Нелинейные эволюционные уравнения для описания волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния и их свойства

Синельщиков, Дмитрий Игоревич

Нелинейные эволюционные уравнения для описания волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния и их свойства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Синельщиков, Дмитрий Игоревич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2010 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Нелинейные эволюционные уравнения для описания волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния и их свойства»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейные эволюционные уравнения для описания волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния и их свойства"

На правах рукописи

064603803

синельщиков дмитрий игоревй^

нелинейные эволюционные уравнения для описания волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния и их свойства

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 о ИЮН 2010

Москва - 2010

004603808

Работа выполнена в Национально Исследовательском Ядерном Университете «МИФИ»

Научный руководитель: Заслуженный деятель науки РФ,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Ярославский Государственный Университет

им. П.Г. Демидова

Защита состоится » июш 2010 г. в 15. часов 00 минут на заседаний диссертационного совета Д212.130.09 в Национальном Исследовательском Ядерном Университете "МИФИ" по адресу: 115409, г. Москва, Каширское шоссе, д. 31, тел. 324-84-98, 323-92-56

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИЯУ МИФИ.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Автореферат разослан «!_?_» .мая, 2010 г.

Лауреат Государственной премии СССР, доктор физико-математических наук, профессор Кудряшов Николай Алексеевич

заведующей кафедрой,

профессор Галкин Валерий Алексеевич,

Обнинский Институт Атомной Энергетики

НИЯУ МИФИ

кандидат физико-математических наук, доцент

Свирщевский Сергей Ростиславович, Финансовая академия при Правительстве РФ

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, профессор

Леонов А.С.

Общая характеристика работы

Объектом исследования, диссертационной работы являются нелинейные эволюционные уравнения, встречающиеся при описании волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния, и их свойтсва.

Актуальность работы. Математические модели, состоящие из обобщенных законов сохранения массы и импульса и неголономного уравнения состояния, используются при описании многих явлений в физике, химии, биологии и ряде других наук. Такие модели возникают при исследовании волновых процессов в газовой динамике и нелинейной акустике, при описании волн на мелкой воде, гидромагнитных воли в холодной плазме, ионно-акустических волн в холодной плазме, электромагнитных волн в ферромагнетиках и в ряде других приложений.

Под неголономным уравнением состояния в диссертационной работе понимается уравнение, связывающее обобщенное давление с переменными, характеризующими состояние среды, содержащее нелинейные слагаемые и производные высоких порядков. Построение численных и аналитических решений для математических моделей нелинейных волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния представляется затруднительным. В связи с этим для анализа таких математических моделей в диссертационной работе используется асимптотический метод — метод многих масштабов. Он позволяет выделить характерные времена и длины волновых процессов и получить соответствующие модельные нелинейные эволюционные уравнения. Применение техники метода многих масштабов делает возможным учет нелинейности исследуемой математической модели и эффектов, связанных с производными высоких порядков. При этом в нулевом порядке теории возмущений, как правило, получается известное линейное приближение данной математической модели, из которого можно найти характерную скорость распространения возмущений в исследуемой среде.

Таким образом, нелинейные эволюционные уравнения играют важную роль в исследовании волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния и позволяют аналитически описать эти процессы.

В диссертационной работе получены и исследованы новые нелинейные эволюционные уравнения, описывающие волновые процессы в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и межфазного теплообмена.

Система жидкость - пузырьки газа представляет собой сложную, диссипативно-дисперсионную нелинейную среду, распространение волн в которой до сих пор недостаточно хорошо изучено. Подобные двухфазные модели описывают множество явлений в физике, химии, биологии. В частности, такие модели полезны при изучении динамики контрастных агентов, вводимых в кровеносные сосуды при ультразвуковых исследованиях. Отметим, что в жидкости, содержащей пузырьки газа, могут возникать уединенные и периодические волны, характерные для многих нелинейных эволюционных уравнений.

Во многих экспериментальных и теоретических исследованиях отмечена важность влияния межфазного теплообмена на эволюцию нелинейных волн в газожидкостных смесях. Однако в настоящее время нелинейные волновые процессы в жидкости с пузырьками газа с учетом межфазного теплообмена недостаточно изучены. В связи с этим важной задачей является построение и асимптотический анализ математической модели нелинейных волновых процессов в жидкости с пузырьками газа, в которой учитывается межфазный теплообмен.

В диссертационной работе пузырьковая жидкость рассмотрена как однородная сжимаемая среда, и для описания ее течения использованы уравнения непрерывности и Эйлера совместно с соотношением, связывающим плотность смеси с плотностями жидкости и газа. Для получения уравнения состояния такой среды использовано обобщение уравнения Рэлея совместно с уравнением состояния газа в пузырьке и уравнением, выражающим

закон сохранения энерегии для газа пузырьке. Полученное таким способом уравнение состояния является неголономным. Для анализа системы уравнений, описывающей нелинейные волновые процессы в жидкости с пузырьками газа, использован метод многих масштабов, который позволяет получить набор редуцированных нелинейных эволюционных уравнений.

Изучение математических моделей нелинейных волновых процессов в вязко-эластичных трубках также представляет большой интерес поскольку такие математические модели используются в различных приложениях, в частности в биомеханике.

Известно, что вязко-эластичные трубки отражают некоторые особенности сосудов кровеносной системы. Следовательно для биомеханических приложений важно рассмотреть математическую модель, учитывающую специфические механические свойства стенки трубки, такие как вязко-эластичность и нелинейную упругость. При выводе уравнения движения стенки трубка это приводит к возникновению в нем нелинейных слагаемых и слагаемых с производными высоких порядков.

Целью диссертационной работы является исследование нелинейных эволюционных уравнений для описания волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния, в частности в нелинейно-упругих вязко-эластичных трубках и в жидкости, содержащей пузырьки газа.

Методы исследования. В диссертационной работе использовано сочетание аналитических методов анализа математических моделей и дифференциальных уравнений. Для анализа и упрощения полученных систем уравнений применены подходы теории возмущений и метод многих масштабов. Для анализа свойств нелинейных эволюционных уравнений использованы методы аналитической теории нелинейных дифференциальных уравнений. Для поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений применялся метод "простейших" уравнений и метод многоугольников Ньютона.

В диссертационной работе решены следующие задачи:

• Разработана математическая модель распространения нелинейных волн в жидкости, содержащей пузырьки газа, при учете вязкости и теплообмена между жидкостью и газом в пузырьках;

• Получены нелинейные эволюционные уравнения для описания волн давления в вязко-эластичных трубках и в жидкости, содержащей пузырьки газа;

• Исследованы аналитические свойства нелинейных эволюционных уравнений для описания волн давления в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа;

• Построены точные решения нелинейных эволюционных уравнений для описания волн давления в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа;

• Найдены точные решения обобщенных нелинейных эволюционных уравнений, встречающихся при описании волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния;

• Проведено численное моделирование процесса распространения нелинейных волн в жидкости с пузырьками газа.

Научная новизна работы:

• Получены нелинейные эволюционные уравнения для описания волновых процессов в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и теплообмена между жидкостью и газом в пузырьках;

• Найдены точные решения для описания нелинейных волн давления в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и теплообмена;

• Изучено влияние межфазного теплообмена на эволюцию нелинейных волн в жидкости с пузырьками газа;

• Получено семейство нелинейных эволюционных уравнений, используемых при описании волн в вязко-эластичных трубках;

• Построены точные решения для описания нелинейных пульсовых волн в вязко-эластичных трубках;

• Доказана неинтегрируемость нелинейных эволюционных уравнения для описания волн давления в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа;

• Получены точные решения обобщенных нелинейных эволюционных уравнений, встречающихся при описании волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния;

• Предложено обобщение преобразования Коула-Хопфа, которое может применяться для построения точных решений иерархии уравнения Бюргерса;

• Предложена модификация метода простейших уравнений, позволяющая находить точные решения нелинейных дифференциальных уравнений широкого класса.

Обоснованность и достоверность результатов работы определяется выбором математических моделей, основанных

на законах сохранения массы, импульса и энергии, а также подтверждается сравнением результатов численных расчетов с тестовыми точными решениями.

Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:

1. Семинар кафедры прикладной математики НИЯУ МИФИ «Современные проблемы математики», 2007, 2008 и 2009 годы.

2. Международная конференция Математическое моделирование и вычислительная физика, Дубна, 7-11 июля 2009 года.

3. Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» посвященная памяти академика А.А.Самарского, Москва, 16-18 июня 2009 года.

4. XVI Междуна,родная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009», МГУ, Москва, 13-18 апреля 2009 года.

5. Ежегодная Научная Сессия НИЯУ МИФИ, Москва, январь 2006, 2007, 2008 и 2009 годов.

Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе нелинейные эволюционные уравнения могут быть использованы для изучения динамики волновых процессов в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа. Модификация метода простейших уравнений, предложенная в диссертационной работе, может быть применена для построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений широкого класса.

На защиту выносятся:

• Нелинейные эволюционные уравнения для описания волн давления в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и теплообмена;

• Нелинейные эволюционные уравнения для описания волн давления в вязко-эластичных трубках;

• Доказательство неинтегрируемости нелинейных эволюционных уравнений, описывающих волновые процессы в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа;

• Точные решения семейств нелинейных эволюционных уравнений для описания волн давления в вязко-эластичной трубках и в жидкости содержащей пузырьки газа;

• Доказательство применимости обобщенного преобразования Коула-Хопфа для уравнения иерархии Бюргерса;

• Результаты численного моделирования нелинейных волновых процессов в жидкости, содержащей пузырьки газа.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, приложения и списка литературы. Диссертация содержит 136 машинописных страницы и 30 рисунков. В список литературы включено 150 наименований.

Краткое содержание работы.

Во введении обсуждается актуальность темы исследования, приводится общая характеристика диссертационной работы, а также ее структура, дается краткий обзор литературы по тематике работы.

В первом разделе представлено обсуждение математических моделей нелинейных волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния. Приведены примеры таких сред. Представлен

исторический обзор асимптотических методов исследования нелинейных математических моделей. В общем виде рассмотрена математическая модель нелинейных волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния, которая может быть представлена в виде

Первое уравнение выражает закон сохранения массы, где р — обобщенная массовая плотность среды, и — ее скорость. Второе уравнение представляет закон сохранения импульса. Третье уравнение является неголономным уравнением состояния среды, определяющим обобщенное давление, как функцию переменных состояния р, и и их производных. Для анализа систем вида (1) — (3) используется метод многих масштабов.

В разделе представлен исторический обзор развития метода многих масштабов. Показано, что в линейном приближении система (1) — (3) переходит в волновое уравнение. Рассмотрена техника вывода нелинейных эволюционных уравнений из системы уравнений (1) — (3).

