Конструктивное исследование асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ОБОЗНАЧЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

1. МАТРИЦА КОШИ: ПОСТРОЕНИЕ С ГАРАНТИРОВАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ.

§1.1 Постановка задачи.

§1.2 Необходимые сведения из теории функционально-дифференциальных уравнений.

§1.3 Необходимые сведения о вычислимых объектах.

§1.4 Приближенное построение резольвенты интегрального уравнения в пространстве L™ с гарантированной оценкой погрешности.

1.4.1 Построение резольвентного ядра R(t,s) для ядра K(t,s).

1.4.2 Оценка погрешности.

§1.5 Матрица Коши: построение и оценка погрешности.

§1.6 Другой метод построения матрицы Коши.

§1.7 Иллюстрирующие примеры.

2. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

И ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ.

§2.1 Постановка задачи.

§2.2 Периодичность матрицы Коши.

§2.3 Построение и исследование вспомогательной задачи на отрезке [0,Т].

§2.4 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения и оценка скорости стабилизируемости.

§2.5 О периодических решениях системы с запаздыванием.

2.5.1 О существовании периодических решений системы с запаздыванием на полуоси.

2.5.2 Интегральное представление решений системы с запаздыванием на полуоси. Матрица Грина.

2.5.3 Интегральное представление решений системы с запаздыванием на оси.

Матрица Грина.

2.5.4 Иллюстрирующие примеры.

§2.6 Конструктивное исследование задачи о стабилизируемости с помощью аппроксимации параметров.

2.6.1 Постановка задачи.

2.6.2 Построение и исследование вспомогательной задачи для аппроксимирующей системы.

2.6.3 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения аппроксимирующей системы и оценка скорости стабилизируемости. . . 80 2.6.4 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения исходной системы и оценка скорости стабилизируемости.

§2.7 Эффективная оценка нормы оператора А В : Dn[0, Г]—>D"[0, Т].

2.7.1 Условие сходимости в Dn[0,T] итераций для вспомогательного уравнения аппроксимирующей системы и оценка скорости стабилизируемости.

2.7.2 Условие сходимости в Dn[0,T] итераций для вспомогательного уравнения исходной системы и оценка скорости стабилизируемости.

2.7.3 Оценка нормы оператора АВ : Dn[0, T]^Dn[0, Т].

§2.8 Оценка спектрального радиуса для некоторых специальных случаев.

2.8.1 Вычисление к-ой степени оператора А + В.

2.8.2 Оценка спектрального радиуса для случаев, сводящихся к вычислениям над матрицами.

§2.9 Иллюстрирующие примеры.

3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ.

§3.1 Постановка задачи.

§3.2 Построение вспомогательной задачи.

§3.3 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения и оценка скорости стабилизируемости.

§3.4 Конструктивное исследование задачи о стабилизируемости решений нелинейных систем с помощью аппроксимации параметров.

3.4.1 Постановка задачи.

3.4.2 Построение и исследование вспомогательной задачи аппроксимирующей системы.

3.4.3 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения аппроксимирующей системы и оценка скорости стабилизируемости.

3.4.4 Условие сходимости итераций для вспомогательного уравнения исходной задачи и оценка скорости стабилизируемости.

§3.5 Иллюстрирующий пример.

Детальное описание и исследование различных явлений окружающего мира в разных областях современной физики, биологии, экономики, медицины, экологии и других наук зачастую требует учитывать предысторию изучаемого процесса, а в некоторых случаях и состояние процесса в будущем. Математические модели для изучения задач, возникающих при исследовании этих процессов, как правило, описываются функционально - дифференциальными уравнениями (ФДУ). Функционально-дифференциальное уравнение является математической моделью, позволяющей учитывать многие специфические свойства, характеризующие реальную прикладную задачу.

При решении конкретных задач, возникающих в приложениях, применяя компьютерные методы численного анализа, мы часто убеждаемся в том, что теоретические критерии разрешимости оказываются неэффективными (трудно проверяемыми), а имеющееся достаточные условия - слишком грубыми и дающими практический результат лишь в исключительных случаях. Сказанное приводит к мысли о попытке использования при проверке критериев возможностей современных вычислительных средств. К сожалению, при этом не удается ограничиться традиционными численными методами и алгоритмами, которые не могут гарантировать достоверность полученного результата. Недостатки традиционных численных методов и их программных реализаций приводят к постановке принципиального вопроса о возможности эффективного исследования конкретных задач с помощью методов, ориентированных на получение гарантированного результата и основанных на фундаментальных положениях общей теории и использовании возможностей современных вычислительных систем. Назовем такие методы конструктивными (методами доказательных вычислений) (computer-assisted methods). При этом необходимо отметить, что основное назначение этих методов - достоверное установление факта разрешимости задачи с помощью доказательных вычислений, и в случае разрешимости - построение приближенного решения с гарантированной оценкой погрешности. Важно отметить, что при решении задачи традиционными численными методами невозможно получать достоверные оценки точности полученного решения. При конструктивном исследовании вместе с полученным результатом удается построить гарантированные апостериорные (a posteriori) оценки качества полученного результата.

В нашей работе при конструктивном исследовании существенную роль как в установлении разрешимости исследуемой задачи, так и в построении гарантированных апостериорных оценок играет матрица Коши линейного функционально-дифференциального уравнения [1]. Наш подход, использующий матрицу Коши, позволяет, в частности, существенно улучшить точность апостериорных оценок (см. пример 1 §1.1 и примеры 1.7.1, 1.7.2).

Задача о конструктивном исследовании различных классов операторных уравнений и сопутствующая ей задача о построении приближенного решения с гарантированной точностью является актуальной и привлекает внимание многих исследователей [74, 47, 48, 53, 51, 60, 50, 39, 63, 64, 65]. Первое систематическое изложение теоретических результатов и практического опыта "компьютерного" исследования указанных моделей можно найти в монографии [51]. В ней, с той или иной степенью подробности рассмотрены классы задачи в следующих основных направлениях исследований:

1. исследование задачи Коши (Initial Value Problem) для обыкновенных дифференциальных уравнений и для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных;

2. исследование краевых задач (Boundary Value Problem) для обыкновенных дифференциальных уравнений и для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных;

3. исследование интегральных уравнений;

4. исследование операторных уравнений.

Представленные в ней результаты базируются на интервальных вычислениях в конечномерных и функциональных пространствах и специальных методах округления при выполнении вычислительных процедур реальным компьютером.

Остановимся кратко на известных нам работах в указанных направлениях.

1. Применительно к обыкновенным дифференциальным уравнениям проблема о построении решения задачи Коши с достоверной оценкой погрешности рассматривалась различными исследователями (см. [54, 56, 59,

57]), в частности, в работе [72] автор изучает следующую начальную задачу: x(t) = f(t,x), x(to) = х0eDCK n

0.1) где / - гладкая функция в [i,Q,T]xD, Т > tQ^R. В этой работе обсуждаются три основных метода, используемых для доказательства нелокальной разрешимости задачи Коши и для построения гарантированных оценок, а также трудности, возникающие при их компьютерной реализации: метод итераций (Picard-Lindelof iteration); метод дифференциальных неравенств (differential inequalities); метод разложения в ряд Тэйлора (Taylor expansion).

Заметим, что последний метод лежит в основе наиболее часто используемой программы AWA (AnfangsWertAufgabe), разработанной Р.Лохнером [58, 60, 53].

