Нелинейность траекторий Редже и дифракция адронов при высоких энергиях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

I Н ЕР

И

ф ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАУЧНЫЙ ЦЕНТР РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

В ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЙ

э

11

На правах рукописи 2008-16

Годизов Антон Александрович

нелинейность траектории редже и дифракция адронов при высоких энергиях

01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математическш

Протвино 2008

003451316

М-24

УДК 539.1.01

Работа выполнена в Институте физики высоких энергий (г.Протвино).

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор В.А. Петров.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук О.В. Селюгин (ОИЯИ, г. Дубна), кандидат физико-математических наук В.В. Ежела (ГНЦ ИФВЭ, г. Протвино).

Ведущая организация - НИИЯФ МГУ (г. Москва).

Защита диссертации состоится "_"_ 2008 г.

в_часов на заседании диссертационного совета Д 201.004.01

при Институте физики высоких энергий по адресу: 142281, Протвино Московской обл.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФВЭ.

Автореферат разослан "_" _ 2008 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 201.004.01 Ю.Г. Рябов

© Государственный научный центр Российской Федерации Институт физики высоких энергий, 2008

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. В настоящее время считается установленным, что квантовая хромодинамика (КХД) является фундаментальной теорией сильного взаимодействия. Однако ее непосредственное применение к расчету физических характеристик многих интересных как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения процессов рассеяния до сих пор затруднено. Это связано с тем фактом, что единственным известным общим методом вычисления физических величин в рамках КХД является метод теории возмущений. Но область применимости этого (как и любого другого) метода является ограниченной, и так уж сложилось, что подавляющее большинство практически важных реакций элементарных частиц, происходящих по каналу сильного взаимодействия, выпадает за пределы этой области. В частности, расчет амплитуды рассеяния аже для такого простого процесса, как упругая дифракция (рассе-• ние на малые углы) адронов, невозможен в рамках пертурбативной

Тем не менее, для описания дифракционных процессов при ысоких энергиях существует весьма действенный теоретико. еноменологический подход к вычислению сечений рассеяния — ме-од аналитического продолжения по угловому моменту или метод

ХД.

полюсов Редже. Однако сам по себе подход Редже является универсальным, т.е. никак не связанным ни с КХД, ни с какой-либо другой квантовополевой моделью, что выливается в его неполноту — амплитуда рассеяния в подходе Редже содержит в себе неизвестные аналитические функции одной переменной (траектории Редже и реджевские вычеты), форма которых зависит от конкретного типа фундаментального взаимодействия и должна определяться путем решения соответствующих квантовополевых уравнений для динамических величин (типа Бете-Солпитера и т. п.).

Исследуемая в данной работе проблема поведения траекторий Редже в области дифракционного рассеяния является частью более общей теоретической задачи, которая состоит в выработке единого подхода к вычислению динамических величин дифракционных процессов на основе синтеза имеющихся методов теоретического расчета (в нашем случае, реджевской теории и пертурбативной КХД). Именно функциональная форма траекторий Редже при небольших отрицательных значениях аргумента определяет энергетическую эволюцию дифракционной картины процессов рассеяния, которая, в свою очередь, содержит важную информацию о размерах и геометрической форме области дифракционного взаимодействия.

Цель диссертационной работы — теоретическое исследование поведения лидирующих траекторий Редже в дифракционной области и верификация получаемых результатов на описании различных процессов дифракционного рассеяния.

Исследование было разделено на несколько этапов:

• Построение физической картины, учитывающей основные особенности поведения траекторий Редже, на основании теоретической (КХД) и феноменологической (адронная спектроскопия и данные по дифракционному рассеянию адронов) информации, имеющей отношение к данной проблеме.

• Построение простой модели, использующей вышеупомянутую физическую картину, для описания угловых распределений различных процессов дифракционного рассеяния.

о Верификация построенной модели через описание существующих экспериментальных данных по различным реакциям дифракционного рассеяния.

в Предсказания сечений протон-протонного рассеяния при энергиях коллайдеров RHIC и LHC.

Научная новизна работы заключается в обнаружении принципиального расхождения между традиционной точкой зрения на поведение траекторий Редже в области рассеяния, основывающейся только на данных адронной спектроскопии и требующей их приближенной линейности в дифракционной области, и непосредственными следствиями явного учета поведения этих траекторий в области применимости пертурбативных методов КХД. А именно, одновременный учет данных реджевской феноменологии и асимптотического поведения траекторий Редже КХД в пертурбативной области вместе с некоторыми общими соображениями неизбежно приводит к осознанию их (траекторий) нелинейности в области дифракционного рассеяния, причем данный эффект носит настолько существенный характер, что им нельзя пренебрегать при описании дифракционного рассеяния.

Практическая ценность полученных результатов состоит в простоте и универсальности применяемой редже-эйкональной модели с нелинейными траекториями Редже, т.е. предоставляемой этой моделью возможности не только описывать имеющийся массив экспериментальных данных, но и делать предсказания для будущих экспериментов по исследованию физических характеристик самых разных дифракционных процессов.

Апробация работы и публикации. Апробация диссертации прошла в ГНЦ ИФВЭ 26 июня 2008 г.

Основные результаты, представленные в диссертации, опубликованы в журналах "Физика элементарных частиц и атомного ядра", "Journal of High Energy Physics", "Ядерная физика", "Physical Review", докладывались на научных семинарах ГНЦ ИФВЭ и на научной сессии-конференции секции ЯФ ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий" (26-30 ноября 2007 г., ИТЭФ, Москва).

Структура и объем диссертации. Работа изложена на 89 страницах печатного текста, состоит из введения, четырех глав, заключения и приложения, содержит список литературы, включающий более 120 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность темы исследования, перечислены основные этапы исследования и изложена структура диссертации.

В первой главе сделан подробный обзор современного состояния дел в реджевской теории и феноменологии.

Сначала рассмотрена ситуация с вычислением траекторий Ре-дже из КХД. Приводятся асимптотические соотношения, полученные для траекторий Редже КХД в области применимости пертурба-тивных методов. Кратко описан метод Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова (метод БФКЛ), применяемый для вычисления интерсептов траекторий Редже. Показано, что основной результат, полученный в рамках этого подхода — значение интерсепта БФКЛ-померона, — не удовлетворяет необходимому требованию ренорм-инвариантности. После краткого обзора других существующих методов констатировано, что на настоящий день пи с помощью метода БФКЛ, ни с помощью каких-либо других квантовополевых методик не удалось рассчитать из теории ни одного из интерсептов фундаментальных траекторий Редже КХД, не говоря уже о поведении этих траекторий в непертурбативной области (при малых, но ненулевых значениях аргумента).

Далее показано, что основным доводом в пользу популярного представления траекторий Редже линейными функциями является естественное желание продолжить прямые Чу-Фраучи из резонансной области в область рассеяния. При этом обычно игнорируются как асимптотические соотношения КХД, так и хорошо известный из реджевской теории факт, что траектории Редже имеют достаточно сложную аналитическую структуру (с множественными ветвлени-

ями и т.д.), н все точки, соответствующие адронным резонансам, располагаются на нефизических листах.

В заключительной части главы проведен обзор существующих феноменологических моделей дифракционного рассеяния, перечислены их достоинства и недостатки.

Во второй главе в процессе анализа имеющейся теоретической и феноменологической информации о лидирующих реджеонах делается основной вывод о существенной нелинейности траекторий Редже в области дифракционного рассеяния.

-2 -1.5 -1 -0.5 0

Рис. 1. Лидирующие траектории Редже мягкого померона и реджеонов /2 и ш, полученные при описании упругого рр- и рр-рассеяиия (штриховые линии: с^п(<) = 0.69 + 0.811 и = 0.44 + 0.92* - продолжения прямых Чу-Фраучи для реджеонов /2 и ш, а арп(Ь) ■= 1.08 + 0.25 Ь — обычно используемая в литературе линейная траектория мягкого померона).

Существенная нелинейность возникает из того факта, что значения интерсептов траекторий Редже не намного превышают их

(траекторий) значения в пертурбативной области, в то время как наклоны этих траекторий в нуле слишком велики, чтобы была возможность осуществить линейное продолжение хотя бы до точки Ь = — 1 ГэВ2, не нарушая при этом монотонности этих функций (рис. 1).

В заключительной части данной главы построена редже-эйкональная модель с эйконалом

Ф, г) = <5Р(в, ¿) + Sf(s, г) ^ ^(й, г) =

п'"0* v г^и) '

где ар(Ь) — траектория Редже лидирующей сингулярности, "мягкого" померона; «/(£), с*ш(£) — траектории вторичных реджеонов; /?р(¿), /3/(4), /Зш(£) — реджевские вычеты мягкого померона и вторичных реджеонов, знак минус (плюс) перед С-нечетным вкладом соответствует рассеянию частицы на частице (античастице). Для траекторий Редже используются пробные параметризации, существенно нелинейные в дифракционной области и имеющие характерное асимптотическое поведение в пертурбативной области.

Для траектории мягкого померона применяется параметризация

ар (¿) = 1 + pi

1 - р21 ^arctg(p3 -pit)- 0

(2)

асимптотическое поведение которой

lim аР (i) = 1 (3)

i—>—оо

соответствует обмену глюонами при больших отрицательных значениях аргумента.

Траектории вторичных реджеонов /2 и и параметризованы функциями

/ 8 ,_\ 2/2

= ( — а8Ы-г + ся)) (4)

где

есть так называемая однопетлевая аналитическая бегущая константа связи; пу = 3 — число учитываемых кварковых ароматов; Л ее Л(3)

= 0.346 ГэВ — размерный параметр КХД, а феноменологические параметры , с^ > 0 достаточно малы, чтобы не испортить асимптотического поведения вторичных траекторий,

а,ъ

чч

(í) = + о(*У2(^)), (6)

соответствующего обменам парой кварк-антикварк в пертурбатив-ном секторе КХД.

Для получения угловых распределений используется стандартная процедура. Сначала через преобразование Фурье-Бесселя

1 í°°

Ь) = —— / d(-t)J0(bV=t)S(s,t) (7)

107Г5 JQ

вычисляется эйконал в координатном представлении. Далее, через эйкональное представление амплитуды упругого рассеяния

e2i5(s,b)_1

Т{8,Ь)=----, (8)

с использованием обратного преобразования Фурье-Бесселя,

roo

T(s, t) = 4тrs / db2J0(by/^t)T(s, b), (9)

Jo

находится ее значение в импульсном представлении (при численном расчете интегралов в (7), (9) верхние пределы интегрирования заменяются на некоторые, достаточно большие значения) и затем

подставляется в выражение для дифференциального сечения рассеяния

йа _\Т{зМ пт

<Й ~ 167Г52 ' 1 ^

Рис. 2. Угловые распределения протон-(анти)протонного рассеяния (пунктирные линии соответствуют линейному приближению к траектории мягкого померона).

Каждый реджеон в эйконале (1) отвечает за определенный макроскопический эффект: мягкий померон — за рост сечений и сужение дифракционного пика; /2-реджеон — за существенное уменьшение роста (выполаживание) сечений в области не слишком больших энергий столкновения; о;-реджеон — за наблюдаемое расщепление сечений. Поэтому редже-эйкональная модель с эйконалом (1) является минимальной.

В третьей главе после введения феноменологических параметризаций для реджевских вычетов построенная редже-эйкональная модель верифицируется на описании различных процессов адрон-адронной дифракции. При этом параметры вакуумных траекторий Редже сначала фиксируются при воспроизведении угловых распределений упругого протон-(анти) протонного рассеяния при энергиях столкновения более 20 ГэВ (рис. 2). А уже затем эти траектории

используются при описании реакций рассеяния псевдоскалярных мезонов на протонах.

На рис. 2 пунктирные линии соответствуют эйконалу, в котором траектория мягкого померона заменена на ее собственное линейное приближение (т.е. учтены лишь первые два члена в разложении Маклорена). Видимое расхождение между двумя дифракционными картинами начинается уже в области |i| ~ 0.3 ГэВ~. Это напрямую связано с тем фактом, что на большем интервале переданных импульсов линейное приближение просто перестает работать (см. рис. 1).

В этой же главе представлены предсказания для полных сечений рассеяния и отношения реальной части амплитуды рассеяния вперед к мнимой в зависимости от энергии столкновения (рис. 3). В частности, для коллайдеров RHIC и LHC предсказываются значения полных сечений <riot(200 ГэВ) ~ 52 мбн, аш(14 ТэВ) « 111 мбн.

200 i <7cot г mb

Ч,. ;;

V7,

Рис. 3. Полные сечения и р-коэффициент протон-(анти)протонного рассеяния. Пунктирные линии соответствуют борцовскому (полюсному) приближению амплитуды рассеяния.

На рис. 3 пунктирные линии соответствуют мнимой части амплитуды рассеяния вперед в борновском (полюсном) приближении. Вклад реджевских разрезов оказывается настолько значительным,

что описание экспериментальных данных без учета абсорбтивных поправок попросту теряет смысл. Важность учета абсорбтивных поправок подтверждается и при описании угловых распределений и полных сечений рассеяния псевдоскалярных мезонов на протонах.

В четвертой главе предложенная картина существенно нелинейных траекторий Редже используется для описания данных эксклюзивного фото- и электророждения векторных мезонов на протонах при энергиях столкновения более 30 ГэВ. Для этих целей строится редже-эйкональная модель, расширенная на случай частиц, лежащих вне массовой оболочки, и использующая модель векторной доминантности. Последняя применяется в модифицированном виде, чтобы не вступать в противоречие с правилами кваркового счета.

Минимальный эйконал (борновская часть амплитуды) электророждения векторного мезона V состоит из двух вкладов — мягкого померона, ранее использованного для описания процессов упругого рассеяния легких адронов, и "жесткого" померона, ответственного за пертурбативные эффекты в процессах, где присутствует жесткий масштаб (большая виртуальность налетающего фотона или тяжелая масса векторного мезона):

8*№2, ь, д2) = 6*р(\У2, г, я'1)+ь, ф)

зг

У-*е+е~

мь

а.

,му м2 + о?

+ * +

2 )

7г(ан(£) - 1) \ яу

№

аР («)

+

(И)

IV2'

ан(г)

где Му — масса векторного мезона; ае = — постоянная тонкой структуры; Гу_>е+е- — ширина распада векторного мезона на пару электрон-позитрон; ар(Ь) и ощ(£) — траектории мягкого и жесткого померонов; ГрР(4) — мягкопомеронный форм-фактор протона;

— эффективный мягкопомеронный форм-фактор векторного мезона, а (3д (¿, <32) — эффективный реджевский вычет

жесткого померона. В соответствии с правилами кваркового счета, Гр и ¡Зц С^2) демонстрируют умеренное (не степенное)

поведение с ростом С}2.

Параметризация жесткого померона имеет вид

где а8((х) — аналитическая однопетлевая бегущая константа связи КХД (5), а Ац и сц — свободные параметры. Эта траектория имеет асимптотическое поведение

12 1п 2

адд{Ь) = 1 +-+ о{а3{^1)), (13)

7Г

соответствующее обмену двумя глюонами при больших значениях переданного импульса.

Эйконал упругого Ур-рассеяния

Г = (, + ^(МО-В) Г-'(()Г-(() + (14,

ОН (г)

(здесь Г^) = и /$(*) = -М£)), вследствие

умеренной <5 -эволюции

функций Я2) и (¿, ф2), предпола-

гается приближенно равным эйконалу фоторождения (т.е. электророждения при <52 ¡=а 0) без коэффициента векторной доминантности.

Для получения дифференциальных сечений используется расширенное эйкональное представление

ТГр^р(\У\ Ъ, <?2) = Ъ) = (15)

= <р( 1У2, ь, д2) + ь) +...,

где Т\/р_+ур(И/2,6) — р2г6 Ь'>~1 ~~ эйконализованная (унитаризо-ванная) амплитуда упругого Ур-рассеяния в координатном представлении.

Построенная редже-эйкональная схема (15) с эйконалами (11) и (14) была успешно применена к описанию большого массива экспериментальных данных по эксклюзивному рождению векторных мезонов </>(1020) (рис. 4), J/ф{Ж6) (рис. 5) и />(770).

40 60 80 100 120 140 40 м в0 100 ио Ц0

Рис. 4. Описание данных эксклюзивного электророждения мезона ^>(1020) (пунктирные линии соответствуют амплитуде в борновском приближении).

Параметры траектории жесткого померона были зафиксированы при воспроизведении угловых распределений фоторождения З/ф-мезона (рис. 5).

Как и для случаев упругого адрон-адронного рассеяния, при описании различных процессов рождения векторных мезонов была продемонстрирована значимость абсорбтивных поправок (рис. 4).

Рис. 5. Описание данных эксклюзивного фоторождения мезона 7/^(3096) и сравнение траекторий жесткого и мягкого померонов.

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В Приложении изложены основы редже-эйконального подхода.

Результаты, выносимые на защиту

1. Была предложена физическая картина нелинейных в области рассеяния траекторий Редже, возникшая при попытке совместить данные адронной спектроскопии и реджевской феноменологии дифракционных процессов с фундаментальными результатами, полученными в рамках КХД. При этом было продемонстрировано, что следующая из КХД принципиальная нелинейность траекторий Редже является существенной не только в пертурбативной, но и в дифракционной области, и ею нельзя пренебрегать при описании дифракционных процессов.

