Нелинейные эффекты в реакции твердых тел на механические и термические воздействия тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им А Ф ИОФФЕ

□03062В7'Э

ГИЛЯРОВ Владимир Леонович

нелинейные эффекты в реакции твердых тел на механические и термические воздействия

Специальность 01 04 07 - физика конденсированного состояния

автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2007

003062679

Работа выполнена в Физико-техническом институте им А Ф Иоффе РАН.

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор Даль Ю М ,

доктор физико-математических наук, профессор Мещеряков Ю И ,

доктор физико-математических наук, профессор Смирнов Б И

Ведущая организация Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Защита состоится «/"7~~» 200 7т~ в АР • О ¿^часов

на заседании диссертационного совета Д002 205 01 при Физико-техническом институте им А Ф Иоффе РАН по адресу 194021, Санкт-Петербург, Политехническая ул, 26

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Физико-технического института им А Ф Иоффе РАН

Автореферат разослан «

Ц».

200

7~т

Ученый секретарь диссертационного совета Ол^^^

кандидат физико-математических наук Петров А А

общая характеристика работы

Актуальность темы. Примерно до середины XX века нелинейным эффектам в физике не придавалось серьезного значения Предполагалось, что все физические явления описываются линейными дифференциальными уравнениями в пространстве и времени Если же нелинейные эффекты и проявляются, то лишь как некие поправки, для описания которых можно использовать приближенные методы типа теории возмущений

Ситуация коренным образом изменилась во второй половине XX века Исследования по обоснованию эргодической гипотезы вскрыли принципиальную роль нелинейности как основы стохастического поведения динамических систем Появление компьютеров в это же время привело к развитию перспективной отрасли физики - компьютерному эксперименту, в ходе которого оказалось возможным моделировать нелинейные физические явления, аналитическое описание которых наталкивалось на непреодолимые математические трудности

Было обнаружено, что динамика даже, казалось бы, самых простых нелинейных систем оказывается весьма сложной Достаточно иметь в системе всего более двух степеней свободы, чтобы она вела себя стохастично В таких системах были выявлены странные аттракторы — притягивающие области фазового пространства, попадая внутрь которых, фазовые траектории ведут себя крайне нерегулярно и очень чувствительны к начальным условиям В отличие от обычных регулярных аттракторов (притягивающая точка, предельный цикл и т д) многие странные аттракторы имеют сложную геометрическую структуру и обладают фрактальными свойствами, т е являются самоподобными объектами с дробной фрактальной размерностью Нелинейные явления такого вида

привели к созданию концепции маломерного хаоса, проявляющегося в системах с небольшим числом степеней свободы

С другой стороны, оказалось, что в поведении сложных нелинейных систем можно обнаружить простые черты Очень часто их эволюция описывается небольшим числом переменных, называемых обычно параметрами порядка В этих системах появляются временные и пространственные упорядоченные структуры, возникающие из хаотического движения, - самоорганизация

Обнаружение принципиальной роли нелинейных эффектов при возникновении порядка из хаоса и наоборот дало толчок к изучению такого рода явлений в различных областях науки физике, химии, биологии, социологии и тд Был достигнут значительный прогресс в понимании процессов эволюции, в основе которых лежат нелинейные эффекты

Прогнозирование техногенных катастроф представляется одной из актуальных проблем нашего времени в связи со все более сильным влиянием человеческой деятельности на природные процессы В то же время наблюдается недостаток фундаментальных исследований по данной проблеме, базирующихся на современных физических принципах самоорганизации сложных систем Представляется, что настоящая работа помогает выявить природу процессов, происходящих в механических системах перед их разрушением на различных масштабных уровнях

С другой стороны, остаются недостаточно разработанными микроскопические аспекты хорошо известных явлений, в частности термоупругого эффекта в твердых телах, обусловленного нелинейными эффектами различной природы Детальное изучение такого рода аспектов также представляется имеющим научную актуальность

Цель работы: Изучить реакции твердых тел на механические и термические воздействия, обусловленные нелинейными эффектами К таким реакциям, изучаемым в настоящей работе, относятся

1 Разрушение гетерогенных твердых тел при приложении механической нагрузки.

2 Трансформация профиля поверхности твердых тел при механическом и термическом воздействии.

3 Термоупругий эффект в твердых телах, заключающийся в изменении температуры тела при его адиабатическом нагружении

Большой класс эффектов, изучаемых в представляемой диссертации, связан с самоорганизацией сложных систем Исследуемый объект представляет собой механически нагружаемый гетерогенный материал, в котором происходит множественное трещинообразование Этот сложный статистический процесс имеет тенденцию к самоорганизации в пространстве и времени, и на последних стадиях разрушения формируется самоорганизованное критическое состояние Пространственные и временные аспекты такого рода самоорганизации и являются предметом изучения в диссертации

Самоорганизация процесса разрушения происходит не только в объеме материала, но и на его поверхности, которая, как известно, сама часто является инициатором разрушения Поэтому исследование самоорганизации поверхности при механическом воздействии представляется весьма актуальным В диссертации изучается мультифрактальная самоорганизация профиля латеральной поверхности аморфных сплавов под действием механической нагрузки

Говоря о самоорганизации, нельзя не отметить, что любая самоорганизация определяется взаимодействиями в физической системе Любой же тип взаимодействия предполагает нелинейность системы, поскольку линейных взаимодействий в реальности не существует (аддитивность означает суперпозицию и независимость) Поэтому и процессы самоорганизации, рассматриваемые в диссертации, основаны на нелинейности взаимодействия

Другой класс явлений, рассмотренных в работе, связан с нелинейностью (энгармонизмом) межатомного взаимодействия в твердом теле (трансформация поверхности при воздействии температуры и термоупругий эффект в низкомолекулярных твердых телах) Наряду с этим рассматриваются также явления, являющиеся следствием структурного энгармонизма в ориентированных полимерах, такие как термоупругий эффект и тепловое расширение

Основные положения, выносимые на защиту и их новизна:

1 Проведенные в диссертационной работе исследования по изучению статистических закономерностей процесса трещинообразования впервые позволили установить, что эволюция трещинообразования в гетерогенных материалах (металлах и горных породах) при их механическом нагружении представляет собой направленный процесс к самооргзнизованному критическому состоянию, которое является масштабно инвариантным в пространстве и времени и характеризуется наличием пространственного и временного скейлинговых показателей (показэтелей степени в степенных функциональных зависимостях) Такое состояние материала является его предразрывным состоянием

2 Проведенные исследования по изучению мультифрактальной трансформации латеральной поверхности материалов (аморфных сплавов и металлов) под воздействием механической нагрузки в нанометровом диапазоне масштабов показали, что на конечной стадии разрушения на поверхности формируется самоафинная фрактальная структура, аналогично тому, как это происходит в объеме материалз Такое поведение системы позволяет заключить, что и в этом случае эволюция материала под нагрузкой приводит к формированию самооргэнизованного критического состояния

3 Построена микроскопическая модель трэнсформации поверхности кристаллов на атомном уровне при изменении температуры В основе

модели лежат представления об отличии термодинамических свойств поверхности кристалла от свойств его объема, связанном с отсутствием соседних атомных слоев Если в направлении, перпендикулярном поверхности, изменению межплоскостных расстояний ничто не препятствует, то в плоскости самой поверхности избыточное над объемом тепловое расширение затруднено наличием соседних атомов На поверхности формируется суперструктура термических дислокаций несоответствия, физической причиной которой является отличие динамических свойств поверхности от объема (средние квадраты амплитуд колебаний, коэффициент теплового расширения), порожденных нелинейностью межатомного взаимодействия

4 Выявлена микроскопическая причина термоупругого эффекта в низкомолекулярных твердых телах Показано, что внешнее механическое поле создает деформацию, на которой внутренняя энтропийная сила теплового давления, порожденная колебательным энгармонизмом, совершает работу, приводящую к изменению тепловой составляющей внутренней энергии

5 Теоретически описаны наблюдающиеся особенности термоупругого эффекта в ориентированных жесткоцепных полимерах Показано, что в этом случае основную роль играют поперечные колебания (рпгибные или торсионные), которые определяют знак и величину термоупругого эффекта В основе этого явления лежит структурный энгармонизм, связанный с нелинейной зависимостью модуля вектора от его декартовых координат

Научная и практическая значимость работы:

Выявление характера самоорганизации сложных систем является существенным фактором, позволяющим понять закономерности поведения этих систем в неравновесных условиях Стремление гетерогенных материалов к самоорганизованному критическому состоянию на конечных

стадиях процесса разрушения раскрывает важную закономерность в поведении материалов при механическом нагружении

Представление об эволюции материалов при воздействии механических нагрузок к самоорганизованному критическому состоянию открывает возможность практических методов контроля работоспособности конструкций в промышленных условиях Обнаружение в работающих конструкциях пространственного или временного масштабно-инвариантного характера накопления дефектов означает тот факт, что конструкция приближается к предразрывному состоянию, и ее дальнейшая эксплуатация небезопасна В то же время существующие и широко применяемые эмпирические методы прогнозирования разрушения (в частности, основанные на использовании различных модификаций коэффициента Херста) получают физическое обоснование

Исследования закономерностей трансформации поверхности на микроуровне при тепловом и механическом воздействиях позволяют оценить условия формирования и устойчивость поверхностных наноструктур при создании материалов для современной микроэлектроники Эти результаты являются важными для понимания характера формирования и трансформации поверхностных структур на микроскопическом уровне

Апробация работы: По результатам диссертации сделаны доклады на Всесоюзном совещании «Физические основы микромеханики разрушения» (Ленинград, 1980), Всесоюзной школе по физике поверхности (Карпаты, 1986), Всесоюзной школе по физике поверхности (Куйбышев, 1987), Первой Всесоюзной конференции «Сильновозбужденные состояния в кристаллах» (Томск, 1988), I Международном семинаре «Актуальные проблемы прочности» им В А Лихачева и XXXIII семинаре «Актуальные проблемы прочности» (1997), на Международном семинаре «New Approaches to Hi-Tech Materials (Saint Petersburg, 1997), Международной

конференции «Science for Materials in the Frontier of Centuries Advantages and Challenges», 4-8 November (Kyiv, 2002), III Международной конференции «Аморфные и микрокристаллические полупроводники (Санкт-Петербург, 2002), XL Международном семинаре «Актуальные проблемы прочности (Великий Новгород, 2002), XIV Петербургских чтениях по проблемам прочности, поев 300-летию Санкт-Петербурга (2003), Международных междисциплинарных симпозиумах «Фракталы и прикладная синергетика» (Москва, 2003, 2005), VI Международной конференции «Научно-технические прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения RELMAS'2005» (Санкт-Петербург, 2005), VII Международной школе-семинаре «Физические основы прогнозирования разрушения горных пород» (Борок, 2005)

Публикации: Основное содержание диссертации отражено в 31 статье, приведенной в конце автореферата

Структура и объем диссертации: Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы из 243 наименований Объем диссертации 231 страница Диссертация содержит 32 рисунка

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, формулируются цели и задачи работы, приводятся положения, выносимые на защиту, даются сведения об апробации работы, излагается ее краткое содержание по главам

Первая глава содержит сведения как обзорного, так и оригинального характера Она посвящена термодинамической теории твердых тел с нелинейным межатомным взаимодействием Отмечены характерные трудности построения такой теории, связанные с тем, что нелинейное взаимодействие между атомами затрудняет расчет статистических

интегралов Кроме этого вида нелинейности в анизотропных системах существенен другой вид энгармонизма - структурный, связанный с особенностью вычисления нормы вектора в евклидовом пространстве через проекции этого вектора по формуле

При этом эффекты, зависящие от расстояний, оказываются нелинейными функциями евклидовых координат даже в том случае, когда энергия представляет собой квадратичную форму этих расстояний

Проведен обзор различных приближенных методов для расчета термодинамических характеристик твердых тел - квазигармоническое, псевдогармоническое, самосогласованное гармоническое приближение Отмечено, что квазигармоническое приближение Грюнайзена описывает ангармонические эффекты лишь частично, так как ангармонические члены в нем учитываются не явно, а только через зависимость фононных частот от объема В связи с этим в 70-е годы рядом авторов было разработано несколько самосогласованных приближений, которые позволяли рассчитывать термодинамические характеристики при учете высоких порядков энгармонизма

Рассмотрены основные применения самосогласованных приближений - динамическая устойчивость и термодинамическая прочность кристаллов, температурные зависимости колебательного спектра дефектов, в частности определения термодинамических характеристик поверхности твердых тел, таких как средние квадраты колебаний (СКА) поверхностных атомов и коэффициент термического расширения поверхности (КТР) Часть этих результатов носит оригинальный характер

Перечислены основные экспериментальные методики, применяющиеся в настоящее время для изучения структуры поверхности кристаллов, такие как метод дифракции медленных электронов (ДМЭ),

(1)

метод спектроскопии характеристических потерь энергии электронов (СХПЭЭ) и методы сканирующей туннельной и атомно-силовой микроскопии (СТМ и АСМ)

Описаны термодинамические особенности поведения полимерных кристаллов и макромолекул, связанные с сильной анизотропией межатомного взаимодействия вдоль и поперек полимерных цепей Высокая продольная жесткость, обусловленная сильными ковалентными связями скелета полимерных молекул, по сравнению с относительно низкой поперечной жесткостью, и слабое межмолекулярное взаимодействие приводят к тому, что фононные спектры таких систем сильно отличаются от спектров низкомолекулярных веществ, что и приводит к особенности их термодинамических свойств К таким своеобразным эффектам относится, прежде всего, отрицательное продольное термическое расширение, в то время как поперечное расширение остается положительным (как это обычно бывает в низкомолекулярных системах) Температурные зависимости теплоемкости полимерных кристаллов при низких температурах оказываются также отличными от обычных низкомолекулярных кристаллов

