Нелинейные периодические волны в газоподобных средах

Аксенов, Александр Васильевич

Нелинейные периодические волны в газоподобных средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Аксенов, Александр Васильевич АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.05 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Нелинейные периодические волны в газоподобных средах»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейные периодические волны в газоподобных средах"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Аксенов Александр Васильевич

НЕЛИНЕЙНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ГАЗОПОДОБНЫХ СРЕДАХ

01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре гидромеханики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты: член-корреспондент РАН,

доктор физико-математических наук, профессор Ю.Н. Павловский

доктор физико-математических наук, профессор Н.А. Кудряшов

доктор физико-математических наук, профессор Н.Н. Смирнов

Ведущая организация: Институт гидродинамики

им. М.А. Лаврентьева Сибирского отделения РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 26 ноября 2004 года в 16 час. 20 мин. на заседании Диссертационного совета Д 501.001.89 по механике при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992 ГСП-2, Москва, Ленинские горы, Главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан "_' октября 2004 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

А.Н. Осипцов

зчс

%0S Ь 36 У

-3-

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одномерные движения идеального газа в случае баротропных процессов (давление зависит во всем потоке только от плотности) являются одним из наиболее исследованных разделов механики жидкости и газа. Основополагающие результаты были получены в классической работе Б. Римана (I860). Им, в частности, была показана линеаризуемость системы уравнений одномерной газовой динамики в плоскости годографа и изучены некоторые свойства гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, к которому сводится система уравнений одномерной газовой динамики в плоскости годографа. Усилиями многих поколений математиков и механиков исследования в этом направлении были продолжены и были получены важные результаты. Эти результаты отражены в известных монографиях.

Во второй половине 20-го столетия были начаты исследования по изучению так называемых квазигазовых (или абсолютно неустойчивых) сред. По-видимому, первой работой в этом направлении была работа Book D.L., Ott Е., Saltón A.L. (1974). В этой работе была рассмотрена задача об эволюции периодических волн на поверхности опрокинутой мелкой воды, проведены численные расчеты. Далее, в работах Трубникова Б.А. и Жданова В.К. была введена в рассмотрение система уравнений, описывающая движение квазигазовых сред Ими было показано, что к исследованию этой системы уравнений могут быть сведены, при использовании слабонелинейного длинноволнового приближения, многие задачи механики и физики. Ими были описаны более 50 таких сред.

Решение рассмотренных выше систем уравнений сводится к решению уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу впервые было изучено Эйлером (1770) и позднее исследовано Пуассоном (1823), Риманом (I860) и Дарбу (1888).

В настоящей работе проведено исследование системы уравнений, описывающей движение газоподобных сред. Газоподобными средами называются среды, движение которых описывается следующей системой уравнений

Система уравнений (СБ) в частных случаях содержит в себе как систему урав-

ди ди , . др1/А -57 + U -г— — ±А —-— dt дх дх

dp | д{ри) _ 0

dt дх

(GS)

рос.

\ ' ¡ Ь И А Я

Б ■ > " L KA С.1 -~<-vS>pr

SOÖ&PK

нений одномерной газовой динамики, так и систему уравнений квазигазовых сред.

Таким образом, изучение газоподобных сред актуально Изучение системы уравнений газоподобных сред (СЭ) позволило получить новые результаты как для системы уравнений одномерной газовой динамики, так и для системы уравнений квазигазовых сред.

Целью работы является систематическое изучение свойств и построение точных периодических по пространственной переменной решений системы уравнений, описывающей движение газоподобных сред. В частности, целью работы является решение следующих проблем:

• Создание метода нахождения симметрий линейных дифференциальных уравнений с частными производными с ¿-функцией в правой части.

• Описание всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу.

• Построение точных периодических по пространственной переменной решений системы уравнений, описывающей эволюцию возмущений в квазигазовых средах.

• Нахождение общих решений системы уравнений одномерной газовой динамики для случаев одноатомного и двухатомного газов. Построение точных периодических по пространственной переменной решений для этих случаев.

Научная новизна состоит в следующем:

• Впервые единым образом рассмотрено и проведено систематическое изучение свойств как системы уравнений одномерной газовой динамики, так и системы уравнений, описывающей эволюцию возмущений в квазигазовых средах.

• Предложен новый метод нахождения симметрий линейных дифференциальных уравнений с частными производными с ¿-функцией в правой части. Сформулирован алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений.

• Впервые дано описание всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу как для эллиптического, так и для гиперболического случаев.

• Впервые приведены примеры точных периодических по пространственной переменной решений системы уравнений квазигазовых сред со сколь угодно мало отличающимися начальными данными. Впервые показана неустойчивость решений относительно возмущений начальных данных.

• Впервые получены и изучены точные периодические по пространственной переменной решения системы уравнений одномерной газовой динамики для

случаев одноатомного и двухатомного газов.

Теоретическая и практическая значимость работы состоит в том, что результаты работы носят общий характер и могут быть использованы во многих областях механики и физики. В частности, значимость работы состоит в следующем-

• Предложенный алгоритм нахождения фундаментальных решений на основе использования симметрии может быть использован для построения инвариантных фундаментальных решений других уравнений механики.

• Метод, предложенный для нахождения линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу, может быть применен для построения соотношений между решениями других классов уравнений.

• Полученные точные решения системы уравнений одномерной газовой динамики могут быть использованы при проведении тестовых расчетов для проверки численных алгоритмов.

• Результаты работы продолжают развиваться в трудах российских и зарубежных ученых, о чем свидетельствуют ссылки на труды автора. Результаты диссертации входят в спецкурс "Групповой анализ дифференциальных уравнений (с приложениями в механике сплошной среды)", более десяти лет подряд читаемый автором на механико-математическом факультете МГУ.

Методы исследования. В работе были использованы методы группового анализа дифференциальных уравнений, аналитические методы теории дифференциальных уравнений и методы асимптотического анализа.

Достоверность полученных результатов определяется применением строгих математических методов, математическими доказательствами полученных формул, совпадением их для частных случаев с известными формулами, а также физической интерпретацией полученных закономерностей. Громоздкие математические выкладки проверялись также с помощью системы компьютерной алгебры Maple 9.

Основные положения, выносимые на защиту:

• Метод нахождения симметрий линейных дифференциальных уравнений с частными производными с ¿-функцией в правой части и алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений.

• Описание всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу как для эллиптического, так и для гиперболического случаев.

• Точные периодические решения системы уравнений квазигазовых сред, показывающие неустойчивость решений относительно возмущений начальных данных.

• Точные периодические по пространственной переменной решения системы уравнений одномерной газовой динамики для случаев одноатомного и двухатомного газов.

Апробация работы. Основные положения и результаты, вошедшие в диссертацию, докладывались и обсуждались на следующих научных форумах:

• IX Коллоквиум "Современный групповой анализ. Методы и приложения". 24-30 июня 1992 г. Нижний Новгород, Россия.

• Совместные заседания семинара им. Й.Г Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики и Московского математического общества (16 сессия, 18-21 января 1994 г.; 19 сессия, 20-24 января 1998 г.). Москва, Россия.

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 95-летию со дня рождения И.Г. Петровского. 25-29 апреля 1996 г. Москва, Россия.

• Первая международная научно-практическая конференция "Дифференциальные уравнения и применения". 3-5 декабря 1996 г. Санкт-Петербург, Россия.

• International Conference "Modern Group Analysis VII. Lie Groups and Contemporary Symmetry Analysis". June 30-July 5, 1997. Nordfjordeid, Norway.

• VIII International Conference on "Symmetry Methods in Physics", is dedicated to the 80th anniversary of Professor Smorodinsky's (1917-1992) birth. July 28-August 2, 1997. Dubna, Russia.

• Всероссийская конференция "Современные методы и достижения в механике сплошных сред". 12-14 ноября 1997 г. Москва, Россия.

• Юбилейная научная конференция "Современные проблемы механики", посвященная 40-летию Института механики МГУ им. М.В. Ломоносова. 22-26 ноября 1999 г. Москва, Россия.

• Научная сессия МИФИ-2000. 17-21 января 2000 г. Москва, Россия.

• The Third International Conference "Differential Equations and Applications". June 12-17, 2000. Saint Petersburg, Russia.

• Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), посвященный памяти М.А. Лаврентьева (1900-1980). 26 июня-1 июля 2000 г. Новосибирск, Россия.

• "Modern Group Analysis for the New Millennium (MOGRAN-2000)". September 27-October 3, 2000. Ufa, Russia.

• Международный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвященный 90-летию со дня рождения A.A. Ильюшина. 22-23 января 2001 г. Москва, Россия.

• International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the 100th Anniversary of I.G. Petrovskii. May 22-27, 2001. Moscow, Russia.

• 16 th International Symposium on Nonlinear Acoustics "Nonlinear Acoustics at the Beginning of the 21st Century (ISNA-16)". August 19-23, 2002. Moscow, Russia.

• V International Congress on Mathematical Modelling. September 30-0ctober 6, 2002. Dubna, Russia.

• Всероссийская конференция "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", приуроченная к 85-летию академика Л.В. Овсянникова. 10-14 мая 2004 г. Новосибирск, Россия.

• Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная 103-летию со дня рождения И.Г. Петровского. 16-22 мая 2004 г. Москва, Россия.

• Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. Апрель 2001, 2002, 2004 г.г. Москва, Россия.

• Семинары механико-математического факультета МГУ, Института механики МГУ, Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, Московского физико-технического института (г. Долгопрудный).

Публикация результатов. По теме диссертации опубликовано около сорока работ. Основные результаты диссертации изложены в 29 публикациях, включая одну монографию; шесть из них опубликованы в соавторстве. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные непосредственно автором. Список основных публикаций по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы; содержит 242 стр., включая 27 стр. с рисунками и 16 стр. списка литературы. В работе 168 рисунков и 165 библиографических ссылок.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении указаны цель и новизна исследования, приведен обзор работ по теме диссертации, дана общая характеристика работы, изложено ее

краткое содержание.

Отмечена ключевая роль методов группового анализа дифференциальных уравнений в настоящей работе. Приведен пример применения группового анализа для изучения фазовой структуры линейных волн, распространяющихся в однородной среде с дисперсией. Доказаны два следующих предложения.

Предложение В.1. Поверхности постоянной фазы 9(x,t) = const образуют в (х, t) пространстве инвариантное относительно однородных растяжений семейство поверхностей.

Предложение В.2. Для стационарных источников возмущений поверхности постоянной фазы 9{х) = const геометрически подобны.