2. На основании вышеупомянутой картины была построена минимальная редже-эйкональная модель с существенно нелинейными траекториями Редже и явным учетом асимптотического поведения реджеонов в пертурбативном секторе КХД.

3. В рамках предложенной модели было получено описание угловых распределений и полных сечений различных эксклюзивных процессов дифракции адронов при высоких энергиях. Сделаны предсказания для сечений протон-протонного рассеяния на коллайдерах RHIC и LHC. Было явно продемонстрировано, что линейное приближение является адекватным лишь в относительно узкой области сверхмалых передач импульса.

4. Была построена расширенная редже-эйкональная модель для процессов эксклюзивного электророждения векторных мезонов, находящаяся в согласии с правилами кваркового счета.

5. В рамках расширенной редже-эйкональной модели было получено описание имеющихся данных по эксклюзивному фото-и электророждению векторных мезонов при энергиях более 30 ГэВ. Было продемонстрировано, что нет никакой необходимости вводить противоречащую общим принципам эффективную зависимость траекторий Редже от виртуальности налетающего фотона.

6. При рассмотрении различных процессов было показано, что в общем случае пренебрежение абсорбтивными поправками неоправдано даже в области не слишком высоких энергий.

Список литературы

[1] A.A. Godizov, V.A. Petrov. "Nonlinearity of Regge trajectories in the scattering region". JEEP 0707, 083 (2007).

[2] A.A. Годизов, B.A. Петров. "Редже-эйкональная модель для высокоэнергетического упругого дифракционного нуклон-нуклонного рассеяния с минимальным числом реджеонов". ЭЧАЯ 39, 243 (2008).

[3] A.A. Годизов. "Асимптотические свойства траекторий Редже и упругое рассеяние псевдоскалярных мезонов на нуклонах при высоких энергиях". ЯФ 71, 1822 (2008).

A.A. Godizov, V.A. Petrov. "Nonlinearity of vacuum Reggeons and exclusive diffractive production of vector mesons at HERA". Phys.Rev. D 78, 034028 (2008).

Рукопись поступила 2 октября 2008 года.

A.A. Годизов.

Нелинейность траекторий Редже и дифракция адронов при высоких энергиях.

Оригинал-макет подготовлен с помощью системы WFßX. Редактор Н.В. Ежела.

Подписано к печати 06.10.2008. Формат 60 х 84/8.

Офсетная печать. Печ.л. 0.92 Уч.-изд.л. 0,85. Тираж 100. Заказ 64. Индекс 3649.

ГНЦ РФ Институт физики высоких энергий 142284, Протвино Московской обл.

\°>

Индекс 3649

АВТОРЕФЕРАТ 2008-16,

И Ф В Э, 2008

Введение

Структура диссертации.

Обзор современного состояния дел в реджевской теории и феноменологии

Траектории Редже в квантовой хромодинамике.

Современные методы определения поведения траекторий Редже в области, рассеяния.

Существующие феноменологические модели дифракции адронов

Редже-эйкональная модель с нелинейными траекториями Редже

Редже-эйкональное приближение.

Фундаментальная нелинейность траекторий Редже.

Пробные траектории Редже для описания дифракционного рассеяния

Верификация модели на процессах адрон-адронного рассеяния

Упругая дифракция нуклонов и рассеяние каонов на протонах . 38 Рассеяние пионов на протонах и проблема /?-реджеона.

Эксклюзивное дифракционное электророждение векторных мезонов

Векторная доминантность.

Редже-эйкональная модель для эксклюзивного рождения векторных мезонов.

Описание экспериментальных данных.

В настоящее время считается установленным, что квантовая хромо-динамика (КХД) [1] является фундаментальной теорией сильного взаимодействия. Однако ее непосредственное применение к расчету физических характеристик многих интересных как с теоретической, так и с экспериментальной точек зрения процессов рассеяния до сих пор затруднено. Это связано с тем фактом, что единственным известным общим методом вычисления физических величин в рамках КХД является метод теории возмущений [2]. Но область применимости этого (как и любого другого) метода является ограниченной, и так уж сложилось, что подавляющее большинство практически важных реакций элементарных частиц, происходящих по каналу сильного взаимодействия, выпадает за пределы этой области. В частности, расчет амплитуды рассеяния даже для такого простого процесса, как упругая дифракция (рассеяние на малые углы) адронов, невозможен в рамках пертурбативной КХД.

Тем не менее, для описания дифракционных процессов при высоких энергиях (к ним относится не только упругое рассеяние, но и такие реакции как эксклюзивное электророждение векторных мезонов, глубоко виртуальное комптоновское рассеяние, дифракционный распад и т. д.) существует весьма действенный теоретико-феноменологический подход к вычислению сечений рассеяния — метод аналитического продолжения по угловому моменту или метод полюсов Редже [3, 4]. Однако сам по себе подход Редже является универсальным, т.е. никак не связанным ни с

КХД, ни с какой-либо другой квантовополевой моделью, что выливается в его неполноту — учет аналитических свойств амплитуды рассеяния позволяет лишь уменьшить, но не ликвидировать полностью неопределенность в ее функциональной форме.

Поясним последнее утверждение на следующем примере. Для процессов упругой дифракции адронов при высоких энергиях с помощью метода полюсов Редже можно заменить неизвестную функцию двух переменных (амплитуду рассеяния) в выражении для дифференциального сечения на математическую конструкцию, содержащую несколько неизвестных функций одной переменной — траекторий Редже, также называемых в литературе реджеонами, и реджевских форм-факторов участвующих в реакции частиц (произведение форм-факторов двух рассеивающихся частиц образует так называемый реджевский вычет). Функциональная форма последних зависит уже от конкретного типа фундаментального взаимодействия и должна определяться путем решения соответствующих квантовополевых уравнений для динамических величин (типа Бете-Солпитера [5] и т. п.). Беда в том, что до сих пор не существует методов расчета из КХД траекторий Редже и реджевских форм-факторов в области малых значений аргумента, поскольку в этой области пертур-бативные методы неприменимы.

Исследуемая в данной работе проблема поведения траекторий Редже в области дифракционного рассеяния является частью более общей теоретической задачи, которая состоит в выработке единого подхода к вычислению динамических величин дифракционных процессов на основе синтеза имеющихся методов теоретического расчета (в нашем случае, реджевской теории и пертурбативной КХД). Именно функциональная форма траекторий Редже при небольших отрицательных значениях аргумента определяет главным образом энергетическую эволюцию дифракционной картины процессов рассеяния, которая, в свою очередь, содержит важную информацию о размерах и геометрической форме области дифракционного взаимодействия.

В работе предпринята попытка определить поведение наиболее важных с точки зрения дифракционной физики траекторий Редже, не только используя феноменологию адронной спектроскопии и дифракционного рассеяния, но и согласуя это поведение с фундаментальными результатами, полученными в рамках пертурбативной КХД. Одновременный учет асимптотических свойств траекторий Редже (КХД), поведения вторичных мезонных реджеонов в области положительных значений аргумента (адронная спектроскопия) и поведения лидирующей траектории Редже, померона, в области экстра-малых отрицательных значений аргумента (рост полных сечений и сужение дифракционного пика с ростом энергии столкновения) автоматически приводит к тому, что в области дифракционного рассеяния нелинейность траекторий Редже оказывается настолько макроскопическим явлением, что ею нельзя пренебрегать при описании процессов дифракции адронов при высоких энергиях.

В основу используемой в данной работе минимальной (в смысле количества учитываемых реджеонов) модели дифракционного рассеяния [6], относящейся к классу редже-эйкональных моделей [4], положена концепция существенно нелинейных траекторий Редже [7], демонстрирующих характерное асимптотическое поведение в пертурбативном секторе КХД. Причем само свойство существенной нелинейности является модельно независимым вследствие объективности самих траекторий Редже,. т.е. распространяется и на другие подходы, использующие понятие реджеонов.

Помимо теоретического обоснования данная картина успешно прошла верификацию на описании доступных экспериментальных данных по эксклюзивному дифракционному рассеянию адронов при высоких энергиях. К таковым относятся угловые распределения упругого протон-протонного и протон-антипротонного [7], пион-протонного и каон-протонного [8] рассеяния и эксклюзивного фото- и электророждения векторных мезонов [9]. Отметим, что на настоящий день одновременное описание доступного массива данных по дифракционным реакциям упругого нуклон-нуклонного рассеяния и эксклюзивного рождения векторных мезонов при энергиях столкновения более 30 ГэВ было осуществлено лишь в рамках предлагаемого в данной работе подхода.

В силу известного свойства универсальности траекторий Редже [4], т.е. независимости от вида частиц, в амплитуду рассеяния которых дают вклад данные реджеоны, предлагаемая модель может быть использована и при описании любых других дифракционных процессов, отличных от вышеперечисленных.

Структура диссертации

В первой главе мы, прежде всего, рассмотрим современную ситуацию с расчетом траекторий Редже непосредственно из КХД. Затем мы на основании критического анализа тенденций, существующих в реджевской феноменологии, покажем, что обычно предполагаемая в литературе приближенная линейность траекторий Редже в области рассеяния на самом деле ничем не обоснована помимо естественного желания максимально упростить используемую феноменологическую схему описания .процесса дифракционного рассеяния. Также в этой главе мы приведем краткий обзор имеющихся моделей дифракционного рассеяния и перечислим их достоинства и недостатки.

Во второй главе мы подробно проанализируем имеющуюся теоретическую и феноменологическую информацию о траекториях Редже и продемонстрируем, как из асимптотического поведения траекторий Редже в пертурбативном секторе КХД, имеющихся данных реджевской феноменологии и некоторых общих соображений автоматически следует их (траекторий) нелинейность в области малых отрицательных значений аргумента, причем нелинейность настолько сильная, что ею нельзя пренебрегать при описании дифракционных процессов. При этом, помимо всего прочего, будет показано, что такое нетривиальное поведение траекторий Редже в дифракционной области ни в коем случае не противоречит их приближенной линейности в резонансной области. Далее, вводя физически мотивированные (т.е. имеющие характерное асимптотическое поведение) пробные параметризации траекторий Редже, мы построим минимальную редже-эйкональную модель дифракционного рассеяния с существенно нелинейными траекториями Редже, позволяющую описать имеющиеся данные по дифракции адронов при высоких энергиях, не вступая в противоречие ни с КХД, ни с общими принципами.

В третьей главе мы опишем в рамках предложенного подхода экспериментальные данные по полным сечениям и угловым распределениям для процессов протон-протонного, протон-антипротонного, каон-протонного и пион-протонного рассеяния, продемонстрировав таким образом, что следующая из КХД существенная нелинейность траекторий Редже очень хорошо согласуется с данными дифракционного рассеяния.

В четвертой главе мы рассмотрим процессы эксклюзивного рождения векторных мезонов в столкновениях фотонов с протонами, построим модифицированную модель векторной доминантности (для избежания противоречий с правилами кваркового счета в области больших виртуаль-ностей налетающих фотонов) и опишем на основе расширенной редже-эйкональной модели доступные экспериментальные данные по угловым распределениям и интегрированным сечениям с применением той же траектории померона и того же померонного форм-фактора протона, что и в процессах нуклон-нуклонного рассеяния, тем самым еще раз продемонстрировав эффективность предложенного подхода, использующего существенно нелинейные траектории Редже и учитывающего их асимптотическое поведение в области применимости пертурбативных методов КХД.

В Заключении мы еще раз перечислим полученные результаты и повторим основные выводы.

ОБЗОР СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ДЕЛ В РЕДЖЕВСКОЙ ТЕОРИИ И ФЕНОМЕНОЛОГИИ

Траектории Редже в квантовой хромодинамике

Как было отмечено во Введении, в идеале траектории Редже должны вычисляться из КХД. К сожалению, количество фундаментальных результатов, полученных в этом направлении, до сих пор очень ограничено. К таковым следует отнести успешное вычисление асимптотического поведения траекторий Редже КХД при больших, 1 ГэВ2, отрицательных значениях аргумента (т.е. в области применимости пертурбативных методов) для случаев двух связанных кварков [10, 11] а чя

0 =

1) здесь as(fji) = — бегущая константа связи КХД) и двух глюонов [12]

МО = 1 + + o(as(V^t)) ■ (2)

Что же касается поведения траекторий Редже КХД в непертурбатив-нон области (при малых значениях аргумента), то до настоящего времени наиболее популярным подходом к решению этой проблемы был и остается метод Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова, называемый также в литературе методом БФКЛ [13]. Суть подхода сводится к нахождению сингулярностей решения линейного интегрального уравнения БФКЛ модификации уравнения Бете-Солпитера для амплитуды рассеяния или функции Грина [5] с определенным пертурбативным ядром, в котором внешние частицы (кварки или глюоны) и их пропагаторы заменены на траектории Редже с такими же квантовыми числами (так называемые "реджезованные"1 кварки или глюоны). Вычисление же траектоi рий самих реджезованных партонов производится путем решения уравнения Бете-Солпитера для цветных связанных состояний двух партонов с минимальным пертурбативным ядром. Последним достижением метода БФКЛ в применении к расчету траекторий Редже КХД явилось вычисление во втором порядке теории возмущений точки ветвления, ассоциированной со спектром связанных состояний двух реджезованных глюонов с вакуумными квантовыми числами, называемой также БФКЛ-помероном, при t = 0 [14]: 12 In 2 , ч Л 20 . Л = 1 —~—<w) (1 - —1as{l4J • (3)

Через as(fi) данное выражение зависит как от перенормировочной схемы, так и от выбора точки нормировки /i, т.е., произвольным образом выбирая схему перенормировки и значение масштаба мы можем сделать интерсепт БФКЛ-померона больше или меньше единицы.

Этот результат безусловно не является удовлетворительным, поскольку истинные траектории Редже однозначно связаны со спектром адрон-ных резонансов и связанных состояний и, следовательно, должны быть ренорм-пнвариантными функциями. Поэтому значение интерсепта любой истинной траектории Редже может зависеть лишь от типа фундаментальной квантовополевой модели и от значений фундаментальных параметров этой модели. Более того, можно показать, что в случае безмассовых кварков интерсепт любой траектории Редже абсолютно не зависит от бегущей константы связи КХД [15].

Попытки получить какую-либо информацию о траекториях Редже путем решения нелинейного интегрального уравнения Балицкого-Ковчего-ва для амплитуды вероятности [16] также пока не увенчались успехом.

Следует заметить, что данная задача, т.е. расчет ынтерсептов спектра фундаментальных траекторий Редже, была успешно решена в другой модели с асимптотической свободой, для самодействующего безмассового скалярного поля ф в шестимерном псевдоевклидовом пространстве-времени [17] через решение уравнения Бете-Солпитера с минимальным пертурбативным, но ренорм-инвариантным ядром. Полученный результат может быть представлен в виде серии трансцендентных уравнений

16

Lk + 1 )(Lk + 2)(Lk + 3) = 3(2fe + 1} , (4) где к пробегает значения ряда целых чисел, а действительные корни этих уравнений являются значениями интерсептов траекторий Редже. Набор этих чисел абсолютно не зависит от величины бегущей константы связи в какой-либо точке, в полном соответствии с отмеченным выше общим свойством интерсептов траекторий Редже в безмассовых квантовополе-вых моделях с асимптотической свободой, вытекающим из предположения ренорм-инвариантности этих аналитических функций одного переменного. Значение наибольшего из интерсептов приблизительно равно Lq « —0.0627, и далее имеет место их сгущение по направлению к значению L+оо = — 1, очевидным образом связанное с аккумуляцией соответствующих траекторий Редже по направлению к прямой j = —1 [17].

Аналогичное свойство (сгущение семейства траекторий, ассоциированных со спектром связанных состояний двух глюонов, по направлению к прямой j = 1) было доказано в рамках КХД [18], хотя получить калибровочно и ренорм-инвариантные алгебраические уравнения типа

4) для интерсептов этих траекторий до сих пор не удалось в силу ряда технических трудностей.

За последнее десятилетие ситуация с вычислением траекторий Редже из КХД практически не изменилась, и можно констатировать, что до сих пор ни с помощью метода БФКЛ [13], ни с помощью метода Лавлэйса [17], ни с помощью каких-либо других квантовополевых методик не удалось рассчитать из теории ни одного из интерсептов фундаментальных траекторий Редже КХД, не говоря уже о поведении этих траекторий в непертурбативной области (при малых, но ненулевых значениях аргумента) .

Положение с вычислением реджевских вычетов конкретных реакций еще более темное, и до сих пор о них известно только то, что, будучи вещественно-аналитическими функциями, они принимают действительные значения в области отрицательных значений своего аргумента [19]. Попытки конструирования реджевских форм-факторов через моделирование распределения партонов внутри адрона [20, 21, 22] не дали сколь-либо полезного с практической точки зрения результата.

Тем не менее, несмотря на присутствие неизвестных функций в выражении для дифференциального сечения, реджевский подход остается одним из самых эффективных методов описания энергетической зависимости сечений дифракционного рассеяния. Ликвидировать же функциональную неопределенность в выражении для амплитуды приходится путем использования различных феноменологических моделей, задающих функциональную форму траекторий Редже и соответствующих реджевских форм-факторов, и подгонкой свободных параметров этих моделей по имеющимся массивам экспериментальных данных по угловым распределениям дифракционного рассеяния.

