Нелинейные волны и хаос в радиофизических системах с модуляционной неустойчивостью

Балякин, Артем Александрович

Нелинейные волны и хаос в радиофизических системах с модуляционной неустойчивостью тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

Балякин, Артем Александрович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Саратов МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Нелинейные волны и хаос в радиофизических системах с модуляционной неустойчивостью»

Автореферат диссертации на тему "Нелинейные волны и хаос в радиофизических системах с модуляционной неустойчивостью"

На правах рукописи

Балякин Артем Александрович

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ И ХАОС В РАДИОФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С МОДУЛЯЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТЬЮ

01.04.03 — Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2004

Работа выполнена в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Рыскин Никита Михайлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Езерский Александр Борисович

доктор физико-математических наук, профессор Мельников Леонид Аркадьевич

Ведущая организация: Саратовское отделение Института радиотехники и электроники РАН

Защита состоится 24 сентября 2004 г. в 17.00 на заседании диссертационного совета Д 212.243.01 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке СГУ Автореферат разослан « //» августа 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Аникин В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследуемой проблемы

Изучение нелинейных явлений, включая режимы динамического хаоса, в распределенных волновых системах в настоящее время относится к числу наиболее актуальных направлений в современной радиофизике и нелинейной динамике. Очевидна связь этих исследований с такими фундаментальными проблемами, как возникновение турбулентности и образование диссипатив-ных структур. Однако на сегодняшний день последовательная теория нелинейной динамики распределенных систем отсутствует, и по сравнению с системами с небольшим числом степеней свободы они изучены все еще достаточно слабо, хотя именно они представляют наибольший интерес.

Следует отметить, что в основном изучается нелинейная динамика в так называемых активных средах, в которых присутствует усиление малых возмущений за счет развития различных волновых неустойчивостей. Однако не меньший интерес представляет исследование подобных явлений в нелинейных средах, в которых усиления нет, т.е. их следует отнести к пассивным. При определенных условиях интенсивный регулярный сигнал, генерируемый внешним источником, в процессе распространения в пассивной нелинейной среде может обогащаться новыми независимыми спектральными компонентами и, в частности, становиться хаотическим. Выяснение механизмов, за счет которых это происходит, определение универсальных особенностей сложного поведения, типичных сценариев перехода к хаосу представляет принципиальный интерес для целого ряда разделов физики, в первую очередь — для радиофизики. Отметим, что на языке теории колебаний данную ситуацию следует ассоциировать не с автоколебаниями, а, скорее, с вынужденными колебаниями.

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

Отметим, что отрезок нелинейной среды конечной протяженности, возбуждаемый на границе внешним сигналом, можно трактовать как распределенный нелинейный резонатор под внешним воздействием. Поскольку нелинейный неавтономный осциллятор давно является одной из эталонных моделей нелинейной динамики систем с конечным числом степеней свободы, можно ожидать, что рассматриваемая задача должна играть такую же важную роль для распределенных систем.

Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики, нелинейной динамики и теории волн.

Целью диссертации является последовательное изучение сложной динамики в распределенных пассивных нелинейных средах с модуляционной неустойчивостью, возбуждаемых гармоническим внешним сигналом на одной из границ. Для достижения поставленной цели решается ряд конкретных задач: рассматриваются как простые модельные системы, описывающиеся эталонными уравнениями типа нелинейных уравнений Шрёдингера и Клейна-Гордона, так и достаточно сложные реалистичные модели (нелинейная линия передачи, периодическая диэлектрическая структура).

Научная новизна

1) Впервые получен критерий, определяющий характер МН (конвективная или абсолютная) в безграничной нелинейной среде с дисперсией. Обнаружен нелинейный эффект смены характера неустойчивости с конвективной на абсолютную при увеличении интенсивности входного сигнала. Показано, что этот эффект связан с появлением неустойчивых возмущений, групповая скорость которых отрицательна, т.е. направлена навстречу несущей волне.

2) Впервые выявлена связь различных режимов нелинейного туннелирования с характером модуляционной неустойчивости. Показано, что квазилинейное туннелирование имеет место при конвективной неустойчивости, а солитон-ное — при абсолютной.

3) Впервые изучены переходы к хаосу в системах типа одномерных распределенных резонаторов, заполненных нелинейной диспергирующей средой с модуляционной неустойчивостью и возбуждаемых на одной из границ гармоническим внешним сигналом. Рассмотрены как системы, описываемые известными модельными уравнениями теории нелинейных волн, так и реалистичные модели радиофизических нелинейных сред (отрезок нелинейной радиотехнической линии передачи, периодическая нелинейная диэлектрическая структура). Показано, что основным механизмом, приводящим к неустойчивости режима периодических колебаний, является модуляционная неустойчивость, а переход к хаосу происходит в основном через разрушение квазипериодического движения.

4) Впервые проведено подробное исследование сложной динамики при воздействии двухчастотного внешнего сигнала на кольцевой нелинейный резонатор, заполненный средой с кубичной фазовой нелинейностью. Обнаружено, что добавление второй компоненты внешнего сигнала с достаточно малой интенсивностью позволяет эффективно управлять динамикой системы.

Практическая значимость

Результаты исследований сложной динамики в распределенных резонаторах представляют практический интерес в связи с появившимися в последние годы перспективами использования хаотических сигналов в системах связи, радиолокации и др. Причем распределенные системы представляют в этом отношении особый интерес, поскольку способны генерировать высокоразмерные хаотические колебания, имеющие в некотором смысле большую сложность. Рассматриваемые в диссертации модели, в частности нелинейные брэгговские структуры, могут найти применение в качестве логических элементов в системах обработки информации, в системах чисто оптического переключения, ограничения мощности и др. Процессы образования и распространения солитонов представляют интерес для генерации ультракоротких импульсов. В особенности это относится к так называемым щелевым солито-нам, образующимся при солитонном туннелировании

Ряд результатов диссертации используется в учебном процессе (лекционные курсы «Нелинейные колебания» и «Нелинейные волны» для студентов факультета нелинейных процессов СГУ).

Апробация работы и публикации

Работа выполнена на кафедре нелинейной физики СГУ. Материалы диссертации докладывались на научных семинарах факультета нелинейных процессов СГУ и СО ИРЭ РАН, а также на II Международной конференции «Фундаментальные проблемы физики» (Саратов, 2000), Межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001), VIII и IX Всероссийских школах-семинарах «Физика и применение микроволн» (Звенигород, Моск. обл., 2001, 2003), IX, X, XI International Workshop and School ''Nonlinear Dynamics and Complex Systems", (Minsk, 2001, 2002, 2003), VI Международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2001), VIII Всероссийской конференции студентов физиков и молодых ученых (С.-Петербург, 2001), VI Всероссийской конференции студентов-радиофизиков (С.-Петербург, 2002), IX Всероссийской школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах», (Красновидово, Моск. обл., 2002), Международной конференции "Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations SYNCHRO-2002", (Саратов, 2002), XII Зимней школе-семинаре по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2003), XII Всероссийской школе «Нелинейные волны 2004» (Н. Новгород,

2004). Результаты работы неоднократно докладывались на ежегодных конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (1999-2003).

По теме диссертации опубликовано 27 работ, в том числе 8 статей в реферируемых научных журналах. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Результаты диссертации использовались при выполнении НИР, поддержанных грантами НОЦ «Нелинейная динамика и биофизика» ОЯБР № ЕБС-006, РФФИ №№ 99-02-16016, 02-02-16351, 02-02-17317, ФЦП «Интеграция» № А0057, индивидуальными грантами РФФИ для молодых ученых №№ 02-02-06315, 03-02-06257.

Личный вклад соискателя

Большинство работ по теме диссертации опубликовано в соавторстве с научным руководителем. Содержащиеся в этих работах аналитические результаты получены совместно с научным руководителем. Основные результаты численного моделирования получены лично соискателем с использованием им же разработанных комплексов программ. Физическая интерпретация результатов проводилась совместно.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения и содержит 162 страницы текста, включая 69 иллюстраций и список литературы из 107 наименований, на 7 страницах.

Положения, выносимые на защиту:

1) Модуляционная неустойчивость в окрестности критической частоты является абсолютной, когда диапазон неустойчивых возмущений захватывает область волновых чисел, для которых групповая скорость отрицательна; в противном случае МН является конвективной. При увеличении интенсивности несущей волны область неустойчивости расширяется, что приводит к смене характера МН с конвективной на абсолютную.

2) Режимы нелинейного туннелирования (распространение сигналов, частота которых лежит в линейной полосе непрозрачности) определяются характером модуляционной неустойчивости: квазилинейное туннели-рование, когда сигнал распространяется в виде стационарной волны с постоянной амплитудой, имеет место при конвективной МН, а соли-тонное туннелирование, когда сигнал в процессе распространения разбивается на солитоны — при абсолютной.

