Численное исследование конвективных течений в упруговязких жидкостях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ В НЕНЬЮТОНОВСКИХ ЖИДКОСТЯХ.

I.I Реологические уравнения состояния неньютоновских сред.

Г. 2 Конвективная устойчивость в неньютоновских жидкостях.

1.3 Надкритическая конечно-амплитудная конвекция

Выводы

ГЛАВА П ВОЗНИКНОВЕНИЕ КОНВЕКЦИИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СЛОЕ

УПРУГОВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ ПРИ ПОДОГРЕВЕ СНИЗУ

2.1 Уравнения, описывающие конвекцию в жидкости

2.2 Конвективная устойчивость горизонтального слоя упруговязкой жидкости с короткой памятью

Решение задачи для двух жестких границ

Решение задачи для смешанных границ

2.3 Конвективная неустойчивость слоя упруговязкой жидкости с учетом теплопроводности границ

2.4 Влияние конечной теплопроводности и толщины границ на конвективную устойчивость слоя упруговязкой жидкости при подогреве снизу

ГЛАВА Ш ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КОНЕЧНО-АМПЛИТУДНОГО КОНВЕКТИВНОГО «ДВИЖЕНИЯ УПРУГОВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ЗАМКНУТОЙ ПОЛОСТИ.'

3.1 Методы решений задач конечно-амплитудной конвекции состояния.7* 3.2 Постановка задачи

3.3 Решение задачи.

3.4 Обсуждение результатов вычислений

3.5 Сравнение теоретических результатов с данными экспериментальных исследований

3.6 Выводы.

Возросшие насущные потребности производства, связанные с переработкой и применением полимеров и пластмасс, с улучшением качества выпускаемых материалов, стимулируют теоретические и экспериментальные исследования по реодинамике и тепломассо-переносу в реологически сложных средах. Эти исследования необходимы для оптимизации процессов синтеза и переработки каучу-ков, пластмасс; хранения, транспортировки и переработки нефтепродуктов; получения кинофотопленки, органического стекла, продукции фармацевтической, пищевой, целлюлозно-бумажной промышленности, суспензий ядерного горючего и топливных смесей в энергетике и в других областях химического производства.

Переработка полимеров требует перевода их в вязкотекучее состояние, однако закон течения реологически сложных сред существенно отличается от ньютоновского течения. Эта особенность реодинамики расплавов и растворов полимеров в значительной степени определяет интенсивность процессов конвекции и теплопере-носа в них. Из всех возможных типов реологически сложных сред (вязкопластичные материалы неорганической природы, суспензии и т.д.) растворы и расплавы полимеров обладают наиболее отчетливыми свойствами неньютоновских систем.

Всевозрастающая область применения полимерных материалов в народном хозяйстве вызвала появление огромного количества теоретических и экспериментальных исследований по изучению реологически сложных систем. Экспериментальные и теоретические исследования, составляющие основу современной реологии, проводились П.Л.Ребиндером, Г.В.Виноградовым, А.А.Трапезниковым, З.П.Щульманом, Г.М.Бартеневым, А.Я.Малкиным, Л.И.Седовым, Трус-деллом, Ноллом, Олдройдом, Ривлиным, Эрикееном, Колеманом и другими.

В гидромеханике неньютоновских жидкостей, являющейся разделом нелинейной механики сплошных сред, особенности следуют из того факта, что определяющие реологические соотношения являются нелинейными тензорными соотношениями. Это приводит к тому, что соответствующее сдвиговой деформации течение не сводится к простому касательному напряжению, гидростатического давлению и постоянной вязкости. Напротив, тензор напряжений содержит, кроме касательных, три нормальные компоненты и зависящую от кинематических тензоров материальную функцию. Возникающие в связи с этим эффекты составляют отличие неньютоновских систем от поведения ньютоновской среды.

Из множества проблем, связанных с переработкой неньютоновских сред, важным с теоретической и практической точек зрения является изучение гидродинамической устойчивости течения и процессов теплопереноса в полимерных системах. Из теории гидродинамической устойчивости ньютоновской жидкости известно, что имеется полная формальная аналогия и эквивалентность между задачей о возникновении вторичного движения во вращательном течении Куэтта и задачей конвективной неустойчивости и надкритической конвекции в подогреваемом снизу горизонтальном слое жидкости. Это означает, что из общей теории устойчивости течения жидкости и вторичных движений можно выделить теорию конвективной устойчивости и надкритических движений. Проблема устойчивости равновесия неравномерно нагретой жидкости и конвективных течений является актуальной проблемой современной гидродинамики и теории теплообмена.

