Необходимые условия экстремума в задачах оптимального управления с промежуточными ограничениями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

Р Г С АД ОРДЕНА ДРУЖБЫ НАРОДОВ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЯ£БЫ НАРОДОВ

- 6 ЯН8 1995

на преппх рукописи ОКУЛЕВИЧ АЛЛА ИВАНОВНА

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1995 г.

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и функционального анализа Российского университета дружбы народов

Научный руководитель: доктор фг.зико-математических наук, профессор А.В.Арутюнов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор В. И. Благодатских кандидат физико-математических наук Ю.Н.Жидков

Ведущая организация - Институт проблем управления РАН

Защита состоится "X"¡.¿¿й/МнЖ¡>- 1995г. в 15^ час. на заседании диссертационного сонета К 053.22.23 в Российском униг трситете дружбы народов по адресу: 117419, г.Москва, ул.Орджоникидзе, д.З, ауд.485.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского университета дружбы народов пс адресу: 117198, г.Москва, ул.Миклухо-Маклая, д.6.

Автореферат разослан "Ж" МсШ^Лс^ 1995 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук,

доцент

М.В.Драгнев

с

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной теории тремальных задач и оптимального управления одним из гересных направлений исследований являются диффе-[циальные уравнения с разрывными правыми частями зрывные системы). Своеобразным фундаментом для гчения разрывных сиЬтем являются работы, посвящен-в оптимизации систем с промежуточными ограничени-а на траекториях.

Основы в теории оптимального управления были зало-аы академиком Л.С.Понтрягиным и группой его учени-I. Новые постановки задач оптимального управления [вели к необходимости разработки принципиально ;ых методов исследований. Большой вклад в их создание ели советские ученые: Л.С.Понтрягин, В.Г.Болтянский, ¡.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко, Е.Р.Аваков, А.А.Аграчев, (.Арутюнов, В.И.Благодатских, Ф.П.Васильев, А.Я.Дубо-;кий, А.А.Милютин, Ю.Н.Жидков, А.Д.Иоффе, [.Тихомиров, Н.Т.Тынянский, Г.Л.Харатишвили, 1.Тер-Крикоров, В.А.Якубович и другие.

При исследовании необходимых условий оптималь-ти особое внимание уделено их невырожденности. Дело эм, что в определенных ситуациях принцип максимума кет вырождаться. Последнее означает, что оптимальной е соответствует набор множителей Лагранжа, у которого I = 0 для п.в. ^ с0 = 0. Чтобы сделать принцип ;симума содержательным, на изучаемую оптимальную у нужно наложить дополнительные ограничения.

Диссертационная работа посвящена исследованию Зходимых условий оптимальности, в задачах оптималь-э управления с промежуточными ограничениями на 5КТориях. Основным аппаратом исследований являются эды возмущений: метод штрафов и метод р - возмуще-. При этом исходная экстремальная задача погружается емейство аппроксимирующих ее задач, причем воз-*енные задачи оказываются качественно проще исход-

1

ной. После анализа и преобразования аппроксимирующ задач получаем результаты для исходной зада предельным переходом по параметру возмущения.

Цель работы. Получение необходимых услов экстремума первого и второго порядка в задачах оп1: мального управления с промежуточными ограничениями траекториях.

Общий метод исследования. В диссертационной раб( использованы теория обыкновенных дифференциальн: уравнений, разделы функционального анализа и теор экстремальных задач.

Научная новизна работы. В диссертации впервые I лучены необходимые условия первого и второго порядке задачах оптимального управления с промежуточными ог] ничениями, причем рассмотрены задачи оптимального з равления со смешанными ограничениями, с фазовыми ог] ничениями, минимаксная задача. Доказаны условия нея рожденности принципа максимума для задач с прог жуточными ограничениями как при наличии фазовых ог] ничений, так и без них.

Использование полученных результатов. Диссертаг онная работа носит теоретический характер. Ее результа могут быть применены при получении необходим; условий оптимальности в теории экстремальных задач.

Апробация работы. Результаты диссертационной ра! ты докладывались на научной конференции "Понтрягш кие чтения - V", на Третьем междуународном семина "Многокритериальные задачи при неопределенности", научных конференциях факультета физико-математическ и естественных наук РУДН, на заседаниях научнс семинара кафедры дифференциальных уравнений функционального анализа РУДН и кафедры оптимальш управления факультета ВМиК МГУ. По материал Диссертации опубликовано 5 работ.

Структура и объем диссертации. Диссертация объем 117 страниц состоит из введения, трех глав, разбитых параграфы, и списка литературы из 45 наименований. 2

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертации посвящена задаче опти-чьного управления с промежуточным» ограничениями.

В §1 приводятся основные определения и обозначения, дятся понятия условной сходимости, существенных |делов измеримой функции, пространства вариаций бщенных управлений и

В §2 приведена постановка задачи и сделаны основные дположения. Рассматривается задача:

= {/(x,u,t), Wr)); I е [f, i„], r,</„;

p) S 0; Jад = 0; с ,u,t) s 0; Щх.и,!) = 0; p) -> min,

(*)

P = (ti, •■•, tm, Xi, .... Xm), Xi = x(ti), i = 1, m, < ... < tm. ;ь x e En, u e Er, K0 - скалярная, a K1( K2 - векторные кции, которые предполагаются непрерывно дифферен-уемыми. Вектор-функции f, Rx, R2 предполагаются эерывно дифференцируемыми по (х, и) для п. в. t, ниченными вместе со своими частными производными х, и) на любом ограниченном подмножестве и измерите t для любых фиксированных х, и. В качестве допустимых управлений рассматриваются щенные управления. Обобщенным управлением гвается слабо измеримое по t финитное семейство ятностных мер Радона v(t), сосредоточенных для п. в. t екоторого отрезка [tj, t2J на множествах

U(x, t) = {ueEr: Ri(x, u, t) < 0; R2(x, u, t) = 0},

1ЖИМ

Kl - k2 = {^л;:,, Ri - w;;,,R2= ы;;,.

