Нелинейный транспорт в двумерных неоднородных проводящих средах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Нелинейные свойства двухкомпонентных сред на пороге протекания

1.1. Введение.

1.2. Эффективные характеристики неоднородных систем.

1.3. Случайные среды половинного состава (среды Дыхне).

1.3.1. Линейное приближение.

1.3.2. Критическое поведение нелинейных эффективных характеристик.

1.4. Флуктуации токов и полей в трехмерной случайной среде.

1.5. Среда Дыхне с периодическими неоднородностями.

1.5.1. Точные решения в линейном приближении.

1.5.2. Нелинейная проводимость анизотропной среды.

1.5.3. Нарушение линейного режима протекания тока в периодических структурах.

1.6. Обсуждение результатов.

Глава 2. Эффективные нелинейные характеристики двухкомпонентных сред вблизи перколяционного перехода.

2.1. Введение.:.

2.2. Нелинейный транспорт в периодических структурах выше порога протекания.

2.2.1. Эффективные электрические характеристики среды с диэлектрическими квадратными включениями.

2.2.2. Нелинейные свойства проводящей среды с крестообразными диэлектрическими включениями.

2.3. Нелинейный транспорт в периодических структурах ниже порога протекания.

2.3.1. Эффективные электрические характеристики среды со сверхпроводящими включениями квадратной формы.

2.3.2. Нелинейные свойства проводящей среды со сверхпроводящими включениями крестообразной формы.

2.4. Выводы.

Глава 3. Влияние магнитного поля и структуры микронеоднородностей на нелинейный транспорт в двумерных системах.

3.1. Введение.

3.2. Периодическая среда Дыхне в магнитном поле.

3.3.1. Косоугольные решетки.

3.3.2. Косоугольные решетки в магнитном поле.

3.4. Влияние структуры микронеоднородностей на нелинейный отклик.

3.5. Обсуждение результатов.

Глава 4. Численный расчет эффективных проводимостей периодической среды.

4.1. Введение.

4.2. Метод расчета и результаты численного эксперимента.

4.3. Влияние теплопроводности на нелинейный отклик периодических сред Дыхне.

4.4. Возможность экспериментального наблюдения аномалий эффективной нелинейности исследованных структур.

4.5. Выводы.

В последние годы композиционные материалы являются объектом интенсивного изучения и использования [1-2]. В качестве примеров таких сред можно назвать:

- тонкие пленки, приготовленные из смеси металла и диэлектрика;

- пленки с топологической структурой неоднородностей, т.е. когда в' проводящую матрицу внедрены включения, расположенные периодическим образом;

- гранулярные материалы;

- композиты на основе металла и полимера.

Такие гетерогенные среды замечательны тем, что они обладают электродинамическими характеристиками, сильно отличающимися от свойств отдельных компонент. Теоретические представления о линейных свойствах композитов и периодических текстур в значительной степени были развиты в работах Дыхне [3], Балагурова [4-7], Емеца [8-12] и др. Ранее было обнаружено, что линейная проводимость гранулярных материалов, поликристаллических полупроводников, керметов и других композитов обнаруживает критическое поведение вблизи порога протекания [13]. В простейшем случае смеси металла с диэлектриком порог протекания определяется концентрацией проводящей компоненты, при которой в системе образуется бесконечный кластер. При этом в окрестности перехода размер кластера растет степенным образом в зависимости от разности концентраций металлической фазы и концентрации соответствующей перколяциоиному переходу. Поскольку характерный размер кластера превышает масштабы микроскопических неоднородностей в системе, то линейная проводимость будет также подчиняться степенному закону. В настоящее время известны пороги протекания и критические индексы для широкого класса линейных сред. Изучение классической проводимости случайно-неоднородных пленок показало универсальность их поведения в критической области, т.е. в области перехода металл-диэлектрик. Оказалось, что критические индексы проводимости таких сред одинаковы (гипотеза универсальности). Этот факт связан с тем, что линейная проводимость определяется лишь крупномасштабной топологией перколяционного кластера и не зависит от микрогеометрии неоднородностей. Было показано, что эффективная линейная проводимость гетерогенной среды может быть определена через квадратичный коррелятор электрического поля (е2}(скобки обозначают усреднение по объему образца). Диссипация энергии в системе также может быть выражена через данный коррелятор. Достигнут определенный прогресс в изучении линейных многокомпонентных сред [1418].

