Нелинейные N=4,8 супермультиплеты в низших измерениях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

2-2007-1

На правах рукописи УДК 51-7:530.145

ЩЕРБАКОВ Андрей Валерьевич

□ ОЗОБЗ Ю8

НЕЛИНЕЙНЫЕ N = 4,8 СУПЕРМУЛЬТИПЛЕТЫ В НИЗШИХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Дубна 2007

003053108

Работа выполнена в Лаборатории теоретической физики им. H.H. Боголюбова Объединенного института ядерных исследований.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук

А. П. ИСАЕВ (ЛТФ, ОИЯИ)

доктор физико-математических наук

Р. Р. МЕЦАЕВ (ФИАН, Москва)

Ведущая организация:

Математический институт им. В.А.Стеклова РАН, г. Москва.

Защита диссертации состоится "2007 г. в 15— на заседании диссертационного совета К 720.001.01 при Лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна Московской области.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Объединенного института ядерных исследований.

Автореферат разослан "23" 2007 г.

А. А. КАПУСТНИКОВ

доктор физико-математических наук

С. О. КРИВОНОС

диссертационного совета

Ученый секретарь

С. И. ФЕДОТОВ

Общая характеристика диссертации

Актуальность темы. Суперсимметричная квантовая механика находит широкий спектр применения при изучении физических явлений, которые так или иначе связаны с непертурбативными эффектами и которым пока что не дано полного и исчерпывающего описания в рамках квантовой теории поля. Так, например, суперсимметричная квантовая механика применяется при описании одномерного варианта известного АйБ/СРТ соответствия, при рассмотрении моделей со спонтанно нарушенной суперсимметрией, при описании динамики движения частиц вблизи горизонта событий черных дыр в суперсимметричных теориях, при описании пространства модулей суперсимметричных монополей и черных дыр и в других областях физики

Конечно же, одномерные суперсимметричные модели анализировать проще, чем их многомерные аналоги. И, казалось бы, можно было бы провести размерную редукцию некоторой теории, чтоб получить ее одномерный аналог. Однако размерная редукция суперсимметричных действий, определенных в <1 > 1, не воспроизводит все возможные действия в <1 = 1, поскольку в многомерном случае правила отбора, связанные с группой Лоренца, накладывают дополнительные ограничения, которых, естественно, нет в й = 1. Отсутствие группы Лоренца сказывается и на таком фундаментальном свойстве суперсимметрии, как равенство числа бозонных и фермионных степеней свободы на массовой поверхности, которое не обязано выполняться в <1 = 1. Эти факты говорят о том, что предпочтительнее рассматривать одномерные суперсимметричные модели, основываясь на алгебре суперсимметрии в <1 = 1, не прибегая к размерной редукции.

Алгебра с1 = 1 суперсимметрии с N вещественными суперзарядами имеет вид

= [Я\Р\ = 0, г,] = 1,.

Линейные представления этой алгебры могут быть реализованы на супермуль-

типлетах, содержащих бозонные и фермионные поля. Требования, чтобы, во-первых, преобразования этих полей реализовывали алгебру суперсимметрии, и, во-вторых, оставляли инвариантным свободное действие, приводят к ограничениям на число бозонных и фермионных полей в зависимости от количества суперсимметрий. В <1 = 1, рассматривая алгебры суперсимметрии с N суперзарядами, удобно ввести обозначение

(п, N. N - п)

для представления, содержащего п физических бозонов, И—п вспомогательных бозонов и N физических фермионов, число которых равно числу генераторов суперсимметрий

Несмотря на большой интерес к моделям с четырьмя и восемью генераторами суперсимметрией, систематическое суперполевое исследование структуры соответствующих супермультиплетов отсутствовало. Лишь недавно были проклассифицированы все возможные представления наиболее общей в одноме-рии N — 4 конформной супералгебры £>(2,1,а) с четырьмя нечетными генераторами, соответствующими Пуанкаре суперсимметрии. Используя метод нелинейной реализации в применении к супералгебре В{2,1,а), помимо известных представлений были найдены два новых - нелинейный киральный (2,4,2) и нелинейный тензорный (3,4,1) супермультиплеты. Компонентный состав этих представлений не отличается от их линейных аналогов, однако с геометрической точки зрения эти представления являются совершенно различными, поскольку физические бозонные поля соответствующих супермультиплетов являются, в нелинейном случае, координатами на сферах Б2 и Б3 для киралыюго и тензорного мультиплетов соответственно, тогда как в линейном случае - на плоскости И2 и II3.

Для одномерных моделей расширенная суперсимметрия накладывает более слабые условия на геометрию их сигма-модельного многообразия, чем в случае многомерных моделей с тем же числом суперсимметрий, поэтому можно ожи-

дать наличие более широкого класса допустимых сигма-модельных геометрий В случае d — 4 ответ на вопрос о взаимосвязи геометрии суперсимметричных моделей и числа суперсимметрий был известен и заключался в том, что геометрии могут быть кэлеровыми, гипер-кэлеровыми или кватернион-кэлеровыми

Аналогичный вопрос изучался и для d = 1 суперсимметричных моделей. Было показано, что для N = 4 сигма-модельное многообразие является гипер-кэлеровым с кручением (hyper-Kahler with torsion, НКТ), а для N — 8 - октони-он-кэлеровой с кручением (octonion-Kahler with torsion, ОКТ).

Проблема заключается в том, что наиболее общее суперсимметричное действие, построенное для d = 1 N = 4 супермультиплета, скажем, с четырьмя бозонными полями, которые мы обозначим дг, имеет вид

С точки зрения сигма-модельного подхода функции ?'(£) задают отображение одномерного пространства на некоторое четырехмерное сигма-модельное многообразие М. Поэтому они могут интерпретироваться как координаты на Л4 с метрикой

которая, очевидно, является конформно плоской. И это свойство является общим для всех N = 4 суперсимметричных действий независимо от того, муль-типлет с каким числом физических полей рассматривается. Заметим, что это построение совершенно не использовало размерную редукцию и, казалось бы, должно быть максимально общим, поскольку с самого начала было применено для одномерного случая, который, как уже говорилось, допускает более широкий класс сигма-модельных геометрий Тем не менее, все, что можно получить -только лишь конформно плоские многообразия.

Проблема "конформной плоскостности" не является спецификой N = 4 алгебры суперсимметрии и имеет место и в случае N = 8. Действия, построенные

ds2 = G{q) dg'dg',

для какого-либо представления из этих супергрупп, например, (8,8,0), будут иметь такой же вид, что и выписанные выше для (4,4,0), т.е. и в этом случае сигма-модельное многообразие будет конформно плоским.

Таким образом, возникает вопрос: можно ли для представлений алгебры суперсимметрии в с/ = 1 получить сигма-модельные многообразия с отличной от конформно плоской геометрией?

Ключевым для ответа на этот вопрос является существование нелинейных представлений алгебры суперсимметрии Как оказалось, нелинейные супермуль-типлеты играют важную роль в построении сигма-моделей с нетривиальной геометрией.

Замечательным фактом является существование нелинейных супермульти-плетов и в пространствах с (1 > 1. Такие мультиплеты использовались для построения N = 2 суперсимметричной теории гравитации и сигма-моделей. Предложенный в диссертации N = 4 с1 = 3 нелинейный векторный супермультиплет содержит среди своих компонент тензор напряженности электромагнитного поля и обладает тем же составом, что и линейный векторный супермультиплет. Поэтому действие, построенное на его основе, описывает нелинейную суперсимметричную электродинамику. Соответствующее ему сигма-модельное многообразие является искривленным трехмерным пространством. Это значит, что предложенный вариант нелинейной электродинамики может служить альтернативой теории Борна-Инфельда, некоммутативным теориям в ряду нелинейных обобщений теории электромагнитного поля.

Важность нелинейных супермультиплетов ярко проявляется и при изучении теорий со спонтанным нарушением суперсимметрии. Так, будучи изначально линейными, законы преобразования компонент супермультиплета становятся нелинейными при наложении подходящих условий, описывающих частичное спонтанное нарушение суперсимметрии.

Появление неоднородного члена, пропорционального масштабу спонтанного

нарушения, в законах преобразования является принципиальным для возникновения нелинейного супермультиплета. В этом случае, в отличие от упомянутых выше, компоненты супермультиплета приобретают нелинейности только при преобразованиях относительно части суперсимметрий - относительно спонтанно нарушенных.

Отличительной особенностью моделей с частично нарушенной суперсимметрией является то, что лагранжиан становится одной из компонент супермультиплета. Его зависимость от других компонент уменьшает число независимых компонент супермультиплета, что и делает его нелинейным.

