Нелинейная ползучесть неоднородных многослойных цилиндров и сфер тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Литвинов Степан Викторович

НЕЛИНЕЙНАЯ ПОЛЗУЧЕСТЬ НЕОДНОРОДНЫХ МНОГОСЛОЙНЫХ ЦИЛИНДРОВ И СФЕР

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 О МАЙ 2010

Москва-2010

004602540

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, доцент

Языев Батыр Меретович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Турусов Роберт Алексеевич

кандидат технических наук, доцент Леонтьев Андрей Николаевич

Ведущая организация:

ГОУ ВПО «Донской государственный технический университет»

Защита состоится «16» МОЯ 2010 года в ^Ь^б часов на заседании диссертационного совета Д212.138.12 при ГОУ ВПО Московском

государственном строительном университете по адресу: Ярославское шоссе, д. 26, ауд. № 420,

129337 Москва,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете.

Автореферат разослан « ^» 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Анохин Н.Н.

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. При длительном действии постоянной нагрузки во многих материалах (металлы при высоких температурах, полимеры, по-лимербетоны, бетоны) наблюдается развитие деформаций во времени (явление ползучести). Для надежного проектирования элементов конструкций с учетом реальных свойств материалов и оценки сроков их безопасной эксплуатации необходимо совершенствовать существующие методы расчета, а также разрабатывать новые методы исследования напряженно-деформированного состояния конструкций и сооружений с учетом ползучести материалов.

Одной из характерных особенностей материалов, обладающих свойством ползучести, является их неоднородность как естественная, так и технологическая, появляющаяся в процессе изготовления, обработки и эксплуатации отдельных узлов. В диссертации рассматривается один из видов неоднородности -непрерывная, при которой механические характеристики материала (как упругие, так и релаксационные) являются непрерывными функциями координат. Неоднородность указанного вида возникает в процессе сооружения конструкций (затвердение бетона, цементирование, полимеризация), при облучении радиационными потоками, при наличии температурного поля.

Исследованию влияния упругой неоднородности на н.д.с. полых цилиндров посвящены работы многих российских и зарубежных авторов. Имеется весьма незначительное количество работ, в которых сделана оценка влияния неоднородности, обусловленной температурным или радиационным полем, на напряженное состояние цилиндров, деформирующихся во времени.

В связи с вышесказанным представляется актуальной проблема расчета непрерывно неоднородных цилиндров, находящихся под длительным воздействием температурных полей и статических нагрузок, как в одномерной (плоская осесимметричная задача), так и в двумерных постановках (осесимметричная задача в цилиндрических координатах). '

Таким образом, диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию поведения неоднородных многослойных цилиндров и сфер при высокоэластических деформациях.

Цель диссертационной работы заключается в теоретическом исследовании влияния одномерной и двумерной неоднородности материала на напряженно-деформированное состояние полых цилиндров и сфер, находящихся под длительным воздействием температурных полей и статических нагрузок, а также решении прикладных задач, имеющих важное практическое значение.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработка методики решения задачи термовязкоупругости для многослойного цилиндрического тела в плоской осесимметричной постановке с учетом непрерывной неоднородности и термовязкоупругости каждого слоя;

- разработка методики решения задач термовязкоупругости для многослойного сферического тела в плоской центрально-симметричной постановке с учетом непрерывной неоднородности и термовязкоупругости каждого слоя;

- разработка на базе применения вариационно-разностного метода методики решения осесимметричной задачи термовязкоупругости с учетом двумерной неоднородности материала при произвольных граничных условиях на торцовых и образующих поверхностях;

- разработка и реализация в пакете программ на ЭВМ методики расчета двумерно неоднородных полимерных цилиндров в условиях термовязкоупругости.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- сравнением результатов при решении задач для однородного материала с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.

- сравнением результатов для неоднородного материала, полученных различными численными методами (МКР, МКЭ, ВРМ).

- проверкой выполнения всех граничных условий, дифференциальных и интегральных соотношений;

Практическая ценность работы. Решена практически важная технологическая задача для неоднородного полимерного цилиндра, находящегося в стадии охлаждения с учетом деформаций ползучести. Проведен анализ влияния на напряженно-деформированное состояние различных физических факторов, в том числе нелинейного деформирования материала. Решена практически важная задача расчета клеевого соединения, с учетом высокоэластической деформации в соединении двух цилиндрических тел.

На защиту выносятся алгоритмы, методики и результаты, представляющие научную новизну.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены на выступлениях:

• III Международная научно-практическая конференция (Нальчик, 2007);

• IV Международная научно-практическая конференция (Нальчик, 2008);

• V Международная научно-практическая конференция (Нальчик, 2009);

• «Строительство-2007» - Международная научно-практическая конференция (Ростовский государственный строительный университет).

Публикации. Основные содержания диссертации опубликовано в двух

монографиях, десяти статьях и материалах конференции; из них четыре - в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы, 3 приложений, изложена на 200 страницах машинописного текста, содержит 37 рисунков, 7 таблиц.

Основное содержание работы

Во введении обоснована актуальность проблемы и выбранного направления исследования, сформулированы цели и основные положения, которые выносятся на защиту. Дана краткая аннотация всех глав диссертации.

В первой главе дан краткий обзор работ, посвященных постановке и решению задач для непрерывно неоднородных цилиндров в упругой стадии. Отмечается, что наибольший вклад в решение данной проблемы внесли такие ученые, как Б.И. Биргер, А.Т. Василенко, Ю.М. Коляно, Я.М. Григорелко, М.А. Колтунов, В.А. Ломакин, С.Г. Лехницкий, С.Г. Михлин, Н.Д. Понкратова, В.И. Андреев и другие.

В §1.3 приводятся некоторые сведения о теориях ползучести, где отмечается два основных направления, различающихся методами установления функциональной связи между компонентами тензора напряжений, деформаций и их скоростей. Здесь также упоминается, что процессы механической релаксации подразделяются на линейные и нелинейные, приводятся их достоинства и недостатки.

В диссертационной работе в качестве уравнения связи используется обобщенное нелинейное уравнение Максвелла в форме, предложенной Г.И. Гуревичем.

Вышеупомянутое уравнение связи выведено на основе весьма общих положений молекулярной физики; его коэффициенты имеют определенный физический смысл; оно может быть представлено в тензорной форме. Одной кз предпосылок вывода этого уравнения явилось предположение об аддитивности трех составляющих суммарной деформации. Это предположение было развито впервые советскими физиками П.П. Кобеко, А.П. Александровым, их сотрудниками, принявшими, что суммарная деформация полимеров - £, является аддитивной суммой упругой, высокоэластической и остаточной деформаций. Упругая деформация развивается в фазе с напряжением и полностью обратима; высокоэластическая деформация также полностью обратима, но не в фазе с напряжением; остаточная - полностью необратима. В работах А.Л. Рабиновича и других сотрудников было показано, что это уравнение удовлетворительно описывает поведение полимеров при различных режимах нагружения.

В последнем разделе первой главы поставлена задача неоднородной термоползучести в цилиндрических координатах, приводятся основные уравнения, решение которых получено в данной диссертационной работе и формулируются основные цели и задачи диссертации.

Во второй главе приводятся решения одномерных плоских осесиммет-ричных задач, имеющих, как вспомогательный характер для апробации методов и программ расчетов на ЭВМ в последующих главах, так и самостоятельное значение. К ним относятся задачи об плоском напряженном (п.н.с.) и плоском деформированном (п.д.с) состояниях.

Решение данных задач сводится к нелинейному дифференциальному уравнению относительно радиального напряжения аг или радиального перемещения и с переменными коэффициентами. д2У дУ

где для: п.н.с. - Ут = аг, п.д.с. -Уг — и. Коэффициенты (2.1) имеют вид:

п.н.с.

(2.1)

,,, з дЕ/дг \dv ( dv\ дЕ/дг1 .