В главе 1 решена задача нахождения симметрий линейных неоднородных дифференциальных уравнений с ¿-функцией в правой части. Приведен алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений. Получены симметрии и построены инвариантные фундаментальные решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа. Рассмотрены неоднородные с ¿-функцией в правой части классические уравнения математической физики: одномерное уравнение теплопроводности, двумерное би-гармоническое уравнение, двумерное волновое уравнение и трехмерное уравнение Лапласа. Найдены их симметрии и с их помощью построены новые параметрические семейства фундаментальных решений.

В разделе 1 1 изложен основной результат главы. Пусть дано линейное

дифференциальное уравнение с частными производными р-го порядка

Lu s Ла{х) 1У*и = 0, xeRm. (1.1)

N«o

Фундаментальные решения уравнения (1.1) являются решениями уравнения

Lu = 6{х - х0). (1.2)

Пусть

т я я

* = (1.3)

1=1

- оператор симметрии уравнения (1.1). Обозначим через X продолжение пор

рядка р оператора (1.3). Доказана теорема

Теорема 1.1. Алгебра Ли операторов симметрии уравнения (1.2) является подалгеброй алгебры Ли операторов симметрии уравнения (1.1), выделяемой соотношениями

£'(хо) = 0, г = 1,... ,тп, (1.4)

+ = (1-5)

.=1 ох°

Здесь Л = \(х) - функция, удовлетворяющая тождеству

Х(Ьи) = А(х) Ьи. (1.6)

Подчеркнуто, что в предложенном подходе при доказательстве теоремы 1.1 использовались конечные (не инфинитезимальные) преобразования левой и правой частей уравнения (1.2).

В разделе 1.2 сформулирован алгоритм нахождения фундаментальных решений на основе использования симметрий:

1. Нахождение общего вида оператора симметрии линейного дифференциального уравнения (1.1) и соответствующей ему функции Х(х), удовлетворяющей тождеству (1.6).

2. Получение на основе ограничений (1.4), (1.5) алгебры Ли операторов симметрии уравнения (1.2) .

3. Построение инвариантных фундаментальных решений с помощью симметрий уравнения (1.2).

4. Получение новых фундаментальных решений из известных с помощью симметрий уравнения (1.2) (производство решений).

В разделе 1.3 рассмотрено многомерное обобщенное осесимметрическое уравнение Лапласа

д2и V ди ^ д2и ы

и соответствующее ему неоднородное уравнение

д2и V ди дги .. п „. , „. . „,

Найдены симметрии уравнений (1.7), (1.8) Построены инвариантные решения уравнения (1.8).

В разделе 1.4 получены симметрии неоднородных одномерного уравнения теплопроводности

ди д2и .. л

двумерного бигармонического уравнения

а а д*и Л д*и , д^и .. .

двумерного волнового уравнения

д2и д2и д2и

и трехмерного уравнения Лапласа

д2и д2и д2и ..

С помощью найденных симметрии построены новые нетривиальные параметрические семейства фундаментальных решений рассмотренных уравнений. В разделе 1.5 сформулированы основные результаты главы 1. В главе 2 решена задача о нахождении всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. Дана теоретико-групповая интерпретация полученных соотношений. Получены линейные дифференциальные соотношения между операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу. При этом были рассмотрены как эллиптическое, так и гиперболическое уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. С помощью найденных соотношений были получены общие решения уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в специальных случаях применительно к построению решений системы уравнений одномерной газовой динамики. Предложенный подход был применен к нахождению всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Бесселя.

В разделе 2.1 рассмотрено уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу, которое может быть записано в одной из из следующих форм

д2и ади д2и . ,01.

дг2 + г дг дг2 ~ ' (21)

д2и а ди <Ри . .

+ ' { >

д2и а (ди

а (ди ди\ , .

где а - вещественный параметр. Уравнение (2.1) представляет собой эллиптическое уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу, уравнение (2.2) - гиперболическое уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу и уравнение (2.3) - гиперболическое уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу в характеристических переменных. Поставлена задача о получении всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка вида

ы<Я = A(r, г)^- + B(r, + С (г, г)и<а> (2.4)

между решениями и = u^(r,z), и = и^(г,г) класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (для каждого из классов уравнений (2.1)-(2.3)).

В разделе 2.2 предложен способ получения искомых соотношений для класса уравнений (2.1) с помощью использования групп непрерывных преобразований. Рассмотрено трехмерное уравнение Лапласа, записанное в цилиндрической системе координат

д2У ldV 1 д2У д2У _п

дг2 + г дт + г2 д<р2 + dz2 " ' Уравнение (2.5) имеет решения вида

V(r,<p,x) = Ce±ix*rxu{r,z), (2.6)

где С - произвольная постоянная, г2 = — 1, Л = (а — 1) /2 и функция и = u(r, z) удовлетворяет уравнению (2.1). Соотношение (2.6) задает редукцию уравнения Лапласа (2.5) к классу уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (2.1). Справедливо следующее предложение

Предложение 2.1. Пусть линейное однородное уравнение Lv = 0 допускает оператор симметрии

1=1

Тогда, если v = <р(х) является решением, то и

v = X[v- ¥>(*)]L^)

также является решением этого линейного однородного уравнения.

Предложение 2.1 было применено для получения новых решений уравнения Лапласа (2.5) с помощью его операторов симметрии, действуя ими на

решения вида (2.6). Если при этом вид решений (2 б) не будет меняться, то тогда можно получить новые решения уравнения (2.1) Таким способом были получены соответствующие соотношения вида (2.4).

В разделе 2.3 предложен прямой регулярный способ получения всех соотношений вида (2.4) для класса эллиптических уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (2.1). Должно быть выполнено следующее условие

г ( лди „ди „ \

Ч)

= 0, (2.7)

Ьаи — 0

где Ьа, Ьр - операторы Эйлера-Пуассона-Дарбу вида

д2 а д д2

Из условия (2.7) следует система уравнений дА дВ (/?-«), п дА дВ (/з-а)

д2А д2А Св-2а)дА а(а — /3 + 1) дС (/?- а)

+ +-Р-А + 2&+——с~0' (28)

д2В РдВ сЯВ „дС_ &С Р&С д2С дг2 + г дт + дг2 + дг ~ ' дг2 + г дг + дг2 ~

Система уравнений (2.8) является переопределенной. Исследовав ее на совместность, получено

Предложение 2.2. При (/?2 - а2)(0 + а - 2){¡3 + а - 4)[(/? - а)2 - 4] ф 0 система уравнений (2.8) имеет единственное решение А — В = С = 0.

Из предложения 2.2 следует существование конечного числа серий значений параметра ¡3 (зависящих от а), при которых существуют линейные дифференциальные соотношения первого порядка между решениями и — и^а\ и — класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу. В результате получены следующие основные теоремы.

Теорема 2.1. Класс уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу

д2и а ди д2и дг2 г дг дг2

при произвольных значениях параметра а допускает из всех соотношений

дг 2+^Тг + дГ2=°' а€Е ^

между решениями и = и^а\ и = вида (2.4) только следующие независимые базисные соотношения

ди{а)

~дГ'

й(а} = г

ди{а) ди^

дг ди^

+ Z-

dz '

й(0° = 2rz—— + (z2 - г2)—--1- azu'

дг

„(2-а) = га-1 и(а)

дг

и{а~2) = Г Z

ди

Эг

а*

+ (а - 1)ях<">,

(2.10)

,<«-» = г(г2 + 2г2*^ + [г2 - (а - l)z2]«^ :

г <9г '

(а+2) _ ^

г <9г

tt(o+2) = ^-'-—z— + 2z—— + cra(a).

г дг dz

При ß = а = 0 происходит расширение первых четырех базисных соотношений до базисных соотношений

ди®

й(0) _ + ф(Г| ОТ

где А = Ф(г,г), В = Ф(г, г) - произвольные решения системы уравнений Коши-Римана

дА_дВ дА __дВ дг дг ' дг дг Теорема 2.2. Все соотношения вида (2.4) между решениями и = г/"', и = „<Л класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (2.9) при произвольных значениях параметра а являются линейной комбинацией базисных соотношений (2.10) и соотношений

и(-а) = га

дг ' \г дг dz )

и(-а) _ га+1

г (г2 - Z2) ди^ п ди^ (а) -■— ' — + 2z-—- + аи(а)

du<а>

ИГ'

dr dz

М-а)

_а-1

2 гг

„(4-е) _ га-3

дг№ дг ди^ дг

+ (г2 - г2)

диЫ

дг

+ аги

(а)

(2.11)

+ (а -1)«1

(а)

-а) _ го-3

тг-

диМ 0ди^

дг

— г

дг

и(4-о) _ га-3

|г(г2 -

+ (а - 1 )ги(а) диЫ

+ 2г2

дт ' " ~ дг

В разделе 2 4 проведено сравнение результатов, полученных с помощью групп непрерывных преобразований и прямым методом. Показано их совпадение.

В разделе 2.5 получены линейные дифференциальные соотношения между операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу. Доказано предложение

Предложение 2.3. Пусть между решениями и^ уравнения

Эйлера-Пуассона-Дарбу выполнены соотношения (2.4). Тогда справедливо следующее линейное дифференциальное соотношение первого порядка между операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу Ьа и Ьр

г (л ди „ ди _ \ . д Т „ д т („ „ дВ\ т

^{А^ + ВГг+Си)^Л^Ьаи + Вд-гЬаи+{С+2д;)Ьаи'

где и = и(т, г) - произвольная трижды дифференцируемая функция.

Используя предложение 2.3 и соотношения (2.10), были получены соответствующие соотношение между операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу.

В разделе 2.6 с помощью предложенного прямого метода получены линейные дифференциальные соотношения первого порядка между решениями класса уравнений Бесселя.

В разделе 2.7 рассмотрены гиперболические уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (2.2), (2.3). Для них также получены соотношения вида (2.4) и линейные дифференциальные соотношения между соответствующими операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу.

В разделе 2.8 рассмотрено приложение полученных соотношений применительно к получению решений системы уравнений одномерной газовой динамики в специальных случаях.

В разделе 2.9 сформулированы основные результаты главы 2.

В главе 3 приведена постановка задачи, получены соотношения между решениями эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений квазигазовых сред в плоскости годографа. Получено

условие периодичности по пространственной переменной решений системы уравнений квазигазовых сред. Найдены симметрии основных уравнений и построены инвариантные фундаментальные решения эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Построены и исследованы точные периодические решения для случаев Л = ±1/2. Показана неустойчивость периодических решений относительно возмущений начальных данных.

