Необходимые условия оптимальности и двойственность в задачах оптимизации по конусу тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Г!

' ■ I

V !

/■ УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ АН СССР

/>; ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ_

^ и

На правах рукописи

3310

АЗИМОВ АББАС ЯДУЛЛА ОГЛЫ

УДК 517.97

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ

ПО КОНУСУ

(01.01.02 — дифференциальные уравнения

и математическая физика и 01.01.09 — математическая кибернетика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ЁВЁРДЛОВСК- 1

Работа выполнена в Азербайджанском государственном университете им. С..".'Кирова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, чл.-корр. АН УССР

доктор физико-математических наук

А.М.РУБИНОВ

доктор физико-математических каук

А.Г.ЧЕНЦОВ

Ведущее учреждение -

Математический институт им. В.А.Стеклова АН СССР

Защита состоится "_

_1988 года в

час. на заседании специализированного совета Д 002.07.01 по защите диссертаций ка соискание ученой степени доктора наук при Институте математики и механики УрО АН СССР (г.Свсрдловск, ул.С.Ковалевской, 16).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и мехелики УрО АН СССР.

Автореферат разослан "_

.1938 года.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат.наук

М.И.Гусев

= .н

•Л^.;'.',.-Задана на акстрецум роиались на протяжения всей истошл математика. Они способствовала развитии многих областей математики, Однако интенсивное а последовательное изучение экстре-мпльных задач началось сравнительно недаъно.

3 40-х годах исследование задач оконошки породило новое направлен»} в штештакв, яодучиотее названое линейного и лы-лузлого гфограшарования. В те жв годи аулоброт актуальность задачи управления рвахтютш ылнениг:,; летательных, аппаратов, ¡йтс-каткчоскэя теория,, ораенгврошлюя на репониз широкого няясса задач оптимального управления ошю создана в кягидося-т;;х годах. Нейтральным результатом отоД теории является лрпк-п;ш шкеадука д»СЛонтрягина. Другим каправчеияек в теории еи~ ирппеосо]? япядется :/етод динамического лрэгражарс.-Р.Белл: лча, Пт.'/менсчик; с.ункднонадыгого апалисл п онтилалн-ног.,- удг'дшол.с" ; г о о ^' ч: т1; л работ:.; л.л .^раоово.чиго.

'л<:1.~! результаты .а ¡л.'л.лаллчого уирллл1:1--

лия, лолуыш);:' л.О.По'^рягянгм,, ;Дп.лр.л;олс дл;, Р, :Р:лл; ллол, бшш а дальнейшем развиты в трудах советских л заруое:;:ш:л учо-Ш1Х.

После яслучоная основтпгх результатов и трорпа оптимального управления, стаж; интенсивно рассматриваться задачи управления в уолотпях неопределенности и колТ.тпкта,, 1;отреогость б язучшшя таких задач иоаникает, н?яркмер, паи релонпл дз;'ллх технячоскях пцоблои, где нугши построить уяривдише, гяргш«5~ руюиэе определенное качество управляемого процесса п условиях» чогде этот процесс подвержен гнетшим некхнтроллруешл силам. Катекатипоские шдела подоЗнш. зддач для систем описншо?шх, ди^ерешщалыщди уравнениями, исследуются в райках дш;<£орон-

циалышх игр. Прогресс теория даЗДеровдкалышх игр связан с икокаш Л.С.Ионтрягяна, Н.К.КрасоЕского, Е.Ф.Мшцснко, Б.Н.Позначного, Р.Айзекса, А.Б.Куржанского, К.С,Никольского, Ю„С.Оси-лова, А.й.Субботина, Н.Сатякова, д.Г.Чшщова, л.л.йпкрпл и многих других советских и зарубиишх ученых.

С другой стороны, нарялу с теорией дифференциальных игр, интенсивно развевается теория векторной оятидшзаш» (ияя оптимизации но конусу), где качество процесса оценивается векторным кркгеркси. дело а ток, что на практике часто приходится сталкиваться с хавиш задачама, где р&гвняе цужио оашшшг с различных точек зрения, учитывая физические, экономические, технические л другие аспекты. Это требует построения моделей оптимизации решений одновременно по нескольким критерия;.;.

Задача векторной онтядшзациа влорвке сформирована В.Па-рехо в 1896 г. Большое значение в развитии &тиго каправдеюш имела известная заметка Л.А.Заде (1963 г.). Проблемам векторной оптимизации пссвяцены много работ советских и рарубежных ученых, Особенно интенсивно теория векторной оптимизации развивалась в последнее десятилетие. Интересные л глубокие результаты по математической теории векторной оптимизации получены В.В.Гороховиком, ¡.¡.И.Гуссвигл, И.И.Ереминнм, А.Б.Курганским, р.С.Кутателадзе, В.И.Заоотшшы, В.Д.Ногиным, Б.Н.Пшоничнктл, В.З.Подиновсккм,'А.М,Рубиновым, М.Е.Салуквадзе, А.Г.Ченцовым, а также зарубежными учеными АЛу1.Дясоффрионом, Л.Гурвицем, X.Куном, Х.Бенсоном, С.Смелом, А.Таккзрои, П.Л.Ю и многими другим!!.

Наша работа поевнщвпа изучении некоторых математических вопросов теории векторной оптимизации.

ОЕЦАЯ ХДРЛКТЗРИСККА РАБОТУ

Актуальность те'.*н. В последнее .время интонелвио развивается теория векторной оптимизации, г1,б качество процесса сца-.изаэгся кг олнпг/, «цртодюнздод, а со ■экуп^остью ауьк'дайнаяии. Стаазаьи одздлеггхн учзгой -маогэ гкуя$л:о-

.¡.■с критерия к,;.'!иства ъо /.-нотис '¡рактачо<«гах зцдочах часто становится ко.ст'Т'-Г'/ЧПой.

П гшр-те кслтлопов. кяздчи из которых оценива-

ет 9Ях«ге?:вш1ое г.^'отггь шгячче ,л-»ч „и*5ого крупно-

го 'ге^г.ниекси'о трота»«)-?яготшикого проекта, Ва-шость пр^Рле-.": нс.п:;-\'гьглх зсритерчов но-

л"»,«.и-> п.-.О'. Я •}П1ЯГб«Н»Н№Л« УИРЬИМИ.

В '..«таг птх"«скоЗ еорзя кек-горнон оптйь^элп.;», как я в любой йруго;- <.бяжум '•"т-лязч'-ши зочиккат- разм«* проблемы: судастшвачкп а х кжтер&мдоя регсыкШ, устойчивость и регу-ляриз?лая нет.орГ)йУ,т!1цх эшдо.. двойственность т.д.

