Нелинейная динамика упругих систем с множеством положений разновесия и систем, близких к ним тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.01 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ РАН

На правах рукописи

ГШИПЧУК Валерий Николаевич

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА УПРУГИХ СИСТИ1 С МНОЖЕСТВОМ ПОЛОЖЕНИИ РАВНОВЕСИЯ И СИСТЕМ, БЛИЗКИХ К НИМ

01.02.01 — теоретическая механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора фвзихо-катеыатических наук

Москва 1992

Работа выполнена в Днепропетровской химико-технологическом институте

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук Акуле нхо Л.Д.

Доктор физико-математических наук Самсонов В.А.

Доктор физико-математических наук Зевин A.A.

Ведущее предприятие: Институт математики АН Украины

Защита состоится

на заседании специализированного совета при Институте проблем механики РАН по адресу: 117526, Москва, пр.Вернадского, 101,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем механики РАН.

Автореферат разослан "_"_199 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д.002.87.01 при ИПМ РАН

кандидат физико-математических наук А.И.Меняйлов

( • - . ^ I -3-

•I '

В работе рассматриваются высокоэнергетические колебательные и волновые процессы. Строятся специальный ашарат и аналитические итерационные процедуры для систем с множеством положений равновесия и систем, близких к ним.

Актуальность ггроблвш. Тенденции- развития современной техники и фундаментальны* областей знаний все чаще приводят к необходимости изучения динамики механических систем в вы-сокоэнертетических диапазонах. При незначительном возбуждении системы около состояния покоя адекватные средства ее описания дают линейная либо квазилинейная теории, достигшие к настоящему времени достаточно высокой степени совершенства. Однако, при большой, по сравнению с некоторым характерным "внутренним" значением, энергии поведение системы нередко приобретает качественные особенности, описание которых в ранках малых возмущений линейной модели либо неэффективно, либо принципиально затруднено. Это объясняет потребности в методах и теориях, использующих в качестве базовых нелинейные системы (или решения). Конструктивность и . практическая ценность теории с точки зрения ее применимости для расчетов в подобных случаях существенно зависит от степени простоты выбранной базовой схемы. Так,например, свободный математический маятник как интегрируемая система может играть базовую роль для соответствующих усложненных моделей во всем энергетическом диапазоне колебаний. Мезду тем, наиболее плодотворные в практическом смысле теории (квазилинейная и теория саштонов) известным образом связаны лишь с границами этого диапазона, на которых решения выранаются элементарными функциями (линейные колебания и лимитационный режим).

Заметим, что интерес к аналитическим методам не ослабевает, несмотря на широкое распространение компьютерной техники. Более того, внедрение в механику машинных систем аналитических преобразований стимулирует работы как по рационализации ута известных, так и по созданию новых аналитических процедур.

Таким образом, поиск нелинейных (достаточно простых, но физически содерзительных) базовых схем и построение соответствующих аналитических алгоритмов представляют собой актуальную проблему как в смысле современной инженерной прак-

тики, Т8к и с точки зрения фундаментальных дисциплин.

Цели работы:

1. Выбор порождающих систем с дополнительными по отношению к линейным системам и принципиально сложными с точки зрения квазигармонического анализа свойствами.

2. Построение соответствующих аналитически! итерационных процедур с автоматизацией преобразований на ЭВМ.

3. Применение построенных процедур для исследования практически важных нелинейных моделей классической механики.

Научная новизна. В результате исследования найдены нелинейные порождащие схемы для описания достаточно широкого . класса механических систем в высокоэнергетическом диапазоне колебаний.

Установлены и подробно изучены специальные тождества, позволяющие выполнить негладкую замену независимой переменной (времени) в периодическом и непериодическом случаях. Продиктованные такими заменами преобразования дифференциальных уравнений приводят к аналитическим итерационным процедурам, в которых роль порождающих играют простейшие системы с жесткими ограничителями.

В случае периодических процессов с регулярно локализованными временными особенностями соответствуюций математический аппарат дополняет аппарат тригонометрических разложений.

Практическая ценность результатов работы заключается в возможности их использования для предварительной оценки динамических свойств упругих конструкций, элементов летательных аппаратов, вибрационных машин, приборов и электромеханических систем в наиболее интересном и опасном — высокоэнер-тетическом диапазоне, где возможны качественные изменения в динамическом поведении систем.

Апробация полученных результатов. Диссертация в целом или отдельные ее разделы докладывались на всесоюзных конференциях по нелинейным колебаниям механических систем (Нижний

Новгород, 1987,1990), XXX и XXXI Международных симпозиумах "Моделирование в механике" (Висла,1991,1992), II Всесоюзной симпозиуме "Устойчивость в механике деформируемого твердого тела" (Калинин,1986), XV Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (Казань,1990), расширенных семинарах по теории машин и механизмов "Динамика виброударных систем" (Институт машиноведения АН СССР, 1984,1988,1992), научных собраниях отдела в Гливицах Польского общества теоретической и прикладной механики (Силезская политехника, январь 1991, ишь 1991), на семинарах под руководством Д.О.Кшлзнского, Д.М.Климова, Е.А.Девянина (Институт проблем механики РАН, 1992), В.Ф.Хуравлева, С.В.Нестерова, С.Я.Секерж-Зеньковича (Институт проблем механики АН СССР, 1984,1986,1989), Ю.А.Митропольского (Институт математики АН Украины, 1992), Д.АЛ1артыгаака (Институт механики АН Украины, 1992), И.И.Блехмана, Р.Ф.Нагаева ("Механобр", С.-Петербургский горный институт, 1992).