К настоящему времени появилось большое число экспериментальных работ, в которых исследовался нелинейный отклик неоднородных систем. Например, были обнаружены высшие гармоники напряжений у образцов в переменном поле [19-21] и нелинейное поведение ВАХ [22-24]. Было установлено, что такие нелинейные характеристики, как амплитуда третьей гармоники и эффективная нелинейная проводимость среды определяются коррелятором четвертой степени от электрического поля (г[25-27]. Данный коррелятор определяет также величину относительной плотности фликкер-шума. Экспериментально были зарегистрированы амплитуды напряжения пятой и седьмой гармоник, которые пропорциональны соответственно корреляторам (ё6^ и {'г[21]. Таким образом, была выяснена глубокая связь различных корреляторов поля с кинетическими коэффициентами и шумовыми характеристиками.

В области перколяционного перехода линейная проводимость случайно-неоднородных пленок адекватно описывается степенными зависимостями и может быть интерпретирована на языке фрактальной геометрии. Ввиду хаотичности структуры фрактального кластера, электрическое поле сильно флуктуирует, что может явиться причиной усиления нелинейных свойств.

Численное изучение высших корреляторов электрического поля в двухфазной двумерной случайной среде половинного состава (среда Дыхне) подтвердило данное предположение [28]. Оказалось, что эффективная нелинейная проводимость среды Дыхне может существенно превышать локальные нелинейные проводимости отдельных компонент. Аналогичный результат имеет место и в трехмерной случайной среде, находящейся на пороге протекания. Возрастание эффективной нелинейной проводимости имеет место и в периодических структурах, где усиление нелинейного отклика обусловлено тем, что линии тока имеют большую концентрацию, протекая через узкие перемычки соединяющие хорошо проводящий материал. Это приводит к разогреву электронного газа вблизи геометрических особенностей компонент (острых кромок, сужений и.т.д.). В работе [29] исследовались нелинейные и шумовые характеристики периодических сред, находящихся как выше, так и ниже порога протекания, в зависимости от близости к перколяционному переходу и структуры микрогеометрии. Хорошо известно, что макроскопические характеристики случайной среды Дыхне и среды с периодической текстурой в виде шахматной доски в линейном приближении -одинаковы. Это означает, например, равенство критических индексов проводимостей таких сред. Средние значения токов и полей в материалах с различной проводимостью, а также их квадратичные корреляторы ведут себя подобным образом в зависимости от отношения линейных проводимостей компонент или от внешнего магнитного поля. Распределение диссипируемой энергия по фазам в обеих средах также одинаково.

При изучении нелинейного транспорта в пленках с топологической структурой неоднородностей был обнаружен ряд важных результатов. Оказалось, что в среде со структурой типа "шахматная доска", линейное описание проводимости справедливо лишь при определенных значениях параметров. В частности, если параметр неоднородности среды h = cr2/crl , где Стрсг, - линейные проводимости ячеек, приближается к некоторому пороговому значению hc, то критический ток и поле нелинейности будут стремится к нулю.

В данных условиях это означает, что при помещении среды даже в слабое внешнее поле возможно значительное отклонение от линейного режима протекания. А при значениях h меньших hc среда переходит в нелинейную фазу. Коррелятор ('ёопределяющий такие характеристики структуры, как эффективная нелинейная проводимость, амплитуда третьей гармоники и коэффициент 1// - шума неограниченно возрастает при стремлении h->hc.

Отметим, что для случайной среды Дыхне данный коррелятор расходится лишь когда h стремится к нулю.

В работах [30,31] также изучалось влияние магнитного поля на нелинейный отклик периодической среды Дыхне. Магнитное поле было ориентировано перпендикулярно поверхности структуры. Было установлено, что при фиксированном значении h, существует такое критическое магнитное поле Вс, выше которого линейное описание проводимости не оправдано. Приближенное значение Вс можно оценить из условия <усг»1, где сос -циклотронная частота, т - среднее время свободного пробега.

Суммируя сказанное заключаем, что случайная и периодическая среды Дыхне не всегда проявляют одинаковые свойства, как это представлялось ранее. Те эффективные характеристики, которые могут быть выражены через корреляторы более высокого порядка чем (ё2^ у рассматриваемых сред различны.