Ншзгожцал работа аоо.олг' ;ня яеелвдованшэ кеооходимах условий оптимальности и дройотзенпос-тч б задачах ^птимизяцта пс конусу б достаточно общих пространствах и применению в оптгаашюм уяраЕлшни для пр^аессов ошеываомнх обыкновениями дисМ>орвилиалт.;кш урзЕцения?/.;:.

Необходим»» и" достлточшгл условия;/ оптимальности в аб-страктних пространствах с векторным критерием посвяшеяы, например, работы ..1,Гурвниа, К.Риттера, Да Канха - Э.Полака, А.М.ДзкояЬрпона, Дк.Зове. В.Лаитоша и лр. Рассматриваемые в работах этих авторов зала-ш обладают либо гладкой, либо выпуклой структурами. Следовательно, актуальной становится

исследование и получение пеобходт.'х уояоики опгмшыюсп по конусу для подач со смезлыий л^адко-шцукдой структурой. Закатим, что в »утассаческг.м случае одпокш^шчмм'ор оппчяю*-цп:г гладко-выпуклее Зсшачл ¡ыорацс- расо."Ь.ЛЛшиаэтлыш, затем результат носледаех'о обойден А.Д.Месте а В.Я.Тихошро-

Риооти поовлцс;;;;;;^ д^алодо^ша'Ч. .>ио6лода»><Дл услиьиь. ь

задачах ошгллалыюго узро&яошк с ялжииюзд! .".¡итер-ю* уо-ловно шпделитъ чч ;;.ве г1]»утт^"'1. ^ г^ггме

нооб;;од;:к!;о услоьия выводите« для поысдегкде глздгон залач, Отметим, »»гример, расхоти «„Нельсона, , Г.^ог.глаиг-

В.йлптендор"'.?., З.В.Хомонска, З.В.хЪррхошя'а, ''„^„Сглукпплзс» ТЛ.Атанс а-ХЛ5.Геринга ч др. Во вторэл группе рооет пооб>.,ж-мие условия в конкретных задачах яг>"7«ачтор о тгаг/ощъп о<5жу. спе.\: выгода нообходжл». условий опкеталькосгл в аЗстракгныя пространства:-'., К этому направление ;.:оаго отаооти работа В.Я, Заботина, Б.Лаптопа, М.И.Гусева, К.ь.Ш'.скаоидзе, К.Спреман-на, Л.Нейаггата и др. Следовательно, в связи о экс греглаяыи--ми пряяцвшкзг развят^а з кашей раоотс- для главно -вштутк задач векторной оптаксации актуальной задачей становится вывод с помощь» этих общих результатов необходимы« условий оггтамачьяоети в процкосах 01исыьае:лкх ос>ши:оьзиыт ¡яьяфе-ренциалыияж уравиошаши с несколярянк критераек качества.

Другим интенсивно развивающимся направлением вектошой оптимизации является теория двойственности,. Вопросы двойственности для задач векторной оптимизации значительно сложно,е аналогичных вопросов для задач с одним критерием, и эта область векторной оптимизации не достигла той завершенности.

которая имеет место в классическом случае. Сложность предмета породила разнообразные подходы к задаче двойственности. Двойственность в покторной оптимизации изучены в работах Д.Геила-Х.Куна-А.Такксра, ¿.Гроса, Дяс.Зове, Х.йзорманча, З.В.Подшгов-ского, В.Д.Ногина, Т.Таннно-У,Саваряги, Кавасаки и др. В большинстве из лях работ двойственность изучается для частных классов задал»

В работах где построены обние тсоши двойственное-ти. введеыг;о тшхвя л конструкция двойственных задач сложные. Кроме того, автору неизвестны работы по двойственности аЛь- задач овх:г~&ш1с>ге ион* «.•у уг^чглрип описываемых дио-йерепцааяьакма урышеншл. Таким образом, актуальной стала гогулясн:'? ^ооряя 71*1{:стярчнг.«ги, которая о одной сто-

роны бнг.я бы досТ'Гюч.чо облей. 1-о6ч охватить широкие классы задач, в том числе и задачи оптимального управления, с другой стороны конструктпвьо,:, что'п эту теор'.а» макно было применить при решении конкретику примеров,

роль "I.- ■¡у'-н5И.-0 и лОО> илП'ПЛЫХ уеЛоц'.Ь! ОЯТЯкПЛЬИОС-

ТТА ('--у тг 1- г' " Г! 1 ' " : ( 1--Т" < '; у г 'Г .....у ^ П^П О П 1 I Т Л Т5 А* * ЯГО С^раН"

м-«- и пшмонон/«- дтах результатов к задачам оптимального управления с 1:::а'лтрн:а.' критерием качества для получения аналогов прккцгша .ллкскиз -¡г. Я.О^Йоитркгииа.

Построение теории дчойстъсштости для задач оптимизации

Т. Т, $и;ога</ V. йп|и.<& мсц« йг«1 ФмиЬ] Ы пи1&.с1угс(ие 2, ¡(¡{й/г^ай И. А Ичс.-ет м тииа^есШе мпй/иса рго^от-

по конусу и доказательство теорогл дтолствопности дам широкого класса задач, в том число и для задач оптимального управления с вокторшгм критерием,.

Научная новизна. В работе получояи следужляе ловио результате:

1. мзученц свойства иифяыаяышх точен »нолоехга,

2. Докаеаль; пообходлмис условия лол-лм.ното .л-л:и.1у:.:а /инРп:.г/1.:а/' для глэд::о~:л:луг.ллл задал ;; частично уясрядсчс:: них однахоьыл пространствах,

3. Доказаны необходимые уело лил локального ^ипим-ума /инрнмума/ в непрерывных я лрекрагн.чмг задачах 0ПТ;:-.:лльн0Г'0 управл<м:1я с векторным крятеряе« качества.

Вводснщ новые лолятин сопряхеиш;х отображений и суб-дифТ.еронцпала для шогозкачкых отоорал.ини!: и построена теория двойственности многозначных отображений.

5. Развита теория двойственности для выпуклых задач оптимизации по конусу.

в. Доказана теорома двойственности для некоторой абстрактной задачи вкаючашей в себя задачи оптимального управления 1; выпуклого программирования.

7. Построены двойственные задачи и доказаны теоремы двоДственности для

а/ задачи оптимального по конусу управления описываемой квазшпшеИшым дифференциальным уравнением;

б/ линейной многокритериальной задачи оптимального управления;

в/ задач-л. определения оптимальной траектории квазилинейного управляемого дифференциального уравнения близкой в

заданных моментах времени к заданным состояния;.: фазового пространства.

Е. Доказана теорема, позволяющая применить теории огл-банцих для вычисления значения двойственной задачи.

Метет. В работе применяются методы выпуклого анализа, оптимального управления, частично упорядоченных пространств и теории диачеренциалышх уравнений.

