Нелокальная корректность смешанных задач для уравнения Кавахары тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Кувшинов Роман Владимирович

Нелокальная корректность смешанных задач для уравнения Кавахары

01.01.02 - Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О * с

• -да

Москва, 2010

4853760

Работа выполнена на кафедре нелинейного анализа и оптимизации факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Фаминский А. В.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор (Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН)

доктор физико-математических наук, профессор (Институт математики с ВЦ УНЦ РАН)

Ведущая организация:

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Защита диссертации состоится «_» _2011 года, в _на

заседании диссертационного совета Д 212.203.27 в Российском университете дружбы народов по адресу г. Москва, ул. Орджоникидзе, д.З, аудитория №495а.

Доброхотов С. Ю. Рамазанов М. Д.

С диссертацией можно ознакомиться в Учебно-научном информационном библиотечном центре (Научной библиотеке) Российского университета дружбы народов по адресу 117198, Москва, ул. Миклухо-Маклая, д.6.

Автореферат разослан «_» _2010 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, ___ у

кандидат физико-математических наук, доцент Ростовский Л.Е.

Общая характеристика работы

Актуальность темы диссертации

Квазилинейные уравнения нечетного порядка и, соответственно, смешанные задачи для таких уравнений широко используются для моделирования волновых процессов в средах с дисперсией. Подобные волновые процессы играют исключительно важную роль в современной физике н являются предметом изучения в гидродинамике, нелинейной оптике, физике плазмы, теории ноля, физике элементарных частиц, биофизике и т.д. Примерами квазилинейных уравнений нечетного порядка являются уравнения Кортевега — де Фриза, Кавахары и другие уравнения более высоких порядков. Для уравнения Кортевега — де Фриза существует достаточно хорошо разработанная теория смешанных задач, но для других уравнений подобного типа, например, для уравнения Кавахары подобных результатов известно мало. Поэтому, исследование смешанных задач для квазилинейных уравнений нечетного порядка является актуальной научной задачей. Цели лиссертационной работы

Целью настоящей работы является доказательство глобальной корректности смешанных задач для уравнения Кавахары при естественных условиях гладкости на граничные данные. Эти условия индуцированы точными свойствами решений задачи Коши для линеаризованного уравнения Кавахары и описываются в терминах пространств Соболева нецелой гладкости. Методы исследования

В диссертации использованы элементы функционального и комплексного анализа, теории дифференциальных уравнений с частными производными и обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для получения необходимых результатов в диссертации строятся и изучаются специальные решения потенциального типа для линеаризованного уравнения Кавахары. Научная новизна

Научная новизна результатов состоит в том, что установлена глобальная корректность смешанной задачи в полуполосе и в ограниченном Прямоугольнике для уравнения Кавахары при естественных условиях гладкости на гра-

ничные данные в широкой шкале функциональных пространств, включающей как слабые решения, так и сколь угодно гладкие. Ранее подобные задачи рассматривались только в случае нулевых краевых функций1 (отдельные результаты в полуполосе при ненулевых краевых функциях также были ранее получены2). В случае ненулевых граничных данных задачи возникает вопрос о том, какие условия гладкости краевых функций могут считаться естественными. В диссертационной работе предложены условия, которые следуют из точных свойств решений задачи Коши для соответствующего линеаризованного уравнения Кавахары.

Для получения требуемых результатов в диссертационной работе построены и изучены специальные решения типа "граничных потенциалов". При этом по сравнению с ранее полученными результатами для уравнения третьего порядка3 рассматриваемый случай уравнения пятого порядка приводит к принципиально новым трудностям, связанным с невозможностью точного нахождения корней алгебраического уравнения пятого подрядка. Полученные результаты о граничных потенциалах представляют самостоятельный интерес.

Практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях смешанных задач для квазилинейных уравнений нечетного порядка.

1N.A. Larkin, G.G. Doronin, "Kawaliara ('([nation in a quarter-plane and in a finite domain", Во]. Soc. Parmi. Mat. (3s.), 25:(l-2) (2007), 9-10.

N. A. Lai'kin, "Correct initial boundary value problems for dispersive equations", J. Math. Ани]. Appl, 344:2 (2008), 1079-1092.

G.G. Dornum, N. A. Larkin, "Kawaliara equation in a boundary domain", Disrr, and Contin. Dyn. Syst.., 10:4 (2008), 7S3-799.

2K. Caiirape, "Смешанная задача в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары и пространстве бесконечно дпфферптируемых экспоненциально убывающих функции", Бестнпк Рос. уп-тя дружбы народов, сер. матсм, 10:1 (2003), 91-107.

К. Сапгаре, A.B. Фаыннскин, "Слабые решения смешанной задачи п полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары", А1атсматическио заметки, 85 (2009), 98-109.

3A.V. Faniinskii, "An initial boundary-valtie problem in a half-strip for the Korteweg-de Vries equation in fractional-order Sobolev spaces", Comm. Pmtiai Differential Equations, 29.(11-12) (2004), 1653-1095.

