Черные дыры в струнной теории возмущений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.ЛОМОНОСОВА

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ им. Д.В. СКОБЕЛЬЦЫНА

На правах рукописи ИОФА МИХАИЛ ЗИНОВЬЕВИЧ

ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ В СТРУННОЙ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

Специальность01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2004 год

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте ядерной физики им. Д.В. Скобельцына Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Официальные

оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор И.Я. Арефьева

Математический институт им. В.А. Стеклова РАН;

доктор физико-математических наук, профессор Д.В. Гальцов

Физический факультет МГУ; доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник М.А. Соловьев Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН

Ведущая организация: Институт ядерных исследований РАН

Защита диссертации состоится "20" сентября 2003 года в "12" часов на заседании диссертационного совета Д002.023.02 в Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН по адресу: Москва 119991 ГСП-1, Ленинский проспект 53, ФИАН.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФИАН.

Автореферат разослан " 30 (лЛСЦ^ 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д002.023.02 доктор физико-математических наук

Я.Н. Истомин

1 Общая характеристика работы

1.1 Актуальность темы и обзор результатов

В настоящее время теория струн представляет собой единственный подход, в котором унифицируются калибровочные взаимодействия, включая гравитацию. Изучение гравитации в рамках теории струн привело к ряду важных результатов. Были получены решения уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия, имеющие интерпретацию черных дыр, струн и мембран. Оказалось возможным проследить переход струны в черную дыру. Для ряда многомерных и четырехмерных черных дыр была вычислена не только геометрическая, но и статистическая энтропия путем подсчета числа струнных состояний конфигурации полей, образующих черную дыру.

В теории струн аналогом теории возмущений в квантовой теории поля является разложение амплитуд процессов по струнным петлям. В теории замкнутых струн струнные петли представляют собой замкнутые поверхности, заметаемые струной, имеющие топологию сферы с п ручками. Амплитуды процессов рассеяния мод струны представляются как замкнутые мировые листы струны, к которым присоединены внешние концы, соответствующие рассеивающимся модам. Таким образом, в струнной теории возмущений, как и в теории поля, возникает проблема вычисления и суммирования квантовых поправок к результатам древесного приближения теории.

Целью работы является получение решений уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия с учетом однопетлевой струнной поправки, типа черных дыр (струн) и вычисление статистической энтропии ряда черных дыр как в бозонной, так и в суперсимметричных теориях.

В качестве решений уравнений движения последовательно рассматриваются объекты типа черных дыр в в бозонных теориях замкнутых струн различных размерностей и в суперсимметричной гетеротической теории, компактифицированной к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией.

Первым рассматриваемым в работе вопросом является получение эффективного действия струны с учетом струнных петлевых поправок. Эффективное действие определяет динамику легких "наблюдаемых" мод струны. Решения уравнений движения, следующих из эффективного действия, представляют собой фоновые поля, в которых распространяется струна и при которых теория струн конформно инвариантна. В частности, это означает, что те-

ории, вычисленные на решениях уравнений движения, обращаются в нуль и теория не содержит расходимостей. В работе последовательно рассматривается получение эффективного действия в бозоной и суперсимметричной теориях.

В принципе, полное эффективное действие может быть получено вычислением функциональных интегралов для корреляторов вершинных функций или их производящего функционала интегрированием по мировым листам струны различных топологий. В бозонной теории струн этот метод, повидимому, является единственно возможным. В суперсимметричных теориях имеется также другая возможность-использовать общие ограничения на структуру теории,, на-

ГОС НАЦИОНАЛЬНА*

библиотека

кладываемые суперсимметрией.

В бозонной теории замкнутых струн в однопетлевом приближении эффективное действие с петлевой поправкой строится суммированием частей, получающихся интегрированием производящего функционала вершинных функций по мировым листам струны, имеющим топологию сферы и тора.

Поскольку общие выражения для статсуммы, вычисляемые на мировых листах струны высших топологий, включают в себя интегрирование по модулям мировых листов струны, то для построения эффективного действия, включающего вклады от высших топологий мирового листа струны, необходимо использовать согласованную регуляризацию ультрафиолетовых и модулярных расхо-димостей. Такая регуляризация достигается отображением мирового листа замкнутой струны, имеющего топологию сферы с п ручками, на комплексную плоскость с 2п удаленными дисками с попарной идентификацией границ. Ультрафиолетовые расходимости, возникающие при сближении точек присоединения внешних линий к мировому листу струны (пунктаций) и стягивании в точку дисков от ручек, на комплексной плоскости регуляризуются с помощью одного параметра типа ковариантной минимальной длины и входят в амплитуды рассеяния безмассовых мод равноправным образом.

Эффективное действие четырехмерной гетеротической теории представляет собой расширенную супергравитацию, взаимодействующую с другими палями, которые можно интерпретировать как поля материи. В случае компактифика-ции гетеротической теории к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией вид части эффективного действия с числом производных полей не выше двух определяется голоморфным препотенциалом, который имеет только однопетле-вую струнную поправку, и для ряда компактификаций на орбифолдах вычисляется точно.

Поскольку в гетеротической теории даже в однопетлевом приближении корреляторы вершинных функций имеют сложную форму и не сводятся к компактным выражениям, то в работе путем вычисления функциональных интегралов для корреляторов вершинных функций устанавливается общая структура эффективного действия гетеротической теории, а детальная форма поправок к древесной части действия находится исходя из препотенциала.

Следующим рассматриваемым вопросом является нахождение модификации решений типа черных дыр (черных струн), полученных в древесном приближении по разложению по струнным петлям, засчет квантовых эффектов. В теории струн решения уравнений движения можно получить или непосредственным решением уравнений второго порядка, следующих из эффективного действия, что делается в теориях бозонных струн, или, в суперсимметричных теориях, решением "спинорных уравнений Киллинга", представляющих собой условие равенства нулю преобразований суперсимметрии фермионных суперпартнеров бозонных полей и имеющих первый порядок по производным.

В бозонной теории замкнутых струн равнения движения, следующие из эффективного действия с однопетлевой поправкой, соответствующей топологии тора, решаются в двух, трех и четырех пространственно-временных измерениях. В двух измерениях имеется точное по параметру разложения по петлям е

решение типа двумерной черной дыры. В трех измерениях решение представляет собой черную струну. Поправки к древесному решению для черной струны находятся в первом порядке по В четырех измерениях в древесном приближении рассматривается решение типа шварцшильдовской черной дыры с постоянным дилатоном. Поправки к решению находятся на больших расстояниях от ценра черной дыры в первом порядке по

В гетеротической теории эффективное действие строится исходя из препо-тенциала с струнной поправкой. В теориях с N = 2 суперсимметрией все поправки к препотенциалу, выше однопетлевой, равны нулю. В качестве решений спинорных уравнений Киллинга рассматриваются экстремальные статические дионные черные дыры с двумя электрическими и двумя магнитными зарядами и черные дыры с дополнительными векторными и скалярными полями (вильсо-новскими линиями) с не полностью нарушенной суперсимметрией. Сравнение классов решений уравнений движения второго порядка и спинорных уравнений Киллинга для магнитных черноых дыр показывает, что класс решений уравнений движения шире и включает в себя решения спинорных уравнений Киллин-га.

Получение результаты показывают, решения в суперсимметричных и бо-зонных теорий с петлевыми поправками весьма различаются между собой. В суперсимметричной гетеротической теории поправки к древесной метрике и ди-латону сферически симметричного статического дионного решения не меняют характера асимптотического поведения решения на больших расстояниях от центра симметрии конфигурации. В бозонных теориях асимптотика выражений для метрики и дилатона с учетом петлевой поправки на больших расстояниях от центра черной дыры (черной струны) отличается от асимптотики древесного решения и характеризуется более медленным убыванием, чем асимптотика древесного приближения.

Для черных дыр и других конфигураций пространства-времени с нетривиальной топологией расматривается вопрос о массе (энергии) черной дыры (струны). Для этого используется общее определение квазилокальной энергии системы применимое для широкого класса теорий гравитвции, взаимодействующей с полями материи. В гетеротической теории асимптотики дионных черных дыр в древесном и однопетлевом приближениях имеют одинаковый характер, что позволяет определить ADM массу черной дыры. В работе также вычисляется BPS масса диона с учетом петлевой поправки и устанавливается ее совпадение с ADM массой.

В бозонной теории, то время, как в древесном приближении квазилокальная энергия рассматриваемых черных дыр (струн) конечна, при формальном использовании метрики черной дыры с петлевой поправкой выражение для квазилокальной энергии, вычисленное на поверхности, находящейся на расстоянии р от центра (оси симметрии) черной дыры (струны), растет пропорционально р. Однако при учете требования малости петлевой поправки по отношению к отклонению древесного решения от плоской конфигурации возникает ограничение на допустимую область значений для которых применимо решение с петлевой поправкой, и формальное использование решения с поправкой во всем

пространстве неправомерно.

Развитие методов теории струн дало возможность решить ряд вопросов теории черных дыр, в частности, вычислить статистическую энтропию ряда экстремальных и околоэкстремальных черных дыр, являющихся решеними уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия, путем подсчета числа микросостояний черной дыры. Имеются различные подходы к вычислению энтропии черных дыр в теории струн: использование методов конформных теорий поля, методов, основанных на D-бранном описании черных дыр, позволяющих вычислить статистическую энтропию экстремальных и околоэкстремальных решений, а также подходы, осноыванные на выделении из метрики черной дыры части, представляющей собой черную дыру низшей размерности, для которой статистическую энтропию можно вычислить методами конформной теории поля.

В третьей части настоящей работы энтропия ряда черных дыр вычисляется путем выделения из многомерной метрики в окрестности горизонта метрики трехмерной черной дыры Баньядоса-Тейтельбойма-Занелли (BTZ), для которой известна статистическая энтропия. Рассматриваются черные дыры, метрики которых в окрестности горизонта имеют вид суммы метрики трехмерной черной дыры и метрики сферы, причем факторизация геометрии во всем пространстве не требуется.

Вычисляется статистистическая энтропия пятимерной магнитной черной дыры в теории Эйнштейна-Максвелла и многомерныех черных дыр, получающихся компактификацией конфигураций пересекающихся являющихся решениями уравнений М-теории. Метрики требуемого типа возникают при пересечении с бустом вдоль направления пересечения. Во всех случаях статистическая энтропия совпадает с геометрической.

1.2 Основные цели работы

• Исследование решений типа заряженных черных дыр в четырехмерной компактификации гетеротической теории струн с N = 2 суперсимметрией с учетом струнных петлевых поправок.

Установление вида эффективного действия четырехмерной гетеротической теории с петлевыми поправками. Получение выражений для струнных петлевых поправок к различным членам древесного эффективного действия гетеротической теории, компактифицированной к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией, вычислением функциональных интегралов для корреляторов вершинных функций интегрированием по мировым листам струны, имеющим топологию тора, и установление общей структуры струнных петлевых поправок к древесному эффективному действию гетеротической теории. Получение эффективного действия струны с петлевыми поправками, исходя из точного препотенциала N = 2 суперсимметричной четырехмерной гетеротической теории. Вывод спинор-ных уравнений Киллинга с учетом струнных поправок в форме, подходящей для их решения по теории возмущений по параметру разложения по

струнным петлям.

Исследование формы симплектических преобразований, связывающих различные базисы в пространстве модулей в четырехмерной гетеротической теории, с учетом струнных петлевых поправок. Решение системы спинор-ных уравнений Киллинга и уравнений для векторных полей для дионных черных дыр с двумя электрическими и двумя магнитными полями с петлевыми поправками и их расширений засчет включения дополнительных векторных полей и модулей супермультиплетов вильсоновских линий. Решение системы уравнений движения второго порядка по производным, следующих из эффективного действия струны с петлевыми поправками, для магнитных черных дыр и сравнение результатов с решениями системы спинорных уравнений Килинга. Вычисление ADM и BPS масс полученных решений для дионных черных дыр с петлевыми поправками.

• Нахождение решений типа черных дыр (черных струн) в теории замкнутых бозонных струн с петлевыми поправками.

Получение эффективного действия в теории замкнутых бозонных струн с учетом вкладов от мировых листов струны с топологией сферы и тора. Решение уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия с петлевыми поправками, в размерностях пространства-времени D = 2,3,4. Анализ вопроса о массах полученных решений и сравнение" выражений для метрики и дилатона древесных черных дыр (струн) и решений с петлевыми поправками.

• Вычисление статистической энтропии черных дыр методами конформных теорий поля

Вычисление геометрической и статистической энтропий четырехмерных, пятимерных и шестимерных черных дыр, метрика которых в окрестности горизонта имеет вид суммы метрик трехмерной черной дыры и метрики сферы. Вычисление статистической энтропии черных дыр, полученных компактификацией пересекающихся р-бранных решений М-теории. Исследование примеров, возникающих в четырехмерной дилатонной гравитации и в эффективных теориях суперструн с расширенной суперсимметрией.

