Маломодовое приближение в задаче звездного динамо

Нефедов, Сергей Николаевич

Маломодовое приближение в задаче звездного динамо тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Нефедов, Сергей Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Маломодовое приближение в задаче звездного динамо»

Автореферат диссертации на тему "Маломодовое приближение в задаче звездного динамо"

□034Э332В

Московский Государственный университет имени М. В. Ломоносова Физический факультет

На правах рукописи

Нефедов Сергей Николаевич Маломодовое приближение в задаче звездного динамо

Специальность 01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2010

1 1 МАР 2010

003493328

Работа выполнена на кафедре математики физического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Соколов Д. Д.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Кацова М.М.

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, Петров А.П.

Институт механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наук

Защита диссертации состоится (^¿{^Ы^ 2010 г. в (Ь^на заседании диссертационного совета Д 501.002,141 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: Россия, 119992, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, физический факультет, С б биофизическая аудитория. I

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан 4? » февраля 2010 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета профессор ГрацЮ.В.

У-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Настоящая диссертация посвящена исследованию проблем звездного динамо.

Считается, что хорошо известный 11-летний цикл солнечной активности связан с тем, что в конвективной оболочке Солнца работает механизм динамо, основанный на совместном действии спиральной турбулентности (а-эффекта) и дифференциального вращения.

Стандартная схема динамо, предложенная в 1955 г. Паркером, состоит в следующем. Рассмотрим поле магнитного диполя, находящегося в центре Солнца. Дифференциальное вращение создает из этого полоидального магнитного поля тороидальное поле, находящееся где-то внутри конвективной зоны Солнца. Для того, чтобы замкнуть цепь самовозбуждения магнитного поля, необходимо из возникшего тороидального магнитного поля создать новое полоидальное магнитное поле. Считается, что это происходит за счет нарушения отражательной инвариантности течений в конвективной зоне Солнца. Мерой этого нарушения является т.н. гидродинамическая спираль-ность или (а-эффект). Эта схема при подходящем выборе параметров действительно приводит к самовозбуждению магнитного поля, тороидальная компонента которого имеет вид т.н. динамо-волн, распространяющихся в каждом полушарии от средних широт к солнечному экватору. Представляется весьма вероятным, что те же генераторы магнитного поля действуют и в полностью конвективных звездах, так что в них тоже возникает цикл

активности, связанный с работой динамо.

Проблема, однако, состоит в том, что физические параметры полностью конвективных звезд (например, их дифференциальное вращение) известны несравненно хуже, чем соответствующие параметры Солнца. Поэтому в дополнение к методам прямого численного моделирования хотелось бы получить пусть грубый, но робастный метод исследования динамо. Этот метод должен использовать лишь небольшое число интегральных параметров, характеризующих роль в процессе генерации магнитного поля нескольких базисных функций, и выявлять отличия динамо в полностью конвективной звезде от динамо в сферической оболочке (конвективной зоне Солнца). В настоящей диссертации автор предлагает подобный метод.

Понятийный аппарат и методы исследования

Работа опирается на терминологию и результаты из работ по теоретической физике, математической физике, астрофизике,магнитной гидродинамике и по классической теории электромагнитного поля.

В работе используются следующие понятия, относящиеся к теории динамо:

1. Полоидальное и тороидальное магнитные поля.

Полоидальное поле - это поле магнитного диполя в вакууме. Имеет только радиальную и широтную компоненты. Убывает на пространственной бесконечности. Тороидальное поле имеет только азимутальную компоненту. Оно локализовано только в конвективном слое звезды, вне него оно равно нулю. Формула для разложения магнитного

поля на полоидальную и тороидальную составляющие имеет вид:

В = Вт + Bp = rot rT + rotrot rP, (1)

где Т и Р - скалярные потенциалы тороидального и полоидального поля, соответственно.

2. 11-летний цикл солнечной активности. Замечательной чертой солнечной активности является ее повторяемость или периодичность. 11-летний цикл солнечной активности широко известен как в научном сообществе, так и среди широкой общественности. Он был открыт в 1893 г. астрономом-любителем Генрихом Швабе из Дессау. Известно, что количество солнечных пятен, полная площадь занимаемой ими поверхности и некоторые другие свойства активности связаны с изменениями напряженности магнитного поля во время 11-летнего цикла. С учетом смены знака крупномасштабного магнитного поля Солнца при переходе, от цикла к циклу, тороидальная компонента которого с пятнами и полоидальная компонента представляет собой диполь, эта периодичность в действительности является 22-летней.

3. а-эффект. Во вращающейся звезде под действием силы Кориолиса происходит нарушение отражательной инвариантности. В результате в каждом из полушарий преобладают только правовинтовые или только левовинтовьте вихри, т.е. солнечная конвекция не является зеркально симметричной. В электродвижущей силе электромагнитной индукции возникает член, параллельный (а не перпендикулярный, как обычно) среднему магнитному полю. Соответствующий коэффициент пропор-

циональности принято обозначать буквой а, а само явление называть а-эффектом. Количественная теория а-эффекта была развита в 60-ых годах Штеенбеком, Краузе и Рэдлером.

4. Дифференциальное вращение. Явление дифференциального вращения связано с тем, что различные широтные слои вращающейся звезды движутся с разной скоростью. Например, экватор Солнца движется быстрее полюсов примерно на 20%.

Основным математическим аппаратом настоящей диссертационной работы является аппарат теории динамических систем невысокого порядка.

Цели диссертации

Накопленный за прошедшее время опыт численного моделирования задач звездного и галактического динамо и результаты астрономических наблюдений наводят на мысль, что предложенное Паркером объяснение не совсем точно отражает реальную картину звездного динамо. Схема Паркера не предназначена для описания деталей солнечного цикла, поэтому она не включает многих важных элементов солнечной магнитной гидродинамики. В частности, в ее рамках возбуждаемое магнитное поле неограниченно растет. В реальности этот рост, конечно, так или иначе подавляется, но само распространение волны магнитного поля сохраняется. Также результаты численного моделирования и астрономические наблюдения показывают, что динамо в полностью конвективных звездах имеет определенную специфику. Выявление этой специфики кажется интересным потому, что

к полностью конвективным относятся большинство звезд типа Т Тельца, которые являются одними из классических объектов астрофизики.

Целью настоящей работы являлось построение простого качественного метода исследования задач звездного динамо. Этот метод должен использовать лишь небольшое число интегральных параметров, характеризующих роль в процессе генерации магнитного поля нескольких базисных функций, и выявлять отличия динамо в полностью конвективной звезде от динамо в сферической оболочке (конвективной зоне Солнца).

Научная новизна

Для изучения моделей звездного динамо автором предложен метод ма-ломодового приближения. Этот метод использует конечномерную аппроксимацию задач звездного динамо с помощью нескольких специально подобранных базисных функций.

Численное исследование задач динамо должно опираться на знание большого числа параметров системы, о существовании которых для многих звездных тел мы можем только догадываться. Вместо этого, в диссертационной работе, задачи звездного динамо исследуются с помощью метода маломодового приближения, использующего лишь небольшое число интегральных величин в качестве входных параметров. Идея построения предлагаемой модели состоит в следующем. После начального периода роста магнитное поле в звезде так или иначе стабилизируется, его рост прекращается и возникает режим, напоминающий автоколебания. Можно полагать, что при-этом система перестроилась так, что динамо стало марги-

нально устойчивым. При этом можно надеяться, что решение можно представить как суперпозицию небольшого числа подходящим образом подобранных мод свободного затухания. Собственно, классическое объяснение Паркера, представленное выше, как раз и излагает работу динамо на языке эволюции двух мод свободного затухания под действием двух источников генерации, дифференциального вращения и спиральности.

При этом показано, что метод дает решения, качественно воспроизводящие поведение реальных магнитных тел, таких как Солнце и звезды типа Т Тельца.

Разработанный метод был применен для простых качественных моделей, описывающих генерацию магнитного поля в полностью конвективных звездах и в звездах с тонкой конвективной оболочкой. Были рассмотрены кинематические и нелинейные модели динамо. Был проведен сравнительный анализ теоретических результатов с результатами астрономических наблюдений.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту

1. Разработан метод маломодового приближения, базирующийся на аппроксимации уравнений звездного динамо несколькими специально отобранными модами. При этом качественные свойства уравнений сохраняются. Метод применен к нескольким важным задачам астрофизики.

2. На основании анализа конечномерных задач показано, что в полностью конвективных звездах ожидается циклическая активность, при-

чем волна, характеризующая распространение тороидального магнитного поля, будет стоячая.

3. Установлено, что маломодовая аппроксимация в кинематической и нелинейной модели дает большое разнообразие режимов в разных параметрических областях, которые воспроизводят основные, свойства солнечного и звездного динамо.

Теоретическая и практическая значимость

Накопленный опыт астрофизических исследований показывает, что астрономические наблюдения нуждаются в планировании. Поэтому представляется полезным на качественном уровне понять, какие именно величины мы должны наблюдать. Результаты, полученные в диссертации, могут быть применены для исследования задач астрофизики в Государственном Астрономическим институте им. П.К. Штернберга, Физическом институте им. П.Н. Лебедева, Институте земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн им. Н.В. Путпкова Российской Академии наук и других астрономических институтах.

