широкого класса нелинейных динамических систем. Такими условиями является: i) размерность n фазового пространства динамической системы должна удовлетворять условию п > 4; ii) наличие в системе нелинейности с восходящими и нисходящими участками, обладающими достаточной крутизной; iii) амплитудные и фазовые характеристики системы должны обеспечивать условия для генерации нескольких колебательных компонент; б) показано, что последовательность бифуркационных явлений при переходе к хаосу в случае реализации автопараметрического сценария может быть описана следующим образом: состояние покоя => предельный цикл => полутор => странный хаотический аттрактор. По эффектам, сопровождающим автопараметрический сценарий, последний существенно отличается от известных и имеет самостоятельное значение; в) результаты численного моделирования и натурных экспериментов показали, что рассмотренный в настоящей главе автопараметрический механизм хаотиза-цин движения реализуется в нелинейных диссипативиых автоколебательных системах. Это могут быть системы, как осцилляторпого, так и релаксационного типов, они могут иметь как конечное, так и бесконечное число степеней свободы, дивергенция фазовых потоков этих систем может быть как знакопостоянной, так и знакопеременной. Столь широкая область проявления данного сценария позволяет утверждать об его универсальном характере; г) выяснена физическая природа автопараметрпчсского механизма хаотизации движения. Хаотизация движения происходит вследствие нелинейного взаимодействия двух или более колебательных процессов с некратными частотами. Один из этих процессов, являясь более высокочастотным, возникает в течение доли каждого периода другого низкочастотного процесса, причем начинает свое развитие каждый раз при случайных начальных условиях, обусловленных неизбежными собственными флуктуациями динамической системы. Разрушение полутора как целостного объекта фазового пространства происходит в результате ослабления резонансного (синхронного) взаимодействия между двумя колебательными процессами, вследствие непрерывного изменения их периодов с изменением управляющего параметра.

3. Исследованы свойства спектрально-временных разложений уравнений движения дискретных и распределенных радиофизических систем. При этом: а) построен ряд математических моделей генерирующих структур с запаздыванием. Эти модели применимы как к кольцевым автоколебательным системам, так и системам с использованием двухполюсников с отрицательным сопротивлением; б) показано, что математические модели в виде как интегральных, так и дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом приводятся к бесконечной (счетной) системе обыкновенных дифференциальных уравнений, не содержащих членов с запаздыванием. Спектрально-временные разложения могут быть представлены как в комплексной, так и в вещественной форме; в) показана возможность редукции бесконечной системы уравнений к конечному числу значимых уравнений и определены условия, при которых появляется возможность применения асимптотических методов исследования Боголюбова-Крылова; г) показано, что для определения всех коэффициентов уравнений достаточно решить только линейную часть задачи; д) строго доказано, что если дискретные системы, системы с запаздыванием и ряд распределенных систем не способны реагировать на внешние воздействия с бесконечно высокой частотой, то их спектрально-временные разложения полностью идентичны; е) показано, что, несмотря на установленную идентичность спектрально-временного описания движений, сами движения могут существенно различаться; ж) продемонстрированы преимущества предложенного метода исследования на примерах решения ряда актуальных задач теории нелинейных колебаний. Установлена зависимость интенсивности естественных флуктуаций амплитуды и фазы автоколебательных систем от запаздывания и его расстройки. Показана возможность возбуждения полигармонических автоколебательных процессов уже в двух-частотной зоне самовозбуждения. Последнее подтверждено результатами натурного эксперимента на макете радиофизического автогенератора; з) предложен прямой алгоритм вычисления полного спектра ляпуновских экспонент в системах с бесконечной размерностью фазового пространства - динамических системах с запаздыванием.

4. Рассмотрены бифуркационные явления и процессы в ряде систем с дискретным временем. При этом: а) изучена динамика модифицированного логистического отображения. Определены границы аттрактора и его бассейн притяжения. Получены аналитические зависимости энтропии Шеннона и Колмогорова-Синая от параметра порядка. Найдены значения параметра порядка, разделяющие регулярные, хаотические и строго хаотические типы движений; б) исследована зависимость вероятностной меры от управляющего параметра. Показано, что временные ряды, порожденные модифицированным логистическим отображением при параметре порядка а->2, имеют естественную инвариантную вероятностную меру р = 1/2 па интервале хе(-1,1). Автокорреляционная функция таких рядов является дельта-коррелированной и, следовательно, спектр Фурье близок к спектру белого шума. Исследовано поведение энтропии Колмогорова-Синая при произвольном значении управляющего параметра; в) показана возможность использования модифицированного логистического отображения в качестве тестового, использовать его как источник образцовых последовательностей с точно известными значениями энтропии Колмогорова-Синая и дисперсии. Данное отображения может быть положено в основу функционирования цифровых автоматов, которые в принципе могут воспроизводить хаотические последовательности с точно известными статистическими свойствами. На основе исследованного отображения могут быть спроектированы микропроцессорные системы, цифровые автоматы и комбинационные схемы, которые в сочетании с цифроаиалоговыми преобразователями и частотными модуляторами позволят решить проблему создания источников широкополосных, шумоподобпых колебаний практически в любом диапазоне частот; г) предложены алгоритмы генерации белого шума с нормальным законом распределения и хаотической последовательности с необходимым значением энтропии при значении параметра порядка а > 2; д) сопоставлены свойства отображения со свойствами динамической системы с бесконечномерным фазовым пространством. В результате численного моделирования и физического эксперимента установлено, что последовательность бифуркационных явлений в изучавшемся отображении весьма близка к бифуркационным процессам в динамической системе с запаздыванием в случае, когда их нелинейности идентичны; е) исследованы неавтономные динамические системы с дискретным и непрерывным временем. Показана возможность управления энтропией Колмогорова-Синая этих систем, степенью упорядоченности их движения не только гармоническим воздействием, по и белым шумом. Поскольку воздействие первого рода является регулярным, а второго рода - предельно неупорядоченным, то полученные результаты имеют высокую степень общности; ж) показана возможность возбуждения странного нехаотического аттрактора в негладких динамических системах и в отсутствии квазипериодического воздействия; з) исследованы бифуркационные явления и процессы характерные для системы двух связанных модифицированных логистических отображений. В роли управляющих параметров выступали коэффициенты взаимной связи. Проапализированы особенности синхронных и асинхронных режимов хаотических типов колебаний в случаях положительных и отрицательных коэффициентов взаимной связи; и) обнаружены и описаны явление перемежаемой синхронизации двух хаотических процессов и явление формирования геометрически упорядоченных структур в фазовом пространстве исследуемой системы при строго положительных значениях энтропии Колмогорова-Синая.