1.3 Научная новизна и практическая ценность работы

В диссертации рассматриваются вопросы теории струн, являющейся передовым направлением в исследовании физики, микромира, развитию различных аспектов которых посвящены десятки и сотни работ последних лет. Это обстоятельство определяет новизну и актуальность проблемы.

Вычисление и исследование квантовых поправок к решениям уравнений движения в древесном приближении является фундаментальной задачей как в квантовой теории поля, так и в теории струн. Решения уравнений движения, следующих из эффективного действия, являются экстремалями на которых реализуется фундаментальная конформная симметрия теории. В теории струн эта

задача особенно сложна, и конкретные результаты вычислений для для числа петель более двух отсутствуют.

В литературе имеется небольшое количество работ, в которых вопрос о струнных петлевых поправках к классическим решениям рассматривался в рамках некоторых модельных лагранжианов, однако их последовательный вывод в струнной теории возмущений не обсуждался. Систематическое решение уравненний движения с струнными поправками без дополнительных предположений и ограничений также не проводилось.

В работе рассматриваются как бозонные, так и суперсиметричные теории струн. В бозонной теории задача о струнных петлевых поправках к эффективному действию и решениям уравнений движения решается в первом порядке струнной теории возмущений. В бозонной теории струн решения уравнений движения с петлевыми поправками ранее не рассматривались. В размерности пространства-времени D = 2 решение уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия с первой петлевой поправкой, находится точно. В размерностях D = 3,4 асимптотики решений были найдены в первом порядке по параметру разложения по струнным петлям. При этом оказалось, что при учете петлевой поправки асимптотики решений модифицируются одинаковым образом: на пространственной бесконечности приближение метрики и дилатова к плоскому пределу происходит с более медленным убыванием, чем в древесном приближении. Это приводит к следующему результату: при формальном использовании решений с петлевой поправкой во всем пространстве невозможно определить ADM массу черной дыры или ее квазилокальное обобщение. Результат интерпретируется как ограничение на область применимости решений с петлевыми поправками.

Суперсимметричные теории струн выделены тем, что в случае расширенной суперсимметрии число петель, дающих вклад в препотенциал и в эффективное действие ограничено. В качестве суперсимметричной теории рассматривается компактификация гетеротической теории струн к четырем измерениям с сохранением N = 2 суперсимметрии. В этом случае точный пертурбативный препо-тенциал эффективного действия теории с двумя производными имеет только древесную и однопетлевую части.

В работе впервые в общей постановке вопроса в однопетлевом приближении в струнной теории возмущений получены решения для заряженых черных дыр в четырехмерной гетеротической теории с учетом всех модулей и с учетом эффекта кривизны пространства-времени без дополнительных предположений. Суперсимметричные решения для дионных черных дыр с двумя электрическими и двумя магнитными палями были получены решением системы спинорпых уравнений Киллинга, имеющих первый порядок по производным.

Рассмотрен круг вопросов, относящихся к формулировке четырехмерной ге-теротической теории с учетом петлевых поправок. Исследована структура сим-плектических преобразований, связывающих различные базисы в пространстве модулей. В то время, как форма этих преобразований известна на древесном уровне теории, с учетом струнных петлевых поправок эта задача не рассматривалась. Модификация центрального заряда алгебры расширенной суперсим-

метрик, определяющего BPS массу решений засчет петлевых поправок также получена впервые.

Одним из существенных успехов включения гравитации в теорию струн является вычисление статистической энтропии экстремальных и около-экстремальных черных дыр. В работе вычисляется статистическая энтропия многомерных черных дыр методами конформных теорий. Рассматриваются решения, геометрия которых после компактификации содержит в окрестности горизонта в качестве фактора трехмерную черную дыру. При этом отмечается, что не требуется точная факторизация решения во всем пространстве. В качестве примеров рассмотрено вычисление статистической энтропии четырехмерной магнитной черной дыры, получающейся компактификацией пятимерного решения в теории Эйнштейна-Максвелла, а также энтропии шести, пяти и четырехмерных черных дыр, получающихся при компактификации пересекающихся бранных решений одиннадцатимерной супергравитации (десятимерной теории струн). Вычисление не опирается на суперсимметрию и не требует привлечения преобразований С-дуальности.

В диссертацию включены только результаты, полученные лично автором. В диссертацию не входят циклы работ автора с соавторами по теории (су-пер)струн (BRST структура и BRST тождества в теории бозонных струн и суперструн, вычисление ^-функций и др.), не относящиеся к задачам, рассматриваемым в диссертации.

1.4 Апробация работы

Результаты работы докладывались на международных семинарах QFTHEP ( Москва 1995, 1996, Тверь 1998, Москва 2001, семинаре ICTP (Trieste) 1995, Второй и третьей Сахаровских конференнциях по физике, Москва ФИАН 2000, 2002, Конференции, посвященной памяти Е.С.Фрадкина, Москва ФИАН 2001, а также на семинарах Отделения теоретической физики Физического института АН и Отдела теоретической физики НИИЯФ МГУ.

1.5 Публикации

Результаты работы опубликованы в 14 работах, список которых приводится в конце автореферата

1.6 Структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, трех глав, Заключения и списка литературы и содержит 125 страниц текста. Библиография содержит 185 наименования.

2 Содержание работы

В Введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяются ее цели и приводится обзор содержания диссертации.

Теория струн формулируется в критической размерности (26 для бозонной теории струн и 10 для теории фермионной суперструны) и компактифицируется к низшим измерениям. Конкретная форма четырехмерного эффективного действия зависит от геометрии пространства, на котором производится компак-тификация теории. В случае гетеротической теории, естественно формулирующейся в критической размерности 10, в зависимости от способа компактифи-кации результирующая суперсимметричная теория может иметь расширенную суперсимметрию от N = 1 до N = 4.

В главе 1 Рассматриваются эффекты струнной теории возмущений в четырехмерной компактификации гетеротической теории с расширенной N = 2 суперсимметрией.

Действие струны на мировом листе представляет собой двумерную конформную теорию и имеет следующую структуру

где /о свободное действие, х-коллективвое обозначение полей, от которых зависят действие струны, V, вершинные операторы размерности 2, соответствующие возбуждению безмассовых мод струны, соответствующие безразмерные "константы взаимодействия "являющиеся фоновыми палями, в которых распространяется струна.

Производящий функционал корреляторов вершинных функций строится в виде суммы вкладов от интегрирования по мировым листам струны различного рода и символически может быть представлен в форме

где -модули, от которых зависит метрика на мировом листе струны рода п.

Поля в функциональном интеграле для производящего функционала определяются из условия вейлевской инвариантности производящего функционала, что приводит к требованию, чтобы в рассматриваемом приближении теории через которые выражается вейлевская аномалия производящего функционала, обращались на этих полях в нуль

Совокупность уравнений ¡¡'{р3) = 0 (или их линейных комбинаций) возникает как уравнения движения, следующих из низкоэнергетического эффективного действия , определяющего динамику безмассовых мод струны, которое, в свою очередь, вычисляется из перенормированного производящего функционала корреляторов вершинных функций.

Хотя в струнной теории возмущений эффективное действие, в принципе, может быть построено путем функционального интегрирования по мировым листам струны различной топологии, в гетеротической теории даже в однопетле-вом приближении корреляторы вершинных функций имеют сложную ферму и

п=0

¿V) = о.

не сводятся к компактным выражениям. При компактификации гетеротической теории к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией динамика эффективной теории определяется препотенциалом, который имеет только однопетлевую поправку и для ряда компактификаций на орбифолдах вычисляется точно.

Прямым вычислением корреляторов устанавливаются общие факты относительно структуры эффективного действия: отсутствие поправок к эйнштейновскому члену и квадрату напряженности антисимметричного тензора, а также появление поправок к членам с квадратом напряженности векторных полей и кэлерову потенциалу, что является проявлением факта, что в компактифицированной гетеротической теории динамика векторных супермультиплетов модифицируется струнными петлевыми поправками [2, 13]. Конкретная форма поправок получается с использованием препотенциала, для которого имеется точное выражение, однако для целей работы достаточна только его общая структура.

В работе рассматривается компактификация гетеротической теории с группой симметрии к четырем измерениям путем компактификации десятимерной теории к шестимерной теории с N — 1 суиерсимметрией, которая затем компактифицируется на нетвистованном двумерном торе, так что четырехмерная теория имеет N — 2 суперсимметрию. Для различных компактификации гетеротической теории этого вида общим является универсальный сектор полей. В бозонную часть универсального сектора входят гравитация и антисимметричный тензор три комплексных модуля

где <Зтп и Втп метрика двумерного тора и антисимметричный тензор, где индексы т,п — 1,2. Здесь ф дилатон, а аксион дуальный напряженности антисимметричного поля (?„,„ и Вщ, четыре векторных поля. Три век-

торных поля образуют векторные супермультиплеты с модулями S,T,U и одна комбинация векторных полей образует гравифотон, лежаший в гравитационном супермультиплете.

В общем случае N=2 суперсимметричной компактификации гетеротической теории к четырем измерениям безмассовыми бозонными полями являются метрика антисимметричный тензор скаляра, локально па-

раметризующих пространство модулей,

(второй множитель отностися к модулю 5) и (Р + 3) 1/(1) калибровочных поля •Л^"'.. Р комплексных скаляров и векторных палей входят в векторные супер-мультиплеты вильсоновских линий.

В N = 2 суперсимметричной компактификации гетеротической теории струн часть препотенциала, отвечающая эффективному действию со степенью производных не выше второй, получает только однопетлевую квантовую поправку от

и =

50(2, Р) БЦ2,Р) 50(2) х 50(Р) * С/(1)

интегрирования по мировым листам струны с топологиеи тора и имеет следующую структуру

Здесь

IX1 -модули вильсоновских линий. Петлевая поправка не зависит от модуля X1. Начиная с однопетлевого приближения дилатон смешивается с остальными модулями

5 = е~ф - е— + ¿а,

ГДС V функция Гпиня-ТТТтеяпття иметотттяст пиут теитттчггшгтг/ктгу ттиний)

м ф и т - ЯеН ~ Не ГДе ^ " Ле иЕе диН ЦеТЕеи

Бозонна: А = / ¿х^д [я -1 (М^1^ - ЫиТ****) вид

1 ({ЯА\* 4- ¿*<Яп +

~2 + 6 {да1 + х])~ ЦШу ~ Щму

+ ее* (Угт|9Г|2 + УиО\0Щ2 + У^ди&Г + \'т0дТдО) + ...].

Здесь /,7 = 0,1,2,3, Х„ = е1т{&гУд„Т + дтид^и).

В струнной теории возмущений "калибровочные константы'ТУ/у приобретают петлевые поправки, которые вычисляются из препотенциала в первом порядке по е [13,14].

Уравнения движения N = 2 суперсимметричных теорий обладают инвариантностью относительно группы симплекгических преобразований, которая для случая четырех векторных супермультиплетов равна 5Р(8,7). Симплектиче-ские преобразования связывают различные голоморфные сечения пространства модулей. Хотя все сечения эквивалентны, конкретная форма теории зависит от выбора голоморфного сечения. Физическая интерпретация теории имеется в голоморфном сечении, связанном с компактификацией гетеротической теории. Однако в этом голоморфном сечении нельзя ввести понятия препотенциала и калибровочные константы взаимодействия векторных компонент супермульти-плетов вычисляются с помощью преобразования констант взаимодействия, полученных в голоморфном сечении с препотенциалом. В древесном приближении теории имеются явные выражения как для препотенциала в голоморфном сечении, в котором препотенциал существует, так и для калибровочных констант в гетеротическом голоморфном сечении. Это позволяет построить явную форму симплектического преобразования, связывающего два сечения. В однопетлевом

приближении имеются два источниха неопределенности в форме симплекти-ческого преобразования, связывающего два сечения: во-первых, неопределенности, связанные с принципиально неустранимым произволом однопетлевого приближения для препотенциала, во-вторых возникающие из-за отсутстствия явного замкнутого выражения для калибровочных констант векторных компонент супермультиплетов модулей в гетеротическом сечении, сводящиеся к двум вещественным постоянным. В эффективном действии в сечении с пре-потенциалом эти неопределенные константы входят в топологические члены в эффективном действи и не влияют на уравнеия движения [12, 13].

В суперсимметричных теориях решения уравнений движения с не полностью нарушенной суперсимметрией можно получить или непосредственным решением уравнений второго порядка, следующих из эффективного действия, или решением "спинорных уравнений Киллинга", представляющих собой условие равенства нулю преобразований суперсимметрии гравитино и суперпартнеров модулей и имеющих первый порядок по производным:

Здесь А спинорный индекс, i нумерует супермультиплеты.

Рассматриваются различные формы спинорных уравнений Киллинга [8,12, 13]. Уравнения решаются с точностью до членов порядка O(t). Форма уравнений, удобная для решения системы в первом порядке по параметру е является следующая [13]

где

Здесь U функция, входящая в выражение для для стационарной сферически-симметричной метрики черной дыры

ds2 = -e2"(dt + wxdx{)2 + e-^dx'dxt.

