Нелокальные краевые задачи для уравнений смешанного типа в двусвязной области тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ шик РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН Институт математики имели В. И. Романовского

I

' П Ш правах рукописи

о -, .,.

л 7

3

А

КАРИМОВ ШАХОВИДДИН ТЦИЧИБОЕЬИЧ

НЕЛОКАЛЬНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЦРАВНЕНИИ СМЕШАННОГО ТИПА

О явисвазнои овласти

01.01.02 - ДиФ*ерешшалыше уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата Физико-натематических наук

Т а ш л е и т - 1994

Габота выполнена в институте математики гасни В. И. Романовского АН ГеспУбдики Узбекистан,

Научный руководитель - академик АН Республики Узбекистан.

доктор Физико-натенатических наук, профессор

М. с:. Салахитпинов

Официальные оппоненты - член■корреспондент НАН Республики

Казахстан, доктор физико-математических наук, профессор

Т. т. Кальменов

- кандидат Физикснатенатических' наук с. н. с.

cz. с:. Исамухамедон

Ведущая организация - Институт математики и механики ЛН Туркменистана

Зашита диссертации состоится ___^ryJyys______ 1994 г.

в 43 часов на заседании спепиализиронзнного сонета П 015. 17.21 в Институте математики имени В. И. Ронановского АН Республики Узбекистан по адресу: 700113. г. Ташкент -143, ул. Ф. Хопхзева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться и библиотеке Института Матенатики инени В. И. ронановского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан "rct^" .. _________ 1991 г.

Ученый секретарь спепиализиРоватгого совета доктор физ. -кат. плук

лг

чс ус

i

111. л. Хашимон

п //

/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА Pl£OTU

Актуальность темы. Начиная о двадцати* годов нашего столетия, ведутся интенсивные исследования проблем теория краевых задач для уравнений смешанного типа, основа которой били заложены в фундаментальных работах Ф.Трикоми, С.Геллерстедта, А.В.Бицадзе, Ф.И.Франкля и К.И.Бабенко.

Интерес к изучению краевых задач для таких уравнений особенно возрос посла того, как обнаружилась их связь с задачами газовой динамики, теории оболочек, магнитной гидродинамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, изучением процессов теплообмена, а также с другими областями науки и техники. Этот интерес обусловлен не только в практическом плане, но и большим математическим содержанием возникающих здесь проблем.

В связи с этим в настоящее время имеются многочисленные работы отечественных и зарубежных ученых, в которых исследуются основные краевые задачи и ставятся новые корректные задачи для уравнений смешанного типа. Обзор многих из этих исследований и их прилоиений можно найти в монографиях А.В.Бицадзе, Л.Берса , М.С.Салахивдинова, Т.Д.Джураева, М.М.Смирнова, А.М.Нахушева, С.А.Терсенова и Е.И.Моисеева.

В последнее время активно развивается теория нелокальных краевых задач. Основополагающими в этом направлении являются работы А.В.Бицадзе и A.A.Самарского, А.М.Кахушева. Изучению таких задач посвящено много исследовательских работ, среди которых следует отметить работы М.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураева, Ш.А.Алимова, Т.Ш.Кадьмено-ва, М.М.Мередова, В.Н.Врагова, М.М.Смирнова, В.Ф.Волкодавова, В.И.Жегалова и их учеников.

В начале пятидесятых годов А.В.Бицадзе бия поставлен и изучен аналог задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе в двуевдзной области. Однако, до настоящего времени как локальные, так и нелокальные краевые задачи, в основном, рассматривались в односвязных областях. Краевые задачи для уравнений смешанного типа с одной линией вырождения н двусвязцоц области изучены сравнительно мало, а для уравнения с двумя линиями вырокдения и с младшими членами почти не изучены.

Данная диссертационная работа посвящена постановке и исследованию нелокальных краевых задач типа Бицадзе-Самарского в двусвязной области для уравнений

Цалт, работы. Основная цель работы состоит в постановке и исследовании вопросов существования и единственности решения нело^-калыда ираешх задач в смешанной двусвязной области для уравнений смешанного зллиптико-гйперболического типа с одной и двумя линиями выроадения.