Вклад автора

Основные результаты полученные в данной диссертационной работе были впервые получены автором. Постановкой задачи, обсуждением и анализом научных результатов занимался Д.Д. Соколов. Во второй главе диссертации с целью ознакомления были приведены с комментариями резуль-

таты астрономических наблюдений, проанализированных С.А.Ламзиным и А.А.Ермаптом.

Апробация работы

Результаты работы докладывались на следующих конференциях:

• Международная конференция International Astrophysical Union Symposium 259, Santiago, Tenerife, Spain, November 3-7, 2008,

• XV международная науч. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов Москва. 2008,

• XI Пулковская международная конф. по физике Солнца Физическая природа солнечной активности и прогнозирование ее геофизических проявлений, ГАО РАН, Пулково, СПб, 2007,

• 16-ые матем. чтения Российского Государственного Социального Университета, Руза, 2007,

• 17-ьте матем. чтения Российского Государственного Социального Университета, Руза, 2008.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 9 работ (5 статей в печатных научных журналах, 2 статьи в сборниках трудов конференций и 2 тезиса конференций). В журналах из списка ВАК РФ опубликовано 4 статьи.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из титульного листа, оглавления, введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объём диссертации составляет 130 страниц. В ней имеется 28 рисунков. В списке литературы 68 наименований.

Ключевые слова

Динамо, динамо-число, аш-динамо, а—эффект, дифференциальное вращение, баттерфляй-диаграмма, тороидальное и полоидальное магнитное поле, конвективная зона, магнитная спиральность, крупномасштабное магнитное поле.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко описаны основные идеи диссертационной работы и предложенный метод исследования задач звездного динамо. Описываются цели диссертации, её основные научные результаты и области их применения. Рассказывается о докладах и публикациях автора, посвященных вопросам, исследуемым в диссертации. Приводится краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе описывается применение метода маломодового приближения для двух моделей - модели, описывающей генерацию магнитного поля в полностью конвективных звездах, предложенной Рэдлером и модели генерации магнитного поля в звездах с тонкой конвективной оболочкой, предложенной Паркером.

Процесс генерации магнитного поля в полностью конвективных звездах можно описать уравнением

ЭВ

— = ДакЛаВ + Ддо^У х В] + ДВ. (2)

Здесь В - крупномасштабное магнитное поле, а - альфа-эффект, V - линейная скорость дифференциального вращения с угловой скоростью П, Па = аоЯ//3 и = ГШ//3 (й - радиус звезды) - безразмерные числа, аналогичные известному в гидродинамике числу Рейкольдса, характеризуют интенсивность источников генерации - а-эффекта и дифференциального вращения, соответственно. Магнитное поле в пространстве окружающем звезду обычно рассматривают в вакуумном приближении (АВ = 0).

В задаче динамо интерес представляют решения, убывающие на пространственной бесконечности. Здесь мы рассматриваем т.н. кинематическую постановку, в которой свойства течения (V, а и ¡5) считаются заданными. Тогда интересующая нас задача становится задачей на собственные векторы и собственные значения, так что решение ищется в виде В(г, £) = В(г)е7', где 7 - комплексная скорость роста, ее мнимая часть определяет период цикла. Если действительная часть 7 положительна, то мы имеем дело с самовозбуждением магнитного поля, а если отрицательна - то с затуханием. Задача на собственные значения имеет, вообще говоря, много собственных решений, мы интересуемся собственной функцией с наибольшим Де7 (лидирующей модой).

Естественно, скорость роста зависит от и Если Яа и равны нулю, то скорость роста совпадает со старшей модой свободного затухания. Если и Яа достаточно велики, то, как показывает опыт прямого числен-

ного моделирования, возникают растущие (с осцилляциями) собственные решения, т.е. возникает явление динамо. На плоскости Да, И„ возникает некоторая линия, соответствующая порогу генерации. На этой линии магнитное поле маргинально устойчиво. На практике интерес представляет нахождение порога генерации и строения растущего магнитного поля вблизи этого порога.

Порог генерации соответствует условиям, при которых генерирующие эффекты (спиральность и дифференциальное вращение) невелики, они лишь в состоянии компенсировать диссипативные потери (лапласиан). Можно надеяться, что в этом случае искомая конфигурация магнитного поля хорошо аппроксимируется линейной комбинацией нескольких старших (медленнее всего убывающих во времени) мод свободного затухания. На этом и основан предлагаемый метод.

Мы ищем решение в виде В(г,£) = Е^1В','(г)ехр(7,-0'4)) где г - номер собственного решения. При этом мы рассматриваем только осесимметрич-ные моды, обладающие дилольной симметрией, т.е. антисимметричные относительно экватора. В галактическом динамо, однако, преобладают компоненты с квадрупольной симметрией. В случае нашей модели звездного динамо, мы проверили, квадрупольные компоненты не участвуют в процессе генерации.

Мы выбираем несколько первых мод свободного затухания, рассматриваем линейное подпространство в пространстве магнитных полей, натянутое на эти моды, и проектируем уравнение динамо средних полей (2) на это подпространство.

В рамках нашего анализа нам нужно найти минимальное количество мод, которые качественно правильно описывают процесс генерации. Отталкиваясь от опыта детального численного моделирования, мы ожидаем, что первой возбуждается осциллирующая мода. Поэтому мы берем вначале одну моду и проектируем на нее уравнение, описывающее процесс генерации. Получается одномерная спектральная задача, которая, как оказывается, имеет только затухающее решение. Потом мы добавляем к нашему базису следующую по степени убывания моду, а именно дублет. Возникает спектральная задача для матрицы 3x3, которая, как выясняется, также не имеет осциллирующих растущих решений. Потом мы последовательно добавляем к ней следующие моды, пока не получим картину в которой первой возбуждается осциллирующая мода. Это происходит при числе мод N = 8. Потом мы добавили в спектр еще одну моду и выяснили, что картина устойчива.

Выясняется, что получившаяся картина самовозбуждения магнитного поля достаточно сложна и ее описание требует относительно большого числа мод. Мы полагаем, что отчасти эта сложность является искусственной и некоторые из использованных мод на самом деле практически не участвуют в самовозбуждении магнитного поля. Прямым перебором, устраняя из изучаемого набора отдельные моды и связи между ними, мы находим, какие из мод и связей между ними важны для получения качественно правильной картины (т.е. возбуждения осциллирующего решения). Оказалось, что полоидальный синглет РЗ и дублет Т2,Р4 не влияют на правильность картины, таким образом для получения качественно верной картины генерации достаточно взять не 8, а 5 базисных функций: Р1, Т1, Р2, ТЗ, Р5.

Подставляя в исходное уравнение (2) решения в искомом виде получаем задачу на собственные значения для вектора С, составленного из коэффициентов разложения магнитного поля по данным модам для матрицы (5 х 5):

(7Е - М)С = WC. (3)

Здесь Е - единичная матрица, М - диагональная матрица с элементами Мц = 7,.

Матричные элементы матрицы W состоят из скалярных произведений вида

Wij = / В* LB j,

где векторы В; при изменении индекса i последовательно пробегают в функциональном пространстве все моды затухания (звездочка означает комплексное сопряжение). Оператор L описывает источники генерации и имеет

L = Rurot [V х •] + Rarot (а-).

Здесь точкой отмечено место, куда нужно подставить моду, на которую действует оператор.

При вычислении W,¡j мы выбрали параметры V = 1 — ехр(—г), а = г cos в. Для исследования устойчивости модели исследовались различные близкие распределения дифференциального вращения и а-эффекта. Результаты действительно оказываются устойчивыми и для краткости мы ограничиваемся лить основной моделью.

Если мы ограничиваемся первыми N = 5 модами затухания, то уравнения динамо имеют N = 5 собственных значений и соответствующих им собственных функций. При малых Да и Дщ эти решения затухают, т.е. их собственные значения имеют отрицательные действительные части. По мере роста Д„ и Ды появляются растущие моды с Де7 >0. Для упорядочения соответствующих результатов мы пользуемся тем, что при реалистических Да, которые всегда невелики, собственные значения определяются произведением £> = ЯаЯц, (т.н. ао>-динамо). Поэтому мы фиксируем Да = 0.5 (это значение представляется реалистическим) и меняем

Зафиксировав Яа, решая задачу на собственные функции и собственные значения, при каждом Д^ получим набор скоростей роста 7;, а также соответствующие им собственные векторы Сх, Сг, Сз, Сц и С&. Были построены зависимости действительной части 71 от динамо-числа Д^ и соответствующие широтно-временные диаграммы. При этом волна, описывающая распространение тороидального поля, оказалась стоячей.

