Нелинейное динамо крупномасштабных магнитных полей звезд тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. УРАВНЕНИЕ КРУПНОМАСШТАБНОГО (СРЕДНЕГО) ПОЛЯ И СРЕДНЕЙ СПИРАЛЬНОСТИ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ

§ I.Турбулентное динамо средних полей при наличии крупномасштабной скорости.

A) Гауссова турбулентность и магнитная вязкость, зависящая от координат

Б) Негауссова турбулентность

B) Электродинамика средних полей при наличии крупномасштабных течений и спиральной турбулентности.

§ 2. Динамика средней турбулентной спиральности в магнитном поле.

А) Уравнение для спиральности кинематическое приближение

Б) Вывод уравнения для С*^

§ 3. Влияние крупномасштабного магнитного поля на вращение звезды.

А) Оценка усредненных магнитных натяжений в турбулентном потоке. 51 Б) Система уравнений сферического осесимметричного динамо с обратным влиянием на спиральность. Сравнение с обратным влиянием на дифференциальное вращение 56 Основные результаты главы I.

Глава 2. СВОЙСТВА СФЕРИЧЕСКОГО ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ДИНАМО

С КУБИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

§ I. Линейное сферическое динамо

А) Оценка (©"ё^"* J<*(a>V&hcL4 б

Б) Некоторые свойства сопряженной задачи

§ 2. Уравнение динамо с кубической нелинейностью

Одномодовое приближение).

A) Установившееся решение при малых

Б) Устойчивость периодического режима

B) Основной предельный цикл

§ 3. Взаимодействие двух мод.

A)Синхронизация и биение между дипольной и квадрупольной модами.

Б) Модуляция основного цикла слабым квадруполем.

B) Эффект автостабилизации фазы в нелинейном динамо.

§ 4. Численное исследование случая сильной нелинейности (одномодовое приближение). 89 Основные результаты главы

Глава 3. НАБЛЮДАЕМАЯ ЗВЕЗДНАЯ АКТИВНОСТЬ И 'ТЕОРИЯ

НЕЛИНЕЙНОГО ДИНАМО

§ I. Нелинейное диномо и солнечный цикл

А) Свойства II-летнего цикла -^

Б) Возможная природа векового цикла - Ю

§ 2. Природа II-летних крутильных колебаний Солнца ^

А) Свойства неволновой части приращения вращательной скорости

Б) II-летние крутильные колебания Солнца П

§ 3. Циклы активности вращающихся звезд поздних спектральных классов

A) Перекрывающие источники генерации

Б) Неперекрывающиеся источники генерации

B) Зависимость периода цикла активности от угловой скорости вращения для звезд данного спектрального класса

Г) Влияние нелинейности на период цикла звездной активности. Зависимость величины магнитного поля звезды от угловой скорости вращения при фиксированном спектральном классе.

Звезда, например, Солнце представляет собой газовый шар, равновесие которого в первом приближении определяется балансом силы тяготяния и градиента давления. Для многих звезд поздних спектральных классов главной последовательности характерна турбулентная конвекция, развивающаяся в их внешних слоях. Согласно современным представлениям именно в этих конвективных оболочках возбуждаются магнитные поля. Существенную роль в генерации звездного магнитного поля так же играет вращение.

У нормальных звезд вращение и поля слабы и практически не влияют на их общее равновесие. Однако, магнитные поля играют решающую роль в активности звезд. Так, различные проявления солнечной активности - пятна, факелы, флокулы, хромосфер-ные вспышки, протуберанцы и т.д. связаны с магнитным полем Солнца. Хотя детальные механизмы многих проявлений активности пока недостаточно изучены, общепринято, что магнитное поле управляет активностью ( см.,например, Бакулин и др., 1983, Гибсон 1973). Отсюда ясно, что любой серьезный прогноз активности должен основываться на изучении свойств магнитных полей Солнца и звезд. Это делает задачу построения теории звездного (солнечного) магнетизма чрезвычайно актуальной как с чисто научной,так и с практической точки зрения.

Магнетизм звезд, как и других небесных тел, находит свое объяснение в теории гидромагнитного динамо. Согласно этой теории генерация магнитного поля происходит благодаря гидродинамическим движениям космической плазмы. В астрофизических уело- -виях они обычно имеют характер турбулентности с масштабом,

- б существенно меньшим характерных размеров небесного тела.