Методика исследования. Единственность решения изучаемых задач доказывается методами интегралов энергии и принципа экстремума, причем при применении этих методов существенно используются интегральное представление и свойстве! функции Бесселя. При доказательстве существования решения рассматриваемых задач широко применяется теория сингулярных интегральных уравнений и систем линейных интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

Научная новизна. Поставлена и исследована нелокальная краевая задача с нормальной производной для уравнения (I) в смешанцой двусвязной области, а такие ряд вспомогательных задач для этого ¡ке уравнения в односвязных областях. В работе впервые исследованы нелокальные ¡сраеше задачи типа Бицадзе-Самарского в смешанной двусвязной области для уравнения (2). При этом нелокальные условия заданы как в эллиптической, так и в гиперболической части смешанной двусвязной области.

Практическая и теоретическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми и имеют теоретический характер,' Они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнений смешанного типа, а также при решении прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на объединенном семинаре отделов "Дифференциальные уравнения" и '

где Д - заданное действительное число.

"Неклассические уравнения математической физики" Института математики им.В.И.Романовского АН Республики Узбекистан (руководители - академики All РУз М.С.Салахитдинов и Т.Д.Дкураев), ' на Международной научно« конференции "Вырождающиеся уравнения и уравнения смешанного типа" (г.Ташкент, 1993 г., ноябрь), на конференциях молодых ученых г.Ташкента, посвященной памяти В.И.Романовского (1991-19У4 гг.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 4 работах:, перечень которых приведен в конце автореферата.

Структура и обьем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, содержащих 3 параграфов, и библиографии. Общий объем работы У7 страниц машинописного текста. Библиография включает 64 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор литературы по теме диссертации, показана актуальность темы исследования, и приводится краткое содержание работн.

Первая глава, состоящая из трех параграфов, посвящена постановке и исследованию нелокальной задачи с нормальной производной для уравнения (I), которая названа задачей P"(Q). Причем здесь предполагается, что при itу > О (<0) , где

Хг- заданнне действительные числа.

В § I дается постановка задачи ре (С?) и одной вспомогательной задачи, которая имеет самостоятельный интерес.

Пусть - конечная двусачзная область, плоскости перемени»* X н у , ограниченная при Ху*>0 гладкими кривыми и 6j* ij = 1,2) с гонцами в точках ¿¿(0,$)/

5, [о, {) „ А*(Ог^),А*('^о), &*(o,-d), ¿¡Ы.О),

которле расположены в областях х>0, >{ я<0] у<0

соответственно, а при СС^сО характеристиками

А£А*: (2>о,у<о)г

Аг А*: , В>г 6*: (*<о, ро)

уравнения (I), причем { .

Примем следующие обозначения: СХ + у > С^))

%*9П('.г>О)п(у>0)) ¿¿*9П(у<0), ¿¿=8 П (сс<о),

№ {(Х'Р: ХТ'9> К Е<

Лу C■j , Лу Е; - геометрические фигуры, симметричные соответственно фигурам $ 1 , , , AjЬj , А у С/

^ Е^ (¿я 1,2) относительно прямой .27у-¿7.

Точка пересечения характеристик, выходящих из точек

(х.о)е а, и (о, у) £ а*ь* ( (о,у)еа£ &г

И {Х,0) £ Л} в| ) , с характеристикой СХ-у--1)

обозначим через и ( в2 и ) соответственно.

3 а д а ч в Ра(&) . Определить в области О функцию и(2,у) со следующими свойствами:

1) и(х,у)еС(Я) ПС*(Оиег.иб* \(ху=*<} \ (х+у *<>)),

причем

могут иметь особенность порядка меньше едишщн при £ —+ С} , ¿ —>- ± ^

2) и(Я>у) - давяда непрерывно дифференцируемое в области Р\ ( ау» О) \ (-Х+у~0) \ (ЭС + у = 1 ^ ) решение уравнения (I);

3) ¿¿С^, у ) у;,с.аг2130П1ег г

СЛОЛКЯМ

- ?

и

о, Ал _

А (о,у)£ а* &*•

(вг)] -- а2Ц)исо.р* (Офе Т[Кг; (5)

СЗ)

и

где ¿¿(-Х.у), , Я^хфеЩ), ftLx.fr

у/1 ¿/реССГ^ПС^О]),

~ задашше функции,

в

причем _ л I *

а. 1ц)--к-м)'£'оа),

й ¿.