Будем изучать оптимальную пару (x0(t), v0(t)),

■ti.o. tm.o], положив Po = (tli0, ..., tm0, xli0.....xra0),

: x(ti>0), i = ТГт. Обозначим через I = {i: к1д(р0) = 0} -

3

множество активных индексов неравенственш ограничений. Положим

1Е(х, u, t) = {i: |r1(i(x, u, t)| < e} для e > 0;

R,(x, u, t) = Lin \ ^í(x,u.t), i e I,(u.ty, i =Tñj,

{cu at J

C0(x, u, t) - матрица ортогонального проектирования Er /<;(х, u, t); К - (|1|+п2)-мерная функция, имеющая коорл наты k^j, i € I, k2i¡, i = i, n,,

B(t) = ^£(*0,e.»)q(*,«,/), y„(t)j; Фундаментальную матрицу линейного уравнения i = (§(*„.М). W)}x

обозначим череа Z(t, tj0) и определим матрицы Qj, Q2 и Ç по формулам:

q2 -

,-I ¿X, ,,, ¿*,

Q = (о } 4 = dim Ker Q'

Для задачи (*) будем считать выполнении следующие предположения:

а) смешанные ограничения регулярны, то е существует е0 > 0: d(x, u, t) > е0 V(x, u) для п.в. t, : d(x, u, t) - максимальный по модулю из всех мино] порядка |ICo(x, u, t)| + п4 матрицы, строками которой яв.

ются вектора ~(x,u,i), i е LYx, u, t); ^-(x.u.t), » = Пл7;

CU -v fa

б) множества U(t) ограничены равномерно по по< всем t, лежащим в окрестностях точек ti 0, i = ÏT«-

Третий параграф посвящен построению семейства проксимирующих задач и изучению его свойств в пр положении, что смешанные ограничения не' зависят от х Доказано, что решения ц - задач существуют, и их

4

действо аппроксимирует исходную задачу ('•')> то ос-ь здедовательность оптимальные: управлений ц - а а дач v6o сходится к оптимальному управлению исходно!! [ачя. Получен принцип максимума для ц - задачи, говия трансверсальности по времени и доказаны :бходимые условия второго порядка.

На основе проведенных исследований ц - задач в §4 зодятся необходимые условия первого и второго порядка лассе обобщенных управлений.

Пусть Н(х, u, t, у) = <f(x, u, t), \|/> -1кция Гамильтона - Понтрягина и

1(р, с) = с0К0(р) + <clt Кг(р)> + <с2, К2(р)>,

с = (с0, cj, с2); c0 е El; ct е ё"1; с2 е Еп~ - малый лаг-жиан. Теорема 1.

Оптимальная пара (х0, v0) удовлетворяет принципу симума, то есть существует ненулевой вектор с, >чно непрерывная слева функция v|/0(t), t е [t1(), tra 0], ющая в промежуточных точках ti>0, i ~ 2, ..., m-1 разы первого рода, абсолютно непрерывная на интервалах i ~ 1» •••> m-1 и удовлетворяющая на каждом из сопряженному уравнению:

т, ч с„ = - -г(О, А

п. в. t условию максимума

шах H(u, t) = H(u, t) Vu e S(t),

««у. (о

виям трансверсальности по времени: ^ (sup H(x0(tm>0), u, t, - Ль, c))) - -f (p0, с) й 0,

im (sup H(x0(tmi0), u, t, - ^(p0, c))) - A(Po, c) < 0,

m (sup H(x0(ti>0), u, t, £(po, c))) + ~-(poi c) > 0,

m (sup H(x0(ti 0), u, t, JL(p0, с))) + 4(Po.'c) < o,

>|,,I 4.1/, О) Cf,

i = 1, ..., m-1,

5

условиям трансверсальности:

Vo(ti,o) = Jr(Po. с), 4/o(tra,o) = - J-(Po> c)> в промежуточных точках равенствам:

ЫКо + 0) - v]/o(ti,o) = —-(Po. с), i=2.....m-1;

условиям дополнительной нежесткости

с0 S 0; ci 5: 0; (I^po), сх> - 0. Кроме того, если f непрерывно дифференцируема, а многозначное отображение U постоянно, то для H имеет место представление:

V ¿¡Н я ¿f _

max H(t) = - J — (r)rfr + 2- — (p0,c), t e (tl0,f„10), i = l.m-I.

Будем предполагать, что все отображения, участвующие в формулировке задачи, дважды непрерывно дифференцируемы по (х, u), а соответствующие производные измеримы по t и существенно ограничены на любом ограниченном множестве.

Рассмотрим подпространство 0 с Enx ¿j[t1>0, tmj0], состоящее из таких пар (а, б), что, если 5х() - соответствующее 6 решение уравнения в вариациях Si = £(t)Sx + (f(u, t) 50(u, t), v0(t)>, 5x(tli0) - a,

ex ¿h

ТО ДЛЯ П. В. t

l^-(u,t),M tjj = 0,

Vue S(t): Rll(«,/)= 0, s = 1,2 Vi;

t f>»>&(',,) = 0.

Ha © определим квадратичную форму H по формуле

где 5х( ) - соответствующее решение уравнения в вариациях. Теорема 2.

Для оптимальной пары (Xo, v0) существуют такие (с» Vo)> удовлетворяющие ей в силу принципа максимума, 6

то индекс построенной по ним квадратичной формы 'И на одпространстве 0 не превышает min (nm, qj.

Вторая глава посвящена условиям невырожденности еобходимых условий первого порядка в задаче птималыюго управления с промежуточными и фазовыми граничениями.

В §5 доказано, что при выполнении определенных гловий имеет место принцип максимума с усиленным зловием нетривиальности, а именно:

Теорема 3.

Пусть для каждого номера j: 1 s j S т-1 существует исой вектор hj, что выполняются условия:

а) B*jjhj > 0; B%hj - 0,

le

В*ц » t §ЧР) Ф(*и, tk), - £ f4P) o(tm, tk).

■ездочка * обозначает операцию транспонирования;

б) столбцы матрицы В*щ линейно независимы. Тогда

со + |V(t)| * 0 V t е (t„ tj+1), j = 1.....ш-1.

Здесь Ф(т, t) - фундаментальная матрица сопряженно-уравнения (<Кt) = - — (/) и, как известно, для любых т,

с\

, t<j матрица Ф(т, т) является единичной и имеют место отношения: Ф^2, Ф(х, t2 ) = Ф(т, tx); Ф^, т) = Ф'Ч'г, t).

Теорема 4.

Если выполняются условия теоремы 3 и, кроме того, повие

с) (Ьо,у hj) > 0,

№t)|*0 V t e (tj, vo, j = 1, .... m-l. .

В шестом параграфе исследуется вопрос о необходим! условии непрерывности гамильтониана для частного случ задачи (*), и приведены примеры. В первом из hi функция Гамильтона-Понтрягина терпит разрыв первс рода в промежуточной точке. Во втором - функция у вырождается на одном из интервалов непрерывности.

§7 посвящен изучению задачи (*) при налич] фазовых ограничений:

х = {f(x,u,t), V il)), t t [î, ,;„], t, < f„;

K,(p) < 0, K,(p) - U;

gj(x,t) < 0, je J;

К „ (p) -> m in,

где ¡ïj, j e J - скалярные непрерывно дифференцируемые совокупности переменных функции.