Изучение транспорта в гетерогенных средах показывает, что эффективной нелинейной проводимостью можно управлять путем изменения:

- параметров структуры (формой и относительной концентрацией включений) [27,29];

- отношения линейных проводимостей компонент [28,30];

- магнитного поля [30-31];

- параметров теплоотвода [31,32].

Эти свойства открывают новые возможности практического применения нелинейных материалов. Нелинейные композиты и текстуры уже находят широкое применение в современной электронике. Например, керметы, островковые пленки, carbon-black-polymer composites используются в качестве материалов для резисторов и прерывателей. Пленки с регулярным расположением включений правильной формы применяются в системах электронного отображения, поскольку они обеспечивают хорошую воспроизводимость и стабильность электрических характеристик. В последнее время в технологический процесс вовлекаются композиты нового типа. Это композиты с сильно вытянутыми микровключениями, композиты с нелинейными заполнителями для преобразования гармоник, композиты с магнитными микрокомпонентами, анизотропные текстуры и другие [2].

Двумерные системы привлекательны и с точки зрения экспериментальной реализации, так как размер и форму составляющих компонент гетерогенной среды удается контролировать параметрами осаждения, т.е. скоростью напыления, режимом последующего отжига, температурой подложки, объемным содержанием образующих элементов. Таким образом, методы современной нанотехнологии позволяют создавать пленки заданного состава и пленки с заданной текстурой.

Несмотря на достигнутый прогресс, в настоящее время не существует завершенной теории нелинейного транспорта в сильно неоднородных средах. Такая теория должна принимать во внимание как физические механизмы формирования нелинейности, так и эффекты крупномасштабных флуктуаций полей в неоднородных средах. В рамках такой теории можно будет описать нелинейные явления в композиционных материалах и выполнить расчеты нелинейных периодических структур, применяемых в электронных устройствах.

Цель диссертации

Целью данной диссертации является исследование нелинейного транспорта в регулярных и случайных проводящих структурах. Основное внимание посвящено развитию теоретических представлений о нелинейных кинетических эффектах в неоднородных двухфазных средах. В работе изучаются сильно развитые флуктуации электрических полей и токов в композитах и периодических структурах в области перехода металл -диэлектрик. Исследуется влияние данных флуктуаций на нелинейный отклик рассматриваемых сред.

Научная новизна работы

В основу диссертации положены работы автора по теории нелинейных критических явлений в средах находящихся в области перколяционного перехода в которых впервые: а) показано, что в двумерной, случайной среде Дыхне в режиме сильной неоднородности, высшие корреляторы электрического поля аномально велики. Это является причиной усиления нелинейных свойств [28]; б) проведено исследование нелинейного отклика неоднородной периодической среды со структурой типа "шахматной доски". Выяснена возможность перехода данной среды в нелинейную фазу посредством варьирования линейных проводимостей ячеек и изменения магнитного поля [31,33]; в) установлены критические индексы концентрационной зависимости нелинейной эффективной проводимости и коэффициента фликкер-шума как выше, так и ниже порога протекания [29].

В данной работе также изучается влияние микронеоднородностей различного вида на формирование флуктуаций токов и полей, определяющих нелинейные и шумовые характеристики гетерогенных структур.

Практическая ценность и реализация результатов работы

Решение задач, связанных с изучением нелинейных свойств и шумовых характеристик неоднородных сред, имеет ряд практически важных аспектов.

1. Результаты, полученные в диссертации могут быть использованы при интерпретации ВАХ нелинейных элементов используемых в микроэлектронике.

2. Выявлена возможность управления нелинейными и шумовыми характеристиками неоднородных сред посредством изменения: магнитного поля; отношения линейных проводимостей компонент; структуры микронеоднородностей.

3. В диссертации обсуждается возможный эксперимент по наблюдению нелинейного отклика среды с периодическими неоднородностями.

4. Анализ высших гармоник исследуемых образцов позволяет приближенно диагностировать структуру микронеоднородностей, что можно рассматривать как один из методов неразрушающего контроля.

Основные научные положения, представляемые к защите

1. Нелинейный отклик двухфазной двумерной среды на пороге протекания аномально зависит от отношения линейных проводимостей компонент.

2. Для нелинейной эффективной проводимости трехмерной случайной среды, находящейся на пороге протекания определена нижняя граница критического индекса.

