Неоконченноизмерительный анализ в пространствах с пуанссоновским измерением тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Каминский, Андрей Борисович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Киев
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1997
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
КШВСЬКИЙ УШВЕРСИТЕТ 1МЕН1 ТАРАСА ШЕВЧЕНКЛ
На права* рукопчсу
РГБ (ц
2 7 0
КАМ1НСЫШЙ АНДР1Й БОРИСОВИЧ
НЕСК1НЧЕННОВИМ1РНИЙ
АНАЛ13 У ПРОСТОРАХ 3 ПУАССОШВСЬКОЮ М1РОЮ
01.01.01 - Мптематичний анал1з
> М /
Автореферат дисертаци на здобутгя наукопого ступени кандидата фЬико-математичних няук
Кит - 1997
Диссртащею к рукогшс Робота ишсоцана на кафедр1 иагеыагнчнотс аншту Кшвською уншерсшсту ¡мен! Тараса Шеичснкк
Ь«уков*Й кер1шиш:
кандидат ф1знко-ма1смагнч1ШХ наук, доиогт УС Г. Ф. Офщ)Й1^ опонеши:
Доктор фиико-магсм&тичши наук, професор ЬУДЦНГШ В, В. Кандидат ф13ико-1Шгеыагичнпх наук, до цен г ГИЩЕНКО С. В.
ПроБццш усгганова:
1н<л1п-у1 макмапии ИЛИ Украйш, ы.Киш.
Шевчснка ш адресою: 252127, н.Кшь-127, ир.Глушкоиа.б, корпус иехшшео-ивгемашчниго факультету, иуд.42
3 дыгергшдем мошы ошийомнгнсь и б&шотеш уше^я-тегу .и лдрссою; и.Кнш, ьул.Оолодтшрсьхи, 5Я.
1997 р. о 14 юдин! 1ш эаодыии
слсцклиоишао! ради К. 01.0t.2l щш Кшвському утьсрешен шеш 1ираса
Лыорсфсргл ронил<ию
ВчсниЙ ескрсгир сиецшиюьшкн вчежн ради
//
КУРЧЬНКО о. о
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальшсть теми. Робота прясвячена досл!дженню нескшченно-вимфного аналту у просторах о пуассон!всьюю м!рою, основаному на властяв ct'i хаотичного представления (CRP). Впершв рооклад у просто-ри однорэднях xaociB був оалропонований Н.В'шером для гаусглвсыого вист адку та пшнине досл'щжувався Р.Камероном, В.Март1ном та K.Ito, в чиТх роботах встановлена CRP для процес!в э неоалежниыи прироста^ ми. I. Скалом було о'ясовано ов'яоок вкапаного роогладу о простором Фока, niau чого багато реоультатго нескшчеиновим!рного анализу було одержано в рамках квантовоТ Teopii поля. Дещо nioiiime П.Мейером до-сл'|джувався эв'яоок м!ж кратними стохастичними ¡нтегралами оа нор-мальними мартингалами та простором Фока. Важливим дм роовитку пуассошвського алалЬу виявилося вионачення у 1975 р. Ю.М.Кяб&новям та А.В.Скороходом рооширеного стохастичиого 1нтегралу та стохастичяоТ п ох ¡дно! на ochob'i хаотичного рсюкладу.
3 середини 80-х рок'1в, оважаючя на досягнення гаусс1вського анал1-оу, посилюсться штерес до пуассошвського. Виходять роботи ЙЛто та 1.Кубо, в яких будуеться теор!« пуассошвського б!лого шуму; роботи А.Де-рмуна, Il.Kpi, JI.By, присвячен! упередженому числению для пуассошвсь-ких Mip. В роботах К.Бйптелера, Ж.Жакода, Р.Басса та !н. досл!джуеть-ся числения Малллвена для процеав ¡о стрибкамн. В рамках квантового стохастичиого числения пуассошвсм! процеся роОгллдялотьсл К.Партх»-capaTxi, Р.Хадсоном, А.Фр1джерш та ¡н. При цьому о'ясувалася багато-BapiaHTnicTb напрямк1В роовитку пуассошвського аналюу. Напрямок, що роовиваеться в дисертацп, основано на CRP. В цьому напрямку в!дм!тямо недавш роботи Д.Нуалара, А.Дермуна, П.Кр!, Ж.Леона, В.Переса-Абрю, К.Т&дора, тощо. 1нпжй напрямок оапропоновано Е.Карленом та В.Парду. В5н грунтусться на аналогов! теореми Прсанова для пуассошвського пронесу та використовуе оператори (диференщювання) яг1 в!дртняються в1д дослзджуваних в дисертацп. 3 1991 р. Ю.М.Берго&нсьшм раоом а учяя-мя роореблясться спектральяий шдхщдо побудовя аналшу (у тому числ! 1 пуассошвського) бшого шуму. Напрямок, що гр .итуеться на трагтуванн! пуассошвського прсцесу як посл!довност! випадговях величия о експонея-д!иннм роопод»лом, роовянуто H.üpieo. Останшм пасом рядом вчеяях (САньбеверю, Ю.Л.Далецьгий, Ю.Г.Кондратьев та !н.) папропояовало б'юртогопальяяй п'1дх!д до анадЬу негаусс! всыгого б!лого гауму, якяй у ви-
падку стандартного пуассошвського нроцесу вивчався Г.Ф.Усоы.
