Непрерывная и дискретная стабилизируемость систем дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

•»3 0? 3 2

ГОСУДАРСГВПШиЙ САИКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

11« йраа<м ^укопнем

УДК 517.9

ГЛЛУИОиА Ксении НЕПРЕРЫВНАЯ И ДИСКРЕТНАЯ СТЛИШЗИРУЕМОСТЬ СИСТЕН ДИФФСРПНЦИАЛЬНЦХ УРАИИППКЙ

01.И1.Ц9 - н£1Гематнч«ска« кн&ернетияв

Латирифераг диссертации «а соиссаиию учено»! стенеям кандидата фн-жко-магсмлг нч«>скик наук

Санкт-ГГетербург - 199!

Работа выполнена на кафедре высшей математики факультета " Прикладной иатематики-процсссов -управления .Саикт~Петорбургс-кого государственного университета,

ofvi^nanьннй оппонента: Доктор ткзико-ыатикаткческ^х: наук

£.£» Хорттонов.

Налдкда? наук

0.3. Шаляпину.

Ведуаоя организация: Институт кибернетики ;:;/.. В..".!. Глугкова АК Украины.

Защита диссертации состоится 'У&Г*' tf-ûéJ^&Ufi I^s^Lt» в

_часов на заседании специализированного совета Н-а63.57.1б при

Санкт-Пе?срблрггкох'государственной уукверсктотс. (Д^&чгц, С.Пе-торбург, Ст. Пете;toî>. Библиотечная г.ло^адь д, 2, акульт IU-Л J С.-иГУ). bsajiia Суд ci «роходить f.o i^pecy: Санкт-Петербург, В.0«, 1П линия, дом 33, ауд. .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ¡:;.:. А.л. Горького 'Санкт-Петербургского государственного университета, Универ-'сктетская набережная

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета

8.Î. Горьковол

I ОЩЛЯ ХАГЛКТВД1СГЯКА РАБОТУ

4 '¿jliHMf*' ^ктУеи,ьаосгь темы.

ровлема стабилизации решений я ил m? re« o^uuti из

•овтщГ

актуальных задач тыорми унрацлшгиог» данлоиии. Одной ■ из трумностой. ноэмнкакччих при ичхо«д«ш<и стйбилиаирудачого управлении,- инлястсн исследиоииии устиНчмцос lit замкнутом системы.. Donрис об устойчивости решений unopuuu глубоки

изучил А. 1!. Лмиумоиым н неслеяоиался ииосдедстиии и робота* многих UUTOptlB, Ср*»Д№ ко гори* U.K. Крисовски». 1 С.

Помтрягмн. В.В. Колмаморский. D.P. Носов. А. ХалаиаИ. Д*. ХеКа. С.Я.Зу&о». С.11. Вихими». Б.С. Ризуыихмн, Г. Като. 11.U. Азбелч» it яр. Для широкого класс« систем получены достаточнь-'* услоинн устойчивости и , соотиатстионво, стпСилюируеиосг». тогда как иеобкодимив и достаточиио условия получены Jutab д»м иебольвого класеп урааыемий. Следо8аТо.Льяо, по аастт«ий истерт, данпум проблиму иильзн считсиь закрыто*,. Й свате вьюесказииногодостаточмо ввжиой авллетси проблема сеодекин сложны* скстеп * более Простых о точки зрев!«* нсслодованнн устойчивости. О этом ' «лвраплеий* разраВотвяи тцкис мотоди явя метод усрсдпввм». «arod эакоракмваямк. «отод сосдсАйя. на область ирниеиииостп яиклого мз ких достаточно узки ц омн ко Могут охватят!» Ьсех «озяйкаездк зя&ич. Пег.»(ому разработка совик яотодо- в этом паь{и4пла1Шя вредета&джисл .««обходимой.

2. Цела раДзти. . • -

Полы» вастолчеЯ psSctM валялось воетрвввмэ иотода. »озеблвкзего сг.ссти 14сслодовавия устоЯ^н&остн chi темы дмффврвмиюльпм урэвяеипЯ еисокогг> порядка я всслодовыан»

нескольких систем более низкого пормдкп и нахождении с »омоцьм Такого метала етаБилдоирумщего . украиленмя. Стабилизация рассматривалась доя систем дифференциальных уравнении «быКкюешиго. эаааэйшяммего к нейтрального типов.

Во второй чисти работ« для линейных систем

дифференциальных уравнений различных классов строится дискретное стабилизирующее упрэнлеини с завоздыиаимем.

3. 11аучиин воан^ыя.

