Нелинейная эволюция сигналов со сложной структурой в средах без дисперсии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

Введение

1 Общие свойства турбулентности Бюргерса

1.1 Уравнение Бюргерса, его точное и асимптотическое решения.

1.2 Характерные особенности процессов распространения одномасштабных сигналов.

2 Эволюция интенсивных акустических модулированных импульсов в средах без дисперсии при бесконечно больших числах Рейнольдса

2.1 Генерация крупномасштабной компоненты при распространении сложного импульса с монохроматическим заполнением.

2.1.1 Квазистатическое приближение. Генерация крупномасштабной компоненты.

2.1.2 Стадия образования разрывов.

2.2 Автомодельность статистических характеристик импульса с шумовым заполнением

2.2.1 Начальная стадия эволюции. Квазистатическое приближение

• 2.2.2 Стадия образования разрывов - внутренняя структура импульса

212.3 Асимптотическое поведение импульса на стадии образования разрывов. Автомодельность усредненных характеристик

2.3 Численный эксперимент.

Резюме.

3 Нелинейная эволюция интенсивных акустических модулированных импульсов в диссипативной среде

3.1 Характерные особенности распространения одномасштабных сигналов в среде с конечной вязкостью.

3.2 Линейная стадия эволюции импульса с монохроматическим заполнением

3.3 Асимптотическое поведение импульса с шумовым заполнением на больших временах.

Резюме.

4 Параметрическая генерация крупномасштабных структур при распространении интенсивного модулированного шума в средах без дисперсии

4.1 Начальная и квазистатическая стадии эволюции модулированного шума

4.2 Генерация крупномасштабной компоненты на стадии развитых разрывов

4.3 Эволюция крупномасштабной компоненты.

4.4 Трансформация спектра модулированного шума в процессе распространения

Резюме.

5 Самосохранение крупномасштабных структур в нелинейной вязкой среде, описываемой уравнением Бюргерса

5.1 Сохранение крупномасштабной структуры случайного поля, численный эксперимент

5.2 Устойчивость крупномасштабных структур по отношению к малым возмущениям

5.3 Самосохранение крупномасштабных структур при сильных возмущениях

5.4 Мелкомасштабные возмущения и турбулентная вязкость.

Резюме

Проблема исследования особенностей распространения интенсивных волн в нелинейных средах важна для многих областей современной физики, например, таких как гидродинамика, физика плазмы, оптика, акустика [1-6].

Все многообразие волновых процессов определяется нелинейными и дисперсионными свойствами среды в совокупности с геометрическими характеристиками волны и диссипацией. Несомненно, что и характер взаимодействия волн диктуется средой, в которой происходит этот процесс. Критерием эффективности взаимодействия является условие синхронизма между спектральными составляющими волн, определяющее эффективность их энергообмена. В средах с дисперсией (например, оптические волны) условию синхронизма удовлетворяет только несколько спектральных компонент. При распространении нелинейных волн в средах без дисперсии все спектральных компоненты находятся в фазовом синхронизме, и вследствие этого происходит эффективный энергообмен между ними. Характерной чертой этого процесса является лавинообразный рост числа гармоник волны, взаимодействующих между собой, что приводит к появлению мелкомасштабных структур в профиле волны. К подобным волнам относятся, например, нелинейные акустические волны, профиль которых в процессе распространения нелинейно искажается вплоть до образования крутых участков - ударных фронтов [2]. В силу данных свойств процессов эволюции нелинейных волн в средах без дисперсии для изучения распространения интенсивных возмущений в подобных средах не применим спектральный подход, который может быть использован в задачах о распространении сигналов в диспергирующих средах. Задачи исследования распространения нелинейных волн существенно усложняются, если начальное возмущение носит шумовой характер.

В нелинейной акустике начало развития данного направления исследований можно отнести к периоду начала 70-х годов [7-9]. Большой вклад в области статистической нелинейной акустики был сделан учеными Московского государственного университета [2,3,10-13] и Нижегородского государственного университета [1,14]. В коллективной монографии "Нелинейная акустика" [15], посвященной достижениям в нелинейной акустике, глава "Статистические явления" была подготовлена О. В. Руденко и С. Н. Гурбатовым. Теоретические результаты, полученные ими, в последствие были подтверждены в экспериментах международных научных групп [16-19].

Необходимость развития этого направления связана в первую очередь наличием в природе и технике источников акустического излучения большой интенсивности, таких как реактивные двигателей [20], взрывные волны [21,22], интенсивные флуктуирующие сигналы гидролокаторов [23], термооптические преобразователи [24], шумы кави-тационного слоя [25], акустическая эмиссия [26], гром [27], сейсмические волны [28], и многие другие.

В то лее время, теоретические исследования уравнений нелинейной акустики имеют важное значение и для других областей физики, так как они могут быть использованы в качестве математических моделей процессов распространения нелинейных волн другой физической природы.

