Исследование N = 1 и N = 2 калибровочных теорий квазиклассическим и голографическим методами тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Мельников Дмитрий Геннадьевич

Исследование Л/" = 1 и Л/* — 2 калибровочных теорий квазиклассическим и голографическим методами

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена на физическом факультете Московского Государственного Университета им. М.В.Ломоносова, г. Москва.

Научный руководитель: д. ф.-м. н., Д.В.Гальцов

(МГУ им. М.В.Ломоносова, г.Москва)

Официальные оппоненты: д. ф.-м. н. Л.О.Чехов

(Математический Институт им. В. А.Стеклова РАН)

Ведущая организация: Томский Государственный Педагогический Университет, г.Томск

диссертационного совета К.501.201.17 МГУ им. М.В.Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Воробьевы горы, д.1, стр.2, физический факультет, ауд.СФА.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан: ноября 2006г. Ученый секретарь диссертационного совета,

к. ф.-м. н. М.Ю.Лашкевич (ИТФ им. Л.Д.Ландау РАН)

Защита состоится декабря 2006г. в часов Ой

часов минут на заседании

доктор физико-математических наук

П.А.Поляков

Общая характеристика работы Актуальность темы

Суперсимметричные теории поля в силу ряда причин представляют интерес для современной физики. Во-первых, некоторые из этих теорий являются упрощенными вариантами более сложных реалистических физических теорий. Суперсимметричные аналоги зачастую обладают качественными сходствами и, вместе с тем, являются более доступными для сложных квантовых вычислений. Во-вторых, некоторые суперсимметричные теории всерьез претендуют на роль моделей, описывающих реальный мир.

Существенный вклад в развитие суперсимметричных теорий в последние два десятилетия внесли методы, разработанные в рамках теории струн. В некоторых случаях теория струн не только оказала существенное влияние на методы используемые в изучении суперсимметричпых теориях поля, но и предсказала свойства этих теорий, позже воспроизведенные в рамках методов теории поля.

Особенный интерес вызывают успехи суперсимметричных теорий и теории струн в описании неабелевых калибровочных теорий в режиме сильной связи. В частности, в определенных суперсимметричных моделях, являющихся аналогами теории Янга-Миллса и КХД, было найдено эффективное низкоэнергетическое действие. В других примерах был открыт метод вычисления корреляционных функций теории поля в пределе сильной связи, используя классическое приближение в дуальной теории супергравитации.

Начало изучения эффективных теорий для суперсимметричкых моделей было положено в 1982 году в работе Венециано и Янкеловича. Изучение киральной аномалии в ./V = 1 суперсимметричной ЬЧ1(М) калибровочной теории Янга-Миллса, подтолкнуло этих авторов к идее вывода низкоэнергетического эффективного действия из простых соображений симметрии. Действие Веиециано-Янкеловича,

совместимое со свойствами симметрии квантовой теории, обладает N ваку-

умами, характеризующимися значением вакуумного среднего квадрата глю-инных полей (Л1) = (АЛ) = в2я,Л^Л'Л3, где к = 0... N — 1. Этот интересный результат имеет прямую аналогию с нарушением киральной симметрии и устройством вакуума КХД.

В 1994 году Зайберг и Виттен построили эффективное действие в ЛГ — 2 суперсимметричной 31/(2) теории Янга-Миллса. В отличие от действия Ве-нсциано-Янкеловича, которое содержит только суперпотенциал, действие Зайберга-Виттена является точным эффективным действием на любом масштабе. Вычисление точного действия оказалось возможным благодаря исключительным ограничениям, накладываемым ЛГ = 2 суперсимметрией. Так, действие N — 2 теории описывается всего лишь одной голоморфной функцией Т - препотенциалом.

Важную роль в построении действия Зайберга-Виттена сыграли ВПС состояния, масса которых пропорциональна модулю центрального заряда алгебры суперсимметрии. Центральный заряд Ы — 2 теории с калибровочной группой БI](2) и Nf ароматами материи выражается через электрический, магнитный и глобальные II(1)^ заряды:

я,

2 = пеа 4- птао

¿=1

где 7Щ - масса соответствующего кварка, а а и ар параметризуют пространство вакуумов теории. Более точно, а и ид образуют базис сечения ЯЬ(2, 2) расслоения над пространством модулей. Поскольку пространство модулей является некоторой римановой поверхностью, при обходе по замкнутому контуру сечение, вообще говоря, подкручивается на некоторую нетривиальную ^//(2, '£) матрицу - матрицу монодромий. В то же время физическая масса БПС состояния, а следовательно и центральный заряд, должны оставаться инвариаптными при таких преобразованиях, поэтому 51/(2,2) преобразование перемешивает также и заряды пе, пт и б1.

Физически Ь'Ь(2, Щ преобразования являются преобразованиями дуальности, аналогичными электромагнитной дуальности Монтонена и Олива. При преобразованиях дуальности физическая теория получает эквивалентное представление, но с другими константами связи и другим спектром БПС

состояний. Изучив действие дуальности на ВПС состояния, Зайберг и Вит-тен восстановили эффективное действие.

Большое влияние на результат Зайберга и Виттена оказали методы теории струн. Метод монодромий для препотепциала N = 2 теории, полученной методом компактификации теории струн на многообразие Калаби-Яу, применялся ранее в работах Канделаса. В дальнейшем теория струн обогнала теорию поля в предсказании действия для N = 1 Ь'И(/V) теории Янга-Миллса с мультиплетами материи, которое было построено в 2002 году в работах Дикграафа и Вафы. Действие ЛГ =■ 1 КХД было сначала получено, опираясь на результаты топологической теории струн, матричных моделей теории струн и методы зеркальной симметрии, и лишь позднее при помощи полевого подхода. Причем действие Венециано-Янкеловича, отвечающая чистому Янгу-Миллсу, получается как мера интегрирования в матричном интеграле, но не воспроизводится методами теории поля.

Суперсимметричная теория струн естественно определяется в 10 измерениях. В рамках теории струн существует ответ на вопрос, что происходит с 6 ненаблюдаемыми измерениями. Эти измерения должны быть компактными, причем для существования минимум одной суперсимметрии в четырех измерениях компактное 6-мерное многообразие должно быть кэллеровым с нулевым тензором Риччи, то есть многообразием Калаби-Яу. Особенный интерес представляют модели, в которых наблюдаемый четырехмерный мир помещен на мировой объем совокупности £)3-бран, помещенных в некоторую область пространства Калаби-Яу. Во-первых, это позволяет решить «проблему иерархии» для гравитации: слабость гравитационного взаимодействия объясняется тем, что часть его может «ускользать» в дополнительные измерения. Во-вторых, низкоэнергетическим пределом теории на мировом объеме О-б ран является неабслева калибровочная теория поля.

О-браны являются непертурбативными объектами теории струн. Они возникают как решения классических уравнений гравитации - классического предела теории замкнутых струн. В теории открытых струн /}-браны реализуют граничные условия: концы открытых струн заканчиваются на £>-бранах. Это дает калибровочную теорию в низкоэнергетическом пределе теории открытых струн на мировом объеме £>-браны. Соответственно

конфигурации из совпадающих D-бран обеспечивают неабелеву калибровочную теорию. Эффективным действием для Dp-браны является действие Дирака-Борна-Инфельда, которое обобщает концепцию действия частицы в пространстве-времени

Sp = -Т„ J с-ф<]сЬ1'2(доЬ +Ваь + 2™'Fab),

где а' задает масштаб массы в теории открытых струн. Поля ф, даь, ПаЬ и Fat являются степенями свободы открытой теории струн. Полагая Ваь равным нулю, и, раскладывая действие ДБИ в ряд по «', в первом порядке можно получить действие Янга-Миллса на мировом объеме £>р-браны.