И - внутренняя нормаль к кривым 6Г. и 6"* ( 1,2) { - оператор, определяемый формулой1'':

I) (в)

а

I) Салахитдинов М.С., Уршюв АД. Докл.АН СССР. 1982. ТЛ62 '»3

С. 53 9-5 и.

Здесь CL £ Я , К-О, i', JQ ¿i) - функция Бесседя нулевого порядка, причем в постановке задачи , A¿eR , i1

3 а д а'ч а . Найти в области В решение

щх,у)е ссъ)пс*(вибг.) п с2 =

уравнения (I), удовлетворяющее краевым условиям (а), (5) и

a^íulb.)} -- cla-z) щх,о)+ ;

IX

таьое, что Uz(0,i) могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы при —*• ^ и ¿—*■ i , здесь ¿3СХ) - заданная функция, причем,

(% í) / ¿

$3СХ)еС.(Г2)ПС. ' 'OU), oa^l.

Осцоьнш результатом § 2 является доказательство существования и единственности решения задачи Ра(Ъ) . Единственность решения этой задачи сформулирована в вида трех теорем ц доказана методом интегралов энергии с использованием интегрального представления функции Бесселя.

Теорема I.I. Пусть О,- [(• i)''x]s Щ , ¿¿4,2 . Тогда, если выполнены условия

Lx,y)e*¿ , (¿:¿,2)t (?)

то VAj.^e'R .задача Ра(£>) не может иметь оолео одного решения.

Теорема 1.2. Пусть a- í(~i)JCc]tj , ¡~i,Z .

Если выполнены условия (7) и ■

• I г

i i * то при l-Aj | £ | не может существовать более одного решения задачи Р°(Ф),

Т ь о р е м а 1.3. Пусть CL. [(-aí/íCjs j- ,

a.t [Hf*]* j , ¡i*,

Если выполнены условия (?) и (ор, то при | Л* | £ М2 \ задача Рв(Э) не может иметь более одного решения.

Существований решения задачи Р° ($)) доказано методом интегральных уравнений, причем здесь в соответствии с теоремами единственности такие рассмотрены три возможных случай.

В третьем параграфе главы I исследована задача р'(О) , причем здесь сначала в пункте 3.1 изучено однозначная разрешимость вспомогательных задач, которые названы задачами Р(&) и

Задача Р(£)) (Р(£|+)) . Найти в области

ее в*) решите и-(х,р£С{$)п сНвиб-)пс'се \

уравнения

(I), удовлетворяющее краевым условиям (3) ((4)) и

u| ^(cr), zeÇ , и\ *Хг<у),

Иг Lz

Afâ A*2t*

таков, что Uy Ux(o,t) могут обращаться в бес-

конечность порядка меньше единицы при i —*• 1 (- i) и

t — ? (-f) ; ад«* X.(t)et{f3 ) a CUJ)(Ç),

ç P

ШНКЩ)/г) 20(i), {X%i)eur3)ncaJ\r3),

a d

j

В пункте 3.2 ? 3 исследована однозначная разрешимость задачи . Оно доказана эквивалентным сведением этой задачи к задачам

- 10 -

Во второй главе, состоящей из пяти параграфов, рассматривается уравнение (2) а исследуются задачи типа Бицадзе-Самар-ского для этого уравнения в смешанной двусвязной области. Здесь также предполагается, что Л - при (<0),

где Дд, , - заданные действительные числа.

Б первом параграфе дается постановка задач. Пусть О - конечная двуовязная область плоскости переменных ос и у , ограниченная при у>о кривыми ,'

*М 2М>*+й)]' У*"-?*" . У«}"}

и при У < О характеристиками

° / {*Ы1)/2 и

^С,-: (-¿) [2/«п+г)](-у> ,

I , (М1Ч)/2 ,

сд.: ,

/ о

уравнения .(2), 8

В подобласти С?2 из точек , сг ( , сг ) проведем характеристики, параллельные характеристикам до пересечения их с ( С ^ ) в точках

соответственно. Тогда разбивается на следующие части :

характеристические треугольники Лу №.. (Г(2) и

четырехугольники О^ =• ^ Л^ М,

Через ( ) обозначим точку пересечения характеристики, выходящей из точки (Я, ((2,0) ) < с характеристикой Д^ (в, С,).

Задача 5° . Определить в области С ^угшггш (¿(■Х,^), обладавшую следующими свойствами:

I)и(х,тС(0): 2) щх,1/)£с2(я и кд о.)