3) Неустойчивость режима периодических вынужденных колебаний в одномерных распределенных резонаторах, образованных отрезком нели-

нейной диспергирующей среды, в которой имеется МН, обусловлена либо переходом от конвективной МН к абсолютной вблизи критической частоты, либо превращением конвективной МН в глобальную за счет внешней обратной связи или отражений от границ. В обоих случаях по мере увеличения интенсивности воздействия происходит переход к хаосу, причем доминирующим является сценарий разрушения квазипериодического движения.

4) Эффекты фазовой кросс-модуляции при воздействии двухчастотного сигнала на кольцевой резонатор, заполненный средой с кубичной фазовой нелинейностью (система Икеды), открывают возможность эффективного управления динамикой амплитуды одной из спектральных компонент путем изменения амплитуды и частоты второй компоненты (при этом интенсивность второй компоненты мала). Можно добиться либо появления хаотических колебаний в тех условиях, когда при од-ночастотном воздействии поведение регулярное, либо наоборот, осуществить подавление хаоса.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели, научная новизна и положения, выносимые на защиту.

Глава 1 посвящена изучению нелинейной динамики модуляционной неустойчивости (МН) в простых моделях нелинейных сред с дисперсией. Выделены характерные ситуации, которые приводят к неустойчивости стационарного режима распространения сигнала и к появлению хаотических колебаний: (а) когда МН является абсолютной; (б) когда МН в безграничной среде является конвективной, однако в ограниченной системе присутствие внешней обратной связи (например, вызванной отражениями от границ) превращает ее в глобальную.1 Первая ситуация исследуется в разделе 1.1. В п 1.1.1 рассмотрена среда, которая описывается при помощи нелинейного уравнения Шредингера (НУШ)

с,

Здесь А — медленно меняющаяся комплексная амплитуда волны, V — групповая скорость, параметр дисперсии, — параметр нелинейности.

1 Следует оговориться, что в данном случае речь идет о неустойчивости возмущений, возникающих на фоне периодической волны с достаточно большой амплитудой. Мы определяем тип неустойчивости, исходя из характера эволюции этих малых возмущений на линейной стадии, т.е. пока их амплитуда мала по сравнению с амплитудой несущей волны. В этом случае можно пользоваться классическими определениями абсолютной и конвективной неустойчивости по существу без изменений.

Исследуется устойчивость монохроматического решения с амплитудой частотой О и волновым числом к, которые связаны нелинейным дисперсионным соотношением (ДС)

««АУ + и^/г-/?^. (2)

При этом предполагается, что выполнено необходимое условие МН > О (критерий Лайтхилла). Решена задача о характере МН (конвективная или абсолютная) и получен критерий

014.Г (3)

при выполнении которого неустойчивость является абсолютной. Таким образом, по мере увеличения амплитуды волны наблюдается нелинейный эффект смены характера неустойчивости с конвективной на абсолютную. Показано, что физически этот эффект обусловлен тем, что при увеличении амплитуды диапазон неустойчивых возмущений расширяется и начинает захватывать область волновых чисел, где групповая скорость отрицательна {к < кс = — У^Шр ). Это приводит к возникновению внутренней распределенной обратной связи. Поскольку принципиальную роль играет присутствие неустойчивых возмущений, распространяющихся навстречу друг другу» в реальных системах указанные эффекты будут наблюдаться в окрестности критической частоты (частоты отсечки).

В п 1.1.2 описывается численная схема решения уравнения (1), приведены результаты численного моделирования, подтверждающие теорию, развитую в п. 1.1.1. Рассматривается среда конечной протяженности, возбуждаемая на левой границе гармоническим сигналом с постоянными амплитудой и частотой . Показано, что в случае конвективной МН нарастающие возмущения сносятся вправо и покидают систему через правую границу, так что, в конце концов, по окончании переходного процесса устанавливается режим одночастотного распространения сигнала (рис. 1). Если же неустойчивость абсолютная, то возмущения непрерывно генерируются по всей длине системы, и в результате устанавливается режим автомодуляции, в котором амплитуда сигнала периодически осциллирует (рис.2). При достаточно большом превышении порога абсолютной неустойчивости колебания становятся хаотическими. Основным сценарием перехода к хаосу является разрушение квазипериодического движения (сценарий Рюэля-Такенса).

Ои ЫО 1М)1> 1М0 2040

ОВ 30« 1М0 1Л>0 ШО

Рис. I. Пространственно-временная динамика (а) и временная реализация в точке I = 10 (б) для уравнения (1) для случая конвективной МН ( V = 12, Д = О 3,

Рис.2. Аналогичные зависимости для случая абсолютной МН. V—14, Д, = 06, остальные параметры — те же, что и на рис. 1.

Определенным недостатком НУШ является постоянство параметра дисперсии и>", поскольку дисперсионная характеристика аппроксимируется параболой (см. (2)). Более реалистичной представляется ситуация, когда и" уменьшается при удалении от критической частоты. Поэтому в п 1.1.3 исследуется характер МН для комплексного нелинейного уравнения Клейна-Гордона

Показано, что в данном случае последовательное увеличение амплитуды приводит вначале к переходу от конвективной неустойчивости к абсолютной, а затем — обратно к конвективной. Это обусловлено уменьшением параметра дисперсии с ростом амплитуды. Более того, если частота сигнала достаточно далеко отстоит от критической частоты, может сложиться ситуация, когда абсолютная неустойчивость вообще возникать не будет.

для которого нелинейное ДС имеет вид

(5)

В п. 1.1.4 развитая теория применяется для интерпретации эффекта нелинейного туннелирования, которое было впервые изучено Ньюэллом [А.С. Newell, 1978]. Оно заключается в том, что благодаря зависимости критической частоты от амплитуды, распространение сигнала возможно даже в том случае, когда его частота лежит в линейной полосе непрозрачности, если интенсивность достаточно велика. С другой стороны, при этом выполнены условия МН, так что решение в виде туннелирующей волны, вообще говоря, неустойчиво. Ньюэлл выделил случаи квазилинейного туннелирования, когда сигнал распространяется в виде стационарной волны с постоянной амплитудой, а также собственно нелинейного или солитонного туннелирования, когда он в процессе распространения разбивается на так называемые щелевые солитоны (gap solitons). В п 1.1.4 исследуется динамика МН в случае, когда частота сигнала лежит в полосе непрозрачности (w < Ve(0)). Показано, что квазилинейное туннелирование имеет место при конвективной МН, а солитонное — при абсолютной. Типичным сценарием является переход от непропускания к солитонному туннелированию, а затем — к квазилинейному по мере увеличения амплитуды входного сигнала.

В п 1.1.5 полученные результаты обобщаются на случай периодических брэгговских структур. Рассматривается периодическая система, состоящая из чередующихся слоев нелинейного диэлектрика с различными показателями преломления, зависящими от напряженности поля:

Нелинейность считается кубичной (керровской). Используется модель, основанная на связанных уравнениях для медленно меняющихся амплитуд прямой и встречной волн. Численное моделирование показывает, что наблюдаются все эффекты, которые были обнаружены в п 1.1.3, 1.1.4 для нелинейного уравнения Клейна-Гордона (4): переходы от конвективной МН к абсолютной и наоборот, солитонное туннелирование и т.д. На основании полученных результатов дана интерпретация результатов работ [D.E. Pelinovsky et al., 2002], где была изучена возможность использования такой структуры для «чисто оптического» ограничения, основанная на взаимной компенсации нелинейных добавок к показателю преломления в соседних слоях.

В последующих разделах Главы 1 рассматривается противоположная ситуация, когда критерий (3) не выполнен и МН является конвективной, однако имеется внешняя обратная связь, превращающая неустойчивость в глобальную. Исследуемые системы можно квалифицировать как распределенные нелинейные резонаторы под внешним воздействием. Раздел 1.2 посвящен динамике кольцевого резонатора, заполненного средой с МН. Система описывается НУШ (1) с запаздывающим граничным условием

(6)

A(0,t)^Aue~^ + R A (l,t- г),

(7)

где — комплексный коэффициент ОС, — время запаздыва-

ния. Проведен теоретический анализ неустойчивости стационарных режимов колебаний на частоте воздействия. Показано, что когда усиление сателлитов за счет МН превосходит потери, одночастотный режим становится неустойчивым и возникает автомодуляция. Проведено численное моделирование сценариев перехода к хаосу при увеличении интенсивности входного сигнала и при увеличении глубины обратной связи. В обоих случаях основным сценарием является разрушение квазипериодического движения. Также проведено численное моделирование в случае слабой дисперсии, когда динамика аналогична динамике известной модели Икеды [К. Ikeda, 1979], а переход к хаосу происходит по сценарию Фейгенбаума.