Двойственное описание D-бран как солитонов в теории замкнутых струн, с гравитацией в пределе а' —» 0, и граничных объектов в теории открытых струн, несущих калибровочную теорию поля, а также связь замкнутых и открытых струн подтолкнуло физиков к идее дуальности теории гравитации в пространстве и калибровочной теории на границе пространства. Эта дуальность получила название голографического принципа. Конкретная реализация голографического принципа была осуществлена в работе Мальда-сены в 1997 году и получила название AdS/КТП (Конформная Теория Поля) соответствия. Согласно этому соответствию теория струн на классическом решении IIB супергравитации, описывающем N совпадающих 03-бран на границе пространства AdS5 в 10-мерном пространстве AdSa х Sb, дуальна SU(N) конформной Л/" = 4 теории Янга-Миллса на мировом объеме D3-бран. Имеет место следующее сопоставление параметров двух теорий:

/е4 - </2<ЛА1м.

Здесь R - радиус пространства AdS*, и сферы S3. Это соответствие наиболее интересно в пределе большой константы 'т Хоофта Л — дуМЛг. Такой предел отвечает описанию теории Янга-Миллса в режиме сильной связи в пределе большого N. С точки зрения гравитации такой предел означает малую кривизну - классическую гравитацию.

Таким образом, основной интерес к AdS/КТП соответствию вытекает из возможности описания неабелевой калибровочной теории в режиме сильной связи, с использованием решений классических уравнений гравитации. В

частности, возбуждения над классическим решением супергравитации соответствуют операторам в теории поля. Массы этих возбуждений равны аномальным размерностям этих операторов. Асй/КТП соответствие позволяет вычислять корреляционные функции дуальных операторов в калибровочной теории поля.

Недостаток АсЮ/КТП соответствия заключается в том, что оно формулируется для конформной теории с N — 4, в которой отсутствуют явления асимптотической свободы и коифайнмента. В связи с этим были произведены попытки обобщить Асй/КТП соответствие на неконформный случай. Наиболее успешной из них на данный момент следует признать модель Клебанова-Штрасслера (КШ).

В модели КШ N ОЗ-бран помещаются в вершину деформированного 6-мерного конуса - конифолда. Это соответствует геометрии К3'1 х 53 х 52, что дает Л/" = 1 теорию на мировом объеме. Кроме того, к обычным £)3-бранам добавляются М дробных .ОЗ-бран - Л5-бран, намотанных двумя измерениями на б'2. Дробные браны делают теорию неконформной. Калибровочной теорией на ¿Мзранах в такой конфигурации является Л7/(7У + М) х ¿Ч/(ЛГ) теория .Л/* = 1 Янга-Миллса с двумя киралъными суперполями У1;, В{ в № + М, А7) и (Лт + М, И) представлениях калибровочной группы и суперпотенциалом

IV = Л Л*' Тг(А{А,ВкВ1) .

Как показало исследование дуальной теории, данная теория не лежит в одном классе эквивалентности с Н = 1 калибровочной теорией Янга-Миллса, как изначально предполагали Клебанов и Штрасслер, однако она обладает многими схожими свойствами и заслуживает подробного изучения как суперсимметричный аналог КХД.

Цель работы

Целью диссертации является:

квазиклассическое исследование поведения спектра БПС состояний, отвечающих безмассовому кварку, на пространстве параметров вЛ/" = 2 теории

Янга-Миллса с калибровочной группой 5(/(2) и одним гипермультиплетом материи;

вычисление электрического заряда БПС состояния в этой теории;

изучение неабелевых теорий, возникающих на различных геометрических конфигураций Д-бран;

применение голографического принципа для изучения Л'" = 1 калибровочной теории, возникающей на конфигурации из I)3-бран на вершине ше-стимериого конуса в модели Клебанова-Штрасслера (КШ).

Научная новизна

Исследовано поведение ВПС состояния при движении вокруг сингулярности на пространстве модулей на уровне классических уравнений.

Дано качественное объяснение явления «распада» БПС состояния при помощи классических объектов, таких как связанное состояния кварка и монополя.

Найдено явное решение, описывающее массивную фермионную частицу в поле монополя 'т Хоофта-Полякова.

Получена квазиклассическая формула для электрического заряда БПС состояния.

Изучен спектр дифференциальных операторов на сингулярных алгебраических многообразиях, аналогичным интересным конфигурациям С-бран в теории струн.

Найден спектр возбуждений в модели КШ и на барионной ветви, дуальных оператору энергии-импульса Т>*" в калибровочной теории поля. Показано, что эти возбуждения описываются простым уравнением Клейна-Гордона.

Найдено уравнение, описывающее векторную частицу в модели КШ, для которой дуальным оператором является - поперечная компонента и{\)ц тока.

Практическая и научная ценность

Найдено качественное объяснение явления «распада» БПС состояний в ЛГ = 2 31/(2) теории Янга-Миллса с материей. Свойства монодромий тео-

рии на пространстве модулей интерпретируются в терминах классических частиц и полей.

Предложена формула для электрического заряда, явно отражающая свойства голоморфности теории.

Построена общая процедура нахождения кольца дифференциальных операторов на алгебраически нетривиальных многообразиях.

В модели Клебанова-Штрасслера и ее однопараметрическом обобщени изучено устройство спектра гравитона - бесследового поперечного возбуждения метрики, которое является дуальным оператору тензора энергии-импульса в теории поля.

Показано, что спектр векторной частицы, дуальной сохраняющейся части оператора /7(1 )r тока, совпадает со спектром гравитона. Это позволяет объединить операторы Т'1" и Jtf в один супермультиплет в эффективной низкоэаергетической теории поля.

Апробация диссертации и публикации

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на теоретических семинарах ИТЭФ, на семинаре отделения теоретической физики университета Уппсалы (Uppsala, Sweden, 2002),а также международных школах и конференциях «Ломоносов 2002» (Москва 2002), «Progress in String, Field, and Particle Theory» (Cargfese, France, 2002), «XXXI ITEP Winter School of Physics», (Москва 2003), «XV летняя школаг-семинар Волга 2003» (Казань, 2003), «Cargfese Summer School», (Cargfese, France, 2006). По теме диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Список литературы содержит около 100 наименований. Общий объем диссертации составляет 110 страниц.

Краткое содержание диссертации

Введение обосновывает актуальность решаемых в работе задач, а также содержит обзор литературы и современных методов, используемых в решении.

Вторая глава посвящена изучению математического аспекта появления неабелевых степеней свободы на мировом объеме D-бран. В этой главе строятся кольца дифференциальных операторов на различных многообразиях, соответствующих конфигурациям D-бран в бозонном секторе теории открытых струн. Результаты математического метода сравниваются с физическими результатами, известными из теории D-бран. В этой части развивается и применяется предложенная в работе Меркулова процедура деформационного квантования аффинных многообразий.

Результат Меркулова легко обобщается на случай п совпадающих гиперплоскостей в квантование которых приводит к тензорному произведению алгебры матриц Mat(n) и N копий гейзенберговской алгебры, ответственных за направления вдоль гиперплоскостей. Этот результат в точности аналогичен возникновению неабелевых степеней свободы в эффективной теории на стопке из п совпадающих D-бран.

Квантование удобно осуществлять, используя методы алгебраической геометрии, поэтому описание кольца дифференциальных операторов на подмногообразии осуществляется построением явной конструкции для произвольной резольвенты кольца функций на подмногообразии. В соответствии с предложенной связью с геометрией D-бран, свойства кольца дифференциальных операторов должны включать ненарушенную калибровочную симметрию в секторе открытых струн.

После описания общего подхода к построению кольца дифференциальных операторов изучаются интересные примеры алгебраических многообразий. В случае пересекающихся стопок из совпадающих « и m бран результат включает две подалгебры, отвечающие неабелевым степеням свободы, живущим на мировых объемах каждой из стопок в отдельности, а также нелокальные операторы, описывающие массивные состояния струн, натянутых

между различными стопками. Этот результат можно представить в виде:

/ Mat (m) Ф \ V Ф Mat (п) ) '

Здесь Mat(m) и Mat(n) - матричные алгебры, отвечающие каждой из стопок, а Ф - струнам, натянутым между стопками. Структура полной алгебры дифференциальных операторов наиболее очевидна п терминах последовательности Майера-Вьеториса.

Для точек на сингулярной кривой («клюв»), квантовая алгебра ведет себя так, как если бы сингулярность была разрешена («раздута»). Пример точек на орбифолде С2/2«, в точности воспроизводит предсказания теории струн: при приближении к сингулярной точке размерность алгебры увеличивается в тп2 раз, что как раз и соответствует разрешению.