Современные методы определения поведения траекторий Редже в области рассеяния

Прежде чем перейти к обзору конкретных моделей, применяющих ре-джевский подход для описания процессов адронной дифракции, остановимся подробнее на используемых феноменологических методах фиксации функциональной формы реджеонов, поскольку это имеет прямое отношение к обоснованию предлагаемой в данной работе физической картины существенно нелинейных траекторий Редже.

Как было отмечено ранее, основной трудностью является то, что до сих пор не существует методов расчета из КХД траекторий Редже и реджевских форм-факторов в непертурбативной области.

Адронная спектроскопия указывает на то, что в некотором конечном интервале положительных значений аргумента траектории Редже демонстрируют приближенно линейное поведение с достаточно большим наклоном [23]. Отсюда возникает вполне естественный соблазн попросту продолжить эти прямые Чу-Фраучи, представляющие собой зависимость спина адронного состояния от квадрата его массы, в область малых отрицательных значений аргумента.

При этом очень часто в литературе линейность траекторий, т.е. зависимость вида a(t) =a(0) + a'(0)t, (5) возводится в ранг некоего фундаментального постулата. В обоснование этой гипотезы, помимо только что упомянутого желания продолжить прямые Чу-Фраучи в область рассеяния, чаще всего указывают на модель Венециано [24], где линейные траектории возникают естественным образом. Однако не следует думать, что в любой теории струн (одной из реализаций которой является модель Венециано) это так. Например, в струнной модели глюболов Л.Д. Соловьева [25] траектории Редже нелинейны. И вообще, принципиально как струнный подход [26], так и концепция дуальности [27] не запрещают траекториям Редже быть нелинейными.

На самом деле, строго линейными траектории Редже не могут быть хотя бы потому, что согласно реджевской теории [3] они имеют достаточно сложную аналитическую структуру (с множественными ветвлениями и т. д.), и все точки, соответствующие резонансам, располагаются на нефизических листах. Другими словами, масса М и ширина распада Г адронного состояния со спином N, расположенного на траектории Редже a(t), определяются через решение уравнения а(М2 --ШТ) = N (6) для связанных состояний Г = 0). Например, при массе мезона р(770) около 776 МэВ ширина его распада равна 149 МэВ. Этот довод против строгой линейности сам по себе уже является достаточным, однако для достижения полной физической прозрачности приведем еще несколько аргументов.

Если настаивать на буквальной справедливости линейного поведения траекторий Редже, то возникает сразу несколько трудностей. Во-первых, они принимают значения 0,-1,-2,. при отрицательных значениях аргумента. В модели Венециано вычеты устроены так, что этих "тахионов" в спектре бесконечно узких резонансов не возникает. В других моделях нужно специально вводить компенсирующую f-зависимость в вычетах.

Во-вторых, непонятен физический смысл траектории, достигающей неограниченно больших по величине и отрицательных по знаку значений. Согласно известной формуле Редже [28], квадрат радиуса состояния, лежащего на траектории Редже, R2, связан с ней соотношением

R2~a'{t)(2a{t) + l), {7) I и, так как обычно af(t) > 0, то получается, что при t —у —оо имеем состояния больших и "мнимых" размеров. В то же время, все траектории, полученные как в рамках квантовополевых моделей, так и в тех кванто-вомеханических моделях, где существует режим рассеяния (потенциалы Кулона, Юкавы и т. д.), нелинейны. Все они стремятся к постоянному значению при t ±00, что отвечает малым расстояниям, R2 —У 0, — вполне в духе соотношения неопределенностей.

Таким образом, гипотеза о строгой линейности траекторий Редже везде 1 в области рассеяния ничего кроме проблем не приносит, хотя при достаточно малых (термин требует уточнения) передачах импульса использование линейного приближения может быть вполне оправданным. 1

Часто в качестве аргумента в пользу линейности траекторий Редже в дифракционной области приводят результаты выделения в рамках бор1 новского (полюсного) приближения траектории /ьреджеона из данных по обменному процессу тт~ + р —у 7г° + п при высоких энергиях [29]. Вклад

1 I аг-реджеона подавлен из-за сохранения G-четности, и вклады остальных, реджеонов при достаточно высоких энергиях предполагаются пренебрежимо малыми. При таком подходе, имея на руках всего два экспериментальных угловых распределения при различных энергиях столкновения, мы можем вычислить траекторию р-реджеона по простой формуле [30] a(t) = 1 + ^ fin —fin ~ -ln^ V (8)

W ^ 2 V s2j \ dt S=SI dt S=SJ V ; где si, S2 — квадраты соответствующих энергий столкновения.

На рис. 1 представлен результат такого выделения для энергий столкновения 19.4 ГэВ и 8.8 ГэВ [31]. Как мы видим, получаемая таким путем траектория р-реджеона оказывается линейной и приближенно совпадающей с продолжением соответствующей прямой Чу-Фраучи лишь в области \t\ < 0.5 ГэВ2.

Рисунок 1: Сравнение эффективной траектории Редже, извлеченной по формуле (8) из экспериментальных угловых распределений пион-нуклонной перезарядки при энергиях столкновения 19.4 ГэВ и 8.8 ГэВ, с продолжением прямой Чу-Фраучи />-реджеона, al*n(t) = 0.47 + 0.891.

Более того, в рамках этого подхода никак не обосновывается возможность пренебрежения абсорбтивными поправками, т.е. вкладами ред-жевских разрезов (которые соответствуют обменам несколькими реджео-нами). Косвенным же указанием на необходимость учета абсорбтивных поправок является наличие дифракционного минимума в угловых распределениях реакции пион-нуклонной перезарядки в районе —t ~ 0.6 ГэВ2

31], которое, как и в случае нуклон-нуклонного рассеяния, может быть объяснено вкладом реджевских разрезов. В третьей главе мы покажем, что в общем случае пренебрежение вкладом разрезов не оправдано. При учете же абсорбтивных поправок сама процедура выделения траекторий Редже из дифференциальных сечений настолько усложняется, что любые результаты, полученные при работе с доступным массивом экспериментальных данных, будут далеко не однозначными.

Но даже если все вышесказанное склоняет нас к тому, что фундаментальные траектории Редже нелинейны, мысль о том, что для описания сечений дифракционных процессов достаточно их линейной аппроксимации распространена и воплощена в литературе исключительно широко. Это подкрепляется существенными преимуществами связанных с этим приближением гауссовых интегралов, что дает возможность относительно легко, зачастую в аналитическом виде, получать информацию, например, о размерах области взаимодействия и т. п.

Однако, вопрос, в какой области передач импульса необходимо учитывать нелинейные свойства траекторий Редже, остается открытым, поскольку в такой общей постановке задача была бы разрешима лишь при условии, что нам известны имеющие значение траектории. К сожалению, это не соответствует реальной ситуации — траектории Редже все еще предмет гипотез и скудных общих сведений. Таким образом, имеется соблазн идти по пути наименьшего сопротивления, то есть предположить справедливость линейного приближения в интересующей нас области, что означает, что вкладом высших членов в разложении в ряд Маклорена можно пренебречь. Фактически, в большинстве работ, использующих реджевский подход, так и поступают, добиваясь при этом более или менее хорошего согласия с экспериментальными данными. Однако ясно, что даже хорошее согласие с любым ограниченным массивом данных при "линейном" подходе еще не означает, что истинные траектории Редже приближенно линейны в области дифракционного рассеяния.

С другой стороны, микроскопическая теория сильного взаимодействия, КХД, однозначно предсказывает нелинейность траекторий Редже. Нелинейность также автоматически возникает во всех моделях, в которых учитываются те или иные аналитические свойства траекторий. Вопрос теперь в том, насколько эта нелинейность существенна для доступных энергий и передач импульсов. Ответ на него практически зависит от того, каким образом интересующая нас траектория входит в наблюдаемые. В различных моделях это происходит по-разному. При одних и тех же экспериментальных данных их описание может быть связано с довольно различными траекториями (например, если мы пользуемся простой полюсной формулой или редже-эйкональным приближением [4]).

Существующие феноменологические модели дифракции адронов

Для построения более и менее адекватной феноменологической схемы, описывающей эволюцию дифракционной картины какого-либо процесса с ростом энергии столкновения, требуется наличие экспериментальных данных в достаточно широком интервале энергий и переданных импульсов. В настоящее время такие массивы данных доступны лишь для очень небольшого числа процессов упругого и обменного рассеяния. Лучше всего измерены сечения реакций упругого протон-протонного, протон-антипротонного и каон-протонного рассеяния и рассеяния заряженных пионов на протонах, как упругого, так и с перезарядкой. Поэтому все феноменологические модели адронной дифракции так или иначе проходят апробацию на описании именно этих процессов.

В литературе существует огромное множество работ, очень хорошо воспроизводящих эволюцию полных сечений рассеяния (т.е. мнимых частей амплитуд рассеяния вперед) вышеперечисленных частиц с ростом энергии столкновения, но лишь очень ограниченное число предлагаемых моделей претендует на описание дифференциальных сечений рассеяния, содержащих важнейшую информацию о геометрической форме области взаимодействия. Их можно условно разделить на две группы: нарушающие ограничение Фруассара-Мартэна [32] (подробнее об аналитических свойствах амплитуды рассеяния в рамках аксиоматического подхода см. обзор [33]), а следовательно и условие унитарности, и не нарушающие, т.е. использующие подходы, позволяющие в явной форме соблюсти это условие (такие как U-матричный [34], эйкональный [4] и другие). В большинстве работ используются линейные траектории Редже. Однако, даже в. подходах с нелинейными реджеонами (к последним относятся модели, учитывающие те или иные аналитические свойства реджеонов) неучет фундаментальных результатов КХД приводит к тому, что нелинейность оказывается весьма слабой (часто из-за стремления авторов удовлетворить приближенной линейности).

Наиболее известной моделью из первой группы является модель Дон-наки и Ландсхоффа [35], представляющая по сути полюсное (борновское) приближение амплитуды с линейными траекториями Редже, в том числе и для лидирующей сингулярности, померона, с интерсептом больше единицы. Несмотря на то, что это приближение явно нарушает условие унитарности, его использование оправдывается тем фактом, что в области экспериментально доступных энергий столкновения растущая степенным образом амплитуда не превышает ограничение Фруассара-Мартэна, а также предположением о несущественности вклада реджевских разрезов (абсорбтивных поправок). Достоинством этой модели является ее простота, недостатками — не очень хорошее описание дифракционной картины нуклон-нуклонного рассеяния и отсутствие какого-либо обоснования пренебрежения абсорбтивными поправками (при рассмотрении процессов нуклон-нуклонного рассеяния мы покажем, что адекватность борновского приближения не является априорной, и поэтому для каждой модели, использующей реджевский подход, требуется количественная оценка вклада реджевских разрезов).

В модели Енковского, Струминского и Шелковенко [36] наряду с линейными траекториями вторичных реджеонов используются нелинейные параметризации для померона и его С-нечетного партнера, "оддерона", ассоциированного с трехглюонным обменом в области больших передач поперечного импульса. Хотя эта модель демонстрирует очень хорошее качество описания данных дифракции нуклонов при энергиях столкновения более 50 ГэВ, она также нарушает предел Фруассара-Мартэна в асимптотической области.

Горон, Николеску и Лидер [37] использовали оддерон для построения модели, в которой предел Фруассара-Мартэна насыщается уже в борновском приближении. Для этого померон и оддерон были построены как преобразование Зоммерфельда-Ватсона особых сингулярностей в комплексной J-плоскости. Число параметров модели очень велико, но описание данных удовлетворительное.

В работе [38] для описания упругого протон-(анти)протонного рассеяния используется редже-эйкональная модель с линейными траекториями Редже. Ее основным п р е имуще с тв ом является тот факт, что эйконали-зация амплитуды позволяет явно соблюсти условие унитарности, недостатком — необходимость введения большого числа суперкритических сингулярностей (померонов) для приемлемого описания данных.

Соблюдение ограничения Фруассара-Мартэна является также одним из основных достоинств нереджевской модели [39], использующей так называемые "дифференциальные" дисперсионные соотношения, хотя неучет реджевской структуры амплитуды рассеяния при высоких энергиях приводит к необходимости явного феноменологического моделирования энергетической зависимости сечений.

Использование модели "дипольного" померона [40, 41] (т.е. померона как двойного линейного полюса Редже) с интерсептом, строго равным единице, позволяет обойтись без нарушения ограничения Фруассара-Мартэна даже в борновском приближении, так как при этом амплитуда рассеяния растет как логарифм энергии столкновения. Модель "дипольного" померона дает лучшее на настоящее время описание данных нуклон-нуклонного рассеяния, хотя и несвободна от некоторых недостатков. К таковым относятся невозможность оценить вклады мульти-реджеонных обменов без введения дополнительных феноменологических параметров, а также неясность физической природы двойных полюсов Редже (все существующие1 динамические модели, как квантовомеханиче-ские, так и квантовополевые, предсказывают существование лишь простых полюсных сингулярностей амплитуды).

Попытка одновременного описания различных процессов упругой адрон-адронной дифракции была предпринята в работе [42], использующей эйконализованную амплитуду. Хотя качество описания данных в этой модели хуже, чем в других подходах (за исключением модели Доннаки-Ландсхоффа), она свободна от большинства недостатков вышеперечисленных феноменологических схем. И это единственная модель, претендующая на одновременное описание нескольких процессов адрон-адронной дифракции в достаточно широкой кинематической области без ограничения сверху по энергии столкновения. Аналогичная попытка, предпринятая в рамках простого полюсного приближения, оказалась успешной лишь в очень ограниченной области как по углу рассеяния, так и по энергии столкновения [43].

Борновское приближение также было использовано в работе [44] для описания дифракционной картины пион-нуклонного рассеяния с перезарядкой, где основной вклад в амплитуду рассеяния дает обмен р-реджео-ном. Попытка оценить количественно вклад двухреджеонного разреза была предпринята в [45].

Характерный степенной рост сечений и сужение дифракционного пика наблюдается и в процессах эксклюзивного фото- и электророждения векторных мезонов на протонах, а также глубоко виртуального комптонов-ского рассеяния. Здесь, также как и для процессов упругого рассеяния адронов, имеется целое море работ, посвященных описанию интегрированных сечений рассеяния и структурных функций при весьма ограниченном количестве попыток описания угловых распределений. Среди чисто феноменологических подходов, использующих модель векторной доминантности [46] и ее обобщения, к таковым относятся уже упомянутые выше простое полюсное приближение как с линейными [47], так и с нелинейными [48] траекториями Редже и модель "дипольного" померона [49] с нелинейной траекторией лидирующего полюса Редже. Также используется модель дуальной амплитуды с мандельстамовской аналитичностью [50].

Следует отдельно выделить модель "цветного диполя" [51, 52], описывающую (^-зависимость глубоко виртуального электророждения легких векторных мезонов, эксклюзивного рождения тяжелых векторных мезонов и глубоко виртуального комптоновского рассеяния не с помощью модели векторной доминантности, а посредством представления взаимодействия виртуального фотона с протоном через флуктуацию фотона в виртуальную пару кварк-антикварк. В дальнейшем эта пара рассеивается на протоне и рекомбинирует либо в реальный или виртуальный фотон, либо в векторный мезон.

Все вышеперечисленные модели имеют один общий недостаток — они игнорируют поведение траекторий Редже при больших отрицательных значениях аргумента, где, в соответствии с ранее полученными в рамках КХД результатами, траектории Редже должны выполаживаться и выходить на константу. Кроме того, в настоящее время отсутствуют модели, описывающие процессы упругого рассеяния адронов и эксклюзивного рождения векторных мезонов в рамках единой феноменологической схемы. В следующей главе мы построим модель, свободную от этих недостатков.

РЕДЖЕ-ЭЙКОНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ РЕДЖЕ

Редже-эйкональное приближение

Данную главу мы начнем с формулировки условия унитарности для амплитуды упругого рассеяния в импульсном представлении [3]

1тТ(рир21р'ър'2) = /dAq(-2m)25((Pl + qf - m\)S((p2 - qf - m\)x xQ(p0l + q0)Q(Pl-q0)T+(pl + q,p2-q,p^p'2)T-(pl:p2,p1^q,p2-q) + ., (9) где "." обозначает вклад неупругих каналов.

Самым простым способом разрешения этого условия является обычное эйкональное представление [3]

2iS(s,b) -J

Т(з, Ъ) = 2. (10) здесь T(s, Ъ) — амплитуда упругого рассеяния в пространстве прицельного параметра 6, s — квадрат инвариантной массы (энергии столкновения) двух частиц, a 5(s, b) — эйкональная функция). Связь между представлением прицельного параметра (координатным) и представлением переданного импульса (импульсным) осуществляется через преобразование Фурье-Бесселя (t — квадрат переданного 4-импульса) [4] б>' = 1бЬ Г d(-t)MbyTt)f(s, t), (11)

24 t) = 4тгs db2J0(bV^i)f(s, b). Условие унитарности в терминах эйконала выглядит очень просто:

Im£(s,6)>0, s>sineb (12) где sinei — пороговая: энергия неупругого рассеяния.

Рисунок 2: Диаграмма, соответствующая обмену отдельным реджеоном (здесь £k(a(t)) — сигнатурный множитель, к = ±).