Введем несколько определений и обозначений.

J(t) = {j е J: g,(t) - 0}.

■ Будем говор- лъ, что фазовое ограничение gj согла( вано с промежуточными ограничениями в точке р0( ее. существует такое е > 0, для которого имеет мес вложение:

{p: |p-pol < t, Ке(р) < Ко(Ро), Кх(р) < 0, К2(р) = 0} ç С {р: gj(Xi.ti) < 0, i = 1.....m}.

Обозначим через Jj множество тех индексов j е J, д. которых фазовое ограничение gj согласовано а точке р0 промежуточными. В дальнейшем будем предполагать, ч промежуточные ограничения, к которым добавлег неравенственные ограничения gj(Xi, ti) £ О, jeJ\Jj регуля ны, то есть

rang ^(ро) - п2; 3 р'еЕ1*1*1); ^(Ро)Р° - 0„

dp др

<%Ро), Р°) < 0 V lel, <%(Ро). р°> < 0 V jeJ\Ji-

ф др

Будем считать, что заданное управление v0(t) и сос ветствующая траектория x0(t) оптимальны в рассматривг мой задаче и удовлетворяют следующему предположению: 8

а) существует такое £ > 0, что множества U(t) равномерно ограничены по t, лежащим be- окрестностях точек t1>0, ..., tm>0. Теорема 5.

Пусть пара (x0(t), v0(t)), t e [t10, tm0] оптимальна для задачи и выполняется предположение а). Тогда существуют одновременно неравные нулю вектор с, регулярная борелевская неотрицательная векторная мера r|0j, j е J >и непрерывная слева функция ограниченной вариации Ч'оМ» te[t1>0, tm>0], удовлетворяющие следующим соотношениям:

MO=/f ir)är - У/' - ± £(pt.c).

I сл J>-J , *=<+!

V te(tii0, ti+l)0], i=l, .... m-1; для п. в. t условию максимума

шах H(U, t) = H(u, t) Vu e S(t);

условиям трансверсальности по времени:

ess (sup H(x0(tmio), u, t, - ——(Poi с))) - -f-(p0, c) > 0,

>-./.,, Mir,« I <*. am

ess lim (sup H(x0(tra>0), u, t, - -Ц-(р<>, с))) - -f-(p0, c) < 0, ess y^ (sup H(x„(ti>0), u, t, -—(Po, с))) + ^-(p0, c) > 0, ess Urn (sup Н(.гс(Чо). u> Po. <0)) + -f-(p0, с) ^ 0,

i = 1, ..., m-1,

условиям трансверсальности:

Уо(41,о) = (Pa- c), i 'o(4„,o) = - c)v

в промежуточных точках ti 0. i • ••> m-1 равенствам: Vo(ti>0+0) - Vo(ti,o) - c) + S %(ti,0) tio.j(ti.o);

Je/ CX

условиям дополнительной нежэсткости:

c0 > 0; cx ä 0; <Кх(ро), Ci> - 0. Если, кроме того, f непрерывно дифференцируема, а многозначное отображение U постоянно, то для Н имеет место представление:

ûH 'y ^ m c$

tnñX H(u,t) = - J —-(r)dr +2 J -zf-(T)dt]tJ + S ^-(Л.с), t 6 tw,/,tlJ,

utV , я /«/ , ¿I ' t.l.lCf* 1 '

a условия трансверсальности по времени принимают вид: шах Щи, ti>0, -~-(Ро> с)) + #(р0, с) = 0, i = 1.....m-1,

шах Щи, tm>0, - ^-(Ро, с)) - ~(р0, с) = 0.

mí/,«) £*„ £t.

Для доказательства теоремы построена последовательность возмущенных задач и доказаны оценки, обеспечивающие возможность предельных переходов.

Чтобы сделать принцип максимума содержательным, в § 8 на изучаемую оптимальную пару накладывается ограничение, предполагающее ее управляемость. Определение.

Пара (х0, v0) управляема в промежуточных и концевых точках, если существует u¿ е U, i = 1, ..., m:

ff+ > °>v¿gj(0 = 0J e J,¡ = 1,/n-1;

+ f<0 < o.tygjOJ = 0j G /.

Теорема 6.

Пусть выполняются предположения теоремы В, а также

1) оптимальная пара (х, v) управляема в промежуточных и концевых точках;

2) фазовые ограничения согласованы с промежуточными;

3) вектора = ojj е / позитивно линейно независимы Vt е [t1( tm], то есть для любого t существует вектор g = g(t) такой, что V/ е J(t).

Тогда пара (х, v) удовлетворяет принципу максимума со следующим условием нетривиальности: с0 + meas {t: y(t) * 0} > 0.

10

§9 посвящен решению минкмаксной задачи. На решениях задачи с промежуточными ограничениями

х = (/(.r(í),u(í),0, v(/)),/ е [»,,/„],(, <г„,

Ki(p) S О, К2(р) = о

требуется минимизировать функционал J[x, u] - max <p(x(t), t) + K0(p).

<,5141.

Теорема 8.

Пусть выполнены условия согласованности, управляемости и

£<*,/)* О

ссс

для всех пар (х, t), для которых <p(x(t), t) + К0(р) = J0. Тогда найдется оптимальная пара (x0(t), v0(t)), t e [t10, tra>0] и число \\i° ¿ 0, удовлетворяющие принципу максимума для функции

Н°(х, u, t, у, у0) = Н(х, u, t, \|>) + у°ф(х, t) и условию невырожденности

с0 + meas {t: y0(t) * 0} > 0. В §10 рассматривается задача оптимального управления со смешанными ограничениями: х = (f(x,u,t), v(0), t б [f,./.], t, < t„-, K,(p) s; 0, к ,(/>) = 0; Rt(x,u,t) £ 0, R,<x,e,f) = 0; K,(í)-> min,

Теорема 9.