В третьей главе изучаются свойства БПС состояний в Ai — 2 суперсимметричной SU(2) теории Янга-Миллса с материей. Изучается явление «распада» БПС состояния, описанное в работе Зайберга и Виттена с точки зрения монодромий сечения SL(2, Z) расслоения, а именно изменение фермионного числа связанного кварк-монопольного состояния при обходе вокруг сингулярности на пространстве модулей, отвечающей безмассовому кварку. Данное явление изучается в квазиклассическом режиме. Решается массивное уравнение Дирака для фермиона в поле монополя 'т Хоофта-Полякова:

ÎV'V ~ (rô + ^Ф) Ф = о.

где m + лД ф = Ш(т + л/2 ф) + ¿7*От(т + лДф). Для решения этого уравнения, с помощью U(l)n преобразования вводится комплексная масса:

Qm(M) = m s Ше(М).

\Ф\

Таким образом достигается вещественность скалярного поля. Для ВПС монополя решение этого уравнения находится явно через гипергеометричсские функции. Спектр дискретного решения уравнения Дирака на пространстве модулей описывается формулой Е ~ Qim(M).

В соответствии с предложением Зайберга и Виттена при обходе вокруг сингулярности на пространстве модулей происходит распад связанного со-

стояния. В работе показывается, что решения из непрерывного спектра обладают спектром, который можно описать формулой Е — \ М — а/2|, где а - параметр пространства модулей. Изучение обхода вокруг сингулярности, которая как раз находится в точке а = 1т, приводит к выводу, что формула для спектра дискретного уровня запрещает возвращаться в исходное состояние по энергии при полном обходе сингулярности.

Во второй главе вычисляется квазиклассическая формула для электрического заряда БПС состояния. Для этого производится расчет вакуумного среднего оператора плотности электрического тока

•Я = <0| |0).

Стандартный аргумент показывает, что электрический заряд равен интегралу [ <13х,/оф, который дает следующее значение заряда:

_ 1 тп ( 1п — а тп + «\ 1 м, ('"■ — а)2 + д2

<£ = -— ( агс^--1- aгctg- + -—т-~-————5,

2 а \ /х /¡у 4« (т+ а)2 +

где д = $гт(М), а параметр а полагается вещественным. Поскольку заряды А/" = 2 теории должны отражать свойства голоморфности, предлагается обобщение этой формулы с комплексным а в духе результата Феррари для глобального заряда 5:

2я- ^ а тп + а)

В четвертой главе изучается спектр глюболов - возбуждений над классическим решением уравнений супергравитации, описывающих ДЗ-браны в вершине деформированного конифолда. Согласно голографическому принципу эти возбуждения дуальны операторам в калибровочной теории поля на СЗ-бранах. Рассматривается геометрия, предложенная в работе Клебанова и Штрасслера (КШ).

Изучается спектр скаляра, минимально взаимодействующего с гравитацией, который удовлетворяет простому уравнению Клейна-Гордона. Показывается, что такому скалярному уравнению удовлетворяет гравитон - бесследовое возбуждение метрики, которое является дуальным оператору тензора энергии-импульса Т>ш.

В случае решения КШ уравнение минимального скаляра принимает вид:

8 бшЬ2 т . т2 Л(т) атЬ2 г _ ^ + 3 бшЬ 2т - 2т 9 + "б" (втЬ 2т - 2г)2/з ^ ~ '

где т - радиальная координата на конифолде, а.к - функция, заданная интегралом. Спектр этого уравнения находится численно методом ВКБ и методом множественной пристрелки. Спектр масс аппроксимируется линейной формулой

тп^С{п + 1),

что является типичным для собственных значений на конусе.

Вычисления повторяются для обобщения решения КШ - однопараметри-ческого семейства решений, известного в литературе как барионная ветвь. Строится линеаризованное уравнение Эйнштейна и демонстрируется совпадение спектров гравитона и минимального скаляра. Спектр масс определяется как функция параметра семейства решений.

Далее изучается система линеаризованных уравнений, описывающих возмущение спина 1, дуальное поперечной части С/( 1) /г тока: д'1.!^- = 0. Показывается, что в случае решения КШ система замыкается, так что векторное поле описывается уравнением

сЦе3^* *5 <М) + е~2х(2 - е&рК)е~Яр~х/2 *5 А = 0,

где А - 1-форма, описывающая четырехмерное поперечное векторное возбуждение, а р, х и К - известные функции т.

Показывается, что спектр легчайших возбуждений векторной частицы совпадает со спектром гравитона. Совпадение двух спектров означает, что дуальные этим возбуждениям операторы являются членами одного и того же Л/" = 1 супермультиплета в теории поля.

В заключении содержатся общие выводы и перечисление результатов данной работы.

В приложении дается доказательство некоторых утверждений и формул из второй главы, рассматриваются дополнительные примеры. Также приводится линеаризованная система уравнений супергравитации, которая изучается в четвертой главе.

Основные результаты диссертации

Предложен общий метод построения кольца дифференциальных операторов на подмногообразии аффинного многообразия, задаваемом алгебраическим уравнением, применимый в том числе и к сингулярным многообразиям.

Найдены алгебры дифференциальных операторов для многообразий, соответствующих интересным геометрическим конфигурациям О-бран, таких как стопки пересекающихся гиперплоскостей, мембран с орбифолдной сингулярностью и сингулярностью типа «клюв». В первом случае алгебра фак-торизуется на произведение двух подалгебр, отвечающих безмассовым состояниям на мировом объеме каждой из стопок и подалгебру, отвечающую степеням свободы массивных струн, натянутых между стопками. В сингулярном случае показано, что разрешение сингулярности естественным образом реализуется в соответствующей алгебре операторов.

Построено решение массивного уравнения Дирака в поле монополя 'т Хо-офта-Полякова в N — 2 теории Янга-Миллса с калибровочной группой £>[/(2) и одним гипермультиплетом материи. Свойства решения использованы для объяспепия поведения спектра БПС состояний при обходе сингулярности в пространстве модулей теории. Явление «распада» связанного БПС состояния объясняется в терминах классических объектов, таких как связанное состояние частицы со спином 1/2 и монополя 'т Хоофта-Полякова.

Явно вычислен электрический заряд БПС состояния, отвечающего массивному кварку в поле монополя 'т Хоофта-Полякова. Ответ получен в квазиклассическом приближении. Предложена общая формула для электрического заряда, отвечающая свойством голоморфности и потому справедливая также и за рамками квазиклассики.

Найден спектр уравнения Клейна-Гордона на фоне супергравитационного решения Клебанова и Штрасслера, а также более общего, однопараметриче-ского семейства решений (барионная ветвь). Показано, что данное уравнение описывает гравитон - бесследовое возмущение метрики.

В модели КШ найдено векторное уравнение, описывающее возбуждение спина 1, дуальное поперечной части оператора {/(1)к тока .7^. Показано, что спектр низших собственных значений массы для векторной частицы совпа-

дает со спектром гравитона. Сделан вывод о том, что операторы Т^" и J^ объединяются в один супермультиплет в дуальной калибровочной теории.

Основные публикации автора по теме диссертации

[1] А.Я.Дымарский, Д.Г.Мельников

«О спектре глюболов в модели Клебанова-Штрасслера»// Письма в ЖЭТФ - 2006. - т.84. - вып.7. - стр.440-444.

[2] A.Dymarsky, D.Melnikov

«Comments on BPS Bound State Decay»// Phys.Rev. D - 2004. - v69. -P125001-125009.

[3] A.Dymarsky, D.Melnikov

«S-Charge Monodromy Mechanism in N=2 SYM from Sem¿classical Point of View»// Proceedings of The Cavgese Summer School, Cargese ASI, France 2002.

[4] D. Melnikov, A. Solovyov

«On quantization of singular varieties and applications to D-branes»// JHEP - 2002. - v0204. - p045-062.

[5j Д.Г.Мельников, А.В.Соловьев

«Квантование сингулярных многообразий. Связь с D-бранами»// Сб. тезисов Международной конференции Ломоносов 2002, Москва 2002.