Типичный пример таких движений - турбулентная конвекция в звездах. На первый взгляд кажется, что турбулентно-конвективные течения могут генерировать поля только масштаба конвективных ячеек или меньших. Такие магнитные поля принято называть мелкомасштабными. Однако, если небесное тело обладает дифференциальным (или твердотельным) вращением, то становится возможной и генерация крупномасштабных магнитных полей. Уравнения, описывающие эволюцию крупномасштабного магнитного поля, получаются из уравнени магнитной гидродинамики путем усреднения последних по турбулентным пульсациям. По физическому смыслу ( но не формально!) эта процедура аналогична переходу от микроскопической электродинамики вакуума к уравнениям магнитной гидродинамики ( Баранов, Краснобаев, 1977). В получающихся усредненных уравнениях источниками генерации служат дифференциальное вращение и (или) спиральность турбулентных движений. Мы полагаем,что именно крупномасштабные магнитные поля управляют звездной активностью в масштабах всей звезды.

Характерная особенность конвективных оболочек звезд - наличие сильного дифференциального вращения на фоне турбулентной конвекции. Поэтому, при выводе уравнения для крупномасштабного поля его следует учитывать. Уравнение динамо среднего поля без крупномасштабной скорости хорошо обосновано как при (Штеенбек и Краузе, 1966), так и для I (Ванштейн,1970,

Ванштейн и Зельдович, 1972, Молчанов и др., 1983). Здесь -магнитное число Рейнольдса. Учет крупномасштабной скорости был сделан в работе Клиорина (1981) в предположении, что магнитная вязкость постоянна, турбулентность гауссова и имеет время корреляции малое по сравнению с характерным временем изменения среднего поля. В главе I дан вывод уравнения динамо со средним течением, в котором указанные предположения несколько ослаблены. Полученное уравнение - основа линейной теории крупномасштабных магнитных полей звезд. Линейная теория применима, когда магнитное поле еще мало, так что его влиянием на движения плазмы можно пренебречь. Достаточно линейного приближения, чтобы понять многие свойства звездного магнетизма. Так, например, стало понятно, каким образом могут возникать периодические поля звезд и, в частности, почему пятна на Солнце возникают периодически. Линейная теория правильно описывает и такие тонкие свойства солнечного магнетизма как широтное распределение солнечных пятен ( т.е. закон Шперера, бабочки Маундера - см.,например, работу Ивановой и Рузмайкина, 1976), сдвиг фаз между радиальной и азимутальной компонентами магнитного поля (согласно теории он составляет Зтг/ч и слабо зависит от широты) и некоторые другие особенности солнечного цикла. В настоящее время линейное осе-симметричное солнечное динамо есть, с принципиальной точки зрения, завершенный раздел теории. Его состояние подробно изложено в монографиях Моффатта (1978), Паркера (1979), Вайнштейна и др. (1980) и Краузе и Редлера (1981).

При построении линейной теории звездного магнетизма возникают специфические проблемы, связанные с расчетом источников генерации как функции вращения и спектрального класса звезды. Некоторые из этих вопросов будут рассмотрены в гл.З данной диссертации .

Однако, солнечная (звездная) активность есть явление принципиально нелинейное (Рузмайкин, 1983). В качестве проявлений нелинейной природы солнечного цикла укажем ангармоническую зависимость числа солнечных пятен от времени, в том числе вековую модуляцию ( см., например, Витинский, 1973) минимум Маундера (Эдди,1976)., а также, по-видимому, эффект (авто) стабилизации фазы 11-летнего цикла (Гудзенко и Чертопруд, 1966) и крутильные колебания Солнца с II-летним переходом (Хоуорд и Лабонт, 1980, Лабонт и Хоуорд, 1982). Разумеется в отсутсвии нелинейной теории мелкомасштабных магнитных полей построить полную теорию звездной активности невозможно. В настоящее время существуют лишь отдельные фрагменты нелинейной картины звездной активности.