Простейшая модель распространения нелинейных акустических волн основана на уравнении Бюргерса (плоские волны) или модифицированным уравнением Бюргерса (цилиндрические и сферические волны). Наиболее важный класс задач, который описывается данным уравнением - акустические волны конечной амплитуды [2]. Вследствие этого данное уравнение нашло широкое применение в нелинейной акустике [2], в частности в описании распространения интенсивного акустического шума - так называемой акустической турбулентности. В последние десятилетия уравнение Бюргерса вместе с более сложными модельными уравнениями нелинейной акустики интенсивно изучаются как аналитически, так и с применением численных методов. Результаты аналитических исследований модельных уравнений нелинейной акустики опубликованы во многих научных работах [2,29-32], а также численные и аналитические исследования уравнений, подобных уравнению Бюргерса представлены в работах [33-42].

Уравнение нелинейной диффузии, которое теперь носит название "уравнение Бюргерса", в 1939 году впервые было представлено Дж. Бюргерсом как модель гидродинамической турбулентности [43-45]. Оно описывает два фундаментальных эффекта., присущих любой турбулентности [46]: нелинейное перераспределение энергии по спектру и действие вязкости в области мелких масштабов. При отсутствии внешних сил уравнение Бюргерса описывает затухание турбулентности, то есть нелинейную трансформацию случайного начального возмущения. В настоящее время термин "турбулентность Бюргерса" означает решение уравнения Бюргерса со случайными начальными условиями. Данное уравнение с помощью нелинейной замены переменных может быть сведено к линейному уравнению диффузии, и следовательно имеет точное решение в квадратурах. Это позволяет получить ряд строгих статистических результатов (см., например, [1,45,47-58]}, которые могут служить тестами для проверки приближенных методов исследования гидродинамической турбулентности. Достаточно полное и в тоже время краткое сравнение уравнения Навье-Стокса и уравнения Бюргерса было сделано более 30 лет назад известным ученым й,. Н. Кга1сЬпап в работе [60]. Эти уравнения имеют много общих свойств, например, тип нелинейности, группы инвариантности, соотношения энергия - диссипация, существование многомерной формы. Однако, уравнение Бюргерса интегрируемо, и вследствие этого не чувствительно к начальным условиям. Различия между данными уравнениями также интересны, как и их сходства, что справедливо и для их многомерных форм. С точки зрения численного моделирования уравнение Бюргерса также представляет несомненный интерес, так как возможно построение достаточно простых алгоритмов численного решения данного уравнения. Уравнение Бюргерса нашло приложение во многих физических задачах, где нелинейность достаточно слабая (квадратичная), а дисперсия значительно меньше линейного затухания [5]. В радиофизике оно было строго получено при изучении электромагнитных волн в линиях передач [59]. В нелинейной акустике оно выводится из системы гидродинамических уравнений с учетом вязкости и теплопроводности среды [2].

В течение последних пятнадцати лет интерес научного мирового сообщества к турбулентности Бюргерса постоянно растет. Спектр задач, связанных с уравнением Бюргерса необычайно широк и включает такие проблемы как распространение хаоса [61,62], клеточные автоматы [63,64], перенормировки масштабов [65], хаусдорфова размерность разрывов [50], принцип глобального максимума для случайных начальных условий [66,67], эволюция поля при воздействии случайной силы в правой части уравнения Бюргерса [68-70].

Внимание физического сообщества было вновь обращено к изучению возможных приложений уравнения Бюргерса в 1986 году, когда М. Karclar, G. Parisi, и Y.-C. Zhang впервые предложили нелинейное уравнение со случайным источником, которое описывает неравновесную эволюцию поверхности [71], которое теперь носит название "KPZ-equation". Это уравнение совпадает с нелинейным уравнением для потенциала поля скорости многомерного уравнения Бюргерса. Уравнение Бюргерса также описывает эволюцию широкого класса физических систем, таких как направленные полимеры в случайных средах, что используется при описании процесса намокания [72], неупорядоченные магниты [73], сверхпроводники [74]. Другой класс задач, для которых уравнение Бюргерса может быть использовано в качестве математической модели, описывает рост поверхностей, осаждение примеси и распространение фронта пламени [75-77]. Оно также описывает распространение электромагнитных волн в ферритах, магнитозвуковых волн в плазме и интенсивных акустических волн в жидкости и газе [2,5,45,78-80]. В последнее десятилетие обобщенная векторная форма уравнения Бюргерса была предложена для описания задач в космологии [1,81-85], а так называемая "модель слипания", в основе которой лежит данное уравнение, описывает формирование крупномасштабной структуры Вселенной. Если предположить, что давление пренебрежимо мало, то эта модель справедлива на нелинейной стадии развития гравитационной неустойчивости, рождающейся из случайных начальных возмущений [81-84]. Очевидно, что, находя применение в таком широком спектре физических задач, уравнение Бюргерса представляет интерес с точки зрения теоретического изучения.