Оптимальная пара (x0(t), v0(t)), t e [tj.o, tm,0] удовлетворяет принципу максимума, то есть существуют ненулевой вектор с = (с0, с-1( с2), слабо измеримые (по t) семейства п3- и п4-мерных мер Радона ai(t), a2(t) и кусочно непрерывная слева функция \(/o(t), t e [tli0, tm 0], имеющая в промежуточных точках t10, i = 2, m-1 разрывы первого рода, абсолютно непрерывная на интервалах (tjo, ti+10], i=l, ..., m-1 и удовлетворяющая сопряженному

11

уравнению на каждом из них:

МО = ')' - gj f (r)är,0J - ±~(Po,c)

для п. в. t условию максимума

max H(u, t) = H(u, t) Vu e S(t);

«eU,«)

leü- («, 0. "о о) +/ ^ <«, 0. + '),«2 </)\ = 0;

A ! \ои / \ A

условиям трансверсальности по времени: ess (sup H(x0(tm0), u, t, - -~~(Ро» с))) - "~-(Poi с) > О,

ess ]im (sup H(x0(trai<)), u, t, - ~(p0, с))) - ~(p0, c) 5 0,

J-I.,! «£»•(') »

ess ilm (sup K(x0(tii0), u, t, ~-(p0, C))) + ~(p0, c) > 0,

r ->!,,» ■«l'j(l) f I Cl

ess lini 'sup H(x0(ti>0), u, t, A(Po, c))) + -^(p0, с)s 0,

..it',(» ot, «<

i = 1, ..., m-1,

условиям трансверсальности:

Ч>о(Чо) = 4~(Po, c), Vo(tm,o) = - ~(Po> c); в промежуточных точках tj o, i = SL m-1 равенствам: VoOi.o+0) - 4'o(ti,o) = x"(Po. c) + £ %Чо)По,А,о);

, i*, ОГ

условиям дополнительной нежесткости:

c0 г 0; cx & 0; fl^p«,), Cj> = 0, меры <X](t), a2(t) абсолютно непрерывны относительно меры v0(t), меры ai j(t) сосредоточены на множествах (ueU(t): rj(i(x0, u, t) ■= 0), j = 1, 2, ax = (au.....aln3),

= И аналогично для a2.

В §11 исследованы различные задачи оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекториях в классе обычных управлений. Для них получены необходимые условия оптимальности.

12

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Арутюнов А.В., Окулевич А.И. Необходимые условия оптимальности в задачах с промежуточными ограничениями. // "Понтрягинские чтения - V", тезисы докл. школы.

- Воронеж, ВГУ. - 1994. - С.11.

2. Окулевич А.И. Необходимые условия экстремума в задачах оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекториях. // Тезисы докладов XXX научной конференции фак-та физ.-мат. и естеств. наук. 4.2

- М.: Изд-во РУДН, 1994. - С.17.

3. Окулевич А.И. Принцип максимума и его невырожденность в задаче с промежуточными и фазовыми ограничениями. - М., 1994. - 21 С. - Деп. в ВИНИТИ 15.07.94, N 1805

- В 94.

4. Окулевич А.И. Принцип максимума в задаче с промежуточными ограничениями. - М., 1994. - 37 G. - Деп. в ВИНИТИ 15.07.94, N 1806 - В 94.

5. Arutyunov А.V., Okoulevitch A.I. Necessary conditions for optimal control problems with intermediate and state constraints. // Abstracts ol the Third International Workshop "Multiple Criteria Problems under Uncertainty".. - Orekhovo-Zuevo, Russia, 1994. - C.7.

13

ОКУЛЕВИЧ АЛЛА ИВАНОВНА

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА В ЗАДАЧАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ

Получены необходимые условия первого и второго порядка в задачах оптимального управления с промежуточными ограничениями, включая задачи оптимального управления со смешанными ограничениями, фазовыми ограничениями и минимаксная задача. Доказаны условия невырожденности принципа максимума для задач оптимального управления с промежуточными и фазовыми ограничениями. Исследован вопрос о непрерывности гамильтониана в промежуточных точках.

Вышеперечисленные задачи были рассмотрены в классе обобщенных управлений, а при дополнительном предположении и в классе обычных управлений

OKOULEV3TCH ALLA IVANOVNA

"EXTREMAL NECESSARY CONDITIONS

FOR OPTIMAL CONTROL PROBLEMS WITH INTERMEDIATE CONSTRAINTS"

The first- and second-order necessary conditions were obtained for optimal control problems with intermediate constraints, including optimal control problem with mixed constraints, state constraints and minimax problem. The conditions of nondegeneracy of maximum principle were derived for optimal control problems with intermediate constraints and state constraints. It was found the necessary condition of continuity of the hamiltonian at intermediate points. These problems were investigated in the class of generalised controls as well as in the class of usual controls.

14

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1.

§ 1. Предварительные сведения и обозначения.

§ 2. Постановка задачи.

§ 3. Аппроксимирующее семейство и его свойства.

§ 4. Необходимые условия первого и второго порядка в классе обобщенных управлений.

ГЛАВА 2.

§ 5. Условия невырожденности принципа максимума.

§ 6. Условия непрерывности гамильтониана. Примеры.

§ 7. Необходимые условия первого порядка в задаче с фазовыми ограничениями.

§ 8. Условия невырожденности принципа максимума в задаче с фазовыми ограничениями.

ГЛАВА 3.

§ 9. Минимаксная задача.

§10. Необходимые условия первого порядка в задаче с промежуточными и смешанными ограничениями.

§11. Необходимые условия первого и второго порядка в классе обычных управлений.

В современной теории экстремальных задач и оптимального управления одним из интересных (как с теоретической, так и с практической точек зрения) направлений исследований являются дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями (разрывные системы). Своеобразным фундаментом для изучения разрывных систем являются исследования, посвященные оптимизации систем с промежуточными ограничениями на траекториях.

Основы в теории оптимального управления были заложены академиком Л.С.Понтрягиным и группой его учеников [33]. Новые постановки задач оптимального управления привели к необходимости разработки принципиально новых методов исследований. Большой вклад в их создание внесли советские ученые: Л.С.Понтря-гин, В.Г.Болтянский, Р.В.Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко [33], Е.Р.Аваков [1], А.А.Аграчев и Р.В.Гамкрелидзе [2] - [3], А.В.Арутюнов [8], В.И.Благодатских [9], [43], А.Я.Дубо-вицкий и А.А.Милютин [23], Ю.Н.Жидков [24], А.Д.Иоффе и В.М.Тихомиров [25], Р.В.Гамкрелидзе и Г.Л.Харатишви-ли [20] - [21], А.М.Тер-Крикоров [35] и другие.

Диссертационная работа посвящена исследованию необходимых условий оптимальности в задачах оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекториях. Основным аппаратом исследований являются методы возмущений. При этом исходная экстремальная задача погружается в семейство аппроксимирующих ее задач, причем возмущенные задачи оказываются качественно проще исходной. После анализа и преобразования аппроксимирующих задач получаем результаты для исходной задачи предельным переходом по параметру возмущения.

В данной работе использованы следующие два метода возмущений: метод штрафов и метод \х - возмущений. Метод штрафов впервые был использован Р.Курантом [44] и позднее развивался многими авторами (см. например, [37], [27], [28]).