В основе нелинейных эффектов лежит действие квадратичных по полю магнитных сил. Следует ожидать, что в первую очередь действию этих сил подвергнется более слабый источник генерации -спиральность (Вайнштёйн, Зельдович, 1972). Поэтому в большинстве предложенных моделей учитывалось влияние поля только на спиральность ск (см., например, Ситке, 1972, Иванова и Рузмайкин,1977, Клиорин и Рузмайкин, 1981). Иногда, следуя Лейтону (1969), в уравнения дополнительно вводили нелинейные потери поля, связанные с его плавучестью. Спиральность о( , обычно задавалась из феноменологических соображений в виде некоторой функции поля. Последняя подбиралась так, что Ы (В=0) = , где o^v - гидродинамическая спиральность в отсутствии среднего поля (o^^U-intu.)»). Вопрос о зависимости средней спиральности от крупномасштабного поля подробно рассмотрен в гл.1 § 2. Оказалось в частности, что практически мгновенно3^ реагирует на поле лишь спиральность <vl^otu.>, характеризующая заузленность вихревых линий. Однако, в ходе динамо-процесса возникают мелкомасштабные заузленные магнитные поля и связанная с ними спиральность (d^ tot оказывающая влияние на процесс генерации (Фриш и др. 1975). Ее время релаксации при R^ » I может быть велико ( » ). Вывод уравнения для этой спиральности в пренебрежении магнитной вязкостью ) предложен Вайнштейном (1980). В § 2 главы I дан вывод уравнения для ск^ при больших, но конечных

R^ .Из найденного уравнения в некоторых моделях турбулентности получаются исследованные ранее "полуэмпирические" формы нелинейности.

Хотя влияние магнитного поля на спиральность существенно сильнее, чем на дифференциальное вращение, последнее, по-видимому, непосредственно проявляется в виде наблюдаемых II-летних крутильных колебаний Солнца. Анализ многолетних спектроскопических наблюдений солнечного диска показал, что горизонтальные движения на поверхности Солнца имеют характер бегущих крутильных волн (Хоуорд и Лабонт, 1980, Лабонт и Хоуорд ,1982). Период крутильных колебаний составляет около II лет. Амплитуда вариаций вращательной скорости порядка 3-5-6 м/с . В каждом полушарии Солнца существует не менее четырех зон быстрого и медленного вращения. Новая зона появляется вблизи полюса и достигает экватора примерно за 22 года. Наблюдаемые крутильные колебания обладают симметрией относительно оси врщения Солнца (результаты Хоуорда и Лабонта получены путем усреднения данных наблюдений по четырем оборотам Солнца. за время оборота ячейки конвекции.

Картина крутильных колебаний развивается в обоих полушариях Солнца приблизительно синхронно. Туоминен и др. (1983), проанализировав гринвичские данные о собственных движениях солнечных пятен подтвердили результаты Хоуорда и Лабонта ( для широт, в которых происходит пятнообразование).

Описанные колебания происходят на фоне общего дифференциального вращения Солнца. Лабонт и Хоуорд (1982) показали, что оно обладает некоторой асимметрией относительно плоскости солнечного экватора: северное полушарие вращается несколько быстрее, чем южное.

Антисимметричная часть угловой скорости сосредоточена у полюсов Солнца. Соответствующий максимальный перепад линейной скорости вращения между симметричными широтами составляет около 2 м/с.

Иошимура (1981) (см. также Шусслер ,1981) предложил рассматривать крутильные колебания Солнца как вынужденные колебания под действием квадратичных по полю магнитных сил. Эти силы порождаются динамо-волной крупномасштабного магнитного поля с периодом 22 года. Лабонт и Хоуорд (1982) подвергли указанное объяснение резкой критике на том основании, что, во-первых, этот механизм должен вызывать сильные вариации амплитуды крутильной волны U.0, поскольку магнитные поля усиливаются и ослабляются в ходе цикла. В действительности, величина И0 довольно однородна. Во-вторых, зона пятнообразования, связанная с динамо-волной охватывает область широт ±40°, тогда как крутильные колебания отчетливо проявляются вплоть до широт + 75°. Эти замечания относятся, в действительности, к конкретной модели Иошимуры. В этой модели предполагалось, что поверхности постоянной скорости, по которым движется динамо-волна, близки к 9 е const .Наблюдения глобальных колебаний Солнца (Гаф, 1982, Хилл и др.,1982, Дике, 1982) позволяют оценить величину и радиальный профиль дифференциального вращения . По минимальной оценке ал/а ^ а Ло/0Л^о в то время как наблюдаемый поверхностный градиент- . Таким образом,

10""^ , т.е. поверхности &»con&t близки к сферам. С другой стороны, Иошимура (1981) в уравнении движения пренебрег градиентом плотности, характерным для конвективной оболочки Солнца.

