Нелинейные эффекты в тепловой конвекции вязкоупругих жидкостей в статическом и модулированном поле тяжести

Ковалевская, Ксения Викторовна

Нелинейные эффекты в тепловой конвекции вязкоупругих жидкостей в статическом и модулированном поле тяжести тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Ковалевская, Ксения Викторовна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Пермь МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Нелинейные эффекты в тепловой конвекции вязкоупругих жидкостей в статическом и модулированном поле тяжести»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейные эффекты в тепловой конвекции вязкоупругих жидкостей в статическом и модулированном поле тяжести"

005005426

На правах рукописи

Ковалевская Ксения Викторовна

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В СТАТИЧЕСКОМ И МОДУЛИРОВАННОМ ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

" 1 ДЕК 2011

Пермь-2011

005005426

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор Любимова Татьяна Петровна

доктор физ.-мат. наук, профессор Тарунин Евгений Леонидович (ФГБОУВПО «Пермский государственный национальный исследовательский университет», г. Пермь)

кандидат физ.-мат. наук Перминов Анатолий Викторович (ФГБОУВПО «Пермский национальный исследовательский политехнический университет», г. Пермь)

ФГБОУВПО «Казанский национальный исследовательский технологический университет», г. Казань

Защита состоится «22» декабря 2011 г. в 14® часов на заседании диссертационного совета Д004.012.01 при ИМСС УрО РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Ак. Королева, 1, тел: (342) 2378461; факс: (342) 2378487; сайт: www.icmm.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН

Автореферат разослан « /</» ноября 2011 г.

Ученый секретарь совета, доктор технических наук

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

И.К. Березин

Актуальность работы. Изучение характеристик свободной конвекции является предметом многих теоретических и экспериментальных работ. Исследования по тепло- и массопереносу в неравномерно нагретых вязкоупругих средах представляют интерес как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения современных потребностей производства, связанных с переработкой, транспортировкой и хранением таких жидкостей. Как известно, закон течения вязкоупругих сред отличается от того, которому подчиняется течение ньютоновской жидкости, что в значительной степени меняет характеристики конвективного течения и теплопере-носа в этих средах. Это обстоятельство необходимо учитывать при расчете технологических процессов с участием вязкоупругих сред.

Для оптимизации технологических процессов важно не только знание закономерностей возникновения и нелинейных режимов конвекции, но также умение управлять поведением жидкостей. В качестве одного из эффективных инструментов управления может быть использована модуляция параметров.

Как показывает анализ литературы, нелинейные эффекты в тепловой конвекции вязкоупругих жидкостей и способы управления конвективными явлениями этих жидкостей изучены недостаточно.

Цели диссертационной работы:

■ исследование устойчивости равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя вязкоупругой жидкости Олдройда в модулированном поле тяжести;

" исследование характера возбуждения и нелинейных режимов конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости в статическом поле тяжести;

■ исследование влияния модуляции силы тяжести на возникновение и нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости.

Автором представляется к защите:

■ результаты исследования влияния модуляции силы тяжести на устойчивость равновесия вязкоупругой жидкости Олдройда в горизонтальном слое со свободными границами;

■ результаты слабонелинейного анализа поведения жидкости Олд-ройда вблизи порога конвективной неустойчивости в подогреваемой снизу замкнутой полости со свободными границами, в статическом поле тяжести;

■ результаты исследования слабонадкритических нелинейных режимов конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости со свободными границами, в статическом поле тяжести;

■ результаты слабонелинейного анализа поведения жидкости Олдройда вблизи порога конвективной неустойчивости в подогреваемой снизу замкнутой полости с твердыми границами, в статическом поле тяжести;

■ результаты численного исследования нелинейных режимов конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости с твердыми границами в статическом поле тяжести;

■ результаты численного исследования влияния модуляции силы тяжести на линейную устойчивость равновесия жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости с твердыми границами;

■ результаты численного исследования влияния модуляции силы тяжести на нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости с твердыми границами.

Достоверность результатов основывается на

■ применении современных апробированных методов исследования;

■ соответствии результатов данным, полученным предшественниками, соответствии результатам, получающимся в предельных случаях жидкостей Ньютона, Максвелла, стационарного поля силы тяжести;

" согласии результатов, полученных в рамках линейного, слабонелинейного и нелинейного подходов.

Научная новизна результатов:

■ определены границы линейной устойчивости равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя вязкоупругой жидкости Олдройда в модулированном поле тяжести; найдено, что запаздывание деформаций оказывает стабилизирующее воздействие;

" методами слабонелинейного анализа найдены границы, разделяющие области мягкого и жесткого возбуждения конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области в случаях свободных и твердых границ;

■ с помощью конечномерной динамической системы исследованы слабонадкритические нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области со свободными границами; обнаружены и исследованы бифуркационные переходы пяти типов;

■ численно исследованы нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области с твердыми границами; обнаружен интервал реологических параметров, в котором амплитудная поверхность является неоднозначной, так что на плоскости параметров число Дебора - число Грасгофа имеются две линии складок, образующих сборку;

» определены границы линейной устойчивости равновесия и характеристики нелинейных режимов конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области с твердыми границами в модулированном поле тяжести.

Практическая значимость работы: полученные в работе данные об условиях возникновения и нелинейных режимах конвекции вязкоупругих жидкостей могут быть использованы при оптимизации процессов химической и нефтяной промышленности. Данные о влиянии модуляции силы тяжести на конвективные движения вязкоупругой жидкости в горизонтальном слое и замкнутой полости при подогреве снизу могут быть использованы при разработке технологий управления тепло- и массообме-ном при хранении, транспортировке и переработке полимерных соединений.

Публикации. Результаты исследований, представленные в диссертации, опубликованы в 12 печатных работах [1]-[12] - из них 5 статей (2 статьи в российских журналах, входящих в перечень ВАК, одна статья в сборнике научных трудов и 2 статьи в сборниках трудов конференций) и 7 тезисов докладов на конференциях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: Конференции молодых ученых «Неравновесные про-

цессы в сплошных средах», 2005, 2006, 2007, 2008, Пермь, Россия; Межвузовская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края», 2008, Пермь, Россия; 15-я и 17-я Зимние школы по механике сплошных сред, 2007, 2011, Пермь, Россия; Конференция молодых ученых «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» в рамках XV научной школы «Нелинейные волны-2010», 2010, Нижний Новгород, Россия; 4-я Всероссийская конференция с международным участием «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения», 2011, Новосибирск, Россия, теоретический семинар Института механики сплошных сред УрО РАН, 2011, Пермь, Россия.

Содержание и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 3 глав, заключения и библиографического списка, включающего 125 наименований. Работа изложена на 124 листах машинописного текста, содержит 46 рисунков.

