Возникновение и надкритические режимы конвекции вязкоупругих жидкостей в слоях и замкнутых полостях

Крапивина, Елена Николаевна

Возникновение и надкритические режимы конвекции вязкоупругих жидкостей в слоях и замкнутых полостях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Крапивина, Елена Николаевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Пермь МЕСТО ЗАЩИТЫ

2005 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Возникновение и надкритические режимы конвекции вязкоупругих жидкостей в слоях и замкнутых полостях»

Автореферат диссертации на тему "Возникновение и надкритические режимы конвекции вязкоупругих жидкостей в слоях и замкнутых полостях"

На правах рукописи

Крапивина Елена Николаевна

ВОЗНИКНОВЕНИЕ И НАДКРИТИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ КОНВЕКЦИИ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ В СЛОЯХ И ЗАМКНУТЫХ ПОЛОСТЯХ

Специальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь - 2005

Работа выполнена в Институте механики сплошных сред УрО РАН

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Любимова Татьяна Петровна

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Тарунин Евгений Леонидович

кандидат физико-математических наук, Перминов Анатолий Викторович

Ведущая организация - Казанский государственный технологический университет

Зашита состоится (Ф^ЛиЛ^)^ 2005 г. в на заседании

диссертационного совета Д 212.189.06 в Пермском государственном университете по адресу: 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета

Автореферат разослан 5

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент ^

С*

и1/ Г.И.Субботин

Ыдб-4

и <г оЗ б &

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Неньютоновские жидкости весьма распространены в природе и технике. Вязкоупругие среды, представляющие собой одну из разновидностей неньютоновских жидкостей, объединяют широкий класс веществ, примерами которых являются суспензии, эмульсии, растворы и расплавы полимеров. Поведение таких сред при наличии внешних воздействий имеет не только теоретический, но и практический интерес в связи с проблемами переработки, транспортировки и хранения. Учет неныотоновского поведения имеет также значение при изучении некоторых геофизических явлений, например, в связи с процессами в мантии Земли.

В литературе имеется большое число работ, посвященных исследованию течений вязкоупругих сред в изотермических внешних условиях. Имеются также работы, посвященные изучению возникновения конвекции вязкоупругих жидкостей в горизонтальных плоских слоях, в том числе при наличии различных осложняющих факторов (вращение, магнитное поле, примесь). Чаще всего при исследовании свободной конвекции предполагается, что параметры, характеризующие внешние условия, не меняются со временем. Однако влияние нестационарности параметров на устойчивость равновесия и конвективные движения может быть весьма заметным. Устойчивость равновесия и нелинейные режимы конвекции неравномерно-нагретых вязкоупругих жидкостей в замкнутых полостях и влияние на эти явления периодического изменения параметров изучены недостаточно. Поэтому исследование этих явлений, а также анализ возможности параметрического воздействия на устойчивость равновесия и надкритические конвективные режимы являются весьма актуальными.

Цель работы заключалась в изучении поведения вязкоупругих жидкостей при подогреве снизу. При этом ставились следующие задачи:

• исследование устойчивости равновесия горизонтального слоя вязкоуп-ругой жидкости Максвелла в периодически изменяющемся поле тяжести;

• изучение устойчивости равновесия и надкритических режимов конвекции вязкоупругой жидкости Максвелла в замкнутой полости, в отсутствие и при наличии модуляции силы тяжести;

• исследование линейной устойчивости равновесия, анализ поведения решений вблизи порога устойчивости и изучение существенно нелинейных режимов тепловой конвекции вязкоупругой жидкости Олдройда в подогревае-

мой снизу замкнутой полости. Научная новизна

• получены карты устойчивости равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя жидкости Максвелла со свободными границами, при наличии ступенчатой модуляции силы тяжести. Определено влияние параметров задачи (параметра упругости, амплитуды и частоты модуляции) на поведение системы. Показано, что при малых параметрах упругости напряжений модуляция силы тяжести, как и в ньютоновской жидкости, оказывает стабилизирующее действие. С увеличением параметра упругости стабилизирующий эффект ослабляется, а затем сменяется дестабилизацией. Обнаружены зоны неустойчивости, ограниченные кривыми, где мультипликаторы принимают комплексные значения, что соответствует непериодическим колебаниям;

• разработан численный алгоритм расчета конвекции вязкоупругих жидкостей в замкнутых полостях, позволяющий эффективно проводить вычисления в широком интервале значений параметра упругости;

• найдены границы устойчивости равновесия максвелловской жидкости в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом снизу, при синусоидальной модуляции силы тяжести. Прослежено изменение структуры конвективного движения в процессе колебаний;

• определены границы линейной устойчивости равновесия жидкости Олд-ройда-В в подогреваемом снизу горизонтальном цилиндре квадратного сечения, в статическом поле тяжести. Обнаружено, что в рассматриваемой задаче возможны пересечения границ устойчивости по отношению к возмущениям разной симметрии, так что в некоторой области ответственными за возникновение неустойчивости равновесия оказываются колебательные возмущения двухвихревой структуры;

• изучено поведение решений в окрестности пересечения поверхностей вилочной бифуркации для возмущений одновихревой структуры и бифуркации Хопфа для возмущений двухвихревой структуры. Показано, что в окрестности пересечения в системе существуют смешанные режимы (амплитуды возмущений обоих типов отличны от нуля);

• численно исследованы нелинейные режимы тепловой конвекции жидкости Олдройда-В в подогреваемом снизу горизонтальном цилиндре квадратного сечения в статическом поле тяжести. Построены бифуркационные диаграммы режимов конвекции для различных значений параметра упругости. Обнаружено, что при значениях параметров в области, где наиболее опасными являются монотонные возмущения, переход числа Грасгофа через крити-

ческое значение приводит к появлению стационарных движений, затем происходит последовательная смена следующих типов движений: периодические колебания с ненулевым средним, модулированные колебания и непериодические движения. В области значений параметров, где наиболее опасными являются колебательные возмущения, при малых надкритичностях устанавливаются стационарные периодические движения с нулевым средним; при дальнейшем росте числа Грасгофа возникают стационарные периодические колебания с ненулевым средним, затем модулированные колебания, которые, в свою очередь, сменяются непериодическими.

Автор защищает:

• результаты изучения устойчивости механического равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя жидкости Максвелла в модулированном поле тяжести;

• результаты численного исследования устойчивости равновесия и надкритических режимов конвекции жидкости Максвелла в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом снизу, в статическом и модулированном поле тяжести;

• результаты исследования линейной устойчивости равновесия вязкоупру-гой жидкости (модель Олдройда-В) в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом снизу, в статическом поле тяжести;

• результаты исследования нелинейных режимов тепловой конвекции жидкости Олдройда-В в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом снизу, в статическом поле тяжести.

Практическая ценность

Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при расчете гидродинамических и тепловых характеристик конвективных течений, возникающих при хранении, транспортировке и переработке вязкоупругих сред, а также при геофизических исследованиях конвекции в мантии Земли.

Достоверность результатов подтверждается сравнением с изученными ранее, другими авторами, предельными случаями конвекции ньютоновской жидкости в статическом и модулированном полях тяжести и вязкоупругой жидкости в статическом поле тяжести.

При изучении конвекции вязкоупругой жидкости Олдройда в замкнутой полости при подогреве снизу обнаружено хорошее согласие результатов слабо-нелинейного анализа и прямого численного моделирования.

Апробация работы

Материалы, вошедшие в диссертацию, докладывались на 11-ой и 12-ой Международных зимних школах по механике сплошных сред (февраль

1997 г. и январь 1999 г., Пермь); Объединенном XI Европейском и VI Всероссийском симпозиуме по физическим наукам в невесомости (июнь 1997 г., Санкт-Петербург); VI и VIII Международной конференции по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей (апрель 1999 г. и апрель 2001 г., Новосибирск); 16* IMACS World Congress on the Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation, (август 2000 г., Лозанна, Швейцария); International Conference on Pattems and Waves. Theory and Applications (июль 2002 г., Санкт-Петербург); а также на Пермском городском гидродинамическом семинаре имени Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого (январь

1998 г. и март 2005 г.).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, в которых излагаются результаты исследования, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 165 страниц, в работу включено 52 рисунка. Список литературы содержит 154 названия.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая, вводная глава, состоит из общей характеристики работы и обзора литературы. Приводится классификация неньютоновских жидкостей, обсуждаются различные реологические модели вязкоупругих жидкостей. Анализируются работы по конвективной устойчивости равновесия вязкоупругих сред в областях различной геометрии при подогреве снизу; рассматривается возникновение конвекции в вязкоупругих жидкостях при наличии различных осложняющих факторов. Обсуждаются работы, затрагивающие вопросы устойчивости конвективных течений и нелинейные проблемы конвекции вязкоупругих жидкостей. В общей характеристике работы обосновывается актуальность темы, формулируются цели работы, обсуждаются научная новизна, практическая ценность, апробация и достоверность результатов.