В главе 3 будет показано, что крутильные колебания Солнца порождаются магнитной силой и в более реалистичных моделях динамо, чем модель Иошимуры, это вполне согласуется с различным распределением по широте пятнообразования и крутильной волны. Причина в том, что распределение амплитуды крутильной волны пропорционально произведению радиальной и азимутальной компонент поля более однородно, чем распределение поля Ьф , порождающего пятна. Существенно и то, что пятна, по-видимому, возникают лишь когда среднее поле превышает некоторое критическое значение.

В главе 3 оценена амплитуда крутильной волны и фазовый сдвиг между активностью и крутильной волной. Полученные результаты находятся в хорошем соответствии с наблюдениями Лабонта и Хоуорда (1982) Ч

Что касается открытой Лабонтом и Хоуордом вековой асимметрии дифференциального вращения Солнца, то ее можно объяснить, если учесть, что на Солнце наряду с основной дипольной модой имеется слабая составляющая поля квадрупольного типа.

Простейший ( и наиболее известный) результат учета нелинейности в динамо - нелинейная стабилизация самовозбуждающихся магнитных полей. В результате получается периодическая ( но не гармоническая) зависимость поля от времени. Реальная картина солнечной активности намного богаче. Поэтому распространена точка зрения, что долгопериодические вариации солнечной активности -результат временных вариаций глобальных свойств конвекции и (или) дифференциального вращения. Магнитное поле лишь пассивно следует зг ними (см., например, Догель и Сыроватский, 1979). Формальное включение и выключение источников генерации, а также формальное введение запаздывания реакции спиральности на поле рассматривались Иошимурой (1978, 1978а, 1979). Указанная точка зрения,

Отметим, что гипотеза собственных крутильных колебаний Солнца, предложенная Лабонтом и Хоуордом (1982) для объяснения наблюдаемых ими горизонтальных движений, плохо согласуется с теорией крутильных колебаний звезд (см.,например, Кокс,1980,Саио, 1982). Причина в том, что наблюдаемые горизонтальные движения симметричны относительно оси вращения Солнца, в то время как, согласно теории, у осесимметричных мод частота равна нулю. Такие моды описывают вращение звезды, а не колебательный процесс. однако, плохо согласуется как с физическими принципами, так и с историческими сведениями о Солнце, земном климате и т.п. Достаточно сказать, что длительное изменение солнечной постоянной всего

БЫ лишь на один процент привело4!? большим климатическим изменениям на Земле, а сведения о заметном изменении дифференциального вращения в эпоху непосредственно предшествующую минимуму Маундера (Эдди и др., 1977) не подтвердились при более тщательном изучении исторических источников (Абрабанелл и Вёль, 1981). Нам кажется более перспективным искать объяснение длительных вариаций активности в .нелинейном динамо. Оказывается (гл.2), что взаимодействие двух мод (дипольной и квадрупольной симметрии) через простейшую нелинейность уже дает вековую модуляцию, а также, по-видимому, эффект автостабилизации фазы активности. Гудзенко и Чертопруд показали (1966), что этим свойством обладает наблюдаемый цикл пятнообразования на Солнце. Эффект автостабилизации фазы в нелинейном динамо есть, таким образом, теоретическое объяснение этого эмпирического факта.

Важно, что модель, обладающая этими свойствами, должна быть существенно нелинейной. Можно надеяться, что более строгие модели, основывающиеся на системе (1.3.13) - (1.3.15) главы I. позволят описать глобальные свойства солнечной (звездной) активности.

