Задачи управления коэффициентами эллиптических систем и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ



/ УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ АКАДЕМИИ НАУК СССР

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи УДК 517.2 : 517.97 : 531(043.3) БРАТУСЬ Александр Сергеевич

ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

(01.01.02 — дифференциальные уравнения и математическая физика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Свердловск 1988

Работа выполнена на кафедре Прикладной математики Московского института инженеров транспорта им. Ф. Э. Дзержинского.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук М. А. Шубин, доктор физико-математических наук В. Г. Литвинов, доктор физико-математических наук А. В. Кряжимский.

Ведущее предприятие— Ленинградский Государственный Университет им. А. А. Жданова.

Защита состоится « . . . ».........19 г.

в «... » часов на заседании специализированного совета

Д 002.07.01 при Институте математики и механики Уральского отделения АН СССР (620219, Свердловск, ул. Ковалевской, дом 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Инстиг тута математики и механики.

Автореферат разослан « . . . ».......19 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

наук М. И. Гусев

► , , {

иссертациЛ

Актуальность темы исследования. В физике и механике часто возникают эллиптические дифференциальные уравнения дивергентного типа. Они имеют вид ( Л- , ^ - мультииндекси, Ь гчяое положительное число)

(л

Таковы, например, уравнения электро- и ы&гнито-статики, стационарного переноса тепла, деформации сред и материалов. Функция 1/С(ас). описывает состояние процесса: электрический потенциал, магнитный потенциал, температуру, деформацию; ^(.сс) - интенсивность заданного источника.

Коэффициенты {\) определяют внутренние конст-

руктивные характеристики среды, в которой происходит процесс, и зависят от выбора некоторой функции ¿ъ(эс) , х £ ¡РЛ , игращей рояь управления. Иначе, они выражают физические свойства материала, из которого изготовлена система: электрическую и магнитную проницаемость, теплопроводность, распредо-ление жесткостей.

Рассматривается задача выбора конструктивных характеристик среды из множества возможно реализуемых сред с целью достижения экстремума заданного функционала, который обычно выражает либо стоимость системы, либо характеризует меру отклонения состояния системы от заданного. К этому же классу задач относится ряд задач о выборе оптимальных форм тел.

Интерес к исследованиям в этой области в последнее время значительно усилился в связи с возросшими требования™ к экономике, авиационной и космической технике, судостроению, приборостроению, строительным конструкциям. Особую важность приобрели исследования по рациональному выбору внутренней структуры анизотропных тел в связи с широким применением в технике композитных материалов.

На основе рационального выбора характеристик среды достигается значительное снижение материалоемкости, улучшаются характеристики систем. Таким образок, исследования в этом направлении имеет прикладное значение. Зтим и объясняется то, что основной объем исследований в етой области посвящен решению конкретных задач, возникающих в технике, физике, механике (В.Прагер, ЗО.Армая, Н.А.Лурье, Н.В.Баничук, А.А.Миронов, Ь.М.Картвелитвили, В.А.Троицкий, А.В.Чсркаев, Л.В.Петухов, Н.Ольхов, Ф.Киордсен, В.Г.Литвинов, А.П.Сейранян).

Существенное развитие теория решений задач указанного типа псиучпла и с.пязи с исследованиями задачи об отыскании форм сжатого стержня (колонны), обладающего минимальным вссом и выдергивающего без потери устойчивости заданную нагрузку. Поста-найка этой задачи принадлежит К.-II.Лагракху (1773 г.). С точки зрения математики зедача заключается в отыскании такой функции 'к (X) 7-5- О . при которой минимальное собственное значение однородной краевой задачи (¡-¡г(х) ^"(х.))" 11 ~ А ^ "(х) »

О <" лс < { с самосопряженными граничными условиями было бы ограничено снизу заданным числом, а интеграл от функции <к(х; достигал бы своего минимума. Интерес к этой задаче не ослабевал в течение долгого времени. Для краевых условий{^С)[¿"(0)-- I!?('!) — О решение впервые получено Т.Клаузеном

(1051 г.). Вариант этой задачи исследовался Е.Л.Николаи {1907 г.). М.Г.Крейнсу (1951 г.) была поставлена и решена родственная еадача о распределении погонной массы р(ос) по струне, максимизирующей (минимизирующей) частоты ее свободных колебаний при ограничении Р(зс) ^^г ( Р±)Р1 ~ Соп.<,£) и условии, что объем материала струны задан. Для решений этой задачи использовались методы теории обратных задач спектрального пналчза, » также модификация С -проблемы моментов. Д.Келер и И.Тотжбпх нашли аналитические решения задачи Дагранжа для широкого масса самосопряженных краевых условий (1962 г.).