В работах [48, 47, 49] Б.С. Добронец изучает задачу где xeRn, x0eRn, параметр keRm и /¿еС«([0, l]xRnxRm), q<3. Автор развивает двухсторонний метод исследования задачи Коши используя интервальный вариант теоремы о дифференциальном неравенстве и применяет один способ построения решения с помощью сплайнов.

В [74] объектом исследования является система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В ней исследуются задачи Коши:

Для этих задач автор строит приближенное решение и оценивает погрешности приближения с помощью компьютерного метода основанного на использовании разложения решения в ряд Тэйлора.

2. В работе [48] Добронцом показано что двухсторонние методы могут эффективно быть применены к исследованию вопроса о разрешимости и построении приближенного решения с гарантированной (апостериорной) оценкой погрешности краевых задач для уравнений эллиптического и параболического типов. В частности, автор исследует задачу Дирихле: x(t) = f(t,x,k), *G(0,Z), х(0) = а?о, y(t) = Ay{t), j,(0) - а, y{t) = Ay(t) + f{t\ y(0) = a,ie[0,T].

0.2) (0.3) dxi u(x) = 0, xEdft.

Полагая что aiECl(Q), q,fEC(Q) и аг>с > 0, q>О,

В [74] изучается краевая задача для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами: y = Ay(t) + f(t), te[o,T\, Ly(0) - <р, Ру(Т) = ф; AeRnxn, LeRniXn, ReRn2Xn, ^еЛ"1, щ + П2 = п; в предположении, что задача разрешима, рассматривается вопрос о приближенном построении решения с оценкой погрешности приближения.

В работах [63, 64] рассматривается скалярная нелинейная двухточечная краевая задача:

-U"{x) + F(x, U(x), U\x)) = 0, яе[0,1], (0.4)

B0[U] = B^U] = 0.

Здесь F - заданная непрерывная на [0, l]xi?xi? функция, Bq,B\ - линейные ограниченные функционалы одного из двух видов:

В0[и] = -а0и'(О) + 7о«(0), Bi[u] = aiu (1) + 7iw(l), или

В0[и] = w(l) - u(0), Bi[u] = и (1) - u(0).

Предлагается метод, с помощью которого можно доказать разрешимость задачи (0.4) и построить приближенное решение с указанием окрестности, содержащей точное решение задачи (0.4).

3. Проблема компьютерных методов оценки погрешности приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма привлекала и привлекает внимание многих исследователей [46]. Основная задача состоит в построении решения с достоверной оценкой погрешности. В работе [50] для интегрального уравнения Фредгольма второго рода: 1 z(t)~ jK(t,s)z(s)ds = f(t), /е[0,1], о рассматриваемого в пространстве непрерывных функций, предложен один конструктивный метод оценки погрешности приближенного решения. Основная идея метода состоит в переходе от исходного уравнения к уравнению с вырожденным ядром, аппроксимирующим ядро K(t, s):

Kn{t:s) = £ £ к{и^)ф{{г)ф5{з). i=13=1

4. В работе Бабенко К.И. и Петровича В.Ю. [6] исследуется вопрос о разрешимости так называемого функционального уравнения Фейген-баума, возникающего в теоретической физике (см., например, [61]). Доказательство разрешимости этого уравнения получено авторами на основе "компьютерной" проверки условий теоремы Л.В. Канторовича о неподвижной точке.

Большинство упомянутых работ, основаны на применении методов интервального анализа [73, 55]. При использовании интервального анализа как инструмента для получения гарантированных результатов характерны трудности, связанные с плохо контролируемым и , как правило, катастрофически быстрым расширением интервалов, что является существенным препятствием для решения практических задач. Этот недостаток носит принципиальный характер [72].

В нашей работе при построении и реализации конструктивных методов исследования интервальные вычисления не используются. Мы используем другой подход основанный на операциях в классах так называемых вычислимых объектов, введенных в работах [1, 39, 40]. Необходимые сведения о вычислимых объектах (функциях и операторах) изложены в главе I. При этом мы продолжаем исследования Максимова В.П. и Румянцева А.Н., разработавших конструктивные методы исследования применительно к исследованию разрешимости линейных краевых задач [39, 40, 29, 42]; к локализации собственных значений краевых задач [42]; к исследованию устойчивости периодических систем с запаздыванием [42, 40]; к исследованию управляемости и наблюдаемости линейных систем управления [42]; к исследованию разрешимости нелинейных краевых задач [28, 42, 41].

Продолжая упомянутые исследования мы применим конструктивные методы к изучению одного класса функционально - дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами.

Значительный вклад в развитие теории уравнений с запаздыванием был сделан за последние 45 лет. Первая книга, посвященная указанной проблематике, была опубликована Мышкисом в 1951 г. Второе издание этой книги, вышедшее в 1972 г. [36], содержит большое число литературных ссылок, а также интересных исследований, посвященных теории линейных уравнений с запаздыванием. Развитию общей теории уравнений с запаздыванием, а также отдельных ее направлений (устойчивость, колебания), частично или полностью посвятили свои монографии Белл-ман и Кук [11], Хейл [18], Эльсгольц и Норкин [27], Колмановский и

Носов [14], Азбелев, Максимов и Рахматуллина [1], и другие.

Нас интересуют результаты, для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений с запаздывающимся аргументом и периодическими параметрами, касающиеся свойства асимптотической периодичности решений. В связи с этим необходимо также упомянуть некоторые работы, посвященные уравнениям с запаздыванием и периодическими параметрами, например, [20, 22, 43, 44, 13, 12, 16, 15, 17, 4], а также добавление Зверкина A.M. "Дифференциально-разностные уравнения с периодическими коэффициентами" в [11].

В нашей работе рассматриваются:

1. система линейных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием и периодическими параметрами г ¿(f) - P(t)x[h(t)] = /(f), te[о,оо),

U(0 = v(0, если £ < 0, ж(0) = а (0.6) в предположениях: столбцы пхп-матрицы Р : [0, оо)—>Rnxn и функция / : [0, оо)—>Rn - периодические с периодом Т > 0 и суммируемы на периоде; запаздывание h : [0,оо)—>R имеет вид h(t) = t — A(t), 0<A(t)<T, где функция А : [0, оо)—*-[0, Т] измерима и периодична с периодом Т; начальная функция ip : [—Т, 0]—>Rn , такова, что функция (fh : [0, оо)—>Rn, определенная равенством f 0, если h(t)>0, l^[/i(f)], если h(t) < 0, измерима и ограничена в существенном на [0, оо);

2. система нелинейных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием и периодическими параметрами

Г i(t) - P(t)x[h(t)] = f(t) + F(x[q(t)]), fG[0, оо),

U(0 = ¥>(0, если £ < 0, ^ я(0) = а (0.8) в предположениях: столбцы пхп-матрицы Р : [0, оо)—s-ñnxn и функция f : [0, оо)—>Rn - периодические с периодом Т > 0 и суммируемы на периоде; запаздывания h : [0,оо)—>R и q : [0, оо)—>R соответственно имеют вид h(t) = t. — A(f), 0<А(t)<T, q(t) = t — 5(t), 0<S(t)<T, где функции А : [0, оо)—>[0,Т]; S : [0, оо)—»[0, Т] измеримы и периодичны с периодом Т; функция Г : В!1-*В!1 дифференцируема и вир \Г'гх\<\ У^бД" (| • | - норма в Яп); начальная функция, х\<1 р : [—Т, такова, что функции (рн, (рч : [0, оо)—; измеримы и ограничены в существенном на [0, оо).