Публикации. Основные результата диссертации опубликованы в 27 печатных работах, включая одну монографию.

Диссертация содержит семь глав (в том числе введение), приложения, заключение и список используемой литературы. Общий объем составляет 399 стр., включая основной текст, 50 рисунков, 6 таблиц и библиографию (161 наимен.).

В первой вводной главе дано краткое описание основных классических алгоритмов теории нелинейных колебаний со ссылками на соответствующие литературные источники. Отмечается значительная роль А.Линдатедта, А.Пуанкаре, А.М.Ляпунова, Ван-дер-Поля, Н.И.Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.КСитропольско-го и многих других исследователей в построении, совершенствовании и обосновании алгоритмов (п.1). Затем (п.2) анализируются проблемы, связанные с применением классических алгоритмов для исследования колебаний конкретных механических систем в высокоэнергетическом диапазоне. Формулируются основные цели диссертационной работа (см. выше "Цела работы"). В частности, ставится задача поиска базовых схем, дополняю-

щих линейные. В п.З показано, что такие схемы могут быть найдены в крайне неблагоприятных с позиций квазилинейной теории ситуациях. Рассуждения иллюстрируются на специальных, но представляющих и определенный самостоятельный интерес, моделях. Так, осциллятор со степенной характеристикой (А.М.Ляпунов, И.Г.Малкин, В.Г.Каменков, П.М.Сеник, Й.М.Ко-вепЪе^ и др.)

х + хт = о, (1)

где га - нечетное положительное число, имеет простую временную форму колебаний на обоих краях интервала изменения параметра 1 < т < оо : гармоническую при га = 1 и кусочно - линейную при га = ю. Колебательные режимы осциллятора Дюф$инга с отрицательным нелинейным членом

х + х - х3 = О (2)

реализуются в диапазоне энергий 0 < Е < С приближением к краям этого интервала зависимость координаты от времени также приобретает простой вид: гармонический при Е —> +0 и (в масштабе собственного времени) кусочно - линейный при Е—>2~0. Таким образом, в "предельно нелинейных" случаях системы (1) и (2) порождают пару функций, графики которых с точностью до растлений и сдвигов во времени показаны на рис.1, где а - четверть периода колебаний.

Сложность для анализа квазигарноническимя методами в данном случае обусловлена локализованными во времени особенностями динамического поведения систем: ударами в системе (1) и "перескоками" (в масштабе собственного времени они выглядят мгновенными) от одного неустойчивого положения равновесия к другому в системе (2). Далее в п.З отмечается, что в многомерных упругих системах подобным режимам колебаний часто отвечают формы с пространственно-локализованными особенностями, что затрудняет соответствующий модальный анализ, а таксе прямую реализацию численных методов. В связи с этим ставится вопрос о построении аналитических процедур с показанной на рис.2 заменой базовой схемы.

Отмеченные существенно нелинейные режимы для таких процедур будут базовыми, а, следовательно, наиболее простыми в-»»ч описании.

Рис.1

| \ЛЛЛЛЛЛ/0 ¥ г- 1 □ 1 § §

- на--®}

Рис.2

В п.4 показано, что исходным пунктом построения соответствующего аппарата может служить следующее тождество, имеющее место для любой 4а-периодической функции х(Х) (доказательство и анализ свойств содержатся в приложениях 1.2.4):

х = Х(т) + У(г)т' . Т = т(г/а) (3)

Г х 1 1

| У ■ - 2 Сз(ат) 1 х(2а-ат>] .

Первое и второе слагаемые в (3) отвечают симметричной относительно 1 = а и кососимметричной составляющим функции

x(t). По-существу, это "периодический вариант " тождества

x(t) = ¡ [x(|t|] + x[-lt|)] + ír [x(|t|] - x[-|t|)] |t|- .

Свойство периодичности в правой части (3) связано с функцией т и поэтому периодический дроцесс может быть рассмотрен в новой временной переменной т на стандартном отрезке - 1 < т < 1 с автоматической сшивкой из рассмотренного куска всей периодической кривой. Далее приводятся наиболее существенные для целей построения свойства представления (3):

1) Элементы вида X + Ут* образуют алгебру (деление возможно не всегда) размерности 2 с базисом 1, т- и "таблицей умножения" т *2 = 1. Подобную алгебру образуют используемые в гидромеханике гиперболические числа. В частности, для какой-либо функции g имеет место равенство

Если функция x(t) непрерывна, то подчеркнутый справа сингулярный член отсутствует, поскольку носитель периодической обобщенной функции т" совпадает с множеством корней уравнения т(t/a) = ; 1, а при значениях т = ± i из (3) следует Y = 0. Таким образом, в результате дифференцирования опять получаем элемент той же алгебры. Это справедливо и для к-ой производной к-1 раз непрерывно дифференцируемой функции.