На роовнток nyaccoHiecbiíoro аналюу суттево впливае ряд роодЫв сучасноТ математики. По-перше, це роов'яоаннл стахастичних диферен-ц'шьних р!внянь oa пуассошвсыаю MÍpoio о рооширеними штеградамл ркг'их тишв. Цими питаниями оайыаються так) математики як Ж.Леон, В.Перес-Абрю, А.Дерыун та ¡н. По-друге, це дослздження рЬнянь типу* В!ка-Скорохода, яке рообнваеться Б.Оксендалом, Ф.Бенсом, Л.Штрайтом,, Д.Нуаларом. Oipin цього важлнвий вплив на пуассоывсыий анад'ю спра-вляють оадач! статистично! фшикн. Зокрема, оадач! представления роо-подшу класично! системи частинок функциональными ¡нтегралами oa nvac-сошвсыоы Mipoio (О.Л.Ребенко, Р.Гелерак та íh.) та побудова роошире-ного (упередженого) квантового стохастичного числения.
Нарешт! bí^míthmo, що методика хаотичного роокладу останшм часом оастосовуеться дм аналюу функцюншв вод певних тишв нормальных ыарт»нгад!в (оокрема, мартингаа|в Аоема). В цьому аспект! В1Дм!тимо робот Ж.Аоема, М.Йора, Ф.Проттера, M.Euepi, Ф.Руссо та ш.
Враховуючи вищеоаоначене бачимо, ир доипдженн« в напрямку, яки! рсививаеться в дисертацп, е актуальными, яж о теоретично! точки оору, так i о точки оору оастосувань.
Мета роботн. Метою дисертацшно! роботи с:
• досл1дження нескшчеиновишрного нуассошвського анализу, основано-го на властивост1 хаотичного представления;
• оастосуваннл цього auaiioy до квантового стохастичного чисдення та до роов'яоання стахастичних днференщадьних piuiuiib унередженого типу;
• встаиовлення водемоов'яаку мш певними типами рооишриних стохастичних штеграл!в оа нуассошвською uipou.
Методика досл1дж'ень.
У робот! використовуються иетоди неск1нчеиновиифио1о аналюу, те-opiT уоагальнених функцш, теорм внл&дкоивх нроцеа'в, квантового стахь-стичного числения.
Наукоаа иоввона риботи.
• доведено BapiaiiT форыуди шгегрувания частиками у простор! a mí-рою Пуассона;
• па основ! встановлення уштарноУ екв!валентност! м!ж рооширеним стохастичним ¡нтегралом Кабанова-Скорохода та оператором наро-дженил, а такие м!ж стохастичною пах1дною та оператором онищен-ня, доведено юометр!ю для рооширених стахастичних ¡нтеграл'ш та
.дало пряме ймов!рн!сне обгрунтування вигляду ряду об'ект!в пувс-сошвського анализу в простор! Фока;
• побудовано та дослужено оснащения функционально! та фок!всько! реалюац»й простору о м1рою Пуассона певними типами просторЬ основних та уэагальнених фуякц!й;
• побудовано рсоширений стохастичний ¡нтеграл типу Огави для пуао сошвсьхоТ мфи та дослужено його властивост!;
• роов'яоано лшшш стохастичн! диференц!альн$ р'шняння упереджеяого типу о ¡нтегралами Кабаноп?.-Скорохода та типу Огавя;
• у пуассошвському випадгу досл5джено ряд об'ект!в жвантового сто-хастичного числения як у прс тор! Фока, так I в П); уоагальнеио конструкцп квантових стахастичних штеграл!» на процеси, як! не е уогоджеиими у простор! Фока;
е покаоано, що у випадку стандартного пуассон1вського процесу роошп-рений стохастичний ¡нтеграл, вионачений як границ* ршаноних сум, ствпадае о ¡нтегралом типу Огави; наведена апроксимативна схема для ¡итегралу Кабанова-Скорохода.
Иэоретична та практична п!пп1сть.
Дисертац1я мае теоретичний характер. II реоультати дають осиггу для подалыпого роовитку кескн1ченновим!рного аналЬу у випадку, коли вих!дна м5ра (процес) мае властив!сть хаотичного представления. Кр!м того, пони можуть онайти оастосуваннд в роодолах функц!ональиого аиол!-оу, сучасноТ математично! физики та стохастичного апалЬу, пов'яоаяих о квантовпм стохастичним числеиням, теор!сю стохастичяих р!внянь упе-редженого типу на пуассошвському простор! та деякими моделями финансово! математики
Апробад'ш робота.