Доказаны три теоремы об ас«иатотич«скон устойчивости с истоми циффоренцмальных - ураввемнн. омиратор > которой представим • виде ирииэнодеикж дифференциальных операторов более низкого яирядн». Рвзработанм метод* »«хождения управления такого вида, что Оператор замкнутой системы представим и виде вроизвеяиннн дифференциальных операторов с заранее заданными свойствами.

Во агорой Частя работы дли линийкой «юстацмомарной системы дикаадка существование дискретного - стабилизирующего управлении « знцшдшаимя яри условии существовании непрерывного стабилизирующего управлении с том м Патрицей. Получены результаты о дискретной стайялмэйру«аист* линейны* стационарных систем без предположении о сумес твомкии неарерШмвго ствбмлиэируишыо уврвктигми.

.4. Авробмця» работы.

Результаты.' млагаетю в «иипм работе, дшляйнмше» из конференции "Сиьроменйми мотели • качественной теории ли^репмммпа уревйевкй. Глобшышй «шиша. Ниогшитшк) отображения." (Ворон*!«. 1990 ). но нвучнмх нжолах-семинора*

, : А '

"Моделировании и исследование устончивосаи 4иличсч;к11Х процессов" (Киеи. 1090.1U01 гг.). на lß Всесоюзной школе но теории аиератороц и фуикцноыильных пространствах (U . Нонгором . 1091 г.). на Гирценаискмк чтининх (Л.. 1088.1Я'Л гг.). Г>. Публикации .

Материалы работы изложены и тоста статьи* и трех изапсих. укаамннык и конце« аиторофир^То.

G. СТРУКТУР^ И UÖM'U диссертации.

Работа состоит на ииоииинн и диух глаи. которые разбиты И>* десить иарагрифои. Qö-bfM раСоти - 22 страницы

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ. Пи сшединин к диссертации при«сщитси краткий литератур.-ыН обзор.

Перцам глаиа иосьяшсна ироВяеме нахождении непрерывного стабилизирующего уироилинг для систем обыкновенного. запиздыиакнцего и нейтрального тина. Запишем рассматринасмую систему и виде

\

Здесь ataOZ~ лниейний дифференциальный оператор.

и. (1,0с ") -

стабилизирующее у правление. Будем говорить, что оператор «¿ОС устойчив (венмитотичеекм устойчив) . если система jC ОС,- О устойчива (асимптотически устовчияа). уиравлвайе атом

случае будем называть 'стабилизирующим дли ouapatopa ОС. •

0 f I доказываете« достатачаце условии асимптотической устойчивости оператора ¿{ОС., «ридставииого-у виде суиеркознцик

S

oiU'p,«Ti!pt)U более »U3KUI U иорчдка. игрикичоиим апк^идивашся на ояератори ()<»длО*<;ннн. Приведем полученные теоремы. Пусть оииротир uf ОС1 иредетавт» и вид«

tX ОС — ^ • ОС.

,-у

где U и 1.7 - линейный дифференциальны» оиераторы- Допустим

1 ч = о <*>■

'Э

что система

удоплотнориет условиям существоиании я едннстиеышсти решений.

Теорема 1: Пусть опер«тир с? СС имеет амд •;»,'Х' -.'X: - / (i,О?) и исммитотическ» устойчиа . решения (Ч )сшгте»«н (.* ) при любых

vi

начальных данных ограничены достаточно малин константой. ДлН того. чтоби оператор ^С CiL Сыл асимптотически устойчив достаточно выполнении одного из условий:

l/ ^'fljiXV лив"йва* функции «о ОС с ограниченной матрицей коэффициентов. »

2/J (i, О?-)- локально Липшицев« по 0Q с Достаточно малой

константой /тныица в окрестности нули.

3/ ^(t(OC)- однородная функция но СС порядка 1Ч_ .

Теорема 2: Если оператор ОС имеет вид 5 ОС: - СС (отклонение аргумента сосредоточенное : ОС' (.{. "О) )

м асимптотически устойчив, то для того, чтобы онератор bf ОС-был асимптотически уигойчив достаточно выаолисиин одного из уоловиЯ:

i/J(l,OC-T)- линеен по -,У2 . ОСи матрицы коэффициентов

» 'Ii

ограничены. решения у(Ч.)систеиы (V) нрн ммбм* начальных Данных

ограничены достаточно модоК константой.

2/Jil (X .Т}- JIMHUGH но ОС • , и млн решений и (¿/система

■ ■ 1 ' ,

Оо J ij(l)fU < ^

з/ I'С1 t>" однороден по аргументам ,'Х ■ решения

систои. 1 (Y) снраннчены достаточно малой константой.