В разделе 3.1 рассмотрена система уравнений (СБ), в которой берется знак плюс

ди ди , др1!х

<Л ОХ ОХ /П -|\

дt дх

Система уравнений (3.1) выписана в безразмерных переменных. Здесь переменные имеют следующий смысл: < - время, х - пространственная переменная, и - скорость, р (р> 0) - плотность, А - параметр, характеризующий среду. Она описывает обширный класс квазигазовых сред (опрокинутая мелкая вода; одномерный нестационарный газ Чаплыгина; гравитирующий газовый слой; перетяжки на плазменном пинче; возмущения солитонов Кортевега-де Вриза, синус-Гордона, Бенджамино-Оно, Кадомцева-Петвиашвили; и др.). Такие среды абсолютно неустойчивы - малые, периодические по пространственной переменной возмущения, экспоненциально растут по времени при всех значениях волновых чисел. Система уравнений уравнений (3.1) линеаризуется в плоскости годографа. Показано, что в новых переменных

г = р1/^), г = и/(2Х), (3.2)

линеаризованная система уравнений может быть записана в виде

дх & 0*

— = 2Аг — + г —,

от дг дх „V

дх & оч дг 13,3)

= -г — + 2Аг —.

дг от дг

Условием совместности системы уравнений (3.3) является эллиптическое уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу

(2А + 1)Л дЧ п

В разделе 3.2 получены соотношения между решениями уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений (3.3). Представлены выражения для решения системы уравнений (3.3), соответствующей параметру А = (/? — 1)/2, через решение уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу

(3.4), соответствующее параметру А = (а — 1)/2, при условии, что решения уравнения Эйлера-Пуассона-Д&рбу (2.1) связаны между собой соотношениями вида (2.4).

В разделе 3.3 получено условие периодичности по пространственной переменной решений системы уравнений (3.1). Рассмотрено уравнение

дН , (2А + 1) т , зч

Доказана следующая теорема

Теорема 3.1. Решения системы уравнений (3.1), удовлетворяющие уравнению (3.5), являются периодическими по пространственной переменной х с периодом равным 1.

Таким образом, показано, что фундаментальным решениям Эйлера-Пуассона-Дарбу соответствуют периодические по пространственной переменной решения системы уравнений квазигазовых сред.

В разделе 3.4 найдены симметрии системы уравнений (3.3) и уравнения (3.4). Получены симметрии уравнения (3.5).

Предложение 3.1. Уравнение (3.5) допускает один оператор симметрии

Г = + (3.6)

В разделе 3.5 построены инвариантные относительно оператора симметрии (3.6) фундаментальные решения эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Предложение 3.2. Инвариантные относительно оператора симметрии (3.6) решения уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (3.4) имеют вид

-а-А

г = г А 2

СгР х ьЮ+СЬО . х(0 ~ 2 ~ 2

Тг + г* + 1 2 г

где Р-\-1/2 Ф-А-1/2 (0 ~ функции Лежандра первого и второго рода; С\, Сг - произвольные постоянные.

В разделе З.б получены и исследованы точные периодические по пространственной переменной решения системы уравнений квазигазовых сред для случаев А = ±1/2.

В подразделе 3 61 рассмотрен случай Л = —1/2. В этом случае система уравнений (3.3) принимает вид {г — I/р, г = -и)

дх _ дЬ Ы

дг дг дг'

дх дЬ д1

дг дг дг'

(3-7)

Получены следующие четыре точных решения системы уравнений (3.7): решение

* = -1п 2

Г (г — I)2 + г2~\

решение

>+1)2 + *2.

2гг г2 — г2 — 1'

Г(г_ 1)2 + ^1

fcgx --

.(г+1)2 +г2.

2 тг

+ 2(г — 1),

tg(x + 2г г) = -

г2 - г2 - 1

решение

II [> ~ I)2 + -г2] 2(г2 + г2-г) 2 [(г + 1)2 + г2\ г2 + г2

/ . г\ <

2 гг

решение

1 Г(г-1)2 + г21 г(г'+ *»+!)

1-ГП[(г + 1)2 + г2\ + т2 + г2 ~г'

tg ^х + г г - aгctg ^ =

2 гг

(3.8)

(3.9)

(3.10)

(3.11)

г2 — 1

Функция Ь(г,г) для всех четырех решений удовлетворяет уравнению

и поэтому, согласно теореме 3.1, эти решения задают периодические с периодом 2тг по пространственной переменной х решения системы уравнений (3.7).

Для решений (3.8)—(3.11) выполнены два закона сохранения

2ж 2ж

(3.12)

о о

¿■к гп

У р(х,1)йх=. 2тт, J и{х,Ь)йх = 0

и справедлива асимптотика

р = 1 + 2е*соъх + о{еь), « = -26*31111 + 0(6'), t«-l. (3.13)

В моменты времени t — 1 рассматриваемые решения сколь угодно мало отличаются друг от друга. Показано, что решения существуют конечное время и имеют различные финальные стадии. Таким образом, решения (3.8)-(3 И) неустойчивы относительно возмущений начальных данных.

Решение (3.8) существует в моменты времени t 6 (-00; 0). При t -0

lim Ртах = ОО , lim pmin = 0 . t-»—О í—►—о

На рис. 3.1 изображены графики функций р и и, соответствующие решению (3.8).

Рис. 3.1. Распространение периодической волны: случай А = —1/2, решение (3.8)

Решение (3.9) существует в моменты времени t 6 (-оо; -2). При t -+ -2

lim ртах - ОО , lim Pmin = 0.83 . i—2 2

На рис. 3.2 изображены графики функций рии, соответствующие решению (3.9).

Решение (3.10) существует в моменты времени t € (-00; —2). При t = — 2 найдены ртах — 1.20, рт{П = 0. В момент времени t = — 2 наступает также градиентная катастрофа. На рис. 3 3 изображены графики функций р и и, соответствующие решению (3.10).

Решение (3.11) существует в моменты времени t € (-00; —1.47). В момент времени t = —1.47 наступает градиентная катастрофа. При t = -1.47 найдены Ртах = 1-49, ртт = 0.67. На рис. 3.4 изображены графики функций р и и, соответствующие решению (3.11).

0.8 0.6 0.4 0.2

Рис. 3.2. Распространение периодической волны: случай А = -1/2, решение (3.9)

/=-2.5

0.5 0

-0.5 -1

:——----^ . ______

А. г = -2.01

4 5 6

Рис. 3.3. Распространение периодической волны: случай А = -1/2, решение (3.10)

Построены также параметрические семейства точных периодических решений системы уравнений (3.7), содержащие рассмотренные выше решения.

В подразделе 3.6.2 рассмотрен случай А = 1/2. В этом случае система уравнений (3.3) принимает вид (г = р, г = и)

дх_ т т

дг ~ гдт + Гдг ' дх__ & дг дг дг'

(3.14)

Используя результаты главы 2, получены следующие четыре точных решения системы уравнений (3.14)-

Рис. 3.4. Распространение периодической волны: случай А = —1/2, решение (3.11)

решение

г = — 1п 2 г

(г-1)2 + *;

.(г+ 1)2 +г2

±1 |>-1)2 + г21

2г [ (г + I)2 + г2

2г

г2 + г2 - 1 '

решение

2 г

(г — I)2 + г2] 2(1-г)

(г + I)2 + г2

2г г ,

--— 1п

г 2 г

(г — I)2 + г2

решение

(г + i)2 + г2 (г-1)2 + 221 2(Г2 + г2 — Г)

2г

г2 + г2 - I'

,(г + 1)2 + *2.

4 = — 1п 2г

\ г(г* + 2г

г (г2 + г2) •

Г(Г - I)2 + 22"

2г

решение 2 г

(г - I)2 + г2] 2(1-г) _ 2(г2 + г2-г)

,(г + 1)2 + г2.

,(г + 1)2 + 22

г2+ 2

( 22

2г(г2 + г2 - 2т) г

г(г2 + г2)

- — 1п

2т

"(г - I)2 + г

.21

(г + I)2 + г2

(3.15)

(3.16)

г2 + г2 - Г

(3.17)

(3.18)

2г

г2 + г2 - 1

Функция ¿(г, г) для всех четырех решений удовлетворяет уравнению дН 2 Ш дН п .. ,

и поэтому, согласно теореме 3.1, эти решения задают периодические с периодом 2тт по пространственной переменной х решения системы уравнений (3.14).

Решения (3.15)—(3.18) обладают свойствами, похожими на свойства рассмотренных выше решений: для них выполнены законы сохранения (3.12), асимптотика (3.13), они существуют конечное время и имеют различные финальные стадии, неустойчивы относительна возмущений начальных данных.

Решение (3.15) существует в моменты времени t € (-оо; —2). При I = -2 найдены ртах = 1.20, ртт = 0. В момент времени < = -2 наступает также градиентная катастрофа. На рис. 3.5 изображены графики функций р и и, соответствующие решению (3.15).

Рис. 3.5. Распространение периодической волны: случай А = 1/2, решение (3.15)

Решение (3.16) существует в моменты времени £ € (—оо;-1.54). При £ = -1.54 найдены ртах = 2.30, ртт = 0.69. В момент времени t = -1.54 наступает градиентная катастрофа. На рис. 3.6 изображены графики функций р и и, соответствующие решению (3.16).

Решение (3.17) существует в моменты времени t £ (-оо;-1.83). При г = —1.83 найдены ртах = 1.33, ртт = 0.77. В момент времени < = -1.83 наг ступает градиентная катастрофа. На рис. 3.7 изображены графики функций р и и, соответствующие решению (3.17).

Решение (3.18) существует в моменты времени I £ (-оо; —2). При £ —> -2

Дт ртах - 00 , Дт Ртт = 0.83 .

На рис. 3.8 изображены графики функций рай, соответствующие решению (3.18).

Рис. 3.6. Распространение периодической волны: случай А = 1/2, решение (3.16)

Рис. 3.7. Распространение периодической волны: (

случай А = 1/2, решение (3.17)

Построены также параметрические семейства точных периодических решений системы уравнений (3.14), содержащие рассмотренные выше решения. '

В разделе 3.7 сформулированы основные результаты главы 3.

В главе 4 приведена постановка задачи, получены соотношения между решениями гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений одномерной газовой динамики в плоскости годографа. Найдены симметрии основных уравнений и построены инвариантные фундаментальные решения гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Представлен обширный класс точных решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Построены и исследованы точные периодические решения для случаев 7 = 3; 5/3; 7/5. Получены зависимости времени наступления градиентной катастрофы от амплитуды начальной волны.