Первое уравнение решается для I = 0,1, с соответствующими модулями Х°, X1 — 1, TU, и напряженностями магвитвых полей с зарядами Р° в Р1, а второе для / = 2,3 с F2, F3 = SU - tdh{T,U)/dT, ST - edh(T,U)/dU и

напряженностями электрических полей с зарядами

Наболее прозрачную форму решение имеет в случае, когда в древесном приближении рассматривается статическая черная дыра с постоянными модулями. Решение для метрики и дилатона сферически-симметричного статического решения системы спинорных уравнений Киллинга и уравнений Максвелла с постоянными вещественными древесными модулями Т и U точностью до членов

порядка О(е) имеет вид (13]

которое с рассматриваемой точностью можно также переписать в виде

3 Д,Р = (Р<'Р1)1'2, (Э^^'&У'^Р^Р* яаг,С}ь ы е и электрические заряды диона. Н = где и) однопетяева® поправка к препотенци-алу, Т и II древесные модули. Петлевые поправки к компонентам метрики не твистованного тора Т2 равны

где Св произвольные постоянные. Из вида решения следует, что при ненулевом электрическом заряде диона метрика черной дыры с петлевой поправкой конечна во всем пространстве, кроме начала координат, куда стягивается горизонт событий.

В случае чисто магнитной черной дыры в древесном приближении теории дилатон растет при приближении к горизонту как 1/г., и как следствие петлевая поправка к метрике и дилатону также становится сингулярной в этом пределе. В этом случае условие малости поправки по отношению к древесному приближению приводит к ограничению на допустимую область [8, 12, 13, 14].

Аналогичные выражения напучены для петлевых поправок к метрике и модулям дионной черной дыры с учетом вильсоновских линий [10].

Для сравнения решений спинорных уравнений Киллинга с решениями системы уравнений Эйнштейна-Максвелла, следующих из эффективного действия гетеротической струны, уравнения движения решаются для случая чисто магнитных черных дыр [11, 14]. Уравнения линеаризуются около древесного решения и решаются в порядке О(б). В этом случае возникает более широкое семейство решений с поправками к метрике и дилатону вида

где С произвольная постоянная, включающее в себя суперсимметричные решения спинорных уравнений Киллинга.

Обсуждаются асимптотические свойства полученных решений для черных дыр с петлевыми поправками. В общем случае, при отличных от пуля электрических и магнитных зарядах, петлевые поправки к метрике и дилатону конечны во всем пространстве и убывают на пространственной бесконечности, как

и компоненты древесной метрики, как 0(£). Такие же свойства имеют чисто электрические черные дыры. При этом во всем пространстве петлевые поправки имеют порядок 0(e) по отношению к древесному решению.

Поскольку на пространственной бесконечности компоненты метрики с пет* левой поправкой имеют такой же характер убывания, как в древесном приближении, 0(£), то в обоих случаях можно определить ADM массу черной дыры, . а также с помощью метода Нестера вычислить BPS массу черной дыры и показать, что они равны между собой [13]. В однопетлевом приближении масса дионой черной дыры сдвигается относительно древесного значения на величину порядка еРН.

Показано, что решения для черных дыр с петлевыми поправками на горизонте событий теряют зависимость от произвольных констант, фиксирующих асимптотику на бесконечности (аттракторное свойство решений) [9]. При этом нагоризонте нарушенная суперсимметрия востаназливается до полной N = 2 суперсимметрии.

Модули статических дионных черных дыр в древесном приближении вещественны. При учете петлевых поправок, вообще говоря, появляются мнимые добавки к древесным модулям (аксионы) порядка и решение перестает

быть статическим и становится стационарным. При специальном выборе произвольных констант и зарядов аксионы обращаются в нуль, и решение остается статическим [13].

В главе 2 диссертации рассматривается вопрос о построении эффективного действия с учетом петлевых поправок и решении уравнений движения, следующих из эффективного действия, в теории замкнутых бозонных струн.

Первой возникающей задачей является нахождение эффективного действия, включающего вклады от высших топологий мирового листа струны. В струнной теории возмущений производящий функционал корреляторов вершинных функций безмассовых мод струны строится в виде суммы вкладов от интегрирования по мировым листам струны разлячных топологий

Функционал Zn является производящим функционалом корреляторов вершинных функций безмассовых мод на поверхности рода

Фундаментальным свойством производящего функционала является его пер-турбативная перенормируемость в теории возмущений по параметру

¿„(<ря) = гпМб),б),

где затравочные ноля <р($) представляют собой разложение в ряд теории возмущений по степеням In 6 с коэффициентами, зависящими от перенормированных

Пертурбативная перенормируемость производящего функционала в фиксированном порядке струнной теории возмущений обобщается как требование пере-

нормируемости как по отношению к разложению по параметру так и но отношению к разложению по струнным петлям. Важным аспектом этого свойства является то, что все расходимости (модулярные и ультрафиолетовые) регуля-ризуются универсальным образом при помощи одного параметра обрезания

В явном виде регуляризация модулярных и ультрафиолетовых расходимо-стей достигается с помощью параметризации Шоттки расширенного пространства модулей, использовашейся в операторном подходе к дуальной теории струн. В этой параметризации поверхность с ручками отображается на (компактифицированную добавлением бесконечно удаленной точки) комплексную плоскость С, в которой имеются п пар удаленных дисков с попарной идентификацией границ. На комплексной плоскости С группа Мебиуса действует как группа Поверхность с ручками описывается комплексными модулями. Для каждой пары вырезанных дисков на комплексной плоскости, соответствующих ручке на сфере, 6 вещественных модулей определяют положение центров дисков, отношение радиусов и твист в отожествлении точек границ дисков. Если мебиусовская симметрия не фиксирована, то в амплитуды объем группы 5Х(2, С) входит как универсальный расходящийся множитель. При фиксации трех комплексных параметров группы $1,(2, С), число независимых комплексных модулей становится

Струнное эффективное действие определяется как перенормированный производящий функционал струнных амплитуд безмассовых мод

Производная по ренорминвариантным образом снимает расходимость, связанную с расходящимся объемом группы Мебиуса. Статсумма имеет следующую структуру

[1 + а' ((^ 1п 6 + МЛ))Я + ((п - 1) 1п 6 + Ь^)02ф) +...],

константы, и определена с точностью до пертурбативной репара-метризации палей.

Статсумма вычисленная с использованием параметризации Шоттки, имеет вид

21 = с, I (¡0ху/\в\ I [<?т] + + а'(ь[х)к + + О (а'2) .

Здесь интегрированияя по модулярному параметру мировой поверх-

ности с топологией тора. Первый логарифм возникает от интегрирования но модулям, соответствующим двум вырезанным на комплексной плоскости дискам от ручки, второй, при от ультрафиолетовых расходимостей в пропагаторах при совпадающих аргументах.

Объединяя древесный и однопетлевой вклады для статсуммы и используя репараметризациониую инвариантность в выборе полей, позволяющую убрать константы б!" и после замены 2Ф —Ф получаем эффективное действие в виде [3]

5 =/Л^¡С|е* + +

Теория возмущений строится по формальному параметру е, заменяющему комбинацию

Уравнения движения решаются в низших размерностях D = 2,3,4. В двумерном случае имеется точное по статическое решение с метрикой и дилатоном вида

При подходящем выборе параметров С и Фо древесное решение интерпретируется как двумерная черная дыра. В древесном приближении метрика асимптотически приближается к плоской к 0(е~'"'), при учете петлевой поправки приближение к асимптотике изменяется на

В трехмерном пространстве-времени в древесном приближении рассматривается статическое решение, зависящее от одного параметра, метрика и дилатон которого параметризуется в виде

Древесное решение имеет вид

с произвольными г+ иг. и интерпретируется как бесконечная прямолинейная черная струна. Петлевые поправки вычисляются для случая в котором решение представляет собой реализацию \VZNW модели. Асимптотика поправок к древесной метрике и дилатону при р —> оо имеет вид

т,п = 0{е~2р), <р =

е-г'р( 4Л+1) 4(2А +1) '

6 =

е-2"р( 2А + |) (2А + 1) "

Как и в двумерном случае, при учете петлевых поправок асимптотика отклонений древесного решения от плоской метрики типа меняется на [3]. Однако область применимости однопетлевого решения ограничена условием Ц < 1 или у/сРр < 1.

В четырехмерном пространстве-времени петлевые поправки вычисляются а дилатонной гравитации к древесному решению вида черной дыры с шварцшиль-довской метрикой и постоянным дилатоном. Петлевые поправки вычисляются в асимптотической области г; в уравнениях удерживаются старшие члены по 1/г. Петлевые поправки к компонентам метрики растут как г2, и решение с поправкой применимо в области GM/r >> а'г2, где G гравитационная постоянная, M-масса черной дыры. Ввиду того, что в этом решении в древесном приближении дилатон постоянен, результат не чувствителен к виду функциональной зависимости петлевой поправки в действии от дилатона.

Шварцшильдовское решение с поправками в бозонной теории струн сравнивается с неэкстремальным решением в четырехмерной гетеротической теории с N = 2 суперсимметрией. Неэкстремальное решение для магнитной черной дыры получается из суперсимметричного экстремального решения введением "шварцшильдовских факторов". Вдали от горизонта в древесном приближении асимптотики метрик в бозонной и гетеротической теориях одинаковы, дила-тон также приближается к постоянному значению. Однако свойства решений с поправками в этих теориях различны, что объясняется различной структурой эффективных действий.

Ввиду того, что в бозонной теории асимптотики метрик черной дыры (струны) в древесном и однопетлевом приближении различны, возникает вопрос об определении массы (энергии).

Используется достаточно общее определение квазилокальной энергии, которое применимо в случае пространства-времени, имеющего вид прямого произведения вещественного времени подобного интервала и пространственноподоб-ной поверхности с нормальным вектором Времениподобный интервал параметризуется параметром t и определяет пространственноподобные листы слоения Е,. Пространство-время имеет внешнюю времениподобную границу области В. Слоение St индуцирует на границе области В слоение dBti называемое системой квазилокальных границ. На границе В индуцируется метрика у^ и сопряженный импульс который вычисляется на решении урав-

нений движения. В случае статического пространства-времени с метрикой

ds2 = -N^dt1 + gtkdx'dxk

определяется не зависящая от слоений энергия (масса)

Здесь к внешняя кривизна квазилокальной границы dBt, представляющей собой слоение, образуемое пересечением границы В с пространственноподобными листами слоения, параметризованными параметром импульс и

кривизна, определенные по отношению к фоновой геометрии, в которой асимптотика метрики и дилатона на границе совпадают с асимптотиками рассматриваемой черной дыры (струны).

В двумерном случае энергия статического решения равна

Для произвольной древесной черной дыры масса, определенная по отношению к произвольной фоновой метрике, являющейся решением уравнений движения, конечна. Для черной дыры с петлевыми поправками масса, вычисленная на расстоянии р от центра черной дыры, определенная по отношению к произвольной древесной метрике, линейно растет с

В трехмерном случае плотность энергии на единицу длины струны равна

В древесном приближении теории плотность энергии конечна. Подставляя асимптотики решения с учетом петлевых поправок получаем, что при произвольных значениях параметра квазилокальная плотность энергии черной струны, вычисленная на расстоянии от прямолинейной струны по отношению к произвольной фоновой древесной метрике, растет при

Глава 3 диссертации посвящена вычислению статистической энтропии ряда черных дыр. Развитие теории струн дало возможность продвинуться в исследовании ряда микроскопических свойств черных дыр, в частности, вычислить статистическую энтропию некоторых заряженых черных дыр. Имеется два основных способа вычисления статистической энтропии черных дыр: в рамках Б-бранного подхода и методами конформных теорий поля.

В диссертации используется второй метод вычисления статистической энтропии. Энтропия многомерных черных дыр вычисляется путем сведения этой задачи к проблеме вычисления энтропии трехмерных черных дыр. Для того, чтобы такое вычисление было возможным, необходимо, чтобы геометрия многомерной черной дыры в окрестности горизонта содержала трехмерную черную дыру Баньядоса-Тейтельбойма-Занелли (ВТТ)

(М и J масса и угловой момент черной дыры, Л = —р-космалогическая постоянная) как фактор.

В трехмерной гравитации отсутствуют локальные степени свободы, и имеются только поверхностные степени свободы на удаленной поверхности, ограничивающей рассматриваемую область. Поверхностным степеням свободы соответствуют глобальные заряды, генеерирующие остаточные калибровочные преобразования, сохраняющие на бесконечности асимптотику выкуума.