Оспопт реоудьтати дпеертацц допов'щались та обговорювалвсь на:
• Четвертому Сштовоыу Конгресс Товариства Бернуллз (Австр1я, ВЬ день, 26-31 серши 1996 р.);
• Першш та Друпй Всеукрашських конференция "Сучасш фюико-ыа-тематичш дослздженш! молоди х науковщв вушв Украшн" (Кшв, 1994, 1995);
• XIV, XV, XVI, XVII конференция молодых вчеимх МДУ (Москва, МДУ 1992, 1993, 1994, 1995);
• сеышар) "Оператор» ыатематмчао! фшикн" шдщлу функционального аналшу 1нституту математики ПАИ УкраГни (кершшк семшару — академик НАНУ Ю.М.Берео&нськмй);
• ссишар1 "Йиовфшсн! аспект* нлк1нченноьишрного алалюу" в!дцшв террп 1ыов'фностей 1 математнчно! статистики та фуйкцюналышго аналшу 1нституту математики ПАН УкраТни (кер'шшк семжару — ыадешк НАНУ В.С.Королюк);
• сем1нар1 "Ймовфшсн! ыфц в мескшченновим1рних просторах" 1нсты-туту математики НАМ Украднм (кериник семшару — акадешк НАНУ Ю.Л.Далецький);
• семшарИВнпадьов! процеси о ненадежными приростами" кафедр« Ы1-щоТ математики N 1 Национального техш иного ушверситету (КЛ1) (кер!вник семшару.— ирофесор В.В.Булдигш).
« сешнар» "Диферснц1альш ри&кши та м'фи в иеск'шчениовиифних просторах" кафедрн функцюналыюго аналшу та теори фунвцш иеха-нио-математичного факультету МДУ ш. М.В Ломоносова (кершник семшару — ирофесор О.Г.Сыодлиов).
11убл1кац1Г. Основш роиудышя днсертацм опу(шкойаи1 в ¡3 роботах, список яких наведено в вшц! авто{>еферата.
Структура та обсдг роботы, робота складастьс« из ьегуиу, 1ршх роцц'иаи, ж! включаюгь 12 параграфов, та списку зптерагури о ЮН шишб-иуваиь. Нагильаий обсш дисерчацп 129 глоршок.
ОСНОВНИЙ ЗМ1СТ РОБОТИ
У вступ! обгрунтовуетьсл актуальшсть темя дисертац!йно! роботи, формулюеться 11 мета, обговорюготься основи! иапрями роовитку пуас-«ливсыого аналшу, наводиться стислнй огляд роб!т по дашй темятиц!, коротко викладасться ом!ст роодшв дисерт&ц».
Об'сктом досл!джень у першому роод'ш! е функц1ональн! простори пуассошвсыгого аналшу. У §1.1 наводаться основи! в!домост) про структуру простору ¿з(П, Т, Р), де Т — породжена випадковими величинами {¡/(А), А 6 В(К)}, и — пуассон!вська випадкова м!ра ¡о неатомИною а-спнченною структурною м!рою П, У = П.1*, <1 > 1.
Метою §1.2 с реал'тад1я та до#л!дження властивостей простору як пльбертового простору !нтегровних о квадратом функц!о-нял^в на простор!, спряженому до певного ядерного лЫйного тополог1ч-иого функцюнального простору. При цьому суттсво, що фуихц!ональпа реалшац1я вводиться ю сбережениям С11Р. В робот! не припускается на-явност1 у структурно! м1ри П «одних властивостей гладкост!. ТЬму оа-стосування стандартного в аналЫ вялого шуму ланцюжку простор!в типу Соболева-Шварца ускладнено, 1 в ягост! оснащуючих просторов викори-стовуютьсл простори типу Кете. Для побудови остаин!х и Я = £з(У, <Ш) обираеться баоис {Л, к > 0}, деяка маижс всюди сктченна вага /и(у) > 1, така що / /<М~ЧП(у) < оо та направлена певним чином мяожина ваг
За вагою г € Г будуеться пльберт!в прост! р
Ет = {/ 6 Я+ | £|/*Гт» < оо, де /» = (/,
де Я+ := Ьа(У,р(у)в(П(у)) СМ:= ^(У.сШ) П Я, та оснащения !п«11!т Е-т = Е? Э Я Э Е - рг!!т Е,
Г*Т тйТ
Ь вдовою шкалою простор!в Ет.
За харажтеристичним функц!оналом
С(<р) = ехр
/(е'^-1)Л1(у)|, В, (1.1)
оастосувавши теорему Бохнерл-М'шлоса-Сазонова, вводиться пдНенноад-
дитивна м!ра 1Г на (Е,В(Е)), послй яко! лежить в Е1, де Е х»1 < оо. В
• *=о
результат'! маемо простер (£<})» := Ьц{Е?,В,*).
Принциповою особдивгсть пуассошвського анал'оу, що випливае о (1.1), с необхдопсть роогдядати функц'юнали В1Д добутку основних функ-цш, тобто простер осиовних функцш мае бути алгеброю (обо оадовольняе раду след!альних умов1). Однак для довкьно! и важко вкаоати конкретне ад' nie оснащения, яке одночасно с алгеброю. Пропонусться для иобудо-ви оснащения викорнстовувати один хлас фунхщн .— Е, а для вивчення функц1окал1в шший — банахову алгебру А := Li(V,П LM(Y, dfl).