Опишем суть метода штрафов. Для получения необходимых условий экстремума наряду с задачей f0(x) —> min, х е Х0, где множество Х0 задает ограничения, рассматривается семейство задач ft(x) -» min, зависящих от коэффициентов штрафа t, в которых ограничения отсутствуют, а функция ft подбирается так, что ft(x) fo(x), t->oo Vx е Х0, ft(x) +оо, t оо V х g Х0.

Для произвольного фиксированного значения коэффициента штрафа t в задаче без ограничений выписываются необходимые условия первого, второго порядка и затем, переходя к пределу при t —> оо, получаем необходимые условия для исходной задачи.

Метод [I - возмущений был разработан А.В.Арутюновым [7] - [8]. Рассмотрим модельную задачу быстродействия: х = f (jc, и, t), x(0) = x0, x(T) = x,, ugU = {u&Ek:r(u)<0}, T min.

Здесь XGEn,uGEk-, —(u)*0VuGEk:r(u) = 0, все отображения ди достаточно гладки, а минимум ищется в классе существенно ограниченных функций со значениями в U. Пусть u0(t), t е [О, Т0] - оптимальное управление в этой задаче. Предположим, что для любой функции \|/, удовлетворяющей этому управлению в силу принципа максимума, max(yiTo),f(xltu,T0))> 0. uetl

Рассмотрим семейство задач минимизации интегрального функционала с нефиксированным временем т т jl - juJ-r(u) dt + - u0(t)\2dt, о 0 зависящего от числовых параметров щ > 0, ц2 > 0. При фиксированных jll± > 0 эту задачу назовем ц - задачей. Ясно, что при фиксированном ц2 > 0 и —>• 0+0 решения ц-задач сходятся к и0. По теореме 1 из [7] любое, удовлетворяющее принципу максимума управление ц - задачи иц принимает значения из int U и для п. в. t расстояние от u^t) до dU не меньше некоторого положительного числа, зависящего от Hi- Таким образом, в ц - задаче ограничение на управление можно не учитывать, превратив ее в задачу Лагранжа. При этом искомые необходимые условия получаем предельным переходом при щ —> 0+0.

В диссертационной работе задачи исследуются в классе обобщенных управлений [17], [20], а не обычных [33], поскольку минимум в классе обобщенных управлений достигается в силу его слабой секвенциальной компактности [20] при весьма общих предположениях.

Отметим, что исследованию задач оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекторию посвящены работы Л.Т.Ащепкова [12] - [14], В.В.Величенко [15], Г.Маурера [45] и др.

Большое внимание в диссертационной работе уделено условиям невырожденности формулируемых необходимых условий оптимальности. Дело в том, что в определенных ситуациях принцип максимума может вырождаться.

У Последнее означает, что оптимальной паре соответствует набор множителей Лагранжа, у которого \|/(t) = 0 для п.в. t, с0 = 0. Более того, можно привести примеры, в которых известным вариантам принципа максимума удовлетворяют только такие множители Лагранжа. Чтобы сделать принцип максимума содержательным, на изучаемую оптимальную пару накладываются дополнительные ограничения, что и продемонстрировано в данной диссертации.

Перейдем к изложению основных результатов диссертационной работы.

Первая глава диссертации посвящена задаче оптимального управления с промежуточными ограничениями.

В §1 приводятся основные определения и обозначения, вводятся понятия условной сходимости [8], существенных пределов измеримой функции [8], пространства вариаций обобщенных управлений Аг2 и Агв [17].

В §2 приведена постановка задачи и сделаны основные предположения. Рассматривается задача: х = {f(x,u,t), v(tj); t е im], tx{tm,

К,(р) < 0; К2(р) = 0; ^

Rx{x,u,t) < 0; R2(x,u,t) = 0; где р = (tb tm, хь xm), Xi = x(ti), i =1, m, tx < . < tm. Здесь x e En, u e Er, K0 - скалярная, a Kx, K2 - векторные функции, которые предполагаются непрерывно дифференцируемыми. Вектор-функции f, R2 предполагаются непрерывно дифференцируемыми по (х, и) для п. в. t, ограниченными вместе со своими частными производными по (х, и) на любом ограниченном подмножестве и измеримы по t для любых фиксированных х, и.

В качестве допустимых управлений рассматриваются обобщенные управления. Обобщенным управлением называется [20] слабо измеримое по t финитное семейство вероятностных мер Радона v(t), сосредоточенных для п. в. t из некоторого отрезка [tx, t2] на множествах

U(x, t) = {ueEr: Rx(x, u, t) < 0; R2(x, u, t) = 0}. Положим к: = {*,.,};:,> к2 = {*„};:,, Ri = к,}:,, R2 - ы:,У

Будем изучать оптимальную пару (x0(t), v0(t)), t е [ti ,0» 0], ПОЛОЖИВ Ро = (t1>0, tm>0, Х1)0, Xm>o), xi,o = х(Чо)> i = 1> т- Обозначим через I = {i: к^Ро) = 0} -множество активных индексов неравенственных ограничений. Положим

Is(x, u, t) = (i: |r1?i(x, u, t)| < s} для s > 0;

• ft, fa ;

R8(x, u, t) = Lin |-±L(x,u,t), i e /£(M); -£(x,u,t), i = 1 ,n4|,

C0(x, u, t) - матрица ортогонального проектирования Ег на ^(х, u, t); К - (|1|+п2)-мерная функция, имеющая координаты кХд, i е I, к2д, i = 1, п2,

B(t) = l^-(x0,u,t)C0(x,u,t), V0(t)j;

Фундаментальную матрицу линейного уравнения

X = (§(*0,М), V0{t)^jx обозначим через Z(t, t10) и определим матрицы Q1? Q2 и Q по формулам: « як qi = l/=i дх{ q2 = т ЯГ ''.о , ЯГ*

Po)Z(tifiA,o) \Z \t,tlfi)B(t)B\t) (z l(tAfi j) dtZ*(tifi,tU)) Po); ,=i 3c,, J v ' fa

1,0 fn ^

6i q = * ; q = dim Ker Q.

Для задачи (*) будем считать выполненным следующее предположения: а) смешанные ограничения регулярны, то есть существует в0 > 0: d(x, u, t) > s0 V(x, и) для п.в. t, где d(x, и, t) - максимальный по модулю из всех миноров порядка |I£o(x, u, t)| + п4 матрицы, строками которой являются вектора -^Цx,u,t), i е ISn(x, u, t); x,u,t), i = ljT4; ди du б) множества U(t) ограничены равномерно по почти всем t, лежащим в окрестностях точек ti 0, i = I, т.

Третий параграф посвящен построению семейства аппроксимирующих задач и изучению его свойств в предположении, что смешанные ограничения не зависят от х.