Для описания процессов высокоэнергетического дифракционного рассеяния мы будем использовать обычную редже-эйкональную модель [4], преимущество которой перед простым реджевским подходом заключается в автоматическом учете абсорбтивных поправок, что в явном виде приводит к соблюдению условия унитарности для амплитуды рассеяния (основы редже-эйконального подхода изложены в Приложении). В этой модели эйконал в пространстве переданного импульса представляется в виде суммы обменов отдельными реджеонами (см. рис. 2)

2 j^U) ' где finif) и an{t)i fin if) это С-четные и С-нечетные траектории

Редже и реджевские вычеты, 5о = 1 ГэВ2, знак минус (плюс) перед Снечетными вкладами соответствует рассеянию частицы на частице (античастице). При достаточно больших энергиях существенными являются вклады лишь небольшого числа реджеонов.

Таким образом, практическая польза редже-эйконального подхода в применении к любым упругим и квазиупругим процессам заключается в возможности уменьшения функционального произвола путем сведения неизвестной функции двух переменных T(s, t) к нескольким функциям одной переменной, каковыми являются траектории Редже и реджевские вычеты.

Фундаментальная нелинейность траекторий Редже

Теперь перейдем к полному анализу всей доступной теоретической и феноменологической информации о траекториях Редже, который в конечном итоге позволит нам ответить на важнейший вопрос о том, как же в действительности ведут себя траектории Редже в области дифракционного рассеяния.

Как уже неоднократно было отмечено в предыдущей главе, до сих пор в литературе по феноменологии дифракционных процессов подход к проблеме поведения траекторий Редже в области рассеяния основывался на продолжении прямых (кривых) Чу-Фраучи в область небольших отрицательных значений аргумента (иногда в совокупности с учетом некоторых аналитических свойств траекторий). Но эта процедура является лишь попыткой приблизиться к решению этой проблемы справа, т.е. со стороны резонансной области (положительных значений аргумента). Мы же, ни в коем случае заранее не отметая получаемых таким путем результатов, попытаемся найти ответ на основной вопрос через приближение слева, т.е. используя в дополнение к данным адронной спектроскопии информацию о поведении траекторий Редже в области больших отрицательных значений аргумента.

В наших дальнейших рассуждениях мы, прежде всего, будем основываться на убеждении, что КХД является фундаментальной теорией сильного взаимодействия. Следовательно, область больших отрицательных значений аргумента вещественно-аналитических функций одного переменного, каковыми являются траектории Редже, является областью применимости пертурбативных методов (заметим, что в принципе использование теории возмущений оправдано уже при — t > 4 ГэВ2, так как бегущая константа связи на таких масштабах as{y/—t) < 0.33 [53]), поскольку аргумент траекторий Редже ассоциирован с квадратом пере' данного 4-импульса. Применение этих методов, напомним, приводит к соотношениям (1) и (2) для реджеонов, обмен которыми в пертурбатив-ном секторе переходит в обмен двумя партонами.

Помимо результатов, полученных исключительно в рамках пертур-бативной КХД, путем привлечения определенных дополнительных соображений было найдено асимптотическое соотношение для траекторий Редже, соответствующих мультиглюонным обменам в области больших передач, [54] tim^a^^t) = 1, (14) находящееся в полном согласии с моделью составляющих кварков [55].

Такое поведение траекторий, т.е. стремление к некоторому постоянному значению с ростом переданного импульса, может быть получено и из более общего анализа, если мы вспомним, что траектории Редже являются ренорм-инвариантными функциями. Требование ренорм-инвариантности автоматически следует из наблюдаемости спектров связанных состояний и резонансов, ассоциированных с траекториями Редже. Здесь может возникнуть возражение, что ренорм-инвариантность нескольких точек аналитической функции не обязательно выливается в ренорм-инвариантность всей функции. Но напомним, что для любой траектории Редже те точки, которые ассоциированы с наблюдаемыми состояниями, сами по себе не являются особыми точками этой аналитической функции — они являются особыми точками сигнатурного множителя и, соответственно, амплитуды. Поэтому предположение о том, что ренорм-инвариантными являются лишь точки, где траектория Редже принимает целые значения, выглядело бы странным.

В случае квантовой хромодинамики любая ренорм-инвариантная функция одной динамической переменной может быть представлена в области асимптотически больших отрицательных значений этой переменной (когда можно пренебречь массовыми эффектами кварковых полей) в форме общего решения уравнения Овсянникова [2] = / (± , а.м) = Ф • (IS) где Ф(х) — некоторая аналитическая функция одного переменного, /л — размерный параметр схемы перенормировки, as(fi) = — бегущая константа связи, K'(as) = = (/г2|^§-)-1.

В пределе бесконечно больших передач бегущая константа связи КХД стремится к нулю (режим асимптотически свободных полей), поэтому все наблюдаемые величины, такие, например, как масса или спин физических систем, должны оставаться конечными. Отсюда, переходя к пределу t —> — оо, получаем для КХД t Иш^ f(t) = Ф(-оо) = const. (16)

Такое асимптотическое поведение, как было отмечено ранее, имеет ясную квантовомеханическую интерпретацию (см. формулу (7)).

В настоящее время все полезные с практической точки зрения предсказания КХД о поведении лидирующих мезонных траекторий Редже в области рассеяния ограничиваются соотношениями (1), (2), (14). И поскольку все эти соотношения являются асимптотическими, то сами по себе они не накладывают никаких серьезных ограничений на функциональную форму траекторий Редже при достаточно малых t. Чтобы получить эти ограничения мы прибегнем к некоторым естественным допущениям касательно поведения мнимой части лидирующих траекторий на физическом листе.

Любая траектория Редже ск(£) является вещественно-аналитической функцией на комплексной плоскости с разрезом вдоль полупрямой (f-г, £т > 0 [4], и мы предположим, что Ima{t -f- гО) растет достаточно медленно при t —» +оо (например, не быстрее, чем Ciln-1-e£, е > 0), так, что для a(t) на физическом листе будут иметь место дисперсионные соотношения с не более чем одним вычитанием, т.е. t'i'-t) dt > (17) а также предположим, что Im a(t + г0) > 0 при t > tт. При таких условиях (отметим, что в общем случае они не являются строго доказанными, хотя явно выполнены в теории потенциального рассеяния и теории возмущений [4]) a(t) с необходимостью оказывается функцией Герглотца, т.е.

0 (t<tTl п = 1,2,3,.). (18)

Обычно предполагается [4], что для истинных траекторий Редже, дающих лидирующие вклады в амплитуду дифракционного рассеяния, выполнены соотношения (18). Однако, в настоящий момент действительно важным для нас является свойство монотонности собственно траекторий

Редже безотносительно к поведению их производных, поскольку в выражение для эйконала (13) не входят производные от траекторий Редже. Именно в силу этого обстоятельства, для феноменологического описания процессов упругой дифракции при высоких энергиях в качестве чисто количественных приближений к истинным траекториям Редже в области дифракционного рассеяния вполне могут быть использованы не только функции Герглотца, но и любые другие функции, монотонные вместе с одной или несколькими первыми производными, явно удовлетворяющие асимптотическим соотношениям КХД (1), (2), (14) и допускающие возможность осуществления достаточно гладкой сшивки с прямыми Чу-Фраучи в резонансной области.

Здесь следует отметить, что асимптотика cigg(t) из (2) не может быть монотонным образом сшита с траекторией сур {€), дающей основной вклад в эйконал упругого рассеяния легких адронов в дифракционной области (а;р(£) называют помероном или, часто, "мягким" помероном), из-за феноменологического ограничения ар(0) « 1.1, полученного на основе данных по росту полных сечений нуклон-нуклонного рассеяния, в то время как в низшем порядке разложения по константе связи адд(—М|) « 1.3, Mz = 91.2 ГэВ. Поэтому далее мы будем предполагать, что траектория (xgg(t) соответствует так называемому "жесткому" померону с пересечением адд(0) >1.3 [56], дающему значимый вклад в процессы с присутствием жестких масштабов, а обмен мягким помероном соответствует обмену более чем двумя глюонами при асимптотически больших передачах импульса.

В отличие от померонной траектории, для вторичных траекторий, ассоциированных со спектрами наблюдаемых мезонных резонансов, удается подобрать функции Герглотца, одновременно имеющие асимптотику (1) и демонстрирующие разумное (с феноменологической точки зрения) поведение в области дифракционного рассеяния.

Итак, мы имеем на руках асимптотические соотношения КХД (1), (14) и физически мотивированную гипотезу о монотонности траекторий Редже. Сочетание этих условий с имеющейся реджевской феноменологией, т.е. оценками значений интерсептов и наклонов в нуле вторичных траекторий Редже, полученных на основе данных адронной спектроскопии, и оценкой интерсепта и наклона в нуле траектории мягкого померона (а'р(О) = 1.08 и а'р(0) = 0.25), лидирующей в упругих дифракционных процессах и полученной на основе данных роста полных сечений нуклон-нуклонного рассеяния и сужения, дифракционного пика с ростом энергии столкновения, автоматически приводит к существенной нелинейности траекторий Редже в области рассеяния.

Для пояснения этого вывода мы, чуть забегая вперед, рассмотрим лидирующие траектории Редже* полученные при описании угловых распределений упругого нуклон-нуклонного рассеяния (рис. 3). Существенная нелинейность возникает из того факта, что значения интерсептов траекторий Редже не намного превышают их (траекторий) значения в пертурбативной области, в то время, как наклоны этих траекторий в нуле слишком велики, чтобы была возможность осуществить линейное продолжение хотя бы до точки t = —1 ГэВ2, не нарушая при этом монотонности этих функций. Поэтому, пытаясь одновременно соблюсти ре-джевскую феноменологию, монотонность траекторий Редже и асимптотические соотношения КХД (1), (14), мы не сможем получить ничего, кроме вот такой сильной кривизны лидирующих реджеонов в области дифракционного рассеяния.

Невооруженным глазом видно, что эта нелинейность траекторий Редже имеет настолько макроскопических! характер, что ею нельзя пренебрегать при описании дифракционного рассеяния.

Рисунок 3: Лидирующие траектории Редже мягкого померона и реджеонов /гиш, полученные при описании упругого рр- и до-рассеяния (штриховые линии: ajn(£) = 0.69 + 0.811 и al™(t) = 0-44 + 0.921 — продолжения прямых Чу-Фраучи для реджеонов /2 и w, а а?рп(£) = 1.08+0.251 — обычно используемая в литературе линейная траектория мягкого померона).

Помимо всего прочего, важное преимущество такой картины заключается в отсутствии проблем с возникновением нефизических сингулярно-стей в реальной части сигнатурных множителей в области отрицательных значений квадрата переданного 4-импульса, "тахионов", что позволяет избежать наложения дополнительных физически немотивированных ограничений на функциональную форму реджевских вычетов.

Также отметим, что хотя интерсепты вторичных реджеонов расположены заметно выше продолжений соответствующих прямых Чу-Фраучи, но их наклоны существенно меньше наклонов прямых Чу-Фраучи и обнаруживают тенденцию к увеличению. Поэтому такое нелинейное поведение нисколько не противоречит адронной спектроскопии, хотя, как было отмечено ранее, сами прямые Чу-Фраучи проводятся через точки, в своем большинстве расположенные на нефизических листах, и поэтому могут служить лишь грубым приближением для описания поведения истинных траекторий Редже на верхнем берегу разреза на физическом листе.

Что же касается померонной траектории, то в некоторых работах (см., например, [57]) ошибочно утверждается, что экспериментальные данные по упругому рр- и рр-рассеянию, свидетельствуют о приближенной линейности траектории (мягкого) померона хотя бы до вышеупомянутой точки t = — 1 ГэВ2. В следующей главе мы покажем, что эти данные могут быть вполне удовлетворительно описаны и с использованием существенно нелинейной траектории померона, а пока перейдем к рассмотрению физически,мотивированных пробных параметризаций для лидирующих траекторий Редже.

Пробные траектории Редже для описания дифракционного рассеяния

Феноменологическую параметризацию для траектории мягкого померона выберем в форме

Q'P(t) = 1 + pi 1 - р21 farctg(p3 ~P2t)~ ^

19)

Данное приближение траектории померона ap(t) является монотонным, и для него явным образом выполнено асимптотическое условие (14).

Кроме этого, оно демонстрирует линейное ("струнное") поведение в области положительных t (см. рис. 4). Эта пробная функция не удовлетворяет некоторым фундаментальным аналитическим условиям, таким как отсутствие сингулярностей на физическом листе или характерное поведение в окрестности нижнего порога, следующее из t-канального условия унитарности [4], lma(t) ~ (t - fT)a^)+1/2 (t > fT). (20)

Тем не менее, ее отклонение от истинной траектории померона, удовлетворяющей этим условиям, не приведет к катастрофическим последствиям при описании экспериментальных данных в силу тонкости наблюдаемых физических эффектов, связанных с этими аналитическими свойствами [58], по сравнению с самим явлением упругого рассеяния. Заметим, что похожее функциональное приближение к траектории померона было использовано в работе [59], однако значения свободных параметров изначально выбирались такими, чтобы удовлетворить приближенной линейности траектории в дифракционной области, что, в частности, приводило к нарушению асимптотического условия (14).

OCp(t)

Рисунок 4: Пробная траектория мягкого померона.

Отметим также, что даже при больших значениях переданного импульса поведение используемого приближения (19) траектории мягкого померона имеет явно непертурбативный характер, и этим качественно отличается от пертурбативного поведения вторичных траекторий (1).

При описании упругих дифракционных процессов мы будем пренебрегать вкладом в эйконал траектории, называемой в литературе "одде-роном", которая является С-нечетным партнером померона. Оправданность такого шага при малых углах рассеяния феноменологически обоснована приближенным равенством полных сечений протон-протонного и протон-антипротонного рассеяния при энергиях столкновения y/s > 100 ГэВ, хотя адекватность этого приближения для ненулевых углов рассеяния может быть проверена лишь при наличии угловых распределений в указанной кинематической области для обеих реакций р + р —>р-\-рир-\-р -±р-\-р (к сожалению, в настоящее время отсутствуют данные по упругой дифракции для процессар-\-р —при энергиях t/s > 62.5 ГэВ). Вышесказанное ни в коем случае не подразумевает отсутствия оддерона как такового. Тем не менее, пренебрежение его вкладом в эйконал диктуется нашим стремлением построить феноменологическую схему, с одной стороны, достаточную для качественного описания дифракционной картины при высоких энергиях, а с другой стороны, минимальную (по числу реджеонов) для большей наглядности феноменологического обоснования свойства существенной нелинейности траекторий Редже в области дифракционного рассеяния.

Траектории вторичных реджеонов /гиш параметризуем функциями const

Qfp(^) — 1 ~

21) где

IT^G^T^) (23) так называемая однопетлевая аналитическая бегущая константа связи [60], rif = 3 — число учитываемых кварковых ароматов, А = Л^3) = 0.346 ГэВ -— размерный параметр КХД (значение взято из [53]), а феноменологические параметры с/, сш > 0 достаточно малы, чтобы не испортить асимптотического поведения (1) вторичных траекторий в пертурбатив-ном секторе. Отметим здесь, что хотя согласно формуле (1) реальная часть сигнатурного множителя /2-реджеона стремится к бесконечности ~ . 1 при t —> — 00, сингулярности эйконала в этой точке не возни

V <Mv-0 кает, поскольку соответствующий вычет стремится к нулю ~

Каждый из перечисленных реджеонов отвечает за определенный макроскопический эффект. "Мягкий" померон — за рост сечений и сужение дифракционного пика, /2-реджеон — за существенное уменьшение роста (выполаживание) сечений в области не слишком больших энергий столкновения, о;-реджеон — за наблюдаемое расщепление сечений. С другой стороны, для качественного описания, скажем, дифракционной картины упругого рассеяния нуклонов при энергиях более 20 ГэВ никаких других реджеонов нам не понадобится. Это позволяет назвать используемую нами феноменологическую схему (10) с эйконалом

5(s,t) = 5Р(М) + Sf(s,t) Т = i+tB2Efe£KLi!I)frW(±)wW+ (24) тг(oif(t) — 1)\ п , ^ ( s \а/М /. Tv(aJt) - l)\ п ^ f s [ + * 2 ) U) Т (' - Ctg 2 ) Ь® U знак минус (плюс) перед С-нечетным вкладом соответствует рассеянию частицы на частице (античастице)) и траекториями Редже (19),

22) минимальной и, таким образом, выгодно отличает ее от моделей, использующих большее число реджеонов (см., например, [38, 41]).

Здесь особо подчеркнем, что функции (19), (22) являются пробными, и поэтому вполне допустимо использование для феноменологических целей других монотонных функций, удовлетворяющих асимптотическим соотношениям КХД.

В процессе рассуждений нам удалось избежать дополнительных нефизических гипотез, не связанных с чисто количественными приближениями траекторий Редже и одновременно учесть все существенные для дифракционного рассеяния физические свойства траекторий из известных в настоящее время, что и позволило нам сделать достаточно радикальный вывод об их сильной нелинейности в области рассеяния. Влияние же собственно нелинейности траекторий Редже на дифракционную картину мы обсудим уже в следующей главе при рассмотрении процессов упругого нуклон-нуклонного рассеяния.