Динамо в звездах с тонкой конвективной оболочкой в с случае линейной модели описывается так называемой системой Паркера:

Функции а и G, отвечают здесь за, соответственно, а—эффект и дифференциальное вращение. Используя кинематическую постановку, мы взяли а = cos в и G = 1. Совершенно аналогично вышеизложенному, метод мало-модового приближения был применен и в этом случае. Однако для динамо

(4)

dd dff2 '

(5)

Паркера, оказывается, достаточно взять не пять, как в случае полностью конвективных звезд, а три моды - две тороидальных и одну полоидальную, хотя Паркер предсказывал две - тороидальную и полоидальную. Волна, характеризующая тороидальное поле, оказалась бегущей.

Критическое динамо-число, при котором наступает генерация в полностью конвективной звезде (|0| и 4500), заметно выше, чем в классическом динамо Паркера (|Г>| « 290). При этом реальные динамо-числа, полученные из численных экспериментов для полностью конвективных звезд составляют порядка 3000-5000.

Во второй главе описывается применение маломодовой модели для магнитной активности звезд типа Т Тельца и сравнение результатов, полученных при помощи модели, и данных наблюдений, а также приведены результаты исследования поведения магнитной спиральности в модели динамо Паркера. В главе исследуется более подробно специфика динамо в полностью конвективных звездах и ее отличия от динамо звезд с тонкой конвективной оболочкой.

Конкретное действие динамо, основанного на а-эффекте и дифференциальном вращении, в звездах с тонкими конвективными оболочками и в полностью конвективных звездах заметно различны. Это связано, в частности, с различным строением спектра затухания в обоих случаях. Например, спектр затухания для классического динамо Паркера состоит из одних син-глетов, а спектр затухания в полностью конвективной звезде - из чередующихся синглетов и дублетов. Отметим, что классическое динамо Паркера не полностью описывает поведение магнитного поля даже в очень тонкой конвективной оболочке, поскольку не передает, например, возможной связи

полушарий за счет циркумэкваториальных магнитных петель.

Причина, по которой динамо в полностью конвективной звезде возбуждает стоячие волны, состоит в том, что широтная зависимость обеих мод Ti и Тз, входящих в схему генерации, пропорциональна sin 29, т.е. обе эти моды сосредоточены в одном и том же широтном диапазоне. Для классического динамо Паркера в схему генерации входят моды Ti и Тг, широтные зависимости которых различны: ~ sin 26 и ~ sin 49 соответственно, поэтому волна может распространяться от максимума одной моды к максимуму другой.

Чтобы более, наглядно продемонстрировать это различие, в схему динамо в полностью конвективной звезде была включена мода Ti с широтной зависимостью ~ 7 sin 49/(2 + sin 29) и полоидальные моды Рз и Р4 . Оказалось, что включение факультативной моды другой широтной зависимости делают динамо-волну бегущей на поздних фазах цикла активности. Отметим, что почти стоячие волны со слабой миграцией на поздних стадиях цикла активности были получены в численных расчетах динамо Паркера в звезде с толстой конвективной оболочкой.

Как уже отмечалось, динамо возбуждает магнитное поле, если динамо число D = в звезде превышает пороговое значение Dcr¡t, которое,

по нашим оценкам, для полностью конвективных звезд ~ 5000. В случае Солнца D ~ 103 — 105. Динамо-число D пропорционально произведению скорости осевого вращения на ее радиальный градиент. Первый множитель у звезд типа Т Тельца больше чем у Солнца примерно на порядок, однако второй совсем не известен, у молодых звезд величина дифференциального вращения дш/д9 гораздо меньше, чем у Солнца, однако отсюда

не следует, что столь же мал и радиальный градиент скорости вращения. Отсутствие информации о величине дш/дг не позволяет на данном этапе утверждать, что у звезд типа Т Тельца поле, действительно, генерируется динамо-механизмом. Оценка динамо-числа для молодых звезд по данным наблюдений и моделей гидродинамики, таким образом, является актуальной задачей.

Предлагаемый теоретический подход (маломодовое приближение) ггри всей своей относительной простоте предсказывает качественное отличие динамо цикла в полностью конвективных звездах и в звездах с тонкими конвективными оболочками. Во-первых, из расчетов следует, что в течении цикла пятна у этих двух типои звезд по разному будут распределяться по широте, а, во-вторых, модель предсказывает сильное ослабление пятнооб-разования у полностью конвективных звезд на определенных фазах цикла. Однако в количественном отношении к этим результатам следует относится с осторожностью уже потому, что неизвестно, насколько соответствуют реальности использованные нами зависимости У(г) и а(г, 9), описывающие дифференциальное вращение звезды и = ш(г,в).

Различие в работе динамо в полностью конвективных звездах и в звездах солнечного типа, по-видимому, связано с различным строением спектра затухания в рассматриваемых случаях. Весьма интересно было бы проследить, как меняется вид спектра затухания по мере увеличения размера лучистого ядра в звезде.

На основании анализа формы фазовых кривых в различные эпохи был сделан вывод , что вековые вариации блеска звезды обусловлены- перераспределением пятен по долготе. Это обстоятельство не позволяет сравнить

полученные результаты с предсказаниями нашей модели, в которой для простоты предполагалась симметрия по долготе, и исследовалась временная эволюция распределения пятен по широте, а эту информацию извлечь из фотометрических данных, к сожалению, невозможно.

В третьей главе была рассмотрена нелинейная модель динамо для звезд с тонкой конвективной оболочкой. В качестве основного уравнения вновь используется система (4) - (5), однако теперь автор использует простейшую нелинейную схему стабилизации роста магнитного поля, т.н. подавление спиральности. В рамках этой схемы считается, что а = ао{в)/(1-Ь £2В2) « ао(1 — £2В2), где а?о - значение спиральности в незамагииченной среде, а Во — - магнитное поле, при котором происходит существенное подавление альфа-эффекта. Для определенности считаем, что ао(д) = совв. В качестве граничных условий используем условия .А(О) = В(0) = А(тг) = В{7г) = 0. Здесь мы интересуемся решениями с дипольной симметрией. Здесь мы снова проектируем систему (4) - (5), которая является фактически системой уравнений в частных производных, на подпространство, представленное четырьмя модами свободного затухания, найденными в первой главе. В итоге можно прийти к системе вида

<1о.2 Д<

Ш ~ ~2

па

(6)

(7)

<1Ъ\ Вы

(ах -Заг) -4Ьи

(8)

£&2 _ ЗД^а2

¿Г ~ 2

- 16&2.

(9)

Здесь аь аз, Ьь - зависящие от времени коэффициенты, характеризующие полоидальные и тороидальные моды, соответственно. Линейные члены этой системы описывают процесс самовозбуждения, а нелинейные -его стабилизацию за счет нелинейного подавления спиральности. В систему в качестве управляющих параметров входят величины И,а и обезразме-ренные с помощью коэффициента турбулентной диффузии и геометрических параметров задачи и характеризующие амплитуду а-эффекта и дифференциального вращения,. Конечно, в более детализированных моделях солнечного динамо наряду с этими параметрами возникают параметры, характеризующие пространственное распределение источников генерации, а при выходе за рамки приближения Паркера - влияние разнообразных эффектов, опущенных в этом простейшем приближении.

Для того, чтобы получить из этой системы динамическую систему, основанную на трех модах, необходимо отбросить переменную а; и соответствующее ей дифференциальное уравнение.

Оказалось, что численное исследования системы (6)-(9) при различных значениях параметров Да и Яи дает большое многообразие результатов. Динамическая система (6)-(9) воспроизводит режимы генерации, напоминающие поведение магнитного поля в некоторых небесных телах. Так, были обнаружены следующие режимы: стационарные осцилляции, напоминающие солнечный цикл, динамо-всплески магнитного поля, наблюдаемые в лабораторных экспериментах, хаотические возмущения, напоминающие наблюдения циклической солнечной активности, васцилляции, наблюдающиеся в различных небесных телах.

Было проведено аналогичное изучение динамической системы, которая получается исключением переменной и оказалось, что ее поведение в целом гораздо беднее, чем поведение описанной системы. В частности, не было обнаружено режима васцилляций и хаотических режимов, хотя она имеет решения в виде периодических колебаний (и, конечно, затухающие решения).

Что касается тпиротно-временных диаграмм, то волны, описывающие распространение тороидального магнитного поля, являются бегущими. Это связано с тем, что тороидальные моды Ьх и Ъо, с помощью которых построена диаграмма, сдвинуты по фазе друг относительно друга так, что тороидальное поле в целом перемещается по широте. В тоже время волна, характеризующая распространение полоидального магнитного поля оказалась практически стоячей, то есть почти не распространяется в широтном направлении. Это объясняется тем, что одна из мод в полоидальном спектре является доминирующей (аг >> ах).

В заключении перечисляются основные результаты диссертации, сделаны выводы.

Основные результаты

Перечислим основные результаты данной диссертационной работы.

1. Предложен метод качественного исследования задач звездного динамо - маломодовое приближение. Метод апробирован на нескольких важных примерах из астрофизики: полностью конвективных звездах и звездах с тонкой конвективной оболочкой.

2. Установлено, что для генерации магнитного поля в полностью конвективных звезд достаточно взять пять мод свободного затухания.