- з -

Задача Лагранжа допускает взаимнуы, эквивалентною поетя-новку: найти функцию пгсх) О , интеграл от которой с аффиксирован, таким образом, чтобы первое (наименьшее) собственное значение краевой задачи достигало сЕое^о максимлъносо значения. Подобная постановка характерна для многих задач, встречающихся в физике и механике. Первое (над:«ньц.ее) собственное значение служит мерой запаса устойчивости системы, поэтому следует проектировать систему таким образом, чтобы оно было максимальным. Отметим, что в некоторых случаях возникает необходимость максимизировать (минимизировать) Функцию, заносящую не только от первого, но и других собственных значений.

Важной особенностью изучаемого класса задач является то обстоятельство, что•экстремум в них может достигаться как на простых, так и на кратных собственных значениях. Так, например, Н.Ольхов и С.Рас1&уссен (1979 г.) в результате численного ¡эксперимента показали, что решение задачи Лагранжа в случае краевых условий ^(0) « у'(О) = = (¿'(1) - 0 характеризуется двукратным собственным значением, причем решение, полученное в этом случае Д.Келлером и И.Татжбахом, оказалось неверным.

После этой работы были найдены другие задачи, обладающие такими же свойствами (Э.Хог, Н.Г.Медведев, Ж.Плаут, А.ГаевскиЧ, С.Прагер). По-видимому, кратность собственных значений является характерной чертой задач указанного вида.

К тому же классу относится ряд задач о выб9ре форм и границ. Одна из первых задач такого рода была поставлена Б.Сен-Еенаном (1856 г.) в связи с отысканием сечения упругого цилиндрического стержня, обладающего при кручении максимальной жесткостью. Сюда же относятся задачи об оптимальных формах колеблющихся мембран и пластин заданной площади, рассмотренные Д.Релеем, Ш.Адамаром, Г.Полиа и Г.Сёге. Важные результаты в этом направлении получены при решении конкретных задач в работах Ф.Ниордсена, В.А.Троицкого, Л.В.Петухова, Н.В.Баничука, Л.А.Муравья, Д.Шепе, Ю.С.Осипова, А.П.Суетова.

Такшл образок, рисснатриьаекые. проблеш представляют отдельный класс крчевых задач уравнений математической физики и дифференциальных уряанашА, связанны] как с задачами на экстремум, так и сс спектральной теорией. Характерной особенностью задач этого класса является го, что в них коэффициенты при старших производных ь дифференциальных уравнениях состояния выбираются из некоторого заданного множества.

Основные теоретические исследования задач изучаемого типа к&еяютеп вопросов существования и отыскания необходимых условий экстремума (К.А.Лурье, Ж.Дрман, В.Г.Литвинов, В.А.Троицкий, Л.ВЛетухов, Н.В.Еаничук, А.А.Миронов, В.М.Кяртвелишвили). Если множество, из которого выбираются коэффициенты, представляет достаточно широкий класс функции (например, измеримые ограниченные функции), то минимиэируш.ая (максимизирующая) последовательность таких коэффициентов (управлений).вообще говоря, моуст не стремиться ни к какому пределу. Одномерным аналогом этого явления служит скользящий регим управления. Б отом случае для корректной постановки требуется соответствующим образом расширить множество допустимых упраачениП и применить специальное ьаьмкэние { (Ь -замыкание) семейства эллиптических операторов. Ряд результатов в этом направлении получен : .»ботах К.А.Лурм;, Х.РаРтума, А.Б.Чэркаееа, А,Тартара.

С даугой стороны, функция управления обычно представляет некоторые осреднении© характеристики среды, поэтому естественно рассматривать случай, когда исходное множество обладает определенным свойством гладкости. Важные результаты, касающиеся вопросов существования решений и сходимости конечномерных аппроксимаций, получены в этом случае В.Г.Литвиновым.

Однако для целого ряда ачдпч изучаемого типа остаются открытыми попроси существования и корректности решения, не ис-слодоршш попроси о достаточности используемых при отыскании решений необходимых условий пчегрекума. Последнее вакно, поскольку, как правило, поставленные задачи не являются випуклнми.

С практической точки зрения важной является разработка асимптотических методов решения, особенно при решении многомерных задач с уравнениями состояния высокого порядка.

Таким образом, задачи рационального нибора коэффициентов при старших проиэводшх в эллиптических дифференциальных уравнениях дивергентного типа, с одной стороны, приводят к необходимости проводить их углубленное теоретическое исследование как отдельного класса задач уравнений математической физики, с другой стороны, будучи по своей природе тесно связана с конкретными проблемами, они имеют реальные практические приложения. Все это и делает их исследование актуальным.

Цель работы и ее практическая ценность. Цель работы заключалась в создании общих методов исследования задач о рациональном выборе коэффициентов при старших производных в системах эллиптического типа, позволяющих с единой позиции изучать эти задачи; исследовании точек достижения экстремума в этих задачах; развитии и обосновании асимптотического метода решения; решении ряда конкретных задач в выборе форм и границ .