У оаключшй частит параграфу побудована та д^ол1джена така схема оснащения (1з),:
Р'(Ь\А) U
<(&) э Afia(V) э Э (Ь), D Лп&) Э Afin(ff) Э А^Е1) 0-2)
U
Piß', Л)
да Р(£?,.4) = 6 Vn(Ei,A) — множима полмюм1в на Е1, коефщкити яких
п~0
буду ю т ьс* оа функциями о А\
Лг(е') = рг11шЛ(^), де
riT
ЛАЕ1) = (ф 6 (£,),| £ .. .ri» < со) ;
I J
W^) = { E Cn(xi /,...../„), ......./.6i,*6Nji
X.t/J') пооначае мнажнну функцюнвл1а вигляду
г (а)<1 |а| < п
де Са(х) — полшошальш функцшнали Шарлье, I - найбиьшин номер ба-иисного вектора В1Д якого оалежять Ф(х), а п • встешш>п шш-
нома Ф(г). Покаоано, що Ас(Ьи) та Afin^) — ядерш. Наведено деды
'Див. умовн [AI-АЗ] у Ito Y., Kubo I. Calculus on Gauaaiau and Foissou White Noises // Nagoya Math. J. -1988.- 111. p. 41-84.
умови ядерност! Ат(Е?). Наприклад, нехай Т направлена певним чином множина, тод1 май м!сце
ТЬорема 1.1 Для яdepnocmi Ат{£?) достатнъо виконання наступноf умови
Vrer зрет-. £ —<1.
k=0 Ph
Покапано що, на в1дмшу в!д гаусавсыого "чпадку, AriE1) при Т — [l.oo)00 не обов'яоюво складаеться о цил'шдричних функций. В §1.3, виходячи о уштарних 1ооморфши1в
Ш)
US \V (1.3)
(Ь)* 5 ПН)
вивчаеться структура фоывського простору, що в!дпов!дае пуассон!псм!й Mipi v. Зокрема, оа допомогою формул» ¡нтегрування частинамн, доведено! у §2.2, дано пряме ймов'фн!сио обгруптувалня вигслду ряду об'ект!в пуассошвського анализу у Т{Я).
Теорема 1.2 Нехай h € Л, modi на Dom N (N — оператор числа части» ок) мають Mtcqe pienocmi
. 1. f(UftWV-1 = я+(/>) + а.(Л) -I- rfT(/»l); 2. KH^liV-^a+a^ + a.axJ + rfTil^lJ + nHl.
На ocuoni наведенпх ровностей отримано вягляд у F(H) м!р Zj, j — 173, Zt(B) = J J ydv, В 6 #o(H<'"1) ia кратких стохастичних 1нтеграл!в
BR
(i.c.i.) оа цими Mipa ти.
В термшах оператор! в народжепня, оиюцення та консервацп дало опис полшом!в у простор! Фока; досл!джено обрао оснащения (1.2) у Т'Ч) при ¡ооморфтм! W.
Другим роад!л присвячено вивченню оператор!в диференцЬованкя та рооширених стохастичних 1нтеграл'1в певних тип!в у просторах о м1рок> Пуассона, а також Тх оастосуванням до ропв'яоонпя стохастичних дчфв-•реншальннх р!внянь упередж^ного типу та до квантового стахастячио-го числения. Методика досл!дження при цьому баоуеться на властивост! хаотичного предстает ння та уякаршй екв!валентност! Mix роошярелии
стахастичниы штегралом Каб; (.лова-Скорохода та оператором мароджен-ня, та шж стохастичною похцною i оператором оншцення.
У §2.1 описано основш напрямки сучасного гаусавського анадшу та наведено основн! п!дходи до вииначения оператор!в диференцшвання о ак-целуванням уваги на ix екшвалентшсть. Необх1дшсть подобного poor л яду полягае в тому, що сучасний пуассошьський анадш роовивасться в онач-шй uipi оа алалог!ею гаусавського. При цьому часто обнрасться аа основу той чи ¡нший П1дх!д у гаусавському вмпадку i дал! проводиться в!дпов'1дн! побудови для пуассошьсыого. Але, якщо у гаусавському винадху бшь~ шсть тдход1в с, по сут1, еквовэлентними, то ix аналоги у пуассожвському випадку приводить до ршних конструкцш.
У §2.2 доопджуеться СЛР-шдод до диференцшвання га штегруван-ня у простор! о uipoio Пуассона. Пор1вняно ц«й подход □ ¡шшшм исходами до вииначения onepaTopie диференцдовання у пуассошвських просторах та покаоана ix нееквЬалентшсть. Для пах ¡дно! Di, у напрямку /»€//, вииначенноТ на ocuoei CRP, та рооширеного стахастнчного ¡нте-гралу (Кабанова-Скорохода) б доведена формула штегрування частинами.
Теорема 2.1 Hexatth{y) 6 A, F е DomL, де L ~ оператор Маллявена, modi
5ШП = " VHy)F - ЛГ(Цу)l)F, (2.1)
де ¿Г(/»(у)1) оператор в ^j(fl), оизначений на Dom L dicto
. dr(A(y)l)In(/n(Vi.....V»)) = I„(£ Mvu---,vj,-Wvi)
\j* l
¿Г(Л(у)1)ГС = 0.
Наслщок 2.1 Нехай F 6 L»(il) ГА-оим*рний (A g B(Y)), ft 6 W mai.a, що eupp h П A = 0, modi DHF = 0, ma S(hF) = Flx(h).