(2.2)

F(r;t) = -E

д(аАТ) | | E'es-e;s

дг

п.д.с.

ip(r) =

1

дг дЕ/дг {дЕ/дг)ц

А;

г2 £( 1 - ц)г

(2.3)

дЕ аДГ(1 + ц) _ д{йТ)а(1+ ц) , ЕЮ&Х , dfe)

r(r;t) = --^-—tz-.ле- ZZ—Тл-HV"1--F--

дг (l-rt

дг

дг (1 -ц~)Е

где v = const; Е = E(r); X = (1 - 2//)/(1 - //).

Задачи о плоском деформированном состоянии для цилиндров решались при температурном воздействии. Для определения температурного поля используется уравнение теплопроводности Фурье:

дг2 г дг х dt' Уравнения связи записываются в исходном виде с учетом спектра времен релаксации:

£« = е; + ¿I + аДГ;

ei —" dt

o-i - oyv

Л

(2.5)

где

/¡* = ¿fa ~ -1 1

— = — (exp{|/„*ns /т*});

7/s "/Os

Р = Or + о-в)/3; (i,j = r.0).

(2.6)

Таким образом, для определения Т; о>; <тг; и; имеем раз-

решающие уравнения с граничными и начальными условиями и обобщенное уравнение Максвелла.

Значения релаксационных констант, их зависимости от температуры для эпоксидной композиции ЭДТ-10 и полиметилметакрилата ПММА для «старшего» составляющего спектра приводятся в работе проф. P.A. Турусова и используются в диссертационной работе.

В §2.2 рассматривается задача для радиально-неоднородного цилиндра -обратный метод, в котором определяется такая зависимость модуля упругости от радиуса, при которой напряженное состояние цилиндра равняется заданному напряженному состоянию.

Разрешающее уравнение задачи представлено в виде:

/3 Е\ кЕ (°г)" (Oy)' -~Jar = 0, (2.7)

где для плоского деформированного состояния - к = а для плоского напряженного состояния - к = 1 — V.

Зависимости изменения модуля упругости в равнонапряженном цилиндре и напряжения в нем показаны на рис. 1-2.

1

1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 А 2,0

Рис.1. Изменение модуля упругости в равнонапряженном цилиндре при условиях:

1 - ад — const; 2 - ттах = const

1,6 1,8 А 2,0

Рис.2. Напряжения в толстостенном цилиндре:

1-ав;2-(ав~ат)/2

....... - однородный;

- - неоднородный цилиндр

В §2.3 приводится алгоритм решения уравнения (2.1). В силу нелинейности и сложности переменных коэффициентов, аналитического решения найти не удается даже при существенных упрощениях. Решение уравнения (2.1) с соответствующими граничными условиями было получено методом конечных разностей. Матрица полученной системы линейных алгебраических уравнений трехдиагональна. К ее решению был применен метод прогонки.

В §2.4 приводятся разрешающие уравнения для плоского напряженного, а в §2.5 приводятся разрешающие уравнения для плоского деформированного состояния многослойного неоднородного полимерного цилиндра с учетом деформаций ползучести.

Был проведен расчет трехслойного цилиндра, у которого внутренний и внешний слои - полимер ЭДТ-10 толщиной 20 мм и 8 мм соответственно, внутренний - ПММА толщиной 1 мм. На внутренней границе растет давление со скоростью 8.677 МПа/час и температура со скоростью 60 град/ч. Рост температуры и давления происходит в течение 1.2 часа. Некоторые результаты расчета (ПДС и ПНС) приведены на графиках на рис.3-4.

Рис. 3.

« ао 22 > гв :в эо Радиус, мм

11 3 2 ;

Радиус, мм

Распределение окружного напряжения ов а) при ПНС и б) при ПДС в

цилиндре в различные моменты времени (----упругое решение)

(решение с использованием МКР):

1 - С = 0,4 ч; 2 - С = 1,2 ч; 3 - £ = 3,6 ч; 4 - £ = 13,6 ч; 5 — С = 100 ч;

Радиус, мм Радиус, мм

Рис. 4. Перемещения и в цилиндре а) при ПНС и б) при ПДС в различные

моменты времени (----упругое решение) (решение с

использованием МКР):

1-1 = 0,4ч; 2 - Г = 1,2 ч; 3-4 = 3,6ч;

4-£= 13,6 ч; 5 —£ = 100 ч;

Проводя анализ полученных результатов, видно, что в данной задаче учет ползучести приводит к существенным увеличениям напряжения и деформаций, возникающих в цилиндре (до трех раз). К тому же, как видно из результатов расчета, необходимо четко ставить условие напряженного состояния цилиндра: имеет место плоское деформированное или плоское напряженное состояние.

В §2.6 рассматривается решение осесимметричной задачи с использованием метода конечных элементов (МКЭ).

ап Ш

I

е=1

уЫ у(е)

М (р(е)) _

у«

-{Р} = 0.

Д) ум '¿(е)'

(2.8)

Интегралы в формуле (2.8) определяют для каждого элемента вектор нагрузки и матрицу жесткости которые можно объединить:

щ-м^п (2-9>

Глобальная матрица жесткости [Л1] и глобальный вектор-столбец {Р} в матричном уравнении

М00 = от

даются соотношениями

Е

е=1 Е

е=1

Компоненты векторов напряжений и деформаций {СГ}Г = [От <*В М, {£)Т = [£г % Кгг].

Матрица упругих характеристик

(2.10) (2.11) (2.12) (2.13)

[0]=-

1 V V 0

1-у 1-У

V V 0

5(1 — V) 1 -V 1 1-У

(1 + У)(1 —2у) V V 1 0

1 -V 1 -V

0 0 0 2(1-V)]

Для перемещений имеет место следующее соотношение

_ гЛ, О Щ О Щ О

Ы~1о О Ц 0 Ык

и21

и2к-1 и2к

(2.14)

Дифференцируя (2.14) и используя соотношения связи между деформациями и перемещениями:

% 0 Ьу 0 ьк 0

0 с,- 0 9 0 Ск

Щ 0 0

0

г г г

Л Ъ, 9 Ь; Ск Ък

1

и2<

Щ-х иу

игк-1

"гч ■

(2.15)

Матрица коэффициентов в (2.15) соответствует [В], так как {е} = [В]{У}.

Методом конечных элементов приводится расчет задачи, рассмотренной в §2.5. При этом цилиндрическое тело «разбивалось» на конечные элементы таким образом, чтобы узлы элементов совпали с соответствующими узлами конечно-разностной сетки. Результаты расчета приведены на рис.5.

*' Граница слоев .г • • ■ "

го я м » Радиус, мм

10 К !« И И го & 24 я Радиус, мм

Рис. 5. Распределение окружного напряжения ад (а) и перемещения и (5) в цилиндре в различные моменты времени (- - - - упругое решение) (решение с использованием МКЭ):

1-1 = 0,4ч; = 1,2ч; 3-1 = 3,6 ч;

4-1 = 13,6ч; 5-1 = 100ч

В третьей главе рассматривается задача теории упругости в сферических координатах.

В §3.1 рассматривается вывод разрешающих уравнений в перемещениях, а в §3.2 приводится расчет тестовой задачи ползучести соляного массива со сферической полостью результаты которой сопоставлены с некоторыми известными аналитическими решениями подобной задачи (рис.6-7).

В §3.3 приводится решение центрально-симметричной задачи (полимерное тело) в напряжениях. Исходные данные приняты такими же, как и для осе-симметричной задачи. Результаты расчета показаны на рис.8-9. Коэффициенты уравнения (2.1) в этом случае имеют следующий вид:

4 дЕ/дг

1 2(1 -2у) дЕ/дг

= Г"'

2Е (дЩ) , д(е&г) , е^-е?

(3.1)

Рис. 6. Перераспределение во времени напряжений егй в массиве со сферической полостью:

однородный массив (Г = 20°С);

- неоднородный массив (Та = 100°С, Тт = 20°С);

неоднородный массив (Та = 100°С, Тт = 20°С), решение, приводимое проф. В.И. Андреевым 1 - £ — 0 (упругое решение); 2 - £ = 18 ч;

3 — £ = 52 ч; 4 - £ = 21000 ч;

\х 4

1 2 3 4 5

Рис. 7. Перемещения в массиве со сферической полостью:

---------однородный массив (Т = 20°С);

неоднородный массив (Та — 100°С, Тт = 20°С);

------------- неоднородный массив (Та = 100°С, Т,— 20°С),

решение, приводимое проф. В.И. Андреевым 1 - £ = 0 (упругое решение); 2 - £ = 3,5 ч; 3-£ = 12ч;4-£ = 60 ч;

Центрально-симметричная задача аналогична задаче в цилиндрических координатах и отличается только соответствующими коэффициентами, входящими в уравнения (2.1).