Подписано к печати ■ .

Тираж Заказ 77*

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

1 Введение и обзор методов

1.1 Теория струн и D-браны.

1.2 D-браны и кольцо дифференциальных операторов.

1.3 Эффективное действие суперсимметричных теорий.

1.4 Я = 2 теория Янга-Миллса и Супер КХД.

1.4.1 Калибровочная теория.

1.4.2 Центральный заряд и кривая маргинальной стабильности.

1.5 Соответствие между гравитацией и калибровочной теорией поля.

1.5.1 Обзор основных результатов.

1.5.2 AdS/КТП соответствие.

1.5.3 Решение Клебанова-Штрасслсра и барионная ветвь

1.6 Структура работы.

2 Квантование сингулярных многообразий и физика D-бран

2.1 Введение.

2.2 Кольцо дифференциальных операторов на подмногообразии.

2.3 Примеры.

2.3.1 Пересечение гиперплоскостей

2.3.2 Прямая с двойной точкой.

2.3.3 Точка на сингулярной кривой.

2.3.4 Точка на C2/Zro орбифолде

2.4 Выводы и обсуждение.

3 N = 2 Янг-Миллс и БПС состояния

3.1 Введение.

3.2 Действие Я = 2 Супер КХД.

3.3 Монодромии пространства модулей Я =2 теории.

3.4 Фермионная нулевая мода.

3.5 Анализ решения.

3.6 Электрический заряд БПС состояния.

3.6.1 Методы вычисления зарядов.

3.6.2 Электрический заряд БПС состояния.

3.7 Выводы и обсуждение.

4 Я = 1 калибровочные теории и голографический принцип

4.1 Введение.

4.2 Конифолд и решение Клебанова-Штрасслера.

4.2.1 Конифолд.

4.2.2 Решение уравнений супергравитации.

4.2.3 Барионная ветвь решений

4.3 Линеаризованные уравнения.

4.3.1 Гравитон.

4.3.2 U{\)ti векторная частица.

4.4 Спектр гравитона.

4.4.1 Вычисления на фоне решения КШ.

4.4.2 Анализ на барионной ветви.

4.5 Спектр векторной частицы.

4.6 Выводы и обсуждение.

1.1 Теория струн и D-браныВ конце двадцатого столетия в физике частиц сформировался круг вопросов, не находя1цих ответа, или, возможно, выходящих за рамки парадигмыквантовой теории поля и ее главпого достижения - Стандартной Моделифизических взаимодействий. В круг проблем вошли проблема конфайнмента КХД, проблемы иерархий в Стандартной Модели и Великого Объединения фундаментальных взаимодействий, квантовая теория гравитациии ряд космологических проблем, таких как малая космологическая постоянная и существование темной материи. Как попытка разрешить многиеиз вышеуказанных проблем, возник амбициозный проект под названием« Теория струп», в основу которого легло представление о частице как опротяженном объекте - струне. В узком смысле теория замкнутых струнесть пертурбативная теория квантовой гравитации в старшем количествеизмерений. В частности, самосогласованная теория бозонпой струны существует только в двадцати шести, а суперсимметричной струны в десятиизмерениях. Однако для получения результатов, применимых к реальномумиру, необходимо понимать связь многомерной теории с физикой в окружающих пас четырех измерепиях.За несколько десятилетий своего существования теория струн не далаокончательных ответов на вопросы, поставленные квантовой теорией поля, однако, в рамках этой теории было создано много интересных моделей,дающих качественные разъяснения наблюдаемых эффектов, были разработаны нетривиальные математические методы, нашедшие применения врешениях некоторых задач физики высоких энергий, а также математики.В настоящее время под теорией струн понимается набор связаппых физических теорий и глубоко математизированных методов работы со струнамии производными объектами. Вне сомнения теория струн должна являтьсявидимой частью некоторой возможно более общей теории, описывающейнаблюдаемый мир.В данной работе современные методы, ра:^работанные и используемыев рамках теории струн, применяются для изучения некоторых вопросовквантовых суперсимметричных теорий поля. В ожидании подтверждения«суперсимметричности» окружающего мира суперсимметричные теорииявляются наглядными моделями для качественного изучения сложных явлений в квантовой теории поля. Ключевыми объектами, возникающими всвязи с применением струнных методов к теории поля, являются 1)-браны- многомерные заряженные гиперповерхности.1)-брапы в теории струп возникают как объекты, па которых заканчиваются открытые струны [1]. Название возникает от наименования граничных условий: открытые струны удовлетворяют условиям Дирихле в направлениях трансверсальных гиперплоскости. Своему открытию D-браныобязаны Т-дуальности, которая является точной симметрией теории струн.Поскольку D-6p&Hbi являются динамическими объектами и взаимодействуют с полями Рамон-Рамоновского сектора (РР), они естественным образомзаполпили педостающие части спектра объектов, возпикающих при преобразовании дуальности.Изучая безмассовый спектр теории Т-дуальной теории открытых бозонных струн [2], в которой и появляются /)-браны, мы обнаруживаем дватипа состояний. Это векторные поля, компоненты которых лежат вдоль мирового объема £)-браны, и поля ортогональные к гиперплоскости. Если первые можно понимать как калибровочные поля, живущие на мировом объеме, то последние являются скалярами с точки зрения теории на Z)-6pane.Напомним, что р традиционно обозначает число пространственных измерений гиперповерхности. Мировой объем 1)^ )-браны имеет размерность р + 1 .Таким образом, 1)-браны являются непертурбативными объектами втеории струн. Аналогично солитопам мы обнаруживаем их в спектре дуальной теории. Везмассовые скалярные поля Ф™ являются коллективнымикоординатами. Их квантовые флуктуации модифицируют классическуюгеометрию конфигурации из 1)-бран.В состоянии теории с несколькими D-бранами разные концы струны могут заканчиваться на разных 1)-бранах. В этом случае минимальная длинаструны, натянутой между пими, будет равпа расстояпию между брапами.Масса или натяжение струнного состояния зависит от длины струны, поэтому такие струнные состояния будут безмассовыми, только если положепие бран совпадает. В случае нескольких совпадающих D-бран на мировом объеме такой конфигурации безмассовые векторные состояния имеютдва индекса (индексы Чана-Патона [2, 3]), нумерующие браны, на которыхструна начинается и заканчивается. Состояние допускает фазовое преобразование по ипдексам Чана-Патопа, которое реализуется сохраняющиминорму унитарными матрицами группы U{N) в случае Л'' совпадающих гиперплоскостей. Таким образом, на мировом объеме стопки из N В-брапсуществует неабелева калибровочная теория [4, 5]. Теорию на конфигурации из несовнадающих бран в таком случае можно понимать как теориюсо спонтанно нарушенной калибровочной симметрией. Именно благодаряэтим фактам Л-браны являются интересными для изучения объектами.Калибровочную теорию на мировом объеме D-6pmi можно описать припомощи низкоэнергетического эффективного действия. Поля открытыхструн на бране взаимодействуют с полями замкнутых струн, которые вотличие от открытых струн свободно перемещаются во всем пространствевремени. Поля открытых струн взаимодействуют с сектором Невё-Шварцазамкнутых струн, содержащим дилатоп ф, метрику g^^i, и поле 5 ,^^ - симметричпый и антисимметричный тензоры второго ранга соответственно.Кроме того, как упомипалось, D-6pa,iihi являются источпиками для полейРР сектора. Низкоэнергетическое эффективпое действие Dp-браяы является обобщением релятивистского действия частицы [6]:Sp = -Тр f d^+^e e-^det^/2(yab + Bab + 27ra'Fab). (1.1)Здесь Тр - размерный параметр, обозначающий натяжение Ор-браиы, даьи Ваь являются ограничением метрики и антисимметричного тензора намировой объем 1)р-браны. Динамика полей д, В и ф описывается низкоэнергетическим эффективным действием для замкнутых струн, котороеесть действие для гравитации в объемлющем пространстве. Соответственно Fab есть тензор калибровочного поля на 1)-бране. Напомним также, чтоа' есть параметр обратно пропорциональный натяжению открытых струн.Этот параметр устанавливает масштаб масс для состояний в спектре струны.Необходимо дать некоторые разъяснения по поводу вида действия (1.1).По аналогии с частицей det^''^{gab) Д^ет мировой объем 1)-браны. Дилатон связан со струнной константой связи соотношением е^ = д, где д константа связи открытых струн. Для замкнутых струн константа связиравна д^. Таким образом данное действие есть древесное приближение втеории возмущения.В действии (1.1) содержится также параметр а'. Можно разложить действие в ряд по этому параметру. Положим В = О, тогда нулевым приближением будет являться космологическая постоянная - вакуумная энергия£)-браны. В следующем приближении мы получим действие калибровочпой теории J дР^^^ •s/gF'^ с индуцированной метрикой на £)-бране._ Далееследуют старшие поправки содержащие более массивные струнные состояния.Зависимость от F в (1.1) определяется Т-дуальностью [7, 8, 9], и, какможно видеть из предыдущего абзаца, согласуется с ожиданием найти набране калибровочную теорию. Комбинация В -Ь 27ra'F является инвариантной относительно упомяпутых выше калибровочных преобразований намировом листе струны.Существование калибровочной теории на мировом объеме является одной из основных причин интереса к D-бранам. Естественно было бы пытаться построить модель с 1)3-бранами, в которой четырехмерный мировойобъем бран был физически наблюдаемым пространством-временем. Работав этом направлении принесла интересные результаты, которые мы будемобсуждать впоследствии. Примечательно, что такие модели существовалии до открытия D-бран, так что последние естественным образом занялиместо использовавшихся в этих моделях объектов. Можно надеяться, чтосвязь струн и калибровочных теорий позволит больше узнать о струнах впространстве многих измерений, и, что интересно, позволит узнать большео калибровочных теориях из сведений, известных нам о теории струн.Поскольку D-брапы реализуют граничные условия и, таким образом,могут рассматриваться как граница пространства большей размерности, атакже могут нести электрический и магнитный заряды, они естественнымобразом соответствуют классическим решениям в супергравитации (см. например [10] и содержаш,иеся там ссылки). Такое представление 1)-бран, какмы увидим позднее, позволяет глубже понять связь между десятимернойтеорией струн и теорией поля на мировом объеме И-браи.Изложенные выше простые факты о струнах и брапах будут использоваться в дальнейших разделах для пояснения современных методов теорииструн в применении к калибровочным теориям. Стоить отметить, что в целом речь шла о бозонных струнах. Однако все вышеуказанные результатыобобш,аются и на случай суперсимметричной теории струн (сунерструн). Воставшихся разделах введения мы расскажем о некоторых успехах теорииструн и D-бран в изучении физических теорий. В разделе 1.2 мы рассмотрим математические аспекты возникповепия неабелевых степеней свободы на D-бранах. В разделе 1.3 мы изложим основные достижения теорииструн и теории поля в области построения эффективных действий суперсимметричных теорий. Раздел 1.4 посвяш;ен введению в J\f = 2 суперсимметричную теорию Янга-Миллса и описанию свойств ВПС состояний в этойтеории. В разделе 1.5 мы кратко расскажем о голографическом принципе,AdS/КТП соответствии, и о том, как теория струн делает предсказанияо свойствах калибровочных теорий в режиме сильной связи. В заключительном разделе 1.6 описывается структура и содержание основной частиданной работы.