3. Для периодической среды со структурой типа "шахматной доски" существует критическое значение отношения линейных проводимостей ячеек, ниже которого в среде возможно значительное усиление нелинейного отклика. Установлены параметры среды и внешние условия при которых это становится возможным.

4. Внешнее магнитное поле, ориентированное перпендикулярно поверхности периодической среды, усиливает ее нелинейный отклик.

5. В некоторых системах с топологической структурой неоднородности определены критические индексы концентрационной зависимости эффективной нелинейной проводимости.

Апрбация результатов

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. 2-ая Российская университетско-академическая научно-практическая конференция (Ижевск, УдГУ, 1995);

2. 2-ая Российская конференция по физике полупроводников (Зеленогорск, 1996);

3. 3-я Российская университетско-академическая научно-практическая конференция (Ижевск, УдГУ, 1997).

4. 3-я Российская конференция по физике полупроводников (Москва, 1997);

5. Международная конференция ICPDAM'97 (Сеул, Южная Корея, 1997). Основные результаты работы докладывались на семинарах кафедры теоретической физики НЕГУ, кафедры общей и прикладной физики НГТУ, ИФМ РАН.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [28-30,33-38]. Структура диссертации

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, двух Приложений, Заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 125 страниц, включая 31 рисунок и список литературы, который содержит 80 наименований.

4.5. Выводы

В заключительной главе диссертации исследован тепловой механизм обрезания расходимостей и показано, что учет теплоотвода от горячих областей может привести к устранению особенностей эффективных нелинейных характеристик при конечных значениях параметра h. Роль геометрических эффектов обрезания аномалий обсуждалась в главе 2.

Полученные результаты показывают, что обнаруженные расходимости системы при конечных значениях hc в двумерных средах, во многом определяют поведение эффективной проводимости х<# и ПРИ учете теплоотвода. Учет теплопроводности и теплоотвода приводит к тому, что в рассматриваемой проблеме появляется новый характерный масштаб-тепловая длина L, которая играет роль параметра обрезания особенностей. Вместе с тем, в нелинейном режиме параметр L определяет пространственный размер критической области, которая является источником аномального роста эффективной нелинейной проводимости. При фиксированном значении L, когда h —> hc эффективная нелинейная проводимость xejj превышает характерную нелинейную проводимость компонент Хо

Х«и « Хо 4LJL), где L0 - период решетки. В критической области h < hc возникает большой параметр усиления эффективной нелинейной проводимости, Z0/Z »1. Так в рассмотренном случае при у < 1/4 эффективная нелинейная проводимость конечна, но ее величина превышает нелинейную проводимость компонент:

В результате численного эксперимента построены зависимости эффективных проводимостей регулярных сред со структурой типа шахматной доски при любых концентрациях компонент и при произвольном отношении

Ill

Заключение

В последние десятилетия было обнаружено, что эффективные характеристики композиционной проводящей среды весьма чувствительны к геометрии составляющих ее компонент. Выяснилось, что высшие моменты токов и полей, которые определяются про-водимостями и формами микровключений связаны с нелинейным откликом среды.

На существенную роль особенностей в случайных средах и периодических решетках указывалось в работах Дрейзена и Дыхне [72], Бергмана [27], Дубсона и др. [19] и Дыхне, Зосимова и Рыбака [73]. В работе Балагурова [5] отмечалось, что в квадратной решетке эффективная проводимость имеет логарифмическую особенность в зависимости от концентрации компонент. Обсуждаемая проблема рассматривается также в работах [74-76].

В диссертации исследованы различные типы периодических решеток. Особое внимание было уделено решетке имеющей структуру "шахматной доски". Такая структура замечательна тем, что для нее удается в общем виде установить характер особенностей и проанализировать их роль в явлениях токопереноса. Как видно из точного решения, особенности высших моментов поля определяются асимптотическим поведением решений вблизи углов. Это свойство позволило нам обобщить результаты на случай решеток 'более общего вида.

Как показано выше, особенности электрического поля и тока зависят от параметров решетки, отношения проводимостей и внешнего магнитного поля. Критические индексы эффективной линейной проводимости и квадратичных корреляторов решетки и двумерной случайной среды совпадают. По этому признаку системы можно было бы отнести к одному классу универсальности.