В центре нашего исследования - вопрос о существовании такой Т-перио-дической функции у : [0, оо)—>Rn, что всякое решение x{t) задачи Коши (0.5), (0.6) (или (0.7), (0.8)) асимптотически стремится ("стабилизируется") к y{t).

Дадим точное определение, используя при этом удобный для дальнейшего рабочий термин "стабилизируемость".

Определение 0.1 Будем говорить что решение x(t,a) задачи (0.5), (0.6) ((0.7), (0.8)) стабилизируется к периодической функции у : [0, оо)—>Rn, периода Т, если lim max \x(t, а) — y(t)\ дп = 0.

Будем говорить также, что в условиях определения 0.1 решение x(t,a) обладает свойством стабилизируемости.

Детальная разработка конструктивных методов исследования задачи о стабилизируемости решений систем (0.5) и (0.6), включающая получение конструктивных теорем об условиях стабилизируемости, а также построение эффективных оценок скорости стабилизируемости, основанных на приближенном построении матрицы Коши линейной системы с гарантированной точностью, является основной целью настоящей диссертационной работы.

Упомянутые теоремы и конструкции составляют теоретическое обоснование доказательного вычислительного эксперимента, реализация которого даст возможность эффективно исследовать конкретные системы с периодическими параметрами.

Отметим, что основная идея конструктивного исследования, которое мы проводим, остается классической и традиционной: по исходному объекту строится вспомогательный объект с достоверно вычислимыми параметрами, допускающий эффективное компьютерное исследование разрешимости. Если такая вспомогательная задача разрешима, окончательный результат зависит от "близости" исходной и вспомогательной задач. В так называемых реализуемых теоремах формулируются эффективно проверяемые с помощью компьютера условия, гарантирующие разрешимость исходной задачи. В случае, если условия не выполняются, приходится строить новую, более близкую к исходной, задачу и повторять проверку условий.

Остановимся кратко на известных нам работах, об асимптотическом поведении решений системы с запаздыванием.

Напомним сначала о некоторых фундаментальных работах, посвященных уравнениям с запаздыванием и периодическими параметрами, определенным на (—оо,оо).

В работе А.Д.Мышкиса [36] рассматривается уравнение вида а x(t) = J[dR(t, r)]x(t - т) + F(t), teR\ (0.9) о

R(t + u,T)=R(t,T)-, F(t + w)=F(t), a; > 0. Хейл в [18] исследует свойства однородного линейного уравнения о x(t) = L(xt) = J[dri(e)]x{t + в), L(t + av) = L(t, •), (0.10) r при которых неоднородное уравнение x(t) = L(xt) + /(*), f(t + со) = /(*), и > 0 (0.11) имеет по крайне мере одно решение.

Для линейных уравнений вида (0.9) ((0.11)) развита теория Флоке. Доказана справедливость представления решений однородных уравнений, соответствующих (0.9) ((0.11)), в виде линейной комбинации решений Флоке и присоединенных к ним решений оо

0.12) i= 1 где Yi(t + со) = Y{(t), pi ~ показатели решений Флоке, &г- - постоянны. Установлена альтернатива Фредгольма для уравнения (0.9) ((0.10)), сопряженного к нему уравнения и соответствующих им однородных уравнений. Далее, анализ устойчивости основан на представлении решения однородного уравнения в виде (0.12).

В работе Ю.В.Комленко и Е.Л.Тонкова [22] получены эффективные достаточные условия, при которых заданное число А не является мультипликатором уравнения п m x=x^(t) -ЕЕ a^x^it - Tj(t)) = 0, To(f)=0, te(-оо, +оо), к=1j=0 с комплекснозначными Т-периодическими a,kj(t) и вещественными Т-периодическими Tj(t), t^R1.

Показано, что если коэффициенты локально суммируемы, а отклонения измеримы и ограничены, то справедлива альтернатива Фредгольма: либо уравнение Сх = f имеет единственное решение ж6Фа (Фа - множество функций, удовлетворяющих условию x(t + Т) = \x(t), t^R1, и имеющих локально суммируемую п-ю производную) при любой локально суммируемой /GФа, либо Л - мультипликатор уравнения Сх — 0.

В статье [23] исследования посвящены дифференциальным уравнениям с периодическими параметрами и периодическим последействием. В ней основным является вопрос о представлении Ляпунова-Флоке для линейных конечномерных многообразий, инвариантных относительно сдвига на период.

Драхлиным М.Е. в [16] установлено, что для существования и-периодического решения уравнения x(t) = /(/, x(t), x(t - r(f)), x(t - i/(f))), te{-oo, oo), fit + CJ, -,-,•) = f(t, -, -, •), T(t + co) = r(t), v(t + u) = v(t), te(-OO, oo), необходимо и достаточно, чтобы существовало решение задачи

Vit) = f{t,y(t),y(h(t)),y(g(t))), ÎG[0,o;], у(0) = УИ, h(t) = z{t-r(t)), g(t) = z(t-v(t)), ie[0,w], г - о;-периодическое продолжение функции u(t) = t, ¿G[0,o;] на ось (—оо,оо).

В работе [27] рассматривается система линейных уравнений x(t) = A(t)x(t) + B(t)x(t - г) + f(t) (0.13) и соответствующая однородная система x(t) = A(t)x(t) + B(t)x(t - г), (0.14) где А и В - непрерывные и периодические периода со матрицы, т > 0. Показана справедливость альтернативы Фредгольма. В [18] для нелинейных возмущений уравнения (0.10) x(t) = L(xt) + f(t,xt) (0.15), где fit -fa;, •) = f(t, •), / непрерывна и ограничена вместе со своей производной Фреше установлены условия, при которых существует единственное о;-периодическое решение.

В [14] рассмотрены квазилинейное уравнение с последействием m 00

Е Bk(t)x(t -hk)+ / [dsp(t, + s) = f(t) + aiT(t, z(-), /1); я, feRn, k = 0 oo

0.16) и порождаемое им однородное уравнение, а также сопряженное уравнение к однородному. В предположении, что справедлива альтернатива Фред-гольма, получены условия существования периодического решения. Обратимся теперь к задачам на полуоси [0, сю). В работе [15] рассматривается уравнение x(t) + B(t)x(t - v{t)) + A(t)x(t - r(t)) = f(t), te[0, 00), (0.17) где / : [0, сю)—>Rn, v,t : [0, сю)—»-[0,00) элементы (пхп) - матриц А, В являются си -периодическими.

Определены условия, при которых существует а;-периодическая функция у : [0, сю)—>Rn такая, что каждое решение х уравнения (0.17) удовлетворяет условию lim \x(t) - y(t)\Rn = 0.

Заметим, что в этой работе полученные условия неэффективны (трудно проверяемы) и вопрос об эффективных оценках скорости стремления решений уравнения (0.44) к а;-периодической функции y(t) не рассматривался вообще.

В [17] объектом исследования является уравнение x(t) + A(t)x(t - r(t)) = f(t), te[0, 00), (0.18)

0 = <e < 0, где /, г и элементы (пхп)-матрицы А являются и-периодическими функциями, определенными и ограниченными в существенном на [0, оо) ; функция (р : (—oo,0)—ограничена в существенном на (—оо,0). В предположениях, что задача Си = q, и(0) = 0 (С - линейная операция, определяемая левой частью уравнения (0.18), когда ip(Ç) = 0, ЗД0, оо)) имеет решение иеТ>^ при каждой qeдоказано, что существует о;-периодическая функция у : [0,сю)—такая, что каждое решение х уравнения (0.18) удовлетворяет условию lim |x(t) - y(t)\Rn = 0. 13

В этой работе также не рассматривался вопрос об оценках скорости асимптотического стремления решений уравнения (0.18) к из-периодической функции у it).