4.6 Выводы и обсуждение

В данной главе мы проверили предположение о том, что компоненты гравитона - бесследового возмущения метрики дуального тензору энергии-импульса в теории поля над фоном, соответствующим однопараметри-ческому семейству супергравитационных решений, известным в литературе как барионная ветвь, удовлетворяют простому уравнению Клейна-Гордона в искривленном пространстве. Также было найдено векторное уравнение, описывающее возмущение спина один дуальное поперечной части оператора тока Uсимметрии

Нами был изучен спектр легчайших собственных значений этих уравнений, который был вычислен численно методами ВКБ и множественной пристрелки. Результаты вычислений продемонстрировали совпадение двух расчетов с хорошей точностью, что, в силу независимости двух методов, говорит о хорошей точности результатов. Сравнение спектров двух возмущений показало, что спектры в действительности совпадают.

Подобное совпадение двух спектров не случайно. Как показало исследование 5-мерной N = 8 супергравитации, которая является редукцией ИВ теории в пять измерений, уравнения векторной частицы и гравитона составляют систему суперсимметричной квантовой механики [93]. В данной главе мы нашли независимое микроскопическое описание системы [93] в

10-мерной модели КШ, которая является дуальной конкретной четырехмерной N = 1 калибровочной теории, описанной в разделе 1.5. Этот результат позволяет установить связь между 10-мерной теорией и системой 5-мерной супергравитации. Здесь мы ограничимся использованием данной связи для описания суперсимметричной квантовой механики в 10-мерном случае.

Введем = е2рАц. В терминах УУц, уравнение (4.58) примет вид: (2р + х + 2 A)dTWll + т2е~2Л~6р~х\\?ц+ (4p{2A-2p + x) + 2A-2p + xj = 0. (4.70)

Если определить дифференциальные операторы

Q1 = eip(dT + 2A-2p + x), и Q2 = e2A+2p+xdTi (4.71) то можно заметить, что уравнения минимального скаляра (4.50) и векторной частицы (4.70) можно записать в виде:

QiQ2<P + m2ip = 0, (4.72) и

Q2Qi>% + m2)% = 0. (4.73)

Таким образом, операторы Qi и Q2 являются генераторами суперпреобразований, перемешивающих решения (4.50) и (4.70): ^ и Q2tp = eW»- (4.74)

Основываясь на существовании суперсимметричной квантовой механики, мы заключаем, что дуальные операторы в калибровочной теории должны являться компонентами одного супермультиплета.

В разделе 4.4.2 было произведено исследование зависимости спектра масс гравитона от положения теории на барионной ветви. Мы надеемся, что данные о спектре супергравитационных возбуждений позволят глубже понять устройство дуальной эффективной калибровочной теории поля. В частности, знание спектров различных возбуждений может оказаться достаточным для вычисления кинетического слагаемого в эффективном действии.

Следует отдельно отметить работу [94], в которой модель Клебанова-Штраселера и барионная ветвь записывается в терминах 5-мерной супергравитации. В этой работе найдена общая система линеаризованных уравнений, которая может оказаться полезной при дальнейшем изучении дуальной калибровочной теории. Заметим также, что результаты работы [95] частично перекрываются с результатами данной работы, а именно части, в которой находится линеаризованное уравнение, описывающее гравитон.

Заключение

В данной работе были изучены некоторые аспекты М = 1 и N = 2 калибровочных теорий в свете новых методов, разработанных в теории струн. В различных частях данной работы мы наблюдали взаимосвязь различных успехов теории струн и теории поля.

Вначале мы обсудили вопрос о том, как калибровочные и другие степени свободы возникают в теории струн на мировом объеме D-бран. Попутно мы сформулировали процедуру нахождения алгебры дифференциальных операторов, отвечающих различным состояниям открытых струн, локализованных на различных геометрических конфигурациях бран. Формальная математическая процедура вычисления алгебры дифференциальных операторов может предсказывать устройство спектра физических состояний.

Далее мы изучили явление распада связанного БПС состояния в Л/" = 2 теории при обходе сингулярности на пространстве модулей в области, где применим квазиклассический анализ. Мы вычислили электрический заряд БПС состояния и предложили обобщающую формулу для заряда, учитывающую свойства голоморфности теории.

В последней части мы применили голографический принцип для изучения свойств низкоэнергетического действия N = 1 калибровочной теории. Мы показали, что на определенном масштабе действие должно содержать Af = 1 супермультиплет, содержащий операторы тензора энергии-импульса и поперечную часть тока U(1)k - симметрии J^.

В работе получены следующие основные результаты:

1. Предложен общий метод построения кольца дифференциальных операторов на подмногообразии аффинного многообразия, задаваемом алгебраическим уравнением, применимый в том числе и к сингулярным многообразиям.