С точки зрения теоретического исследования особый интерес представляет решение уравнения Бюргерса в асимптотическом случае бесконечно больших чисел Рейнольдса. Его характерной особенностью в данном случае является существование локальной и статистической автомодельности [1]. Термин "локальная автомодельность" означает, что, благодаря совместному действию нелинейности и вязкости, каждая реализация поля имеет универсальное поведение: на больших временах поле представляет собой последовательность треугольных импульсов с одинаковым наклоном в промежутках между разрывами. При периодических начальных условиях относительные скорости разрывов равны нулю, поэтому периодичность поля сохраняется. При этом из-за совместного действия нелинейности и затухания на разрывах полностью теряется информация об амплитуде и форме начального возмущения. При шумовом начальном поле координаты и скорости разрывов случайны, что приводит к слиянию ударных фронтов. Из-за многократного слияния разрывов статистические характеристики турбулентности на достаточно больших временах также становятся автомодельными и определяются единственным масштабом - интегральным масштабом турбулентности [1,48]. В области больших и малых волновых чисел энергетического спектра сигнала. формируются универсальные степенные асимптотики, связанные с образованием разрывов и слиянием разрывов.

Данная диссертация посвящена исследованию нелинейной эволюции сигналов со сложной структурой в средах без дисперсии, математическая модель которой основана на одномерном уравнении Бюргерса. Основное внимание уделяется вопросам распространения и взаимного влияния крупномасштабных и мелкомасштабных структур в эволюции интенсивных акустических многомасштабных сигналов и стационарного шума с высокочастотным возмущением той же природы в спектре начального сигнала.

Взаимодействие между регулярным и шумовым сигналами в нелинейной недиспер-гирующей среде представляет большой интерес с точки зрения теоретических исследований и практических приложений. В акустике, например, многие источники интенсивных шумовых сигналов, такие как взрыв, кавитация, электрический разряд, имеют две составляющие - регулярную и шумовую [2]. Известно, что существуют фундаментальные отличия между эволюцией импульса и эволюцией периодического сигнала в нелинейной среде без дисперсии [2,5] - генерация крупномасштабной компоненты, поэтому взаимодействие между импульсом и шумовым сигналом качественно отличается от эволюции суммы периодического сигнала и шума. Процесс генерации низкочастотных компонент при распространении модулированного высокочастотного излучения достаточно хорошо изучен [2,23,86], так как именно на этом эффекте основана работа параметрических излучателей звука. Эта задача также актуальна с точки зрения проблемы генерации интенсивных акустических импульсов при подводных взрывах [87].

При анализе взаимодействия регулярного сигнала и шума можно выделить два основных вопроса - во-первых, как сигнал влияет на перераспределение энергии шума по спектру, и, во-вторых, как шум влияет на дополнительное затухание регулярного сигнала. Известно, что шум приводит к полному разрушению периодической структуры регулярного сигнала и, как следствие, к быстрому затуханию среднего поля [88]. Однако, как показано в данной работе, в процессе эволюции многомасштабных сигналов. которые представляют собой модулированный шум, возможно сохранение крупномасштабной структуры подобных возмущений. В случае взаимодействия низкочастотных шумовых структур с высокочастотными возмущениями из-за слияния разрывов крупномасштабные структуры также оказываются устойчивыми к высокочастотным возмущениям.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и библиографии.

Заключение

В заключение сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Построена теория эволюции интенсивных сигналов со сложной внутренней структурой, характеризующихся двумя существенно различными пространственными масштабами, в нелинейных вязких средах без дисперсии.

2. Впервые показано, что имеет место генерация ненулевого среднего поля в процессе эволюции импульсов со сложной внутренней структурой при нулевом среднем значении начального возмущения. Проведено качественное и количественно сравнение крупномасштабных структур, генерируемых в процессе эволюции ограниченных в пространстве импульсов с монохроматическим и случайным заполнением. Показано, что при распространении импульса с монохроматическим заполнением генерируется крупномасштабная компонента, которая преобретает стационарную форму на стадии развитых разрывов. Для импульса с шумовым заполнением генерация крупномасштабной компоненты продолжается дольше и эффективнее, чем для импульса с монохроматическим заполнением.

3. Доказана автомодельность средних характеристик импульса с шумовым заполнением на поздней нелинейной стадии эволюции в случае бесконечно больших чисел Рейнольдса. Получены аналитические выражения для автомодельных форм среднего поля и его дисперсии. Обнаружен эффект генерации из шумового поля практически детерминированной структуры - М-волны. относительные флуктуации координат разрывов которой достаточно малы, если характерный масштаб заполнения много меньше, чем масштаб модуляции 10 <С ¿о

4. Обнаружен эффект резкого возрастания флуктуации амплитуды на линейной стадии эволюции при распространении шумового импульса в среде с конечной вязкостью. Этот эффект обусловлен сдвигом координаты разрыва М-волны в процессе распространения импульсов со сложной внутренней структурой в среде с конечной вязкостью относительно положения разрыва в случае бесконечно малой вязкости среды. Данный сдвиг определяется тонкой структурой начального возмущения, и, как следствие, характерное время перехода импульса на линейную стадию эволюции ^ также зависит от внутренней структуры импульса. Так как амплитуда импульса на линейной стадии определяется временем 1,1, она. также является чувствительной к внутренней структуре сигнала. На нелинейной стадии относительные флуктуации поля достаточно малы для шумового импульса со сложной внутренней структурой (/о <С Ь0). Однако, на линейной стадии эти флуктуации экспоненциально возрастают. о. Аналитически и численно исследован эффект генерации квазипериодической крупномасштабной структуры с периодом, равным периоду модуляции, в процессе распространения интенсивного акустического шума с периодической модуляцией в нелинейной среде без дисперсии при бесконечно больших числах Рейнольдса. Показано, что в отличие от случая импульсной модуляции, крупномасштабная структура поля, генерируемая в процессе эволюции непрерывного модулированного шума., нестабильна из-за случайности движения разрывов, и асимптотически поле носит шумовой характер. Энергетический спектр подобного сигнала на стадии развитых разрывов представляет собой сумму дискретной и непрерывной составляющих. При этом дискретная часть спектра соответствует энергетическому спектру пилообразной волны, распространяющейся в среде с конечной вязкостью, а непрерывная часть спектра имеет универсальные низкочастотную (Е(кЛ) ос к2) и высокочастотную (Е(кЛ) а к~2) асимптотики.