Проведен обзор модели Стокмейера-Хечта и ее модификаций, часто применяющихся для вычисления различных динамических характеристик полимерных кристаллов Для модели Стокмейера-Хечта известен фононный спектр, поэтому термодинамические характеристики полимерных кристаллов (КТР, СКА) можно рассчитать через моменты фононного спектра Хорошее совпадение этих характеристик с экспериментальными значениями оказалось неожиданным, поскольку реальные полимерные молекулы не являются одномерными цепочками, а представляют собой более сложные конфигурации (например, плоские зигзаги или геликоидальные структуры) Однако учет реальной структуры полимерной молекулы (полиэтилена) показал, что вклад в КТР и СКА за счет

торсионных колебательных мод, которые отсутствуют в моделр) Стокмейера-Хечта, компенсируется вкладом от дополнительной изгибной моды, присутствующей в модели

В первой главе обсуждаются также различные виды гамильтониана межатомного взаимодействия, применяющиеся для полимерных кристаллов

Среди оригинальных результатов, изложенных в главе 1, следует отметить сведения, касающиеся расчета термодинамической границы прочности твердых тел, а также термодинамического расчета их прочностных характеристик, таких как силовые и температурные зависимости энергии активации разрыва межатомных связей

Результаты, изложенные в главе 1, являются отправными при построении самосогласованных термодинамических моделей в главах 5 и 6

Вторая глава содержит аналитический обзор основных известных на сегодняшний день способов самоорганизации в нелинейных системах, и предлагается их систематика Нами выделяется четыре способа самоорганизации

1 Самоорганизация при физических фазовых переходах, когда внешний параметр (как правило, температура) достигает своего критического значения Т-Тс Ниже критической температуры поведение системы описывается небольшим количеством величин, называемых параметрами порядка, которые представляют собой монотонно убывающие функции температуры, стремящиеся к нулю при Т—*ТС Выше температуры Тс параметры порядка тождественно равны нулю

При приближении к критической температуре термодинамические величины (и параметры порядка) меняются по степенному закону с показателями степени, которые называются критическими показателями (или критическими индексами) По степенному закону меняются также парная пространственная корреляционная функция и радиус корреляций,

который стремится к бесконечности, когда температура приближается к критическому значению

2 Геометрические фазовые переходы (перколяция) Здесь характерные степенные зависимости параметров появляются, когда достигается критическое значение вероятности заполнения ячейки (порог перколяции)

3 Образование структур в открытых системах вдали от равновесия Он также носит критический характер, аналогично тому, как происходит самоорганизация при фазовых переходах При небольших отклонениях от состояния термодинамического равновесия производство энтропии внутри системы всегда превышает ту часть, которую система может отдавать за счет обмена с окружением Поэтому для структурообразования необходимо, чтобы отдача энтропии во внешнюю среду превысила некоторое критическое значение, чтобы суммарное изменение энтропии было неположительным

К этому же типу самоорганизации можно отнести и динамические системы с небольшим числом степеней свободы, поведение которых также качественно меняется в критических точках (точках бифуркации)

4 Самоорганизованное критическое состояние (СОКС) В основе модели самоорганизованной критичности положена нелинейная динамика систем с большим числом степеней свободы Более того, эти системы обладают большим числом метастабильных состояний, число которых экспоненциально растет с размерами системы

Основное отличие СОКС от трех предыдущих видов самоорганизации заключается в том, что оно реализуется в широком диапазоне внешних управляющих параметров, а не в критических точках, те является притягивающим аттрактором нелинейной динамики независимо от начальных условий и значений внешних параметров СОКС так же обладает пространственной масштабной инвариантностью,

приводящей к фрактальному пространственному самоподобию,и временной масштабной инвариантностью, реализующейся как \1 / шум

Концепция самоорганизованной критичности предполагает образование пространственных масштабно— инвариантных фрактальных структур Одним из основных защищаемых положений диссертации является гипотеза о том, что СОКС может формироваться в процессе разрушения материалов

Обзор экспериментальных работ по изучению фрактального характера поверхностей разрушения различных материалов также приведен во второй главе Хорошо известно, что поверхности разрушения твердых тел не являются идеально плоскими и обладают фрактальной размерностью Эксперименты по исследованию фрактальной размерности поверхностей разрушения были проведены для очень широкого спектра материалов, испытывающих как хрупкое, так и пластическое разрушение Такое масштабно-инвариантное состояние поверхностей разрушения позволяет нам предполагать, что эти поверхности появились в результате действия универсального механизма разрушения, и этим механизмом является эволюция материала к СОКС

Таким образом, исследование статистических закономерностей в процессе разрушения материалов с целью выявления характера самоорганизации этого процесса является важной и пока нерешенной проблемой в физике разрушения Одной из задач диссертации является исследование таких закономерностей в широком диапазоне масштабов, начиная с нанометровых

Третья глава посвящена исследованию статистических свойств процесса трещинообразования материалов при механическом нагружении с целью выявления временных и пространственных масштабно-инвариантных закономерностей процесса Процесс трещинообразования сопровождается

акустической эмиссией (АЭ) из объема материала, сигналы которой являются индикатором разрушения В результате регистрации АЭ от образующихся в процессе разрушения трещин составляются банки данных, представляющие собой, как правило, значения амплитуд сигналов АЭ как функции времени на серии пьезоэлектрических датчиков, устанавливаемых на поверхности изучаемого образца или конструкции

Приводится схема одной из экспериментальных установок, на которой были получены исходные экспериментальные данные по акустической эмиссии Эксперименты на этой установке проводились в лаборатории геослужбы США сотрудниками ФТИ им А Ф Иоффе РАН ВС Куксенко и С А Станчицом совместно с сотрудниками ОИФЗ им О Ю Шмидта РАН на образцах из горных пород (граниты) цилиндрической формы с диаметром 76 2 мм и высотой 190 5 мм

Полученные экспериментальные банки данных по акустической эмиссии содержали следующую информацию времена рождения трещин, координаты источника каждого принятого сигнала (локация) и сведения об амплитудах сигналов (максимальная амплитуда в волновом пакете) Локация сигналов проводилась по традиционной схеме определения координат гипоцентров на основании времен прихода сигналов на систему акустических датчиков

Кроме экспериментов по измерению АЭ на образцах из горных пород, анализировались эксперименты по измерению АЭ на стальных заводских металлоконструкциях (В Н Савельев) В данных экспериментах локация не проводилась, что позволило рассчитать только временные характеристики процесса Эти эксперименты представляются важными потому, что они выполнены на другом материале (сталь), а во-вторых, на другом масштабном уровне (размеры конструкций составляли несколько метров)

Для исследования временной масштабной инвариантности в процессе разрушения применялся корреляционный анализ в различных его

интерпретациях Временная автокорреляционная функция является важнейшей характеристикой случайного процесса Эта функция стандартно определяется выражением

(4)

В этом выражении х(^) представляет собой анализируемый случайный

сигнал, а усреднение производится по ансамблю

Процесс разрушения, конечно, не является стационарным на всем своем протяжении, но может быть с хорошей точностью разбит на квазистационарные участки В этом случае, как известно, автокорреляционная функция (АКФ) зависит лишь от разности аргументов,

Кроме того, предполагается, что

процесс разрушения и сопровождающая его акустическая эмиссия являются процессами эргодическими, для которых средние значения по ансамблю равны средним значениям по времени Зная корреляционную функцию, можно рассчитать ее Фурье спектр

оо

Бх (со) = ехр(/со?)Л (5)

—оо

Если корреляции в системе отсутствуют, то эта характеристика представляет собой белый шум (прямая, параллельная оси частот)

Известно, что для системы, находящейся в СОКС, характерен 1 / / шум,

зависимость которого от частоты имеет вид

с показателем ¡3 отличным от нуля Для определения характера изменения

на временные интервалы, внутри которых и производился статистический анализ На рассматриваемых временных интервалах процесс предполагается стационарным В качестве основной случайной величины выбирались паузы между приходами сигналов на приемники (или эквивалентная ей величина акустической активности - число сигналов, пришедших на приемник за единицу времени) Внутри каждого временного интервала рассчитывался скейлинговый показатель /3

Полученные при помощи такого расчета результаты показали, что на начальной стадии процесса разрушения частотная зависимость спектральной плотности пауз в потоке трещинообразования имеет характер белого шума По мере развития процесса характер шума меняется в низкочастотной области наблюдается заметный подъем, становящийся наиболее ярко выраженным к моменту разрушения Будучи построенной в логарифмических координатах, низкочастотная часть спектральной плотности мощности носит характер 1 / / шума, как это требует условие

самоорганизованной критичности

В качестве основной характеристики для расчета пространственной масштабной инвариантности (самоподобия) выбиралась корреляционная функция Грассбергера-Прокаччи вида

показателя ¡3 во времени весь банк экспериментальных данных разбивался

Здесь Гц - расстояние между парой акустических событий, Л^ — число

анализируемых событий, //—функция Хевисайда, равная единице, если ее аргумент неотрицателен, и равная нулю в противоположном случае Функция (7) равна числу пар событий, расстояние между которыми не превосходит г Если в системе присутствует масштабная инвариантность, зависимость С(г)~ г^, те представляет собой степенную функцию с показателем степени равным корреляционной фрактальной размерности (ФР) множества (<1 = ) Так же, как и в случае с временной масштабной

инвариантностью, банки экспериментальных данных разбивались на интервалы времени, внутри которых и рассчитывался скейлинговый показатель /)с

Пример характерного изменения во времени пространственного и временного скейлинговых показателей приведен на рис 1

Рис (.Зависимости корреляционной фрактальной размерности (1) и

Видно синхронное изменение пространственного и временного скейлинговых показателей на последней стадии разрушения Такое

•0 2"

7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000

временного скейлингового показателя (2)

поведение пространственного коррелятора объясняется тем, что на этой стадии образуется очаг разрушения, который развивается таким образом, что формирует будущую поверхность разрушения

Т о, на конечной стадии процесса разрушения пространственные и временные корреляционные функции носят ярко выраженный масштабно-инвариантный характер, проявляющийся в их степенных зависимостях от аргументов, то есть удовлетворяют условиям образования СОКС Это подтверждается также тем, что аналог распределения дефектов по размерам - закон повторяемости акустических событий также носит на этой стадии масштабно-инвариантный характер В системе при этом отсутствуют выделенные пространственные и временные масштабы Так же как и при фазовых переходах в системе могут появляться флуктуации физических величин от самых малых до самых больших, определяемых размерами системы Т о можно заключить, что состояние гетерогенных материалов перед разрушением под действием механической нагрузки является самоорганизованным критическим состоянием При этом в процессе разрушения в материале происходит эволюция дефектной структуры на все более и более высоких масштабных уровнях, в результате которой материал исчерпывает все имеющиеся у него возможности сопротивления разрушению Выявление этих закономерностей процесса разрушения является итогом главы 3

Четвертая глава посвящена исследованию трансформации рельефа боковой поверхности твердых тел под действием механических напряжений на нанометровых масштабах Эксперименты проводились методом сканирующей туннельной микроскопии (СТМ) Образцами для эксперимента служили фольги из аморфных сплавов на железо-никелевой основе (Т7е77М/5'гр5/з> Ре^МгоВ 13819), (В Е Корсуков, С А Лукьяненко), а также металлические фольги (Си , Мо ) (В И Веттегрень, В Н Светлов)

Использование аморфных сплавов в качестве образцов обусловлено тем. что это позволило избавиться от влияния кристаллической структуры на физические явления. Описаны методика приготовления образцов и схема эксперимента. Характерный пример профиля поверхности, полученного таким методом, приведен на рис. 2.

Рис. 2. Голограмма поверхности сплава Fe¡gNi^oSi'jB/3, полученная методом сканирующей туннельной микроскопии

Обсуждаются наиболее часто используемые методы для расчета фрактальной размерности поверхностей, такие как «расчет по покрытию» (box counting) и расчет спектральной фрактальной размерности. Выявляются их основные недостатки.