5. Рассмотрен ряд прикладных задач радиофизики с использованием динамического хаоса. При этом: а) показано, что источники широкополосных хаотических СВЧ сигналов являются перспективными устройствами, позволяющими добиться существенного улучшения технических характеристик и возможностей систем радиопротиводействия и защиты информации, радиолокационных систем, структур конфиденциальной передачи информации, сверхбыстродействующих систем радиосвязи и ряда других устройств; б) экспериментально установлено, что одним из наиболее эффективных способов получения широкополосных шумоподобных СВЧ сигналов является угловая модуляция СВЧ квазигармонических автогенераторов низкочастотным хаотическим сигналом. Низкочастотные источники шумовых сигналов могут быть построены как по классической схеме усиления слабых сигналов естественных источников шума (шумовые диоды, пробой р-n переходов, нагреваемые резисторы и т.п.), так и на основе хаотической детерминированной динамики генерирующих структур с размером фазового пространства п > 3. В последнем случае массогаба-ритные характеристики модуляторов существенно улучшаются; в) установлено, что целесообразно создание на основе предложенного либо родственного схемотехнического решения специализированной микросхемы, что позволило бы резко снизить массогабаритные параметры хаотического модулятора вплоть до его совмещения с полостью или подложкой СВЧ генерирующей структуры. Кроме того, в этом случае появляется возможность создания СВЧ источников с требуемыми спектральными характеристиками, выполненных в виде монолитной интегральной структуры; г) среди известных способов построения систем синхронной хаотической связи для экспериментального исследования были выбраны нелинейное подмешивание и хаотическая маскировка. Передающая и приемная части исследуемых систем хаотической связи были реализованы на базе генератора хаотических колебаний, являющегося кольцевой автоколебательной системой с 1.5 степенями свободы и квадратичной нелинейностью, радиофизический макет которой был создан и предварительно исследован; д) натурный эксперимент показал, что при соблюдении условий конфиденциальности передачи речевых сигналов для обоих видов систем связи качество сигнала, восстанавливаемого в приемниках этих систем, примерно одинаково. Однако, объединение аддитивного смешивания информационной компоненты и синхронного хаотического отклика для ее детектирования позволяет значительно повысить качество восстанавливаемой информационной компоненты; е) экспериментально исследована система синхронной хаотической связи с ЧМ модуляцией. Установлено, что, во-первых, нелинейные преобразования хаотических сигналов при осуществлении ЧМ не приводят к дополнительным искажениям последних на выходе приемного устройства, во-вторых, использование широкополосной ЧМ для передачи хаотических сигналов, которые принципиально могут скрывать в своем спектре информационную компоненту, позволяет значительно повысить устойчивость систем синхронной хаотической связи по отношению к возмущениям в канале связи; ж) предложены принципы создания систем двухканальной синхронной хаотической связью с активной и пассивной синхронизацией передающей и приемной подсистем. В первом случае можно разделить канал синхронизации от канала передачи информационной компоненты, что позволяет значительно увеличить пределы нсидснтичности передающей и приемной подсистем. Во втором случае вообще исключается необходимость наличия па приемной стороне синхронизированного генератора хаотических колебаний. Последнее позволяет значительно упростить конструкцию системы в целом без снижения степени ее конфиденциальности.

6. Обсужден ряд неоднозначных и дискуссионных вопросов современной теории динамического хаоса. При этом: а) предложен один из возможных вариантов классификации физических систем, объектов и процессов по степени открытости и типу воспроизводимого движения, снимающий ряд имеющихся в литературе неопределенностей и двусмысленностей. Непротиворечивость подобной классификации подтверждена на ряде подробно рассмотренных примеров; б) показана возможность воспроизводства хаотического движения -закрытыми системами, принципиально свободными от любых внутренних и внешних флуктуаций; в) показана возможность введения эффективного максимального характеристического показателя Ляпунова, который в вычислительном плане был бы свободеи от недостатков, присущих классическому максимальному показателю Ляпунова. Рассмотрены возможность и особенности применения понятия ляпуповского показателя к открытым условно динамическим системам. В качестве оценочной величины степени хаотичности движения систем с индуцированным хаосом предлагается использование эффективного ляпуповского показателя; г) проведено исследование влияния белого шума на динамику нелинейной открытой условно-динамической хаотической системы с квазипериодическим возбуждением. Подтверждено, что между знаком ляпуповского характеристического показателя и существенной зависимостью от начальных условий существует взаимно однозначное соответствие. При отрицательных значениях ляпуновской экспоненты динамическая система не чувствительна к начальным условиям, при положительных - наблюдается экспоненциальное разбегапие изначально близких траекторий. Показано, что внешний шум малой интенсивности возвращает динамической системе свойство грубости в смысле Аидронова-Поитрягина для тех значений управляющего параметра, для которых грубость теряется. С ростом интенсивности белого шума увеличивается степень упорядоченности движения в системе; д) с использованием численного и физического экспериментов показано, что знаковая корреляция двух колебаний с иррационально связанными частотами не может привести к порождению ни пуассоповского потока, ни потока, обладающего свойствами динамического хаоса.

Заключение по представленным результатам

Представленная в диссертации совокупность результатов и установленные закономерности могут рассматриваться в качестве методической и м стодол отческой базы для решения широкого круга задач, связанных с созданием источников хаотических колебаний в широких областях спектра электромагнитных колебаний, прогнозирования их поведения при вариациях параметров.

Предложенные методы исследования автоколебательных систем с запаздыванием представляют интерес для НИИ и других организаций, занимающихся разработкой автогенераторов и синтезаторов частот па основе линий задержки с использованием поверхностных акустических и магнитостатических волн.

Разработанные хаотические модуляторы и СВЧ автогенераторы имеют па сегодняшний день рекордные значения спектральной плотности мощности шумов при сохранении устойчивости работы в жестких условиях эксплуатации и, поэтому, могут быть использованы в различного рода организациях в качестве систем радиопротиводействия и радиомаскировки, па предприятиях телефонной и радиосвязи для проектирования устройств скрытной передачи информации, в системах хаотической радиолокации гражданского назначения для решения задач предупреждения столкновения судов, их постановки в ДОКи, управления посадкой самолетов.

Кроме того, полученные результаты могут быть полезны при преподавании основ детерминированного хаоса студентам самых различных направлений обучения и специалистам при самостоятельном освоении нелинейной динамики и физики открытых, неравновесных систем.

Заключение

1. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. -М: Наука, 1987. -424с.

2. Шустер Г. Детерминированный хаос: Пер. с англ.-М.: Мир, 1988. 240с.

3. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе: О детерминистском подходе к турбулентности: Пер. с англ. -М.: Мир, 1991. -368с.

4. Мун Ф. Хаотические колебания: Пер. с англ.-М.: Мир, 1990. 312с.

5. Пригожип И. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985.-С.45-57.

6. Пригожин И. Конец определенности. Время, хаос и новые законы природы. -Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. -208с.

7. Хакен Г. Синергетика. Иерархия неустончивостей в самоорганизующихся системах и устройствах. -М.: Мир, 1985. -321с.

8. Синергетике 30 лет. Интервью с профессором Г. Хакеном // Вопросы философии. -2000. -№3. -С.53-61.

9. Трубецков Д.И. Турбулентность и детерминированный хаос//Соросовский образовательный журнал. -1998. -№1. -С.77-83.

10. Трубецков Д.И. Колебания и волны для гуманитариев. -Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 1994.-239с.

11. Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика теория самоорганизации. Идеи, методы, перспективы. -М.: Знание, 1983.-64с.

12. Курдюмов С.П., Князева Е.Н. Законы эволюции и самоорганизации сложных систем. М.: Наука, 1987.-424с.

13. Ланда П. С. Нелинейные колебания и волны.-М.: Наука, 1997.-496с.

14. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем .-М.: Наука, 1984.-271 с.

15. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г. Г. Синергетика и прогнозы будущего. М.: Наука, 1997, 288с.

16. А нище н ко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем.- Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.-368с.

17. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Изд. физ.-мат. лит., 2001.-296с.

18. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электропике. -М.: Наука, 1989. -280 с.

19. Гинзбург В.Л. Какие проблемы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными // УФП. -1999. -Т. 169. -№4. -С.419-441.

20. Leray J. Sur le movement d'un liquide visqueux emplissant l'espace // Acta Matli.-1934.-V.63.- P.193-248.

21. Ландау Л.Д.К проблеме турбулентности // ДАН.-1944.-Т.44.-С.339-342.

22. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow// J. Atmos. Sci.-1963.-V. 20.-№ 2.-P. 130131.

23. Salzman B.J. Finite amplitude free convection as an initial value problem // J. Atmos. Sci.-1962.-V. 19.-№ 4.-P. 329-341.

24. R u e 11 e D., Takens F. On nature of turbulence//Comm. Math. Phys.-1971.-V. 20.-№ 2.-P. 167-192.

25. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- M.-JL: ОГИЗ, 1947.-298с.

26. М учи и к Г. Порядок и хаос // Наука и жизнь, 1988.- №3.- С.68-75.

27. Дмитриев А.С., Кяргинский Б.Е., Пан ас А.И., Старков С.О. Прямо-хаотические схемы передачи информации в сверхвысокочастотном диапазоне // РЭ. -2001. -Т.46, №2. -С.224-232.

28. Дмитриев А.С., Кяргинский Б.Е., Максимов А.И., Панас А.И., Старков С.О. Перспективы создания прямохаотических систем связи в радио и СВЧ диапазонах // Радиотехника. -2000. -№3. -С.9-20.