A.V. Faminskii, "Global well-posedness of two initial-boundary-valtte problems for the Korteweg-de Vlies equation", Differentia) Intefiral Equations. 20:6 (2007), C01-C42.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры "Нелинейного анализа и оптимизации" под руководством профессора Арутюнова A.B., кафедры "Дифференциальных уравнении и математической физики" под руководством профессора Скубачевского A.J1. и кафедры "Математического анализа п теории функций" под руководством чл.-корр. РАН, профессора Степанова В.Д. Российского университета дружбы народов, на семинаре Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН иод руководством профессора Доброхотова С.Ю., в Институте математики c. вычислительным центром УНЦ РАН. Представленные материалы докладывались на всероссийских и международных конференциях: XL Всероссийская конференция но проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, РУДН, 19-23 апреля 2004 года; Международная конференция, посвященная памяти И. Г. Петровского (XXII Совместные заседания семинара имени И. Г. Петровского и Московского математического общества "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы"), Москва, 21-26 мая 2007 года; XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, РУДН, 21-25 апреля 2008 года; Пятая международная конференция но дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям DFDE-2008, Москва, Россия, 17-24 августа 2008 года; XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии, Москва, РУДН, 19-23 апреля 2010 года; Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 7 работах, из ннх 3 статьи в рецензируемых научных журналах по списку ВАК и 4 тезиса докладов на международных и всероссийских конференциях. Материал диссертации достаточно полно представлен в опубликованных работах. Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 74 страницы.

Содержание работы

Во введении дается формулировка исследуемой задачи, описана история вопроса и приведены ссылки на основные работы в этой области исследования, сделаны основные обозначения и сформулированы основные результаты.

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения Кавахары

Щ ~ "л г.г.г.г + Ьиххх + аих + иих — /(Ь, х) (1)

(а и Ь некоторые действительные константы) в двух областях (Т > 0 - произвольно): в полуполосе П^ = (О, Т) х К+ (Ж+ = (0, +оо)) и в ограниченном прямоугольнике = (О,Т) х (0,1).

Установим начальное условие:

м(0,х) = Ц)(х), хе1+, (2)

и граничные условия:

«(¿,0) =«1(0, их(^0)=щ(г), Ь € [0,Т] (3)

для задачи в П^, и

иМ) = 1л(*), = «2(*),

(4)

и(<, 1) = и3(0, «Л*. 1) = «4(0. "«(¿,1 ) = «5(0, ¿е[о,Т]. для задачи в С^т ■

Глобальная корректность (существование, единственность и непрерывная зависимость решений задачи от начальных, граничных условий и правой части уравнения в соответствующих нормах) устанавливается для задачи (1)-(3) и задачи (1), (2), (4) при ы0 £ Нк(1) (I = М+ или / = (0,1)), иъщ е € Я^:+1^5(0,Т), и,г, е #*:/г'(0,Т), где к > 2

для задачи в П^ и к > 0 для задачи в С^т, к - целое.

Подобные условия гладкости граничных данных являются естественными, поскольку индуцированы свойствами оператора дt — д^в следующем смысле. Рассмотрим задачу Коши для линеаризованного однородного уравнения Кавахары при а = Ъ = 0

Щ - <•.,„.,„,. = 0, у{0, х) = ц,(х).

Тогда если v^ £ Я" (M) для некоторого s > 0, то можно показать4 , что существует единственное решение этой задачи v(t,x) 6 C(R'; H*(№.)) и для любого 1б1 выполняются соотношения

IIA2/M->z)IIh'/->(R') = WD^'V'-i-^ÏÏH'/HW) = l|u«(-,x)||h»/r,(r1) ~ ||v()||h»(r).

Будем считать, что I - некоторый интервал на M (ограниченный или неограниченный), к, I, m, п, j - целые неотрицательные числа, р G [1,+оо], s G Ж. Символом [s] будем обозначать целую часть числа s > 0. Через Cji(I) обозначим пространство функции с непрерывными н ограниченными в I производными до порядка к включительно. Положим Сь(1) = С"(1). Если интервал I ограничен, индекс b будем опускать.

Символы / = F[f] и J-'^lf] используются соответственно для обозначения прямого и обратного преобразований Фурье, понимаемых как операции в L2(R).

Положим

Н' = Я*(М) = {/ : ^[(1 + шт е L2(R)}.

Через Н*(1) обозначим пространство сужений на I функций из Н\

В дальнейшем если I — R, то символ R в обозначениях для функциональных пространств будем опускать: Lv = Lp(R), С/, = C/,(R) н т.д., а если I = R+ или I — R_, то будем использовать нижний индекс + или —, а именно: Lp.+ = Lp(R+), Lp,- = Lp(R_), Я* = Яя(R+), Hl = H*{R_), Сь.+ - СЬ(Щ), С- = С?(М+), W£+ = W.Ü(R+\ = и т.д.

Если В - некоторое банахово пространство, то через Ci,(I; В) будем обозначать пространство непрерывных ограниченных отображений отрезка / в В (если I ограничен, то индекс Ь, разумеется, опускается). Через LP(I]B) обозначается пространство всех измеримых по Бохнеру отображений f(t) интервала I в В, таких что функция ||/(-)||в является элементом пространства

LP(I).

Введем понятие обобщенного решения задач (1)-(3) н (1), (2), (4)5.