В настоящей работе обнаружено новое свойство двумерных регулярных решеток на пороге протекания. Показано, что линейный режим протекания тока неустойчив при некотором критическом значении параметра hc. Этот эффект связан с особенностями поля и расходимостями высших моментов поля [19,27]. Можно полагать, что существует и другой класс точно решаемых двумерных решеток, в которых особенности могут быть изучены точно ( например, решетки изучаемые в [15,18,77-79]). Классификация такого рода особенностей в решетках, видимо, еще не проводилась. Особенности, подобные исследованным в данной работе, будут иметь место и для других явлений, например, теловы и шумовых процессов [77].

Кратко сформулируем основные результаты диссертационной работы:

1. На перколяционном переходе аналитически и численно изучены нелинейные характеристики случайной двухфазной среды. Установлено, что эффективная нелинейная проводимость возрастает степенным образом в зависимости от отношения линейных проводимостей компонент. Аналитически получены точные неравенства для критических индексов определяющих нелинейный отклик.

2. Для трехмерного двухкомпонентного композита определены квадратичные корреляторы токов и полей. Найдено распределение джоулева тепла по фазам. Получена оценка наименьшего значения критического индекса нелинейной эффективной проводимости трехмерной среды.

3. В регулярных двумерных средах половинного состава -обнаружены расходимости высших корреляторов электрического поля при конечных значениях линейных проводимостей ячеек, что свидетельствует о возможных аномалиях в поведении характеристик среды: нелинейного кондактанса, амплитуды третьей гармоники, коэффициента относительной плотности фликкер-шума.

4. Изучено влияние магнитного поля на нелинейный отклик периодических решеток. Показано, что в таких системах возможен переход в нелинейную фазу при конечном значении магнитного поля Вс. Установлено, что критическое магнитное поле Вс зависит от величины углов ячеек, образуемых периодическую решетку.

5. Исследованы концентрационные зависимости эффективной нелинейной проводимости и амплитуды третьей гармоники для некоторых систем с топологической структурой неоднородностей вблизи перехода металл-диэлектрик.

6. В двумерных средах изучено поведение электрического поля вблизи неоднородностей с различной геометрией. Установлено, что наибольший вклад в формирование нелинейного отклика дают микровключения в виде четырех симметрично расположенных секторов с чередующимися проводимостями.

7. В результате численного моделирования построены зависимости эффективных проводимостей среды со структурой шахматной доски при любых концентрациях ячеек и их произвольных линейных проводимостях. Изучен отток тепла от "горячих" областей структуры и показано, что это приводит к стабилизации аномалий эффективой нелинейной проводимости.

Диссертация выполнена при поддержке РФФИ (93-02-1478,97-02-16923а) и грантом Госкомитета РФ по высшему образованию (94-31.4-20).

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору д-ру ф.-м.н. A.M. Сатанину за постоянное внимание и интерес к данной работе, а также В.В. Скузоваткину и А.Ю. Угольникову за полезное сотрудничество.

1. Proceeding of the Fourth 1.ternational Conference on Electrical Transport and Optical Properties of Inhomogeneous Media // Physica A 241(1-2), 1997.

2. ETOPIM4, Book of Abstracts, Moscow, 1996.

3. Дыхне A.M. Проводимость двумерной двухфазной системы // ЖЭТФ.- 1970.Т. 59. -С. 110-115.

4. Балагуров Б.Я. Гальваномагнитные свойства тонких неоднородных пленок // ФТТ.- 1978.-Т. 20.-С. 3332-3335.

5. Балагуров Б.Я. О проводимости двумерных систем с макроскопическими неоднородностями // ЖЭТФ,- 1980.- Т. 79.- С. 1561-1572.

6. Балагуров Б.Я. Протекание тока через тонкие пленки с топологической структурой И ЖТФ.- 1981,- Т. 51.- С. 1146-1151.

7. Балагуров Б.Я. К теории дисперсии проводимости двухкомпонентных сред II ЖЭТФ,- 1985. -Т. 88. -С. 1664-1675.

8. Горожда Л.В., Емец Ю.П., Жукова Н.И., Зверович Э.И. Электрические поля в слоисто- неоднородных средах с гальваномагнитными явлениями // ЖТФ.-1979,- Т. 49.-С. 1577-1584.