В пункте 3 работы [4] приведены условия, при которых решение х уравнения Сх = / с линейным волътерровым оператором и асимптотически Т-периодической / является асимптотически Т-периодической функцией. Теорема 7 дополняет результаты работ [15, 17].

Отметим особо работы А.И. Башкирова [7, 8, 9, 10]. Автор рассматривал периодическое функционально-дифференциальное уравнение к t

Cx)(t) = x(t)-Y,Bi{t)x[gi{t)]- j K(t,s)x(s)ds-A(t)x(0) = f(t),te[0,oo), i=1 о x(() = 0, если £ < 0, в следующих предположениях о периодичности параметров

Bi(t + T) = Bi(t), gi(t + T)=gi(t)+T, i = 1,.,«,

A(t + T) = A(t), K(t + T, 5 + T) = K(t, s).

На основании изучения свойств матрицы Коши, А.И. Башкиров строит теорию устойчивости рассматриваемого функционально-дифференциального уравнения с последействием и периодическими параметрами. В частности, в [10] доказана периодичность матрицы Коши при дополнительных предположениях относительно запаздывания (см. [10, с.33,53,54]), установлена связь между вопросом о существовании экспоненциальной оценки фундаментальной матрицы и матрицы Коши и вопросом об оценке спектрального радиуса матрицы монодромии; вопрос об оценке спектрального радиуса матрицы монодромии сводится к вопросу об однозначной разрешимости некоторых краевых задач и о знакопостоянстве функций Грина этих задач.

В нашей работе периодичность матрицы Коши устанавливается без дополнительных предположений относительно запаздывания. Заметим, также, что в ситуации, рассмотренной А.И. Башкировым, запаздывание h удовлетворяет включению /г([0, Т])с[0,Т] и в этом случае не возникает необходимость задавать начальную функцию (предысторию). В нашей работе в отличие от работы А.И. Башкирова допускается случай /г([0,Т])^[0,Т] и при этом возникает необходимость задавать начальную функцию. Заметим в связи с этим, что для некоторых прикладных задач характерно наличие предыстории и от начальной функции существенно зависит время попадания соответствующей траектории в заданную окрестность периодической функции.

Первая глава диссертации посвящена изучению и описанию способа построения апостериорных гарантированных оценок для приближенных решений задачи Коши (0.19), (0.20) т - ЕДМх[Ы(г)] = г;(*), ге[о,т], (0Л9)

МО = <р(0> если С < ж(0) = а (0.20) в предположениях: столбцы п х п-матриц Р( : [0,Т]^Кпхп и функция

V : [0,Т]—суммируемы ; запаздывания /гг- : [0,Т]—- измеримы; (р к такова, что функция = г>(£) + £ , принадлежит пространству Ь» где - I Т]' ству Ь , где - | ^^ ^ ^ < ^

Основная часть исследования заключается в построении приближенной матрицы Коши с гарантированной точностью.

В §1.2 приведены необходимые сведения из теории ФДУ. В нашей работе задачи, аппроксимирующие исходные, строятся в классе вычислимых объектов. В §1.3 приведены сведения о вычислимых функциях и операторах. В §1.4 предложен один способ нахождения с гарантированной точностью приближенного решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода, рассматриваемого в пространстве суммируемых функций:

С}г=г -Кг = д, (0.21) с линейным оператором К : Ьп—>ЬП, определенным равенством

Kz)(t) = jK(t,s)z(s)ds, ге[о,т], s) = £ Xhi(t, s)Pi(t), g(t) = V + + Xhifa 0)Pi{t)x(0)), i=1 i=1 g£Ln и Xhi(t,s) - характеристическая функция множества i,s)€[0,i]x[0,i] : 0<s<hi(t) < t}.

С помощью аппроксимации ядра уравнение (0.21) заменяется уравнением вида t

Qz)(t)=z(t) - J K(t, s)z(s)ds = f(t), *e[0,T], (0.22) с ядром K(t, s),

N i

K(t, s) = J2 X[U,ti+1}(t) £ KijX[t}-i= 1 j=l где 0 = tQ < ti < . < tN < tN+1 = T, xmW = |q б]' ^ " постоянная nxn-матрица. В п.1.4.1 построено в явном виде резольвентное ядро R(t,s) для вырожденного ядра K(t,s). Пункт 1.4.2 посвящен оценке погрешности приближенного построения резольвенты. Оператор R : Ln—>Ln, определим равенством t

Rf)(t) = J R(t,s)f(s)ds. о

Обозначим через А К : Ln—интегральный оператор t

AKz)(t) = J AK(t,s)z(s)ds, о где AK(t: s) = K(t, s) - if (i, s). В предположении, что

6d=\\AK(I - K)-l\\Ln^Ln = || A#(J + ¿)||L»>b» < 1 (0.23) мы имеем, в силу теоремы об обратном операторе следующее неравенство

R - RL^l^y^W1 + (о-24)

В §1.5 описан алгоритм приближенного построения матрицы Коши системы (0.19) с гарантированной точностью, основные этапы которого заключаются в следующем:

1. Построение кусочно постоянной аппроксиманты K(t,s) ядра K(t, s).

2. Построение резольвентного ядра R(t,s) для ядра K(t,s). def

3. Проверка справедливости неравенства S= \\AK(I + < t ~

4. Нахождение C(t, s), (C(t, s) = E + /R(t, s)dr).

5. Оценка погрешности приближения. Приведем здесь эту оценку для случая п = 1 (общему случаю посвящена теорема 1.5.2).

Теорема 1.5.1. Пусть выполнено неравенство

8dÜ\\AK(I + R) ||L1L1<1. Тогда справедлива оценка с(*, 6-) - с{г,III + 0<«<^<т.

В §1.6 изложен другой метод построения матрицы Коши. Рассматривается система

- = Л'(0, (0.25)

З=\к=1 о, если £ < 0, ж,-(0) = 0, г,э = 1, .,п, (0.26) в следующих предположениях: т р-т = Е ЧСМ*), где многочлены с рациональными коэффициентами, т [0,Т]—Нкф) = £ ^хД*), ф рациональные константы, (£)<£, ¿е[0,Т] и хДО ~~ характеристическая функция интервала [¿¡/-1, г/ = 1,., га — 1.

Разобьем интервал [0,Т] на т равных частей точками 0 < ¿1 < . < < Обозначим через В„ = 1^ = 1, .,т — 1, ¿о = 0 каждое полученное таким образом множество и через х^(') соответствующие характеристические функции множеств Ви.

Матрица Коши системы (0.25) имеет вид т г/=1 где СД^, я) — 5)}"-=1, г/ = 1,.,т - сужение матрицы Коши для

5): з < *}.

В §1.7 приведены иллюстрирующие примеры.

