Неоднолистные конформные отображения со свободной границей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

■><?." о ? 1

/

¡МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО II СРЕЩЕГО СПЩШЬНСГО ОН'АЗОВАНИЯ

гСФСР

НОВОСИБИРСКА (РДЯНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗШЕНН ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ км. ЛЕНИНСКОГО КШС0М01А.

ТЛЮСШ Сусанна Раязадоща

1{ЕОДКОЛИСТНШ КШФСРШУЕ ОГОЕРАНЕЖЯ СО СВОБОДОЙ ГРАНИЦА

01.01.01 - матенатичесякй анй*.

Автореферат

диссертации на соискание ученой стзпогш кандидата физико-катекатичзсних каук

На правах рузоплси УДК 617.968

Новосибирск - 1991 ;

Работа выполнена в ордена Трудового Красного Знамени Новосибирской государственном университете им. Ленинского комсомола

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Монахов В.Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических,наук,

Л.Г. 1>зевский

кандидат физико-математических наук ппцент В.А.Селезнев

Ведущая организация: Институт математики СО АН ССГ.р

Защита диссертации состоится " /<? " нвлЯра, 1991 г. в Н> час. на заседании Специализированного совета К.063.98.04 в Новосибирском государственном университете им.Ленинского комсомола по адресу: 630090, Новосибирск, ул,Пирог«ва, 2, ауд. 317.

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного университета.

; '/ О

Автореферат разослан " ■ " 1991 г.

Ученый секретарь "

Специализированного совета

доктор физ.-мат. наук, профессор А' Ж.Б.В.Капитонов

- - К/

.T:v,;i i ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ'

Актуальность темы. Многие стационарное задачи механики сплошных сред приводятся к построения конформных отображений заданных областей на области с частично неизвестной / свободно.! / границей. Классическими примерами таких задач являются струйные и волновые задачи гидродинамики, задачи безнапорной фильтрации жидкости в пористых средах ¿1] , [2] , [ 2].

В диссертации изучаются неоднолистные конформные отображения, у которых образ £> фиксированной области ¡0*с £? лежит на римановой поверхности нулевого рода / «© неоднолистная область /.

Мотод моделирования течений жидкости со сложной топологией путем распространения их на многолистные римановы поверхности широко применяется в теории плоских задач гидродинамики. Примером является струйная схема Эфроса L 2 J , когда след за телом заменяется струей, выходящей на ва эрой лист рииановой поверхности. Для описания сложных пространственных течений жидкости в рамках плоских задач гидродинамики часто оеут^оствля-ется моделирование дополнительных потоков лидкости • / как правило с малым расходоы /, создаваемых струйными и воздухозаборники устройствами летательных аппаратов, помещением каждого из этих потоков на свой лист римановой поверхности [4] . Такой подход может быть применен и к моделированию слияния или разветвления нескольких потоков жидкости с произвольным расходом, особенно фильтрационных потоков в пористей среде. При этом граница области фильтрации в таких схемах течения, вообще говоря, не является жордановоЛ кривой, т.е. область фильртздии неоднолистна.

Математическим -проблемам гидродинамики,' приводящимся к построению конформных отображений со свободной границей, посвящено большое количество работ советских и зарубежных ученых, обзор которых и библиографию можно найти в монографиях Еирк-гофа К., Сарантонелло Э. [I] , Лаврентьева М А. / 5 J , Монахова D.H. [2] , Руревича И.И. [6] , ПелубариновоЙ-Кочи-ной П.Я. [ 3] и других. В указанных монографиях излагаются,

в частности, «аестсвемв результаты Лаврентьева М. А. и

Лере Ж., посвященные деказательству математической коррек?---

ности задачи обтекания заданного препятствия-потенциальным потоком идеальной- неежимаемай жидкости с отрывом струй}- фунда- • ментальные результаты Ьолубариновой-Кочиной П.Я. по исследование разрешимости задачи фильтрации жидкости в земляной нлотинз со свободной границей метод ни аналитической теории-обыкновенных диф^ренциальнкх' уравнений; общие теореиы еущеетвевания решений плоских струйных и волновых задач гидродинамики-н задач безнапорной фильтрации жидкости в пористых-средах, доказанном Монаховым В.Н., когда у соответствующих конформных отображений допуск~ется наличие конечного числа особых точек внутри области течения и на-ее границе / вихри, источники и т.д. /.