6. Впервые доказана устойчивость крупномасштабных структур по отношению к мелкомасштабным возмущениям в процессе распространения интенсивного шума в средах без дисперсии для случая непрерывного начального спектра со степенным показателем меньше единицы. Показано, что не только статистические

137 характеристики, но и сами реализации случайного поля устойчивы по отношению к начальным мелкомасштабным возмущениям как малой, так и большой амплитуды. Коэффициент корреляции крупномасштабной структуры и этой же структуры с высокочастотным возмущением с течением времени он стремится к единице. Влияние высокочастотных возмущений эквивалентно введению эффективной вязкости среды, обусловленной статистическим усреднением по ансамблю реализаций шума.

1. С. Н. Гурбатов, А. Н. Малахов, А. И. Саичев. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. М.: Наука, 1990.

2. О. В. Руденко, С. И. Солуян. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука. 1975. С. 287.

3. С. А. Ахманов, Ю. Е. Дьяков, А. С. Чиркин. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, (1981).

4. Б. Б. Кадомцев. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, (1976).

5. G. В. Whitham. Linear and nonlinear waves, New York, (1974).

6. M. Б. Виноградова, О. В. Руденко, А. П. Сухорукое. Теория волн. М.: Наука (1979).

7. В. П. Кузнецов. Случайные акустические поля в нелинейных средах. Акуст. Журнал 15, № 4 (1969) 554-559.

8. В. П. Кузнецов. О спектрах интенсивных шумов, Акуст. Журнал 16, № 1 (1970) "155-157.

9. А. А. Карабутов, О. В. Руденко, О. А. Сапожников. Теория тепловой самофокусировки с учетом формирования ударных волн и акустических течений. Акуст. Журнал 34, № 4 (1988) 644-650.

10. О. В. Руденко, В. А. Хохлова. Кинетичекий подход к описанию одномерной акустической турбулентности. Акуст. Журнал 34, № 3 (1988) 500-506.

11. О. В. Руденко, В. А. Хохлова. Кинетика одномерных пилообразных волы. Акуст. Журнал 37, № 1 (1991) 182-188.

12. С. Н. Гурбатов, А. И. Саичев. В кн. Нелинейная акустика.: Теоретические и экспериментальные исследования. Под ред. В. А. Зверева, JL А. Островского. Н.Новгород: ИПФ РАН (1980) 108-142.

13. S. N. Gurbatov, О. V. Rudenko. Statistical Phenomena. In: Nonlinear Acoustics. Edited by M. F. Hamilton, D. T. Blackstock. Academic press, San Diego (1998) 337398.

14. M. B. Moffett, W. L. Konrad, L. F. Carlton. Experimental demonstration of the absorption of sound by sound in water. JASA 63, No. 4 (1978) 1048.

15. Т. K. Stanton, R. T. Beyer. The interaction of sound with noise in water. JASA 64, No.6 (1978), 1667-1670.

16. K. Sakagami, S. Aoki, I. M. Chon, T. Kamakura, K. Ikegaya. Statistical characteristics of finite amplitude acoustic noise propagation in tube. ,J. Acoust. Soc. Japan E 3 (1982) 43-45.

17. T. Todani, Y. Kuramoto. Spectral anomaly in propagating pulse trains. Progr. Tlieor. Phys. 72, No. 6 (1984) 1248-1251.

18. Авиационная акустика. Под ред. А. Г. Мунина, В. Е. Квитки. М.: Машиностроение (1973).

19. Э. В. Лаврентьев, О. А. Кузян. Взрывы в море. М.: Судостроение (1977).

20. Ю. В. Петухов. Об интерпретации аномального поведения импульса давления волны от подводного взрывного источника. Акуст. Журнал 28, № 2 (1983) 247250.

21. Б. К. Новиков, О. В. Руденко, В. И. Тимошенко. Нелинейная гидроакустика. JL: Судостроение, 1981.

22. JI. • М. Лямшев. Оптоакустические источники звука. УФН 135 (1981) 637-669.

23. В. А. Акуличев. В кн. Мощные ультразвуковые поля. Под ред. JL Д. Розенберга. М.: Наука (1968).

24. Ультразвук: Маленькая энциклопедия. Под ред. И. П. Голяминой. М.: Сов. Энциклопедия (1979) 391.