Как уже говорилось выше, одномерные модели обладают более широкими свойствами. Поэтому помимо того, что лагранжиан системы со спонтанно нарушенной суперсимметрией является одной из компонент супермультиплета, в одномерии обнаружен интересный факт, связанный с тем, что имеется некое универсальное суперсимметричное действие, которое не имеет бозонного предела, однако из него можно получить действия, бозонные пределы которых описывают свободные суперсимметричные релятивистские частицы.

Целью работы является построение нелинейных представлений суперсимметрии для исследования суперсимметричных моделей с сигма-модельными многообразиями, отличными от конформно плоских, и теорий со спонтанно нарушенной суперсимметрией.

Научная новизна и практическая ценность. Построен новый нелинейный N = 4 й = 1 супермультиплет (4,4,0) с законами преобразования, определенными вне массовой оболочки. Построено соответствующее ему сигма-модельное многообразие, которое не является конформно плоским, а при определенных условиях становится гипер-кэлеровым.

Дано описание нелинейного представления N = 4 в, = 1 суперсимметрии в гармоническом суперпространстве и построено суперсимметричное действие на основе этого представления. Показано, что сигма-модельное многообразие

является гипер-кэлеровым многообразием Егучи-Хансона.

Построен лагранжев и гамильтонов формализм суперсимметричной механики с восемью суперзарядами, основанной на линейном и нелинейном ки-ральном супермультиплете с двумя физическими бозонами. Изучены геометрии их сигма-модельных многообразий. Построены суперзаряды и найдена алгебра суперзарядов. Показано, что подходящая дуализация вспомогательных компонент приводит к гипер-кэлеровым многообразиям.

Построен новый нелинейный N = 4 в, — 3 векторный супермультиплет. Показано, что среди его компонент содержится тензор напряженности электромагнитного поля. Построено инвариантное суперсимметричное действие, описывающее нелинейную в, — 3 электродинамику с восемью суперзарядами. Найдено, что дуализация тождеств Бьянки приводит к гипер-кэлеровому многообразию с одной изометрией.

Построено бесконечномерное матричное представление расширенной N = 2 в, = 4 суперсимметрии, спонтанно нарушенной до N = 1 <1 = 4. Показано, что лагранжиан суперсимметричной 3-браны является одной из компонент этого представления. Найдены явные выражения для всех компонент этого представления в терминах младшей компоненты.

Построено универсальное действие с N = 8 <1 = 1 суперсимметрией, спонтанно нарушенной до N = 4. Показано, что различный выбор связи между голдсто-уновскими бозонами и фермионами приводит к суперсимметричным действиям свободной релятивистской частицы в пространствах, размерности от единицы до четырех.

Апробация работы. Результаты, которые представлены в диссертации, докладывались и обсуждались на научных семинарах лаборатории теоретической физики им. Н.Н.Боголюбова Объединенного института ядерных исследований (ОИЯИ), отделения теоретической физики Физического института им. П.Н.Лебедева (ФИАН), отдела теоретической физики Математического инсти-

тута им. В А.Стеклова (МИАН), докладывались на международных семинарах "Интегрируемые системы и квантовые системы" (Прага, 2005, 2006), на зимней школе по суперсимметричной механике (ШИ^, Фраскати, Италия, 2005), на международной конференции "Квантовая электродинамика и статистическая физика" (Харьков, Украина, 2001).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 12 работ.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения общим объемом 112 страниц, включая список цитированной литературы из 104 наименований.

Содержание работы

Во введении обсуждается структура алгебры расширенной суперсимметрии в одном измерении и ее представления, излагаются мотивировки проведенных в диссертации исследований, а также дается краткое содержание диссертации по главам.

В первой главе рассматриваются способы построения сигма-модельных многообразий с геометриями, отличными о конформно плоских, для суперсимметричных моделей с четырьмя суперсимметриями. В первом параграфе рассматривается тензорный супермультиплет, содержащий три бозонных физических поля, четыре фермионных и одно вспомогательное поле Данное представление является линейным. Соответствующее ему сигма-модельное многообразие является трехмерным и конформно плоским. Исходя из законов преобразования компонент тензорного супермультиплета, описывается процедура превращения вспомогательного поля в физическое, которая называется дуализацией Показано, что при этом мультиплет превращается в линейный мультиплет с составом (4,4,0), что отвечает гипермультиплету. Показано также, что процедура дуализации превращает сигма-модельное многообразие из трехмерного в четырехмерное с одной изометрией, но, по-прежнему, конформно плоское.

Анализируя законы преобразования и процедуру дуализации, ставится вопрос о том, является ли вспомогательная компонента тензорного суперполя уникальной и не существует ли другое поле В, построенное из компонент тензорного супермультиплета, которое имеет такую же размерность, что и вспомогательное поле тензорного супермультиплета, и которое обладает аналогичными трансформационными свойствами при преобразованиях суперсимметрии. Из размерных соображений для этого поля выбирается наиболее общий ан-зац, который линеен по вспомогательному полю тензорного супермультиплета и несингулярен по производным от полей. Найдено наиболее общее решение на коэффициенты, определяющие поле В. Показано, что вспомогательное поле тензорного супермультиплета является частным случаем поля В. Найденная величина допускает дуализацию, что приводит к супермультиплету с составом (4,4,0), однако его законы преобразования являются нелинейными и содержат функциональный произвол.

Поскольку поле В линейно по вспомогательному полю тензорного супермультиплета, это позволяет переписать исходное суперсимметричное действие в терминах поля В. Дуализация последнего в действии приводит к сигма-модельному многообразию, которое не является конформно плоским. Соответствующий тензор Вейля отличен от нуля. Более того, накладывая определенные условия на функции, определяющие метрику сигма-модельного многообразия, можно убедиться, что она становится риччи-плоской. Вид метрики совпадает с метрикой Гиббонса-Хокинга для гипер-кэлеровых многообразий с одной три-голоморфной изометрией.

Во втором параграфе рассматривается ./V = 4 тензорный супермультиплет в формализме N = 2 суперполей. Рассмотрено представление тензорного супермультиплета в виде двух N — 2 суперполей: вещественного и кирального. Построено общее суперполевое сигма-модельное действие для тензорного суперполя, представленного в этом виде. Показано, что к нему может быть до-

бавлено потенциальное слагаемое в виде суперполевого интеграла по N = 2 суперпространству. Найдены условия, чтобы сделать это слагаемое N = 4 инвариантным. Поскольку интегралы по N = 4 и N = 2 суперпространствам имеют различную размерность, введена размерная константа, которая имеет смысл константы связи. Построенное действие также обладает конформно плоским сигма-модельным многообразием.

Показано, что интерпретация постоянства константы связи, как динамического условия, т.е как уравнения движения, следующего из действия, приводит к тому, что "константа связи" становится вспомогательным полем и может быть исключена. Лагранжев множитель становится новой - четвертой - координатой сигма-модельного многообразия, которое, как и в предыдущем случае, не является конформно плоским и при определенных условиях становится гипер-кэлеровым.

В третьем параграфе построено нелинейное представление суперсимметрии для гипермультиплета в гармоническом суперпространстве и соответствующее ему действие. Исследованы калибровочные симметрии, которыми обладает данное действие. Фиксацией калибровки показана его эквивалентность действию Егучи-Хансона в (¿-формулировке. Выбор калибровки Весса-Зумино позволяет решить суперполевые условия в гармоническом суперпространстве. Показано, что после интегрирования по грассмановым переменным и по гармоникам, возникает четырехмерное сигма-модельное многообразие гипер-кэлерового типа. Также исследован вопрос о связи калибровочных полей с членами Файе-

Илиопулоса.

„ \ „

Во второй главе диссертации рассматриваются модели с восемью суперзарядами. Первые три параграфа посвящены построению сигма-модельных многообразий для одномерных теорий, четвертый - построению суперсимметричной модели на основе нелинейного векторного супермультиплета в трехмерном пространстве.