В заключение отметим, что при описании процессов пион-нуклонной перезарядки и эксклюзивного фото- и электророждения векторных мезонов нам придется как модифицировать применяемую редже-эйкональную схему, так и вводить дополнительные реджеоны, играющие существенную роль в этих процессах, а именно />-реджеон и жесткий померон. Однако, поскольку это не приведет к концептуальным изменениям в применяемом нами подходе, мы отложим изложение этих модификаций до рассмотрения соответствующих реакций.

ВЕРИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ НА ПРОЦЕССАХ АДРОН-АДРОННОГО РАССЕЯНИЯ

Упругая дифракция нуклонов и рассеяние каонов на протонах

В наиболее широкой кинематической области (как по энергии столкновения, так и по переданному импульсу) экспериментальные данные доступны для дифракционных процессов р + р —> р + р и р + р —> р + р. Поэтому свободные параметры в параметризациях вакуумных реджео-нов должны фиксироваться именно при описании этих реакций. Для вычисления соответствующих сечений рассеяния помимо траекторий Редже надо задать поведение реджевских вычетов. Обычно в литературе зависимость вычетов от t предполагается экспоненциальной. Однако в действительности такой подход продиктован лишь стремлением максимально упростить вычисления. На самом деле, на настоящий день КХД не дает сколь-либо полезной информации о поведении реджевских вычетов в дифракционной области, а реджевская теория предсказывает лишь их вещественность при отрицательных значениях аргумента [19].

Поэтому в принципе вычеты могут параметризоваться любыми функциями, обеспечивающими приемлемое описание данных. Но мы все же выберем параметризацию для вычета померона в форме

PP(t) = BFebpt(l +d1t + d2t2 + d3t* + d414), имеющей (при достаточно малых и d^) приближенно экспоненциальное поведение в области малых t. Вычеты вторичных реджеонов мы положим строго экспоненциальными:

В дальнейшем мы увидим, что в силу больших наклонов, чем у померон-ного вычета, при достаточно высоких энергиях столкновения вторичные реджеоны дают значимые вклады в эйконал лишь в области очень малых значений t.

При энергиях столкновения yfs > 20 ГэВ эйконал нуклон-нуклонного рассеяния может быть приближен минимальной реджевской структурой (24). Каждый реджеон, чей вклад присутствует в (24), отвечает за определенный макроскопический эффект: померон — за рост сечений и сужение дифракционного пика с ростом энергии, /2-реджеон — за заметное уменьшение роста сечений в области не слишком высоких энергий, и-реджеон — за расщепление сечений протон-протонного и протон-(анти) протонного рассеяния. Вкладами остальных реджеонов в грубейшем (нулевом) приближении можно пренебречь.

Коротко напомнил! схему вычисления. Сначала мы, подставляя (24) в (11), вычисляем через преобразование Фурье-Бесселя эйконал в представлении прицельного параметра (координатном), затем по формуле (10) получаем амплитуду в координатном представлении. Вслед за этим, мы с помощью обратного преобразования Фурье-Бесселя (11) возвращаемся в представление переданного импульса (импульсное), и, наконец, вычи

3f{t)=Bfeb^, ДД£) = Bwebwt.

26) сляем дифференциальное сечение рассеяния по известной формуле [3, 4] da [Г(М)|2 (97, dt 16ns2 " У 4

Таблица 1. Параметры, полученные при описании экспериментальных угловых распределений упругого протон- (анти) протонного рассеяния. помер он /2-реджеон w-реджеон

Pi 0.123 Ч 0.1 ГэВ2 сш 0.9 ГэВ2

Р2 1.58 ГэВ"2

Рг 0.15

БР 43.5 Bf 153 Вш 46

Ьр 2.4 ГэВ"2 bf 4.7 ГэВ"2 5.6 ГэВ"2 di 0.43 ГэВ-2 d2 0.39 ГэВ~4 ds 0.051 ГэВ-6 б?4 0.035 ГэВ"8 ap(0) 1.123 «/(0) 0.78 МО) 0.64 a'p(0) 0.28 ГэВ~2 a'f(0) 0.63 ГэВ-2 oL(0) 0.07 ГэВ-2

Переходы из координатного представления в импульсное и обратно осуществляются с помощью численного интегрирования по достаточно широким интервалам динамических переменных. В частности, для протон-(анти)протонного рассеяния эти интервалы могут быть выбраны равньши 0 < — t < 4 ГэВ2 и 0 < 6 < 20 ГэВ-1 « 4 фм соответственно.

Для вычисления электромагнитных поправок к амплитуде рассеяния в области сверхмалых t (т.е. области интерференции с кулоновским потенциалом) мы используем рецепт Кана [61]. Здесь следует отметить, что для описания угловых распределений в области кулоновской интерференции существует гораздо более точная модель Селюгина [62]. Однако, для нашей грубой феноменологической схемы вполне достаточно простого приближения Кана (подробнее о различных моделях по вычислению амплитуды рассеяния в области кулоновской интерференции см. [63]).

Результаты фитирования по угловым распределениям в кинематической области y/s > 23 ГэВ, 0.005 ГэВ2 < — t < 3 ГэВ2 [64] представлены в табл. 1 и на рис. 5. Получаемые при фитировании феноменологические траектории Редже представлены на ранее рассмотренном нами рис. 3.

На диаграммах с дифференциальными сечениями пунктирные линии соответствуют эйконалу, в котором траектория померона заменена на ее собственное линейное приближение (т.е. учтены лишь первые два члена в разложении Маклорена). Видимое расхождение между двумя дифракционными картинами начинается уже в области \t\ ~ 0.3 ГэВ2. Это напрямую связано с тем фактом, что на большем интервале переданных импульсов линейное приближение просто перестает работать (см. рис. 3). Вышесказанное вовсе не означает, что доступный массив данных по угловым распределениям не может быть описан с помощью линейных траекторий Редже. Однако, для этого требуется введение большего числа реджеонов [38, 41], не говоря уже о том, что линейные траектории Редже противоречат выводам КХД. Таким образом, явный учет существенной нелинейности траекторий Редже помогает значительно упростить модель дифракционного рассеяния (информация о качестве описания данных в рамках нашего подхода содержится в табл. 2), что является дополнительным важным указанием на правильность физической картины сильно нелинейных траекторий Редже с асимптотическим поведением (1), (14).

Рисунок 5: Описание угловых распределений (при различных энергиях столкновения), полных сечений и /^коэффициента протон-(анти)протонного рассеяния. Для дифференциальных сечений пунктирные линии соответствуют линейному приближению к траектории померона, для полных сечений — борновскому (полюсному) приближению амплитуды рассеяния.

Также на рис. 5 представлены предсказания для полного сечения рассеяния и отношения реальной части амплитуды рассеяния вперед к мнимой в зависимости от энергии столкновения. В частности, для коллайде-ров RHIC и LHC имеем значения полных сечений сг^(200 ГэВ) « 52 мбн, (Ttot{ 14 ТэВ) «111 мбн. Значительные расхождения теоретических кривых с экспериментальными точками в области л/s < 13 ГэВ связаны с недоучетом вкладов других реджеонов, которые начинают играть значимую роль при таких энергиях.

Таблица 2. Качество описания угловых распределений упругого протон-(анти)протонного рассеяния.

Массив данных Число точек х2 y/s = 31 ГэВ (р + р-^р + р) 38 108

V^=53 ГэВ (р + р->р + р) 60 336 л/s = 62 ГэВ (р + р —у р + р) 40 156 y/s = 546 ГэВ (р + р р + р) 181 352 y/s = 630 ГэВ (р + р->р + р) 19 78 y/s = 1800 ГэВ (р + р -» р + р) 50 129 y/s = 23 ГэВ Gэ + р^р + р) 124 280 y/s = 31 ГэВ (р + р^р+р) 154 467 y/s = 53 ГэВ (р + р-Ур + р) 85 423 y/s = 62 ГэВ (р + р ->р + р) 107 409

Всего 858 2738

На диаграмме с полными сечениями пунктирные линии соответствуют мнимой части амплитуды рассеяния вперед в борновском (полюсном) приближении. Как мы видим, вклад реджевских разрезов оказывается настолько значительным (для рассмотренных процессов он в несколько раз превышает суммарный вклад С-нечетных реджеонов), что в рамках используемой нами модели описание экспериментальных данных без учета абсорбтивных поправок попросту теряет смысл. Отсюда мы приходим к важному выводу о том, что априори абсорбтивными поправками нельзя пренебрегать даже при не слишком высоких энергиях, и в любой модели адекватность такого пренебрежения всегда должна быть подкреплена явной оценкой вкладов реджевских разрезов. Этот факт часто игнорируется при описании дифракционных процессов.

Таблица 3. Параметры вычетов, полученные при описании экспериментальных угловых распределений упругого каон-протонного рассеяния. померон /2-реджеон w-реджеон

Bv 24.2 Bf 41 Вш 15.5 bp 1.67 ГэВ"2 bf 3.5 ГэВ"2 ьш 5.0 ГэВ"2 di 0.41 ГэВ"2 d2 0.12 ГэВ"4 dz -0.03 ГэВ"6

C?4 0

К сожалению, в области л/s > 23 ГэВ экспериментальная информация по другим упругим дифракционным процессам почти полностью отсутствует. Тем не менее, предложенная феноменологическая схема с эйконалом (24) может быть применена и при несколько меньших энергиях для каон-протонного рассеяния, поскольку ошибки эксперимента здесь в несколько раз больше соответствующих ошибок для протон-(аити) протонного рассеяния, и, следовательно, вкладом неучтенных вторичных реджеонов по-прежнему можно пренебречь.

Описание каон-протонной дифракции проводится по той же схеме, которая применялась для нуклон-нуклонного рассеяния, с тем исключением, что используемые траектории Редже уже были ранее зафиксированы при описании упругой дифракции нуклонов, и мы не можем далее варьировать по этим степеням свободы. t

Таблица 4. Качество описания угловых распределений упругого каон-протонного рассеяния.

Массив данных Число точек X2

Рлаб = 100 ГэВ (к- + р К~ + р) 78 131 рла5 = 200 ГэВ {К~ + р К~ + р) 25 23

Рлаб = 100 ГэВ (К+ + р К+ + р) 64 88 рлаб = 200 ГэВ (К+ +р^К++р) 35 41

Рлаб - 250 ГэВ (К+ + р К+ + р) 18 25

Всего 220 308

Результаты фитирования параметров реджевских вычетов по угловым распределениям в кинематической области yfs >13 ГэВ, —t < 2.5 ГэВ2 [65] представлены в табл. 3, 4 и на рис. 6.

Также как и в случае нуклон-нуклонного рассеяния, сравнение сечений, полученных в эйкональном (сплошные линии) и борновском (пунктирные линии) приближениях, показывает, что пренебрежение абсорб-тивнымп поправками является неоправданным.

Рисунок 6: Описание угловых распределений (при различных импульсах налетающего каона) и полных сечений каон-протонного рассеяния (пунктирные линии соответствуют борновскому (полюсному) приближению амплитуды рассеяния).

Рассеяние пионов на протонах и проблема р- реджеона

Рассеяние пионов на протонах отличается от рассмотренных выше процессов прежде всего тем, что эффективное взаимодействие пиона с реджеонами и и a<i подавлено по вычету по сравнению со взаимодействием с /?-реджеоном из-за сохранения G-четности (ширина распада мезона w(782) в два пиона в тысячу раз меньше ширины такого распада для мезона р(770)), и, следовательно, мы можем пренебречь вкладом со и й2 в эйконал пион-протонного рассеяния.

Расщепление же сечений процессов ir* р —У к* р в основном определяется вкладом р-реджеона. Однако оценку этого эффекта необходимо проводить одновременно с рассмотрением процесса тт~ р —> 7г°п, поскольку в данной реакции р-реджеон дает основной вклад в борновский член. Последовательное же описание реакции тт~ р —> 7Г° п невозможно без .существенного усложнения соответствующей феноменологической схемы через введение поляризационной структуры амплитуды рассеяния (при энергии y/s < 9 ГэВ амплитуда обменного рассеяния с переворотом спина протона в несколько раз больше амплитуды без переворота спина [66]).

В то же время экспериментальные данные по спиновым эффектам для процесса тг~ р —ж0 п при более высоких энергиях отсутствуют, затрудняя тем самым верификацию моделей, описывающих эффекты поляризации в процессе пион-нуклонной перезарядки в области y/s > 13 ГэВ.

Заметим также, что при высоких энергиях столкновения и малых углах рассеяния расщепление угловых распределений процессов 7г±р —^ 7г±р, определяемое вкладом /э-реджеона, является достаточно тонким эффектом по сравнению с самим явлением дифракционного рассеяния (в частности, в области y/s > 13 ГэВ имеет место неравенство

28)

7Г P(g\(T^^Pfs) ffi,/ ' < 0.02 и, таким образом, вклад р-реджеона сравним по велиsn^tot (s) чине с погрешностью измерения угловых распределении). Поэтому при качественной оценке дифференциальных сечений возможно пренебречь вкладом р-реджеона в эйконал, хотя тем самым теряется возможность описывать вышеупомянутый эффект расщепления сечений.

Тем не менее, мы попробуем построить модель, учитывающую вклад р-реджеона и описывающую одновременно упругое пион-протонное рассеяние в области y/s > 13 ГэВ и угловые распределения реакции пион-нуклонной перезарядки в области y/s > 10 ГэВ вместе с данными по поляризации этого процесса при максимальной доступной энергии у/s = 8.7 ГэВ. Для этого введем сразу несколько эйконалов. Это эйконалы перезарядки с переворотом спина и без него ap{t) знаки "-" и "+" соответствуют наличию и отсутствию переворота спина протона) и эйконал упругого рассеяния без переворота спина (аналогичный эйконалу нуклон-нуклонного рассеяния (24), но с заменой и-реджеона на р-реджеон): t) = £p(s, t) + 6f(s, t) 5+(s, t) = ^ + - *) j Mt) (£) Mt) + где знак минус (плюс) перед С-нечетным вкладом соответствует рассеянию положительно (отрицательно) заряженного пиона на протоне, а множитель ^ возникает из групповых соотношений изоспиновой симметрии.

Для траектории р-реджеона мы воспользуемся элементарным обобщением феноменологической параметризации Бродского, Танга и Торна [67] aJt) = -, 1 -. (30) где оА-(//) — аналитическая однопетлевая бегущая константа связи КХД (23), а Ар и ср — свободные параметры. Отметим, что эта траектория явно удовлетворяет асимптотическому соотношению (1). соответствуя, таким образом, обмену парой кварк-антикварк при больших значениях переданного импульса.

Для вычетов мы введем феноменологические приближения

3P(t) = BFebpt(l + d\t + d-212 + d313) , /3f(t) = Bfeb'\ Byt<( 1 + r+t + r+12 + rt t3) , (31) ftp W = у/^В-еь>\ 1 + rf t + r2- + r3" tz) .

Амплитуда упругого пион-протонного рассеяния в координатном представлении вычисляется в рамках эйконального приближения (10). в то время как амплитуды пион-нуклонной перезарядки — по формуле [68]

T±(s,b) = 5±(s,6)e2i^. (32)

Переход между координатным и импульсным представлениями в случае рассеяния без переворота спина осуществляется через преобразование Фурье-Бесселя (11), в то время как для случая с переворотом спина следует использовать преобразование [69]

S' Ь)=1h~s Г d^Mb^fis, t) , (33) м) - 4тг5/о°°^2Л(Ь^)/(5,6) .

Таблица 5. Параметры вычетов и траектории р-реджеона, полученные при описании экспериментальных данных пион-протонного рассеяния. померон /2-реджеон р- реджеон ср 0.01 ГэВ2

Ар 1.19

Bp 27 Bf 66 Bt 24.2 bp 2.07 ГэВ-2 bf 2.5 ГэВ"2 ч 7.9 ГэВ"2 d\ 0.365 ГэВ"2 г+ 16 ГэВ"2 d2 0.255 ГэВ-4 4 5.8 ГэВ-4 d, -0.067 ГэВ-6 rf -6.8 ГэВ"6

В 213 ГэВ-1 ь7 5.45 ГэВ"2 гТ 3.2 ГэВ-2 г2 3.7 ГэВ-4 гг -0.8 ГэВ~б

Поляризация процесса 7г р —у 7г° п определяется по формуле [70]

И наконец, если для вычисления сечения упругого рассеяния следует воспользоваться равенством (27), то для случая пион-нуклонной перезарядки необходимо применить формулу |Г+(М)12+|Г-(М)|2

It " w • { }

Результаты подгонки значений свободных параметров по дифференциальным сечениям упругого пион-протонного рассеяния [65, 71] и данным реакции пион-нуклонной перезарядки [31, 70] представлены в табл. 5 и на рис. 7, 8 (для вычисления амплитуды рассеяния в области интерференции с кулоновским потенциалом мы воспользовались тем же методом d<T 3 \-, mbxGeV" Vdt 7Г~ р -» 7Г" р 100 GeV(«104)

• , , ( 300 GeV(«10)

-t, GeV2

О 0.01 0.02 0.03 0.04

Рисунок 7: Описание угловых распределений (при различных импульсах налетающего пиона) пион-протонного рассеяния (пунктирные линии соответствуют борновскому (полюсному) приближению амплитуды рассеяния) .

Рисунок 8: Описание полных сечений пион-протонного рассеяния, угловых распределений (пунктирные линии соответствуют борновскому приближению) при различных энергиях столкновения и поляризации при энергии 8.7 ГэВ процесса 7г~ + р —> 7Г° + п и сравнение нелинейной траектории р-реджеона с выделенной в рамках борновского приближения из угловых распределений реакции пион-нуклонной перезарядки (пунктирная линия) при энергиях столкновения 8.8 ГэВ и 19.4 ГэВ.