4С.Е. Koiiig, G. Ponce, L. Vega, "Well-posedness of the initial vainc problem for the Kortowog-cle Vries equation", J. Amor. Math. Soo., 4:2 (1901), 323-347

'^Нумерация теорем, лемм, определения и ¿штореферате еоотнететпует их пумерашп! r диссертации.

Пусть щ £ ¿2,+ , щ,и2 е Ь2{0,Т), f 6 ь2{Щ).

Определение 0.0.1. Функция и(1,х) £ ^(П^) называется обобщенным решением задачи (1)-(3), если для любой функции <р^,х) такой, что <р £ Ь2(0,Т;Н1), у,. € £2(0,Г;£2,+), ¥>|,=т = 0, <р|,(;=0 = ух\т=а = =

О, выполняется интегральное тождество

Iln}

и (Vi ~ Уж-тает + + «г".' ) + ^U2<px + flf

dxdt+

+

u.u(x-)v(0, х) dx + / {u2{t)pxxx(t, о) - Ui{t)ipxxxx(t, 0)) dt- =-0r J 0

Пусть и() £ Ь2{0,1), «ьн2, г/,:ь и4, ы5 е Ь2{О, Г), / € Ь2{Ят)-Определение 0.0.2. Функция и(Ь,х) £ Ь2{С}т) называется обобщенным, решением задачи (1), (2), (4), если для любой функции (р^,х) такой, что <р £ Ь2(0,Т;ЯГ'(0,1)), & £ Ь2(0,Т; Ь2(0,1)), ф\ыт = О, И.,-=о = <Рх\.г=о = ¥,.сх|.г=о — Ф\х=1 = |.т=1 = 0, выполняется интегральное тоэ/с-дество

//

"(Vf - «Атажга + Ь<рх.гх + a<pr) + -U2ipx + ftp

dx dt +

i i

+ J uo{x)<p(0,x)dx + J{-ui(t)tpxxxx(t,Ö) + u2(t)ipxxx(t,0)-

ll:i(l)r:r::.,(!. 1) + U4(t)<pxxx(t, 1) - Ur,ij).f r., (i. 1)) dt == 0.

В действительности решения рассматриваемых задач строятся в следующих классах функций

Определение 0.0.3. Для Т > 0 и к > 0 через Х^{{0,Т)х1) (I может быть Е, R+, R_ или I = (0,1)) обозначим пространство функций u(t,x) таких, что

d'tnu £ С([0, Т]; Нк'Ът(1)), т < к/5, (5)

д1ги £ Сь(7; Я^'-/+2>/5(О, Г)), I < к + 2. (6)

Для задачи в неограниченной области (в Пт, П^ или ПГ/) дополнительно вводятся следующие вспомогательные уыовия

d¡"d',:u 6 U (О, Т; Сь(/)) ,5m + l< к, (7)

д}"д[.и 6 L2(l; С[0,Т]), к > 2, 5m + I < к - 2 (8)

В дальнейшем для задачи в неограниченной области под A'¿ ((0, Т)х/) будем подразумевать наличие всех условий (5)-(8).

Для описания свойств правой части уравнения (1) введем следующее функциональное пространство.

Определение 0.0.4. Полоэюим для Т > О, к > 0 и интервала 1(1 может быть К, К+, R_ или I = (0,1))

ЛД.((О, Т) х /) = {/ : d't"f G ¿2(0, Г; Я^г""(/)), m < m„ = [(к + 2)/5]}.

Чтобы сформулировать основной результат, введем вспомогательные функции, связанные с условиями согласования граничных данных.

Определение 0.0.5. Полоэюим Фц(а;) = «о (я) и для любого натурального т

т~ 1

ф1н(х) = дт'тх)+р(дж~1(х) -^С^МФ'ш-,-áx).

;=о

Основным результатом работы являются следующие утверждения.

Теорема 0.0.1. Пусть ut) G Я*, щ G Я^+^О, Т), и2 в , / 6 il4(nj) Лгя некоторых Т > 0 и натурального к >2. Предположим, что 0) = Фш(0) Лгя m < к/5, uí'"\o) = Ф'„(0) для т < (к — 1)/5. Тогда задача (1)-(3) корректна в пространстве .

Теорема 0.0.2. Пусть wö G Hk{0,1), щ,и3 Е Я(Л:+2)/Г'(0,Т), и2,щ е Я№+1)/г'(0,Г), ur, G Hk/r'(0, Т), f Е Mi{Qt) для целого к>0 и некоторого Т > 0. Пусть такоюе г4"°(°) = Ф"Д°) и «з''^0) = $т(1) для т < к/5, 4"0(о) = ф;„(о) и и{;-\о) = ф;„(1) <?ля ш < (к-1)/5, 4'и)(о) = ф;:,(1) д.,гя т < (А; — 2)/5. Тогда задача (1), (2), (4) корректна в пространстве

XUQt) ■

В первой главе строятся и исследуются специальные решения потенциального типа для линеаризованного уравнення Кавахары.