Теорема 3: Если оператор ^ОС риононерно асимптотически

устойчин и u(-i)------> О. при любых начальных данных, то оператор

ui-Xi равномерно асимптотически устоИчми.

Слсдстиие: Если оператор tf ОС нредстльим » иидо суперпозиции jimhuUhhx асимптотически устойчивых операторои

с ограниченными ни времена коэффициентами. то он

исимлтотическк устончна.

Замечание: Если каждый н» »ходмыих в суперпозиция сшераторои лннеиныН « стационарным, то для «симитотмчоекои устойчивости оператора суперпозиции ¿С необходимо и

достаточно, чtoGm жажды!! из • одищнх и суперпозиции операторов

О"

с?" И Q. 6ыя асимптотически устойчив.

D дальнейшем в верной главе решаете« следу Kitint Основная задаче: Для операторе ОС. будем искать

управление Ц.0Ц.Т;)та|;о«!, что онератор замкнутой им системы представим в виде сулериозмаин

'¿.СИ -U.(i , сс) = ^ic^ic-i • • •

где операторы ОС . Ь i,C«W выбираем твкин образом, чтобы

V ■

онератор ¿ОС был асимптотически устойчив. . .

В | 2 основная задач* рассматриваете* дл» нелинейных

систем обык новея «ого и эаавэдмвамцего тяа». Эдесм мм задаем два

дифференциальных оператора. для которых выполнены услооин какой-либо из теорем 1-3 и находим такое управление. что олератор замкнутой системы представим о вице произведении заданных операторов.

Пусть я СУ ~ подлежащий стабилизации обыкновенный ди^сренциалышН оператор с доделенной старшей »ромэиоднон И, -го иорндка;

,хг ос<Ч / и, а, яЬ,..., а^ •' >) '

Зададим два дифференциальных оператора лорндкон V » I . ¡^ ^ Р ; к , удовлетворят»»» условиям теорем 1 или 3:

В этой случае стабилизируют-'« управление дли оператора с ГС; находим и виде

Пусть поллежащий стабилизации оператор ,/^ОС имеет К -Й порядок относительно производной и (и запаздываний:

а 0 сс -- ^ль, а-,..*',..., пи. - ^.. сНЫ^

Тогда можно задать дна дифференциальных оператора, удовлетворяй««* какой-либо из теорем 2 или 3:

У, ос. = эс(([ >+ ![I;Ьс, о?,...; ее(£'■! > се I* - ), •. •

Б

= (I ,..., а:11-1]-а И -1?),...

Дли того, чтобы сти(5илизиру1вщсн» управлении содержало то *«

.1

отклонения аргумент« tv¿ . что И стабилизируемый оператор, величины 1гц и целесообразна избирать удовлетворяющими

условии ¡ч^.^ * • а совокупность иилнчнн ^

должна раивнться совокупности Стибилизнрулаео управление

_ о«»). / > а-С)

. 00,00,

О { 3 рассматривается лннейиаи система обыкиовеиирго

типа.

йхгаЛЧ^о^Мс^ЧО . 1=

Дли атой системы ищетси лннейиоо управление Ц (г^,00)СС ...С^1') такое, что оператор замкнутой системы прелстаимм о »ид« суперпозиции устойчивых операторов мерного порядка ипди

I : А11 • Здесь (-{) -пояокмтельние

а 1 -.) " <1

ограниченные функции, которые мы мошек эв/шьать произвольно.

Уиранлемне стромтск «оследовател ы»о, видели* нч каддом шаге видений оператор первого порядке с »оиоты» уирио/юиии

и., онда , . •

- С^-'Ч'

Ф' • г ' ( Здесь а^ • J '■¡^¡-1- произвольные ограниченные фуякммм > .

Целиком иолу ченное сгаСилнзнрумиее управление будет иметь вид

Коэффициент« полученного управления и. зависят только от

; данных функций ( I) . ] - ](1с н {коэффициентов начальной

(1-1)/ ■ \ 1 —^

системы (!/. Тек как оператор замкнутой системы

представим К виде суперпозиции операторов первого Соркдка

ОС. - 10 решение »той системы ми можем иийти в явном

виде, последовательно решая уравнения первого порядка. Оно *

Так как решение нам известна в «ином ииде. То мы «южен находить стабилизирующие уяраеления. удовлетворяющие различным услопиим оптимальности. (Подробно рассматривается нахождение укрлвлеинн, оятмиалбноги но быстродействии).

В § 4 рассматривается вопрос о стабилизация ликеКного уравнения, порядка VI, с цостоникым« ¿ииаздыаанкннк.