До недавного времени солнечная активность была единственным приложением звездного динамо, доступным прямой наблюдательной проверке. Ситуация изменилась благодаря большой наблюдательной программе начатой Вильсоном с сотрудниками около двадцати лет назад. Конкретно в течение этого времени измерялась остаточная эмиссия в ядрах Н и К линий однократно ионизированных ионов кальция для большого набора звезд. Известно, что в случае солнечной активности эта эмиссия хорошо коррелируется с фазой одиннадцатилетнего цикла. Оказалось, что для значительной части звезд главной последовательности(спектральных классов позже F5 ) остаточная эмиссия испытвает циклические изменения с периодами 7 -г- 12 лет ( Вильсон, 1978). Это означает, что указанные звезды обладают активностью с полным периодом 14 * 24 года. Вильсон (1978) обратил внимание, что на фоне таких медленных изменений активности имеются быстрые колебания остаточной эмиссии с периодом б 4- 65 дней. Он интепретировал их как проявления осевых вращений звезд. По этим вариациям Воган и др. (1981) определили угловую скорость осевого вращения для некоторых звезд, изученных Вильсоном. В апреле 1984 года для девятнадцати звезд глав ной последовательности (включая Солнце), были известны периоды активности и угловые скорости вращения (Нойс и др., 1984). К со-желению, из главных характеристик звездного магнетизма - периода активности и величины поля, наблюдения Вильсона (1978) позволяют определить только период. Причина в том, что связь между вариациями остаточной эмиссии и магнитным полем плохо изучена. Для оценки поля можно привлечь данные о рентгеновских свети-мостях звездных корон, полученных с помощью автоматической обсерватории "Эйнштейн" ( Паллавичини и др., 1981). Оказалось, что для звезд главной последовательности рентгеновская светимость Lx г* v V^t ) > гДе vn.ot -линейная скорость осевого вращения. Отметим, что на такую зависимость (V^4) впервые указала М.М.Кацова (1981). По современным представлениям, энергия в короны звезд поздних спектральных классов поступает, по-видимому, благодаря диссипации в них магнитных полей, всплывающих из конвективной оболочки. Задавшись механизмом нагрева короны как функцией поля, можно оценить рентгеновскую светимость, или, наоборот, по светимости оценить поле.

Из общих соображений ясно, что период циклической активности и амплитуда поля должны зависеть от угловой скорости осевого вращения звезды и ее спектрального класса (эффективной температуры). В работе Дарни и Робинсона (1982) предложена упрощенная модель генерации магнитного поля звезд, аналогичная моделям солнечного динамо. К сожелению, в этой работе содержится ошибка: авторы не учли сильный, по сравнению с широтным, радиальный градиент поля. Видимо, поэтому результаты Дарни и Робинсона (1982) плохо согласуются с наблюдениями. В работе Бельведера и др.(1981) на основе теории динамо дается оценка рентгеновской светимости звезд. На наш взгляд, оценка нагрева короны сделана в этой работе некорректно. В главе 3 данной диссертации дается оценка зависимостей периода и амплитуды изменения поля от угловой скорости вращения звезды при фиксированном спектральном классе, свободная от указанных недостатков. Существенно, что период цикла зависит от угловой скорости вращения немонотонно, в то время как амплитуда поля монотонно возрастает с ростом угловой скорости.

Предсказанная зависимость периода цикла от осевого вращения может быть проверена путем наблюдения активности звезд фиксированных спектральных классов главной последовательности.

Однако имеющиеся наблюдательные данные недостаточны для детальной проверки зависимостей (3.3.II), (3.3.9). Отметим, что результаты теории грубо согласуются с наблюдениями, если взять данные о вращении звезд из работы Нойса. и др. (1984), а не из предварительной работы Вогана и др. (1981). Это видно из сравнения данных из таблицы 3 диссертации и таблицы из работы Клио-рина и др. (1983) с формулами (3.3.9) и (3.3.II). Что касается зависимости поля от угловой скорости, то данные обсерватории "Эйнштейн" грубо согласуются с нашей предварительной оценкой, если в качестве механизма нагрева короны принять механизм, предложенный Галеевым и др. (1981). Отметим, что в главе 3 данной работы исследованы простейшие модели звездной активности. Такие модели выбраны потому, что пока наблюдений недостаточно для проверки более детальной теории. С другой стороны, отсутствие надежных теорий дифференциального вращения и спиральности (u.*iotu> делает расчет профиля источников генерации затруднительным и сводит на нет ценность детальных моделей активности. Можно наде-еться, что в планируемых и действующих программах наблюдений удастся получить данные, необходимые для детальной проверки теории звездного динамо, а успехи гидродинамики конвективных оболочек звезд позволят построить детальные модели звездных магнитных полей. X X

Данная диссертация посвящена теоретическому изучению крупуьрмгй. номасштабных магнитных* звезд поздних спектральных классов главной последовательности.

Целью диссертации является:

1. Вывод уравнений нелинейного динамо с учетом особенностей звездных конвективных оболочек таких, как присутствие крупномасштабных течений, негауссовость турбулентности, большие магнитные числа Рейнольдса и т.д.

2. Анализ простейшей модели сферического осесимметричного динамо со слабой кубической нелинейностью.

3. Интерпретация наблюдаемых II-летних крутильных колебаний Солнца и вековой асимметрии дифференциального вращения.