Теопоти^зслал и прачтпчеекзд ценность. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в различных областях теории управления, в которых возникает задачи оптимизации по конусу, например, в задачах оптимального проектирования ьаган и конструкций, при осуществлении вычислительна экспериментов, разработке млогсцелевих программ экономики, слоглпх технических систем и т.д.

Разработанные в работе мотодн могут найти применение в теоретических исследованиях других задач оптимизации по конусу, например, яри исследования на двойственность задач оптимизации опнсксаог.мх уравнениями в частных производных, ярл создании численных методов рзкения многокритериальных задач, з теории игр, в математической экономике и т.д.

Ачробания Р.зботн. Результаты диссертация били додохени на всесоюзной школе-семинаре "Матом.методы оптимизации и их приложения в болыглх эконом. и техн. системах /Baity, 1980г./, на международном семинаре "Многокритериальная оптимизация" /'Лоекла, I98't г./, на ряде семинаров в }Л7 им.?/!.В.Ломоносова, на семинарах в ш'Л/JI СССР им.В.А.Стеклова, ИУМ У1Щ АН СССР, Институте математики СО АН СССР, Ж АН УССР, ЛГУ им. А.Л.Жданова, Института социал.-эконом, проблем АН СССР

/Ленинград/, на семинарах в Манчестерском и Лондонском университетах /Великобритания, 1985 г./, а также на семинарах в ИМИ АН Азерб.ССР и АТУ им,С.М.Кирова .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях 1-13, перечисленных в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 282 страниц машинописного текста и состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 162 наименовании.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В главе I приведены предварительные сведения и доказаны некоторые теоремы касающиеся оптимальности по конусу. Пусть Ус - вещественное банахово пространство, К0с У0 - конус. Впредь, если не оговорено противное, будем считать, что Ке - выпуклый замкнутый острый телесный конус. С помощью Ко задаем частичный порядок в : для

неравенства и^йй , *

означают, соответственно, что у,-й^е К0 . и •

Пусть задано множество А0 с У0 .Множества ПгигА0 , \л/ пгмг А в определенные как

^>1Ав=['.сЬАв|(Ае-ус)п(-К0)=1о15) ы ш1п А0= | € Д01 (А0- ^ п (- У; К0) - 0)

называются множествами, соответственно, минимальных и слабо минимальных точек шожоства А0 . Аналогично можно ввести

тдх А0 • ^ ШОХ А0 - множества максимальных и слабо максимальных точек множества А0 .В случае, когда У = ,

K0= множество m.UlA0(wmi;aA0) называется множеством минимальных точек по Парето /Слейтэру/. Если А0С >

то ITUyVl А0 называется внешне устойчивым.

В налюй работе случай, когда исследуется множество минимальных точек относительно произвольного конуса К0 называется оптимизацией по конусу. Частный случай, когда , называется многокритериальной оптимизацией.

Есть примеры показывающие, что среди оптимальных по Паре-то точек есть з определенном смысле анормальные. X.Куном и А.Таккером в частном случае, а А.Джоффрионом в общем случае были предложены понятия собственной минимальности, которое исключает минимальные точки с нежелательными свойствами. В

п

работе Бенсонз понятие собственной минимальности вводится следующим образом: пусть Д0 С R. и ¡\0C R.^ - конус. Точка А о называется собственно минимальной, если

com (/А5+ kn- (- Ко) = jo'i . Бенсоном доказано, что при f\0~ собственно минимальные точки в смысле работы ° и ДкаМшона совпадают. В работе ^ на основа развитой автором конусной отделимости показано, что определение Еоисона собственной минимальности эквивалентно следующему: ij.é A¿ яв_ ляется собственно минимальной, если существует выпуклый острый замкнутый конус Д. тадой, что !\0\ {C'j С bitt А0 и -jo есть минимальная точка множества А0 относительно Д0 . В § 2 диссертации дано независимое прямое доказа-

3. Bensen rl.R An uiuxoved dcjuútica o^' proper effi'erxtj jor vector niuximí-zcüjon Witk r«pect to ccrbii.-J.Mcilt. W.App?.,

4. Heriu} ''1.1- Proper effLCrtc^,' vi-tí résped, to сопи,— J. Optún.lheory (Lad App?.,íSSZ,v36,fv<¿,p.3S"M0'í.

- 10 -

тельство эквивалентности этих определений. Множество собственно минимальных точек А0 обозначим через рпшгА0

В § 3 I главы вводятся понятия ик&кмальных и супремаль-ных точек. Пусть Уе - конечномерное евклидово пространств' Элемент é mUp & (. А0+ Ко"! ( fc пгах а ( А0- !<) назы~ вается шОйиалыйгл /супремадьнкм/ элементом шозестза Ай . Множество ю»Т«.тшшх /сунремальных/ алиментов uaoseoxisa Ав обозначается Inj А0 (, Sop А0) . В § Я доказана следующая теорема

То ооема I. Пусть А0 с Ус .Тогда LiE А0 с min il А0 • Ноли множество А0 П (£0~'0 ограничено со норме для любого У0 , то ln|A0^ mlncl/\0

Аналогичная теорема вер.ча и для Supna . В замечании 3.1 § 3 показано, что если А0 порядного ограничено снизу, то множество f\0 ограничено по норме для

любого é 9е • Заметим, что г.шомество Lif Д0 (Sap в случае, когда У0- R,1" и R/t , в несколько другой

йорме, встречается в работах 2.5,6^ Так> в ра(50тах 2,6

Inf А0 ( р А о) вводится с помощью one рации WnÙ!x(wiUÔCC и поэтов теорема I тем не имеет места.

Глаза И посвящена выводу необходимых условий локального минимума Iî инфимума в гладко-выпуклых задачах»

Пусть А0С В0 . Точка £ У0 называется инфимумом А о . если Lj0 é для любого ^0fc А0 и из того, что î

5. Gros С. Genera &2ailori of Fencfi^'s liaofiie thcreni for сопюс optimùaW.- twi. J. Oper. Rv>.,W&,vl, p. 668 -372. Kawasaki H. Co-n.ju.joiz re&iiWs mid weal' suidiffere/dicif cf >-ekticns.-Mcd.k.of Oper. Iài.^38/, v6, n4, p.SSÎ-6ù r.

- II -

для любого 1|о £ Д0 следует, что

Обозначение : А6

Пусть )( , У0 , . . . , У - вещественные банаховы пространства, Ц - произвольное множество. Заданы отображения

В X х ЬсУ ^ , с-Суп. , выпуклое множество М с У , выпуклые замкнутые конусы К; с У^ , £.-0,пг-1 . Считается, что множества , К0, .. . , К, имеют непустые внут-

ренности, 0& К^, , при всех , К0 П (-К0)= {о^ .