Исследование условий возникновения конвекции сводится к анализу поведения возмущений во времени. На первом этапе исследуется эволюция малых возэдущений для определения порога конвективной устойчивости системы. Исследования на этом этапе проводятся в рамках линейной теории. В дальнейшем нелинейные взаимодействия ограничивают рост возмущений и в результате этого возникает конечно-амплитудная конвекция. Исследование конечно-амплитудной конвекции, возникающей после потери устойчивости равновесия, составляет значительно более сложный этап анализа конвективных процессов, который проводится на основе полных нелинейных уравнений конвекции.

Современное понимание возникновения и протекания конвективных процессов в ньютоновских жидкостях основано на работах Г.А.Остроумова, Г.З. Герщуни, Е.М.Духовицкого, Малкуса, Веро-ниса, Чандрасекхара и других.

В исследования конвективных движений и теплообмена в нелинейных жидкостях большой вклад внесли З.П.Щульман, Е.М.Хаба-хнашева, С.С.Кутателадзе и группа исследователей Пермской молы, руководимой Г.З.Гершуни и Е.М.Еуховицким.

Исследования по конвекции в упруговязких жидкостях ограничены в основном нахождением критических параметров устойчивости. Наибольший вклад в изучение конвективной устойчивости упруговязких жидкостей внесли Вест, Арпаци, Такасима, Соколов, Таннер, Эльтауб.

Интерес к теории конвективной устойчивости объясняется ее многочисленными приложениями в химической технологии, энергетике, метеорологии, геофизике и в других областях народного хозяйства. Конвективная устойчивость и надкритическая конвекция оказывают влияние на закономерности процессов кристаллизации полимеров и низкомолекулярных веществ из расплава, на протекание реакции в химически реагирующей смеси, на процессы термодиффузионного разделения изотопов, на тепловые режимы в резервуарах для хранения нефтепродуктов и на многие другие процессы, происходящие в различных отраслях химической технологии.

Важное значение имеет учет влияния различных осложняющих факторов на условия возникновения неустойчивости и на выявле ние закономерностей развитых конвективных движений, что является важным моментом в оптимизации многих технологических процессов. Поэтому растущий интерес к неньютоновским жидкостям требует расширения исследований в области конвективной устойчивости реологически сложных сред. Теоретические и экспериментальные исследования в этом направлении представляют практический интерес. Можно привести примеры практического использования результатов исследований конвективных процессов. В технологии получения полимерных стекол и кинофотопленок большое влияние на качество изделий оказывают условия застывания стекла и сушки пленки. При расчете этих процессов необходимо учитывать реологию материалов и интенсивность конвективных процессов.

Теоретическое исследование процессов возникновения и протекания конвекции в неньютоновских системах связано с использованием той или иной реологической модели среды. В настоящее время не существует единого универсального реологического соотношения, отражающего все вязкоупругие характеристики исследуемой жидкости. Использование различных реологических уравнений состояния приводит к противоречивым результатам, что приводит к проблеме выбора реологической модели исследуемой среды.

Анализ публикаций показывает, что как теоретические, так и экспериментальные исследования конвективных процессов в упруговязких жидкостях находятся в начальной стадии.

По опубликованным данным теоретические исследования конвекции в упруговязких жидкостях проведены в основном в рамках линейной теории, нелинейные аспекты конвекции в упруговязких жидкостях рассмотрены слабо. Судя по опубликованным данным, для упруговязких жидкостей, находящихся в замкнутой полости, нелинейные задачи конвекции не исследованы, хотя эти вопросы представляют важный практический интерес.

На основе вышеизложенного можно сформулировать цели настоящего исследования.

1. Исследовать конвективную устойчивость слоя упруговязкой жидкости по отношению к бесконечно малым возмущениям.

2. Исследовать влияние различных осложняющих факторов (учет теплопроводности и толщины границ) на развитие возмущений, что представляет собой практический интерес.

3. Провести исследование характера протекания конвективных процессов в замкнутой полости упруговязкой жидкости. Изучить влияние упругости, различных граничных условий, надкритич-ности на конвективный теплоперенос и интенсивность движения.