4. Оценка зависимости параметров циклов активности от угловой скорости осевого вращения для звезд поздних спектральных классов.

Диссертация состоит из трех глав, введения и заключения. Основные результаты диссертации изложены в работах:

1.N.I.Kleeorin, A.A.Ruzmaikin. Properties of a nonlinear solar dynamo model.-Geophys.Astrophys.Fluid Dyn., I98I> vol.17,

IT 3, P.281-296.

2.Н.И.Клиорин Турбулентное динамо средних полей при наличии крупномасштабной скорости. - Магнитная гидродинамика, 1981, № 2, с.29-35.

3.Н.И.Клиорин, А.А.Рузмайкин. Динамика средней турбулентной' спиральности в магнитном поле. - Магнитная гидродинамика, 1982, № 2, с.17-24.

4. N.I.Kleeorin, A.A.Ruzmikin, D.D.Sokoloff. Activity cicle periods in late-type stars.- Astrophys. and Space Sci., 1985, vol.95, N I, p.131-136.

5. N.I.Kleeorin, A.A.Ruzmikin. Mean-field dynamo with, cubic non-linearity. - Astron. Nachr., 1984-, Bd.305, Н.5» s. 265-275.

6. Н.И.Клиорин и А.А.Рузмайкин.О природе II-летних крутильных колебаний Солнца. - Письма в Астрон.журнал, 1984а , т.10, № 12, с. 925-930.

Основные результаты главы 3

1. Интерпретация наблюдаемых II-летних крутильных колебаний Солнца, как вынужденных колебаний приповерхностных слоев Солнца под действием магнитных сил.

2. Интерпретация наблюдаемой вековой асимметрии дифференциального вращения Солнца.

3. Путем анализа наблюдаемых крутильных колебаний Солнца показано, что фаза динамо-волн распределена по широте по закону близкому к $ - £Tt ( \ ± \ cos, 9 \\

4. Качественная зависимость периодов циклов активности звезд от угловой скорости вращения при фиксированном спектральном классе для звезд главной последовательности поздних спектральных классов ( позже CjO ).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены основы нелинейной динамо-теории звездной активности и некоторые следствия из нее, доступные наблюдательной проверке. Перечислим основные результаты.

1. Выведено уравнение для среднего поля с учетом крупномасштабной скорости.

2. Выведено уравнение, описывающее динамику средней турбулентной спиральности в магнитном поле и показано, что влияние поля на дифференциальное вращение намного слабее влияния поля на спиральность.

3. Выяснены свойства динамо с простейшей кубической нелинейностью.

4. Предложен механизм I1-летних крутильных колебаний Солнца и вековой асимметрии дифференциального вращения.

5. Предсказана зависимость периодов циклов звездной активности от угловой скорости вращения для звезд поздних спектральных классов.

X X X

Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук А.А.Рузмайкину за руководство работой.

Автор благодарит И.А.Кульчицкую за помощь в численных расчетах, профессора Е.М.Гершензона, профессора В.С.Эткина, доцента И.В.Разумовскую за постоянный интерес к работе и поддержку.

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить коллективы кафедры физики твердого тела и проблемной радиофизической лаборатории МГПИ им.В.И.Ленина, доброжелательное отношение которых в значительной степени способствовало написанию этой работы.

1. Baker N. and Tamesvary S. Tables of Convective Stellar Envelop Models. New York: NASA, 1966.

2. Бакулин П.И., Кононович Э.В., Мороз В.И. Курс общей астрономии. М.: Наука, 1983.

3. З.Баранов В.Б. и Краснобаев К.В. Гидродинамическая теория космической плазмы. М.: Наука, 1977.

4. Belvedere G., Paterno L., Stix M. Magnetic Cycle of lower main sequence stars.- Astron.and Astrophys., I960, vol.9I> N3,p.328-330.

5. Belvedere G., Chiudery C., Paterno L. Stellar X-ray Emission and Magnetic activity.-Astron.and Astrophys.,1981,vol.96, N1/2,p.369-372.

6. Brauer H. The nonlinear dynamo problem: small oscilatory solutions in a strongly simplified model.-Astron.Nachr., 1979, Bd 300, H.I, s.43-49.