В качестве основного метода анализа трансформации поверхностного профиля при механическом нагр ужении применялся основанный на фрактальной статистике метод вейвлет- преобразований. В отличие от Фурье-преобразования, где в качестве базисных функций преобразования используются функции вида ехр(/х) = COS X + i Sin X, являющиеся

композицией синусоидальных волн с различными частотами и делокализованные в пространстве, для вейвлет— преобразования используются существенно локализованные солитонообразные функции, что позволяет точнее исследовать локальные дефекты

Вейвлет—анализ позволяет выявлять различные количественные характеристики мультифрактальных систем, такие как мультифрактальный спектр и другие с ним связанные Для этой цели был использован аппарат фрактальной термодинамики, развитый в работах Арнеодо с сотрудниками и основанный на принципе максимума модуля вейвлет-преобразования

Было обнаружено,что под действием растягивающего механического напряжения мультифрактальный спектр /(¡г) (И показатель Гельдера) изменяется При приложении небольших механических нагрузок к пленкам из аморфного сплава наблюдается разглаживание поверхности этих пленок Представляется, что разглаживание поверхности при приложении небольших механических напряжений связано с тем, что исходная поверхность аморфного сплава формировалась в сильно неравновесных условиях (методом спинингования из расплава) Поэтому она имеет повышенную шероховатость Действие растягивающего механического напряжения на такую поверхность аналогично разглаживанию смятого листа бумаги при его растяжении за края

При дальнейшем увеличении механической нагрузки поверхность имеет тенденцию к формированию монофрактальной структуры - ширина и положение спектра смещаются в сторону меньших значений показателей Гельдера Стремление к формированию этой фрактальной структуры при больших напряжениях отражает начальную стадию разрушения поверхности Формирование фрактальных структур перед разрушением наблюдалась также на поверхностях металлов Такое поведение поверхностного профиля позволяет заключить, что и в этом случае перед

разрушением материалов на их поверхности имеется тенденция к формированию СОКС

Итогом четвертой главы является выявление закономерностей изменения фрактальных характеристик боковой поверхности твердых тел под действием механической нагрузки

Пятая глава посвящена исследованию трансформации поверхностей кристаллов при изменении температуры среды Основой рассматриваемого эффекта является отличие термодинамических свойств поверхности кристалла (средние квадраты амплитуд колебаний (СКА), коэффициент термического расширения (КТР) и межплоскостные состояния) от соответствующих объемных значений Если в направлении^ перпендикулярном поверхности изменению межплоскостных расстояний, ничто не препятствует, то в плоскости самой поверхности избыточное над объемом тепловое расширение затруднено наличием соседних атомов Возникающая при этом несоизмеримость поверхностных и объемных слоев может быть устранена, если на поверхности образуется суперструктура типа термических дислокаций несоответствия, физической причиной которой является нелинейность межатомного взаимодействия Здесь нужно отметить, что сетка дислокации несоответствия возникает исключительно за счет термодинамических свойств поверхности и исчезает при нулевой абсолютной температуре, а потенциал взаимодействия на поверхности предполагается таким же, как и в объеме кристалла Это отличает рассматриваемую модель от других известных описаний несоизмеримости в кристаллах, когда поверхностные атомы взаимодействуют по закону, отличному от взаимодействия в объеме

В качестве модели оказывается удобным использовать известную модель дислокации Френкеля-Конторовой (ФК), представляющую собой цепочку атомов, упруго взаимодействующих между собой и находящихся в

синусоидальном потенциальном рельефе подложки Упругое взаимодействие было модифицировано учетом ангармонических членов между атомами цепочки Для исследования релаксации поверхности естественным является предположение о том, что каждый атом в статическом пределе находится на дне соответствующей ему потенциальной ямы подложки Равновесная длина упругих связей равна расстоянию между соседними потенциальными ямами синусоидального рельефа В отличие от традиционной модели Френкеля-Конторовой предполагается, что связи обладают нелинейной упругостью

Рассчитываются термодинамически равновесные положения атомов и расстояния между ними Для построения термодинамической модели используется самосогласованное гармоническое приближение Полученная система уравнений равновесия имеет ясный физический смысл представляет собой систему уравнений равновесия атомов в смягченном потенциале подложка+нелинейная упругость, а силовые постоянные определяются по кривизне смягченного потенциала на дне его ямы Для получения аналитических оценок используется континуальный предел предполагается, что атомные смещения представляют собой гладкие функции положений атомов, которые можно разложить в ряд Тейлора с точностью до второго порядка Полученная таким образом система дифференциальных уравнений решается методом теории возмущений для деформаций в плоскости поверхности

Решение результирующей системы уравнений содержит эллиптическую функцию Якоби, и продольная деформация атомной цепочки, моделирующей поверхностный слой атомов, является периодической функцией координат, причем период этой деформации (поверхностной структуры) зависит от температуры (рис 3)

25-1 20-

et

О S CL l> С

0 20 40 60 80 100 120

температура

Рис 3 Зависимость периода поверхностной структуры (в единицах межатомного расстояния а от температуры)

В области комнатной температуры и выше зависимость периода поверхностной структуры от температуры слабая (период составляет 13а при Т— 300К и 10а при Т = \200К Это соответствует линейной

плотности дислокаций несоответствия примерно 2 10б на сантиметр

В континуальном пределе период поверхностной структуры термических дислокаций несоответствия меняется непрерывно, в то время как в дискретном случае он обязан быть целым числом Это отвечает физической ситуации, когда при изменении температуры между критическими точками в системе происходит накопление термических напряжений, которые снимаются в критических точках фазовыми переходами с образованием поверхностных суперструктур

Таким образом, показано, что нелинейные эффекты взаимодействия атомов на поверхности кристаллов оказываются весьма существенными и могут быть ответственны за структурные перестройки поверхности кристаллов

Шестая глава посвящена микроскопическим аспектам явлений, обусловленных нелинейными эффектами - тепловому расширению и

термоупругому эффекту - изменению температуры твердого тела при его упругом адиабатическом деформировании

АТ _ ао

Т

(В)

Здесь АТ- изменение температуры при приложении к материалу одноосного механического напряжения <7, ОС - линейный коэффициент термического расширения, С - удельная теплоемкость

Рассматривается энергетика ангармонического осциллятора как основного элемента колебательной динамики низкомолекулярных твердых тел при его адиабатическом механическом нагружении Ангармонический осциллятор обладает нелинейной упругостью третьего порядка К нему прикладывается зависящая от времени механическая сила , которая предполагается нарастающей во времени от 0 до некоего конечного

смещения осциллятора оставались малыми) Эта сила прикладывается к осциллятору «адиабатически» в том смысле, что характерное время ее изменения много больше периода колебаний осциллятора Действие силы можно описать добавкой ее потенциала к собственной энергии осциллятора Тогда полная энергия осциллятора в поле силы равна

В начальном состоянии осциллятор обладает колебательной энергией Е0 В конечном состоянии энергия осциллятора определяется работой

значения , много метшего, чем прочность связи

(чтобы

Е«) = Екш+Щх)-Р«)-х

(9)

внешней силы, те Ь2 = + \F(t)x(t)dt Показано, что среднее по

о

времени значение этой величины, рассчитанное после прихода системы в новое стационарное состояние 2, отличается от начального состояния на величину упругой энергии, инициированной силой F(t) В то же время среднее значение кинетической энергии в состоянии 2 отличается от исходного значения в состоянии 1 и линейно зависит от величины приложенной силы Это изменение средней кинетической энергией и является микроскопической основой термоупругого эффекта Такое объяснение сложно обобщить на случай квантовых систем, находящихся при Т = О К , поскольку понятие кинетической энергии не является для них хорошо определенным Для этой цели удобнее использовать понятие колебательной энергии, те полной энергии системы, отсчитанной от дна потенциальной ямы Изменение этой энергии как функции внешней силы равно изменению амплитудного значения кинетической энергии в конечном состоянии

Силовые зависимости различных энергетических характеристик осциллятора приведены на рис 4 (в безразмерных переменных) Начальное значение энергии осциллятора равно WQ = 0 2 Линия 4 представляет собой

аналитическую зависимость колебательной энергии, точки отражают численные зависимости, полученные в результате прямого интегрирования уравнений движения

Аналогичный расчет был произведен и для квантового ангармонического осциллятора в основном состоянии, только вместо уравнений движения использовалось уравнение Шредингера Как известно, при адиабатическом нагружении осциллятор остается в основном состоянии Однако значение нулевой энергии (аналога колебательной

энергии классического осциллятора) так же, как и в классическом случае, линейно зависит от приложенной силы

Рис 4 Силовые зависимости энергий (1) средней потенциальной, (2) - колебательной, (3) - смещение дна потенциальной ямы, (4) -теоретическая зависимость колебательной энергии

Результаты расчета изменения колебательной энергии при адиабатическом нагружении осциллятора обобщены далее на случай ансамбля одномерных кристаллов Для такого ансамбля построена задача термодинамики необратимых процессов, те сформулированы уравнения эволюции, отражающие основные законы сохранения (массы, импульса и энергии), исходя из гипотезы существования локального равновесия выведены уравнения состояния, связывающие феноменологические полевые параметры с микроскопическими (линейной и нелинейной константами упругости и межатомным расстоянием) Выведено соотношение для изменения внутренней энергии системы при адиабатическом приложении к ней механического нагружения Показано, что изменение внутренней энергии в адиабатическом процессе, состоит из

00

-I

0 2

Р

тепловой и потенциальной частей, причем изменение упругой составляющей определяется статической частью работы деформации, а изменение тепловой составляющей - работой энтропийной силы теплового давления

Цепная молекулярная структура полимеров обусловливает особенности их внутренней динамики и связанных с ней эффектов Высокая продольная жесткость карбоцепных скелетов макромолекул при сравнительно низкой изгибной жесткости и малой жесткости поперечных связей приводит в полимерных кристаллах к доминированию поперечных колебаний и за счет этого - к отрицательному продольному термическому расширению (мембранный эффект) при положительном термическом расширении в поперечном направлении Такое поведение решетки кристаллитов характерно как для гибкоцепных, так и для жесткоцепных полимеров В ориентированных образцах аморфно-кристаллических полимеров при температурах выше температуры стеклования в термическое расширение включается и механизм конформационных переходов в аморфных частях таких полимеров Ориентированные образцы жесткоцепных полимеров, которые в широкой области температуры (до 500-600 К) остаются застеклованными, должны проявлять температурное поведение, близкое к составляющим их кристаллитам

Особенности динамики молекул в ориентированных жесткоцепных полимерах (и в кристаллах любых полимеров), связанные с доминирующей ролью поперечных колебательных мод, не могут быть удовлетворительно описаны в модели одиночного осциллятора, рассмотренной выше. Поэтому представляется достаточно адекватным использование в качестве основного элемента динамики полимерных макромолекул линейной трехатомной молекулы с поперечными колебаниями В такой модели отсутствует торсионная мода, но ее вклад компенсируется дополнительной изгибной колебательной модой В этой модели была рассчитана силовая зависимость

колебательной энергии системы аналогично той, которая ранее была найдена для ангармонического осциллятора (рис 4)

Эта зависимость противоположна по знаку зависимости, полученной для ангармонического осциллятора, что является следствием того, что здесь играет роль иной вид нелинейности - структурный энгармонизм Данный вид энгармонизма, как уже было отмечено выше, определяется нелинейной зависимостью модуля вектора от величины его декартовых проекций Таким образом, объясняется аномальный по отношению к низкомолекулярным веществам знак термоупругого эффекта в полимерных кристаллах Выведена общая формула для расчета термоупругого эффекта в кристаллах через функции фононного спектра

х9„ -1)

= -- (10)

Я"

где СГ - внешнее приложенное напряжение, Кг - модуль всестороннего сжатия, уча =— Э1пй)?а/Э1пК- модовые коэффициенты Грюнайзена, Х(/а = Ткйуа/кТ определяется через частоту нормальной моды, а индексы

соответствуют волновому вектору и номеру ветви Поскольку при комнатных температурах в полимерных кристаллах возбуждены лишь

поперечные колебания, для которых коэффициенты уда положительны, из

(10) следует, что при приложении внешнего механического напряжения изменение температуры будет также положительно

Если фононный спектр известен, можно проводить численные расчеты термодинамических харзктеристик непосредственно на основе общих положений физики твердого тела Расчет коэффициента термического расширения (КТР) и средних квадратов амплитуд колебаний

атомов (СКА) был проведен для модели полимерного кристалла Стокмейера-Хечта с учетом эффектов квантового вымораживания колебательных мод при низких температурах Расчетные температурные зависимости КТР и СКА хорошо совпали с экспериментально измеренными для ориентированного полиэтилена, особенно в области низких температур

Впервые была выявлена значительная роль колебаний сдвигового типа (продольных смещений цепей относительно друг друга) в динамике решетки цепного строения Именно ими объясняется значительное размытие брэгговских плоскостей (002) при повышении температуры

В заключении сформулированы основные итоги диссертационной работы

1 Данные, полученные при анализе акустической эмиссии, сопровождающей процесс разрушения материалов, позволяют сделать вывод о том, что для гетерогенных материалов этот процесс представляет собой направленную эволюцию, в результате которой формируется самоорганизованное критическое состояние, для которого характерны пространственная и временная масштабная инвариантность Это состояние является результатом эволюции дефектной структуры материалов, как реакции материалов на приложенное к ним механическое напряжение По мере исчерпания возможностей реакции на нагружение одного масштабного уровня в системе включаются следующие более высокие масштабные уровни Тогда в материале и формируется СОКС, отражающее отсутствие в материале характерных пространственных и временных масштабов Формирование СОКС в процессе разрушения представляет собой нелинейный процесс (как и любая самоорганизация вообще) Вид этой нелинейности процесса должен быть учтен при построении конкретных теоретических моделей Им может быть, например, пороговый характер локализации процесса разрушения (концентрационный критерий)

2 Формирование СОКС в процессе разрушения материалов позволяет выявить физическую причину фрактальности поверхностей разрушения, которая наблюдается при разрушении многих материалов Эта фрактальность является следствием фрактального характера трещинообразования на конечной стадии разрушения

3 Масштабно-инвариантные состояния формируются не только в объеме материала, но и на его поверхности при приложении к материалу механических нагрузок На примере трансформации поверхности аморфных сплавов и металлов под действием механических напряжений, исследованной методом сканирующей туннельной микроскопии, показано, что эволюция поверхностного профиля имеет тенденцию к формированию самоафинной фрактальной структуры на конечной стадии этой эволюции Такая структура характеризуется степенным распределением дефектов по их размерам Это позволяет заключить, что и в этом случае эволюция системы приводит к формированию СОКС

4 Обнаружение появления СОКС в работающих конструкциях свидетельствует об их нахождении в предразрывном состоянии, опасности их разрушения, поэтому может служить предвестником техногенных катастроф