Во всех этих -математических исследованиях краевых задач со свободной границей для аналитических функций предполагалось, чт< заданные участки 'границы области определения искомой Функции являются жордановшл) кривыми.

Таким образом, изучение неоднолистных конформных отображений со свббодной границей гвлявтся актуальной научной проблемой.

Целью работа является -доказательство разрешимости осноекцх краевых задач со свободной границей для аналитических .£ункций к; римановых поверхностях нулевого рода / в неоднолистных областях /.

Научная новиана. Большей класс плоских задач гидродинамики со сьободными границами может бить описан следующим образом: " области с границей и Г > состоящей из задан-

ной кривой / с уравнением /Ух-,^)- о и искомой / свободной / границы • /* , отыскивается аналитическая функция

мСЪ)*- у, , ¿е © / комплексный потенциал течения /. При этом граничные условия для , ^ £ ¿ и /1 определя-

ют известные образы /'г иТ/) и * мс/7) кри-

вых £ и /* и задают дополнительно значения некоторого геометрического параметра Т искомой кривой /* в точках

Г" : Тс*) I *ъГ* • Например, £ 5 Л ,

- Л - натуральные параметр Г I с!с!яг+е1уг / н т.д. Конформным отображением V/- с<>(}) , од : "ц*

верхней полуплоскости на известную область

3}* с границей О г(/ У7* исходная задача приводится в следующей нелинейной задаче для определения аналитической функции £ = Хсп

/I/

где / --о}, 7Г =$~*<Г);

Например, в классической задаче обтекания-Заданной дуги— потенциальным потоком несжимаемой жидкости сотрывом струй по схеме Кирхгофа - 'ЭЯ* : { Ц* = ¿> > У * о} на ЛсО^Г

задано

и, следовательно, определяется зависимость вида /I/ для 2"г 5 !

Другим примером задачи со свободной границей, приводящейся к /I/, является задача фильтрации жидкости в земляной плотине . / §7 /, в которой из условия постоянства давления на свободной границе, имеем

¡/> + х = ¥о - с*"*?,

откуда находится зависимость вида /I/} '

Г = X. = , * *

Более общим примером задачи типа /I/ является изучаемая в. диссертации / §§ 2 - 5 / смешанная краевая задача со свободной границей для аналитической функции -¥>*■! ? , .

Здесь на I . задается соотношение^Т^СФ, рУ* £> , определяющее кривую , а на искомой дуге ■/* известная

функция

w '¿(»ï , x Ч. £ et x.] <Ùt, f e.C.'*-,jC>oï,

î.jTopan задает параметрическое уравнение i: однеЕромен-:

ко с помощью товдества в. со (£) , t с- <f опре-

деляет соотношение /I,' для 2" = х s .

Остановимся несколько более подробно на применяемом в диссертации методе и зледован^я общей задачи /I/ путем аппронсима

ции заданной кривей А_полигонами /-3 с вершинами .в

точках £ / , ¿с - Я, п-{ и концами й , £ „ , воег-хс, .яцем к работам Ваг штейна А, по прямому доказательству теоремы Римана для отображения ^огоугсцьнкхов и применении ате-го метода в ctpj ыас задачах / библиография в Î2 J /. Разрешимость задачи /I/ для одаолистшх кривых / уетаков—. лзна в [ 2 J прадлеЕвннхгы тал катодо-ч кенэчле&ерявЗ- лшраит» снманни. Согласно этому татодг^Г^еируететгзаггу1г©рзва:иая.д ... положительном направлсдЕа.лбходй на А тюследовательность

точен -g-*, g / , ■ л-- ( . j щапечскщая; и. шзкцы J . Через

эти точки проводится подгон F*- (J f-Ц се звеньями./2 < создан. ащими точки п ¿к+t ' , внутренними углами при

вершинах U*. и угламл накпена звена /зр -к ...