Содержание работы

Введение. Во введении представлены общая характеристика работы и обзор литературы, обсуждается модель Олдройда, используемая для описания реологических свойств жидкости во всех трех главах:

§ + ЯГ> Ъ = 2//0 (7 + А, В у)

Здесь о - тензор избыточных напряжений, у - 1/2(Уу + (Уу)т) - тензор скоростей деформации, Я - время релаксации напряжений, Яг - время запаздывания деформаций, //„ - динамическая вязкость. Знаком И обозначена ассоциированная производная, действие которой на тензор второго ранга определяется как

дВ дВ , ч

где ю0 = 1/2(Уу-(Уу)1 ) - тензор завихренности, а - параметр, определяющий тип ассоциированной производной.

При исследовании свободной тепловой конвекции в диссертационной работе используется приближение Буссинеска

3v 8t

+ (vV)v=--Vp+g/?rfl + — f(cot)W-Diva, P \ & J P

дТ

_+УУГ= УАТ ,

а/

сПУ V = 0 .

Здесь V - вектор скорости, Т - температура, р — давление, а - тензор избыточных напряжений (далее тензор напряжений), р - плотность, /7 -коэффициент теплового расширения, % - коэффициент температуропроводности, Ъ - амплитуда модуляции, со - частота модуляции, <? = (0, 0, 1) - вертикальный единичный вектор, / - периодическая функция с частотой а . Отметим, что в статическом поле тяжести 6 = 0.

При приведении управляющих уравнений к безразмерному виду в качестве единиц времени, скорости, температуры и тензора напряжений выбирались следующие величины: в первой главе - /г2/^¡ух , ^¡ух ¡к , 0, /¿ъ^ух/И1 , во второй и третьей главах - И2 /у, у/И, 0, /¿„у/Л2 (у -кинематическая вязкость, И - характерный размер области, 0 - разница температур на верхней и нижней границах). В результате, в безразмерном виде уравнения содержат следующие параметры: в первой главе - число Релея = к'^/у х, число Прандтля Рг = у/%, число Деборы

г = Я^/^х/й2, частоту модуляции С2 = акг/^ух ; во второй и третьей главах - число Грасгофа йг = 1 у1 , число Прандтля Рг = у/х , чис-

ло Деборы т = Ау1Ъ2, частоту модуляции О.-сок1/у. Параметр е = А/Аг , равный отношению времени запаздывания деформаций ко времени релаксации напряжений и амплитуда модуляции т] = Ь со1 /g вводятся одинаково во всех главах.

Известно12, что при малых значениях г (слабой упругости жидкости) неустойчивость равновесия вязкоупругой жидкости связана с развитием монотонных возмущений; граница монотонной неустойчивости не зави-

' Vest C, M., Arpaci V. S. Overstability of viscoelastic fluid layer heated from below // J. Fluid Mech. 1969. V. 36. № 3. P. 613-623

Takashima M. Thermal instability in viscoelastic fluid layer//1. Journal of the Physical Society ot Japan. 1972. V. 33 №2. P. 511-518

сит от упругих свойств среды; критическое значение числа Релея На совпадает со значением, получающимся в случае ньютоновской жидкости. При числах Деборы, превышающих некоторое значение г,, неустойчивость наступает в результате развития колебательных возмущений. Критическое число Релея, определяющее порог колебательной неустойчивости, уменьшается с увеличением г .

В первой главе диссертации исследуется устойчивость равновесия подогреваемого снизу плоского горизонтального слоя жидкости Олдройда в модулированном поле тяжести. Рассматривается случай свободных границ слоя и ступенчатого закона модуляции силы тяжести, что позволяет решить задачу аналитически.

Анализируется устойчивость механического равновесия жидкости по отношению к бесконечно малым возмущениям. Исследование проводится в рамках теории Флоке методом характеристических показателей.

Расчеты показали, что в пространстве параметров имеются участки резонансного возбуждения неустойчивости - возмущения могут развиваться во времени синхронным или субгармоническим образом, при этом вдоль границы устойчивости мультипликатор принимает вещественное значение ±1. Кроме того, существуют области параметров, где возмущения квазипериодичны, а мультипликатор является комплексным числом.

Для разных значений числа Деборы г получены нейтральные кривые на плоскости параметров критическое число Релея - волновое число. Их сравнение с нейтральными кривыми для жидкости Максвелла3, показало, что запаздывание деформаций оказывает стабилизирующее действие, особенно значительное в коротковолновой области.

Построены карты устойчивости механического равновесия на плоскости параметров число Релея - число Деборы для различных значений амплитуды модуляции 77 и частоты модуляции О . Найдено, что для малых т (г <Тц <г.) модуляция силы тяжести при любых г/ и О оказывает стабилизирующее действие, как и в ньютоновской жидкости. С ростом г в зависимости от значений 77 и П модуляция может оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние. Увеличение амплитуды модуляции ведет к усилению эффектов стабилизации и дестабилизации

Крапивина E.H., Любимова Т.П. Влияние модуляции силы тяжести на конвективную устойчивость равновесия вязкоупругой жидкости// Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: Пермский ун-т, 1998, с.182-194

Для разных значений числа Деборы исследована зависимость минимального критического числа Релея от частоты модуляции. Найдено, что для rv < г < г, низкочастотная модуляция оказывает дестабилизирующее

воздействие. Напротив, при г > г. низкочастотная модуляция повышает порог неустойчивости. В области умеренных частот модуляции зависимость минимального критического числа Релея от частоты для всех значений т имеет сложный немонотонный характер. Высокочастотная модуляция не влияет на порог конвекции.

Во второй главе рассматривается плоское конвективное движение жидкости Олдройда в подогреваемом снизу бесконечном горизонтальном цилиндре квадратного сечения, в статическом поле тяжести. Исследование проводится для случаев свободных и твердых границ, вертикальные границы полости полагаются теплоизолированными. Для случая твердых границ эта задача исследовалась ранее4, однако, проведенные в этой работе расчеты были ограничены случаем а = 1, для которого всегда имеет место мягкое возбуждение конвекции.

Основное внимание во второй главе уделено изучению характера возбуждения и слабо-надкритических режимов конвекции. Для случая свободных границ полости исследование проводилось на основе построенной нелинейной конечномерной модели. Характер возбуждения конвекции определялся с помощью методов слабонелинейного анализа. Для исследования нелинейных режимов конвекции проводилось численное интегрирование уравнений конечномерной модели.

Получены аналитические выражения, дающие информацию о характере' возбуждения конвекции при разных значениях реологических параметров. Для случая монотонной неустойчивости равновесия ( г < г, ) найдено, что при а < 0.75 в зависимости от значений параметров eut возможны как мягкое, так и жесткое возбуждение конвекции, а для а > 0.75 конвекция возбуждается мягко при любых гиг.