5 Построенная термодинамическая модель позволила изучить трансформацию поверхности под действием температуры Было показано, что нелинейные эффекты взаимодействия атомов на поверхности кристаллов оказываются весьма существенными и могут быть ответственны за структурные перестройки поверхности кристаллов при изменении температуры При этом на поверхности образуются суперструктуры термических дислокаций несоответствия, физической причиной которых является энгармонизм межатомного взаимодействия

6 Показано, что микроскопическая природа термоупругого эффектэ -изменение тепловой составляющей внутренней энергии твердого тела

определяется работой внутренней динамической силы (теплового давления) на перемещении, создаваемом внешним полем В квантовых системах, находящихся в основном состоянии, термоупругий эффект проявляется как снижение уровня нулевой энергии при их механическом нагружении

Выявлены особенности термоупругого эффекта в ориентированных жесткоцепных полимерах Показано, что в этом случае определяющую роль играет структурный ангармонизм (нелинейная зависимость модуля вектора от его декартовых проекций), проявляющийся в поперечных колебаниях (изгибньгх или торсионных), которые определяют знак и величину термоупругого эффекта

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 В JI Гиляров, А Б Пахомов Анализ механизмов потери устойчивости в модели одномерного кристалла//ФТТ-1981 -Т 23 №6 - С 1569-1572

2 В А Петров, В J1 Гиляров Температурно-силовая неустойчивость атомной цепочки//ФТТ - 1981 -Т 23 №11 - С 3372-3375

3 В Л Гиляров, В А Петров Неустойчивость атомной цепочки в температурно-силовом поле//ФТТ- 1983 -Т 25 №2 - С 472-478

4 В Л Гиляров Температурная зависимость теоретической прочности простых кубическихрешеток//ФТТ- 1983 -Т. 25 №3 -С 944-946

5 В Л Гиляров, В А. Петров, Р X Сабиров, А С Лукьяненко Влияние квантовой статистики на низкотемпературную прочность одномерных кристаллов//ФТТ - 1986 -Т 28 №5 - С 1332-1337

6 В Л Гиляров Ангармоническая модель Френкеля-Конторовой для температурной несоизмеримости в кристаплах//ФТТ - 1987 - Т 29, №4 -С 1055-1060.

7 В Л Гиляров Фликкер-эффект, фрактальные свойства разрушающихся материалов и проблема прогнозирования разрушения//ФТТ - 1994 - Т 36 №8 - С 2247-2252

8 В Л Гиляров, А И Слуцкер, В П Володин, Л А Лайус Энергетика адиабатически нагружаемого возбужденного ангармонического осциллятора/УФТТ- 1997 -Т 39 №1,-С 153 - 158.

9 В П Володин, Л А Лайус, А И Слуцкер, В Л Гиляров Температурные эффекты при адиабатическом деформировании кристаллического и "аморфизированного" полиэтилена//ВМС - 1997 - Т 39. №11 - С 18121816

10 V L Hilarov Self-similar crack generation effects in the fracture process in brittle matenals//Modeling Simul Mater Sci Eng - 1998 -V 6 -P 337-342.

11 В И Веттегрень, В Л Гиляров, С Ш Рахимов, В Н Светлов Механизм образования нанодефектов на поверхности нагруженных металлов//ФТТ -1998 -Т 40 №4 - С 668-672

12 В Л Гиляров, А И Слуцкер, В П Володин, А И Лайус Энергетика термоупругого эффекта в твердых телах//ФТТ - 1998 -Т 40 №8 - С 15481551.

13 Л А Лайус, В П Володин, А И Слуцкер, В Л Гиляров Температурные эффекты при адиабатическом сжатии полиимида//ВМС - 1998. -Т А40 №8, -С 1343-1348

14 Л А Лайус, В П Володин, А И Слуцкер, В Л Гиляров Термодеформационные эффекты на начальных стадиях ориентирования полиэтилена//ВМС-1999-Т А41 №2,-С 1999.

15 В Л Гиляров, А И Слуцкер, Л А Лайус Об адиабатическом инварианте в термодинамике твердых тел//ФТТ- 1999 -Т 41 №1 -С 134-136.

16 А И Слуцкер, Л А Лайус, ИВ Гофман, В Л Гиляров Механизм обратимой термической деформации ориентированных полимеров//ФТТ -2001 -Т 43 №7-С 1327-1332

17 В И Бетехтин, ПН Бутенко, В Л Гиляров, ВЕ Корсуков, АС Лукьяненко, Б А Обидов, В Е Харциев Влияние одноосного растяженияша геометрические параметры рельефа поверхности аморфного сплава ^М/З/рВ/У/ПисьмавЖТФ-2002 -Т 28 №1 -С 60-66.

18 А И Слуцкер, Л А Лайус, В Л Гиляров, ИВ Гофман Продольное термическое расширение и термоупругий эффект в ориентированных жесткоцепных полимерах//ВМС - 2002 - Т А44 №9 - С 1543-1549

19 А И Слуцкер, В Л Гиляров, Г Дадобаев, Л А Лайус, ИВ Гофман, Ю И Поликарпов Отрицательное продольное расширение и амплитуда продольных колебаний в кристаллах полиэтилена (эксперимент и теория)//ФТТ-2002 -Т 44 №5 -С 923-929.

20 А И Слуцкер, В И Веттегрень, В Л Гиляров, Г Дадобаев, В Б Кулик, Л С Титенков Проявление квантовой статистики в колебательной динамике кристаллов полиэтилена//ФТТ-2002 -Т 44 №10 -С 1897-1854.

21 А И Слуцкер, В И Веттегрень, В Л Гиляров, и др Тепловое расширение кристалла полиэтилена и макромолекул в нем//ВМС - 2002 -Т 44 №7 -С 1168-1174

22 В И Веттегрень, А И Слуцкер, В Л Гиляров, В Б Кулик, Л С Титенков Термическое расширение скелета цепных молекул в кристаллах полимеров//ФТТ - 2003 -Т 45 №8 - С 1528-1534.

23 А И Слуцкер, Л А Лайус, И В Гофман, В Л Гиляров Особенности термического расширения слабоориентированного полиэтилена//ВМС, А -2003 -Т 45 №5 -С 750-758.

24 А И Слуцкер, В JI Гиляров, Ю И Поликарпов, Д Д Каров Термическое расширение полимеров при циклически меняющейся температуре//ЖТФ - 2003 -Т 73 №7 - С 75-81

25 В JI Гиляров, В Е Корсуков, П Н Бутенко, В Н Светлов Применение вейвлет-преобразования для изучения изменения фрактальных свойств поверхностей аморфных металлов под воздействием механической нагрузки//ФТТ - 2004 -Т 46 №10 - С 1806-1811

26 JIА Лайус, А И Слуцкер, И В Гофман, В Л Гиляров Взаимосвязь характеристик обратимых термических и силовых деформаций в твердых телах различной структуры//ФТТ - 2004 -Т 46 №6 - С 1125-1122

27 A I Slutsker, L A Layus, I V Gofman, V L Hilarov The conformational Mechanism of Thermoelastisity of oriented Polyethilene//Tnt J Polymeric Materials - 2004 -V.53 №2 -C 173-184

28 Л А Лайус, А И Слуцкер, И В Гофман, В Л Гиляров, Ю И Поликарпов Особенности и механизмы термоупругого эффекта в полимерах//Высокомол соед А-2005 -Т 47 №8 - С 1394-1407

29 В Л Гиляров Кинетическая концепция прочности и самоорганизованная критичность в процессе разрушения материалов// ФТТ-2005 -Т 47 №5 - С 808-813

30 А И Слуцкер, Ю И Поликарпов, В Л Гиляров Об элементарных актах в кинетике электрического разрушения полимеров//ЖТФ - 2006 - Т 76 №12 - С 52-56

31 А И Слуцкер, В Л Гиляров, А С Лукьяненко Особенности энергетики адиабатически нагружаемого ангармонического осциллятора//ФТТ -2006 -Т 48 №10 - С 1832-1837

Отпечатано в типографии ПИЯФ РАН

188300, Гатчина Ленинградской обл , Орлова роща Зак 22, тир 100, уч-изд л 2,25 12 2006 г

Введение.

1 Равновесная термодинамика ангармонических кристаллов.

1.1 Основы термодинамического описания кристаллов с ангармоническим межатомным взаимодействием.

1.2 Термодинамические особенности поведения атомной поверхности твердых тел.

1.3 Термодинамические особенности поведения полимерных кристаллов и макромолекул.

2.2 Замечания о теории фазовых переходов.49

2.3 Диссипативные структуры в неравновесных процессах.52

2.4 Самоорганизованная критичность (СОК).56

2.5 Фрактальные свойства поверхностей разрушения материалов 68

2.6 Основные выводы. .75

3 Образование самоорганизованного критического состояния при разрушении гетерогенных материалов.76

3.1 Введение.76

3.2 Схема эксперимента по изучению акустической эмиссии при разрушении образцов из горных пород.77

3.3 Выявление временного самоподобия (1/f шума) в акустической эмиссии материалов.84

3.4 Проявление пространственного самоподобия (фрактальности) в процессе акустической эмиссии материалов. 93

3.5 Основные выводы:.102

4 Исследование трансформации поверхности твердых тел при механическом нагружении методом вейвлет-преобразований.105

4.1 Введение.105

4.2 Схема эксперимента по исследованию трансформации поверхности методом СТМ.106

4.3 Замечания о вычислении фрактальной размерности поверхностей.107

4.4 Применение метода вейвлет-преобразований для изучения трансформации поверхностного рельефа под воздействием механической нагрузки [202].112

4.5 Основные выводы.122

5 Температурные несоизмеримости на поверхности кристаллов [223,224].127

5.1 Введение.127

5.2 Модель Френкеля-Конторовой и ее модификация.129

5.3 Термодинамический расчет модели.131

5.4 Обсуждение результатов.137

6 Микроскопические основы термоупругого эффекта в твердых телах.143

6.1 Введение.143

6.2 Энергетика адиабатически нагружаемого ангармонического осциллятора [233].145

6.3 Энергетика адиабатически нагружаемого квантового осциллятора.155

6.4 Описание термоупругого эффекта в одномерном кристалле методом статистической термодинамики [236].161

6.5 Об адиабатическом инварианте в термодинамике твердых тел [240].169

6.6 Особенности микроскопики термоупругого эффекта в ориентированных жесткоцепных полимерах [243].177

6.7 Отрицательное продольное расширение и амплитуда продольных колебаний в кристаллах полиэтилена [244].187

6.8 Основные выводы.200

Заключение.202

Список литературы.205

Введение

Примерно до середины XX века нелинейным эффектам в физике не придавалось серьезного значения. Предполагалось, что все физические явления описываются линейными дифференциальными уравнениями в пространстве и времени. Если же нелинейные эффекты и проявляются, то лишь как некие досадные поправки, для описания которых можно использовать приближенные методы типа теории возмущений. Этому в значительной степени способствовал тот факт, что не существует общей математической теории решения нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений.

Ситуация коренным образом изменилась во второй половине XX века. Исследования по обоснованию эргодической гипотезы вскрыли принципиальную роль нелинейности как основы стохастического поведения динамических систем. Появление компьютеров в это же время привело к построению принципиально новой отрасли физики - компьютерному эксперименту, в ходе которого оказалось возможным промоделировать нелинейные физические явления, описаний которых наталкивалось на непреодолимые математические трудности.

Было обнаружено, что динамика даже, казалось бы, самых простых нелинейных систем оказывается весьма сложной.

Достаточно иметь в системе всего более двух степеней свободы, чтобы она вела себя стохастично. В таких системах были выявлены странные аттракторы, попадая внутрь которых, фазовые траектории ведут себя крайне нерегулярно и очень чувствительны к начальным условиям, в том смысле, что бесконечно малая вариация начальных условий приводит к значительному расхождению фазовых траекторий. Оказалось, что размерности многих странных аттракторов являются дробными, и системы с такими аттракторами обладают фрактальными свойствами. Нелинейные явления такого вида привели к созданию концепции маломерного хаоса, проявляющегося в системах с небольшим числом степеней свободы.

С другой стороны, выяснилось, что в поведении крайне сложных нелинейных систем можно обнаружить весьма простые черты. Очень часто их эволюция описывается небольшим числом переменных, называемых обычно параметрами порядка. В этих системах рождаются временные и пространственные упорядоченные структуры, возникающие из хаотического движения.

Обнаружение принципиальной роли нелинейных эффектов при возникновении порядка из хаоса и наоборот дало толчок к изучению такого рода явлений в различных областях человеческого знания: физике, химии, биологии, социологии и т.д. Был достигнут значительный прогресс в понимании процессов эволюции, в основе которых лежат нелинейные эффекты.

В то же время наблюдается недостаток фундаментальных исследований по актуальной в настоящее время проблеме прогнозирования техногенных катастроф, базирующихся на современных физических принципах самоорганизации сложных систем. Предполагается, что настоящая работа как раз и относится к исследованиям такого типа и помогает выявить общую природу процессов, происходящих в механических системах перед их разрушением на различных масштабных уровнях.

Цель работы: Изучить реакции твердых тел на механические и термические воздействия, обусловленные нелинейными эффектами. К таким реакциям, изучаемым в настоящей работе, относятся:

1.Разрушение твердых тел при приложении механической нагрузки

2. Трансформация профиля поверхности твердых тел при механическом и термическом воздействии

3. Термоупругий эффект в твердых телах, заключающийся в изменении температуры тела при его адиабатическом нагружении.

