Нелинейные интегральные операторы и уравнения в пространстве ограниченных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Условные обозначения.

Введение.

ГЛАВА 1. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ,ОПРЕДЕЛЕННЫХ НА ПРОСТРАНСТВЕ

НЕПРЕРЫВНЫХ ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ.

§1.1. Вспомогательные утверждения, используемые в дальнейшем.

§1.2. Ограниченность нелинейных интегральных функционалов.

§1.3. Непрерывность нелинейных интегральных функционалов.

ГЛАВА 2. СВОЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ, ДЕЙСТВУЮЩИХ В ПРОСТРАНСТВАХ

ОГРАНИЧЕННЫХ ФУНКЦИЙ.

§2.1. Аналог принципа равномерной ограниченности для семейств нелинейных интегральных функционалов из множества .М[0;+оо).

§2.2. Равномерная ограниченность семейств нелинейных интегральных функционалов из множества М.п(а-,Ь).

§2.3. Ограниченность и непрерывность нелинейных интегральных операторов.

ГЛАВА 3. ОГРАНИЧЕННЫЕ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ И ИНТЕГРО

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСИ.

§3.1. Ограниченные решения нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

§3.2. Положительные периодические решения нелинейных интегральных уравнений с периодическими ядрами.

Настоящая диссертация посвящена изучению свойств ограниченности и непрерывности нелинейных интегральных операторов ь

Kx)(t) = J K(t,s,x(s))ds, a а также вопросам существования у нелинейных интегральных и инте-гро-дифференциальных уравнений на оси ограниченных решений и положительных периодических решений.

Известно, что процессы гибели и размножения, процессы распространения инфекционных заболеваний, изучаемые в биологии, медицине, описываются интегральными уравнениями. Причем с точки зрения приложений наибольший интерес представляет проблема существования у таких уравнений ограниченных решений, а также положительных периодических решений.

Общие идеи и основные методы доказательства существования решений у нелинейных уравнений, в том числе и положительных решений, изложены в монографиях Красносельского М.А. [18], Красносельского М.А. и Забрейко П.П. [19]. Описанная в этих работах методика использовалась многими авторами для доказательства существования ограниченных, положительных решений у нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Содержательные результаты в этой области получены Борисовичем Ю.Г. [2], Винокуровым В.Р. [5], [6], Еленским Ю.Н. [7], Карапетянцем Н.К. [15], Панфиловым Н.Г. [32], Пер-цевым Н.В. [33], Пуляевым В.Ф. [1], [35], [36], Цалюком З.Б. [47], [51], Cushing J.M. [60], Engler Н. [64], Gripenberg G. [65], [66], Kartsatos A.G. [71], Levin J.J. [75], [76], Okrasinski W. [83], Thieme H. [88] и др. [77] - [79], [86].

Интегральные уравнения с периодическими ядрами изучались в работах Пуляева В.Ф. [35] - [41], [43]. Автором построена содержательная теория линейных интегральных уравнений с периодическими и почти периодическими ядрами. Также уравнениям с периодическими ядрами и проблеме существования у них периодических решений, в том числе положительных, посвящены работы следующих авторов: Badii М. и Schiaffino А. [54], Burton Т.А. [55] - [58], Cushing J.M. [61] - [63], Gripenberg G. [67], Guo D. и Lakshmikantham V. [68], Langenhop C.E. [72], Leitman M.J. и Mizel V.J. [73], [74], Nussbaum R.D. [81], [82], Smith H.L. [85], Wang Z. [89], [90] и др. [59], [69], [70], [84], [87].

В работах такого типа авторы описывают классы уравнений (приводят условия на ядра уравнений), у которых существуют ограниченные, положительные решения и положительные периодические решения. Иногда условия, накладываемые на ядро уравнения, являются неоправданно жесткими, и их можно заметно ослабить. Таким образом, возникает задача выявления наиболее широких классов уравнений, для которых может быть показано существование ограниченных, периодических решений. Ясно, что условия, которые описывают такие классы уравнений, должны гарантировать для интегрального оператора, определяющего уравнение, его действие в пространствах ограниченных функций, непрерывность, компактность. В работах Ван Шен-Вана [4], Заб-рейко П.П. [10], Красносельского М.А. и Ладыженского JI.A. [21], Красносельского М.А. и Пустыльника Б.И. [22], Ладыженского Л.А. [25] и др. для нелинейных интегральных операторов в пространствах непрерывных функций, ограниченных функций получены различные достаточно тонкие признаки непрерывности и компактности, которые были потом собраны в монографию Красносельского М.А., Забрейко П.П., Пустыльника Е.И., Соболевского П.Е. [20]. Однако, очевидно, наибольший интерес представляют условия, являющиеся не только достаточными, но и необходимыми для наличия у оператора перечисленных свойств. А для получения таких условий требуется в первую очередь установить свойства нелинейного интегрального оператора, действующего в пространствах ограниченных функций.