В разделе 1.1 рассматривается задача Коши для линеаризованного уравнения Кавахары

Щ - -f buxxx + аих = f(t, х), (9)

и(0,х) = иа(х), xGR (10)

Для щ G Н\ f G Li(0,T; H") решение решение u(t,x) G C{[Q,T];HS) такой задачи задается формулой

u(t, х) = S(t, х; «о) + Kit, х; /),

где

Sit,x;ut)) = ^[¿Ч^-Мщтх), t

I<{t,x-,f) = J S{t-T,x-J{T,-))dT. 0

Для решения задачи Коши (9), (10) получена оценка Лемма 1.1.2. Если щ G Нк, / G Мд.(Пг) для некоторого Т > 0, то решение u(t,x) задачи (9), (10) в пространстве Хд^Пг) существует и для любого ¿о € (0, Г] справедливо неравенство

(»»•Ii—1 \

»1-0 '

где т0 = [(к + 2)/5].

В разделе 1.2 строятся специальные решения потенцнального типа для линеаризованного уравнения Кавахары.

Для этого необходимы следующие свойства корней алгебраического уравнения

f> - ЪгЛ - ar = 0, AGl\{0}.

Если а — Ь = 0, то корни этого уравнения тривиально находятся и среди них есть ровно два корня Г[(А) и гг(А) с отрицательной действительной

частью, два корня г3(А) п г4(А) с положительной действительной частью и один чисто мнимый корень гг,(Х). Тогда для произвольных а и Ь существует такое Ао(а, 6) > 0, что при |А| > Ау для некоторых констант с > 0 и с\ > О корни п:(А) обладают следующими свойствами (нумерацию корней можно выбрать так, чтобы они были непрерывны по А, Г{:(—А) = гд (Л), при к = й)

Ыег/ДА) < —с]А1, при А; = 1,2;

|П:(А)| при ¿ = 1,2; (И)

|п(А)-г2(А)| >Н1А|1/5 при Л = 1,2;.

йегц.(А) > 31 А|'/5, при /с = 3,4; Кегг,(А) = 0;

|?>(А)| < С1|А|1/Г|, при /с = 3,4,5; (12)

|гг(А) - гт(А)| > с1А|1/г', при 1,т = 3,4,5 и I ф т.

Введем функцию типа граничного потенциала для однородного уравнения (9) в П+ и в Пу.

Определение 1.2.1. Пусть функции «1 (£),«•>(£),«4(£),ий(£) £ Ь2 и щ{Х) = г/о (А) = щ(Х) = щ(Х) = иг,(А) = 0 при |А| < Ао(а, Ь). Полоэюим для г е М и .г > 0

J+(t,x; щ, но) = ^ 1 для ь £ к г/ х < 0

-^М + Тт-Г7ГГи2(Л)

Л (£, х; и;з, г/д) =

-1

0г4(А)Х_,

г3(А)г5(А)

п(А)-Г2(А)

еГ|(А',т4(А)гу)(А) :гз(А)-Г4(А))(Г3(А)-ГЙ(А))~ еГг'(А^г4(Л)г4(Л)

П(А)-Г2(А)

+ ■

(гз(А) - г4(А))(г4(А) - г5(А)) (г3(А) - гй(А))(г4(А) - г5(А)) / е'-'(А)''(г4(А) + г г,(А)) ег'(А>'(г:,(А) + г,(А))

&(А) -

- г3(А))(г.,(А) - г:!(А)) (Г4(А) - г3(А))(г.,(А) - Г4(А))

ег,(А).Г(г.|(А) + Г4(А))

+

(г5(А)-Г3(А))(ГЯ(А)-Г4(А))

И4(А) +

г.,{ Л).г

(г4(А) - г3(А))(г.,(А) - г3(А)) (г4(А) - ЫХ))(гг>(Х) - г4(А))

ег5(Л).г

+

+

:Г5(А)-Г3(А))(Г5(А)-Г4(А)) И

?5(А)

Получим теперь оценки потенциалов в пространстве X

Теорема 1.2.1. Пусть щ Е u2 G для некоторого

к > 0, причем Mi(A) = г£г(Л) = 0 при |А| < Ао(а, 6). Тогда для любого Т > О

,•;щ,t(2)||jft< с(Т,к) (||wi||fl-(t+2)/5 + ЦигЦясно/а),

где в пространстве X/. в отличие от (8) дг"д'хи 6 С[0, Т]) при

к > 0, Ът + 1< к.

Кроме того, функция J+ при х > 0 бесконечно дифференцируема и удовлетворяет уравнению (9) для f = О, причем для некоторой константы Д) > 0 при любых ß е [О, Д(), .То > 0 и т,1 > О

sup ell':\Ol"d'xJ+(t,x; щ, uo)| < c(ß,xo,m,l) (||ui||l2 + Ц^гЦьг) •

.r>.Ti)./eK

Теорема 1.2.2. Пусть и3 G Я^+2>/Г\ м4 6 щ G Н1'^ для

некоторого к > 0, причем и(Х) = И4(А) = и5(Д) = 0 при |А| < До (а, 6). Тогда для любого Т > О имеет место неравенство

|| •; м3: и4, wrOllxnnf.) < с{Т,к)(\\ия\\н^2)ц + ||w4||д-u+D/r, + |Ы|Н^)-

Во второй главе доказаны теоремы о разрешимости линейных задач в полуполосе и в ограниченном прямоугольнике, а также получены оценки решений этих линейных задач.