Сравнивая результаты решения ЦЦС, ПНС и центрально-симметричной задачи, видно, что при плоском деформированном и плоском напряженном состояниях цилиндр испытывает сжатие на внутренней грани, которое постепенно переходит в растяжение. В случае же сферического тела имеет место только растяжение материала.

Радиус, мм

Рис. 8. Распределение радиальных напряжения ат (а) и перемещений (б) в сфере в различные моменты времени (— - упругое решение): 1-£ = 0,4ч; 2-£ = 1,2 ч; 3-£ = 3,6ч; 4-£ = 13,6 ч; 5 - £ = 100 ч

В четвертой главе рассматривается прогнозирование прочности соединений при осевом растяжении.

В §4.1 рассматривается связь длительной адгезионной прочности с напряжением в адгезионном соединении, предназначенном для испытания на нормальный отрыв в режиме ползучести.

Впервые задача была рассмотрена проф. P.A. Турусовым. Основное отличие от решения задачи проф. P.A. Турусова, состоит в методе интегрирования дифференциальных уравнений.

Соединение представляет собой два склеенных встык сплошных цилиндра. К ним прикладывается равномерно распределенная нагрузка q. Исследование кинетики напряженного состояния в данном процессе позволяет выявить причины, приводящие к разрушению рассматриваемой системы, достаточно обоснованно подойти к выбору критерия разрушения. После этого можно перейти к расчету кривой длительной прочности при нормальном отрыве.

Несомненно, что первопричиной разрушения адгезионного соединения при действии постоянной нагрузки (в отсутствии воздействия агрессивных сред) является развитие неупругих деформаций материалов, из которых изготовлено соединение. В данном случае предполагается, что субстрат ведет себя как упругое тело.

в сфере в различные моменты времени (— -упругое решение):

1 -1 - 0,4 ч; 2 - t - 1,2 ч; 3 -1 = 3,6 ч; 4 - £ = 13,6 ч; 5-£ = 100 ч

— 2J> чХ:

1-У

4_у

г МПа

Рис. 10. Зависимость касательных напряжений т от радиуса г в различные моменты времени:

1 — £ = 0,0167ч;

2 - £ = 0,05ч; 3-£ = 0,0833ч;

4 - £ = 0,017ч;

5 - £ = 0,1167ч; Ч * Кр1,

кр = юМПа/мин

К свободным торцам двух одинаковых склеенных встык сплошных цилиндров прикладывается напряжение <тг = где q = Kpt. аг изменяется от нуля до некоторой заданной величины q = Kpti. Далее во времени нагрузка не меняется (q = Kpti - const). Разрешающее уравнение второго порядка представлено относительно касательных напряжений с соответствующими граничными условиями.

Естественно, представляет интерес влияние остаточных напряжений, возникающих на стадии отверждения адгезива и (или) в процессе охлаждения модели после отверждения, на характер изменения её напряженно-деформированного состояния. Поэтому здесь представлены два варианта решения задачи: 1) нагружение модели и ползучесть без учета остаточных напряжений; 2) охлаждение модели с заданной скоростью (в предположении, что напряжения, возникающие в процессе отверждения адгезива, пренебрежимо малы и не влияют на дальнейшие процессы) до температуры испытаний, затем, упомянутое выше, нагружение нормальными напряжениями q.

Зависимость касательных напряжений т от радиуса г показана

на рис.10.

Также решение было получено с помощью программного пакета ЛЫБУЗ, и оно полностью совпало с решением, полученным методом конечных разностей.

В §4.2 приводится решение для тонкостенной трубки.

Замкнутый тонкостенный цилиндр с круговым поперечным сечением нагружен внутренним давлением и осевой силой (рис. 11), тогда

25 2яК5'

Рис. 11. Тонкостенная трубка

о,

ав =■

PoR

(4.1)

В частном случае ползучести под действием постоянного внутреннего давления р0 = const имеет следующие значения напряжений:

<*в Рой , ^ ,

а*=г=~й {ав>аг)-

Подстааляя их в соответствующее уравнение, приходим к соотношению между компонентами высокоэластической деформации вдоль оси трубы и в поперечном направлении:

Зр0«>

Сг----- _

где коэффициент а0 определяется начальными значениями деформаций:

р*

4 о^ в'°

При Ем = 0 и £* а 0, т.е. в случае упругопластичного материала трубы при Р = 0, ползучесть в осевом направлении отсутствует. Именно таков результат испытаний металлических труб на ползучесть под действием внутреннего давления (работа Л.М. Качанова).

В пятой главе рассматривается задача, в которой исследуются технологические напряжения, возникающие на стадии охлаждения изделия в форме полого цилиндра с учетом двумерной неоднородности материала, обусловленной температурным воздействием при произвольных граничных условиях на торцевых поверхностях. Решение данной задачи получено вариационно-разностным методом (ВРМ). Исходные уравнения удобно представить в дивергентном виде: 2 д ( ди\ п и _ д (Л д , д / ди\ д

¿о / аи\ и оло \ о ( ои\ а / [vYr™ +

дг/

а ( Ow\ о , а , и,

-2^(ду;г) = 0; (5.1)

д L, ^ 1 д ( dw\ д (Л д , \ 13/ ди\

эИ(А + ^[^ТА^ГТг^тТг^ j+TTr^Tz)

- 3¿(ter) - 2- 2^Yrz - 2-^iliУ«) = 0; где коэффициенты Ламе (А, ц) и модуль объемного сжатия (К) материала являются функциями двух координат (г и z) точек тела. Функция температуры Т определяется из решения квазилинейного уравнения теплопроводности: 13/ дТ\ д / дТ\

с граничными условиями:

-Лт~ = а(Т-Тср). (5.3)

В соответствии с вариационным принципом Лагранжа решение системы дифференциальных уравнений (5.1) одновременно доставляет минимум функционалу полной энергии системы

7(и,мО = №(и, и?)

I (Ки + г\н)йУ - I (Ки

где УУ (и, и/) - энергия упругой деформации

2/х

©

л2 /Щ2 /дил2] г1

') + (7) + (а7) ]+ я [г

1 а дмл

гди дип ,

(5.4)

(5.5)

А =

блочная матри-

Величины 7 и Я, 2, входящие в подынтегральные слагаемые выражения, представляют собой проекции на оси координат (фиктивных массовых сил и поверхностных нагрузок).

Система разностных уравнений относительно значений перемещений и^ и И'у в узлах сетки получается из условия минимума аппроксимирующего функционала

д!к д1к

" " / = 0,1,2,3.....; = 0,1,2,3,...,ЛГг.

Систему разностных уравнений можно представить в виде

ЛК = Л (5.6)

где К = {ы(и/}г - блочный вектор узловых перемещений; а

с й I ца коэффициентов;

Р - заданный вектор, зависящий от объемных и поверхностных сил.

Для блоков матрицы А выполняются следующие соотношения:

а = аг; й — <Р; Ь = ст.

К решению системы уравнений (5.6) был применен метод ШГ-разложения, являющийся модифицированным методом Гаусса.

На основании данного алгоритма расчета и разработанного на его базе программного обеспечения были рассмотрены тестовые задачи: плоское деформированное состояние однородного и неоднородного цилиндров. Анализ сравнения результатов расчетов с предыдущими главами продемонстрировал высокую точность и быстродействие метода.