Далее в п.4 показано, что перечисленные свойства позволяют воспользоваться представлением (3) с целью преобразования уравнений движения на множестве периодических решений. Целесообразность такого преобразования обсуждается на примере осциллятора с одной степенью свободы (равенство погашается в смысле распределений по t):

2) Формальное дифференцирование (3) по t дает:

9

(5)

х + g(x) = 0.

(6)

Представление решения в форме (3) с неизвестными заранее Х-, Y-составляпцими и параметром а в прадаолсжении о непрерывности скорости х дает:

[X" + a'R ] + [Y" + a'ljx- =

X" - - a R

g

Y" - - а*1

я

(7)

с условиями

y|t=±i - |т.±. - W)

Теперь новая базовая схема получается путем отбрасывания правых частей в (7):

X" = О, Y" = 0. (9)

В самом деле, решение первого из этих уравнений

X = At(t/a) + В ( А, В = const ) (10)

отвечает семейству виброударных систем с одной ударной парой, при этом 2|А| - величина зазора между ограничителями; В - координата его центра. Решение второго уравнения в исходных переменных имеет вид

X - Yr- я [Cr(t/a) +к]т- (t/a), (С, К - const). (11)

При С = 0 это прямоугольный косинус с произвольной амплитудой. Для построения алгоритмов существенно, что новый временной аргумент ограничен ( |т| < 1 ) и обеспечивает сохранение свойства периодичности решения независимо от выбора алгоритма его построения.

В заключение п.4 показано, что аналогично могут быть преобразованы уравнения, имеющие и более сложную форму. Рассмотрено уравнение порядка 2к:

^f -t[t.x.&.....^Э]. x«Rn-

dt 1 It dt 1 J

где вектор-функция 1 либо 4a - периодична no t, либо аргумент t отсутствует.

П.5 посвящен замечаниям, касающимся недифференцируемости порождавдего решения. Сформулированные выше задачи анализируется с точка зрения концепции слабых решений дифференциальных уравнений, приводятся условия их совпадения с.классическими.

Б п.6 отмечается, что нелинейные динамические свойства многомерных упругих систем могут иметь некоторую "существенно - неодномерную" специфику. Тем не менее, предлагаемый рецепт поиска базовых схем для сильно нелинейных случаев моют оказаться полезным и здесь. Соответствующие рассуждения иллюстрируются на двухмассовой ферме — модели тонкостенной пологой арки, изгибная жесткость которой моделируется упругими шарнирами г, а жесткость на растяжение-сжатие — пружинами с. Шарниры и пружины предполагаются линейно-упругими (подобные модели, в частности ферма Мизеса, под действием динамических нагрузок подробно изучались в работах Н.Г.Бонда рл> . Свойства такой конструкции определяются параметром, зависящим от отношения жесткостей упругих элементов и геометрии фермы (г - длина звена-пружины, а - высота фермы)

Этот параметр существенно влияет на форму поверхности потенциальной энергии упругих деформаций. В подходящих координатах при рассмотрении квазипоперечных режимов эта поверхность описывается функцией:

п - |[(х1+ 2>* + »£] + \

Х(х4,х2) . + - 1).

Для расчета свободных колебаний наиболее сложным оказывается диапазон значений 0 < \< 1/12. Так, если при х >1/12 поверхность п(х±,х2) имеет только одну стационарную точку, соответствующую недеформированному положению равновесия фермы, то в диапазоне 0 < х. < 1/12 существуют дополнительно еще четыре: двум из них соответствуют положения фермы с нарушением ее исходной симметрии. Это — точки "перевала" в зародившейся при х =1/12 потенциальной ложбине на энергетической

поверхности. Появление дополнительных стационарных точек приводит к качественному усложнению динамического исследования: квазилинейный анализ окрестностей стационарных точек не дает всей картины движения в целом, между тем,глобальные режимы в данном случае и представляют наибольший интерес. При этом, чем меньше значение тем ниже диапазон энергий, в котором возможны нелокальные эффекты. С другой стороны, зарождение желоба означает появление новых, присущих вырожденной системе ( механизму ), свойств. Такое вырождение имеет место при значении х=0, когда упругие шарниры между звеньями превращаются в обычные шарниры, а из выражения для энергии п следует, что дно желоба касается координатной плоскости Х1Х2 по эллипсу

ХСх,.^) - 0. (12)

Вследствие этого система уравнений движения фермы при ХжО имеет тривиальное существенно нелинейное решение (особое множество) в виде эллипса (12). Это решение и используется в качестве порождающего при исследовании глобальных динамических режимов в окрестности всего множества (12) при малых, но отличных от нуля значениях х. Практически такая возможность реализуется путем введения на эллипсе локальной подвижной системы координат, сопутствующей изображающей точке плоскости Х4Х2. После соответствующих преобразований переменных система рассматривается как квазилинейная относительно локальных координат и существенно нелинейная (но уже одномерная) по параметру, характеризующему положение локальных координат на эллипсе. Приводится энергетическое обоснование такого шага.