Конусы ¡(¿_ определяют частичные упорядочения в соответствующих пространствах , I = 6, гян . В § 4 рассматривается задача:

Р0(х,и) —Ср1 (I)

КСЗДйО, Рт(Х,а)=0, (2)

ХёМ , ЦбЦ. (з)

Определение I. Пара (ОС^, и„) € Х.Х И называется локальным пгиП - решением в задаче (д) - (з) , если суще струет такая окрестность Б точки X, в X , что

Е Ос„1д= тЦ ^х а) | Р (х с, ^(х,и)=о, хе И п 5, и€ И } _ (4)

Если в этом определении операцию П11П заменить на ЫтИь , рш.п или (лг^ , то мы получим определения локальных VI 1)1111 - решения, рпи-а - решений или - решений.

Пусть Xх И удовлетворяет ограничениям (2) -

(з) и К ~ конус допустимых направлений к И в точке X*

Уопощд Т. При волком це И отображения рч(д,и) непрерывно диЭДеренцируеш по Фроше в тонко ; Ус.чог.'ле 2, Для любого х е 8 , где 8 - окрестность точки X, , иояких а^а^ё Ц , ас[о,-|] найдется сиК. тако::, что

Р^х,а)£ Л. Р^х.и,) + (-!- а) Я(Х,иь) , I = СуаН, - ОС РтСх,1Ц) + (1 -ОС) .

Условие 3. Р (х !')У - замкнутое шдпространство з и су.цестпуот конечномерное подпространство У|П_

такое, что Р^Х.Д) С ^^„иД + Ьт .

Условно 4. Существует Xх-II такая, что

1'нх{г1КХ(хл1сдХ+ ^(Х^И)^ Р_ х и-«, и,) хе + Р (X д, сд - РI, и ; < с

при всех I , 1£Сб1и--( таких, что ~г (Х^а^б т! К- . Условно 5. У0 является К - пространством. Устоуше Р, Конус К0 является нормашшм. Теопема 2. Пусть {.Х^и.^) удовлетворяет ограничениям (2) - (з) и существует окрестность $>с X точки X, что выполнены условия 1-3. Тогда, если (Х^Ц^- точка локального „ниц - решения в задаче (I) - (з) , то найдутся такие не равные одновременно нулю линейные непрерывные функ-

» п» > ——

ционалы € у. . с=-0,га , что

^ ч

i, Fx(x ,а<)х,> = HÙu 1< £,fx(x.,u,ïx>, (5)

ч m

V 1 * - ГГ----, 11

.lpt1 эхом I-!, ç К, , для зоок с*С. ; Ч. =0 ПГЛ IÎC0X

__ (i ^ (. О L

L= 1,iu-1 таких, что ~ f^v-T^Uj £ bit ¡\; • Kcjui кроме условии 1-3 выполнено еще условие 4, то (j* t-0 . Пусть (.T„,U.,) -локальное ptiittt - ременпе и гиполнены условия 1-4. Тогда имеют место соотношения (5) , (б) , где и* - строго положительный функционал.

Эта теорема доказана в § 5. А в § б доказана слодуточая

• Р

теорема о неооходимом условии локального ta}- - решения в задаче (l) - (з) .

Тоопома 3. Пусть (Х,,и.,) удовлетворяет ограничениям

(2) - (3) и является локальным - регсением в (I) —

(3) . Пусть существует такая окрестность S С X точки

, что выполнены условия I- 3. Тогда найдутся такие на равные одновременно нулю линейные операторы Т^ Ь'^"* У0 . 'i = Ô7rii , что

m f Jn

L "(LT.fa.u), Ce)

uéil

при этом Т0, .. • i Т^ - положительные операторы; Т- = О при всех L=VÜH ПРК которых - £ (¿С.Д,) е i/ni .Если

кроме условий 1-3 выполнено еще условие 4, то Т0 + О Пусть кроме условий 1-4 выполнено условие 5. Тогда операторы Т- ■ У-~v У0 » L = О, щ в соотношениях (7) , (8) можно выбрать так, что Т0 будет единичным оператором. Если же кроме условий J-5 имеет место условие 6, то операторы Т, ( Tt , ....Thi-i - непрерывные, а оператор Тт. непрерывен на подпространстве ^х^Д^Х

Из теорем 2 и 3 получается необходимые условия минимума

п о q тл

и инфимума дм гладких к выпуклых задач.Отмстим работы >•', где другими методами исследованы гладкие и выпуклые задачи.

Большая часть диссертации посвящена теории двойственности для зацач оптимизации по конусу и применению этой теории в оптимальнсм управлении. Это главы 3 и 4, а также §§ 14-18.

В нашей диссертации теория двойственности для задач оптимизации по конусу строится на основе метода возмущений. В скалярной оптимизации этот метод применен в работах Р.Рока-феллара. При возмущении основной задачи, в отличие от скаляр-

7. Гурвиц JI. Поогоаьжровачис з линейных задачах. В кп.:Эрроу К.Дк. Гурвиц Л., Удзава X. Исследование по линейно,му и нелинейному программированию, ГЛ.: "Л, 1962.

8. fctfoi К. OpU ná'iCttiorí. thílübJ iu ШИСЬС SpQOi.!]] — Motil.

2owe J, Tht soá¡íf¿ point tiuounv új !{uíui drJ. TucLi hi UvJ-JímI \jedcn. spaas. — J. Matíi. Aruii.aiuí 4ррОш, v57, р. Ш-55. Laníos I\'e®soju¡ conditions fot tta optiinqftb' in aistn&á oplir.ium, «m,W p-icí/c'ms wUh. wusw&w.-VaaitcL peiioinux'iCc alimón,, — Pro£&in uf СмчЫ! awl Lf¡nni.liwtf7lW6,v5,//3,pJM-¿St

ного случая, возникает многозлачное отображение для которого надо построить теорию двойственности. Этс теория изложена в гл.З. В дальнейшем развития в гл.З аппарат применяется для изучения двойственности в различных классах оптимизационных задач» Перейдем к краткому изложен® результатов гл.З.

Пусть У , У - вещественные линейные топологические пространства, двойственные относительно некоторой канонической билинейной » наделенные, соответственно, слабыми б(У)У1') и 6(УЛ7У) топологиями. Пусть задано многозначное отображение И: У"> ГД0 У0 - конечномерное евклидово пространство, упорядоченное с помогаыэ телесного выпуклого замкнутого острого конуса К0 .