В разделе 4.1 рассмотрена система уравнений (бБ), в которой берется знак

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

-0.2 ^

(=-2.5

Рис. 3.8. Распространение периодической волны: случай А = 1/2, решение (3.18)

минус

ди ди др1/х т +идх ~ дх

др д(ри) _ дг + дх

А =

(4.1)

7-1

Система уравнений (4.1) описывает неустановившиеся движения газа со степенной зависимостью плотности от давления. Здесь переменные имеют следующий смысл: t - время, х - пространственная переменная, и - скорость, р (р > 0) - плотность, 7 (в приложениях используются значения 7 > 1) - показатель степени. Система уравнений (4.1) выписана в безразмерных переменных. В качестве характерных размерных величин взяты характерная длина I, характерная плотность газа ро, характерная скорость щ — ао = У/РоМь равная скорости звука ао в газе с плотностью ро и давлением ро (давление ро соответствует плотности ро), и характерное время ¿о = 1/ао = Vх/тро/ро •

Система уравнений уравнений (4.1) линеаризуется в плоскости годографа. В новых переменных (3.2) линеаризованная система уравнений может быть записана в виде

дх „ ч дг дг

дт дт Г дг '

дх дг дг

дг дт дг

(4.2)

Условием совместности системы уравнений (4.2) является гиперболическое уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу

94 (2А + 1)& д2г

дг2 г дт дг2

= 0.

(4.3)

* = Г А 2

В разделе 4.2 получены соотношения между решениями уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений (4 2) Эти соотношения аналогичны соотношениям, приведенным в разделе 3.2.

В разделе 4.3 найдены симметрии системы уравнений (4.2) и уравнения (4.3). Рассмотрено уравнение

дН , (2Л + 1) дь дЧ

Предложение 4.1. Уравнение (4.4) допускает один оператор симметрии

У = 2г* 1 + (г2 + *2 - 1) А _ (ЗА + 1)* |. (4.5)

В разделе 4.4 построены инвариантные относительно оператора симметрии (4.5) решения гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Предложение 4.2. Решения Эйлера-Пуассона-Дарбу (4.3), инвариантные относительно оператора симметрии (4.5), имеют следующий вид

где Р_д_1/2 (0, <5_л—1/2 (0 _ функции Лежандра первого и второго рода; С\, Сг - произвольные постоянные.

В разделе 4.5 получены и исследованы точные периодические по пространственной переменной решения системы уравнений одномерной газовой динамики для случаев 7 = 3; 5/3; 7/5.

В подразделе 4.5.1 рассмотрен случай 7 = 3. В этом случае система уравнений (4.2) принимает вид (г = р, г = и)

дх_

др~идр Рди'

дх__дг_ сН к ' '

ди Рдр иди'

Этот случай широко известен и легко поддается исследованию. Рассмотрена задача о периодическом по пространственной переменной движении газа со следующими начальными периодическими по пространственной переменной условиями

р I = 1 + £ соз ¡с, «I =0, (4.7)

г 1ы> 1«=о

где е (0 < е < 1) - произвольная постоянная. Получены следующие предложения

Предложение 4.3. Решение системы уравнений (4.6) с начальными условиями (4.7) может быть записано в виде

р = 1 + е cos (х — ut) cos (pt), и = £ sin (х - ut) sin (pt).

(4.8)

Предложение 4.4. Время наступления и положение градиентной катастрофы для решения (4.8) определяется следующими формулами

1 /1 7Г\

2rm,

п е

На рис. 4.1 изображены графики функций р пи, соответствующие решению (4.8) при е = 0.5.

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

\ 1 0.8-

0.6-

0.4

—^ f=0 0.2-

и -0.2-

---,-Г~Х

Рис. 4.1. Распространение периодической волны: s = 0.5, случай 7 = 3

В подразделе 4.5.2 рассмотрен случай 7 = 5/3 (одноатомный газ). В этом случае система уравнений (4.2) принимает вид (г = р1^, г = и/3)

дх _ ^ дЬ ^дЬ

дг дг дг'

дх дЬ ^ дЬ

дг дг дг'

На основании соотношений (2.11) получено утверждение Предложение 4.5. Общее решение системы уравнений одномерной газовой динамики в случае 7 = 5/3 может быть записано в виде

(4.9)

X = "7

дг

3 тг

дг

№ = Цг + г)+д{г-2),

где /(т), р(т) - произвольные функции одной переменной.

Решена задача о периодическом по пространственной переменной движении газа со следующими начальными периодическими по пространственной переменной условиями

г I = 1 + е сое х, 1<=о

г\ =0,

(4.10)

где е (0 < е < 1) - произвольная постоянная.

Предложение 4.6. Решение системы уравнений (4.9) с начальными условиями (4.10) может быть записано в виде

г = 1 + е соз

' г(2г2 — 6г2 + 6 + Зе2) Х 2г2 - 2*2 + 2 + е2 _г(г - г + 3)

• сое

2г(2г2 - 2г2 + 2 + е2)

г(г + г + 3) 2г(2г2 - 2г2 + 2 + е2) 4г3

у/е2-(г-г- I)2 +

л/е2 - (г + 2 - I)2

2г2 -2г2 + 2 + е2 г-г + З ~ 2(2г2 - 2г2 + 2 + е2)

Уе2 _ (г _ 2 _ 1)2 +

r + z + 3

z = e sm

2(2r2 - 2z2 + 2 + e2) z(2r2 - 6z2 + 6 + 3e2)

V'e2 — (r + z — 1)2

(4.11)

1 2r2 - 2z2 + 2 + e2 * z(r - z + 3)

2r(2r2 - 2z2 + 2 + e2)

1)2 +

I z(r + z + 3) J '

2r(2r2 — 2z2 + 2 + e2) + * 1} .

■ sin

4r3

2r2 - 2z2 + 2 + e2

__r -z + 3

~ 2(2r2 - 2z2 + 2 + e2)

r + z + 3 f 2(2r2 - 2z2 + 2 + e2)

Ve2 - (r - z - l)2 +

Ve2 - (r + z - l)2

Найдено время наступления градиентной катастрофы для решения (4.11). На рис. 4.2 изображен график функции ^(г).

0.2 0.4 0.6 0.8 1 Рис. 4.2. Зависимость t„ от е, случай 7 = 5/3

На рис. 4.3 изображены графики функций р и и, соответствующие решению (4.11) при е = 0.5.

В подразделе 4 5.3 рассмотрен случай у = 7/3 (двухатомный газ). В этом

Рис. 4.3. Распространение периодической волны: е = 0.5, случай 7 = 5/3

случае система уравнений (4.2) принимает вид (г = р1/5, г = и/5)

— - 5г— - г— дг дг дг'

дх__г<Н

дг дг дг

(4.12)

На основании результатов главы 2 получено предложение Предложение 4.7. Общее решение системы уравнений одномерной газовой динамики в случае у = 7/5 может быть записано в виде

t = x

г>

X = -Г

аг^ аг

5г2г

5^(0)

-3--1Ъгг-^~ + г2-гг- +

дгдг

дг

= /(г + г) + д(г - г),

где /(г), д(г) - произвольные функции одной переменной.

Решена задача о периодическом по пространственной переменной движении газа с начальными условиями (4.10).

Предложение 4.8. Решение системы уравнений (4.12) с начальными условиями (4.10) может быть записано в виде

г = 1 + е сое

В{г,г) 2 г*В{г,г)

^£2-{г + г- I)2 +

+ •

-(г-2- I)2

Г 64г5

■ с08

2г3В(г, г)

г = е 81П

' 81П

64г5

* +

2г3В(г,г) (Г *

[В{г, г) 2В{т,г)

</е2 - (г + г - I)2 +

, гъ—т-—:—Гч2

(4.13)

где

Л(г, г) = -г(24е2г2 + 45е4 - 120А2 - 208г2г2 +

+ 360е2 + 24г4 + 48г2 - 240г2 + 120г4 + 120), В(г, г) = 24г4 + 8е2г2 + 24г4 + 24 + 16г2 -

- 48г2 + 12е2 + 9е4 - 24е2г2 - 48г2г2 , Е^г, г) = г(-4 г3 г2 + 7 г- 4 г г2 - 14гг3 +

+ 42г3г - 28г223 + 15г5 + 42г3 - Зе2г3 -

- 18г2 - Юг3 + 7 + 33г4г + 14гг +

+ 7z + 7re2z + 18r2ze2 + 15r3e2 - 7e2r + + llz4 + 3zs - 3rz4 - 7e2z + 48r2z - 24zV + + 39r4 - 70rV + 7s4 + 82r2 - 14e2 + 86rV), Fi(r, z) = z(4r3z2 -7r + 4rz2 - 14rz3 + 42r3z -

- 28rV - 15г5 - 42r3 - 3e2z3 +

+ 18z2 - 10z3 - 7 + 33r4z + Urz + + 7z + 7rtz2z + 18r2ze2 - 15r3e2 + 7e2r -

- llz4 + 3z5 + 3rz* - 7s2z + 48r2z + 24zV -

- 39r4 + 70r2z2 - 7e4 - 82r2 + 14e2 - 86r2e2), E2{r, z) = — 18z3 + 9re2 + 55e2 - 58z2 +

+ 26r2z + 26r + 26z + 50 + + 38r2 - 6rz2 + 14r3 + 9ze2 + 28rz, Fi{r, z) = -18z3 - 9re2 - 55e2 + 58z2 + + 26r2z - 26r + 26z - 50 -

- 38r2 + 6rz2 - 14r3 + 9ze2 + 28rz.

Найдено время tcr наступления градиентной катастрофы для решения (4.13). На рис. 4.4 изображен график функции tcr(s).

Рис. 4.4. Зависимость ^ от е, случай 7 = 7/5

На рис. 4.5 изображены графики функций р и и, соответствующие решению (4.13) при е = 0.1.

В разделе 4.6 сформулированы основные результаты главы 4.

Р С \

и.--. Г=3.38

1 1 ) 4

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

О -0.2

Рис. 4.5. Распространение периодической волны: с = 0.1, случай 7 = 7/5

В заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации:

1. Показано, что симметрии линейного неоднородного дифференциального уравнения с ¿-функцией в правой части образуют подалгебру алгебры Ли симметрии однородного уравнения и выписаны алгебраические условия, выделяющие эту подалгебру (теорема 1.1).

2. Предложен алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений.

3. Найдены симметрии и получены инвариантные фундаментальные решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа.

4. Получены симметрии следующих линейных неоднородных (с ¿-функцией в правой части) уравнений: одномерного уравнения теплопроводности, двумер-

ного бигармонического уравнения, двумерного волнового уравнения, трехмерного уравнения Лапласа. Используя полученные симметрии, построены новые нетривиальные семейства инвариантных фундаментальных решений на основе известных фундаментальных решений.

5. Найдены все линейные дифференциальные соотношения первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу (для эллиптического и гиперболического случаев).

6. Дана теоретико-групповая интерпретация найденных соотношений.

7. Получены тождества между операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу.