Введено пльберпв iipocjip Dj,i С L%(il) як Dom l^' С Lj(ll) io скалярным добутком
(F,C.)(F, G)lj(it] 4 (DF, DG)Li(YkU)
до D — стохастмчна исшдшц втшачена на ocuoBi CRP, Встановлеиий на-стуниою теоремою ив'яоок о операторами у простор! Фока дшиоляе иа*-стосувати ршробленин 1<ш апарат для д'кмйдження оператор!в у Lj(il).
ю
) (» > 1).
Теорема 2.2 При кзоморфймх V (1.3) оператор Маллявена L та сто-хаотична noxiduá Dh, h € Н, унхтарно еквгвалентт операторам числа иастинок N та знищепня а_(А) eidnoeiduo, a ínтеграл Кабанова-Скорохода S(h(y)F) = V^a+ityVF, де h € Н, F е D,,i, в+(Л) — оператор народженнж в Т(И).
Лема 2.1 Нехай F,G 6 Djib h,k£fí modi
(5(hF), 6(kG))b{n) = (h, k)„(F1G)Mn> + (DkF,
Для процес!в o L¡(V х П), jií мазоть похдоу Du(y,u>), введемо г!ль-бертову норму
!l"(»,e)llv := (Н«(». w)llL{r»n) + «üX^H^tvKy-n))1'8
Пооначимо Lj,i Г1льберт1в rrnocTip процес»в u(y,w) € bi(V х fl), «i оадовольняють умовам:
1. и(у,и) g D2)1 ли майже bcíx у € К;
2. 1снуе BHMipua модиф!кащя (£>u(y,w))(2);
3. ||u||3ll < оо.
Покапано, що Lj,i — щмьний в Lj(Y) та справедлива нгкступна
Теорема 2.3 Исхай и,» € Lj,i, modi
(5(u),i(t»))Mn) = («.»),,,.
Зв'адси випливас юометр*1я для рооширених стохастичяих 1нтеграл1в оа пуассошвського Mipoto, яка у випадку уэгодженоси процеса перетво-рюсться в класичну ¡оометрт 1то.
Нехай v(t,y) пуассотвсыам1раоадананаст-алгебр5 B(R+xRI<), Г^>ун-туючись на роботах Ж.Лсона, К.Т&дора та íh. для стандартного пуас-coiiiecbKoro процесу, у §2.3 роов'яоуетьса ршняння
X(t) = G + f / о(в, у)Л-(в)<Ш(а, у)+6 (1М(вЩв, »)Л (»)) (« £ 0) (2.2) •
OR'
де а(в,у) € L^R* X Rá,(ffl) П Lj(R+ х R'.dll), /?(í,y) € Lj(R+X R^rffl), G — випаджова величина о Lj(fl) бео додаткових умов уогодженость
Оопачення 2.1 Розо'лжом (S.S) називаетъся euMipuutt процес X (в) má-кий що:
U
' 1) а(а,у)Х(в) е bi(R+ х R'',<ffl) э ймоо\ртстю t; 8) 1[о,|](л)/Э(«| v)-Y(s) £ Dom 6 для майже ocix t > 0; 3) для майже ecixt > 0 виконустъся pienicmb (2.2) в ceuci ршюстей ядер K.c.i. у просторах хаотичного розкладу ВЫера-Imo ;
Роов'яоок онайдено Методом пор!вняння ядер i.c.i. при хаотичному рооклад» обох частин (2.2). При цьому роов'яоок будуетъся оа допоиогою ^обутжу Виа О.
Теорема 2.4 Нехайа(а,у) е х Rd,<m)nLj(R+ х R'.iffl), ß(s,y) 6 Lj(R+ х R^ifll), G задовольияс умовг
£ nia^llffnllt^KR^
n=0
modi роэв'язком рюняння (£.2) буде ироцес
\Kt) = A(t)C,OexJj J ln(l + ß(»,y))M»,y) - } /0(-,у)Л1(«,у)1 10 И' . о HJ J
(2.3)
de A{t) — cxplf J а(в,у)<Щ(л,у)}.
lo и* )
В параграф! також наведено наслан о uiei теорема для pieiuHb упе-реджеиого типу оа складним пуассошвським процесом. Роиглянута миж-див!сть о&стосув&ння р!вняши (2.2) до дияких моделей фшансово! математики. Зокрема, пропонуеться уоагальнення модел! Блека-Шоулса на випа-док стрибкоподюних омш у Ц1Ш ахцш та оалежност! ьих1дно! Тх вартост1 Bifl майбутн!х шуцй.
§2.4 присвячеяо побудов! для пу&ссошвсько! випадковоТ шри рооши-реного стохастмчного штеграду тину Огави та доондженню йи1 о власти-востей. Иехан и(у,и>) 6 Lj(Y х П) та {/?*, к > 0} деякий ортоиормованмй баоис в //. Роикдадемо и(у,и) иа ишнною у £ У оа баоисом [ßt, к > 0}
00
к-0
Ооваченыя 2.2 Розширеним стохастичним штегралом типу Огави aid и(у,и) eiduocHO nyaccouiecbKoi Mipu v називаеться оипадкоеа величина (эбгжтсть розумшпься за ймоо1рншпю)
оо
iMv.w» = Z(u(y,"),th(y))nh(ßk(v)).
4=а
Для опису 6 введено оператор Р: Ри(у,и) = М/п(ш,- • •, Vn¡Vi)),
Dom Р - {u(y,u;) е Lj(Y х i)|
00 - .