В соответствии с постановкой задач диссертация содержит следующие главы.

В первой главе проведен обзор литературных данных по теоретическим и экспериментальным исследованиям конвективной устойчивости в неньютоновских средах.

Во второй главе проводится исследование на конвективную неустойчивость горизонтального слоя упруговязкой жидкости интегрального типа. Задача решается вариационным методом для двух жестких и смешанных границ. Определены значения критических параметров, при которых устанавливается колебательная неустойчивость. Получено, что колебательная неустойчивость наступает раньше стационарной. Проведено сравнение полученных результатов решения задачи с литературными данными.

Далее в этой же главе проведен линейный анализ влияния осложняющих факторов, в частности теплопроводности и толщины границ, на условия возникновения колебательной неустойчивости в горизонтальном слое упруговязкой жидкости. Задача решается методом Дубнова-Галеркина. Выяснено, что влияние размеров толщины и теплопроводности границ на возникновение колебательной неустойчивости незначительное.

В третьей главе в нелинейной постановке исследуется конечно-амплитудная конвекция упруговязкой жидкости, находящейся в замкнутой полости. Данная задача решается для жидкости Максвелла методом конечных разностей. Рассмотрено влияние упругих свойств жидкости на протекание конвекции, на теплообмен.

Результаты теоретического исследования процесса конвективных течений в упруговязких жидкостях можно сформулировать следующим образом.

1. На примере жидкости с короткой памятью исследованы условия возникновения конвективной неустойчивости в горизонтальном слое упруговязкой жидкости. Получено, что колебательная неустойчивость наступает раньше стационарной.

2. Исследовано влияние теплопроводности границ на протекание конвективных процессов в упруговязких жидкостях. Установлено, что учет теплопроводности границ оказывает незначительное влияние на возникновение колебательной неустойчивости в слое упруговязкой жидкости.

3. Исследовано влияние размеров границ на процесс возникновения колебательной неустойчивости в слое упруговязкой жидкости. Получено, что увеличение толщины ограничивающих слой жидкости массивов несколько повышает устойчивость слоя, в целом же незначительно влияние размеров ограничивающих границ на критические параметры.

4. Выяснено, что основным параметром, определяющим порог колебательной неустойчивости, является число Прандтля.

5. На основе нелинейного анализа конечно-амплитудной конвекции методом конечных разностей показана возможность возникновения "жесткой" неустойчивости. С увеличением упругих свойств жидкости область подкритических движений растет.

6. Исследовано влияние упругих свойств жидкости на конвективный процесс упруговязкой жидкости, находящейся в замкнутой полости. Получено, что наличие упругих свойств жидкости интенсифицирует конвективный теплоперенос. С ростом упругих свойств жидкости критическое число Рэлея уменьшается, а интенсивность конвективного движения растет.

7. Изучено влияние температурных условий на боковых и нижней границах. Получено, что при теплоизолированных боковых стенках конвективное движение более интенсивное, чем при боковых границах, на которых температура изменяется линейно.

8. Получены распределения полей температуры и скорости для над-критичности до R= 3-I06.

9. Проведено сравнение теоретических результатов, полученных автором, с литературными теоретическими и с экспериментальными данными и показано их хорошее качественное совпадение.

10. Результаты теоретических исследований данной работы использовались при оптимизации процессов сушки кино-фотоматериалов в Казанском научно-исследовательском институте "Техфо

1Z топроект" и при расчете емкостей для хранения нефтепродуктов в Казанском филиале НИИ физико-технических и радио-технических измерений.

Все основные результаты работы получены лично автором. В постановке исследовательской задачи и обсуждении результатов принимал участие научный руководитель проф. Гарифуллин Ф.А.

Автор выражает глубокую благодарность Ф.А.Гарифуллину за руководство работой и постоянное внимание при выполнении данного исследования.

3.6. Выводы.

I. Проведено численное исследование конечно-амплитудной свободной конвекции упруговязкой жидкости в полости квадратно

Рис. 3.|22. Интерференционная картина слоя жидкости при ЛТ= 1,3°С

Рис. 3.|23. Интерферограмма функции тока, полученная при боковом сдвиге. Сдвиг равен ширине ролика

Рис. 3.|24. Интерференционная картина слоя 1% раствора полиоксиэтилена.