Перечисленные направления представляют научный интерес и имеют важные приложения в механике твердого тела, оптимальном проектировании систем, моделях математической экономики. Разработка этих направлений.позволит снизить затраты и улучшить характеристики реальных систем. Результаты диссертации использованы в ряде организаций при проведении работ ^прикладного характера.

Теоретическое значение работы и ее новизна. В диссертации поставлен и исследован ряд новых проблем:

1) изучение локальных экстремумов в задачах управления коэффициентами эллиптических систем;

2) изучение случая, когда экстремум в задаче на максимум (минимум) собственного значения характеризуется кратным собственным значением;

3) построение асимптотических методов решения;

4) решение ряда конкретных задач механики твердого тела, связанных с выбором оптимальных форм и границ.

Применение разработанных методов и перечисленных задачах позволило установить ряд общих качественных свойств изучаемого класса задач и получить приближенные решения в конкретных ситуация>:. Развитые методы исследования могут применяться при решении царского класса задач управления коэффициентами ди$фе-реж^альыи операторов.

Содержание диссертации. Работа состоит из четырех глав и десяти параграфов. Одиннадцатый и двенадцатый параграфы составляют приложение к диссертации. Каждый параграф разделен на отдельные части (пункты).

Для изучаемых в диссертации задач удобным математическим языком оказывается язык огжсания процессов при помощи билинейных дифференци&вышж форм, заданных в пространствах соболевского типа, а подходящим и широко используемым математическим аппаратом - теория возмущения спектра самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве и теория линейных неравенств в банаховом Пространство.

В иер&ой главе рассматриваются задачи оптимального выбора элементов матриц ь системах с конечным числом степеней свобода. Изучение таких конечномерных задач важно по двум причинам. Во-первых, к такой постановке приводится широкий класс континуальных задач после того, как эти задачи представлены в дискретном виде при помогу того или иного вида яонечно-разнсстной аппроксимации. Во-вторых, как ото часто О'ьшает, разработанная методика исследования дискретных задач позволяет затем применять аналогичные приемы и для бесконечномерного случая.

В первой параграфе изучается задача о выборе вектора 1ъ из замкнутого ограниченного множества О С ¡К с целью максимизации (или минимизации) собственного значения А задачи

(2)

Здесь hih) , - положительно-определенные симметричес-

кие матрицы, коэффициенты которых представляют непрерывно дифференцируемые скалярные функции от векторного аргумента Поставленная задача относится к классу задач нелинейного программирования. Однако, использование особенностей задачи спектральной оптимизации позволяет развить специфические методы исследования, основанные на теории возмущений элементов симметрических матриц. Полученные с помощью метода возмущений необходимые и достаточные условия экстремума имеют простую естественную структуру и, в частности, позволяют эффективно организовать численные процедуры для решения поставленных задач. Исследуются достаточные условия, что является важным, поскольку поставленные задачи не являются выпуклыми, даже если элементы матриц А("М и ¡3(-Ы в (2) и все ограничения, задающие множество возможных управлений, есть линейные функции от компонент вектора ii . Это иллюстрируется примером, приведенным в последней части этого параграфа.

Второй параграф посвящен отысканию необходимых, а также достаточных условий экстремума в том случае, когда он характеризуется кратными собственными значениями. Как уже отмечалось, это явление было обнаружено при решении ряда конкретных задач и, по-видимому, является типичным для симметрических систем. Собственные значения X С = XС, К 6 Q С |Ra ( С ■ 1,2,..., щ ) задачи (2) можно представ^ь в виде гиперповерхностей в пространстве IPsn" . Если при некотором К £ Q происходит их пересечение или касание, то в задаче (2) имеются кратные собственные значения. Пусть, например, поставлена задача о максимизации первого (наименьшего) собственного значения, и максимум достигается на двукратном собственном значении, т.е. при € Q выполняется X ( (ftü) » - Ai (Л°) » тогда поверхность 2(к) - т<Л { , Ai(-fv) ^ в' окрестности точки может образовать недифференцируемую особенность. Простейшей моделью такой особенности являются

а -

точки возврата (заострения) при пересечении двух гладких кривых. Поэтому можно ожидать, что у функции 2(-/г.) = = Игах {Х^-к) .Хгч'Ы} о'удут существовать лишь производные по направлению в точке */т.° . Вывод необходимых условий экстремума в этом случае существенно отличается от аналогичных рассмотрений для случая, когда экстремум характеризуется простым собственным значенной, и основан на применении теории систем линейных неравенств, ¿ели ограничения линейны, то найдены достаточные условия экстремума. В конце параграфа приведен иллюстративный пример систему, у которой в задаче максимизации первого собственного значения кратность достигает трех единиц.