Е / • • • / /¿(и, V2. • • •, vn|vi)<m(vi)... <ín(y„) < 00,
П=Оу у
3 д!агональ /„, яка с вимфною}. Теорема 2.5 Нехай и(у,ш) е х ÍÍ) та задоволъняе умовам:
1. ||(/Му
2. Ядро (Du(y,w))(z) мае сктченнчИ слid для майже ecix и 6 П,-
3. и(у,ш)) е Dom LP, de L - оператор Малл<гвена;
о
modi мтеграл 6 ienye, не эалежитъ eid базису, та мае мкце ргетсть l(u) = J(u)+ TYDu + LPu. Дал i в параграф! наводиться «роов'яэок лппйного стохасгичного дифе-
о
реиц1ального ршиння о ¡нтегралом 5-
У §2.5 вивчаеться ди обрашв оператор: и дифепенщювання та рошчи-реного ¡нтеграла 6 у функцюнальшй реалюаци (Lj)r. Детально роогля-дасться винадок, коли елементи баоису {ßk, к > 0} належать А. В цьому виладку вионачено sei ыожлиб! мономи
(< x,ßi >-'ßi >Г ...(< x,ßk > - < ßk >)•» е PÍE1, А).
На множит мономов ьианачено оиератори часгинного диференц1к>-вання та множеиня на моном < x,fi¡ > — < ßi >. Для цього
введено оператор Вшбського впорядкувания W на Dom W = Р(Е ,>1):
М(< х, Д-, > - < ßi, >)"»... (< г, ßit >-< ßik >)"') =•• ЧЪорема 2.0 Мають мкце iiacmynui pUiHoctni на Ао(Е):
д(< X,ßi > - < ßi >)
И>(< х,ßi > - < ß( - UD}U-X\
И st-----—-rW"1 - IV-'a.
0(< X,ßi > - < ßi >) .
»V(< z.ft > - < A >)W~' = H'-'o.(A)lV; de ßi довгльний базисный вектор.
' Зв!дси випливас, наприклад, що обрао VV у Т(Н) д!е на -FfjnM) наступним чином
HTV^-'íe+ÍA.) + (А.) + )Г... ... (аЖ) + о-(А.) + ¿ГШГН = МД, )"'•■•
Wo — вакуумний вектор.
В §2.6, по-перше, на ochobí формули 1ктегруваинв частинами (2.1) обгрунтовано ймошршсним шдхщ до виоиаченнл пуассошвськсц м!рн у чисденш Хадсона-Партхасаратх!; по-друге, дослужено виглад рад кон-струкцШ квантового стохастичиого численш; длл пуассошвського випадку и у npocTopi Фока, так i у Lj(íl)¡ по-третс, використовуо^и рооширенв стох&стичн? численна о §? 2, уоагальнено конструкци квантових стоха-стичних штеграл1в на процеси, ski не е уогодженимя у простор! Фока.
Нехам С пооначае дшшну оболонку експоненщальних в~ктор1в, поро-джених елементаия о A. Vh & Н детермшований процес {1[о,«](')/>(«,у), t > 0} напиватимемо Л-мартингалом.
Теорема 2.7 1. Hexaií h G А, д = Н, modi для h- та д-мартингал1в мае мкце pienicmb hi С:
^MlMWft(«,y))4»-(ipdWff(«.v)) = <&№(*, у)1ю,п(0
de Mfe(í,y)l[0,Ti(0 ~ оператор множення на Л(£, у)Х{о,г](*). « Т) -
Ытегралъний оператор вигляду
K+,-{g] Т)и = J / lM(»)p(e,v)u(í,y)dn(í,y).
R RJ_I
£. Нехай Л € H,¿ £ A, modi для h- ma д-мартингал*в мае «4сце pieuicmb на С:
т
f a41l%t](»)^,y))da+(ll0it]{»)g(B,y)) -dT(Mg(t,y)lm(t)K-MbT))< о
de /С_1+(Л;Г) — мтегралъний оператор вигляду
K_1+(f»;T)u = / f lloA{e)h(8,v)u(a,v)<m($,у). RE<r'
Отриыано формулы для обчислеш» квантових стохастичних штегра-л1в в*1Д елемент^в алгебри, яка породнена процесаыи народження та они-щення. Наприклад, для Л-, к- та 0-мартингал1в мае мкце сшвв1дношення
f^eJ(l[o1.|(«)A(«I»))e?(lIo1,j(a)fc(«1»))Ai.(lIolflWp(«,y))e(«),c(i»)j = = / / Я;(0К™(0в(«,У)и(«.У)Л1(»,У)ехр(и1в)я,
О RW-1
I I
//„(*) = / / h(s,y)v{8,y)dn(a,v), Ku(t) = f j *(«,уМ'.у)4П(«.у).
0 R'-l О
Теооема 2.7 дооволя» дати ймов!ршсну штерпрегацт одног» 1 Bapiau-Т1в квантовоТ формули 1то2,
Наслщок 2.2 Нехай F G Dom SD, образом квантовой формул и Imo у npocmopi Li(il) будутъ наступт аиоохдношеннл:
S(h(t,y)l[0i1](t)(DF,gll0<T](t))H) =
= dr(Mhit,v)llbill(t)K+,49\T)) + dr(Mh(t,y)lM(t)K-A(g-,T)y,
(.DS(h(t, v)1(o.ti(OF). Si*. У) W)) = dr(Mg(l,v)lm(t)K+l.(h\T))+
v
+<nWi(t,y)lIOlJ1(OK-1+(A;T)) + / / /»(t,y)i7(<,y)rfn(t,jl.