29. Владимиров С.Н., Золотов С.В., Негруль В.В., Перфильев В.И. Детерминированный хаос в СВЧ электронике // Электронная промышленность. -2002. -№ 2. -С.87-90.

30. К и слов В.Я., Кислов В.В. Новый класс сигналов для передачи информации. Широкополосные хаотические сигналы // РЭ. 1997.-Т.42. -№ 8. -С.962-973.

31. Дмитриев А.С., Старков С.О. Передача сообщений с использованием хаоса и классическая теория информации // Зарубежная радиоэлектроника. -1998. -№11. -С.4-32.

32. Has 1 er М. Synchronization of chaotic systems and transmission of information // Int. J. of Bifurcations and Chaos.-1998.-V. 8.-№ 4.-P. 647-659.

33. Brandt M.E., Ademoglu A., Pritchar W.S. Nonlinear prediction and complexity of alpha EEG activity // Int. J. of Bifurcations and Chaos.- 2000 V.10.-№ 1 -P.123-133.

34. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая и Л.И. Шилышкова.-М.: Мир, 1981.-168 с.

35. ЛихтенбергА., Либермаи М. Регулярная и хаотическая динамика.-М.: Мир, 1984.-271с.

36. By л Е.Б., Синай Я.Г., Хапин К.М. Универсальность Фейгепбаума и термодинамический формализм // УМН.- 1984.- Т. 39.- № З.-С. 3-37.

37. При гожи н И., Стеигерс И. Порядок из хаоса.-М.: Мир, 1986.-430 с.

38. Заелавский Г.М., Сагдеев Р.З. Ведение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса.-М.: Мир, 1988.-368 с.

39. Нелинейные волны. Динамика и эволюция / Под ред. А.В. Гапоиова-Грехова и М.И. Рабиновича,- М.:Мир, 1989.-400 с.

40. О р а е в с к и й А.Н. Динамика одномодовых лазеров и динамический хаос // Изв. вузов. ПНД- 1996.- Т. 4.- № 1-2.-С. 3-32.

41. А нище н ко B.C. Аттракторы динамических систем // Изв. вузов. ПНД.- 1997.- Т. 5.-№ 1.-С. 109-127.

42. Каток А.Б., Хасселблат Б. Введение в современную теорию динамических систем.-М.: Факториал, 1999.-382 с

43. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах.-М.: Постмаркет, 2000.-352 с.

44. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. Пер. с англ.-М.: Эдито-риал УРСС, 2001.-320 с.

45. Abarbanel H. D. I., Brown R., Kadtke J. B. Prediction in Chaotic Nonlinear Systems: Methods for Time Series with Broadband Fourier Spectra // Phys. Rev. A.- 1990.-V. 41.- № 4.-P. 1742-1807.

46. Yoshinaga Т., Sano Y., Kawakami H. A method to calculate bifurcations in syn-aptically coupled Hodgkin-Huxley equations // Int. J. of Bifurcations and Chaos.- 1999.- V.9.-№7.-P. 1451-1458.

47. Yehia A. R., Jeandupeux D., Alonso F., at al. Hysteresis and bistability in the direct transition from 1 : 1 to 2 : 1 rhythm in periodically driven single ventricular cells // Chaos.- 1999 V. 9.- № 4.-P. 916-931.

48. Ye X. No division and the entropy of three maps // Int. J. of Bifurcations and Chaos.- 1999.-V. 9.-№9.-P. 1859-1865.

49. Yang X. S. A technique for determining autonomous 3-ODEs being non-chaotic // Chaos Solitons Fractals.-2000,-V. П.-№ 14.-P. 2313-2318.

50. Belykh V. N., Bykov V. V. Bifurcation for heteroclinic orbits of a period motion and a saddle-focus and dynamical chaos // Chaos Solitons Fractals.- 1998.- V. 9.- № 1-2.- P. 118.

51. Belhaq M., Houssni M., Freire E., at al. Analytical prediction of the two first period-doublings in a three-dimensional system // Int. J. of Bifurcations and Chaos.- 2000.- V.10.- № 6.-P. 1497-1508.

52. Kapitaniak Т., Maistrenko Y. Riddling bifurcations in coupled pieccwise linear maps//Phys. D- 1999 V. 126.-№ 1-2.-P. 18-26.

53. Martens M., Pecou E., Tresser C., at al. On the geometry of master-slave synchronization//Chaos- 2002,- V. 12.-№2.-P. 316-323.

54. Kapsch R. P., Kantz, H., Hegger R., at al. Determination of the dynamical properties of ferroelectrics using nonlinear time series // Int. J. of Bifurcations and Chaos.- 2001.-V. 11.-№4.-P. 1019-1034.

55. Lapeyre G. Characterization of finite-time Lyapunov exponents and vectors in two-dimensional turbulence // Chaos.- 2002.- V. 12.- № 3.-P. 688-698.

56. Магазинников А.Л., Пойзнер Б.Н., Сабденов К.О., Тимохин A.M. Тройка керровских сред в нелинейном интерферометре: факторы, влияющие на бифуркационное поведение // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика.- 1998.- Т. 6,- № 5- С. 56-65.

57. Измайлов И.В., Пойзнер Б.Н, Денисов П.Е. Равносильность: от обоснования понятия до анализа бифуркационного поведения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003.- 46 с. (Вестник ТГУ. Бюллетень оперативной научной информации. № 15. Октябрь 2003.)

58. Владимиров С.Н. О связи между спектрально-временным описанием движений в двух классах автоколебательных систем // Изв. вузов. Физика.-1997.-№ З.-С. 21-26.

59. Владимиров С.Н. Вычисление спектра ляпуповских показателей движения в динамических системах с запаздыванием па основе спектрально-временного разложения уравнения эволюции возмущения // Изв. вузов. Физика.-1997.-№10.- С. 114-118.

60. Владимиров С.Н. Регулярная и хаотическая динамика автогенератора Вап-дер-Поля с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Физика.-1998.- №4.-С. 91-97.

61. Владимиров С.Н. Автопараметрический переход от периодического движения к хаосу в динамической системе с двумя степенями свободы // Изв. вузов. Физика.- 1999.-№2.- С. 96-103.

62. Vladimirov S.N., Negrul V.V. On Autoparametric Route leading to Chaos in Dynamical Systems//Int. J. of Bifurcations and Chaos.- 2002.- Vol. 12.-№ 4.- P. 819-826.

63. Владимиров C.H., Негруль В.В. Порядок и хаос в модифицированном логистическом отображении // Изв. вузов. ПНД.- 2001.- № 4-5.- С. 64-77.

64. Владимиров С.Н., Штраух А.А. Бифуркационные явления в системе связанных модифицированных логистических отображений // Вестник Томск, гос. ун-та. Сер. Физика.- 2003.- № 278,- С. 65-69.

65. Владимиров С.Н., Перфильев В.И. Нелинейно-параметрические эффекты и динамический хаос в неавтономной колебательной системе с нелинейной емкостью // ЖТФ.- 2004 Т. 74 - Вып. 7 - С. 6-12.

66. В л а д и м и р о в С.Н. Порождает ли знаковая корреляция квазипериодических колебаний с иррационально связанными частотами детерминированный хаос? // УФН.- 2004.-Т.174.- № 2.- С. 217-220.

67. Владимиров С.Н. Характеристические показатели Ляпунова и чувствительность к начальным условиям квазипериодически возбуждаемой системы с белым шумом // Известия вузов. Физика,- 2005.- № 4.-С. 42-48.

68. Владимиров С.Н., Мартышок Д.В., Перфильев В.И. Странный нехаотический аттрактор в неавтономной колебательной системе с нелинейной емкостью // Известия вузов. Физика.- 2005.- № З.-С. 90-94.

69. Владимиров С.Н. Автопараметрический сценарий перехода к хаотическому движению в динамических системах // Известия вузов. Физика.- 2004.- №5 .-С. 70-79.