Определение I. Многозначное отображение Н! У У0 называется локально ограниченным в точке ^ б с(от И » если существуют такая окрестность нуля Vе-У и С0бУ0 , что для любого !Г£ V существует такой,

^Введем функции Я.ц : У х У0 £ , XIн: УX У0Ц , где :

•у

Пусть К0 - сопряженный конус к конусу ¡(0 , Тогда из свойств конуса !\0 следует, что ИРсК^1^ . Пересечении ({Д |\п) с единично Л сферой сопряженного прост-

1 IЧ ) / * / 1 ^ \ р~

рзнства уо обозначим (\0)(К01) . Положим Г(Ч)-= Ь'(Н(|0+!\0} • Введем понятно оубдиЩервшцша многс/значно-

что ^ 4 С

го отображения.

Определение 2. Пуогь и е Г( М * . СубдакТференциалом мно----- ^ ö-

гозначного отображения Н-'У-^Уо в точке называ-

ется мчодесгБО определяемое как

Отметим, что существует определенная связь меиду субдкф-Леренциалом ЭН и локально сопряженным отображением Б.Н. Пшеничного.

Будем говорить, что .многозначное отображение Н ' У ~У0 субдифференцируемо в точно dorn И , если для любого

Ljoé Гс^) субдгсу-ференциал не пуст. В § 7 дока-

зана теорема, которая дае11' достаточные условия для субдиффе-рентруеуостя многозначного отображения Н : У ~* У 0 • Как следствие получается, что если выпуклое многозначное отображение локально ограничено в некоторой точке, то оно субдиф-форотируемо в этой точке.

Для исследования двойственных соотношений многозначных отображений важное значение имеют сопряженные многозначные отображения введенные в § 7.

Оппеделение 3. Многозначное отображение j-| : У -^У0 ( Н> • У* Уо) • определенное как

у0¡в í€ СОО:<у4>=ЭДЙ (I0)

называется сопряженным отображением к многозначному отображению Н : У У0

Определение 4. Многозначное отображение Ц t

I \

У^Уо) ' определенное как

называется вторым сопряженным отображением к ююгозначному

отображению Н: У~*У0

Следующая теорема есть основная теорема двойственности

многозначных отобракенай. Она доказана в § 8 гл.11!.

Теорема 4. Пусть многозначное отображение Ц: У У

локально ограничено и субдгаЪФеренцируемо в точке и ё ¿Отп И

и

Тогда

а/ 1а{ С Н*(С|) ;

I ** т

б/ (ноо: Н С) = 1лгХ г И,

где 1>и.~ означает внутренность множества относительно ин-

' с

дуцированной топологии в ;

в/ тхох Н> С 1пI и С С1 пгах Н> Си).

Заметим, что если Ь0~ К, и Н : У - однознач-

ное отображение: Н(^)= » т0 соотношения а/ - в/ сов-

падают медцу собой и превращаться в известное двойственное соотношение выпуклого анализа: | .

Ни основе теоремы 4 исследуются двойственные соотношения для различных классов задач: выпуклого программирования, оптимального управления и т.д.

В главе 1У рассматриваются выпуклые задачи оптимизации по конусу для которых с помощью результатов гл.Ш доказывают-

ся теоремы двойственности,

В § 9 гл.1У для основной задачи конструируется двойственная задача и доказывается теорема двойственности.

Пусть У , X* - вещественные линейные пространства двойственные относительно билинейной формы С-0•> . Пространства X . X наделены топологиями б(Х,Х ) > б(Х,Х) t соответственно. Пусть задано однозначное отображение F : X У0 ^ I4" 00^ • Рассмотрим задачу:

(Р) In? { Fix) I «Vi. (12)

Эта задача называется основной. Положим Inf Лабой элемент X € а такой,' что Pexie In| Р называется решением задачи (Р)

Пусть У , У * Другие вещественные линейные пространства, двойственные относительно некоторой биднисикой формы <.*,'> , наделенные топологиями о соответственно. Рассмотрим отображение ф: Xх У {+

такое, что фЧх,0) Р(Х) для любого xtX ' Отображение Ф назовем возмущением. Сформулируем двойственные задачи к (Р) относительно возмущения Ф . Для зтого введем многозначные отображения

Ф и ф> :

где

«

Задачи

(Ю ^иило^м^уЧ

назовем двойственными к основной задаче (Р) по отношению к заданному возмущению Ф . Введем обозначения

Элемент У* называется решением задачи (Р ) , если

ШьхР*А + Ф • Аналогично вводится поня-

тие решения и в задаче (Р> ) . В § 9 доказана

Теорема 5. Пусть для ХёХ вектор ф(Х,0) + + °о Тогда

а/ фСЗС.О)*1^ для любого и {-ф*(0,у У^,

6/ 9(21,0) $ для любого и У* 1 •

Введем многозначное отображение как

= (14)

Очевидно, что Н(0) = 1п|Р .

Имеет место следующая теорема, которая раскрывает связь между значением двойственной задачи и вторым сопряженным отображением многозначного отображения Н (14) . Теорема В. Пусть для любого ^еУ множество гпЬг К0) внешне устойчиво, ь, кроме того, мно-

гозначное отображение Н •' У (14) локально огоаничо-

- 20 -

но в точке Об dorn Я • Тогда

а/ Vnxux. Н v0) = пгО/Хр б/ тлх = (15)

В § 9 доказывается лемма о том, что, если 1Ш.1гс£(Ф(Х,о)+к'(1) внешне устойчиво тогда InfM(o) = Th.fP

Теорема 6 и последний факт позволяют из теоремы 4 получить теорему двойственности для задач (12) и (13) .

Сформулируем следующие условия для функции возмущения

Условие . ф; Х*У -выпуклая

функция.

Условие £ . Существует элемент С06 У0 , окрестность нуля V в У и отображение такие, что

Сс при любом tjA' Условие У , Inf Ф (У,О

В § Э доказало, что если Ф удовлетворяет условиям оt - у , то соответствующее многозначное отображение Н из (14) локально ограничено и субдиффзренцируемо в нуле. <

Следовательно, из теорем 4 и 6 получается следующая георома двойственности для задач (12) к (13) ••

Роорема 7. Лусть Ф : X к У —v ¿j0 и \ + оо^ удовлетворяет условие.' oL— ¿¡^ . Тогда

а/ для любого ^claiP существует та-

кой, чтс.

<Х<С> - У* j;

(16)

б/ пкьх. Р = ЬЛГ 1а? Р,

где ип^р означает внутренность множества Р от-ггосчтелтно грлчк'гн множества Тгг| Р+ ' !

а/ тя/л р* С Ьг| р ей. т.сих Ру , (18)

т.е. множество пгО/х: всюду плотно в множестве 1|р| Р

3 § 9 доказаны такте теоремы 9.6 л 9.7. Теорема £.6 показывает, что при некоторых условиях решения двойственной задачи являются элементами субдофйеренциала, многозначного отображения Н из (14) . А теорема 9.7 устанавливает связь мезду решениями основной и двойственной задач: в виде экстремального соотношения.