Nu. Ч юь ч

6 8 /О*

Ni

Рис. 3.|25. Зависимость.

I - вода; 2 - 0,5% полиакриламида; 3 - IU/о бутилкаучука; 4 - 1,5%-полиоксиэтилена, го сечения. Исследование проведено методом сеток для жидкости Максвелла.

Диапазон изменения параметров задачи Г (0^0,07),

Рг (I — 1000), СгГ (0 ~ 3500).

2. Выяснено влияние на конвективный процесс различных граничных условий для температуры на боковых границах и на нижней границе полости.

3. Показана возможность "жесткой" неустойчивости и существования подкритических движений, причем с увеличением упругих свойств жидкости область подкритических движений растет.

4. Наличие упругих свойств жидкости интенсифицирует в целом конвективный теплоперенос, причем с ростом упругости жидкости и степени надкритичности увеличивается интенсивность конвективного движения.

Интенсификация конвективного теплопереноса объясняется, по-видимому, дополнительной потенциальной энергией, освобождающейся при упругих течениях.

5. Проведено сопоставление экспериментальных данных с теоретическими результатами и получено их достаточно хорошее качественное совпадение.

1. Thomson J. On a changing tesselated structure in certain liquide.- Proc. Phil. Soc. Glasgow, 1882, vol. 13, p. 464-468. V

2. Benard H. Les Tourbillons cellulaires dans une nappe liquids.- Rev. generale des Sci. pures et appl., 1900, vol.11, p. 1262-1271; 1309-1328.

3. Ser. A, 1929, vol. 125, p. 180-195»

4. Боярченко В.И., Штессель Э.А. О конвективной неустойчивости вязкоупругой жидкости в полз сил тяжести. Изв. .АНСССР, ЖГ, Ж, Ж5.

5. Герщуни Г.З., Духовицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972.- 392 o.j7* Oldroyd J.G. On the formulation of rheological equations of state.- Proc. Roy. Soc., London, Ser. A, 1950, vol.200, p. 523-541.

6. Pipkin A.G., Owen D.R. Nearly viscosymmetric flows.- Phys.flows, 1967, vol. 10, p. 836-8439. Green T. Oscillating convection in an elastico-viscous liquid.- Phys. Fluids, 1968, vol. 11, p. 14Ю-1412.

7. Vest C.M., Arpaci V. Overstability of a viscoelastic fluid layer heated from below.- J. Fluid Mech., 1969, vol. 36, p. 613-623.

8. Weissenberg K. A continuum theory of rheological phenomeпа.- Nature, 1947, vol. 159, p. 310-311.

9. Rivlin R.S., Ericksen J.L. Stress-deformation relationstfor isotropic materials.- J. Rational Mech. Anal., 1955, vol. 4, p. 323-425»

10. Noll W. On the continuity of the Solid and fluid states.-J. Rational Moch. Anal., 1955, vol. 4, p. 3-81.

11. H.^Noll W. A mathematical theory of the mechanical behaviour of continuous media.- Arch. Rational Mech. Anal., 1958, vol. 2, p. 197-226.

12. Мидлман С. Течение полимеров.- М. : Мир,.1971.-259 с.

13. Walters К. Relation between Colleman-Noll, Rivlin-Erick-sen, Green-Rivlin and Oldroyd fluids.- Z. Angew. Math, and Phys., 1970, vol. 21, p. 592-600.

14. Reiner M. A mathematical theory of dilatancy.r Am. J. Math., 1945, vol. 67, p. 350-362.

15. PIatten J., Scheohter R.S. Stability of the flow a slightly viscoelastic fluid.- Phys. Fluids, 1970, vol. 13, p. 832-833.19* Gupta A.S. Stability of a viscoelastic liquid film flowing down an inclined plane.- Pluid Mech., 1967, vol. 28, p. 17-28.

16. Pearson J.K. A Stability in non-llewtionian flow.- Ann. Rev. Fluid Mech., Palo Alto, California, 1976, vol. 8, p. 163-181.

17. Tanner R.T. Plane creeping flows of incompressible second-order fluids.- Phys. Pluids, 1966, vol. 9, p. 1246-1259*

18. Mcintire Z.V., Schowalter W.R.

19. Garifullin F.A., Y/olfson S.I. Uhtersuchtuig der rheologi-schen Eigenshaften von Polyurethan losungen durch Konvek-tive Instabilitat.- Plaste und Kautschuk, 22, Jahrgang Heft 5, 1975.