Кана [61], что и для нуклон-нуклонного рассеяния).

Пунктирные линии на рисунках соответствуют амплитудам рассеяния, вычисленным в борновском приближении. Как и ожидалось, вклад реджевских разрезов оказывается настолько существенным, что описание экспериментальных данных без учета абсорбтивных поправок теряет смысл.

Таблица 6. Качество описания экспериментальных угловых распределений пион-протонного рассеяния.

Массив данных Число точек х2

Рлаб = 100 ГэВ (тг- + р 7Г~ + р) 172 1186

Рлаб = 200 ГэВ (тг- + р 7Г~ + р) 276 1007

Рлаб = 250 ГэВ (тг- + р 7Г~ + Р) 59 52

Рлаб = 300 ГэВ (тг~ + р 7Г + р) 59 61

Рлаб = 345 ГэВ (тг~ + р -»• 7Г + р) 57 69

Рлаб = 100 ГэВ (тг+ + р -> 7Г+ + р) 100 269

Рлаб = 200 ГэВ (тг+ -Ь р —V 7Г+ + р) 202 1174

Рлаб = 250 ГэВ (тг+ + р 7Г+ + р) 18 28

Всего 943 3846

Рлаб = 64.4 ГэВ (тг + р -¥ 7Г° + п) 23 114

Рлаб = 100.7 ГэВ (я + р -)• 7Г° + п) 23 21

РлаБ — 150 ГэВ (тг- + р —»• 7Г° + п) 23 26

Рлаб — 199.3 ГэВ (тг + р —У 7Г° + п) 23 86

Всего 92 247

Видимое отклонение теоретических кривых полных сечений от экспериментальных точек при энергиях y/s < 13 ГэВ обусловлено недоучетом вклада реджеона относительная величина которого при меньших энергиях может составить до нескольких процентов.

Отклонение теоретических кривых для процесса пион-нуклонной пере

I зарядки от экспериментальных точек при энергиях л/s < 13 ГэВ (рис. 8) также связано с недоучетом вторичных реджеонов, в частности, реджеона 6, С-нечетного партнера реджеона 7Г.

Большое значение х2 Для процессов упругого рассеяния пионов на протонах связано, в первую очередь, с тем, что в процедуре подгонки параметров мы использовали все доступные экспериментальные данные из [65, 71] в заказанных в табл. 6 кинематических областях, включая противоречащие друг другу. И здесь следует отметить, что пренебрежение вкладом /ьреджеона не приведет к существенному ухудшению качества описания собственно угловых распределений упругого рассеяния, откуда следует, что присутствие этого реджеона в процессах упругого пион-протонного рассеяния действительно является тонким эффектом, сравнимым по величине со статистическим разбросом данных.

Также на рис. 8 представлено сравнение траекторий р-реджеона, полученных тремя разными путями: в рамках нашей модели (сплошная линия), путем продолжения прямой Чу-Фраучи (пунктирная линия) и через выделение из экспериментальных угловых распределений (см. формулу (8)) при энергиях 8.8 и 19.4 ГэВ в рамках борновского приближения (адекватность которого сомнительна). Как мы видим, расхождение в результатах для этих трех различных подходов является огромным, но мы безусловно отдаем предпочтение первому варианту, поскольку эта траектория имеет асимптотическое поведение, предсказываемое КХД. И хотя в целом полученные нами результаты не являются идеальными, в интервале передач импульса 0 < — t < 1.5 ГэВ2 качество описания дифференциальных сечений пион-протонного рассеяния в рамках нашего весьма грубого подхода является вполне достаточным для подтверждения такого макроскопического эффекта, как следующая из КХД существенная нелинейность траекторий Редже в области дифракционного рассеяния.

В заключение данной главы еще раз отметим, что при описании процессов упругого дифракционного рассеяния легких псевдоскалярных мезонов на протонах были использованы те лее приближения к вакуумным траекториям Редже, что и для протон-(анти)протонного рассеяния. Подчеркнем, что существенная нелинейность этих функций указывает на наличие явного соответствия реджевской феноменологии дифракционных процессов результатам, полученным в рамках КХД. Сам по себе проведенный нами феноменологический анализ, конечно же, не является строгим доказательством существенной нелинейности фундаментальных траекторий Редже в области дифракционного рассеяния, поскольку общие принципы не запрещают траекториям Редже иметь немонотонное поведение при отрицательных значениях аргумента. Но все известные модели с линейными траекториями, более или менее успешно описывающие экспериментальные данные, имеют гораздо более сложную ре-джеонную структуру, что свидетельствует в пользу гипотезы о нелинейности вместе с фундаментальными соотношениями КХД. Используя же нелинейные траектории Редже, нам удалось одновременно качественно описать дифракционную картину различных процессов адрон-адронного рассеяния в рамках единой имеющей прозрачный физический смысл минимальной феноменологической схемы, учитывая лишь те ре-джеоны, значимость вклада которых не может быть подвергнута сомнению.

ЭКСКЛЮЗИВНОЕ ДИФРАКЦИОННОЕ ЭЛЕКТРОРОЖДЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ МЕЗОНОВ

Векторная доминантность

Помимо процессов упругого рассеяния, обмены вакуумными реджео-нами определяют дифракционную картину процессов эксклюзивного электророждения векторных мезонов. В частности, в этой главе мы применим нашу модель к описанию реакций типа 7* + р —> V + р, где V — векторный мезон, р — протон, а 7* — виртуальный фотон (в дальнейшем звездочка будет означать тот факт, что соответствующая частица находится вне массовой оболочки), излученный заряженной частицей (например, позитроном). Обычно при рассмотрении таких процессов для обозначения энергии столкновения употребляют символ W (вместо применяемого для упругого рассеяния адронов).

Для описания этих реакций мы будем использовать модель векторной доминантности [46], физическая идея которой заключается в следующем: сначала налетающий фотон флуктуирует в некое виртуальное состояние V* с единичным спином, а затем этот виртуальный векторный мезон рассеивается на протоне, превращаясь на выходе в реальный векторный мезон V (см. рис. 9).

В соответствии с так называемой гипотезой s-канального сохранения спиральности, адекватность которой проверена в ряде экспериментов

72, 73, 74], основной вклад в сечение рассеяния таких реакций дается амплитудами без переворота спина, которые могут быть представлены в форме t, Q2) = £ C*,(Q2)T^pVp(W2, t, Q2), (36)

V' где суммирование идет по всем нейтральным состояниям с единичным спином, Cy,(Q2) — так называемый коэффициент векторной доминантности, зависящий от типа векторного мезона У, спиральности А и виртуальности Q2 налетающего фотона, a Ty,*^v (W2, t, Q2) — амплитуда адронного дифракционного процесса V'* + р —У V + р, имеющая редже-эйкональную структуру (вопрос применимости редже-эйконального подхода к описанию дифракционных процессов с частицами вне массовой оболочки подробно разобран в работе [75]). 7

Q2 р — t ^ Р

Рисунок 9: Диаграмма, соответствующая обмену отдельным реджеоном в процессе электророждения векторного мезона.

Поскольку для достаточно малых передач импульса эффекты дифракционного возбуждения подавлены по сравнению с упругим рассеянием (например, упругое протон-протонное рассеяние имеет гораздо большее сечение, чем дифракционное возбуждение резонанса N(1470) в столкновениях протонов), то при достаточно высоких энергиях (W > 30 ГэВ), когда обмены вакуумными реджеонами доминируют над невакуумными обменами (основной индикатор такого доминирования — заметный рост сечений с энергией столкновения), имеет силу так называемое "диагональное приближение" модели векторной доминантности

И наоборот, для последовательного описания данных при энергиях столкновения W < 30 ГэВ надо учитывать вклад невакуумных реджеонов (в первую очередь, а2), и в этом случае приближение (37) становится неоправданным.

Отметим, что недавние измерения, проведенные на коллайдере HERA [72, 73, 74], не обнаружили явной зависимости отношения сечений рассеяния продольно и поперечно поляризованных фотонов от угла рассеяния и энергии столкновения. По этой причине мы опустили в равенстве (37) индекс Л для величины Ту*р->ур(УУ2, t, Q2). Другими словами, данные эксперимента позволяют предположить, что спиновые явления, связанные с зависимостью амплитуды Ty*p->yp{\V2, t, Q2) от спиральностей налетающих и вылетающих частиц, являются гораздо более тонкими эффектами, чем само явление дифракционного рассеяния (такая же картина имеет место и для упругого рассеяния адронов), что в будущем даст нам возможность рассматривать лишь усредненные по спиральностям физические величины.

Согласно (37) и реджевской теории вклад отдельного С-четного ре-джеона R (вклады С-нечетных реджеонов в диагональные члены полностью отсутствуют из-за сохранения С-четности) в полюсную (борнов-скую) часть амплитуды T^,p^Vp(W2, £, Q2) имеет следующий вид

7 *p-tVp

W2,t? Q2) = C^(Q2)TV^VP(W2, t, Q2). (37)

CUQ2)5l'(W2,t,Q2) = C*(Q2)x

2 \ Or(') xrJT^rgXi) « + tg где Wq = 1 ГэВ, otr(£) — траектория реджеона, а ГRV(t,Q2) и — реджевские форм-факторы участвующих в реакции частиц.

Модель векторной доминантности в ее простейшей форме дает [46] с?т =

3iwe- м2 (C°V(Q2)YQ2 (39) aeMv М* + Q2 ' {CfiQ*)) My где My — масса векторного мезона, ае = ^ —■ постоянная тонкой структуры, а Г^).е+е- — ширина распада векторного мезона на пару электрон-позитрон. Однако, эти соотношения противоречат как экспериментальным данным по зависимости коэффициента R(Q2) = ~ (<P^Q2)) от Q2 [72, 73, 74], так и правилам кваркового счета [76], согласно которым структуры Q2V^'v(t, Q2), Q2C^{Q2)Tl'v(t, Q2), и, таким образом, Cfr(Q2) должны демонстрировать умеренное (не степенное) поведение при больших Q2.

Чтобы обойти эту трудность, необходимо модифицировать коэффициенты векторной доминантности сШ) =

ЗГу^е+е- My

F№>) (40) aeMv M^ + Q2' и, соответственно, вклады реджеонов в полюсную часть амплитуды c№)s£(w2,t,Q*) =

ЗГ^е+еxF*(Q2) Ti'v(t,CF)T%(t)\i + tg аеМу Mfr + Q* тгkw -1)\ (w2\aR{t) х (41)

2 ) \WQ2) ' где для любого спинового состояния виртуального фотона Л имеет место равенство F$(—My) = 1, а сама функция Fy(Q2)T^*v(t, Q2) с ростом Q2 эволюционирует не степенным образом.

В дальнейшем мы сосредоточимся на рассмотрении дифракционной картины (^-зависимость) эксклюзивного рождения векторных мезонов и описании ее эволюции с ростом энергии столкновения (Независимость).

Поэтому, поскольку второй множитель в правой части (37) практически не зависит от спиральности фотона А, мы можем работать с физическими величинами, усредненными по А. Усредненный полюсной вклад реджеона R в амплитуду рассеяния принимает вид

Cv(Q2)5£(W\t,Q2) =

ХГQ*)rm (; + tg-5-,,

7Г aeMv М$г + Q2 (aR(t) - 1)\ (W2\a^ х (42) где

CV(Q2) А

UH(Q2))2, (43) А f{T(t, о2) ^ Ы<?)тГЧ, Q2), г-мЬ) = гГ« •

В известной работе [77] была предложена зависимость FyiQ2) = 1 + где myo — так называемая "затравочная" масса векторного мезона. При устремлении ту о к бесконечности коэффициенты векторной доминантности принимают форму (39). Интересная особенность такого варианта заключается в возможности расширить зону применимости модели векторной доминантности в область произвольно больших значений Q2. В нашем случае нет нужды задавать конкретную функциональную форму FV(Q2), поскольку из-за отсутствия детальной информации о поведении Гд v(t,Q2) с ростом Q2 это не поможет нам определить <52-эволюцию усредненного форм-фактора Q2). Согласно правилам кваркового счета [76], ГRV(t, Q2) ~ Q~2 при больших Q2 (отметим, что такое поведение подразумевает нарушение бьеркеновского скейлинга [78]). Поэтому усредненный форм-фактор ГR*V(t,Q2) должен зависеть от Q2 не степенным образом.

Редже-эйкональная модель для эксклюзивного рождения векторных мезонов

Теперь мы можем перейти к построению амплитуды рассеяния в рамках редже-эйконального подхода. Как уже было продемонстрировано в предыдущей главе, при описании сечений упругого дифракционного рассеяния адронов достаточно ввести лишь одну траекторию с интерсептом больше единицы — померон, в литературе называемый также "мягким" помероном. Но в процессах с присутствием жесткого масштаба (например, большой виртуальности фотона или массы тяжелого векторного мезона) пертурбативные эффекты начинают играть значимую роль, и рост сечений с энергией столкновения становится гораздо заметнее, чем в мягких дифракционных процессах. В свете этого возникает необходимость введения одного или нескольких дополнительных реджеонов, связанных с пертурбативными эффектами, чьи траектории расположены выше траектории мягкого померона, а вклад в эйконал мягких упругих процессов подавлен по вычету [79].

В дальнейшем мы будем использовать минимальную редже-эйкональ-ную модель, в основу которой положена идея Доннаки и Ландсхоффа [80, 47], что в случае наличия жесткого масштаба необходимо введение лишь одного дополнительного реджеона ("жесткого" померона). Различие между нашей реализацией этой идеи и моделью Доннаки-Ландсхоффа заключается в выборе формы траекторий Редже, поскольку авторы [80, 47] настаивают на строгой линейности траекторий, в то время как мы используем существенно нелинейные параметризации, удовлетворяющие асимптотическим соотношениям КХД.

Мы предполагаем, что при энергиях W > 30 ГэВ вклады вторичных реджеонов сравнимы с ошибками эксперимента, и поэтому мы можем пренебречь ими в грубом приближении. В этом случае борновская (полюсная) часть амплитуды рассеяния (сумма однореджеонных обменов) принимает форму

Cv(Q2)5v'(W2,t,Q2) ее S*(W2,ttQ2) = Sl(W2,t,Q2) + 6b(W2.t,Q2) =

- K'+'S^^) ^'«.«Ww* („, где Q'p(t) и cvh(^) — траектории мягкого и жесткого померонов. ГрF(t) и Гр v(t,Q'2) — мягкопомеронные форм-факторы протона и векторного мезона, a Q2) = {t, Q2)Y^{t) — реджевскип вычет жесткого померона. Форм-факторы Г{Р'(£, Q2) и Г^ (f) были объединены в один множитель (t,Q2), поскольку жесткий померон не дает заметного вклада в эйконал нуклон-нуклонного рассеяния при доступных энергиях, и поэтому мы не можем отдельно зафиксировать форм-фактор ГцР(£), используя данные по упругой протон-(анти)протонной дифракции.

Соответствующий эйконал упругого I '^-рассеяния имеет вид + «(О®)

2 \ ан(О

Траектория мягкого померона и мягкопомероннып форм-фактор протона (/3pP(t) — (Гр?{t))2) были зафиксированы ранее при описании упругого рассеяния нуклонов (см. (19), (25) и табл. 1). Поэтому мы не сможем варьировать по этим функциональным степеням свободы.

Параметризацию жесткого померона выбираем несколько похожей на ранее использованную для р-редже он а (30). = 1 + + + ■ <46) где as(p) — аналитическая одноиетлевая бегущая константа связи КХД (23), а Ан и сн — свободные параметры. Отметим, что эта траектория явно удовлетворяет асимптотическому соотношению (2), соответствуя, таким образом, обмену двумя глюонами при больших значениях переданного импульса.

Ввиду достаточно больших ошибок эксперимента, для любого значения Q2 форм-фактор Q2) и вычет j3^*(t,Q2) могут быть приближены экспонентами

Г Vv{t,Q2) = ^(QVp^4, = B%(Q*)eb (47)

Полная амплитуда вычисляется через обобщенное эйкональное представление [75]

Tr^Vp(W\ Ь, <32) = Ь) = (48) 5V(Ab) --- = ^+ i5'(W2'Q2)^2'b) + здесь Tvp^vp(W2,b) = e2'S ,Ь)~1 — эйконализованная (унитаризован-ная) амплитуда упругого Vр-рассеяния).

Для перехода из импульсного представления в координатное и обратно мы по-прежнему используем преобразование Фурье-Бесселя (11) (с заменой s на W2).

Дифференциальное сечение вычисляется по стандартной формуле d(J-/*p->vp |Trp^Vp(W2, t, Q2) |2 , v dt 16тгТУ4 ' 1 J

Описание экспериментальных данных

Обратимся к описанию угловых распределений конкретных реакций. К сожалению, в настоящее время экспериментальные данные по процессам упругого Vp-рассеяния при интересующих нас энергиях полностью отсутствуют. Тем не менее, ввиду достаточно слабой зависимости усредненных реджевских форм-факторов от Q2 (ниже мы увидим, что, в полном соответствии с правилами кваркового счета [76], этот факт действительно имеет место), мы можем без существенного ущерба для конечного результата предположить, что (t) = T%"v(t,—My) « rjf^i, 0)

Поэтому рассмотрение всех реакций электророждения векторных мезонов будет проходить в два этапа: сначала описываются соответствующие процессы при Q2 ~ 0 (называемые также процессами фоторождения), что позволяет зафиксировать эйконал упругого рассеяния 5V (W2, t), а уже затем — реакции электророждения при ненулевых значениях Q2.