Доказано, что решения - задач существуют, и их семейство аппроксимирует исходную задачу (*), то есть последовательность оптимальных управлений ц - задач слабо сходится к оптимальному управлению исходной задачи. Получен принцип максимума для ц - задачи, условия трансверсальности по времени и доказаны необходимые условия второго порядка.

На основе проведенных исследований ц - задач в §4 выводятся необходимые условия первого и второго порядка в классе обобщенных управлений.

Пусть Н(х, и, t, i|/) = <f(x, u, t), i|/> -функция Гамильтона - Понтрягина и

1(р, с) = с0К0(р) + <сь Ki(p)> + <с2, К2(р)>,

П Т1 где с = (с0, с1? с2); с0 е Е1; Cj е Е 1; с2 б Е 2 - малый лагранжиан.

Теорема 1.

Оптимальная пара (х0, v0) удовлетворяет принципу максимума, то есть существуют ненулевой вектор с, кусочно непрерывная слева функция \|/o(t), t е [t1>0, tm>0], имеющая в промежуточных точках ti0, i = 2, m-1 разрывы первого рода, абсолютно непрерывная на интервалах (ti>0, ti+lj0), i = 1, m-1 и удовлетворяющая на каждом из них сопряженному уравнению: дн .

П = - — дк для п. в. t условию максимума max H(u, t) = H(u, t) Vu e S(t), иеУо(') условиям трансверсальности по времени:

Я /„ \w я ess nm (sup H(x0(tmо), u, t, - — (po, с))) - — (p0, c) > 0, ess lim (sup H(x0(tm>0), u, t, - -^-(p0, с))) - ^(p0, c) < 0, ueU0(t) OX,m am я , ччч , а ess nm (sup H(x0(ti 0), u, t, -Hpo, с))) + ^(p0, c) > 0, ess lim (sup H(x0(ti>0), u, t, ^(p0, c))) + -f (p0, c) < 0,

-><,• 0 ueU^t) Щ a i = 1, m-1. условиям трансверсальности: oi /я o(ti,o) = -тг(Ро, с), \j/0(tm,0) = - x-(Po, с), в промежуточных точках равенствам:

Уо(Чо + 0) - \|/о(Чо) = ^(Po, с), i = 2, m-1; ex. условиям дополнительной нежесткости

Со > 0; Ci > 0; <Ki(Po), сх> = О. Кроме того, если f непрерывно дифференцируема, а многозначное отображение U постоянно, то для Н имеет место представление: max H(t) = - } Щ~(т)(1х + £ t е (tifi,ti+lfi), i = l,m-l . ueU t (X k=i+1 Ctk

Будем предполагать, что все отображения, участвующие в формулировке задачи, дважды непрерывно дифференцируемы по (х, и), а соответствующие производные измеримы по t и существенно ограничены на любом ограниченном множестве.

Рассмотрим подпространство © cz Enx д;^ 0, tm)0], состоящее из таких пар (а, 8), что, если 5х() - соответствующее 8 решение уравнения в вариациях Si = f- (t) 5х + (f (u, t) 60(u, t), v0(t)>, 5x(t1>0) = a, ox, ou то для п. в. t l^-(u,t),Su(t}j = 0, Vu e S(t): Rsi(u,t)= 0, s = 1,2 Vi; m Off 0.

Ha © определим квадратичную форму Ы по формуле ' ) l^^iu,t)[dx{t),8(uj)}\v0{t)\dt + f l(Po,C) [Sx(tlfi),.Sx(tmfi)]2, где 5х() - соответствующее решение уравнения в вариациях. Теорема 2.

Для оптимальной пары (х0, v0) существуют такие c> Vo)> удовлетворяющие ей в силу принципа максимума, что индекс построенной по ним квадратичной формы Ы на подпространстве 0 не превышает min (nm, q).

Вторая глава посвящена условиям невырожденности необходимых условий первого порядка в задаче оптимального управления с промежуточными и фазовыми ограничениями.

В §5 доказано, что при выполнении определенных условий имеет место принцип максимума с усиленным условием нетривиальности, а именно: Теорема 3.

Пусть для каждого номера j: 1 < j < m-1 существует такой вектор hj, что выполняются условия: а) В*^ > 0; В*^ = 0, где

В*ц = £ §ЧР) ®(tm, tk), = 1 f4p) o(tm, tk), k=j+1 cxk

Звездочка * обозначает операцию транспонирования; б) столбцы матрицы B*2j линейно независимы. Тогда

Со + k(t)| * 0 V t е (tj, tj+1), j = 1, m-1. Здесь Ф(т, t) - фундаментальная матрица сопряженного уравнения ^(t) = - Щ-lf) и, как известно, для любых т,

С/л. ti, t2 матрица Ф(т, т) является единичной и имеют место соотношения: 0(t2, tx) Ф(т, t2 ) = Ф(х, tx); <5(t, т) = Ф-1(х, t). Теорема 4.

Если выполняются условия теоремы 3 и, кроме того, условие с) <b0,j, hj) > О, то v(t)| * О V t е (tj, tj+1), j = 1, m-1.

В шестом параграфе исследуется вопрос о необходимом условии непрерывности гамильтониана для частного случая задачи (*), и приведены примеры. В первом из них функция Гамильтона-Понтрягина терпит разрыв первого рода в промежуточной точке. Во втором - функция \|/(t) вырождается на одном из интервалов непрерывности.

§7 посвящен изучению задачи (*) при наличии фазовых ограничений: х = (f(x,u,t), v(t)), t е It, < tm; К,(р) < О, К 2(p) = 0; gj(x,t) < 0, je J; К 0 (p) -> min, где gj - скалярные непрерывно дифференцируемые по совокупности переменных функции.

Введем несколько определений и обозначений.

J(t) = {j g J: gj(t) = 0}. Будем говорить, что фазовое ограничение gj согласовано с промежуточными ограничениями в точке р0, если вложение: р: |p-pol ^ е, К0(р) < К0(Ро), К^р) < 0, К2(р) = 0} с с {р: gj(Xi,ti) < 0, i=l, . m}.

Обозначим через Jj множество тех индексов jeJ, для которых фазовое ограничение gj согласовано в точке р0 с промежуточными. В дальнейшем будем предполагать, что промежуточные ограничения, к которым добавлены неравенственные ограничения gj(Xi, tA) < 0, jeJ\J! регулярны, то есть rang %р0) = п2; 3 %Ро)Р° = О, ф ф

Ро), Р°> < О V iel, <%(ро), р°> < О V )eJ\Jv ф ф

Будем считать, что заданное управление v0(t) и соответствующая траектория x0(t) оптимальны в рассматриваемой задаче и удовлетворяют следующему предположению: а) существует такое в > 0, что множества U(t) равномерно ограничены по t, лежащим в s - окрестностях точек t1>0, tmj0.