Во второй главе диссертации исследуются влияние модуляции силы тяжести на конвективную устойчивость равновесия вязкоупругой жидкости в горизонтальном слое при подогреве снизу.

В первом параграфе главы приводится постановка задачи. Для описания поведения системы используются уравнения свободной тепловой конвекции в приближении Буссинеска. Реологические свойства вязкоупругой жидкости описываются моделью Максвелла:

«* = _ = с1 д . 8

сг + Л,—a = 2u„D, dt 0

dxt

О)

Н.«00

1 1/ / Pl»7

4-1

12=10

\ / У

где djdt - материальная производная в фиксированной системе координат, q_ - тензор напряжений, Л, - время релаксации, ^ - динамическая вязкость, D - тензор скоростей деформации.

Решение задачи производилось аналитически с использованием метода характеристических показателей. Описанию метода посвящен второй параграф первой главы.

В третьем параграфе главы обсуждаются результаты исследования.

Известно [Vest С. М., Arpaci V. S. Overstability of viscoelastic fluid layer heated fiom below // J. Fluid Mech. 1969. V. 36. №3. P. 613-623], что в случае статического поля тяжести в спектре возмущений равновесия подогреваемой снизу вязкоупругой жидкости, в отличие от ньютоновской жидкости, имеются колебательные возмущения; при этом для параметров упругости, меньших некоторого значения г., конвекция возбуждается монотонным образом, причем порог устойчивости совпадает с порогом устойчивости в случае ньютоновской жидкости. При т > т. наиболее опасными являются колебательные возмущения, причем порог устойчивости понижается с ростом т.

На рис.1 - 2 приведены примеры нейтральных кривых ^(к) для вязкоупругих жидкостей с различными г при наличии

Рис 2. Нейтральные кривые при различ- м0 яции силы тяжести. Рис. 1 СОответ-ных значениях параметра упругости т ^

/-05,2-i.0,j-i3 ствуег т<и, рис.2 - г>г.. Как видно,

Рис 1 Нейтральные кривые при различных значениях параметра упругости т I - 0 001,2 - 0.05,3-015

усиление упругих свойств приводит к понижению порога устойчивости. На том и другом рисунке хорошо видны участки резонансного возбуждения не-

На рис.3 приведены границы устойчивости равновесия вязкоупругих жидкостей в отсутствие и при наличии модуляции. Видно, что при малых параметрах упругости модуляция силы тяжести, как и в ньютоновской жидкости, оказывает стабилизирующее действие. С увеличением параметра упругости стабилизирующий эффект ослабляется, а затем сменяется дестабилизацией. Увеличение амплитуды модуляции ведет к усилению эффектов стабилизации и дестабилизации.

Расчеты показали, что зоны неустойчивости ограничены не только кривыми, где мультипликаторы принимают вещественные значения ±1, как это имеет место в ньютоновской жидкости, но и участками с комплексными мультипликаторами, что соответствует непериодическим колебаниям. Комплексные значения мультипликаторов имеют место при г > г., когда в отсутствие модуляции наиболее опасными являются колебательные возмущения.

На рис.4 приведены зависимости минимального критического числа Ре-лея /?м тп от частоты модуляции П для различных значений параметра упругости. Кривые 1 я2 соответствуют значениям г, меньшим г.. При больших значениях О обе эти кривые выходят на одно и тоже постоянное значение, соответствующее высокочастотному пределу. Это значение несколько выше, чем значение Ят шп в отсутствие модуляции: наблюдается слабый стабилизирующий эффект силы тяжести, не зависящий от г.

При малых О, для г = 0.001, как и в случае ньютоновской жидкости, наблюдается эффект стабилизации [Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. - М: Изд. «Наука», 1972. -392с.], а при г = 0.1 проявляется дестабилизирующий эффект, связанный с наличием упругости: т„ меньше, чем в отсутствие модуляции.

Рис 3 Гранины устойчивости равновесия на плоскости параметров минимальное критическое число Релея ^ - параметр упругости Г. 1 - граница основной зоны неустойчивости, 2 - граница параметрической неустойчивости, штриховая линия соответствует границе устойчивости в отсутствие модуляции.

В промежуточной области частот для г = 0.1 зависимость Я* тш(^) имеет немонотонный характер, что связано со сменой мод неустойчивости.

Кривые 3-4 соответствуют т> т.. При больших О эти кривые выходят на постоянные разные значения, соответствующие крвггаче-ским числам Релея в высокочастотном пределе. Эти значения несколько превышают значения ^ шп в отсутствие модуляции, т.е. наблюдается слабый стабилизирующий эффект модуляции сипы тяжести.

При малых О кривые выходят на постоянные разные значения, соответствующие минимальным критическим числам Релея в квазистатическом пределе. Предельные значения в обоих случаях несколько ниже, чем в отсутствие модуляции, т.е. наблюдается слабая дестабилизация.

В промежуточной области О для обоих значений параметра упругости зависимость Ят (О) немонотонна, что обусловлено сменой мод неустойчивости.

При т = 0.001 и г = 0.1 мультипликаторы при всех О вещественны. При этом для г = 0.001 значение мультипликатора для всех частот равно +1 (синхронные возмущения), а для г = 0.1 имеет место чередование участков со значением мультипликатора, равным +1, с участками, со значением -1 (синхронные и субгармонические критические возмущения, соответственно).

В случае г = 0 25 и г = 0.5 при малых П мультипликаторы вещественны, а при О, больших некоторого значения, становятся комплексными (непериодические колебания).

В третьей главе диссертации проводится численное исследование возникновения тепловой конвекции жидкости Максвелла в замкнутой полости при подогреве снизу в статическом и модулированном полях тяжести.

Глава состоит из четырех параграфов. В первом параграфе приводится постановка задачи. Для описания вязкоупругих свойств жидкости используется модель Максвелла с верхней конвективной производной:

Рис 4. Зависимость минимального критического числа Релея от частоты модуляции О ори различных значениях параметра упругости г • / - 0 001,2-01,3-0 25, 0.5.

а+Я—а = //„( V • v+V • vr) Di 0

Здесь V - V - тензор градиента скоростей, V • ут - транспонированный тензор градиента скоростей, Л - время релаксации, £>/£>/ - верхняя конвективная производная, определенная следующим образом:

D Dt "

+ Vi,

доц ds. дх,. дх.

ds.

<Уи.

(3)

Метод решения описан во втором параграфе третьей главы. Численное исследование проводилось с использованием метода конечных разностей. Использовалась неявная конечно-разностная схема. Для обеспечения устойчивости счета конвективные члены в нелинейных уравнениях аппроксимировались разностями против потока. Решение линейной задачи производилось путем численного решения нестационарных линеаризованных уравнений, описывающих эволюцию малых возмущений. Изучение надкритических конвективных движений осуществлялось путем численного решения полной нелинейной задачи. Все расчеты проводились при фиксированном числе Пран-дтля Рг=1. Основные вычисления производились на равномерной сетке 30x30.

Обсуждению результатов исследования линейной устойчивости посвящен третий параграф главы. Полученные карты устойчивости для различных значений параметра упругости позволяют сказать, что при малых параметрах упругости поведение вяз-коупругой жидкости качественно похоже на поведение ньютоновской жидкости. При увеличении параметра упругости размер областей устойчивости сокращается. Дальнейший рост г приводит к исчезновению островков устойчивости.

Определены границы линейной устойчивости равновесия в отсутствие и при наличии модуляции (рис.5). Показано, что при малых параметрах уп-

Gr 2»

ШБ <110 015 0.20 Ü2S 0J0 035 0.« 045 Q9D Т

Рис 5 Границы устойчивости равновесия при Pr=7, й) = 10, rj-\ 1 - граница устойчивости по отношению к колебаниям с ненулевым средним. 2 - граница устойчивости по отношению к колебаниям с нулевым средним, 3 - граница устойчивости по отношению к колебательным возмущениям. ls - граница устойчивости по отношению к монотонным возмущениям в отсутствие модуляции, J.v - граница устойчивости по отношению к колебательным возмущениям в

ругости, когда потеря устойчивости равновесия в отсутствие модуляции происходит монотонным образом, модуляция силы тяжести оказывает стабилизирующее действие на развитие возмущений из основной зоны неустойчивости, критическое число Релея повышается по сравнению со случаем статического поля тяжести. С ростом г стабилизирующий эффект модуляции силы тяжести уменьшается и при некотором г сменяется дестабилизацией. При еще больших параметрах упругости ответственными за кризис равновесия становятся возмущения, соответствующие зоне параметрической неустойчивости, при этих значениях г модуляция оказывает сильное дестабилизирующее действие. В узком интервале значений параметра упругости, близких к т., модуляция силы тяжести оказывает сильное стабилизирующее действие.