В третьем параграфе рассматривается задача управления решениями линейках систем вида А(п) "Ц - Р , где ,\{К) -ыатшца того же вида, что в равенстве (2), IX , Р - вектеш из 1Киг . ■

Вторая глава посвящена теоретическому исследованию вариационных задач о выборе коэффициентов эллиптических операторов дивергентного типа.

Б первой части четвертого параграфа вводятся в рассмотрение симметрические билинейные дифференциальные формы эллиптического типа, определенные на элементах гильбертова пространства V • Введение этих ферм позволяет обобщить случаи, возникающие при изучении слабых решений эллиптических краевых задач с уравнениями состояния вида (I). Пространством/получается путем замыкания множества бесконечкодиффзренцируемых пункций, удовлетворяющих соответствующим краевым условиям по норме пространства соболевского типа. Так, например, оператор А (М , заданный в (I), индуцирует билинейную форму ( А ,

- мультииндексы, С - целое положительное число, 13 -ограниченная в область с гладкой границей Р )

Afx(u,yf) = J СЦр(к) c^tx) fix

D

Решение ttl'x) fc V краевой задачи (I) понимается в слабом смысле, т.е. для любых элементов £ Л/ должно выполняться интегральное тождество:

Коэффициенты формы (3) зависят от функции 1г(х) , которая выражает внутренние конструктивные свойства системы и выбирается из множества

И - \ V^D) : |1Мг С , Lv+п. й кс-х)

climax , О 0 = (5)

^k^.'L.ax^oasl^O

Здесь (D) - соболевское пространство функций,

суммируемых с квадратом вместе со своими производными до порядка ч, включительно, at - число, вычисляемое по формуле: х= С.<"1-/2.1 + 1 , где [п-/2} ~ целая часть числа tv/2 , а " П, - размерность вектора ос £ "О . '-{^¿(fij - непрерывные строго дифференцируемые функционалы в Vi/it Г1 J •

Из определения множества Н следует, что функции "^СэсЛ €. Н обладают определенным свойством гладкости, поскольку из теорем вложения следует, что пространство i\l с указанны!») ^ вкладывается в пространство мопрорнмшх функ ций.

Ставится задача о выборе элемента 6 Н , при кото!-ром первое (наименьшее) собственное значение краевой задачи на собствекьное аначение ( С £ ..))

V,

(6)

достигает своей верхней грани. Здесь Ь.^'Ю^у) - билинейная фору а того же вида (3), что и. форма Дд , но мэнынего порядка. Обозначения ) X,.',(/1) подчеркивает зависимость решения задачи (б) от выбора элемента

к Я •

Для краевой задачи (4) ставится задача о выборе такого элемента из , при котором пара (\\ /II/г) ( Ы{\.

решение задачи (4)) доставляла бы экстремум заданному функционалу ф(-/| ¡Чь) •

Задачи такого типа возникают при оптимизации уст&ймигя»-сти систем, описываемых уравнениями эллиптического тни&„ ж имеют многочисленные приложения. Существуют эквивалентные (взаимные) постановки отих же задач, когда задано ограничение снизу на воли чипу наименьшего собственного значения и требуется минимизировать один из функционалов тС('К) , С

В части 4.2 подучен ряд теоретических результатов, основной из котор;« заключается в констатации следующего, факта: пусть последовательность функций -[ £ Н еавдет-

ск к илементу {\о (-ч в слабой топологии пространства 1лЛХ . тогда существует такая подпоследовательности

' 'МГ- * которой соответствующие решения краевой аедр-чи"ни собственной значение (б) —" ^^о в с,1ЛЬИОЙ

логии пространства "V .

При помощи аналога теоремы Вейерштрасса дяя функциональных пространств доказывается существование хотя бы одного аб-

п -

солютного максимума п поставленной спектральной задаче. Аналогичные результаты поручены для экстремальной задачи, связанной с решением краевой задачи (4).

Из полученных результатов, в частности, вытекает, что из всякой максимизирующей (минимизирующей) последовательности еяеменгов IAkXkIi ^ Н можно выбрать такую подпоследовательность {fitin . что ■!)t —> -fx о слабо в С1) u fit —» fio сильно в C(0)(C(D)- пространство непрерывных в £) функций). Причем на элементе Ко достигается верхняя (нижняя) грань заданного функционала K¿{í\) • Последнее означает, что в указанном смысле поставленная задача является корректной, а величина нормы \х в играет роль регу-ляриэатора А.Н.Тихонова.

В части 4.3 с помощью аппарата аналитического возмущения спектра самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве получены выражения для первой и второй произзодной по Гато от функционала А ¿('(х) . Из утверждения о сильной сходимости решений краевых задач (6) доказывается, что полученные производные являются производными Фреше. Аналогичный результат, касающийся первых и вторых производных, доказан в части 4.4 для функционалов общего вида и для функционала khiUhMh) в случае краевой задачи (4).