Теорема 5.

Пусть пара (x0(t), v0(t)), t е о> ^m о] оптимальна для задачи и выполняется предположение а). Тогда существуют одновременно неравные нулю вектор с, регулярная борелевская неотрицательная векторная мера г|0 j, j е J и непрерывная слева функция ограниченной вариации \|/o(t), te[t1>0, tmjoL удовлетворяющие следующим соотношениям: ✓л w W w Ь а / ч J ~ ^ j j &Х jGj t сХ k=i+1 cxk

V t e (tij0, ti+1>0], i = 1, m-1; для п. в. t условию максимума max H(u, t) = H(u, t) Vu e S(t); ueU0(t) условиям трансверсальности по времени: ess li^ (sup H(x0(tm)0), u, t, - — (po, c))) - — (po, e) > 0, ueU0(t) <Лт Otm ess lim (sup H(x0(tm>0), u, t, - -^-(p0, с))) - -f^Po, c) < 0,

-><„,„ ueU(l(t) <Жт Otm Я ess Jim (sup H(x0(ti)0), u, t, —(p0, c))) + — (p0, c) > 0, t->tifi UGU0(t) Щ ess Ит (sup H(x0(ti>0), u, t, — (p0, c))) + — (p0, c) < 0, i = 1, ., m-1, условиям трансверсальности: Vo(ti,o) = -тг(Ро> с), в промежуточных точках ti0, i = 2, ., m-1 равенствам:

Уо(Чо+0) - v|/0(ti>0) = ^(Po, с) + S %(ti>0) Ло^Чо);

CKi jeJ CX условиям дополнительной нежесткости: c0 > 0; Cl > 0; (K^po), Cl> = 0. Если, кроме того, f непрерывно дифференцируема, а многозначное отображение U постоянно, то для Н имеет место представление: тт/ ч V дН / . , ^ V dg. / ч , A dl / ч max H(u,t) = - J —{r)dr + 2, J -z-(r)drj0J + la—(p0,c),t^ tifi,tt ugU t Л JeJ t 01 k=i+l <Лк а условия трансверсальности по времени принимают вид: max Щи, ti>0, х"(Ро» с» + 4(Ро> с) = 0, i = 1, m-1, ueU0(t) CXi at I

1,0 max Щи, tm,o, - -f-(P0, с)) - f(Po, с) = 0.

Для доказательства теоремы построена последовательность возмущенных задач и доказаны оценки, обеспечивающие возможность предельных переходов.

Чтобы сделать принцип максимума содержательным, в восьмом параграфе на изучаемую оптимальную пару накладывается ограничение, предполагающее ее управляемость.

Определение.

Пара (х, v) управляема в промежуточных и концевых точках, если существует UjeU, i = l, т: 0 ,Vj:gj(0 = О J G J,i = uTl; &Г (0,f(x(0,um,tm)J + ^L(/j J < О, V/: gj(tm) = 0,y G /.

Теорема 6.

Пусть выполняются предположения теоремы 3, а также

1) оптимальная пара (х, v) управляема в промежуточных и концевых точках;

2) фазовые ограничения согласованы с промежуточными;

3) вектора = о|,у е / позитивно линейно независимы Vt е [tb tm], то есть для любого t существует вектор g = g(t) такой, что V/ ej(t).

Тогда пара (х, у) удовлетворяет принципу максимума со следующим условием нетривиальности: с0 + mes {t: \|/(t) ф 0} > 0. §9 посвящен решению минимаксной задачи. На решениях задачи с промежуточными ограничениями х = {f(x(t),u(t),t), v(t)), t е [t^Q, tt<tm, IMp) < 0, K2(p) = 0 требуется минимизировать функционал J[x, u] = max cp(x(t), t) + K0(p).

Теорема 8.

Пусть выполнены условия согласованности, управляемости и о дх для всех пар (х, t), для которых cp(x(t), t) + KQ(p) = J0. Тогда найдется оптимальная пара (x0(t), v0(t)), t е [t10, tm>0] и число \|/° < 0, удовлетворяющие принципу максимума для функции

Н°(х, u, t, \|/, v|/°) = Н(х, u, t, \|/) + \|/°ф(х, t) и условию невырожденности с0 + mes {t: \|/0(t) ^ 0} > 0. В §10 рассматривается задача оптимального управления со смешанными ограничениями: х = (f(x,u,t), v(t>), t 6 [f, ,tm], t, < tm\ K,(p) < 0, К 2 (p) = 0; R^x^uj) < 0, R2(jc,u,t) = 0; К0(p) min.

Теорема 9.

Оптимальная пара (x0(t), v0(t)), t e [t1)0, tm,0] удовлетворяет принципу максимума, то есть существуют ненулевой вектор с = (с0, с1? с2), слабо измеримые (по t) семейства п3- и п4-мерных мер Радона a^t), a2(t) и кусочно непрерывная слева функция \|/o(t), t е [t1>0, tm 0], имеющая в промежуточных точках ti0, i = 2, m-1 разрывы первого рода, абсолютно непрерывная на интервалах (ti0, ti+1>0], i = 1, m-1 и удовлетворяющая сопряженному уравнению на каждом из них:

Wait) = J dv - 2 J ~ , t ax jGj t ox, k=M axk для п. в. t условию максимума тах H(u, t) = Н(и, t) Vu е S(t); ef/0(O и, t), v0(t)j + ^ (и, t), а^ + ^ {и, t), а2(t)^J = 0; условиям трансверсальности по времени: ess Mm (sup H(x0(tmj0), u, t, - —(p0, с))) - — (po, с) > О, о uzU0(t) Otm

31 31 ess Ит (sup H(x0(tm>0), u, t, - —(Po, с))) - — (p0, c) < 0, t^tafi uzu^t) cicm am ess (sup H(x0(ti>0), u, t, — (po, c))) + —(po, c) > 0,

->/,-,о ueU0(t) Щ

31 ess lim (sup H(x0(ti>0), u, t, — (p0, c))) + —(p0, c) < 0, i = 1, ., m-1, условиям трансверсальности:

Уо(Чо) = J^Po» c)> Vo(tm,o) = - f(Po, c);

1 m в промежуточных точках ti>0, i = 2, m-1 равенствам:

Vo(ti,o+0) - ЫКо) = ^(Po, c) + 2 %Чо)Л(и(Чо); cXj jGj ax условиям дополнительной нежесткости: с0 > 0; Cl > 0; (К^ро), сг) = О, меры a^t), a2(t) абсолютно непрерывны относительно меры v0(t), меры ay(t) сосредоточены на множествах ueU(t): rj4(x0, u, t) = 0}, j = 1, 2, ax = (an, aln3), dR \ / dr \

-(u,t),ai(t)) = V{—^(ji,t),alt(t)) и аналогично для a2. ди / i=i \ ди j

В §11 исследованы различные задачи оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекториях в классе обычных управлений. Для них получены необходимые условия оптимальности.