В заключение отмечается, что рассмотренные в первой главе на модельных системах нелинейнные эффекты так или иначе связаны с наличием дополнительных (к основному, исходному) положений равновесна. . Проведенный качественный анализ показывает, что построение адекватных для исследования этих эффектов процедур может быть выполнено на базе динамических режимов, в которых неединственность, положений равновесия проявляется некоторым предельным образом.

В следующих главах проведенные качественные рассуждения

формализуются в вида конструктивных аналитических процедур.

Во второй главе рассмотрены периодические колебания систем с одной степенью свобода. В п.1 обсуждаются возможные способы формализации посредством аналитических итерационных процедур проведенных в первой главе ^качественных рассуждений. Колебания консервативного осциллятора, близкиек пилообразным, удобно описывать только Х-составляпцей представления (3), при этом краевая задача (7)-(в) имеет более простой вид:

У = 0; X" = -а*£(X), X' |тж±1 = 0. (13)

В случае нечетной характеристики £(х) разыскивается нечетное по т решение с удовлетворением краевому условию в одной точке т=1. Для аналитических характеристик решение строится в виде рядов последовательных приближений:

X = Ат + Х4(т) + Х2(т) + •••, (14)

Ь а Ьо + + \ + • • •. (15)

Здесь порождающее решение уже выписано, а остальные члены ряда (14) последовательно определяются из цепочки уравнений, представленных в интегральной форме

V т т

X = - £ ь.I и Лтйт; V «А... , (16)

о о

где

Я Д|<1^САт+еХ1+**Х4+- • • )/&* с- формальный параметр.

Соотношения для членов ряда (15) следуют из краевого условия и могут быть представлены в форме

I -1

Ь-г-УЧ-, V,: О^дйт/Х ло(1г. (п>

о о о

Предварительный анализ (п.1) показывает, что подобные ряды мажорируются сходящимися геометрическими прогрессиями. Этот вывод тестируется на специальных уравнениях, имеющих точные решения (п.п.1;6), и проверяется на достаточно длинных

x/ft

Рио.З

отрезках рядов, построенных в автоматизированной система аналитических преобразований КИШСЕ. Конечные отрезки ряда (14), содержащие не менее двух слагаемых, представляют собой дважды непрерывно дифференцируемые функции.

В п.З в качестве примера подробно рассмотрен осциллятор со степенной характеристикой (1). Отмечается, что точное решение может быть выражено специальными функциями Ляпунова (обращениями квадратур). Приводятся приближенные решения, построенные по описанным в предыдущих пунктах схемам. В частности, отрезки рядов (14),(15), содержащие по три слагаемых, имеют вид:

X = А

(19)

На рис.3 графически представлены первые три члена ряда и их сумма (жирная линия) для m =5. Присутствие в системе параметра (т), характеризующего степень ее близости х базовой, определяет дополнительные полезные для вычислений свойства разложений. Так, после выражения параметра А через на- -

га 2гг>*Э Т

ЕГ(га + 2} гга + з

га + г

(18)

'¿(та + 2)

nf

4(m +2)"

1 +

и + 2 гаТЕга

т

i

\\

к о

к

1

0 12 3

4 5 6 Рис.4

7 9 10

чальную скорость (у = А/а) из (18),(19) следует асимптотика:

л —> œ, х-> т (уt ).

Для дифференциального уравнения этот предельный переход рассматривается в приложении 3 с соответствующим расширением понятия классического решения. Результаты анализа подтверждает рис.4, где показаны зависимости периода колебаний осциллятора от показателя степени (ш=2п-1) при фиксированном значении энергии Е=2: 1 - аппроксимация временной формы пилообразной функцией (одно приближение); 2 - точное решение ; 3 - метод гармонического баланса (одно приближение).

В п.4 рассмотрена задача о расположении системы линейно-упругих пружин в виде амортизатора с заданной характеристикой, в тон числе — степенной. Для приближенных оценок используется прием континуализации системы пружин.

В п.5 построены пригодные во всем диапазоне амплитуд решения для осциллятора

х + X1 + х"1 » о, где t. < m - положительные нечетные числа. Обращается внимание на эффект "взаимодействия" степеней в решении. Показано, что соответствующая область взаимодействия локализована ка оси амплитуд в окрестности единицы, а "интенсивность" взаимодействия возрастает с увеличением разности показателей »»I. Отдельно рассмотрен представляющие интерес для физических приложений случай .

Приводятся разложения для осцилляторов (С.П.Тимошенко и

др.)