Эта задача вызывает интерес и по другим причинам.

Известно, что для некоторых операторов многие важные свойства вытекают уже из того, что оператор действует в определенных пространствах. Так, например, линейный интегральный оператор Вольтерра t

Qx){t) = j Q(t,s)x(s)ds, a действующий в пространстве ВС[а;+ос), является ограниченным, а, значит, ввиду его линейности - непрерывным (см. [49]). Кроме того, известно (см. [17], с.31), что действие оператора суперпозиции fx = f(s,x(s)) с функцией /(s, ж), удовлетворяющей условиям Каратеодори, в пространствах Lp(a;b) (1 < р < оо) влечет непрерывность оператора и ограниченность его значений на каждом шаре из Lp(a; Ь). Естественна, поэтому, задача изучения дополнительных свойств нелинейного интегрального оператора, которые вытекают из действия этого оператора в пространствах ограниченных функций.

Свойства ограниченности и непрерывности оператора суперпозиции, а также интегральных операторов и связь этих свойств с действием операторов в различных пространствах изучались ранее следующими авторами: Забрейко П.П. [8] - [10], Забрейко П.П. и Appell J. [52], [53], Красносельским М.А. [17] - [20], Красносельским М.А. и Рутицким Я.Б. [23], [24], Ладыженским Л.А.[25], Непомнящих Ю.В. [28], [29], Нурекеновым Т.К. [30], [31], Поносовым А.В. [34], Пустыльником Е.И. [44] и др. [И] - [13], [26], [27], [80].

Таким образом, вышеизложенное позволяет заметить, что вопросы существования у нелинейных интегральных уравнений ограниченных решений, периодических решений, а также изучение свойств нелинейных интегральных операторов, действующих в пространствах ограниченных функций, представляют собой интересную область современного анализа.

Основные цели работы состоят в следующем:

- изучить свойства нелинейных интегральных операторов, действующих в пространствах ограниченных функций;

- получить необходимые и достаточные условия действия, действия и непрерывности нелинейных интегральных операторов в пространствах ограниченных функций;

- получить наиболее общие условия, обеспечивающие существование у нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений на оси ограниченных решений;

- получить наиболее общие условия, обеспечивающие существование у нелинейных интегральных уравнений на оси положительных периодических решений.

Исследования, представленные в настоящей работе, проводились с использованием общих методов функционального анализа, а именно: методов теории меры и интеграла Лебега, принципа Шаудера, метода монотонных операторов, методов теории вращения векторных полей.

В качестве основных результатов работы можно выделить следующие:

- установлено, что нелинейные интегральные функционалы, определенные на пространстве непрерывных ограниченных функций, ограничены на каждом шаре пространства и являются непрерывными относительно ограниченной сходимости почти всюду;

- доказан аналог принципа равномерной ограниченности для семейств нелинейных интегральных функционалов, определенных на пространстве непрерывных ограниченных функций;

- получены необходимые и достаточные условия действия, действия и непрерывности нелинейного интегрального оператора в пространствах ограниченных функций;

- получены достаточно общие условия, обеспечивающие существование у нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений на оси по крайней мере одного ограниченного решения;