70. П и ко век и й А.С., Рабинович М.И. Простой автогенератор со стохастическим поведением // ДАН СССР.-1978.-Т. 239.- № 2.-С. 301 -304.

71. Пикшрис Р.А., Пирагас К.А. Схемы преобразования LC — автогенератора в генератор шума//Радиотехника.-1986.- № 9.-С. 43-45.

72. А нище н ко B.C., Астахов В.В., Летчфорд Т.Е. Многочастотные и стохастические автоколебания в генераторе с инерционной нелинейностью // РЭ.-1982.-Т. 27.-№ 10.-С. 41-51.

73. К а л и н ин В. И. Возникновение хаоса в автоколебательной системе с запаздыванием // РЭ.-1986.-Т. 31.-№ 6.-С. 1247-1249.

74. Кузнецов С.П., Перельман А.Н., Трубецков Д.М. Автомодуляционные стохастические режимы в клистроне бегущей волны с внешней обратной связью // ЖТФ.-1983.-Т. 53.- № 1.-С. 163-166.

75. Губ а нов Д., Дмитриев А., Па нас А. и др. Генераторы хаоса в интегральном исполнении // Chip News.-1999.- № 8.-С. 49-58.

76. Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Автоколебания в распределенных системах электронный поток встречная (обратная) электромагнитная волна // Изв. вузов. ПНД,- 1994. -Т. 2.-№ 5.- С. 9-16.

77. Рыск и н Н.М., Титов В.Н., Трубецков Д. И. Детали перехода к хаосу в системе электронный пучок обратная электромагнитная волна//ДАН,- 1998. - Т. 358,- № 5. С. 620-623.

78. Трубецков Д.И., Анфиногептов В.Г., Рыскин Н.М. и др. Сложная динамика электронных приборов СВЧ (нелинейная нестационарная теория с позиций нелинейной динамики) // Радиотехника.- 1999. № 4. - С. 61-68.

79. Блиох Ю.П., Любарский М.Г., Подобинский В.О. и др. Исследование механизмов стохастизации секционированных пучковых СВЧ генераторов // Физика плазмы.- 1994.- Т. 20 № 7-8.- С. 718-728.

80. Шестопалов В.П. О детермипироваипом хаосе в вакуумной электронике // РЭ.-1998. Т. 43. - № 1. - С. 77-84.

81. Кальянов Э.В. Автоколебания в генераторе с двумя широкополосными петлями запаздывающей обратной связи // РЭ,- 1997.- Т. 42.- № 6.- С. 715-718.

82. Анфииогенов В.Г., Храмов А.Е. Сложное поведение электронного потока с виртуальным катодом и генерация хаотических сигналов в виртодиых системах // Изв. РАН. Сер. физ 1997.- Т. 61.- № 12.-С. 2391-2401.

83. Храмов А.Е. Хаос и образование структур в электронном потоке с виртуальным катодом в ограниченной трубе дрейфа // РЭ.-1999.- Т. 44. № 5. - С. 591-596.

84. Привезенцев А.П., Черепенин В.А. Фрактальные свойства колебаний виртуального катода // РЭ. 1998. - Т. 43. - № 6. - С. 738-742.

85. Кальянов Э.В. Бифуркации и хаос в каскадном генераторе с фильтром в цепи запаздывающей обратной связи // Письма в ЖТФ. 1996. - Т. 22. - № 7. - С. 60-64.

86. Максимов Н.А., К и слов В .Я. Хаотическая и регулярная динамика автономных автоколебательных систем, содержащих /?-я-переход // РЭ. 1997. - Т. 42. - № 12. -С. 1487-1492.

87. Максимов Н.А., Паи ас А.И. Однотранзисторный генератор полосовых хаотических сигналов радиодиапазона // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2000. - №11.- С. 61-69.

88. Шалфеев В.Д., Матросов В.В., Корзинова М.В. Динамический хаос в ансамблях фазовых систем // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 1998. - №11.- С. 44-56.

89. П о н о м а р е н к о В. П. Формирование сложных колебаний в автогеператорпой системе с нелинейной цепью частотного управления//РЭ. 1999.- Т. 44. - №5.- С. 565573.

90. Емец С.В., Старков С.О. Цифровые методы генерации хаотических сигналов и передачи информации // РЭ. 2000. - Т. 45. - № 4. - С. 462-470.

91. Aguirre J., Sanjuan М. A. F. Unpredictable behavior in the Duffing oscillator // Phys. D 2002 - V. 171.- № 1-2.-P. 41-51.

92. Wagg D. J., Bishop S. R. Chatter, sticking and chaotic impacting motion in a two-degree of freedom impact oscillator // Int. J. of Bifurcations and Chaos.- 2001.- V. 11.- № l.-P. 57-71.

93. Virgin L. N., Begley C. J. Grazing bifurcations and basins of attraction in an impact-friction oscillator//Phys. D 1999 - V. 130 - № 1-2.-P. 43-57.

94. Л я чип А. В., Магазин ников А. Л., Пойзнер Б.Н. Идентификация режимов в модели кольцевого интерферометра с поворотом оптического поля па 120° // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. -2002.- Т. 10.- № 6.- С. 71-80.

95. Измайлов И.В., Пойзнер Б.Н., Шергин Д.А. Пространственный детерминированный хаос в оптических системах и способы его моделирования // Изв. вузов. Физика- 2004 № 12 - С. 102-109.

96. Dutta М., Nusse Н. Е., 011 Е., at al. A source of unpredictability in piecewise smooth systems // Phys. Rev. Lett.- 1999.- V. 83.- № 21.-P. 4281-4284.

97. Kapitaniak Т., Maistrenko Y. Multiple choice bifurcations as a source of unpredictability in dynamical systems // Phys. Rev. E- 1998 V. 58 - № 4.-P. 5161-5163.

98. Baranovski A. L., Schwarz W. Statistical analysis and design of continuous-discrete chaos generators // IEICE Trans. Fund. Elec. Com.- 1998 V. E82A - № 9.-P. 1762-1768.

99. Cernik J. Digital generators of chaos//Phys. Lett. A.- 1996 -V. 214.-P. 151-160.

100. Dimitriev A. S., Panas A. I., Starkov S. O. Ring oscillating systems and their application to the synthesis of chaos generators // Int. J. of Bifurcations and Chaos.1996 V. 6 - № 5.-P. 851-865.

101. Elwaki, A. S., Kennedy M. P. Inductorless hyperchaos generator//Microlectronics J.- 1999 V. 30 - № 8.-P. 739-743.

102. Elwakil A. S., Soliman A. M. New chaos generators//Chaos Solitons Fractals.1997 V. 8 - № 12.-P. 1921-1932.

103. New comb R. W., Sathyan S. An RC op amp chaos generator//IEEE Trans. Circ. Syst 1983 -V. 30.-P. 54-56.

104. Phatak S. C., Rao S. S. Logistic map: a possible random-number generator//Phys. Rev. E.- 1995.- V. 51.- № 4.-P. 3670-3678.

105. Pecora I. M., Carroll T. L. Synchronization in chaotic systems//Phys. Rev. Lett. -1990.-V. 64.-P. 821-824.

106. Кислов В.Я. Динамический хаос и его использование в радиоэлектронике для генерирования, приема и обработки колебаний и информации // РЭ,- 1993.- Т. 38,- № 10,-С. 1783-1815.

107. Шалфеев В.Д., Осипов Г.В., Козлов А.К. и др. Хаотические колебания: генерация, синхронизация, управление // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники.- 1997.-№ 10,- С. 27-49.

108. Дмитриев А.С., Папас А.И., Старков С.О. Динамический хаос как парадигма современных систем связи // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники.- 1997.-№ 10.- С. 4-26.

109. Хаслер М. Передача информации с использованием хаотических сигналов // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники.- 1998.-№ 11.- С. 33-43.

110. Старков С.О., Шварц В., Абель А. Многопользовательские системы связи с применением динамического хаоса // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники.- 2000.-№ 11.- С. 34-47.

111. Гуляев Ю.В., Кислов В.Я., К и слов В.В. Новый класс сигналов для передачи информации широкополосные хаотические сигналы // ДАН,- 1998.- Т.359.- №6.-С.750-754.