Общее обсуждение нелинейных эффектов, по-видимому, лишено смысла, ввиду их многообразия. В основном рассматриваемые далее явления оказываются следствием нелинейности (энгармонизма) межатомного взаимодействия в твердом теле. Наряду с этим рассматриваются также явления являюшИеся следствием структурного энгармонизма в ориентированных полимерах, такие как термоупругий эффект и тепловое расширение.

Другой класс нелинейных эффектов, изучаемых в представляемой диссертации, связан с упомянутой выше самоорганизацией сложных систем. Речь идет о самоорганизванном критическом состоянии (СОКС). Исследуемый объект представляет собой механически нагружаемый гетерогенный материал, в котором под действием механических напряжений происходит множественное трещинообразование. Процесс трещинообразования сопровождается акустической эмиссией из объема материала, сигналы которой являются индикатором разрушения. Этот сложный статистический процесс имеет тенденцию к самоорганизации в пространстве и времени, и на последних стадиях разрушения формируется самоорганизованное критическое состояние. Пространственные и временные аспекты такого рода самоорганизации и являются предметом изучения диссертации.

Самоорганизация процесса разрушения происходит не только в объеме материала, но и на его поверхности, которая, как известно, сама часто является инициатором разрушения. Поэтому исследование такого рода самоорганизации представляется весьма актуальным. В диссертации изучается мул ьти фрактальная самоорганизация профиля латеральной поверхности аморфных сплавов под действием механической нагрузки.

Трансформация поверхности происходит не только при приложении механической нагрузки, но и при изменении температуры материала. Хорошо известным фактом является образование и трансформация поверхностных суперструктур при изменении температуры материала. Микроскопические аспекты формирования такого рода суперструктур также являются предметом изучения настоящей работы.

Следующие результаты были получены впервые и выносятся на защиту:

1. Проведенные исследования по изучению процесса трещинообразования при помощи метода акустической эмиссии позволяют установить, что нелинейная динамика трещинообразования в гетерогенных материалах (металлах и горных породах) представляет собой направленный процесс к самоорганизованному критическому состоянию, которое является масштабно инвариантным в пространстве и времени и характеризуется наличием пространственного и временного скейлинговых показателей. Такое состояние материала является его предразрывным состоянием. В процессе разрушения в материале происходит эволюция дефектной структуры на все более и более высоких масштабных уровнях, в результате которой материал исчерпывает все имеющиеся у него возможности сопротивления разрушению. Тогда и происходит потеря всех характерных пространственных и временных масштабов дефектной структуры и образуется СОК.

2. Проведены исследования по изучению мультифрактальной трансформации латеральной поверхности материалов (аморфных сплавов) под воздействием механической нагрузки. Эти исследования основаны на изучении изменения профиля поверхности на нанометровом масштабе методом сканирующей туннельной микроскопии. Показано, что на начальной стадии нагружения происходит разглаживание поверхностного профиля. Это связано с тем, что исходная поверхность аморфных сплавов формировалась в сильно неравновесных условиях и исходно имеет повышенную шероховатость. На конечной стадии разрушения на поверхности формируется самоафинная фрактальная структура, аналогично тому, как это происходит в объеме материала. Такое поведение системы позволяет предположить, что и в этом случае эволюция материала под нагрузкой приводит к формированию самоорганизованного критического состояния.

3. Построена микроскопическая модель трансформации поверхности материалов при изменении температуры. В основе модели лежат представления об отличии термодинамических свойств поверхности материала от свойств его объема, связанном с отсутствием соседних атомных слоев. Если в направлении^ перпендикулярном поверхности^ изменению межплоскостных расстояний ничто не препятствует, то в плоскости самой поверхности избыточное над объемом тепловое расширение затруднено наличием соседних поверхностных атомов. Возникающая при этом несоизмеримость поверхностных и объемных слоев может быть устранена, если на поверхности сформируется суперструктура термических дислокаций несоответствия, физической причиной которой является нелинейность межатомного взаимодействия. Это отличает рассматриваемую модель от других известных описаний несоизмеримости в кристаллах, когда поверхностные атомы взаимодействуют по закону отличному от взаимодействия в объеме.

4. Выявлена микроскопическая причина термоупругого эффекта в низкомолекулярных твердых телах. Показано, что природа термоупругого эффекта определяется реакцией внутренних колебательных степеней свободы на внешнее механическое поле. В результате такой реакции внешнее поле создает деформацию, на которой внутренняя энтропийная сила теплового давления совершает работу, которая и приводит к изменению тепловой составляющей внутренней энергии.

5. Выявлены особенности термоупругого эффекта в ориентированных жесткоцепных полимерах. Показано, что в этом случае определяющим является взаимодействие внешнего механического поля с поперечными колебаниями (изгибными или торсионными), которые определяют знак и величину термоупругого эффекта. В основе этого взаимодействия лежит структурный энгармонизм, связэнный с нелинейной зэвисимостью модуля векторэ от его декартовых координэт.

Диссертэция состоит из введения, шести глэв, зэключения и спискэ цитировэнной литературы.

В первой глэве проэнэлизировэны рэвновесные термодинэмические свойствэ кристэллов и поверхностей кристэллов, порожденных энгэрмонизмом межэтомного взэимодействия. Рэссмотрены тэкже термодинэмические свойствэ полимерных кристэллов, в основе которых нэходится структурный энгэрмонизм.

Во второй глэве проведен обзор известных нэ сегодняшний день видов сэмоорганизэции сложных систем. Рассмотрена самооргэнизэция при фазовых переходах, образовании диссипативных структур и самооргэнизовэнного критического состояния. Сформулировэны отличия сэмооргэнизовэнной критичности от других видов сэмооргэнизэции. Проэнэлизировэны многочисленные экспериментэльные дэнные по фрэктэльным свойствам поверхностей разрушения материэлов.

В третьей главе изучен процесс сэмооргэнизэции трещинообрэзовэния при мехэническом рэзрушении гетерогенных материалов. Выявлены эффекты пространственного и временного самоподобия, возникающие в процессе разрушения, позволяющие отнести этот вид сэмооргэнизэции к формировэнию сэмооргэнизованного критического состояния.

В четвертой главе изучены основные закономерности явления фрактальной трансформации поверхности материалов (аморфных сплавов) при их механическом нагружении.

В пятой главе построена термодинамическая модель формирования нанометровых поверхностных суперструктур за счет несоизмеримости поверхностных и атомных слоев, возникающей при конечных температурах в результате отличия термодинамичес: ких свойств поверхности кристалла от свойств его объема, порожденных межатомным энгармонизмом.

Шестая глава посвящена исследованию микроскопических основ термоупругого эффекта в твердых телах. В ней приведены расчеты баланса энергии при адиабатическом нагружении ангармонического классического и квантового осцилляторов, построена модель неравновесной термодинамики необратимых процессов для одномерного кристалла. Выведена форма адиабатического инварианта в термодинамике ансамбля ангармонических осцилляторов и рассчитаны коэффициенты термического расширения и СКА для полимерного кристалла в широкой области температур, начиная с квантовых.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

По результатам диссертации сделаны доклады на Всесоюзном совещаний "Физические основы микромеханики разрушения" (Ленинград 1980) Всесоюзной школе по физике поверхности

Карпаты, 1986), Всесоюзной школ , по физике поверхности (Куйбышев, 1987), Первой Всесоюзной конференции «Сильновозбужденные состояния в кристаллах» (Томск, 1988), I Международном семинаре «Актуальные проблемы прочности» им. В.А. Лихачева и XXXIII семинаре «Актуальные проблемы прочности>- (1997), на международном семинаре «New Approaches to Hi-Tech Materials, (Saint Petersburg, 1997), Международной конференции «Science for Materials in the Frontier of Centuries: Advantages and Challenges», 4-8 November (Kyiv 2002) III Международной конференции «Аморфные и микрокристаллические полупроводники (Санкт-Петербург, 2002), XL международном семинаре «Актуальные проблемы прочности (Великий Новгород, 2002), XIV Петербургских чтениях по проблемам прочности, поев. 300-летию Санкт-Петербурга (2003), Международных междисциплинарных симпозиумах «Фракталы и прикладная синергетика» (Москва, 2003, 2005), VI Международной конференции «Научно-технические прогнозирования надежности и долговечности конструкций и методы их решения RELMAS'2005». (Санкт-Петербург, 2005), VII Международной школе-семинаре «Физические основы прогнозирования разрушения горных пород» (Борок, 2005).

По материалам диссертации опубликовано более 30 работ в российских и международных журналах. Основное содержание диссертации отражено в 20 статьях, приведенных в списке литературы: [27-30], [36], [189-191], [199], [201,202], [223,224], [233], [236,237], [240], [243-245].

6.8. Основные выводы

Проведено микроскопическое обоснование термоупругого эффекта в твердых телах. Показано, что природа термоупругого эффекта определяется «спариванием» (взаимодействием) внутренних колебательных степеней свободы с внешним механическим полем. В результате этого взаимодействия в энергии системы появляется мультипликативный член, пропорциональный как внешней силе, так и внутренней колебательной энергии, который можно трактовать как работу внутренних динамических сил (теплового давления) на перемещении, создаваемом внешним полем. Именно этот член и определяет изменение колебательной энергии (температуры) твердого тела. Эффект проявляется как в классических, так и квантовых системах.

Выявлены особенности термоупругого эффекта в ориентированных жесткоцепных полимерах. Показано, что в этом случае определяющим является взаимодействие внешнего механического поля с поперечными колебаниями (изгибными или торсионными), которые определяют знак и величину термоупругого эффекта.

Впервые рассчитан термодинамический инвариант для термодинамики твердого тела. Показано, что величина со/Т сохраняется для ансамбля ангармонических осцилляторов при адиабатических возмущениях системы.

Впервые в широком диапазоне температур, начиная с квантовых, были рассчитаны КТР и СКА полимерных кристаллов. Расчетные характеристики хорошо совпадают с экспериментально измеренными в области температур Т<200К и превышают экспериментальный значений над расчетными при более высоких температурах. Отмечены возможные причины такого расхождения.

Впервые выявлена роль низкочастотных сдвиговых колебаний в термодинамических характеристиках (продольных СКА) полимерного кристалла. Собственная продольная жесткость молекул весьма высока^ и поэтому вклад внутримолекулярных продольных колебаний атомов в СКА продольных колебаний мал. Низкое же значение константы у*0.16н1м обеспечивает возможность сдвиговых продольных смещений атомов в соседних цепях.

Заключение

На основе описанных в представляемой диссертации результатов можно сформулировать основные итоги работы:

1. Данные, полученные при анализе акустической эмиссии, сопровождающей процесс разрушения материалов, позволяют сделать вывод о том, что для гетерогенных материалов процесс разрушения представляет собой направленную эволюцию, в результате которой формируется самоорганизованное критическое состояние, для которого характерны пространственная и временная масштабная инвариантность. Это состояние является результатом эволюции дефектной структуры как реакции материалов на приложенное к ним механическое напряжение. По мере исчерпания возможностей сопротивления нагружению на каком-то одном масштабном уровне в системе включаются следующие более высокие масштабные уровни, пока материал не исчерпывает все возможности сопротивления разрушению на всех масштабных уровнях.

2. Формирование СОКС в процессе разрушения материалов позволяет выявить физическую причину фрактальности поверхностей разрушения, которая наблюдается при разрушении многих материалов. Эта фрактальность является следствием фрактального характера трещинообразования на конечной стадии разрушения.

3. Масштабно инвариантные состояния формируются не только в объеме материала, но и на его поверхности при приложении к материалу механических нагрузок. На примере трансформации поверхности аморфных сплавов и металлов под действием механических напряжений, исследованной методом сканирующей туннельной микроскопии, показано, что эволюция поверхностного профиля имеет тенденцию к формированию самоафинной фрактальной структуры на конечной стадии этой эволюции. Такая структура характеризуется степенным распределением дефектов по размерам. Все это позволяет предполагать, что и в этом случае эволюция системы приводит к формированию СОКС,

4. Формирование СОКС в процессе разрушения материалов может быть использовано для предотвращения аварий промышленных конструкций, поскольку представляет собой заключительную стадию разрушения. Выявление СОКС в работающих конструкциях свидетельствует об их нахождении в предразрывном состоянии и, следовательно^ опасности их разрушения, поэтому может служить предвестником техногенных катастроф.

5. Построенная термодинамическая модель позволила изучить трансформацию поверхности под действием температуры. Показано, что нелинейные эффекты взаимодействия атомов на поверхности кристаллов оказываются весьма существенными и могут быть ответственны за структурные перестройки поверхности кристаллов при изменении температуры. При этом на поверхности образуются суперструктуры термических дислокаций несоответствия. Рассчитаны параметры образующейся суперструктуры, такие как ее период и поверхностные деформации, и построены их температурные зависимости,

6. Показано, что микроскопическая природа термоупругого эффекта определяется реакцией внутренних колебательных степеней свободы системы на внешнее механическое поле. В энергии системы появляется мультипликативный член, пропорциональный как внешней силе, так и внутренней колебательной энергии, который можно трактовать как работу внутренних динамических сил (теплового давления) на перемещении, создаваемом внешним полем. Именно этот член и определяет изменение колебательной энергии (температуры) твердого тела. Эффект проявляется как в классических, так и квантовых системах.

Выявлены особенности термоупругого эффекта в ориентированных жесткоцепных полимерах. Показано, что в этом случае определяющую роль играет структурный энгармонизм (нелинейная зэвисимость модуля векторэ от его декэртовых проекций)^ проявляющийся в поперечных колебэниях (изгибных или торсионных), которые определяют знэк и величину термоупругого эффекта.

205

1. Фейнман Р. Статистическая механика. М.: Мир, 1978,408с.

2. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т. 1, М.: Мир, 1978,406 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Статистическая физика, ч. 1, М.: Наука, 1976,584 с.

4. Жирифалько Л. Статистическая физика твердого тела. М.: Мир, 1975, 384 с.

5. Харрисон У. Теория твердого тела. М.: Мир, 1972, 616 с.

6. Рейсленд Дж. Физика фононов. М.:Мир,1975, 365 с.

7. Хакен X. Квантовополевая теория твердого тела. М.: Наука, 1980, 342 с.

8. Цянь Сюэ-Сень. Физическая механика. М.: Мир, 1965, 544 с.

9. Китель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: гос. изд. физ.-мат. литературы, 1963, 696 с.

10. Plakida N.M., Siklos Т. On the stability of one-dimensional lattice. -Phys. Lett. 1967, A26, n8, p. 342-343

11. И. Плакида H.M. Условия устойчивости одномерного кристалла. -ФТТ, 1969, т. И, в. 3, с. 700-707

12. Gills N.S., Werthamer N.R., Koehler T.R. Properties of Crystalline Argon and Neon in the Self-Consistent Phonon Approximation. -Phys. Rev., 1968,165, n. 3, p. 951-959

13. Kugler A.K. Anharmonic contributions to vibrational properties of the Vigner Electron Lattice. Ann. of Phys., 1969, 53, p.133-142

14. Matsubara Т., Kamia К. Self-consistent Einstein Model and Theory of Anharmonic Vibrations I. Pr. Theor. Phys., 1977, 58, n. 3, p. 767-776

15. Наша Т., Matsubara T. Self-consistent Einstein Model and Theory of anharmonic Surface Vibration II. Pr. Theor. Phys., 1978, 59, p. 14071417

16. Werthamer N.R. Self-consistent phonon formulation of anharmonic lattice dynamics. Phys. Rev., 1970, Bl, n. 2, p. 572-581

17. Плакида H.M. Свободная энергия ангармонического кристалла. Препринт ОИЯИ Р4-5948, Дубна, 1971,19 с.

18. Плакида Н.М., Шиклош Т. Учет ангармонических эффектов высших порядков в кристаллах. Препринт ОИЯИ, Р-3449, Дубна, 1967,20 с.

19. Plakida N.M., Siklos Т. Theory of anharmonic crystals I. General formulation. Phys. Stat. Sol., 1969, 33, p. 103-112

20. Plakida N.M., Siklos T. Theory of one-dimensional lattice in pseudoharmonic approximation. Acta Phys. Hungarica, 1969, 26, p. 387-400

21. Плакида H.M. Условия устойчивости ангармонического кристалла. ФТТ, 1969, т. И, вып. 3, с. 700-707

22. Siklos Т., Aksienov V.L. Thermodynamics of strongly anharmonic crystals. Phys. Stat. Sol., 1972,50b, p. 171-178

23. Takens S.A. A theory of lattice vibrations of anharmonic solids. Pr. Theor. Phys. Suppl., 1970, 45, p.137-175

24. Moleko L.K., Glyde H.R. Crystal stability, thermal vibrations and vacancies. Phys. Rev., 1984, B30, n. 8, p. 4215-4229

25. Fukuyama H., Platsman P.M. Mean Field theory of melting. Solid State Comm., 1974,15, n. 4, p. 677-81

26. K. Nishioka, S. Nakamura, T. Shimamoto, H. Fujiwara. Lattice instability theory of fracture. Scripta Metallurgica, 1980, vol. 14, pp. 497-502.

27. Гиляров В.Л., Пахомов А.Б. Анализ механизмов потери устойчивости в модели одномерного кристалла. ФТТ, 1981, 23, №6, 1569-1572.

28. Гиляров В.Л. Температурная зависимость теоретической прочности простых кубических решеток. ФТТ, 1983, т. 25, в. 3, с. 944-94629., Петров В. А, Гиляров В.Л. Температурно-силовая неустойчивость атомной цепочки. ФТТ, 1981, т. 23, в. И, 33723375.

29. Гиляров В.Л., Петров В.А., Сабиров Р.Х., Лукьяненко А.С. Влияние квантовой статистики на низкотемпературную прочность одномерных кристаллов. ФТТ, 1986, т. 28, в. 5, с. 13321337.

30. Регель В.В., Слуцкер А.И., Томашевский. Кинетическая природа прочности твердых тел. М.: Наука, 1978, 61с.

31. Бартенев Г.М., Савин Е.С. Механизм распада механически напряженных химических связей в полимерных волокнах. -ВМС, 1980, т. 22А, №6, с. 1420-1423.

32. Бартенев Г.М., Савин Е.С. Влияние фононной подсистемы на вероятность распада полимерной цепи. ВМС, 1981, т. 23А, №12, с. 2257-2764

33. Бартенев Г.М., Савин Е.С. Влияние «слабых» связей в полимерных цепях на разрушение полимеров. ВМС, 1977, т.Б19, с. 710-713

34. Бартенев Г.М., Савин Е.С. Влияние дефектов химической структуры макромолекул на разрушение полимеров. ВМС, 1981, т. Б23, №4, с. 306-308

35. Гиляров В.Л., Петров В.А. Неустойчивость атомной цепочки в температурно-силовом поле. ФТТ, 1983, т. 25, в. 2, с. 472-478.

36. Maradudin A.A., Montroll E.W, Weiss G.H., Ipatova LP. Theory of lattice dynamics in harmonic approximation. 2nd ed., N.Y.: Acad. Press, 1971,306p.

37. Wallis R.F. Lattice dynamics of Crystal Surfaces. In: Progress in Surface Science/ Ed. S.G. Davidson. Oxford etc.: Pergamon, 1974, vol. 4, p. 233-367

38. Surface Physics of Materials (ed. J.M. Bastow). -1975, v. II, Academic Press, 548 c.

39. Нестеренко Б.А., Снитко O.B. Физические свойства атомарно чистой поверхности полупроводников. Киев, Наукова Думка, 1983, 264 с.

40. Нестеренко Б. А., Бородкин А .Д., Снитко О.В. Динамические свойства поверхностных решеток полупроводников. ФТТ, 1973, т. 17, №9, с. 3602-3608.

41. Нестеренко Б.А., Бородкин А.Д. Особенности атомарных колебаний и термическое расширение чистых и адсорбированных граней (100) и (111) кремния. ФТТ, 1977, т. 19, №1, с. 223-228.

42. Wilson I.M., Bastow T.I. Surface thermal expansion for Cr (111) and Mo (100) single crystals. Surface Sci., 1971, v. 26, n. 2, p. 461-470

43. Корсуков B.E., Лукьяненко A.C., Светлов B.H. Электронная плотность и термическое расширение поверхности алюминия, измеренные методом характеристических потерь энергии электронов. Поверхность, 1983, №11, с. 28-37.

44. Korsukov V.E., Lukyanenko A.S. The surface relaxation of A1 as determined by Electron Energy Loss Spectroscopy. Z. Phys., 1983, B53, p. 143-150.

45. Корсуков B.E., Лукьяненко A.C., Патриевский П.В., Светлов B.H. Среднеквадратичные амплитуды колебаний атомов на поверхности А1 (111), измеренные методом спектроскопии поверхностных плазмонов. Поверхность, 1987, №5, с. 27-31.

46. Назаров P.P., Корсуков В.Е., Лукьяненко А.С., Шерматов М. Определение коэффициента термического расширения поверхности (111) германия методом спектроскопии характеристических потерь энергии электронов. Поверхность, 1990, №1, с. 97-101.

47. Горобей Н.Н., Корсуков В.Е., Лукьяненко А.С., Назаров P.P., Обидов Б.А. Особенности структуры грани Ge (111) 2x8,измеренные методом спектроскопии характеристических потерь энергии электронов. Письма в ЖТФ, 2003, т. 29, в. 7, с.

48. Галлямов М.О., Яминский И.В. Сканирующая зондовая микроскопия: основные принципы, анализ искажающих эффектов.http://www.spm.genebee.msu.su/members/gallyamov/galyam/gal yaml.html

49. Физика в анимациях, вер. 4.1. -http://physics.nad.ru/physics.htm

50. Dobrzynski L., Maradudin А.А. Thermal Expansion of a Crystal Surface. Phys. Rev., 1973, v. B7, n. 4, p. 1207-1223.

51. Лифшиц И.М. О теплоемкости тонких пленок и игл при низких температурах. ЖЭТФ, 1952, т. 22, вып. 4, с. 471-474.

52. Лифшиц И.М. О тепловых свойствах цепных и слоистых структур при низких температурах. ЖЭТФ, 1952, т. 22, вып. 4, с. 475-486.55.3айман Дж. Принципы теории твердого тела. М.: Мир, 1966, 416 с.

53. Stockmayer W.H., Hecht С.Е. Heat capacity of chain polymeric crystals. J. Chem. Phys., 1953, v. 21, no. 11, p. 1954-1958

54. Genensky S.M., Newell. Vibration Spectrum and Heat Capacity of a Chain Polymer Crystal. J. Chem. Phys., 1957, v. 26, no. 3, p. 486-497.

55. Годовский Ю.К. Теплофизика полимеров. M.: Химия, 1982, 280 с.

56. Chen F.C., Choy C.L., Young К. Negative thermal expansion of Polymer Crystals: Lattice Model. J. Polymer Sci.: Polymer Physics Ed., 1980, v. 18, p. 2313-2322

57. Chen F.C., Choy C.L., Wong S.P., Young K. Negative thermal expansion of Polymer Crystals: Planar Zig-Zag Chain Model. J. Polymer Sci.: Polymer Physics Ed., 1981, v. 19, p. 971-981

58. Губанов А.И. Смещение частот колебаний винтовой молекулы полимера при ее растяжении. Механика полимеров, 1967, вып. 5, с. 771-776.

59. Губанов А.И., Кособукин В.А. Смещение колебательных частот молекулы полипропилена при ее растяжении. Механика полимеров, 1968, вып. 4, с. 586-594.

60. Кособукин В.А. Влияние нагружения на колебания молекул некоторых полимеров с плоским зигзагообразным скелетом. -Механика полимеров, 1970, вып. 6, с. 971-978

61. Кособукин В.А. К теории нелинейных колебаний свободных и нагруженных полимерных молекул. Механика полимеров, 1971, вып. 4, с. 579-585

62. Кособукин В.А. Полуширины полос скелетных колебаний свободной и нагруженной молекулы полиэтилена. Механика полимеров, 1972, вып. 1, с. 3-11

63. Кособукин В.А. Изменение интенсивности полос поглощения при нагружении полимерных цепей. Оптика и спектроскопия, 1973, т.34, вып. 2, с. 273-277

64. Кособукин В.А. Смещение колебательных частот при статическом растяжении молекулы полиэтилена. Оптика и спектроскопия, 1974, т. 37, вып. 6, с. 1077-1083

65. Губанов А.И., Кособукин В.А. Влияние некоторых факторов на колебания полимеров. Механика полимеров, 1975, вып. 1, с. 3346

66. Бреслер С.Е., Френкель Я.И. О характере теплового движения длинных органических цепей и о причинах эластических свойств каучука. ЖЭТФ, 1939, т. 9, вып. 9, сс. 1094-1106.

67. Китайгородский А.И. ДАН, 1961, т. 137, с. 116

68. Губанов А.И. Потенциальная энергия деформации молекулы полимера в нелинейном приближении. Механика полимеров, 1967, вып. 4, с. 608-614

69. Kadanoff L.P. et al. Static Phenomena Near Critical Points: Theory and Experiment. Rev. Mod. Phys., 1967, vol. 39, p. 395-431.

70. Паташинский A.E., Покровский В.Л. Метод ренормализационной группы в теории фазовых переходов. -УФН, 1977, т. 121, вып. 1, с.

71. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973, 280с.

72. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979, 512 с.

73. Эбелинг В. Образование структур при необратимых процессах. -М.: Мир, 1979,280 с.

74. Пригожин И. От существующего к возникающему. М.: Наука, 1985, 328 с.

75. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике для инженеров и студентов ВУЗОВ. М.: Наука, 1979, 943 с.

76. Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики. М.: Наука, 1973, 423 с.

77. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982, 608 с.

78. Кайзер Дж. Статистическая термодинамика неравновесных процессов. М. Мир, 1990, 607 с.

79. Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. Т. 2.- М.: Мир, 1978, 400 с.

80. Пригожин И., Кандепуди Д. Современная термодинамика, М.: Мир, 2002,408 с.

81. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980, 404 с.

82. Хакен Г. Синергетика.: Иерархии неустойчивостей, образующихся в самоорганизующихся системах и устройствах. -М.: Мир, 1985, 423 с.