3. Показано, что волна, характеризующая распространение тороидального магнитного поля в полностью конвективных звездах, почти стоячая, тогда как волна, характеризующая распространение полоидаль-ного магнитного поля, бегущая.

4. Обнаружено, что для генерации магнитного поля в звездах с тонкой конвективной оболочкой необходимо взять три моды свободного затухания, а не две, как было предсказано Паркером.

5. Продемонстрировано, что волна, характеризующая распространение тороидального магнитного поля в звездах с тонкой конвективной оболочкой, бегущая, тогда как волна, характеризующая распространение полоидального магнитного поля в звездах с тонкой конвективной оболочкой, почти стоячая.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Соколов Д. Д., Нефедов С.Н., Ермаш А.А., Ламзин С-А., Модель динамо с малым числом мод и характер магнитной активности звезд типа Т Тельца, Письма в астрономический журнал, №11, с.842 (а^гор!]-0806.0746), 2008.

2. Щу Хайчин, Гао Ю, Попова Е.П., Нефедов С.Н., Жанг Хуанчжи, Соколов Д.Д., Магнитная и токовая спиральности в простейших моделях солнечного динамо, Астрон. ж., 86, №2, с.182, 2009.

3. Соколов Д.Д., Нефедов С.Н., Маломодовое приближение в задаче звездного динамо, Вычислительные методы и программирование, №8, с.195, 2007.

4. Нефедов G.H., Соколов Д.Д., Нелинейная маломодовая модель динамо Паркера, Астрономический журнал, 87, №3, C-1, 2010.

5. Попова Е.П., Нефедов С.Н., Исследование поведения спиральности магнитных полей на Солнце в рамках модели динамо Паркера, Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия. №2, 2010.

6. Sokoloff D., Nefyodov S., Low-dimensional models of stellar and galactic dynamos, Cosmic Magnetic Fields: From Planets, to Stars and Galaxies, Proceedings of the International Astronomical Union, IAU Symp. №259, p.419-420, 2008.

7. Нефедов C.H., Соколов Д.Д., Динамо в полностью конвективных звездах, XI Пулковская международная конф. по физике Солнца Физическая природа солнечной активности и прогнозирование ее геофизических проявлений, ГАО РАН. Пулково., СПб, с.110. 2007.

8. Нефедов С.Н., Соколов Д-Д-, Динамо-волна в звездах с тонкой конвективной оболочкой, Математические методы и приложения, Тр. 16-ых матем. чтений РГСУ, РГСУ, М., с.209, 2007.

9. Нефедов С.Н., Соколов Д.Д., Нелинейная маломодовая модель динамо Паркера, Матем. методы и приложения, часть 2, Тр. 17 матем. чтений РГСУ, М, с.194, 2008.

Подписано к печати 1,4.08 40_

Тираж Щ Заказ 24

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Нефедов, Сергей Николаевич

Введение

1.1 Актуальность темы диссертации.

1.2 Понятийный аппарат и методы исследования.

1.3 Цели диссертации.

1.4 Научная новизна.

1.5 Теоретическая и практическая значимость.

1.6 Вклад автора.

1.7 Апробация работы.

1.8 Публикации.

1.9 Структура и объём диссертации.

1.10 Ключевые слова.

1.11 Краткое содержание диссертации.

1.12 Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1.13 Основные результаты.

2 Маломодовое приближение в задаче звездного динамо

2.1 Введение.

2.2 Динамо-волна в полностью конвективных звездах.

Постановка задачи.

Задача о свободно затухающих колебаниях.

Метод решения задачи.

2.3 Динамо Паркера.

2.4 Выводы.

3 Динамо-волна в полностью конвективных звездах

3.1 Введение.

3.2 Маломодовое приближение для звездного динамо.

3.3 Фотометрическая активность молодой звезды У410 Таи

3.4 Теория и наблюдения: что и как сравнивать?.

Введение диссертация по физике, на тему "Маломодовое приближение в задаче звездного динамо"

4.2 Маломодовая модель.90

4.3 Параметрическое пространство модели .97

4.4 Пространственная структура солнечного цикла.108

4.5 Выводы.109

Выводы и результаты 120

Введение

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Выводы и результаты

В заключении еще раз приведем основные результаты диссертационной работы.

Несмотря на некоторую простоту моделей метод действительно дает качественные результаты, соответствующие реальным астрономическим наблюдениям. Однако для более детального анализа теории и фотометрических данных необходимо использовать более совершенные модели динамо, учитывающие эффекты, обусловленные наклоном магнитной оси к оси вращения и др.явления.

3.5 Заключение и выводы

Расчеты генерации магнитного поля, выполненные нами в рамках мало-модового приближения, как и численные расчеты других авторов - см., например, (БоЫег et а1., 2006) - показывают, что динамо-механизм может эффективно работать в полностью конвективных звездах, порождая циклически меняющееся магнитного поле. Сделав "правдоподобные" предположения о характере дифференциального вращения звезды, мы нашли, что в полностью конвективных звездах динамо начинает работать, когда динамо-число И > 5 - 103, а также оценили период цикла.

В полностью конвективных звездах, как и в звездах типа Солнца, при работе динамо возбуждается не только полоидальная, но и тороидальная компонента магнитного поля Вф. Полагая, что зависимость Вф{9,£) отражает временную эволюцию широтного распределения пятен по поверхности звезды, мы попытались сопоставить нашу теорию с наблюдениями молодой звезды У410 Таи (тип \УТТ8). Большинство \¥ТТЗ имеют конвективную зону, простирающуюся от центра до поверхности, а их уровень активности не только многократно превосходит солнечную, но и качественно отличается от нее по ряду параметров.

Из наших расчетов также следует, что динамо цикл в полностью конвективных звездах и в звездах с тонкими конвективными оболочками должен качественно отличаться: во-первых, в течении цикла пятна у этих двух типов звезд по разному распределяются по широте, а, во-вторых, модель предсказывает сильное ослабление пятнообразования у полностью конвективных звезд на определенных фазах цикла. Различие в работе динамо в полностью конвективных звездах и в звездах солнечного типа, по-видимому, связано с различным строением спектра затухания в рассматриваемых случаях. Весьма интересно было бы проследить, как меняется вид спектра затухания по мере увеличения размера лучистого ядра в звезде.

Выполненный нами анализ исторической кривой блеска звезды V410 Таи, относящийся к типу WTTS, показал, что характер фотометрической активности звезды на временном интервале ~ 50 лет имеет гораздо более сложный характер, чем это следовало из изучения только фотоэлектрических данных за период менее 30 лет. Оказалось, что активность звезды не представляет собой ярко выраженный цикл с определенным периодом, наподобие солнечного. Скорее можно говорить о квазициклической активности с характерным временем 4 лет, на которую накладывается хаотическая компонента. Остается открытым вопрос о наличии у V410 Tau (квази)циклической компоненты активности с характерным временем порядка 11 лет.

На основании анализа формы фазовых кривых в различные эпохи мы пришли к выводу о том, что вековые вариации блеска звезды обусловлены перераспределением пятен по долготе. Это обстоятельство не позволяет сравнить полученные результаты с предсказаниями нашей модели, в которой для простоты предполагалась симметрия по долготе и исследовалась временная эволюция распределения пятен по широте, а эту информацию извлечь из фотометрических данных, к сожалению, невозможно.

Пока не известно, насколько характер активности V410 Таи является типичным для звезд типа Т Тельца без аккреционных дисков. Необходим анализ исторических кривых блеска как можно большего числа молодых звезд, а также организация программы систематического доплеровского картирования нескольких звезд типа WTTS на протяжении нескольких ближайших десятилетий.

Чтобы понять, насколько сильны различия между двумя видами динамо и насколько их можно связать с особенностями активности звезд типа \¥ТТБ, необходимо рассматривать модели динамо, учитывающие эффекты нелинейности, отклонения от осевой симметрии и, конечно же, основанные на адекватных законах дифференциального вращения изучаемых звезд, что планируется сделать в будущем. Достоинство предлагаемого нами подхода состоит в том, что его сравнительно просто обобщить так, чтобы все вышеуказанные факторы были приняты во внимание. Дальнейшее сопоставление выводов теории динамо для полностью конвективных звезд и данных астрономических наблюдений, безусловно, является перспективным направление исследований.

Для описания работы динамо в полностью конвективных звездах предлагается модель, в основе которой лежит представление магнитного поля в виде суперпозиции конечного числа полоидальных и тороидальных мод свободного затухания. В рамках принятого закона дифференциального вращения определена величина динамо-числа, при превышении которого в звездах без лучистого ядра возможен процесс генерации циклически меняющегося магнитного поля, и получено выражение для периода цикла. Показано, что динамо цикл в этих звездах и в звездах с тонкими конвективными оболочками должен качественно отличаться: во-первых, в течении цикла пятна у этих двух типов звезд по разному распределяются по широте, а, во-вторых, модель предсказывает сильное ослабление пятнообразования у полностью конвективных звезд на определенных фазах цикла.