оси Ох. . Тогда задача /I/ г.т A S f-* примет вид

a&jZ'-Jàr.«, toiK, Ъ»!, к t*r% /2/ .

гДе in. ~ прообразы вершин J,c полиз она /—"* , k - ,

^-[Ci»,• Проебпазы ^ и концов ^

Ц • полигона фиксируется. Если остальные zl- из-

вестны, то решение задачи /2/ выпиеыва§тся яено и

/ : f ¿О' , где ^ ^ включает в себя полигон

Р///0/ звенья которого параллельны /.

Искомые параметры , *¡x^n-i » которым соответствует

Р'з/? , определяются из системы уравнений

t к*е > ^^^

/ R / * f /Z'(t) tdt ,tz*i,lf-& , .

'Д9 / /О / - длины звеньев ¿%J

Шервнэ смешанная. краев?л- задача во сй"5эд:;эЯ грмпщой, .-¡оотсэтствущаг э^пта /I/ о условия»; впда /2/, была постав-гена к решена Моняхоеш В.Н. / библногргфм-з [ll /, где !ил выделен класс нэвыротщенкж полигонов P^v 0 » кото-.

соответствуют решегшя tn у г-"п i аистаки /3/, удоа-твтворязкцкз неравенства!!

' ~ £п t ъ 2 > а ,AJ

Ллриорнав оцгнкя У4/-дггг решений'cssrea урагиеггЕй йьшг остановлены Монаховым- В.Н. аналогично ецвняя* Вайшгабйиа Л»..л. юиоцьп астдгеотлчаского -зетэда, и -которая-точная зазас!г.:сс£&. ;остоглшои 5 от геокетрии 'пэлигапа 5 -к езэ.шсз функции hif'i) в /I/ не прослйвяваявйь. . ...

Для доказательства р-^зресимости ¡задачи /I/,. '.со^кзгсэдук^ей г-гзырзгдснному полигону , ?.'знахознм -В.Н. лрнмакшшсь -двя..

«етода. М?тод.я'-прерывности Еаипзяэйна•А , для прю-етгшя к®то.-.. юго, кроме оценок /4/, требовалось усгановяош* лскадьпей..■<. _ депственкоетн ревеняй скстогяг •урхшггатй /3/ /. окипшо.-якаби? та сястеш от нуля в тспкаг еэ- рп5рзпякосга-/,.-что -шшледртэдо ^ополштельние условия па гесме;рмз ■ /О , Сдягге, - .г>- рггуяьзл-?о применения катод,.. непре гяшэсга п задача /I/ одн.вргьч:::*..«-«¿»решякостью устоаашигалесь и гло-Зальная адогегвеивэеть es... гешонаЯ. . -. ...... ... -

Второй 'метод, предложенный '-Ьноховга В.Н. • --.-«ягод' кезочне-.. <чрной плпроксимзхг.ш, позволил ецу установить суцаствсааниэло. срайнзй мерз одного рззгения задачи /I/ для нзвьтзлгдекыого па-т.. гагона только на оснояо" априорных оцспо!: /4/. -З^тем лрэдолышы_

тзроходом доказывалась разрешимость задачи /I/-такта и для......

гроизвольной спрякляема;! дуги ^ г 3t r}f) * с? ••

Основным направлением исследований стой • диссертации леяя-?......

гтся отыскание иирокого класса полигонов , которим отеэ-

чат априорнче оцвккя /4/ решений системы /3/.

Автором вццелен такой класс полигонов /0-= ¿//р > лежа— %мх на римановол поверхности нулевого рода, у которых, в частности, допускается внешнее самопересечение его звеньев / простыв полиго"ы /. .фоме того, найдена явная зависимость

постоянной * С^АО в /4/ от геометрии и свойств

функции ' Ш*) в VI/.

Изучены качественные свейетва решений задачи /I, 2/: на14 цена мажоранта свободной границы / §5 /, пелучена оценка модуля прямоугольника Я* / расхода / в задачах теории фильтрации со св^эдными границами / §7 /.