В разделе 1.3 исследуется динамика МН в одномерном резонаторе, который представляет собой отрезок нелинейной диспергирующей среды конечной протяженности с отражениями на границах. Модель описывается системой связанных НУШ

(о)

с граничными условиями

ддао = Ае"< + Д4.( 0.0, = ДА (0,0. '

где R0J — комплексные коэффициенты отражений. В п. 1.3.2 теоретически анализируются' стационарные режимы колебаний и условия возникновения автомодуляции. Механизм автомодуляции качественно аналогичен ситуации, рассмотренной для кольцевого нелинейного резонатора в разд. 1.2. Однако в данном случае взаимодействие прямой и встречной волн может существенно изменить условия МН. Так, неустойчивость связанных волн возможна даже тогда, когда каждая из них в отдельности устойчива, т.е. , и критерий

Лайтхилла не выполнен. В п. 1.3.3 проводится численное моделирование сценариев перехода к хаосу. Здесь также результаты имеют много общего с результатами разд. 1.2, однако сильнее выражены эффекты мультистабиль-ности (при сопоставимых значениях интенсивности входного сигнала и добротности резонатора). Это вызвано тем, что сигнал в данном случае распространяется в нелинейной среде как в прямом, так и во встречном направлении, и нелинейный набег фазы, являющийся причиной мультистабильности, оказывается больше. Таким образом, наблюдать переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения, как правило, не удается из-за жестких переходов с одной ветви передаточной характеристики резонатора на другую.

В Главе 2 рассматривается нелинейная динамика распределенного резонатора, образованного отрезком радиотехнической линии передачи (ЬС-цепочки), содержащей элементы, заряд на которых нелинейным образом зависит от приложенного напряжения. Рассматриваются цепочки как с квадратичной, так и с кубичной нелинейностью. С одного конца цепочка возбуждается гармоническим сигналом постоянной амплитуды, а с другого нагружена на активное сопротивление. Приведены основные уравнения (раздел 2.1). проводится теоретический анализ линейных колебаний цепочки (раздел 2.2). В разделе 2 3 проводится теоретическое исследование МН. Показано, что для случая квадратичной нелинейности МН будет иметь место для высокочастотных волн, а в случае кубичной нелинейности наличие МН определяется знаком параметра нелинейности.

В разделе 2.4 приведены результаты численного моделирования нелинейной динамики цепочки. Подробно изучены два характерных случая: цепочка, согласованная в области низких частот и цепочка, рассогласованая во всем диапазоне. Исследованы процессы перехода к хаосу по мере увеличения амплитуды входного сигнала при различных значениях частоты. Показано, что для согласованной цепочки с квадратичной нелинейностью при малых значениях частоты переход к хаосу вызван тем, что высшие гармоники сигнала, попадая в область частот, где отражения велики, приводят к жесткому возбуждению большого числа мод резонатора. В области высоких частот, когда имеет место МН, наблюдается мягкое возникновение автомодуляции и переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. В промежуточной области наблюдается конкуренция этих сценариев. Для рассогласованной цепочки переход через разрушение квазипериодики происходит во всем диапазоне частот, так как в этом случае проявляется МН, обусловленная нелинейным взаимодействием прямой и отраженной волн. Также обнаружены характерные особенности динамики вблизи критической частоты, ранее изученные в гл. 1: эффекты смены характера МН с конвективной на абсолютную и обратно, а также режимы солитонного туннелирования.

В области высоких частот в обоих случаях возникновение сложной динамики связано с возбуждением высокодобротной моды, лежащей вблизи

частоты отсечки. Наблюдается образование локализованных долгоживущих пространственно-временных структур — бризеров, которые занимают всего несколько ячеек цепочки, причем амплитуда колебаний в них значительно превышает амплитуду в остальной части цепочки. С течением времени эти структуры медленно дрейфуют вдоль системы.

В Главе 3 аналогичные эффекты изучаются на примере нелинейных диэлектрических резонаторов под периодическим внешним воздействием. Для численного моделирования используется один из наиболее мощных методов современной электродинамики: метод конечных разностей во временной области (FDTD), основанный на прямом численном решении уравнений Максвелла. В разделе 3.1. дается описание метода FDTD, приводится численная схема, использованная для компьютерного моделирования. В разделе 3.2 описаны результаты численного моделирования для однородной двумерной диэлектрической структуры, на одну из границ которой падает монохроматический гауссов пучок. Нелинейность считается кубичной (керровской), и зависимость показателя преломления от интенсивности излучения задается в виде (6). Обнаружено, что по мере роста интенсивности внешнего воздействия режим стационарного распространения излучения становится неустойчивым и сменяется хаотическими колебаниями.

Однако расчеты показывают, что для достижения хаотических режимов требуются чрезвычайно высокие интенсивности внешнего сигнала, когда нелинейная добавка к показателю преломления составляет более 10% по сравнению с линейной частью, что представляется мало реалистичным. Поэтому в разделе 3.3 рассматривается периодическая структура, составленная из чередующихся слоев двух различных нелинейных диэлектриков. Как показано в гл. 1, в этом случае МН может быть абсолютной, если частота сигнала лежит вблизи частоты отсечки. Выполнен анализ распространения волн в линейной системе, сделаны оценки порога неустойчивости по методике, изложенной в п. 1.1.5. Приведены результаты численного моделирования, которые хорошо согласуются с теоретическими представлениями, развитыми в гл. 1. Наблюдаются описанные в гл. 1 эффекты перехода от конвективной МН к абсолютной и наоборот, режимы солитонного туннелирования, переход к хаосу по мере увеличения интенсивности падающего излучения.

В Главе 4 изучена сложная динамика кольцевого резонатора, заполненного средой с кубичной фазовой нелинейностью, при бигармоническом воздействии. В отличие от разд. 1.2, считается, что дисперсией можно пренебречь, и эффекты МН отсутствуют. В случае гармонического воздействия при ряде допущений динамика системы может быть описана известным отображением Икеды [К. Ikeda, 1979]

динамика которого хорошо изучена. Здесь Д, — амплитуда сигнала после п-ного прохода по резонатору, Д, — постоянная амплитуда внешнего сигнала, Д = рехр(ур) — комплексный параметр ОС.

В диссертации рассмотрен случай двухчастотного воздействия. Показано, что добавление второй компоненты входного сигнала открывает возможность управления динамикой выходного сигнала: варьируя амплитуду и частоту второй компоненты входного сигнала, можно добиться либо появления хаотических колебаний в тех условиях, когда при гармоническом воздействии поведение регулярное, либо наоборот, осуществить подавление хаоса. В разделе 4.2 получена система связанных отображений Икеды

4*+1 =4)1 + РЛ" ехр[»(|Л"Г + 2|Л12 +

; (Ю)

Л*" = А* + М* ехр[г(|Л"Г + 2|Л"Г + V,)],

описывающая динамику амплитуд спектральных компонент • Здесь Дц, Ац2 — постоянные амплитуды компонент воздействующего сигнала; считается, что добротность резонатора на обеих частотах одинакова. В разделе 4.3 теоретически анализируются стационарные режимы колебаний, которым соответствуют неподвижные точки отображения (10), и исследуется их устойчивость. Построены линии бифуркации Неймарка, касательной бифуркации и бифуркации удвоения периода на плоскости управляющих параметров.

В разделе 4.4. нелинейная динамика системы связанных отображений (10) исследуется численно в широком диапазоне управляющих параметров. При этом в основном рассматривается случай, когда амплитуда второй компоненты входного сигнала достаточно мала и может рассматриваться как управляющее воздействие. Построены карты динамических режимов на плоскости управляющих параметров (рис. 3). По мере увеличения возникают области квазипериодического движения, которые постепенно увеличиваются в размерах. Таким образом, наблюдается новый (по сравнению со случаем одночастотного воздействия) тип неустойчивости, который вызван эффектами фазовой кросс-модуляции, т.е. нелинейного взаимодействия различных спектральных компонент входного сигнала. Переход к хаосу возможен не только по сценарию Фейгенбаума, но и через разрушение квазипериодического движения. Можно добиться либо появления хаотических колебаний в тех условиях, когда отображение (9) демонстрирует регулярную динамику, либо наоборот, осуществить подавление хаоса.

Рис. 3. Карты динамических режимов системы связанных отображение Икеды (10) на плоскости параметров (Д,,,^) > построенные при р = 0.5, <рг = 0, Д, = 0.0 (а), 0.4 (б), 0.6 (в), 0.8 (в). Цифрами обозначены области циклов различных периодов, Ск — области хаотического движения. 0 — области квазипериодики, пунктир—линия перехода к хаосу через разрушение квазипериодического движения, штриховая линия — переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума. Около языков синхронизации поставлены -отвечающие им числа вращения.