В области значений г, где в отсутствие модуляции наиболее опасными являются колебательные возмущения, влияние модуляции силы тяжести в целом слабее, чем при г < т.; при этом с повышением г сначала имеет место дестабилизация, а потом - стабилизация.

Результаты численного исследования нелинейных режимов конвекции, возникающих при значениях параметров, соответствующих различным областям неустойчивости равновесия, представлены в четвертом параграфе главы. Прослежено изменение структуры конвективного движения, полей температуры и компонент тензора напряжений со временем и при изменении параметров задачи. Изучено влияние модуляции силы тяжести на конвективный перенос тепла. Определены форма и частота колебаний теплового потока и функции тока в зависимости от параметров СУ, оз, 7.

Исследование характера возбуждения конвекции показало, что в исследованном диапазоне параметров во всех случаях имеет место «мягкое» возбуждение.

Таким образом, влияние модуляции силы тяжести на устойчивость равновесия носит сложный характер. Как для монотонной, так и для колебательной потери устойчивости равновесия в отсутствие модуляции, могут наблюдаться как стабилизация, так и дестабилизация.

Модель Максвелла, используемая для описания реологических свойств жидкости в третьей главе, не позволила проводить численные расчеты нелинейных режимов конвекции при больших значениях параметра упругости. В связи с этим, исследование нелинейных режимов ограничивалось рассмотрением параметров упругости т<т., т.е. областью параметров, в которой в отсутствие модуляции наиболее опасными являются монотонные возмущения.

В четвертой главе рассматривается тепловая конвекция вязкоупругой жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу, в статическом поле тяжести. Исследуются устойчивость равновесия и надкритические режимы конвекции в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, однородные вдоль оси цилиндра.

Первый параграф главы посвящен постановке задачи и описанию метода численного решения. Реологическое уравнение соответствует модели Олд-ройда-В:

(4)

№00

Здесь Л, - время релаксации, ^ - время ретардации (запаздывания), производная определена выражением (3). Вводится дополнительный параметр е - /^/А,. Использование модели (4) позволило провести численное исследование в более широком интервале значений параметра упругости. Метод численного исследования аналогичен алгоритму численного счета, описанному в третьей главе. Как и в предыдущей главе, расчеты проводились при Рг = 1, для основных вычислений использовалась равномерная сетка 30x30.

Второй параграф главы посвящен исследованию линейной устойчивости механического равновесия. Численно определены границы устойчивости

равновесия по отношению к монотонным и колебательным возмущениям • одно- и двухвихревой структуры, для нескольких значений параметра

£ (рИС.6).

Обнаружено, что в рассматриваемой задаче возможны пересечения границ устойчивости по отношению к возмущениям разной симметрии: пересечение поверхности вилочной бифуркации для возмущений одно-вихревой структуры и поверхности бифуркации Хопфа для возмущений двухвихревой структуры, а также пересечение поверхностей бифуркации Хопфа для обоих типов возмущений.

02 04 08 08 10

Рис б Границы устойчивое™ равновесия по отношению к одновихр евым (кривые 1а и 1Ь) и двухвихревым (кривые 2а и 2Ь) движениям. а - границы устойчивости по отношению к монотонным возмущениям, Ь - границы устойчивости по отношению к колебательным возмущениям

Таким образом, могут оказаться критическими возмущения с различной пространственной симметрией.

В третьем параграфе проведен анализ поведения решений вблизи пересечения поверхности вилочной бифуркации для возмущений одновихревой структуры и поверхности бифуркации Хопфа для возмущений двухвихревой структуры. Найдено, что в окрестности пересечений возможны устойчивые решения, соответствующие смешанным режимам (амплитуды возмущений обоих типов отличны от нуля). Численно получены коэффициенты амплитудных уравнений для е - 0.05. ^ Исследование надкритических режимов конвекции проведено в сле-

дующем параграфе главы. Построены бифуркационные диаграммы ъ окрестности пересечений для е = 0.05,0.1 (на рис.7 изображена диаграмма

нелинейных режимов при £■ = 0.05). Показано, что для значений параметров в области, где наиболее опасными являются монотонные возмущения, переход О через критическое значение приводит к появлению стационарных движений, затем происходит последовательная смена следующих типов движений: периодические колебания с ненулевым средним, модулированные колебания и непериодические движения. В области параметров, где наиболее опасными являются колебательные возмущения, при бг > Сгк устанавливаются стационарные периодические движения с нулевым средним. При дальнейшем росте числа Грасгофа возникают стационарные периодические колебания с ненулевым средним, затем модулированные колебания, которые, в свою очередь, сменяются непериодическими.

Результаты численного моделирования существенно нелинейных режимов тепловой конвекции жидкости Олдройда-В в окрестности пересечений согласуются с результатами слабо-нелинейного анализа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Исследована устойчивость равновесия горизонтального слоя жидкости Максвелла со свободными границами при подогреве снизу в модулирован-

Рис 7 Диаграмма нелинейных режимов тепловой конвекпии

ном поле тяжести. Построены карты устойчивости и семейства нейтральных кривых при различных значениях параметра упругости, амплитуды и частоты модуляции. Показано, что наличие упругих свойств приводит в большинстве случаев к дестабилизации. Влияние амплитуды и частоты модуляции на устойчивость равновесия носит сложный характер. Обнаружены зоны неустойчивости, соответствующие непериодическим колебаниям.

2. Разработан алгоритм численного исследования конвекции вязкоупругих жидкостей в замкнутых полостях, позволяющий эффективно проводить расчеты в широком интервале значений параметра упругости.

3. Исследовано возникновение и развитие тепловой конвекции максвел-ловской жидкости в горизонтальном цилиндре квадратного сечения при подогреве снизу в статическом поле тяжести. Определены границы устойчивости равновесия, найдены нелинейные режимы конвекции.

4. Численно исследованы возникновение и нелинейные режимы тепловой конвекции жидкости Максвелла в замкнутой полости, подогреваемой снизу, при синусоидальной модуляции силы тяжести. Определены границы устойчивости равновесия. Найдены критические значения параметра упругости, при которых происходит смена режимов неустойчивости. Исследована перестройка структуры конвективного движения в процессе колебаний.

5. Численно исследована линейная устойчивость равновесия жидкости Ол-дройда - В в подогреваемом снизу горизонтальном цилиндре квадратного сечения в статическом поле тяжести. Определены критические значения параметров, определяющие устойчивость равновесия по отношению к монотонным и колебательным возмущения одно- и двухвихревой структуры. Обнаружено, что существует область параметров, в которой ответственными за возникновение неустойчивости равновесия являются колебательные возмущения двухвихревой структуры.

6. Изучено поведение решений в окрестности пересечений границ первого и второго уровней неустойчивости равновесия жидкости Олдройда - В в подогреваемом снизу горизонтальном цилиндре квадратного сечения в статическом поле тяжести. Показано, что в окрестности пересечений в системе возможны устойчивые решения, соответствующие смешанным режимам. Этим режимам соответствуют колебания с ненулевым средним по времени.

метра упругости. Прослежена перестройка структуры течения при увеличении числа Грасгофа в областях значений параметров, где наиболее опасными являются монотонные возмущения и где наиболее опасными являются колебательные возмущения.

8. Результаты численных расчетов в окрестности пересечений бифуркационных поверхностей хорошо согласуются с результатами слабо-нелинейного анализа.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ

1. Крапивина Е.Н., Любимова Т.П. Нелинейные режимы конвекции упруго-вязкой жидкости в замкнутой полости, подогреваемой снизу // Изв. РАН. МЖГ. 2000. №4. С.5-11.

2. Крапивина Е.Н., Любимова Т.П. Влияние модуляции силы тяжести на конвективную устойчивость равновесия вязкоупругой жидкости // Вибрационные эффекты в гидродинамике. Сб. статей. Пермь: Перм. ун-т. 1998. С. 182-194.