83. Р. Бак, С. Tang, К. Wiesenfeld. Self-Organized Criticality: An Explanation of 1/f noise. Physical Review Letters, 1987, v. 59, no. 4, p. 381- 384

84. P. Bak, C. Tang, K. Wiesenfeld. Self-Organized Criticality. Phys. Rev. A, 1988, v. 38, p. 364-373

85. D. Chang, S. Lee, and W. Tzeng. Phys. Rev. E, 1995, v. 51, n.6, pp. 5515-5519

86. B. Kutnjak-Urbanc, S. Havlin, and H. E. Stanley. . Phys. Rev. Lett. E, 1996, v. 54, n. 6, pp. 6109-6113

87. D. A. Head and G. J. Rodgers. Crossover to self-organized criticality in an inertial sandpile model. Phys. Rev. E, 1997, v. 55, n. 3, pp. 2573-2579

88. P. A. Robinson. Scaling properties of self-organized criticality. -Phys. Rev. E, 1994, v. 49, n. 5, pp. 3919-3926

89. H. Ceva, J. Luzuriaga. Correlations in the sand pile model: From the log-normal distribution to self-organized criticality. Physics Letters A, 250 (1998), 275-280

90. Mario Casartelli, Massimo Zerbini. Metric features of self-organized criticality states in sandpile models. Journal of Physics A: Mathematical and General, 33 (2000), 5 (февраль 11), 863-872

91. С. Rives, D.J. Lacks. Avalanches and self-organized criticality in simulations of particle piles. Chemical Physics Letters, 370 (2003), 56 (март 21), 700-705

92. P. Bak, K. Chen. Self-organized criticality. Scientific American, 264 (1991), 1 (январь 01), 46-53

93. J. Feder. The Evidence for Self-Organized Criticality in Sandpile Dynamics. Fractals, 3 (1995), 3 (сентябрь), 431-443

94. D. L. Turcotte. Self-organized criticality. Rep. Prog. Phys, 1999, v. 62, pp. 1377-1429

95. B.Gutenberg, C.F. Richter. Seismisity on the Earth and associated phenomena. Prinston Univ. Press, Prinston, 2nd ed., 1954

96. R. Burridge, L. Knopoff. Model and theoretical seismisity. Bull. Seismol. Soc. Am., 1967, v. 57, p. 341

97. K. Chen, P. Bak, S. Obukhov. Self-Organized Criticality in a crack propagation model of earthquakes. Phys. Rev A, 1988, v. 43, pp. 625-630

98. J.M. Carlson, J.S. Langer. Mechanical Model of an earthquake fault. Phys.Rev. A, 1989, v. 40, n. 11, pp. 6470-6484

99. J. M. Carlson. Two-dimensional model of a fault. Phys. Rev. A, 1991, v. 44, n. 10, pp. 6266-6232

100. J. M. Carlson, J. S. Langer, В. E. Shaw, and C. Tang. Intrinsic properties of a Burridge-Knopoff model of an earthquake fault. -Phys. Rev. A, 1991, v. 44, n. 2, pp. 884-897

101. J. M. Carlson, E. R. Grannan, C. Singh, and G. H. Swindlepp. Fluctuations in self-organizing systems. Phys. Rev. E, 1993, v. 48, n.2, pp. 688-698

102. J. M. Carlson, E. R. Grannan, and G. H. Swindlepp. Self-organizing systems at finite driving rates. Phys. Rev. E, 1993, v. 47, n.l, pp. 93-105

103. H. Takayasu and H. Inaoka. New type of self-organized criticality in a model of erosion. Phys. Rev. Lett., 1993, v. 68, n. 7, pp. 966-969

104. Z. Olami and K. Christensen. Temporal correlations, universality, and multifractality in a spring-block model of earthquakes. Phys. Rev. A, 1992, 46, n. 4, pp. 1720-1723

105. K. Christensen and Z. Olami. Scaling, phase transitions, and nonuniversality in a self-organized critical cellular-automaton model. Phys. Rev. A, 1992, 46, n. 4, pp.1829-1838

106. L. Knopoff, J. A. Landoni, and M. S. Abinante. Dynamical model of an earthquake fault with localization. Phys. Rev.A, 1992, 46, n. 12, pp. 7445-7449

107. P. Bak, C. Tang. Earthquakes as a self-organized critical phenomena, J. Geophys.Res., 1989, v. 94, Bll, pp. 15635-15637,

108. H. Feder, J. Feder. Self-Organized Criticality in Stick-Slip process. Phys. Rev. Lett., 1991, 66, n. 20pp. 2669-272

109. J.M. Carlson, J.S. Langer, B.E. Shaw. Dynamics of Earthquake faults. Review Modern Phys., 1994, 60, pp. 537-571

110. H.-M. Broker, P. Grassberger. Random Neighbor Theory of the Olami-Feder-Christensen Earthquake Model. adap-org/9707002 16 Sept 1997, pp.1-18

111. G. Zoller, R. Engbert, S. Hainzl, J. Kurthz. Characteristic Spatial Scales in Earthquake Data. chao-dyn/9701025 30 Jan 1997

112. L. Chunchenberg, H. Takayasu, A. Tretyakov, M. Takayasu, S. Yumoto. Self-Organized Criticality in a block lattice model of a brittle crust. Phys. Lett. A, (1998), 242, pp. 349-354

113. V. Lapenna, M. Macciato, L. Telesca. 1/fP Fluctuations and self-similarity in earthquake dynamics: observational evidences in Southern Italy. Phys. Of Earth and Planetary Interiors, 1998, pp. 115-127

114. S. Lise, M. Paczuski. Self-organized criticality and universality in nonconservative earthquake model. Phys. Rev. E, 2001, 63,03611, pp. 1-5

115. S. Lise, M. Paczuski. A Nonconcervative Earthquake Model of Self-Organized Criticality on a Random Graph, arXive: cond-mat/0204491 23 Apr 2002

116. D.L. Turcotte. Seismicity and self-organized criticality. Physics of the Earth and Planetary Interiors, 111 (1999), 3-4 (март 08), 275-293

117. E.M. Blanter, M.G. Shnirman, J.L. Le Mouel, C.J. Allegre. Scaling laws in blocks dynamics and dynamic self-organizedcriticality. Physics of the Earth and Planetary Interiors, 99 (1997), 3-4 (февраль), 295-307

118. S. Hainzl, G. Zoller, J. Kurths. Self-organized criticality model for earthquakes: quiescence, foreshocks and aftershock. International Journal of Bifurcation and Chaos, 9 (1999), 11&12 (ноябрь), 2249-2255

119. B.B. Mandelbrot, D.E. Passoja, A.J. Paullay. Fractal character of fracture surfaces of metals. Nature, 1984, 48, pp. 721-722.

120. B.B. Mandelbrot. The fractal Geometry of Nature. W.H. Freeman, N.Y., 1982, 468 pp.

121. B.B. Mandelbrot. Self-affine fractals and fractal dimension. -Phys. Scr., 1985, v. 32, pp.257-260.

122. M. Berry, J. Hannay. Topography of random surfaces. Nature, 1978, v. 273, p. 573.

123. K.K. Ray, G. Mandal. Study of correlation between fractal dimension and impact energy in a high strength low alloy steel. -Acta Metall. Mater., 1992 40, 3, p.463-469

124. J. Noguers, J.L. Costa, K.V. Rao. Fractal dimension of thin film surfaces of gold sputter deposited on mica: a scanning tunneling microscopic study Physica, 1992, A182, p. 532-541

125. Z.H. Huang, J.F. Tian, Z.G. Wang. A study of the slit island analysis as a method for measuring fractal dimension of fractured surface. Scr. Metall. Mater, 1990, 24, 6, p. 967-972

126. Z.H. Huang, J.F. Tian, Z.G. Wang. Analysis of fractal characteristics of fractured surfaces by secondary electron line scanning Mater. Sci. Eng., 1989, A118, p. 19-24

127. K.J. Mal0y, A. Hansen, E.L. Hinrichsen, S. Roux. Experimental measurements of the roughness of brittle cracks Phys. Rev. Lett., 1991, 68, p. 213-215

128. S.C. Langford, Ma.Zhenyi, L.C. Jensen, J.T. Dickinson. Scanning tunneling microscope observations of MgO fracture surfaces. J. Vac. Sci. Technol., 1990, A8, p. 3470-3480

129. J.J. Mecholsky, Jr. S.W. Frieman. Relationship between Fractal Geometry and Fractography- J. Amer. Ceram. Soc., 1991, 74, 12, pp. 3136-3138

130. J.J. Mecholsky, D.E. Passoja, K.S. Feiberg-Ringel. -Quantitative Analysis of Brittle Fracture Surfaces Using Fractal Geometry J. Amer. Ceram. Soc.,1989, 72, p. 60-65

131. J.J. Mecholsky, J.R. Plaia. J. Non-Chryst. Solids, 1992, 146, p. 249

132. M.W. Mitchel, D.A. Bonnel. Quantitative topographic analysis of fractal surfaces by scanning tunneling microscopy. J. Mate r. Res., 1990, 5, 11, pp. 2244-2255

133. Y.L. Tsay, J.J. Mecholsky. Fractal fracture of single crystal silicon. J. Mater. Res., 1991, 6, 6, pp. 1248-1263

134. G.R. Baran, C. Roques-Carmes, D. Wahbi, M. Degrange. J. Amer. Ceram. Soc., 1992, 75, p. 47

135. G.M. Lin, J.K.L. Lai. J. Mater. Sci. Lett., 1993,12, p. 470

136. Ma.Zhenyi, S.C. Langford, J.T. Dickinson, M.H. Engelhard, D.R. Bayer. Fractal character of crack propagation in epoxy and epoxy composites as revealed by photon emission during fracture. J. Mater. Res., 1991, 6,1, p. 183-195

137. А. М. Brandt, G. Prokopsky. J. Mater. Sci., 1993, 28, p. 4762

138. R.H. Dauskardt, F. Haubensak, R.O. Ritchie. On the interpretation of the fractal character of fracture surfaces Acta Metall. Mater., 1990, 38, 2, p. 143-159

139. Q.Y. Long, S. Li, C.W. Lung. Studies on the fractal dimension of a fracture surface formed by slow stable crack propagation. J. Phys. D: Appl. Phys., 1991, 24,4, p. 602-607

140. Z.Q. Mu, C.W. Lung. Perimeter-maximum-diameter method for measuring the fractal dimension of a fractured surface. Phys. Rev. B, 1993, 48, p. 7679-7681

141. K.K. Ray, G. Mandal. Study of correlation between fractal dimension and impact energy in a high strength low alloy steel. -Acta Metall. Mater., 1992 40, 3, p.463-469

142. Yu. A. Krupin, I.K. Kiselev. On statistical properties of the estimations of fractal dimensions of the corrosion fracture surfaces of low-alloy high-strength steel. Scr. Metall. Mater., 1990, 24, 11, p. 2113-2118

143. Q.Y. Long, Jun Chen, Jizhi Chen, Z.Q. Mu, C.W. Lung. A study on fractal dimension of fracture surface created by stress corrosion cracking in high strength steels. Scr. Metall. Mater., 1992, 27, p. 1319-1324

144. Y. Fahmy, J.C. Ross, C.C. Koch. Application of fractal geometry measurements to the evaluation of fracture toughness of brittle intermetallics. J. Mater. Res., 1991, 6, 9, pp. 1856-1861

145. M. Tanaka. Characterization of grain-boundary configuration and fracture surface roughness by fractal geometry and creeprupture properties of metallic materials T. Mater. Sci., 1992, 27,17, p. 4717-4725

146. M. Tanaka. The fractal dimension of grain-boundary fracture in high-temperature creep of heat-resistant alloys J. Mater. Sci., 1993, 28, 21, p. 5753-5758

147. Z.G. Wang, D.L. Chen, X.X. Jiang, S.H. Ai, C.H. Shih. Scr. Metall., 1988, 22, p. 827

148. P. McAnulty, L.V. Miesel, P.J. Cote. Hyperbolic distributions and fractal character of fracture surfaces. Phys. Rev.A, 1992, 46, p. 3523-3526

149. K. Ishikava. Fractals in dimple patterns of ductile fracture J. Mater. Sci. Lett., 1990, 9, 4, p. 400-402

150. E. Bochard, G. Lapasset, J. Planes, S. Naveos. Statistics of branched fracture surfaces. Phys. Rev. B, 1993, 48, p. 2917-2928

151. X.J. Jiang, W.Y. Chu, C.M. Hsiao. Relationship between Jic and fractal value of fracture surface of ductile materials Acta Metall. Mater., 1994, 42, 1, p. 105-108

152. D.L. Davidson. J. Mater. Sci., 1989, 24, p. 681

153. C.S. Pande, L.R. Richards, S. Smith. J. Mater.Sci. Lett., 1987, 6, p. 295

154. C.S. Pande, L.R. Richards, N. Louat, B.D. Dempsey, A.J. Schwoeble. Fractal characterization of fractured surfaces. Acta Metall., 1987, 35, 7, p. 1633-1637

155. L.E. Richards, B.D. Dempsey. Fractal characterization of fractured surfaces in Ti-4.5 Al-5.0 Mo-1.5 Cr (Corona 5) Scr. Metall., 1988, 22, 5, p. 687-689

156. X.J. Jiang, J.Z. Cui, L.X. Ma. Fractal dimension of fracture surface and superplasticity of 7475 A1 alloy J. Mater. Sci. Lett., 1993, 12, 20, p. 1616-1618

157. V.Y. Milman, N.A. Stelmashenko, R. Blumenfeld. Fracture surfaces: A critical review of fractal studies and novel morphological analysis of scanning tunneling microscopy measurements. Progr. Mater. Sci., 1994, 38, pp. 425-474

158. Yan Su, Wei-Sheng Lei. Relationship between Fracture Toughness and Fractal Dimension of Fracture Surface of Steel. -International Journal of Fracture, 2000, LQ6, 3 (декабрь), pp. 41-46

159. S. Stach, J. Cybo, J. Chmiela. Fracture surface fractal or multifractal? - Materials Characterization, 2001, 46,2-3, pp. 163-167

160. M. Tanaka, A. Kayama. Automated image processing for fractal analysis of fracture surface profiles in high-temperature materials. -Journal of Materials Science Letters, 2001, 20, Ю, 907-909

161. F.J. Elorza, C. Paredes. Fractal and multifractal analysis of fractured geological media: surface-subsurface correlation. -Computers & Geosciences, 1999,25, 9, pp. 1081-1096

162. T. Ikeshoji, T. Shioya. Brittle-Ductile Transition And Scale Dependence: Fractal Dimension Of Fracture Surface Of Materials. -Fractals, 1999,7, 2, pp. 159-168

163. M. Tanaka, A. Kayama, R. Kato, Y. Ito. Estimation Of The Fractal Dimension Of Fracture Surface Patterns By Box-Counting Method. Fractals, 1999, J, 3, pp. 335-340

164. J.C Hsiung, Y.T Chou. Fractal characterization of the fracture surface of a high-strength low-alloy steel. Journal of Materials Science, 1998,33,11,pp. 2949-2953

165. J. Waisen, E. Heier, T. Hansson. Fractal analysis of fracture surfaces in ceramic materials. Scr. Mater., 1998, 35, 6, pp.953-957

166. D. Dutta, P. Barat, S.N. Ganguly. Acoustic characterization of fractal crack surface. Physica D, 1998,122, pp. 155-160

167. P.B. Гольдштейн. А.Б. Мосолов. ДАН СССР, 1991, 319, сс. 840

168. B.C. Иванова, A.C. Баланкин, И.К. Бунин, A.A. Оксогоев. Синергетика и фракталы в материаловедении. М., Наука, 1994, 383 с.