х + tg(x) » 0, х + th(x) ■ о.

Рассмотрены также поперечине колебания частицы, закрепленной при помощи двух горизонтальных линейно-упругих пру-

яин. Эта система интересна тем, что становится линейной при больших, а не при малых амплитудах колебаний. Предельный переход к бесконечно больший и бесконечно малым амплитудам для консервативного осциллятора общего вида рассмотрен в п.7. Затек описаны процедуры для осцилляторов с несимметричными характеристиками (п.8) и систем с односторонним отражением (п.9). В последнем случае вместо переменной т выбирается в а 1 -1 г | /а с соответствующим представлением искомого решения в форме

X Я 4(8) + Р(В)В' или (для консервативных систем) х = 0(8). Итерационная процедура строится так, что потенциальный барьер в исходном приближении заменяется эквивалентно расположенной жесткой стенкой.

В п.10 в терминах операторов груш Ли строится преобразование консервативного осциллятора с аналитической характеристикой, такое,что в новых переменных его свободные колебания имеет пилообразный во временя вид, т.е. соответствуют колебаниям базовой, виброударной системы.

В п.п.11;12 в качестве порождающего решения выбирается прямоугольный косинус и все решение разыскивается в виде (соответствующая краевая задача получается из (7), (8) при У=0 в условии е(-х) в -£(х)):

X * У(т)т' В [к + + У2(т) + ...]т'. (19)

Такими разложениями описываются колебания консервативных осцилляторов, близкие к лимитационным, имеющих кроме устойчивого (х=0) пару симмметрично расположенных неустойчивых положений равновесия (х>±К). При этом решение сшивается при помощи функций т,г', по—сущоству, из двух локальных квазилинейных разложений около неустойчивых положений равновесия. Такой локальный анализ становится возможный потому, что существенно нелокальный эффект "перескока" (см. выше) от одного положения равновесия к другому заранее учтен структурой представления (19). Например, для математического маятника

х' + в1д(х) = О решение в двух приближениях имеет вид:

г т Г сЬ(а т) 1

[к + 1,И * У,(г)]т- . -

I вей. (аН

т-т(1/а); а* = а* /

где ас- произвольный параметр, данций асимптотическую оценку четверти перибда колебаний в квазилиыитационных режимах. Скорость х, определяемая отрезками таких рядов, является непрерывной, но, вообще говоря, недафференцируемой в точках {1;т«/а)й1) функцией. В атом смысле свойства отрезков ряда (14) более благоприятны.

При построении решения для лимитационного режима вместо т выбирается переменная в в |г| (п.13),

В п.14 рассмотрены автоколебания системы Льекара

х + ¿(х)х + 1(х) - 0. В этом случав существенны оба слагаемых в представлении (3) и процедуры организованы более сложный образом. В качестве примеров построены решения для уравнения Ван-дер-Поля -Дюффинга, а тахже для уравнения вида

х' + (Ъх* - 1)х + - 0, где га - нечетное положительное число. Решение с сохранением первых двух членов разложений имеет вид:

' х ■ А(т " «ггг ] + гг Р - • т -

и 1 * А""1 4 (га + 2)1' о * йТТ '

Сопоставление с численным решением дает лучшие результаты с уменьшением значения Ь, т.е. 9 увеличением амплитуды предельного цикла (на рис.5 жирной линией показаны предельные циклы, полученные аналитически, тонкой — траектории численного решения при помощи метода Рунге-Кутты. Показаны- одно (N=1) и два (N»2) приближения,.

В трех заключительных пунктах (15-17) рассмотрены периодические колебания систем при внешних периодических воздействиях. В этом случае величина л2 известна заранее, а в правых частях последовательности уравнений дополнительно при-

ЪА* = б, 1

1 -

0 О

а) Ь=0.5; N=1 в> Ь=0.5; N=2

РИС.5

сутствуют составляющие функции воздействия, предварительно представленой согласно тождеству (3). Полученные решения позволили построить амплитудно-частотные зависимости для осцилляторов с сильно нелинейными характеристиками без ограничений на величины амплитуд колебаний. На рис.6 показан пример зависимостей для основного резонанса (при различных значениях амплитуд нагрузки) для системы вида

х + в11(х) » рг(-1/а); р*сопв1., (а* « Ь).

Анализируется случай резонанса п-го рода. Рассмотрены системы при параметрическом возбуждении.

В главе з построенные процедуры реализованы' в сочетании с идеей осреднения. В данном случав удобен формализм метода двухмасштабных разложений. Так, роль быстрого времени играет осциллирующая временная переменная т, а медленное время вводится обычным способом — путем приписывания исходной временной переменной малого множителя, характеризующего относительную скорость эволюционной (или модулирующей) составляющей. При атом представление (3) подвергается соответствующей

1/Н

«Х> : 5Ь(Х>

1 »

о

з 4

Рис. б

"деформации" посредством параметра медленного времени (п.1): I » Х(тЛ°) + ; т * т(р), р в (20)

Выбор функций для медленной составлящей при реализации процедуры направлен здесь на улучшение свойств гладкости приближенных решений« а не на устранение секулярных членов по быстрой переменной т (фигурирующие в разлокенш степени -г заведомо периодичны в исходном времени 'О. Рассмотрен пример (В.Ф.Журавлев, Д.М.Климов):

х' + 2рХ + х* » 0, 0<Р«1 .