20. Гарифуллин Ф.А. Тепловая неустойчивость горизонтального слоя упруговязкой жидкости.- Мех. полимеров, 1976, Jt 2, с. 331-335.

21. Onjregegbu S.O. Overstability of a viscoelastic fluid layer oscillating in a vertical periodic motion and heated from below.- Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1979, vol. 46, N 2, p. 454-456.

22. Bhatia P.K.,, Steiner T.M. Oscillatory convection in a viscoelastic fluid layer in hydromagnetics.- Austral. J. Phys., 1972, vol. .25, N 6, p. 695-702.

23. Takaschima M. Thermal instability in a viscoelastic fluid layer. Ill Effect of magnetic field.- J. Phys. Soc., Japan, 1972, vol. 33, If 4, p. 1142-1148.

24. Гарифуллин Ф.А., Тазюков Ф.Х. Тепловая неустойчивость .слоя упруговязкой жидкости с учетом термокапиллярных сил.-В сб.: Тепло- и массообмен в химической технологии.- Вып. 5.- Казань: КХТИ, 1977, с. 26-30.

25. Гарифуллин Ф.А. Конвективная неустойчивость упруговязкой1жидкости с инверсией плотности.- В сб.: Тепло- и массооб- j мен в химической технологии.- Вып. 3.- Казань: КХТИ, 1975, !Iс. 18-22.

26. Гарифуллин Ф.А., Габитова А.Б. Конвективная неустойчивость в слое упруговязкой жидкости с пространственными источниками тепла.- В сб.: Машины и аппараты химической ' технологии.- Вып. 3.- Казань: КХТИ, 1975, с. 44-46.

27. Takaschima М. The stability of a rotating layer of the Maxwell liquid heated from below.- J. Phys. Soc., Japan, 1970, vol. 29, N 4, p. 1068-1069.

28. Герщтни Г.а, Духовицкий E.M. Конвективная устойчивость.- М.: Итоги щуки и техники, MKT-М.: ВИНИТИ, 1978, т. П, с. 66-154.

29. Гарифуллин Ф.А. О возникновении конвекции в горизонтальных слоях неньютоновской жидкости.-Прикл. механика, 1973,! т. 9, $ 3, с. 3-9.

30. Pipkin А.С. Lecture on viscoelasticity theory.- Berlins Spriger-Verlag, 1972, p. 180.

31. Malkys W.V.R., Veronis G. Finite amplitude cellular convection.- J. Fluid Mech., 1958, vol. 4, p. 225-260.

32. Scanlon J.W., Segel L.A. Finite amplitude cellular convection induced by surface tension.- J. Fluid Mech., 1967,vol. 30, N 1, p. 149-162.

33. Palm E., Ellingsen Т., Gjevik B. On the occurence of cellular motion in Benard convection.— J. Pluid Mech., 15)67» vol. 30, p. 651-661.

34. Рабинович П.Г. Неединственность прямоугольных решений задачи Бенара.- В кн.: Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения.- М.: Мир, 1974, с. 209-227.

35. Palm E. On the tendency towards hexagonal cells in steady convection.- J. Pluid Mech., 1960, vol. 8, H 1, p.183--192.

36. Segel L.A., Stuart J.T. On the question of the preffered mode in cellular thermal convection.- J. Pluid Mech., 1962, vol. 13, N 2, p. 289-306.

37. Рейнер M. Деформация и течение. Введение в реологию.-М.*. Гостоптехиздат, 1963,-381 с.

38. Герщуни Г.З., Еуховицкий Е.М. О конвективной устойчивости жидкости Бингама.-Доклады АН СССР, 1973, т. 208, Л I, с. 63-65.

39. Семакин И.Г. Стационарная конвекция неньютоновской жидкости в вертикальном слое.-Изв. АН СССР, МЖГ, 1972, № 4, с. 137-139.

40. Семакин И.Г. Неустойчивость стационарного конвективногодвижения неньютоновской жидкости в вертикальном слое. В сб.: Гидродинамика.-Вып.7.-Пермь: П1У, 1975, с. 25-32.