112. ИЗ. Волковский А.Р., Рульков Н.Ф. Синхронный хаотический отклик нелинейной колебательной системы как припцип детектироваиия информационной компоненты хаоса // Письма в ЖТФ- 1993 -Т. 19.-№3.-С. 72-77.

113. Дмитриев А. С., Кузьмин J1.B., Панас А.И. Схема связи с суммированием по модулю хаотического и информационного сигналов // РЭ,- 1999.- Т. 44.-№ 8.- С. 988-996.

114. Кислов В.Я., Кислов В.В. Новый класс сигналов для передачи информации. Широкополосные хаотические сигналы // РЭ.- 1997.- Т. 42.-№ 9.- С. 962-973.

115. Кислов В.Я., Калмыков В.В., Беляев Р.В. и др. Корреляционные свойства шумоподобных сигналов, генерируемых системами с динамическим хаосом // РЭ.-1997.- Т. 42.-№ 11.-С. 1341-1349.

116. Беляев Р.В., Воронцов Г.М., Колесов В.В. Случайные последовательности, формируемые нелинейным алгоритмом с запаздыванием // РЭ.- 2000,- Т. 45.-№ 8.- С. 954-960.

117. Кальянов Э.В., Григорьянц В.В. Передача информации с использованием маскирующих хаотических колебаний // Письма в ЖТФ.- 2001,- Т. 27.-№ 6.- С. 71-76.

118. Владимиров С.Н., Негруль В.В. Сравнительный анализ некоторых систем хаотической синхронной связи // Изв. вузов. ПНД.- 2000.- Т. 8.-№ 6.- С. 53-64.

119. Short К.М. Step toward unmasking secure communication // Int. J. of Bifurcations and Chaos 1994,- V. 4.-№ 4 - P. 959-977.

120. Short K.M. Unmasking a modulated chaotic communication scheme // Int. J. of Bifurcations and Chaos.- 1996 V. 6.-№ 2.- P. 367-375.

121. Short K.M., Parcer A.T. Unmasking a hyperchaotic communication schemc // Phys. Rev. E.- 1998.- V. 58.-№ 1.- P. 1159-1162.

122. Changsong Zhou, C.-II. Lai. Decoding information by following parameter modulation with parameter adaptive control // Phys. Rev. E.- 1999.- Vol. 59.-№ 6.- P. 1014-1019.

123. Marino I. P., Grebogi, C., Rosa E. Reconstruction of information-bearing chaotic signals in additive white Gaussian noise: Performance analysis and evaluation // Int. J. of Bifurcations and Chaos.-2001.-V. ll.-№ 10.-P. 2631-2635.

124. Измайлов И.В., Пойзнер Б.Н. Варианты реализации нелинсино-оптичсского устройства скрытой передачи информации // Оптика атмосферы и океана,- 2001.- Т. 14.-№ П.- С. 1074-1086.

125. Kozlov А. К. The use of synchronized chaos oscillators for transmitting an information signal //Tech. Phys. Lett.- 1994 V. 20.-P. 710-712.

126. Abel A., Schwarz W., Gotz M. Noise performance of chaotic communication systems // IEEE Trans. Circuits Syst. I-Fundam. Theor. Appl.- 2000.- V. 47.- № 2.-P. 1726-1732.

127. Yang Т., Chua L. О. Impulse control and synchronization of nonlinear dynamical systems and application to secure communication // Int. J. of Bifurcations and Chaos.- 1997.- V. 7.- № 3.-P. 645-664.

128. Yang, Т., Yang, L. В., Yang С. M. Cryptanalyzing chaotic secure communications using return maps // Phys. Lett. A.- 1998.- V. 245.- № 6.-P. 495-510.

129. Zhou, Ch.-S.; Chen, T.-L. Digital communication robust to transmission error via chaotic synchronization//Phys. Lett. E.- 1997 V. 56- № 2.-P. 1599-1604.

130. Volkovskii A. R., Tsimring L. S. Synchronization and communication using chaotic frequency modulation // Int. J. Circ. Theor. And Appl- 1999,- V. 27.- № 6.-P. 569-576.

131. Vizvari В., Kolumban G. Quality evaluation of random numbers generated by chaotic sampling phase-locked loops // IEEE Trans. Circuit. Syst. I.- 1998.- V. 45.- № 3.-P. 216224.

132. Udaltsov V. S., Goedgebauer J. P., Larger L. Communicating with optical hyperchaos: Information encryption and decryption in delayed nonlinear feedback systems // Phys. Rev. Lett-2001.- V. 86-№ 9.-P. 1892-1895.

133. Sundar S., Minai A. A. Synchronization of randomly multiplexed chaotic systems with application to communication // Phys. Rev. Lett.- 2000.- V. 85 № 25.-P. 5456-5459.

134. Sira-Ramirez.,IbanezC. A., Suarez-Castanon M. Exact state reconstructors in the recovery of messages encrypted by the states of nonlinear discrete-time chaotic systems // Int. J. of Bifurcations and Chaos.- 2002 V. 12 - № l.-P. 169-177.

135. Rulkov N.F., Sushchik M.M., Tsimring L.S., at al. Digital communication using chaotic-pulse-position modulation // IEEE Trans. Circ. Syst. I-Fundam. Thcor. Appl.-2001 -V. 48.-№ 12.-P. 1436-1444.

136. Capurro A., Diambra, L., Lorenzo D., at al. Human brain dynamics: the analysis of EEG signals with Tsallis information measure // Phys. A.- 1999.- V. 265.- № 1-2.-P. 235254.

137. Chen F., Xu J. H., Gu F. J. Dynamic process of information transmission complexity in human brains // Biol. Cyb.- 2000.- V.83.-№ 4.-P. 355-366.

138. Осовец C.M., Гинзбург Д.А., Гурфинкель B.C. и др. Электрическая активность мозга: механизмы и интерпретация // УФН.- 1983.- Т. 141.- № 1.- С. 103-150.

139. Андреев Ю.В., Дмитриев А.С., Куминов Д. А. Хаотические процессоры// Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники.-1997.-№10.-С.50-79.

140. Абарбанель Г.Д.И., Рабинович М.И., Селверстон А.И. и др. Синхронизация в нейронных ансамблях // УФН.- 1996.- Т. 166.-№ 4,- С. 363-390.

141. Чернявский Д. С. Синергетика и информация.-М.: Наука, 2001.-288 с.

142. Хакеп Г. Принципы работы головного мозга. Сипергетический подход к активности мозга и когнитивной деятельности.- М.: Эдиториал УРСС, 2001.- 352 с.

143. Тарасепко В.В. Фрактальная логика.-М.: Прогресс-традиция, 2002.-160 с.

144. Grassberger P. Information flow and maximum entropy measures for 1-D maps // Phys. D.- 1985.-V. 14.-P. 365-373.

145. Hasler M., Vandewalle J. Special issue on communications, information processing and control using chaos // Int. J. Circ. Theor. and Appl.- 1999.- V. 27.- № 6.-P. 525-531.

146. Измайлов И.В., Пойзнер Б.Н. Нелинейный кольцевой интерферометр как возможная система параллельной обработки информации // "Нейроинформатика и её приложения": Материалы 9 Всерос. семинара (5-7 окт. 2001 г., Красноярск). С. 83-84.

147. Loskutov A.Yu., Tereshko V.M. Processing information encodcd in chaotic sets of dynamic systems // Proc. SPIE.- 1993.- V. 2038.- P. 263-272.

148. Andreyev Yu.V., Dimitriev, A. S., Kuminov D. A., at al. 1-D maps, chaos and neural networks for information processing // Int. J. of Bifurcations and Chaos.- 1996.- V. 6 № 4.-P. 627-646.

149. Deco G., Schittenkopf Ch., Schermann B. Determining the information flow of dynamical systems from continuous probability distributions // Int. J. of Bifurcations and Chaos.- 1997.- V. 7 № l.-P. 97-105.