- получены достаточно общие условия, обеспечивающие существование у нелинейных интегральных уравнений на оси по крайней мере одного положительного периодического решения, единственного положительного периодического решения, нескольких, по крайней мере двух, положительных периодических решений.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при изучении свойств нелинейных интегральных операторов, а также при исследовании нелинейных интегральных уравнений, кроме того, результаты, касающиеся существования ограниченных решений, положительных периодических решений у нелинейных интегральных уравнений могут найти применение при решении задач, возникающих в биологии, медицине.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Кубанского государственного университета (руководитель - профессор Цалюк З.Б.), на IV СевероКавказской региональной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения", Махачкала, 1997; на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - X. Современные методы в теории краевых задач", 1999; на VII международной конференции "Математика. Экономика. Экология. Образование", Ростов-на-Дону, 1999; на конференции "Вопросы функционального анализа и математической физики", Баку, 1999; на Воронежской зимней математической школе "Современный анализ и его приложения", 2000; на XXXVIII международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 2000; на международной научной конференции "Нелинейный анализ и функционально-дифференциальные уравнения", Воронеж, 2000; на международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", Казань, 2000; на Воронежской весенней математической школе "Современные методы в теории краевых задач", Воронеж, 2001; на международной научной конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы", Казань, 2001; на Воронежской зимней математической школе - 2002.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [91] -[108]. В работах [93], [94], выполненных совместно с научным руководителем Пуляевым В.Ф., ему принадлежит постановка задачи. Выбор методов и проведение доказательств принадлежат автору диссертации. В работах [92], [97] Пуляеву В.Ф. принадлежат постановка задачи и указание методов исследования.

Перейдем теперь к обзору основных результатов диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы.

В первой главе исследуются нелинейные интегральные функционалы оо

F(x)= / f(s,x(s))ds о с ядрами, удовлетворяющими условиям Каратеодори, определенные на пространстве ВС[0;+оо). Доказана ограниченность таких функционалов на каждом шаре пространства ВС[0;+оо), их непрерывность относительно ограниченной сходимости почти всюду, а также возможность продолжения функционала с помощью той же формулы на пространство Loo(0;+оо). Показано, что перечисленными свойствами обладают и те функционалы, которые определены первоначально лишь на пространстве А0[0;+оо) С ВС[0; +оо).

Во второй главе рассматриваются семейства нелинейных интегральных функционалов ь

Fa{x) = J fa(s,xi(s),.,xn(s))ds, a £ Л, а определенных на пространстве ВСп(а;6). Для таких семейств доказан аналог принципа равномерной ограниченности (теорема 2.4).

Семейство функционалов {Fa}, а £ Л, равномерно ограниченное на каждом элементе пространства ВС "(а; Ъ), будет равномерно ограничено на каждом шаре этого пространства.

Поскольку интегральный оператор Урысона ъ

Kx)(t) - | K(t, 5, x(s))ds (1) а при каждом фиксированном t представляет собой семейство нелинейных интегральных функционалов, где в качестве параметра выступает t £ (а;Ъ), то из доказанного принципа равномерной ограниченности вытекает следующее важное утверждение для интегральных операторов.

Теорема 2.6. Если оператор К переводит пространство ВСп(а-,Ь) в пространство ограниченных функций Вт{а\Ъ), то он будет ограничен на каждом шаре из ВСп(а;6). Более того, оператор К с помощью формулы (1) может быть продолжен на пространство Lи будет ограничен на каждом шаре этого пространства.

Последнее утверждение позволило получить для нелинейного интегрального оператора необходимые и достаточные условия его действия в пространствах ограниченных функций, необходимые и достаточные условия действия и непрерывности. А именно, имеют место следующие утверждения.

Теорема 2.8. Для того, чтобы оператор К, удовлетворяющий условию ь sup f\\K(t,s,0)\\ds < оо, (2) переводил пространство ВСп(а]Ь) в пространство Вт(а;Ь), необходимо и достаточно, чтобы для любых t £ (а; Ъ), т > 0 функция

Q{t,s,r) = sup ||K(t,s, х ц о была суммируема по s на {а;Ь) и ъ sup / Q(t, s, r)ds < оо. te(a-,b) {

Теорема 2.9. Пусть оператор К удовлетворяет условию ь sup \\K(t,s,xo(s))\\ds < ос, te(a-,b)Ja где xq(s) - некоторая функция из ВСп(а; Ъ). Тогда для того, чтобы оператор К переводил пространство ВСп(а; Ь) в пространство Вт(а; Ь) и был непрерывен в точке xq относительно равномерной сходимости на {а\Ь), необходимо и достаточно, чтобы для любых t Е (а; Ь), т > 0 функция

QXo{t,s,r)= sup \\K(t, s,x0(s) + x) - K(t,s,x0(s x\\<T была суммируема no s на (a\b) и ь sup / QXo(t, s,r)ds < ex), te(a;b)Ja b lim sup I £lXo(t,s,T)ds = 0.