Вычисление статистической энтропии трехмерной черной дыры основано на том, что действие трехмерной гравитации представляется в виде разности двух (право-левых) действий Черна-Саймонса для группы 8Ь{2, В) X 5Д2, Я) на уровне к = Этот факт, в свою очередь связан с тем, что диффеоморфизмы, сохраняющие асимптотику вакуума на пространственной бесконечности, генерируются двумя копиями алгебры Вирасоро с центральными зарядами

¿з2 = -N4? + + г2(Л + ^¿ф)

и2

где

Ct = Сд = и асимптотическая плотность состояний в этой конструкции вычисляется но формуле Карди.

Поскольку вычисление не опирается на суперсимметрию, то его можно провести в любой последовательной теории гравитации. Это открывает возможность микроскопического вычисления энтропии не только BPS или около- BPS черных дыр, как в случае D-бранной интерпретации, или суперсимметричных компактификаций гетеротической теории, но и для черных дыр, далеких от экстремальности. В частности, эти методы могут быть применимы для черных дыр в теориях с N=2 суперсимметрией, в которых, в отличие от случая более высокой суперсимметрии N=4, при учете высших петель струнной теории возмущений появляются квантовые поправки, что может привести к нарушению D-бранной интерпретации.

Первым примером, который обсуждается в этом разделе, является четырехмерная дилатонная гравитация, взаимодействующая с абелевым полем [4, 5, 7]. В этой теории при специальном подборе взаимодействия векторного поля с ди-латоном имеются решения для экстремальных и неэкстремальных заряженых черных дыр. В этих случаях четырехмерное действие получается редукцией пятимерной Эйнштейн-Максвелловской гравитации без дилатона

/ = J d5*/^) [Я<5> - Fl

Вычисление статистической энтропии основано на том, что в пятимерной метрике

при 8СМ — р2/"2 1 выделяется трехмерная часть, имеющая стандартный вкд метрики черной дыры ВТ! с массой , угловым моментом / = 0 и параметром внутреннего и внешнего горизонтов.

Вторым рассматриваемым объектом являются черные дыры, являющиеся решениями уравнений движения, следующих из эффективных действий, полученных компактификацией одиннадцатимерной М-теории или теорий типа II к четырем и пяти измерениям с сохранением N = 2 суперсимметрии. Рассматривается класс экстремальных и неэкстремальных решений уравнений движения и их обратная редукция до решений одиннадцатимерной М-теории. Рассматриваются примеры многомерных решений, которые при компактификаций приводят к метрикам, которые в окрестности горизонта распадаются на метрику трехмерной черной дыры и метрику сферы [6, 7].

Рассматривается неэкстремальная одиннадцатимерная конфигурация трех пятибран, попарно пересекающихся по трехбранам с дополнительным бустом вдоль общего направления пересечения, являющаяся неэкстремальным обобщением экстремального решения. В случае компактификаций на многообразии Калаби-Яу решения могут быть представлены как три М5-браны, обернутые

вокруг 4-циклов в CY3 X 51. Метрика получающейся околоэкстремалыюй пятимерной черной дыры в окрестности горизонта представляется в виде суммы метрик черной дыры BTZ и двумерной сферы.

При компактификации на многообразии Калаби-Яу возникает пятимерная метрика вида

d$l = {dABCHAHBHcy'3 [ - dt2 + dy2 + ^(coshßdt + sinhßdy)2

где HA = 1 + гармонические функции, wx - двумерные элементы, соответствующие пересечению 4-циклов.

Рассматривается случай близкий к экстремальному (1 —> 0. В экстремальном пределе заряды РА = ^sinh2^ конечны. В окрестности горизонта г = ß в которой для всех А выполнены условия ",л » 1 где

I = №авсРаРвРсУ'\

пятимерная метрика приближенно имеет вид

ds\ = у (-dt2 + dy2 + £(cosh ßdt + sinh ßdy)^ + -Jjdr2 + l2dfl2.

Чтобы показать, что трехмерная часть является черной дырой BTZ, производится следующая замена переменных:

где Д-радиус компактификации координаты у. В этих переменных пятимерная метрика принимает вид суммы стандартной метрики И Г/ и метрики сферы

ds\

dslj-z + l2dill

dsBTZ

N2 Щ

-N41* + р\йт + ^¿ф)2 + ^Чр2,

Р+Р-21р2 '

что позволяет вычислить энтропию пятимерной и после компактификации по переменной у четырехмерной черных дыр. Четырехмерная черная дыра является решением четырехмерной супергравитации с N — 2 суперсимметрией, взаимодействующей с векторными супермультиплетами.

Энтропия пятимерной черной дыры вычисляется для конфигурации, получающейся компактификацией пересекающихся одиннадцатимерных двух и пятибрап с бустом вдоль направления пересечения. При компактификации к шести измерениям возникает конфигурация, метрика которой в окрестности горизонта представляется в виде суммы метрик трехмерной черной дыры и трехмерной сферы. Пятимерная черная дыра, являющаяся решением уравнений пятимерной супергравитации с N = 2 суперсимметрией, получается при компактификации шестимерной конфигурации вдоль направления буста.

3 Основные результаты работы

Работа посвящена проблеме описания черных дыр в теории струн. Вычисляются квантовые поправки к классическим черным дырам (черным струнам) в теории бозонных струн и в теории суперструн. Вычисляется энтропия черных дыр в различных размерностях пространства-времени.

• Получено эффективное действие гетеротической теории, компактифицированной к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией, определяющее динамику безмассовых ("наблюдаемых") мод струны с учетом струнных однопетлевых поправок к древесной части действия от мировых листов струны с топологией тора.

• В теории гетеротической струны уравнения для метрики и модулей суперсимметричных заряженных черных дыр получены в форме, пригодной для их решения с учетом струнных петлевых вкладов. Получены суперсимметричные решения для метрики и модулей заряженных сферически-симметричных статических черных дыр и расширений этих решений за-счет включения дополнительных векторных супермультиплетов вильсо-новских линий с учетом струнных петлевых поправок. Решены уравнения для аксионных частей модулей.

• В теории замкнутых бозонпых струн получено эффективное действие с учетом вкладов от мировых листов струны с топологией сферы и тора.

• Найдены решения уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия с петлевыми поправками, в размерностях пространства-времени Б = 2,3,4.

• В рамках общей постановки вопроса об определении массы в кривом пространстве-времени получены выражения для массы черных дыр (черных струн) в древесном приближении и с учетом петлевых поправок.

• Получено выражение для геометрической и статистической энтропии четырехмерных, пятимерных и шестимерных черных дыр, метрика которых в окрестности горизонта приближенно имеет вид суммы метрик трехмер-пой черной дыры и метрики сферы. Вычислена статистическая энтропия магнитной черной дыры, являющейся решением уравнений пятимерной гравитации Эйнштейна-Максвелла, и энтропия черных дыр, являющихся решениями эффективных теорий суперструн с расширенной суперсимметрией, получающихся компактификацией пересекающихся одиннадцатимерных мембран.

Список литературы

[1] V.V. Belokurov and M. Z. Iofa, Stiing-Loop Corrections to Effective Action and Black-Hole Instabilities. Mod. Phys. Lett. A10 (1995) 575-585.

[2] B.B. Белокуров и М.З.Иофа, Однопетлевые корреляторы в модели ферми-онной струны в некритичесих размерностях. ЯФ, 59 (1996) 360-367.

[3] М. Z. Iofa, Higher-Genus Corrections to Black-String solutions. Mod. Phys. Lett. 12A (1997) 837-850.

[4] M. Z. Iofa and L.A. Pando Zayas, On charged black holes with string-loop corrections. Препринт НИИЯФ МГУ 97-38/489.

[51 M. Z. Iofa and LA. Pando Zayas, Statistical Entropy of Magnetic Black Holes from the Near-Horizon Geometry. Phys. Lett. B434 (1998) 264-268.

[6] M. Z. Iofa and L.A. Pando Zayas, Statistical Entropy of Calabi-Yau Black Holes. Phys. Rev. D59 (1999) 064023.

[7] М.З. Иофа и Л.А. Пандо Зайяс, Локализация микросостояний и статистическая энтропия черных дыр. ЯФ 62 (1999) 1912-1920.

[8] M.Z.Iofa, Magnetic Black Holes in String Theory, in Quantization, Gauge Theory, and Strings. Proceedings of the International Conference dedicated to the memory of Professor Efm Fradkin. (eds: A.Semikhatov, V, Vasiliev, V. Zaikin) Scientific World, Moscow, 2001, Vol.II, pp. 471-480.

{9j M.Z.Iofa, Near-Horizon Behavior of String-Loop-Corrected Black Holes. Phys. Lett. B538 (2002) 385-392.

[10] M.Z. Iofa, Black Holes with Loop Corrections in Heterotic String Theory, in Proc. of 3rd International Sakharov Conference on Physics, (eds: A.Semikhatov, V, Vasiliev, V. Zaikin) Moscow 2002, 748-756.

[11] M.Z. Iofa, String-Loop-Corrected Magnetic Black Holes. JHEP 0202 (2002) 125.

[12] M.Z.Iofa, N=2 Supersymmetry and String-Loop-Corrected Magnetic holes. Mod. Phys. Lett. A17 (2002) 355-365.

[13] M.Z.Iofa, Dyonic Black Holes with String-Loop Corrections. Int. Journ. of Mod. Phys. A18 (2003) 1903-1933.

[14] М.З, Иофа, Magnetic Black Holes with String-Loop Corrections. ЯФ, 66 (2003) 1-14.

04"14992

Иофа Михаил Зиновьевич

ЧЕРНЫЕ ДЫРЫ В СТРУННОЙ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Издательство УНЦ ДО ИД N00545 от 06.12.1999

117246, Москва, ул.Обручева, 55А Тел./факс (095) 7186966 e-mail: izdat@abiturcenter.ru http://abiturcenter.ru/izclat

Заказное. Подписано в печать 16.06.2004 г. Формат 60x90/16 Бумага офсетная N 1. Усл.печ.л. 1,5 Тираж 80 экз. Заказ № 632

Отпечатано в Мини-типографии УНЦ ДО hftp.//abiШrcenter.ш/print/ в полном соответствии с качеством предоставленного оригинал-макета

Введение

1 Черные дыры с петлевыми поправками в четырехмерной гетеротической теории с N = 2 суперсимметрией

1.1 Введение

1.1.1 Структура И = 2 суперсимметричной четырехмерной гетеротической теории, полученной компактификацией шестимерной гетеротической теории с N — 1 суперсимметрией.

1.1.2 Формулировка задачи и результаты

1.2 Универсальный сектор четырехмерного четырехмерного эффективного действия гетеротической теории.

1.3 Стандартная форма действия универсального сектора действия N = 2 суперсимметричной теории.

1.3.1 Древесное приближение теории.

1.4 Вычисление поправок к древесному эффективному действию интегрированием по тороидальным мировым листам струны

1.5 Препотенциал и действие в одной струнной петле.

1.6 Калибровочные "константы"взаимодействия.

1.6.1 Неоднозначность препотенциала и калибровочных констант связи

1.7 Уравнения Максвелла и симплектические преобразования.

1.8 Спинорные уравнения Киллинга.

1.8.1 Преобразования суперсимметрии в N = 2 суперсимметричной теории и спинорное уравнение Киллинга.

1.8.2 Альтернативная форма спинорных уравнений Киллинга.

1.9 Дионное решение спинорных уравнений Киллинга в древесном приближении

1.9.1 Решение с постоянными модулями

1.9.2 Решение спинорных уравнений Киллинга в альтернативной форме с произвольными электрическими и магнитными зарядами.

1.9.3 Киральные нулевые модели

1.10 Решения спинорных уравнений Киллинга и уравнений Максвелла с однопетлевыми струнными поправками.

1.10.1 Напряженности поля с петлевыми поправками для дионного решения с постоянными древесными модулями

1.10.2 Решение уравнений Киллинга для дионных черных дыр с постоянными древесными модулями.

1.10.3 Спинорное уравнение Киллинга для гравитино и петлевые поправки к дилатону и метрике

1.10.4 Решение преобразованной системы уравнений Киллинга с произвольными древесными модулями.

1.10.5 Случай постоянных древесных модулей

1.11 И = 2 -суперсимметричные компактификации гетеротической теории с дополнительными векторными полями (вильсоновские линии).

1.12 Магнитные черные дыры.

1.13 ВРЯ и АБМ массы.

1.14 Уравнения для аксиопов.

1.15 Дионная черная дыра в окрестности горизонта.

1.16 Обсуждение результатов.

2 Черные дыры с петлевыми поправками в теориях замкнутых бозонных струп

2.1 Введение

2.2 Эффективное действие в струнной теории возмущений замкнутых бозонных струн

2.3 Древесные двумерные и трехмерные решения уравнений движения (черная дыра и черная струпа)

2.4 Калибровочные модели с косетом 51^(2, В) х Д^/Я

2.5 Асимптотика метрики и дилатона трехмерной черной струны.

2.5.1 Альтернативная параметризация метрики и дилатона.

2.5.2 Асимптотика метрики трехмерной черной струны с петлевыми поправками

2.6 Квазилокальная энергия.