9. Васецкий Ю.М., Емец Ю.П. Свойства электрических полей в неоднородных проводящих средах, находящихся в сильном внешнем магнитном поле // ПМТФ,- 1979. N5,- Т. 117,- С. 37-44.

10. Васецкий Ю.М., Горожда J1.B., Емец Ю.П. Об электрических полях и проводимости систем с регулярной структурой неоднородностей // ЖТФ.-1982.-Т. 52,-С. 601-608.

11. Емец Ю.П. Электрические характеристики композиционных материалов с регулярной структурой, Наукова думка, Киев. 1986.

12. Емец Ю.П. Преобразование симметрии двухмерной двухкомпонентной электропроводной системы//ЖЭТФ.- 1989,-Т. 96.-С. 701-711.

13. Шкловский Б.И., Эфрос A.JI. Электронные свойства легированных полупроводников. М.: Наука. 1979.

14. Kogut P.M., Straley J.P. The bicritical macroscopic conductivity exponent in dimensional two, three and infinity // Solid State phys.- 1979.- V. 12.- P. 1-8.

15. Емец Ю.П. Электрические характеристики трехкомпонентной диэлектрической среды//ЖЭТФ.- 1998.-Т.- 114,- С. 1121-1136.

16. Khalatnikov I.M., Kamenshchik A.Yu. Remarks about the effective conductivity of some three-color tesselations in the plane // Письма в ЖЭТФ.- 2000.- T.72.- С. 493-498.

17. Khalatnikov I.M., Kamenshchik A.Yu.-A diagram technique for perturbation theory calculations of the effective conductivity of two-dimensional systems // ЖЭТФ.- 2000,- T.l 18.- C. 1456-1462.

18. Балагуров Б.Я. Эффективные электрические характеристики двумерной трехкомпонентной двоякопериодической системы с включениями круговой формы // ЖЭТФ,- 2001.- T.119.- С. 142-153.

19. Dubson М.А., Hui Y.C., Weissman М.В., Garland J.C. Measurement of the fourth moment of the current distribution in two-dimensional random resistor networks//Phys. Rev.- 1989. -У. B39.- P. 6807-6815.

20. Yagil Y., Deutcher G., Bergman D.J. Electrical breakdown measurements of semicontinuous metal films // Phys. Rev. Lett.- 1992.- V. 69.- P. 1423-1426.

21. Yagil Y., Deutscher G. Third-harmonic generation in semicontinuous metal films //Phys. Rev.- 1992. -V. B46. -P. 16115-16121.

22. Gefen Y., Shih W.H., Laibowitz R.B., Viggiano J.M. Nonlinear behavior near the percolation metal-insulator transition // Phys. Rev. Lett.- 1986. -V. 57.- P. 30973100.

23. Chakrabarty R.K., Bardhan K.K., Basu A. Nonlinear 1 -V characteristics near the percolation threshold // Phys. Rev.- 1991. -V. B44. -P. 6773-6779.

24. Жигальский Г.П. Шум вида 1// и нелинейные эффекты в тонких металлических пленках // УФН,- 1997,- Т. 167. No.6.- С. 623-648.

25. Aharony A. Crossover from linear to nonlinear resistance near percolation // Phys. Rev. Lett. -1987.- V. 58.- P. 2726-2727.

26. Stroud D., Hui P.M. Nonlinear susceptibilities of granular matter // Phys.Rev.-1988,-V.B37.-P. 8719-8724.

27. Bergman D.J. Nonlinear behavior and 1// noise near a conductivity threshold: Effects of local microgeometry // Phys.Rev.- 1989.- V. B39.- P. 4598-4609.

28. Сатанин A.M., Хорьков С.В., Угольников А.Ю. Нелинейная проводимость проводимость неупорядоченной среды на пороге протекания // Письма в ЖЭТФ.- 1995.-Т. 62.-С. 301-304.

29. Сатанин A.M., Скузоваткин В.В., Хорьков С.В. Нелинейное протекание вблизи перехода металл-диэлектрик в регулярных текстурах // Письма в ЖЭТФ.- 1997.-Т. 65,- С. 521-524.

30. Сатанин A.M., Скузоваткин В.В., Хорьков С.В. Нарушение линейного режима протекания тока в периодических структурах // ЖЭТФ.- 1997.- Т. 112.- С. 643-660.