T^°te{a;b)Ja

Теорема 2.10. Для того, чтобы оператор К, удовлетворяющий условию (2), переводил пространство ВСп(а;Ь) в пространство Вт(а;6) и был равномерно непрерывен на каждом шаре относительно равномерной сходимости на (а; Ь), необходимо и достаточно, чтобы для любых t Е г, г > О функция

Qr(t,s,r)— sup \\K(t,s,x + h) — K(t,s,x)\\ ж||<г, ||fe||<r была суммируема no s на (a; b) и ь sup Qr(t,s,r)ds < ос, te{a;b) i b lim sup / Qr(t, s,r)ds = 0.

Во второй главе приведены также достаточные условия, близкие к необходимым, обеспечивающие действие оператора в пространстве непрерывных и ограниченных функций, а также его локальную компактность.

Результаты, полученные во второй главе, показывают естественность и необходимость условий, которые, как правило, накладываются на ядра нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

В третьей главе рассматриваются нелинейные интегральные и инте-гро-дифференциальные уравнения t x(t) = J K(t, s, x(s))ds + f(t), te R1,

ОС t x'(t) = A(t)x(t) + J K(t,s,x(s))ds + f(t), te R1 CO с периодическими ядрами, удовлетворяющими условиям менее жестким, чем непрерывность. Показано существование ограниченных решений у этих уравнений если, у соответствующих уравнений с конечными нижними пределами интегрирования существуют решения, ограниченные на полуоси. Для последних существование ограниченных решений может быть получено на основании теоремы об интегральном неравенстве.

13

Кроме того, для интегральных уравнений в скалярном случае существование по крайней мере одного ограниченного решения доказано с использованием другого подхода. Он заключается в построении такого решения соответствующего уравнения с конечным нижним пределом интегрирования, которое удовлетворяет некоторой равномерной оценке.

В этой главе также рассматриваются вопросы существования положительных периодических решений у нелинейных интегральных уравнений

Получены достаточно общие условия на ядро уравнения, обеспечивающие существование у уравнения по крайней мере одного положительного периодического решения, единственного положительного периодического решения, нескольких, по крайней мере двух положительных периодических решений.

00 оо

1. Барсукова В.Ю., Пуляев В.Ф. О почти периодичности ограниченных решений нелинейных интегральных уравнений. Кубан. гос. ун-т. Краснодар, 1998. - 17 с. - Деп. в ВИНИТИ 06.07.98, № 2098-В98.

2. Борисович Ю.Г. О некоторых приложениях топологии в анализе. Тр. IV всесоюзн. мат. съезда. Ленинград: Наука, 1964. - С. 48-57.

3. Борисович Ю.Г., Гельман Б.Д., Мышкис А.Д., Обуховский В.В. Введение в теорию многозначных отображений. Воронеж: Изд-во ВГУ, 1986. - 104 с.

4. Ван Шен-Ван Полная непрерывность и усиленная непрерывность интегральных операторов Урысона// ДАН СССР. 1963. - Т. 151. -№ 5. - С. 1010-1013.

5. Винокуров В.Р. Об ограниченности решения системы линейных интегральных уравнений Волътерра с периодической матрицей// Учен. зап. Уральск, ун-та. 1960. - Вып. 23. - С. 3-9.

6. Винокуров В.Р. О положительных и монотонных решениях интегральных уравнений Вольтерра// Изв. вузов. Математика. 1967. -Ш 4. ~ С. 40-46.

7. Еленский Ю.Н. Существование положительных решений нелинейных интегральных уравнений в пространстве непрерывных функций. Перм. ун-т. Пермь, 1986. 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 16.10.86, Ко 7265-В.

8. Забрейко П.П. Об одной теореме для полуаддитивных функционалов/ / Функц. анализ и его прилож. 1969. - Т. 3. - № 1. - С. 86-89.

9. Забрейко П.П. О некоторых свойствах линейных операторов, действующих в пространствах Lp// ДАН СССР. 1964. - Т. 159. -№ 5. - С. 975-977.

10. Забрейко П.П. О непрерывности и полной непрерывности операторов П.С. Урысона// ДАН СССР. 1965. - Т. 161. - № 5. - С. 10071010.

11. Забрейко П.П., Злепко П.П. О мажорантах интегральных операторов Урысона// Качествен, и приближ. методы исслед. оператор, уравнений, Ярославль. 1983. - С. 67-76.

12. Забрейко П.П., Пустыльник Е.И. О непрерывности и полной непрерывности нелинейных интегральных операторов в пространствах Lp// Успехи мат. наук. 1964. - Т. 19. - Вып. 2. - С. 204-205.