Осиовные выводы и результаты.

1) Для среды, которую можно описать с помощью нелинейного уравнения Шрёдингера, впервые получен аналитический критерий характера неустойчивости и обнаружено, что по мере увеличения амплитуды внешнего сигнала наблюдается нелинейный эффект смены характера модуляционной неустойчивости (МН) с конвективной на абсолютную. Этот эффект имеет место в окрестности критической частоты и обусловлен расширением диапазона неустойчивых возмущений в область встречных волн, что приводит к возникновению внутренней распределенной обратной связи. Проведено чис-

ленное моделирование, которое полностью согласуется с теоретическими результатами. Показано, что при увеличении амплитуды наблюдается переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения.

2) Для более реалистичной модели, учитывающей уменьшение дисперсии по мере удаления от критической частоты (комплексное нелинейное уравнение Клейна-Гордона), теоретически и численно обнаружено, что при слишком большой интенсивности внешнего сигнала происходит обратный переход от абсолютной МН к конвективной.

3) Впервые выявлена связь режимов нелинейного туннелирования с характером МН, и показано, что квазилинейное туннелирование, когда сигнал распространяется стационарным образом в виде волны с постоянной амплитудой, имеет место при конвективной МН, а солитонное туннелирование, когда сигнал разбивается на последовательность солитоноподобных импульсов — при абсолютной.

4) Изучены описанные выше явления в периодических нелинейных (брэгговских) структурах. Рассмотрена простая одномерная модель, описывающая динамику медленно меняющихся амплитуд связанных прямой и встречной волн, а также более реалистичная двумерная модель, основанная на прямом численном интегрировании уравнений Максвелла методом FDTD. Показано, что результаты численного моделирования достаточно хорошо объясняются на основе развитых выше теоретических представлений. Исследование сложной динамики в подобной системе методом FDTD проведено впервые.

5) Исследованы явления автомодуляции и перехода к хаосу в моделях распределенных нелинейных резонаторов, заполненных средой с конвективной МН, когда присутствует какой-либо механизм внешней обратной связи, превращающий неустойчивость в глобальную. Рассмотрены модель кольцевого резонатора, которая описывается НУШ с запаздыванием, и модель одномерного резонатора с отражениями на границах, которая описывается системой связанных НУШ для прямой и отраженной волн. Обнаружено, что при увеличении амплитуды воздействия происходит переход к хаосу, причем основным механизмом является либо разрушение квазипериодического движения, либо жесткий переход, связанный с мультистабильностью, которая обусловлена сложным видом передаточной характеристики резонатора.

6) Подробно изучена сложная динамика распределенных нелинейных резонаторов, образованных отрезками нелинейной радиотехнической линии передачи ^^цепочки) с различными типами нелинейности, которые на одной из границ возбуждаются внешним гармоническим сигналом. Рассмотрены случаи линии, согласованной в области низких частот, и сильно рассогласованной линии. Показано, что для согласованной цепочки с квадратичной нелинейностью при малых значениях частоты переход к хаосу вызван тем, что высшие гармоники сигнала, попадая в область частот, где отражения ве-

лики, приводят к жесткому возбуждению большого числа мод резонатора. В области высоких частот, когда имеет место МН, наблюдается мягкое возникновение автомодуляции и переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. В промежуточной области наблюдается конкуренция этих сценариев. Для рассогласованной цепочки переход через разрушение квазипериодики происходит во всем диапазоне частот, так как в этом случае проявляется МН, обусловленная нелинейным взаимодействием прямой и отраженной волн. Также обнаружены характерные особенности динамики вблизи критической частоты: эффекты смены характера МН с конвективной на абсолютную и обратно, а также режимы солитонного туннелирования.

Для цепочки с кубичной нелинейностью в основном доминируют жесткие переходы к хаосу. В случае «отрицательной» нелинейности, когда емкость нелинейного элемента с ростом напряжения уменьшается, в области низких частот происходит возбуждение большого числа уединенных волн различной полярности. Переход к хаосу вызван сложным неупругим взаимодействием этих волн между собой и с осциллирующими хвостами (так называемая «солитонная турбулентность»). В случае «положительной» нелинейности, когда емкость с ростом напряжения увеличивается, переход к хаосу в области низких частот также происходит жестко, однако образования соли-тонов при этом не происходит. В области высоких частот в обоих случаях возникновение сложной динамики связано с возбуждением высокодобротной моды, лежащей вблизи частоты отсечки. Наблюдается образование локализованных долгоживущих пространственно-временных структур — бризеров, которые занимают всего несколько ячеек цепочки, причем амплитуда колебаний в них значительно превышает амплитуду в остальной части цепочки. С течением времени возмущения медленно дрейфуют вдоль системы.

7) Изучена динамика кольцевого нелинейного резонатора, заполненного средой с кубичной фазовой нелинейностью, при двухчастотном воздействии в случае, когда МН отсутствует. Получена система связанных отображений Икеды, описывающая поведение медленно меняющихся амплитуд спектральных компонент. Показано, что добавление второй компоненты входного сигнала дает возможность управления динамикой излучения: варьируя амплитуду и частоту второй компоненты, можно добиться либо появления хаотических колебаний в тех условиях, когда при гармоническом воздействии поведение регулярное, либо наоборот, осуществить подавление хаоса. Наблюдается новый тип неустойчивости, который вызван эффектами фазовой кросс-модуляции, т.е. нелинейного взаимодействия различных спектральных компонент. Обнаружено, что переход к хаосу может происходить не только по сценарию Фейгенбаума, как в одиночном отображении Икеды, но и через разрушение квазипериодического движения.

Основные публикации по теме диссертации:

1. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Переход к хаосу в нелинейной радиотехнической линии передачи // Изв. РАН. Сер. физическая. 2000. Т.64, № 12. С. 2391-2396.

2. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Хаотические колебания в нелинейной радиотехнической линии передачи // Изв. вузов. Радиофизика. 2001 Т. 44, № 8. С. 691-699.

3. Balyakin A.A. Ryskin N.M. Chaotic Oscillations in Nonlinear Spatially-Extended Resonators // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2001 V. 4, № 4. P. 358-363.

4. Балякин А.А., Рыскин KM. Переход к хаосу в нелинейном кольцевом резонаторе при возбуждении многочастотным сигналом // Изв. РАН. Сер. физическая, 2001. Т. 65. №12. С. 1741-1744.

5. Балякин А.А, Рыскин Н.М Моделирование сложной динамики в нелинейном диэлектрическом резонаторе методом конечных разностей во временной области // Изв. РАН. Сер. физическая, 2002. Т. 66, № 12. С. 1768-1772.

6. Балякин А А. Исследование хаотической динамики кольцевого нелинейного резонато-

ра при двухчастотном внешнем воздействии // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2003. Т. 11, № 4. С. 3-15.

7. Балякин А.А., Рыскин КМ. Смена характера модуляционной неустойчивости вблизи критической частоты // Письма в ЖТФ, 2004. Т. 30, № 5. С. 6-13.

8. Balyakin A.A, Ryskin N.M. Modulation instability in a nonlinear dispersive medium near cut-off frequency // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2004. V. 7, No. 1. P. 34-42.

9. Балякин А.А. Хаотические колебания в распределенном нелинейном резонаторе при бигармоническом воздействии // В сб. «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 99». Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1999. С. 91.

10. Балякин А.А. Переход к хаосу в нелинейной радиотехнической линии передачи // В сб. «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2000». Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000. С. 31 -34.

11. Балякин А.А. Хаотические колебания в нелинейном кольцевом резонаторе при бигар-моническом воздействии // В сб. «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2001». Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2001. С. 58-61.

12. Балякин А.А. Моделирование сложной динамики в нелинейном диэлектрическом резонаторе методом конечных разностей // В сб. «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2002». Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. С. 26-29.

13. Балякин А.А. О модуляционной неустойчивости вблизи частоты отсечки // В сб. «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2003». Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003. С. 242-245.

14. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Переход к хаосу в нелинейной радиотехнической линии передачи // Труды II Международной конференции «Фундаментальные проблемы физики», Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж» 2000. С. 31-32.

15. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Переход к хаосу в нелинейной радиотехнической линии передачи // Труды VIII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах». Т. 1. М.: МГУ, 2000. С. 27-28.

16. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Динамика нелинейного кольцевого резонатора при двух-частотном воздействии // В сб. «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ. Материалы конференции». Саратов, Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2001. С. 11-13.

17. Балякин А.А. Переход к хаосу в нелинейной радиотехнической линии передачи // Седьмая Всероссийская научная конференция студентов физиков и молодых ученых «ВНКСФ-7». Сборниктезисовдокладов. Санкт-Петербург, 2001. С. 692-694.