169. B.C. Иванова. От дислокаций к фракталам. -Материаловедение, (200), №12, сс.19-25

170. П.В. Кузнецов, В.Е. Панин, Ю. Шрайбер. Фрактальная размерность как характеристика стадий деформации на мезоуровне при циклическом и активном нагружении. В сб.: Фракталы и прикладная синергетика, М., 1999, сс. 142-143

171. Ю.Г. Гордиенко, Е.Э. Засимчук. Фрактальные свойства самоорганизующихся деформационных структур. В сб.:

172. Фракталы и прикладная синергетика, М.: изд. МГОУ, 2001, сс. 118-119

173. В.А. Петрунин, В.Я. Целлермайер, В.Е. Громов. Фрактальность дислокационных структур в условиях электропластической деформации. Фракталы и прикладная синергетика, М.: изд. МГОУ, 2003, сс. 224-226

174. М.А. Лебедкин. Самоорганизация и коллективные эффекты при неустойчивости пластической деформации кристаллов. Докт. диссер., 2002, Черноголовка, 248 с.

175. А.И. Олемской, А.А. Канцельсон. Синергетика конденсированной среды. М.: УРСС, 2003, 335 с.

176. S.C. Langford, Ma Zhenyi, J.T. Dickinson. Photon Emission as a probe of chaotic processes accompanying fracture. J. Mat. Res., 1989, 4, no 5, pp. 1272-1279

177. В.И. Мячкин, Б.В. Костров, Г.А. Соболев, О.Г. Шамина. Лабораторные и теоретические исследования процесса подготовки землетрясения. Изв. АНСССР, Физика Земли, 1974, №10, сс. 2526-2530

178. Г.А. Соболев, А.В. Кольцов. Исследование процесса микротрещинообразования в образцах высокопластичной горной породы. В кн.: Физические процессы в очагах землетрясений. М., Наука, 1980, сс. 99-103

179. У. Султонов. Изучение разрушения хрупких гетерогенных материалов методом акустической эмиссии. Автореф. канд. дисс., Л, ФТИ АН СССР, 1979

180. E. E. Дамаскинская. Формирование очага разрушения в гетерогенных материалах (горных породах). Канд. дисс., 1996, Санкт-Птербург, 125 с.

181. А. Ван дер Зил. ШУМ. Источники, описание, измерение. -М.: Сов. Радио, 1973, 228с.

182. М.В. Weissman. 1/f noise and other slow, nonexponentional kinetics in condensed matter. Rev. Mod. Phys., 1988, 60, 2, pp. 537571

183. В.Л. Гиляров. Фликкер-эффект, фрактальные свойства разрушающихся материалов и проблема прогнозирования разрушения. ФТТ, 1994, 36, 8, сс. 2247-2252

184. V.L. Hilarov. Self-similar crack generation effects in the fracture process in brittle materials. Modeling Simul. Mater. Sci. Eng., 6, 337342

185. P. Grassberger, I. Procaccia. Characterization of strange attractors. Phys. Rev. Lett., 1983, 50,5, pp. 346-349

186. Г. Шустер. Маломерный хаос. М.:Мир, 1988, 240 с.

187. T.C. Halsey, M.H. Jensen, L.P. Kadanoff, I. Procaccia, B.I. Shairman. Fractal measures and their singularities: The characterization of strange sets. Phys. Rev., B, 1986, 33, 2, pp.11411151

188. В.Б. Смирнов, A.B. Пономарев, А.Д. Завьялов. Структура акустического режима в образцах горных пород и сейсмический процесс. Физика Земли, 1995, №1, сс.38-58

189. А.Ф. Иоффе, М.В. Кирпичева, М.А. Левицкая. ЖРФХО, 56, 489

190. А.П. Александров, С.Н. Журков. Явление хрупкого разрыва. -ГТТИ, 1933.

191. Ф.Ф. Витман, В.А. Берштейн, В.П. Пух. В сб. Прочность стекла. -М.:Мир, 1969 с .7

192. В.И. Бетехтин, П.Н. Бутенко, В.Л. Гиляров, В.Е. Корсуков,

193. A.С. Лукьяненко, Б.А. Обидов, В.Е. Харциев. Влияние одноосного растяжеия на геометрические параметры рельефа поверхности аморфного сплава Fe77NiiSi9Bi3. Письма в ЖТФ, 2002, 28,1, сс. 6066

194. С.Н. Журков, В.Е. Корсуков, А.С. Лукьяненко, Б.А. Обидов,

195. B.Н. Светлов, А.П. Смирнов. Трансформация механической нагруженной поверхности Ge (111). Письма в ЖЭТФ, 1990, 51, 6, сс. 324-326

196. В.И. Веттегрень, В.Л. Гиляров, С.Ш. Рахимов, В.Н. Светлов. Механизм образования нанодефектов на поверхности нагруженных металлов. ФТТ, 1998, 40, 4, сс. 668- 672.

197. В.Л. Гиляров, В.Е. Корсуков, П.Н. Бутенко, В.Н. Светлов. Применение вейвлет преобразования для изучения изменения фрактальных свойств поверхностей аморфных металлов под воздействием механической нагрузки. ФТТ, 2004, 46, 10, 18061811

198. L.S. Liebovitch, Т. Toth. A fast algorithm to determine fractal dimensions by box counting. Phys. Lett. A, 141, no8,9, pp. 386-390

199. H.M. Астафьева. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения. УФН, Н.М. Астафьева. УФН, 1996, 166, , И, 11451170

200. A. Graps. An Introduction to Wavelets, -www.amara.com, 1996, pp. 1-18

201. И.М. Дремин, O.B. Иванов, В.А. Нечитайло. Вейвлеты и их использование. УФН, 2001,171, №5, 465-501

202. I. Simonsen, A. Hansen. Determination of the Hurst exponent by use of wavelet transforms. Phys. Rev E, 1998, 58, 3, pp. 2779-2787

203. V.V. Zverev, A.G. Zalazinski, V.I. Novozhonov, A.P. Polyakov. -J. Appl. Mechanics and Tech. Physics, 2001, 42, 2, pp.363-370

204. E. Федер. Фракталы. M:, Мир, 1991, 254 с.

205. Г.В. Встовский, Колмаков А.Г., Бунин И.Ж. Введение в мультифрактальную параметризацию структур материалов. -Ижевск: На^.-изд. центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2001, 116 с.

206. Г.В. Встовский, Ф.А. Летников, Е.М. Пономарев. Применение мультифрактального формализма дляклассификации магматических пород. В сб.! Фракталы и прикладная синергетика., М.: изд. МГОУ, 2003, с. 339-340

207. Г.В. Встовский. Информационно-симметричный подход к мультифрактальной параметризации изображений структур в металлах и сплавах. В сб.:Прикладная синергетика, фракталы и компьютерное моделирование структур., Томск, Томский гос. университет, сс. 191-221

208. Г.В. Встовский, А.Г. Колмаков, В.Ф. Терентьев. Мультифрактальный анализ особенностей разрушения приповерхностных слоев молибдена. Металлы, 1993, 4, сс. 164178

209. S. Mallat, W.L., Hwang. Characterization of Self-Similar Multifractals with Wavelet Maxima. Technical Report 641, July 1993, pp. 1-23

210. S. Mallat, W.L., Hwang. Singularity detection and processing with wavelets. IIEEE Trans. Inf. Theory 38, 617, (1992)

211. E. Bacry, J. Muzzy, A. Arneodo. Singularity spectrum of fractal signals from wavelet analysis: exact results. Journ. Stat. Phys., 1993, 70, 314, pp. 635217. A. Arneodo, Y. d'Aubenton-Carafa, E. Bacry, P.V. Graves, J.F.

212. A. Arneodo, Е. Bacry, J.F. Muzy. The thermodynamics of fractal revisited with wavelets. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 1995, 213,1-2, pp. 232-275

213. Y. D'Aubenton-Carafa, C. Thermes, E. Bacry, B. Audit, J.F. Muzy, A. Arneodo. What can we learn with wavelets about DNA sequences?. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 1998 249,1-4,439-448

214. J. Buckheit, S. Chen, D. Donoho, I. Johnstone, J. Scargle. Wavelab Reference Manual, Version 0.700, 1995. http://www-stat.stanford.edu/~wavelab

215. В.Л. Гиляров. Ангармоническая модель Френкеля-Конторовой для температурной соизмеримости в кристаллах. -ФТТ, 1987, 29, №4, сс. 1055-1060

216. В.Л. Гиляров. Описание поверхностных наноструктур в модели Френкеля-Конторовой. В сб. Аморфные и микрокристаллические полупроводники., СПб.: Изд. СПбГТУ, 2002, с. 158

217. И.Ф. Люскутов, А.Г. Наумовец, В.Л. Покровский. Двумерные кристаллы. Киев, Наукова Думка, 1988, 220 с.

218. А.Н. Орлов. Введение в теорию дефектов в кристаллах. М.: Высшая школа, 1983,144с.

219. В.Л. Покровский, А.Л. Талапов. Фазовые переходы и спектры колебаний почти соизмеримых структур. ЖЭТФ, 1978, т. 75, вып. 3, с.1151-1157

220. О.М. Braun, Yu. S. Kivshar, I.I. Zelenskaya. Kinks in Frenkel-Kontorova model with long range interparticle interactions. Phys. Rev. B, 1990,41, 10, pp. 7118-7138

221. L. L. Bonilla. Motion of kinks in the ас-driven damped Frenkel-Kontorova chain. Phys. Rev. B, 1991,43,13, pp. 11539-11541

222. O.M. Braun. Nonlinear dynamics of the Frenkel-Kontorova model with impurities. Phys. Rev. B, 1991, 43,1,1060-1073

223. W. Thomson (Lord Kelvin). Mathematical and Physical Papers. -London, 1890,592 р.

224. Л.Д. Ландау, E.M. Лифшиц. Механика, M.: Наука, 1965, 204 с.

225. В.Л. Гиляров, А.И. Слуцкер, В.П. Володин, Л.А. Лайус. Энергетика адиабатически нагружаемого возбужденного ангармонического осциллятора. ФТТ, 1997, 39, №1, сс.153 -158

226. Р.Х. Сабиров. ФТТ, 1984, 26, №5, сс. 1358235. А.И. Лурье. Теория упругости. - М., Наука, 1970, 940 с.

227. В.Л. Гиляров, А.И. Слуцкер, В.П. Володин, А.И. Лайус. Энергетика термоупругого эффекта в твердых телах. ФТТ, 1998, 40, №8, сс. 1548-1551

228. В.Л. Гиляров. Статистико-механические методы для описания деформации и разрушения твердых тел. В сб.: Нелинейные эффекты в кинетике разрушения, Ленинград, ФТИ, 1988, 181 с.

229. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теория упругости, М.: Наука, 1965, 202 с.

230. Л.И. Седов, Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1970,492 с.

231. В.Л. Гиляров, А.И. Слуцкер, Л.А. Лайус. Об адиабатическом инварианте в термодинамике твердых тел. ФТТ, 1999, 41, №1, сс. 134-136

232. А. Марадудин, 3. Монтроллл, Дж. Вейсс. Динамическая теория кристаллических решеток в гармоническом приближении. М.: Мир, 1965, 383 с.

233. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. М.: Наука, 1989, 78 с.

234. А.И. Слуцкер, Л.А. Лайус, В.Л. Гиляров, И.В. Гофман. Продольное термическое расширение и термоупругий эффект в ориентированных жесткоцепных полимерах. ВМС, 2002, 44, №9, сс. 1543-1549.

235. А.И. Слуцкер, В.Л. Гиляров, Г. Дадобаев, Л.А. Лайус, И.В. Гофман, Ю.И. Поликарпов. Отрицательное продольное расширение и амплитуда продольных колебаний в кристаллах полиэтилена (эксперимент и теория). ФТТ, 2002, 44, №5, сс. 923929

236. В.И. Веттегрень, А.И.Слуцкер, В.Л.Гиляров, В.Б.Кулик, Л.С.Титенков. Термическое расширение скелета цепных молекул в кристаллах полимеров. ФТТ, 2003, 45, №8, сс. 1528-1534

237. F.J. Elmer. Is self-organized criticality possible in dry friction?, in B.N.J. Persson and E. Tosatti (eds.) Physics of Sliding Friction , (Kluwer Academic Publishers,Dordrecht), (1996).