Разработанная методика и программы расчета были применены к решению технологической задачи: определение напряженно-деформированного состояния двумерно неоднородного полимерного цилиндра, с учетом высокозла-стических деформаций. Расчеты выполнялись с учетом температурной зависи-

\ Т-Ш с Рис. 12. Расчетная схема:

1 - внешняя нагрузка;

2 - рассматриваемый цилиндр

мости, как упругих, так и релаксационных констант материала. Температурные зависимости механических характеристик приведены выше. Для сравнения результатов расчета здесь же приводятся результаты расчетов по линеаризованной теории. Некоторые результаты расчетов приведены на рис.12-16. а б

5

0.05 -0 --0.05 -.01 • -0.15 -.02* -0 25 • * -0.3 --0.35 --0.4 --О.А5 --0 5 --0.55 -

)!0,Ц ¡ь

НН />

01 0.2 0 3

0.1 0.2 0.3 0.4 О.Б 0.6 0.7 0.8 0.9

Рис. 13. Изменение осевых перемещений на внутреннем (а) и внешнем (б) контуре при г = Н

I о-

|

1

ло. н ) |

|

нн/ -—

| I

1 I

О 0,1 0 2 0 3 0-4 0.5 0.6 0.7 0 8 0.8

Рис. 14. Изменение радиальных перемещений на внутреннем (а) и внешнем (б) контуре при г = Н

В заключении подводятся

общие итоги диссертационной работы:

1. Проведено теоретическое исследование релаксационных явлений в гомогенных и гетерогенных полимерных цилиндрах при некоторых условиях температурного и силового нагружения в осесимметричном случае. При этом в основу теоретических исследований положено нелинейное обобщенное уравнение Максвелла при учете первого «старшего» спектра времен релаксации полимера.

2. Теоретическими исследованиями было показано существенное влияние релаксационных процессов на величины температурных напряжений при двухосном напряженном состоянии.

Сопоставление результатов полученного решения с упругим показало существенное различие вследствие влияния релаксационных процессов. Тем самым показано, что оценка сверху величин температурных напряжений может быть получена на основе упругого решения с учетом зависимости упругих и релаксационных констант от температуры, а для оценки снизу могут быть использованы предельные значения (£ -»<»), получаемые по линеаризованной теории.

3. Предложены варианты решения прогнозирования свойств адгезионных соединений без длительного нагружения.

4. На базе применения вариационно-разностного метода разработаны методика решения, алгоритм численной реализации и программа расчета на ЭВМ осесимметричной задачи теплопроводности и термоупругости конечного цилиндра с учетом зависимости теплофизических характеристик материала от температуры и двумерной неоднородности деформационных свойств материала при произвольных граничных условиях на торцовых поверхностях.

5. Рассмотрена задача о процессе охлаждения изделия в форме полого цилиндра в условиях ползучести с учетом температурной зависимости механических характеристик. Для определения температурного поля решается задача теплопроводности. На основе вариационно-разностной постановки решается

1=0,833 ч

»30 ОвГО 1000 ЮСО 2000 М 00 30.00 3500 40 00 »00 вООО 6500 «ООО

00 10 00 15 Ю 1000 £5 00 30 00 96.00 4000 4в00 К 00 за 00 еооо

1=0,833 ч

0000 ТОГО 1000 1500 2000 2900 30 00 33£Ю «О ОО 4500 №00 »5.00 МОО

00,00 06 0) 10.00 15 » 2000 25» 30 00 35 00 40,00 46.00 50Ж> 55 00 М.00

Рис. 16. Распределение осевых напряжений (МПа) в толще цилиндра при t = 0,833 ч.

задача о напряженно-деформированном состоянии цилиндра с учетом высокоэластических деформаций.

Библиографический список

Статьи, опубликованные в изданиях, рекомендованных ВАКМинобрнауки РФ:

1. Литвинов C.B., Языев С.Б., Языева С.Б. Плоская деформация неоднородных многослойных цилиндров с учетом нелинейной ползучести // Вестник МГСУ. №1.2010. С.128-132.

2. Языев Б.М., Литвинов C.B., Языев С.Б. Задача термовязкоупругости для многослойного неоднородного полимерного цилиндра (часть 1) // Пластические массы. №9.2007. С.36-38.

3. Языев Б.М., Литвинов C.B., Языев С.Б. Задача термовязкоупругости для многослойного неоднородного полимерного цилиндра (часть 2) // Пластические массы. №12.2007. С.44-46.

4. Литвинов C.B., Языев С.Б.. Ползучесть полимерного цилиндра, находящегося в стадии охлаждения // Обозрение прикладной и промышленной математики. Том 16. в.6.2009. - С. 1089.

Коллективные монографии:

5. Литвинов C.B., Языев С.Б. Моделирование процессов деформирования многослойных полимерных цилиндрических тел при термомеханических нагрузках. Ростов-на-Дону, 2009 г. 96 е..

6. Языев С.Б., Панасюк Л.Н., Литвинов С.В, Данилова-Волковская Г.М., Ами-нева Е.Х. Устойчивость полимерных стержней в условиях вязкоупругости. Ростов-на-Дону, 2009 г. 81 с.

Статьи, опубликованные в рецензируемых журналах и в сборниках трудов

конференций по теме диссертации в России и за рубежом:

7. Языев Б.М., Литвинов C.B. Плоско-деформированное и плосконапряженное состояние непрерывно неоднородного цилиндра под воздействием температурного поля // Сборник трудов. Ростов-н/Д: РГСУ, 2006 г. С.25-27.

8. Языев Б.М., Литвинов C.B. Задача термоупругости для многослойного неоднородного цилиндра // «Строительство-2007»: материалы Международной научно-практической конференции. Ростов-н/Д: РГСУ, 2007. С. 86-87.

9. Литвинов C.B. Задача термовязкоупругости для многослойного неоднородного полимерного цилиндра // Материалы III Международной научно-практической конференции. Нальчик, 2007. С. 27-32.

Ю.Языев Б.М., Литвинов C.B. Задача термоупругости для многослойного неоднородного полимерного цилиндра // Материалы IV Международной научно-практической конференции. Нальчик, 2008. С.337-342.

11.Языев С.Б., Языева С.Б., Литвинов C.B. Моделирование вязкоупругого поведения жестких полимеров при циклическом изменении температуры // «Строительство-2009»: материалы юбилейной Международной научно-практической конференции. Ростов-н/Д: РГСУ, 2009. С. 167.

12.Языев С.Б., Языева С.Б., Литвинов C.B. Продольный изгиб полимерного стержня в условиях вязкоупругости // Материалы V Международной научно-практической конференции. Нальчик, 2009. С. 16-17.

КОПИ-ЦЕНТР св. 7:07:1<М29 Тираж 100 экз. г. Москва, ул. Енисейская, д.36 тел.: 8-499-185-7954, 8-906-787-7086

Введение.

Глава 1. Состояние вопроса. Формулировка задачи.

1.1. Обзор исследований, посвященных постановке и методам решения задач теории упругости и ползучести неоднородных тел. Методика решения задач ползучести.

1.2. Обзор областей применения и известных решений задач термоупругости для неоднородных полимерных цилиндров.

1.3. Применение численных методов к решению задач механики деформируемого твердого тела.

1.4. Цели и задачи исследования. Формулировка задачи термоупругости неоднородных тел в цилиндрических координатах. Основные соотношения механики упругорелаксирующей среды.

Глава 2. Одномерные плоские задачи термовязкоупругости для неоднородных полимерных тел.

2.1. Вывод разрешающих уравнений. Граничные и начальные условия.

2.2. Равнонапряженный цилиндр. Обратная задача для радиально неоднородного цилиндра.

2.3. Алгоритм расчета.

2.4. Плоское напряженное состояние многослойного неоднородного полимерного цилиндра.

2.5. Плоское деформированное состояние многослойного неоднородного полимерного цилиндра.

2.6. Решение с использованием метода конечных элементов.

2.7. Выводы по главе 2.

Глава 3. Центрально-симметричная задача теории упругости в сферических координатах.

3.1. Вывод разрешающих уравнений.

3.2. Ползучесть соляного массива со сферической полостью.

3.3. Напряженное состояние многослойного неоднородного полимерного сферического тела.

3.4. Выводы по главе 3.

Глава 4. Прогнозирование прочности адгезионных соединений при осевом растяжении.

4.1. Ползучесть адгезионных соединений.

4.2. Тонкостенная трубка.

4.3. Выводы по главе 4.