25. Н. S. Ribner, D. Roy. Acoustic thunder. A quasilinear model for tortuous lightning. JASA 72 (1981) 1911-1925.

26. В. M. Зобин. Динамика, очага вулканическиз землетрясений. М.: Наука (1979).

27. L. Bjorno. Nonlinear acoustics. In: Acoustics and Vibration Progress, Vol.2. R. W. B. Stephens, H. G. Leventha.il (eds.). Chapman and Hall, London (1973) 103-198.

28. M. B. Lesser, D. G. Crighton. Physical acoustics and the method of matched asymptotic expansions. In: Physical Acoustics, Vol. 11. W.P. Mason (ed.). Academic Press. New york (1976) 69-149.

29. D. G. Crighton. Model equations of nonlinear acoustics. J. Fluid Mech. 11 (1979) 11-33.

30. P. L. Sachdev. Nonlinear diffusive waves. Cambrige University Press, 1987.

31. D.G. Crighton, J. F. Scott. Asymptotic solution of model equations in nonlinear acoustics. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A292 (1979) 101-134.

32. J. F Scott. Uniform asymptotics for spherical and cylindrical nonlinear acoustics waves generated by a sinusoidal source. Proc. R. Soc. Loncl. A375 (1981) 211-230.

33. B. 0. Enflo. Saturation of a nonlinear cylindrical sound wave generated by a sinusoidal source. J. Acoust. Soc. Am. 77 (1985) 54-60.

34. B. 0. Enflo. Some ananlytic results on nonlinear acoustic wave propagation in diffusive media. Radiofisika 36 (1993) 665-686.

35. B. 0. Enflo. Saturation of nonlinear spherical and cylindrical sound waves. J. Acoust. Soc. Am. 99 (1996) 1960-1964.

36. P. L. Sachdev, V. G. Tikekar, K. R. C. Nair. Evolution and decay of spherical and cylindrical N-waves. J. Fluid. Mech. 172 (1986) 347-371.

37. P. L. Sachdev, K. R. C. Nair. Evolution and decay of spherical and cylindrical acoustic waves generated by a sinusoidal source. J. Fluid Mech. 204 (1989) 389-404.

38. P. W. Hammerton, D. G. Crighton. Old-age behavoiur of cylindrical ancl spherical nonlinear waves: numerical and asymptotical results. Proc. R. Soc. Lond. A422 (1989) 387-405.

39. T. G. Muir. Nonlinear acoustics and its role in sedimentary geophysics of the sea. In Physics of Marine Sediments, edited by L.Hampton, Plenum Press, New York-London (1974) 241.

40. J. M. Burgers. Application of a model system to illustrate some points of the statistical theory of free turbulence. Proc. Roy. Neth. Acad. Sci.43 (1940) 2-12.

41. J. M. Burgers. The Nonlinear Diffusion Equation. Reidel, Dordrecht, 1974.

42. U. Frisch. Turbulence: the Legacy of A.N. Kolmogorov. Cambrige University Press, 1995.

43. S. Ivida. Asymptotic properties of Burgers turbulence. J. Fluid Mech. 93, No. 2 (1979) 337-377.

44. Ya. Sinai. Statistics of shocks in solutions of inviscicl Burgers equation. Commun. Math. Phys. 148 (1992) 601-622.

45. S. Albeverio, A. A. Molchanov, D. Surgailis. Stratified structure of the universe and Burgers' equation a probabilistic approach. Prob. Theory Relat. Fields 100 (1994) 457-484.

46. S. A. Molchanov, D. Surgailis, W. A. Woyczynski. Hyperbolic asymptotics in Burgers' turbulence and extremal processes. Commun. Math. Phys. 168 (1995) 209-226.

47. A. Avellaneda, R. Ryan, Weinan E. PDFs for velocity and velocity gradients in Burgers' turbulence. Phys. Fluids 7, No. 12 (1995) 3067-3071.

48. S. N. Gurbatov, S. I. Simdyankin, E. Aurell, U. Frisch, G. Toth. On the decay of Burgers' turbulence. J. Fluid. Mech.344 (1997) 339-374.

49. G. M. Molchan. Burgers equation with self-similar Gaussian initial data: tail probabilities. J. of Stat. Phys. 88 (1997) 1139-1150.

50. T. J. Newman. Dynamical scaling in dissipative Burgers turbulence. Phys. Rev. E 55, No.6 (1997) 6989-6999.

51. R. Ryan. Large-deviation analysis of Burgers turbulence with white-noise initial clata. Comm. Pure Appl. Math. Ll, (1998) 47-75.

52. S. Gurbatov, U. Frisch. In Advances in Turbulence VII, Ed. by U. Frisch, Kluwer Acad. Publ. Nederlands (1998) 437.

53. А. В. Талонов, Л. А. Островский, Г. И. Фрейдман. Ударные электромагнитные волны Известия вузов. Радиофизика 10, № 9 (1967) 1376-1413.

54. R. Н. Kraichnan. Lagrangian-history statistical theory for Burgers equation. Phys. Fluids Mech., 11, No.2 (1968) 265-277.