В разделе 2.1 строится решение линейной смешанной задачи с нулевыми начальной функцией и правой частью.

Рассмотрим сначала задачу (9), (2), (3) в П^. Корректность этой задачи уже была ранее установлена0. Целью настоящего исследования является уточнение некоторых свойств решений этой задачи. Начнем с одного вспомогательного результата.

Определение 1.1.1. Положим Фц(х) s щ(х) и для любого натураль-

вЛ.Р. Воленнч, С.Г. Гппдикнн, "Сметанная задача для (2b + 1) -гиперболических уравнении", Труды МЫО, 43 (1981), 197-259.

иого т

т—1

Ф,„(х) = 9Г1/( 0,®) + Р(дх) Ф,п-1(х) = Р"'{дх)т + ^Р'М(9,)д1,/\ы[У

1=0

Лемма 2.1.1. Пусть Щ) 6 и\,щ £ для любого к, / = О, «['"'(О) = Ф,„(0), 4Ш)(0) = Ф!„,(0) для любого т. Тогда существует бесконечно дифферащируемое решение и(Ь,х) задачи (9), (2), (3) такое, что для любого к если Ът + I < 5к, то

- (|1«оНя? + Н^Нтг/'Д1 + 11«2||,,'* + <) •

Теперь установим лемму о представлении решения линейной смешанной задачи в П^ с нулевыми начальной функцией и правой частью.

Лемма 2.1.2. Пусть щ = 0, / = 0, щ е Я2/5, щ Е Я1/5 и щ(1) = и2(£) = 0 при £ < 0. Тогда для любого Т > 0 в Пу существует (единственное) обобщенное решение задачи (9), (2), (3), задаваемое формулой

ы(£, х) = 7+(£, х; щи, М20) + х),

где

иш{{) = Г-1[(\-ххМЪЛА)] (*).

и2п(£) = ^-1[(1-Хл„(А))Й2(А)] (£)

(ХАц ~ характеристическая функция интервала (—А», Ао)), а функция ги бесконечно дифференцируема при £ > 0, х > 0 и для любых т,1

1|ЗГЗ>|1с(№2.+) < с(Т, т, I) (||и1||Ь2 + ||и2||£а).

Рассмотрим теперь смешанную задачу для уравнения (9) в Пу с начальным ц краевыми условиями

и(0,х) = и0(х), х < 0, (13)

и(£,0)=и:5(£), их{г,0) = щ{Ь), иет(<,0) = «5(4), £ € [0,Т]. (14)

Лемма 2.1.3. Пусть и0 Е Я*, 6 ^ля лю^ого к, / = О,

«з"0(0) = Фг»(0), г4ш)(0) = ф;„(0), '(О) = ^(О) для любого т. Тогда существует единственное бесконечно дифференцируемое решение м(£,а;) задачи (9), (13), (Ц) такое, что для любого к, если 5т+ I < 5к, то

II9"'19''"11с(,(1', :!,>._) - с(*0(Ыя? + ЦизНи'й1 + И"4!!"',';!' + И^Ич^О-

Установим теперь лемму о представлении решения линейной смешанной задачи в П^ с нулевыми начальной функцией й правой частью.

Лемма 2.1.4. Пусть и() = 0, / = 0, щ е Я2^', щ е Я1/5, щ е ¿2 и «л(£) = = иг,(1) = 0 при £ < 0. Тогда для любого Т > 0 в П^ существует обобщенное решение задачи (9), (13), (Ц) вида

и(Ь,х) = ^(1,х]щ,й4,йг,) + ю{Ь,х),

где

эд^'К! -хмытъ

1 - ха„(А))ЗД](£),

(ХАо _ характеристическая функция интервала (—Ао, А»)), а функция ги бесконечно дифференцируема при £ > 0, х < 0 и для любых т, I, х0 > 0 выполняется неравенство

< с(а:(),т,0(||г/,|)Л2 + \\и4\\ь2 + \\ип\\Ь2).

Теперь мы можем сформулировать основные теоремы о разрешимости линейной задачи в П^ и <3у.

Теорема 2.1.1. Пусть щ е Я£, щ £ , и2 6

Я(1+1)/5(0,Т), / 6 М*.(П£) для некоторых Т > 0 и целого к > 0. Предположим также, что = Фш(0) для любого т < к/5, г4'"'(0) = для любого Т7г < (к — 1)/5. Тогда в П^ существует (единственное) решение и{Ь,х) задачи (9), (2), (3) из пространства Х^.(Пу), причем для

любого £() е (О, Т]

»'и-! ш=О

+ ||и1||н(*ч2)л.(о.т) + ЦигНяс-ю/^о.г))-

Рассмотрим задачу (9), (2), (4) в Корректность этой задачи также уже была установлена7. Целью нашего исследования является уточнение некоторых свойств решений этой задачи.