Для случая колебательной неустойчивости равновесия при т> т. зависимость характера возбуждения конвекции от параметра а иная. Для значений а, меньших 0.75, при любых г и s имеет место мягкое возбуждение конвекции. В интервале я = 0.75ч-0.79 возможны как мягкое, так

Крапивина Е.Н., Любимова Т.П. Нелинейные режимы конвекции упруго-вязкой жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу// Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 4. С.5-11

и жесткое возбуждение. При а >0.79 конвекция возбуждается жестко при любых значениях гиг.

Сг,

Рис.1. Диаграмма режимов для е = 0.1, г = 0.2, а = 0, Рг = 1. Штрихпунктирная линия соответствует устойчивому стационарному режиму, штриховая - неустойчивому стационарному режиму, сплошная -устойчивому колебательному с нулевым средним. Врезка - вилочная бифуркация колебательных режимов с ненулевым средним

Рис.2. Бифуркационные кривые для £ = 0.1, а = 0, Рг = 1". штриховая линия соответствует гомоклинической бифуркации, штрих-пунктирная - касательной бифуркации, сплошная Ч' - вилочной бифуркации, сплошная '2' - бифуркации Хопфа

Изучены также нелинейные режимы конвекции. На рис. 1, 2 представлены диаграммы режимов конвекции при а = 0. В этой области параметров, как было отмечено ранее, колебательный режим возбуждается мягко; стационарный режим может возбуждаться мягко или жестко в зависимости от значений с и г . При значении числа Грасгофа, которому соответствует точка А на рис. 1, где сливаются штриховая и штрихпунктирная линии, через касательную бифуркацию рождаются две пары конечно-амплитудных стационарных решений. Два из этих решений являются устойчивыми и два неустойчивыми (на рис. 1 представлены только решения, соответствующие одному направлению циркуляции жидкости в полости). При достижении числом Грасгофа порога монотонной неустойчивости (точка В) неустойчивые стационарные решения умирают через обратную вилочную бифуркацию. Колебательное решение, ответвляющееся от равновесия в точке С (сплошная линия на рис. 1), представляет собой симметричный в фазовом пространстве цикл. Как показали численные расчеты, уже при небольших надкритичностях симметричный цикл теряет устойчивость и от него ответвляются два несимметричных цикла с отличным от нуля средним. Вилочной бифуркации рождения несиммет-

ричных циклов соответствует точка Е (врезка на рис. 1). С дальнейшим увеличением числа Грасгофа, при встрече с неустойчивыми стационарными режимами (точка Э), эти циклы исчезают через гомоклиническую бифуркацию. Таким образом, на рис. 1 можно видеть, как в рассматриваемой системе реализуются бифуркационные переходы пяти типов.

На рис. 2 на плоскости параметров г-вг приведены кривые, соответствующие описанным выше бифуркационным переходам. Штрихпунк-тирная линия соответствует касательной бифуркации рождения стационарных режимов, штриховая линия - гомоклинической бифуркации смерти колебательных режимов, сплошная линия 1 - вилочной бифуркации, сплошная линия 2 - бифуркации Хопфа. Ниже штрихпунктирной кривой равновесие устойчиво как по отношению к малым, так и по отношению к конечно-амплитудным возмущениям. Между штрихпунктирной линией и линией 2 жестким образом возбуждаются стационарные решения, по отношению к колебательным возмущениям равновесие устойчиво. В области между линией 2 и штриховой линией сосуществуют устойчивые стационарные режимы и устойчивые периодические режимы, выбор режима определяется начальными условиями. Выше штриховой линии остаются только устойчивые стационарные режимы.

Для а >0.79 колебательные режимы конвекции возбуждаются жестко, стационарные - мягко. Таким образом, в области монотонной неустойчивости имеется прямая вилочная бифуркация стационарных режимов; в области колебательной неустойчивости через касательную бифуркацию рождаются два симметричных цикла: один устойчивый, другой неустойчивый. Как показали расчеты, проведенные вплоть до значений, соответствующих десятикратной надкритичности, решением при г > г, для данных значений параметра а являются стационарные колебания симметричной формы.

В случае твердых границ для изучения поведения жидкости вблизи порога неустойчивости использовались методы слабонелинейного анализа. Для исследования установившихся нелинейных режимов полные нелинейные уравнения решались также методом конечных разностей.

Найдено, что границы, разделяющие области мягкого и жесткого возбуждения монотонной конвекции, качественно подобны случаю свободных границ. При а, близких к единице, конвекция возбуждается мягко при любых значениях реологических параметров гиг, при меньших а имеются области мягкого и жесткого возбуждения (рис. 3). В области колебательной неустойчивости наблюдается аналогичное поведение.

Результаты численного исследования нелинейных режимов стационарной конвекции хорошо согласуются с результатами, полученными в ходе слабонелинейного анализа (рис. 3). Обнаружено, что в узкой области значений параметра е амплитудная поверхность является неоднозначной, так что на плоскости параметров г-бг имеются две линии складок, образующих сборку (рис. 4). Плоскость параметров разделяется на области с четырьмя разными типами амплитудной кривой. При увеличении надкри-тичности стационарные режимы конвекции сменяются малоамплитудными колебаниями с ненулевым средним.

Рис.З. Области мягкого и жесткого возбуждения конвекции для а = 0 , Рг = 7 . Штриховая линия - граница колебательной неустойчивости. В точках, обозначенных треугольниками для монотонной моды и кружками для колебательной моды, проводился численный счет. Черный цвет соответствует мягкому возбуждению конвекции, белый - жесткому

0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

Рис. 4. Четыре области параметров с разным типом нелинейных режимов в области монотонной неустойчивости для а-0, е = 0.1, Рг = 7. вг, и вг, - точки срыва

с нижней ветви мягкого возбуждения конвекции и с верхней ветви жесткого возбуждения соответственно

В третьей главе численно исследуются возникновение и нелинейные режимы конвективного движения вязкоупругой жидкости Олдройда в квадратной полости, подогреваемой снизу, при наличии гармонически меняющейся силы тяжести. Рассматривается случай твердых границ полости. Аналогичная задача исследована для жидкости Максвелла5, однако изучение нелинейных режимов было ограничено значениями числа Дебо-

5 Крапивина E.H., Любимова Т.П. Влияние модуляции силы тяжести на конвективную устойчивость равновесия вязкоупругой жидкости// Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: Пермский ун-т, 1998, с. 182-194

ры, при которых в отсутствие модуляции силы тяжести реализуется монотонная неустойчивость.