2. Найдены алгебры дифференциальных операторов для многообразий, соответствующих интересным геометрическим конфигурациям D-бран, таких как стопки пересекающихся гиперплоскостей, мембран с орбифолдной сингулярностью и сингулярностью типа «клюв». В первом случае алгебра факторизуется на произведение двух подалгебр, отвечающих безмассовым состояниям на мировом объеме каждой из стопок и подалгебру, отвечающую степеням свободы массивных струн, натянутых между стопками. В сингулярном случае показано, что разрешение сингулярности естественным образом реализуется в соответствующей алгебре операторов.

3. Построено решение массивного уравнения Дирака в поле монополя 'т Хоофта-Полякова в Л/* = 2 теории Янга-Миллса с калибровочной группой SU(2) и одним гипермультиплетом материи. Свойства решения использованы для объяснения поведения спектра БПС состояний при обходе сингулярности в пространстве модулей теории. Явление «распада» связанного БПС состояния объясняется в терминах классических объектов, таких как связанное состояние частицы со спином 1/2 и монополя 'т Хоофта-Полякова.

4. Явно вычислен электрический -заряд БПС состояния, отвечающего массивному кварку в поле монополя 'т Хоофта-Полякова. Ответ получен в квазиклассичсском приближении. Предложена общая формула для электрического заряда, отвечающая свойством голоморфности и потому справедливая также и за рамками квазиклассики.

5. Найден спектр уравнения Клейна-Гордона на фоне супергравитационного решения Клебанова и Штрасслера, а также более общего, од-нопараметрического семейства решений (барионная ветвь). Показано, что данное уравнение описывает гравитон - бесследовое возмущение метрики. В соответствии с предсказанием пятимерной N = 8 супергравитации, таким же уравнением должен описываться дилатон.

6. Для модели КШ найдено векторное уравнение, описывающее возбуждение спина 1, дуальное поперечной части оператора U(1)-ji тока J Показано, что спектр низших собственных значений массы для векторной частицы совпадает со спектром гравитона. Таким образом, две частицы являются компонентами одного N = 1 супермультиплета.

Сделан вывод о том, что операторы и Jj[ объединяются в один супермультиплет в дуальной калибровочной теории. Данный результат можно рассматривать как первый шаг к объяснению низкоэнергетического поведения целого класса N = 1 калибровочных теорий. Решение задачи о полном спектре линеаризованных уравнений в первую очередь позволит установить «словарь» для расшифровки голографи-ческого соответствия. Наконец, поведение спектра на барионной ветви решений поможет предсказать структуру кинетического слагаемого в эффективном действии.

В завершение мне хотелось бы выразить особую признательность моему научному руководителю Д.В.Гальцову за плодотворные дискуссии, полезные советы и, конечно, неоценимую поддержку в течение нашей совместной работы, за всю ту работу и ответственность, которые ложатся на плечи научного руководителя. Отдельно мне хотелось бы поблагодарить людей, в различное время помогавших мне в моей работе и оказавших значительное влияние на мои научные воззрения: Э.Т.Ахмедова, А.С.Горского, А.Я.Дымарского, В.Ч.Жуковского, А.Д.Миронова, А.Ю.Морозова, К.Г.Селиванова и А.В.Соловьева.

1. J. Polchinski. Dirichlet-Branes and Ramond-Ramond Charges // Phys. Rev. Lett. - 1995. - v75. - p4724-4727. - arXiv:hep-th/9510017].

2. J. Polchinski. String Theory Cambridge Univ. Press, 1998.

3. J. E. Paton, H. M. Chan. Generalized Veneziano model with isospin// Nucl. Phys. В 1969. - vlO. - p516-520.

4. J. Polchinski. Combinatorics of boundaries in string theory// Phys. Rev. D- 1994. v50. - p6041-6045. - arXiv:hep-th/9407031].

5. E. Witten. Bound states of strings and p-branes// Nucl. Phys. В 1996.- v460. p335-350. - arXiv:hep-th/9510135.,

6. R. G. Leigh. Dirac-Born-Infeld action from Dirichlet sigma model// Mod. Phys. Lett A 1989. - v4. - p2767-2772.

7. C. Bachas. D-brane dynamics// Phys. Lett. В 1996. - v374. - p37-42. -arXiv:hep-th/9511043].

8. E. Bergshoeff, M. de Roo, M. B. Green, G. Papadopoulos, P. K. Townsend. Duality of Type II 7-branes and 8-branes// Nucl. Phys. В 1996. - v470.- pll3-135. arXiv:hep-th/9601150.;

9. E. Alvarez, J. L. F. Barbon, J. Borlaf. T-duality for open strings// Nucl. Phys. В -1996. v479. - p218-242. - arXiv:hep-th/9603089.; E. Bergshoeff, M. De Roo. D-branes and T-duality// Phys. Lett. B- 1996.- v380. p265-272. - arXiv:hep-th/9603123.

10. E. S. Fradkin, A. A. Tseytlin. Nonlinear Electrodynamics From Quantized Strings// Phys. Lett. В 1985. - vl63. - pl23-130.

11. D. Gal'tsov, S. Klevtsov, D. Orlov, G. Clement. More on general p-brane solutions// Int. J. Mod. Phys. A 2006. - v21. - p3575-3604. - arXiv:hep-th/0508070].

12. S.A. Merkulov. Deformation quantization of the n-tuple point// Commun. Math. Phys. 1999. - v205. - p369-375. - math.QA/9810158].

13. M. Berkooz, M.R. Douglas, R.G. Leigh. Branes intersecting at angles// Nucl. Phys. В 1996. - v480. - p265-278. - hep-th/9606139].

14. A.A. Gerasimov, S.L. Shatashvili. On non-Abelian structures in field theory of open strings// J HEP 2001. - v0106. - N066. - hep-th/0105245].

15. G. Veneziano, S. Yankielowicz. An Effective Lagrangian For The Pure N=1 Supersymmetric Yang-Mills Theory// Phys. Lett. B-1982. vll3. - p231-236.

16. S. Ferrara, B. Zumino. Transformation Properties Of The Supercurrent// Nucl. Phys. B 1975. - v87. - p207-220.

17. N. Seiberg, E. Witten. Electric magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory// Nucl. Phys. B - 1994. - v426. - pl9-52. Erratum-ibid. В - 1994. - v430. -P485-486.] -[arXi v:hep-th/9407087].

18. N. Seiberg, E. Witten. Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N=2 supersymmetric QCD// Nucl. Phys. В 1994. - v431. - p484-550.- arXiv:hep-th/9408099.

19. A. Klemm, W. Lerche, S. Yankielowicz, S. Theisen. Simple singularities and N=2 supersymmetric Yang-Mills theory// Phys. Lett. В 1995. -v344. - pl69-175. - arXiv:hep-th/9411048];

20. P. C. Argyres, A. E. Faraggi. The vacuum structure and spectrum of N=2 supersymmetric SU(n) gauge theory// Phys. Rev. Lett. 1995. - v74. -p3931-3934. - arXiv:hep-th/9411057.;

21. A. Klemm, W. Lerche, S. Theisen. Nonperturbative effective actions of N=2 supersymmetric gauge theories// Int. J. Mod. Phys. A 1996. - vll.- pl929-1973. arXiv:hep-th/9505150.,

22. R. Dijkgraaf, C. Vafa. A perturbative window into non-perturbative physics// arXiv:hep-th/0208048.

23. P. Candelas, X. C. De la Ossa, P. S. Green, L. Parkes. An Exactly Soluble Supereonformal Theory From A Mirror Pair Of Calabi-Yau Manifolds// Phys. Lett. В 1991. - v258. - pll8-126.

24. F. Cachazo, M. R. Douglas, N. Sciberg, E. Witten. Chiral rings and anomalies in supersymmetric gauge theory// JHEP 2002. - v0212. -N071. - arXiv:hep-th/0211170].

25. E. Witten. Solutions of four-dimensional field theories via M-theory// Nucl. Phys. В 1997. -v500. - p3-42. - arXiv:hep-th/9703166].