7. Brauer H. Subscritical, solutions in a spherical nonlinear o(£l -dynamo.-Astron.Nachr.,1980,Bd 301, H.5, S.203-206.

8. Dicke R.H. The 5-min oscillation of the Sun are incompatible with a rapidly-rotating cora.- Nature, 1982, vol.JOO, N5894, p.693-697.

9. Dittrich P., Molchanov S.A., Ruzmaikin A.A. Sokoloff D.D. Main magnetic field in renovating random flor.- Astron. Nachr.,1984, Bd305, H3, S.II9-I25.

10. Догель В.А. и Сыроватский С.И. О возможной природе минимума Маундера. Изв.АН СССР (сер.физическая),т.43,№4,с.716-723.

11. Eddy J.A. The Maunder Minimum.-Science,1976, vol.192, N4245, p.1189-1202.

12. Eddy J.A., Gilman P.A., Trotter D.E. Solar rotation during the Maunder Minimum.- Solar Phys.,1976,vol.46,N1,p.3-14.

13. Frish V., Pouquet A., Leorat I., Mazure A. Possibility of an invers cascade of magnetohydrodinamic turbulence.-J.Fluid.Mech.,1975,vol.68,part 4,p.769-778•

14. Gallev A.A., Rosner R., Serio S., Vaiana G. Dynamics of coronal structure: magnetic field-related heating and loop energy balance.- Astrophys.J.,1981,vol.243, N1, p.301-308.

15. Gibson E.G. The quet Sun.Washington: NASA, 1973 (имеется русский перевод под ред.Э.В.Кононовича: Гибсон Э.Спокойное Солнце. И.: Мир, 1977.

16. Gleisberg W. and Dambolt Т.- Reflections on the Maunder Minimum of Sunspots.- J.Brit.Assoc.Astron.,1979, vol.89, N5, p.440-449.

17. Gough D. Internal ratation and gravitational quadrupole moment of the Sun.-Nature,1982,vol.298,N5872,p.354-339.

18. Golub L., Rosner R., Vaiana G.S., Weiss И.О. Solar magnetic filds the generation of emergine flux.-Astrophys. J.,1981,vol.243,N1,p.309-316.

19. Golub L., Noci G., Paletto G., Vaiana G.S. Activ region coronal evolution.- Astrophys.J.,1982,vol.259,N1,p.359-365.

20. Гохберг И.Ц. и Крейн М.Г. Введение в теорию несамосопряженных -операторов. М.: Наука, 1965.

21. Гудзенко Л.И. и Чертопруд В.Е. Некоторые динамические свойства циклической активности Солнца. Астроном.журнал., 1964, т.41, вып.4, с.697-706.

22. Гудзенко Л.И. и Чертопруд В.Е. Некоторые свойства фазы солнечной активности. Астроном.журнал, 1966, т.43, вып.1, с.113-123.

23. Гудзенко Л.И. и Чертопруд В.Е. Поиски механизма циклической активности Солнца. Труды §ИАН, 1980, т.120, с.167-248.

24. Hill Н.А., Bas R.J., Godde P.R. Preliminary Determination of Sun1s Gravitational Quadrupole Moment from Rotational Splitting of Glabal Oscillations and its Relevance to Test of General Relativity.-Phys.Rev.Lett,1982,vol.49,N24, p.1794-1797.

25. Howard R.F. and LaBonte B.J. The Sun is observed to be a torsional oscillation with a period II years.-Astrophys.J. (Letters),1980,vol.239,N1, L33-L36.

26. Иванов Т.С. и Рузмайкин А.А. Магнитогидродинамическая динамо-модель солнечного цикла. Астроном.журнал, 1976, т.53, вып2, с.398-410.

27. Иванова Т.С. и Рузмайкин А.А. Нелинейная магнитогидродинамическая модель динамо Солнца. -Астроном.журнал, 1977, т.54, вып. 4, с. 846-858.

28. Клиорин Н.И. и Рузмайкин А.А. Динамика средней турбулентности в магнитном поле. Магнитная гидродинамика, 1982, № 2, с . 17-24.39» Kleeorin N.I., Ruzmikin А»А» Mean field gynamo with.cubic non-1ineartу•- Astron.Nachr., 1984,Bd 305,H5,s.265275.

29. Клиорин Н.И., Рузмайкин А.А. О природе II-летних крутильных колебаний Солнца. Письма в Астроном.журнал, 1984а,т.10, № 12, с. 925-930.

30. Kleeorin N.I», Ruzmikin A.A., Sokoloff D.D. Activity cicle periods in late-type stars,- Astrophys. and Space Sci., I985,vol.95fNI»P»I5I-l56.