13. Забрейко П.П., Смирнов Е.И. О принципах равномерной ограниченности// Мат. заметки. 1984. - Т. 35. - № 2. - С. 287-297.

14. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. - 742 с.

15. Карапетянц Н.К. О неотрицательных решениях одного класса нелинейных уравнений типа свертки// Интегр. и дифференц. уравнения и приближ. решения, Элиста. 1985. - С. 77-83.

16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. - 624 с.

17. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. - 392 с.

18. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. - 396 с.

19. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. - 512 с.

20. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.И., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. М.: Наука, 1966. - 500 с.

21. Красносельский М.А., Ладыженский Л.А. Условия полной непрерывности оператора П.С. Урысона// Тр. Моск. матем. о-ва. 1954. -№ 3. - С. 321-346.

22. Красносельский М.А., Пустыльник Е.И. О признаках полной непрерывности линейных и нелинейных интегральных операторов// ДАН СССР. 1962. - Т. 142. - № 1. - С. 25-28.

23. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Линейные интегральные операторы в пространствах Орлича// ДАН СССР. 1952. - Т. 85. -Ко 1. - С. 33-36.

24. Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. О некоторых нелинейных операторах в пространствах Орлича// ДАН СССР. 1957. - Т. 117. -№ 3. - С. 363-366.

25. Ладыженский Л.А. Условия полной непрерывности интегрального оператора П.С. Урысона в пространстве непрерывных функций// ДАН СССР. 1954. - Т. 97. - № 5. - С. 1012-1017.

26. Макаров А.С. Необходимые условия непрерывности интегрального оператора Урысона в банаховых функциональных пространствах. Челяб. гос. пед. ин-т. Челябинск, 1992. 10 с. - Деп. в ВИНИТИ 23.12.92, Ко 3644-В92.

27. Мисюркеев И.В., Непомнящих Ю.В. Критерий полной непрерывности оператора Урысона// Изв. вузов. Мат. 1991. - № 4. - С. 32-43.

28. Непомнящих Ю.В. Действие и липшицевость оператора Урысона в подпространствах пространства ограниченных функций// Краев, задачи, Пермь. 1989. - С. 94-100.

29. Непомнящих Ю.В. Свойства оператора Урысона в пространствах равномерно непрерывных и почти периодических функций. Перм. ун-т. Пермь, 1992. 165 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.09.92, № 2797-В92.

30. Нурекенов Т.К. Об одном классе нелинейных интегральных операторов Урысона. Алма-Ата, 1989. 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.03.89, № 1810-В89.

31. Нурекенов Т.К. Условия полной непрерывности интегрального оператора Урысона// ДАН СССР. 1991. - Т. 321. - № 5. - С. 905-909.

32. Панфилов Н.Г. Об ограниченных решениях нелинейных сингулярно возмущенных интегро-дифференциальных систем// Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35. - № 1. - С. 134-135.

33. Перцев Н.В. Об ограниченных решениях одного класса систем интегральных уравнений, возникающих в моделях биологических процессов/ / Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35. - № 6. - С. 831-836.

34. Поносов А.В. Операторы Каратеодори и операторы Немыцкого. Перм. ун-т. Пермь, 1984. 18 с. - Деп. в ВИНИТИ 18.07.84, № 514184.

35. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. I/ / Дифференц. уравнения. 1989. -Т. 25. - № Ю. - С. 1787-1798.

36. Пуляев В.Ф. Ограниченные и почти периодические решения линейных интегральных уравнений. II// Дифференц. уравнения. 1990. - Т. 26. - № 8. - С. 1423-1432.

37. Пуляев В.Ф. Степенные решения интегральных уравнений// Изв. Сев.-Кав. научн. ц. высш. школы. Серия естеств. науки. 1988. -№ 1. - С. 46-52.

38. Пуляев В.Ф. Существование асимптотически со-периодических решений у интегральных уравнений Волътерра// Изв. Сев.-Кав. научн. ц. высш. школы. Серия естеств. науки. 1973. - № 4. - С. 75-78.

39. Пуляев В.Ф. Экспоненциальные решения интегральных уравнений// Изв. вузов. Математика. 1988. - № 6. - С. 75-78.

40. Пуляев В.Ф., ЦалюкЗ.Б. Асимптотически почти периодические решения интегрального уравнения Волътерра// Мат. анализ. Сб. работ КубГУ, Краснодар. 1974. - Вып. 2. - С. 127-132.