0 Ri-1
Детально pooi6pauo випадож II = Lj(R,dt) та 1[0,(]-мартингалу, якнй харажтерииуеться можливютю реалтувати Т(Н) oi обереженням CRP дво-ма фупкцюналышми просторами
i/o
Va \ / Wa
Л MR, Л)) Vv ? V \ »V
Up ■
""»Див! Prop. 25.25 у Parthasarathy К.Н. An introduction to quantum BtodiUütU: calculus. Birkbauacr, 1992.
де у — гаусс!вська, a v — пуассошвська м!ра.
Теорема 2.8 При реалЬацп ^(¿j(R,A)) як Lj(.S'(R),7) мамноо/cuui по-лЫомю V(S') маютъ м»сце наступи» представления
- ТУЫю(К,,.(Т)и"(х)) + (К+>_(Г)и'(г;,х)Ыя)', /
* TYL,m(K-,+(T)u"(x)) + (К-,+(*У(*). «)*<*)•
Дал! в параграф! оа допомогою рооширеного стохастич.ого чясленнл у Lj(ft) оапропонована наступна конструкци виояаченпя квантовях сто-хастичних !нтеграл!в в!д процегЛв, що не с утяодженими о ф1льтрац1ею у 1фостор! Фока. Нехай {£>(()• t > 0} квантовий процес у !F(Li(Yfffl)) о областю вионаченнл, на включав С. Пооначимо L(t) := V~lL{t) - - обрао цього процесу в ^а(П), g G Lj{Y,dH).
Оо печеная 2.3 Розширетш квантовим стохастичним Ытегралом вгд процесу {L(t),t > 0} за процесом народження для g-мартингалу нази-васться процес {A*^(t), t > 0} mattutt що:
1. DomA;iL(t) С V Dom5(L{B)lM[e))t t > 0.
2. V7e Dom A'hi(t) Vt> 0
>](*))■ (2.4)
Оояачснчя 2.4 Розшир"Ним кос. .тооим стохастичним Ытегралом в id процесу {L{t),t > 0} за процесом энищення пазиваетъея процес {/4itb(t), t > 0} такий що:
1. Dom AtjSj) С V Dom (L(s)D) t > 0 та генуе ттеграл (S.5) в сенс» Бохнера.
2. VjC Dom AitL(t), Afj,(t) вшначоеться dieio . ..
Лг.ь(07= /(Lmw-'flfavm'.vn^dni'.vb (2.5)
Покапало, що у випадку уогодженого £(а) штеграли вионачеш у (2.4) та (2.6), об1гаютьсл о класичними ¡нтегралами Хадсона-Партхасаратхи
Трет!й роодЬ дисертацп присвячено конструкции пуассошвського аналшу у вииадку uip, породжеиих сгладними пуассошвськйми процесами.
У §3.1 покаоусться, як вкладаютьсл в оагальш.конструкца роодшв 12 скдадш пуассошвсыа процесс. Пор'шияно методики досл1дження функ-ц1онал'|в о Lj(il) оа допомогою к.сл. оа мфою i> та к.с.1. оа м!рою Z
У §3.2 вивчаеться простер квадратично-штегровних функцюналш в'1д суто дискретних пуассошвських nip. Эастосована методика представления Lg(ii) у вигляд'1 нескшченного теиоорного добутку. Покапано що прямим наслщком формули ¡нтегруваиня частиками (2.1) с наступив представления для оператора множен"* на пуассо}пвську величину ац:
де а+(гц) = ((it - А4) -- х*Дл(я*)), а~(хк) = А»ДПр(и), Дл та ДПр — л1вий та правий осуви.
В параграф! 3.3 рооглядаеться випадок, коли Y = RJ, П(*,у) = mi(t)® Н(у), де supp Н(у) = {ei,...,an} (а; £ О, V» = Т^п). Спочатку до-слвджуеться випадок стандартного пуассошвського л роцесу (supp // (у) = {о}). Для цього випадку введено рооширелий стохастичний ¡нтеграл як границю штегралышх сум та доведена настунна
Теорема 3.1 Нехай u(t,a>) 6 ,L3([0,1] х il) ma эадоволънле умовам: l)u(t,u)e Dom 6;
S) VI > 0 ядра в розыадг Bittepq-Imo процесу u(t,u>) Д 6 С([0,1]*+|); modi визначено стохастичний Ьнпеграл (в сенсi Мжносгт е Lj(Sl))
W) = щуМЬУ)).