Полученные в четвертом параграфе результаты приценяются в следующем параграфе для исследования точек локального экстремума.

В части 5.1 рассмотрена билинейная дифференциальная форма одного переменного .Х^Со,*] вида (3). Управляющие функции выбираются из множества М - существенно ограниченных измеримых функций на отрезке [о , ■(] , для которых <0

¿= 4,2,..f>) , где Vg'(^) - линейные в

функционалы вида (^¿^ ( ¿ = 4,2,. ••, р) , L(0,l)

( {_, (ОИ") - пространство абсолютно интегрируемых функций на отрезке [_(},<] )• Класс допустимых управлений в этом случае

существенно шире, чем описанный в (5) класс функций П Для поставленной задачи в общем случае нельзя гарантировать существование решения, однако, в ряде случаев решения подобных задач удается найти в аналитическом виде или в результате численных расчетов. Поэтому представляет интерес отыскание необходимых, а также достаточных условий экстремума. Отметим, что в этом случае полученные ранее выражения для производных представляют лишь слабые функциональные производные по Гато. Для традиционных задач вариационного исчисления эти производные, как правило, совпадают с сильными производными по Яреше. Однако в рассматриваемом случае аналог утверждения части 4.2 неизвестен, и факт совпадения этих производных не очевиден. В этом случае исследование знаков вторых производных дает лишь необходимое условие экстремума второго порядка. Для получения необходимых условий используется результат о совместности и несовместности систем линейных неравенств в банаховом пространстве. Привлечение вторых производных приводит к более точным условиям, заключающимся в полноте и замкнутости построенной с помощь» уравнения состояния системы функций из 1.Л0)<) . Ситуация упрощается, если в качестве множества допустимых управлений рассмотреть множество элементов из ( (010 " пространство суммируемых с квадратом функций), зоданноз системой линейных неравенств. В этом случае, с помощью некоторых дополнительных предположений удается получить необходимые условии локального экстремума второго порядка з относительно простом виде. Однако, э общем случае вопрос о наличии локального экстремума связан с проверкой полноты определенной системы функций в (0,!) .

В части 0.2 доказано, что в задаче Лагранжа с краевыми условиями = -О , у (•<) = у'Н) - О максимум

не достигается на простом собственном значении.

В части 5.3 рассмотрен вопрос о необходимых и достаточных условиях экстремума в классе функций, заданных равенством

(5), для вариационных задач о выборе коэффициентов эллиптических операторов с целью максимизации их первого собственного значения. Полученные результаты основаны на схеме применения метода множителей Лагранжа для гладких задач с ограничениями. Необходимые условия экстремума имеют вид неравенств. Отметим, что представление необходимых условий.в таком виде широко используется в работах Ж.-Л.Лионса и его школы. Найдены достаточные условия локального экстремума. Полученные в этой части результаты распространяются на случай функционала А• гДе У-К ~ решение краевой задачи (4).

Часть 5.4 посвящена отысканию необходимых условий локального экстремума для спектральных задач оптимизации в случае, когда экстремум характеризуется ратным собственным значением. Примененные здесь методы аналогичны тем, что рассмотрены в § 2, и носят характер их обобщения на континуальный случай. Общий вид необходимых условий первого порядка и необходимых условий второго порядка имеет ту же структуру, что и в конечномерном случае. Рассмотрен пример, иллюстрирующий полученные условия.

Шестой параграф посвящен исследованию спектральных вариационных задач с изменяющейся границей. В части 6.1 приводится постановка этих задач. В 6.1 - 6.4 найдены необходимые условия локального экстремума первого и второго'порядка для собственных значений эллиптических краевых задач с условиями Дирихле на границе при изопериметрическом условии постоянства заданной меры (объема) области. Изучаются случаи, когда экстрем;'« достигается на простом собственном значении, и случай острого экстремума на кратном собственном значении.

В частях 6.5 и 6.6 рассмотрена ситуация краевой задачи П или Ш рода для уравнения Лапласа. В этом случае вывод соответствующих условий обладает спецификой, существенно отличающей вывод соответствующих условий для задачи Дирихле.

В части 6.7 рассмотрен случай, когда варьируется граница трехмерной области, а в части 6.8 эти же результаты адаптированы для плоского случая. Результаты, полученные в § 6, далее используются в § 10 для решения конкретных задач.