В первом параграфе строится линейное представление суперсимметрии, которое описывается одним комплексным киральным N = 8 суперполем, удовлетворяющим суперполевому тождеству Бьянки. Показано, что представление содержит два физических бозона, шесть вспомогательных бозонных и восемь физических фермионных полей. Среди компонент суперполевого тождества Бьянки содержатся, в частности, дифференциальные уравнения на вспомогательные компоненты кирального N = 8 суперполя, которые могут быть либо разрешены, либо введены в действие с множителями Лагранжа. Построено наиболее общее суперсимметричное действие, содержащее как сигма-модельные слагаемые, так и члены Файе-Илиопулоса. Исключение вспомогательных полей приводит к теории с двумерным бозонным многообразием, геометрия которого является специальной кэлеровой. Обнаружено, что теория инвариантна относительно дискретных преобразований, которые являются аналогом преобразований Б-дуалъности. Найдены законы преобразования компонент супермуль-типлета относительно суперсимметрии и сохраняющиеся величины. Наличие связей второго рода приводит к необходимости перехода от скобок Пуассона к скобкам Дирака в гамильтоновом формализме. Полученные скобки Дирака для канонических переменных позволяют найти алгебру сохраняющихся величин -суперзарядов. Эта алгебра содержит центральные заряды, которые представляют собой билинейные комбинации констант Файе-Илиопулоса и констант, определяющих вакуумные средние вспомогательных компонент супермульти-плета. Исследованы различные способы дуализации вспомогательных компонент супермультиплета, которые приводят к четырехмерным сигма-модельным многообразиям. Найдено, что единственным вариантом, приводящим к сигма-модельному многообразию с не конформно плоской метрикой, является тот, когда одно из двух дифференциальных условий на вспомогательные компоненты дуализуется, а оставшееся добавляется в действие с лагранжевым множителем После исключения вспомогательных полей возникает действие с четырех-

мерным сигма-модельным многообразием, которое является гипер-кэлеровым с двумя изометриями.

Во втором параграфе представлено нелинейное обобщение супермультипле-та, рассмотренного ранее. Найдено, что его состав такой же, как и в линейном случае. Построено наиболее общее суперсимметричное действие для нелинейного супермультиплета. Показано, что геометрия двумерного сигма-модельного многообразия по-прежнему является кэлеровой, однако уже не специального вида. Во-вторых, показано, что нелинейность законов преобразования компонент относительно суперсимметрии уменьшает число вариантов допустимых членов Файе-Илиопулоса, в связи с чем в алгебре суперзарядов не возникает центральных зарядов. В-третьих, нелинейность не позволяет проводить некоторые дуализации, возможные в линейном случае. Тем не менее, допустимые варианты приводят к четырехмерному гипер-кэлерову многообразию с одной изометрией.

В третьем параграфе рассматривается дуализация константы связи. В данном случае этот способ применен к супермультиплету (3,8,5), содержащему три физических поля, восемь фермионов и пять вспомогательных компонент и которое описывается двумя N = 4 суперполями - одним вещественным (1,4,3) и одним киральным комплексным суперполем (2,4,2). Построено наиболее общее N = 4 суперсимметричное действие и найдены условия, при котором оно будет инвариантным относительно N = 8 суперсимметрии. В разложении супермультиплета (1,4,3) по грассмановым переменным присутствует "своя" константа, тогда как в случае с N = 4 супермультиплетом, рассмотренным в первой главе, константа возникала из размерных соображений при построении наиболее общего суперсимметричного действия. Показано, что исключение вспомогательных полей, согласно их уравнениям движения, и дуализация константы приводит к четырехмерному сигма-модельному гипер-кэлеровому многообразию с метрикой Гиббонса-Хокинга с одной изометрией. Показано, что дуализа-

ция вспомогательных компонент допустима, однако возникающее таким образом сигма-модельное многообразие будет конформно плоским.

В четвертом параграфе построено нелинейное представление N = 4 й = 3 алгебры суперсимметрии. Показано, что в состав его физических полей входит одно скалярное комплексное поле, одно вещественное скалярное, одно векторное и восемь фермионных. Показано, что векторное поле подчинено тождеству Бьянки. Это позволяет интерпретировать его как тензор напряженности электромагнитного поля. Построено действие, отвечающее нелинейному векторному супермультиплету. Доказана его инвариантность относительно преобразований суперсимметрии и найден его бозонный предел. Показано, что компонентное действие описывает нелинейную теорию электромагнитного поля, взаимодействующую с тремя скалярными полями. Соответствующее ему сигма-модельное многообразие является искривленным трехмерным пространством. Показано, что после дуализации тождеств Бьянки оно становится четырехмерным гипер-кэлеровым многообразием с метрикой Гиббонса-Хокинга с одной триголоморф-ной изометрией.

В третьей главе рассматриваются теории со спонтанным нарушением суперсимметрии, при котором четыре из восьми суперсимметрий реализованы явным образом, оставшиеся - неявным.

В первом параграфе рассматривается спонтанное нарушение N — 2 И = 4 суперсимметрии, расширенной двумя центральными зарядами, что эквивалентно ТУ = 1 Б = 6, до N — 1 £> = 4. Голдстоуновский фермион, соответствующий спонтанному нарушению суперсимметрии, является компонентой векторного супермультиплета. Приведены суперполевые условия, описывающие N = 2 £> = 4 векторный супермультиплет и его законы преобразования относительно преобразований спонтанно нарушенной суперсимметрии. Найдено решение тождеств Бьянки, согласующееся с суперсимметрией. Для этого введены новые спинорные суперполя, которые обеспечивают замыкание преобразований

суперсимметрии вне массовой оболочки. Найден полный набор полей, образующих расширенный векторный супермультиплет. Предложен набор суперполевых условий, связывающий компоненты расширенного векторного супермуль-типлета и исследован вопрос их совместности с преобразованиями суперсимметрии. Одним из этих условий является рекуррентное соотношение на лагранжиан суперсимметричной три-браны. Найдено решение этого соотношения. Построено суперсимметричное действие и показано, что оно описывает динамику суперсимметричной три-браны. Было найдено, что набор соотношений на компоненты расширенного векторного супермультиплета приводит к существованию линейного бесконечно-мерного матричного представления суперсимметрии N = 2 £> = 4, реализованного на бозонных полях, элементы которого нелинейным образом выражаются через два младших суперполя этого матричного представления, являющиеся координатами супер-три-браны.

Во втором параграфе рассматривается спонтанное нарушение суперсимметрии для одномерной теории. Найдено представление суперсимметрии на двух супермультиплетах с составом (0,4,4) и (2,4,2), на которых может быть реализовано спонтанное нарушение суперсимметрии. Голдстоуновский фермион является младшей спинорной компонентой суперполя (0,4,4). Показано, что суперполе (2,4,2) может быть использовано для построения суперсимметричного действия. Найдены и решены ковариантные условия, которые необходимо наложить на суперполе (2,4,2), чтобы соответствующее действие описывало нетривиальную динамику. Показано, что можно перейти от голдстоуновского фер-миона к голдстоуновскому бозону, причем имеется несколько возможных вариантов такого перехода. Исследованы все варианты таких переходов, найдены реализации преобразований суперсимметрий на суперполе (2,4,2) и голдсто-уновском суперполе. Показано, что бозонные пределы соответствующих действий описывают свободную релятивистскую частицу в плоском пространстве-времени размерности от двух до пяти.

В заключении перечислены основные результаты, выносимые на защиту.

На защиту выдвигаются следующие результаты.

1. Построен нелинейный N = 4 й = 1 супермультиплет, определенный вне массовой оболочки и имеющий компонентный состав (4,4,0). Построено соответствующее ему суперсимметричное действие. Показано, что его сигма-модельное многообразие не является конформно плоским и при определенных условиях становится гипер-кэлеровым.

2. Дано описание нелинейного представления Ы = А й = 1 суперсимметрии в гармоническом суперпространстве и построено суперсимметричное действие на основе этого представления. Показано, что бозонное сигма-модельное многообразие является гипер-кэлеровым многообразием Егучи-Хансона

3. Построен лагранжев и гамильтонов формализм суперсимметричной механики с восемью суперзарядами, основанной на линейном и нелинейном киральном супермультиплете с двумя физическими бозонами Изучены геометрии их сигма-модельных многообразий. Построены суперзаряды и найдена алгебра суперзарядов. Показано, что подходящая дуализация вспомогательных компонент приводит к гипер-кэлеровым многообразиям

4 Построен новый нелинейный N = 4 й = 3 векторный супермультиплет. Показано, что среди его компонент содержится тензор напряженности электромагнитного поля. Построено инвариантное суперсимметричное действие, которое описывает нелинейную й = 3 электродинамику с восемью суперзарядами Найдено, что дуализация тождеств Бьянки приводит к гипер-кэлеровому многообразию с одной изометрией

5 Построено бесконечномерное матричное представление N = 2 d = 4 суперсимметрии, спонтанно нарушенной до N = 1 d = 4. Показано, что лагранжиан суперсимметричной 3-браны является одной из компонент этого представления. Найдены явные выражения для всех компонент этого представления в терминах младшей компоненты.

6. Построено универсальное действие с N = 8 d = 1 суперсимметрией, спонтанно нарушенной до N = 4 Показано, что различный выбор связи между голдстоуновскими бозонами и фермионами приводит к суперсимметричным действиям свободной релятивистской частицы в D-мерпом пространстве, D = 1,..., 4.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. С. Кривонос, А. Щербаков, "Гипер-кэлеровы многообразия и нелинейные супермулътиплеты", Письма в ЭЧАЯ 4, №1(137) (2007) 91-98.