Для сравнения теории с наблюдениями мы проанализировали историческую кривую блеска звезды У410 Таи, которая относится к типу звезд Т Тельца со слабыми линиями, и обнаружили, что ее активность не представляет собой ярко выраженный цикл с определенным периодом - скорее можно говорить о квазициклической активности с характерным временем ~ 4 лет, на которую накладывается хаотическая компонента. Мы также пришли к выводу о том, что вековые вариации блеска звезды обусловлены перераспределением пятен по долготе. Это обстоятельство не позволяет сравнить полученные результаты с предсказаниями нашей модели, в которой, для простоты, предполагалась симметрия по долготе и исследовалась временная эволюция распределения пятен по широте. В этой связи обсуждается вопрос о том, какие наблюдения и как сравнивать с предсказаниями теории динамо. о

• 0 - 0.1

0,1-0,2

Ф 0,2-0,3 ф 0,2. 0,5 о -Р.!-0

О -5,1—0.2

О -0,2 ■ чу

О ад -о-5 1

Рис. 3.1: Баттерфляй-диаграмма для тороидального магнитного поля и магнитной спи-ральности. Здесь сплошной линией проведено положительное поле , а пунктирной линией - отрицательное тороидальное поле. Черными кругами показана положительная магнитная спиральность, белыми - отрицательная.

Глава 4

Маломодовое приближение в задаче динамо Паркера

4.1 Ведение

Считается, что физическая природа солнечного цикла связана с работой механизма динамо, действующего в глубине конвективной зоны Солнца. Работа этого механизма основана на совместном действии дифференциального вращения и т.н. а-эффекта, связанного с нарушением зеркальной симметрии конвекции во вращающемся теле. По-видимому, этот механизм обуславливает эволюцию магнитного поля и в других небесных телах, включая Землю и галактики.

Математическое описание работы динамо приводит к громоздким системам дифференциальных уравнений в частных производных, решение которых в полной постановке сейчас возможно, однако не исчерпывает проблему. В самом деле, в эти уравнения в качестве коэффициентов входят величины, о деталях распределения которых по небесному телу можно только догадываться. Более того, прямое численное моделирование непосредственно не дает объяснения явлений, для получения которого теоретическая физика постоянно пользуется разнообразными упрощенными моделями явления.

Один из путей получения подобных упрощенных моделей, направленных на прояснение физики явления, состоит в следующем. Кажется вероятным, что возбуждаемое магнитное поле в каком-то смысле просто устроено и его можно описать сравнительного небольшим числом параметров, так что для его качественного описания уравнения динамо можно заменить подходящим образом подобранной динамической системой не очень высокого порядка. Впервые эта задача была сформулирована в (11игта1кт, 1981)(см. также Краузе Ф., Рэдлер, 1980), где предложено использовать следующую динамическую систему й А = ~А 4- аВВ - С В, (4.1)

Сои

В , ч - -аВ + а А, (4.2)

НС —иС + АВ. (4.3)

СЬи

Здесь А соответствует тороидальной компоненте магнитного потенциала и, следовательно, полоидальному магнитному полю, В - тороидальной компоненте магнитного поля, И - динамо-числу, а С - альфа-эффекту. Физический смысл коэффициента а требовал дополнительного прояснения. В таком виде маломодовая модель с помощью подходящих замен сводится к известным уравнениям аттрактора Лоренца, что дает надежду на объяснение хаотической составляющей солнечного цикла. Принятие уравнения (4.3) означает, что стабилизация работы динамо связывается с сохранением магнитной спиральности и с основанным на этом представлении динамическом уравнении для альфа-эффекта. С другой стороны, без уравнения (4.3) пара уравнения (4.1, 4.2) не может приводить к хаотическому поведению (это возможно лишь когда число уравнений не меньше 3). Таким образом, в рамках представлений цитированных работ хаотическое поведение динамо-системы связывалось с одним специальным (хотя и вероятным) механизмом насыщения работы динамо. Накопленный с тех пор опыт численного моделирования работы динамо в различных обстоятельствах показывает, что хаотические режимы работы динамо возникают и в ситуациях, совершенно не связанных с проблемой перераспределения магнитной спиральности. Это заставляет более внимательно отнестись к проблеме вывода маломодовой системы для работы динамо.

Из недавних работ по динамическим системам как моделям солнечного динамо отметим работы (Kitiashvili and Kosovichev, 2008, 2009), где подчеркивается важность использования таких моделей для задачи прогноза солнечной активности.

В данной работе мы предлагаем регулярный метод построения маломо-дового приближения уравнений динамо, причем основное внимание уделяется выводу аналогов уравнений (4.1, 4.2). Напротив, вывод аналога уравнения (4.3), в том случае, когда рассматривается схема динамической эволюции альфа-эффекта, специально не рассматривается в силу того, что эта часть вопроса не вызывает затруднения после появления работы (Ruzmaikin, 1981). Поэтому мы выводим уравнения маломодовой модели в простейшем приближении алгебраического подавления спиральности. При этом аналога уравнения (4.3) вообще не возникает.

Мы показываем, что получаемая таким образом нелинейная модель динамо оказывается достаточно богатой и дает надежду на описание широкого круга явлений генерации магнитного поля в сферических оболочках небесных тел (звезд и планет).

Результаты этой главы основаны на статье Нефедова и Соколова, 2010, Щу Хайчин и др., 2009, а также Нефедова и Соколова, 2008.

4.2 Маломодовая модель

При построении интересующей нас динамической системы мы руководствуемся естественным представлением о том, что магнитное поле, самовозбуждаемое механизмом динамо, в какой-то степени напоминает магнитное поле, наиболее медленно затухающее в данном теле без участия динамо.

Исходная система Паркера (Parker, 1955) имеет вид dA d2A

-Ж = R"aB + да' (4-4) dB . АА d2B = + (4.5)

Здесь А - векторный потенциал полоидального магнитного поля, а В тороидальное поле, Ra и Rw параметры, характеризующие интенсивность а-эффекта и диффиренциального вращения соответственно. Мы используем простейшую схему стабилизации роста магнитного поля, т.н. подавление спиральности. В рамках этой схемы считается, что а = а^{в)/(1 -\-^2В2) « Qio(l — £2В2), где ао - значение спиральности в незамагниченной среде, а Bq — - магнитное поле, при котором происходит существенное подавление альфа-эффекта. Для определенности считаем, что ао(в) = cos9. В качестве граничных условий используем условия .А(О) = В{0) = А(тг) = В(тг) — 0. Здесь мы интересуемся решениями с дипольной симметрией.

При традиционном объяснении работы динамо Паркера говорится о тороидальном магнитном поле, из которого за счет «-эффекта порождается полоидальное магнитное поле, из которого, в свою очередь, дифференциальное вращение производит полоидальное поле. Кажется естественным представлять себе оба эти поля как старшие моды затухания (собственные функции задачи о свободном затухании магнитного поля) в среде без а-эффекта и дифференциального вращения. В более общей форме кажется достаточным представлять себе возбуждаемое магнитное поле в виде линейной комбинации таких мод затухания (маломодовая модель).

На пути реализации этой идеи возникает ряд препятствий. Во-первых, оказывается, что многие моды затухания фактически не участвуют в работе динамо. Другими словами, многие конфигурации начального магнитного поля непригодны для возбуждения растущего магнитного поля. Попытка проследить, как именно они вымирают на фоне растущих решений бесполезно осложняет задачу. В работе (Соколов и др., 2008) на примере задачи о самовозбуждении магнитного поля в полностью конвективной звезде показано, как путем перебора очистить искомое описание от этих бесполезных мод и оставить только продуктивные моды. Мы пользуемся здесь этой рекомендацией. При этом приходится подсчитывать разнообразные матричные элементы от операторов, входящих в уравнения динамо, по модам затухания. Формулы необходимые для таких рутинных и громоздких подсчетов собраны в (Соколов и Нефедов, 2007).

Следующее осложнение специфично для задачи динамо в тонкой оболочке и преодолевается в данной работе. Оказывается, что в рамках линейной (кинематической) постановки для самовозбуждения магнитного поля в задаче Паркера достаточно трех мод (двух тороидальных мод Т\ и Т2 и второй полоидальной моды Р2), так что для самовозбуждения можно не привлекать первую полоидальную моду Р\. Подчеркнем, что если в рамках уравнений динамо Паркера последовательно ограничиться модами Р\ и как это фактически сделано в уравнениях (4.1, 4.2), то самовозбуждения магнитного поля не происходит.

Отсутствие среди мод, необходимых для самовозбуждения, моды Рх, с которой связан дипольный магнитный момент самовозбуждаемого магнитного поля, кажется неожиданным, поскольку переменность магнитного момента Солнца входит в представление о солнечном цикле. На самом деле проблема последовательного описания эволюции магнитного момента встречает трудности в теории динамо. Дело в том, что для тела, окруженного вакуумом, магнитный момент пропорционален интегралу от магнитного поля, взятого по всему пространству. В то же время этот интеграл в силу соленоидальности магнитного поля является сохраняющейся величиной (см. подробнее БоЫег, 2006). Это означает, что динамо может генерировать магнитное поле, антисимметричное относительно солнечного экватора, но без дипольного момента, т.е. симметрии более высокого типа, чем диполь-ная. Эта возможность и реализуется, если не включать в динамическую систему моду Р\. Более интересная возможность состоит в том, что в систему мод включается мода Р\, а выполнение упомянутого закона сохранения связывается с деталями эволюции магнитного поля вне слоя, в котором сосредоточена работа динамо (это очень правдоподобное, но трудно доказуемое предположение неявно присутствует практически во всех моделях солнечного динамо).