Глава 5. Осесимметричная задача термовязкоупругости для полого полимерного цилиндра с учётом двумерной неоднородности материала.

5.1. Постановка краевой задачи термоползучести для двумерного неоднородного цилиндра.

5.2. Конечно-разностная аппроксимация краевой задачи термоползучести.

5.3. Методика решения разностных уравнений. Использование решения упругой задачи.

5.4. Решение модельных задач.

5.5. Решение задачи теплопроводности вариационно-разностным методом.

5.6. Тестовая задача расчета теплового экрана.

5.7. Релаксационный процесс в полимерном цилиндре, находящимся под воздействием переменного температурного поля.

5.8. Выводы по главе 5.

Выводы по диссертационной работе.

Условные обозначения и сокращения.

Надежное и экономичное проектирование конструкций и сооружений в первую очередь связано с определением напряженно-деформированного состояния и оценкой прочности элементов конструкций и всего сооружения в целом при различных режимах нагружения и учетом реальных свойств материалов. Стоящая перед конструкторами задача выбора рациональных конструктивных форм, обеспечивающих требуемую несущую способность и жесткость сооружений при минимальном расходе материалов, требует, возможно, более точного описания напряженно-деформированного состояния.

При длительном действии постоянной нагрузки, во многих материалах (металлы при высоких температурах, полимеры, полимербетоны, бетоны) наблюдается развитие деформаций во времени (явление ползучести).

Прогнозирование поведения конструкций и их элементов во времени является важным направлением механики, и поэтому не случайно к нему приковано внимание многочисленных исследователей как у нас в стране, так и за рубежом.

Характерной особенностью многочисленных конструкций, материал которых обладает свойством ползучести, является его неоднородность, как естественная, так и технологическая (косвенная), появляющаяся в процессе изготовления, обработки и эксплуатации отдельных узлов.

В механике неоднородной вязкоупругой среды рассматриваются, три основных типа неоднородности: непрерывная, кусочно-однородная и стохастическая. Функции, описывающие изменение механических свойств материала, являются соответственно непрерывными, кусочно-постоянными и случайными. Задачи первого типа неоднородности приводят к дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами, во втором случае вопрос заключается в стыковке решений на границах областей с однородными свойствами или решаются задачи с осредненными механическими характеристиками, в последнем случае используется аппарат математической статистики.

В данной диссертационной работе рассматривается неоднородность первого типа, когда упругие и релаксационные параметры материала являются непрерывными функциями координат. Неоднородность указанного вида возникает в процессе сооружения конструкций (затвердение бетона, цементирование, полимеризация), при облучении радиационными потоками, при наличии температурного поля.

Конструктивные элементы в виде полых цилиндров являются одними из широко распространенных деталей в конструкциях реактивных двигателей, где они могут имитировать заряды РДТТ (ракетные двигатели на твердом топливе), тепловых защит, реакторных установок и многих других элементов, использующихся в различных областях техники.

Исследованию влияния упругой неоднородности на н.д.с. полых цилиндров посвящены работы Б.И. Биргера, П.М. Василенко, Я.М. Григоренко, Н.Д. Панкратовой, В. А. Ломакина, М.А. Колтунова, С.Г. Михлина, С.Г. Лехницкого и других авторов.

В связи с вышесказанным представляется актуальной проблема расчета непрерывно неоднородных цилиндров, находящихся под длительным воздействием температурных полей и статических нагрузок, как в одномерной (плоская осесимметричная задача), так и в двумерной постановках (осесим-метричная задача в цилиндрических координатах).

В соответствии с поставленной целью решены следующие задачи:

• Проведено теоретическое исследование релаксационных явлений в гомогенных и гетерогенных полимерных цилиндрах при некоторых условиях температурного и силового нагружения в осе-симметричном и центрально симметричном случаях.

• Теоретическими исследованиями было показано существенное влияние релаксационных процессов на величины температурных напряжений при двухосном напряженном состоянии.

• На базе применения вариационно-разностного метода разработана методика решения, алгоритм численной реализации и программа расчета на ЭВМ осесимметричной задачи теплопроводности и термоупругости конечного цилиндра с учетом зависимости теплофизических характеристик материала от температуры и двумерной неоднородности деформационных свойств материала при произвольных граничных условиях на торцовых поверхностях.

Рассмотрена задача о процессе охлаждения изделия в форме полого цилиндра в условиях ползучести с учетом температурной зависимости механических характеристик. Для определения температурного поля решается задача теплопроводности. На основе вариационно-разностной постановки решается задача о напряженно-деформированном состоянии цилиндра с учетом высокоэластических деформаций.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- проведено решение задачи термовязкоупругости для многослойного цилиндрического тела в плоской осесимметричной постановке с учетом непрерывной неоднородности и термовязкоупругости каждого слоя;

- проведено решение задачи термовязкоупругости для многослойного сферического тела в плоской центрально-симметричной постановке с учетом непрерывной неоднородности и термовязкоупругости каждого слоя;

- разработана на базе применения вариационно-разностного метода методика решения осесимметричной задачи термовязкоупругости с учетом двумерной неоднородности материала при произвольных граничных условиях на торцовых и образующих поверхностях;

- разработана и реализована в пакете программ на ЭВМ методика расчета двумерно неоднородных полимерных цилиндров в условиях термовязкоупругости.

Достоверность полученных результатов обеспечивается:

- сравнением результатов при решении задач для однородного материала с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.

- проверкой выполнения всех граничных условий, дифференциальных и интегральных соотношений;

- сравнением результатов с решениями независимыми методами (МКР, МКЭ).

Практическая ценность работы. Решена практически важная технологическая задача для неоднородного полимерного цилиндра, находящегося в стадии охлаждения с учетом деформаций ползучести. На основе разработанных методов и алгоритмов расчета проведен анализ влияния на напряженно-деформированное состояние различных физических факторов, в том числе нелинейного деформирования материала.

Решена практически важная задача расчета клеевого соединения, с учетом деформаций ползучести, двух цилиндрических тел.

На защиту выносятся алгоритмы, методики и результаты, представляющие научную новизну.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены на выступлениях:

• Ш-я международная научно-практическая конференция (Нальчик, 2007);

• IV-я международная научно-практическая конференция (Нальчик, 2008);

• V-я международная научно-практическая конференция (Нальчик, 2009);

• «Строительство-2007» - международная научно-практическая конференция (Ростовский Государственный Строительный Университет).

Публикации. Основные содержания диссертации опубликовано в двух монографиях, десяти статьях и материалах конференции; из них одна — в журнале ВАК РФ.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, списка литературы, 3 приложения, изложена на 200 страницах машинописного текста, содержит 37 рисунков, 7 таблиц.

Выводы по диссертационной работе

1. Проведено теоретическое исследование релаксационных явлений в многослойных неоднородных цилиндрах (в осесимметричном случае) и сферах (в центрально-симметричном случае) при некоторых условиях температурного и силового нагружения. В основу этих исследований положено нелинейное обобщенное уравнение Максвелла при учете первого «старшего» члена спектра времен релаксации полимера.

2. Предложены варианты решения задачи о длительной прочности адгезионных соединений с оценкой прочности при нормальном отрыве.

3. Рассмотрена задача о процессе охлаждения изделия в форме полого цилиндра в условиях ползучести с учетом температурной зависимости механических характеристик. Для определения температурного поля решается задача теплопроводности. На основе вариационно-разностной постановки решается задача о напряженно-деформированном состоянии цилиндра с учетом высокоэластических деформаций.

4. На базе применения вариационно-разностного метода разработана методика решения, алгоритм численной реализации и программа расчета на ЭВМ осесимметричной задачи теплопроводности и термоупругости конечного цилиндра.