1. Аграчев А. А. Необходимое условие оптимальности второго порядка в общем нелинейном случае. // Мат. сборник. 1977. - Т.102, №4. - С.551-568.

2. Аграчев А.А., Гамкрелидзе Р.В. Принцип оптимальности второго порядка для задачи быстродействия. // Мат. сборник. 1976. - Т.100, №4. - С.610-643.

3. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. - 429 С.

4. Арутюнов А.В. К необходимым условиям оптимальностив задаче с фазовыми ограничениями. // Докл. АН СССР. -1985. Т.280, №5. - С.1033-1037.

5. Арутюнов А.В. К теории принципа максимума в задачах оптимального управления с фазовыми ограничениями. // Докл. АН СССР. 1989. - Т.304, №1. - С.11-14.

6. Арутюнов А.В. Необходимые условия первого порядка в задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями. // Труды Ин-та Прикл. мат., Тбил. ун-т. -1988. Т.27. - С.46-59.

7. Арутюнов А.В. Возмущения экстремальных задач с ограничениями и необходимые условия оптимальности. //Итоги науки и техники, сер. матем. анализ. М., 1989. -С.147-235.

8. Арутюнов А.В., Зеркалов Л.Г., Силин Д.Б. Необходимые условия первого и второго порядков в минимаксной задаче оптимального управления. // Вестник Моск. ун-та, сер. 15, вычисл. мат. и киберн. 1990, №3. - С.60-67.

9. Арутюнов А.В., Тынянский Н.Т. О принципе максимума в задаче с фазовыми ограничениями. // Изв. АН СССР, сер. тех. киберн. 1984, №4. - С.60-68.

10. Арутюнов А.В., Окулевич А.И. Необходимые условия оптимальности в задачах с промежуточными ограничениями. // "Понтрягинские чтения V", тезисы докладов школы. - Воронеж, ВГУ. - 1994. - С.11.

11. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление разрывными системами. Новосибирск: Наука, 1987. - 227 С.

12. Ащепков Л.Т. Оптимальное управление системой с промежуточными условиями. // Прикладная математика и механика. 1981. - Т.45, вып.2. - С.215-222.

13. Ащепков Л.Т., Белов Б.И., Булатов В.П. и др. Методы решения задач математического программирования и оптимального управления. Новосибирск: Наука, 1984. -233 С.

14. Благодатских В.И. Принцип максимума для дифференциальных включений. // Труды МИАН им. В.А.Стек-лова. 1984, CXVI. - С.23-43.

15. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969. - 408 С.

16. Варга Д. Оптимальное управление дифференциальнымии функциональными уравнениями. М.: Мир, 1977. -622 С.

17. Величенко В.В. Условия оптимальности в задачах управления с промежуточными условиями. // Докл. АН СССР. 1967. - Т.174, №5. - С.1011-1013.

18. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1974. - 272 С.

19. Гамкрелидзе Р.В. Основы оптимального управления. -Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1977. 253 С.

20. Гамкрелидзе Р.В., Харатишвили Г.Л. Экстремальные задачи в линейных топологических пространствах. // Изв. АН СССР, сер. матем. 1969. - Т.ЗЗ, №4. - С.781-839.

21. Дубовицкий А.Я., Дубовицкий В. А. Необходимыел,условия сильного минимума в задачах оптимального управления с вырождением концевых и фазовых ограничений. // Успехи мат. наук. 1985. - Т.40, №2, С.175-176.

22. Дубовицкий А.Я., Милютин А.А. Задачи на экстремум при наличии ограничений. //Ж. вычисл. мат. и мат. физ. -1965. Т.5, №3. - С.395-453.

23. Жидков Ю.Н. Необходимые условия оптимальности в двухуровневых иерархических динамических системах с векторными критериями. М.: Вычислит. Центр АН СССР, 1981. - 46 С.

24. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальныхзадач. М.: Наука, 1974. - 479 С.

25. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. -544 С.

26. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. - 412 С.

27. Мордухович Б.Ш. Штрафные функции и необходимые условия в негладких и невыпуклых задачах оптимизации. // Успехи мат. наук. 1981. - Т.36, вып.1. - С.215-216.

28. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974. - 480 С.

29. Окулевич А.И. Необходимые условия экстремума в задачах оптимального управления с промежуточными ограничениями на траекториях. Тезисы докладов XXX научной конференции фак-та физ.-мат. и естеств. наук. 4.2 - М.: Изд-во РУДН, 1994. - С.17.

30. Окулевич А.И. Принцип максимума и его невырожденность в задаче с промежуточными и фазовыми ограничениями. М., 1994. - 21 С. - Деп. в ВИНИТИ 15.07.94, №1805 - В94.

31. Окулевич А.И. Принцип максимума в задаче с промежуточными ограничениями. М., 1994. - 37 С. - Деп. в ВИНИТИ 15.07.94, №1806 - В94.

32. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. - 384 С.

33. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. -М.: Наука, 1969. 151 С. Ф 35. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. - М.: Наука, 1977. - 214 С.

34. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 496 С.

35. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. - 278 С.

36. Федоров В.В. Принцип максимума в минимаксной задаче управления с фазовыми ограничениями. // Вестн. МГУ, сер.15. 1977. - №4. - С.36-46.

37. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969. -1071 С.

38. Янг JI. Лекции по вариационному исчислению и теорииоптимального управления. М.: Мир, 1974. - 488 С.

39. Arutyunov А.V., Silin D.B., Zerkalov L.G. Maximum principle and second-order conditions for minimax problems of optimal control. // J. Optimiz. theory and appl. Vol.75, №3. - 1992. - C.521-533.

40. Blagodatskih V.I. Sufficient conditions for optimality in * problems with state constraints. // Appl. Math, and Optimiz.- 1984. Vol.7. - C.149-157.

41. Courant R. Variational method for the solution of problems of equilibrium and vibrations. // Bull. Amer. Math.$ Soc. 1943. - Vol.49, №1. - C.l-23.

42. Maurer H. On the minimum principle for optimal control problems with state constraints. // Schriftenreihe des Rechenzentrums des Universitat Munster, №41. 1979. -28C.