2.6.1 Квазилокальная энергия двумерной черной дыры.

2.6.2 Квазилокальная энергия черной струны.

2.6.3 Действие в эйнштейновской форме.

2.6.4 Термодинамическое соотношение.

2.7 Четырехмерная сферически-симметричная черная дыра.

3.2 Четырехмерная магнитная черная дыра.101

3.2.1 Фактор BTZ в метрике магнитной черной дыры .101

3.2.2 Геометрическая и статистическая энтропии пятимерных и четырехмерных магнитных черных дыр.103

3.3 Компактификации решений одиннадцатимерной супергравитации на многообразиях Калаби-Яу и N = 2 суперсимметричные четырех и пятимерные черные дыры.105

3.3.1 Неэкстремальные четырехмерные решения.105

3.3.2 Пятимерные N = 2 суперсимметричные черные дыры.108

3.3.3 Статистическая энтропия околоэкстремальных четырехмерных черных дыр выделением части BTZ.109

3.3.4 Статистическая энтропия околоэкстремальных шестимерных и пятимерных черных дыр .111

3.4 Заключительные замечания.113

Заключение 115

Литература 118

Введение

В настоящее время теория струн представляет собой наиболее продвинутый подход, в котором унифицируются калибровочные взаимодействия, включая гравитацию. Изучение гравитации в рамках теории суперструн оказалось очень плодотворным. Гравитация входит как одно из полей в эффективное действие, описывающее динамику безмассовых мод струны. Поскольку полная теория струн ультрафиолетово конечна, то снимается одна из сложных проблем в гравитации. К достижениям гравитации в рамках теории струн следует отнести обнаружение широкого класса решений уравнений движения, следующих из эффективного действия теории, имеющих интерпретацию черных дыр, черных струн, мембран и т.п. Важным результатом исследования черных дыр (мембран) в теории струн является вычисление их геометрической и, что особенно существенно, статистической энтропии. В теории струн имеются как заряженные, так и нейтральные решения типа черных дыр; в реалистических моделях суперструн, в решениях, кроме гравитации, присутствуют также другие поля (скалярные, векторные и тензорные).

В теории струн амплитуды рассеяния струнных мод имеет вид суммы вкладов от процессов, представляющихся в виде мировых листах струны различной топологии, к которым присоединены внешние концы, соответствующие рассеивающимся модам [1]. Действие струны на мировом листе представляет собой двумерную конформную теорию и имеет следующую структуру = /(,(*) + ;£ I вдр1, где /о свободное действие, :г-поля, от которых зависит действие струны, V{ вершинные операторы размерности 2, соответствующие возбуждению безмассовых мод струны, tpl соответствующие безразмерные "константы взаимодействия". Объекты ф1 можно интерпретировать как пространственно-временные поля, соответствующие безмассовым модам. Производящий функционал корреляторов вершинных функций строится в виде суммы вкладов от интегрирования по мировым листам струны различного рода и символически может быть представлен в форме [2, 3]

00 г °° г г

2(<Р1) = £ / cKHW) = Е / / n=0J п=0 •/S" где тпа -модули, от которых зависит метрика каь на мировом листе струны £„.

Поля <pi определяются из условия вейлевской инвариантности производящего функционала вершинных функций, которое имеет вид требования, чтобы /^-функции, через которые выражается вейлевская аномалия производящего функционала, обращались на этих полях в нуль [4]

V) = 0.

Совокупность уравнений Рг((р^) = 0 (или их линейных комбинаций) возникает как уравнения движения, следующих из низкоэнергетического эффективного действия ¿"(у), определяющего динамику безмассовых мод струны. Эффективное действие строится из перенормированного производящего функционала корреляторов вершинных функций [4, 5, 6, 7, 8, 9].

Настоящая работа направлена на получение решений уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия, с учетом струнных петлевых поправок, и на вычисление статистической энтропии ряда черных дыр.

В качестве решений уравнений движения последовательно рассматриваются заряженные черные дыры в суперсимметричной гетеротической теории с группой Е&хЕ& [1, 10, 11], компактифицированной к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией, и нейтральные черные дыры и струны в бозонных теориях замкнутых струн различных размерностей.

Первой возникающей задачей является построение эффективного действия теории струн с учетом петлевых поправок. Поскольку вычисление функциональных интегралов для корреляторов вершинных функций в явной форме удается произвести только в топологии сферы и тора, то для получения явных выражений для эффективного действия имеются две возможности: или рассмотреть варианты теории, в которых петлевые поправки выше первой отсутствуют, или ограничиться первой поправкой к древесному приближению теории, считая параметр разложения по струным петлям малым. В настоящей работе первая возможность реализуется в теории суперструн с расширенной суперсимметрией, второй подход используется в теории замкнутых бозонных струн.

Параметр суперсимметрии N — 1 суперсимметричной десятимернаой гетеротической теории имеет 16 компонент. При компактификации к четырехмерному пространству на не твистованном 6-торе число ненарушенных суперсимметрий равно четырем, число супер-симметрий равно двум при компактификации на многообразии КЗ х Г2 с группой голоно-мии Би(2) или на орбифолде, получающемся твистованием 4-тора и оставляющем 2-тор не твистованным, и единице при компактификации на многообразии Калаби-Яу с группой голономии ви(3) или на орбифолде, получающемся твистованием 6-тора, не оставляющим ни одну из трех комплексных гиперплоскостей 6-тора не твистованной [1]. От способа компактификации зависит также вид группы внутренних симметрий компактифицированной теории.

В теориях с ненарушенной N = 4 суперсиметрией струнные петлевые поправки к части эффективного действия с числом производных не более двух исчезают, в теориях с N = 1 суперсимметрией к членам с двумя производными возникает бесконечный ряд струнных петлевых поправок, в теориях с N = 2 суперсимметрией к членам с двумя производными может возникнуть только поправка, соответствующая одной струнной петле, т.е. от интегрирования по мировым листам струны, имеющим топологою тора [12, 13].

В работе рассматривается компактификация гетеротической теории с группой х к четырем измерениям с сохранением N = 2 суперсимметрии. Рассматривается специальный случай компактификации, сначала к шестимерной теории с N = 1 суперсимметрией, которая далее компактифицируется на нетвистованном двумерном торе к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией [15, 17, 18].

Эффективное действие зависит от геометрии компактификации на двумерном торе через метрику тора (7тп и антисимметричный тензор Втп, где индексы т, п = 1,2 соответствуют двумерному тору. Поля Стп и Вшп объединяютя в комплексные скаляры-модули N = 2 суперсимметричной теории

Кроме того, строится модуль Б = еф + га, где ф дилатон, и а аксион, дуальный напряженности антисиметричного тензора В

Для различных компактификаций гетеротической теории общим является универсальный сектор, в бозонную часть которого входят гравитация, три модуля и четыре векторных поля Сущ/ и Вти. Три векторных поля образуют векторные супермультиплеты с модулями 5, Т, и и одна комбинация векторных полей образует гравифотон, лежащий в гравитационном супермультиплете.

Кроме того, в эффективное действие могут также входить вильсоновские линии - векторные супермультиплеты, включающие абелевы поля А^ из картановской подгруппы группы Е& х Е& и модули у/, где I — 1,., Р, Р < 16 [20].

В общем случае N = 2 суперсимметричной компактификации гетеротической теории к четырем измерениям в произвольной точке пространства модулей безмассовыми бозон-ными полями являются метрика 2Р + 4 скаляра, локально параметризующих пространство модулей, и (Р + 3) и(1) калибровочных поля А^ [19].

Эффективное действие с учетом струнной петлевой поправки к древесному приближению может быть построено или вычислением корреляторов путем функционального интегрирования по мировым листам с топологией тора, или получено из препотепциала теории с N = 2 суперсимметрией, определяющего динамику теории. В силу симметрии Печчея-Куин препотенциал N = 2 суперсимметричной компактификации гетеротической теории имеет только однопетлевую поправку [17, 26, 27]. Однако в этих двух подходах возникают выражения различной структуры, и отсутствует способ их сравнения. Поэтому в суперсимметричной теории вычислением корреляторов устанавливается общая структура эффективного действия: отсутствие поправок к эйнштейновскому члену и квадрату напряженности антисимметричного тензора (ср. [15, 16]), а также появление поправок к части действия, описывающей динамику полей из векторных супермультиплетов. Точная форма однопетлевых поправок к древесному эффективному действию вычисляется с помощью препотенциала.

В суперсимметричных теориях решения уравнений движения с не полностью нарушенной суперсимметрией можно получить или непосредственным решением уравнений второго порядка, следующих из эффективного действия, или решением "спинорных уравнений Киллинга", представляющих собой условие равенства нулю преобразований суперсимметрии фермионных суперпартнеров бозонных полей и имеющих первый порядок по производным.

В настоящей работе последовательно используется второй способ, дающий суперсимметричные решения с не полностью нарушенной суперсимметрией. В случае магнитных черных дыр решения спинорных уравнений Киллинга с учетом петлевой поправки сравниваются с решением уравнений движения второго порядка, следующих из эффективного действия. Показано, что возникает более широкий класс решений, включающий решения спинорных уравнений Киллинга. В качестве древесного приближения решений спинорных уравнений Киллинга рассматриваются дионные черные дыры и черные дыры с вильсо-новскими линиями. Дионные черные дыры представляют собой решения типа "киральных нулевых моделей" [21, 22, 23], для которых имеется результат, что в специальной схеме перенормировок все поправки по а! исчезают и низшее приближение является точным по а' решением уравнений движения [24, 25].

Уравнения дыижения как в гетеротической теории, так и в бозонной теории, решаются по теории возмущений в первом порядке по константе разложения по струнным петлям е = ефо° где фоо асимптотическое значение дилатона на пространственной бесконечности. Струнная поправка к древесному препотенциалу имеет первый порядок по е [17, 26, 27], поэтому при решении уравнений по теории возмущений в первом порядке по е все выражения, содержащие петлевую поправку к препотенциалу, вычисляется подстановкой в качестве аргументов древесных выражений для модулей.

Экстремальным суперсимметричным решением спинорных уравнений Киллинга и уравнений Эйнштейна-Максвелла, имеющим наиболее простую форму, на котором прослеживаются основные свойства решений более общего вида, являются статические, сферически-симметричные дионные решения с постоянными вещественными древесными модулями Т и и, что соответствует диагональной метрике Ст„ и Втп = 0. В древесном приближе-иии это решение в различных подходах рассматривалось в многих работах, например в [28, 29, 30, 23, 39, 40, 41, 42], а также в цитированной в этих работах литературе.

Метрика и дилатон сферически-симметричного статического решения системы спинорных уравнений Киллинга и уравнений Максвелла с постоянными вещественными древесными модулями Т и £/, точностью до членов порядка О(е) имеют вид [45, 46, 47, 77]

Здесь Р = (Р°Р1)1/2, = (фгфз)1/2, Р°> Р1 и £¡>2, фз магнитные и электрические заряды диона. Н = 2^7, где и) однопетлевая поправка к препотенциалу, Т и и древесные модули. Петлевые поправки к метрике не твистованного тора Т2 равны

Здесь С\ произвольная постоянная, Ь2 = drReh/U and L3 = duReh/T.

В случае произвольных электрических и магнитных зарядов как древесное решение уравнений Киллинга, так и петлевые поправки к модулям имеют координатную зависимость.

В общем случае, при отличных от нуля зарядах Р и Q, в древесном приближении дилатон конечен во всей области изменения г, и петлевые поправки к метрике и дила-тону также конечны и убывают на пространственной бесконечности как Такие же свойства имеют чисто электрические черные дыры [47].

В случае чисто магнитных черных дыр в древесном приближении теории дилатон растет при г —> 0 как 1 /г, и метрика сингулярна при г = 0. В этом случае петлевые поправки к метрике и дилатону также имеют сингулярность в нуле [45, 76, 77]. Условие малости поправки по отношению к древесному приближению приводит к ограничению на допустимую область г: г > еРН.

Модули статических дионных черных дыр в древесном приближении вещественны. При учете петлевых поправок, вообще говоря, появляются мнимые добавки к модулям (аксионы) порядка 0(e), и решение перестает быть статическим и становится стационарным. При специальном выборе произвольных констант и зарядов аксионы обращаются в нуль, и решение остается стационарным [47].

Поскольку на пространственной бесконечности асимптотика поправок к метрике и модулям древесной черной дыры имеет тот же характер убывания 0(£), что и асимптотика решения в древесном приближении, то можно определить ADM и BPS массы с учетом петлевых поправок, которые сдвигаются относительно древесных значений на величину еРН и равны между собой [47].

В древесном приближении для широкого класса черных дыр в N = 2 суперсимметричной теории имеется результат, согласно которому горизонт черной дыры представляет собой аттрактор, что означает что на горизонте метрика и модули теряют зависимость от произвольных констант, фиксирующих вид теории на бесконечности. Как и в древесном приближении, петлевые поправки к метрике и модулям на горизонте не содержат произвольных констант [48], и на горизонте восстанавливается нарушенная суперсимметрия.