26. J. M. Maldacena. The large N limit of superconformal field theories and supergravity// Adv. Theor. Math. Phys. 1998. - v2. - p231-252 Int. J. Theor. Phys. - 1999. - v38. - plll3-1134.] - [arXiv:hep-th/9711200].

27. E. Witten. Anti-de Sitter space, thermal phase transition, and confinement in gauge theories// Adv. Theor. Math. Phys. 1998. - v2. - p505-532. -arXiv:hep-th/9803131].

28. I. R. Klebanov, M. J. Strassler. Supergravity and a confining gauge theory: Duality cascades and Xs^-resolution of naked singularities// JHEP- 2000.- v0008. N052. - arXiv:hep-th/0007191.

29. J. M. Maldacena, C. Nunez. Towards the large N limit of pure N = 1 super Yang Mills// Phys. Rev. Lett. 2001. - v86. - p588-591. - arXiv:hep-th/0008001].

30. S. S. Gubser, C. R Herzog, I. R. Klebanov. Symmetry breaking and axionic strings in the warped deformed conifold// JHEP- 2004. v0409. - N036.- arXiv:hep-th/0405282.

31. Ю. Весс, Дж. Беггер. Суперсимметрия и супергравитация. Изд.-во. ИО НФМИ, 1998.

32. L. Alvarez-Gaume, S. F. Hassan. Introduction to S-duality in N = 2 supersymmetric gauge theories: A pedagogical review of the work of Seiberg and Witten// Fortsch. Phys. 1997. - v45. - pl59-236. - arXiv:hep-th/9701069];

33. A. Bilal. Introduction to supersymmetry// arXiv:hep-th/0101055.

34. N. Seiberg. Supersymmetry and Nonperturbative Beta Functions// Phys. Lett. В 1988. - v206. - p75-80.

35. N. Dorey, V. V. Khoze, M. P. Mattis. Multi-Instanton Calculus in N=2 Supersymmetric Gauge Theory// Phys. Rev. D 1996. - v54. - p2921-2943. - arXiv: hep - th/9603136].

36. Д .Г. Мельников. Полевые корреляторы на фоне инстантонных решений// Сб. Тезисов Первой международной школы ИТЭФ-ИТФ по теоретической и математической физике, Киев 2001.

37. N. A. Nekrasov. Seiberg-Witten prepotential from instanton counting// Adv. Theor. Math. Phys. 2004. - v7. - p831-864. - arXiv:hep-th/0206161].

38. C. Montonen, D. I. Olive. Magnetic Monopoles As Gauge Particles?// Phys. Lett. В 1977. - v72. - pll7-120.

39. В. И. Арнольд, A. H. Варченко, С. M. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. Изд.-во. МЦНМО, 2004.

40. Е. В. Bogomolny. Stability Of Classical Solutions// Sov. J. Nucl. Phys. -1976. v24. - p449-468. Yad. Fiz. - 1976. - v24. - p861-870.];

41. M. K. Prasad, С. M. Sommerfield. An Exact Classical Solution For The 'T Hooft Monopole And The Julia-Zee Dyon// Phys. Rev. Lett. 1975.- v35. p760-762.

42. A. Ritz, A. Vainshtein. Long Range Forces and Supersymmetric Bound States// Nucl. Phys. B- 2001. v617. - p43-70. - arXiv:hep-th/0102121].

43. I. R. Klebanov, E. Witten. Superconformal field theory on threebranes at a Calabi-Yau singularity// Nucl. Phys. В 1998. -v536. - pl99-218. -arXiv:hep-th /9807080].

44. I. R. Klebanov, N. A. Nekrasov. Gravity duals of fractional branes and logarithmic RG flow// Nucl. Phys. В 2000. - v574. - p263-274. -arXiv:hep-th/9911096].

45. I. R. Klebanov, A. A. Tseytlin. Gravity duals of supersymmetric SU(N) x SU(N+M) gauge theories// Nucl Phys. В 2000. - v578. - pl23-138. -arXi v:hep-th/0002159].

46. N. Seiberg. Exact results on the space of vacua of four-dimensional SUSY gauge theories// Phys. Rev. D 1994. - v49. - p6857-6863. - arXiv:hep-th/9402044].

47. S. W. Hawking. Black Holes and Thermodynamics// Phys. Rev. D- 1976.- vl3. pl91-197.

48. А. М. Polyakov. String theory and quark confinement// Nucl. Phys. Proc. Suppl. 1998. - v68. - pl-8. - arXiv:hep-th/9711002].

49. S. S. Gubser, I. R. Klebanov, A. M. Polyakov. Gauge theory correlators from non-critical string theory// Phys. Lett. B- 1998. v428. - pl05-114.- arXiv:hep-th/9802109.

50. E. Witten. Anti-de Sitter space and holography// Adv. Theor. Math. Phys.- 1998. v2. - p253-291. - arXiv:hep-th/9802150.

51. A. A. Tseytlin. Born-Infeld action, supersymmetry and string theory// arXiv:hep-th/9908105;

52. J. Bagger, A. Galperin. A new Goldstone multiplet for partially broken supersymmetry// Phys. Rev. D 1997. - v55. - pl091-1098. - arXiv:hep-th/9608177.;

53. S. Bellucci, E. Ivanov, S. Krivonos. Towards the complete N = 2 superfield Born-Infeld action with partially broken N = 4 supersymmetry// Phys. Rev. D- 2001. v64. - p025014-025022. - arXiv:hep-th/0101195.

54. N. Beisert and M. Staudacher. The N = 4 SYM Integrable Super Spin Chain// Nucl. Phys. В 2003 - v670. - p439-463. - arXiv:hep-th/0307042.;

55. N. Bcisert. The Analytic Bethe Ansatz for a Chain with Centrally Extended su(2|2) Symmetry// arXiv:nlin.si/0610017.

56. E. Witten. Anti-de Sitter space, thermal phase transition, and confinement in gauge theories// Adv. Theor. Math. Phys. 1998. v2. - p505-532. -arXi v:hep-th/9803131].

57. C. Csaki, H. Ooguri, Y. Oz, J. Terning. Glueball mass spectrum from supergravity// JHEP- 1999. v9901. - N017. - arXiv:hep-th/9806021].

58. M. J. Teper. SU(N) gauge theories in 2+1 dimensions// Phys. Rev. D -1999. v59. - p014512-014549. - arXiv:hep-lat/9804008].

59. H. J. Boonstra, K. Skenderis, P. K. Townsend. The domain wall/QFT correspondence// JHEP 1999. - v9901. - N003. - arXiv:hep-th/9807137].

60. K. Behrndt, E. Bergshoeff, R. Halbersma, J. P. van der Schaar. On domain-wall/QFT dualities in various dimensions// Class. Quant. Grav. 1999. -vl6. - p3517-3552. - arXiv:hep-th/9907006];

61. G. Clement, D. Gal'tsov, C. Leygnac, Black branes on the linear dilaton background// Phys. Rev. D- 2005. v71. - p084014-084029. - arXiv.hep-th/0412321.;

62. С. M. Chen, D. V. Gal'tsov, N. Ohta. Intersecting non-extreme p-branes and linear dilaton background. Phys. Rev. D 2005. - v72. - p044029-044039. - arXiv:hep-th/0506216.

63. A. Butti, M. Grana, R. Minasian, M. Petrini, A. Zaffaroni. The baryonic branch of Klebanov-Strassler solution: A supersymmetric family of SU(3) structure backgrounds// JHEP 2005. - v0503. - N069. - arXiv:hep-th/0412187].

64. G. Papadopoulos, A. A. Tseytlin. Complex geometry of conifolds and 5-brane wrapped on 2-sphere// Class. Quant. Grav. 2001. - vl8. - pl333-1354. - arXiv:hep-th/0012034].

65. D. Melnikov, A. Solovyov. On quantization of singular varieties and applications to D-branes// JHEP- 2002. v0204. - N045. - arXiv:hep-th/0201153].

66. A. Dymarsky, D. Melnikov. Comments on BPS bound state decay// Phys. Rev. D 2004. - v69. - pl25001-125009. - arXiv:hep-th/0303200].

67. А. Я. Дымарский, Д. Г. Мельников. О спектре глюболов в модели Клебанова-Штрасслера// Письма в ЖЭТФ 2006. - т.84 - вып.7 -стр.440-444.