31. Сатанин А.М„ Скузоваткин В.В. Аномальное поведение текстур в магнитном поле//Письма в ЖЭТФ,- 1997,- Т. 66,-С. 115-119.

32. Сатанин A.M., Скузоваткин В.В. Тепловая стабилизация аномалий в неоднородных проводящих структурах// ЖЭТФ.- 1999.-Т. 115.-С. 1818-1832.

33. Сатанин A.M., Скузоваткин В.В., Хорьков С.В. Нарушение линейного режима протекания тока в периодических структурах // Письма в ЖЭТФ.-1996,-Т. 64,- С. 495-499.

34. Satanin A.M., Skuzovatkin Y.V., Khor'kov S.V. Nonlinear behaviour in composite with a periodic microstructures // Proceeding of Inter. Conf. ICPDAM'97. IEETrans. 1997,-P. 77-81.

35. Сатанин A.M., Хорьков С.В. Критическое поведение нелинейной проводимости двумерной среды // Тр. 2-ой Российской университетско- академичес-ской научно-практической конференции. Ижевск, 1995.

36. Сатанин A.M., Угольников А.Ю., Хорьков С.В. Нелинейная проводимость неупорядоченных пленок на пороге протекания // Тр. 2-ой Российской конференции по физике полупроводников. С.-Петербург, 1996. Т. 2. С. 107.

37. Сатанин A.M., Скузоваткин В.В., Хорьков С.В. Критические свойства нелинейных регулярных структур // Тр. 3-ей Российской конференции по физике полупроводников. Москва, 1997. С. 373.

38. Сатанин A.M., Скузоваткин В.В., Хорьков С.В. Нелинейные свойства периодических структур // Тр. 3-ей Российской университетско-академической научно-практической конференции. Ижевск, 1997. Т. 5, С. 126.

39. Пенфильд П.,Спейс Р., Дюинкер С. Энергетическая теория электрических цепей. М.: Энергия. 1974.

40. Снарский А.А. Генерация третьей гармоники в сильно неоднородных композитах вблизи порога протекания // Письма в ЖТФ.- 1995.- Т. 21.- С. 3 -7.

41. Сатанин A.M., Снарский А.А., Слипченко К.В., Безсуднов И.В. Генерация гармоник в микронеоднородных композитах // ЖТФ.- 1998.- Т. 68.- С. 132134.

42. Снарский А.А., Слипченко К.В., Сатанин A.M. Генерация третьей гармони-ники в сильно анизотропных средах вблизи порога протекания // ЖТФ.-2000,-Т. 70.- С. 53-57.

43. Ovchinnikov Yu. N., Dyugaev A.M. The conductivity of two component system of the chess board type//ЖЭТФ.- 2000,-T. 117,- С. 1013-1017.

44. Марихин В.Г. О проводимости "раскрашенной" плоскости // Письма в ЖЭТФ,- 2000.- Т. 71,- С. 391-393.

45. Ohtsuki P., Keyes Т. Coduction in random networks of super-normal conductors: geometrical interpretation and enhancement of nonlinearity // J. Phys.- 1984.-V. A17.-P. 559-563.

46. Сатанин A.M. Нелинейная проводимость фрактальных резисторов // Письма в ЖТФ.- 1995.-Т. 21С. 44-47.

47. Федер Е. Фракталы. М.: Мир. 1991.

48. Kirkpatrick S. Percolation and conduction // Rev. Mod. Phys.- 1973.- V. 45.-P. 574-588.

49. Kazakov V.A., Satanin A.M. A Renormalization group approach for randomly ' distributed conductance//Phys. Stat. Sol.- 1981,- V. В108,-P. 19-28.

50. Архинчеев B.E. Об эффективной проводимости трехмерной двухфазной среды // Письма в ЖЭТФ.- 1989.- Т. 50.- С. 293-295.

51. Балагуров Б.Я., Кашин В.А. Квадратичные эффективные характеристики в задаче о проводимости двухкомпонентных сред. Численный эксперимент на трехмерной неупорядоченной решетке // ЖЭТФ.- 1996.- Т. 110.- С. 10011017.

52. Басс Ф.Г., Гуревич Ю.Г. Горячие электроны и сильные электромагнитные волны в плазме полупроводников и газового разряда, Наука, Москва . 1975.