2 S Bellucci, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "N = 4 d = 3 Nonlinear Electrodynamics", Phys. Rev. D 74 (2006) 065016.

3. S. Bellucci, S Krivonos, A. Shcherbakov, "Hyper-Kahler Geometry and Dua-hzation", Phys. Rev. D 73 (2006) 085014.

4. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "Universal Superfield Action for N = 8 N = 4 Partial Breaking of Global Supersymmetry m D=l", Phys. Lett. В 638 (2006) 526-530.

5. S. Krivonos, A. Shcherbakov, "N = 4, d = 1 Tensor Multiplet and HyperKahler a-models", Phys. Lett. В 637 (2006) 119-122.

6. S. Bellucci, A. Beylin, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "N=8 Nonlinear Super-symmetric Mechanics", Phys. Lett. В 633 (2006) 382-388

7. С. Burdik, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "N = 4 Super symmetric Eguchi-Hanson Sigma Model in d = 1", Czechoslovak Journal of Physics 55, №11 (2005) 1357-1364.

8. S Bellucci, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "Two-dimensional N = 8 Super-symmetric Mechanics m Superspace", Phys. Lett. В 612 (2005) 283-292.

9. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Nersessian, A. Shcherbakov, "2k-dimensional N = 8 Supersymmetric Quantum Mechanics", Proceedings of the "XI International Conference on Symmetry Methods in Physics," Prague, Czech Republic, 2004, hep-th/0410073.

10. A. Kapustnikov, A. Shcherbakov, "Matrix Supermultiplet of N = 2, D = 4 Supersymmetry and Supersymmetric 3-Brane", Phys. Lett. В 552 (2003) 273279.

11. A. Kapustnikov, A. Shcherbakov, "Supersymmetric 3-brane from Extended Goldstone-Maxwell Supermultiplet", Problems of Atomic Science and Technology, (Ukraine) 6(1) (2001) 49.

12. A. Kapustnikov, A. Shcherbakov, "Linear and Nonlinear Realizations of Super-branes", Nucl.Phys.Proc.Suppl. 102 (2001) 42-49.

Получено 9 января 2007 г.

Отпечатано методом прямого репродуцирования с оригинала, предоставленного автором.

Подписано в печать 12.01.2007. Формат 60 х 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,05. Тираж 100 экз. Заказ № 55624.

Издательский отдел Объединенного института ядерных исследований 141980, г. Дубна, Московская обл., ул. Жолио-Кюри, 6. E-mail: publish@jinr.ru www.jinr.ru/publish/

Введение

1 N = 4 d = 1 гиперкэлеровые модели

1.1 Тензорный мультиплет.

1.1.1 Компонентный состав и действие.

1.1.2 Дуализация вспомогательной компоненты.

1.2 Дуализация константы связи.

1.2.1 N = 4 тензорный супермультинлет и его N = 2 описание

1.2.2 Действие.

1.2.3 Построение гиперкэлерового многообразия.

1.3 Нелинейный N = 4 гииермультиплет

1.3.1 Введение: гармоническое суперпространство.

1.3.2 Нелинейное представление суперсимметрии.

1.3.3 Сигма-модель Егучи-Хансона.

1.3.4 Калибровка Весса-Зумипо.

1.3.5 Сигма-модельное многообразие

1.3.6 Взаимосвязь калибровочных полей.

2 Суперсимметричные модели с восемью суперзарядами

2.1 Сигма-модель на основе линейного кирального супермультиплета

2.1.1 Линейный киральный супермультиплст

2.1.2 Построение действия.

2.1.3 Гамильтонов формализм.

2.1.4 Построение гиперкэлерового многообразия.

2.2 Сигма-модель на основе нелинейного кирального супермультиплета

2.2.1 Нелинейный киральный супермультинлет.

2.2.2 Построение действия

2.2.3 Гамильтонов формализм.

2.2.4 Построение гиперкэлерового многообразия.

2.3 Дуализация константы связи.

2.3.1 Супермультинлет (3,8,5).

2.3.2 Построение действия.

2.3.3 Построение гиперкэлерового многообразия.

2.4 Нелинейная N = 4 d = 3 электродинамика.

2.4.1 Нелинейный векторный супермультиплет .7G

2.4.2 Построение суперсимметричного действия.

3 Спонтанное нарушение суперсимметрии

3.1 Супер-З-брана в шестимерном пространстве.8G

3.1.1 Расширенный векторный N = 2 D = 4 супермультиплет.

3.1.2 Рекуррентное соотношение.

3.1.3 Бесконечномерный матричный N = 2 супермультиплет.

3.2 Спонтанное нарушение суперсимметрии в d = 1.

3.2.1 Универсальное действие

3.2.2 Действия суиерсимметричных частиц.

Суперсимметричная квантовая механика, сформулированная впервые в известной работе [1], и сейчас находит широкий спектр применения при изучении физических явлений, которые так или иначе связаны с непертурбативиыми эффектами и которым пока что не дано полного и исчерпывающего описания в рамках квантовой теории поля. Так, например, суперсимметричная квантовая механика применяется при описании одномерного варианта известного AdS/CFT соответствия [2, 3, 4, 5], связывающего свойства теории суперструн [6, 7] на пространстве AdS$ х S5 с N = 4 суперсимметричной теорией Янга-Миллса. Квантовая механика также используется при рассмотрении моделей со спонтанно нарушенной суперсимметрией [1, 8, 9, 10], при описании динамики движения частиц вблизи горизонта событий чёрных дыр, возникающих в теории супергравитации [6], при описании пространства модулей суперсимметричных монополей и черных дыр [11, 12, 13, 14]. Пространство модулей суперсимметричных черных дыр является сигма-модельным пространством суперсимметричной механики, которая описывает движение по геодезической в этом пространстве [11, 15, 16, 17J. Низкоэнергетическая динамика протяженных объектов на нетривиальных пространствах, таких как, например, движение DO-браны в поле £>4-браны [18], также описывается суперсимметричной квантовой механикой. Опять же, низкоэнергетические свойства загадочной Лf-теории, претендующей на главенствующую роль в объединении всех известных взаимодействий, также, вероятно, описываются суперсимметричной квантовой механикой [19]. Возникает она и при квантовании суперсимметричных теорий ноля в калибровке светового конуса [20, 21].

Конечно же, одномерные суперсимметричные модели анализировать проще, чем их многомерные аналоги. Однако, размерная редукция суперсимметричных действий, определенных в d > 1, не воспроизводит все возможные действия в d = 1, поскольку в многомерном случае правила отбора, связанные с группой Лоренца, накладывают дополнительные ограничения, которых, естественно, нет в d = 1. Например, в d = 1 три-форма кручения, модифицирующая связность, не обязана быть замкнутой. Если она будет замкнутой, то соответствующее действие может быть получено размерной редукцией из d > 1, в противном случае - нет. Отсутствие группы Лоренца сказывается и на таком фундаментальном свойстве суперсимметрии, как равенство числа бозонных и фермионных степеней свободы на массовой поверхности, которое не обязано выполняться в d = 1. Эти факты говорят о том, что нужно рассматривать одномерные суперсимметричные модели, основываясь на алгебре суперсимметрии в d = 1, не прибегая к размерной редукции.

Алгебра d = 1 суперсимметрии с N вещественными суперзарядами имеет вид

Линейные представления этой алгебры были построены и работах (22, 23]. Требования, чтобы, во-первых, преобразования полей, образующих представление, реализовывали алгебру суиерсимметрии, и, во-вторых, оставляли свободное действие инвариантным, приводят к следующим значениям на число бозонов d(, и фермионов df в зависимости от количества суиерсимметрии

N: 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 12 16 . db = df. 1 2 4 4 8 8 8 8 1G 32 64 128 .

Как и в четырехмерны, бозонные поля включают dph физических и daux вспомогательных полей, суммарное число которых и представлено в таблице

Поэтому каждый из представленных в таблице мультиплетов имеет версии с различным числом физических и вспомогательных полей. В d = 1, рассматривая алгебры суперсимметрии с N суперзарядами, удобно ввести обозначение для представления, содержащего п физических бозонов, N—п вспомогательных бозонов и N фермионов, число которых равно числу суиерсимметрии. Так, например, для N = 4 имеется пять вариантов линейных представлений: (0,4,4), (1,4,3), ., (4,4,0).