41. Пуляев В.Ф., Цалюк З.Б. Асимптотически почти периодические решения нелинейных уравнений Вольтерра с запаздыванием// Мат. анализ. Кн. 3. Научн. труды КубГУ, Краснодар. 1976. - Вып. 217 - С. 46-51.

42. Пуляев В.Ф., Цалюк З.Б. К вопросу о допустимости некоторых пар пространств для линейных операторов и уравнений Вольтерра// Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19. - № 4. - С. 684-692.

43. Пуляев В.Ф., Цалюк З.Б. Об асимптотически си-периодических решениях интегральных уравнений Вольтерра// Дифференц. уравнения. 1974.- Т. 10. - № б. - С. 1103-1110.

44. Пустыльник Е.И. Об интегральных операторах, действующих в пространствах Lp// ДАН СССР. 1962. - Т. 146. - № 6. - С. 1271-1274.

45. Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1966. - 320 с.

46. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. - 224 с.

47. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра// Итоги науки и техники. Сер. Матем. анализ/ ВИНИТИ. М.1977. - Т. 15. - С. 131198.

48. Цалюк З.Б. Об одной оценке решения интегрального уравнения Вольтерра// Дифференц. уравнения. 1983. - Т. 19. - №6. - С. 10861089.

49. Цалюк З.Б. Об устойчивости уравнений Вольтерра// Дифференц. уравнения. 1968. - Т. 15. - №11. - С. 1967-1979.

50. Цалюк З.Б. Функциональные неравенства Вольтерра// Изв. вузов. Математика. 1969. - Т. 82. - №3. - С. 86-95.

51. Цалюк З.Б., Шамсутдинов М.М. Об ограниченности решений одного класса нелинейных уравнений Вольтерра// Мат. анализ. Сб. работ КубГУ, Краснодар. 1971. - С. 63-71.

52. Appell J., Zabrejko P. Boundednes properties of the superposition operator// Bull. Pol. Acad. Sci. Math. 1989. - V. 37. - № 7-12.- P. 363-377.

53. Appell J., Zabrejko P. Continuity properties of the superposition operator// J. Austral. Math. Soc. A. 1989. - V. 47. - Kq 2. - P. 186210.

54. Badii M., Schiaffino A. Asymptotic behaviour of positive solutions of periodic delay logistic equations// J. Math. Biol. 1982. - V. 14. -№ 1. - P. 95-100.

55. Burton T.A. Periodic solutions of integrodifferential equations// J. London Math. Soc. 1985. - V. 31. - № 3. - P. 537-548.

56. Burton T.A. Periodic solutions of linear Volterra equations// Funckial. Ekvac. 1984. - V. 27. - № 2. - P. 229-253.

57. Burton T.A. Periodic solutions of nonlinear Volterra equations// Funckial. Ekvac. 1984. - V. 27. - № 3. - P. 301-317.

58. Burton T.A. Periodicity and limiting equations in Volterra systems// Boll. Unione mat ital. 1985. - V. 4. - № 1. - P. 31-39.

59. Coleman B.D., Renninger G.H. Periodic solutions of certain nonlinear integral equations with a time lag// SIAM J. Appl. Math. 1976. -V. 31. - № 1. - P. 111-120.

60. Cushing J.M. An operator equation and bounded solutions of integrodifferential system// SIAM J. Math. Anal. 1975. - V. 6. - № 3. -P. 433-445.

61. Cushing J.M. Bifurcation of asymptotically periodic solutions of Volterra integral equations// J. Integr. Equat. 1980. - V. 2. - № 4.- P. 339-361.

62. Cushing J.M. Bifurcation of periodic solutions of integrodifferential systems with applications to time delay models in population dynamics// SIAM J. Appl. Math. 1977. - V. 33. - № 4. - P. 640-654.

63. Cushing J.M. Periodic solutions of Volterra's population equations with hereditary effects// SIAM J. Appl. Math. 1976. - V. 31. - № 2. -P. 251-261.

64. Engler H. Bounds and asymptoUcs for a scalar Volterra integral equation// J. Integr. Equat. 1984. - V. 7. - № 3. - P. 209-227.

65. Gripenberg G. Bounded solutions of a Volterra equation// J. Different. Equat. 1978. - V. 28. - № 1. P. 18-22.

66. Gripenberg G. On the boundedness of solutions of Volterra equations// Indiana Univ. Math. J. 1979. - Y. 28. - № 2. - P. 279-290.