В главе II исследована разрешимость задачи о стабилизируемости траекторий системы линейных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием и периодическими параметрами. В §2.1 рассмотрена задача Коши со - .£ = /со, /е[0, оо), 7)

0 = если £ < ж(0) = а (0.28) в предположениях (А): столбцы п х n-матриц Д : [0, oo)-^Rnxn и функция / : [0, оо)—*Rn - периодические с периодом Т > 0 и суммируемы на периоде; запаздывание hi : [0,оо)—>R имеет вид hi(t) = t — A¿(f), 0<Дг-(£)<Т, где функции Аг- : [0, оо)—»-[О, Т] измеримы и периодичны с периодом Т; начальная функция р> : [—Т, 0]—>Rn , такова, что функции (phi : [0, oo)-+Rnизмеримы и ограничены в существенном на [0, оо). Систему (0.27) запишем в виде

Cx)(t)=x(t) - t Pi(t)xhi(t) = f(t) + t fe[0, oo). (0.29) i=l i=l

Решение x(t,a) задачи (0.27),(0.28) ((0.29),(0.28)) представимо в виде t к t x(t) = C(t, 0)a> + J C(t, s) £ Pi{s)iphi (s)ds + j C(t, s)f(s)ds, (0.30)

0 i=1 0 где C(t,s) - матрица Коши операции С.

Определение 2.1.1. Будем говорить что решение x(t,a) задачи (0.27), (0.28) стабилизируется к периодической функции у : [0, оо)-^Rn, периода Т, если lim max \x(t, а) — y(t)\pn = 0. v^°°te[(v-i)T,vT]1 v ' yw|/t

В §2.2 установлена периодичность матрицы Коши

Утверждение 2.2.1. Матрица Коши операции С обладает свойством периодичности:

C(t + Г, s + Т) = C(t, s), 0<5<* < оо.

Для нахождения условий стабилизируемости нами рассмотрена некоторая вспомогательная задача в построении которой существенно использованы свойство периодичности матрицы Коши, формула Коши и периодичность параметров. В §2.3 получено вспомогательное нагруженное интегральное уравнение с отклоняющимся аргументом г = (А + В)г + д, (0.31) где линейные операторы А, В : С[0, Т] С[0,Т] определяются равенствами

АгЩ = С(*, 0)г(Г), (£*)(*) - / С(*, а) ± Г^тг)(з)дз, о г'=1 грМ-т {0, если /гг(5) +Т £ [0,Т], I + Т], если Ы(з) + Т е [О,Г], ' г д(г) = /с(*, *)/(«)<*«, ¿е[0,Т]. о

В условиях сходимости последовательных приближений для уравнения (0.31) оно обладает свойством: его решение удовлетворяет периодическому краевому условию ¿(0) =

В §2.4 найдены достаточные условия, при которых система (0.27) имеет единственное Т-периодическое решение у(1), которое может быть построено как Т-периодическое продолжение на полуось решения вспомогательного уравнения, а всякое решение задачи Коши стабилизируется к у^). Построена оценка скорости стабилизируемости.

Обозначим через р = р(А + В) спектральный радиус оператора

А + В) : С[0,Т]->С[0,Т].

При выполнении условия р< 1, (0.32) уравнение (0.31) имеет единственное решение ^*ЕС[0,Т] и итерационный процесс для уравнения (0.31) сходится в смысле нормы пространства

С[0,Т] к г*:\\х„ — £*||с[от]-1гДе ^ = 1,2,----приближения

Теорема 2.4.1. Пусть выполнено условие (0.32). Тогда для каждого е > 0 такого, что 6а= р-\-е < 1, найдется такое натуральное к{у=к^{5), что имеет место оценка хи-1 М где 5||с[о,г]-.С[о,т] + - + \\(А + гнезд

Теорема 2.4.2 Пусть спектральный радиус р оператора А-\-В меньше единицы. Тогда Т-периодическое продолжение у{{) решения £*(£) уравнения (0.31) на полуось является единственным Т-периодическим решением системы (0.27), где (р^) = + Т), *е[-Т,0].

Теорема 2.4.3. Пусть спектральный радиус р оператора А + В меньше единицы и у : [0, оо)-^Яп - Т-периодическое продолжение решения 2*ЕС[0,Т] уравнения (0.31) .

Тогда для любого такого е > 0; что 5 = р(А + В) + £ < 1, найдется натуральное ко = ко(5), при котором имеет место оценка б^1 М где тЧ!бЪ-\ мИб^ + + Б||С[0)ГЬС[01Т1 + . + ||(Л + Б)*-1!!С[о,тьс[о,гр

- решение задачи (0.27), (0.28). В §2.5 рассматривается вопрос о периодических решениях систем определенных на полуоси и оси. В п.2.5.1 устанавливается связь между разрешимостью уравнения (0.31) и существованием периодических решений системы (0.27).

Теорема 2.5.1 Пусть %{£) - решение уравнения (0.31). Тогда функция у{{) являющаяся Т-периодическим продолжением г(¿) на полуось [0, оо) есть решение системы (0.27), если (р(1) = ¿(¿-\-Т), Т, 0].

В п.2.5.2 рассматривается вопрос о представлении периодических решений системы определенной на полуоси в интегральной форме. Обозначим через О : ^"хЬ" оператор имеющий вид

Б =

С(Т, 0) Ф ЕДЙСУМ) К г=1 / т т 1 о

ФУЩ = / (КуЩ = / 8)у{8)й8, Ф,

Теорема 2.5.2 Пусть оператор (I — В) : ЯпхЬ"—>ЛпхЬ" имеет ограниченный обратный. Тогда:

1. уравнение (0.31) имеет единственное решение при любой д;

2. решение уравнения (0.31) представимо в виде т

В п.2.5.3, рассматривается вопрос о представлении периодических решений системы определенной на оси в интегральной форме. к

- Е ДКИМ*)] - /№, *е(-оо, оо), г=1 в предположениях: столбцы п х п-матриц Д- : (—оо, оо)—и функция / : (—оо, оо)—>ДП - периодические с периодом Т > 0 и суммируемы на периоде; запаздывания /гг- : (—оо,оо)—>1{ имеют вид /гг-(£) = £ — Дг(0? 0<Дг-(£)<Т, где функции Дг- : (—оо, оо)—>[0, Т] измеримы и периодичны с периодом Т.

Задача о периодических решениях для рассматриваемого уравнения сводится к краевой задаче к x(t) - EPi(t)xk(t) = /(f), ¿e[0,T], (азз)

U(T) = x(0),

SSIS' Задача (0.33) свет дена к уравнению z(t) — f K(t, s)z(s)ds = f(t) в пространстве Ln.

Теорема 2.5.3 Краевая задача (0.33) однозначна разрешима тогда и только тогда, когда оператор (7 — : Ln—»-L" имеет ограниченный обратный. Матрица Грина этой задачи имеет представление т

G(t, s) = s) + j W{t, т)Д(т, s)dr, о где

Wd \ f J1 ~ т(Х + i)> eMuO<s<t<T,

W{t, s) - b- j + ^ если < ^ , s) - резольвентное ядро для ядра K(t, s). В п.2.5.4 приведены иллюстрирующие примеры.

Параграф §2.6 посвящен конструктивному исследованию задачи о ста-билизируемости. Мы исходим из того, что достаточное условие, гарантирующее стабилизируемость траекторий системы (0.27), полученно в §2.4, является грубым и может быть установлено по результатам исследования достаточно близкого объекта, допускающего эффективное исследование с использованием специальных компьютерных программ. На основе исследования вспомогательной задачи с вычислимыми параметрами, аппроксимирующими параметры исходной задачи, получены конструктивные теоремы об условиях стабилизируемости, а также построены эффективные оценки скорости стабилизируемости. В п.2.6.1 описана исходная задача т - I = фф, * е[о, оо), (0 34) если О, х(0) = а (0.35) в предположениях (А), (см. стр.18) и построен вспомогательный объект аппроксимирующий (0.34), (0.35).