ТеорелГа-2.1.2. Пусть щ 6 Нк{0,1), иии-Л е Я^:+2>/5(0,Т), и2,щ € Я(А;+1)/5(0,Т), ит> е ЯА'/г,(0,Г), / € Л4(<3г) для некоторых Т >0 и целого к > 0. Пусть, кроме того, = Ф„,(0) и и^п\о) = Ф,„(1) для т < к/5,

4"'»(0) = Ф;„(0) и и(Г\0) = Ф;„(1) А™ т < {к - 1)/5, ^(о) = Ф;;,(1) ¿ля ?п < (к — 2)/Ъ. Тогда в (¿х существует единственное решение и{Ь,х) задачи (9), (2), (4) из пространства Хк{<2т), причем для любого ¿о ё (0>Т] справедливо неравенство

Н^Нзд,,,) < с(Т, к) ^ЦиоЦяцол) + ^/10||/||лл.№„) + /«0-1

+ X 11^7|/=о|1я»-г><'»+1>(0Л) + Ии1||н(*Ч2)/-.((),Т) + |М|я<'Ч1)/-(0.Т) +

т~ 0

+ ||м;)||я(И2)/г,(()г) + !Ы|я(Н1>/--(П.Г) + ||«Г,||я*/!(о.т)^-

В разделе 2.2 устанавливаются некоторые интегральные неравенства для решений линейной задачи в П^ и (¿т ■

Лемма 2.2.1. Пусть щ 6 Ь2(/), где I — К+ или I = (0,1), щ — и2 = щ = щ = иг, = 0, ^ € Ь2((0,Т) х I) для некоторых Т > 0 и и(Ь,х) -решение задачи (9), (2), (3) из пространства А^о(П^) и решение задачи (9), (2), (4) из пространства Ха(С}т)- Тогда для любого < £ (0, Г] справедливо неравенство

Jи2(£,х) йх < J Щ(1х->г2 J! ¥ид,хАт.

I I О I

' М.Д. Рамашно», "Красная задача для одного пши диффгрсицнальпых уравнении", Мнтсьмтичсский сборник, Г>4(Ш):2 (2009), 391-402

Лемма 2.2.2. Пусть щ £ Н\, «1 = 0, и2 = 0, / £ Ь2(Ъ,Т\Н%) для некоторого Т > 0, Ио(0) = ио(0) = 0. Пусть и(Ь:х) - решение задачи (9), (2), (3) из пространства Х>(П^). Тогда для любого I £ [0, Т]

(и2ГХ(1,х) — ~иЛ(1,х))рс1х + 4 ^ I и:гхгхр' ¿хйт-

3 ./о лн

2 / I иххххиихрс1хс1т — 2 / I /ххиххр(1х(1т <

Уо Ук+ У» Ук+

< ^ (к)2 - + с(г) (1 + 1м|2с(№+)) x

/ / + / /2(£, 0)йт + / 0) ¿г

УоУ»+ " У о У о -1

7/

Л)

/м рдхдт,

где р(х) = 2-(1 + х)-1/2.

В третьей главе получены результаты сначала о локальной, а затем и о глобальной корректности нелинейной (исходной) задачи.

В разделе 3.1 устанавливается оценка нелинейного члена уравнения (1) в пространствах и М^фг), и получен результат локальной кор-

ректности нелинейной задачи в пространствах и АГд:(С?/0).

Лемма 3.1.1. Пусть и{Ь,х), и(Ь,х) - функции из Лгд:(П£). Тогда справедливы неравенства

11иг,.1'11лд.(п|) < ^114а\(п<.)1М1л-,.(п}.)> для 11гш.'.-11м(п+) < С(Т> ^•)1|и|1А'1.(п})11и11А',.1(п+)' для к > 2.

Кроме того, при к = 0 или к = 1 для любых функций ы(£, х) £ ^(П^) и

у{1,х)ехк( п+)

11Ы1,.х-11л1,{П+) + Н«х"11лл(п+) ^ с(тД")Ци||л'2(п7(;)11г;11А'ИП1+.)-

Лемма 3.1.2. Пусть и(Ь,х), и(£, х) - функции из Х),:(С]т) ■ Тогда спра-

ведливы неравенства

Ни^НлШг) ^ с(т> ^1Мк-(д7.)1М1л'*ют)> для к ^ (15)

< с(Т, ¿0Ик(О:г)1Ми-.юг)> для к > 1- (16)

Теперь с помощью доказанных лемм получим результат локальной корректности задач (1)-(3) л (1), (2), (4).

Лемма 3.1.3. Пусть выполнены условия Теоремы 0.0.1. Тогда существует ¿ц £ (0,Т], такое что задача (1)~(3) корректна в пространстве

Хь(К) ■

Лемма 3.1.4. Пусть выполнены условия Теоремы 0.0.2. Тогда существует ¿о 6 (0, Г] такое, что задача (1), (2), (4) корректна в пространстве Х/,:(<2,„).

В разделе 3.2 доказан результат глобальной корректности исследуемых смешанных задач.