Мы убедились в том, что включение моды Р\ в набор мод, с помощью которых описывается искомое магнитное поле, существенно понижает порог генерации магнитного поля и делает его эволюцию в зависимости от набора определяющих ее параметров гораздо более разнообразной. Поэтому ниже мы приводим основные результаты для модели, основанной на четырех модах, а результаты, связанные с моделью, основанной на трех модах, рассматриваем как вспомогательные.

Представим теперь приближенно решение уравнений (4.4, 4.5) в виде линейной комбинации четырех упомянутых мод с зависящими от времени коэффициентами а^ а2, 62. Пользуясь ортогональностью рассматриваемых мод затухания, спроектируем уравнения (4.4, 4.5) на подпространство, натянутое на эти моды. В результате получим следующую динамическую систему = - аг - - 6Ь1й1а2 + 2М? + (4.6)

Ъ2а{ + 662а,а2 + Шца'г + + 2б1)], ^ = ^(Ьг + Ь2) - 9а2 - М + ^2а,а2 (4.7)

36,а| + 3 Ъ2а\ + Ь2а\ + (61 + Ь',)(Ь\ + Ъф2 + 62)], = ^(«1 - За2) - 4&1, (4.8)

Ъ = ^ 166г. (4.9)

Линейные члены этой системы описывают процесс самовозбуждения, а нелинейные - его стабилизацию за счет нелинейного подавления спиральности. В систему в качестве управляющих параметров входят величины Ra и До;, обезразмеренные с помощью коэффициента турбулентной диффузии и геометрических параметров задачи и характеризующие амплитуду «-эффекта и дифференциального вращения. Конечно, в более детализированных моделях солнечного динамо наряду с этими параметрами возникают параметры, характеризующие пространственное распределение источников генерации, а при выходе за рамки приближения Паркера - влияние разнообразных эффектов, опущенных в этом простейшем приближении.

Для того, чтобы получить из этой (и последующих) систем динамическую систему, основанную на трех модах, необходимо отбросить переменную ai и соответствующее ей дифференциальное уравнение.

В уравнениях (4.6-4.9) мы уже пренебрегли тем, как альфа-эффект производит полоидальное поле из тороидального, поскольку дифференциальное вращение справляется с этим гораздо лучше (т.н. аи;-динамо). Тороидальное поле в нашем приближении всегда гораздо сильнее полоидально-го, поэтому мы удаляем из нашей системы те нелинейные члены, в которые входят полоидальные моды. В итоге получаем следующую редуцированную динамическую систему: dai Rabí , оь2\ (л 1М = —--ai - f —— (&! + 262), (4.10) da2 Ra,u . , x n c23Ra(bl + 62) /,2 , Т и , u2\ (ллл\ = — (bi + b2) -9a2 - £ ---(&! + 6162 + b2)i (4.11) = ^(ai3fl2)-461> (4.12) db2 3 R^a2 --16b2" (413)

Мы проверили, что решения систем (ге1:ос1е1-4.9) и (reforel.-4.13) практически не отличаются друг от друга при разумном выборе управляющих параметров Я.а и (см. рис. 4.1).

Чтобы учесть диссипативные потери, мы добавили в уравнения член отвечающий за магнитную диффузию: = (4.14) = Щ-{Ьг + 62) - 8а2 - + ^ + ^ (4Л5) =%(а1-За2)-ЗЬь (4.16)

Й 2 вЬ2 ЗКша2

- 15Ь2. (4-17) ей 2

В данной работе мы изучаем эволюцию магнитного поля преимущественно дипольной симметрии (антисимметричное относительно солнечного экватора). При этом мы допускаем возникновение небольшой составляющей с квадрупольной симметрией (симметричной относительно солнечного экватора), однако мы для определенности считаем, что рассматриваемая дипамо-система не возбуждает магнитной конфигурации с квадрупольной симметрией. Поэтому мы добавляем к системе (4.10-4.13) две первые моды квадрупольной симметрии (одну тороидальную моду q и одну полоидаль-ную моду р), в результате чего получаем систему

Подчеркнем, что мы даем самое обобщенное описание режимов, встречающихся при исследовании нашей динамической системы и опускаем многие интересные подробности, которые могут оказаться полезными при построении моделей динамо в конкретных небесных телах.

Мы провели аналогичное изучение динамической системы, которая получается исключением переменной а\ и выяснили, что ее поведение в целом гораздо беднее, чем поведение описанной системы. В частности, мы не обнаружили в ней режима васцилляций и хаотических режимов, хотя она имеет решения в виде периодических колебаний (и, конечно, затухающие решения).

Также мы численно исследовали задачу (4.1 - 4.3) и получили, что ее поведение также существенно беднее системы (4.10-4.13). При достаточно широком изменении параметра мы получили лишь два режима - хаотические колебания (см. рис.4.12) и выход на стационар (см. рис. 4.13)

1 = ДсА/2 - сц - Яа/8((6Ь1 - 3Ъ2)я2 + 3Ъ\ + 6М2), (4.18) р = Иая/2 -Ар- Яа/8(?(2д2 + 9 Ъ\ + 6 Ь|)), (4.19) а2 = Да(&! + Ь2)/2 - 9а2 - Да/8(3(Ь1 + ^Х?2 + Ъ\ + Ь\ + 6162)), (4.20) я = -Яшр - Я, (4.21) к = Д^х - За2)/2 - 4Ъъ (4.22)

Ъ2 = ЯшЗа2/2 - 1662- (4-23)

Далее мы сравним результаты, полученные для обыкновенной динамической системы (4.10-4.13), системы с диффузией (4.14-4.17) и системы, в которой присутствуют квадрупольные моды: (4.18-4.21). О соотношении решений с дипольной и квадрупольной симметриями см. подробнее (ЛоЬпб-КгаИ ^ а1., 2004).

4.3 Параметрическое пространство модели

Путем численного решения системы (4.6-4.9) с различными управляющими параметрами и начальными условиями мы убедились, что эта динамическая система воспроизводит режимы генерации, напоминающие поведение магнитного поля в некоторых небесных телах. Характерные примеры такого поведения показаны на рис. 4.2-4.5. Для более наглядной визуализации на некоторых рисунках пропущен начальный период роста магнитного поля и показаны уже установившиеся режимы. На рис. 4.2 показано решение, имеющее в нелинейном режиме вид стационарных осцилляций.Этот тип поведения динамо-системы напоминает солнечный цикл. На этом и последующих рисунках в качестве единицы времени выбрано время переноса магнитного поля поперек тонкой оболочки за счет конвективной диффузии. Перевод его в годы требует отдельного обсуждения и здесь не рассматривается.

На рис. 4.3 показан пример циклического поведения магнитного поля с хаотическими возмущениями. Подобное поведение также известно из наблюдений циклической солнечной активности, поскольку амплитуда солнечного цикла меняется от цикла к циклу, причем кажется, что эти изменения по крайней мере до некоторой степени случайны. В рамках данной работы мы не уточняем, как именно мы формализуем соответствующее понятие случайности, а ограничиваемся описанием зрительного впечатления от полученного временного поведения. При этом мы должны учитывать тот факт, что длинные временные ряды, выбранные даже из простейших периодических зависимостей, могут казаться хаотическими если период, с которым выбран временной ряд, неудачно согласован с истинным периодом системы. Путем измельчения шага, с которым из решения выбираются точки для построения рисунка, мы убедились, что в данном случае мы имеем дело с нерегулярным поведением, похожим на хаотическое, а не с артефактом изображения.

Периодическое решение, возникающее в нашей системе, может быть очень далеко от синусоидального и выглядеть как набор всплесков магнитного поля (рис. 4.4). Аналогичная картина всплесков присутствует и для динамической системы с квадрупольными модами (рис. 4.5). Возможность подобного поведения магнитного поля некоторых звезд обсуждается в (ВаНипав et а1., 2006).

Итак, мы заключаем, что паша динамическая система в состоянии воспроизвести феномен циклической активности, включая по крайней мере некоторые хаотические элементы этого режима. Другими словами, само по себе хаотическое поведение солнечного цикла не требует привлечения представлений о динамике магнитной спиральности. В этом существенное отличие нашей динамической системы от системы (4.1 - 4.3). В свою очередь, это отличие связано с тем, что наша система включает эволюцию четырех, а не двух мод, как система (4.1 - 4.3). В то же время, хаотическое поведение в решениях нашей системы, подобно хаотическим решениям других простых динамо-моделей, опирающихся на алгебраические схемы подавления спиральности, гораздо беднее (ивовкт et а1., 2009) поведения реальной солнечной активности, включающей такие характерные явления, как минимум Маундера. Конечно, включение уравнения, аналогичного уравнению (4.2) и описывающего сохранение магнитной спиральности, вполне может сделать решения системы более реалистическими. Другим путем для этого является учет флуктуаций а-эффекта (Шозкш а1., 2009).