Пусть в результате аппроксимации параметров получена система (0.27), для которой вопрос о стабилизируемости решений задачи Коши (0.27), (0.28) к периодической функции подробно изучен в §2.3 и §2.4.

Наша цель - установление условий, при которых свойство стабилизируемости траектории аппроксимирующей системы (0.27) к периодической функции распространяется на траектории системы (0.34). В п.2.6.2 и п.2.6.3 проведены исследования, аналогично исследованиям §2.3 и §2.4 с заменой условия (0.32) неравенством |[(А + В)к°\\<д < 1, к^ЕМ. В п.2.6.4 получены достаточные конструктивные условия (эффективно проверяемые с помощью компьютера), при которых вспомогательное уравнение исходной задачи обладает теми же свойствами, что и вспомогательное уравнение аппроксимирующей задачи и в случае разрешимости задачи о стабилизируемости вспомогательной системы, найдены эффективные условия, гарантирующие разрешимость задачи о стабилизируемости решений исходной системы.

Вспомогательное уравнение для исходной задачи имеет вид г = (А + В)г + д, (0.36) где линейные операторы А, В : С[0,Т] —■> С[0,Т] определяются равенствами

Мт = С(Щг(Т),

ВгЩ = ¡С{1,з)±Р1{8)(Тп^тг){8)<18. о г'=1

Пусть А = А + А А и В = В + А В где линейные операторы АА,АВ : С[0, Т]—>С[0, Т] определяются равенствами

АВг){1) = /(С(*, з) ± Р{(8)(Тк<+тг)(з) - з) Е ГЙ'+Г*)М)Ж.

0 г=\ г=1

Ниже для лаконичности записи мы будем опускать индекс С[0,Т] у нормы || ■ ||С[0Г].

Теорема 2.6.3. Пусть k0eN таково, что ||(А + Б)*°||<д <1 , a qi^R удовлетворяет неравенству 0 < q\ < 1 — q.

Пусть, далее, - минимальный положительный корень уравнения

Е(г])=аког] + «fco-W + ако-+ • • ■ + а2г]к°~1 + ад*0 = qu где at0 = коЦ(Л + В)1»"1!!, at,„ = + В)'"-""1!!, v = 1, • • •, ко — 2, «1 = 1.

Пусть, наконец,

АА + АВ\\<^.

Тогда

Д + В)*0|| < 1 и имеет место оценка ev~l М

Л+ 6)^-91 где

0 = (q + qi)%, mtV»"1, Md^ek°~l + 6k°-2\\A + B\\ + . + ||(Л + В)ка~г\\.

Теорема 2.6.4. Пусть выполнены условия теоремы 2.6.3 и у : [0,оо)—>Rn - Т-периодическое продолжение решения z* Е С[0,Т] уравнения (0.36). Тогда имеет место оценка

0V— 1 max |x(t,a) - y(t)\Rn<---—||ж(-,о;) - (A+B)x(-,a) - у||, t£iv-\ 1 — и TTL где

6 = (q + m=f6k°-\ M^le1*-1 + eko~2\\A + В|| + . + \\(Л + В

§2.7 посвящен оценке нормы оператора А В : Dn[0, Т]—>D™[0, Т]. С этой целью в п.2.7.1 и п.2.7.2 проведены исследования, аналогично исследованиям пунктов п.2.6.2, п.2.6.3 и п.2.6.4 применительно к операторам А, В : Dn[0, Т]—hDn[0, Т]. В п.2.7.3 получена оценка п 7

A^||D«[o,rbD"[o,T]< max £ £

1<г<п/=1 (7=1 где числа эффективно определяются по параметрам аппроксимации.

В §2.8 описан алгоритм вычисления к-й степени суммы операторов А и В и предложен метод оценки спектрального радиуса оператора (А + В), для случаев постоянной начальной функций и кусочно-постоянного запаздывания. В п.2.8.1 получены удобные для реализации рекуррентные формулы для (А + В)к. В п.2.8.2 рассмотрен случай, когда оценка спектрального радиуса оператора А + В сводится к оценке спектрального радиуса матрицы, элементы которой эффективно вычисляются. В §2.9 приведены иллюстрирующие примеры.

В третьей главе приведены утверждения о разрешимости задачи о стабилизируемости траекторий системы нелинейных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием и периодическими параметрами. Эти утверждения основаны на результатах первой и второй глав. Объект исследования описан в §3.1 x(t) - £ m)x[hi(t)} = f(t) + £ F{x[qi(t)]), fe[0, oo), . s(0 = ^(0, если f < 0, я(0) = a (0.38) в предположениях (В): столбцы пхп-матриц Pi : [0, oc)-*Rnxn и функция / : [0, oc)—>Rn - периодические с периодом Т > 0 и суммируемы на периоде; запаздывания hi : [0, oo)—>R и дг- : [0, oo)—>R соответственно имеют вид hi{t) = t-Ai(t), 0<Дг-(*)<Т, qi(t) = t-Si(t), 0<<ВД<Т, где функции Дг : [0, оо)—>[0, Г], Si : [0, oo)—»[О,Т] измеримы и периодичны с периодом

Г; функция F : Rn-+Rn дифференцируема и sup \F'zx\<\ VzeRn (| • | l«l<i норма в Rn); начальная функция, <р : [-T,0]-*Rn , такова, что функций сphi, (pqi : [0, oo)-*Rn измеримы и ограничены в существенном на [0, оо).

В §3.2 выведено нелинейное нагруженное интегральное уравнение с отклоняющимся аргументом г = (А + В + Ф)г + д, (0.39) где линейные операторы А, В : С[0, Т]—*С[0, Т] определяются равенствами

Az)(t) = C(t,0)z(T), (Bz)(t) = jc(t,s)±Pi(s)(rhi+Tz)(S)dS,

0 i=1 и нелинейный оператор Ф : С[0, Т]—>С[0, Т] - равенством

Ф*)(*) = } С(t, s) ±F[(r«z)(s) + (Г*+Tz)(s)]ds, о iz=1 г д{{) = С^, в) - матрица Коши операции (Сх)^) = — КМг=1

В §3.3 получены условия сходимости последовательных приближений для уравнения (0.39), а также оценки скорости сходимости.

Пусть уравнение (0.39) однозначно разрешимо и г*ЕС[0,Т] - его решение.

Определим оператор 5 : С[0,Т]—>С[0,Т] равенством 5г — (А + В + Ф)х -[- д и обозначим через р - спектральный радиус оператора = (А + В + Фг*), где Фг* : С[0,Г]—>С[0,Т] - производная по Фреше оператора Ф в точке г*еС[0,Т].

Пусть выполнено неравенство р< 1. (0.40)

Теорема 3.3.1. Пусть г* - единственное решение уравнения (0.39) и выполнено условие (0.^0).

Тогда существует такое 8 > 0, что для каждого такого е > что р + г < 1, найдется такое натуральное ко+ £), что если 11^1 — < , то имеет место оценка

П ^ (р + сУ'1 м„ где мЩР++ (р+|)'»-2||5;.Ц + ■. •+iks;.)1'»-1!], тУ(р+1)4-1

Здесь v = 1, 2, • • • - приближения 2.