150. Batista A.M., Viana R.L., Lopes S.R. Multiple short-term memories in coupled weakly nonlinear map lattices // Phys. Rev. E- 2000.- V. 61.- № 5.-P. 5990-5993.

151. Binder P.M. Complexity and Fisher information // Phys. Rev. E.- 2000.- V. 61.- № 4.-P. 3303-3305.

152. Cuomo K.M., Oppenheim A.V., Strogatz S.H. Robustness and signal recovery in a synchronized chaotic system // Int. J. of Bifurcations and Chaos.- 1993.- V. 3.- № 6.-P. 1625-1638.

153. Hasler M., Vandewalle J. Special issue on communications, information processing and control using chaos // Int. J. Circ. Theor. And Appl.- 1999.- V. 2- № 6.-P. 525-536.

154. Kaneko K. Attractors, basin structures and information processing in cellular automata.-Singapore: World Scientific, 1986.- 264 p.

155. Mannella R., Fioretto A., Fronzoni L., at al. Stochastic resonance as a tool for signal processing: discrete Markov schemes versus continuous dynamics in a toy model of ion channel conduction Phys. Lett. A.- 1999.- V. 197.- № l.-P. 25-30.

156. Mptisos G. J., Burton Jr. R. M. Convergence and divergence in neural networks processing of chaos and biological analogy // Neural Networks.- 1992.- V. 5.-P. 605-625.

157. Pandin M., Didony G. Chaos in information processing: Simulation of a biological learning process by time evolution in an unsupervised neural network // Int. J. of Bifurcations and Chaos.- 1996.- V. 6,- № l.-P. 203-210.

158. Zhou C. S., Lai С. H. Robustness of supersensitivity to small signals in nonlinear dynamical systems // Phys. Rev. E. 1999,- V. 59.- № 6.-P. 6243-6246.

159. Уоссермен Ф. 11ейрокомпыотерная техника.-M.: Мир, 1992.- 341 с.

160. Малинецкий Г.Г., Ижикевич Е.И. О возможной роли хаоса в пейросистемах// ДАН,- 1992.-Т.326 № 4. -С. 626-632.

161. Ershov S.V., Malineskii G.G., Ruzmaikin A.A. A generalized two disk dynamo model // Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics.-1989.- V.47.- P.251-277.

162. Potapov A .B ., Gizzatulina S.M., Ruzmaikin A.A, Rukavishnikov V. D . Malineskii G.G. Dimension of geomagnetic attractor from data on length of day variations // Phys. of the Earth and Planetary Int.-1990.-V. 59.- P. 170-181.

163. Ворновицкий В.Г., Фельдштейп И.В. Методы анализа временных рядов в задачах диагностики состояния желудочно-кишечного тракта / Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН.-1997 №30 - 16с.

164. Владимиров С.Н., Майдановский А.С. Сравнительный анализ естественных флуктуации двух классов автоколебательных систем // РЭ.- 1986.- Г. 31.- № 12.- С. 2406-2414.

165. Владимиров С. Н. Вычисление спектра ляпуновских показателей движения в динамических системах с запаздыванием на основе спектрально-временного разложения уравнения эволюции возмущения // Изв. вузов. Физика.- 1997.- №10. С. 114-118.

166. Владимиров С.Н., Майдаиовский А.С. Спектрально-временной метод исследования динамических систем с запаздыванием//Изв. вузов. Физика,-1985.-№ 2.-С. 51-55.

167. Владимиро в С. Н., Майдаиовский А. С., Новиков С.С. Нелинейные колебания мпогочастотпых автоколебательных систем.-Томск: изд-во Том. ун-та, 1993.— 203 с.

168. Liebovitch S., Toth Т. A fast algorithm to determine fractal dimensions by box counting //Phys. Lett. A. 1989.- V. 141- P. 386-390.

169. Sarraille J.J., Myers L. S.//Educ. and Psycholog. Measurement. 1994.-V. 54.-№ 1- P. 94-97.

170. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984 432с.

171. Ми гул и н В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р. и др. Основы теории колебаний. М.: Наука, 1978.- 424с.

172. Андреев B.C. Теория нелинейных электрических цепей. М.: Связь, 1972.- 328с.

173. Vladimirov S.N., Negrul V.V. Robust variant of chaotic communication system// "Int. Symposium on Antennas and Propagation (ISAP)": Proe. Int. Symposium. (August 21-25, 2000, Fukuoka, Japan).- V. 3.- P. 1403-1406.

174. Дмитриев А.С. Детерминированный хаос и информационные технологии // Компьютера-1998.-№ 47- С.27-30.

175. Каганов В.И. Транзисторные радиопередатчики. М.: Энергия, 1976.- 448с.

176. Хай pep Э., Нерсетт С., Ванн ер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1990.- 512с.

177. Benettin G., Galgani L., Strelcin J.M. Kolmogorov entropy and numerical experiments // Phys. Rev. A 1976 - V. 14.- № 6 - P.2338-2345.

178. Grebogi C., Ott E., Pelikan S. Strange attractors that are not chaotic//Phys. D.-1984.- V.13.- P. 261-268.

179. Ховапов И.А., Хованова H.A., Анищенко B.C. и др. Чувствительность к начальным условиям и ляпуновский показатель квазипериодической системы //ЖТФ.-2000,- Т. 70.-Вып. 5 С. 112-114.

180. Владимиров С.Н., Штраух А.А. Управление энтропией неавтономных динамических систем с дискретным и непрерывным временем // ЖТФ.- 2004.- Т. 74.-Вып. 7.-С. 1-5.

181. Kaplan J.L., Yorke J.A. Chaotic behavior of multidimensional difference equations// Lect. Notes in Math.- Springer-Verlag.-1979.- V. 730.- P. 204-227.

182. Young L.S. Dimension, entropy, and Lyapunov exponents // Ergodic Theory and Dyn. Systems.- 1982.- V. 2.- P. 109-124.

183. Fa rmer D., Ott E., Yorke J.A. The dimension of chaotic attractors // Phys. D. — 1983 V. 7.-P. 153-180.

184. R omeiras F.J., Ott E. Strange nonchaotic attractors of the damped pendulum with qua-siperiodic forcing// Phys. Rev. A 1987 - V. 35 - № 10.- P.4404-4413.

185. Romeiras F.J., Bonderson A., Ott E., at al. Quasiperiodically forced dynamical systems with strange nonchaotic attractors // Phys. D. 1987,- V. 26.-P. 277294.

186. Ding M., Grebogi С., Ott E. Evolution of attractors in quasiperiodically forced systems: From quasiperiodic to strange nonchaotic to chaotic // Phys. Rev. A.- 1989,- V. 39.- № 5.- P. 2593-2601.

187. Feudel U., Kurths J., Pikovsky A.S. Strange non-chaotic attractor in a quasiperiodically forced circle map// Phys. D.- 1995.- V. 88.-P. 176-186.

188. Anishchenko V.S., Vadivasova Т.Е., Sosnovtseva O.V. Strange nonchaotic attractors in autonomous and periodically driven systems // Phys. Rev. E.- 1996.- V. 54.- № 4.- P. 32313234.

189. Osinga H. M., Feudel U. Boundary crisis in quasiperiodically forced systems // Phys. D.- 2000 V. 141.-№ 1-2.-P. 54-64.

190. Sosnovtseva O., Feudel U., Pikovsky A., at al. Multiband strange nonchaotic attractors in quasiperiodically forced systems // Phys. Lett. A.- 1996.- V. 218,- № 3.- P. 255267.

191. Picovsky A.,Feudel U. Comment on "Strange nonchaotic attractors in autonomous and periodically driven systems" // Phys. Rev. E 1997 - V. 56 - № 6,- P. 7320-7321.

192. Sosnovtseva O.V., Vadivasova Т.Е., Anishchenko V. S. Evolution of complex oscillations in quasiperiodically forced chain // Phys. Rev. E.- 1998.- V. 57,- № 1,- P. 282-287.

193. Бутенин H.B., Неймарк IO.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.- 384с.

194. Фейгепбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН, 1983.- Т. 141- С. 343-347.