В соответствии с методом многих масштабов в (1) — (3) осуществляется переход к сопутствующей системе координат, движущейся со скоростью ао вправо, при этом вводятся медленно меняющиеся время и координата

Здесь е — безразмерная величина, малая по сравнению с единицей. Параметр а определяется из условия равновесия между нелинейными эффектами с одной стороны и диссипативными, дисперсионными или другими эффектами с другой. При анализе конкретной математической модели малый параметр е выбирается

(Н + (ри)х = 0, {ри)( + (ри2)х + Рх = О, Р - F(p, и, ри щ, рх, их, ра, иы, р1х, щх,...) р — р{х, £), и — и(я, Р = Р{х,1)

(1) (2) (3)

£ = еа(х - ооО, т = еа+Ч

(4)

исходя из физических соображений.

Далее предполагается, что переменные р, и и Р могут быть разложены в степенной ряд по е в окрестности равновесного состояния

(ро,Ро)

и=еи^+е У2> + ..., (5)

р = р(0) + £р(1)+£2р(2) + _

Используя преобразования (4) и разложения (5) из системы уравнений (1) — (3) можно получить нелинейные эволюционные уравнения для одной из зависимых переменных. Порядок старшей производной этого уравнения и его структура определяется структурой уравнения (3) и параметром а. Разным значениям параметра а отвечают различные пространственно-временные масштабы волновых процессов и, соответственно, различные нелинейные эволюционные уравнения.

Отметим, что рассмотрение волны, бегущей влево, привело бы к эволюционному уравнению, совпадающему с точностью до знаков с эволюционным уравнением, полученным для случая волны бегущей вправо. Таким образом, в первом порядке теории возмущений применение метода многих масштабов к системе (1) — (3) приводит к двум эволюционных уравнениям, которые описывают нелинейные невзаимодействующие волны, распространяющиеся в противоположном направлении.

Второй раздел посвящен выводу нелинейных эволюционных уравнений для описания волн давления в жидкости с пузырьками газа. Проведено обсуждение различных моделей динамики одиночного пузырька в жидкости. Приведен исторический обзор исследования волновых процессов в газожидкостных смесях. Предложена замкнутая система уравнения для описания нелинейных волновых процессов в жидкости с пузырьками газа, учитывающая вязкость жидкости и процесс межфазного теплообмена.

Для линеаризованной системы уравнений найдена скорость

распространения звуковых волн в газожидкостной смеси. В соответствии с характерными масштабами волновых процессов выбраны безразмерные переменные. Исходная система уравнений в безразмерном виде проанализирована с помощью метода многих масштабов. Получены новые нелинейные эволюционные уравнения второго, третьего и четвертого порядка, описывающие волны давления в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и теплообмена на различных пространственно-временных масштабах:

уг + а V = % + VI (т^)^ , (6)

ьТ + ауу£ + А - Д> - Рз ЧЧ^ = Иг Щ + "г (щ)(, (7)

г1т + ам(+04-/?5(г/- Д;г^« ~ Аз^« + ^ ^), +

(8)

+71 - 72 (V - 73

Здесь V — безразмерное возмущение давления, а, ¿¿¡, ц, "/¡, г = 1,2,3, /3;, ^ = 1,... ,6 — безразмерные параметры, характеризующие нелинейный перенос, линейную и нелинейную диссипацию, линейную и нелинейную дисперсию.

Проведено обсуждение физического смысла безразмерных параметров, входящих в нелинейные эволюционные уравнения, и влияния межфазного теплообмена на волновые процессы. Уравнения (6) — (8) являются новыми и обобщают ранее известные уравнения Бюргерса, Кортевега—де Вриза, Бюргерса—Кортевега-де Вриза и уравнение Курамото—-Сивашинского, использовавшиеся для описания волн в газожидкостных смесях. Полученные уравнения позволяют учесть и проанализировать влияние теплообмена между жидкостью и газом в пузырьке на эволюцию волн давления. На основе семейства уравнений (6) — (8) проводится классификация влияния физических свойств системы жидкость — пузырьки газа на эволюцию волн давления при различных пространственно-временных масштабах.

В третьем разделе рассмотрена математическая модель распространения нелинейных волн в вязко-эластичной трубке.

Проведено обсуждение различных уравнений движения стенки вязко-эластичной трубки. Для описания течения жидкости в вязко-эластичной трубке использованы квазиодномерные гидродинамические уравнения сохранения массы и импульса, усредненные по поперечному сечению трубки. Представлена математическая модель нелинейных волновых процессов в трубке, учитывающая ее нелинейную упругость и вязко-эластичность.

ит + аи2щ — ц (9)

ит + аи2щ + Р — (г (10)

ит + о:и2щ + /3 + 7 = ц и^ (11)

Здесь и — безразмерное возмущение радиуса трубки, а, /3, ¡м, 7 — безразмерные параметры, характеризующие нелинейный перенос, дисперсию и диссипацию.

Проведено обсуждение зависимости параметров, входящих в семейство нелинейных эволюционных уравнений, от механических свойств стенки трубки. Классифицировано влияние механических свойств стенки трубки на эволюцию пульсовых волн при различных пространственно-временных масштабах.

Четвертый раздел содержит обзор методов исследования нелинейных эволюционных и дифференциальных уравнений. Проведено обсуждение методов локального анализа нелинейных эволюционных и дифференциальных уравнений. Представлен алгоритм анализа обыкновенных дифференциальных уравнений

на свойство Пенлеве. Дано определение слабого свойства Пенлеве. Рассмотрены методы локального анализа нелинейных уравнений в частных производных Проведено обсуждение возможности применения теста на слабое свойство Пенлеве в качестве критерия интегрируемости для обыкновенных'дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.

Изучены аналитические свойства нелинейных эволюционных уравнений второго, третьего и четвертого порядка для описания волн давления в жидкости с пузырьками газа и в вязко-эластичных трубках. В разделе доказаны следующие теоремы относительно свойств уравнений (6) - (11)

Теорема 1. Задача Коши для уравнений (6) и (9) не решается с помощью метода обратной задачи рассеяния.

Теорема 2. Уравнения полученные из (7), (8) и (11) в результате редукции к переменным бегущей волны не интегрируемы по Пенлеве.

Следствие. Задача Коши для уравнений (7), (8) и (11) не может быть решена с помощью метода обратной задачи рассеяния.

Таким образом, показано что уравнения (6) - (11) не относятся к классу точно решаемых уравнений.

Пятый раздел посвящен построению точных решений нелинейных эволюционных уравнений, описывающих волновые процессы в средах с неголономным уравнением состояния. Рассмотрены методы построения точных решений неинтегрируемых уравнений. Для построения точных решений предложено использовать метод простейших уравнений и метод многоугольников Ньютона как наиболее эффективные. Предложена модификация метода простейших уравнений для построения точных решений уравнений с общим решением, не имеющим полюсов.

С помощью метода многоугольников Ньютона построены точные решения обобщенных нелинейных эволюционных уравнений выраженные через тригонометрические, гиперболические и эллиптические функции.

Получены точные решения эволюционных уравнений,

описывающие нелинейные волновые процессы в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа. Проанализирован физический смысл и зависимость от параметров точных решений, описывающих волновые процессы в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа.

В частности для нелинейных эволюционных уравнений второго порядка (6) и (9) получены точные решения в виде волн перехода. Решение уравнения (6) представляется формулой

«(£.т) =

-1

- 1

(12)

0 = -е-с„

ща'

Здесь Со — произвольная постоянная, Со ф — 1. Зависимость решения (12) уравнения (6) от £ и параметра ^ при Со = 2,Сг = 1, г = О приведена на Рис.1. Из Рис.1 видно, что с ростом V амплитуда волны убывает, и се профиль становится менее резким, что соответствует дополнительной диссипации, связанной с межфазным теплообменом. Подобные профили давления наблюдались экспериментально.

Рис. 1. Решение (12) уравнения (6) в виде волн перехода при щ 0,2, 0,22, 0,24 (кривые 1, 2, 3).

Показано, что уравнение (7) без диссипативных слагаемых (т.е. при

правой части равной нулю) имеет решения в виде "остроконечных солитонов"

= ~ ехр(Н^ - А Ь3т + В|),

Р2

(13)

Здесь А, В — произвольные постоянные. График решения (13) изображен на Рис. 2. Также для уравнения (7) без диесипативных слагаемых были получены периодические решения и решения в виде уединенных волн.

Рис.2. Решение уравнения (7) в виде "остроконечных солитонов".

С помощью модификации метода простейших уравнений, предложенной в диссертационной работе, найдено семейство точных решений уравнения (7), описывающее осциллирующие, быстро затухающие волны давления

(с \ а

а0 +

ах(до-1)^ 2 С

4С

F = (С3 8т {к г} + С2 сое {к г}) -

»1

_ У-1 - _аДг с ыРуУг

(14)

Здесь С^, С3 — произвольные постоянные. При этом на параметры

/5з и /¿2 накладываются следующие ограничения

А = -ft, М2 = —

Рис. 3. Осциллирующие, быстро затухающие решения уравнения (7)

Зависимость решения (14) от г при ( = Ю и различных значениях параметров «о, ai,Сг, C'a иллюстрируется на Рис.3. В разделе 5 для уравнения (7) также были получены два семейства точных решений в виде волн перехода.

Для уравнения (10) в разделе представлены периодические точные решения и решения в виде волн перехода.

волны.

Для уравнения четвертого порядка (11), описывающего волновые процессы в вязко-эластичных трубках, с помощью метода

многоугольников Ньютона получены четыре семейства точных решений в виде уединенных волн и волн перехода.

Используя модификацию метода простейших уравнений, предложенную в диссертационной работе, построены периодические решения типа бегущей волны уравнения четвертого порядка (8), описывающего волновые процессы в жидкости с пузырьками газа. Зависимость периодического решения уравнения (8) от переменной бегущей волны г = £ — Со т изображена на Рис. 4. В разделе 5 также были получены точные решения уравнения (8) выраженные через эллиптические функции.

Рассмотрены точные решения для иерархии уравнения Бюргерса

д ( 0 \п

Щ + адх\дх + и) и = п = 0'1'2'---' (16)

Доказана следующая теорема

Теорема Пусть F(a;, £) решение уравнения (16). Тогда

и = у + Р (17)

является решением иерархии Бюргерса (16).

Рис. 5. Пространственно-временная эволюция решения уравнения Шарма-Тассо-Олвера.

Формула (17) позволяет находить новые решения для иерархии уравнения Бюргерса при одном известном решении уравнения (16).

Таким способом получены некоторые классы точных решений для уравнения иерархии Бюргерса, выраженные через рациональные, экспоненциальные и тригонометрические функции и их суммы. На Рис. 5 представлен график периодического решения второго члена иерархии Бюргерса (уравнение Шарма-Тассо-Олвера).