Численное моделирование проводилось с использованием метода конечных разностей. Использовалась неявная конечно-разностная схема. Для обеспечения устойчивости счета конвективные члены в нелинейных уравнениях аппроксимировались разностями против потока. Решение линейной задачи производилось путем численного решения нестационарных линеаризованных уравнений, описывающих эволюцию малых возмущений. Изучение нелинейных режимов конвекции осуществлялось путем численного решения полной нелинейной задачи.

В работе Е.Н.Крапивиной и Т.П.Любимовой5 показано, что в отсутствие модуляции силы тяжести при малых значениях параметра е (е < 0.1) наиболее опасными являются колебательные возмущения двухвихревой структуры.

Исследование влияния модуляции силы тяжести на линейную устойчивость равновесия по отношению к возмущениям одно- и двухвихревой структуры для разных значений частоты модуляции Г2, проводившиеся в диссертационной работе, выполнялись для значений параметра е, равных 0.1 и 0.3, при которых в отсутствие модуляции5 наиболее опасными являются одновихревые возмущений. Вычисления показали, что при очень малых значениях г наблюдается слабая стабилизация возмущений из основной зоны неустойчивости, критическое число Грасгофа повышается по сравнению со случаем статического поля тяжести. При увеличении г эффект стабилизации сменяется дестабилизацией, связанной с развитием возмущений, соответствующих различным зонам параметрической неустойчивости. Дальнейший рост г может сопровождаться как стабилизацией, так и дестабилизацией. В некоторых областях реологических параметров дестабилизирующий эффект для двухвихревых возмущений настолько велик, что они становятся наиболее опасными. При больших г на границе устойчивости равновесия одно- и двухвихревые возмущения ведут себя квазипериодическим образом.

Получены карты устойчивости в координатах обратная частота модуляции - амплитуда модуляции для различных значений параметра е. В области малых значений амплитуды модуляции имеется основная зона неустойчивости для одновихревого движения. Выше нее находится полоса устойчивости. Над ней расположены накладывающие друг на друга зоны резонансной неустойчивости равновесия по отношению к одно- и двухвихревым возмущениям. Имеет место чередование субгармонических и синхронных зон. Обнаружено также наложение резонансной области,

соответствующей синхронным решениям одновихревой структуры, на основную зону неустойчивости.

В ходе численного исследования нелинейных режимов конвекции для одно- и двухвихревых возмущений определена форма колебаний функции тока в зависимости от параметров модуляции П, т], соответствующих различным областям неустойчивости равновесия (основной зоне, синхронной и субгармонической резонансным зонам). Прослежена также перестройка структуры конвективного движения и компонент тензора напряжений за период колебаний для различных параметров модуляции.

Получены зависимости амплитуды колебаний и осредненного по периоду модуляции среднего по полости значения функции тока от амплитуды модуляции.

Исследование характера возбуждения конвекции показало, что в зависимости от значений параметров имеет место либо мягкое, либо жесткое возбуждение конвекции. Модуляция силы тяжести (в исследованной области параметров) не меняет характера возбуждения конвекции.

В заключении представлены основные результаты и выводы диссертации.

Основные результаты

1. Определены границы линейной устойчивости равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя вязкоупругой жидкости Олдройда в модулированном поле тяжести; найдено, что запаздывание деформаций оказывает стабилизирующее воздействие.

2. Методами слабонелинейного анализа найдены границы, разделяющие области мягкого и жесткого возбуждения конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области в случаях свободных и твердых границ.

3. С помощью конечномерной динамической системы исследованы слабонадкритические нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области со свободными границами; обнаружены и исследованы бифуркационные переходы пяти типов.

4. Численно исследованы нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области с твердыми границами. Обнаружен интервал реологических параметров, в котором амплитудная поверхность является неоднозначной, так что на плоскости параметров число Дебора - число Грасгофа имеются две линии складок, образующих сборку.

5. Определены границы линейной устойчивости равновесия жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области с твердыми границами в модулированном поле тяжести.

6. Численно исследовано влияние модуляции силы тяжести на нелинейные режимы конвекции вязкоупругой жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости.

Список основных публикаций

1. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Влияние модуляции силы тяжести на устойчивость равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя упруговязкой жидкости// Тезисы докладов конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах». Пермь, 2005. С.44-45

2. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Конвекция упруговязкой жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу// Тезисы докладов конференции молодых ученых «Неравновесные переходы в сплошных средах». Пермь, 2006. С. 25

3.Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Влияние модуляции силы тяжести на устойчивость равновесия упруговязкой жидкости в горизонтальном слое, подогреваемом снизу// Межвузовский сборник научных трудов «Гидродинамика». 2007. №16. С. 118-128

4. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Влияние модуляции силы тяжести на устойчивость равновесия и нелинейные режимы конвекции в вязкоупругой жидкости, подогреваемой снизу// Всероссийская конференция молодых ученых (с международным участием) «Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции. 2007. С. 226-229

5. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Влияние модуляции силы тяжести на возникновение конвекции упруговязкой жидкости в замкнутой полости, подогреваемого снизу// Тезисы докладов 15 Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 2007. Ч. 2. С. 160

6.Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Бифуркации в задаче о тепловой конвекции вязкоупругой жидкости // Всероссийская конференция молодых ученых (с международным участием) «Неравновесные процессы в сплошных средах». Материалы конференции. 5-6 декабря 2008. С. 159-162

7. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Возникновение конвекции вязкоупругой жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу// Тезисы докладов Межвузовской научно-практическая конференция студентов, аспи-

рантов и молодых ученых «Физика для Пермского края». Пермь 18-26 апреля, 2008. С. 19-20

8. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Бифуркации в задаче о конвекции вязкоупругой жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу// Тезисы докладов коференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» в рамках XV научной школы «Нелинейные волны-2010». Нижний Новгород, 6-12 марта 2010. С.60

9. Любимов Д.В., Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Бифуркации в задаче тепловой конвекции упруговязкой жидкости в подогреваемой снизу замкнутой области со свободными границами// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т 19. №3. С. 16-25

10. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Возникновение и нелинейные режимы конвекции упруговязкой жидкости в замкнутой полости при подогреве снизу// Изв. РАН. МЖГ. 2011. №6. С. 16-26

11. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Исследование характера возбуждения конвекции вязкоупругой жидкости в замкнутой полости со свободными границами при подогреве снизу// Тезисы докладов 17 Зимней школы по механике сплошных сред, Пермь. 28 февраля - 3 марта 2011. С. 160

12. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Бифуркации в задаче тепловой конвекции вязкоупругой жидкости в подогреваемой снизу области// Тезисы докладов 4-ой всероссийской конференции с международным участием «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения». Новосибирск, 5-10 июля 2011. С.48

Подписано в печать 14.11.2011 г. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ 2>"72> . Отпечатано в Типографии Пермского государственного университета 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ковалевская, Ксения Викторовна

ВВЕДЕНИЕ.