3. Крапивина Е.Н., Любимова Т.П.. Тепловая конвекция жидкости максвелла в замкнутой полости, подогреваемой снизу, при модуляции силы тяжести // Вибрационные эффекты в гидродинамике. Сб. статей. Пермь: Перм. унт. 2001. Вып.2. С.157-173.

4. Kondakova E.N., Lyubimova Т.Р. Gravity modulation influence on the convec-tive stability of viscoelastic fluid // Proc. of the Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity. St.Petersburg -Moscow. Russia. June 1997. vol.1. P.87-90.

5. Krapivina E.N., Lyubimova T.P. Numerical simulation of non-linear regimes of thermal convection in visco-elastic fluid heated from below // Proc. of 16th IMACS World Congress. Lausanne. 2000. P.412-7.

6. Любимова Т.П., Кондакова E.H. Влияние модуляции силы тяжести на конвективную устойчивость равновесия вязкоупругой жидкости: Тез. докл. 11-ой Международной зимней школы по механике сплбшных сред. Пермь. 1997. Кн.2. С.202.

7. Kondakova E.N., Lyubimova Т.Р. Gravity modulation influence on the convec-tive stability of viscoelastic fluid: Abstr. of Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity. St.Petersburg. June 1997. C.201.

8. Крапивина E.H., Любимова Т.П. Численное исследование тепловой конвекции вязкоупругой жидкости в квадратной полости при модуляции си-

145786

лы тяжести: Тез. докл. 12-ой зимней школы по механике сплошных сред. Пермь. 1999. С.202.

9. LyubimovaT.P., Krapivina E.N. Numerical investigation of thermal convection of visco-elastic fluid in closed cavity heated from below: Abstr. of Int. Symp. "Actual Problems of Physical Hydroaerodynamics". Novosibirsk: ITAM SB RAS, 1999. Р.П-79.

10.Lyubimova T.P., Krapivina E.N. Gravity modulation influence on a convective stability of visco-elastic fluid: Abstr. of 16th MACS World Congress on the Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation. Book of Abstracts. Lausanne, EPFL. 2000. P.233.

11 .Krapivina E.N., Lyubimova T.P. Numerical simulation of non-linear regimes of thermal convection in visco-elastic fluid heated from below: Abstr. of 16th IMACS World Congress on the Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation. Book of Abstracts. Lausanne, EPFL. 2000. P.408.

12.Голдобин Д.С., Крапивина E.H., Любимов Д.В., Любимова Т.П. Устойчивость равновесия и надкритические режимы тепловой конвекции вязко-упругой жидкости, подогреваемой снизу: Тез. докл. конф. по устойчивости течений гомогенных и гетерогенных жидкостей. Новосибирск, 2001,

13.Goldobin D.S., Krapivina E.N., Lyubimov D.V., LyubimovaT.P. Intersection ofbifurcational surfaces for perturbations of different symmetry in a problem of visco-elastic fluid convection: Abstr. of International Conference on Patterns and Waves. Theory and Applications. St.Petersburg, Russia. Book of Abstracts.

C.47-48.

2002.

Подписано в печать 20.06.05 г. Формат 60x84 Отпечатано на ризографе. Бумага «ВХИ». Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 486.

ИП Богатырёв П.Г. Свидетельство ВГ № 16 от 06.08.98., выданное адм. Свердловского района

614600, г. Пермь, ул. Коммунистическая, 1 Тел.: (3422) 36-53-53, 36-83-83, 98-31-74.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Крапивина, Елена Николаевна

Глава 1. Введение

1.1 Общая характеристика работы

1.2 Обзор литературы

Глава 2. Влияние модуляции силы тяжести на конвективную устойчивость равновесия вязкоупругой жидкости в горизонтальном слое

2.1 Постановка задачи

2.2 Метод характеристических показателей

2.3 Обсуждение результатов

2.4 Выводы

Глава 3. Тепловая конвекция жидкости максвелла в замкнутой ф полости, подогреваемой снизу, в модулированном поле силы тяжести

3.1 Постановка задачи

3.2 Метод численного решения

3.3 Границы линейной устойчивости равновесия

3.4 Нелинейные характеристики конвективного движения

3.5 Выводы

Глава 4. Конвективная устойчивость равновесия и надкритические режимы конвекции вязкоупругой жидкости в горизонтальном цилиндре квадратного сечения

4.1 Постановка задачи 4.2 Линейная устойчивость механического равновесия

4.3 Слабо-нелинейный анализ

4.4 Нелинейные режимы конвекции

4.5 Выводы

Введение диссертация по механике, на тему "Возникновение и надкритические режимы конвекции вязкоупругих жидкостей в слоях и замкнутых полостях"

Актуальность работы. Неньютоновские жидкости весьма распространены в природе и технике. Вязкоупругие среды, представляющие собой одну из разновидностей неньютоновских жидкостей, объединяют широкий класс веществ, примерами которых являются суспензии, эмульсии, растворы и расплавы полимеров. Поведение таких сред при наличии внешних воздействий имеет не только теоретический, но и практический интерес в связи с проблемами переработки, транспортировки и хранения. Учет неньютоновского поведения имеет также значение при изучении некоторых геофизических явлений, например, в связи с процессами в мантии Земли.

В литературе имеется большое число работ, посвященных исследованию течений вязкоупругих сред в изотермических внешних условиях. Имеются также работы, посвященные изучению возникновения конвекции вязкоупругих жидкостей в плоских горизонтальных слоях, в том числе при наличии различных осложняющих факторов (вращение, магнитное поле, примесь). Чаще всего при исследовании свободной конвекции предполагается, что параметры, характеризующие внешние условия, не меняются со временем. Однако влияние нестационарности параметров на устойчивость равновесия и конвективные движения может быть весьма заметным. Устойчивость равновесия и нелинейные режимы конвекции неравномерно-нагретых вязкоупругих жидкостей в замкнутых полостях и влияние на эти явления периодического изменения параметров изучены недостаточно. Поэтому исследование этих явлений, а также анализ возможности параметрического воздействия на устойчивость равновесия и надкритические конвективные режимы являются весьма актуальными.

• Исследование устойчивости равновесия горизонтального слоя вязкоупругой жидкости Максвелла в периодически изменяющемся поле тяжести;

• Изучение устойчивости равновесия и надкритических режимов конвекции вязкоупругой жидкости Максвелла в замкнутой полости, в отсутствие и при наличии модуляции силы тяжести;

• Исследование линейной устойчивости равновесия, анализ поведения решений вблизи порога устойчивости и изучение существенно нелинейных режимов тепловой конвекции вязкоупругой жидкости Олдройда в подогреваемой снизу замкнутой полости.

Автором представляются к защите:

• Результаты изучения устойчивости механического равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя жидкости Максвелла в модулированном поле тяжести;

• Результаты численного исследования устойчивости равновесия и надкритических режимов конвекции жидкости Максвелла в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом снизу, в статическом и модулированном поле тяжести;

• Результаты исследования линейной устойчивости равновесия вязкоупругой жидкости (модель Олдройда-В) в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом снизу, в статическом поле тяжести;

• Результаты исследования нелинейных режимов тепловой конвекции жидкости Олдройда-В в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом снизу, в статическом поле тяжести.

При изучении конвекции в вязкоупругой жидкости Олдройда в замкнутой полости при подогреве снизу обнаружено хорошее согласие результатов слабо-нелинейного анализа и прямого численного моделирования.