Уравнения движения N = 2 суперсимметричных теорий обладают инвариантностью относительно группы симплектических преобразований, которая для случая четырех векторных супермультиплетов имеет вид SP(8,Z). Симплектические преобразования связывают различные голоморфные сечения пространства модулей. Хотя все сечения эквивалентны, конкретная форма теории зависит от выбора голоморфного сечения. Физическая интерпретация полей теории имеется в голоморфном сечении, связанном с компактифи-кацией гетеротической теории. Однако в этом голоморфном сечении отсутствует препо-тенциал (см., например, [70, 17]), и калибровочные константы взаимодействия векторных компонент супермультиплетов вычисляются с помощью симплектических преобразований из констант взаимодействия, вычисленных в голоморфном сечении с препотенциалом. В древесном приближении теории имеются явные выражения как для препотенциала (в голоморфном сечении, в котором препотенциал существует), так и для калибровочных констант в гетеротическом голоморфном сечении. Это позволяет построить явную форму симплектического преобразования, связывающего два сечения. В однопетлевом приближении имеются два источника неопределенности формы симплектического преобразования, связывающего два сечения: во-первых, неопределенности, связанные с принципиально неустранимым произволом однопетлевого приближения для препотенциала [26, 17, 71], во-вторых возникающие из-за отсутстствия явного замкнутого выражения для калибровочных констант векторных компонент супермультиплетов модулей в гетеротическом сечении. Показано, что неопределенность в симплектическом преобразовании сводится к четырем вещественным константам и убирается в произвол препотенциала.

Представляет интерес сравнить вид поправок к суперсимметричным древесным решениям уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия в суперсимметричной гетеротической теории, с не суперсимметричными решениями в бозонной теории струн. Во второй главе работы рассматривается вычисление эффектиного действия теории в однопетлевом приближении теории струн и струнные поправки к решениям уравнений движения типа черных дыр и черных струн.

В бозонной теории перенормированный производящий функционал корреляторов вершинных функций ¿ц((рц), дающий эффективное действие теории 3(<рл), строится путем обобщения пертурбативной перенормируемости производящего функционала 2?„(<£>г(е), е) в теории возмущений по параметру а' на мировой поверхности фиксированного рода п на перенормируемость как по отношению к разложению по параметру а', так и к разложению по струнным петлям. Поля <р1 представляются в виде разложения по перенормированным полям (рп <Р*е + 1п е А[(срп) + 1п2 е 4(у>д) + . и перенормированный производящий функционал ¿"„(у?^) равен п(<р*а) = гп(<р*(е),е).

В струнной теории возмущений статсумма 2 равна сумме статсумм, вычисленных интегрированием по мировым листам струны различных топологий оо оо . я = 2п = XI / Лцп{т)гп. п—0 п=0

Для -построения перенормированного эффективного действия, включающего вклады от высших топологий мирового листа струны, необходимо использовать согласованную регуляризацию ультрафиолетовых и модулярных расходимостей производящего функционала. Такая регуляризация достигается отображением мирового листа замкнутой струны, представляющего собой поверхность с п ручками, на комплексную плоскость с 2п удаленными дисками с попарной идентификацией границ [31, 32, 34]. С помощью параметризации Шоттки строится расширенное пространство модулей. На комплексной плоскости С группа Мебиуса действует как группа 51/(2, С). Поверхность с п ручками описывается 3п комплексными модулями. Для каждой пары вырезанных дисков на комплексной плоскости, соответствующих ручке на сфере, 6 вещественных модулей определяют положение центров дисков, отношение радиусов и твист в отожествлении точек границ дисков. Если мебиусовская симметрия не фиксирована, то в N > 3-точечные амплитуды объем группы 5Х(2, С) входит как универсальный расходящийся множитель. При фиксации трех комплексных параметров группы БЬ(2, С), число независимых комплексных модулей становится Зп —3. Ультрафиолетовые расходимости, возникающие при сближении точек присоединения внешних линий к мировому листу струны (пунктаций) и стягивании в точку дисков от ручек, на комплексной плоскости регуляризуются с помощью одного параметра и входят в амплитуды рассеяния безмассовых мод равноправным образом. Это позволяет произвести перенормировку производящего функционала вершинных функций с учетом как ультрафиолетовых расходимостей от слияния пунктаций, так и модулярных расхо-димостей [33, 34]. Эффективное действие получается перенормировкой суммы по родам мировой поверхности производящих функциналов, вычисленных на поверхности фиксированного рода и равно

Производная по Ine ренорминвариантным образом снимает расходимость, связанную с расходящимся объемом группы Мебиуса.

Эффективное действие замкнутой струны, включающее древесный и однопетлевой вклады, имеет вид

S = cJdDx J\G\e* где А центральный заряд, е -формальный параметр разложения по струнным петлям и последний член под интегралом возникает от интегрирования по поверхностям с топологией тора [35].

Исследуются решения уравнений движения в бозонных теориях замкнутых струн в двух, трех и четырех измерениях. В древесном приближении рассматриваемые решения представляют собой черные дыры (черные струны). Уравнения движения решаются в первом порядке по параметру е.

Свойства решений с учетом петлевых поправок в гетеротической и бозонной теориях весьма различны. В суперсимметричной гетеротической теории поправки к древесной метрике и дилатону дионного решения с отличными от нуля электрическими зарядами конечны во всем пространстве, и на пространственной бесконечности асимптотики решения с поправками ведут себя также, как асимптотики древесного решения. Поправки к древесной части имеют параметрическую малость засчет константы разложения по струнным петлям. В бозонных теориях асимптотика метрики с учетом петлевой поправки на больших расстояниях от центра черной дыры (черной струны) имеет асимптотику, отличающуюся от асимптотики древесного решения, и характеризуется более медленным убыванием, чем асимптотика древесного приближения.

В двух измерениях в древесном приближении имеется статическое решение уравнений движения имеет вид [100, 110] ds2 = g{p)dt2 + g{p)~l dp2

Ф = Фо + j(p — Po), где д(р) = 1 + Се-^р-ро). С учетом петлевой поправки в действии метрика модифицируется [35] д(р) = 1 + Се~^р-ро) - 2ееф° —е~'у(-р~р0\ 7

А + j i R ~ ^ + (Г>Ф)2) + ее'* , а дилатон сохраняет древесную форму. Отклонение асимптотики древесной метрики от плоской при р —> оо порядка е~7Р, а асимптотики решения с петлевой поправкой рё~1р.

В трехмерном случае в древесном приближении рассматриваются решения вида [111, 112] — (1 - ф-*,) a« + (1 - ¿с-*) +

Ф = с + 2р, = r+re2p,

2 2Л с произвольными г+ и г, имеющие интерпретацию бесконечной прямолинейной черной струны. При специальных значениях параметров г2 = 1 + Л, г2 = Л, 72 = 4 решение является конформной теорией, возникающей в калибровочной модели WZNW с косетом SL(2, R)/R, где одновременно калибруются одномерная подгруппа SL(2, it!) и бозон, соответствующий компоненте R [102, 103, 104, 129].

В древесном приближении теории компоненты метрики имеют асимптотику 1+0(е~2р), где р расстояние от прямолинейной бесконечной черной струны. При учете петлевой поправки, в первом порядке по е, асимптотика метрики имеет вид 1 + 0(ре~2р) [35].

Возникает вопрос о массе (энергии) черной дыры (струны). Для этого используется определение квазилокалыюй энергии системы [113, 114, 115]. Для действия, записанного в канонической нормировке эйнштейновского члена, [ (R + Lm)-2 [ (0-0о), J м J в где В граница области М, 0 и ©0 внешняя кривизна границы, вычисленная с метрикой д и фоновой метрикой д0, с одинаковыми асимптотиками на границе, квазилокальная энергия статического решения уравнений движения с метрикой ds2 = g^dx^dx" = -N2dt2 + д^хЧхк равна

E\ = -f N(k-ko). JdBt

Здесь к внешняя кривизна квазилокалыюй границы dBt, представляющей собой слоение, образуемое пересечением границы В с пространственноподобными листами слоения, параметризованными параметром t.

В то время как в древесном приближении квазилокальная энергия рассматриваемых решений конечна, при учете петлевых поправок, в рассматриваемом приближении, выражение для квазилокалыюй энергии в пределе р —> оо растет пропорционально р. Однако при учете требования малости петлевой поправки по отношению к отклонению древесного решения от плоской конфигурации возникает ограничение на допустимую область значений р, для которых применимо решение с петлевой поправкой.

Развитие методов теории струн дало возможность решить ряд вопросов теории черных дыр, в частности, вычислить статистическую энтропию ряда экстремальных и околоэкстремальных черных дыр, являющихся решеними уравнений движения, следующихи из струнного эффективного действия, путем подсчета числа микросистояний черной дыры. Имеются различные подходы к вычислению энтропии черных дыр в теории струн: использование методов конформных теорий поля [19, 142, 143], методов, основанных на D-бранном описании черных дыр, позволяющих вычислить статистическую энтропию экстремальных и околоэкстремальных решений [144,146, 148,149], а также подходы, основанные на выделении из метрики черной дыры части, представляющей собой черную дыру низшей размерности, для которой статистическую энтропию можно вычислить методами конформной теории поля (например [157, 158, 159, 168, 169] и цитированые там работы).

В третьей части настоящей работы энтропия ряда черных дыр вычисляется путем выделения из многомерной метрики в окрестности горизонта метрики трехмерной черной дыры Баньядоса-Тейтельбойма-Занелли (BTZ) [150, 151]. Этот метод, вообще говоря, требует трансформации метрики преобразованиями группы U-дуалыюсти, сохраняющими энтропию, к требуемой форме решения [166, 167].

Вычисление статистической энтропии трехмерной черной дыры основано на том, что действие трехмерной гравитации представляется в виде разности двух (право-левых) действий Черна-Саймонса для группы SL(2, R) х SL(2, R) на уровне к = ^ [155, 156]. Этот факт, в свою очередь связан с тем, что диффеоморфизмы, сохраняющие асимптотику AdSs вакуума на пространственной бесконечности, генерируются двумя копиями алгебры Вирасоро с центральными зарядами cl = сд = ^ [153]. Асимптотическая плотность состояний в этой конструкции вычисляется (см. [158, 159, 160, 168] и др.) по формуле Карди [154]

In р(А, А) ~ + где Д и Д собственные значения генераторов Вирасоро Lq Lq. Для черной дыры BTZ операторы Lq и Lq выражаются через массу и заряд черной дыры с помощью соотношений

M=Lo + Lot J = L0-Z0.

Первым примером, который обсуждается в этом разделе является четырехмерная ди-латонная гравитация, взаимодействующая с абелевым полем. Четырехмерное действие h = J <?xV=g{№ - 2(дф)2 - е-2"*?}, получается редукцией многомерной Эйнштейн-Максвелловской гравитации в высших размерностях [178]

1 = 1 F2).

В случае р = 1 метрика пятимерного решения ds\ = -(1 - r-±)dt2 + (1 - — )dy2 + (1 - - — )~Чг2 + r2dtf2, где г+ ф г, в окрестности горизонта представляется в виде суммы метрик черной дыры BTZ и двумерной сферы [161, 163]. Статистическая энтропия пятимерной черной дыры совпадает с геометрической энтропией Бекенштейна-Хоукинга ¿5 = А/4С?5, где А площадь поверхности горизонта черной дыры.

В работе вычисляется статистическая энтропия экстремальных и неэкстремальных четырехмерных и пятимерных черных дыр, являющихся решениями уравнений движения, следующих из струнных эффективных действий, полученных компактификацией М-теории, гетеротической теории и теорий типа II на торах, многообразиях КЗ и Калаби-Яу с сохранением N = 2 суперсимметрии.

Пятимерная черная дыра получается компактификацией одиннадцатимерного решения, представляющего собой неэкстремальную конфигурацию трех пятибран, каждая пара которых пересекается по трехбране с дополнительным бустом вдоль общего направления пересечения пятибран [181], являющуюся обобщением экстремального решения [182]. При дальнех!шей компактификации одного измерения, вдоль которого произведен буст, получается четырехмерное решение с одним электрическим и тремя магнитными зарядами. В окрестности горизонта пятимерной черной дыры ее метрика рспадается на сумму метрик трехмерной черной дыры ВТЕ и метрику двумерной сферы. Это позволяет вычислить статистическую энтропию пятимерной черной дыры, и при компактификации одного измерения с бустом энтропию околоэкстремальной четырехмерной черной дыры.

Пятимерное решение с электрическим и магнитным зарядами строится как пересечение М2-браны и М5-браны с бустом вдоль направления пересечения. Сначала одинпадцати-мерное решение компактифицируется к шести измерениям, результирующая шестимерная конфигурация является черной дырой, метрика которой в окрестности горизонта равна сумме метрик черной дыры ВТ2 и трехмерной сферы. Таким образом вычисляется статистическая энтропия шестимерного решения. При компактификации вдоль измерения с бустом возникает пятимерная черная дыра и определяется ее энтропия [162, 163]. Для всех рассмотренных примеров статистическая энтропия совпадает с геометрической энтропией Бекенштейна-Хоукинга.