§ 10 посвящен формулировке двойственных задач и доказательству теорем двойственности в частных случаях.

Пусть X , У к У , У - двойственные пространства, снабженные 6 - топологиям:. Задачи' отображение

]Xх У Ус ^ 00» линейное непрерывкой отображение Д : X — У .Пусть р(зс) = 1(Х,Дх) . Рассмотрим задачу:

(Р) Ы^Ах^теХ!. ( ^

1 (.19)

Введем функцию возмущения 9: Xх У —" Уси00^ дак

Тогда Н^) = 1п.| { }(Х,/\Х-у)| 0С&Х ] . Дпойстпош^е задачи из (13) в зтем случае имеют вид:

(/шф)

Для задач (191 и (20) из теоремы 7 следует следующая

Теопема 8. Пусть и Т : X ^ У Ь1' {+ -

выпуклое отображение. Кроме того, пусть существует ЗС,6 X такой, что непрерывно в точке Л0Со . Тохда

для задач (19) , (20) имеют место соотношения (1б) - (18) , причем (16) в этом случае имеет вид:

В пунктах 10.2 и 10.3 § 10 рассматриваются задачи, где

^.Ах^-РСйП+Сих) п 1(Х,Х)=-р№С(1). Соответствующие задачи в скалярном случае рассмотрены, соответственно, Рскафелларом и Фенхелем. Полученные в пп.10.2, 10.3 георемы двойственности обобщают соответствующие результаты Рокафоллара и Фенхеля на случай оптимизации по конусу.

к

В работе рассмотрена двойственность для задачи Фенхеля в многокритериальном случае, причем все пространства в этой работе конечномерные и К0 есть положительный ортант. Из соотношений (1б) , (17) следует основная теорема двойственности работы а соотношение (18) является новым даже в отог.; частном случае.

В п.10.4 параграфа 10 на основе теоремы 7 получена теорема двойственности .для задачи выпуклого программирования. Эта теорема есть частный случай более общей теоремы I'1.1

доказанной в § 14 и поэтому оё не приводим /см.ниже теорему 10/.

В § II гл.4 раззевается аналогичная теория двойственности в случае, когда в основной задаче 12 требуется нахозде-ние икфимума множества

Отметим, что как из результатов §§ 9,10, гак и из § II,

з частном случае скалярной оптимкзапин следует, теория двой-

II

ственности Рокафеллара, изложенная в монографии х .

Глава У посвящена выводу необходимых условий и доказательству соотношений двойственности для задач оптимального по конусу управления описываемых дифференциальными и дискретными уравнениями. Результаты этой главы получаются путем применения абстрактных теорий, изложенных в главах П и Ш.

В §§ 12,13 рассматривается задача характзризации точек локального минимума и инфимума для непрерывных ч дискретных задач оптимального по конусу управления.

Пусть , с - О, с, - евклидовы пространства, |ч.с \{ , 1=0,^ - выпуклые замкнутые конусы с непустыми внутренностями -и К0 Л К0) = [о} . Считается, что Об игХ 1С ,

1=0,^ . Конусы К. . определяют го рядок в &

Заданы отображения рхч & ^ - ¡^; : рД и. - Г/ I = О, 9, . где '{)_ ~ произвольное подмноеостео в

3 § 12 рассматривается следующая задача:

■I.

(21)

II. Эгланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проолеш. М.: Мир, 1979.

(22)

Х = и.&11 , (25)

Ко(Ьо,2С(и)=0, (24)

Процесс (оси)7Щ-и, называется допустимым, если

Зси) . и.(г) определены на Г'Ьо,^] » ХН) - абсолютно непрорывная пупкчия, 11(1) - измеримая, ограниченная функция

и выполнены ограничения (22) - (24) . Функции

±

Н(X, и, р, X,,..., \<,.) - < р,(ьа)> - (■Ц}>,

1-0

где реГ . А./- К* . РёЕ(Г, Г'Ь Т^ЕД*'Д'"'1, 1=0,«. называйся функциями Понтрягшга в задачах (21) -(24) , соотсотстиошю, на минимум и ик'нимум. В § 12 доказаны теоремы о необходимей условия локального ПШ1 - решения к 1г.£ ■■ решения в задачах (21/ - {РЛ) , которые иродстао-л<'.пт собой принцип опткмашюсгп Л.С.Понтрягина дня этих задач.

Пусть (х,(1]1а..ШД0„Т1,) - локальное nu.il-рппыш в задаче (.21) - (24) . Тогда существуют по рашшэ отоьржмпо г:."лв векторы & 1 , 1-0,4 » £0<= К, " , I(€ ' и ивктор-фуккцня рЫ такие, что К- ,

I - 'л А'= 0 пол тех для кого[ш з (22)

спюгоо норавенегдаг функция р(-) почти нра всех гсГ 1в|Ди] .¡•долчптьиряст урагжрккк-

и условиям

почти при всех

гамильтониан = Ььср\Н(-Ь3(4>,а,р{),\0,■ • ■,а€И^ непрерывен на отрезке Си имеет вид:

„-О ^

(27)

Кроме того,

1 = 0 0 X

о 1

Аналогичная теорема получена для характеризации локальных - решений в задаче (21) - (24) . Эта теорема 12.2 в диссертации. Из этой теоремы следует теорема 2.7 раооти'".

12. Сеы1пз Н.Н, Шьа/и М. Т1ч ¡тф.шпг рйпсуй.. - -1:СЕ Ьам. оп. оиХот. сонялс^, 191% V АС-19, у 5", Р. .

- 26 -

В § 13 исследуются необходимые условия минимума и инфи-мума но конусу в дискретных задачах управления. Многокритериальные дискретные задачи оптимизации изучены сравнительно мало. Вводятся функции Понтрягина для дискретных задач в случав минимума и инфкмума и доказывается теоремы о необходимых условиях, которые являются аналогами теорем из § 12.

Теоремы параграфов 12 и 13 являются обобщениями соответствующих теорем из монографии ^ на случай оптимизации по ко-" ну су.

3 §§ 15-17 строятся двойственные задачи и доказываются соотношения двойственности для задач оптимального по конусу упраачения, оппсыьаемнх обыкновенными дифференциальными уравнениями линейными по фазовым перомеьяым._

В нашей диссертации двойственность для задач оптимального по конусу управления рассматривается, по-видимому, впервые.

Задачи оптимального управления, рассмотренные в 15. -17 с помощью определенных преобразований сводятся к абстрактной задаче по конусу в некоторых пространствах с ограничениями в виде неравенства и равенства. Полученная задача /эта задача исследуется в § 14/ является в определенном смысле выпуклой, однако теоремы главы 1У здесь не применимы. Если воспользоваться методом возмущений и включить упомянутую абстрактную задачу о семейство задач того же типа, то полученное при о том многозначное отображение возмущений будет выпуклым к удонгптворять условиям теоремы 4, и, следовательно, теорема двойственности многозначных отображений может быть

13. ИонЛе Л.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач.