8. На основании полученных соотношений найдены два новых представления общего решения уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу в случае четных целых значениях параметра а.

9. Построены все рекуррентные соотношения между функциями Бесселя.

10. Получены соотношения между решениями уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений квазигазовых сред в плоскости годографа.

11. Доказано, что фундаментальным решениям эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу соответствуют периодические по пространственной переменной решения системы уравнений квазигазовых сред.

12. Найдены симметрии эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с дельта-функцией в правой части.

13. Построены инвариантные фундаментальные решения эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

14. Получены и исследованы точные решения системы уравнений квазигазовых сред для случаев А = ±1/2. Показано, что эти решения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга в начальный момент времени, имеют различные финальные стадии (решения существуют конечное время).

15 Получены соотношения между решениями гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений одномерной газовой динамики в плоскости годографа.

16. Найдены симметрии гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с дельта-функцией в правой части.

17. Построены инвариантные решения гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Представлен обширный класс точных решений гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

18. Получены и исследованы точные периодические по пространственной пе-

ременной решения системы уравнений одномерной газовой динамики для случаев 7 = 3; 5/3; 7/5. Построенные решения существуют конечное время. Получены зависимости времени наступления градиентной катастрофы в зависимости от амплитуды начальной волны.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Аксенов A.B. Симметрии и фундаментальные решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа // IX коллоквиум "Современный групповой анализ. Методы и приложения". Нижний Новгород, 24-30 июня 1992 г.: Тезисы докладов. Нижний Новгород: НИРФИ. 1992. С. 3.

2. Аксенов A.B. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Успехи математических наук. 1994. Т. 49. Вып. 4. С. 143-144.

3 Аксенов A.B. Симметрии фундаментальных решений линейных уравнений с частными производными // В кн.: Фундаментальные проблемы математики и механики Математика. М.: Изд-во Московского университета.

1994. С. 213-215.

4. Аксенов A.B. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Доклады АН. 1995. Т. 342. № 2. С. 151153.

5. Аксенов A.B. Симметрии и фундаментальные решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 10. С. 1697-1700.

6. Aksenov A.V., Baikov V.A., Chugunov V.A., Gazizov R.K., Ibragimov N.H., Meshkov A.G. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Vol. 2. Applications in Engineering and Physical Sciences. CRC Press. USA.

1995. 546 p.

7. Аксенов A.B. Локальные и нелокальные симметрии, точные решения уравнений абсолютно неустойчивых сред // Успехи математических наук.

1996. Т. 51. Вып. 5. С. 223.

8. Аксенов A.B. Периодические инвариантные решения уравнений абсолютно неустойчивых сред // Известия АН. Механика твердого тела. 1997. № 2. С. 14-20.

9. Аксенов A.B. Инвариантные решения уравнений движения абсолютно неустойчивых сред // Известия АН. Механика твердого тела. 1998. № 1. С. 110-115.

10. Аксенов А.В. Периодические по пространственной переменной точные решения системы уравнений одномерной газовой динамики // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. Вып. 4. С. 198.

11. Аксенов А.В. Точные решения, описывающие изэнтропическое одномерное движение политропного газа // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1998. Т. 223. С. 148-152.

12. Aksenov А. V. The Periodic Invariant Solutions of the Equations of Absolutely Unstable Media // In: Modern Group Analysis VII. Development in Theory, Computation and Application. Edited by: N.H. Ibragimov, K.R. Naqvi, E. Straume. MARS Publishers, SYMMETRI Foundation. 1999. P. 1-8.

13. Аксенов А.В. Развитие периодических возмущений в квазигазовых неустойчивых средах // Современные проблемы механики: Тезисы докладов Юбилейной научной конференции, посвященной 40-летию Института механики МГУ. М. Изд-во Московского университета. 1999. С. 5-6.

14. Aksenov A.V Symmetries and Invariant Solutions of the Absolutely Instable Media Equations // Ядерная физика. 2000. Т. 63. № 4. С. 742-744.

15. Аксенов А.В. Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу и группы непрерывных преобразований // Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти М.А. Лаврентьева (1900-1980): Тезисы докладов, часть I. Новосибирск: Изд-во Института математики им. С.Л. Соболева СО РАН. 2000. С. 28.

16. Аксенов А.В. Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу // Известия АН. Механика твердого тела. 2001. Т. 63. JV» 1. С. 15-20.

17. Аксенов А.В. Симметрии и соотношения между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу // Доклады АН. 2001. Т. 381. № 2. С. 176179.

18. Aksenov A.V. Symmetries and linear differential relations between solutions of the class Euler-Poisson-Darboux equations // MOGRAN 2000: Modern Group Analysis for the New Millennium. Proceedings of the International Conference. Ufa, Russia. USATU Publishers. 2001. P. 10-15.

19. Aksenov A.V. Evolution of the Periodic Perturbations in Absolutely Unstable Media // 16th International Symposium on Nonlinear Acoustics. Abstracts. Moscow: MSU. 2002. P. 256.

20. Aksenov A.V. On the evolution of periodic perturbations in absolutely unstable media. In: Nonlinear Acoustics at the beginning of the 21st Century. Volume 1. Moscow: Faculty of Physics, Moscow State University. 2002. P. 547550.

21. Аксенов A.B. Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу // Современная математика и ее приложения. Т. 12. Дифференциальные уравнения с частными производными. Институт Кибернетики АН Грузии. Тбилиси: 2004. С 3-37.

22. Аксенов A.B. Эволюция периодических возмущений в абсолютно неустойчивых средах // Тезисы докладов Всероссийской конференции "Новые математические модели в механике сплошных сред: построение и изучение", приуроченной к 85-летию академика Л.В. Овсянникова. Новосибирск: ИГ им. М.А. Лаврентьева СО РАН. 2004. С. 13-14.

23. Аксенов A.B. Соотношения между решениями уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений одномерной газовой динамики // Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 103-летию со дня рождения И.Г. Петровского. М.: Изд-во МГУ. 2004. С. 9-10.

24. Аксенов A.B. Общее решение системы уравнений одномерной газовой динамики при 7 = 5/3// XX Всероссийская школа-семинар "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП-2004)". Тезисы докладов. Новосибирск: ИГ им. М.А. Лаврентьева СО РАН. 2004. С. 10-11.

25. Аксенов A.B., Кириллов В.П., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Шеро-нов A.A. Структура внутренних волн в канале // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1985. № 1. С. 106-110.

26. Аксенов A.B., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Шеронов A.A. Структура внутренних волн в трехслойной жидкости со стратифицированным средним слоем // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1987. № 3. С. 128-132.

27. Аксенов A.B., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Шеронов A.A. Фазовая структура внутренних волн в канале // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1989. № 1. С. 129-135.

28. Аксенов A.B., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Шеронов A.A. Особенности обтекания цилиндра стратифицированной жидкостью при малых значениях внутреннего числа Фруда // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1989. № 4. С. 175-178.

29. Аксенов A.B., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Шеронов A.A. Структура внутренних корабельных волн в трехслойной жидкости со стратифицированным средним слоем // Прикладная механика и техническая физика.

1989. № 1. С. 104-109.

РНБ Русский фонд

2006-4 346

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова,

Подписано в печать /¿. т оч Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. Тираж {00 экз. Заказ 2$

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Аксенов, Александр Васильевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Симметрии и фундаментальные решения дифференциальных уравнений

1.1. Нахождение симметрий линейных дифференциальных уравнений с ^-функцией в правой части

1.2. Алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений

1.3. Симметрии и фундаментальные решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа

1.4. Примеры

1.5. Основные результаты главы.

ГЛАВА 2 . Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу

2.1. Постановка задачи

2.2. Построение линейных дифференциальных соотношений с помощью групп непрерывных преобразований.

2.3. Нахождение всех линейных дифференциальных соотношений первого порядка

2.4. Сравнение результатов полученных с помощью групп непрерывных преобразований и прямым методом.

2.5. Линейные дифференциальные соотношения между операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу.

2.6. Рекуррентные соотношения для функций Бесселя

2.7. Гиперболическое уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Введение диссертация по механике, на тему "Нелинейные периодические волны в газоподобных средах"

Одномерные движения идеального газа в случае баротропных процессов (давление завит во всем потоке только от плотности) являются одним из наиболее исследованных разделов механики жидкости и газа. Основополагающие результаты были получены в классической работе Б. Римана [105]. Им, в частности, была показана линеаризуемость системы уравнений одномерной газовой динамики в плоскости годографа и изучены некоторые свойства гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, к которому сводится система уравнений одномерной газовой динамики в плоскости годографа. Усилиями многих поколений математиков и механиков исследования в этом направлении были продолжены и были получены важные результаты. Эти результаты отражены в монографиях [83,88,98,106,116,125].

Во второй половине 20-го столетия были начаты исследования по изучению движений так называемых квазигазовых (или абсолютно неустойчивых сред). По-видимому, первой работой в этом направлении была работа Book D.L., Ott Е., Salton A.L. [140]. В этой работе была рассмотрена задача об эволюции периодических волн на поверхности опрокинутой мелкой воды, проведены численные расчеты. Далее, в работах Трубникова Б.А. и Жданова В.К. была введена в рассмотрения система уравнений, описывающая движения квазигазовых сред [61,161]. Ими было показано, что к исследованию этой системы уравнений могут быть сведены, при рассмотрении слабонелинейных длинноволновых приближений, многие задачи механики и физики. Ими были описаны более 50 таких сред. Ими также было показано, что система уравнений квазигазовых сред линеаризуема и ее решение сводится решению эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

Решение рассмотренных выше систем уравнений сводится к решению уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу впервые было изучено Эйлером [148] и позднее исследовано Пуассоном [159], Риманом [105] и Дарбу [145] (см. историю вопроса в [88, с. 532], [121, с. 527]).

Система уравнений (В.1) в частных случаях содержит в себе как систему уравнений одномерной газовой динамики, так и систему уравнений квазигазовых сред.

Таким образом, изучение газоподобных сред актуально. Изучение системы уравнений газоподобных сред (В.1) позволило получить новые результаты как для системы уравнений одномерной газовой динамики, так и для системы уравнений квазигазовых сред.

• Создание метода нахождения симметрий линейных дифференциальных уравнений с частными производными с «^-функцией в правой части.

• Построение точных периодических по пространственной переменной решений системы уравнений, описывающей эволюцию возмущений в абсолютно неустойчивых средах. При этом в начальный момент времени решения должны сколько угодно мало отличаться друг от друга и иметь разные финальные стадии их конечного во времени существования.

Научная новизна состоит в следующем:

• Предложен новый метод нахождения симметрий линейных дифференциальных уравнений с частными производными с ^-функцией в правой части. Сформулирован алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений.