Научная новизна результатов

• Получены карты устойчивости равновесия подогреваемого снизу горизонтального слоя жидкости Максвелла со свободными границами, при наличии ступенчатой модуляции силы тяжести. Определено влияние параметров задачи (времени релаксации, амплитуды и частоты модуляции) на поведение системы. При малых временах релаксации напряжений модуляция силы тяжести, как и в ньютоновской жидкости, оказывает стабилизирующее действие. С увеличением времени релаксации стабилизирующий эффект ослабляется и затем сменяется дестабилизацией. Обнаружены зоны неустойчивости, ограниченные кривыми, где мультипликаторы принимают комплексные значения, что соответствует непериодическим колебаниям;

• Разработан численный алгоритм расчета конвекции вязкоупругих жидкостей в замкнутых полостях, позволяющий эффективно проводить вычисления в широком интервале значений времени релаксации напряжений;

• Найдены границы устойчивости равновесия максвелловской жидкости в горизонтальном цилиндре квадратного сечения, подогреваемом снизу, при синусоидальной модуляции силы тяжести. Прослежено изменение структуры конвективного движения в процессе колебаний;

• Определены границы линейной устойчивости равновесия жидкости Олдройда-В в подогреваемом снизу горизонтальном цилиндре квадратного сечения, в статическом поле тяжести. Обнаружено, что в рассматриваемой задаче возможны пересечения границ устойчивости по отношению к возмущениям разной симметрии, так что в некоторой области ответственными за возникновение неустойчивости равновесия являются колебательные возмущения двухвихревой структуры;

• Изучено поведение решений в окрестности пересечения поверхностей вилочной бифуркации для возмущений одновихревой структуры и бифуркации Хопфа для возмущений двухвихревой структуры. Показано, что в окрестности исследуемых пересечений в системе существуют смешанные режимы (амплитуды возмущений обоих типов отличны от нуля);

• Численно исследованы надкритические режимы тепловой конвекции жидкости Олдройда-В в подогреваемом снизу горизонтальном цилиндре квадратного сечения в статическом поле тяжести. Построены бифуркационные диаграммы нелинейных режимов конвекции для различных значений параметра упругости. Обнаружено, что для значений параметров в области, где наиболее опасными являются монотонные возмущения, переход числа Грасгофа через критическое значение приводит к появлению стационарных движений, затем происходит последовательная смена следующих типов движений: периодические колебания с ненулевым средним, модулированные колебания и непериодические движения. В области значений параметров, где наиболее опасными являются колебательные возмущения, при малых надкритичностях устанавливаются стационарные периодические движения с нулевым средним; при дальнейшем росте числа Грасгофа возникают стационарные периодические колебания с ненулевым средним, затем модулированные колебания, которые, в свою очередь, сменяются непериодическими.

Практическая ценность. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при расчете гидродинамических и тепловых характеристик конвективных течений, возникающих при хранении, транспортировке и переработке вязкоупругих сред, а также при геофизических исследованиях конвекции в мантии Земли.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах [1 - 13] - 5 статей и 8 тезисов. В работах [1-11] автор диссертации проводил основные вычисления, принимал участие в постановке задачи и обсуждении результатов; в работах [12-13] участвовал в проведении численных расчетов.

Апробация работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах, конференциях, симпозиумах и конгрессах:

XI Зимняя школа (2-я международная) по механике сплошных сред, 23 февраля - 1 марта 1997, Пермь, Россия;

Joint X th European and VI th Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity, 15-21 June 1997, St. Petersburg, Russia;

XII Зимняя школа по механике сплошных сред, 25-31 января 1999, Пермь, Россия;

VI International Conference on Stability and Turbulence of Homogeneous and Heterogeneous Flows, 21-23 April 1999, Novosibirsk, Russia;

16th IMACS World Congress on the Scientific Computation, Applied Mathematics and Simulation, 21-25 August 2000, Lausanne, Switzerland;

VIII International Conference on Stability and Turbulence of Homogeneous and Heterogeneous Flows, 25 - 27 April 2001, Novosibirsk, Russia;

International Seminar on Patterns and Waves: Theory and Applications. 8 -13 July 2002, St. Petersburg, Russia;

Пермский гидродинамический семинар имени Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкого, ПТУ, 1998 и 2005.

Содержание и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, в которых излагаются результаты исследования, заключения и списка литературы (154 наименования). В работе приводится 52 рисунка. Общий объем диссертации 165 страниц.

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

4.5 Выводы

1.0 0.5 0.0 -0.5

-1.0

0.004

0.002

50 52 54 56 58 60

-0.002

-0.004

30 t

1.30

125

1.20

1.15

1.10

1JJ5

-IL.

Nu 1.2

50 52 54 SB 58 60 t

Рис.4.11. Временная эволюция среднего по полости значения функции тока и безразмерного теплового потока для Pr=7, Gr=380, е = 0.05 и различных значений параметра упругости: а — г = 0.35, б - т = 0.37 .

Определены границы устойчивости механического равновесия относительно монотонных и колебательных возмущений для нескольких значений е. Найдены критические значения параметров, при которых наиболее опасными становятся колебательные возмущения.

Обнаружены неисследованные ранее пересечения границ устойчивости по отношению к возмущениям разной симметрии: пересечение

-OX)9024

-0.09026

-0.09028

-0.09030

-0.09032

-0.09034

-JL.

20 22 24 26 26 30

-0.09248

-0.09252

-0.09256

-0.09260

-0.03264

40 t

Nil

1.31826

1.31824

1.31820

1 31816

20 22 24 26 28 30 t

1.33026

1.33022

1.33018

1.33014

1.33010

1.33006

Рис.4.12. Временная эволюция среднего по полости значения функции тока и безразмерного теплового потока для Рг-1, г = 0.2, е = 0.05 и различных значений числа Грасгофа: а - Gr = 492, б - Gr = 500. поверхности вилочной бифуркации для возмущений одновихревой структуры и поверхности бифуркации Хопфа для возмущений двухвихревой структуры, а также пересечение поверхностей бифуркации Хопфа для обоих типов возмущений.

Изучено поведение решений в окрестности пересечений границ первого и второго уровней неустойчивости равновесия жидкости Олдройда-В. Вычислены коэффициенты амплитудных уравнений для £ — 0.05.

Построены бифуркационные диаграммы окрестности пересечений для 8 = 0.05,0.1. Обнаружено, что в окрестности пересечений возможны устойчивые решения, соответствующие смешанным режимам (амплитуды возмущений обоих типов отличны от нуля).

Исследованы надкритические режимы конвекции. Обнаружено, что для значений параметров в области, где наиболее опасными являются монотонные возмущения, переход Gr через критическое значение приводит к появлению стационарных движений, затем происходит последовательная смена следующих типов движений: периодические колебания с ненулевым средним, модулированные колебания и непериодические движения. В области значений параметров, где наиболее опасными являются колебательные возмущения, при Gr > Grk устанавливаются стационарные периодические движения с нулевым средним. При дальнейшем росте числа Грасгофа возникают стационарные периодические колебания с ненулевым средним, затем модулированные колебания, которые, в свою очередь, сменяются непериодическими.

Результаты численного моделирования существенно нелинейных режимов тепловой конвекции жидкости Олдройда-В для окрестности пересечений согласуются с результатами слабо-нелинейного анализа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Исследована устойчивость равновесия горизонтального слоя жидкости Максвелла со свободными границами при подогреве снизу в модулированном поле тяжести. Построены карты устойчивости и семейства нейтральных кривых при различных значениях параметра упругости, амплитуды и частоты модуляции. Показано, что наличие упругих свойств приводит в большинстве случаев к дестабилизации. Влияние амплитуды и частоты модуляции на устойчивость равновесия носит сложный характер. Обнаружены зоны неустойчивости, соответствующие непериодическим колебаниям.

3. Исследовано возникновение и развитие тепловой конвекции максвелловской жидкости в горизонтальном цилиндре квадратного сечения при подогреве снизу в статическом поле тяжести. Определены границы устойчивости равновесия, найдены нелинейные режимы конвекции.

5. Численно исследована линейная устойчивость равновесия жидкости Олдройда - В в подогреваемом снизу горизонтальном цилиндре квадратного сечения в статическом поле тяжести. Определены критические значения параметров, определяющие устойчивость равновесия по отношению к монотонным и колебательным возмущения одно- и двухвихревой структуры. Обнаружено, что существует область параметров, в которой ответственными за возникновение неустойчивости равновесия являются колебательные возмущения двухвихревой структуры.

7. Численно исследованы нелинейные режимы тепловой конвекции жидкости Олдройда-В в подогреваемом снизу горизонтальном цилиндре квадратного сечения в статическом поле тяжести. Построены бифуркационные диаграммы нелинейных режимов конвекции для различных значений параметра упругости. Прослежена перестройка структуры течения при увеличении числа Грасгофа в областях значений параметров, где наиболее опасными являются монотонные возмущения и где наиболее опасными являются колебательные возмущения.

Автор выражает благодарность научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Т. П. Любимовой за руководство научной работой, профессору Д. В. Любимову за полезные обсуждения работы, доценту Н. И. Лобову за ценные советы и замечания, а также сотрудникам Пермского государственного университета С. О. Макарову, Н. В. Крапивиной, С. В. Шкляеву, А. А. Алабужеву, И. С. Файзрахмановой за помощь, оказанную при подготовке работы.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Крапивина, Елена Николаевна, Пермь

2. Крапивина Е.Н., Любимова Т.П. Влияние модуляции силы тяжести на конвективную устойчивость равновесия вязкоупругой жидкости //Вибрационные эффекты в гидродинамике. Сб. статей. Пермь: Перм. унТ. 1998. С.182-194.