55. E. Gutkin, M. Kac. Propagation of chaos and the Burgers equation. SIAM -J. Appl. Math. 43 (1983) 971-980.

56. A. Sznitman. A propagation of chaos results for Burgers' equation. Probab. Theory Related Fields 71 (1986) 581-613.

57. В. M. Boghosian, C. D. Levermore. A sellular automaton for Burgers' equation. Complex System 1 (1987) 17-30.

58. L. Brieger, E. Bonomi. A stochastic lattice gas for Burgers' equation: a. practical study. J. Statist. Phys. 69 (1992) 837-855.

59. M. Rosenblatt. Scale renormalization and random solutions of the Burgers' equation. J. Appl. Probab. 24 (1987) 328-338.

60. Y. Hu, W. A. Woyczynski. An extremal rearrangement property of statistical solutions of Burgers' equation. Ann. Appl. Probab. 4 (1994) 838-858.

61. Y. Hu, VV. A. Woyczynski. A maximum principle for unimodal moving average data of the Burgers' equation. Probab. Math. Statist. 15 (1994) 153-171.

62. M. Avellaneda, W. E. Statistical properties of shocks in Burgers turbulence. Comm. Math. Phys. 172 (1995) 13-38.

63. H. Holden, B. Oksendal, J. Uboe, T.-S. Zhang. Stochastic Partial Differential Equations. A modelling, White Noise, Functional Approuch. Birkhouser-Boston (1996).

64. L. Bertini, N. Cancrini, G. jona-Lasinio. The stochastic Burgers equation. Comm. Math. Phys. 165 (1994) 211-232.

65. M. Kardar, G. Parisi, Y.-C. Zhang. Dynamic scaling of growing interfaces. Phys. Rev. Lett. 57, No. 9 (1986) 889-892.

66. D. В. Abraham. Solvable model with a roughening transition for a planar Ising ferro-magnet. Phys. Rev. Lett. 44, No. 18 (1980) 1165-1168.

67. D. A. Huse, C. L. Henley. Pinning and roughening of domain walls in Ising systems due to random impurities. Rev. Lett. 54, No. 25 (1985) 2708-2711.

68. G. Blatter, M. V. Feigelman, V. B. Geshkenbein. A. I. Larkin, V. M. Vinokur, Vortices in high-temperature superconductors. Rev. Modern Phys. 66 (1994) 1125-1388.

69. J. P. Bouchaud, M. Mezard, G. Parisi. Scaling and intermittency in Burgers turbulence. Phys. Rev. E 52 (1995) 3656-3674.

70. A.-L. Barabasi, H. E. Stanley. Fractal Concepts in Surface growth. Cambrige Univ. Press, Cambrige, 1995.

71. V. Gurarie, A. Migdal. Instantons in Burgers equation. Phys. Rev. E 54, No. 5 (1996) 4908-4914.

72. С. H. Гурбатов, И. Ю. Демин, А. И. Саичев. Об установлении автомодельных режимов нелинейных случайных волн в диссипативных средах. ЖЭТФ 87, вып. 8 (1984) 497-505.

73. С. Н. Гурбатов, А. И. Саичев, И. Г. Якушкин. Нелинейные волны и одномерная турбулентность в средах без дисперсии. УФН, 141, вып.2 (1983) 221-255.

74. А. М. Polyakov. Turbulence without pressure. Phys. Rev. E 52, No. 6 (1995) 61836188.

75. С. H. Гурбатов, А. И. Саичев. Вероятностные распределения и спектры потенциальной гидродинамической турбулентности. Изв. Вузов Радиофизика, 27, № 4 (1984) 456-468.

76. S. N. Gurbatov, A. I. Saichev, S. F. Shandarin. The large-scale structure of the Universe in the frame of the model equation of nonlinear diffusion. Month. Not. R. astr. Soc. 236 (1989) 385-402.

77. S. F. Shandarin, Ya. B. Zeldovich. The large-scale structure of the Universe: turbulence, intermittemcy, structures in a self-gravitating medium. Rev. Mod. Phys. 61 (1989) 185-220.

78. M. Vergassola, B. Dubrulle, U. Frisch, A. Noullez. Burgers' equation, Devil's staircases and the mass distribution for large-scale structures, Astron. Astrophys. 289 (1994) 325-356.

79. D. Weinberg, J. Gunn. Large-scale structure and the adhesion approximation. Mon. Not. Roy. Astro. Soc. 247 (1990) 260-286.

80. M. R. Leadbetter, G. Lindgren, H. Rootzen. Extremes and related properties of random sequences and processes. Springer, New York, 1983.

81. В. E. Фридман. В книге: Нелинейная акустика. Теоретические и экспериментальные исследования. Под. ред. В.А. Зверева, JI.A. Островского. Горький, ИПФ АН СССР (1980) 219.

82. С. Н. Гурбатов, И. Ю. Демин, Н. В. Прончатов-Рубцов. Нелинейное взаимодействие импульсных и шумовых сигналов в средах без дисперсии. ЖЭТФ 91 (1986) 1352-1362.