Заключение

В настоящй работе последовательно расматрнвались эффекты высших порядков струнной теории возмущений на примерах решений уравнений движения, следующих из эффективного действия теории. Эффективное действие определяет динамику безмассовых мод струны. Решения уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия, определяют фоновые поля, на которых теория струн конформно инвариантна. Таким образом, конформная инвариантность теории струн, рассматриваемой на мировой поверхности фиксированного рода распространяется на струнную теорию возмущений. Эффективное действие в теории струн, в принципе, можно построить вычисляя корреляторы вершинных функций путем интегрировани по мировым листам струны различных топологий. В бозонной теории эта процедура, повидимому, является единственной. В теориях суперструн с расширенной суперсимметрией имеется также другая возможность: динамика безмассовых мод струны определяется заданием препотенциала, исходя из которого можно построить эффективное действие.

В рассматриваемой в работе гетеротической теории, компактифицированной к четырем измерениям с N = 2 суперсимметрией, эффективной четырехмерной теорией является расширенная супергравитация, взаимодействующая с векторными супермультиплетами. В этом случае динамика полей, входящих в супермультиплеты, т.е. соответствующая часть эффективного действия, может быть найдена исходя из препотенциала теории. Препотен-циал N = 2 суперсимметричной теории имеет только древесную и однопетлевую части, и высшие петлевые поправки к препотенциалу исчезают. Кроме того, в суперсимметричной теории классические решения могут быть получены не только решением уравнений движения, но подмножество решений уравнений движения с не полностью нарушенной суперсимметрией может быть найдено путем решения спинорных уравнений Киллинга, которые являются условиями суперсимметричности решения и имеют вид равенства нулю преобразований суперсимметрии спинорных суперпартнеров бозонных полей.

Целью работы являлось получение и исследование решений уравнений движения с струнными петлевыми поправками типа черных дыр (черных струн) в гетеротической и бозонной теориях струн.

В гетеротической теории был рассмотрен класс N = 2 суперсимметричных компак-тификаций десятимерной гетеротической теории с группой Е^ х получающихся в результате компактификации десятимерной теории к шести измерениям с N = 1 суперсимметрией, и компактификации шестимерной теории к четырем измерениям на двумерном торе.

В первом порядке по параметру разложения по струнным петлям е найдены дионные решения с струнными поправками с двумя электрическими и двумя магнитными полями и их расширения засчет включения супермультиплетов вильсоновских линий. Четыре векторных поля в дионном решении выражаются через смешанные компоненты метрики и антисимметричного тензора Gmv и Вт1,, где т,п = 1,2 индексы, соответствующие двумерному тору.

Поправки к древесной части решений выражаются через петлевую поправку к пре-потенциалу, вычисленную с подстановкой древесных модулей. Показано, что решение с петлевыми поправками на горизонте событий является аттрактором и и на горизонте событий восстанавливается нарушенная суперсимметрия решений.

В случае вещественных древесных модулей древесное решение статично. В следующем порядке по б могут появиться мнимые части модулей, и решение становится стационарным. Найдены условия, при которых решение остается статическим.

Поскольку как древесное, так и однопетлевое решения имеют одинаковый характер асимптотик на бесконечности, в обоих приближениях можно определить ADM массу черной дыры. С помощью конструкции Нестера показано, что ADM масса совпадает с BPS массой, вычисляемой из алгебры суперсимметрии. В рассматриваемом приближении древесная масса приобретает сдвиг, выражающийся через однопетлевую поправку к препо-тенциалу.

На примере магнитных черных дыр, для которых помимо решений системы спипорных уравнений Киллинга и Максвелла получено решение уравнений движения, следующих из струнного эффективного действия, показано, что в этом случае возникает более широкий класс решений, включающий суперсимметричные решения.

В несуперсимметричной бозонной теории замкнутых струн решения для черных дыр (струн) с петлевыми поправками ищутся как решения системы уравнений Эйнштейна в дилатонной гравитации. Чтобы построить эффективное действие, включающее вклады древесного приближения и петлевой поправки (от интегрирования по мировым листам струны с топологией сферы и тора) используется универсальная регуляризация ультрафиолетовых и модулярных расходимостей струнных амплитуд. Для этого мировой лист струны, имеющий топологию сферы с п ручками, отображается на комплексную плоскость с 2п удаленными дисками с попарным отожествлением границ. В перенормированном производящем функционале вершинных функций (в канонической нормировке эйнштейновского члена) однопетлевой вклад равен ееФ.

Уравнения движения решаются в размерностях пространства-времени D = 2,3,4. В двумерном случае имеется точное по параметру е решение вида черной дыры. В трехмерном случае рассматривается бесконечная прямолинейная черная струна, а в размерности четыре шварцшильдовская черная струна с дилатоном. В размерностях три и четыре найдены асимптотики статических решений в первом порядке по б. Во всех трех случаях асимптотики решений с петлевыми поправками на пространственной бесконечности отличаются от асимптотик древесных решений. В то время, как в древесном приближении асимптотики компонент метрики имеют вид 1 + 0(е~р), где р расстояние от центра (оси) симметрии черной дыры (струны), решение с петлевыми поправками имеет асимптотику вида 1 + 0(е~р) + 0(ере~р). В связи с этим рассматривается вопрос об определении массы черной дыры в общей постановке вопроса об определении квазилокальной энергии системы. Несмотря на то что, как в древесном приближении, так и с учетом петлевой поправки метрика асимптотически плоская, квазилокальная энергия в этих двух случаях различна: квазилокальная энергия черной дыры в древесном приближении конечна и асимптотически не зависит от расстояния до поверхности, на которой вычисляется энергия; в случае решения с петлевыми поправками энергия, вычисленная на поверхности, удаленной от центра (оси) симметрии на расстояние го, при tq —> оо растет как О(го). Отмечается, что при учете требования малости петлевой поправки по сравнению с древесной частью решения допустимая область значений г ограничена.

Рассматривается вопрос о вычислении статистической энтропии многомерных черных дыр путем сведения к задаче о вычислении статистической энтропии черных дыр в низшей размерности. Рассматриваются примеры черных дыр, для которых задачу можно свести к вычислению статистической энтропии трехмерной черной дыры BTZ. Сюда относятся четырехмерная черная дыра в дилатонной гравитации, получающаяся редукцией пятимерной эйнштейн-максвелловской гравитации, и суперсимметричные экстремальные и несуперсимметричные не экстремальные черные дыры, получающихся компактификаци-ей решений уравнений движения одиннадцатимерной супергравитации, представляющих собой пересечение нескольких р-бран с бустом вдоль направления пересечения. Рассматривается решение из трех пятибран, попарно пересекающихся по трехбране с бустом вдоль общего направления пересечения трех пятибран и решение из двухбраны и пятибраны, пересекающихся вдоль линии с бустом. Во всех рассматриваемых случаях компактифика-ция исходного решения дает конфигурацию, геометрия которой в окрестности горизонта имеет вид произведения черной дыры BTZ и метрики сферы. Поскольку статистическую энтропию черной дыры BTZ можно вычислить, опираясь на методы конформных теорий поля, и имеются соотношения между гравитационными постоянными в различных размерностях, то вычисляется статистическая энтропия многомерных черных дыр. Новым результатом является то, что для вычисления энтропии не надо требовать точного выделения из геометрии решения черной дыры BTZ во всем пространстве, но достаточно иметь это свойство в окрестности горизонта.

1. M. Green, J. Schwarz and E. Witten, Superstring Theory, (Cambridge University Press, 1987).2 3 [4 [5 [6 [7 [8 [9 [10 [11 [12 [13 [14 [15 [16 [17 [18 [19 [20

2. D.H. Friedan, Ann. Phys. 163, 318 (1985).

3. E.D'Hoker and D.H. Phong, Rev. Mod. Phys. 60, 917 (1988).

4. C. Callan, D. Friedan, E. Martinez and M. Perry, Nucl. Phys. B262, 593 (1985)

5. C. Lovelace, Nucl. Phys. B273, 413 (1986).

6. A.A. Abouelsaood, C.G. Callan, C.R. Nappi and S.A. Yost, Nucl. Phys.B280, 599 (1987).

7. A.A. Tseytlin, Nucl. Phys. B294, 383 (1987).

8. H. Osborn, Nucl. Phys. B294, 595 (1987).

9. Jack and D.R.T. Jones, Nucl. Phys. B303, 260 (1988).

10. D.J. Gross, J.A. Harvey, E. Martinez and R. Rohm, Nucl. Phys. B256, 253 (1985).

11. D.J. Gross, J.A. Harvey, E. Martinez and R. Rohm, Nucl. Phys. B267, 75 (1986). I. Antoniadis, K. S. Narain and T.R. Taylor, Phys. Lett. B267, 37 (1991).

12. Antoniadis, E. Gava and K. S. Narain, Nucl. Phys. B283, 93 (1992). I. Antoniadis, E. Gava, K. S. Narain and T.R. Taylor, Nucl.Phys. B407, 706 (1993).

13. E. Kiritsis, Introduction to Superstring theory, CERN-TH/97-218, hep-th/9709062. E. Kiritsis, C. Kounnas, M. Petropoulos and J. Rizos, hep-th/9605011.

14. B. de Wit, V. Kaplunovsky, J. Louis and D. Luest, Nucl. Phys. B451, 53 (1995).

15. E. Kiritsis, C. Kounnas, P.M. Petropoulos and J. Rizos, Nucl. Phys B483, 141 (1997). A. Sen, JHEP 9802, 011 (1998).

16. K.S. Narain, M. Sarmadi and E. Witten, Nucl.Phys, B279, 369 (1987).

17. G.T. Horowitz and A.A. Tseytlin, Phys. Rev. Lett., 73, 3351 (1994).

18. G.T. Horowitz and A.A. Tseytlin, Phys. Rev., D51, 2895 (1995).

19. M. Cvetic and A.A. Tseytlin, Phys. Rev. D53, 5619 (1996).

20. P.Howe and P.Papadopoulos, Nucl. Phys. B289, 264 (1987).

21. P.Howe and P.Papadopoulos, Nucl. Phys. B381, 360 (1992).

22. I. Antoniadis, S. Ferrara, E. Gava, K. S. Narain and T. R. Taylor, Nucl. Phys. B447, 35 (1995).

23. J. P. Derendinger, S. Ferrara, C. Kounnas and F. Zwirner, Nucl. Phys. B372, 145 (1992).

24. M. CvetiC and D. Youm, Nucl. Phys. B453, 259 (1995).

25. M. Cvetic and D. Youm, Phys. Rev. D53, 584 (1996).

26. P. Fre, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 57, 52 (1997).

27. A. Allesandrini, Nuovo Cim. 2A, 321 (1971).

28. A. Allesandrini and D. Amati, Nuovo Cim. 4A, 793 (1971).

29. A.A. Tseytlin, Phys. Lett. B223, 165 (1989).

30. A.A. Tseytlin, Int. J. Mod." Phys. A5, 589 (1990).

31. M.Z. Iofa, Mod. Phys. Lett. A12, 837 (1997).

32. A.A. Tseytlin, Class. Quant. Grav. 12, 2365 (1995).

33. K. Behrndt et.al., Phys.Rev. D54, 6293 (1996).

34. K.Behrndt et.al, Nucl. Phys. B488, 236 (1997).

35. K. Behrndt, D. Lust and W. A. Sabra, Nucl. Phys. B510, 266 (1998).

36. E. Bergshoeff, R. Kallosh and T. Ortin, Nucl. Phys. B478, 156 (1996).

37. G. L. Cardoso, B. de Wit, J. Káppeli and T. Mohaupt, JHEP 0012, 019 (2000).

38. T. Mohaupt, Fortsch. Phys. 49 (2001) 3.

39. M. Bertolini and M. Trigiante, Int. J. Mod. Phys. A15, 5017 (2000).

40. M. Bertolini and M. Trigiante, Nucl. Phys., B582, 393 (2000).

41. M. Z. Iofa, JHEP 02, 025 (2002) 025.

42. M. Z. Iofa, Mod. Phys. Lett. A17, 355 (2002).

43. M. Z. Iofa, Int. J. Mod. Phys., A18, 1903 (2003).

44. M. Z. Iofa, Phys. Lett. B538, 385 (2002).

45. I. Antoniadis, H. Partouche and T.R. Taylor, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 61A, 58 (1998).

46. T. Banks and L. Dixon, Nucl. Phys., B307, 93 (1988).

47. J. Lauer, D. Lust and S. Theisen, Nucl. Phys., B309, 771 (1988).

48. S. Ferrara, D. Lust and S. Theisen, Nucl. Phys., B325, 501 (1989).

49. J.H. Schwarz, Phys.Lett. 371B, 230 (1996).

50. D.R. Morrison and C. Vafa, Nucl. Phys., B473 , 74 (1996).

51. S. Kachru and C. Vafa, Nucl. Phys., B450, 69 (1995).

52. M. Green, J. Schwarz and P. West, Nucl. Phys., B254, 327 (1985).

53. V. Kaplunovsky and J. Louis, Nucl. Phys., B444, 191 (1995).

54. G. Lopes Cardoso, D. Lüst, T. Mohaupt, Nucl. Phys. B450, 115 (1995).

55. M.Z. Iofa, in Proc. of 3rd International Sakharov Conference on Physics, eds. A. Semikhatov, M. Vasiliev and V. Zaikin Vol II, 748 (2002).