3. Крапивина Е.Н., Любимова Т.П. Тепловая конвекция жидкости максвелла в замкнутой полости, подогреваемой снизу, при модуляции силы тяжести // Вибрационные эффекты в гидродинамике. Сб. статей. Пермь: Перм. ун-т. 2001. Вып.2. С.157-173.

4. Krapivina E.N., Lyubimova T.P. Numerical simulation of non-linear regimes of thermal convection in visco-elastic fluid heated from below // Proc. of 16th IMACS World Congress. Lausanne. 2000. P.412-7.

5. Любимова Т.П., Кондакова E.H. Влияние модуляции силы тяжести на конвективную устойчивость равновесия вязкоупругой жидкости: Тез. докл. 11-ой Международной зимней школы по механике сплошных сред. Пермь. 1997. Кн.2. С.202.

6. Kondakova E.N., Lyubimova Т.Р. Gravity modulation influence on the convective stability of viscoelastic fluid: Abstr. of Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity. St.Petersburg. June 1997. C.201.

7. Крапивина Е.Н., Любимова Т.П. Численное исследование тепловой конвекции вязкоупругой жидкости в квадратной полости при модуляции силы тяжести: Тез. докл. 12-ой зимней школы по механике сплошных сред. Пермь. 1999. С.202.

8. Lyubimova Т.Р., Krapivina E.N. Numerical investigation of thermal convection of visco-elastic fluid in closed cavity heated from below: Abstr. of Int. Symp. "Actual problems of physical hydroaerodynamics". Novosibirsk: ITAM SB RAS, 1999. P.II-79.

9. Уилкинсон У. Л. Неньютоновские жидкости. М.: Мир, 1964. - 216 с.

10. Bingam Е. С. Fluidity and plastisity. McGraw-Hill. New York, 1922.16,Ostwald W. Ueber die viskositat kolloider housungen in struktur-laminar und tirbulezgebeit // Kolloid-Z. 1926. 38. P. 261-280.

11. Reiner M. Deformation and flow. Lewis. London, 1949.

12. Pryce-Jones//J. Coll. Zeits. 1952. 126. P.96.

13. Freundlich H., Julisberger F. // Trans. Faraday Soc. 1935. 31. P.920-944

14. Maxwell J. C. // Phil. Trans. 1867. 157. P.49-88.

15. Schofield R. K., Scott-Blair G. W. // Proc. R. Soc. London. 1932. Ser. A138. P. 707.

16. Oldroyd J. G. The effect of interfacial stabilizing films on the elastic and viscous properties of emulsions // Proc. R. Soc. London. 1953. Ser. A 218. P. 122-132.

17. Динамика неньютоновских жидкостей: Учебник / Артюшков JI. С. -СПб.: Изд. центр СПб МГУ, 1997. 459 с.

18. Астарита Дж., МаруччиДж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978. - 309 с.

19. Rivlin R. S., Ericksen J. L. Stress-deformation relations for isotropic materials //J. Ration. Mech. Anal. 1955. 4. P.323-422.

20. Bernstein В., Kearsley E. A., Zapas L. J. A study of stress relaxation with finite strain // J. Trans Soc. Rheol. 1963. 7. P.391-410.

21. Tanner R. I., Simmons J. M Combined simple and sinusoidal shearingin elastic liquids // Chem. Engng. Sci. 1967. 22. 1803-1815.

22. Coward A.V., Renardy Y.Y. Thin film core-annular flow of upper-convected maxwell liquids // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1997. V.70. № 1-2. P. 155183.

23. Renardy Y.Y. Weakly nonlinear behavior of periodic disturbances in two-layer plane channel flow of upper-convected Maxwell liquids // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1995. V. 56. № 2. P. 101-126.

24. Oliveira P.J., Pinho F.T. Plane contraction flows of upper convected Maxwell and Phan-Thien-Tanner fluids as predicted by a finite-volume method // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1999. V. 88. № 1-2. P. 63-88.

25. Скульский О. И., Аристов С. Н. Механика аномально вязких жидкостей. — Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2003— 156 с.

26. Реологические потоки в условиях мгновенного приложения постоянной и осциллирующей скорости сдвига / В.И.Попов, А.Н.Кекалов // Реодинамика и тепломассообмен: Сб. научн. трудов. Новосибирск, 1979. С. 47-62.

27. Течение расплавов полимеров через зернистый слой / З.Кембловский, М.Дзюбинский // Реодинамика и тепломассообмен: Сб. научн. трудов. Новосибирск, 1979. С. 130-149.

28. Шульман 3. П., ХусидБ. М. Нестационарные процессы конвективного переноса в наследственных средах. Минск: Наука и техника, 1983256 с.

29. Green Т. Oscillating convection in an elasticoviscous liquid // Physics of Fluids. 1968. V. 11. №7. P. 1410-1412.

30. Vest С. M., Arpaci V. S. Overstability of viscoelastic fluid layer heated from below // J. Fluid Mech. 1969. V. 36. № 3. P. 613-623.

31. Takashima M. Thermal instability of a viscoelastic fliud layer // J. Phys. Soc. Jap. 1972. V. 33. № 2. P. 511-518.

32. Rosenblat S. Thermal-convection in a viscoelastic liquid // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1986. V. 21. P. 201-223.

33. Kolkka R. W., Ierley G. R. On the convected linear-stability of a viscoelastic Oldroyd-B fluid heated from below // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1987. V. 25. № 2. P. 209-237.

34. Martinez-Mardones J., Perez-Garcia C. Linear instability in viscoelastic fluid convection//J. Phys. Fluids. 1990. V. 2. № 5. p. 1281-1290.

35. Eltayeb I. A. Nonlinear thermal convection in elasticoviscous layer heated from below//Proc. R. Soc. bond. 1977. A 356. P.161-176.

36. Боярченко В. И., Штессель Э. А. О конвективной неустойчивости вязкоупругой жидкости в поле сил тяжести // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. №5. С. 180-182.

37. Kaloni P. N., Lou J. X. On the stability of thermally driven shear flow of an Oldroyd-B fluid heated from below // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2002. V. 107. P. 97-101.

38. Van der Borght R., Murphy J. O., Steiner J. M. A theoretical investigation of finite amplitude thermal convection in non-Newtonian fluids // Z. Angew. Math und Mech. 1974. V. 54. № 1. P. 1-8.

39. Van der Borght R., Grawford J. R. Finite amplitude thermal convection in non-Newtonian fluids: fixed boundaries // Z. Angew. Math und Mech. 1975. V.55. № 5. P.219-225.

40. Liahg S. F., Acrivos A. Experiments on buoyancy-driven convection in non-Newtonian fluid // Rheol. Acta. 1970. V. 9. № 3. P.447-455.

41. Sokolov M., Tanner R. I. Convective stability of a general viscoelastic fluid heated from below // Phys. Fluids. 1972. V. 15. P. 534-539.

42. Carmi S., Sokolov M. Energy stability of a general viscoelastic simple fluid heated from below // Phys. Fluids. 1974. V. 17. № 3. P. 544-546.

43. Garifullin F. A., Sapporow F. I., Reher E. O. Influence of viscoelastic properties on the cellular convection within a horizontal layer // Plaste Und Kautschuk. 1982. V 29. P. 594-596.

44. Гарифуллин Ф. А., Габитова А. Б. Численное исследование конвективного движения в плоском горизонтальном слое упруговязкой жидкости // Тепло- и массообмен в хим. технол. Сб. научн. трудов. Казань. 1987. С. 47-54.

45. Клигман Б. Д., Тазюков Ф. И., Гарифуллин Ф. А. Конвективная устойчивость неньютоновских жидкостей в нестационарных условиях

46. Казанский химико-технологический институт. Казань. 1983. 10 с. Деп. в ВИНИТИ 23.12.1982.

47. Гарифуллин Ф. А., Тазюков Ф. И. Конвективная неустойчивость слоя упруговязкой жидкости с учетом термокапиллярных сил: Тез. докл. Всероссийского симпозиума "Теория механической переработки полимерных материалов". Пермь. 1976. С. 36-37.

48. Гарифуллин Ф.А. О задаче Релея Джеффри для обобщенной упруго-вязкой жидкости дифференциального типа // Тепло- и массообмен в хим. технол. Сб. научн. трудов. Казань. 1974. Вып. 2. С. 74-76.

49. Гарифуллин Ф.А. О возникновении конвекции в горизонтальных слоях неньютоновских жидкости // Прикл. механика. 1973. Т. 9. № 3. С. 3-9.

50. Гарифуллин Ф. А., Габитова А. Б. Влияние границ на устойчивость слоя упруговязкой жидкости при подогреве снизу // Машины и аппараты в хим. технол. Сб. научн. трудов. Казань. 1976. Вып. 4. С. 60-63.