В третьей главе развивается асимптотический метод решения задач оптимального проектирования коэффициентов эллиптических операторов. В седьмом параграфе метод применяется к спектральным задачам оптимизации. Пусть для управляющей функции из множества |~{ , заданного в (5), величина мах - кыи) ¡¿Ь м«»,- достаточно малое число. Функцию Ьми представим в виде п'(эО = Ао + £ , где ■ко- (Атх+4глип)12Ьтач.=с.01Ь!>Ь7 0 , а . Тогда исходную систему можно рассматривать как слабоуправляе-мую. Из результатов о возмущении спектра самосопряженного оператора в гильбертовом пространстве следует, что решение краевой задачи (6) при "¡1(сс) = 4\а является нулевым приближением к искомому оптимальному решению, и задача сводится к выбору соответствующей функции-поправки 4ц (X) . Исходное множество допустимых управлений редуцируется при этом в множество,

Н< = {<^НЪу: II{ц||г ^ С,, ,

• (7)

При этом исходная задача переходит в задачу об отыскании экстремума линейного по функционала на множестве {—. Эта задача существенно более проста, поскольку кроме ограничения на величину нормы {^ , все остальные ограничения и сам функционал являются линейными. Доказано, что если все функционалы ЧЪ э задающие в (5) ограничения, - линейные, то погрешность в вычислении экстремума указанным асимптотическим методом имеет порядок 0 ( £■*) . Если же в (5) имеется нелинейный функционал, то указанная погреш-

иость имеет порядок . где - величина, зави-

савшая 07 £ , такая что

Для того, чтобы более точно оценить порядок погрешности, проводятся подробная оценка с использованием вида второй про-таводной от функционала.

В части 7.2 подробно исследуется задача о'максимизации лтьйтого функционала при условиях-ограничениях вида (7) . Приводятся различные варианты решений этой вариационной задачи с; згсмощыз метода множителей Лагранжа, а также с помощью задав» ограничения |fv.f(:x)j 4 i на интегральное ограничение в- иреютренстве [.J3

В чаасти 7.3 находится решение конкретной задачи на мак-СИК5П« первого собственного значения. При помощи метода воэму-щекшй кразадится сравнение его с точным решением при различных значениях малого параметра £ .

В- восьмом параграфе метод возмущений применяется к задачам управления решениями эллиптических систем. Для функционала A> гДе Uiv " решение краевой задачи (4), доказано, что погрешность в вычислении решения задачи по методу возмущений задается величиной М 2-г , где М - эффективно вычисляемая постоянная.

Звюше фактическое значение имеют локальные функционалы

вида

(8)

¡функционал (8> ке дифференцируем, что является причиной известных математических трудностей. Вместе с тем, для широкого класса функций ¡[t{(Jjp при

'/р (9)

" D '

Все это позволяет рассматривать вместо функционала (Э) функционал (9), выбирал при этом число р достаточно большим. йце более правомерным делается такой подход, когда решение задачи ищется асимптотическим способом, поскольку при достаточно больших погрешность аппроксимации становится меньше погрешности решения поставленной проблемы. Доказана оценка погрешности метода, которая имеет такой же вид, как и в случае,приведенном в 8.2. В том случае, когда гЬ> ( - порядок билинейной формы (3), кг, - размерность вектора

О ) устанавливается оценка погрешности метода для локального функционала (8).

В части 8.4 рассмотрена конкретная задача о минимизации локального функционала вида (8) и проводится при различных значениях малого параметра £ сравнение решения, полученного с помощью метода возмущений, с точным решением.

Четвертая глава посвящена исследованию и решению конкретных задач.

В девятом параграфе приводятся постановки краевых задач оптимизации форм упругих тел для стержней, пластин и оболочек. Рассматривается ряд функционалов: критическая сила потери устойчивости, частоты свободных колебаний, потенциальная энергия деформации, максимум прогиба, интегральная мера погрешности и обсуждается их взаимосвязь. Приводятся соответствующие уравнения состояния для стержней, пластин и цилиндрических оболочек. Изучаются особенности спектральной задачи оптимизации цилиндрических оболочек.

В десятом параграфе проводится исследование стационарных решений в задачах оптимального проектирования стержней и пластин.

В части 10.1 рассмотрена задача оптимизации силы потери устойчивЬсти упругого стержня (задача Лагранжа). Ранее, в части 5.2, доказано, что эта задача не имеет локального максимума на простых собственных значениях при краевых условиях

у(0)-у'(о)-0, %(>{) = 0 . Доказывается, что при

всех других типах смлосопряженных краевых условий, задача имеет локальный максимум при стационарных ¿ЦоО на простом собственном значении.

В части 10.2 изучен случай паевых условий (¿(о) =■ = = О, Ц-И) - У= О . В этом случае могут' возникаа лишь двукратные собственные значения. При помощи результатов части 5.4 находятся необходимые условия того, что оптимум достигается на двукратном собственном значении, и доказывается, что эти условия являются необходимыми условиями локального максимума второго порядка.

В части 10.3 результаты, изложенные в § 6, применяются для исследования экстремальных свойств собственных частот круглой мембраны. Минимальное свойство первой собственной частоты круглой мембраны (гипотеза Релея) доказано Г.Полиа и Г.Сёге.