В приложение вынесены результаты численного моделирования нелинейных волновых процессов в жидкости с пузырьками газа. Краевая задача для уравнения (6) решалась с помощью неявной двухслойной конечно-разностной схемы. Проведено тестирование предложенной разностной схемы на точном решении. При шаге по координате /1 = 0.02 и шаге по времени г = к2 она дает относительную погрешность менее одного процента.

Рис. 6. Пространственно-временная эволюция уединенной волны давления, уравнением Бюргерса (слева) и уравнением (6) (справа).

Особенности динамики волновых процессов, описываемых уравнением (6), можно оценить сравнивая распространение уединенной волны давления, описываемой уравнением (6) и уравнением Бюргерса = 0 в (6)).

Отметим, что первое слагаемое в правой части (6) определяет линейную диссипацию, связанную с вязкостью жидкости. Второе слагаемое отвечает за нелинейный механизм диссипации волн давления, связанный с теплообменом между газом в пузырьке и жидкостью.

Процесс образования слабой ударной волны, описываемой

Рис. 7. Пространственно-временная эволюция уединенной волны давления, уравнением Бюргерса (слева) и уравнением (6) (справа).

уравнением (6) и уравнением Бюргерса, из начального уединенного импульса представлен на Рис.6 и Рис.7. Из Рис. 6 и Рис. 7 видно, что фронт волны, описываемой уравнением (6), более гладкий, чем фронт волны, описываемый уравнением Бюргерса. Таким образом, процесс теплообмена между газом в пузырьках и жидкостью приводит к сглаживанию фронта ударной волны.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие результаты:

• Предложена математическая модель для описания нелинейных волновых процессов в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и теплообмена между жидкостью и газом в пузырьках;

• Найдено семейство новых нелинейных эволюционных уравнений, описывающих волновые процессы в жидкости с пузырьками газа на различных пространственно-временных масштабах и при различных порядках малости параметров математической модели;

• Получено семейство эволюционных уравнений, описывающих нелинейные волновые процессы в вязко-эластичных трубках

с учетом малости параметров математической модели и при различных пространственно-временных масштабах;

Доказано, что задача Коши для нелинейных эволюционных уравнений второго, третьего и четвертого порядка, описывающих волны давления в жидкости с пузырьками газа и в вязко-эластичных трубках, не может быть решена с помощью метода обратной задачи рассеяния;

Построены точные решения нелинейных эволюционных уравнений второго, третьего и четвертого порядка, описывающих волны давления в жидкости с пузырьками газа и в вязко-эластичных трубках;

Проанализировано влияние процесса теплообмена между жидкостью и газом в пузырьке на эволюцию волн давления в жидкости с пузырьками газа;

Получены точные решения обобщенных нелинейных эволюционных уравнений, встречающихся при описании волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния;

Показано, что для построения точных решений иерархии уравнения Бюргерса может использоваться обобщение преобразования Коула-Хонфа.

Основные результаты диссертации представлены в работах:

1. Kudiyashov N.A., Sinelshchikov D.I. Nonlinear waves in bubbly liquids with consideration for viscosity and heat transfer // Physics Letters A. 2010. V. 374. P. 2011-2016.

2. Кудряшов H.A., Синелыциков Д.И. Нелинейные волны в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и теплообмена // Изв. РАН Механика жидкости и газа. 2010. №1. С. 108-127.

3. Kudryashov N.A., Sinelshchikov D.I. Exact solutions of equations for the Burgers hierarchy // Applied Mathematics and Computation. 2009. V. 215 P. 1293-1300.

4. Демина M.B., Кудряшов H.A., Синелыциков Д.И. Метод многоугольников для построения точных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений для описания волн на воде // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2008. Т. 48. №12. С. 2151-2162.

5. Кудряшов Н.А., Синелыциков Д.И., Чернявский И.Л. Нелинейные эволюционные уравнения для описания возмущений в вязко-зластичной трубке // Нелинейная динамика. 2008. Т.4. №1. С. 69-86.

6. Kudryashov N.A., Sinelshchikov D.I. Nonlinear Waves in a Liquid with Gas Bubbles // Book of Abstracts of the International Conference Mathematical Modeling and Computational Physics, Dubna, July 7-11. 2009. P. 68-69.

7. Kudryashov N.A., Sinelshchikov D.I. Nonlinear Wave Proceses in a Viscoelastic Tube // Book of Abstracts of the International Conference Mathematical Modeling and Computational Physics, Dubna, July 7-11. 2009. P. 69-70.

8. Синелыциков Д.И. Нелинейные эволюционные уравнения для описания волновых процессов в жидкости с пузырьками газа и

их точные решения // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: Международная конференция, Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 16-18 июня 2009 г.: Тезисы докладов. — М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2009. С. 260-261.

9. Синельщиков Д.И. Нелинейные эволюционные уравнения для описания волн в жидкости с пузырьками газа // Материалы докладов XVI Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"/ Отв. ред. И.А. Алешковский, П.Н. Костылев, А.И. Андреев. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2009. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM), ISBN 978-5-317-02774-2

10. Синельщиков Д.И., Кудряшов H.A., Демина М.В. Точные решения некоторых нелинейных эволюционных уравнений, встречающихся при описании волн на воде // Науч. сессия МИФИ-2008: Сб. науч. тр. В 15 т. М.: МИФИ, 2008. Т. 9. С. 69-70

11. Кудряшов H.A., Синельщиков Д.И., Чернявский И.Л. Эволюционные уравнения для описания волн давления при пульсирующем течении вязкой жидкости в вязкоэлаетичной трубке // Науч. сессия МИФИ-2007: Сб. науч. тр. В 17 т. М.: МИФИ, 2007. Т. 7. С. 117-118

12. Синельщиков Д.И., Чернявский И.Л. Нелинейные эволюционные уравнения для описания возмущений при течении жидкости в вязко-эластичной трубке с учетом сил сопротивления // Науч. сессия МИФИ-2006: Сб. науч. тр. В 16 т. М.: МИФИ, 2006. Т. 7. С. 126-127

Подписано в печать: 17.05.2010

Заказ № 3742 Тираж -100 экз. Печать трафаретная. Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавское ш., 36 (499) 788-78-56 www.autoreferat.ra

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Синельщиков, Дмитрий Игоревич

Введение

1 Методы возмущений для анализа нелинейных математических моделей

1.1 Методы возмущений для исследования нелинейных математических моделей.

1.2 Математические модели нелинейных волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния.

1.3 Метод многих масштабов.

1.4 Выводы по первому разделу.

2 Нелинейные эволюционные уравнения для описания волн в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и теплообмена

2.1 Обзор исследований нелинейных волновых процессов в жидкости с пузырьками газа.

2.2 Система уравнений для описания распространения возмущений в газожидкостной среде.

2.3 Основное нелинейное эволюционное уравнение.

2.4 Диссипативное уравнение второго порядка.

2.5 Диссипативно-дисперсионное уравнение третьего порядка для описания волновых процессов в жидкости, содержащей пузырьки газа.

2.6 Уравнение четвертого порядка для описания волновых процессов в жидкости, содержащей пузырьки газа.

2.7 Выводы по второму разделу.

3 Нелинейные эволюционные уравнения для описания волн в вязкоэластичных трубках

3.1 Система уравнений для описания волн в вязко-эластичных трубках

3.2 Уравнение, связывающее давление в жидкости с радиусом трубки

3.3 Нелинейные эволюционные уравнения с учетом квадратичной поправки к закону Гука.

3.4 Нелинейные эволюционные уравнения с учетом кубической поправки к закону Гука

3.5 Выводы по третьему разделу.

4 Аналитические свойства нелинейных эволюционных уравнений для описания волновых процессов в средах с неголопомным уравнением состояния

4.1 Методы локального анализа решений нелинейных дифференциальных уравнений.

4.2 Аналитические свойства нелинейных эволюционных уравнений второго порядка для описания волновых процессов в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа.

4.3 Неинтегрируемость нелинейных эволюционных уравнений третьего порядка для описания волновых процессов в жидкости с пузырьками газа и в вязко-эластичных трубках.

4.4 Аналитические свойства нелинейных эволюционных уравнений четвертого порядка для описания волновых процессов в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа.

4.5 Выводы по четвертому разделу.

5 Точные решения нелинейных эволюционных уравнений, встречающихся при описании волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния

5.1 Метод простейших уравнений для построения точных решений нелинейных нсинтегрируемых дифференциальных уравнений.

5.2 Метод многоугольников дифференциальных уравнений.

5.3 Построение точных решений нелинейных эволюционных уравнений второго порядка.

5.4 Точные решения для иерархии уравнения Бюргерса.

5.5 Построение точных решений уравнений третьего порядка.

5.6 Точные решения нелинейных эволюционных уравнений четвертого порядка.

5.7 Выводы по пятому разделу.

Введение диссертация по математике, на тему "Нелинейные эволюционные уравнения для описания волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния и их свойства"

Объектом исследования диссертационной работы являются нелинейные эволюционные уравнения, встречающиеся при описании волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния и их свойства.

Математические модели, состоящие из обобщенных законов сохранения массы и импульса и неголономного уравнения состояния, используются при описании многих явлений в физике, химии, биологии и в ряде других наук. Такие модели возникают при исследовании волновых процессов в газовой динамике и нелинейной акустике, при описании волн на мелкой воде, гидромагнитиых волн в холодной плазме, ионно-акустических волн в холодной плазме, электромагнитных волн в ферромагнетиках и в ряде других приложений [1-12].

Под неголономным уравнением состояния в диссертационной работе понимается уравнение, связывающее обобщенное, давление с переменными, характеризующими состояние среды, и содержащие нелинейные слагаемые и производные высоких порядков. Анализ математических моделей с неголономным уравнением состояния сопряжен с рядом трудностей. Такие системы сложны для численного моделирования из-за наличия большого количества параметров, которые определяют физические свойства исследуемой среды. Кроме того присутствие в уравнении состояния нелинейных слагаемых и слагаемых с производными высоких порядков также затрудняет численно моделирование. Обычно при численном анализе подобных математических моделей пренебрегают старшими производными, которые связаны с такими важными эффектами, как диссипация и дисперсия. Построение аналитических решений для математических моделей с неголономным уравнением состояния представляется затруднительным.

В связи с этим для анализа математических моделей с неголономным уравнением состояния используются асимптотические методы. Они позволяют эффективно выделить характерные времена и длины волновых процессов и получить соответствующие модельные нелинейные эволюционные уравнения. Одним из этих методов является метод многих масштабов. Использование метода многих масштабов совместно с методом возмущений позволяет учесть нелинейность исследуемой математической модели и эффекты, связанные с производными высоких порядков. При этом в нулевом порядке теории возмущений, как правило, получается известное линейное приближение данной математической модели, из которого можно найти характерную скорость распространения возмущений в исследуемой среде. Эффективность данного подхода продемонстрирована при исследовании нелинейных волновых процессов в физике плазмы, в нелинейной оптике, в ферромагнетиках, для анализа волн на воде и во многих других приложениях [13-17].