Следует отметить, что в диссертации решается поставленная. Монаховым В.Н. / (2} , стр. 150 / проблема'изучения смешанной краевой задачи се свободней границей на риыановых поверх-н стях, имеющая и прикладной интерес.

В диссертации рассмотрен класс не жордановых кривых, обладающих некоторым свойством невырожденности изнутри многодетной области.

Ограничимся описанием втего класса не жерданевых кривых в том случав,чкргда-вин являются кенечикми разомкнуты..« полигонами = О е внутренними углами Т -при вершинах

¿■к. , и концами , .

Проведем гучи - И /2 , выходящие из г, , -г*

параллельно оси. с нулевым углом в бесконечности и обо-

значим через >0= получе;лы'Л многоугольник, а через

«©* • СР*), вообще говоря, неоднолистную область, ограниченную ё

Нами рассматриваются невырожденные полигоны / >• ¿>,

I /, для которых длина любой кривой с: ("/-О

с концами на и равномерно ограничена снизу:

/Р^- >4) , -¿I >,2. Се,] )

Для полигоне , обладшицих указанными свойствами

простых полигонов / выполняются априорные оценки /4/.

Методика исследования разреиимости задач »снована на полу— ении априорных оценок и применении теории функционального нализа.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Все-, оюзной школе "Оптимальное управление, гинетркя и анализ" г.Кемерово, 1966, 1968 гг. /, па УП Веееоззяей виоле по нагг. ественной теории диффер9ициальик:-уравяеняЯ' Гмдр®данакино. г.Барнаул, 1969 г. научной этифзргнцал'ттралздапдгвлай..

убанского госуниверситета / г.Краснодар, 1990, 19Т гг. /, а семинаре по математическим неделях, сплошной среды в Инстату-э гидродинамики им. Н. А.Лаврентьева СО АН СССР под руководство ; 1.Н. Монахова.

Публикации. Материалы двсссртацин опубликован» в работах

Г1-УП7.

Структура и объем работл. Дпссзртацяя состоит кз введения, еми параграфов н списка литературу нл 38 напизноваьлй. Об.^1ьа ¡бъем диссертации 74 страницы маЕккописного теиста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Основное содержание диссертации сосредоточено в §§ 2 - 7.

В §1 кратко излагаются специальные сведения на теории кон-юрмных отображений / оценки производчых, поведение в особых ■очках и т.д. /, оценки сингулярных сператоро- и решений нраа-¡нх задач с разрывными коэффициентаыи для аналитических функций, юновные свойства экстремальных длют кривк: к модулей четырзх-

:торонников.

Второй параграф посвящег формулировке общей смешанной крае-., юй задачи со свободной границей для аналитических фукций, яв-:ому представлению ее решений в случав полигонов. В этом же па-

раграфе вводится множество ¡ Р} простых полигонов, устанавливается на нем некоторая топология и предельные переходом при стрвылв!' ® К бесконечности числа 31 эньвв полигонов вводится

класс /¿} простых кривых. -

Основной результат диссертации содержится в §3, Где для простых полигонов устанавливаются априорные оценки /4/ ресдаиЛ системы уравнений /3/, при этом в отличив от ¿"2,2 , где неравенства /4/ были доказаны впервые, эти оценки носят не асимптотический характер, а отыскивается я^ная з&виеимость постоянной от геометрии и функции Нв /I/.

В §4 включением заданного полигона в семейство

ЛеГ0,И доказывается разрешив ,сть задачи /I/ для полигона

Геометрический способ-псстроегля-последовательности /О-2- . предложенный в [2] , в случае неоднолистных / прост1 тс / полигонов не применим и здесь предлагается аналитический подход к построению семейства

Отличается от [2^ и доказательство возможности предельного перехода от полигонов к криволинейной границе» Этот пореход осуществляется локальна"в каадой однолистной окрестности налой дуги, лежащей на предельной кривой.