195. Ruelle D., Takens F., Newhouse S. Occurrence of strange axiom A attractors near quasi-periodic flows on Tm (m = 3 or more) // Comm. Math. Phys. -1978. -V.64. P.819-825.

196. Curry J.H., Yorke J. The structure of attractor in dynamical system//Springer Notes in Math. -1977. -V.668. P. 48-62.

197. Владимиров C.H., Негруль В. В. RC источники хаотических колебаний // "Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП)": Труды IV Междупар. науч.-техн. копф. (23-26 сентября 1998 г., Новосибирск).- Т. 10.- С. 109-111.

198. Капранов М.В., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебании в радиотехнике. М.: Наука, 1984.- 320 с.

199. Benettin G., Galgani L., Giorgilli A., Strelkyn J. Lyapunov characteristic exponents for smooth dynamical systems and for Hamilton systems: A method for computing all of them Pt. 1, 2//Meccanica 1980.-Vol. 15.-№ l.-P. 9-20; 21-30.

200. Копторович М.И. Лекции по курсу "Теория электромагнитных колебаний ". Лекция №4.-Л.: Изд-во ЛПИ, 1966 21 с.

201. Копторович М.И. Нелинейные колебания в радиотехнике.-М.: Сов. радио, 1973.320 с.

202. Постников Л.В. К вопросу отыскания и исследования квазигармонических колебаний в елабонелинейных системах // Изв. вузов. Радиофизика.- 1971.- Т. 14.- № П.- С. 1700-1707.

203. Малышев В.А. О воздействии малого гармонического сигнала на узкополосиые автоколебательные системы с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика.- 1961- Т. 4,- № 5 С. 513-519.

204. Рубан и к В.П. О влиянии запаздывания па процессы синхронизации автоколебаний внешней периодической силой // Изв. вузов. Радиофизика.- 1962.- Т. 5.- № 3.- С. 336343.

205. Назаренко В.Г. Влияние задержки па автоколебания в клеточных популяциях // Биофизика.- 1976.- Т. 21.- № 2.- С. 352-355.

206. Буди нов В.И., Косолапов С.В. Устойчивость кипящего канала // Атомная энергия.- 1978 -Т. 45-№3.-С. 184-187.

207. Коты рев Е.А., Плис J1.E. Спектральные особенности устойчивой генерации колебаний в генераторе с запаздывающей обратной связью в мягком режиме // РЭ.- 1965.Т. 10.-№9.-С. 16-28.

208. Азьян Ю.М., Снигирев О.В., Мкртумов А.С. О режимах стационарной генерации автоколебательной системы с запаздывающей обратной связью // Вестник Моск. ун-та 1972.- Т. 13.- № 1- С. 99-103.

209. К и слов В.Я., Залоги п Н.Н., Мясип Е.А. Исследование стохастических автоколебательных процессов в автогенераторах с запаздыванием // РЭ.- 1979.- Т. 24.- № 6.-С. 1118-1126.

210. Кальянов Э.В., Иванов В.П., Лебедев М.И. Экспериментальное исследование транзисторного автогенератора с запаздывающей обратной связью // РЭ.- 1982,Т. 27,- № 5 С. 683-687.

211. Кальянов Э.В., Иванов В.П., Лебедев М. Н. Экспериментальное исследование транзисторного автогенератора с запаздывающей обратной связью // РЭ.- 1986.Т. 31-№5-С. 982-986.

212. Дворников А.А., Огурцов В.И., Уткин Г.М. Стабильные генераторы на поверхностных акустических волнах.- М.: Радио и связь, 1983.-136 с.

213. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием.- М.: Наука. 1969.-288с.

214. Владимиров С.Н., Майдан овский А.С. Оптимизация шумовых характеристик СВЧ автогенераторов // "Радиотехиические методы и средства измерений": Труды науч.-техн. коиф. (2-4 октября 1985 г., Томск).- Ч.1.- С. 6-11.

215. Ikeda К., Daido Н., Akimoto О. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity // Phys. Rev. Lett.- 1980,- V. 45.- № 9.- P. 709-712.

216. Ikeda K., Kondo K., Akimoto O. Successive higher-harmonic bifurcations in systems with delay feedback // Phys. Rev. Lett.- 1982.- V. 49.- № 20.- P. 1467-1470.

217. Измайлов И.В., Кала й да В.Т., Магазин пи ко в А.Л. и др. Бифуркации в точечной модели кольцевого интерферометра с запаздыванием и поворотом поля // Изв. вузов. ПНД,- 1999.- Т. 7,- № 5.- С. 47-59.

218. Магазинников A.J1., Пойзнер Б.Н. Бифуркационная диаграмма в случае кольцевого интерферометра с жидким кристаллом // Изв. вузов. ПНД.- 1998.- Т. 6.- № 2 С. 65-72.

219. Измайлов И.В., Магазин ников А.Л., Пойзнер Б.Н. Моделирование процессов в кольцевом интерферометре с нелинейностью, запаздыванием и диффузией при пемонохроматическом излучении // Изв. вузов. Физика.-2000.-№ 2.-С. 29-35.

220. Кащенко С.А. Пространственно-неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией // Мат. моделирование.-1990.-Т. 2.-№ 9.-С. 49-69.

221. Азьяп Ю.М., Мигулин В.В. Об автоколебаниях в системе с запаздывающей обратной связью //РЭ 1956.- Т. 1- № 4.- С. 418-427.

222. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: ГИТТЛ, 1951.-606 с.

223. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1982.- 488 с.

224. Владимиров С.Н. Применение спектрально-времеппых разложений для анализа движения одного класса нелинейных осцилляторов // "Второй Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике ": Тез. докладов (1996 г., Новосибирск).-4.1.-С. 5-6.

225. Vladimirov S.N. The identity spectrum-time description of movements in lumped and distributed dynamic system // "Mathematical Methods in Electromagnetic Theory": Proc. 6-th Int. Conf. (September 10-13, Lviv, Ukraine).- P.468-471.

226. Ван штейн Л. А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн.-М.: Наука, 1983.-288 с.

227. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы.-М.: Сов. Радио, 1977.- 608 с.

228. Гребенников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах,- М.: Наука, 1986.256 с.

229. Неймарк Ю.И. D-разбиение пространства квазиполиномов // Прикл. мат. и мех.-1949.-Т. 13,-№4,-С. 252-264.

230. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах,- М.: Наука, 1968.- 660 с.

231. Гершензон Е.М., Левитес А.А. Автоколебания и стабилизация частоты в многоконтурном генераторе СВЧ с запаздыванием // РЭ.- 1971.- Т. 16,- № 2.- С. 331339.

232. Никонов В.Н. Исследование флуктуаций колебания клистронного генератора // Изв. вузов. Радиофизика.-1959.-№ 6.-С. 915-921.

233. Олейникова Г.Я., Федотов Ю.С. О флуктуациях фазы и амплитуды в генераторе с задержанной обратной связью // РЭ.- 1966.- Т. 11.- №2 5.- С. 935-938.

234. Блехман И.И. Синхронизация динамических систем.-М.: Наука, 1971.- 896 с.

235. Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем.-М.: Наука, 1979.-432 с.

236. Форсайт Д.Э., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений.- М.: Мир, 1980.- 279 с.

237. Shimada I., Nagashima Т. A numerical approach to ergodic problem of dissipative dynamical system // Prog. Theor. Phys.- 1979.- V. 61.- № 6.- P. 1605-1616.

238. Packard N.H., Crutchfield J.P., Farmer J.D. at al. Geometry from a time series // Phys. Rev. Lett.- 1980 V. 45 - № 9 - P. 712-716.

239. Takens F. Detecting strange attractor in turbulence // Lect. Notes in Math.-№ 898.- Ber-lin-Heidelberg-N.Y.: Springer, 1981- P.366-381.

240. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L. at al. Determining Lyapunov exponents from a time series // Phys. D.- 1985.- V. 16,- № 3 P. 285-317.

241. Brandstater A., Swift J., Wolf A. Low-dimensional chaos in a hidrodynamical system // Phys. Rev. Lett.- 1983.- V. 51-№ 16 P. 1442-1445.