Общая характеристика работы.

Обзор литературы.

ГЛАВА 1. Влияние модуляции силы тяжести на устойчивость механического равновесия вязкоупругой жидкости в горизонтальном слое, подогреваемом снизу.

Постановка задачи.

Метод решения.

Результаты.

Случай низких частот модуляции.

Выводы.

ГЛАВА 2. Возникновение и нелинейные режимы конвекции вязкоупругой жидкости в замкнутой полости при подогреве снизу.

2.1. Свободные границы.

Постановка задачи.

Монотонная неустойчивость равновесия.

Колебательная неустойчивость равновесия.

2.2. Твердые границы.

Монотонная неустойчивость равновесия.

Колебательная неустойчивость равновесия.

Выводы.

ГЛАВА 3. Влияние модуляции силы тяжести на возникновение и нелинейные режимы конвекции вязкоупругой жидкости в замкнутой полости

Постановка задачи.

Метод решения.

Результаты.

Выводы.

Введение диссертация по механике, на тему "Нелинейные эффекты в тепловой конвекции вязкоупругих жидкостей в статическом и модулированном поле тяжести"

Актуальность работы. Изучение характеристик свободной конвекции является предметом многих теоретических и экспериментальных работ. Исследования по тепло- и массопереносу в неравномерно нагретых вязкоупругих средах представляют интерес как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения современных потребностей производства, связанных с переработкой, транспортировкой и хранением таких жидкостей. Как известно, закон течения вязкоупругих сред отличается от того, которому подчиняется течение ньютоновской жидкости, что в значительной степени меняет характеристики конвективного течения и теплопереноса в этих средах. Это обстоятельство необходимо учитывать при расчете технологических процессов с участием вязкоупругих сред.

Цели диссертационной работы: исследование влияния модуляции силы тяжести на устойчивость равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя вязкоупругой жидкости Олдройда; исследование характера возбуждения и нелинейных режимов конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости в статическом поле тяжести; исследование влияния модуляции силы тяжести на возникновение и нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости.

Автором представляется к защите: результаты исследования влияния модуляции силы тяжести на устойчивость равновесия вязкоупругой жидкости Олдройда в горизонтальном слое со свободными границами; результаты слабо-нелинейного анализа поведения жидкости Олдройда вблизи порога конвективной неустойчивости в подогреваемой снизу замкнутой полости со свободными границами, в статическом поле тяжести; результаты исследования слабонадкритических нелинейных режимов конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости со свободными границами, в статическом поле тяжести; результаты слабо-нелинейного анализа поведения жидкости Олдройда вблизи порога конвективной неустойчивости в подогреваемой снизу замкнутой полости с твердыми границами, в статическом поле тяжести; результаты численного исследования нелинейных режимов конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости с твердыми границами в статическом поле тяжести; результаты численного исследования влияния модуляции силы тяжести на линейную устойчивость равновесия жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости с твердыми границами; результаты численного исследования влияния модуляции силы тяжести на нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости с твердыми границами.

Достоверность результатов основывается на применении современных апробированных методов исследования; соответствии результатов данным, полученным предшественниками, соответствии результатам, получающимся в предельных случаях жидкостей Ньютона, Максвелла, статического поля силы тяжести; согласии результатов, полученных в рамках линейного, слабонелинейного и нелинейного подходов.

Научная новизна результатов: определены границы линейной устойчивости равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя вязкоупругой жидкости Олдройда в модулированном поле тяжести; найдено, что запаздывание деформаций оказывает стабилизирующее воздействие; методами слабо-нелинейного анализа найдены границы, разделяющие области мягкого и жесткого возбуждения конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области в случаях свободных и твердых границ; с помощью конечномерной динамической системы исследованы слабонадкритические нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области со свободными границами; обнаружены и исследованы бифуркационные переходы пяти типов; численно исследованы нелинейные режимы конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области с твердыми границами; обнаружен интервал реологических параметров, в котором амплитудная поверхность является неоднозначной, так что на плоскости параметров число Дебора - число Грасгофа имеются две линии складок, образующих сборку; определены границы линейной устойчивости равновесия и характеристики нелинейных режимов конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области с твердыми границами в модулированном поле тяжести.

Практическая значимость работы: полученные в работе данные об условиях возникновения и нелинейных режимах конвекции вязкоупругих жидкостей могут быть использованы при оптимизации процессов химической и нефтяной промышленности. Данные о влиянии модуляции силы тяжести на конвективные движения вязкоупругой жидкости в горизонтальном слое и замкнутой полости при подогреве снизу могут быть использованы при разработке технологий управления тепло- и массообменом при хранении, транспортировке и переработке полимерных соединений.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на конференциях: конференции молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», 2005, 2006, 2007, 2008, Пермь, Россия;

Межвузовская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Физика для Пермского края», 2008, Пермь, Россия;

15-я и 17-я Зимние школы по механике сплошных сред, 2007, 2011, Пермь, Россия;

Конференция молодых ученых «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики» в рамках XV научной школы «Нелинейные волны-2010», 2010, Нижний Новгород, Россия;

4-я Всероссийская конференция с международным участием «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения», 2011, Новосибирск, Россия.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

Выводы

Исследовано влияние синусоидальной модуляции силы тяжести на возникновение и нелинейные режимы тепловой конвекции вязкоупругой жидкости в замкнутой полости. Определены пороговые значения управляющих параметров для одно- и двухвихревого режимов. Найдено, что модуляция силы тяжести расширяет диапазон параметров, в котором двухвихревые структуры являются наиболее опасными. В зависимости от значений параметров развитие неустойчивости может быть связано с синхронными, субгармоническими или квазипериодическими возмущениями. Получены изолинии течений и компонент тензора напряжений для разных режимов конвекции. Исследованы характеристики надкритических режимов конвекции. Установлено, что конвективное движение может возбуждаться как мягко, так и жестко. Модуляция силы тяжести в исследуемой области параметров не меняет характер возбуждения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

2. Методами слабо-нелинейного анализа найдены границы, разделяющие области мягкого и жесткого возбуждения конвекции жидкости Олдройда в подогреваемой снизу квадратной области в случаях свободных и твердых границ.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Ковалевская, Ксения Викторовна, Пермь

1. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Конвекция упруговязкой жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу// Тезисы докладов конференции молодых ученых «Неравновесные переходы в сплошных средах». Пермь, 2006. С. 25

2. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Влияние модуляции силы тяжести на устойчивость равновесия упруговязкой жидкости в горизонтальном слое, подогреваемом снизу// Межвузовский сборник научных трудов «Гидродинамика». 2007. №16. С. 118-128

3. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Влияние модуляции силы тяжести на возникновение конвекции упруговязкой жидкости в замкнутой полости, подогреваемого снизу// Тезисы докладов 15 Зимней школы по механике сплошных сред. Пермь, 2007. Ч. 2. С. 160

4. Любимов Д.В., Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Бифуркации в задаче тепловой конвекции упруговязкой жидкости в подогреваемой снизу замкнутой области со свободными границами// Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика. 2011. Т 19. №3. С. 16-25

5. Ковалевская К.В., Любимова Т.П. Возникновение и нелинейные режимы конвекции упруговязкой жидкости в замкнутой полости при подогреве снизу// Изв. РАН. МЖГ. 2011. №6. С. 16-26

6. Гарифуллин Ф.А. Механика неньютоновских жидкостей. Казань: Фэн. 1998,416 с.

7. Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости. М.: Мир. 1964. 216 с.

8. Bingam Е.С. Fluidity and plasticity. New York: McGraw-Hill. 1922. 440 p.

9. Ostwald W. Non-Newtonian effects in some general elasticoviscous liquids// Kolloid. Z. 1925. V. 36. P. 99-101

10. Reiner M. Deformation and flow. London: Lewis. 1949. 346 p.

11. Pryce-Jones J. Studies in thixotropy// Kolloid Zeit. 1952. V. 126. P. 96-122

12. Freundlich H., Julisberger F. Quicksand as a thixotropic system// Trans. Faraday Soc. 1935. V. 31. P. 920-944

13. Huilgol R.R., Phan-Thien R. Fluids mechanics of viscoelasticity: General principles, constitutive modeling, analytical and numerical techniques of rheological equations of state. Amsterdam: Elsevier. 1977. 429 p.

14. Bird R.B., Armstrong R.C., Hassager O. Dynamics of polymeric of liquids. V. 1: Fluid Mechanics. New York: John Wiley and Sons. 1987. 584 p.

15. Скульский О.И., Аристов С.Н. Механика аномально вязких жидкостей. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». 2003. 156 с.

16. Truesdel С., Noll W. The nonlinear field theories of Mechanics. Berlin: Springer-Verlag. 1965. 387 p.

17. Bernstein В., Kearslet E.A., Zapas L.J. A study of stress relaxation with finite strain// J. Trans Soc. Rheol. 1963. V. 7. P. 391-410

18. Tanner R.I., Simmons J.M. Combined simple and sinusoidal shearing elastic liquids// Chem. Engin. Sci. 1967. V. 22. P. 1803-1815

19. Maxwell J.C. On the dynamical theory of gases// Phil. Trans. Roy. Soc. Lond. 1867. V. CLVII. P. 49-88

20. Schofield R.K., Scott-Blair G.W. The relationship between viscosity, elasticity and plastic strength of soft materials as illustrated by some mechanical properties of flour dough. I// Proc. Roy. Soc. Lond. 1932. V. 138. P. 707-719

21. Astarita G., Marucci G. Principles of non-Newtonian fluid mechanics. UK: McGraw-Hill Book. 1974. 289 p.

22. Jeffreys H. The Earth// Cambridge University Press. 1924. 265 p.

23. Keunings R., Bousfield D.W., Analysis of Surface Tension Driven Leveling in Horizontal Viscoelastic Films// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1987. V. 22. P. 219

24. Oldroyd J.G. The effect of interfacial stabilizing films on the elastic and viscous properties of emulsions// Proc. R. Soc. London. 1953. Ser. A 218. P. 122132

25. Шульман З.П., Ковалев Я.Н., Зальцгендлер А. Реофизика конгломератных материалов. Минск: Наука и техника. Минск: Наука и техника. 1978. 240 с.

26. Schofield R.K., Scott-Blair G.W. The relationship between viscosity, elasticity and plastic strength of soft materials as illustrated by some mechanical properties of flour dough. IV// Proc. Roy. Soc. Lond. 1937. V. 160. P. 87-94

27. Рейнер M. Реология. Москва: Наука. 1965. 224 с.

28. Benard Н. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide // Rev. Gen. Sci. Pure Appl. 1900. V. 11. P. 1261-1268

29. Benard H. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquide transportant de la chaleur par convection en regime permanent//Ann. Chim. Phys. 1901. V. 23. I. 7. P. 62

30. Lord Rayleigh. On the convection currents in a horizontal layer of fluid when the higher temperature is on the underside// Phil. Mag. 1916. V. 32. P. 529-546

31. Schluter A., Lortz D. and Busse F. On the stability of steady finite amplitude convection//J. Fluid Mech. 1965. V. 23.1. 1. P. 129

32. Palm E. Nonlinear thermal convection// Annual Rev. Fluid Mech. 1975. V. 7. P. 39-61

33. Chandrassekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability, Oxford University Press, Oxford, 1961

34. Drazin P.G. and Reid W.H. Hydrodynamic stability, Cambridge University Press, Cambridge, 1981

35. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. Москва: Наука, 1972. 392 с.

36. Сорокин B.C. Вариационный метод в теории конвекции// ПММ. 1953. Т. 17. № 1. С. 39-48

37. Green Т. Oscillating convection in an elastoviscous liquid// Phys. of Fluids 1968, V. 11, №7. pp.1410-1412

38. Vest C.V., Arpaci V.S. Overstability of a viscoelastic fluid layer heated from below // J.Fluid Mech. 1969. V.36. Part 3. P.613-623

39. Takashima M. Thermal instability in viscoelastic fluid layer// I. Journal of the Physical Society of Japan. 1972. V. 33. № 2. P. 511-518.