Анализ трансформационных свойств компонент линейных сунермультиилетов в одном измерении показывает, что имеются преобразования, которые превращают физические бозонные поля во вспомогательные и наоборот, оставляя их суммарное число неизменным. Например, супермультиплеты (3,4,1) и (4,4,0) связаны этими преобразованиями, которые основаны только лишь на трансформационных свойствах и не апеллируют к функционалу действия. Другой тип преобразований также меняет компонентную структуру супермультиплета, но применяется к функционалу действия. Проще всего его пояснить на примере конформно инвариантной механики

Условие постоянства д может быть истолковано, как решение условия g(t) = 0. Рассматривая это условие как связь, вставим его в действие с лагранжевым множителем ip(t) и исключим g(t):

Q\QJ} = SVP, [Q\P] = 0, i.j=l.A. dph daux — dbn, N, N - n) 2<p(t)g(t) ->S = Jdt Р2 + Р2Ф2 . 2

2-2

Таким образом, это преобразование превращает действие с одномерным сигма-модельным многообразием в действие с двумерным многообразием, что и является источником изменения компонентной структуры супермультиплета (глава 1).

Из таблицы видно, что случаи N = 1,2,4,8 являются выделенными, поскольку для этих значений число фермионных и бозонных полей, образующих супермультиплет, совпадает с числом суперсимметрий

N = db = df, при N = 1,2,4,8.

Мультиплеты с таким числом фермионов (и бозонов) удобны для описания супсрсим-метричных моделей с максимальным числом суперсимметрий, т.е., например, на су-иермультиплете с восемью фермионами можно реализовать суперсимметрию с числом супергенераторов, не превышающим восьми. Видно также, что при N > 8 число нолей быстро растет, что заметно усложняет анализ соответствующих таким мультиплетам теорий. Кроме того, взаимосвязь числа суперсимметрий N с геометриями соответствующих сигма-моделей [24], показывает, что случай N = 8 является максимально возможным, при котором геометрия не фиксируется полностью; при N > 8, например, сигма-модельное многообразие превращается в симметрическое пространство. К тому же, случай N = 8 соответствует редукции наиболее интересных четырехмерных N — 2 суперсимметричных теорий поля в d = 1.

Большое количество работ [25, 26, 27] было посвящено построению суперсимметричных механик с N = 1,2 для изучения вопросов спонтанного нарушения суперсимметрии и исследовании конформных свойств моделей [28, 29]. Поскольку и этом случае количество дополнительных условий, накладываемых суперсимметрией, невелико, то и серьезных ограничений на геометрию их многообразий не возникает - соответствующие сигма-модельные многообразия просто являются римановыми.

В первых работах по N — 4 суперсимметричной механике [30] также исследовались свойства, накладываемые суперсимметрией на сигма-модельное многообразие, и конформные аспекты суперсиммеуричпой механики [31]. Интересный результат получен в работе [32], в которой построено трехмерное сигма-модельное многообразие, основываясь на N — 4 d = 1 представлении суперсимметрии, у которого нет d > 1 аналога. Вообще говоря, этот факт есть отражение общего утверждения о том, что, как и в случае с действиями, размерная редукция из d > 1 не дает всего разнообразия d = 1 супермультиилетов. Кроме того, d > 1 супермультиплеты, которые определены только на массовой поверхности, могут иметь d — 1 аналоги, которые определены и вне массовой поверхности. Типичным примером может служить гипермультинлет Файе-Сонуиса [33, 34], определенный только лишь на массовой оболочке, одномерным аналогом которого есть мультиплет с составом (4,4,0), определенный вне массовой оболочки.

Несмотря на большой интерес к моделям с N = 4 суперсимметрией, систематическое исследование N = 4 мультиплетов было проведено лишь в недавней работе [35], в которой проклассифицированы все возможные представления наиболее общей в одномерии конформной супералгебры D(2,1; а) с четырьмя генераторами Пуанкаре.

Рассматривая нелинейные реализации этой супсралгебры, помимо известных представлений были найдены два новых - нелинейный киральный (2,4,2) и нелинейный тензорный (3,4,1) супермультинлеты, - которые описываются нелинейными суперполевыми условиями. Компонентный состав этих представлений не отличается от их линейных аналогов, однако с геометрической точки зрения эти представления являются совершенно различными, поскольку физические бозонные поля соответствующих су-пермультиплетов являются координатами совершенно различных фактор-нространств суперконформной алгебры .0(2,1; а). В нелинейном случае это сферы S2 и S3 для ки-рального и тензорного мультиплетов соответственно, тогда как в линейном случае -плоскости R2 и R3.

Для суперсимметричных одномерных моделей расширенная суперсимметрия накладывает более слабые условия на геометрию их сигма-модельного многообразия, чем в случае многомерных моделей с тем же числом суперсимметрий [11], поэтому можно ожидать наличие более широкого класса допустимых сигма-модельных геометрий.

В случае d = 4 ответ на вопрос о взаимосвязи геометрии суперсимметричных моделей и числа суперсимметрий был известен и заключался в том, что геометрии могут быть кэлеровыми [36], гиперюлеровыми [37] или кватерпион-кэлеровыми [38].

В работах [11, 39, 40] этот вопрос изучался для d = 1 суперсимметричных моделей. Было показано, что для N = 4 сигма-модельное м1югообразие является гиперкэлеровым с кручением (НКТ) и задается метрикой, тремя комплексными структурами, образующими алгебру кватернионов, и три-форхмой кручения. Если форма кручения замкнута, то говорят, что многообразие имеет "сильную" НКТ структуру.

Результат, полученный в работе [35] заключается в том, что наиболее общее суперсимметричное действие, построенное для d = 1 N = 4 супермультиплета, скажем, с четырьмя бозонными полями, которые мы обозначим q\ имеет вид

С точки зрения сигма-моделыюго подхода функции ql(t) задают отображение одномерного пространства на некоторое четырехмерное сигма-модельиое многообразие М. Поэтому они могут интерпретироваться, как координаты на М с метрикой которая, очевидно, является конформно плоской. II это свойство является общим для всех N = 4 суперсимметричных действий независимо от того, мультиплет с каким числом физических полей рассматривается. Заметим, что это построение совершенно не использовало размерную редукцию и, казалось бы, должно быть максимально общим, поскольку с самого начала было построено для одномерного случая, который, как уже

S = G(q) q\t)ql(t) + фермионы , г = 1,., 4. q: R1 —> М, dim М = 4 ds2 = G{q) dr/d^, говорилось, допускает более широкий класс сигма-модельных геометрий. Тем не менее, все, что можно получить - только лишь конформно плоские многообразия.

Проблема "конформной плоскостности" не является спецификой N = 4 алгебры сунсрсимметрии и имеет место и в случае N = 8. В этом случае [11, 39, 40] геометрия сигма-модельного многообразия является октонион-кэлеровой с кручением (ОКТ) и задается метрикой, семыо комплексными структурами, образующими алгебру окто-ипоиов, и три-формой кручения. Если, как и в случае НКТ, форма кручения замкнута, то говорят, что многообразие имеет "сильную" ОКТ структуру.

Представления алгебры сунсрсимметрии с восемью суперзарядами, как и в случае N = 4, могут быть, в принципе, получены, рассматривая нелинейные реализации d=l суперконформных групп с восемью Пуанкаре суперсимметриями, которых в этом случае четыре [42]

OSp( 4*|4), OSp(812), SU( 4|1,1), F°( 4),

Построение нелинейных реализаций этих супергрупп даст все возможные представления N = 8 супералгебры. Конечно, часть из них будут линейными, что даст представления, полученные в работах [22, 23, 56].

Действия, построенные для какого-либо представления из этих супергрупп, например, (8,8,0), будут иметь такой же вид, что и выписанные выше для (4,4,0), т.е. и в этом случае сигма-модельное многообразие будет конформно плоским.

С другой стороны, понятно, что размерная редукция d > 1 суперсимметричных действий ddx

VmnGij{q)dmqi{x)dnqj{x) + ферм.

S= dt

Gij{q)ql{x)q:'(x) +ферм. как бы нн влияла на число суперсимметрнй, не изменит геометрию сигма-модельного многообразия. Если она была кэлеровой или гиперкэлеровой, то она останется таковой и после размерной редукции.

Таким образом, возникает вопрос: можно ли получить нетривиальные сигма-модельные многообразия для представлений алгебры суперсимметрии в d = 1?

Ключевым моментом в решении этого вопроса является существование нелинейных представлений алгебры суперсимметрии. Так, например, в N = 4 законы преобразования построенного в данной диссертации (глава 1) нелинейного супермультипле-та с четырьмя физическими бозонными полями i>(nh'(£), Ф(£) и четырьмя фермионны-ми Xa(t), Xa(t) имеют вид

Sv™ = 2eHb> + 2&Xb\ 6Ф = ta (fXa + a(ab)Xb) + ? (fXa + a(ab)Xb),

SXa = (ф - \aabvab - 2idabfXaXb^j - k\ab), и определяются ([)упкциями / и а^аЬ\ зависящими от vab и связанными соотношениями дасась + 0bcaca = dabf dabdabf = 0.