Условные обозначения и сокращения г, в, z — цилиндрические координаты; t — текущее время;

R, Z - фиктивные массовые силы;

R, Z ~ поверхностные нагрузки; ar, <jg, oz, rrz - нормальные и касательные компоненты тензора напряжений; ег, Eq, ez, yrz ~ полные относительные удлинения и сдвиговая деформация; и, и, w - перемещения; е^ - упругая относительная деформация;

- относительная деформация, вызванная температурой; т ет= J a(T)d.T

То

-s - высокоэластическая деформация;

Зеis dt

- скорость высокоэластической деформации;

7)1 - релаксационная вязкость;

T)qs — начальная релаксационная вязкость;

EooS — модуль высокоэластичности; m*s - модуль скорости;

E,G,v — модуль Юнга, модуль сдвига, коэффициент Пуассона; а - коэффициент линейного расширения; д - коэффициент температуропроводности;

Т — текущая температура;

TQ — начальная температура;

Р — среднее напряжение;

A.,fi — параметры Ламе;

К — коэффициент объемного сжатия;

Ра> Ръ ~ внутреннее и внешнее давление;

НН — решение для неоднородного цилиндра по нелинейной теории;

НО — решение для однородного цилиндра по нелинейной теории;

НЛ — решение для неоднородного цилиндра по линейной теории; н.д.с. — напряженно-деформированное состояние;

ПДС — плоское деформированное состояние;

ПНС — плоское напряженное состояние.

1. Абибов A.JL, Молодцов Г.А. Исследование остаточных (внутренних) напряжений в армированном эпоксидном полимере // Механика полимеров. -1965- №4. С. 76-80.

2. Численные методы в теории упругости и теории оболочек / Абовский Н.П. и др.: // Учебное пособие. Красноярск: Изд. Красноярского унта, 1986.-384 с.

3. Абрамов С.К., Ефремушкин Ю.В. Влияние наполнителя на динамические механические свойства эпоксидного связующего в композициях // Вопросы прочности конструкционных пластмасс. — Ростов-н/Д, 1971.

4. Адамович А.Г., Уржумцев Ю.С. Проблемы прогнозирования длительной прочности полимерных материалов // Обзор мех. композит материалов. -1974. №4. - С. 694-704.

5. Александров А.В. Сопротивление материалов. Основы теории упругости и пластичности: Учеб. для строит, спец. вузов / А.В. Александров,

6. B.Д. Потапов. 2-к изд., испр. - М.: Высш. шк. 2002. - 400 е.: ил.

7. Александрович А.И. Плоская неоднородная задача теории упругости // Вестник Московского университета. Математика и механика. — 1973. — №1. С. 105-115.

8. Алфрей Т. Механические свойства высокополимеров. М.: ИЛ, 1952.

9. Амбарцумян С.А. Уравнение плоской задачи разносопротивляющейся или разномодульной теории // Механика. — 1966. — T.XIX. — №2. —1. C. 3-19.

10. Андреев В.И. К вопросу расчета неоднородных цилиндров. МИСИ им. В.В. Куйбышева. ВИНИТИ. М., 1982. - 15 с.

11. Андреев В.И. Некоторые задачи и методы механики неоднородных тел: монография. — М.: Издательство АСВ, 2002. — 288 с.

12. Андреев В.И. Об одном методе решения в перемещениях плоской задачи теории упругости для радиально неоднородного тела // Прикладная механика. 1987. - №4. - С. 61-67.

13. Андреев В.И. Упругое и упругопластическое равновесие толстостенных цилиндрических и сферических непрерывно неоднородных тел: дис. д-ра. техн. наук. М., 1985. — 427 с.

14. Андреев В.И., Смолов А.В. К вопросу расчета двухслойных корпусов высокого давления с учетом неоднородности материала // Сопротивление материалов и теория сооружений. — Киев: Будивильник, 1985. -Вып. 47.-С. 48-52.

15. Упругость и ползучесть неоднородной полой сферы / Андреев В.И. и др. // Всес. Конф. «Фундам. исслед. и новые технологии в строительном материаловедении»: тез. докл. Белгород, 1989. - С.6.

16. Арутюнян Н.Х., Зевин А.А. Об одном классе ядер для описания ползучести стареющих сред// ДАН СССР. 1981. - Т 258. - №3. - С. 559561.

17. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел.-М.: Наука, 1983.-336 с.

18. Архангельский А .Я. Приемы программирования в Delphi. Изд. 2-е, пе-рераб. и доп. М.: ООО «Бином-Пресс», 2004. - 848 с.

19. Аскадский А.А. Деформация полимеров. М.: Химия, 1973. - 448 с.

20. Бабич В.Ф. Исследование влияния температуры на механические характеристики полимеров: дис. . канд. техн. наук. — М., 1966.

21. Бартенев Г.М., Зеленов Ю.В. Температурно-частотные зависимости деформации и механических потерь каучукоподобных полимеров при периодическом режиме нагружения. //ВМС.- 1962. -№1.

22. Расчет конструкций на тепловые воздействия / В.Д. Бажанов и др. // -М.: Машиностроение, 1989. 600 с.

23. Басов К.A. ANSYS: Справочник пользователя. М.: ДМК Пресс, 2005. - 640 е., ил.

24. Расчет конструкций на тепловые воздействия / Н.И. Безухов и др. // -М.: Машиностроение, 1969. 600 с.

25. Безухов Н.И. Баженов B.JL, Гольденблат И.И. и др. Расчет на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур / Под ред. И.И. Голеденблата. — М.: Машиностроение, 1965. — 567 с.

26. Беляев Н.И., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. 4.1.: учебное пособие для вузов в 2 частях. М.: Высш. школа, 1982. - 327 с.

27. Беляев Н.И., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности. 4.IL: учебное пособие для вузов в 2 частях. М.: Высш. школа, 1982. - 327 с.

28. Вернадский А.Д., Желязков Ж., Рабинович A.JI. и др. // Сб. докладов на конференции по механике. — Варна, 1970.

29. Вернадский А.Д., Рабинович A.JI. К методике стандартных испытаний на растяжение образцов полимерных материалов малых размеров // Стандартизация. 1965. — №2.

30. Биник М., Спиллерс В.Р., Фрейденталь A.M. Неоднородный толстостенный цилиндр, подверженный действию внутреннего давления // Ракетная техника и космонавтика. — 1962. — №8: — С. 40—82.

31. Биргер Б.И., Баранов В.П. Расчет температурных напряжений в орто-тропном цилиндре// Механика полимеров. 1972. — №2. — С. 310-314.

32. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. — М.: Мир. 1965.

33. Бойл Дж., Спенс Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести. М.: Мир, 1986. - 360 с.

34. Болотин В.В., Воронцов А.Н., Мурзаханов Р.Х. Анализ технологических напряжений в намоточных изделиях из композитов на протяжении всего процесса изготовления // Механика композит, материалов. 1980. -№3. — С. 500-508.

35. Брызгалин Г.И. К описанию ползучести материала обладающего изменяющимися во времени свойствами // Механика полимеров. 1965. — №1. - С. 61-64.

36. Бугаков И.И. Ползучесть полимерных материалов. М.: Наука, 1973. — 287 с.

37. Варвак П.М., Варвак Л.П. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1977. - С. 154.

38. Варданян Г.С. Экспериментальный метод определения температурных напряжений и их концентраций // Изв. АН Арм.ССР. Физмат, науки. -1961.-№5.-С. 31-40.

39. Варданян Г.С, Мусатов Л.Г., Габриэлян С.Л. Применение функционального подобия к прогнозированию деформаций ползучести и длительной прочности полимеров // Механика копозитных материалов. — 1984.-№2.

40. Гарофало Ф. Законы ползучести и длительной прочности. М.: Металлургия, 1968.

41. Гейтвуд Б.Е. Температурные напряжения применительно к самолетам, снарядам, турбинам и ядерным реакторам. М.: Изд-во. ин. лит-ры, 1960.-253 с.

42. Годунов С.К. Метод ортогональной прогонки для решения систем разностных уравнений // Вычислит, математ. и математ. физика. 1962. -№6. - С. 972-982.

43. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи математической науки.- 1961.-XVI. Вып. 3/99/.-С. 171-174.

44. Григоренко Я.М., Василенко П., Панкратова Н.Д. К определению температурных полей и напряжений в ортотропных слоистых цилиндрах // Матем. методы и физико-мех. поля. 1983. — Вып. 18. - С. 67-72.

45. Гуль В.В. Структура и прочность полимеров. М.: Химия, 1978. -С. 325.