67. Gripenberg G. Periodic solutions of an epidemic modelj/ J. Math. Biol. 1980. - V. 10. - No 3. - P. 271-280.

68. Guo D., Lakshmikantham V. Positive solutions of nonlinear integral equations arising in infectious diseases// J. Math. Anal, and Appl. -1988. V. 134. - № l. - P. 1-8.

69. Islam M.N. Periodic solutions of nonlinear integral equations// Ann. math, pura ed appl. 1988. - № 150. - P. 129-139.

70. Jianhong Wu, Zhixiang Li and Zhicheng Wang Remarks on "Periodic solutions of linear Volterra equations"// Funckial. Ekvac. 1987. -V. 30. - № 1. - P. 105-109.

71. Kartsatos A.G. Existence of bounded solutions and asymptotic relationships for nonlinear Volterra integral equations// Math. Syst. Theory. 1975. - V. 8. - № 3. - P. 266-275.

72. Langenhop C.E. Periodic and almost periodic solutions of Volterra integral differential equations with infinite memory// J. Different. Equat. 1985. - V. 58. - № 3. - P. 391-403.

73. Leitman M.J., Mizel V.J. Asymptotic stability and the periodictsolutions of x(t) + J a(t — s)g(s,x(s))ds = f(t)// J. Math. Anal.ooand Appl. 1978. - V. 66. - № 3. - P. 606-625.

74. Leitman M.J., Mizel V.J. Hereditary laws and nonlinear integral equations on the line)I Advances in Math. 1976. - V. 22. - № 2.- P. 220-266.

75. Levin J.J. A bound on the solutions of a Volterra equation// Arch. Ration. Mech. and Anal. 1973. - V. 52. - № 4. - P. 339-349.

76. Levin J.J. Resolvents and bounds for linear and nonlinear Volterra equations/f Trans. Amer. Math. Soc. 1977. - V. 228. - P. 207-222.

77. Levin J.J., Shea D.F. On the asymptotic behavior of some integral equations. I// J. Math. Anal, and Appl. 1972. - V. 37. - № 1. -P. 42-82.

78. Levin J.J., Shea D.F. On the asymptotic behavior of some integral equations. II// J. Math. Anal, and Appl. 1972. - V. 37. - № 2.- P. 288-326.

79. Levin J.J., Shea D.F. On the asymptotic behavior of some integral equations. ///// J. Math. Anal, and Appl. 1972. - V. 37. - № 3.- P. 537-575.

80. Mason Jose M., Segura de Leon Sergio Continuity and compatness conditions for Uryson operators// Rev. roum. math, pures et appl.- 1990. V. 35. - № 5. - P. 431-449.

81. Nussbaum R.D. A periodicity threshold theorem for some nonlinear integral equations// SIAM J. Math. Anal. 1978. - V. 9. - № 2. -P. 356-376.

82. Nussbaum R.D. Periodic solutions of some nonlinear integral equations// Dyn. Syst. Proc. Univ. Fla Int. Symp., Gainesville, 1976. New York e.a. 1977. - P. 221-249.

83. Okrasinski W. Non-negative solutions of some non-linear integral equations// Ann. pol. math. 1984. - V. 44. - № 2. - P. 209-218.

84. Schiaffino A., Tesei A. Time periodic solutions for Volterra population equations// Mem. 1st. ital. gidrobiol. Dott. M. Marchi. 1979. - V. 37.- P. 193-199.

85. Smith H.L. On periodic solutions of a delay integral equations modeling epidemics// J. Math. Biology. 1977. - V. 4. - № 1. - P. 69-80.

86. Staffans O.I. Boundedness and asymptotic behaviour of solutions of a Volterra equation// Mech. Math. J. 1977. - V. 24. - № 1. - P. 77-95.

87. Stech H.W. Periodic solutions to a nonlinear Volterra integrodifferential equation// SIAM J. Math. Anal. 1980. -V. 11. - № 3. - P. 533-544.

88. Thieme H. On the boundedness and the asymptotic behaviour of the nonnegative solutions of Volterra-Hammer stein integral equations// Manuscr. Math. 1980. - V. 31. - № 4. - P. 379-412.

89. Wang Z. On the unique existence of periodic solutions of neutral Volterra integro-differential equations// Period, math. hung. 1990.- V. 21. № 1. - P. 21-29.