• Впервые приведены примеры точных периодических по пространственной переменной решений системы уравнений абсолютно неустойчивых сред, со сколь угодно мало отличающимися начальными данными, но имеющими разные финальные стадии их конечного во времени существования. Тем самым впервые показана неустойчивость по начальным данным решений системы уравнений абсолютно неустойчивых сред.

• Впервые получены и изучены точные периодические по пространственной переменной решения системы уравнений одномерной газовой динамики для случаев одноатомного и двухатомного газов.

• Предложенный алгоритм нахождения фундаментальных решений на основе использования симметрий может быть использован для построения инвариантных фундаментальных решений других уравнений механики.

• Метод, предложенный для нахождения линейных дифференциальных соотношений первого порядка между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу может быть применен для построения соотношений между решениями других классов уравнений.

Методы исследования: в работе были использованы методы группового анализа дифференциальных уравнений, аналитические методы теории дифференциальных уравнений и методы асимптотического анализа.

Ключевую роль в настоящей работе играют методы группового анализа дифференциальных уравнений. Групповой анализ дифференциальных уравнений (это название, отражающее суть метода, было введено JI.B. Овсянниковым) берет свое начало в работах выдающего норвежского математика Софуса Ли (1842-1899). К сожалению, работы Софуса Ли не переведены на русский язык, но его творчество отражено в монографиях, изданных на русском языке [75-79,103].

Широкое применение находит изучение отдельных классов частных решений: стационарных, бегущих волн, автомодельных решений. Известно, что все они являются частным случаем более общего класса инвариантных решений, которые отыскиваются средствами группового анализа дифференциальных уравнений [94]. Значение таких решений не исчерпывается тем, что они дают описание процессов в некоторых частных случаях или являются тестами для отладки вычислительных алгоритмов. Важно подчеркнуть, что часто эти решения описывают асимптотики (промежуточные асимптотики) процессов для достаточно общих начальных условий [35,47]. В ряде случаев такие решения оказываются устойчивыми не только к возмущениям начальных данных, но и к возмущениям коэффициентов уравнений [48].

Важной составной частью исследования уравнений, описывающих тот или иной процесс, является изучение групповых свойств этих уравнений: отыскание группы непрерывных преобразований Ли [94] или более общих преобразований Ли-Беклунда [67], относительно которых уравнения инвариантны. Отыскание группы непрерывных преобразований выполняется с помощью алгоритмов группового анализа [94] и сводится к решению переопределенной системы линейных уравнений (определяющих уравнений), интегрирование которых во многих случаях, важных для практики, удается довести до конца. Поскольку преобразование, допускаемое уравнением, переводит всякое его решение снова в решение, то знание группы непрерывных преобразование позволяет из известных частных решений получать многопараметрические (или даже зависящие от произвольных функций - в случае бесконечной группы) семейства решений. Кроме того, это облегчает построение так называемых инвариантных решений, которые под действием некоторой подгруппы допускаемой группы преобразований переходят в себя: их отыскание сводится к решению уравнения меньшей размерности, чем исходное. Как отмечалось выше, к классу инвариантных решений относятся многие широко используемые решения. Так, например, бегущие волны инвариантны относительно преобразований переноса, автомодельные решения - относительно растяжений.

Групповые свойства уравнений используются также при изучении вопроса о существовании преобразования, связывающего различные уравнения, в частности преобразования, переводящего данное уравнение в линейное.

Групповой анализ непрестанно развивается. Он находит свое применение при исследовании не только дифференциальных уравнений, но и уравнений других типов. В частности, методы группового анализа были применены и развиты при исследовании разностных уравнений [60], псевдодифференциальных уравнений (одна из работ автора [25] была посвящена построению фундаментальных решений псевдодифференциального уравнения Шредингера релятивистски свободной частицы).

Прошло более сорока лет с момента выхода известной книги J1.B. Овсянникова "Групповые свойства дифференциальных уравнений" [92]. С тех пор были вычислены допустимые группы, найдены инвариантные и частично инвариантные решения для различных уравнений математической физики, обнаружены новые применения групповых методов [32,67,94,99,136,141,144,151-153]. Достигнутые успехи привели к необходимости более глубокого изучения теоретико-групповых свойств дифференциальных уравнений. В связи с этим JI.B. Овсянниковым выдвинута программа ПОДМОДЕЛИ [95,97]. Одной из целей данной программы является построение существенно различных редуцированных систем для математических моделей механики сплошной среды. Эта проблема фактически сводится к сложной алгебраической задаче нахождения оптимальной системы подгрупп основной группы [96], допускаемой основной моделью.

Важно подчеркнуть, что знание методов группового анализа является элементом современной математической культуры исследователя. Эти знания могут найти подчас совершенно неожиданные применения. Покажем это на примере изучения фазовой структуры линейных волн, распространяющихся в однородной среде с дисперсией (это наблюдение принадлежит автору).

Распространение линейных волн в однородной среде с дисперсией определяется дисперсионным соотношением ш = W{k), (В.2) где к - волновой вектор, и - частота. Отметим, что по дисперсионному соотношению (В.2) может быть восстановлено линейное уравнение с частными производными, описывающее распространение таких волн.

Фазовую структуру волн вдали' от локализованного источника возмущений можно описать, вводя функцию фазы 9(x,t) [87,117]. Тогда локальный волновой вектор k(x,t) и локальная частота u)(x,t) определяются через фазу 9 следующим образом:

Считается, что величины к и и по-прежнему удовлетворяют дисперсионному соотношению (В.2).

Вдали от локализованного около начала координат источника возмущений выполнено условие [118]

9 = кх — u>t.

Откуда, используя выражения (В.З), получаем соотношение

39 xV9 + t— = 9. (В.4)

Соотношение (В.4) означает (на языке группового анализа) инвариантность в (x,t) пространстве семейства поверхностей постоянной фазы 9{х, t) = const относительно однопараметрической группы однородных растяжений.

Предложение В.1. Поверхности постоянной фазы 9(x,t) = const образуют в (x,t) пространстве инвариантное относительно однородных растяжений семейство поверхностей.

Предложение В.2. Для стационарных источников возмущений (и) = 0) поверхности постоянной фазы 9{х) — const геометрически подобны в (х) пространстве.

Подобие фазовых картин наблюдалось в экспериментах [26-30] по изучению фазовой структуры волн в стратифицированных жидкостях. Типичная фазовая картина внутренних волн изображена на рис. В.1.

Рис. В.1. Фотография типичной фазовой картины внутренних волн, полученной при горизонтальном движении цилиндра в безграничной экспоненциально стратифицированной жидкости (использовался теневой прибор ИАБ-451) [26]

Основные положения, выносимые на защиту на защиту:

• Метод нахождения симметрий линейных дифференциальных уравнений с частными производными с 5-функцией в правой части и алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений.

• Точные периодические решения системы уравнений абсолютно неустойчивых сред, показывающие неустойчивость по начальным данным решений системы уравнений абсолютно неустойчивых сред.

• IX Коллоквиум "Современный групповой анализ. Методы и приложения". 24-30 июня 1992 г. Нижний Новгород, Россия.

• Совместные заседания семинара им. И.Г Петровского по дифференциальным уравнениям и математическим проблемам физики и Московского математического общества (16 сессия, 18-21 января 1994 г.; 19 сессия, 20-24 января 1998 г.). Москва, Россия.

• International Conference "Modern Group Analysis VII. Lie Groups and Contemporary Symmetry Analysis". June 30-July 5, 1997. Nordfjordeid, Norway.

• VIII International Conference on "Symmetry Methods in Physics", is dedicated to the 80th anniversary of Professor Smorodinsky's (1917-1992) birth. July 28-August 2, 1997. Dubna, Russia.

• Научная сессия МИФИ-2000. 17-21 января 2000 г. Москва, Россия.

• The Third International Conference "Differential Equations and Applications". June 12-17, 2000. Saint Petersburg, Russia.

• Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), посвященный памяти М.А. Лаврентьева (19001980). 26 июня-1 июля 2000 г. Новосибирск, Россия.

• "Modern Group Analysis for the New Millennium (MOGRAN-2000)". September 27-October 3, 2000. Ufa, Russia.

• Международный симпозиум по проблемам механики деформируемых тел, посвященный 90-летию со дня рождения А.А. Ильюшина. 22-23 января 2001 г. Москва, Россия.

• International Conference "Differential Equations and Related Topics" dedicated to the 100th Anniversary of I.G. Petrovskii. May 22-27, 2001. Moscow, Russia.

• 16 th International Symposium on Nonlinear Acoustics "Nonlinear Acoustics at the Beginning of the 21st Century (ISNA-16)". August 19-23, 2002. Moscow, Russia.

• V International Congress on Mathematical Modelling. September 30-October 6, 2002. Dubna, Russia.

• Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция механики. Апрель 2001, 2002, 2004 г.г. Москва, Россия.

Публикация результатов. По теме диссертации опубликовано около сорока работ. Основные результаты диссертации изложены в 29 публикациях, включая одну монографию; шесть из них опубликованы в соавторстве. Из совместных публикаций в диссертацию включены результаты, полученные непосредственно автором. Основных публикации по теме диссертации составляют работы [1-24,26-30].

Заключение диссертации по теме "Механика жидкости, газа и плазмы"

4.6. Основные результаты главы

Сформулируем основные результаты главы:

1. Получены соотношения между решениями уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями основной системы уравнений в плоскости годографа.

2. Получены симметрии основных уравнений. Найдены симметрии уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с дельта-функцией в правой части.

3. Построены инвариантные решения уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу. Представлен обширный класс точных решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

4. Получены и исследованы точные периодические по пространственной переменной решения системы уравнений одномерной газовой динамики для случаев 7 = 3; 5/3; 7/5. Построенные решения существуют конечное время. Получены зависимости времени наступления градиентной катастрофы в зависимости от амплитуды начальной волны. Р

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты диссертации:

1. Показано, что симметрии линейного неоднородного дифференциального уравнения с J-функцией в правой части образуют подалгебру алгебры Ли симметрий однородного уравнения и выписаны алгебраические условия, выделяющие эту подалгебру (теорема 1.1.1).

2. Предложен алгоритм построения инвариантных фундаментальных решений.

4. Получены симметрии следующих линейных неоднородных (с 5-функцией в правой части) уравнений: одномерного уравнения теплопроводности, двумерного бигармонического уравнения, двумерного волнового уравнения, трехмерного уравнения Лапласа. Используя полученные симметрии, построены новые нетривиальные семейства инвариантных фундаментальных решений на основе известных фундаментальных решений.

6. Дана теоретико-групповая интерпретация найденных соотношений.