46. Гуревич Г.И. Об обобщении уравнения Максвелла на случай 3-х измерений с учетом малых деформаций упругого последствия // Труды ИФЗ АН СССР.-№2(169). 1959.

47. Грдина Ю.В., Дельтува JI.A. // Механика полимеров. 1968. - №6. - С. 375.

48. Григорьев А.С. Плоская задача нелинейной ползучести неоднородного тела. М.: Из.АН СССР (Физика земли). -1984. -№1.

49. Григорьев А.С. О решении плоской задачи для линейно-вязкого неоднородного тела. М.: АН СССР (Физика земли). - 1984. -№2.

50. Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика: Учебник. 11-у изд., стер. СПб.: Издательство «Лань», 2008. - 656 е.: ил.

51. Дубровский В.Б., Облевич 3. Строительные материалы и конструкции защит от ионизирующих излучений: Совм. сов.-пол. изд. / под. ред. В.Б.Дубровского. М.: Стройиздат, 1988. - 240 с.

52. Ержанов Ж.С., Бергман Э.И. Ползучесть соляных пород. Алма-Ата: Наука, 1978.

53. Зевин А.А. Расчет конструкций из неоднородного материала, деформирующегося во времени: дис. . д-ра техн. наук. — М., 1981 .

54. Желязков Ж. С. Техническая мысль. — 1968. — №3.

55. Желязков Ж., Вернадский А.Д., Болг. АН. // Техническая мысль. — 1969. — №6.

56. Журков С.Н., Абасов Л.Д. Высокомолекулярные соединения. 3, 441, 450.-1960.

57. Израилев Ю.Л. и др. Точные аналитические решения трехмерных задач термоупругости // Проблемы точности. 1985. №5. - С.27-32.

58. Ильюшин А.А., Огибалов П.М. Упругопластические деформации полых цилиндров. М.: МТУ, 1960. - 277 с.

59. Ионов В.Н. Температурные напряжения в упругом цилиндре // Изв. вузов Сер. Машиностроение. 1958. - №7. - С.75-80.

60. Имамов А. Метод сплайнов для решения операторных уравнений в гильбертовом пространстве // Методы сплайн-функции (вычислительные системы). 1975. - Вып. 6. - С. 89-95.

61. Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера. Практическое руководство. М.: Кдиториал УРСС, 2003. - 272 с.

62. Качанов Л.М. О времени разрушения в условиях ползучести // Изд. АН СССР, ОТН.- 1958.-№8.

63. Кейлис-Борок В.И., Ульянова В.И. К вопросу о ползучести цилиндров под действием нормального давления // Труды ИФЗ АН СССР. 1959. -№2(169).

64. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев.: Наукова думка, 1970. -307 с.

65. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н., Пасько Д.Н. Прочность полых цилиндров. М.: Машиностроение, 1981. - С. 264.

66. Колтунов М.А., Васильев Ю.Н. Черных В.А. Упругость и прочность цилиндрических тел. — М.: Высш. школа, 1975. — 526 с.

67. Колчин Г.Б. О применительности итеррационного метода в задачах теории упругости неоднородных тел. // Прикладная математика и про-грамирование. — Кишинев: АН СССР, 1969. — Вып. 2.

68. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А., Теория упругости неоднородных тел // Библиографический указатель. — Кишинев: Штиница, 1972. 248 с.

69. Колчин Г.Б., Фаверман Э.А. Теория упругости неоднородных тел // Библиографический указатель. — Кишинев: Штиница, 1977. — 148 с.

70. Константинова С.А., Спирков B.JI. Карташов Ю.М. Ползучесть образцов каменной соли в условиях одноосного сжатия // ФТПРПИ. 1979. -№5.-С. 43-46.

71. Теория оптимизации режима охлаждения толстостенных изделий из композиционных материалов / В.Н. Коротков и др. // Механика композита. материалов // 1982. -№6. -С. 1051-1055.

72. Коренев Б.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. Решение в Бесселевых функциях. М.: Наука, 1980. — 400 с.

73. Влияние концентрации и дисперсности кварца на физико-механические свойства перхлорвиниловых пленок / Г.И. Крус и др. // Механика полимеров. 1964. - №6. - С. 10-23.

74. Лазуркин Ю.С. Механические свойства полимеров в стеклообразном состоянии.: дис. . д-ра техн.наук. -М., 1954.

75. Леонтьев Н.Н., Демин И.И. Метод конечных элементов в теории сооружений: Учеб. пособие. — М.: МИСИ, 1979. — 75 с.

76. Липатов Ю.С. Физико-химия наполненных полимеров. — Киев.: Науко-ва думка, 1967.

77. Лисицин Б.М., Булыга К.Б. Приближенное решение задач теплопроводности и термоупроугости с учетом неоднородности среды. — М.: Наука, 1965.

78. Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Наука, 1977. -367 с.

79. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. — М.: Строй-издат, 1978.-208 с.

80. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. — М.: Наука, 1955.

81. Лизарев А.Д. Свободные колебания и устойчивость кольцевых пластин при неравномерном растяжении и сжатии// Изв. АН СССР, Мех. твердого тела. 1982. - №5. С. 136-142.

82. Сопротивление жестких полимерных материалов / А.К.Малмейстер и др. // Рига: Зинатне, 1972. - С. 498.

83. Месчян С.Р. Механические свойства грунтов и лабораторные методы их определения. — М.: Недра, 1974. — 191 с.

84. Михлин С.Г. Плоская задача теории упругости для неоднородной среды // Труды сейсм. ин-та АН СССР. 1935. - №66.

85. Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости. Киев: Наукова думка, 1979. - 315 с.

86. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов (применительно к зарядам ракетных двигателей на твердом топливе). М.: Наука, 1972.-327 с.

87. Мусатов Л.Г. Ползучесть эпоксидно-неноколовых полимеров // Труды МИСИ им. В .В .Куйбышева. 1972. - №104. - С. 94-100.

88. Мясников К.В., Леонов Е.А., Ромадин Н.М. Разработка научно-технических основ создания подземных хранилищ с помощью ядерныхвзрывов в массиве каменной соли // Сб. Peaceful Nuclear Explosions, III, 1974, Vienna, p. 179-191.

89. Мяченков В.И., Мальцев В.М. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. — М.: Машиностроение, 1984. -277 с.

90. Олынак В., Урбановский В. Неоднородный толстостенный упругопла-стический цилиндр под действием внутреннего давления // Бюл Польск. АН, отд. 4. 1956. - Т.4. -№3. - С. 163-174.

91. Никишин B.C. Задачи теории упругости для неоднородных сред. М.: ВЦ АН СССР, 1976. - 60 с.

92. Писаренко Г.С, Можаровский Н.С. Уравнения и краевые задачи теории пластичности и ползучести. Киев.: Наукова думка, 1981. — 493 с.

93. Подстригач Я.С, Ломакин В.А., Коляно Ю.М. Термоупругость тел неоднородной структуры. М.: Наука, 1984. — 368 с.

94. Поляков В.Л., Федоренко А.Г., Горбаткина Ю.А. // Физико-химия и механика ориентированных стеклопластиков. -М.: Наука, 1967. С. 139.

95. Попов А.И., Кузнецов С.В. Вязкоупругие напряжения температурной усадки в линейноармированных средах // Механика полимеров, 1978. - №4. — С. 737-740.

96. Попов А.И., Кузнецов С.В. Температурно-усадочные напряжения в регулярном однонаправленном композите // Труды МИСИ им. В.Куйбышева. 1976. -№137. - С. 64-69.

97. Попов А.И., Паша М.А., Наумов А.А. Исследование начальных напряжений в стеклопластике поляризационно-оптическим методом // Труды МИСИ им.В.В.Куйбышева. 1970. - №84-86. - С. 319-327.

98. Проскуряков Н.М. Физико-механические свойства соляных пород. — М.: Недра, 1969.

99. Рабинович A.JI. Введение в механику армированных полимеров. — М.: Наука, 1970.-483 с.

100. Рабинович A.JI. Некоторые основные воросы механики армированных пластиков: дис. . д-ра техн. наук. — М., 1966.

101. Рабинович A.JI., Штарков М.Г., Дмитриева Е.Н. // Труды МФТИ. -1959.-Вып. 3.