56. A. Sen, Int. J. Mod. Phys. A9, 3707 (1994).

57. L. J. Dixon, V. S. Kaplunovsky and J. Louis, Nucl. Phys. B355, 649 (1991).

58. E.Kiritsis and C.Kounnas, Nucl. Phys. B503, 117 (1997).

59. B. de Wit and A. Van Proeyen, Nucl. Phys. B245, 89 (1984).

60. B. de Wit, P. Lauwers and A. Van Proeyen, Nucl. Phys. B255, 565 (1985).

61. A.Strominger, Comm. Math. Phys. 133, 163 (1990).

62. R.D'Auria, S. Ferrar a and P.Fre, Nucl. Phys. B359, 705 (1991).

63. L. Andrianopoli et. al. , J. Geom. Phys. 23, 111 (1997).

64. B. Craps, F. Roose, W. Troost and A. VanProeyen, Nucl. Phys. B503, 565 (1997).

65. S. Ferrara and A. VanProeyen, Class.Quant. Grav., 6, 243 (1989).

66. A. Ceresole, R.D'Auria, S. Ferrara and A. VanProeyen, Nucl. Phys. B444, 92 (1995).

67. J.A. Harvey and G. Moore, Nucl. Phys. B463, 315 (1996).

68. G.L. Cardoso, D.Lust and T. Mohaupt, Phys. Lett. B388, 266 (1996).

69. W.A. Sabra, Mod. Phys. Lett. A12, 2585 (1997).

70. W.A. Sabra, Nucl. Phys. B510, 247 (1998).

71. G.L. Cardoso, D.Lust and T. Mohaupt, Nucl. Phys. . B450, 115 (1995).

72. M.Z. Iofa, in Proc. of the Int. Conf. dedicated to the memory of Professor E.Fradkin, eds. A. Semikhatov, M. Vasiliev and V. Zaikin, Vol.11, 471 (2001).

73. M.3. Hoc£>a, 5KP 66, 1 (2003).

74. M. Cvetic and A.A. Tseytlin, Nucl. Phys. B416, 137 (1994).

75. A. Dabholkar, G. Gibbons, J.A. Harvey and F. Ruiz Ruiz, Nucl. Phys. B340, 33 (1990).

76. M.J. Duff, J.T. Liu and J. Rahmfeld, Nucl. Phys. B459, 125 (1996).

77. M. CvetiC and D. Youm, Nucl. Phys. B438, 182 (1995).

78. S. Ferrara and P. van Nieuwenhuizen, Phys. Rev. Lett. 37, 1669 (1976).

79. G.W. Gibbons, in Super symmetry, Supergravity, and Related Topics, eds. F.del Aguila, J. de Azcarraga and L. Ibanez, 147, (1985).

80. R. Kallosh, Phys. Lett. B282, 80 (1992).

81. R. Kallosh and A. Peet, Phys. Rev. D46, 5223 (1992).

82. S. Ferrara and R. Kallosh, Phys. Rev. D54, 1514 (1996).

83. S. Ferrara and R. Kallosh, Phys. Rev. D54, 1525 (1996).

84. J.M. Nester, Phys. Lett. A83, 241 (1981).

85. W. Israel and J.M. Nester , Phys. Lett. A85, 259 (1981).t

86. G.W. Gibbons and C.M. Hull, Phys. Lett. B109, 190 (1982).

87. K.-L.Chan, Mod. Phys. Lett., A12, 1597 (1997).

88. M. Cvetic and C.M. Hull, Phys. Lett. B480, 296 (1996).

89. L.Andrianopoli et.al., Nucl. Phys. B509, 463 (1998).

90. M.Bertolini, P.Fre and M.Trigiante, Class. Quant. Grav. 16, 1519 (1999).

91. K.Behrndt and I.Gaida, Phys. Lett. B401, 263 (1997).

92. K.Behrndt, I.Gaida and G. Lopes Cardoso, Nucí. Phys. B416, 267 (1997).

93. J. Wess and B. Zumino, Phys. Lett. B37, 95 (1971).

94. E. Witten, Nucl. Phys. B223, 422 (1983).

95. E. Witten, Commun. Math. Phys. 92, 455 (1984).

96. E. Witten, Phys. Rev. D44, 314 (1991).

97. I. Bars and D. Nemeschansky, Nucl. Phys. B348, 89 (1991).

98. I. Bars and K. Sfetsos, Phys. Rev. D46, 4495, 4510 (1992).

99. I. Bars and K. Sfetsos, Phys. Rev. D48, 844 (1993).

100. K. Sfetsos, Nucl. Phys. B389, 424 (1993).

101. R. Dijkgraaf, H. Verlinde and E. Verlinde, Nucl. Phys. B371, 269 (1992).

102. W. Fishier and L. Susskind, Phys. Lett. B171, 383 (1986).

103. W. Fishier I. Klebanov and L. Susskind, Nucl. Phys. B306, 271 (1988).

104. P. DiVeccia, R. Nakayama, J.L. Petersen and J.R. Sidenius, Nucl. Phys. B287, 621 (1987).

105. P. DiVeccia, M. Frau, A. Lerda and S. Sciuto, Nucl. Phys. B298, 526 (1988).

106. G. Mandal, A.M. Sengupta and S.R. Wadia, Mod. Phys. Lett. A6, 1685 (1991).

107. J.H. Home and G.T. Horowitz, Nucl. Phys. B287, 621 (1987).

108. G.T. Horowitz and D.L. Welch, Phys. Rev. Lett. 71, 328 (1993).

109. J.D. Brown and J.W. York, Phys. Rev. D47, 1407, 1420 (1993).

110. J.Creighton and R.B.Mann, Phys. Rev. D52, 4569 (1995).

111. S.W. Hawking and G.T. Horowitz, Class. Quant. Grav. 13, 1487 (1996).

112. J. Liu and J. Polchinski, Phys. Lett. B203, 39 (1988).

113. A.A. Tseytlin, Phys. Lett. 208B, 221 (1988).

114. J. Scherk and J.H. Schwarz, Nucl. Phys. B81, 118 (1974).

115. T. Yoneya, Progr. Theor. Phys. 51, 1907 (1974).

116. E.S. Fradkin and A.A. Tseytlin, Phys. Lett. 158B, 316 (1985).

117. E.S. Fradkin and A.A. Tseytlin, Nucl. Phys. B261, 1 (1985).

118. A. Sen, Phys. Rev. D32, 2102 (1985).

119. S.R. Das and B.Sathiapalan, Phys. Rev. Lett. 56, 2664 (1986).

120. R. Akhoury and Y.Okada, Phys. Lett. B183, 65 (1987).

121. I. Klebanov and L.Susskind, Phys. Lett. B200, 446 (1988).

122. A.A. Tseytlin, Int. J. Mod. Phys. A4, 4249 (1989).

123. M. Rocek, K. Schoutens and A. Sevrin, Phys. Lett. B256, 303 (1991).

124. G.W. Gibbons and M.J. Perry, Int. J. Mod. Phys. Dl, 335 (1992).

125. K. Sfetsos and A.A. Tseytlin, Phys. Rev. D49, 2933 (1994).

126. O.B. Zaslavskii, Phys. Lett. A152, 463 (1991).

127. H. Buchdahl, Phys. Rev. 115, 1325 (1959).

128. A.I. Janis, D.C. Robinson and J. Winicour, Phys. Rev. 186, 1729 (1969).

129. C.P. Burgess, R.C. Myers and F. Quevedo, Nucl. Phys. B442, 75 (1995).

130. V.V. Belokurov and M.Z. Iofa, Mod. Phys. Lett. 10A, 575 (1995).

131. B.B. Белокуров и М.З. Иофа, ЯФ 59, 360 (1996).

132. M.Marcus, Phys. Lett. B219, 265 (1989).

133. E.S. Fradkin and A.A. Tseytlin, Phys. Lett. B163, 123 (1985).

134. C.G. Callan, C. Lovelace, C.R. Nappi and S.A. Yost, Nucl. Phys. B288, 525 (1987).

135. M.J. Duff, H. Lu and C.N. Pope, Phys. Lett. B382, 73 (1996).

136. T. Ortin, Phys. Lett. B422, 93 (1998).

137. A. Sen, Nucl. Phys. B440, 421 (1995).

138. F. Larsen and F. Wilczek, Phys.Lett. B375, 37 (1996).

139. F. Larsen and F. Wilczek, Nucl. Phys. B475, 627 (1996).

140. A. Strominger and C. Vafa, Phys. Lett. B379, 99 (1996).

141. C.V. Johnson, R.R. Khuri and R.C. Myers, Phys. Lett. B378, 78 (1996).

142. C.G. Callan and J. Maldacena, Nucl. Phys. B472, 591 (1996).

143. J.M. Maldacena, Nucí. Phys. Proc. Suppl. 61A, 111 (1998).

144. G. Horowitz and A. Strominger, Phys. Rev. Lett. 77, 2368 (1996).

145. C.V. Johnson, R. Khuri and R.C. Myers, Phys. Lett. B378, 78 (1996).

146. M. Bañados, C. Teitelboim and J. Zanelli, Phys. Rev. Lett. 69, 1849 (1992).

147. M. Bañados et. al., Phys. Rev. D48, 1506 (1993).

148. M. Bañados, hep-th 9901148 (1999).

149. J.D. Brown and M. Henneaux, Comm. Math. Phys. 104, 207 (1986).

150. J.A.Cardy, Nucl. Phys. B270, 186 (1986).

151. A. Achucarro and P.K. Townsend, Phys. Lett. B180, 89 (1986).

152. E. Witten, Nucl. Phys. B311, 4 (1988).

153. S. Carlip, Phys. Rev. D51, 632 (1995).

154. S. Carlip, Phys. Rev. D55, 878 (1997).

155. S. Carlip, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 57, 8 (1997).

156. S. Carlip, Class. Quant. Grav. 15, 3609 (1998).

157. M.Z. Iofa and L.A. Pando Zayas, Phys. Lett. B434, 264 (1998).

158. M.Z. Iofa and L.A. Pando Zayas, Phys. Rev. D59, 064023 (1999).

159. M.3. Hocjpa h JI.A. naiw> 3añHC, 62, 1912 (1999).

160. H.J. Boonstra, B. Peeters and K. Skenderis, Phys. Lett. B411, 59 (1997).

161. H.J. Boonstra, B. Peeters and K. Skenderis, Fortsch. Phys. 47, 109 (1999).

162. S. Huyn, J. Korean Phys. Soc. 33 , 532 (1998).

163. K. Sfetsos and K. Skenderis, Nucl. Phys. B517, 179 (1998).

164. A.Strominger JHEP 9802, 009 (1998).

165. D.Birmingham, I.Sachs and S.Sen, Phys. Lett. B424, 275 (1998).

166. V.Balasubramanian and F. Larsen, Nucl. Phys. B528, 229 (1998).

167. D.Birmingham, Phys. Lett. B428, 263 (1998).

168. E.Teo, Phys. Lett. B430, 57 (1998).

169. N.Kaloper, Phys. Lett. B434, 285 (1998).

170. G.Lopes Cardoso, Phys. Lett. B432, 65 (1998).

171. M.J. Duff, H. Lu and C.N. Pope, Nucl. Phys. B532, 181 (1998).

172. M. Cvetic, H. Lu and C.N. Pope, Nucl. Phys. B549, 194 (1999).

173. C.G. Callan and J.M. Maldacena, Nucl. Phys. B472, 591 (1996).

174. G.W. Gibbons, G.T. Horowitz and P.K. Townsend, Class. Quant. Grav. 12, 297 (1995).

175. D. Kastor. and K.Z. Win, Phys. Lett. B411, 33 (1997).

176. K. Behrndt, M. Cvetic and W. Sabra, Phys. Rev. D58, 084018 (1998).

177. M. Cvetic and A.A. Tseytlin, Nucl. Phys. B478, 181 (1996).

178. G. Papadopoulos and P.K. Townsend, Phys. Lett. B380, 273 (1996).

179. D. Klemm, Fortsch.Phys. 49, 581 (2001).

180. M.Gunaydin, G.Sierra and P.K.Townsend, Nucl. Phys. B242, 244 (1984).

181. A.A.Tseytlin, Nucl. Phys. B475, 149 (1996).