ос = сс.\с£} (I

' ^^ ^ 0

Приводятся два способа построении стабилизируемого уираылепии. 0 Верном случае оператор замкнутой снстеми иредставны в виде суперпозиции (Ц - Д ^ ~го операторе

обчкиоввивого типа н одного оииратора с 1м. эавахдыааяшгая первого порядка t

¿'w^H.j... oq

Л«.^*»)«,.^. ... .

Я t Ji(l.. 'I

D этой случае, так ей как1* и "для еиатежа эаваэдинпяия, км каходни нужное нем упрааленмз восявд*зодт<зяьво видел г* иешм операторы иорваго порядка с «амозь» усг^влаянл U.» веда

пронэаольнше огрввачввткэ Щупают.I Делано* стабиляэирушоее уярявленке будет ми» Мя

и

Здесь о<!ять pcaazко эвшнмутой смгек» мяю юс?рм» в essest виде последовательно репон уравнения первого порядно;

Во втором случав оператор эвкянутаЗ скстоиа продстагк» а вида сувердозиани »певчего яее таяяоястржого и еиутренввго стационарного. авяаэдыааоднх оиераторо», • у/зовлвтворик^яя условиям устойчивости. ЗмутреяякЙ оператор »иСиравтс» стационарным для того. чгоСа оператор сувсраоэивйа ев вея, -отклонения аргумента в коэ^нинентвв.

& § 5 рассматриазотся Вопрос о стабилизации лиаеЯлоЗ стационарной саст«ям эаваздиааиигего типа и лиявЗтоЯ стационарной систяаы обыкновенного типа управлением.

содержащим занаэдммание. Дли лииыикой системы

дифференциальных ураытннй иоридка заааздыаашце^и тииа

строНтсИ стабилизмруицее уиравлеамо такого ыиди. что оператор Системы, замкнутой этим управлением. представим в виде сукериозицнк ¡.^ устончиних операторов первого норм а* и с одним запаздыванием.

Дли линейном стационарной системы cGukuuuuhuux дифференциальны* урааноыиН порядка Ц. строится

стабиЛиэирушмое управление, зависите« от фазовой коордиаатм только м моменты времени. удалении«! от . иасгонщию на кекотору» величину. О »том - случаи также ицеритор системы. аамкнутоН этим улриадеикем. ир«дставцм и ннде суи^риизици* ¡v устоМчиник оператора« иироогО горянка с одним зиииздкилниеи.

Получен нсиомогетельамН результат об ycioUtiuiuctn уриииеникХейсас комплексным» коэффициентами. диказательсгио которого проводилось с оомоии»» теоромы. Подтрягима.

Так как для линейных стаднойарных систем цсиыиготическии устойчивость операторов разложения является не только достаточным, но и необходимым условием аснмититическом устойчивости оператора оуш-зяоаиции. г- здесь мм цолучаии ми только достаточные. но н необходимые услоиин стабилизируеиостн ири построении уираелеяиц данные« методом. Длц стационаром* смстеа асе |шкл<1»ки существенно уироцамтсн, гак «а* здесь м* можем иерей ти от рассмотрении диффереацаядькмх оцшратороя к их характеристическим волнеома». поэтому дли линейных стационарных систем »liSHCiíoauTC* » мавом »нде ко»ффицке«м управлении пак дли

■ и

случаи, когда система записана п виде уравнения порядка ,

тнк н дли случая липнем н митричиой форме.

Г! 5 О рассматриваете» вопрос о стабилизации лииеНмоН стационарной системы центрального типа. Стабилизирующее управление инитси дну*и сносов.!««. II порвом случае строитсн тикое управление. что оператор ламкмутой системы иредстании « киле суперпозиции асимптотически устойчивого обыкновенного диффероииинльмого оператора и разностного оператора с ¡4.. соизмеримым» огхлопепними аргумемта.

Получен вспомогательным результат об устокчиности разностного оператора. Во втором случае стабилизирующее управление строится так»м образом. что оператор замкнутой системы представим в ииде суперпозиций устойчивых операторов

нейтрального типа перлого порядка. Доказан критерий устойчивости мростеншега нейтрального оиератора первого порядка.

П } 7 исследуетси.»опрос об устойчивости к построении стаинлпэкрудааего улраиленмн длн линейного с таияояаркого уравнения с соизмеримыми заналпиипинямн. При исследовании устойчивости используется способ. близкий к методу с{ -разбиении: рыссматрешается движение Корией

характеристического квазиполинома на комплексной плоскости

- Г ■

врй изменеянм пирометра (и (обиеГо делители соизмеримых« запаэдыоаинй) н находятся промежутки: на которых все корни будут »меть отрицательные веоествеииие части. Построев алгоритм исследования устойчивости , и нахождении

стоСилизнруммега управления. вриголиия дли числонкой

реализации.