18. БалякинА.А., Рыскин Н.М. Динамика нелинейного кольцевого резонатора, возбуждаемого двухчастотным сигналом // Труды VIII Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн». Т. 1. М.: МГУ, 2001. С. 76-77.

19. Balyakin A.A., Ryskin N.M. Complex dynamics of a non-linear ring cavity driven by two-frequency external signal // VI International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation. Saratov 2001. The Book ofAbstracts. P. 16-17

20. Балякин А.А. FDTD метод: моделирование сложной динамики в нелинейном диэлектрическом резонаторе // VI Всероссийская научная конференция студёнтов-радиофизиков. Тезисы докладов. СПб, 2002. С. 8-9.

21. Балякин А.А. Сложная динамика нелинейного кольцевого резонатора под внешним воздействием // Материалы Восьмой Всероссийской научной конференции студентов физиков и молодых ученых «ВНКСФ-8». Екатеринбург, 2002. С. 638-639.

22. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Моделирование сложной динамики в нелинейном диэлектрическом резонаторе методом конечных разностей во временной области // Труды DC Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах». Т. 1. М.: МГУ, 2002. С. 35-36.

23. Balyakin A. A., Ryskin N.M. Non-stationary and chaotic oscillations in a non-linear dielectric resonator // "SYNCHR0'2002"Conference Program and Book ofAbstracts. Saratov 2002, P. 17.

24. Балякин А.А. Сложная динамика нелинейного диэлектрического резонатора под внеш* ним воздействием // Сборник тезисов DC Всероссийской конференции студентов-физиков и молодых ученых. Екатеринбург-Красноярск, 2003, Изд-во АСФ России. Т. 2. С. 907-908.

25. Балякин А.А., Рыскин Н.М Численное моделирование распространения электромагнитной волны в нелинейной диэлектрической структуре методом FDTD // ХП зимняя школа-семинар по СВЧ электронике и радиофизике. Материалы школы-семинара. Саратов, 2003. С. 38-39.

26. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Нелинейная динамика модуляционной неустойчивости волн в кубично-нелинейной среде с дисперсией // Труды IX Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн». М.: МГУ, 2003. С. 92-93.

27. Балякин А.А. Характер модуляционной неустойчивости вблизи критической частоты // Нелинейные волновые процессы. Конференция молодых ученых. Тезисы докладов. Н. Новгород, 2004. С. 16.

о*

Балякин Артем Александрович

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ И ХАОС В РАДИОФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С МОДУЛЯЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТЬЮ

Автореферат

Ответственный за выпуск — к.ф.-м.н., ст. научн. сотр. Соколов Д.В.

Заказ № 339. Подписано к печати 14.07.2004. Объем 1.16 усл.печ.л. Тираж 100 экз. Изд-во ГосУНЦ «Колледж», ЛР № 020773 от 15.05.98

Отпечатано на ризографе изд-ва ГосУНЦ «Колледж» 410012, Саратов, Астраханская, 83 тел.: (845-2) 52-38-64

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Балякин, Артем Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА МОДУЛЯЦИОННОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ С ДИСПЕРСИЕЙ.

1.1. Нелинейная динамика модуляционной неустойчивости в окрестности критической частоты.

1.1.1. Нелинейный эффект смены характера МН. Теория.

1.1.2. Численное моделирование нелинейной динамики МН (нелинейное уравнение Шрёдингера).

1.1.3. Численное моделирование нелинейной динамики МН (нелинейное уравнение Клейна-Гордона).

1.1.4. Влияние характера модуляционной неустойчивости на эффекты нелинейного туннелирования.

1.1.5. Нелинейная динамика МН в периодической брэгговской структуре.

1.2. Нелинейная динамика МН в кольцевом нелинейном резонаторе.

1.2.1. Модель кольцевого нелинейного резонатора.

1.2.2. Анализ условий неустойчивости стационарного режима.

1.2.3. Результаты численного моделирования.

1.3. Нелинейная динамика МН при наличии отражений от границ.

1.3.1. Модель и основные уравнения.

1.3.2. Стационарные режимы колебаний и их устойчивость.

1.3.3. Численное моделирование нелинейной динамики одномерного резонатора

1.4. Выводы.

ГЛАВА 2. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА В НЕЛИНЕЙНОЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ.

2.1. Модель и основные уравнения.

2.2. Собственные частоты линейных колебаний.

2.3. Теоретический анализ модуляционной неустойчивости в нелинейных цепочках

2.3.1. Цепочка с квадратичной нелинейностью.

2.3.2. Цепочка с кубичной нелинейностью.

2.4. Результаты численного моделирования.

2.4.1. Цепочка с квадратичной нелинейностью.

2.4.2. Цепочка с кубичной нелинейностью.

2.5. Выводы.

ГЛАВА 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ДИНАМИКИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРАХ МЕТОДОМ

КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ ВО ВРЕМЕННОЙ ОБЛАСТИ.

3.1. Метод конечных разностей во временной области (FDTD).

3.2. Сложная динамика нелинейного диэлектрического резонатора.

3.3. Сложная динамика в периодической нелинейной диэлектрической структуре.

3.3.1. Постановка задачи.

3.3.2. Анализ дисперсионного соотношения для линейной системы.

3.3.3. Результаты численного моделирования.

3.4. Выводы.

ГЛАВА 4. СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА КОЛЬЦЕВОГО НЕЛИНЕЙНОГО РЕЗОНАТОРА (СИСТЕМЫ ИКЕДЫ) ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ДВУХЧАСТОТНОГО СИГНАЛА.

4.1. Введение и постановка задачи.

4.2. Вывод системы связанных отображений Икеды.

4.3. Стационарные режимы колебаний и их устойчивость.

4.4. Результаты численного моделирования.

4.5. Выводы.

Введение диссертация по физике, на тему "Нелинейные волны и хаос в радиофизических системах с модуляционной неустойчивостью"

Актуальность исследуемой проблемы. Изучение нелинейных явлений, включая режимы динамического хаоса, в распределенных волновых системах в настоящее время относится к числу наиболее актуальных направлений в современной радиофизике и нелинейной динамике [1-4]. Очевидна связь этих исследований с такими фундаментальными проблемами, как возникновение турбулентности и образование диссипативных структур. Однако на сегодняшний день последовательная теория нелинейной динамики распределенных систем отсутствует, и по сравнению с системами с небольшим числом степеней свободы они изучены все еще достаточно слабо, хотя именно они представляют наибольший интерес.

Следует отметить, что в основном изучается нелинейная динамика в так называемых активных средах, в которых присутствует усиление малых возмущений за счет развития различных волновых неустойчивостей [2-6]. Однако не меньший интерес представляет исследование подобных явлений в нелинейных средах, в которых усиления нет, т.е. их следует отнести к пассивным. При определенных условиях интенсивный регулярный сигнал, генерируемый внешним источником, в процессе распространения в пассивной нелинейной среде может обогащаться новыми независимыми спектральными компонентами и, в частности, становиться хаотическим. Выяснение механизмов, за счет которых это происходит, определение универсальных особенностей сложного поведения, типичных сценариев перехода к хаосу представляет принципиальный интерес для целого ряда разделов физики, в первую очередь — для радиофизики. Отметим, что на языке теории колебаний данную ситуацию следует ассоциировать не с автоколебаниями, а, скорее, с вынужденными колебаниями.

Механизмами, приводящими к сложной динамике в пассивных средах, являются так называемые вторичные неустойчивости, которые развиваются на фоне распространяющихся волн достаточно большой постоянной амплитуды. Среди них следует выделить модуляционную неустойчивость (МН) [2,4,7-11], которая играет важную роль в гидродинамике, радиофизике, нелинейной оптике, физике плазмы и др. и заключается в том, что периодическая волна, распространяющаяся в нелинейной диспергирующей среде, оказывается неустойчивой относительно крупномасштабных пространственных и/или временных модуляций. Развитие МН обычно приводит на сильно нелинейной стадии к образованию солитонов огибающей. Хотя изучению этих явлений посвящено большое количество работ, в них, как правило, идет речь о неустойчивости в безграничных и консервативных средах. В то же время, для ответа на поставленные выше вопросы принципиальный интерес представляет рассмотрение ограниченных в пространстве систем с учетом внешнего источника и диссипации (например, за счет излучения энергии через границы). Отметим, что отрезок нелинейной среды конечной протяженности, возбуждаемый на границе внешним сигналом, можно трактовать как распределенный нелинейный резонатор под внешним воздействием. Поскольку нелинейный неавтономный осциллятор давно является одной из эталонных моделей нелинейной динамики систем с конечным числом степеней свободы [1,2,4], можно ожидать, что рассматриваемая задача должна играть такую же важную роль для распределенных сисt тем.

Научная новизна.