Таким образом, нелинейные эволюционные уравнения играют важную роль в исследовании волновых процессов, и позволяют аналитически описать эти процессы. В связи с этим важными задачами являются анализ свойств и построение точных решений нелинейных эволюционных уравнений.

Согласно классификации [1] все нелинейные уравнения в частных производных можно разделить на три типа: 1) интегрируемые уравнения; 2)уравнения, не имеющие точных решений; 3) уравнения, имеющие некоторый набор частных решений.

Под интегрируемыми уравнениями будем понимать уравнения, задача Коши для которых может быть решена с помощью метода обратной задачи рассеяния [18-20] или уравнения линеаризуемые с помощью некоторого преобразования. Для построения специальных точных решений интегрируемых уравнений разработан ряд методов. Среди наиболее эффективных из них стоит отметить прямой метод Хироты [21], метод усеченных разложений [22,23], преобразования Бэклунда [1]. К интегрируемым уравнениям относятся уравнение Кортевега-де Вриза, нелинейное уравнение Шредингера, уравнение sin-Гордона, уравнение Камасса-Хольма и другие. Примерами линеаризуемых уравнений являются уравнения Бюргерса и Кардара-Паризи-Цванга.

Ко второму типу относятся уравнения, не имеющие точных решений. Существует много примеров подобных уравнений. Одно из них — уравнение Кортевега—де Вриза с источником.

Третий тип уравнений — все неинтегрируемые уравнения в частных производных, в смысле указанном выше, для которых существует некоторый набор частных решений. Для построения точных решений уравнений третьего типа используются метод сингулярных многообразий, метод простейших уравнений, метод гиперболического тангенса, метод эллиптический функций Якоби, метод эллиптической функции Вейерштрасса, методы основанные на использовании симметрий и другие [22, 24-31]. В работах [32-34] отмечалось, что наиболее предпочтительными методами являются метод сингулярных многообразий и метод простейших уравнений.

Понятие интегрируемости уравнения в частных производных тесно связано с понятием интегрируемости по Пеплеве обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе Абловица, Рамани и Сигура [35] сформулирована следующая гипотеза: любая редукция интегрируемого уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению приводит к уравнению имеющему свойство Пенлеве, возможно, после преобразования переменных. Таким образом, наличие критических подвижных особых точек у какой-либо редукции уравнения в частных производных указывает на то, что это уравнения неинтегрируемо.

Впервые связь между интегрируемостью и локальной структурой решений дифференциального уравнения была открыта в работах С.В. Ковалевской, посвященных исследованию системы дифференциальных уравнений, описывающих движение твердого тела около неподвижной оси [36, 37]. При исследовании этой системы уравнений, Ковалевская искала решения, предполагая что они могут быть представлены в виде ряда Лорана. Это позволило найти все значения параметров, при которых решения исходной системы дифференциальных уравнений являются мераморфными функциями. Эта идея была развита в работах П. Пенлеве [38,39]. Пенлеве и его ученики выделили 50 канонических дифференциальных уравнений второго порядка, общее решение которых не содержит критических подвижных особых точек. Среди них оказалось 6 уравнений, которые определяют новые специальные функции, называемые трансцендентами Пенлеве. Решение остальных канонических уравнений выражаются через элементарные и эллиптические функции. В настоящие время уравнения, которые определяют трансценденты Пенлеве, называются уравнениями Пенлеве. Работы Пенлеве и его учеников показали, что отсутствие критических подвижных особых точек у решения нелинейного дифференциального уравнения является признаком существования решений. В настоящие время принято говорить, что уравнение обладает свойством Пенлеве, если его решение не содержит критических подвижных особых точек. По существу, свойство Пенлеве является необходимым условием интегрируемости дифференциального уравнения. Для исследования обыкновенного дифференциального уравнения на свойство Пенлеве используются метод Пенлеве-Ковалевской, альфа метод Пенлеве, алгоритм Конта-Форди-Пиккеринга.

Для анализа уравнений в частных производных на интегрируемость, используется метод Вайса—Табора-Карнсвейля, который, по существу, обобщает метод П е н л е в е-К о в ал с. веко й для обыкновенных дифференциальных уравнений и является необходимым условием интегрируемости.

Актуальность работы. В диссертационной работе изучаются нелинейные эволюционные уравнения для описания волновых процесов в средах с неголономным уравнением состояния. В частности, получены и исследованы новые нелинейные эволюционные уравнения, описывающие волновые процессы в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и теплообмена.

Изучение нелинейных волновых процессов в вязко-эластичных трубках представляет интерес, поскольку такие трубки отражают некоторые особенности сосудов кровеносной системы, и понимание волновых процессов в них может способствовать прогнозированию развития некоторых заболеваний [40-43].

Известно, что одним из важнейших факторов, определяющих гемодинамические показатели кровотока, являются структурные особенности сосудов: их размер и механические свойства стенки [40, 44, 45]. Структурные изменения в стенке сосудов могут приводить к развитию заболеваний сердечно сосудистой системы. Примером такого заболевания является артериосклероз, при котором нарушается демпфирующая функция сосудов и импульсы давления плохо сглаживаются, что приводит к повышению кровяного давления (гипертонии) и дополнительным разрушениям сосудов.

Важным фактором для сглаживания высокочастотных колебаний в потоке крови является вязко-эластичность стенки. Также, представляет интерес принять во внимание нелинейную упругость стенки артерии. Необходимость учета этих свойств стенки отмечалась в работах [40, 45-48]. Таким образом, в уравнении, связывающем давление с радиусом трубки, возникают слагаемые с производными высокого порядка и нелинейные слагаемые, т.е. уравнение движения является него л ономным.

Основой математических моделей нелинейных волновых процессов в вязко-эластичных трубках являются классические уравнения гидродинамики, сопряженные с уравнением движения стенки трубки [49]. При этом уравнение движения стенки трубки играет роль неголономного уравнения состояния такой среды. Численное исследование процессов распространения нелинейных волн в вязко-эластичных трубках проводится с помощью метода конечных элементов [50]. При этом слагаемые, связанные с нелинейной упругостью и вязкоэластичностью, не учитываются из-за сложностей возникающих при численном моделировании. Поэтому, представляет интерес провести асимптотический анализ в длинноволновом приближении математической модели нелинейных волновых процессов в вязко-эластичных трубках учитывающей нелинейную упругость и вязкоэластичность и получить набор редуцированных нелинейных эволюционных уравнений.

Пузырьки газа являются наиболее акустически активными естественно существующими образованиями в жидкости. В следствие этого изучение свойств газожидкостных смесей является важной задачей и представляет интерес для многих промышленных и научных приложений. Математические модели жидкости с пузырьками газа используются при исследовании многих явлении в физике, химии, биологии, медицине, инженерных приложениях и в ряде других разделов науки.

В настоящее время уникальные свойства газожидкостных смесей широко используются в медицине. Например, ультразвуковые исследования являются одним из наиболее распространенных видов диагностики в медицине. В частности, такие исследования широко используются при диагностике сердечно-сосудистой системы. Для улучшения качества проводимого ультразвукового исследования в кровь вводятся микропузырьки газа, называемые контрастными агентами. Присутствие в крови контрастных агентов вследствие дисперсионных свойств газожидкостных смесей усиливает акустический контраст между кровью и окружающими тканями, что позволяет существенно улучшить качество ультразвуковой визуализации [51—57]. Свойства пузырьковых жидкостей также используются для диагностики кессонной болезни при декомпрессии [58].

Учет нелинейных явлений в жидкости с пузырьками газа открывает новые возможности при акустических измерениях. В частности, свойства жидкости с пузырьками газа могут быть использованы при обнаружении кильватерного следа прошедшего в океане судна или подводных лодок, находящихся под ледниковым покровом [54, 59]. В рамках акустической океанографии [60-62], являющейся относительно молодой дисциплиной, крайне важен тот факт, что при прохождении звука через жидкость в присутствии пузырьков газа их акустическое влияние нельзя игнорировать. Более того, влияние пузырьков газа в большинстве случаев является определяющим.

В промышленности существует много примеров, где необходимы надежное детектирование пузырьков и управление ими а также системы мониторинга [63, 64]. Модели пузырьковой жидкости используются при описании процессов в пузырьковых колоннах и центрифугах в нефтехимической промышленности, в кавитационных задачах, при изучении процессов в химических реакторах, при описании охлаждающих устройств в ядерных реакторах [65-69]. Также изучение волновых процессов в жидкости с пузырьками газа стимулировали экспериментальные работы, связанные с проведением подводных взрывов [70].

Задача о распространении волн в пузырьковой жидкости является достаточно сложной и может быть рассмотрена с различных точек зрения. Один из подходов к изучению волновых процессов в жидкости с пузырьками газа основан на рассмотрении процесса распространения волны как множественного рассеяния, когда в некоторой точке газожидкостной смеси сигнал складывается из сигнала падающей волны и сигналов отдельных пузырьков, случайным образом распределенных в жидкости. Подобный подход применялся в работе Карстенсена и Фолди [71], однако он оказался недостаточно эффективным [72].

Альтернативный подход к исследованию нелинейных волновых процессов в жидкости с пузырьками газа заключается во введении давления, скорости и плотности, усредненных относительно некоторого элемента объема смеси с большим количеством пузырьков, причем линейный размер этого элемента объема мал по сравнению с характерными длинами волн. Рассматривая жидкость, содержащую пузырьки газа, как однородную сжимаемую среду с некоторыми средними давлением, скоростью и плотностью, для ее изучения можно использовать результаты теории течения сжимаемой жидкости.

По-видимому, впервые подход к исследованию волновых процессов в пузырьковой жидкости, основанный на введении усредненных характеристик газожидкостной смеси, был применен в работе Кэмпбела и Питчреа [73]. В этой работе изучалось распространение нормальных ударных волн в жидкости с пузырьками газа и получены соотношения Гюгонио. В работе Плессета [74] в рамках этого подход получено выражение для скорости звука в смеси жидкости с пузырьками газа. Дисперсия волн малой амплитуды в жидкости с пузырьками газа исследована в работах [72,75]. В [72] получено дисперсионное соотношения, связывающее частоту и волновое число.