53. Гольдман И.Е., Ждан А.Г. Электропроводность полупроводников с межгранульными барьерами // ФТП,- 1976.- Т.Ю.- С. 1839-1845.

54. Gunn J.В. Effect of electron and impurity density on the field-dependence of mobility in germanium//J. Phys. Chem. Sol.- 1959.- V.8.-P.239-241.

55. Hasegawa A., Yamashita J. Electron-electron interaction in warm electrons // J. Phys. Soc. Jap.- 1962.- Y.17.- P.1751-1759.

56. Kanai Y. The change in electron mobility in indium antimonide at low electric field // J. Phys. Soc. Jap.- I960,- V.15.- P.830-835.

57. Sladek R. J. Quadratic deviations from Ohm's law in n-InSb //Phys. Rev.- 1960.-V.120.- P. 1598-1599.

58. Shirakawa Т., Hamaguchi C. Warm-electron mobility in n-InSb // Phys. Lett.-1974. V.49A.-P.231-232.

59. Чопра К.JI. Электрические явления в тонких пленках. М.: Мир. 1972.

60. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука. 1984.

61. Blumenfeld R., Bergman D.J. Comment on "Nonlinear susceptibilities of granular matter"//Phys. Rev.- 1991,- B. 43.-P. 13682-13683.

62. Yu K.W., Chu Y.C., Chan M.Y. Effective-medium theory for two-component nonlinear composites // Phys. Rev.- 1994,- V. 50.- P. 7984-7987.

63. Hui P.M., Wan W.M.V., Chung K.H. Dimensional crossover in the effective nonlinear response in random nonlinear resistor networks // Phys. Rev.- 1995.- Y. 52.-P. 15867-15871.

64. Satanin A.M. Nonlinear electrodynamics of fractal structure // Physica A 241.-1997.-P. 245-248.

65. Herring C. J. Effect of random inhomogeneities on electrical and galvanomag-netic measurements//J. Appl. Phys.- I960,-V. 31-N. 11.

66. Martinez-Sanchez M., De Saro R., Louis J. F. Effective Ohm's low for a class of inhomogeous plasmas and its effect on the performance of combustion driven MHD generators // VI Intern. Conf. on MND Power Generaion. -1975.-V. 4.

67. Hover N.R., Mitchner M. Nonlinear calculations of the effective conductivity of inhomogeous MHD generator plasmas // VI Intern. Conf. on MND Power Generaion. -1975.-V. 4.

68. Дыхне A.M. Аномальное сопротивление плазмы в сильном магнитном поле//ЖЭТФ,- 1970.- Т. 59,- С. 641-647.

69. Dykhne A.M. Excess noise in inhomogeneous media // Phystech Journ 1996.-V. 2,-P. 3-11.

70. Дрейзин Ю.А., Дыхне A.M. Качественная теория эффективной проводимос-сти поликристаллов//ЖЭТФ.- 1983.- Т. 84,- С. 1756-1760.125

71. Дыхне A.M., Зосимов В.В., Рыбак С.А. Аномальный избыточный шум в неоднородных упругих телах // ДАН.- 1995.- Т. 345.- С.467-471.

72. Балагуров Б.Я. О парциальных моментах напряженности электрического поля в задаче о проводимости бинарных композитов // ЖЭТФ.-2001.- Т. 120,-С. 945-953.

73. Балагуров Б.Я. К теории проводимости композитов с двумерной периодической структурой // ЖЭТФ.-2001.- Т. 120,- С. 668-677.

74. Архинчеев В.Е., Гармаев Б.А. Соотношения дуальности для задачи нелинейного протекания: теория и численное моделирование //ЖЭТФ.-2001.- Т. 119.-С. 590-594.

75. Толмачев С.Т., Данилейко O.K. Расчет плоского потенциальнгого поля в правильной системе круговых цилиндров // Электромеханика.- 1976.- N 2.-С. 139-144.

76. Сачков И.Н. Влияние формы включений на проводимость двумерных регулярных матричных систем //ЖТФ.-1996,- Т.66.-С. 48-58.

77. Балагуров Б.Я., Кашин В.А. Проводимость двумерной системы с периодическими расположением включений круговой формы // ЖЭТФ- 2000 Т. 117,- С. 978-989.

78. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, Физматгиз, Москва. 1962.