Паука, 1974.

применена. Выпуклость соответствующих многозначных отображений имеет место в силу известной теоремл А.А.Ляпунова о выпуклости значений векторных интегралов.

Сформулируем теорегу двойственности из § 14.

Пусть Ус , У, и - конечномерные евклидовы пространства, !\0С Ь0 к К,СЬ\ - телесные выпуклые замкнутые конусы, - острый конус. У0 и у, упорядочены с по-

мощью конусов К0 и К, . Пусть Ц , - произвольное г/ло-г.ество, У - линейное пространство, Д С \ - выпуклое »«кокеетво. Заданы., отобраазния С. * Ц. —» У^ . 1= 0,2, л ' Р[: А У-1. ,1 = 0/] , .Считается,

что ^ . р^ — выпуклые отображения, - аффинное отображение. Отображения С0 , и удовлетворяют следующим условиям: для любых '-Ц ,и. ¿и, и любого Хё[о,1] существует элемент и.€ Ц. такой, что

(28)

&2((х) = ЛС1(и,)+ ОА^иЛ.

В § 14 рассматривается следующая задача:

(29)

Двойственными к этой задаче являются задачи

(30)

Ч-ьи. ХбЯ

- 28 -

где объединение берется по всем 6 Кв, ( Кд2)

Условие 7. О 6 ^ (М^) и, кроме того, су-

ществуют йе И ,Хб/\ такие, что Р;(.Х)< 0 ,

С^а) + ^(Х) = 0 .

Доказана следующая теорема двойственности для задач (29) , (30) .

Теопомд 10. Пусть в (28) Р Ф ф и выполнено

условие 7. Тогда

а/ дал любого [п.| Р существует 1\0А такой,

что

лед

«5/ тлхР = Р •гдо №п{ Р+ Ю;

в/ пгаух всюду плотно в мнолестно Р

Для значении двойственных задач з (29) получены следующие выражения: (

пготх Р*(Р>) = тл/х и [ У01< , <р - •

ас

=,уяа/х- щ 1 Ч>0 ц ¿у а&ц хбР\

О1 ' С1 г

* 4 и * / '/* \

где - всевозможные элементы такие, что '.

В §'15 главы У диссертации рассмотрена квазилинейная задача оптимального управления. Положим

-и • _

и пусть процесс уХ1-Г;,и.№) описывается квазилинейным дифференциальным уравнением

= + - (31)

Рассматривается задача

(Р) 1п^Тдх,а)1Т1(х,а)ёсъТ(х,а)=С11(х)и^Ц (32)

В задаче (32) Р- фиксированный отрезок числовой прямой, хШб!?.а , Д - сепарабельное топологическое пространство, £: * Л — Я и : [I,, ц] * Д ,

|.-0,1 - непрерывные функции, Д(») , С^(') - интегриру-

г~

емне матрицы соответствующих размероз, - постоянные

О 0£о

матрицы, С,, С^ - заданные векторы. В пространствах К. ,

Ц 1 заданы замкнутые выпуглые конусы , К, , которые определяют частичные порядки, соответственно, в этих пространствах.

Задача (зг) с поморью преобразований сводится к задаче (29) , и, следовательно, учитывая (30) строятся двойственные задачи к задаче (.32) . Условия (28) в задаче (32) выполняется в силу теоремы л..А,Ляпунова о выпуклости значений векторных интегралов. При определенных условиях регулярности гарантирующих выполнение условия 7 и непустоты множества значений задачи (32) из теоремы 10 получается теорема двойственности для задачи (32) л двойственных я ней.

В § 16 главы У рассматривается многокритериальная ли-

- 30 -

ивйнея задача оптимального управления.

Пусть процесс I3c(t),u(f)) описывается уравнением

A(t)*W + ß(i)U(i), _ (33)

XlU=3C0 , ?IlX(t,)=3C1 , (34)

где R.a ' , u.fe R^ , A(')i - непрерывные матрицы

соответствующих размеров, = ( Oi) . Em - единичная ЩхУп - матрица, - нулевая т.* (i'l-m.) - матраца, Пусть, кроме того, задана матрица (0г0 Ё hl) . где

Е - единичная (n-m)*. (п.- т) - матрица, а СХ нулевая (n-ra1)* т, - матрица. Предполагается, что упраа'юние L\[t0,tJ , ÜLLlltt . Требует-

ся на траекториях системы (33/ - (34) одновременно Минпшзк-ровать 1! bLii , = ... , ¿"(t,)) . Для

этой задачи строятся двойственные задачи и доказывается теорема двойственности. Б частном случао, когда г Г_:,г мы получаем скаллр^чо задачу, рассмотренную в книге Двойственная 3£v?vi<? в этом частном случае совпадает с двойственной задачей сиюрмулированной в этой книге.

Рассмотренная в § 17 задача возникает; например, при определении одккшгьной трассы самолета, ставящего цалъ: облететь в предписанном порядке заданные точки, как мозаю бл:пе

ГС

прпблинаясь к кандой из них. В статье рассматривается ана-

14, Красоэек^й Н.П. Теория управления двидением.М.:Наука,1968,

15. Гердштев ¡O.K., ченцов Л.Г. Оптимизация функционала на классе ломаных. В <б. ¡Некоторые вопросы оптимизации разрывных (пункций, УНЦ Äff СССР, * Свердловск, 1984.

логичная задаче оптимального управделяя с ?£-«аашокалои в вида взвешенной суммы /т.е. рассматривается однокритер:;алърая задача/. В отличие от этой работы в § 17 рассматривается мюгс-крлтзолалъная задача, строится двойственная задача и доказывается тчопома jpvntCTWi'rocvi'K,

Пусть процесс описывается ургнгшг-ггем í SI) , x(t0'j=;c0 ,

. , , rs Г) ______ . ,, .. .

¡ 3 -ДО < -- .j'-.'Д...иВ >v • иа-

г-"-

•vouh u u и (. Q , Залача; чаптя •«з;,асл?.г/» »йунктяэ

* ¡jU/'ZT ■ ■ ■ 7 (¡:n. - а

a(iít р р х í:.l t0, Х^ j i'axy.u. что соот^етстаукцал 5***9— му упраатеняю траектория 3CU> система ( 31) , ОС(.-fc^ г ЭС<> онла в точке f; как коки о олиге к состоянию 'j; при всех с-Í, иг „ В § 17 в связи с .этой лалачой ставится определенная многокритериальная ->атча.