Бенджамин в работе [76] отметил, что дисперсионное соотношение для длинных волн в жидкости с пузырьками газа имеет такой же вид, как и дисперсионное соотношение для длинных гравитационных волн на поверхности воды конечной глубины. Основываясь на этом факте, Бенджамин высказал предположение, что при распространении волн малой амплитуды в жидкости, содержащей пузырьки газа, может использоваться уравнение типа Кортевега-де Вриза. Действительно, в 1968 г. в работе ван-Вингаардена [77] получено уравнение Кортевега-де Вриза для описания волн давления в пузырьковой жидкости.

Позднее в работе В.Е. Накорякова и соавторов [78] в рамках квазигомогенной модели были учтены диссипативные эффекты, связанные с вязкостью жидкости, и для описания нелинейных волн в пузырьковой жидкости получены уравнения Бюргерса и Бюргерса-Кортевега-де Вриза. В [78] аналитически и численно изучены волновые процессы описываемые уравнением Бюргерса-Кортевега-де Вриза, найдены стационарные решения, описывающие структуру фронта ударной волны.

Во многих экспериментальных и теоретических исследованиях [79-82] отмечена важность влияния межфазного теплообмена на эволюцию нелинейных волн в реальных газожидкостных смесях. В работе [83] численно исследован теплообмен между одиночным газовым пузырьком и окружающей его жидкостью. В монографиях [81, 82] отмечено, что в жидкости с пузырьками газа основным механизмом как диссипации, так и усиления нелинейных волн может являться межфазный теплообмен. В работах [84, 85] экспериментально обнаружен эффект усиления ударных волн в пузырьковой жидкости. Однако существующая теория нелинейных волновых процессов в жидкости с пузырьками газа не дает обоснованного объяснения этого эффекта вследствие того что в ней не учитывается межфазный теплообмен. В связи с этим важной задачей является построение математической модели нелинейных волновых процессов в жидкости с пузырьками газа, которая учитывает межфазный теплообмен.

Если рассматривать пузырьковую жидкость как однородную среду, сжимаемую из-за наличия газовой фазы и обладающую массовой плотностью из-за жидкой фазы, то для описания ее течения можно воспользоваться классическими гидродинамическими уравнениями совместно с соотношением, связывающим плотность смеси с плотностями жидкости и газа. Для получения уравнения состояния такой среды можно использовать уравнение Рэлея или его обобщения совместно с уравнением состояния газа в пузырьке и уравнением, выражающим закон сохранения энерегии для газа пузырьке. Полученное таким способом уравнение состояния является неголономным в силу того, что в нем содержатся нелинейные слагаемые и производные высоких порядков. Для анализа системы уравнений, описывающей нелинейные волновые процессы в жидкости с пузырьками, газа целесообразно использовать асимптотические методы, которые позволяют получить набор нелинейных эволюционных уравнений.

Методы исследования. В диссертационной работе использовано сочетание аналитических методов анализа математических моделей и дифференциальных уравнений. При анализе и упрощении полученных систем уравнений применены подходы теории возмущений и метод многих масштабов. Для анализа свойств нелинейных эволюционных уравнений использованы методы аналитической теории нелинейных дифференциальных уравнений. Для поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений применялся метод "простейших" уравнений [28] и метод многоугольников Ньютона.

В диссертационной работе решены следующие задачи:

Научная новизна работы:

• Изучено влияние межфазного теплообмена па эволюцию нелинейных волн в жидкости с пузырьками газа;

• Построены точные решения для описания нелинейных пульсовых волн в вязко-эластичных трубках;

Обоснованность и достоверность результатов работы определяется выбором математических моделей, основанных на законах сохранения массы, импульса и энергии, а также подтверждаются сравнением результатов численных расчетов с тестовыми точными решениями.

1. Семинар кафедры прикладной математики НИЯУ МИФИ «Современные проблемы математики», 2007, 2008 и 2009 годы.

2. Международная конференция Математическое моделирование и вычислительная физика, Дубна, 7-11 июля 2009 года.

4. XVI Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009», МГУ, Москва, 13-18 апреля 2009 года.

5. Ежегодная Научная Сессия НИЯУ МИФИ, Москва, январь 2006, 2007, 2008 и 2009 годов.

На защиту выносятся:

• Нелинейные эволюционные уравнения для описания волн давления в вязко-эластичных трубках;

• Доказательство применимости обобщенного преобразования Коула-Хопфа для уравнения иерархии Бюргерса;

• Результаты численного моделирования нелинейных волновых процессов в жидкости, содержащей пузырьки газа.

В первом разделе представлено обсуждение методов возмущений для анализа нелинейных математических моделей. Приводится краткий исторический обзор асимптотических методов исследования нелинейных математических моделей. В общем виде рассматривается математическая модель нелинейных волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния. Приведены примеры таких сред.

Рассмотрены подходы к изучению математических моделей с неголономным уравнением состояния. Представлен исторический обзор развития метода многих масштабов. Показано, что в линейном приближении математическая модель нелинейных волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния переходит в волновое уравнение. В общем виде рассмотрена техника вывода нелинейных эволюционных уравнений для описания волновых процессов в средах с пеголномным уравнением состояния.

Второй раздел посвящен выводу нелинейных эволюционных уравнений для описания волн давления в жидкости с пузырьками газа. Проведено обсуждение различных моделей динамики одиночного пузырька в жидкости. Приведен исторический обзор исследования волновых процессов в газожидкостных смесях. Предложена математическая модель нелинейных волновых процессов в жидкости с пузырьками газа, учитывающая вязкость жидкости и процесс межфазного теплообмена.

Для линеаризованной системы уравнений найдена скорость распространения звуковых волн в газожидкостной смеси. В соответствии с характерными масштабами волновых процессов выбраны безразмерные переменные. Исходная система уравнений в безразмерном виде проанализирована с помощью метода многих масштабов. Выедены новые нелинейные эволюционные уравнения второго, третьего и четвертого порядка, описывающие волны давления в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и теплообмена на различных пространственно-временных масштабах. Полученные уравнения являются новыми и обобщают ранее известные уравнения Бюргерса, Кортевега—де Бриза, Бюргерса—Кортевега-дс Вриза и уравнение типа Курамото—Сивашинского, использовавшиеся для описания волн в газожидкостных смесях. Эти уравнения позволяют учесть и проанализировать влияние теплообмена между жидкостью и газом в пузырьке на эволюцию волн давления. Проведено обсуждение физического смысла безразмерных параметров, входящих в нелинейные эволюционные уравнения и влияние межфазного теплообмена на волновые процессы. На основе предложенного семейства уравнений проводится классификация влияния физических свойств системы жидкость — пузырьки газа на эволюцию волн давления в различных пространственно-временных масштабах.

В третьем разделе рассмотрена математическая модель распространения нелинейных волн в вязко-эластичной трубке. Проведено обсуждение различных уравнений движения стенки вязко-эластичной трубки. Для описания течения жидкости в вязко-эластичной трубке использованы квазиодномерные гидродинамические уравнения сохранения массы и импульса, усредненные по поперечному сечению трубки. Представлена математическая модель нелинейных волновых процессов в трубке, учитывающая ее нелинейную упругость и вязкоэластичность.

С помощью метода многих масштабов исследована математическая модель нелинейных волновых процессов в вязко-эластичной трубке при учете квадратичной и кубической поправок к закону Гука. Получено два семейства нелинейных эволюционных уравнений, описывающих пульсовые волны. Проведено обсуждение зависимости параметров, входящих в семейство нелинейных эволюционных уравнений, от механических свойств стенки трубки. Классифицировано влияние механических свойств стенки трубки на эволюцию пульсовых волн при различных пространственно-временных масштабах.

Четвертый раздадсодержит обзор методов исследования нелинейных эволюционных и дифференциальных уравнений. Проведено обсуждение методов локального анализа нелинейных эволюционных и дифференциальных уравнений. Представлен алгоритм анализа обыкновенных дифференциальных уравнений на свойство Пенлеве. Дано определение слабого свойства Пенлеве. Рассмотрены методы локального анализа нелинейных уравнений в частных производных Проведено обсуждение возможности применения теста на слабое свойство Пенлеве в качестве критерия интегрируемости для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Изучены аналитические свойства нелинейных эволюционных уравнений второго, третьего и четвертого порядка для описания волн давления в жидкости с пузырьками газа и в вязко-эластичных трубках. Доказаны теоремы о неинтегрируемости нелинейных эволюционных для описания волновых процессов в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа.

Пятый раздел посвящен построению точных решений нелинейных эволюционных уравнений, описывающих волновые процессы в средах с неголономным уравнением состояния. Рассмотрены методы построения точных решений не интегрируемых уравнений. Для построения точных решений предложено использовать метод простейших уравнений и метод многоугольников Ньютона как наиболее эффективные. Предложена модификация метода простейших уравнений для построения точных решений уравнений с общим решением, не имеющим плюсов. Построены точные решения обобщений нелинейных эволюционных уравнений встречающихся при описании нелинейных волновых процессов.

Получены точные решения эволюционных уравнений, описывающие нелинейные волновые процессы в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа. Показано существование нового типа решений ("остроконечные солитоны"), описывающего волны давления в пузырьковой жидкости. Проанализирован физический смысл и зависимость от параметров точных решений, описывающих волновые процессы в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа. Доказана теорема о возможности применения обобщенного преобразования Коула-Хопфа для построения точных решений иерархии уравнения Бюргерса.

В приложение вынесено численное моделирование нелинейных волновых процессов в жидкости с пузырьками газа. Проведено тестирование предложенной разностной схемы на точном решении. Показано, что межфазный теплообмен может приводить к сглаживанию профиля ударных волн, распространяющихся в жидкости с пузырьками газа.

Основные результаты диссертации представлены в работах:

1. N. A. Kudryashov, D. I. Sinelshchikov Nonlinear waves in bubbly liquids with consideration for viscosity and heat transfer // Physics Letters A. 2010. V. 374. P. 2011-2016.

3. N. A. Kudryashov, D. I. Sinelshchikov Exact solutions of equations for the Burgers hierarchy // Applied Mathematics and Computation. 2009. V. 215, I. 3. P. 12931300.

5. Кудряшов Н.А., Синелыциков Д.И., Чернявский И.Л. Нелинейные эволюционные уравнения для описания возмущений в вязко-эластичной трубке. Нелинейная динамика. 2008. Т.4. №1. С. 69-86.

6. Kudryashov N.A., Sinelshchikov D.I. Nonlinear Waves in a Liquid with Gas Bubbles. // Book of Abstracts of the International Conference Mathematical Modeling and Computational Physics, Dubna, July 7-11. 2009. P. 68-69.

7. Kudryashov N.A., Sinelshchikov D.I. Nonlinear Wave Proceses in a Viscoelastic Tube. // Book of Abstracts of the International Conference Mathematical Modeling and Computational Physics, Dubna, July 7-11. 2009. P. 69-70.