В части 10.3 показано, что остальные, как простые, так и двукратные собственные значения круглой мембраны, удовлетворяют необходимым условиям экстремума, но ни на одной из них не достигается ни максимума ни минимума. Рассмотрена также задача об устойчивости защемленной круглой пластины. Показано, что первое собственное значение этой задачи достигает локального минимума на круглой пластине. Остальные точки спектра не реализуют ни максимума ни минимума на круглой пластине, хотя все они удовлетворяют необходимым условиям экстремума. Абсолютное минимь. .ьное свойство первого собственного значения в задаче об устойчивости защемленной пластины было доказано Г.Полиа и Г.Сёге при помощи гипотезы о том, что первая собственная функция соответствующей краевой задачи не имеет в области, где она решается, узловых линий. Однако в последствии было установлено, что эта гипотеза не справедипа. Приведенное в 10.3 доказательство является локальным, однако оно но использует упомянутую гипотезу.

В этой же части проводится исследование экстремальных свойств частот колебаний свободной мембраны. Показано, что на круглой мембране выполняются необходимые условия экстремума для всех простых частот, однако в этом случае круг не реализует для них ни локального максимума ни локального минимума. Указываются качественные изменения форы мембран, при которых их некоторые частоты колебаний имеют тенденцию к увеличению (уменьшению).

В части 10.4 исследуется поведение стационарных решений в задачах оптимизации частот колебаний и изгиба пластин переменной толщины, при этом существенно используются результаты части 5.3. Доказано, что стационарные распределения толщин доставляют в поставленных задачах локальный экстремум, если величина положительной постоянной С в интегральном ограничении (5) не больше, чем заданная эффективно вычисляемая постоянная, зависящая от геометрии очертания пластины и величин Ьы• "Ьтчх в (5). Из полученной оценки для величины С следует, что в указанной постановке можно гарантировать оптимум в стационарных точках лишь Ь случае, когда иэмзнение кривизны поверхности пластины достаточно мало.

Приложение к диссертации составляет содержание одиннадцатого и двенадцатого параграфов.

Параграф одиннадцать посвящен приближенному решению задач оптимизации устойчивости, частот колебаний, изгиба и прочности для пластин и цилиндрических оболочек переменной толщины с помощью асимптотического метода, представленного в § 7 и § 8.

В части ИЛ приложения получены приближенные решения задач о максимизации устойчивости упругих прямоугольных пластин путем выбора распределений их толщин, а также задач оптимизации частот свободных колебаний. Получена динамика изменения оптимальных форм при изменении геометрии пластин.

Часть 11.2 посвящена приближенному решению задачи минимизации изгиба и максимизации прочности прямоугольных пластин

переменной толщины. Качественный анализ решений, полученных в ИЛ и 11.2, показывает, что характер оптимального распределения толщин зависит от типа краевых условий, и на него слабо влияет вид функционала (параметр потери устойчивости, первая частота свободных колебаний, прогиб, прочность). Полученные решения дают дополнительную информацию о рациональных: нлрав-лениях подкрепляющих элементов пластин с целью повышения их прочностных свойств.

В части II.3 приложения получены приближенные решения задач проектирования цилиндрических оболочек минимального веса, имеющих частоту одного из преимущественных видов свободных колебаний не ниже заданного значения. Приближенные решения получены как в осесимметрическом, так и в общем случаях. Найденные решения позволяют исследовать чувствительность частот сьибод-•шх колебаний оболочки к распределениям толщин вблизи заданного опорного решения.

В последней части 11.4 рассмотрена задача об рациональном распределении жестксстей в консервативных системах, подверженных вынужденным гармоническим колебаниям. Изложение ведется на примере упругих пластин, однако полученные результаты применимы для широкого класса консервативных систем с конечным и бесконечным числом степеней свободы. В качестве функционалов рассматриваются величины максимума кинетической и потенциальной энергии. Показано, что в зависимости от величины частоты вынужденных колебаний рациональное распределение жесткостей в системе близка по конфигурации к тем системам, у которых соответствующая частота свободных колебаний достигает своего экстремума, или величина разности между двумя последовательными частотами свободных колебаний будет максимальна. Полученные результаты иллюстрируются на примере прямоугольных пластин переменной толщины.