51. Гарифуллин Ф. А. Тепловая неустойчивость слоя упруговязкой жидкости с учетом подъемных и термокапиллярных сил // Инж.-физ. журнал. 1978. 34. №4. С. 706-712.

52. Гарифуллин Ф.А. Устойчивость слоя упруго-вязкой жидкости при подогреве снизу // ПМТФ. 1974. № 6. С. 55-62.

53. Гарифуллин Ф.А. Тепловая неустойчивость горизонтального слоя упруго-вязкой жидкости //Мех. полимеров. 1976. № 2. С. 331-335.

54. Гарифуллин Ф. А., Заппаров Ф. И. Конвективная устойчивость упруговязкой жидкости в замкнутой полости квадратного сечения. // Тепло- и массообмен в хим. технол. Сб. научн. трудов. Казань. 1979. Вып. 7. С. 59-62.

55. Гарифуллин Ф. А., Габитова А. Б. Численное исследование конвективного движения в упруговязкой жидкости // Тепло- и массообмен в хим. технол. Сб. научн. трудов. Казань. 1982. С. 41-45.

56. Kolodner P. Oscillatory convection in viscoelastic DNA suspensions // J. of Non-Newtonian Fluid Mech. 1998. V. 75. P. 167-192.

57. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. О параметрическом возбуждении конвективной неустойчивости // ПММ. 1963. Т. 27. Вып. 5. С. 779-783.

58. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. О конвективной неустойчивости теплового скин-слоя // ПМТФ. 1965. № 6.

59. Зеньковская С.М., Симоненко И.Б. О влиянии вибрации высокой частоты на возникновение конвекции // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 5. С.51-56.

60. Зеньковская С.М. Исследование конвекции в слое жидкости при наличии вибрационных сил // Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. № 1. С.55-58.

61. Venezian G. Effect of modulation on the onset of thermal convection // J. Fluid Mech. 1969. V. 35. P. 243-254.

62. Бурдэ Г.И. Численное исследование конвекции, возникающей в модулированном поле внешних сил // Изв. АН СССР. МЖГ. 1970. № 2.

63. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Юрков Ю.С. О конвективной устойчивости при наличии периодически меняющегося параметра // ПММ. 1970. Т. 34. Вып. 3. С. 470-480.

64. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Юрков Ю. С. О численном определении границ конвективной неустойчивости в системе с периодически меняющимся параметром // Гидродинамика. 1971. Вып. 3. № 248. С. 29-37.

65. Saunders В. V., Murray В. Т., Mcfadden G. В., Coriell S. R., Wheeler А. А. The effect of gravity modulation on thermosolutal convection in an infinite layer of fluid // Phys. Fluids A. 1992. V.4. № 6. P.l 176-1189.

66. Yang Wen-Mei. Stability of viscoelastic fluids in a modulated gravitational field // Int. J. Heat Mass Transfer. 1997. V. 40, № 6. P. 1401-1410.

67. Chin-Hsiu L. Role of elasticity on the stability of stratified flow of viscoelastic fluids // Phys. Fluids. 1970. 13. № 7. P. 1701-1707.

68. Huang С. Т., Khomami В. Role of dynamic modulation on stability of multiplayer Newtonian and viscoelastic flows down an inclined plane // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 2001. 97. P. 67-86.

69. Takashima M. The stability of a rotating layer of the Maxwell liquid heated from below //J. Phys. Soc. Jap. 1970. V. 29. № 4. P. 1061-1068.

70. Takashima M. The effect of a rotation on thermal instability in a viscoelastic fliud layer//Phys. Letters, 1970. V. 31a. № 7. P. 379-380.

71. Takashima M. Thermal instability of a viscoelastic fliud layer. II. Effect of rotation // J. Phys. Soc. Jap. 1972. V. 33. № 3. P. 797-804.

72. Steiner J. M. The effect of rapid rotation on the overstable mode of convection in a viscoelastic fluid layer // Zast. Mat. 1973. V.13. № 3. P. 389-397.

73. Eltayeb I. A. Convective instability in a rapidly rotating viscoelastic layer // Z. angew. Math. Und Mech. 1975. V. 55. № 10. P. 599-604.

74. Bhatia P. K., Steiner J. M. Convective instability in a rotating viscoelastic fluid layer // Z. Angew. Math und Mech. 1972. 52. P.321-327.

75. Bhatia P. K., Steiner J. M. Oscillatory convection in a viscoelactic fluid layer in hydromagnetics // Austral. J. Phys. 1972. V.25. №26. P.695-702.

76. Bhatia P. K., Steiner J. M. Thermal instability in a viscoelastic fluid layer in hydromagnetics // J. of Mathematical Analysis and Applications. 1973. V.41. P.271-283.

77. Steiner J. M. On the numerical solution of double characteristic value problems to oscillatory convection // Indian J. Math. 1975. 17. № 1. P.41-52.

78. Takashima M. Thermal instability of a viscoelastic fliud layer. III. Effect of magnetic field // J. Phys. Soc. Jap. 1972. V.33. № 4. P.l 142-1148.

79. Eltayeb I. A. Discussion on "Thermal instability in a viscoelastic fluid layer in hydromagnetics" by P.K.Bhatia and J.M.Steiner // J. Math. Anal, and Appl. 1976. V.54. № 3. P.846-848.

80. Steiner J. M. Overstable convection in a vicsoelastic fluid layer at large Chandrasekhar number // Archives of Mechanics. 1973. V.25. №6. P.1041-1043.

81. Hamabata H. Thermoconvective waves in a viscoelastic liquid layer situatied in a magnetic field // J. Phys. Soc. Jap. 1984. 53. № 9. P.2975-2979.

82. Sharma R. C., Sharma Y. D. Magneto-thermosolutal convection in a viscoelastic fluid in porous medium//Acta Phys. Hung. 1990. 67. № 1-2. P.205-209.

83. Sharma R. C., Prakash K. Thermal instability of viscoelastic fluid with Hall effects // Istanbul Univ. Fen. Fak. Mech. Rev. Fac. Sci. Univ. Istanbul. 1978 (1975). A 40. P.51-57.

84. Hamabata H. Overstability of viscoelastic liquid layer with internal heat from below // J. of Heat and Mass Transfer. 1989. V.29. P.645-647.

85. Гарифуллин Ф. А., Габитова А. Б. Возникновение конвекции в слое упруго-вязкой жидкости с пространственным источником тепла // Машины и аппараты хим. технол. Сб. научн. трудов. Казань. 1975. Вып. 3. С.44-46.

86. Siddheshwar P. G. Oscillatory convection in a viscoelastic-Boussinesq-ferromagnetic fluid // Indian Journal of Engineering and Materials Sciences. 1998. V.5. P.453-456.

87. P. G. Siddheshwar, С. V. Krishna Rayleigh-Benard convection in a viscoelastic fluid-filled high-porosity medium with nonuniform basic temperature gradient // IJMMS. 2001. № 25. P.609-619.

88. Sharma R. С., Sunil Thermal-instability of Oldroydian viscoelastic fluid with suspended particles in hydromagnetics in porous-medium // Polym.-Plast. Technol. Eng. 1994. V. 33. P.323-339.

89. Taguchi Y. H. New origin of a convective motion elastically induced convection in granular-materials // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 69. P.1367-1370.

90. Ahmadi G. Universal stability of thermodiffisive-magneto-Cosserat fluid motions // Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Techn. 1975 (1976). 23. № 12. P.1015-1023.

91. Sastry V. U. K., Maiti G. Numerical solution of combined convective heat transfer of micropolar fluid in an annulus of two vertical pipes // Int. J. Heat and Mass Transfer. 1976. 19. № 2. P.207-211.

92. Datta А. В., Sastry V. U. K. Thermal instability of a horizontal layer of micropolar fluid heated from below // Int. J. Eng. Sci. 1976. 14. № 7. P.631-637.

93. Ahmadi G. Stability of a micropolar fluid layer heated from below // Int. J. Eng. Sci. 1976. 14. № 1. P.81-89.

94. Walzer U. Convection of a Cosserat fluid // Gerlahds Beitr. Geophys. 1976. 85. №2. P.137-150.

95. Bhattachargya S.P., Abbas M. On the stability of a hot rotating layer of micropolar fluid // Int. J. Eng. Sci. 1985. 23. № 3. P.371-374.