8. Синельщиков Д.И. Нелинейные эволюционные уравнения для описания волновых процессов в жидкости с пузырьками газа и их точные решения // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики: Международная конференция, Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 16-18 июня 2009 г.: Тезисы докладов. - М.: Издательский отдел факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова; МАКС Пресс, 2009. С. 260-261.

9. 'Синельщиков Д.И. Нелинейные эволюционные уравнения для описания волн в жидкости с пузырьками газа // Материалы докладов XVI Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"/ Отв. ред. И.А. Алешковский, П.Н. Костылев, А.И. Андреев. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2009. - 1 электрон, опт. диск (CD-ROM), ISBN 978-5-317-02774-2

10. Синельщиков Д.И., Кудряшов Н.А., Демина М.В. Точные решения некоторых нелинейных эволюционных уравнений, встречающихся при описании волн на воде // Науч. сессия МИФИ-2008: Сб. науч. тр. В 15 т. М.: МИФИ, 2008. Т. 9. С. 69-70

11. Кудряшов Н.А., Синельщиков Д.И., Чернявский И.Л. Эволюционные уравнения для описания волн давления при пульсирующем течении вязкой жидкости в вязкоэластичной трубке // Науч. сессия МИФИ-2007: Сб. науч. тр. В 17 т. М.: МИФИ, 2007. Т. 7. С. 117-118

Заключение диссертации по теме "Дифференциальные уравнения"

Основные результаты диссертационной работы следующие

1. Предложена математическая модель для описания нелинейных волновых процессах в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и теплообмена между жидкость и газом в пузырьках;

2. Найдено семейство новых нелинейных эволюционных уравнений, описывающих волновые процессы в жидкости с пузырьками газа на различных пространственно-временных масштабах и при различных порядках малости параметров математической модели;

3. Получено семейство новых эволюционных уравнений, описывающих нелинейные волновые процессы в вязко-эластичпых трубках с учетом малости параметров математической модели и при различных пространственно-временных масштабах;

4. Доказана что задача Коши для нелинейных эволюционных уравнений второго, третьего и четвертого порядка, описывающих волны давления в жидкости с пузырьками газа и в вязко-эластичных трубках не может быть решена с помощью метода обратной задачи рассеяния;

5. Построены новые точные решения нелинейных эволюционных уравнений второго, третьего и четвертого порядка, описывающих волны давления в жидкости с пузырьками газа и в вязко-эластичных трубках;

6. Проанализировано влияние процесса теплообмена между жидкостью и газом в пузырьке на эволюцию волн давления в жидкости с пузырьками газа;

7. Получены новые точные решения обобщенных нелинейных эволюционных уравнений встречающихся при описании волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния;

8. Показано что для построения точных решений иерархии уравнения Бюргерса может использоваться обобщение преобразования Коула-Хопфа.

А. Численное моделирование нелинейных волновых процессов в жидкости с пузырьками газа

Нелинейные волны давления в жидкости с пузырьками газа при определенных пространственно-временных масштабах описываются уравнением (2.33). Используя обозначения (2.40) и £ = х, т = t из (2.33) имеем vt + a v vx = fXiVxx + i/i (v vx)x , (A.l)

Для численного решения краевой задачи второго рода для этого уравнения была использована двуслойная неявная трехточечная конечно-разностная схема. avj! + bvj + cvj+i — щ = щ, vn = vn-i, j = l,.,N где а =

- h2 n Hi, b=--1- 2 Hi, c=-Hi

Fn,(.) = ^ + o/i

- дао 4 ^ / n.lsj n,(s)\2 i — (v 1 - иА) +

A.3)

-Ax-A0 - 4,(s)+-AH, % = A1

2 \-j-t-i ■ -j-i 'v-j+i --j ■ -j-i / ■ > -j — "j

Система алгебраических уравнений (A.2) решалась методом прогонки. По нелинейным слагаемым в правой части (А.2) проводились итерации.

Данная разностная схема тестировалась на точном решении (5.64). При шаге по координате h = 0.02 и шаге по времени г = /г2 она дает относительную погрешность менее одного процента. Зависимость относительной погрешности разностной схемы (А.2) от времени расчета приведена на Рис. А.1. Об особенностях динамики vVvJ О si

25 t 3

Рис. А.2. Зависимость от времени затухания амплитуды уединенной волны давления, описываемой уравнением (А.1) (кривая 1) и уравнением Бюргерса (кривая 2) при j^i = 0.5 слева и ui = 1 справа. волновых процессов, описываемых уравнением (А.1), можно судить сравнивая распространения уединенной волны давления описываемой уравнением (А.1) и уравнением Бюргерса = 0 в (А.1)). В качестве начального профиля был выбран уединенных импульс давления ж,0) = 10 cosh- [3(ж - 2)]

А.4) на участке длины L = 10. Первое слагаемое в правой части (А.1) определяет линейную диссипацию связанную с вязкостью жидкость. Второе слагаемое отвечает за нелинейный механизм диссипации волн давления, связанный с теплообменом между газом в пузырьке и жидкостью. На Рис. А.2 представлено затухание амплитуды волны давления описываемой уравнением (А.1) и уравнением Бюргерса. Из Рис. А.2 видно, что волна давления, подчиняющая уравнению

Рис. А.З. Пространственно-временная эволюция уединенной волны давления, уравнением Бюргерса (слева) и уравнением (А.1) (справа).

А.1) подвергается дополнительному, более резкому затуханию по сравнению с волной описываемой уравнением Бюргерса. При этом с увеличением интенсивности теплообмена (параметр ui увеличивается) затухание становится более резким. Процесс образования слабой ударной волны, описываемой уравнением (А.1) и v(x,t) v(x,t)

Рис. А.4. Пространственно-временная эволюция уединенной волны давления, уравнением Бюргерса (слева) и уравнением (А.1) (справа). уравнением Бюргерса, из начального уединенного импульса (А.4) представлен на Рис.А.З и Рис.А.4 . Из Рис. А.З и Рис. А.4 видно, что фронт волны описываемой уравнением (А.1) более гладкий, чем фронт волны описываемый уравнением Бюргерса. Таким образом, процесс теплообмена между газом в пузырьках и жидкостью приводит к выполаживанию фронта ударной волны.

Заключение

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Синельщиков, Дмитрий Игоревич, Москва

1. Кудряшов Н. А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. — М.-Ижевск: ИКИ, 2004. — 360 с.

2. Korteweg D. J., De Vries G. On the change of form of long wawes advancing in a rectangular canal and on new tupe of long wawes // Phill. Mag. — 1895. — Vol. 39. — P. 422-443.

3. Benjamin Т. В., Bona J. L., Mahony J. J. Model equations for long waves in nonlinear dispersive systems. // Phil. Trans. R. Soc. bond. A. — 1972.— Vol. 272.— P. 47-78.

4. Gardner C. S., Morikawa G. K. Similarity in the asymptotic behaviour of collision free liydromagnetic wave and water waves: Tech. rep.: New York University Report NYU-9082 Courant Institute of Mathematical Sciences, 1960.

5. Washimi H., Taniuti T. Propagation of ion acoustic solitary waves of small amplitude // Phys. Rev. Lett. — 1966. — Vol. 17. — P. 996-998.

6. Colin Т., Galusinski С., Kaper H. G. Long waves in micromagnetism // Commun. PDE. 2002. - Vol. 27. — P. 1625-1658.

7. Leblond H., Manna M. Coalescencc of electromagnetic travelling waves in a saturated ferrite // J. Phys. A: Math. Gen. 1993. - Vol. 26. — P. 6451-6468.

8. Lin M.-M., Duan W.-S. Dust acoustic solitary waves in a dusty plasmas with nonthermal ions // Chaos, Solitons and Fractals. 2007. — Vol. 33. - P. 1189-1196.

9. Engelbrecht J., Pastrone F. Waves in microstructured solids with nonlinearities in microscale 11 Proc Estonian Acad Sci Phys Math. — 2003. — Vol. 52. — P. 12-20.

10. Zabolotskaya E., Khokhlov R. Quasi-planes waves in the nonlinear acoustic of confined beams // Sov. Phys. Acoust. — 1969. — Vol. 15. — P. 35-40.

11. Averkiou M., Hamilton M. Nonlinear distortion of short pulses radi- ated by plane and focused circular pistons // J. Acoust. Soc. Am. — 1997. — Vol. 102. — P. 25392548.

12. Fogaca D. A., Navarra F. S. Soliton propagation in relativistic hydrodynamics // Nuclear Physics A. — 2007. — Vol. 790. — P. 619c-622c.

13. Kraenkel R. A., Manna M. A., Pereira J. G. The Korteweg-de Vries hierarchy and long water-waves // J. Math. Phys.— 1995, —Vol. 36. — P. 307-320.

14. Leblond H. Interaction of two solitary waves in a ferromagnet // J. Phys. A: Math. Gen. 1995. - Vol. 28. — P. 3763-3784.

15. Кудряшов H. А., Чернявский И. JI. Нелинейные волны при течении жидкости в вязкоэластичной трубке // Изв. РАН. МЖГ. — 2006. — j\"° 1. — С. 54-67.

16. Boucher V., Leblond Н., Nguyen P. X. Multiscale theory of nonlinear wave packet propagation in a planar optical waveguide // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. — 2002.— Vol. 4. P. 514-520.

17. Leblond H. The reductive perturbation method and some of its applications // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2008. - Vol. 41. — P. 1-35.

18. Method for solving the Korteweg-de Vries equation / C. S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, R. M. Miura // Phys. Rev. Lett. 1967. - Vol. 19, No. 19. - P. 10951097.

19. Inverse scattering transform fourier analysis for nonlinear problems / M. Ablowitz, D. J. Каир, A. C. Newell, H. Segur // Stud. Appl Math. - 1974. - Vol. 53. - P. 249315.

20. Ablowitz M., Clarkson P. Solitons Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering.— Cambridge university press, 1991.

21. Hirota R. Exact solution of the Korteweg-de Vries for multiple collinsions of solutions // Phys Rev Lett. — 1971. — Vol. 27. — P. 1192 1194.

22. Weiss J., Tabor M., Carnevalle G. The Painleve property for partial differential equations // J Math Phys. — 1983. — Vol. 24. — P. 522-526.

23. Weiss J. The Painleve property for partial differential equations, ii: Backlund transformation, Lax pairs, and the Schwarzian derivative //J Math Phys.— 1983.— Vol. 24. P. 1405-1413.

24. Parkes E., Duffy B. An automated tanh-function method for finding solitary wave solutions to non-linear evolution equations // Comput Phys Commun. — 1996. — Vol. 98. — P. 288-300.

25. Kudryashov N. A. Exact solutions of the generalized Kuramoto-Sivashinsky equation // Phys. Lett. A. — 1990. — Vol. 147, No. 5-6. P. 287-291.