40. Sokolov M.and Tanner R.I. Convective stability of a general viscoelastic fluid heated from below, Phys. Fluids. 1972. V. 15. P. 534

41. Eltayeb I.A. Nonlinear thermal convection in elastoviscous layer heated from below// Proc. R. Soc. bond. 1977. A 356. P. 161-176

42. Kolkka R.W. and Ierley G.R. On the convected linear stability of a viscoelastic Oldroyd В fluid heated from below// J. Non-Newt. Fluid. Mech. 1987. V. 25. P. 209-237

43. Martinez-Mardones J. ., Perez-Garcia C. Linear instability in viscoelastic fluid convection// J. Phys. Condens. Matter. 1990. V. 2. № 5. P. 1281-1290

44. Боярченко В.И., Штессель Э.А. О конвективной неустойчивости вязкоупругой жидкости в поле сил тяжести// Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. № 5. С. 180-182

45. Гарифуллин Ф.А., Габитова А.Б. Влияние границ на возникновение конвекции в слое упруго-вязкой жидкости// Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума по теории механической переработки полимерных материалов. Пермь. 1976. С. 36

46. Гарифуллин Ф.А., Габитова А.Б. Конвективная неустойчивость слоя упруговязкой жидкости, с учетом теплопроводности границ// Журнал прикл. механики и техн. физики. 1976. № 5. С. 110-114

47. Pérez-Reyes I., Dávalos-Orozco L.A. Effect of thermal conductivity and thickness of the walls in the convection of a viscoelastic Maxwell fluid layer// Int. J. of Heat and Mass Transfer. 2011. V. 54.1. 23-24. P. 5020-5029

48. Kolodner P. Oscillatory convection in viscoelastic DNA suspension// J. Non-Newt. Fluid. Mech. 1998. V. 75.1. 2-3. P. 167-192

49. Гарифуллин Ф.А. Возникновение конвекции и теплообмен в плоских слоях неньютоновских жидкостей. Казань: Фэн, 1994. - 208 с.

50. Garifullin F.A., Sapporow F.I., Reher Е.О. Influence of viscoelastic properties on the cellular convection within a horizontal layer// Plaste Und Kautshuk. 1982. V. 29. P. 594-596

51. Dávalos-Orozco L.A., Vázquez Luis E. Natural convection of a viscoelastic fluid with deformable free surface// Journal of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 1999. V. 85,1. 2-3. P. 257-271

52. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М. Мир. 1981. 638 с.

53. Лобов Н.И., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Конвективная неустойчивость системы горизонтальных слоев несмешивающихся жидкостей с деформируемой границей раздела. Изв. РАН. МЖГ. 1996. №2. С. 32-39

54. Sekhar, G.N. and Jayalatha, G. Elastic effects on Rayleigh-Bénard convection in liquids with temperature-dependent viscosity// Int. J. of Thermal Sciences. 2010. V. 49. P. 67-79

55. Hamabata H. Overstability of a viscoelastic liquid layer with internal heat generation// Int. J. Heat and Mass Transfer. 1986. V. 29. I. 4. P. 645-647

56. Park H.M., Ryu D.H. Nonlinear convective stability problems of viscoelastic fluids in finite domains// Rheol Acta. 2002. V. 41. P. 427-440

57. Park H.M., Ryu D.H. Hopf bifurcation in thermal convection of viscoelastic fluids within finite domains// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2001. V. 101. P. 1-19

58. Park H.M., Park K.S. Rayleigh-Benard convection of viscoelastic fluids in arbitrary finite domains// International Journal of Heat and Mass Transfer. 2004. V. 47. P. 2251-2259

59. Park H.M., Shin K.S., Sohn H.S. Numerical simulation of thermal convection of viscoelastic fluids using the grid-by-grid inversion method// Int. J. of Heat and Mass Transfer. 2009. V. 52.1. 21-22. P. 4851-4861

60. Kaloni P.N. Lou J.X. On the stability of thermally driven shear flow of an Oldroyd-B fluid heated from below// J. of Non-Newtonian Fluid Mechanics. 2002. V. 107.1. 1-3. P. 97-110

61. Мызников B.M. О спектре декрементов возмущений стационарного адвективного движения вязкой жидкости, вызываемого продольным градиентом температуры// Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость УНЦ АН СССР. 1979. С. 29-35

62. Мызников В.М. О форме возмущений плоскопараллельного конвективного движения в горизонтальном слое// Гидродинамика. Пермь: Пермский пед. ин-т. 1974. Вып. 7. С. 33-42

63. Gozum D. Arpaci V.S. Natural convection of viscoelastic fluids in a vertical slot// J. of Fluid Mech. 1974. V. 64. P. 439-448

64. Takashima M. The stability of natural convection in a vertical layer of viscoelastic liquid// Fluid Dynamics Research. 1993. V. 11.1. 4. P. 139-152

65. Park H.M., Ryu D.H. Nonlinear convective stability problems of viscoelastic fluids in finite domains// Rheol Acta. 2002. V. 41. P. 427-440

66. Park H.M., Ryu D.H. Hopf bifurcation in thermal convection of viscoelastic fluids within finite domains// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2001. V. 101. P. 1-19

67. Park H.M., Park K.S. Rayleigh-Benard convection of viscoelastic fluids in arbitrary finite domains// International Journal of Heat and Mass Transfer. 2004. V. 47. P. 2251-2259

68. Park H.M., Shin K.S., Sohn H.S. Numerical simulation of thermal convection of viscoelastic fluids using the grid-by-grid inversion method// Int. J. of Heat and Mass Transfer. 2009. V. 52.1. 21-22. P. 4851-4861

69. Rosenblat S. Thermal convection in a viscoelastic liquid// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1986. V. 21. P.201

70. Park H.M., Lee H.S. Nonlinear hydrodynamic stability of viscoelastic fluids heated from below// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1995. V. 60. P. 1-26

71. Park H.M., Lee H.S. Hopf bifurcations of viscoelastic fluids heated from below// J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1996. V. 66. P. 1-34.

72. Brand H.R., Zielinska B.J.A. Tricritical codimension-2 point near the onset of convection in viscoelastic liquids// Physical Review Letters. 1986. V. 57. № 25. P. 3167-3170

73. Khayat R. E. Chaos and overstability in the thermal convection of viscoelastic fluids// J. Non-Newt. Fluid Mech. 1994. V. 53. P. 227-255

74. Khayat R. E. Nonlinear overstability in the thermal convection of viscoelastic Fluids// J. Non-Newt. Fluid Mech. 1995. V.58. P. 331-356

75. Khayat E.R. Fluid elacticity and the transition to chaos in thermal convection//Phys. Rev. E. 1995. V. 51. № 1. P. 380-399

76. Abu-Ramadan E., Hay J. M., Khayt R. E. Characterization of chaotic thermal convection of viscoelastic fluids// J. of Non-Newtonian Fluid Mech. 2003. V. 115.

77. Li Z., Khayat E.R. Three-dimensional thermal convection of viscoelastic fluids// Phys. Rev. E. 2005. V. 71. P. 066305

78. Li Z. and Khayat R. E. Finite-amplitude thermal convection of viscoelastic fluids//J. Fluid Mech. 2005. V. 529. P. 221-251

79. Li Z., Khayat E.R. Pattern formation in viscoelastic thermal convection// Computational Fluid Dynamics 2004. 2006. Part. XX. P. 845-846

80. Martinez-Mardones J., Perez-Garcia C. Bifurcation analysis and amplitude equations for viscoelastic convective fluids// Physics and astronomy. 1992. V. 14. P. 961-975 1

81. Martinez-Mardones J., Tiemann R., Zeller W. and Perez-Garcia^C. Amplitude equations for' viscoelastic convective fluids// Instabilities and Nonequilibrium Structures IV. Mathematics and Its Applications. 1993. V. 267. Part II. P. 317-324

82. Martinez-Mardones J., Tiemann R., Zeller W., Perez-Garcia C. Amplitude equation in polymeric fluid convection// Int. J. Bifurcation Chaos. 1994. V. 4 P.