83. A. Noullez, М. Vergassola. A Fast Algorithm for Discrete Legendre Transforms. J. Sci. Сотр. 9 (1994) 259-281.

84. P. Muratore Ginanneschi. Fast aperture algorithms in one and more dimensions. TRITA-PDC Report 1996:7 ISRN KTH/PDC/R-96/7-SE.

85. С. H. Гурбатов, Г. В. Пасманик. Взаимодействие шумов и регулярных сигналов в средах без дисперсии. Самосохранение крупномасштабных структур. Известия Академии Наук. Серия физическая, 62, 12 (1998) 2309-2318.

86. С. Н. Гурбатов, Г. В. Пасманик. О самосохранении крупномасштабных структур в нелинейной вязкой среде, описываемой уравнением Бюргерса. ЖЭТФ 115, 2 (1999) 564-583.

87. S. N. Gurbatov, В. 0. Enflo, G. V. Pasmanik. The decay of pulses with complex-structure according to Burgers' equation. Acustica Acta Acustica 85, No. 2 (1999) 181-196.

88. S. N. Gurbatov, B. 0. Enflo, G. V. Pasmanik. The decay of plane wave pulses with complex structure in nonlinear dissipative media. http://arXiv.org/pliysics/0010034 (принято к печати в Acustica Acta Acustica 86, No. 6 (2000)),

89. S. N. Gurbatov, B. 0. Enflo, G. V. Pasmanik. The decay of pulses with complex structure according to Burgers' equation. Preprint TRITA-PDC Report 1996:14 ISRN KTH/PDC/R-- 96/14--SE.

90. G. V. Pasmanik. The correlation coefficient in Burgers' turbulence. Preprint TRITA-PDC Report 1996:9 ISRN KTH/PDC/R - 96/9 - - SE.

91. Г. В. Пасманик, С. H. Гурбатов. Применение преобразования Лежандра к решению уравнения Бюргерса. Сборник научных трудов "Современные проблемы радиофизики" (1996) 21-25.

92. С. Н. Гурбатов, Г. В. Пасманик, С. И. Симдянкин. Об особенностях численного решения уравнения Бюргерса. Тезисы докладов, Итоговая научная конференция, посвященная Дню радио (1996) 48.

93. G. V. Pasmanik, S. N. Gurbatov, В. О. Enflo. On decay of pulses with complex structure. Тезисы докладов, Научная конференция по радиофизике, посвященная 95-летию со дня рождения М.Т. Греховой (1997) 86.

94. С. Н. Гурбатов, Г. В. Пасманик. Устойчивость крупномасштабных структур в эволюции шумов в средах без дисперсии. Труды научной конференции по радиофизике, посвященног 80-летию Нижегородского государственного университета им. Н.И.Лобачевского (1998) 95.

95. С. Н Гурбатов, Г. В. Пасманик, И. Ю. Демин. Эффект генерации крупномасштабной компоненты в эволюции интенсивных акустических модулированных шумов. Труды третьей научной конференции по радиофизике (1999) 242.

96. С. Н. Гурбатов, Б. О. Энфло, Г. В. Пасманик. Эволюция акустических импульсов со сложной внутренней структурой. Тезисы докладов, Вторая Нижегородская Сессия Молодых ученых, Нижний Новгород (1997) 129.

97. С. Н. Гурбатов, Г. В. Пасманик. Об устойчивости крупномасштабных структур в эволюции интенсивных акустических шумов. Тезисы докладов, Третья Нижегородская Сессия Молодых ученых, Нижний Новгород (1998) 71.

98. С. Н. Гурбатов, Г. В. Пасманик. О распространении акустических шумовых импульсов в вязких средах без дисперсии. Тезисы докладов, Четвертая Нижегородская Сессия Молодых ученых, Нижний Новгород (1999) 70.

99. С. Н. Гурбатов, И. Ю. Демин, Г. В. Пасманик. К вопросу об эволюции интенсивных акустических модулированных шумов в нелинейных средах без дисперсии. Тезисы докладов, Пятая Нижегородская Сессия Молодых ученых, Нижний Новгород (2000).

100. С. Н. Гурбатов, Б. О. Энфло, Г. В. Пасманик. О распространении интенсивных акустических импульсов со сложной внутренней структурой в средах без дисперсии. Сборник трудов сессии, VI Сессия Российского Акустического Общества, Москва (1997) 15-18.

101. С. Н. Гурбатов, Г. В. Пасманик. Взаимодействие шумов и регулярных сигналов в средах без дисперсии. Сохранение крупномасштабных структур. Труды VI Всероссийской школы-семинара "Волновые явления в неоднородных средах", Крас-новидово, Москва (1998) 4-6.

102. С. Н. Гурбатов, Г. В. Пасманик. Стабильность крупномасштабных структур в турбулентности Бюргерса. Акустика океана. Сборник трудов школы-семинара акад. Л.М.Бреховских, Москва (1998) 246-249.

103. S. N. Gurbatov, В. О. Enflo, G. V. Pasmanik. The decay of pulses with complex structure according to Burgers' equation. Preprint Collection on the CD, Joint Meeting 137th regular meeting of the Acoustical Society of America, 2nd convention of the

104. EAA: Forum Acusticum- integrating the 125th German Acoustics DAGA Conference, Berlin, Germany (1999).

105. S. N. Gurbatov, B. 0. Enflo, G. V. Pasmanik. The decay of pulses with complex structure according to Burgers' equation. J AS A 105, 2, 2 (1999) 957.