26. Kudryashov N. A. On types of nonlinear nonintegrable equations with exact solutions // Phys Lett A. — 1991. — Vol. 155. — P. 269-275.

27. Kudryashov N. A. Truncated expansions and nonlinear integrable partial differential equations I j Phys Lett A. — 1993. — Vol. 178. — P. 99-104.

28. Kudryashov N. A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations // Chaos, Solitons and Fractals. — 2005. — Vol. 24, No. 5. — P. 1217-1231.

29. Kudryashov N. A., Loguinova N. B. Extended simplest equation method for nonlinear differential equations // Appl. Math, and Comput.— 2008.— Vol. 205.— P. 396-402.

30. Galaktionov V. A., Svirshchevskii S. R. Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics. — Chapman &; Hall/CRC, 2007. P. 498.

31. Galkin V. A., Russkikh V. V. On the background of limit pass for Korteweg-de Vries equation as the dispersion vanishes // Acta Applicandae Mathematicae. — 1995. — Vol. 39. P. 307-314.

32. Kudryashov N. A. Seven common errors in finding exact solutions of nonlinear differential equations // Commun. in Nonlinear Sci. and Numer. Simulat. — 2009. — Vol. 15. P. 3507-3529.

33. Kudryashov N. A., Loguinova N. B. Be careful with the exp-function method // Commun. Nonlinear Sci. and Numer. Simulat. — 2009. — Vol. 14. — P. 1881-1890.

34. Kudryashov N. A. On "new travelave solutions" of the KdV and the KdV Burgers equations // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat.— 2009.— Vol. 14.— P. 1891-1900.

35. Ablowitz M., Rarnani A., Segur H. Nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of Painlev ё type j I Lett. Nuovo Cim.— 1978.— Vol. 23.— P. 333-338.

36. Kowalewski S. Sur le probleme de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe // Acta Math. 1889. - Vol. 12. — P. 177-232.

37. Kowalewski S. Sur une propriete du systeme d'equations differentielles qui definit la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe // Acta Math. — 1889. — Vol. 14. — P. 81-93.

38. Painlev e P. Memoire sur les equations differentielles dont l'integraie generale est uniforme // Bull. Soc. Math. France. — 28. — Vol. 1900. — P. 201-261.

39. Painlev ё P. Sur les equations differentielles du second ordre et d'ordre superieur dont l'integraie generale est uniforme // Acta Math. — 1902. — Vol. 25. — P. 1-85.

40. Fung Y. C. Biomechanics: Mechanical Properties of Living Tissues. — 2nd edition. — New York: Springer-Verlag., 1993. — 592 p.

41. Demiray H. On some nonlinear waves in fluid-filled viscoelastic tubes: weakly dispersive case // Commun. Nonlin. Sci. Num. Simulation. — 2005. — Vol. 10, No. 4.— P. 425-440.

42. Cascaval R. C. Variable coefficient KdV equations and waves in elastic tubes // Evolution Equations / Ed. by G. R. Goldstein, R. Nagel, S. Romanelli.— Marcel Dekker, 2003. — Vol. 234 of Lecture Notes in Pure and Appl. Math. — 440 p.

43. Quarteroni A., Tuveri M., Veneziani A. Computational vascular fluid dynamics: problems, models and methods // Сотр. Visualization in Science. — 2000. — Vol. 2, No. 4,- P. 163-197.

44. Биофизика / В. Ф. Антонов, А. М. Черныш, В. И. Пасечник и др.— М.: Гуманитарный изд. центр ВЛАДОС, 2006. — 283 с.

45. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов.— М.: Мир, 1983.— 400 с.

46. Регирер С. А. Некоторые вопросы гидродинамики кровообращения // Гидродинамика кровообращения / Под ред. С. А. Регирера. — М.: Мир, 1971. — С. 252-258.

47. Miekisz S. Non-linear theory of viscous flow in elastic tubes // Phys. Med. Biology. — 1961. — Vol. 6, No. 1. — P. 103-109.

48. Регирер С. А., Шадрина H. X. Элементарная модель сосуда со стенкой, чувствительной к механическим стимулам // Биофизика. — 2002. — Т. 47, № 5. — С. 908-913.

49. Forrnaggia L., Lamponi D., Quarteroni A. One dimensional models for blood flow in arteries // J. Eng. Math. — 2003. — Vol. 47. — P. 251-276.

50. Canic S., Mikeli A. Effective equations modeling the flow of a viscous incompressible fluid through a long elastic tube arising in the study of blood flow through small arteries // SIAM J. Appl. Dynam. Systems. — 2003. —Vol. 2, No. 3, —P. 431-463.

51. Goldberg В. В., Raichlen J. S., Forsberg F. Ultrasound Contrast Agents: Basic Principles and Clinical Applications. — London. Martin Dunitz., 2001.

52. Becher H., Burns P. Handbook of Contrast Echocardiography: Left Ventricular Function and Myocardial Perfusion. — New York. Springer Verlag., 2000.

53. Szabo T. Diagnostic Ultrasound Imaging: Inside Out. — New York. Academic Press., 2004.

54. Leighton T. Prom seas to surgeries, from babbling brooks to baby scans: the acoustics of gas bubbles in liquids // International Journal of Modern Physics B. — 2004. — Vol. 18. — P. 3267-3314.

55. Dayton P. A., Allen J. S., Ferrara K. W. The magnitude of radiation force on ultrasound contrast agent // J. Acoust. Soc. Am. — 2002. — Vol. 112. — P. 2183-2192.

56. Doinikov A. A., Dayton P. A. Spatio-temporal dynamics of an encapsulated gas bubble in an ultrasound field // J. Acoust. Soc. Am. — 2006. — Vol. 120. — P. 661-669.

57. Doinikov A. A., Haac J. F., Dayton P. A. Modeling of nonlinear viscous stress in encapsulating shells of lipid-coated contrast agent microbubbles // Ultrasonics. — 2009. Vol. 49. — P. 269-275.

58. Маисфелъд А. Д., Рейман A. M. Особенности обнаружения газовых пузырьков в неоднородных нелинейных средах // Сб. науч. тр.: Ультрозвуковая диагностика. Горький: ИПФ РАН., 1983,- С. 151-161.

59. Островский Л. А., Сутин А. М. Нелинейные акустические методы диагностики газовых пузырьков в жидкости // Сб. науч. тр.: Ультрозвуковая диагностика. — Горький: ИПФ РАН., 1983, — С. 139-150.

60. Medwin Н. Acoustical Oceanography: Sound in the Sea. — Cambridge University Press. UK, 2005. P. 664.

61. Medwin H., Clay C. S. Fundamentals of Acoustical Oceanography.— Academic Press. USA, 1998.- P. 712.

62. Leighton T. G. Natural Physical Processes Associated With Sea Surface. — University of Southampton. UK, 1997.

63. Leighton T. G. The Acoustic Bubble. — Academic Press. UK., 1994.

64. Shankar P. M., Chapelon J. Y., Newhouse V. L. Fluid pressure measurement using bubbles insonified by two frequencies // Ultrasonics. — 1986.— Vol. 24.— P. 333336.

65. Plesset M. S., Prosperetti A. Bubble dynamics and cavitation // Ann. Rev. Fluid Mech. — 1977. — Vol. 8. — P. 145-185.

66. Medwin H. Acoustic fluctuations due to microbubbles in the near surface ocean // J. Acoust. Soc. Am. — 1974. — Vol. 59.—P. 1100-1104.

67. Kieffer S. W. Sound speed in liquid-gas mixtures: water-air and water-steam //J. Geophys. Res. 1977. - Vol. 82. - P. 2895-2904.

68. Walchli H., West J. M. Reactor handbook, vol. IV, engineering / Ed. by S. McLain, J. H. Martens. — New York. Interseience, 1964. — P. 548-611.

69. Cole R. Underwater Explosions. — Princeton University Press. Princeton. New Jersey, 1948. P. 437.

70. Carstensen F. L., Foldy L. L. Propagation of sound through a liquid containing bubbles // J. Acoust. Soc. Am. — 1947. — Vol. 19.-P. 481-501.

71. Van Wijngaarden L. Linear and non-linear dispersion of pressure pulses in liquid bubble mixtures // 6th Symposium on. Navd Hydrodynamics Washington D.C.— 1966.

72. Campbell I. J., Pitcher A. S. Shock waves in a liquid containing gas bubbles // Proc. R. Soc. bond. A.— 1958.- Vol. 243,- P. 534-545.

73. Plesset M., Hsieh D.-Y. Theory of gas bubble dynamics in oscillating pressure fields // Phys. Fluids.- I960. —Vol. 3. — P. 882-892.

74. Van Wijngaarden L. On the collective collapse of a large number of cavitation bubbles in water // Proc. 11th International Congress of Applied Mechanics / Ed. by H. Gortler. — Springer Verlag, Ed. Munich, 1964. — P. 854.

75. Benjamin Т. B. Discussion on Van Wijngaarden // 6th Symposium on Naval Hydrodynamics Washington D.C. — 1966.

76. Van Wijngaarden L. On the equations of motion for mixtures of liquid and gas bubbles // J. Fluid Mech. 1968. - Vol. 33. - P. 465-474.

77. Накоряков В. E., Соболев В. В., Шрейбер И. Р. Длинноволновые возмущения в газожидкостной смеси // Изв. АН СССР. МЖГ. — 1972. — No. 5. — Р. 71-76.

78. Beylich А. Е., Giilhan A. On the structure of nonlinear waves in liquids with gas bubbles // Phys. Fluids A. 1990. — Vol. 2. - P. 1412 -1428.

79. Watanabe M., Prosperetti A. Shock waves in dilute bubbly liquids // J. Fluid Mech. 1994. - Vol. 214. — P. 349-381.

80. Накоряков В. E., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. Волновая динамика газо и парожидкостных сред.— М.: Энергоатомиздат, 1990.— С. 248.

81. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Ч. 2.— М.: Наука, 1987.— С. 360.

82. Нигматулин Р. И., Хабеев Н. С. Теплообмен газового пузырька с жидкостью // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. - № 5. - С. 94-100.

83. Гасенко В. Г., Накоряков В. Е., Шрейбер И. Р. Усиление ударной волны в жидкости с пузырьками газа // Докл. Ан. СССР.— 1980. — Т. 253.— С. 1330 -1332.

84. Усиление ударных волн в жидкостях с пузырьками пара и растворяющегося газа / А. А. Борисов, Б. Е. Гельфанд, Р. И. Нигматулин и др. // Докл. An. СССР. 1982. - Т. 263. - С. 594 - 598.

85. Kevorkian J., Cole J. Multiple scale and singular pertrubation methods / Ed. by J. Mardsen, L. Sirovich. — Springer Verlag New-York, 1996. — P. 320.