41. Семакин И.Г. Гидродинамическая устойчивость конвективного течения неньютоновской жидкости в вертикальном слое.-Инж.-физ. ж., 1977, т. 32, £ 6, с. I065-IQ70.

42. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Любимова Т.П. Конвективная устойчивость вертикального слоя неньютоновской жидкости.-Прикл. мех. и тех. физ., 1973, № 5, с. 88-95.

43. Любимова Т.П. Численное исследование конвекции вязкоплас-тичной жидкости в замкнутой области .-Изв. АН СССР, МЖГ, 1977, Jf> I, с. 3-8.

44. Van der Borght R., Grawford I.R. Finite amplitude thermal convection in non-Newtonian fluids: fixed boundaries.

45. Z. angew. Math, und Mech., 1975, vol. 55, N 5, p. 219-225.

46. Green T. Oscillating convection in an elastico-viscous liquid— Phys. Fluids, 1968, vol. 11, H 7, p. 1410.

47. Vest C.M., Arpaci V.S. Overstability of viscoelastic fluid layer heated from below.- J. Fluid Mech., 1969, vol. 36, N 3, p. 613-623.

48. Takaschima M. The stability of rotaling layer of the Maxwell liquid heated from below.- J. Phys. Soc. Japan, 1970,vol. 29, N 6, p. 1061-1068.i

49. Takaschima M. Thermal instability of a viscoelastic fluid layer. II. Effect of rotation.- J. Phys. Soc. Japan, 1972, vol. 33, N 3,4p. 797-804.

50. Астарита Д., Маруччи Д. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей,- М.: Мир, 1978, 309 с.65

51. Pierre G.St., Tien С. Experimental investigation of natural convection hear transfer in confined space for non-Newtonian fluid.- Canad. J. Chem. Eng., 1963, vol. 41, p. 122-127.

52. Tien G., Tsuei H.S., Zun Z.S. Thermal instability of ho-risontal layer of non-Newtonian fluid heated from below.-Int. J. Heat and Mass Transfer, 1969, vol. 12, N 9,p. 1173-1178.

53. Tsuei H.S., Tien C. Pree convection heat transfer in a ho-risontal layer of non-Newtonian fluid.- Can. J. Chem. En&, 1973, vol. 51, N 2, p. 249-251.

54. Ozoe H., Churchill S.W. Hydrodynamic stability and natural convection in Newtonian and non-Newtonian fluids heated from below.- AICHE Symp. Ser. , 1973, vol. 69, N 131,p. 126-133.

55. Гарифуллин Ф.А., Норден П.А., Мингалеев«Н.З. и др. Исследование конвекции в горизонтальном слое упруговязкой жидкости.- В сб.: Тепломассообмен.- У1,- Минск: 1980, гл.У1,j ч. 2, с. 7-14.

56. Гарифуллин Ф.А. Возникновение конвекции и теплообмен в плоских слоях неньютоновских жидкостей.- Дис. . докт. техн. наук.- Казань, 1979.- 491 е., ил.

57. Тазюков Ф.Х. Исследование свободной конвекции в горизонтальных слоях упруговязких жидкостей.- Дис. . канд. техн. наук.- Казань, 1981.- 137 е., ил. !

58. Сорокин В.С. Вариационный метод в теории конвекции. ШМ,1. N 1953, 17, № I, 39-48.73» Spiegel Е.А., Veronis G. On Bousainesq approximation forsa-1 compressible fluid.- Astrophys. J., "I960, vol. 131, p. 442-447.

59. Walters K. Use of idealized relaxation of experimental results concerning polymer solution.- J. Appl. Phys., 1961, vol. 32, p. 1975-1978.

60. Виноградов Г.В., Малкин А.Я. Реология полимеров.-M.: Хи- • мия, 1977, 440 е.

61. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики .-Новосибирск! Наука, 1967.- 195 с,

62. Вазов Ф., Форсайт Д. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.- М.: ИЛ, 1963.-487 с.

63. Chand.rasech.ar S. Hydrodynamic and.hydromagnetic stability.- Oxford, Clarendon Press, 1961, p. 657.

64. Гарифуллин Ф.А. Устойчивость слоя упруговязкой жидкости при подогреве снизу.- ПМТФ., 1974, № 6.