е кг-1 */ >>

и удовлетворяет уравнению (2) соответственно в областях , Л,- , С^у и Оц (у = I, 2); 3) выполняется условие склеивания

иу(*,</)= йт. и„(х,у)= нх), хеГ,!--{,г,

причем на концах I? моаот обращать«! з бесконечность по-

рядка меньше 2/(м.-+2) ; 4) удовлетворяет усло-

виям

и

! = %(х), ; и\ . %(х), (~*)еГй.

Задача & . Найти в области £ функцию и (X, у), удовлетворяющую всем условиям задачи 5° I кроме (10), (II), которые заменяются уел овил ш

[ ^^(Х), ¿2,0); Здесь <4/ а/Х)' ^ СХ)

и - заданные функции, - ^* )

- заданные действительные числа, лрячем у, < < ... < < i;

, ~ °П0Ра;гоРы Дробного диф$ерешдирования порядна

¿уО » 8 А*'Л ~ оператор, определенный формулой (6),

от*

Р * + V).

Задачи, полученные из задач в и В* при (¿£.(Х,у)ёО г

названы задачами А° и А* соответственно. Они представляют самостоятельный интерес и используются при исследовании задач 8" и В* .

в § 2 исследуется существование и единственность решения 8адачи А° •

Теорема 2.1. Пусть выполнена одна из следующих групп условий: I. с..(х)~0, II. с/.(х)^0, с/.(ц)>0,

с.](х)<0, ¡нх III. су(х)£0, £к1х)*0, ск(фуо,

с'1с(х)£0, ¿ы, ; где с.(х) = 1- [г(/1}/г(2р)]*

Я/ ,

Тогда У^ .задача Л" не может иметь более одного

решения.

Эта теорема доказана методом интегралов энергии с использованием интегрального представления функции Бесселя. Существование решения задачи Д° доказано, следуя идее Трикопи, сведением решения этой задачи к расщепленной системе сингулярных интегральных уравнений, а затем,применяя метод регуляризации Карлеыанэ-Векуа, - к системе интегральных уравнений Фредголша второго рода, однозначная разрешимость которой (в силу эквивалентности) следует из единственности решения задачи а" .

Доказательству существования и единственности решения задачи посвящен § 3. Методом принципа экстрсыуйа доказана следующая теорема единственности.

Теорема 2.2. Пусть млеет место одна из следующих групп условий: I. с;(х)=0, ¿-¿,2; II. (я)фо,

причем они положительные ¡^возрастающие фушпич ::и клаосч

я, /Л1 £ l/ß(Kf)(i>2f)/(i-2p ; (12)

III. (Lj(X)BO, j, 1,2 ц виполнош,

при соответствующих К , все условия случая II. Тогда, если при соблюдении условий п.

Zu LZ,ре*. , j-ij; цз)

(¿xjit -1,0) =0, ¡C=i,n. , существует решение задачи ß°, то оно е.динствйнно.

Существование решения задачи доказано сведением решения этой задачи,с использованием результатов исследования задачи А" I к эквивалентной системе интегральных уравнений Фред-гольыа второго рода.

Основным результатов § 4 и 5 5 является доказательство однозначной разрешимости задач и ¿* соответственно. При атом единственность решения згаачи А1 доказана методом интегралов анвргин, а задачи &1 - методом принципа экстремума, которые сформудироваш в виде следующих теорем.

Теорема 2.3. Если выполнена одна из следующих групп условии: I. dj (ОС) -О , И. dj(X)*a,

¿--1,2. П1. djCVzO^^xytD, ¿Ф/с, ¿,JC:i,2,

причем при соответствующих к. выполнены всо условия случая II, то

1 , £L ti ¡je моког существовать более одного решения задачи Д* .

Теорема 2.4. Пусть имеет место одна из следующих групп условий: I. dj (Х)£0 , ; П. с!.-(Х))0,

и неравенство (12); III. djCx)sO, d^CXj^O,

jf)C, J,c~d,2 , причем при соответствующих /с виполнош условия (12) и • dK (сс) >о .

Тогда, если при выполнении условии (13) и

(+1 , 0) В 0, 1С~ {, п существует решение

задачи , то оно е,цинственно. я у ,

Здесь ъХГ/Лн-ЦЯ+ПрУ-хуа; 1Ы) 2],

Существование решения задач а и & доказано методом интегральных уравнений, причем в соответствии с условиями теорем 2.3 и 2.4 здезь также рассмотрены три возможных случая.