Лемма 3.2.1. Пусть выполнены условия Теоремы 0.0.1 при к = 2. Пред-полоэюим, что для некоторого Т' £ (0,Т] функция и(£,х) из пространства ^(Пр) является решением задачи (1)-(3). Тогда

1Ы1с«0.7"]:Я|) < С(Т> 1Ы1/ф 1М1я^(0.;Г)> 1Ы1 НУЦЧТ)> И/Нх-И».^)) •

Лемма 3.2.2. Пусть выполнены условия Теоремы 0.0.1 для к > 3. Предполоэюим, что для некоторого Т' £ (0, Т] существует решение задачи (1)-(3) из пространства Тогда равномерно по Т"

11и11л'к.(п.|„) < с{Т,к, ЦицЦя^, ||и1||я(Н2)/.-.(1).г),

||и2||я(»-+1)/=(0.Т), 11/11м;(П+)> 1М1л'а-](П;,))-

Лемма 3.2.3. Пусть выполнены условия Теоремы 0.0.2 для к = 0. Предполоэюим, что для некоторого Т' £ (0, Т] существует решение и(1,х) задачи (1), (2), (4) из пространства Хц((5т)- Тогда выполняется иеравен-

17

ство

1м1с([0.т'];л2(0.1)) < с (г, ||uo||l2(o,i), ll^i 11я2/г,(().г)' цигця'/'по.г)»

1М1я2/5(0.Т)> IMIff'/^O-T). IM|l2(0,T), |l/||i2(Or)) •

Лемма 3.2.4. Пусть выполнены условия Теоремы 0.0.2 для к > 1. Предполоо/сим, что для некоторого Т' £ (О, Г] существует решение u(t,x) задачи (1), (2), (4) из пространства X^Qjv)- Тогда равномерно по Т'

IMU'n.((?3./) < с(Т,к, ЦадЦя*, l|wi|^(t+2)/i(().r)i ЦигНясч-о/^о.г))

||И:!||я№«)/-(О.Г)> И^ИЯ^+Ч/^О.Т)! 1Ы|Я'/''(0.Т)> ll/IU/t.(Or)' IIuIIA',._i(Or'))"

Утверждение Теоремы 0.0.1 следует из локальной корректности (Леммы

3.1.3) и глобальных априорных оценок (Лемма 3.2.1 и Лемма 3.2.2). Утверждение Теоремы 0.0.2 следует из локальной корректности (Леммы

3.1.4) и глобальных априорных оценок (Лемма 3.2.3 и Лемма 3.2.4).

Список публикаций

Содержание диссертации и ее основные результаты достаточно полно отражены в следующих публикациях автора:

1. Кувшинов р. в. Нелокальная корректность смешанной задачи в иолуно-лосе для уравнения Кавахары // Тезисы докладов секции «Дифференциальные уравнения и функциональный анализ». xl Всероссийская конференция но проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва, рудн, 19-23 апреля 2004 года. - с. 34.

2. Faminskii a.v., Kuvshinov r.v. On an initial boundary value problem in a half-strip for the Kawahara equation // Abstracts. International conference "Differential Equations and Related Topics dedicated to the Centenary Anniversary of Ivan g.Petrovskii (1901-1973) (xxii Joint Session of Petrovskii Seminar and Moscow Mathematical Society), Moscow, May 21-26, 2007 — c. 89.

3. Кувшинов p. в. Глобальная корректность смешанной задачи в полуиоло-се для уравнения Кавахары // Тезисы докладов секции «Дифференциаль-

ные уравнения, математический анализ и оптимизация». XLIV Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Москва, РУДЫ, 21-25 апреля 2008 года. - С. 14.

4. Faminskii A.V., Kuvshinov R.V. Global Well-Posedness of Two Initial Boundary Problems for the Kawahara Equation // Abstracts. The Fifth International Conference on Differential and Functional Differential Equations, Moscow, Russia, August 17-24, 2008. - C. 42.

5. Кувшинов P.B., Фаминский A.B. Смешанная задача в нолуполосе для уравнения Кавахары // Дифференциальные уравнения — 2009. - Т. 45, №3, - С. 391-402.

6. Кувшинов Р.В. Потенциалы для линеаризованного уравнения Кавахары // Вестник РУДН, сер. "Математика, Информатика, Физика"— 2010, - №3, -С. 5-16.

7. Кувшинов Р.В. Нелокальная корректность смешанной задачи в ограниченном прямоугольнике для уравнения Кавахары // Вестник РУДН, сер. "Математика, Информатика, Физика"— 2010, - №4, - С. 35-47.

Кувшинов Роман (Россия) Нелокальная корректность смешанных задач для уравнения Кавахары

В диссертации исследуются смешанные задачи для уравнения Кавахары. Устанавливается результат нелокальной корректности смешанных задач в нолуиолосе и в ограниченном прямоугольнике для уравнения Кавахары при естественных условиях гладкости на граничные данные. Также исследуются свойства решений потенциального типа смешанных задач в полунолосах для линеаризованного уравнения Кавахары.

Roman Kuvshinov (Russia) Nonlocal well-posedness of the mixed problems for the Kawahara equation

This thesis is devoted to studies of initial-boundary problems for the Kawahara equation. The nonlocal well-posedness of initial-boundary problems for Kawahara equation in a half-strip and in a bounded rectangle under natural conditions on boundary data is proved. Also the properties of special solutions of potential type for a linearized Kawahara equation in a half-strips are studied.