65. Pipkin А.С. Small finite deformation of viscoelastic solids.- Rev. Mod. Phys., 1964, vol. 36, IT 5«

66. Герщуни Г.З., Жуховицкий E.M., Семакин И.Г. О конвективной неустойчивости жидкости в горизонтальном слое, раз-4 делящем массивы разной теплопроводности.- В сб.: Гидродинамика.- Вып. 3.- Пермь: ПГУ, 1971, J& 248, с. 18-29.

67. Busse F.H.'lhe stability of finite amplitude cellular convection and its relation to an extremum principle., 'J.Fluid Mech., 1967, vol. 30, U 4, p. 625.

68. Lockett P.I. On Squires theorem for viscoelastic fluids.-Int. J. Eng. Sci., vol. 7, 1969, p. 337-349.

69. Гершуни Г.З., Духовицкий E.M., Любимова Т.П., Чернатынс-кий В.И. Численное исследование свободной конвекции неньютоновской жидкости в замкнутой полости, подогреваемой сбоку.- В сб.: Гидродинамика.- Вып. 9,- Пермь.: ППИ, 1976, № 152, с. II3-I24. J

70. Семакин И.Г. Вторичное конвективное движение неньютоновской жидкости в вертикальном слое.- В сб.: Гидродинамика.- Вып. 9.- Пермь: ППИ,. 1976, № 152, с. II3-I24.

71. Богатырев Г.П., Богатырева Л.Г., Бронштейн И.С. и др. Экспериментальное исследование конвекции степенной жид1кости в горизонтальном цилиндре при боковом нагреве.- . В сб.: Гидродинамика.- Вып. 8.- Пермь: ПГУ, 1976, $ 362, ;с. 142-153.

72. Любимова Т.П. Конвекция неньютоновской жидкости при почти вертикальном подогреве.- В сб.: Гидродинамика.- Вып. j 6.- Пермь: ПТУ, 1975, £ 327, с. 38-47.

73. Barakat Hussein 2. Paper Amer. Soc. Mech. Eng., 1965, ША/НТ-28.

74. Martini W.K., Churchill S.W. AICHE J., 1960, vol.6, p.251.

75. Том А., Эйплт К. Численные методы расчета полей в технике и физике.- М.-Л.: Энергия, 1964,- 208 с. .

76. Онянов В.А., Тарунин Е.Л. Численные эксперименты по использованию различных разностных схем для задач свободной конвекции в замкнутой области.- В сб.: Гидродинамика.-Вып. 6.- Пермь; ПТУ, 1975, с. 156-182.

77. Тарунин Е.Л. Численное исследование свободной конвекции.j Веб.: Гидродинамика.-Вып. I.-,Пермь: ПГУ, 1968, Jfc 184, jс. 135-166. 1

78. Гарифуллйн Ф.А., Норден П.А., Мингалеев Н.З. и др. Экспериментальное- изучение теплопереноса через горизонтальный слой раствора полимера.- В сб.: Тепло- и массо-перенос в хим. технол.- Вып. 8.- Казань: КХТИ, 1980, с. 22-24.

79. Шварцблат Д.Л. Численное исследование стационарного конвективного движения в плоском горизонтальном слое жидкости.- В сб.: Гидродинамика.- Вып. 3.- Пермь: ПТУ, 1971, с. 97-105.

80. Мингалеев Н.З. Экспериментальное исследование конвективного теплообмена в неньютоновских жидкостях.- Дис. . канд. техн. наук.- Казань, 1980.- 152 с.

81. Щульман З.П., Байков Б.Ч., Зальцгендер Э.А. Тепло- и мас-сообмен при свободной конвекции в неньютоновских жидкостях.- Шнек! Наука и техника, 1975,- 125 с.

82. Щульман З.П. Конвективный тепло-массоперенос реологически сложных жидкостей.- M.I Энергия, 1975,- 352 с.

83. Васильев Л.А., Ершов И.В. Интерферометр с дифракционной решеткой.- М.: Машиностроение, 1976, 232 с.

84. Норден П.А., Усманов А.Г. Исследование условий теплообмена в узких щелях.- В сб.: Тепло- и массоперенос.- Казань: КХТИ, т. I, 1968, с. 679-682.