31. ICraichnan R.H. Inertial range spectrum of hydromagnetic turbulence.- Phys.Fluids, I965,vo1.8\n7,P.I385-I387.43 . ICrause P.- and Radler K.-H. Mean-field magnetohydrodynamiсs and Dynamo Theory. Berlin: Akademic-Verlagj London: Pergamon-Pre ss,I98O.

32. Bonte B.J, and Howard R. Torsional waves on the Sun and the activity cycle.- Solar.Phys.,1982,vol.75,N1/2,p.I6I-I78.

33. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.; Наука , 1980.

34. Лебединский А.И. Вращение Солнца. Астроном.журнал, 1941, том 18, вып.1, с.10-25.47» Leighton R.B. A magneto-kinematic model of the Solar Cycle.-Astrophys.J., 1969,vol.156,N1,p.1-26.

35. Moffatt U.K. Magnetic fild generation in electrically conducting fluids, Cambridge: Cambridge Univ.Press,I978 (имеется русский перевод под ред. акад.Я.Б.Зельдовича: Моффат Г.

36. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде, М.: Мир, 1980).

37. Молчанов С.А., Рузмайкин А.А., Соколов Д.Д. Уравнение динамо в случайном короткоррелированном поле скорости. Магнитная гидродинамика, 1983, № 4, с . 67-72.

38. Новиков В.Г., Рузмайкин A.A., Соколов Д.Д. Кинематическое динамо в отражательно инвариантной турбулентности. -ЖЭТФ, 1983, т.85, вып.3(9), с.909-918.53» Orszag S.A. Analytical theories of turbulence.- J.Fluid. Mech.,1970,vol.41,part 2,p.363-386.

39. Ruzmikin A.A. Non-linear problem of Solar dynamo- In:

40. Stellar and planetary magnetism, p.151-157• Ed.Soward A.M.: Budapest,1982.59* Saio H.R-mode oscillations in uniformaly rotating stars.-Astrophys.J., 1982,vol.256,N2,p.717-735*

41. Schusler M. The Solar Torsional Oscillation and Dynamo Models of the Solar Cycle.-Astron.and Astrophys.,1981,vol.94,E2,LI7-18•

42. Соуорд A.M., Роберте П.Х. Современное состояние теории

43. МГД-динамо.- Магнитная гидродинамика,1976, №1, с. 3-51.

44. Spruit Н.С. A model of the solar convective zonerSolar Phys.,1974,vol.34,N2,p.277-290.

45. Steenbek M.t Krause P., Radler K.-H. A colculation of the mean electromotive force in electrically conducting fluid in turbulent motion, ander the influence of coriolis force,-Z.Naturforsch.,1966,Bd2Ia,s.369-376.

46. Stix M. Non-linear dynamo waves.- Astron.and Astrophys., 1972,vol.20,N1,9-12.

47. Tassoul J.-L. Theory of rotating stars.Princeton: Princeton Univ.Press,1978 (имеется русский перевод под ред.В.С.Имшен-ника: Тассуль Ж.-Л. Теория вращающихся звезд. М.: Мир, 1982).

48. Tuominen J., Tuominen I., Kyrolanen J. Eleven-year cycle in solar rotation and meridional motions as derived from the positions of sunspot groups.- Monthly Not.Roy.Astron. Soc.,1983,vol.205,N2,p.691-704.

49. Вайнштейн С.И. О генерации крупномасштабного магнитного поля турбулентной жидкостью. ЖЭТФ, 1970, т.58, вып.1, с. 153-159.

50. Вайнштейн С.И. Единый подход в нелинейной теории турбулентного динамо.-Магнитная гидродинамика, 1980, № 2,с.3-9

51. Вайнштейн С.И. и Зельдович Я.Б. О происхождении магнитных полей в астрофизике. УФН, 1972, т.106, вып.З, с.428-457.

52. Вайнштейн С.И., Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А. Турбулентное динамо в астрофизике. М.:Наука, 1980.

53. Vaugh.an А.Н., Baliunas S.L., Middelkoop F., Hartmann L.W.,i

54. Mihalas D., Noyes W.R., George W.P. Stellar rotation in lower main sequence stars meosued from time variation in H and К emission-line fluxes, I Initial resuits.-Astrophys. J.,1981,vol.250,NI,p.276-283.