7. Получены тождества между операторами Эйлера-Пуассона-Дарбу.

9. Построены все рекуррентные соотношения между функциями Бесселя.

12. Получены симметрии основных уравнений. Найдены симметрии эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с дельта-функцией в правой части.

13. Построены инвариантные фундаментальные решения эллиптического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.

14. Получены и исследованы точные решения системы уравнений квазигазовых сред для случаев Л = ±1/2. Показано, что эти решения, сколь угодно мало отличающиеся друг от друга в начальный момент времени, имеют различные финальные стадии (решения существуют конечное время).

15. Получены соотношения между решениями гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу и решениями системы уравнений одномерной газовой динамики в плоскости годографа.

16. Получены симметрии основных уравнений. Найдены симметрии гиперболического уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с дельта-функцией в правой части.

18. Получены и исследованы точные периодические по пространственной переменной решения системы уравнений одномерной газовой динамики для случаев 7 = 3; 5/3; 7/5. Построенные решения существуют конечное время. Получены зависимости времени наступления градиентной катастрофы в зависимости от амплитуды начальной волны.

Список источников диссертации и автореферата по механике, доктора физико-математических наук, Аксенов, Александр Васильевич, Москва

1. Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Успехи математических наук. 1994. Т. 49. Вып. 4. С. 143-144.

2. Аксенов А.В. Симметрии фундаментальных решений линейных уравнений с частными производными //В кн.: Фундаментальные проблемы математики и механики. Математика. М.: Изд-во Московского университета. 1994. С. 213-215.

3. Аксенов А.В. Симметрии линейных уравнений с частными производными и фундаментальные решения // Доклады АН. 1995. Т. 342. № 2. С. 151-153.

4. Аксенов А.В. Симметрии и фундаментальные решения многомерного обобщенного осесимметрического уравнения Лапласа // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31. № 10. С. 1697-1700.

5. Aksenov А.V., Baikov V.A., Chugunov V.A., Gazizov R.K., Ibragimov N.H., Meshkov A.G. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Vol. 2. Applications in Engineering and Physical Sciences. CRC Press. USA. 1995. 546 p.

6. Аксенов А.В. Локальные и нелокальные симметрии, точные решения уравнений абсолютно неустойчивых сред // Успехи математических наук. 1996. Т. 51. Вып. 5. С. 223.

7. Аксенов А.В. Периодические инвариантные решения уравнений абсолютно неустойчивых сред // Известия АН. Механика твердого тела. 1997. № 2. С. 14-20.

8. Аксенов А.В. Инвариантные решения уравнений движения абсолютно неустойчивых сред // Известия АН. Механика твердого тела.1998. № 1. С. 110-115.

9. Аксенов А.В. Периодические по пространственной переменной точные решения системы уравнений одномерной газовой динамики // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. Вып. 4. С. 198.

10. Аксенов А.В. Точные решения, описывающие изэнтропическое одномерное движение политропного газа // Труды Математического института им. В.А. Стеклова. 1998. Т. 223. С. 148-152.

11. Aksenov A.V. Symmetries and Invariant Solutions of the Absolutely Instable Media Equations // Ядерная физика. 2000. Т. 63. № 4. С. 742744.

12. Аксенов А.В. Линейные дифференциальные соотношения между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу // Известия АН. Механика твердого тела. 2001. Т. 63. № 1. С. 15-20.

13. Аксенов А.В. Симметрии и соотношения между решениями класса уравнений Эйлера-Пуассона-Дарбу // Доклады АН. 2001. Т. 381. № 2. С. 176-179.

14. Aksenov A.V. Evolution of the Periodic Perturbations in Absolutely Unstable Media // 16th International Symposium on Nonlinear Acoustics. Abstracts. Moscow: MSU. 2002. P. 256.

15. Aksenov A.V. On the evolution of periodic perturbations in absolutely unstable media. In: Nonlinear Acoustics at the beginning of the 21st Century. Volume 1. Moscow: Faculty of Physics, Moscow State University. 2002. P. 547-550.

16. Аксенов А.В., Самаров К.Л. Лоренц-инвариантные решения псевдодифференциального уравнения Шредингера // Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26. № 2. С. 268-271.

17. Аксенов А.В., Кириллов В.П., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Ше-ронов А.А. Структура внутренних волн в канале // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1985. № 1. С. 106-110.

18. Аксенов А.В., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Шеронов А.А. Структура внутренних волн в трехслойной жидкости со стратифицированным средним слоем // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1987. № 3. С. 128-132.

19. Аксенов А.В., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Шеронов А.А. Фазовая структура внутренних волн в канале // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1989. № 1. С. 129-135.

20. Аксенов А.В., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Шеронов А.А. Особенности обтекания цилиндра стратифицированной жидкостью при малых значениях внутреннего числа Фруда // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1989. № 4. С. 175-178.

21. Аксенов А.В., Можаев В.В., Скороваров В.Е., Шеронов А.А. Структура внутренних корабельных волн в трехслойной жидкости со стратифицированным средним слоем // Прикладная механика и техническая физика. 1989. № 1. С. 104-109.

22. Андреев В.К., Бублик В.В., Бытев В.О. Симметрии неклассических моделей гидродинамики. Новосибирск: Наука. 2003. 352 с.

23. Андреев В.К., Капцов О.В., Пухначев В.В., Родионов А.А. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике. Новосибирск: ВО Наука. 1994. 319 с.

24. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход. М.: Мир. 1976. 312 с.

25. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС. 2002. 416 с.

26. Баренблат Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. JL: Гидрометеоиздат. 1982. 256 с.

27. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1973. 296 с.

28. Берест Ю.Ю. Построение фундаментальных решений для гюйгенсо-вых уравнений как инвариантных решений // Доклады АН СССР. 1991. Т. 317. № 4. С. 786-789.

29. Берест Ю.Ю. Слабые инварианты локальных групп преобразований // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. № 10. С. 1796-1803.

30. Берест Ю.Ю. Групповой анализ линейных дифференциальных уравнений в обобщенных функциях и построение фундаментальных решений // Дифференциальные уравнения. 1993. Т. 29. № 11. С. 1958-1970.

31. Биркгоф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие. М.: Изд-во ИЛ. 1963. 244 с.

32. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. Часть первая. М.: Изд-во ИЛ. 1949. 798 с.

33. Веденов А.А., Велихов Е.П., Сагдеев Р.З. Устойчивость плазмы // Успехи физических наук. 1961. Т. 73. Вып. 4. С. 701-766.

34. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука. 1968. 191 с.

35. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений М.-Л.: ОГИЗ. Гостехиздат. 1948. 296 с.

36. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1981. 512 с.

37. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1979. 320 с.

38. Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Самармкий А.А. Об асимптотической устойчивости инвариантных решений нелинейных уравнений теплопроводности с источником // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20. № 4. С. 614-632.

39. Галактионов В .А., Самармкий А.А. Методы построения приближенных автомодельных решений нелинейных уравнений теплопроводности. IV // Математический сборник. 1983. Т. 121. № 2. С. 131-155.

40. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. Обобщенные функции. Выпуск 1. М.: Государственное изд-во физико-математической лит-ры. 1958. 439 с.

41. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. Обобщенные функции. Выпуск 2. М.: Государственное изд-во физико-математической лит-ры. 1958. 307 с.

42. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. Обобщенные функции. Выпуск 3. М.: Государственное изд-во физико-математической лит-ры. 1958. 274 с.

43. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций. М.: Изд-во ИЛ. 1952. 476 с.

44. Годунов С.К., Роменский Е.И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Научная книга. 1998. 268 с.

45. Голубятников А.Н. Аффинная симметрия сплошных сред. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ. 2001. 94 с.

46. Голубятников А.Н. Симметрии сплошных сред // Успехи механики. 2003. Т. 2. № 1. С. 126-183.

47. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Государственное изд-во физико-математической лит-ры. 1963. 1100 с.

48. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. III. Ч. 1. М-Л.: ГТТИ. 1933. 276 с.

49. Джаиани Г.В. Решение некоторых задач для одного вырождающегося эллиптического уравнения и их приложения к призматическим оболочкам. Тбилиси: Изд-во ТбГУ. 1982. 163 с.

50. Джаиани Г.В. Уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу. Тбилиси: Изд-во ТбГУ. 1984. 73 с.

51. Дородницын В.А. Групповые свойства разностных уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 240 с.

52. Жданов В.К., Трубников Б.А. Квазигазовые неустойчивые среды. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1991. 176 с.

53. Жданов С.К., Трубников Б.А. Теория "квази-чаплыгинских" неустойчивых сред и "эволюционный принцип" отбора спонтанных решений // Письма в ЖЭТФ. 1986. Т. 43. Вып. 4. 178-182.

54. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнения. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2001. 576 с.

55. Зверев И.Н., Смирнов Н.Н. Газодинамика горения. М.: Изд-во МГУ. 1987. 307 с.

56. Зоммерфельд А. Механика деформируемых сред. М.: Изд-во ИЛ. 1957. 487 с.

57. Ибрагимов Н.Х. Группы Ли в некоторых вопросах математической физики. Новосибирск. 1972. 161 с.

58. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1983. 280 с.

59. Ибрагимов Н.Х. Азбука группового анализа. М.: Знание. 1989. 44 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия "Математика, кибернентика". № 8).

60. Ибрагимов Н.Х. Динамика в мире де Ситтера. 1. Приближенное представление группы де Ситтера. 1990. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР. № 144. 22 с.

61. Ибрагимов Н.Х. Групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений и принцип инвариантности в математической физике // Успехи математических наук. 1992. Т. 47. Вып. 4. С. 83-144.

62. Иваненко Д., Соколов А. Классическая теория поля (новые проблемы). М.-Л.: Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. 1951. 479 с.

63. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1976. 576 с.

64. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир. 1978. 518 с.

65. Киряков П.П., Сенатов С.И., Яхно А.Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2001. 192 с.

66. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Том 1. М.: Наука. 1989. 453 с.

67. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Том 2. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. 240 с.

68. Клейн Ф. Отзыв Ф. Клейна о сочинении Софуса Ли "Теория групп преобразований", том III (1893), представленном в связи с первымприсуждением премии имени Лобачевского. С. 435-451. //В кн.: Об основаниях геометрии. ГИТТЛ. М.: 1956. 527 с.

69. Клейнъ Феликсъ. О Софусъ Ли // Известия физико-математического общества при императорском Казанском университете. Казань: 1902. Вторая серия. Т. IX. № 3. С. 619. (перевод Д.М. Синцова).

70. Клейн Ф. Высшая геометрия. М.-Л: ГОНТИ. 1939. 399 с.