Один шаг итерации дает решение:

X О Д.

.(т - ш + 2 ]

X - *^ Д в т* 1

1

т + 3

<Р ■ ¥>,

- < т- 1>/2

р® = 57 ю - 1

У 2 (пн-1)

X = сопвг.

7

Показано, что это решение хорошо согласуется с численный при высоких показателях степени га, когда гармоническая аппроксимация формы колебаний приводит к достаточно большим погрешностям.

В п.2 рассматриваются волновые процессы, которые могут быть описаны функцией (возможно, векторнозначной) следующего вида

и =» u(e,x,t),

где t и х - соответственно временная переменная и пространственная координата; в = e(x,t) - фаза. Предполагается, что функция и является периодической по & с периодом, равным четырем, и имеет по этой переменкой более высокую, чем по двум другим аргументам, изменяемость. Искймые решения представляются в виде

и = U(r,x,t) + V(r,x,t)T' , т в -г (О).

В качестве примера рассмотрено уравнение Клейна-Гордона с сально нелинейной правой частью. Полученный на первом шаге процедуры результат сопоставляется с результатом метода Уи-зэиа (усреднения лагранжиана).

В п.З представление для решения типа (20) используется для системы стандартного вида

i = (х,t), х в R",

где Г- вещественно-аналитическая по х = (xi,...,xn)T, непрерывная и периодическая по t с периодом 4 вектор-функщая; '«1 - малый параметр. Это может оказаться полезным, если зависимость правой части системы от времени имеет локализованные особенности, описываемые посредством функций т,г', либо их обобщенными производными (см. далее).

В главе 4 строятояГ периодические одночастотные режимы типа нормальных колебаний (в смысле Каудерера-Розенберга) в нелинейных системах (п.п.1-3) Условия существования таких режимов представляют собой предмет специального рассмотрения и достаточно хорошо изучены (в квазилинейном случае это — решения А.М.Ляпунова). Кроме того, разработаны методы анализа соответствующих слабо искривленных траекторий в конфигурационном пространстве (Л.И.Цан8Вич,1).В.Ыихяхн,А.Л.Хушвв).

Цредлагаемые процедуры позволяет получать явные временные зависимости для координат системы в режимах типа нормальных колебание. Для консервативной системы вида

х + 1(х) =0, х « (х4.....хп)т

порождапцее решение выбирается в форме Xе0' = А<0,т + В<0>, где постоянные векторы А<0>, В<0> определяют положение в ориентацию ограничителей эквивалентной виброударной системы. Эти векторы и исходное приближение для параметра четверти периода колебаний определяются на первом шаге процедуры вз следующей алгебраической задачи:

(шю,т + в'0')) »о. и^(Гг+в,0,)ат.А,0),

N /т о

1

Ь,(01Г,1Ш /Г|<0>Т.1.(0) , п<0) и

0 и А А /]А х(А т + В )йт.

о

В симметричной случае (К-х) = -1(х)) первое равенство выполняется автоматически при В<0>= 0, вектор А<0> определяется как собственный вектор нелинейного оператора. При этом имеющийся произвол связывается с параметром Ь0 посредством последнего равенства. В качестве примеров рассмотрены двух-массовые цепочки с сильно нелинейными упругими связями. Изучены вынужденные колебания двухмассовой модели нелинейной балки под действием пилообразной внешней нагрузки.

В п.4 рассматриваются автоколебания, в частности, построено периодическое решение для системы двух связанных осцилляторов Ван-дер-Поля - Дюффинга. Затем (п.5) анализируются периодические режимы, близкие к лимитационным, в многомерных системах с несколькими положениями равновесия, в той числе - в двухмассовой цепочке с жестко-мягкими связями.

В п.6 описана асимптотическая процедура построения высокочастотных периодических решений в системе стандартного вида после ее преобразования на множестве периодических решений посредством тождества (3).

В заключение главы (п.7) представление (3) используется для "исключения" разрывных во времени периодических воздействий. Вначале рассмотрено уравнение

х = 1(х,»>) + рг"^): I « И", р = ,

где

где период правой части по переменной ч> равен четырем ; р -- постоянный n-мерный вектор ; вектор-функция 1 - регулярная составляющая правой части -предполагается непрерывной по каждой из совокупности переменных х и кусочно-непрерывной по переменной р : допускаются разрывы первого рода в точках локализации ¿-импульсов т"(*>). Сделанные допущения позволяют рассматривать равенство в смысле распределений (по переменной t). Представление периодического решения в форме

X = Х(т) + Г(т)т' , т = т(р)

дает

"Y' - Rr + («X' - 1г)т' + (Yo> - р)т- = 0 -»

- «Y'-R,. "Х- - If, = (21)

J [i(X+Y,r) ± i(X-Y.2-r)];

функция 1 предварительно преобразована посредством тождества (3) по аргументу ч>, а также учтены алгебраические свойства (3). Полученная задача (21) разрывных функций не содержит. В случае р=0 краевые условия однородны и соответсвуют необходимым условиям непрерывности x(t).