Подписано в печать 29.12.10. Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Усл. печ. л. 1,25. Заказ 1446

Типография Издательства РУДН 117923, ГСП-1, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д.З

1. Т. Kawahara, "Oscillatory solitary waves in dispersive media", J. Phys. Soc. Japan, 33:1 (1972), 260-264.

2. A.B. Марченко, "О длинных волнах в мелкой жидкости под ледяным покровом", Прикл. матем. мех., 52:2 (1988), 230-234.

3. А.Т. Ильичев, "О свойствах одного нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка, описывающего волновые процессы в средах со слабой дисперсией", Труды МИАН, 186 (1989), 222-226.

4. Y. Pomeau, A. Ramani, В. Grammaticos, "Structural stability of the Korteweg-de Vries solitons under a singular perturbation", Physica D, 31 (1988), 127-134.

5. J.P. Boyd, 11 Weakly non-local solitons for capillary-gravity waves: fifth degree Korteweg-de Vries equation", Physica D, 48 (1991), 129-146.

6. J.C. Saut, "Sur quelques generalizations de l'equation de Korteweg-de Vries", J. Math. Pures Appl, 58:1 (1979), 21-61.7j A.B. Фаминский, "Задача Коши для квазилинейных уравнений нечетного порядка", Матем. сборник, 180:9 (1989), 1183-1210.

7. Н.А. Biagioni, F. Linares, "On the Benney-Lin and Kawahara equations". J. Math. Anal. Appl., 211 (1997), 131-152.

8. S. Cui, S. Tao, "Stricharts estimates for dispersive equations and solvability of the Kawahara equation", J. Math. Anal. Appl, 304 (2005), 683-702.

9. S. Cui, D. Deng, S. Tao, "Global existence of solutions for the Cauchy problem of the Kawahara equation with L2 initial data", Acta Math. Sinica (Engl. Ser.), 22:5 (2006), 1457-1466.

10. H. Wang, S. Cui, D. Deng, "Global existence of solutions for the Kawahara equation in Sobolev spaces of negative indices", Acta Math. Sinica (Engl. Ser.), 23:8 (2007), 1435-1446.

11. К. Сангаре, "Смешанная задача в полуполосе для обобщенного уравнения Кавахары в пространстве бесконечно дифференцируемых экспоненциально убывающих функции", Вестник Рос. ун-та дружбы народов, сер. матем, 10:1 (2003), 91-107.

12. N.A. Larkin, G.G. Doronin, "Kawahara equation in a quarter-plane and in a finite domain", Bol. Soc. Paran. Mat. (3s.), 25:(l-2) (2007), 9-16.

13. К. Сангаре, А.В. Фаминский, "Слабые решения смешанной задачи в полуполосе для обощенного уравнения Кавахары", Математические заметки, 85 (2009), 98-109.

14. N. A. Larkin, "Correct initial boundary value problems for dispersive equations", J. Math. Anal. Appl., 344:2 (2008), 1079-1092.

15. G.G. Doronin, N. A. Larkin, "Kawahara equation in a boundary domain", Biscr. and Contin. Byn. Syst., 10:4 (2008), 783-799.

16. G.G. Doronin, N.A. Larkin, "Boundary value problems for the stationary Kawahara equation", Nonlinear Analysis 69 (2008), 1655-1665.

17. A.V. Faminskii, "An initial boundary-value problem in a half-strip for the Korteweg-de Vries equation in fractional-order Sobolev spaces", Comm. Partial Bifferential Equations, 29:(11-12) (2004), 1653-1695.

18. A.V. Faminskii, "Global well-posedness of two initial-boundary-value problems for the Korteweg-de Vries equation", Bifferential Integral Equations, 20:6 (2007), 601-642.

19. C.E. Kcnig, G. Ponce, L. Vega, "Well-posedness of the initial value problem for the Korteweg-de Vries equation", J. Amer. Math. Soc., 4:2 (1991), 323347.

20. Ж-Л. Лионе, Э. Мадженес, "Неоднородные граничные задачи и их приложения". М.: Мир, 1971.

21. J.L. Bona, S. Sun, B.-Y. Zhang, "A nonhomogeneous boundary-value problems for the Korteweg de Vries equation in a quarter-plane", Trans. Amer. Math. Soc., 354:2 (2002). 427-490.

22. Л.Р. Волевич, С.Г. Гиндикин, "Смешанная задача для (26 + 1)-гиперболических уравнений", Труды ММО, 43 (1981), 197-259.

23. К. Иосида, "Функциональный анализ". М.: Мир, 1967.

24. М.Д. Рамазанов, "Краевая задача для одного типа дифференциальных уравнений", Математический сборник, 64(106):2 (2009), 391-402.

25. Р.В. Кувшинов, А.В. Фаминский, "Смешанная задача в полуполосе для уравнения Кавахары", Дифференциальные уравнения, 45:3 (2009), 391402.

26. Р.В. Кувшинов "Потенциалы для линеаризованного уравнения Каваха-ры", Вестник РУДН, сер. Математика, Информатика, Физика, 3 (2010), 5-16.

27. Р.В. Кувшинов "Нелокальная корректность смешанной задачи в ограниченном прямоугольнике для уравнения Кавахары", Вестник РУДН. сер. Математика. Информатика, Физика, 4 (2010), 35-47.