Go второй глине рассма> рмиаетси задача построении дискретного стабилизирующего уиравдеимн лли дциейной управляемой системы имда

где

PU), QU)- неирерывхми ограниченные матрацы. Везде далее предполагается. что Р . tí - уираилнеман пара.

Сгабилизнрупшее управление ищетен и классе допустимых дискретных управлений вида

и.Ш= CíüojUÜ.-'t) '

. i <? .Ц<Ц , ic = L£.J

Здесь непрерывная ограниченная матрица.

BS 8 рассматривается. случай, когда дли исследуемой системы существует управление ш.да ■ LC íi.} - С (, 'i ) 0CC4._rt)-Док а зммао тс н, что яри введении и это управление достаточно Малой дискретизации » управление остается стабилизирующим. Однако • »томслучае величину допустимого «ara дискретизации чнйв веего слижвооиеннть.

В t Q рассматриваете» возможность абсолмтной по »аинадмнаким и магу дмскре-.мэаиии стабилизации линейной стыциояярнов систем* ааявздцво»Аэго типа вида

éli 3 = J Od (Л )+ & ОС (4 -ï) + L а

MftTpHK« • увр^влемкМ С turne полагается не закисяоей от времени. Получеям Доетаточяие услови« того, что дискретное упревдеаме будет дмя рассматриваемой системм стя^идязирумде*

V /- -

независимо от величин и Ч, . Исследовании устойчивости

замкнуто«! системы приводилось с яомомьи функционала Ляпунова

л т i :

-z/V гст Ц ос + i q (l J s

kL-Z

и функции Производили от которой рассматривалась

на решениях, удоилетворйяжмх услоин» Риэумихинн. Условия стабилизируемостх получены в • терминах положительной определенности некоторых матриц, зависяиик от Матрмц коэффициентов

Л . ü • . L С . -

D { 10 рисемзтрниается линейна* стационар»«» систока

ви ее

аг - ¿¡з2 + L и- '

для которой «юте« дяскретпое стосилмэмрумцее управление с заиаэдмвамием. хратимм шагу дискретизации:

u= С ос и K'í)l) . ' te (tck,( ¡c + í)t] ; ic= [У . .

Предполагается. что матрица %J¡ иегурвацева й неямрождеяа. Доказано, что дли того, чтобм рассматриваемое («рмлеам выло стаСилиэирумщнм, достаточно, чтоСзы матрица С. удовлетворяла условим ■

Доказательства отого 4"'«та «доводилось с номов чиг «островами • явном вяло реоекмч замкнутей системы и исследования его >o№A«ihi с ростом »рейсам.

Публикации.

t A.D. Кирьиыеи . К.В. Г'лумоыа. (Соло&ааии рошоннИ дифференциальных уравнений с несколькими илшодииаиини». Дои. в ВЯЦЙТИ 25 февр. 1967 г., Я 1322-B8?.

2. К.П." Галуиоиа. A.M. Кирьннен. .0 дискротиил и рилиПиой стабидизнру^мости систем с ооследейстаиом. Д«'ч. в ВИНИТИ 4

шел« юза г.. к 4433-иаэ.

3. К,В. Галунова. А.И. Кирьнмен. DC устойчивости уравнении 0L'~ ~ ú/^QÍ-t) ipíX&'áv комплексными коэффициентами// Диф. урчви. с части, произв. Д., 1880. с. 65-72.

4. К.В. Годунова. К вопросу о стабилизируемыетн систем с последействием// Вести. ЛГУ. Сер. 1. 1090. а. 3 C.13-ÍG.

6. К.В, Галуаоца. Дискретное стабилизирующие управлении а л и ней них стационарных системах. Дед. в ШШИТИ 1С uouG. 1ÜU0 г., » D803-BUO.

ß. K U. Гадунова. 06 одном методе - исслодоиаиин усТойчнвости//Иат. аиалиэ. Л., 1Ö30. с. 59-С8.

7. К.В. Галучоиа. Об одном мегод» исследовании устойчивости// Тез. докладов школы-семинара "Моделировании н исследование устойчмиостн физических epa;í«cco» ". Km1 . 19DÛ. с. 14.

8. К.О.Галуяона. Построение ^тиби-^аарунедогц управлении и системах дифференциальных уравнений обыкновенного и заиаздывлиццеготнва// Тез. докладов 10 1)сесомзиой школы до т корки операторов • функциональных пространствах. И .Новгород. 1091. с. 45.

е.' 9.Г. Галкина. К.В. Галунов*. Построении . «усочао-мьхреринииго арогркникого управления для линейной