83. Martinez-Mardones J., Tiemann R., Zeller W. Convection in Oldroyd-B fluid amplitude equation// Chaos Solitons Fractals. 1995. V.6. P. 341-345

84. Martinez-Mardones J., Tiemann R., Walgraef D., Zeller W. Amplitude equations and pattern selection in viscoelastic convection// Physical Review E. 1996. V. 54. №2. P. 1478-14881. P. 79-1131347-1351

85. Anand К. Numerical simulation of oscillatory Rayleigh-B6nard convection in a viscoelastic liquid// Technical Report. C-MMACS National Aerospace Laboratories, Bangalore, India. 2001

86. Renardy M., Renardy Y. Pattern selection in the Benard problem for a viscoelastic fluid// ZAMP. 1992. V. 43. P. 154-180

87. Крапивина E.H., Любимова Т.П. Нелинейные режимы конвекции упруго-вязкой жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу// Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 4. С.5-11.

88. Kaloni P.N., Lou J.X. Nonlinear convection of viscoelastic fluid with inclined temperature gradient// Continuum Mech. Thermodyn. 2005. V. 17. P. 1727

89. Семакин И.Г. Нелинейная конвекция вязкоупругой жидкости// Процессы тепло- и массопереноса вязкой жидкости : Сб. науч. трудов. 1986. С. 41

90. Тарунин Е.Л. Тепловая конвекция в прямоугольной полости, подогреваемой сбоку//Гидродинамика. Пермь. 1970. Вып. 2. С. 163-175

91. Тарунин Е.Л., Шайдуров В.Г., Шарифулин А.Н. Экспериментальное и численное исследование устойчивости замкнутого конвективного пограничного слоя// Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость. 1979. С. 3-16

92. Watts, А. В., Bodine, J. Н., Ribe, N. М. Observations of flexure and the geological evolution of the Pacific Basin//Nature. 1980. V. 283. P. 532-537

93. Podlachikov, Yu. Yu., Lenardic A., Yuen D. A., Quareni F. Dynamical consequences of stress focussing for different rheologies: Earth and Venus perspectives//EOS Trans. AGU. 1993. V. 74. P. 598

94. Harder H. Numerical simulation of thermal convection with Maxwellian viscoelasticity// J. Non-Newtonian Fluid Mechanics. V. 39. P. 67-88

95. Melosh H.J. Dynamic support of the outer rise// Geophys. Res. Lett. 1978. V. 5. P. 321-324

96. Gurnis M., Eloy C., Zhong S. Free-surface formulation of mantle convection II. Implications for subduction zone observables// Geophys. J. Int. 1996. V. 127. P. 719-727

97. Moresi L., Dufour F., Muhlhaus H. Mantle convection modeling with viscoelastic/brittle lithosphere: Numerical methodology and plate tectonic modeling//Pure and Applied Geophysics. 2002. V. 159. № 10. P.2335-2356

98. Davis S.H. The stability of time-periodic flows// Annual Review of Fluid Mechanics. 1976. V. 8. P. 57-74

99. Venezian G., Effects of modulation on the onset of thermal convection// J. Fluid. Mech. 1969. V. 35. P. 243-254

100. Rosenblat S. and Herbert D.M. Low-frequency modulation of thermal instability// J.Fluid. Mech. 1970. V. 43. P. 385-398

101. Rosenblat S. and Tanaka G.A. Modulation of thermal convection instability// Phys. Fluids. 1971. V. 14. P. 1319-1322

102. Yih C.-S. and Li C.-H. Instability of unsteady flows or configurations 2. Convective instability. Journal of Fluid Mech. 1972. V. 54. P. 143-152

103. Finucane R.G. and Kelly R.E. Onset of instability in a fluid layer heated sinusoidally from below// Int. J. Of Heat and Mass Transfer. 1976. V. 19. P. 71-85

104. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Юрков Ю.С. О конвективной устойчивости при наличии периодически меняющегося параметра// ПММ. 1970. №34. С. 470

105. Маркман Г.С., Юдович В.И. Численное исследование возникновения конвекции в слое жидкости под действием периодических по времени внешних сил //Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. №3. С. 81-86

106. Маркман Г.С., Юдович В.И. Возникновение конвекционных режимов двойного периода в периодическом поле внешних сил// ПМТФ. 1972. №6. С. 65-70

107. Gresho P.M. and Sani R.L. The effects of gravity modulation on the stability of a heated fluid layer// J. of Fluid Mech. 1970. V. 40. P. 783-806

108. Бурдэ Г.И. Численное исследование конвекции в условиях периодической модуляции внешней силы// Гидродинамика. Пермь: Пермский ун-т. 1971. Вып. 3. С.75-96

109. Yang W.M. Stability of viscoelastic fluids in a modulated gravitational field// Int. J. Heat Mass Transfer. 1997. V. 40. №.6. P. 1401-1410.

110. Крапивина E.H., Любимова Т.П. Влияние модуляции силы тяжести на конвективную устойчивость равновесия вязкоупругой жидкости// Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: Пермский ун-т, 1998, с.182-194.

111. Onyegegbu S.O. Overstability of a Viscoelastic Fluid Layer Oscillating in a Vertical Periodic Motion and Heated From Below// Journal of Applied Mechanics. 1979. V.46.1. 2. P. 454-456

112. Крапивина E.H., Любимова Т.П. Тепловая конвекция жидкости Максвелла в замкнутой полости, подогреваемой снизу, при модуляции силы тяжести// Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: Пермский ун-т. 2001. Вып.2. С.157-173.

113. Siddheshwar P.G., Sekhar G.N. and Jayalatha G. Effect of time-periodic vertical oscillations of the Rayleigh-Benard system on nonlinear convection in viscoelastic liquids//J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2010. V. 165, P. 1412-1418

114. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Марышев Б.С. Влияние шума на возникновение конвекции в модулированном поле тяжести. Изв. РАН. МЖГ. 2010. № 6. С. 30-37

115. Крапивина Е.Н, рук. Любимова Т.П. Возникновение и надкритические режимы конвекции вязкоупругих жидкостей в слоях и замкнутых полостях, диссертация. 2005

116. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут.ун-та. 1990. 228с.

117. Любимова Т.П. О конвективных движениях неньютоновской жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу// Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. №2. С.181-184