Как известно, модели динамо в сферической оболочке используются не только для объяснения солнечного цикла, но и для объяснения происхождения геомагнитного поля. В последнем случае считается, что возбуждаемой магнитное поле не осциллирует подобно синусу, а имеет ненулевое среднее по времени значение (такие колебания в англоязычной литературе принято называть васцилляциями (Barenghi, 2009)). Очевидно, что васцилляции невозможны в линейной (кинематической) теории динамо, а являются существенно нелинейным режимом. Замечательно,' что в определенной области параметрического пространства наша модель демонстрирует поведение в виде васцилляций (рис. 4.6). На рис. 4.7 мы демонстрируем режим вас-цилляций при одинаковых управляющих параметрах для разных динамических систем. При больших динамо-числах мы снова имеем васцилляции несколько другой структуры (см. 4.8).

В целом мы заключаем, что построенная динамическая система в состоянии качественно передавать временное поведение реальных динамо-систем различных небесных тел. На синоптической карте пространства параметров (рис. 4.9) мы показываем расположение областей в пространстве параметров, отвечающих различным режимам эволюции магнитного поля: васцилляциям, характерным для геомагнитного динамо, хаотическим колебаниям, характерным для Солнца, динамо-всплескам и другим режимам. Аналогичные синоптические карты мы построили для системы с диффузией (рис. 4.10) и системы с квадрупольными модами (рис. 4.11).

Рис. 4.1: Решения динамо систем. Сплошной линией показана решение системы (4.6-4.9), штрихованной - системы (4.10-4.12).

Рис. 4.2: Режим устойчивых осцилляций. Показана временная эволюция коэффициентов Ьх (сплошная линия), и &2 (прерывистая линия) которые определяет тороидальное поле. Остальные коэффициенты существенно меньше этих коэффициентов. I

Рис. 4.3: Режим колебаний с хаотической составляющей. Показано временное поведение одной из тороидальных мод.Обозначения как на рис.2.

Рис. 4.4: Режим динамо-всплесков. Обозначения как на рис.2.

Рис. 4.5: Режим всплесков для системы с квадрупольными модами. Сплошной линией указаны квадрупольные тороидальные моды, штрихованной - дипольные квадруполь-ные.

Рис. 4.6: Режим васцилляций. Обозначения как на рис. 4.2. I

Рис. 4.7: Режим васцилляций при одинаковых управляющих параметрах для разных динамических систем. Сплошной линией обозначена лидирующая тороидальная мода для системы (4.10-4.12), штрихованной линией - для системы с квадрупольными модами, пунктирной - для системы с диффузией.

Рис. 4.8: Режим васцилляций при = 0.625 и В^ = 1300. Обозначения как на рис.2.

4.4 Пространственная структура солнечного цикла

Несмотря на то, что в уравнениях нашей динамической системы в качестве переменной присутствует только время, мы можем восстановить пространственное строение возбуждаемого магнитного поля поскольку пространственное строение мод затухания известно. На рис. 4.14 показана широтно-временная диаграмма (баттерфляй-диаграмма) для тороидального магнитного поля полученная для режима с установившимися осцил-ляциями в случае четырехмодовой модели. На карте видно, что области повышенной напряженности тороидального поля распространяются в направлении от средних широт к экватору. В рамках данной модели мы не занимаемся вопросом о том, как подогнать длительность цикла и размеры области, которые занимает диаграмма, к реальности, поэтому время на диаграмме показано в единицах диффузионного времени (а не в годах). С точки зрения рассматриваемой модели распространение волны активности от средних широт к экватору связано с тем, что тороидальные моды Т\ и Т2, с помощью которых построена модель, имеют различное пространственное строение, а коэффициенты Ь\ и 62, с помощью которых построена диаграмма, сдвинуты по фазе друг относительно друга так, что тороидальное поле в целом перемещается по широте.Для трехмодовой модели,аналогичная широтно-временную диаграмма показана на рис. 4.15, при этом видно, что при добавлении четвертой моды скорость распространения волны существенно увеличилась. Это соотносится с нашим результатом, согласно которому порог генерации для четырехмодовой модели существенно ниже.

Мы можем построить широтно-временную диаграмму и для полоидального магнитного поля, точнее, для величины А, которая соответствует ему в динамо Паркера. Для нашей четырехмодовой модели такая диаграмма показана на рис. 4.16. Видно, что соответствующая волна активности почти не распространяется в широтном направлении, а является стоячей. Это связано с тем, что амплитуда одной из полоидальных мод намного больше амплитуды другой моды. Широтио-временные диаграммы для полоидаль-ного магнитного поля (в той степени, в какой степени его трасером можно считать крупномасштабное магнитное поле на поверхности Солнца) обсуждаются в (ОЬпс1ко et а1., 2006). Эти диаграммы действительно похожи на стоячие волны. Возможно, что различие широтно-временных диаграмм для тороидального и нолоидального магнитных полей действительно связано со свойствами рассматриваемой маломодовой модели. Для трехмодовой модели, аналогичная широтно-временную диаграмма показана на рис. 4.17. Здесь мы видим, что волна будет фактически стоячей, к тому же вместо одного нуля по экватору, волна будет иметь три нулевые линии, это связано с тем, что в трехмодовой модели, векторный потенциал, характеризующий распространение полоидального поля пропорционален втЗв и имеет три минимума на отрезке (7г, —7г), в случае же четырехмодовой модели, он пропорционален с\ бш^ + С2 втЗв и имеет один минимум.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Нефедов, Сергей Николаевич, Москва

1. Галицкий В.М., Соколов Д. Д., Кузаияп К. М., Динамо-волна вблизи солнечного экватора, Астрон. журнал, 82, 378, 2005.

2. Зельдович Я.Б., Рузмайкии A.A., Соколов ДД.-, Магнитные поля в астрофизике, М.-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2006.

3. Краузе Ф., Рэдлер К.-Х., Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо. М.:Мир, 1980.

4. Моффат Г.К., Возбуждение магнитного поля в проводящей среде. М.:Мир, 1980.

5. Нефедов С.Н., Соколов Д.Д., Нелинейная маломодовая модель динамо Паркера, Астрономический журнал, 87, N3, 1, 2010.

6. Нефедов С.Н., Соколов ДД., Динамо в полностью конвективных звездах, XI Пулковская международная конф. по физике Солнца: "Физическая природа солнечной активности и прогнозирование ее геофизических проявлений ГАО РАН, Пулково, СПб, 110, 2007.

7. Нефедов С.Н., Соколов Д.Д., Динамо-волна в звездах с тонкой конвективной оболочкой, Математические методы и приложения, Тр. 16-ых матем. чтений РГСУ, М., 209, 2007.

8. Нефедов С.Н., Соколов ДД., Нелинейная маломодовая модель динамо Паркера, Матем. методы и приложения, часть 2, Тр. 17 матем. чтений РГСУ, М, 194, 2008.

9. Паркер E.H., Космические магнитные поля. М.:Мир, 1982.

10. Попова Е.П., Нефедов С.Н., Исследование поведения спиралыюсти магнитных полей на Солнце в рамках модели динамо Паркера, Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 2, 2010.

11. Соколов Д.Д., Разрывные распределения коэффициентов переноса в электродинамике средних полей, Вестник Московского ун-та, сер. Физ. Астрон. N 5, 3, 1997.

12. Соколов Д.Д., Нефедов С.Н., Ермаш A.A., Ламзин С.А., Модель динамо с малым числом мод и характер магнитной активности звезд типа Т Тельца, Письма в астрономический журнал, №11, 842 (astroph-0806.0746), 2008.

13. Соколов Д.Д., Нефедов С.Н., Маломодовое приближение в задаче звездного динамо, Вычислительные методы и программирование, 8, 195, 2007.

14. Соколов Д.Д. , Фьок М. , Нем-Риб Э. Асимптотические свойства динамо-волны, Магнитная гидродинамика, 31, 18, 1995.

15. Смирнов Д. А., Романова М. М., Ламзин С.А. Анализ результатов измерений магнитного поля Т Tau, Письма в Астр, журнал, 31, 335, 2005.

16. Щу Хайчин, Гао Ю, Попова Е.П., Нефедов С.Н., Жанг Хуанчжи, Соколов Д.Д., Магнитная и токовая спиральности в простейших моделях солнечного динамо, Астрономический журнал, 86, N2, 182, 2009.

17. Baliunas S., Prick P., Moss D., Popova E., Sokoloff D., Soon W., Anharmonic and standing dynamo waves: theory and observation of stellar magneticactivity, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 365,181, 2006.

18. Barenghi C.F., Jones C.A., Soward A.M., Fearn D.R., M.R.E.Proctor, Nonlinear alpha-omega dynamos in a spherical shell, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 60, 357, 1991.