Показано, что данный прием может оказаться полезным и в линейном случае. Например, периодическое решение системы

Х*МХ + рт"(ч») , f> ж ut ,

где И - постоянная невырожденная п*Л -матрица, имеющая ор-тонормированную систему собственных векторов ej с соответствующими собственными значениями 0 « i.....п) записывается в виде единого аналитического выражения следующим образом:

^ т chM]

Рассмотрены также система уравнений второго порядка, случай параметрического импульсного воздействия. В качестве тестового примера решается задача о формах собственных колебаний бесконечной струны на регулярно расположены! линейно-

-упругих опорах (пространственно-периодическая структура).

В главе s обсуждается возможность использования соответствующих преобразований дифференциальных уравнений для исследования двухчастотных колебаний механических систем. Известно,что, помимо технических усложнений расчета, существуют и принципиальные, связанные, в частности, с проблемой "малых знаменателей". В данной главе анализируется специфика проявления этих сложностей при использовании для расчета пилообразных функций. В случае двухчастотных процессов тождество типа (3) последовательно применяется к каждой из двух фаз, в результате функция^представляется следующим образом (п.1):

х - QO-,.^) + Р^.т,) + Р^.т,) еа + Р*^,^)

(т^ в т^), т2 = т(рг); f>t в u^t, <РХ Я

Выражения такой структуры образуют алгебру (без деления) размерности 4 с базисными элементами е4, еа, еа, 1 и таблицей умножения :

®1е2 = • в»вт = е1 • е1е» = е1 •

Представление для произвольного числа фазовых переменных рассмотрено в приложении 4.

В п.2 показано, как преобразованные в соответствии с (22) дифференциальные уравнения для консервативных систем выводятся аз вариационного принципа. В п.3 преобразованию подвергается система с квазипериодическим импульсным, воздействием.

В главе ь (п.п.1-3) построенные процедуры используются для расчета конкретных механических систем, основной из которых является одномерная цепочка' упруго связанных осцилляторов. Соответствующие уравнения движения имеют вид:

К ~ + 2Ч, ~ Чн* + в (п = 0.*Ь±2,...), где и - перемещение п-й массы. В частности, описаны волны с

периодическими и уединенными пространственно - локализованными образованиями.

В глава т (п.п.1-15) рассмотрены континуальные гибкие упругие систеш типа арок и колец, иг дискретные модели, а такие модель Бергера для тонкостенной пластины с начальной неправильностью. При этом предположение о пологости конструкции позволяет в конечном счете придать геометрическую наглядность движению в конфигурационном пространстве. Существенно используется факт вырождения системы (при нулевом значении характерного параметра) в систему с непрерывным множеством положений равновесия типа (12). Показано, что движение имеет двухчастотный во времени характер. Получены и проанализированы соответствующие асимптотические решения. Общая часть рассуждений проводится на упругой система, потенциальная энергия которой определена выражением

П = ^U(x) + ¿гЧх). х « R"1,

где U(x),f(x) - заданные аналитические ( ira обязательно квадратичные формы ) функции; уравнение ï(х) = 0 определяет в В" многообразие размерности К - 1.

В приложениях 1-7 рассмотрены некоторые вопросы математического характера, касающиеся, главный образом, операций над функциями с "пплообразныш" аргументами. Дано описание ВШГСЕ-программ, для автоматизированного построения разложений по предлагаемым итерационным схемам и приведены примеры их реализации. /

Основные выводы:

1.Показано, что в механических системах с непрерывным множеством положений равновесия возможны динамические и квазистатические решшы, пригодные для использования их как порождающих в алгоритмах аналитического исследования нелинейных колебательных и волновых явлений.

2.Построены специальный аппарат и аналитические итерационные процедуры, в которых роль породдающах играют системы с жесткими ограничителями.

3.Разработан комплекс программ, автоматизирующих процесс построения высших приближений в системе аналитических преобразований ка ЭВМ (КЕШСЕ).

4.Предложен асимптотический метод разделения движений для задач о существенно нелинейной динамике упругих систем, вырождающихся, в системы с непрерывным - множеством положений равновесия - механизмы.

5.Показано, что введенная замена переменных с негладким преобразованием времени дает адекватное описание внешних воздействий с локализованными особенностями временной формы (в том числе - мгновенными импульсами), а также пространственных кеоднородностей структуры упругих систем.

6.Для ряда систем с одной степенью свободы и режимов типа нормальных колебаний (волн) в многомерных случаях получены явные решения, описывающие процессы с существенным временным энгармонизмом. В частности, изучены колебания, близкие к виброударным и лимитационным режимам, автоколебания в нелинеаризуемых системах.