96. Pearson J. R. A. Instability in non-newtonian flow // Annu. Rev. Fluid Mech. 1976. V.8. P.163-181.

97. Larson R. G. Instabilities in viscoelastic flows // Rheol. Acta. 1992. № 31. P.213-263.

98. Herbert D. M. On the stability of visco-elastic liquids in heated plane Couette flow // J. Fluid Mech. 1963. V. 17. P.353-359.

99. Sureshkumar R, Smith M. D, Armstrong R. C., Brown R. A. Linear stability and dynamics of viscoelastic flows using time-dependent numerical simulations // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1999. V.82. P.57-104.

100. Drisl. M., Shaqfeh E. S. G. Experimental and theoretical observations of elastic instabilities in eccentric cylinder flows: local versus global instability // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1998. V.80. P. 1-58.

101. ТарунинЕ. JI. Тепловая конвекция в прямоугольной полости, подогреваемой сбоку. // Гидродинамика. Пермь, 1970. Вып. 2, С. 163-175.

102. Тарунин Е. Д., Шайдуров В. Г., Шарифулин А. Н. Экспериментальное и численное исследование устойчивости замкнутого конвективного пограничного слоя. В кн.: Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость, Свердловск, 1979. С. 3-16.

103. СемакинИ. Г. Нелинейная конвекция вязкоупругой жидкости. В кн.: Процессы тепло- и массопереноса вязкой жидкости, 1986, С. 41.

104. HarderН. Numerical simulation of thermal convection with Maxwellian viscoelacity // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1991. 39. № 1. P.67-88.

105. Brutyan M. A., Krapivsky P. L. Stability of a periodic unidirectional flow of viscoelastic fluids // Journal of Rheology. 1991. V. 356. P.467-476.

106. Макаров И. JI. Об устойчивости геометрического течения вязкоупругой жидкости к сдвиговым возмущениям // Изв. РАН. МЖГ. 2003. № 2. С.6-12.

107. Gozum D., Arpasi V.S. Natural convection of viscoelastic fluids in vertical slot // J. Fluid Mech. 1974. V.64. № 3. P.439-448.

108. Bandelli R., Lapczyk I., Li H. Longitudinal and torsional oscillations of a rod in a 3rd-grade fluid // Int. J. Non-Linear Mech. 1994. V. 29. P.397-408.

109. Pontrelli G. Longitudinal and torsional oscillations of a rod in an Oldroyd-B fluid with suction or injection // Acta Mech. 1997. V.123. P.57-68.

110. Hayat Т., Asghar S., Siddiqui A. M. Periodic unsteady flows of a non-Newtonian fluid//Acta Mechanica. 1998. V.131. P.169-175.

111. Гроссман А.Г. Параметрические колебания и параметрический резонанс в течениях вязкоупругих жидкостей: Тез. докл. Первой краевой конференции по математике. Барнаул, 1998.

112. Кутателадзе С. С., Попов В. И., Хабахпашева Е. М. К вопросу об обтекании цилиндра ламинарным потоком вязкоупругой жидкости // Доклад АН СССР. 1971. Т.197. № 3. С. 545-546.

113. Массообмен цилиндра в вынужденном потоке неньютоновской эластовязкой жидкости / А.В.Лыков, З.П.Шульман, Б.И.Пурис // Тепло- и массоперенос: Сб. научн. трудов. Минск: Наука и техника, 1968. Т.З. С.54-74.

114. Конвективный теплообмен в реологических средах / Е.М.Хапабашева // Реодинамика и тепломассообмен: Сб. научн. трудов. Новосибирск, 1979. С. 5-46.

115. Некоторые результаты исследования реологических потоков оптическими методами / Е. М.Хабахпашева, В.И.Попов, И.М.Груздева, Э. Л.Ивакина и др. // Реодинамика и тепломассообмен: Сб. научн. трудов. Новосибирск, 1979. С. 63-99.

116. EzzatM. A., AbdElaalM. Z. Free convection effects on a , viscoelastic boundary layer flow with one relaxation time through a porous medium // Journal of the Franklin Institute-Engineering and Applied Mathematics. 1997. V.334B. P.685-706.

117. Ramanan V. V., Kumar K. A., Graham M. D. Stability of viscoelastic shear flows subjected to steady or oscillatory transverse flow // J. Fluid Mech. 1999. V.379. P.255-277.

118. RenardyM. A numerical study of the asymptotic evolution and breakup of newtonian and viscoelastic jets // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1995. V.59. P.267-282.

119. Листров А. Т., Рубежанский В. И. Об устойчивости плоского конвективного движения микрополярной жидкости: Труды НИИ мат. Воронеж, ун-т, 1974. Вып. 16. С.44-51.

120. Коржов Е. Н., Рубежанский В. И. О теореме Сквайра в гравитационной конвекции микроструктурных жидкостей: Научн. тр. фак. прикл. мат. и мех. Воронеж, ун-та, 1971. Вып. 2. С. 18-22.

121. Listrov А. Т., Rubezhnsky V. I. On three-dimensional disturbances of convective microfluid flows // Lett. Appl. and Eng. Sci. 1975. V.3. № 2. P.l 19-124.

122. Амфилохиев В.Б., Артюшков Л.С. Критерии подобия турбулентных течений разбавленных растворов полимеров и обобщенная зависимость для коэффициента трения // Изв. РАН. МЖГ. 1998. № 4. С.191-196.

123. MoserJ., MatyskaC., Yuen D. A., Malevsky A. V., Harder H. Mantle rheology, convection and rotational-dynamics // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1993. V.79. P.367-381. *

124. Wapperom P., Webster M.F. A second-order hybrid finite-element/volume method for viscoelastic flows // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1998. V.79. P.405-431.

125. FortinM., Esselaow D. A finite element procedure for viscoelastic flows // Int. J. Numer. Meth. Fluids 1987. 7. №10. РД035-1052.

126. Najib K., Sandri D. On a decoupled algorithm for solving a finite-element problem for the approximation of viscoelastic fluid-flow so numerische mathematik//Numer. Math. 1995. V.72. P.223-238.

127. Baranger J., Wardi S. Numerical-analysis of a FEM for a transient viscoelastic flow // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1995. V.125. P.l 71185.

128. Baranger J., MachmoumA. Existence of approximate solutions and error bounds for viscoelastic fluid flow: Characteristics method // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. 1997. V. 148. P.39-52.

129. Peters G.W.M., Baaijens F.P.T. Modelling of non-isothermal viscoelastic flows // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1997. V.68. P.205-224.

130. RenardyM., RenardyY. Pattern selection in the Benard-problem for a viscoelastic fluid // Zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Physik. 1992. V. 43. №1. P.154-180.

131. Martinez-Mardones J., TiemannR., ZellerW., Perez-Garcia C. Amplitude equation in polymeric fluid convection // Int. J. Bifurcation Chaos. 1994. V. 4 P. 1347-1351.

132. Martinez-Mardones J,, TiemannR., ZellerW. Convection in Oldroyd-B fluid amplitude equation // Chaos Solitons Fractals. 1995. V.6. P.341-345.

133. Martinez-Mardones J., TiemannR., WalgraefD., ZellerW. Amplitude equations and pattern selection in viscoelastic convection // Physical Review E. 1996. V. 54. №2. P. 1478-1488.

134. Khayat R. E. Chaos and overstability in the thermal-convection of viscoelastic fluids // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1994. V.53. P. 227-255.

135. Khayat R. E. Nonlinear overstability in the thermal convection of viscoelastic fluids // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1995. V.58. P.331-356.

136. Park H. M., Lee H. S. Nonlinear hydrodynamic stability of viscoelastic fluids heated from below // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1995. V.60. P. 1-26.

137. Park H. M., LeeH. S. Hopf bifurcations of viscoelastic fluids heated from below // J. Non-Newtonian Fluid Mech. 1996. V.66. P.l-34.

138. Park H.M., Ryu D.H. Nonlinear convective stability problems of viscoelastic fluids in finite domains // Rheol. Acta. 2002. № 41. P.427-440.

139. Bohme G. On steady streaming in viscoelastic liquids // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1992. V. 44. P, 149-170.

140. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Издательство ИЛ, 1958. - 475 с.

141. Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Изд. "Наука", 1972. - 392с.

142. Гершуни Г. 3., Жуховицкий Е. М., Тарунин Е. Л. Численное исследование конвекции жидкости, подогреваемой снизу // Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 6. С. 93-99.

143. Сорокин В. С. О стационарных движениях жидкости, подогреваемой снизу // ПММ, 1954, Т. 18. Вып. 2.

144. Тарунин Е. Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1990. - 228с.

145. Joseph D.D. Stability of fluid motions. Vols. I and II, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg, 1976.