хк- = а+(г*) • +а_(х*) • +N(xk) +А»1>,
Ткки. чином, в дисертацшшй робот! отримаш таг! реоультати:
• доведено вар!аит формули ¡нтегрування частинами у простор! о м1-рою Пуассона, о оснований на ьластивост! хаотичного представления;
• побудовано та дослщжено оснащения функционально! та фок!всько'.' реалюацш простору о м1рою Пуассона певними типами простор!в основпих та уоагальнених функцш;
• на основ! встановленнл ун!тарно1 е*в1валентност'| м!ж рооширеним стохастичним ¡нтегралом Кабанова-Скорохода та оператором наро-дження, а також М1Ж стохастичною похщною та оператором онгадеи-ня, доведено тометрш для рооширених стохастичних !нтеграл!в та дало пряме ймов'фшсне обгрунтування вигляду ряду об'ект!в пуао-сошвського аналюу в простор! Фока;
• побудовано рооширений стохастичний !нтеграл типу Огави оа пуас-сон!вською м!рою, встановлено його ов'яоок о 'штегралом Кабанова-Скорохода та роов'яоано лшшн! стскастичн! диференщальн! р1вияншг упсреджено о типу о цими 'штегралами;
• досл!джено ряд об'скг!в квантового стохастичного числения у пуао-сон!вському випадку 1 уоагальнено конструкц!! кванювих стохастичних !нтеграл!в на иеуогоджсл! процеси;
• покаоало, що у випадку стандартного пуассошвсыого процесу рооширений стохастичний штеграл, вионачеиий як граница р!манових сум, сшвпадае о ¡нтегралом типу Огави.
Gchobhí реоульт&ти дисертацп ouyb-'ilioeajii в настуяних роботах:
1. Каминский Л.В., Ус Г.Ф. Об одном классе операторов вторичного квантования // Укр. мат. журн - 1995 - 47, N 5 - с. 629-634.
2. Каминский Л.Б. Представление исчисления Маллявена в пространстве Фока // Теор. и приклад, аспекты математических исследований: Сб. науч. трудов.-М.: Иод-во МГУ, 1994.-С.91-96.
3. Каминский А.6. Анализ белого шума для сложных пуа_соновских процессов // Сучасн'о фшию-математично досл0дження молодих науковцов ByoÍB УкраУни: 36. наук, пр, - К.: Ки'о'в. ун-т iu. ТЪраса Шевченка, 1995. - с.46-55.
4. Камшськии А.В. Квантов! стахастнчш штеграли та ох оображення у простор! Lj // G6¡pnHí лраць студентов та acnipaime КиГвського ун'оверснтету ¡меш Тараса Шевченка (природиич! науки). - К.: Кнш. ун-т ¡м. Тараса Шевченка, 1994. - с.13-22.
Б. Кам1нський А.Б. Фок'овський подход до числения Маллявена // Працо Всеукраонськоо колференцп молодих вчених (математика). 4.1. - К.: Киов. ун-т ¡м. ТЪраса Шевченка, 1994. - с.79-86.
6. Kaminsky А.В. An integration by parte formula for .be Poir^u random measure« and applications. - Kyiv,1996. - 20 p. (Preprint / Ukrainian National Science Academy. Institute of mathematice;"9e.9).
7. Kaminsky A.B. Extended stochastic calculus for the Poisson random measures. - Kyiv, 1996. -18p. (Preprint / Ukrainian National Science Academy. Institute of mathematics; 96.15).
в. Kaminsky A.B. Solutions some anticipating etochastic equation» uriven by Poiaeon noise and its applications // Book of abstracta of 4-th World Congress of the Bernoulli Society, Vienna, Austria, 1996. - p.262.
IB
. Каминский А.Б. "Бесконечномерный анално в пространствах с пуво-соновской мерой". .
Диссертация на соисканйе ученой степени кандидата фиои ко-математических наук по специальности 01.01.01 — математический анализ. Киевский университет имени Тараса4 Шевченко, Киев, 1996.
Защищается диссертация, посвященная поучению бесконечномерное пуассоновского анализа, основанного на свойстве хаотического представления. Докаоаны вариант фопмулы интегрирования по частям я иооме-трия для расширенных стохастически к интегралов в пространстве с мерой Пуассона. Построены и исследованы ряд оснащений функциональной и фоковской реализаций пуассоновского про&гранства. Построен расширенный стохастический интеграл типа Огавы для пуассоновской меры в исследован^ его свойства. В работе также приведены приложения рассматриваемой теории к решению стохастических дифференциальных уравнений упреждающего типа и к квантовому стохастическому исчислению Хадсона-Партхасаратхи.
Кат'шзку А.В. "Infinite-dimensional analysis in the spaces with Poisson measure"
Doctor of Philosophy thesis, speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 199(3.
The thesis to be defended is devoted to investigation of infnito-dimensl-onal Poisson analysis, which is based on the Chaotic Representation Property. The variant of the integration by parts formula aid the isometry for the extended stochastic integrals on the Poisson space are proved. In the thesis a number of riggings c? functional and Fock realization of Poisson space are constructed and investigated. For the Poisson measure the extended stochastic integral of Ogawa type is constructed and some its properties are studied. The applications of the considered theory to the quantum stochastic calculus of Hudson-Pefthasarathy ami anticipaiing stochastic calculus are regarded.
Ключпп1 слапя: uipa Пуассона, npoerip Фока, oenoeni та уоагаль-неш функцн B«",KÍH4eHHoí кшькооп ом'шних, властпвкть хаотичного представления, рооширен1 стохастичн} штеградн, добуток Bika, стохастачш 1нтегралын píbhíhhj упередженого типу, квантове стохастичне чисвення.