Впервые получен критерий, определяющий характер МЫ (конвективная или абсолютная) в безграничной нелинейной среде с дисперсией. Обнаружен нелинейный эффект смены характера неустойчивости с конвективной на абсолютную при увеличении интенсивности входного сигнала. Показано, что этот эффект связан с появлением неустойчивых возмущений, групповая скорость которых отрицательна, т.е. направлена навстречу несущей волне.

Впервые выявлена связь различных режимов солитонного туннелирования с характером модуляционной неустойчивости. Показано, что квазилинейное туннелирова-ние связано с конвективной неустойчивостью, а солитонное — с абсолютной.

Впервые изучены переходы к хаосу в системах типа одномерных распределенных резонаторов, заполненных нелинейной диспергирующей средой и возбуждаемых на одной из границ гармоническим внешним сигналом. Рассмотрены как системы, описываемые известными модельными уравнениями теории нелинейных волн, так и реалистичные модели радиофизических нелинейных сред (отрезок нелинейной радиотехнической линии передачи, периодическая нелинейная диэлектрическая структура). Показано, что основным механизмом, приводящим к неустойчивости режима периодических колебаний, является модуляционная неустойчивость, а переход к хаосу происходит в основном через разрушение квазипериодического движения.

Впервые проведено подробное исследование сложной динамики при воздействии двухчастотного внешнего сигнала на кольцевой нелинейный резонатор, заполненный средой с кубичной фазовой нелинейностью. Показано, что добавление второй компоненты внешнего сигнала с достаточно малой интенсивностью позволяет эффективно управлять динамикой системы. Варьируя амплитуду и частоту второй компоненты, можно добиться либо появления хаотических колебаний в тех условиях, когда при одночастотном воздействии поведение регулярное, либо наоборот, осуществить подавление хаоса.

Практическая значимость. Результаты исследований сложной динамики в распределенных резонаторах представляют практический интерес в связи с появившимися в последние годы перспективами использования хаотических сигналов в системах связи, радиолокации и др. Причем распределенные системы представляют в этом отношении особый интерес, поскольку способны генерировать высокоразмерные хаотические колебания, имеющие в некотором смысле большую сложность. Рассматриваемые в диссертации модели, в частности нелинейные брэгтовские структуры, могут найти применение в качестве логических элементов в системах обработки информации, в системах чисто оптического переключения, ограничения мощности и др. Процессы образования и распространения солитонов представляют интерес для генерации ультракоротких импульсов. В особенности это относится к так называемым щелевым солитонам, образующимся при солитонном туннелировании.

Апробация работы и публикации. Работа выполнена на кафедре нелинейной физики СГУ. Материалы диссертации докладывались на научных семинарах факультета нелинейных процессов СГУ и СО ИРЭ РАН, а также на II Международной конференции «Фундаментальные проблемы физики» (Саратов, 2000), Межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001), VIII и IX Всероссийских школах-семинарах «Физика и применение микроволн» (Звенигород, Моск. обл., 2001,2003), DC, X, XI International Workshop and School "Nonlinear Dynamics and Complex Systems", (Minsk, 2001, 2002, 2003), VI Международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2001), VIII Всероссийской конференции студентов физиков и молодых ученых (С.-Петербург, 2001), VI Всероссийской конференции студентов-радиофизиков (С.-Петербург, 2002), IX Всероссийской, школе-семинаре «Волновые явления в неоднородных средах», (Красновидово, Моск. обл., 2002), Международной конференции "Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations SYNCHRO-2002", (Саратов, 2002), XII Зимней школе-семинаре по СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 2003), XII Всероссийской школе «Нелинейные волны 2004» (Н. Новгород, 2004). Результаты работы неоднократно докладывались на ежегодных конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (1999-2003). По теме диссертации опубликованы работы [81-107].

Результаты диссертации использовались при выполнении грантов CRDF (№ REC-006), РФФИ (№№ 99-02-16016, 02-02-16351, 02-02-17317), ФЦП «Интеграция» (№ А0057), индивидуальных грантов РФФИ для молодых ученых (№№ 02-02-06315, 03-02-06257), грант поддержки научных школ Минпромнауки РФ (НШ-1250.2003.2)

Личный вклад соискателя. Большинство работ по теме диссертации опубликовано в соавторстве с научным руководителем диссертации. Содержащиеся в этих работах аналитические результаты получены совместно с научным руководителем. Основные результаты численного моделирования получены лично соискателем с использованием им же разработанных комплексов программ. Физическая интерпретация результатов проводилась совместно.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав и Заключения, содержит 162 страницы текста, включая 69 рисунков, 3 таблицы и список литературы из 107 наименований на 7 страницах.

Заключение диссертации по теме "Радиофизика"

4.5. Выводы

В настоящей главе исследована сложная динамика кольцевого нелинейного резонатора, заполненного средой с кубичной фазовой нелинейностью, при многочастотном воздействии. Получена система связанных отображений Икеды, описывающая поведение амплитуд спектральных составляющих. Установлено, что при многочастотном внешнем воздействии наблюдается качественное изменение динамики излучения, прошедшего через резонатор. Появляется возможность управления динамикой выходного сигнала: варьируя амплитуду и частоту второй компоненты входного сигнала, можно добиться либо появления хаотических колебаний в тех условиях, когда при гармоническом воздействии поведение регулярное, либо наоборот, осуществить подавление хаоса. Наблюдается новый тип неустойчивости, который вызван эффектами фазовой кросс-модуляции, т.е. нелинейного взаимодействия различных спектральных компонент. Соответственно, переход к хаосу может происходить не только по сценарию Фей-генбаума, как в одиночном отображении Икеды (4.1), но и через разрушение квазипериодического движения. Полученные результаты представляют как теоретический, так и практический интерес в связи с разнообразными перспективами использования кольцевых нелинейных резонаторов [36,37,74,75].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей диссертационной работе проведено последовательное изучение явлений сложной динамики при распространении волн в пассивных нелинейных средах с границами. Подобные системы представляют собой распределенные нелинейные резонаторы под внешним воздействием, поэтому рассматриваемые задачи играют для распределенных систем такую же важную роль, что и задача о сложной динамике неавтономного нелинейного осциллятора для систем с малым числом степеней свободы. Основные научные результаты заключаются в следующем:

1) Для среды, которую можно описать с помощью нелинейного уравнения Шрё-дингера, впервые получен аналитический критерий характера неустойчивости и обнаружено, что по мере увеличения амплитуды внешнего сигнала наблюдается нелинейный эффект смены характера модуляционной неустойчивости (МН) с конвективной на абсолютную. Этот эффект имеет место в окрестности критической частоты и обусловлен расширением диапазона неустойчивых возмущений в область встречных волн, что приводит к возникновению внутренней распределенной обратной связи. Проведено численное моделирование, которое полностью согласуется с теоретическими результатами. Показано, что при увеличении амплитуды наблюдается переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения.

6) Подробно изучена сложная динамика распределенных нелинейных резонаторов, образованных отрезками нелинейной радиотехнической линии передачи (ZC-цепочки) с различными типами нелинейности, которые на одной из границ возбуждаются внешним гармоническим сигналом. Рассмотрены случаи линии, согласованной в области низких частот, и сильно рассогласованной линии. Показано, что для согласованной цепочки с квадратичной нелинейностью при малых значениях частоты переход к хаосу вызван тем, что высшие гармоники сигнала, попадая в область частот, где отражения велики, приводят к жесткому возбуждению большого числа мод резонатора. В области высоких частот, когда имеет место МН, наблюдается мягкое возникновение автомодуляции и переход к хаосу через разрушение квазипериодического движения. В промежуточной области наблюдается конкуренция этих сценариев. Для рассогласованной цепочки переход через разрушение квазипериодики происходит во всем диапазоне частот, так как в этом случае проявляется МН, обусловленная нелинейным взаимодействием прямой и отраженной волн. Также обнаружены характерные особенности динамики вблизи критической частоты, ранее изученные в гл. 1: эффекты смены характера МН с конвективной на абсолютную и обратно, а также режимы солитонного туннелирования.

В области высоких частот в обоих случаях возникновение сложной динамики связано с возбуждением высокодобротной моды, лежащей вблизи частоты отсечки. Наблюдается образование локализованных долгоживущих пространственно-временных структур — бризеров, которые занимают всего несколько ячеек цепочки, причем амплитуда колебаний в них значительно превышает амплитуду в остальной части цепочки. С течением времени возмущения медленно дрейфуют вдоль системы.

БЛАГОДАРНОСТИ

Считаю своим долгом выразить самую искреннюю благодарность моему научному руководителю — кандидату физико-математических наук доценту Рыскину Никите Михайловичу, без постоянного внимания и активной поддержки которого эта работа была бы невозможна. Автор признателен ему за многолетнее научное руководство, терпение и энтузиазм. Благодарю доцента Рожнева Андрея Георгиевича за поддержку и полезные консультации при выполнении части работы.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Балякин, Артем Александрович, Саратов

1. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

2. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

3. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

4. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1998.