85. Хабахпашева Е.М. Конвективный теплообмен в реологических средах»,- В кн.: Геодинамика и тепло- и массообмен. Новосибирск, 1979, с. 5-46*

86. Хабахпашева Е.М., Попов В.И., Груздева И.М. и др. Некоторые результаты исследования реологических потоков оптическими методами.- В кн.: Геодинамика и тепло- и массообмен. Новосибирск, 1979, с. 63-99.с'. 63-99.

87. Голицин Г.С., Грачев А.А. Измерения скоростей конвекции вязкой жидкости.- Изв. АН СССР, физ. атмосф. и океана, 1979, т. 15, В 3, с. 330-333.

88. Додж А.С. Эластичные жидкости. Введение в реологию коне-чнодеформируемых полимеров.- М.: Наука, 1969.- 464 с.

89. Рейнер М. Реология.- М.: Наука, 1965.- 224 с.

90. НО. Уилкинсон У.Д. Неньютоновские жидкости.- М.: Мир, 1964.216 с.

91. Coleman B.D., Noll W. Recent result in the continuum theory of viscoelastic fluids.- Ann. N.-Y., Acad. Sci., 1961, vol. 89, p. 672-714.

92. Truesdell G., Noll W. The non-linear field theories of mechanics.- In: Handbuch der Physic, Bd. III/3, Berlin, Sprinder-Verlag, 1965, p. 602.

93. Coleman B.,.Markovitz H. Normal stress effect in second-order fluids.- J. Appl. Phys., 1964, vol. 35, p. 1-9.

94. Тихонов A.H., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- M.: Наука, 1972. 735 с.

95. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.- М.: Наука, 1978. 589 с.

96. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.: Hay- ' ка, 1980. 535 с., ил.

97. Buhler К., Kirchartz K.R., Oertel Н. Steady Convection in a Horizontal Fluid layer,- Acta Mech., 1979, vol. 31, p. 155-171.

98. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций.- М.: Мир, 1973.-г 250с.

99. Гарифуллин Ф.А., Габитова А.Б. Возникновение конвекциив слое упруговязкой жидкости с пространственным источником тепла. В сб.: Машины и аппараты в химической технологии.- Вып. 3.- Казань: КХТИ, 1975, с. 44-46. "j

100. Гарифуллин Ф.А., Габитова А.Б. Влияние границ на возникновение конвекции в слое упруго-вязкой жидкости.-В сб.: Тезисы докладов Всесоюзного симпозиума по теории механической переработки полимерных материалов.- Пермь, 1976, с. 36.

101. Гарифуллин Ф.А., Габитова А.Б. Конвективная неустойчивость слоя упруговязкой жидкости, с учетом теплопроводности границ. Журнал прикл. механики и техн. физики, 1976, № 5, с. II0-II4.

102. Гарифуллин Ф.А., Габитова А.Б. Конвективная устойчивость горизонтального слоя упруговязкой жидкости с короткой памятью.- Казань, 1976 15 е.- ^копись представлена КХТИ. Деп. в ВИНИТИ, 27-апреля, № 2635-76.

103. Гарифуллин Ф.А., Габитова А.Б. Влияние границ на устойчивость слоя упруго-вязкой жидкости при додогреве снизу.

104. В сб.: Машины и аппараты химической технологии.- Вып. 4.- ■ Казань: КХТИ, 1976, с. 60-63. ;

105. Габитова А.Б., Гарифуллин Ф.А. Численное исследование конвективного движения в упруговязкой жидкости.- В сб.: Тепло- имассообмен в хим. технологии.- Казань: КХТИ, 1982, с. 41-45.

106. Сорокин B.C. О стационарных движениях жидкости, подогреваемой снизу .-ШМ, 1954, 18, № 2, 197.

107. Joseph D.D. On the stability of the Boussinesq equations by the method of energy.- Arch. Rational Mech. Anal.,V1966, vol. 22, p. 163-184.

108. Georgesca A. Universal criteria of hydrodynamic stability.- Rev. Roum. Math. Pures et Appl., 1976, vol. 11,p. 287-302.

109. Гарифуллин Ф.А., Галимов К.З. Энергетический метод в теории конвективной устойчивости неньютоновской жидкости.-Прикл. механика, 1978, № 3, с. 3-9.

110. Samuels M.R., Churchill S.W. Stability of a Fluid in a Rectangular Region heated from below.- AICHE J., 1967, vol. 13, H 1, p. 77-85.