Теорема 3.3.2 Пусть z* единственное решение уравнения (0.39) и спектральный радиус р оператора Sz* меньше единицы. Тогда Т-периодическое продолжение y(t) решения z*(t) уравнения (0.39) на полуось является единственным Т-периодическим решением системы (0.37), где tp{t) = z*{t + T), *е[-г,о].

Теорема 3.3.3 Пусть у : [0,оо)^Rn - Т-периодическое продолжение решения z*E[0,T] уравнения (0.39) и спектральный радиус р оператора Sz* меньше единицы.

Тогда существует такое 8 > 0 что для каждого такого £ > О, что р-\-е < 1, найдется натуральное к{у=к$ (р+е), что если ||ж(-, о;)—г*\\ < , то имеет место оценка р + еу-1 м тах \хи,а) — ——г—— се)II, где (р++.+и(5;.)'°-111].™=/(/'+1)'0-1

В §3.4 получены конструктивные теоремы об условиях стабилизируе-мости и определены эффективные оценки скорости стабилизируемости. В п.3.4.1 исходная система записывается в виде

00- = *е[0,оо), если £ < О, ж(0) = а (0.42) и строится аппроксимирующая задача. В пунктах п.3.4.2 и п.3.4.3 проведены исследования, аналогично исследованиям §3.2 и §3.3 с заменой условия (0.40) неравенством |[(5г*)А;о||<р < 1, А^ЕА^. В п.3.4.4 получены достаточные конструктивные условия, при которых вспомогательное уравнение исходной задачи обладает теми же свойствами, что и вспомогательное уравнение аппроксимирующей задачи и в случае разрешимости задачи о стабилизируемости вспомогательной системы, найдены эффективные условия, гарантирующие разрешимость задачи о стабилизируемости решений исходной системы.

Вспомогательное уравнение исходной задачи имеет вид г = (Л + В + 15) г + д, (0.43) где линейные операторы Л, В : С[0, Т]—»С[0, Т] определяются равенствами о 1=1 и нелинейный оператор О : С[0, Т]—>С[0, Т] - равенством

Щ{1) = +

П г=1

Пусть А = А + ДА, В = В + А В и О = Ф + ДФ где линейные операторы А А, А В : С[0,Т]—»С[0,Т] определяются равенствами:

ААгШС'(Щ-ф,0)]г(Т), (АВгЩ = /(С(*, 8) £ Р{(8)(Г^+тг)(8) - 8) £ Р{(8)(Гп<+тг)(8))<18,

О г=1 г=1 а нелинейный оператор АФ : С[0,Т]—>С определен равенством

Определим оператор : С [О, Г]—»С [О, Т] равенством (А + В + Ф + ДА + АВ + АФ)2 + д и обозначим через е^* оператор

А + В + Ф'г* + АА + АВ + ДФ.,* = + Д^*, где Фг* : С [О, Т]—>С[0, Т] - производная по Фреше оператора Ф в точке £*еС[0,Т] а Д^. = АА + ДБ + ДФ2*.

Всюду ниже для лаконичности записи мы будем опускать индекс С[0,Т] в обозначении || • ||с[о,г]

Теорема 3.4.3 Пусть коЕИ таково, что <1,2*- единственное решение уравнения (0.43) , а удовлетворяет неравенству О < < 1 — д.

Пусть, далее, ¡1\ - минимальный положительный корень уравнения Е(г})=аког] + ако-1Г]2 + ако2г]3 Н-----Ь а2г]к°~1 + ахг]кй = где у = 1, • • •, ко - 2, а\ = 1.

Пусть, наконец, АА + АВ + АФ'г,\\<[Л1.

Тогда и для каждого такого £ > 0, что 0 < (д + #1)*° + £ < 1, существует такое 6 > О, что если начальное приближение х\ попадает в шар % ~ то имеет место оценка м

- (в + су-1 М. xv-z <---— а?1-5а;1,

1 — (0 + £) т где

0 = + тЩв + ^е)1*-1, М=\в + 1-£)к°~1 + (О + + ДЗ^И + • • • + ||(5;. + Д^)*0"1

Здесь хр - приближения £

Теорема 3.4.4 Пусть выполнены условия теоремы 3-4-3 и у : [О,оо)—»Л" - Т-периодическое продолжение единственного решения г*е[0,т] уравнения (0.43). Тогда имеет место оценка

0 ) ¿Л1'-1 М тах |ж(/, а) - г/(^)|дп<--т^-г-—||ж(-, а) - а где 0-1

1)4»-1 + (в+|)4»-2||5;.Ц + • • • + и^.)*0-1

В §3.5 приведены иллюстрирующие примеры.

Результаты диссертации докладывались и обсуждались: 1) на Международном конгрессе "Нелинейные науки на рубеже тысячелетий" (Санкт-Петербург, 1999); 2) на Пермском городском семинаре по ФДУ (19971999); 3) на Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления (1999, 2000); 4) на Международном конгрессе математиков (Берлин, 1998); 5) на Международном конгрессе "Нелинейный анализ и его приложения" (Москва, 1998).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

М1. Мунембе Ж.С.П. К вопросу об асимптотическом поведении решений системы линейных функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами. // Изв. Вузов. Математика. Л/о 4 (455), 2000.

М2. Мунембе Ж.С.П. Об одной задаче стабилизации траекторий для нелинейных функционально - дифференциальных систем с периодическими параметрами /] Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.:МФТИ, 1998. С.106-115.

МЗ. Munembe J.S.P. On a stabilization problem for nonlinear differential delay systems with periodic parameters // Труды Конгресса "Нелинейный анализ и его приложения". М.: ЦИУНД ИМАШ РАН, 1999. 1 компакт диск (563-573).

М4. Maksimov V.P., Munembe J.S.P. On the question of enclosing solutions of linear functional differential systems // Memoirs on Different. Equat. and Mathem. Physics. - Tbilisi: Publishing House GCI, 1997. - No 12. - P. 149-156.

M5. Munembe J.S.P., Rumyantsev A.N. A computer-oriented method of constructing the Cauchy matrix with a guaranteed accuracy for a class of linear functional differential systems // Вестник ПГТУ, Функционально-дифференциальные уравнения, "Вестник ПГТУ". Пермь: Издательство Пермского государственного технического университета, 1997. С.121-129.

Мб. Munembe J.S.P. Об условиях стабилизируемости решения системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими параметрами // Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы": Тезисы докладов. Воронеж: Воронежск. государств, ун-т, 1999. С. 208.

М7. Munembe J.S.P. On the asymptotic behavior of solutions of nonlinear differential delay systems // International conference "Nonlinear science on the border of millenniums": Preprints. Saint-Petersburg: St.PbSIFMO-TU, 1999. P.54.

M8. Munembe J.S.P. Computationally verifiable conditions of the existence of stabilizable solutions for linear differential systems with periodic parameters // International Congress of Mathematicians: Abstracts of short communications and poster sessions. Berlin, Bielefeld, Rosenheim: Universität Bielefeld, Geronimo GmbH, 1998. - P. 184.