В §5 изучаются га юствзниэ свойства рэпвппй задачи /I/ •отроится мажорантная кривая, отделгаицая-заданную часть границы - полигон ^^ от свободной гоанацы /*. . -

Шестой параграф посвящон различным-об обще^иш задачи /I/ примэнивельио к разным значениям параметра т I Г; ,

£ - натуральный парамето /* / /•

Г'й»«^ ^У/- & - угол (шелона касательной к Р с осыь . Изучен также слут-чй, когда условие /2/ заменя-

ется на задание модуля производной искомого отображения у/'&Се);

Характерной особенностью задач с граничным! данными, зави-

сяциыа от Г г , является наличие псг^зго параметра

- / Г'г/ « ....

Б §6 наряду с оценками /4/ параметров , -с»;?, л-/ уста-

новлена тагско априорная оценка :

/ ¿£ С <

Приложениям полученных в §§ 2 - 6 результатов к задачам гидродинамики со свободными граш 1ами посвящен §7. Здесь изучены задача фильтрации жадности со свободными границами в земляной плотине и 'под гидротехническим сооружением, которых зада; потенциал течения 2"® ас. ила -

I / на своб цноЛ граница /* , явля-

ющейся линиеР тока / I4, = <" /. -

Важным отличном этих задач от изученной в §§ 2 - 6 задачи

/I/ является то обстоятельство, что область в плоскости

нэ полностью фипирована и является прш"»угольником с

неизвестной высотой • , имеющей физичесю..1 сшсл расхода

¿лдкости через область фильтрации ¿О . Шервыз оценка

/ £* £ с * с» , означающая иевыроздениость ¿о" > методом теории квази. эн^ормных отображений в более слснной задаче ... была получена. Монаховым В.Н. [% ] , но при дополнительных.. ограничениях на геометрию искомой области .В этой пара-

графе такая оценка по ..редложеь.ао Мона-"Зва В Н. получена с по- . . мощью метода экстремальных длин семейств кривых • без дополнительных предположений о геометрии .

Изучены также гидродинамические за, ачи с условием вида /5/. . на свободной границе , моделирующей струйные задачи и за-

дачи фмьтрации сб определении профиля подззшой части гидро- .. технического сооружения по заданному на ней распределению ско- . рости фильтрации чв Функциях натурального параметра . .

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Монахову Валентину Николаевичу за постановку задачи г постоянное внимание к работе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Биркгоф Г., Сарантенелло Э, Струи, следы и каверны. И., "Ми] 1964, 466с. .

2. Монахов В.Н. Краевые задачи ео свободными границами для ад-липтических систем уравнений. Новосибирск: "Наука", 1977, 420 с.

3. Полубаринова-Кочииа П.Я. Теория движения грунтовых вод, М., ГИГТЛ, 1952. . •

4. Щурыгин В.М. Аэродинамика тел со струями. М., Машиностроение 1977.

5. Лаврентьев U.A. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа. М., Изд-во АН СССР, 1962, 136 с.

6. ГУревич М.И. Теория струй идеальной жздкости. М., Физматгиз, 1961, 496 с.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ .ДИССЕРТАЦИИ

I Тлюстен С.Р. Смешанная краевая задача со свободной границей j неоднолистных областях, В сб.: Динамика сплошной среды, 1986, вып. 76, с. 148 - 156.

П. Тлюстен С.Р. Смешенная краевая задача со свободной границей в неоднолистных областях. Всесоюзная школа "Оптимальное управление, геометрия и анализ Тез. докл., Кемерово, 1986, с. 122.

Ш. Тлюстен С.Р. Неоднолистные отображения со свободной границей В сб.: Динамика сплошной среды, I9&6, вып. 66, с. 141 - 148.

1У. Тлк.j-reH С.Р. Квазиконформные отображения со свободной границей. Тез. докл. УП Всесоюзной школы по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики, Барнаул, 1989, с. 63 - 64. , ■• . ■ '

У. Тлюбтен С.Р. Априорные оценки решений смешанной краевой задачи со свободной границей для аналитических функций. В сб.: Динамика Сплошной среды,. 1989, вып. 92, с. 108 - 121.