5. Колесов Ю.С., Колесов B.C., Федик И.И. Автоколебания в системах с распределенными параметрами. Киев. Наукова Думка. 1979.

6. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. М. Наука. 1982.

7. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М. Мир, 1977.

8. Dodd R.K., Eilbeck J.C., Gibbon J.D., Morris H.S. Solitons and Nonlinear Wave Equations, Academic Press, London, 1984.

9. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике, М.: Мир, 1989.

10. Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. М.: Наука, Физматлит, 2000.

11. Островский Л.А., Потапов А.И. Введение в теорию модулированных волн. М.: Физматлит, 2003.

12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Физическая кинетика. М.: Наука, Физматлит, 1979.

13. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов. радио, 1977.

14. Newell А.С. Nonlinear tunneling // J. Math. Phys. 1978. V. 19, № 5. P. 1126.

15. Pelinovsky D., Sears J., Brzozowski L., Sargent E.H. Stable all-optical limiting in nonlinear periodic structures. Part L Analysis // J. Opt. Soc. Am. B. 2002 V. 19, No. 1, P. 43.

16. Pelinovsky D., Sargent E.H. Stable all-optical limiting in nonlinear periodic structures. Part II. Computations // J. Opt. Soc. Am. B. 2002, V. 19, No. 8, P. 1873.

17. Pelinovsky D., Ye W.N., Brzozowski L., Sargent E.H. Stable all-optical limiting in nonlinear periodic structures. Part III. Nonsolitonic pulse propagation // J. Opt. Soc. Am. B. 2003, V. 20, No. 4, P. 423.

18. Taflove A. Computational electrodynamics: the finite-difference time-domain method. London, Artech House, 1995.

19. Ikeda K., Daido H., Akimoto O. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity // Phys. Rev. Lett. 1980. V.45, No. 9. P. 709.

20. Кузнецов С.П. Динамический хаос. M.: Физматлит, 2001.

21. Калиникос Б.А., Ковшиков Н.Г., Славин А.Н. Солитоны огибающей и модуляционная неустойчивость дипольно-обменных волн намагниченности в пленках же-лезоитгриевого граната//ЖЭТФ. 1988. Т.94, № 2. С. 159-176.

22. Савченко Л.Л., Никитов С.А., Попков А.Ф., Четкин М.В. Автомодуляционное усиление шума спиновых колебаний в бегущей магнитостатической волне // ЖЭТФ. 1998. Т. 114, № 2. С. 628.

23. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теорий функция комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

24. Самарский А.А. Численные методы. М. Наука. 1975.

25. Калиникос Б.А., Ковшиков Н.Г., Костылев М.П., Беннер X. Автогенерация последовательностей солитонов огибающей спиновых волн с различными периодами // Письма в ЖЭТФ. 2002. Т. 76, № 5. С. 310.

26. Дудко Г.М., Казаков Г.Т., Кожевников А.В., Филимонов Ю.А. Удвоение периода и хаос при четырехмагнонном распаде бегущих магнитостатических волн в пленках железо-итгриевого граната // Письма в ЖТФ. 1987. Т. 13, № 12. С. 736.

27. Дудко Г.М., Филимонов Ю.А. Развитие модуляционной неустойчивости магнитостатических волн (МСВ) в ферритовых пленках // Письма в ЖТФ. 1989. Т. 15, №2. С. 55.

28. Дудко Г.М. Эффекты самовоздействия магнитостатических волн в ферромагнитных пленках. Дисс. к. ф.-м. н. Саратов, 2002.

29. Андерсон Д., Танненхилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Т. 1,2. М.: Мир, 1990.

30. De Sterke С.М., Sipe J.E. Switching dynamics of finite periodic nonlinear media: A numerical study // Phys. Rev. A. 1990. Vol. 42, No. 5. P.2858.

31. Ikeda K. Multiple-valued stationary state and its instability of the transmitted light by a ring cavity system // Opt. Comm. 1979. Vol. 30, № 2. P. 257.

32. Ikeda K., Akimoto O. Instability leading to periodic and chaotic self-pulsations in a bistable optical cavity // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 48, № 9. P. 617.

33. Nakatsuka H., Asaka S., Itoh H., Ikeda K., Matsuoka M. Observation of bifurcation to chaos in all-optical bistable system // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 50, № 2. P. 109.

34. Богатов H.A., Гитлин M.C. Нелинейная микроволновая квазиоптика // Изв. РАН. Сер. Физическая. 1999. Т. 63, № 12. С.2340.

35. Розанов Н.Н. Оптическая бистабильность и гистерезис в распределенных нелинейных системах. М.: Наука, 1997.

36. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рыскин Н.М. Нелинейные колебания. М.: Физмат-лит, 2002.

37. Дмитриева Т.В., Рыскин Н.М. Сложная динамика распределенного параметрического генератора//ЖЭТФ. 2001. Т.120,№ 6(12). С.1517.

38. Рыскин Н.М., Шигаев A.M. Сложная динамика простой модели распределенной автоколебательной системы с запаздыванием // ЖТФ. 2002. Т. 72, № 7. С. 1.

39. Рыскин Н.М. Исследование нелинейной динамики ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т. 47, № 2. С. 129.

40. Ryskin N.M., Titov V.N., Han S.T., So J.K., Jang K.H., Kang Y.B., Park G.S. Nonsta-tionary behavior in a delayed feedback traveling wave tube folded waveguide oscillator // Phys. Plasmas. 2004. Vol. 11, No. 3. P. 1194.

41. Okamura M. Instabilities of weakly nonlinear standing gravity waves // J. Phys. Soc. Japan. 1984. V. 53, No. 11. P. 3788.

42. Knobloch E., Gibbon J.D. Coupled NLS equations for counter propagating waves with reflection symmetry // Phys. Lett. A. 1991; V. 154, No. 7/8. P. 353.

43. Ikeda K., Mizuno M. Frustrated instabilities in nonlinear optical resonators // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 53, No. 14. P. 1340.

44. Silberberg Y., Bar Joseph I. Instabilities, self-oscillation, and chaos in a simple nonlinear optical interaction// Phys. Rev. Lett. 1982. V.48, No. 22. P. 1541.

45. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М. Мир, 1996.

46. McKinstrie C.J., Bingham R. The modulational instability of coupled waves // Phys. Fluids B. 1989. V.l, № 1. P. 230.

47. Рыскин H.M. Модуляционная неустойчивость волн пространственного заряда // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 93.

48. Шараевский Ю.П., Малюгина М.А. Моделирование нелинейных процессов на» магнитостатических волнах в связанных ферромагнитных структурах // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т. 8, № 3. С. 59.

49. Рыскин Н.М. Связанные нелинейные уравнения Шредингера для описания распространения многочастотных волновых пакетов в нелинейной среде с дисперсией // ЖЭТФ. 1994. Т. 106, № 5( 11). С. 1542.

50. Ezersky А.В., Polukhina О.Т., Mutabazi I., Brossar J., Marine F. Excitation of surface wave solitons and soliton bound states in a shallow water resonator // Proceedings of International Symposium of Nonlinear Wave Physics, N. Novgorod, 2003, P. 111.

51. Езерский А.Б., Полухина O.E., Броссар Ж., Маран Ф., Мутбази И. Динамика соли-тонов, возбуждаемых в резонаторах на поверхности мелкой воды: теория и эксперимент // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2004. Т. 12, № 1 (в печати).

52. Богатырев Ю.К. Импульсные устройства с нелинейными распределенными параметрами. М.: Сов. радио, 1974.

53. Горшков К.А., Островский Л.А., Папко В.В. Параметрическое усиление и генерация импульсов в нелинейных распределенных системах // Изв. вузов. Радиофизика. 1973. Т. 16, № 8. С. 1195.

54. Горшков К.А., Островский Л.А., Папко В.В. Турбулентность солитонов в системе со слабой дисперсией // ДАН СССР. 1977. Т. 235, № 1. С. 70-73.

55. Езерский А.Б., Рабинович М.И., Степанянц Ю.А., Шапиро М.Ф. Стохастические колебания параметрически возбуждаемой нелинейной цепочки // ЖЭТФ. 1979. Т. 76, № 3. С. 991.

56. Акулов Ю.Г., Муллер Я.Н. Экспериментальное исследование самомодуляции электромагнитных волн в нелинейной линии передачи с дисперсией // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1973. Т. 16, № 10. С. 50.

57. Usher A., Jefferies D J. Quasi-thermalisation in a strongly non-linear transmission line // Phys. Lett. A. 1983. V. 98, № 8/9. P. 396.