Следует заметить, что к исследованию единственности решения задач А° и К1 также применим и метод принципа экстре-мема.

Пользуясь.случаем, выражаю искреннюю признательность научному руководителю, академику АН Республики Узбекистан Махмуду Салахитдиновичу Салахитдинову за постановку задач, постоянное внимание и за ценные советы при выполнении настоящей работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Каримов Ш.Т, Нелокальная задача с нормальной производной для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе в двусвязной области // Узб.мат.курн. 1933, й 3. С.59-63.

2. Оалахитдинов М.С., Каримов Ш.Т. Нелокальная задача для обобщенного уравнения Трикоми в двусвязной области // Докл.АН РУз, 1993, К 8. 0.4-5.

3. Каримов Ш.Т.Нелокальная задача в двусвязной области для уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения. В кн.; Тезисы докладов Международной научной конференции "Выровдакь вдеся "Уравнения и уравнения смешанного типа". Ташкент: 1993. • 0.93.

4. Каримов Ш.Т. Нелокальная краевая задача для обобщенного уравнения Трикоыи со спектральным параметром в двусвязной области // Ред.кури. "Узб.мат.курн."- Ташкент. 1994, - 17*о,-Библиограф. Г - 10 назв. Деп.в ГФ НТИ ШГГ Руз. 21.04.94 г.,

й 2077 - Уз94.

АРАЛЛШ ТИГЩАГИ ТШГЛАМАЛАР УЧУН ИКНИ БОШШИ СОЭДЦА ПОЛОПАЛ ЧЕГАРАВИЙ МАСАЛМАР

Ушбу иш икки бобдан иборат булиб, унинг биринчи бобвда типининг узгариш чиэиги иккита булган спектрал параметрли Лавронтьев-Бкцадзе тенгламаси учун инки богламли аралаш со?;а-да нормал ^осилали нолокал масала нуйилган ва текширилган. Шунингдек бунда бир неча ёрцамчи локал ва нолокал масалалар бир богламли со^ада урганилган.

Иккицчи бобда спектрал параметрли умумлашган Трикоми тенгламаси учун икки богламли аралаш солода иккита асосий ва иккита ёрцамчи нолокал чэгаравий масялалпр урганилган. Бунда нолокал чегарапий шартлар царалаётгаи со^анинг эллиптик цисмида хам, гиперболик нисимда э^ам берил!"ан.

Ишда урганилган масалалар ечимининг ягоналиги энергия интеграллари ва экстремум принципи усуллари ёрдамида исботлан-ган. Бунда Еессел функшшларнинг интеграл куриниши ва хоссала-ридан кенг фойд&аанилган. Масалалар ечимининг мавжудлигини исботлашда эса, сингуляр интеграл тенгламалар ва Фредгольм интеграл тенгламалар систомаси назариялари кенг кулланилгвн.

Диссертацияда олинган натижалар аралаш типдаги тенгламалар учун чегаравиП масалалар наэариясида ва шу тенгламаларга оли.1 келувчи амалий масалаларни ечиеда кулланилиши мумкин.

Ilonlocetl boundary value problems for the mixed tupe equations in the doubly connected domain.

The dissertation consists of introduction and two chapters. In the first chapter the nonlocal boundary value problem with normal derivative for I<avrentyev-Biteadze equation with two degeneracy lineB and spectral parameter in the doubly connected domain ia studied. The auxiliary local arid nonlocal boundary value problems in the one connected domain are investigated as well.

In the second chapter the two main and the two auxiliaiy nonlocal boundary value problems in the mixed doubly connected domain for Jirtcomi generalized equation with spectral parameter are studied. The nonlocal conditions both in elliptic and hyperbolic parts of the involved domain are set here problems.

The solution uniqueness of the studied in the thesis ia proved by the energy integrals and extremum principle methods. The integral representation and Bessel function property arc widely used. The theory of singular integral equatior.a end Fredhulm system Minear integral equations of the second genus is widely uzed to prove existence of the involved problems solution«

The results obtained in the thesis are new and are of theoretical nature. They are applied in the theory of boundary value problems for the nixed type equations and in solving applied problems resulting in such equations as well.