Пусть Li - множество тезмер-iMirc cyiiHisi-i у.: i.te.i, j-1 Р таких, что uCtl) интегрпруемц. Яалодта дел каждого

aé И ,1= vví

|| aL + 5.' X(r.,T)¿ít7iLrr))dTii, где д(',*) - фундаментальная матртн;а соответствующей одно-

родной системы уравнения (31) и = . Обоз-

начим G0(a) = (o1(al,...>gM(Ui) . Пусть Í?111" упорядочено с помощью конуса К = . В § 17 рассматривается задача

(Р) In?lG.lu>!uelli. (я)

Двойственная к этой задаче есть следующая:

ntO/X L/ [ & R.111<с. Ч > = inj1 L.lt¿ цй " чЛ

где объединение берется по всем (!чог) • Найдена фор-

мула для вычисления Ц^и) . £ля задач (35) , (38) дои

казана теорема двойственности.

В § 18 с помощью теории двойственности изложенной в диссертации для двух примеров из теории оптимального управления вычисляется все множество иифимальных точек. Основшкл моментом здесь является то, что по-видимому, впервые для этой цели примекяетсп тьорхп огибашос. В § 18 доказан» и&оувгл ТВ.1, которая, грубо говоря, означает, что. если гниос Рч

то, кяи лвтт на отабсъррЬ семейств а х'кперплоокостбй

йходя.тла v- лэдимвзна«; . пли '-^чку ? „ .т-:^

42.71. в гсг.о!: отргьо;:, когор:;,'. .целиком лоелт в «г&х. П. , Причем вс- втором случае; цонпп чтого отрелкц леяат ни огнб.ъдайй. Как. видно, теорема 18.Г диссертации открывает широки® возмод-кости для применения теории огибащнх при вычислении значения двойственной задачи.

В § 18 рассмотрен следующий пример. Пусть процесс описывается слэдуняим ди^г.сренпиальнпм урлвавитак

, х^ц, , -К [о,-?],

гдв .»v . 1*и>а«ь увхоыл: х^ог'хло/- о, ^(г;-

Управление и (О.1 I - Троауехсп унрпзлять чтоу

системой так. чтобы величины ¡iu.il ^ и а'1(.'<) щк-леас,«. по возможности калив значения, т.е. качестве управления <-1тп<.~ вьется криториягеп "росур? HU.il, и схоросг.'г. X. Уесольо/я теорему 18.1 диссертации к теорию огибающих вычислено :.>иачеипе ддеЯотодшок задача:

- 30 -

Замадсшио этой гиперболы по теореме двойственности и теореме I совпадает с мнояестлом Capero основ.1.ой задач«.

?ассг">тго:ш«;: в 5 15 другой пример ннторосе.: тт.:, что »мо-ластно мц1гчс1ш1ьп"х рчгвчвй но ПярОТО "р'м'сь пусто. Этот при-

т

мои mc.vttoc» /оцепом и Вочьзом

upüiwcc описывается следуляиа диси::ер&нциаль>1ымн vrtn нн.чни чад:

, V" W-'Л VEa, .

- S '-yil '¿i-1 , ^ .i lX i-ü, ,

— 1 ~ ~ 3C. "i ~ ^

где U,,^, U.z0t) гзмэрлглле шункцки, I '! , i'i,Z .

Требуется ьглпгл'зпров-л . одн:. л.е хлпо крдтэри:;

X-ÍV, Г , 2. О

111.

¿ля этой задачи о помощью теоремы двойственности я теории огтбатжгсс зяписден? мномостго лнф'л.сплышл тсод, которое здесь не до^'.т^етсч. Як-ая точка вида (.-г. i О., ,11,'К "Mí' f Лчл) близкая к. наеденному множеству шйямаяьнну течек, очевидно, есть приближенная точка кянжута по Парето.

16, ГТодшювсккй В.В., ногин В.Д. Парото - оптимальные селения многокритериальных задач. М.: Наука, 1282, стр.57.

CffiCOX РАБОТ, ОЛУЕЯИЮВАШШХ ГхО TEii'E ДИССЕРТАЦИИ

I. Азимов А.Я. Гладко-вштукше задачи векторной оптимизации.

- Тьз,докл.Всесоюзной ско.лы-семинара ''Матем.методы оптимизации л хх пршюлешш в больших tic-';. и ¿ехн. системах. У.^.эа, IC.C г., i.u.

"»v А н. ^УКЛ'« ■;„j re: иокторной опгшшодни.

- Д. " СССР: 14-81, к в, сЛ239-1203.

Asis -.ос- А.Я. ]]ьсй\усдавие минимума /гофЕзука/ в мис-

гог./Н^.,: ..jo,:^.. г.-.....правления. - „/_il

АсообЛ'СР, 1951, 5. 0.12С- 12$. А г А. л. .,А jvj-i: ;> и.'ДЧ.Л' ;:О. I. .... •

- 5Д!» СССР, Т??2, л 5, о. 1002-1037,

5. Азимов А.Я. Гладко-выпуклые задачи в шторной оптимизации,

- Сб.научн.трудаъ "Ппнодн;.,энные методы и ЭЙ/!'1, - Баку, ISQ2, с.3-25.

6. Агнмов А.Я, метод возмущений и двойственность в -.»адачшс велто^Ьик олгхшзодя». - изв. АН Лзерб.ССР, Icj02s .С 4, с.104-106.

7. ¡bimov r\.Ya. Ducfitu 'щ ixoncouvsx proSiirus of Vectc/i opil-muauc?1^. — Pro^ams oj (о°лло1 unci

InicmnaUcft IS8J,v12,A/3,

8. Азимов А.Я. Теория двойственности дня многокритериальных з;д;ач. - ДЛК СССР, I&85, T.2SG, й 1, с.П-15.

О- i'2-mov АЛа. Duuilty tn i.^tlcicttiOl opiiittUatiort p с

^нсгокрнтериальные задачи математического программирования» Труды семинара, U.: Всесоюзный научно-пселед.институт системных исследований, 1985, с.'54-68.

SO, Азимов А.Я„ Двойственные многозначные отображения и приложения в многокритериальных задачах - Тез.докл. 7-й Всесоюзной конференции "Проблемы теоретической кибернетики", Йриутс:«, 1985, I с. II* Азимов Л.Я. Двойственность з многокритериальных квазилинейных задачах оптимального управления. - Тез.дом. 5-го Межреспубликанского семинара по исслед.операций и систем, анализу. - Кутаиси, 1985, с.44.

12. Азимов А.Я. Двойственность п задачах оптимизации по ксну-. су. - Препринт. -т физики АН Азерб.ССР, Баку, I9P6,

■57 о.

13, Азимов А-Я, Двойственность многокритериальных" задач. -Математический сборник, I98S, т.131, !Ь 12, с.519-535.

у

Л "1 i

Л, (рилл^к