58. Remoissenet M. Low-amplitude breather and envelope solitons in quasi-one-dimensional physical models // Phys. Rev. B. 1986. V. 33, No. 4. P. 2386.

59. Ведерко A.B., Дубровская О.Б., Марченко В.Ф., Сухорукое А.П. О солитонах с малым числом периодов во времени или в пространстве // Вестн. МГУ. Сер.З, Физика. Астрономия. 1992. Т. 33, № 3. С. 4.

60. Захаров В.Е., Кузнецов Е.А. Оптические солитоны и квазисолитоны // ЖЭТФ. 1998. Т. ИЗ, №5. С. 1892.

61. Yee K.S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media // IEEE Trans. Antennas and Propagation. 1966. V. 14, № 8. P 302

62. Yee K.S., Chen J.S. The finite-difference time domain (FDTD) and finite-volume time domain (FVTD) methods in solving Maxwell's equations // IEEE Trans. Ant. Propagation. 1997. V. 45, No. 3. P. 354.

63. Joseph R.M., Taflove A. FDTD Maxwell's equations model for nonlinear electrodynamics and optics// IEEE Trans. Ant. Propagation. 1997. V. 45, No. 3. P. 364.

64. Holland R. Finite-difference solution of Maxwell's equations in generalized nonor-thogonal coordinates // IEEE Trans. Nuclear Science. 1983. V. 30, No. 6 P. 4589

65. Mittra R., Pekel U. A new look at the perfectly matched layer (PML) concept for the reflectionless absorbtion of electromagnetic waves // IEEE Microwave and Guided Wave Letters. 1995. V. 5, No. 3. P. 84.

66. Бровко A.B., Маненков А.Б., Митюрин B.E., Рожнев А.Г. Расчет дифракции волн в диэлектрических волноводах динамическим методом конечных разностей // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47, № 11. С. 1304.

67. Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. М.: Изд-во иностранной литературы, 1959.

68. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука 1973.

69. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. М.: Наука 1990.

70. Moloney J.V., Newell А.С. Nonlinear optics // Physica D. 1990. V.44, No. 1. P.1.

71. Измайлов И.В., Калайда В.Т., Магазинников A.JL, Пойзнер Б.Н. Бифуркации в точечной модели кольцевого интерферометра с запаздыванием и поворотом поля // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 5. С. 47.

72. Измайлов И.В., Магазинников A.JL, Пойзнер Б.Н. Моделирование процессов в кольцевом интерферометре с нелинейностью, запаздыванием и диффузией при, немонохроматическом излучении // Изв. вузов. Физика. 2000, № 2. С. 29.

73. Новые физические принципы оптической обработки информации: сборник статей. Под ред. С.А. Ахманова и М.А. Воронцова. М.: Наука, 1990.

74. Измайлов И.В. Варианты реализации нелинейно-оптического устройства защиты информации // Оптический журнал. 2002. Т. 69, № 7. С. 62.

75. Pliszka P., Baneijee P.P. Analysis of multifrequency dispersive optical Instability and switching in nonlinear ring cavities with large medium-response times // Phys. Rev. A. 1992. V.46, No. 1. P. 507.

76. Захаров B.E. Гамильтоновский формализм для волн в нелинейных средах с дисперсией // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17, № 4. С. 431.

77. Захаров В.Е, Кузнецов Е. А. Гамильтоновский формализм для нелинейных волн // УФН. 1997, Т. 167. №11. С. 1137.

78. Kuznetsov А.Р, Turukina L.V, Mosekilde Е. Dynamical systems of different classes as models of the kicked nonlinear oscillator // Internat. Journ. Bifurcation and Chaos. 2001. V. 11, No. 4. C. 1065.

79. Балякин А.А., Рыскин H.M. Переход к хаосу в нелинейной радиотехнической линии передачи // Изв. РАН. Сер. Физическая. 2000. Т. 64, № 12. С. 2391-2396.

80. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Хаотические колебания в нелинейной радиотехнической линии передачи // Изв. вузов. Радиофизика. 2001 Т. 44, № 8, С. 691-699.

81. Balyakin А.А. Ryskin N.M. Chaotic Oscillations in Nonlinear Spatially-Extended Resonators // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2001 V. 4, № 4. P. 358-363.

82. Балякин A.A., Рыскин H.M. Переход к хаосу в нелинейном кольцевом резонаторе при возбуждении многочастотным сигналом // Изв. РАН. Сер. Физическая, 2001. Т.65.№ 12. С. 1741-1744

83. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Моделирование сложной динамики в нелинейном диэлектрическом резонаторе методом конечных разностей во временной области // Изв. РАН. Сер. Физическая, 2002. Т. 66, № 12. С. 1768-1772.

84. Балякин А.А. Исследование хаотической динамики кольцевого нелинейного резонатора при двухчастотном внешнем воздействии // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2003. Т. 11, № 4. С. 3-15.

85. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Смена характера модуляционной неустойчивости вблизи критической частоты // Письма в ЖТФ, 2004. Т. 30, № 5. С. 6-13.

86. Balyakin A.A., Ryskin N.M. Modulation instability in a nonlinear dispersive medium near cut-off frequency // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. 2004. V. 7, No. 1. P. 34-42.

87. Балякин А.А. Хаотические колебания в распределенном нелинейном резонаторе при бигармоническом воздействии // В сб. «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 99». Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1999. С. 91.

88. Балякин А.А. Переход к хаосу в нелинейной радиотехнической линии передачи // В сб. «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2000». Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000. С. 31-34.

89. Балякин А.А. Хаотические колебания в нелинейном кольцевом резонаторе при бигармоническом воздействии // В сб. «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2001». Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2001. С. 58-61.

90. Балякин А.А. Моделирование сложной динамики в нелинейном диэлектрическом резонаторе методом конечных разностей // В сб. «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2002». Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. С. 26-29.

91. Балякин А.А. О модуляционной неустойчивости вблизи частоты отсечки // В сб. «Нелинейные дни в Саратове для молодых — 2003». Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2003. С. 242-245.

92. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Переход к хаосу в нелинейной радиотехнической линии передачи // Труды II Международной конференции «Фундаментальные проблемы физики». Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж» 2000. С. 31-32.

93. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Переход к хаосу в нелинейной радиотехнической линии передачи // Труды VIII Всероссийской школы-семинара «Волновые явления в неоднородных средах». Т. 1. М.: ООП физ. ф-та МГУ, 2000. С. 27-28.

94. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Динамика нелинейного кольцевого резонатора при двухчастотном воздействии // Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ. Материалы конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2001. С. 11-13.

95. Балякин А. А. Переход к хаосу в нелинейной радиотехнической линии передачи // Седьмая Всероссийская научная конференция студентов физиков и молодых ученых «ВНКСФ-7». Сборник тезисов докладов. Санкт-Петербург, 2001. С. 692-694.

96. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Динамика нелинейного кольцевого резонатора, возбуждаемого двухчастотным сигналом // Труды VIII Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн». М.: ООП физ. ф-та МГУ, 2001. Т.1. С. 76-77.

97. Balyakin А.А., Ryskin N.M. Complex dynamics of a non-linear ring cavity driven by two-frequency external signal // VI International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation. Saratov 2001. The Book of Abstracts. P. 16-17.

98. Балякин A.A. FDTD метод: моделирование сложной динамики в нелинейном диэлектрическом резонаторе // VI Всероссийская научная конференция студентов-радиофизиков. Тезисы докладов. С.-Петербург, 2002. С. 8-9.

99. Балякин А.А. Сложная динамика нелинейного кольцевого резонатора под внешним воздействием // Материалы VIII Всероссийской научной конференции студентов физиков и молодых ученых «ВНКСФ-8». Екатеринбург, 2002. С. 638-639.

100. Balyakin А.А., Ryskin N.M. Non-stationary and chaotic oscillations in a non-linear dielectric resonator // "SYNCHRO'2002" Conference Program and Book of Abstracts. Saratov, 2002. P. 17.

101. Балякин А.А. Сложная динамика нелинейного диэлектрического резонатора под внешним воздействием // Сборник тезисов IX Всероссийской конференции студентов-физиков и молодых ученых. Екатеринбург-Красноярск: Изд-во АСФ России, 2003. Т. 2. С. 907-908.

102. Балякин А.А., Рыскин Н.М. Нелинейная динамика модуляционной неустойчивости волн в кубично-нелинейной среде с дисперсией // Труды IX Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн», М.: ООП физ. ф-та МГУ, 2003. С. 92-93.

103. Балякин А.А. Характер модуляционной неустойчивости в нелинейной среде с дисперсией вблизи критической частоты // Нелинейные волновые процессы. Конференция молодых ученых. Тезисы докладов. Н. Новгород, 2004.