102. Работнов Ю.Н. Равновесие упругой среды с последействием // ПММ. -1948.-№12. -С. 93-102.

103. Рвачев B.JL, Синекоп Н.С, Кравченко JI.K. Осесимметричная задача теории упругости для неоднородного цилиндра // Прикладная механика. 1986.-№1. С. 18-43.

104. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968. - 416 с.

105. Розовский М.И. Ползучесть и длительное разрушение материалов // Техн. физика. 1951. - T.XXI. - №11. М.: Мир, 1972. - 418 с.

106. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 352 с.

107. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -430 с.

108. Сахаров А.С., Гуляр А.И., Топор А.Г. Численное решение задач термоупругого равновесия неосесимметрично нагруженных тел вращения // Прикладная механика. 1986. - 22, №6. - С.7-13.

109. О кинетике твердения и некоторых прочностных и деформационных характеристиках пласстмасс из ненасыщенных полиэфирных смол / И. Симеонов и др. // Сб. материалов междунар. конф. по механике, сплош. сред.— Варна, 1966.

110. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. — М.: Мир, 1979.-С. 392.

111. Слонимский Г.Л., Аскадский А.А. Механика полимеров. 1965. - №1. -С. 36.

112. Смолов А.В. Напряженно-деформированное состояние неоднородных упругих цилиндров под действием силовых и температурных нагрузок: дис. . канд. техн. наук. М., 1987. - 184 с.

113. Соголова Т.И. Механика полимеров. — 1965. —№1,3.

114. Соляник-Красса К.В. Осесимметричная задача теории упругости. М.: Стройиздат, 1987. — 337 с.

115. Спенс Дж., Бойл Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести.-М.: Мир, 1986.-С. 300.

116. Изменение структуры и свойств отвержденных смол под влиянием наполнителя / Е.Б. Тростянская и др.. // Механика полимеров. -1972. -№1. С. 26.

117. Туребаева Р.Д. Ползучесть неоднородного массива с цилиндрической полостью: дис. . канд. техн. наук. М., 1994. - 117 с.

118. Турусов Р.А. Механические явления в полимерах и композитах (в процессе формирования): дис. . .д-ра физ-мат. наук. ., — М., 1983, 363 с.

119. Турусов Р.А. и др. Некоторые задачи и методы механики вязкоупругой полимерной среды. Ростов н/Д: РГСУ, 2009. - 209 с.

120. Турусов Р.А. Юбилейная конференция молодых ученых по теоретическим проблемам физической химии. -М.: НИИТЭХИМ, 1965. С. 77.

121. Турусов Р.А. Температурные напряжения и релаксационные явления в осесимметричных задачах механики жестких полимеров. дис. . канд. физ-мат. наук. - М., 1970. - С. 104.

122. Турусов Р.А., Фрейдин А.С. Свойства и расчет адгезионных соединений. М.: Химия, 1990 - 256 с.

123. Уржумцев Ю.С. Методы прогнозирования ползучести некоторых полимерных материалов: дис. д-ра техн. наук. — М., 1969.

124. Феодосьев В.И. Прочность теплонапряженных узлов жидкостных ракетных двигателей. М.: Оборонизд., 1963. - 212 с.

125. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. — М.: Наука,1948. Т.1. С. 432.

126. Форсайт Дж., Мальком М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1970. - 339 с.

127. Флейшман Н.П., Майданчик И. И. Решение линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений методом погружения. Львов: Львовск. гос. ун-т, 1982 (Рук. деп. в ВИНИТИ 23.XI.82, №5805-82 деп.) - 22.

128. Храневская И.Е. Некоторые задачи теории упругости неоднородных тел: дис. канд. физ-мат. наук. Новосибирск, 1972.

129. Черник К.И. Эпоксидные компаунды и их примение. Л.: Судостроение, 1967.

130. Черноиван А.В. Прогнозирование устойчивости соляного массива, вмещающего подземную емкость для низкотемпературного хранения газа. дис. канд. техн. наук. — М., 1982. 140 с.

131. Шевляков Ю.А. Матричные алгоритмы в теории упругости неоднородных сред. Киев-Одесса: Вища школа, 1977. - 216 с.

132. Шестериков С.А., Локошенко A.M. Ползучесть и длительная прочность металлов // Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР -Т. 13 Механика деформируемого твердого тела. М., - 1980. - С. 3-104.

133. Релаксация и длительная прочность трубок при сложном напряженном состоянии / С.А. Шестериков и др. // Научн. пр. ин-т. мех. Моск. унта, -1973.-№23.

134. Шноль Э.Э., Введенская Н.В. Об одном методе расчета напряжений в круговом цилиндре // Вычислительная математика — 1962. №7.

135. Языев Б.М. Нелинейная ползучесть непрерывно неоднородных цилиндров: дис. . канд. техн. наук.-М., 1990.-С. 171.

136. Alfrey Т. Non-homogeneous stresses in viscoelastlc media // Quart: appl. Math. 1944.-v.2.-№2.

137. Bartenew G.M. Relaxations theorie des bruchs von polimeren in glasszustand // Plaste U.Kautshuk. - 1974. - №7. - pp. 481-485.

138. Ferry T.D. Viscoelastic properties of polimers // John Wiley & Sons — 1981. -P. 633.

139. Filon L.N.G. On the elastic eguilibrium of circular cylinders under certain practical systems of load // Phil Trans of the Roual Society of London. -1902 -Ser.A -v. 198 №4. - pp. 147-233.

140. Gross B. Mathematical structure of the theories of viscoelasticity // Paris: Herrmann. 1953.-P.75.

141. Leaderman H. Elastic and creep properties of filamentous materials and other high polimers // Washington. 1943. - P. 278.

142. Maxwell J.C. Sentrific papers // Cambridge Univercity Priss. London. -1890.-v.2-P. 26.

143. Oden.J.T., Lee. J.K. Jheory of mixed and hybrid finite element approximations in lineary elasticity // Sect. Notes Marh. 1976. - №.303 - pp. 90-109.

144. Odgvist F.K.G. Mathematical theory of creep and rupture // Oxford 2-nded Clarendon press 1974 - V.IX. - P. 200.

145. Tauchert T.R. Thermal streses in an ortotropic cylinder, with themprature -dependent elastic //Dev. Theor and Appl. Mech 1976. - V.8 - pp. 201212.

146. Boltzmann Z. Ponn. Ann. Erg, 1876, - №4. - P.624.

147. Kohlrousch F. Ponn. Ann. Erg, 1863. -pp. 119- 337; - 1866. pp. 207399;- 1876. pp. 158-337;.

148. Rawson D., Randolf P., Boardman C., Wheeler V. Post explosion environment resulting from the Salmon event (22.X.1964) // J. of Geophysical Research. 1966. V.71. - №14. - pp.415-426.

149. Coleman, B.D. Normal stress effect in secondary fluids. — J. App. Phys., 1984.-v. 35.-N l.-P. 765-768.

150. Rouse, P.E. Theory of the linear viscoelastic Properties of Dilute Solution of Cooling Polymers. J. Chem. Phys., 1993. - v. 21. -N. 7. - P. 1280.

151. Kirkwood, J.G. The General Theory of Irreversible Processes in Solution of Macromolecules. J. Polim. Sci., 1984. - v. 12. - P. 1-14.

152. Bueche, F. Physical prosperities of polymers. London: Intersciense, 1993. - 324 p.

153. Lodg, F.S. A network theory of flow birefringence and stress in concentrated polymer Solution. Trans. Farad. Soc., 1996. - v. 52. - № 397. - P. 354357.

154. Jamamoto, M. The theory of the statistic structure. J. Phys. Soc., Japan, 1988. - v. 13.-P. 1200-1208.

155. Takaynagi, M. Application of the theory of elasticity and viscosity of two-phase systems to polymer plant. J. Appl. Polymer Sci., 1998. - v. 10. - P. 113-115.

156. De Witt, T.W. A reological equation of state which preducte non-Newtoniane viscosity, normal stress and dynamics modele J. Appl. Phys., 1995-v. 26.-P. 889-892.