19. Berdyugina S.V., Moss D., Sokoloff D., Usoskin I.G., Active longitudes, nonaxisymmetric dynamos and phase mixing, Astron. Astrophys., 445, 703, 2006.

20. Bertout C., Claude, T Tauri stars Wild as dust, Ann. Rev. Astron. Astrophys., 27, 351, 1989.

21. Bouvier JAlencar S.H.P., Harris T.J. et ai, Magnetospheric Accretion in Classical T Tauri Stars, Protostars & Planets V, Reipurth B., Jewitt D., Keil K. (eds.), Univ. Arizona Press, Tucson, USA, p.479, 2007.

22. VAntona F., Mazzitelli /., New pre-main-sequence tracks for M less than or equal to 2.5 solar mass as tests of opacities and convection model, Astroph. J. Suppl., 90, 467, 1994.

23. Dobler W., Stix M., Brandenburg, A., Magnetic field generation in fully convective spheres, Astrophys. J., 38, 336-347, 2006.

24. Donati J.-F., Jardine M.M., Gregory S.G. et alMagnetic fields and accretion flows on the classical T Tauri star V2129 Oph, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. 380, 1297, 2007.

25. Donati J.-F., Jardine M.M., Gregory S. G. et al, Magnetospheric accretion on the T Tauri star BP Tauri, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. in press, 386,1234, 2008.

26. Dudorov, A. EFossil magnetic field of T Tauri-type stars, stronomicheskij Zhurnal, 72, 884, 1995.

27. Elias J.H., A study of the Taurus dark cloud complex, Astrophys.J. 224, 857, 1978.

28. Feigelson E., Townsley L., Giidel M., Stassun K., Protostars Sz Planets V, Eds. B.Reipurth, D.Jewitt, K.Keil, University of Arizona Space Sciense Series, 951, 313, 2007.

29. Fernandez M., Stelzer B., Henden A., Grankin K. et al,The weak-line T Tauri star V410 Tau. II. A flaring star, Astron. Astrophys. 427, 263, 2004.

30. Frick P., Baliunas S.L., Galyagin DSokoloff D., Soon W.,Wavelet Analysis of Stellar Chromospheric Activity Variations, Astrophys.J. 483, 426, 1997.

31. Frick P., Galyagin D.} Hoyt D. V., Nesme-Ribes E., Schatten K.H., Sokoloff D., Zakharov V., Wavelet analysis of solar activity recorded by sunspot groups, Astron. Astrophys. 328, 670, 1997.

32. Frick P., Stepanov R., Shukurov A. and Sokoloff DStructures in the rotation measure sky, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 325, 649, 2001.

33. Ghez A.M., White R.J., Simon M., High Spatial Resolution Imaging of Pre-Main-Sequence Binary Stars: Resolving the Relationship between Disks and Close Companions, Astrophys. J., 490, 353, 1997.

34. Grankin K.N., Bouvier J., Herbst W., Melnikov S. Yu., UBVR light curves of weak-line T Tauri stars, arXiv0801.3543, 2008.

35. Hatzes A.P., Doppler Imaging of the Cool SPOT Distribution on the Weak T Tauri Star V410 Tauri, Astrophys.J. 451, 784, 1995.

36. Herbst W., Spots on the weak T Tauri star V410 Tau The sun at one million years, Astron.J. 98, 2268, 1989.

37. Herbst W., Herbst D.K., Grossman E.J., Weinstein D., Catalogue of UBVRI photometry of T Tauri stars and analysis of the causes of their variability, Astron.J. 108, 1906, 1994.

38. Herbst W., Eisloffel J., Mundt R., Scholz A., The Rotation of Young Low-Mass Stars and Brown Dwarfs Protostars & Planets V, Eds. B.Reipurth, D.Jewitt, K.Keil, University of Arizona Space Sciense Series, 951, 297, 2005.

39. Herbst WDhital S., Francis A., Li Wei Lin, Tresser N., Williams E Evidence for Differential Rotation on a T Tauri Star, Publ. Astron. Soc. Pacific 118, 828, 2006.

40. Jennings R.L., Symmetry breaking in a nonlinear aw-dynamo, Geophys. Astrophys. Fluid Dynam., 57, 147, 1991.

41. Jennings R.L., Weiss N.O., Symmetry breaking in stellar dynamos, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. in press, 252, 249, 1991.

42. Johns-Krull C.A., Volenti J.A.; Saar, S.H., Testing the Reality of Strong Magnetic Fields on T Tauri Stars: The Naked T Tauri Star Hubble 4,

43. Astrophys.J. 617, 1204, 2004.

44. Joncour I., Bertout C., Bouvier J., Doppler imaging of the T Tauri star HDE 283572, Astron. Astrophys. 291, L19, 1994.

45. Joncour I., Bertout C., Menard F., Doppler imaging of the T Tauri star V410 Tau, Astron. Astrophys. 285, L25, 1994.

46. Johns-Krull C.A., Valenti J.A.; Saar, S.H., Testing the Reality of Strong Magnetic Fields on T Tauri Stars: The Naked T Tauri Star Hubble 4, Astrophys.J. 617, 1204, 2004.

47. Katsova M.M., Livshits M.A., Soon W., Baliunas S.L., Sokoloff D.D., Differential rotation of some HK-Project stars and the butterfly diagrams, New Astronomy, 5, 274, 2010.

48. Kitiashvili I., Kosovichev A.G., Astrophys. J., 688, Application of Data Assimilation Method for Predicting Solar Cycles, L49, 2008.

49. Kitiashvili I., Kosovichev A.G., Nonlinear dynamical modeling of solar cycles using dynamo formulation with turbulent magnetic helicity, Geophys. Astrophys. Fluid Dyn., 103, 53, 2009.

50. Kuzanyan K, Sokoloff D., Half-Width of a Solar Dynamo Wave in PARKER'S Migratory Dynamo, Solar Physics 173, 1, 1997.

51. Mosidze, L. N., Three-colour photographic photometry of the variable star BD +28 637, Abastumanskaya Astrofiz. Obs. Byull., 39, 21, 1970.

52. Moss D., Saar S.H., Sokoloff D., What can we hope to know about the symmetry properties of stellar magnetic fields?, Monthly Notices of the

53. Royal Astronomical Society, 38, 416, 2008.

54. Moss D., Sokoloff D., Kuzanyan K., Petrov A., Stellar dynamo waves: asymptotic configurations, Geophys. Astrophys. Fluid Dynam., 98, 257, 2004.

55. Obridko V.N., Sokoloff D.D., Kuzanyan, K.M. Shelting B.D., Zakharov V.G., Solar cycle according to mean magnetic field data, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. in press, 365, 827, 2006.

56. Parker E.N. Hydromagnetic dynamo models, Astrophys. J., 122, 293,1955.

57. Radler K.-H., Wiedemann E. Numerical experiments with a simple nonlinear mean-field dynamo model, Geophys. Astrophys. Fluid. Dyn., 49, 71, 1989.

58. Rice J.B., Strassmeier K.G., Doppler imaging of stellar surface structure. II. The weak-lined T Tauri star V410 Tauri, Astron. Astrophys. 316, 164, 1996.

59. Ruzmaikin A.A., The solar cycle as a strange attractor, Comm. Astrophys. 9, 85, 1981.

60. Rydgren, A. E.; Vrba, F. J., Additional UBVRI and JHKL photometry of T Tauri stars in the Taurus region, Astronomical Journal (ISSN 00046256), 88, 1017, 1983.

61. Scholz A., Coffey J., Brandeker A., Jayawardhana R.,Rotation and Activity of Pre-Main-Sequence Stars, Astroph. J. 662, 1254, 2007.

62. Sokoloff D., Nefyodov S., Low-dimensional models of stellar and galactic dynamos, Cosmic Magnetic Fields: From Planets, to Stars and Galaxies, Proceedings of the International Astronomical Union, IAU Symp. 259, 419420, 2008.

63. Strassmeier K.G., Welty A.D., Rice J.B., A Doppler image of the weak T Tauri star V410 Tau, Astron. Astrophys. L17, 285, 1994.

64. Tworkowski A., Tavakol R., Brandenburg, A., Brooke J.M., Moss D., Tuominen /., Intermittent Behaviour in Axisymmetric Mean-Field Dynamo Models in Spherical Shells, Mon. Not. Roy. Astron. Soc. in press, 296, 287, 1998.

65. Usoskin I.G., Sokoloff D., Moss D., Grand Minima of Solar Activity and the Mean-Field Dynamo, Solar Physics, 254, 345, 2009.

66. Vasil'eva A., Nikitin A., Petrov A., Stability of contrasting solutions of nonlinear hydromagnetic dynamo equations and magnetic fields reversals in galaxies, Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics, 78, 261, 1994.

67. White R.J., A. M. Ghez A.M., Observational Constraints on the Formation and Evolution of Binary Stars, Astrophys. J., 556, 295, 2001.

68. Youn KU Jung, Y.-C. Ki, Fast and accurate wavefront sensing algorithm of Shack-Hartmann sensor for adaptive optics, J. Astron. Space Sei. 25, 1, 2007.