В § 12 приложения рассматривается численный метод решения задач управления коэффициентами эллиптических систем. Метод ос-

кован на представлении вариации управляющей функции в виде линейной комбинации базисных функций, заданных на симплекс-разбиениях области Т) . Далее строится система функций, представляющих собой отклики решения исходного уравнения (4) на изменение соответствующей базисной функции. Общее приршценио решения при изменении управления получается в этом случае в виде линейной комбинации функций-откликов с теми же коэффициентами, что и в представлении вариации управления. Отыскание ■функций-откликов сводится к решению системы линейных уравнений с одной и- той же матрицей, но с разными правыми частями. В итоге, на каждом шаге исходная задача сводится к задаче математического программирования. Предложенный численный метод позволяет проводить анализ чувствительности проекта к изменению функции управления на одном из участков симплекс-разбиения, что оказывается важным при предварительном анализе. Показывается, что предложенный метод гарантирует сходимость к оптимальному решению по функционалу. Рассмотрены два примера решения задач этим методом..

Основные результаты работы

1. Найдены необходимые, а также достаточные условия экстремума в задачах оптимального выбора элементов матриц в системах с конечным числом степеней свободы. Рассмотрен случай, когда экстремум достигается на кратном собственном значении.

2. Для широкого класса вариационных задач о выборе коэффициентов в системах, описываемых уравнениями эллиптического типа, найдены выражения для первых и вторых производных Фреше от заданных функционалов. Получены необходимые условия локального экстремума первого и второго порядка,а также достаточные условия локального экстремума. Изучен случай, характеризующийся достижением оптимума на ратном собственном значении. Найдены условия экстремума в вариационных задачах на собственное значение с изменяющейся границей.

3. Предложен и развит асимптотический метод решения задач управления коэффициентами при старших производных эллиптических операторов и доказана оценка его погрешности.

4. Исследованы стационарные решения ряда экстремальных задач на собственное значение, возникающих при выборе форм упругих тел. Выяснен экстремальный характер спектра в з даче о колебаниях круглой мембраны и в задаче об устойчивости круглой пластины.

5. Получены асимптотические решения задачи о выборе распределений толщин пластин с целью максимизации их устойчивости и частот колебаний, а также в задаче о выборе закона распределения толщин цилиндрической оболочки минимального веса с фиксированными частотами свободных колебаний.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Асимптотический метод в задачах оптимального управления уравнениями в частных производных. - Успехи матем. наук,

1980, т. 35, вып. 4 (214), с. 180 (тезисы докл. на расширенной сессии семинара им. И.Г.Петровского).

2. Асимптотические решения в задачах оптимального управления коэффициентами эллиптических операторов. - Докл. АН СССР,

1981, т. 259, № 5, с. 1035 - 1038.

3. Приближенные аналитические решения в'задачах оптимизации устойчивости и частот колебаний упругих тонкостенных конструкций. - Изв. АН СССР. ЫТТ, 1981, № 6, с. 119 - 139 (совместно с В М.Картвелишвили).

4. Метод возмущений в задачах оптимизации пластинок переменной толщины - Изв. АН СССР. МГГ, 1982, #6, с. 135 - 142.

5. Двукратные собственные значения в задачах оптимизации. -Докл. АН СССР, 1983, т. 272, № 2, с. 275 - 278 (совместно'с А.П.Сейраняном).

6. Проектирование круговых цилиндрических оболочек минимального веса с фиксированными частотами свободных колебаний. -Прикл. матем. и мех., 1983, т. 47, * 5, с. 805 - 814.

7. Бимодальные решения в задачах оптимизации собственных значений. - Прикл. матем. и мех., 1983, т. 47, » 4, с. 546 -554 (совместно с А.П.Сейраняном).

8. Кратные собственные значения и задача управления спектром эллиптических систем. - Успехи матем. наук, 1986, т. 41,

№ 4, с. 184 (тезисы доклада на расширенной сессии семинара им. И.Г.Петровского).

9. Достаточные условия экстремума в задачах оптимизации собственных значений. - Прикл матем. и мех., 1984, т. 48, "V 4, с. 657 - 667 (совместно с А.П.Сейраняном).

10. Оптимальные формы упругих тел при вынужденных гармонических колебаниях. - Изв. АН СССР. МТТ, 1985, № 4, с. 173 - 180.

11. Достаточные условия экстремума в задачах управления коэффициентами эллиптических операторов. - Успехи матем. наук, 1985, т. 40, вып. 2 (242), с. 171 - 172.

12. Достаточные условия экстремума в задачах оптимизации форм упругих пластин. - Прикл. матем. и мех., 1985, т. 49, № 4, с. '608 - 615. .

.13. Кратные собственные значения в задачах оптимизации спектральных свойств систем с конечным числом степеней свободы. - ЖВМ и МФ, 1986, т. 26, № 5, с. 645 - 654.

Результаты диссертации были предметом докладов на семинарах Института проблем механики АН СССР, механико-математического факультета и факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В.Лоыоносова, Ленинградского государственного университета, Математического института им. В.А.Стеклова, Института проблем управления АН СССР, Физико-технического института йм. А.И.Иоффе, Института математики и механики Уральского отделения АН СССР, Института кибернетики АН УССР.