90. Wang Z. Some remarks on periodic solutions of Volterra equations// Ann. Differ. Equat. 1985. - V. 1. - № 1. - P. 107-125.

91. Зимина H.A. Положительные периодические решения интегральных уравнений// Природа. Общество. Человек. Вестник ЮжноРоссийского отд-ния Междунар. Академии наук высш. шк. 1996.- Kq 4-5. С. 56-60.

92. Зимина Н.А., Пуляев В.Ф. Положительные периодические решения нелинейных интегральных уравнений. Кубан. гос. ун-т. Краснодар, 1998. 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 30.10.98, № 3128-В98.

93. Зимина Н.А., Пуляев В.Ф. Об ограниченных решениях нелинейных интегральных уравнений. Материалы научн. конф. "Вопросы функц. анал. и мат. физики". Баку, 1999. - С. 272-274.

94. Зимина Н.А., Пуляев В.Ф. Ограниченные решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Кубан. гос. ун-т. Краснодар, 2000. 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 02.02.00, № 487-В00.

95. Зимина Н.А. Ограниченные решения интегральных и интегро-дифференциалъных уравнений// Тр. Рос. ассоц. "Женщины-математики". 2000. - Т. 7. - № 1. - С. 33-36.

96. Зимина Н.А. Об ограниченности нелинейных интегральных операторов Волътерра. Кубан. гос. ун-т. Краснодар, 2001. 22 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.07.01, № 1659-В01.

97. Зимина Н.А., Пуляев В.Ф. Об ограниченности нелинейных интегральных функционалов. Кубан. гос. ун-т. Краснодар, 2001. 25 с. -Деп. в ВИНИТИ 23.07.01, № 1746-В01.

98. Зимина Н.А. О свойствах нелинейных интегральных функционалов, определенных на пространстве непрерывных и ограниченных функций/ / Вестник СНО, Краснодар. 2001. - Вып. 2. - С. 262-266.Участие в конференциях (тезисы докладов по теме диссертации)

99. Зимина Н.А. Положительные периодические решения нелинейных интегральных уравнений. IV Сев.-Кав. регион, конф. "Функц.-дифференц. уравнен, и их прил.". Тезисы докл. Махачкала, 1997. С. 46.

100. Зимина Н.А. Положительные периодические решения нелинейных интегральных уравнений. Воронежская весен, мат. школа "Понтря-гинские чтения X. Совр. методы в теор. краев, задач". Тезисы докл. Воронеж, 1999. - С. 110.

101. Зимина Н.А. Ограниченные решения интегро-дифференциалъных и интегральных уравнений. VII Межд. конф. "Математика. Экономика. Экология. Образование". Тезисы докл. Ростов-на-Дону, 1999. -С. 23-24.

102. Зимина Н.А., Пуляев В.Ф. Положительные периодические решения нелинейных интегральных уравнений. Воронежская зимн. мат. школа "Совр. анализ и его прил.". Тезисы докл. Воронеж, 2000. С. 7879.

103. Зимина Н.А. Положительные периодические решения интегральных уравнений с параметром. XXXVIII Межд. научн. студ. конф. "Студент и научно-технический прогресс". Тезисы докл. Новосибирск, 2000. С. 76-77.

104. Зимина Н.А. Ограниченные решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Межд. научн. конф. "Нелин. анализ и функц.-дифференц. уравнен.". Тезисы докл. Воронеж, 2000. С. 107108.

105. Зимина Н.А. Об ограниченности нелинейных интегральных операторов Вольтерра. Межд. научн. конф. "Актуальн. пробл. математики и механики". Тезисы докл. Казань, 2000. С. 88-89.

106. Зимина Н.А., Пуляев В.Ф. Об ограниченности нелинейных интегральных функционалов. Межд. научн. конф. "Теор. функц., ее прил. и смежн. вопросы". Тезисы докл. Казань, 2001. С. 108-109.

107. Зимина Н.А., Пуляев В.Ф. Об ограниченности нелинейных интегральных операторов. Воронежская весен, мат. школа "Совр. методы в теор. краев, задач.". Тезисы докл. Воронеж, 2001. С. 75-76.

108. Зимина Н.А., Пуляев В.Ф. Об одном аналоге принципа равномерной ограниченности для нелинейных интегральных функционалов. Воронежская зимн. мат. школа 2002. Тезисы докл. Воронеж, 2002. -С. 30-3i.