242. Гапонов-Грехов А.В., Рабинович М.И., Старобинец И.М. Динамическая модель пространственного развития турбулентности // Письма в Ж ТФ.- 1984.— Т. 39.-Вып. 12.-С. 561-564.

243. Mac key М.С., Glass L. Oscillations and chaos in physiological system//Science.-1977.- V. 197.- № 4300 P. 287-289.

244. Farmer J.D. Chaotic attractor of infinite-dimensional system // Phys/ D.- 1982.- V. 4,-№ 3 P. 366-393.

245. Владимиров С.H.Прямой алгоритм вычисления спектра ляпуновских показателей движения в генерирующих структурах с запаздыванием // "Второй Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике ": Тез. докладов (1996 г., Новосибирск).-Ч.З.-С.215.

246. Владимиров С.Н., Майдановский А.С. Анализ динамики автоколебательных режимов автогенераторов с запаздыванием спектрально-временным методом // РЭ.-1988.-Т. 33-№2.- С. 422-425.

247. Владимиров С.Н., Майдановский А.С. О границах применимости асимптотических методов к системе уравнений движения динамических систем с запаздыванием // Изв. вузов. Физика.-1987.-№ 11.-С. 112-113.

248. Активные системы с запаздывающей обратной связью: Учебное пособие / Сост.: С.Н. Владимиров, А.С. Майдановский, С.А. Майдановский.-Томск, 2000.-Изд-во Том. ун-та.-32 с.

249. Lozi R. Un attracteur etrange du type attracteur de Henon // J. de Physique. -1978. -V.39 (C5). -P.9-21.

250. Хенон M. Двумерное отображение со странным аттрактором // Странные аттракторы. -М.: Мир, 1981.-С. 152-163.

251. Henon М. A. Two dimension mapping with a strange attractor // Comm. Math. Phys. -1976. -V.50. -P. 69-77.

252. Hauser P.R., Tsallis C., Curado M.F. Criticality of the Routes to Chaos of the 1 a x"" Map // Phys. Rev. A. -1984. -V.30A. -№ 4. -P. 2074-2079.

253. Ни В., Satija I.I. A Spectrum of Universality Classes in Period Doubling and Period Tripling// Phys. Lett. -1983. -V. 98A. -№ 4. -P. 143-146.

254. Кроповер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. -М.: Постмаркет, 2000. -352 с.

255. Banks J., Brooks J., Cairns G., Davis G., Stacey P. On Devaney's Definition of Chaos // American Math. Monthly. -1992. -V. 99. -№. 4. -P. 332-334.

256. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. -Sec. Ed. -Addison-Wesley, Reading Mass., 1989.-231 p.

257. Крылов H.C. Работы по обоснованию статистической физики. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1950.

258. Владимиров С.Н., Земан С.К. "Универсальный генератор случайных чисел // "Электронные средства и системы": Труды Всерос. пауч.-практ. конф. (21-23 октября 2003 г., Томск).-С. 231.

259. Владимиров С.Н., Негруль В.В. Бифуркации в модифицированном логистическом отображении // "Динамика нелинейных дискретных электротехнических и электронных систем": Материалы IV Всеросс. науч.-техн. конф. (2001г., Чебоксары).- С. 163-164.

260. Владимиров С.Н., Штраух А.А. Динамика системы связанных модифицированных логистических отображений // "Современные проблемы физики и высокие технологии": Материалы междунар. конф. (29 сентября-4 октября 2003г., Томск).- С-183— 186.

261. Быков С.В. Разработка генератора акустического шума RNG-02 // "Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП)": Труды V Межд. науч.-техн. конф., (26-29 сентября 2000 г., Новосибирск). -Т. 6.- С. 185 -186.

262. Narayanan R.M., Xu Y., Hoffmeyer P.D., Curts J.O. Design and Performance of a Polarimetric Random Noise Radar for Detection of Shallow Buried Targets // Proceeding of SPIE.- V.2496.- P.20-30.

263. Narayanan R.M., Xu Y., Hoffmeyer P.D., Curts J.O. Design and Performance of a Polarimetric Random Noise Radar for Detection of Shallow Buried Targets // Proceeding of SPIE. V.2496, P.20-30.

264. Максимов H.A., Пан ас А.И., Савельев С.В. Однотраизисторный генератор хаоса сверхвысоких частот // " Microwave and Telecommunication Technology (CriMiCo'2004)": Proc. 14-th Int. Conf. (September 13-17, 2004, Sevastopol); P. 132-133.

265. Vladimirov S.N., Perfiliev V.I. Source of over broadband noise oscillations to diagnostic of electronic devices //"Microwave and Telecommunication Technology (CriMiCo'2004)": Proc. 14-th Int. Conf. (September 13-17, 2004, Sevastopol); P.642-644.

266. Vladimirov S.N., Perfiliev V.I. Microwave chaotic waveform source//"International Conference on actual problems of electronic instrument engineering (APEIE'2004)": Proc. 7-th Int. Conf. (September 21-24, 2004, Novosibirsk); Vol.4. P. 104-107.

267. Vladimirov S.N., Perfiliev V.I. 8-мм Chaotic Waveform Generator//"International Conference on the Noise Radar Technology (NRT2003)": Proc. Int. Conf. (October 2123, 2003, Kharkov, Ukraine)

268. Владимиров C.H., Негруль В.В. Система хаотической связи с пассивной синхронизацией // "Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП)": Труды V Междунар. науч.-техи. конф. (26-29 сентября 2000 г., Новосибирск).- Т.7.- С. 39-41.

269. Владимиров С.Н., Негруль В.В. ЧМ система синхронной хаотической связи// "Электроника и информатика XXI век": Доклады III Междунар. науч.-техн. конф. (22-24 ноября 2000 г. Зеленоград).- С. 381-382.

270. Владимиров С.Н., Негруль В.В. Хаотическая динамика автогенератора с квадратичной нелинейной характеристикой // "Современные проблемы физики и высокие технологии": Материалы межд. конф. (29 сетября-4 октября 2003 г., Томск).- С. 174176.

271. Дмитриев А. С., Кузьмин JI.B., Пан ас А. И. и др. Эксперименты по передаче информации с использованием хаоса через радиоканал // РЭ.- 1998.- Т. 43.- № 9.- С. 1115-1128.

272. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергстику.-М.: Наука, 1990.272 с.

273. Евдокимов Н.В., Ко молов В.П., Комолов П.В. Интерференция динамического хаоса гамильтоновых систем: эксперимент и возможности радиофизических приложений // УФН,- 2001.- Т. 171.- Вып.7 С. 775-795.

274. Л е в и П. Стохастические процессы и броуновское движение.-М.: Наука, 1972.- 376 с.

275. Пес и и Я. Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория // УМН 1977 - Т. 32,- №.4.- С. 55-112.

276. Владимиров С.Н. Генерация хаотических временных рядов для исследования реакции физических систем па шумовые воздействия // Изв. вузов. Физика,- 2004.- № 2. -С. 88-95.

277. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Мосс Ф. и др. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // УФН,- 1999.- Т. 169.-№. 1.-С. 7-38.

278. Климонтович Ю.Л. Что такое стохастическая фильтрация и стохастический резонанс?//УФН.-2001-Т. 171,-№7.- С. 39-47.

279. Morfu S., Bilbault J.M. Digital information receiver based on stochastic resonance// IJBC.- 2003.- V. 13.- № 1,- P. 233-236.

280. Heagy J.F., Hammel S.M. The birth of strange nonchaotic attractors // Phys. D.-1994.-V. 70.- P. 140-153.

281. Тихонов В . И. Статистическая радиотехника.-М.: Сов. радио, 1966.- 678 с.

282. Владимиров С.Н. Вероятностный метод вычисления наибольшего показателя Ляпунова движения хаотических систем // Изв. вузов. Физика,- 2005.- № 6. С. 91-92.

283. Владимиров С.Н. Классификация физических объектов, процессов и систем по типу воспроизводимого движения и степени открытости // Изв. вузов. Физика.- 2005.- № 2. С. 94-95.