В соответствии с экспериментальными данными вычисляемые полные (интегрированные) сечения эксклюзивного рождения получаются из угловых распределений интегрированием по 0 < — t < 0.6 ГэВ2 для легких мезонов, по 0 < — t < 1.25 ГэВ2 для фоторождения J/ф и по 0 < — t < 1.0 ГэВ2 для электророждения J/ф.

Начнем с рассмотрения эксклюзивного рождения мезона </>(1020) [81, 73]. Поскольку основной массив экспериментальных данных, относящихся к этому процессу, сосредоточен в области не слишком больших энергий столкновения (W <140 ГэВ) и виртуальностей налетающего фотона (Q2 < 14 ГэВ2), а ошибки эксперимента довольно велики, мы можем значительно упростить модель, пренебрегая вкладом жесткого померона (т.е. полагая /Зд ([t, Q2) « 0) не только в области Q2 ж 0, но и при ненулевых значениях Q2. Более того, для виртуальностей Q2 > 2 ГэВ2 мы можем пренебречь ^-зависимостью форм-фактора Гр ^(t, Q2), предполагая, что в этой области bp(Q2) ps 0, и ^-зависимость мягкопомеронного вычета целиком определяется форм-фактором ГрР(£). Такая ситуация соответствует взаимодействию мягкого померона с точечными объектами внутри ф, что находится в согласии с партонной моделью. При этом для всех ненулевых значений Q2 мы имеем только один свободный параметр, -Bp(Q2), поскольку функции ap(t) и ГрР(£) фиксированы при описании протон-(анти)протонного рассеяния.

Таблица 7. Параметры вычетов, полученные при описании экспериментальных угловых распределений реакции 7* + р —> ф + р.

Q2, ГэВ2 0.0 2.4 3.6 5.0 6.5 9.2 13.0 19.7

Bt(Q2) 3.1 2.8 2.77 2.75 2.73 2.72 2.7 2.3 bi(Q2): ГэВ"2 0.6 0 (фиксировано) \t\ >ЦГ=ТЬГэВ, ГэВ2 0.13 0.20

Результаты фитированпя данных представлены в табл. 7 и на рис. 10. Наше очень грубое приближение обеспечивает приемлелгое описание данных для не слишком больших значений Q2 (при Q2 = 5 ГэВ2 — X2 = 17.5 по 35 точкам), указывая на тот факт, что мягкий померон доминирует даже при заметно отличных от нуля значениях виртуальности фотона, в то время как вклад жесткого померона сравним по величине с ошибками эксперимента.

В соответствии с ранее сделанными замечаниями, величина B^(Q2) меняется достаточно слабо с ростом Q2. Также в табл. 7 приведено среднее значение квадрата переданного импульса |t|, связанное с величиной эффективного поперечного радиуса взаимодействия, R2 |£| >-1, при W = 75 ГэВ.

Количество и качество данных по электророждению мезона J/-0(3096) [82, 72] не позволяет нам пренебречь ни вкладом жесткого померона, ни

Рисунок 10: Описание угловых распределений и интегрированных сечений эксклюзивного электророждения мезона </>(1020) (пунктирные линии соответствуют борновскому (полюсному) приближению амплитуды рассеяния) при различных значениях энергии столкновения W й виртуальности налетающего фотона Q2. наклоном форм-фактора Гр^ J^(t,Q2). Результаты фитирования представлены в табл. 8 и на рис. 11,12. Для фоторождения J/ф мы получили х2 = по И4 экспериментальным точкам. (32-эволюция < |£| > при энергии столкновения W = 90 ГэВ является достаточно медленной во всем интервале 0 < Q2 < 25 ГэВ2, указывая на тот факт, что из-за присутствия жесткого масштаба М/д<, пертурбативные эффекты играют значимую роль даже при Q2 « 0.

Таблица 8. Параметры вычетов и траектории жесткого померона. полученные при описании экспериментальных угловых распределений реакции 7* + р —у J/ф + р.

Q\ ГэВ2 0.0 3.2 7.0 16.0 22.4

BJV'\Q2) 0.25 0.23 0.21 0.19 0.18 bJJ\Q2), ГэВ-2 0.3 0.3 0.25 0.2 0.2

0.22 0.21 0.2 0.19 0.185

ЬЕФ(Я2), ГэВ-2 1.3 1.3 1.25 1.2 1.2 t\ >И'=90 ГэВ J ГэВ2 0.25 0.25 0.26 0.27 0.27

Ан 2.9 сн, ГэВ2 0.1

Плавное изменение B^(Q2) и B^(Q2) и уменьшение bp^(Q2) и ъЦф(Я2) с ростом Q2 (см. табл. 8 и рис. 12) также находятся в полном согласии с вышесказанным. Помимо всего прочего, на рис. 11 приводится сравнение траекторий мягкого и жесткого померонов. Отметим, что кроме того, что траектория имеет асимптотику Киршнера

Липатова (2), соответствующую двухглюонным обменам при больших передачах импульса, ее интерсепт ан(0) « 1.292 почти совпадает с грубой теоретической оценкой снизу на величину интерсепта траектории жесткого померона, полученной в рамках подхода БФКЛ [56]. Столь сильное отклонение траектории от единицы приводит также к тому, что

0 0-5 1 1.5 2 о 0.5 1 1.5 2

Рисунок 11: Описание угловых распределений эксклюзивного фоторождения мезона J/i/j(3096) при различных значениях энергии столкновения W и сравнение траекторий жесткого и мягкого померонов. вклады жесткого померона в реальную и мнимую части эйконала оказываются сравнимыми по величине, что находится в согласии с более общими соображениями [83].

Рисунок 12: Описание угловых распределений и интегрированных сечений эксклюзивного электророждения мезона «7Д/>(3096) при различных значениях виртуальности налетающего фотона Q2.

Наконец, после фиксации траектории жесткого померона, мы можем перейти к описанию эксклюзивного рождения мезона 770) [84, 74]. В случае фоторождения (Q2 « 0) у нас есть возможность пренебречь вкладом жесткого померона, поскольку имеет место непертурбативный режим. Однако, при описании электророждения мы сталкиваемся с определенной трудностью. С одной стороны, высокое качество данных по интегрированным сечениям при ненулевых значениях Q2 не позволяет нам пренебречь вкладом жесткого померона, как мы это делали при рассмотрении электророждения ф, а с другой, небольшой массив данных по угловым распределениям (вместе с их не слишком хорошим качеством) не позволяет однозначно определить значения наклонов функций /Зд (£, Q2) О* и Гр (t,Q2) при фиксированных значениях Q2. Поэтому мы, .памятуя о том, что эти величины должны меняться достаточно медленно с ростом Q2, положим их равными соответствующим наклонам для фоторождения J/ф, т.е. bpp(Q2) » 6^(0) = 0.3 ГэВ"2 и b£(Q2) ю 5^(0) = 1.3 ГэВ"2.

Таблица 9. Паралхетры вычетов, полученные при описании экспериментальных угловых распределений реакции 7* + р —> р° + р.

Q2, ГэВ2 0.0 2.5 3.7 5.0 8.0 11.9 13.5 19.7 32.0 41.0

3.68 3.5 3.6 3.3 3.0 2.6 2.5 2.0 1.7 1.5 bg(Q2), ГэВ"2 0.8 0.3 (фиксировано) в&т 0 (фикс.) 0.5 0.6 0.7 0.9 1.0 1.0 1.2 1.1 1.0

6&°(Q2), ГэВ-2 1.3 (фиксировано)

Результаты представлены в табл. 9 и на рис. 13. Также как и в случае рождения других мезонов, коэффициенты Bp (Q2) и Вд (Q2) оказываются слабо зависящими от Q2.

Здесь следует еще раз подчеркнуть, что достаточно большие массивы данных, позволяющие однозначно фиксировать значения свободных параметров существуют лишь для случаев электророждения </>-мезона (для значения Q2 = 5 ГэВ2 имеется 1 свободный параметр против 35 экспериментальных точек) и'фоторождения J/ф-мезона (б свободных параметров против 114 точек) и уо°-мезона (2 параметра против 30 точек). В случаях электророждения J/ф и р°, данные не позволяют однозначно зафиксировать наклоны hp(Q2) and b^(Q2). Тем не менее, даже имеющейся экспериментальной информации достаточно для утверждения о том, что картина существенно нелинейных траекторий Редже успешно прошла верификацию на описании эксклюзивного рождения векторных мезонов.

Рисунок 13: Описание угловых распределений и интегрированных сечений эксклюзивного электророждения мезона р°(770) (пунктирные линии соответствуют борновскому (полюсному) приближению амплитуды рассеяния) при различных значениях энергии столкновения W и виртуальности налетающего фотона Q2.

Подытожим полученные результаты.

Успешное одновременное описание данных протон-(анти)протонного рассеяния и электророждения ^-мезона при небольших значениях Q2 (особенно при Q2 = 5 ГэВ2) в рамках модели с одним помероном свидетельствует о том, что обмены мягким помероном абсолютно доминируют не только в адрон-адронном дифракционном рассеянии, но и в электророждении легких векторных мезонов при не слишком больших вирту-альностях налетающего фотона. Результаты описания высококачественных данных по интегрированным сечениям электророждения р° подтверждают тот факт, что при доступных энергиях и небольших Q2 (порядка нескольких ГэВ2) для легких мезонов вклад жесткого померона в эйконал (борновский член) в несколько раз меньше вклада мягкого померона.

Успешное описание фоторождения J/ф в рамках двухпомеронной модели с жестким помероном, имеющим асимптотику Киршнера-Липатова [11] в области больших передач импульса, указывает на тот факт, что жесткий померон имеет пертурбативную природу (в отличие от мягкого) и доминирует в области больших Q2 и больших W.

Отметим также несколько дополнительных важных особенностей такого описания.

Во-первых, так же как и в случае адрон-адронного рассеяния предложенная для описания электророждения векторных мезонов схема является минимальной, т.е. учитываются вклады лишь тех реджеонов, значимость которых не может быть подвергнута сомнению, как по теоретическим, так и по феноменологическим соображениям.

Во-вторых, были использованы не зависящие от Q2 траектории Редже, и, таким образом, было продемонстрировано отсутствие необходимости введения эффективной зависимости вакуумных траекторий от виртуальности налетающего фотона (такой подход очень популярен в литературе; см., например, [85, 86, 87]). На самом деле, такая: зависимость противоречила бы общим принципам, поскольку траектории Редже являются универсальными аналитическими функциями одной переменной, не зависящими от свойств рассеивающихся частиц. Нефизическая же сущность этой гипотезы о (^-зависимости замаскирована приближенным равенством (3v(t,Q2)W2a*^ + f3E(t,Q2)W2ailW « (3(t,Q2)W2a^'Q2\ имеющим силу лишь в ограниченной кинематической области.

В-третьих, так же как и для адрон-адронного рассеяния, мы явно продемонстрировали, что, в общем случае, в процессах эксклюзивного электророждения векторных мезонов пренебрежение вкладами реджевских разрезов не оправдано. Это было достигнуто путем сравнения сечений в борновском (пунктирные линии) и эйкональном (сплошные линии) приближениях.

Таким образом, использование существенно нелинейных параметризаций траекторий Редже, явно удовлетворяющих фундаментальным асимптотическим соотношениям КХД, позволило нам одновременно описать реакции упругой протон-(анти)протонной дифракции вместе процессами эксклюзивного электророждения векторных мезонов при энергиях столкновения более 30 ГэВ в рамках простой редже-эйкональной схемы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Перечислим основные результаты работы.

• Была предложена физическая картина нелинейных в области рассеяния траекторий Редже, возникшая при попытке совместить данные адронной спектроскопии и реджевской феноменологии дифракционных процессов с фундаментальными результатами, полученными в рамках КХД. При этом было продемонстрировано, что следующая из КХД принципиальная нелинейность траекторий Редже является существенной не только в пертурбативной, но и в дифракционной области, и ею нельзя пренебрегать при описании дифракционных процессов.

• На основании вышеупомянутой картины была построена минимальная редже-эйкональная модель с существенно нелинейными траекториями Редже и явным учетом асимптотического поведения реджеонов в пертурбативном секторе КХД.

• В рамках предложенной модели было получено описание угловых распределений и полных сечений различных эксклюзивных процессов дифракции адронов при высоких энергиях. Сделаны предсказания для сечений протон-протонного рассеяния на коллайдерах RHIC и LHC. Было явно продемонстрировано, что линейное приближение является адекватным лишь в относительно узкой области сверхмалых передач импульса.

• Была построена расширенная редже-эйкональная модель для процессов эксклюзивного электророждения векторных мезонов, находящаяся в согласии с правилами кваркового счета.

• В рамках расширенной редже-эйкональной модели было получено описание имеющихся данных по эксклюзивному фото- и электророждению векторных мезонов при энергиях более 30 ГэВ. Было продемонстрировано, что нет никакой необходимости вводить противоречащую общим принципам эффективную зависимость траекторий Редже от виртуальности налетающего фотона.

• При рассмотрении различных процессов было показано, что в общем случае пренебрежение абсорбтивными поправками неоправданно даже в области не слишком высоких энергий.

На основании вышеперечисленных результатов мы делаем основной вывод, что картина существенно нелинейных траектории Редже, имеющих асимптотическое поведение КХД, не только позволяет избежать теоретических трудностей, возникающих при использовании линейных траекторий, но и является очень полезной в практическом отношении, позволяя описывать различные дифракционные процессы в рамках максимально упрощенных (минимизированных) реджевских схем, что, в свою очередь, является указанием на ее физическую адекватность.

ПРИЛОЖЕНИЕ. Основы редже-эйкональной модели

Впервые сочетание эйконального представления с полюсами Редже было рассмотрено в [88]. Более или менее полное изложение редже-эйкональной модели может быть найдено в [89]. В данном приложении мы приводим конспект основных положений и результатов.

Рассмотрим процесс упругого взаимодействия двух элементарных скалярных частиц, которые в дальнейшем мы будем условно называть "адро-нами". Основной физической характеристикой такой реакции является дифференциальное сечение рассеяния которое в пределе высоких энергий может быть выражено через алшлитуду упругого рассеяния T(s,t) (здесь s - квадрат энергии столкновения в системе центра масс, t - квадрат переданного 4-импульса) следующим образом da = 1Т(М)12 dt 167Г52 ' V ' ;

В случае короткодействующих сил мы можем ввести эйкональное представление амплитуды рассеяния

2iS(s,b)

T(s,b) =---. (П.2)

Последняя формула (являющаяся по сути определением эйконала) записана в координатном представлении. Из одного представления в другое мы можем переходить с помощью преобразования Фурье-Бесселя

I Г СО s'6) = 16^/о d(~t)Jo(Ь^)ДМ), (П.З) f{s, t) = 47ts db2J0(b^t)f{s, b).

OO

Само по себе эйкональное представление не дает каких-либо сдвигов в рассмотрении нашей проблемы, поскольку просто сводится к замене T(s,t) на S(s,t), не конкретизируя вид самого эйконала. Ключевым будет предположение, что эйконал с высокой степенью точности пропорционален "эффективному" (квази-)потенциалу взаимодействия адро-нов, подобно тому, как это имеет место в нерелятивистской квантовой механике, только сам (квази-)потенциал на этот раз является релятивистским. Согласно интерпретации Ван-Хова [90] релятивистского (квази-)потенциала как "суммы" всех одночастичных обменов в ^-канале, мы можем представить эйконал в виде адронный ток (индекс / характеризует тип участвующей в процессе частицы), Д - переданный 4-импульс, t = Д2, pi,p2 ~ 4-импульсы налетающих адронов, s = (pi Р2)2, знак означает суммирование по всем частицам спина j с различной массой, которое в дальнейшем перейдет в сумму по траекториям Редже). Наложим на общую зависимость всевозможных адронных токов от Д следующие ограничения: полную симметричность по всем поперечность по Аак (к = 1,., j) и бесследовость по любой паре индексов. Первые два условия дают здесь °3-а2--пропагатор частицы спина j и массы mj, J^'™^ А т р, А) = £ гр"'0 {р\ д2, (рД)) х (П.5) к= О где rj/'J'm^(p2, А2, (рА)) - некоторые скалярные функции, Р xEG,

Gap = — gap 4- , а внутреннее суммирование проводится по всем неэквивалентным перестановкам лоренцевских индексов (всего (2k)\[(j~2ky. слагаемых). Условие же бесследовости с учетом того, что gaftGaP = -3, РаРа = 1, ga<3GaiGp8 = , Gaf,pP = -Pa) (П.6) приводит к рекуррентным соотношениям гр"'У,д2,(/>д)) =

Г<{Г'У,ДМРД)) 2(J - k) + 1

Отсюда находим:

П.7)

И х£

А) = А2, (рД))х

2(j-k)-l)l\

П.8) л0 (2j - 1)!! • Подставляя (П.8) в (П.4) и учитывая поперечность и бесследовость адрон-ных токов, получаем выражение для эйконала j—Q rrij TTlj — -А

PiA)(P2A)

Р1Р2 ~

2JY '' где Pj(x) - полиномы Лежандра j-ой степени, а 7

П.9)

Л, = if (l-l A\ (piA))TihJm,(pl Д2, (р2Д)). (П.10)

Для упругого рассеяния pi - А)2 = р? = m? , (р2 + А)2 =р1 = гп1

П.11)

Применяя кинематические соотношения

А2

Р1,2Л = i-g-,

Р1Р2 s — Шл — т.,

A2 = t

П.12) упростим выражение для эйконала (в дальнейшем мы будем опускать индексы /i, /2, характеризующие типы участвующих в реакции частиц): sis t)-TY в!) ( s-ml-ml + t \

Разобьем сумму no j в правой части (П. 13) на две, по четным и нечетным j соответственно,

00 JJ .^,3,^)3) {t) = £ (-1) X о j;=±1 Щ^И 2 4 ' m{r])j ~ t

П. 14)

У№гг ( »-т?-т| + $ ^

Каждая из последовательностей 7т^у (j = 0, 2, 4,., 2п,. при г) = +1 и j = 1,3,4, .,2п — 1,. при г] = —1) по отдельности удовлетворяет условию теоремы Карлсона [91], которая утверждает, что если для функции комплексной переменной f(x) выполнено условие f(x) < е*'ж1 при к < 7г и |ж| —> оо, то эта функция однозначно определяется своими значениями при целых х.