68. S.L. Shatashvili. Comment on the background independent open string theory// Phys. Lett. B- 1993. vSll. -p83-86. - arXiv:hcp-th/9303143].

69. S.L. Shatashvili. On the problems with background independence in string theory// arXiv:hep-th/9311177.

70. E. Witten. On background independent open-string field theory// Phys. Rev. D 1992. - v46. - p5467-5473. - arXiv:hep-th/9208027].

71. E. Witten. Some computations in background independent off-shell string theory// Phys. Rev. D 1993. - v47. - p3405-3410. - arXiv:hep-th/9210065].

72. M. Reid. Undergraduate algebraic geometry// London Math. Soc. Stud. Texts, vl2. Cambridge Univ. Press, 1988.

73. R. Godement. Topologie algebrique et theorie des faisceaux// Pub. de l'Inst. de Math, de 1'Univ. de Strasbourg, vXIII Hermann & Cie., Paris, 1958.

74. P. Griffiths, J. Harris. Principles of algebraic geometry, 2nd ed. John Wiley к Sons, 1994.

75. R. Bott, L. Tu. Differential forms in algebraic topology// «Graduate Texts in Mathematics». v82. Springer-Verlag, 1982.

76. M.R. Douglas. Enhanced gauge symmetry in M(atrix) theory// JHEP -1997. v9707. - N004. - arXiv:hep-th/9612126],

77. E. Witten, D. I. Olive. Supersymmetry Algebras That Include Topological Charges// Phys. Lett. B~ 1978. v78. - p97-101;

78. F. Ferrari. Spectral asymmetry and supersymmetry// Phys. Lett. В 2002. - v548. - p68-72. - arXiv:hep-th/0207066].

79. М. В. Paranjape, G. W. Semenoff. Spectral Asymmetry, Trace Identities And The Fractional Fermion Number Of Magnetic Monopoles// Phys. Lett. В 1983. - vl32. - p369-373.

80. I. L. Buchbinder, E. I. Buchbinder, E. A. Ivanov, S. M. Kuzenko, B. A. Ovrut. Effective action of the N = 2 Maxwell multiplet in harmonic superspace// Phys. Lett. В 1997. - v412. - p309-319. - arXiv:hep-th/9703147].

81. G. 't Hooft. Magnetic Monopoles In Unified Gauge Theories// Nucl. Phys. В 1974. -v79. - p276-284;

82. A. M. Polyakov. Particle Spectrum In Quantum Field Theory.// JETP Lett. 1974. - v20. - pl94-195.

83. M. Henningson. Discontinuous BPS spectra in N = 2 gauge theory// Nucl. Phys. В 1996. - v461. -pl01-108. - arXiv:hep-th/9510138].

84. R. Jackiw, C. Rebbi. Solitons With Fermion Number 1/2// Phys. Rev. D- 1976. vl3. - p3398-3409.

85. C. Callias. Index Theorems On Open Spaces// Commun. Math. Phys. -1978 v62. - p213-234.

86. R. Bott, R. Seeley. Some Remarks On The Paper Of Callias// Commun. Math. Phys. 1978. - v62. - p235-245.

87. J. Goldstone, F. Wilczek. Fractional Quantum Numbers On Solitons// Phys. Rev. Lett. 1981. - v47. - p986-989.

88. A. J. Niemi, M. B. Paranjape, G. W. Semenoff. On The Electric Charge Of The Magnetic Monopole// Phys. Rev. Lett. 1984. - v53. - p515-518.

89. C. Vafa. A Stringy test of the fate of the conifold// Nucl. Phys. В 1995.- v447. p252-260. - arXiv:hep-th/9505023.

90. A. Strominger. Massless black holes and conifolds in string theory// Nucl. Phys. В 1995. - v451. - p96-108. - arXiv:hep-th/9504090].

91. A. Ceresole, R. DAuria, S. Ferrara, A. Van Proeyen. Duality transformations in supersymmetric Yang-Mills theories coupled to supergravity// Nucl. Phys. В 1995. - v444. - p92-124. - arXiv:hep-th/9502072].

92. G. 't Hooft. On The Phase Transition Towards Permanent Quark Confinement// Nucl. Phys. B- 1978. vl38. - pl-25.

93. I. Campos et al. DESY-Munster Collaboration]. Monte Carlo simulation of SU(2) Yang-Mills theory with light gluinos// Eur. Phys. J. С 1999. -vll. - p507-527. - [arXiv:hep-lat/9903014];

94. G. M. Shore. Constructing Effective Actions For N=1 Supersymmetry Theories. 1. Symmetry Principles And Ward Identities// Nucl. Phys. В- 1983. v222. - p446-472;

95. P. I. Pronin, К. V. Stepanyantz. Exact effective action for N = 1 supersymmetric theories// arXiv:hep-th/9902163.

96. G. R. Farrar, G. Gabadadze, M. Schwetz. On the effective action of N = 1 supersymmetric Yang-Mills theory// Phys. Rev. D 1998. - v58. -p015009-015017. - arXiv:hep-th/9711166];

97. D. G. Cerdeno, A. Knauf, J. Louis. A note on effective N = 1 super Yang-Mills theories versus lattice results// Eur. Phys. J. С 2003. - v31. -p415-420 - arXiv:hep-th/0307198.

98. P. Candelas, X. C. de la Ossa. Comments On Conifolds// Nucl. Phys. В- 1990. v342. - p246-268.

99. S. S. Gubser, I. R. Klebanov, A. A. Tseytlin. String theory and classical absorption by three-branes// Nucl. Phys. В 1997. - v499. - p217-240. -arXiv:hep-th/9703040];

100. R. C. Brower, S. D. Mathur, С. I. Tan. Discrete spectrum of the graviton in the AdS(5) black hole background// Nucl. Phys. В 2000. - v574 -p219-244. - arXiv:hep-th/9908196.;

101. N. R. Constable, R. C. Myers. Spin-two glueballs, positive energy theorems and the AdS/CFT correspondence// JHEP 1999. - v9910. - N037. -arXiv:hep-th /9908175.

102. M. Bianchi, О. DeWolfe, D. Z. Freedman and K. Pilch. Anatomy of two holographic renormalization group flows// JHEP- 2001. vOlOl. - N021.- arXiv:hep-th/0009156.

103. I. R. Klebanov, P. Ouyang and E. Witten. A gravity dual of the chiral anomaly// Phys. Rev. D 2002. - v65. - pl05007-105022. - arXiv:hep-th/0202056].

104. M. Krasnitz. Correlation functions in a cascading N = 1 gauge theory from supergravity// JHEP 2002. - v0212. - N048. - arXiv:hep-th/0209163].

105. M. Krasnitz. A two point function in a cascading N = 1 gauge theory from supergravity// arXiv:hep-th/0011179.

106. A. H. Chamseddine, M. S. Volkov. Non-Abelian BPS monopoles in N = 4 gauged supergravity// Phys. Rev. Lett. 1997. - v79. - p3343-3346. -arXiv:hep-th/9707176].

107. A. H. Chamseddine, M. S. Volkov. Non-Abelian solitons in N = 4 gauged supergravity and leading order string theory// Phys. Rev. D 1998. - v57.- p6242-6254. arXiv:hep-th/9711181.

108. A. Dymarsky, I. R. Klebanov, N. Seiberg. On the moduli space of the cascading SU(M+p) x SU(p) gauge theory// JHEP 2006. - v0601. -N155. - arXiv:hep-th/0511254].

109. O. DeWolfe, D. Z. Freedman, S. S. Gubser and A. Karch. Modeling the fifth dimension with scalars and gravity// Phys. Rev. D 2000. - v62. -p046008-046037. - arXiv:hep-th/9909134].

110. M. Berg, M. Haack, W. Muck. Bulk dynamics in confining gauge theories// Nucl. Phys. B- 2006. v736. - p82-132. - arXiv:hep-th/0507285].

111. H. Firouzjahi, S. H. Туе. The shape of gravity in a warped deformed conifold// JHEP 2006. - v0601. - N136. - arXiv:hep-th/0512076].