Если функция f(vрання константе, то, очевидно, эти законы преобразования воспроизводят известные линейные преобразования компонент относительно преобразований суперсимметрии. Функция / является одной из тех, свойства которой определяют геометрию соответствующего сигма-модельного многообразия, которое, вообще говоря, не является конформно плоским, и при определенных дополнительных условиях становится гиперкэлеровым. В d > 1 ничего подобного не происходит, поскольку в этом случае нет супермультиплетов без вспомогательных полей и функции могут появляться в компонентных законах преобразования, заданных только на массовой оболочке, как результат исключения вспомогательных нолей, тогда как описанные выше d = 1 законы преобразования определены вне массовой оболочки.

Таким образом, нелинейные супермультинлеты играют важную роль в построении сигма-моделей с нетривиальной геометрией. Замечательным фактом является существование нелинейных супермультиплетов и в пространствах с d > 1. Такие мультипле-ты были, например, построены в [43, 44], которые использовались для построения N — 2 суперсимметричной теории гравитации и сигма-моделей. Предложенный в диссертации (глава 2) N = 4 d = 3 нелинейный векторный супермультинлет, описываемый суперполем Z

Dia Z = ZDia2, D?Djn Z = DiaD?Z содержит среди своих компонент тензор напряженности электромагнитного поля и обладает тем же составом, что и линейный векторный супермультинлет. Поэтому действие, построенное на его основе, описывает нелинейную суперсимметричную электродинамику. Соответствующее ему сигма-модельное многообразие является искривленным трехмерным пространством. Это значит, что предложенный вариант нелинейной электродинамики может служить альтернативой теории Борпа-Инфельда, некоммутативным теориям в ряду нелинейных обобщений теории электромагнитного поля.

Важность нелинейных супермультиплетов ярко проявляется и при изучении структуры теорий со спонтанным нарушением суперсимметрии [45, 46, 47,48]. Так, будучи изначально линейными, законы преобразования компонент супермультиплета становятся нелинейными при наложении подходящих условий, описывающих частичное спонтанное нарушение суперсимметрии. Появление неоднородного члена, пропорционального масштабу спонтанного нарушения, в законах преобразования является принципиальным для возникновения нелинейного супермультиплета. В этом случае, в отличие от упомянутых выше, компоненты супермультиплета приобретают нелинейности только при преобразованиях относительно части суперсимметрии - относительно спонтанно нарушенных.

Отличительной особенностью моделей с частично нарушенной суперсимметрией является то, что лагранжиан становится одной из компонент супермультиплета. Его зависимость от других компонент уменьшает число независимых компонент супермультиплета, что и делает его нелинейным. Так, например, в случае спонтанного нарушения N = 2 D = 4 суперсимметрии с двумя центральными зарядами до N = 1 D ~ 4 показано (глава 3), что имеется бесконечно-мерный супермультиплет Vmn, содержащий лагранжиан шестимерной суперсимметричной три-браны среди своих компонент: £ = Уп. Наложение подходящих условий приводит к тому, что Vn выражается через младшие компоненты Voi и Ум, тем самым, все компоненты могут быть выражены через них:

92(m+n-2) . .

Vmn = НХ-^С + 4(1 - шп)УХ).

Как уже говорилось выше, одномерные модели обладают более широкими свойствами. Поэтому помимо того, что лагранжиан является одной из компонент супермульти-плета, в одном ери и обнаружен интересный факт, связанный с тем, что имеется универсальное суперсимметричное действие, которое не имеет бозонного предела, однако из него можно получить действия, бозонные пределы которых описывают свободные суперсиммстричные релятивистские частицы!

Универсальное действие формулируется в терминах фермионпого N = 4 суперполя ¥

S = S[^,¥], г = 1,2, с компонентным составом (0,4,4). Это супсрполс не имеет бозонных физических компонент, что возможно только в одномерии! Суперполе Фг является голдстоуиовским фермионом и может быть выражено через голдстоуновский бозон. Однако в d = 1 эта взаимосвязь не единственна! Поэтому, выбирая различные варианты соотношения между голдстоуновскими фермионами и бозонами, из универсального действия можно получить действия частиц в пространстве различных измерений. Например, выражая голдстоуновский фермион через единственный голдстоуновский бозон = I DlX S = J dt(l - yjl -x2 + фермиопы^ , получим действие релятивистской частицы в d = 2, а если через триплет голдстоунов-ских бозонов - действие релятивистской частицы в d = 3 = i DjV(ij) S = Jdt(l - + фермионы^ .

Таким образом, нелинейные супермультиплеты находят очень широкое применение при построении суперсимметричных моделей. Это касается как, казалось бы, простых d = 1 моделей, с их проблемами "конформной плоскостности", с интересными аспектами спонтанного нарушения суперсимметрии, так и d > 1 моделей с альтернативными обобщениями линейной электродинамики.

Изучению, построению и анализу нелинейных супермультиплетов cN=4nN=8 суперсимметрией посвящена данная диссертация.

Диссертация содержит введение, три главы, заключение и список цитированной литературы.

Заключение

Основной делыо проведенных в диссертации исследований было построение и изучение нелинейных супермультиплетов в применении к построению суперсимметричных сигма-моделей с четырьмя и восемью суперсимметриями и к моделям со спонтанно нарушенной суперсимметрией, когда четыре из них являются нарушенными, а другие четыре - явными.

Перечислим основные результаты, полученные в диссертации.

1. Построен нелинейный N = 4 d = 1 супермультиплет с компонентным составом (4,4,0) с законами преобразования, определенными вне массовой оболочки. Построено соответствующее ему суперсимметричное действие. Показано, что его сигма-модельное многообразие не является конформно плоским и при определенных условиях становится гиперкэлеровым.

2. Дано описание нелинейного, представления Лг = 4 d = 1 суперсимметрии в гармоническом суиерпростраистве и построено суперсимметричное действия на основе этого представления. Показано, что геометрия сигма-модельного многообразия является гииеркэлеровой геометрией типа Егучи-Хансона.

3. Построен лагранжев и гамильтонов формализм суперсимметричной механики с восемью суперзарядами, основанной па линейном и нелинейном киральном су-пермультинлете с двумя физическими бозонами. Изучены геометрии их сигма-модельных многообразий. Построены суперзаряды и найдена алгебра суперзарядов. Показано, что подходящая дуализация вспомогательных компонент приводит к гиперкэлеровым многообразиям.

4. Построен новый нелинейный N = 4 d = 3 векторный супермультиплет. Показано, что среди его компонент содержится тензор напряженности электромагнитного поля. Построено инвариантное суперсимметричное действие, которое описывает нелинейную d = 3 электродинамику с восемью суперзарядами. Найдено, что дуализация тождеств Бьянки приводит к гиперкэлеровому многообразию с одной изометрией.

5. Построено бесконечно-мерное матричное представление расширенной N = 2 d = 4 суперсимметрии спонтанно нарушенной до N = 1 d = 4. Показано, что лагранжиан суперсимметричной три-браны является одной из компонент этого ттредставления. Найдены явные выражения для всех компонент этого представления в терминах младшей компоненты.

G. Построено универсальное действие с N = 8 d = 1 суперсимметрией, спонтанно нарушенной до N = 4. Показано, что различный выбор связи между голдсто-уповскими бозонами и ферм ионами приводит к сунерсимметричным действиям свободной релятивистской частицы в D-мерном пространстве, D = 2,., 5.

Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в статьях [93]-[104].

В заключении я хочу выразить свою признательность своим научным руководителям - Кривоиосу Сергею Олеговичу и безвременно ушедшему от нас Капустникову Александру Алексеевичу, Иванову Евгению Алексеевичу, Зуннику Борису Моисеевичу и Сутулину Антону за полезные и стимулирующие обсуждения, а также своей семье и друзьям за поддержку.

1. Witten, "Dynamical Breaking Of Super symmetry", Nucl. Pliys. В 188 (1981) 513-534.

2. J. M. Maldacena, "The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Superyravity", Adv. Theor. Math. Pliys. 2 (1998) 231-252.

3. S. S. Gubser, I. R. Klebanov, A. M. Polyakov, "Gauge Theory Correlators from Noncritical String Theory",Phys. Lett. В 428 (1998) 105-114.

4. E. Witten, "Anti-de Sitter Space and Holography", Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 253-291.

5. R. R. Metsaev, "Light-cone formulation of conformal field theory adapted to AdS/CFT correspondence", Phys. Lett. В 636 (2006) 227-233.