Теперь мы сделаем следующее ключевое предположение о возможности аналитического однозначного, в силу теоремы Карлсона, продолжения (П. 14) в область комплексных значений j (гипотеза Редже или постулат максимальной аналитичности второй степени [92, 28]). В нашем случае оно сводится к утверждению того, что mf^j и 7в (П.13) являются значениями аналитических (голоморфных по комплексной переменной j) функций при целых неотрицательных значениях j. Обозначим эти функции m2(j) и l^it^j.m^j)) соответственно. С помощью преобразования Зоммерфельда-Ватсона [93] заменим сумму по j в (П. 14) на интеграл по контуру С в комплексной плоскости переменной j, огибающему действительную положительную полуось, включая точку j = О, так, что полуось все время остается справа i(t rt lf dj ^ г, + \ 71"» (t, j, ml(j))

7]—±i ,u'l \ ^ /

2jr2(j + 1) D / . 5 - mf - ml + | x ^ . 'P j, r(2i + 1) r ' здесь P(j,x) ~ аналитическое продолжение полиномов Лежандра Pj (ж) в область комплексных j, a T(j) - гамма-функция Эйлера). Поскольку (согласно нашему предположению) единственными источниками сингулярностей подынтегрального выражения в области Re j > — | являются нули функций sin(7rj) и m2(j) — t, то, деформируя контур С и переходя к контуру, идущему параллельно мнимой оси, Re j = — приходил! к

Ж ^ - 1 dj ^ ^ ( v +

6[S'~ 2i sinfa) Д fc I 2 J m2(j) - i r(2j + 1) P [J> 2I) J + (ПЛ6) j=±l »

An) sm{na^(t))) dt / (IJ) 5 - m? - mi + §

Ы / .ч -4 n V J '

Г(2а£ч>(*) + 1) V " W ' где функции a^(^) - корни уравнений m2(j)—t = 0 и, таким образом, соответствуют полюсам эйконала в области комплексных значений j. Эти полюсы называют полюсами Редже, а сами функции а$ (t) - траекториями Редже (С-четными при i] = +1 и С-нечетными при г) = —1).

При s mf + m2 — | вкладом фонового интеграла можно пренебречь, а полиномы Лежандра могут быть описаны лидирующими членами разложения по s. Поэтому, вводя новую функцию ми) = dan]м ( sQ \a")(t) m 17ч ()- dt 2 UVK-dm-DJ ' (iL17j где so - любой наперед выбранный масштаб (заметим, что функции Pn,s°\t) зависят от выбранного масштаба so (обычно полагают «о = 1 ГэВ2, в дальнейшем мы будем опускать индекс so в обозначении ре-джевских вычетов), а также может быть отфакторизована на два множителя (см. (П.10)), каждый из которых соответствует реджевскому форм-фактору одной из сталкивающихся частиц), в пределе высоких энергий получаем

M)-?(.4.s«f^>)«(1)(if'% №.8) где знак минус (плюс) перед С-нечетными вкладами соответствует рассеянию частицы на частице (античастице).

Последняя формула (отметим, что она подходит и к тем одночастич-ным обменам, для которых нарушено (П.11), т.е. как для неупругого рассеяния 2 —> 2, так и для реакций, где одна или более частиц лежат вне массовой оболочки) вместе с эйкональным представлением амплитуды (П.2) и составляет содержание редже-эйкональной модели.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1] Ф. Индурайн. Квантовая хромодинамика. - М.: МИР, 1986.

2] Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. - М.: НАУКА, 1984.

3] П. Коллинз, Ю. Сквайре. Полюса Редже в физике частиц.

М.: МИР, 1971.

4] П. Коллинз. Введение в реджевскую теорию и физику высоких энергий. - М.: АТОМИЗДАТ, 1980.

5] Е.Е. Salpeter, Н.А. Bethe, Phys.Rev. 84, 1232 (1951); N. Nakanishi, Prog.Theor.Phys.Suppl. 43, 1 (1969).

6] А.А. Годизов, B.A. Петров, ЭЧАЯ 39, 243 (2008).

7] A.A. Godizov, V.A. Petrov, JEEP 0707, 083 (2007).

8] А.А. Годизов, ЯФ 71, 1822 (2008).

9] A.A. Godizov, V.A. Petrov, Phys.Rev. D 78, 034028 (2008).

10] J. Kwiecinski, Phys.Rev. D 26, 3293 (1982).

11] R. Kirschner, Z.Phys. С 67, 459 (1995).

12] R. Kirschner, L.N. Lipatov, Z.Phys. С 45, 477 (1990).

13] Е.А. Кураев, Л.Н. Липатов, B.C. Фадин, ЖЭТФ 71, 840 (1976); Я.Я. Балицкий, Л.Н. Липатов, ЯФ 28, 1597 (1978).

14] V.S. Fadin, L.N. Lipatov, Phys.Lett. В 429, 127 (1998); M. Ciafaloni, G. Camici, Phys.Lett В 430, 349 (1998).

15] V.A. Petrov, arXiv: hep-ph/0603103 .

16] I. Balitsky, Nucl.Phys. В 463, 99 (1996);

Yu. Kovchegov, Phys.Rev. D 60, 034008 (1999).

17] C. Lovelace, Nucl.Phys. В 95, 12 (1975).

18] D. Heckathorn, Phys.Rev. D 18, 1286 (1978).

19] P.V. Landshoff, arXiv: 0709.0395 .

20] H.I. Miettinen, J. Pumplin, Phys.Rev. D 18, 1696 (1978).

21] R.J. Glauber, J. Velasco, Phys.Lett. В 147, 380 (1984).

22] K.G. Boreskov, A.B. Kaidalov, V.A. Khoze, A.D. Martin, M.G. Ryskin, Eur.Phys.J. С 44, 523 (2005).

23] G.F. Chew, S.C. Frautschi, Phys.Rev.Lett. 7, 394 (1961); G.F. Chew,,S.C. Frautschi, Phys.Rev.Lett. 8, 41 (1962).

24] G. Veneziano, Nuovo Cim. A 57, 190 (1968); А.Б. Кайдалов, УФЯ105, 97 (1971).

25] Л.Д. Соловьев, ТМФ 126, 247 (2001).

26] А.Е. Inopin, arXiv: hep-ph/0110160 .

27] A.I. Bugrij. G. Cohen-Tannoudji, L.L. Jenkovszky, N.A. Kobylinsky, Fortsch.Phys. 21, 427 (1973).

28] T. Regge, Nuovo dm. 18, 947 (I960).

29] A.B. Kaidalov, arXiv: hep-ph/0612358 .

30] A.C. Irving, R.P. Worden, Phys.Rept. 34, 117 (1977).

31] A.V. Barnes et al., Phys.Rev.Lett. 37, 76 (1976).

32] M. Froissart, Phys.Rev. 123, 1053 (1961); A. Martin, Phys.Rev. 129, 1432 (1963).

33] Ю.С. Вернов, M.H. Мнацаканова, ЭЧАЯ 32, 1115 (2001).

34] C.M. Трошин, H.E. Тюрин, ЯФ 40, 1008 (1984).

35] A. Donnachie, P.V. Landshoff, Nucl.Phys. В 267, 690 (1986).

36] L.L. Jenkovszky, B.V. Struminsky, A.N. Slielkovenko, Z.Phys. С 36, 495 (1987).

37] P. Gauron, B. Nicolescu, E. Leader, Nucl.Phys. В 299, 640 (1988).

38] V.A. Petrov, A.V. Prokudin, Eur.Phys.J. С 23, 135 (2002).

39] R.F. Avila, S.D. Campos, M.J. Menon, J. Montanha, Eur.Phys.J. С 47, 171 (2006).

40] P. Desgrolard, M. Giffon, E. Martynov, Eur.Phys.J. С 18, 359 (2000).

41] E. Martynov, Phys.Rev. D 76, 074030 (2007).

42] C. Bourrely, J. Soffer, T.T. Wu, Eur.Phys.J. С 28, 97 (2003).

43] J. R. Cudell, A. Lengyel, E. Martynov, Phys.Rev. D 73, 034008 (2006).

44] H.A. Кобылинский, B.B. Тимохин, препринт ИТФ-78-55Е .

45] F.-Aleem, M. Saleem, Phys.Rev. D 27, 2068 (1983).

46] J.J. Sakurai, Ann.Phys. (NY) 11, 1 (1960); J.J. Sakurai, Phys.Rev.Lett. 22, 981 (1969).

47] A. Donnachie, RV. Landshoff, arXiv: 0803.0686 .

48] M. Capua, S. Fazio, R. Fiore, L. Jenkovszky, F. Paccanoni, Phys.Lett. В 645, 161 (2007).

49] E. Martynov, E. Predazzi, A. Prokudin, Phys.Rev. D 67, 074023 (2003); R. Fiore, L.L. Jenkovszky, F. Paccanoni, A. Prokudin, Phys.Rev. D 68, 014005 (2003).

50] R. Fiore, L.L. Jenkovszky, V.K. Magas, F. Paccanoni, A. Prokudin, Phys.Rev. D 75, 116005 (2007).

51] H. Kowalski, L. Motyka, G. Watt, Phys.Rev. D 74, 074016 (2006).

52] C. Marquet, R. Peschanski, G. Soyez, Phys.Rev. D 76, 034011 (2007).

53] S. Bethke, J.Phys. G 26, R27 (2000).

54] F.E. Low, Phys.Rev. D 12, 163 (1975); S. Nussinov, Phys.Rev. D 14, 246 (1976).

55] P.D.B. Collins, P.J. Kearney, Z.Phys. С 22, 277 (1984).

56] Л.Н. Липатов, ЖЭТФ 90, 1536 (1986).

57] M.N. Sergeenko, arXiv: 0807.0911 .

58] G. Cohen-Tannondji, V.Y. Ilyin, L.L. Jenkovszky, Lett.Nuovo Cim. 5, 957 (1972).

59] V.V. Ilyin. L.L. Jenkovszky, N.A. Kobylinsky, Lett.Nuovo Cim. 3, 75 (1972).

60] DA'. Sliirkov, I.L. Solovtsov, Phys.Rev.Lett. 79, 1209 (1997).

61] R. Cahn, Z.Phys. С 15, 253 (1982).

62] O.V. Selyugin, Phys.Rev. D 60, 074028 (1999).

63] V.A. Petrov, A.V. Prokudin, E. Predazzi. Eur.Phys.J. С 28, 525 (2003).

64] Particle Physics Data System: http: / / wwwppds. ihep. su: 8001 /pp ds. ht ml; H. de Kerret et al., Phys.Left. В 68, 374 (1977); U. Amaldi, K.R. Schubert, Nucl.Phys. В 166, 301 (1980); A. Breakstone et al., Nucl.Phys. В 248, 253 (1984); A. Breakstone et al., Phys.Rev.Lett. 54, 2180 (1985); N. Amos et al., Nucl.Phys. В 262, 689 (1985);

UA4 Collaboration (R. Battiston et al.), Phys.Lett. В 127, 472 (19S3): UA4 Collaboration (M. Bozzo et al.), Phys.Lett. В 155, 197 (1985); UA4 Collaboration (D. Bernard et al.). Phys.Left. В 198. 583 (1987): UA4 Collaboration (D. Bernard et al.). Phys.Lett. В 171, 142 (1986); E-710 Collaboration (N. Amos et al.), Phys.Lett. В 247, 127 (1990).

65] Particle Physics Data System: http: //wwwppds.ihep.su:8001/ ppds.html;

C.W. Akerlof et al., Phys.Rev. D 14, 2864 (1976);

D.S. Ayres et al., Phys.Rev. D 15, 3105 (1977);

R. Rubinstein et al., Phys.Rev. D 30, 1413 (1984); M. Adamus et al., Phys.Lett. В 186, 223 (1987).

66] К.Г. Боресков, A.M. Лапидус, С.Т. Сухоруков, К.А. Мартиросян, ЯФ 14, 814 (1971);

Л.С. Золин, А.Б. Кайдалов, В.А. Свиридов, Л.Н. Струнов, И.В. Чу-вило, УФЕ 117, 119 (1975).

67] S.J. Brodsky, W.-K. Tang, С.В. Thorn, Phys.Lett. В 318, 203 (1993).

68] С.В. Голоскоков, С.П. Кулешов, О.В. Селюгин, ЯФ 52, 561 (1990).

69] S.M. Troshin, N.E. Tyurin. Spin phenomena in particle interactions. - Singapore: WORLD SCIENTIFIC, 1994.

70] V.D. Apokin et al., Z.Phys. С 15, 293 (1982).

71] A. Schiz et al., Phys.Rev. D 24, 26 (1981).

J.P. Burq et al., Nucl.Phys. В 217, 285 (1983).

72] ZEUS Collaboration (S. Chekanov et al.), Nucl.Phys. В 695, 3 (2004).

73] ZEUS Collaboration (S. Chekanov et al.), Nucl.Phys. В 718, 3 (2005).

74] ZEUS Collaboration (S. Chekanov et al.), PMC Phys. A 1, 6 (2007).

75] V.A. Petrov, Proceedings of the Vlth Blois Workshop on Elastic and Diffractive Scattering (20-24 June 1995, Blois, France), p. 139. - France, Gif-sur-Yvette: FRONTIERES, 1996. [76] V.A. Matveev, R.M. Muradyan, A.N. Tavkhelidze, Lett.Nuovo Cim. 5, 907 (1972);

S.J. Brodsky, G.R. Farrar, Phys.Rev.Lett. 31, 1153 (1973).

77] M. Gell-Mann, F. Zachariasen, Phys.Rev. 124, 953 (1961).

78] A.P. Szczepaniak, JIT. Londergan, Phys.Lett. В 643, 17 (2006).

79] В.А. Петров, А.В. Прокудин, ЯФ 62, 1668 (1999).

80] A. Donnachie, P.V. Landshoff, Phys.Lett. В 437, 408 (1998); A. Donnachie, P.V. Landshoff, Phys.Lett В 478, 146 (2000).

81] ZEUS Collaboration (M. Derrick et al.), Phys.Lett. В 377, 259 (1996).

82] ZEUS Collaboration (S. Chekanov et al.), Eur.Phys.J. С 24, 345 (2002); HI Collaboration (A. Aktas et al.), Eur.Phys.J. С 46, 585 (2006).

83] S.P. Baranov, Phys.Rev. D 76, 034021 (2007).

84] ZEUS Collaboration (M. Derrick et al.), Z.Phys. С 63, 391 (1994); ZEUS Collaboration (M. Derrick et al.), Z.Phys. С 69, 39 (1995); HI Collaboration (S. Aid et al.), Nucl.Phys. В 463, 3 (1996); ZEUS Collaboration (M. Derrick et al.), Z.Phys. С 73, 253 (1997); ZEUS Collaboration (J. Breitweg et al.), Eur.Phys.J. С 2, 247 (1998); ZEUS Collaboration (J. Breitweg et al.), Eur.Phys.J. С 14, 213 (2000).

85] L.P.A. Haakman, A. Kaidalov, J.H. Koch, Phys.Lett. В 365, 411 (1996).

86] S.V. Goloskokov, P. Kroll, Eur.Phys.J. С 42, 281 (2005); S.V. Goloskokov, arXiv: 0708.4314 .

87] H.G. Dosch, E. Ferreira, Eur.Phys.J. С 51, 83 (2007).

88] R.C. Arnold, Phys.Rev. 153, 1523 (1967).

89] A.V. Kiselev, V.A. Petrov, Nuovo Cim. A 106, 1087 (1993).

90] L. Van Hove, Phys.Lett. В 24, 183 (1967).

91] F. Carlson, Uppsala Thesis 1914.

92] T. Regge, Nuovo Cim. 14, 951 (1959).

93] G.N. Watson, Proc.Roy.Soc. 95, 83 (1918).

A. Zommerfeld, Partial differential equations in Physics. -N.Y.: ACADEMIC PRESS, 1949.