106. С. H. Гурбатов, А. Ю. Мошков, Г. В. Пасманик, В. Вл. Черепенников. Эволюция сложных сигналов в средах без дисперсии. Вторая международная конференция "'Фундаментальные проблемы физики", Саратов (2000) 68-69.

107. Е. Hopf. The partial differential equation щ + uux — циХх- Comm. Pure Appl. Math. 3 (1950) 201-230.

108. J. P. Bouchaud, M. Mézard. Universality classes for extreme-value statistics. Journal of Physics A Mathematical and General 30 (1997) 7997-8015.

109. S. N. Gurbatov. Universality classes for self-similarity of noiseless multidimensional Burgers turbulence and interface growth. Phys.Rev.E. 61, 3 (2000) 2595-2604.

110. W. A. Woyczynski. Burgers-KPZ Turbulence. Gottingen Lectures. Springer-Verlag, Berlin, 1998.

111. S. N. Esipov, T. J. Newman. Interface growth and Burgers turbulence: the problem of random initial conditions. Phys. Rev. E 48, No. 2 (1993) 1046-1050.

112. S. E. Esipov. Energy decay in Burgers turbulence and interface growth: the problem of random initial conditions II. Phys. Rev. E 49 (1994) 2070-2081.

113. D. Bernard, K. Gawedzki. Scaling and exotic regimes in decaying Burgers turbulence, e-print chao-dyn/9805002.

114. J. D. Cole. On a quasi-lineax parabolic equation occurring in aerodynamics. Quart. Appl. Math. 9 (1951) 225-236.

115. M. В. Федорюк. Метод перевала. M.: Наука, 1977.

116. P. Курант. Уравнения с частными производными. М.: Мир (1964) 830.

117. С. Н. Гурбатов. Динамическая и статистическая автомодельность решений уравнения Бюргерса. Изв. Академии Наук. Серия физическая 60, № 12 (1996) 108-116.

118. D. В. Crighton, S. N. Gurbatov. The nonlinear decay of complex signals in dissipative media. Chaos 5, 3 (1995) 524-530.

119. D. T. Blackstock. Thermoviscous attenuation of plane, periodic finite-amplitude sound waves. J. Acoust. Soc. Am. 36 (1964) 534-542.

120. С. H. Гурбатов, И. Ю. Демин, А. М. Сутин. Взаимодействие нелинейно ограниченных пучков в параметрических излучателях. Акуст. Журнал 25, № 4 (1979) 515-520.

121. С. .М. Hedberg. Nonlinear propagation through a fluid of waves originating from a biharmonic sound source. J. Acoust. Soc. Am. 96 (1994) 1821-1828.

122. S. N. Gurbatov, С. M. Hedberg. Nonlinear crosstransformation of amplitude-frequency modulation of quasimonochromatic acoustic signals. Acustica Acta Acustica 84 (1998) 414-424.

123. С. H. Гурбатов, И. Ю. Демин. О трансформации интенсивных шумовых акустических импульсов. Акуст. Журнал 28, № 5 (1982) 634-640.

124. S. О. Rice. Mathematical analyzes of random noise. In Selected Papers on Noise and Stochastic Processes, editor N.Wax, Dover (1954) 133-294.

125. B. 0. Enflo, Asymptotic behavior of the N-wave solution of Burgers' generalized equation for cylindrical acoustic waves. J. Acoust. Soc. Am. 70 (1981) 1421-1423.

126. J. R. Angilella, J. C. Vassilicos. Spectral, diffusive and convective properties of fractal and spiral fields. Physica D 24 (1998) 23-57.157

127. А. А. Сухорукое. Нелинейная эволюция широкополосных акустических сигналов в диссипативной среде. Вестн. Моск. Унив. Сер. физ. и астрон. 49, № 3 (1994) 34-40.

128. А. P. Prudnikov, Y. A. Brychkov, О. I. Marichev. Integrals and series, Vol. 1: Elementary functions. Gordon and Breach, Glasgow, 1988.

129. A. H. Малахов. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968.

130. Б. Р. Левин. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов.Радио, Книга 1, 1974.

131. С. Н. Гурбатов. Нелинейное взаимодействие волн в средах без дисперсии при наличии внешних распределенных источников. Изв. Вузов Радиофизика 26, № 3 (1983) 283-294.

132. Е. Aurell, S. Gurbatov, I. Wertgeim. Self-preservation of large-scale structures in Burgers turbulence. Phys. Letters A 182, No. 1 (1993) 109-113.

133. R. Tribe, 0. Zaboronski. On the large time asymptotics of decaying Burgers turbulence. Commun. Math. Phys. 212 (2000) 415-436; http://arXiv.org/chao/dyn/9909027.

134. И. Г. Якушкин. О взаимодействии регулярной и случайной волн в нелинейной вязкой среде. ЖЭТФ 81, 3(9) (1981).