86. Скотт Э. Нелинейная наука: рождение и развитие когерентных структур. — ФИЗМАТЛИТ, Москва, 2007. С. 560.

87. Андрианов И. В., Варанцев Р. Г., Маневич Л. И. Асимптотическая математика и синергетика. — Едиториал УРСС, 2004. — С. 304.

88. Найфэ А. Введение в методы возмущений. — М.:Мир, 1984.— С. 537.

89. КоулД. Методы возмущений в прикладной математике. — Москва: Мир, 1972. — С. 276.

90. Маслов В. Асимптотические методы и теория возмущений.— М.: Наука, 1988.

91. Найфэ А. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976.— С. 476.

92. Su С. H., Gardner С. S. Korteweg-de vries equation and generalizations: Iii. derivation of the Korteweg- de Vries equation and Burgers equation //J. Math. Phys. — 1969. — Vol. 10. — P. 536-539.

93. Кудряшов H. А., Синелъщиков Д. И., Чернявский И. JI. Нелинейные эволюционные уравнения для описания возмущений в вязко-эластичной трубке // Нелинейная динамика. — 2008. — Т. 4, № 1. — С. 69-86.

94. Washimi Н., Taniuti Т. Propagation of ion acoustic solitary waves of small amplitude // Phys. Rev. Lett. — 1966. — Vol. 17. — P. 996-998.

95. Taniuti Т., Wei C.-C. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation I // J. Phys. Soc. Japan.- 1968,- Vol. 24,- P. 941-946.

96. Taniuti Т., Washimi H. Self-trapping and instability of hydromagnetic waves along the magnetic field in a cold plasma //J. Phys. Rev. Lett.— 1968.— Vol. 21.— P. 209-212.

97. Leblond H. Electromagnetic waves in ferromagnets: a Davey-Stewartson type model // J. Phys. A: Math. Gen. 1999. - Vol. 32,- P. 7907-7932.

98. Кудряшов H. А., Синелъщиков Д. И. Нелинейные волны в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и теплообмена // Изв. РАН. МЖГ. — 2010, — № 1.- С. 108-127.

99. Zakharov V., Kuznetsov Е. Multi-scale expansions in the theory of systems integrable by the inverse scattering transform // Physica D. — 1986. — Vol. 18. — P. 455-463.

100. Mallock A. The damping of sound by frothy liquids // Proc. R. Soc. Lond. A.— 1910. Vol. 84. - P. 391-395.

101. Rayleigh L. On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity // Philos. Mag. 1917. - Vol. 84. — P. 94-98.

102. Herring C. Rep. № 236: Tech. rep.: Office of Scientific Research and Development, 1941.

103. Trilling L. The collapse and rebound of a gas bubble //J. Appl. Phys. — 1952. — Vol. 23. — P. 14-17.

104. Plesset M., Zwick S. The growth of vapor bubbles in superheated liquids // J. Appl. Phys. — 1954. Vol. 25. - P. 493-500.

105. Flynn H. Tech. memo. № 38.: Tech. rep.: Acoustic Research Laboratory. Harvard University. 1957, 1957.

106. Flynn H. Cavitation dynamics. I. A mathematical formulation // J. Acoust. Soc. Am. 1975. - Vol. 57. — P. 1379-1396.

107. Minnaert M. On musical air-bubbles and the sounds of running water // Philos. Mag. — 1933. Vol. 16. - P. 235-248.

108. Devin C. Survey of thermal, radiation and viscous damping of pulsating air bubbles in water // J. Acoust. Soc. Ant. — 1959. —Vol. 31, —P. 1654-1667.

109. Prosperetti A. Thermal effects and damping mechanisms in the forced radial oscillations of gas bubbles in liquids // J. Acoust. Soc. Am. — 1977. — Vol. 61. — P. 17-27.

110. Flynn H. G. Physics of Acoustic Cavitation in Liquids. Physical Acoustics / Ed. by W. P. Mason. — New York.: Academic, 1964.

111. Borotnikova M., Soloukin R. A calculation of the pulsations of gas bubbles in an incompressible liquid subject to a periodically varying pressure // Sov. Phys. Acoust. — 1964. Vol. 10. - P. 28-32.

112. Lauterborn W. Numerical investigation of nonlinear oscillations of gas bubbles in liquids // J. Acoust. Soc. Am. — 1976. Vol. 59.-P. 283-293.

113. Kudryashov N. A., Sinelshchikov D. I. Nonlinear waves in bubbly liquids with consideration for viscosity and heat transfer // Physics Letters A. — 2010. — Vol. 374. — P. 2011-2016.

114. Cole J. D. On a quasi-linear parabolic equation occurring in aerodynamics // Quart. Appl. Math. 1951. — Vol. 9, No. 3. — P. 225-236.

115. Hopf E. The partial differential equation ut + uux — ji uxx // Commun. Pure Appl. Math. — 1950. — Vol. 3, No. 3.- P. 201-230.

116. Накоряков В. E., Донцов В. E. Мультисолитоны в жидкости с пузырьками газа двух разных размеров // Докл. РАН. — 2001. — Т. 378, № 4. — С. 483-486.

117. Осциллирующие уединенные волны в жидкости с пузырьками газа / В. Г. Гасенко, В. Е. Донцов, В. В. Кузнецов, В. Е. Накоряков // Изв. СО АН СССР. 1987. - Т. 6, № 21. - С. 43-45.

118. Накоряков В. Е., Донцов В. Е. Затухание волн давления в жидкости с пузырьками двух сортов газа // Докл. РАН. — 2002. — Т. 382, № 5. — С. 637-640.

119. Донцов В. Е., Накоряков В. Е. Эволюция волн давления в жидкости с пузырьками двух разных газов // ПМТФ. — 2002. — Т. 43, № 2. — С. 110-115.

120. Кудряшов Н. А. Точные солитонные решения обобщенного эволюционного уравнения волновой динамики // Прикл. мат. мех.— 1988.— Т. 52, № 3.— С. 465-470.

121. Canic S., Mikeli A. Effective equations modeling the flow of a viscous incompressible fluid through a long elastic tube arising in the study of blood flow through small arteries // SIAM J. Appl. Dynam. Systems. — 2003. — Vol. 2. — P. 431-463.

122. Ottesen J. Valveless pumping in a fluid-filled closed elastic tube-system: one-dimensional theory with experimental validation //J. Math. Biology. — 2003. — Vol. 46, No. 4. — P. 309-332.

123. Payne S. Analysis of the effects of gravity and wall thickness in a model of blood flow through axisymmetric vessels // J. Medical and Biological Engineering and Computing. 2004. - Vol. 42. — P. 799-806.

124. Demiray II. Nonlinear waves in a viscous fluid contained in a viscoelastic tube // ZAMP. — 2001. — Vol. 52. — P. 899-911.

125. Miekisz S. Non-linear theory of viscous flow in elastic tubes // Phys. Med. Biol.— 1961.-Vol. 6.-P. 103-109.

126. Pontrelli G. A multiscale approach for modelling wave propagation in an arterial segment // Comput. Meth. Biomech. Biomed. Eng. — 2004. — Vol. 7, No. 2, —P. 7989.

127. Kudryashov N. A., Zargaryan E. D. Solitary waves in active-dissipative dispersive media // J. Phys. A: Math. Gen. — 1996. Vol. 29, No. 24,- P. 8067-8077.

128. Абловиц M., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987.— 480 с.

129. Kudryashov N. A., Demina М. V. Polygons of differential equations for finding exact solutions // Chaos, Solitons and Fractals. — 2007. — Vol. 33, No. 5. — P. 1480-1496.

130. Weiss J. Backlund transformation and the Painleve property //J. Math. Phys.— 1984,- Vol. 27.- P. 1293-1305.

131. Ramani A., Grammaticos В., Bountis B. The PAINLEVE property and singularity analysis of integrable and non-integrable systems // Physics Reports. — 1989. — Vol. 180. P. 159-245.

132. Hone A. H. W. Painleve Tests, Singularity Structure and Integrability / Ed. by A. Mikhailov. — Springer, Berlin Heidelberg, 2009. — Vol. 765 of Lecture Notes in Physics. — P. 245-275.

133. Camassa R., Holm D. D. An integrable shallow water equation with peaked soli-tons // Phys. Rev. Lett. — 1993. — Vol. 71. P. 1661-1664.

134. Gilson C., Pickering A. Factorization and Painleve analysis of a class of nonlinear third-order partial differential equations // J. Phys. A: Math. Gen. — 1995.— Vol. 28. — P. 2871-2888.

135. Mikhailov A. V., Novikov V. S. Perturbative symmetry approach // Journal of Physics A: Mathematical and General. — 2002. — Vol. 35, No. 22. — P. 4775-4790.

136. Kudryashov N. A. Meromorphic solutions of nonlinear ordinary differential equations // Commun. in Nonlinear Sci. and Numer. Simulat.— 2010.— Vol. 15.— P. 2778-2790.

137. Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. Наука, ФИЗМАТЛИТ, 1998. - С. 288.

138. Lamb К., Stastna M. Large fully nonlinear internal solitary waves: the effect of background current // Phys. Fluids. — 2002. — Vol. 14.—P. 2897-2999.

139. Kawahara T. Oscillatory solitary waves in dispersive media // J. Phys. Soc. Jpn.— 1972. Vol. 33. - P. 260-264.

140. Karpman V. Stabiliazation of soliton instabilities by higher order dispersion: KdV-type equations // Phys Lett A. — 1996. — Vol. 210. — P. 77-84.

141. Bona J. On solitary waves and their role in the evolution of long waves. Aplication of nonlinear analysis. — Boston, MA: Pitman, 1981.

142. Noordzij L., Van Wijngaarden L. Relaxation effects, caused by relative motion, on shock waves in gas-bubble/liquid mixtures j j J. Fluid Mech.— 1974.— Vol. 66.— P. 115-143.

143. Sharma A., Tasso H. Connection between wave envelope and explicit solution of a nonlinear dispersive equation: Tech. rep.: IPP, 1977.

144. Olver P. Evolution equations possessing infinitely many symmetries // J. Math. Phys. — 18. Vol. 1977. - P. 1212-1215.

145. Kudryashov N. A. Partial differential equations with solutions having movable first-order singularities // Phys. Lett. A. — 1992. — Vol. 169. — P. 237-242.

146. Полянин А., Зайцев В., Журов А. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. — Физматлит. 2005.

147. Kudryashov N. A., Sinelshchikov D. I. Exact solutions of equations for the Burgers hierarchy // Appl. Math, and Comput. 2009. — Vol. 215. — P. 1293-1300.

148. Holm D., Hone A. A class of equations with peakon and pulson solutions (with an Appendix by Harry Braden and John Byatt-Smith) //J. Nonlinear Math. Phys.— 2005. Vol. 12. - P. 380—394.