7.Развитые методы тестируются на распространенных моделях строительной механики, физики и техники. В их числе:

упругие системы типа пологих арок, балок и их дискретные модели;

пластины с начальным несовершенством формы под действием внешних поперечных нагрузок;

конечные и бесконечные цепочки масс с нелинейно-упругими связями;

струна на сильно нелинейном основании;

струна с сосредоточенными массами на нелинейно-упругих опорах;

некоторые модели амортизаторов;

осцилляторы с высокой степенью нелинейности, используемые в качестве моделей в теоретических и прикладных областях физики.

8.Предлагается новый способ представления решений дифференциальных уравнений, учитывающий свойства временной симметрии процессов. Введенные представления обладают удобными для анализа и различных преобразований алгебраическими свойствами.

По результатам диссертации автором опубликовано 27 работ, основными из них являются:

1.Маневич Л.И., Михлин D.B., Пилипчук В.Н. Метод нормальных колебаний для существенно нелинейных систем.- М. :Наука, 1989.- 216 С. (главы 3-5)

2.Маневич Л.И., Пилипчук В.Н. Нелинейное динамическое поведение пологой сетчатой оболочки при прощелкивании // Изв.АН СССР.МП.- 1979.- N6.

3.Маневич Л.И., Пилипчук В.Н. Нелинейные колебания механической системы с несколькими положениями равновесия//Приклад-ная механика.- i98i.- Т.17, N2,- С.97-103.

4.Маневич Л.И., Пилипчук В.Н. Динамическое поведение пологой арки при прощелкивании//Динамика и прочность тяжелых машин. - Днепропетровск.- 1981.- Вып.6.- С.34-44.

5.Пилипчук В.Н. О существенно нелинейной динамике арок и ко-лец/ЛШ.- 1982.- Т.46 , N3.- С.461—466.

6.Веденова Е.Г., Маневич Л.И., Пилипчук В.Н. Нормальные колебания в струне с сосредоточенными массами на нелинейно-упругих ОПОраХ//ШМ.- 1985 . — T.49,'n2.- С.203-211.

7.Пилипчук В.Н. К расчету сильно нелинейных систем, близких

к ВИбрОУДарНЫМ//ПШ.- 19В5,- Т.49, N5,- С.744-751.

8.Пилипчук В.Н. Построение периодических решений в сильно нелинейных системах//Докл. АН УССР. Сер.А.- 1986.-NI.- С.28-31.

9.Пилипчук В.Н. Об одном методе исследования нелинейных задач динамики прямоугольных пластин с начальными неправильно-стями//Прикладная механика.- 1986.- N12.- С.78-85.

10.Пилипчук В.Н. "Комплексификация" уравнений теории колебаний и волн при помощи пилообразного синуса и построение

упрощенных схем последовательных приближений с автоматизацией аналитических преобразований на ЭВМ. - Нелинейные колебания механических систем. I Всесоюз. науч. конф..Горький, 1387.- Ч.2.- С.27-30.

11 .Пвлипчук В.Н. .Цраценко И.Г. Об одной модели растяжимой трубки, допусхагщвй локализованные волны// ХПМТФ.- 1987, N3.- С.126-131.

12.Пилипчук В.Н. О преобразовании колебательных систем при помощи пары негладких периодических функций//Докл. АН УССР. Сер.А.- 1988.- N4.- С.37-40.

13.Нагаев Р.Ф., Пилилчук В.Н. О нелинейной динамике консервативной системы, вырождащвйоя в систему с особым множест-ВОМ//ПШ.- I989.-T.S3, вып.2.- С.190-195.

14.1Ьшшчук В.Н. Представление нелинейных одночастотных колебаний посредством простейших виброударных режимов. - Нелинейные колебания механических систем. II Всесоюз, науч. конф.,Горькой, 1990.- 4.2.-С.181-182.

15.Пилипчух В.Н. Об использовании виброударных систем в качестве порождагвдх при исследовании нелинейных колебательных процессов//гев2у1у паиЗсоие роИг&сЬпШ. Б1ааМ.е;Ь 011*106, 1991.-Ъ.103.-5.197-200.

16.Пилипчук В.Н. К -расчету периодических процессов в механических системах с импульсным возбуждениеы//гев2^у паикше роШесЬпШ. Б1вак1еЗ, 011»1се,1992.-2.1ОТ.-Б.335-343.

17 .Маневич Л.И., Пилилчук В.Н. Локализация колебаний в линейных и нелинейных цепочках//Успехи механики.- 1<?9е.- т.13, вып.3/4.- С.107-134. '

18.Ианввич Л.И., Пилипчук В.Н. Уединенные волны в струне на нелинейно-упругом несимметричном основянии//Гидроазромехани-ка и теория упругости: нелинейные задачи механики идеальных, вязкоупругих и упруго-пластических сред.- Днепропетровск: ДГУ.-1991.- С.84-88.