71. Кратцер А., Франц В. Трансцендентные функции. М.: Изд-во ИЛ. 1963. 467 с.

72. Кудряшов Н.А. Аналитическая теория нелинейных дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск: Институт компьютерных технологий. 2004. 360 с.

73. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир. 1964. 830 с.

74. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: Изд-во ИЛ. 1950. 426 с.

75. Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Книга первая. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Издание артиллерийской академии РККА. Ленинград. 1933. 315 с.

76. Куренский М.К. Дифференциальные уравнения. Книга вторая. Дифференциальные уравнения с частными производными. Издание артиллерийской академии РККА им. Дзержинского. Ленинград. 1934. 334 с.

77. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1975. 432 с.

78. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. М.: Мир. 1981. 600 с.

79. Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.: Изд-во ИЛ. 1961. 588 с.

80. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир. 1981. 344 с.

81. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. 2. М.: Изд-во ИЛ. 1960. 896 с.

82. Неменьи П.Ф. Современное развитие обратных и полуобратных методов в механике сплошной среды. В кн.: Проблемы механики. Сборник статей под редакцией Р. Мизеса и Т. Кармана. М.: Изд-во ИЛ. 1955. С. 234-257.

83. Овсянников Л.В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР. 1962. 240 с.

84. Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во НГУ. 1966. 132 с.

85. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1978. 400 с.

86. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Новосибирск. Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН. 1992. 11 с.

87. Овсянников Л.В. Об оптимальных системах подалгебр // Доклады АН. 1993. Т. 333. Ж 6. С. 702-704.

88. Овсянников Л.В. Программа ПОДМОДЕЛИ. Газовая динамика // Прикладная математика и механика. 1994. Т. 58. Вып. 4. С. 30-55.

89. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. Издание второе, дополненное. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. 336 с.

90. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. Пер. с англ. М.: Мир. 1989. 639 с.

91. Олевский М.Н. Решение задачи Дирихле, относящейся к уравнению Д и + — = р для полусферической области // Доклады АН1. ХЦ OXfi

92. СССР. 1949. Т. 64. № 6. С. 767-770.

93. Павловский Ю.Н., Яковенко Г.Н. Группы, допускаемые динамическими системами. В сб.: Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука. 1982. С. 155-189.102103104105106107108109110111112113114115.

94. Сибгатуллин Н.Р. Колебания и волны в сильных гравитационных и электромагнитных полях. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1984. 352 с.

95. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука. СО. 1984. 272 с.

96. Соляник-Красса К.В. Кручение валов переменного сечения. М.-Л.: Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. 1949. 166 с. Соляник-Красса К.В. Осесимметричная задача теории упругости. М.: Стройиздат. 1987. 335 с.

97. Справочник по специальным функциям. Под редакцией М. Абра-мовица и И. Стиган. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1979. 832 с.

98. Станюкович К.П. Неустановившиеся движения сплошной среды. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1971. 856 с.

99. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977. 622 с.

100. Уизем Дж. Б. Волны с дисперсией и вариационные принципы // Нелинейные волны. Сборник статей под редакцией С. Лейбовича и А. Сибасса. М.: Мир. 1977. С. 151-180.

101. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наукова думка. 1989. 336 с.

102. Хаппель Дж., Бренер Г. Гидродинамика при малых числах Рей-нольдса. М.: Мир. 1976. 631 с.

103. Цалдастани О. Одномерное изэнтропическое течение жидкости // Проблемы механики. Сборник статей под редакцией Р. Мизеса и Т. Кармана. М.: Изд-во ИЛ. 1955. С. 519-552.,

104. Чаплыгин С.А. О газовых струях. Собрание сочинений. Том II. М.-Л.: Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. 1948. С. 19-137.

105. Чеботарев Н.Г. Теория групп Ли. М.-Л.: Государственное изд-во технико-теоретической лит-ры. 1940. 396 с.

106. Чеботарев Н.Г. Доказательство 7г-теоремы. Собрание сочинений. Т. II. М.-Л.: Изд-во АН СССР. 1949. С. 414-416.

107. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988. 424 с.

108. Шефтель М.Б. Группы Ли и дифференциальные уравнения: симметрии, законы сохранения и точные решения математических моделей в физике // Физика элементарных частиц и атомного ядра. 1997. Т. 28. Вып. 3. С. 615-684.

109. Шубников А.В. Симметрия (законы симметрии и их применение в науке, технике и прикладном искусстве). Изд-во АН СССР. М.-Л.: Наука. 1940. 176 с.

110. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. М.: Наука. 1972. 339 с.

111. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований. Изд-во ИЛ. М.: 1947. 360 с.

112. Ames W.F. Nonlinear Partial Differential Equations in Engineering. Academic Press. New York. London. V. 1. 1965. 511 p.; V. 2. 1972. 305 p.

113. Bechert K. Zur Theorie ebener Strorungen in reibungsfreien Gasen // Annalen der Physik. 1940. Folge 5. Band 37. Heft 2. 89-123.

114. Bechert K. Zur Theorie ebener Strorungen in reibungsfreien Gasen. II // Annalen der Physik. 1940. Folge 5. Band 38. Heft 1. 1-25.

115. Beltrami E. Sulla teoria delle funzioni potenziali simmetriche // Mem. R. Accad. sci. Bologna. 1880. Vol. 2. P. 461-505 (Opere mat. 1911.1. Vol. 3. P. 349-382).

116. Bluman G. Simplifying the form of Lie groups admitted by a given differential equation // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1990. Vol. 145. N. 1. P. 52-62.

117. Bluman G.W., Anco St.C. Symmetry and Integration Methods for Differential Equations. Springer-Verlag New York, Inc. 2002. 419 p. (Applied Mathematical Sciences. Vol. 154)

118. Bluman G.W., Cole J.D. The general similarity solution of the heat equation // Journal of Mathematics and Mechanics. 1969. Vol. 18. N. 11. Pp. 1025-1042.

119. Bluman G.W., Gregory R.D. On transformations of the biharmonic equation // Mathematica. 1985. Vol. 32. Pp. 118-130.

120. Bluman G.W., Kumei S. Symmetries and Differential Equations. Springer-Verlag New York, Inc. 1989. 412 p. (Applied Mathematical Sciences. Vol. 81)

121. Book D.L., Ott E., Salton A.L. Rayleigh-Taylor instability in the "shallow-water" approximation // The Physics of Fluids. 1974. Vol. 17. № 4. Pp. 676-678.

122. Cantwell Br. J. Introduction to Symmetry Analysis. Cambridge. Cambridge University Press. 2002. 654 p.

123. Choquet-Bruhat Y., DeWitt-Morette C., Dillard-Bleik M. Analysis, Manifolds and Physics. Part I: Basics. Amsterdam: North-Holland. 1982. 630 p.

124. Copson E.T. On sound waves of finite amplitude // Proceedings of the Royal Society of London. Series A: Mathematical and Physical Sciences. 1953. Vol. 216. N. 1127. P. 539-547.

125. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Edited by N.H. Ibragimov. CRC Press. USA:

126. Vol. 1. Symmetries, exact solutions, and conservation laws. 1994. 429 p.

127. Vol. 2. Applications in engineering and physical sciences. 1995. 546 p.

128. Vol. 3. New trends in theoretical developments and computational methods. 1996. 536 p.

129. Darboux G. Legons sur la theorie generale des surfaces et les applications geometriques du calcul infinitesimal. Т. II. Paris. 2 ed., 1915 (1 ed., 1888). 579 p.

130. Diaz J.B. Weinstein A. On the Fundamental Solutions of a Singular Beltrami Operator // Studies in Mathematics and Mechanics. Presented to Richard von Mises by Friends, Colleagues, and Pupils. N.Y.: Academic Press. 1954. Pp. 97-102.

131. Dickson L.E. Differential equations from the group standpoint // Annals of Mathematics. Second series. 1924. Vol. 25. N. 4. Pp. 287-378.

132. Euler L. Institutions calculi integralis. Vol III. Petropoli. 1770. Pt. II. Ch. Ill, IV, V (Opera Omnia. Ser. 1. T. 13. Leipzig, Berlin. 1914. 212230.).

133. Euler N., Steeb W.-H. Continuous Symmetries, Lie Algebras and Differential equations. Leipzig. Wissenschaftsverlag. 1992. 320 p.

134. Garabedian P.R. Calculation of axially symmetric cavities and jets // Pacific journal of Mathematics. 1956. Vol. 6. N. 4. P. 611-684.

135. Hydon P.E. Symmetry Methods for Differential Equations. A Beginner's Guide. Cambridge. Cambridge University Press. 2000. 213 p.

136. Ibragimov N.H. Elementary Lie Group Analysis and Ordinary Differential Equations. John Wiley h Sons Ltd. Great Britain. 1999. 347 p.

137. Ibragimov N.H. Introduction to Modern Group Analysis. Ufa: Изд-во "Tay". 2000. 113 p.

138. Lie S. Uber die Integration durch bestimmte Integrale von einer Klasse linearer partieller Differentialgleichungen // Archiv der Mathematik. 1881. Bd. 6. Heft 3. S. 328-368.

139. Ludford G.S. On an extension of Riemann's metthod of integration, with applications to one-dimensional gas dynamics // Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1952. V. 48. P. 499-510.

140. Mackie A.G. Contour integral solutions of a class of differential equations // Journal of Rational Mechanics and analysis. 1955. Vol. 4. N. 5. P. 733-750.

141. Miller W., Jr. Symmetries of differential equations. The hypergeometric and Euler-Darboux equations // SIAM Journal on Mathematical Analysis. 1973. Vol. 4. N. 2. P. 314-328.

142. Olver P., Rosenau P. Group-invariant solutions of the heat equation // SIAM Journal on Applied Mathematics. 1987. Vol. 47. N. 2. Pp. 263278.

143. Poisson S.D. Memoire sur l'integration des equations lineaires aux diffrences partielles. Journal de l'Ecole Polytechechnique. 1823. Ser. 1. T. 12. No 19. 215-248.

144. Rogers C., Ames W.F. Nonlinear Boundary Value Problems in Science and Engineering. N.Y. Academic Press. 1989 (Mathematics in Science and Engineering. Vol. 183). 417 p.

145. Trubnikov B.A., Zdanov S.K. Unstable quasi-gaseous media // Physics Reports (Review Section of Physics Letters). 1987. V. 155. № 3. P. 137230.

146. Weinstein A. Discontinuous integrals and generalized potential theory // Transactions of the American mathematical society. 1948. Vol. 63. N. 2. P. 342-354.

147. Weinstein A. The singular solutions and the Cauchy problem for generalized Tricomi equations // Communications on Pure and Applied Mathematics. 1954. Vol. 7. N. 1. P. 105-116.