6. M. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен, Теория суперструн .т. 1, — М. Мир, 1990. —-518 с.

7. А. P. Isaev, Е. A. Ivanov, "Nonabelian N = 2 super strings", препринт IC-90-97, 1990, 27 е.,

8. A. P. Isaev, E. A. Ivanov, "Green-Schwarz Superstring As An Asymmetric Chiral Field Sigma Model", ТМФ 81 (1989) 420-433.

9. E. Ivanov, S. Krivonos, A. Pashnev, "Partial Supersymmetry Breaking in N = 4 Supersymmetrie Quantum Mechanics", Class. Quant. Grav. 8 (1991) 19; препринт JINR-E2-90-431, 1990, 24 с.

10. E. Donets, A. Pashnev, J. Rosales, M. Tsulaia, "Partial Supersymmet-ry Breaking in Multidimensional N = 4 SUSY QM", hep-th/0001194.

11. F. Delduc, E. Ivanov, S. Krivonos, "1/4 PBGS and Superparticle Actions", Сб. трудов: "New symmetries and integrable models", c. 131-142, Karpacz 1999.

12. G. W. Gibbons, G. Papadoponlos, K. S. Stelle, "HKT and OKT Geometries on Soliton Black Hole Moduli Spaces", Nucl. Phys. В 1997 (508) 623-658.

13. P. Claus, M. Derix, R. Kallosh, J. Kumar, P. Townsend, A. Van Proeyen, "Black Holes and Superconforrnal Mechanics", Phys. Rev. Lett. 81 (1998) 4553-4556.

14. A. Maloney, М. Spradlin, A. Strominger, "Superconformal МиШЫаск Hole Moduli Spaces in Four-Dimensions", JIIEP 0204 (2002) 003.

15. D. Bak, К. M. Lee, P. Yi, "Complete Supersymmetric Quantum Mechanics of Magnetic Monopoles in N = 4 SYM Theory", Pliys. Rev. D 02 (2000) 025009.

16. J. Michelson, A. Strominger, "Superconformal Multiblack Hole Quantum Mechanics", JHEP 9909 (1999) 005.

17. J. Michelson, A. Strominger, "The Geometry of (Super)Conformal Quantum Mechanics", Commun. Math. Pliys. 213 (2000) 1 17.

18. A. P. Isaev "Multiloop Feynman integrals and conformal quantum mechanics", Nucl. Phys. В 662 (2003) 461-475.

19. D.-E. Diaconescn, R. Entin, "A Nonrenormalization Theorem for the d = 1, N = 8 Vector Multiplet", Phys. Rev. D 56 (1997) 8045-8052.

20. E. Witten, "M Theory and Quantum Mechanics", Nucl. Phys. Proc. Suppl 62 (1998) 463-466.

21. R. R. Metsaev, "Eleven dimensional supergravity in light cone gauge", Phys. Rev. D 71 (085017) 2005. " "i

22. S. Hellerman, J. Polchinski, "Supersymmetric Quantum Mechanics from Light Cone Quantization", в сб.: The Many Faces of The Superworld (ed. M.A.Shifman), 142— 155.

23. A. Pashnev, F. Toppan, "On the Classification of N Extended Supersymmetric Quantum Mechanical Systems", J. Math. Phys. 42 (2001) 5257-5271.

24. S. J. Gates, Jr., L. Rana, "Ultramultiplets: a New Representation of Rigid 2 — d, N = 8 Supersymmetry", Phys. Lett. В 342 (1995) 132-137.

25. A. Van Proeyen, "Vector Multiplets in N = 2 Supersymmetry and its Associated Moduli Spaces", Trieste HEP Cosmology 1995: 256-295.

26. В. Акулов, А. Пашнев, "Квантовая суперконформная модель в пространстве (1,2)", ТМФ 56, №3 (1983) 344-349.

27. В. Акулов, А. Пашнев, "Суперсимметричная квантовая механика и спонтанное нарушение суперсимметрии на квантовом уровне", ТМФ 05, №1 (1985) 84-92.

28. А. Пашнев, "Одномерная суперсимметричная квантовая механика с N > 2", ТМФ 09, № 2 (1980) 311-315.

29. Е. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, "Geometric Super-field Approach to Superconformal Mechanics", J. Phys. A. 22 (1989) 4201.

30. Е. Ivanov, S. Krivonos, V. Leviant, "Geometry of Conformal Mechanics", J. Phys. A. 22 (1989) 345-354.

31. M. de Crombrugghe, V. Rittenberg, "Supersymmetric Quantum Mechanics", Annals Phys. 151 (1983) 99.

32. S. Fubini, E. Rabinovici, "Superconformal Quantum MechanicsNucl. Phys. В 245 (1984) 17.

33. E. Ivanov, A. Sinilga, "Supersymmetric Gauge Quantum Mechanics: Superfield Description", Phys. Lett. В 257 (1991) 79-82.

34. P. Fayct, "Fermi-Bose HypersymmctryNucl. Phys. В 113 (197G) 135.

35. M. F. Sohnius, "Supersymmetry and Central Charges", Nucl. Phys. В 138 (1978) 109121.

36. E. Ivanov, S. Krivonos, 0. Lechtenfeld, "N = 4, d = 1 Supermultiplets from Nonlinear Realizations of D{2, l;a)", Class. Quant. Grav. 21 (2004) 1031-1050.

37. B. Zuinino, "Supersymmetry and Кahler Manifolds", Phys. Lett. В 87 (1979) 203-206. .

38. L. Alvarez-Gaume. D. Freedman, "Ricci-Flat К ahler Manifolds and Supersymmetry" < Phys. Lett. В 94 (1980) 171-173. I

39. J. Bagger, E. Witten, "Matter Couplings in 'N = 2'Svpergravity", Nucl: Phys. В 222 • (1983) 1-10. " " . ' ' '

40. R. A. Coles, G. Papadopoulos, "The Geometry of the One-Dimensional Supersymmetric Nonlinear Sigma Models", Class. Quant. Grav. 7 (1990) 427-438.

41. С. M. Hull, "The Geometry of Supersymmetric Quantum Mechanics", QMW-99-16, 1999, 35pp, hep-th/9910028.

42. G. Papadopoulos, "Conformal and Superconformal Mechanics", Class. Quant. Grav. 17 (2000) 3715-3741.

43. A. Van Proeyen, "Tools for Supersymmetry", Сб. трудов "Spring School on Quantum Field Theory: Supersymmetry and Superstrings", Калимаиссти, Румыния, 2430 аир. 1998, hep-th/9910030

44. В. de Wit, P. G. Lauwers, A. Van Proeyen, "Lagrangians of N = 2 Supergravity-Matter Systems", Nucl. Phys. В 255 (1985) 569-608.

45. В. de Wit, R. Philippe, A. Van Proeyen, "The Improved Tensor Multiplet In N = 2 Supergravity", Nucl. Phys. В 219 (1983) 143-166.

46. J. Bagger, A. Galperin, "Matter Couplings in Partially Broken Extended Supersymmetry", Phys. Lett. В 336 (1994) 25-31.46 47 [48 [49 [5051 52 [53 [54 [5556 57 [58 [59 [60

47. J. Bagger, A. Galperin, "Л New Goldstone Multiplet for Partially Broken Supersymrnetry", Phys. Rev. D 55 (1997) 1091.

48. J. Bagger, A. Galperin, "The Tensor Goldstone Multiplet for Partially Broken Supersymrnetry", Pliys. Lett. В 412 (1997) 296-300.

49. M. Rocek, A. A. Tseytlin, "Partial Breaking of Global D = 4 Super symmetry, Constrained Superfields, and Three-Brane Actions", Phys. Rev. D 59 (1999) 106001.

50. Весе, Дж. Беггер, Суперсимметрия и супергравитация, — М.: Мир, 1986. — 180 с.

51. В. И. Огиевецкий, Л. Мезинческу, "Симметрии между бозонами и ферм,ионами и суперполя", УФН 117, ЛЧ (1975) 637-683;

52. Mezincescu, V. I. Ogievetsky, "Action Principle in Superspace", препринт JINR-E2-8277, 1974, 8 с.

53. E. Ivanov, 0. Lechtenfeld, "N = 4 Supersymmetric Mechanics in Harmonic Superspace", hep-th/0307111.

54. V. P. Akulov, D. P. Sorokin, I. A. Bandos, "Particle Mechanics in Harmonic Superspace", .Modern Physics Letters A 3, № 17 (1988) ,1633-1645.

55. P. S. Howe, M. I. Leeming, "Harmonic Superspaces in Low Dimensions",' Class. Quant. Grav. 11 (1994) 2843'-2852. . . . ?

56. Л. Д. Ландау, E. M. Лифшиц, Теория поля, т. 2, М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. -536 с.

57. R. Britto-Pacumio, J. Michelson, A. Strominger, A. Volovich, "Lectures on Superconformal Quantum Mechanics and Multiblack Hole Moduli Spaces", in: "Cargese 1999, Progress in string theory and M-theory," p. 235-264.

58. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos, O. Lechtenfeld, "ABC of N = 8 d = 1 Superrnultiplets", Nucl. Phys. В 699 (2004) 226-252.

59. E. Ivanov, S. Krivonos, O. Lechtenfeld, "Double Vector Multiplet and Partially Broken N = 4, d = 3 Supersymmetry", Phys. Lett. В 487 (2000) 192-200.

60. E. Ivanov, S. Krivonos, O. Lechtenfeld, B. Zupnik, "Partial Spontaneous Breaking of Two-Dimensional Supersymmetry", Nucl. Phys. В 600 (2001) 235-271.

61. V. Rittcnberg, E. Sokatchev "Decomposition of Extended Supcrfields into Irreducible Representations of Super symmetry", Nucl. Phys. В 193 (1981) 477-509.

62. M. Born, L. Infeld, "Foundations of the New Field Theory", Proc. Roy. Soc. Lond. A 144 (1934) 425-451.

63. JT. Мезинчсску, "О суперполевой формулировке 0(2) супер симметрии", препринт ОИЯИ Р2-12572, Дубна, 197962. см., например, Л. Райдер, Квантовая теория поля, — М.: Мир, 1987. — 512 с.

64. R. Grimm, М. Sohnius, J. \Vess, "Extended Supersymmetry and Gauge Theories", Nncl. Phys. В 133 (1978) 275.

65. E. Ivanov, "Diverse PBGS Patterns and Superbranes", в сб.: Karpacz 1999, New symmetries and integrable models, стр. 206-217.

66. J. Hughes, J. Polchinski, "Partially Broken Global Supersymmetry and the Superstring", Nncl. Phys. В 278 (1986) 147.

67. J. Hughes, J. Liu, J. Polchinski, "Supermembranes", Phys. Lett. В 180 (1986) 370.

68. П. Дирак, Лекции по квантовой механике, — М.: Мир, 1968. — 82 с.

69. A. Galperin, Е. Ivanov, S. Kalitzin, V. Ogievetsky, Е. Sokatchev, "Unconstrained N=2 Matter, Yang-Mills and Super-gravity Theories in Harmonic Superspace", Class. Quant. Grav. 1 (1984) 469-498.

70. A. Galperin,' E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev, "Harmonic Superspace: Key to N = 2 Supersymmetry Theories", JETP Lett. 40 (1984) 912-916; Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz.40:155-l58,l984.

71. A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, E. Sokatchev, Harmonic Superspace, — Cambridge University Press, 2001. — 306 c.

72. A. Galperin, E. Ivanov, V. Ogievetsky, P. Townsend, "Eguchi-Hanson Type Metrics from Harmonic Superspace", Class. Quant. Grav. 3 (1986) 625.

73. V. P. Berezovoi, A. I. Pashnev, "Three-dimensional N=4 extended supersymmetrical quantum mechanics", препринт ХФТИ-91-21 (91/02), 1991.

74. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Marrani, E. Orazi, "'Root' Action for N = 4 Supersymmetric Mechanics Theories", Phys. Rev. D 73 (2006) 025011.

75. F. Gonzalez-Rey, I. Y. Park, M. Rocek, "On Dual 3-Brane Actions with Partially Broken N = 2 Supersymmetry", Nucl. Phys. В 544 (1999) 243-264.

76. G. W. Gibbons, S. W. Hawking, "Gravitational Multi-Instantons", Phys. Lett. В 78 (1978) 430-432.

77. F. Delduc, E. Ivanov, "Gauging N = 4 Supersymmetric Mechanics", hep-th/0605211.

78. L. Brink, S. Deser, B. Zumino, P. Di Vecchia, P. S. Howe, "Local Supersymmetry for Spinning Particles", Phys. Lett. В 64 (1976) 435.7879 808186 878889 90 [9192

79. В. Д. Гершун, В. II. Ткач, "Описиние частиц со спином на основе локальной суперсимметрии", в сб.: Теоретико-групповые методы в физике. Т.2, — М.: Паука, 1980. 217-220 с.

80. S. Bellucci, Е. Ivanov, S. Krivonos, О. Lechtenfeld, "N = 8 Superconformal Mechanics", Nucl. Phys. В 684 (2004) 321-350.

81. A. Pashnev, D. Sorokin, "On n = 4 Superfield Description of Relativistic Spinning Particle Mechanics", Phys. Lett. В 253 (1991) 301-305.

82. D. S. Freed, "Special Kahler Manifolds", Commun. Math. Phys. 203 (1999) 31-52.

83. N. J. Hitchin, A. Karlhede, U. Lindstrom, M. Rocek, "Hyperkahler Metrics and Supersymmetry", Commun. Math. Phys. 108 (1987) 535-589.

84. U. Lindstrom, M. Rocek, "Scalar Tensor Duality and N = 1, N = 2 Nonlinear Sigma Models", Nucl. Phys. В 222 (285) 1983.

85. B. Zupnik, "Harmonic Superpotentials and Symmetries in Gauge theories with Eight Supercharges", Nucl. Phys. В 554 (1999) 365-390, erratum-ibid.B644:405-406, 2002.

86. A. Karlhede, U. Lindstrom, M. Rocek, "Selfinteracting Tensor Multiplets In N = 2 Super space" Phys. Lett. В 147 (1984) 297-300. • U. Lindstrom, M. Rocek, "New Hyperkahler Metrics and New Supermultiplets7', Commun. Math. Phys. 115 (1988) 21.

87. S. J. Gates, Jr., "Superspace Formulation of New Nonlinear Sigma Models", Nucl. Phys. В 238 (1984) 349-366.

88. N. Seiberg, E. Witten, "Monopoles, Duality and Chiral Symmetry Breaking in N = 2 Supersymmetric QCD", Nucl. Phys. В 431 (1994) 484-550.

89. N. Seiberg, E. Witten, "Electric-Magnetic Duality, Monopole Condensation, and Confinement in N = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory", Nucl. Phys. В 426 (1994) 19-52; erratum-ibid. ,B430:485-486,1994.

90. T. L. Curtright, D. Z. Freedman, "Nonlinear a-models with Extended Supersymmetry in Four Dimensions", Phys. Lett. В 176 (1986) 71-74.

91. S. Bellucci, A. Beylin, S. Krivonos, A. Nersessian, E. Orazi, "N = 4 Supersymmetric Mechanics with Nonlinear Chiral Supermultiplet", Phys. Lett. В 616 (2005) 228-232.

92. Т. Eguchi, A. Hanson, "Self-Dual Solutions to Euclidean Gravity", Annals Phys. 120 (1979) 82-106.

93. A. Kapustnikov, A. Shcherbakov, "Linear and Nonlinear Realizations of Superbranes", Nucl.Phys.Proc.Suppl. 102: 42-49, 2001.

94. A. Kapustnikov, A. Shcherbakov, "Matrix Supermultiplet of N = 2 D = 4 Supersymmetry and Supersymmetric 3-brane", Phys. Lett. В 552 (2003) 273-279.

95. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Nersessian, A. Shcherbakov "2k-Dimensional N = 8 Super-syrnmetric Quantum Mechanics", Proceedings of the "XI International Conference on Symmetry Methods in Physics", Prague, Czech Republic, 2001, hep-th/0410073.

96. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "Two-dimensional N = 8 Supersymmetric Mechanics in Superspace", Phys. Lett. В 612 (2005) 283- 292.

97. S. Bellucci, A. Beylin, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "N = 8 Nonlinear Supersymmetric Mechanics", Phys. Lett. В 633 (2006) 382-388.

98. С. Burdik, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "N = 4 Supersymmetric Eguchi-Hanson Sigma Model in d = 1", Czechoslovak Journal of Physics, v. 55, № 11, 2005, pp. 1357-1364.

99. S. Krivonos, A. Shcherbakov, "N = 4, d = 1 Tensor Multiplet and Ilyper-Kahler a-models", Phys. Lett. B637 (2006) 119-122.

100. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "Hyper-Kahler Geometry and Dualization", Phys. Rev. D 73 (2006) 085014.

101. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "Universal Superfield Action for N = 8 —> N — 4 Partial Breaking of Global Supersymmetry in D=l", принято к печати в Phys. Lett. В (2006) , hep-th/0604215.

102. S. Bellucci, S. Krivonos, A. Shcherbakov, "N = 4 d = 3 Nonlinear Electrodynamics", препринт LNF-06-15-P, hep-th/0606052.

103. С. Кривонос, А. Щербаков, "Гипер-кэлеровы многообразия и нелинейные супер-мультиплеты", Письма в ЭЧАЯ. 2007. Т.4, №1(137). С.91-98.