M9. Munembe J.S.P. On a stabilization problem for nonlinear differential delay systems with periodic parameters // International Congress "Nonlinear analysis and it's applications": Abstracts. Moscow: ЦИУНД при ИМАШ РАН, 1998. - P.149.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. разработан новый метод построения приближенного решения системы дифференциальных уравнений с запаздыванием, основанного на приближенном построении матрицы Коши с гарантированной оценкой точности;

2. для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами, определенной на полуоси, на основе исследования построенного вспомогательного уравнения (нагруженного интегрального уравнения с отклоняющимся аргументом), получены конструктивные теоремы об условиях стабилизируемости ее траектории к периодической функции и построены эффективные оценки скорости стабилизируемости;

3. установлена связь между решениями вспомогательного уравнения с периодическими решениями системы с запаздыванием на полуоси, получено интегральное представление периодических решений (построена матрица Грина задачи о периодических решениях);

4. получено интегральное представление периодических решениях системы с запаздыванием, определенной на оси, (построена матрица Грина задачи о периодических решениях);

5. для системы нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами, определенной на полуоси, на основе исследования построенного вспомогательного уравнения (нагруженного интегрального уравнения с отклоняющимся аргументом), получены конструктивные теоремы об условиях стабилизируемости ее траекторий к периодической функции и построены эффективные оценки скорости стабилизируемости;

6. полученные теоремы и конструкции для систем с запаздыванием и периодическими параметрами, дают теоретическое обоснование доказательного вычислительного эксперимента, ориентированного на исследование задач стабилизации.

1. АзбелевН.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. -280 с.

2. Азбелев Н.В., Ефремов A.A., Рахматуллина Л.Ф. Приближенное построение функции Коши. Пермь: Краевые задачи. 1979. С. 64 - 68.

3. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Рахматуллина Л.Ф. О линейном функционально-дифференциальном уравнении эволюционного типа // Дифференц.уравнеия. 1977. - 13, Л/о 11. -С.1915-1925.

4. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков A.B. Устойчивость линейных систем с последействием.// Дифференц. уравнения. 1991. - Т.27. - Л/о 10. С.1659-1668.

5. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Интерполяционный метод приближенного решения линейных краевых задач. // Краевые задачи. Пермь: 1977. С.53-56.

6. Бабенко К.И., Петрович В.Ю. Доказательные вычисления в задаче о существовании решения уравнения удвоения. // ДАН СССР, 1984. Т.277, Л/о 2 с. 265-269.

7. Башкиров А.И. К вопросу об устойчивости уравнения с последействием и периодическими параметрами. // Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1983. 19 с. в ВИНИТИ 24.08.83, А/о 4605.

8. Башкиров А.И. Матрица Коши и устойчивость решений уравнения нейтрального типа с периодическими параметрами. // Перм. политех. ин-т. Пермь 1985. 34 с. Деп. в ВИНИТИ 12.02.85, Л/о 1145.

9. Башкиров А.И. Оценка мультипликаторов периодического дифференциального уравнения. // Перм. политех, ин-т. Пермь, 1985. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 01.08.85, Л/о 5752.

10. Башкиров А.И. Устойчивость решений периодических систем с последействием: Дис. канд. физ.-мат. наук. Пермь, 1986. - 102 с.

11. Беллман Р., Кук K.JI. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир 1967.

12. В.П.Рубаник Колебания сложных квазилинейных систем с запаздыванием. Минск.: Издательство Университетское, 1985. 143с.

13. В.П.Рубаник Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. -М.: Наука, 1969. 287с.

14. В.Б.Колмановский, В.Р.Носов Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. -448с.

15. Домошницкий А.И., Драхлин М.Е. О периодических решениях функционально-дифференциальных уравнений. // Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ им. И.Н.Векуа. Тбилиси, 1988. Т. 3, Л/о 3. С. 54-57.

16. Драхлин М.Е. О периодических решениях уравнения с отклоняющимся аргументом. // Краевые задачи. Пермь: Изд-во Пермского политехнического института, 1987. С.66-69.

17. Драхлин М.Е. Один признак существования асимптотически периодических решений. // Функционально-дифференциальные уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. Пермь, 1990. С. 168-170.

18. Д.Хейл Теория функционально дифференциальных уравнений. М.: Мир. 1984.- 421с.

19. Ефремов A.A. К вопросу о приближенном построении функции Грина. // Функционально-дифференциальные уравнения и краевые задачи математической физики. Пермь: 1978. С.48-53.

20. Зверкин А.М. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. АН УССР. Труды Пятой летней математической школы "Теория обыкновенных дифференциальных уравнений и нелинейных колебаний". Киев, 1968. С. 307-399.

21. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М., 1984.

22. Комленко Ю. В., Тонков Е. Л. О мультипликаторах линейного периодического дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом. // Сиб. мат. журнал. Т. 15, Л/о 4, 1974. С. 835 - 844.

23. Комленко Ю. В., Тонков Е. Л. Представление Ляпунова-Флоке для дифференциальных уравнений с последействием. // Изв. Вузов. Математика. Л/о 10 (401), 1995. С. 40 - 44.

24. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1981. 542 с.

25. Красноселький М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. - 455 с.

26. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука. 1965. 519 с.

27. Л.Э.Эльсгольц, С.Б.Норкин Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971. 296 с.

28. Максимов В.П. К исследованию разрешимости нелинейных краевых задач конструктивными методами. // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь: 1989. С.27-35.

29. Максимов В.П., Румянцев А.Н. Исследование разрешимости краевых задач с применением средств аналитических вычислений ЭВМ. // Краевые задачи. Пермь: 1986. С.6-9.

30. Максимов В.П. О формуле Коши для функционально-дифференциальных уравнений. // Дифференц. уравнения. 1977. - Т.13. - Л/о 4. - С. 601-606.

31. Максимов В.П. Линейное функционально-дифференциальное уравнение: Дис. канд. физ.-мат. наук. Тамбов, 1974. - 119 с.

32. Максимов В.П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений: Дис. докт. физ.-мат. наук. Пермь, 1982. - 265 с.

33. Михлин С. Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Наука. 1959. 232 с.

34. Мунембе Ж.С.П. Об одной задаче стабилизации траекторий для нелинейных функционально дифференциальных систем с периодическими параметрами // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.:МФТИ, 1998. - С. 106-115.

35. Мунембе Ж.С.П. К вопросу об асимптотическом поведении решений системы линейных функционально-дифференциальных уравненийс запаздыванием и периодическими параметрами. // Изв. Вузов. Математика. Л/о 4 (455), 2000.

36. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука. 1972. 351 с.

37. Н.Данфорд, Дж.Т.Шварц Линейные операторы: Общая теория. М.: Издательство иностранной литературы, 1962. 895с.

38. П.П. Забрейко, А.И. Кошелев, М.А. Красносельский, С.Г.Михлин, Л.С.Раковщик, В.Я.Стеценко Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 448с.

39. Румянцев А.Н. Доказательный вычислительный эксперимент в исследовании краевых задач. // Издательство Пермского университета, 1999. 173с.

40. Румянцев А.Н. Вычислительный эксперимент в исследовании функционально-дифференциальных моделей: теория и приложения: Дис. докт. физ.-мат. наук. Пермь, 1998. - 265 с.

41. Румянцев А.Н. Исследование разрешимости краевых задач с применением векторных априорных неравенств. // Деп. в ВИНИТИ 14.07.87, 26с. Л/о 5028-В87, РЖ Мат.1987, 11Б361 Деп.

42. Румянцев А.Н. Конструктивное исследование разрешимости краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений. Дис. канд. физ.-мат. наук: Пермь. 1988. 144с.

43. Шиманов С.Н. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами и запаздыванием. Свердловск: УрГУ, 1983.

44. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени. // Прикладная математика и механика. М.: АН СССР, 1963. Т.XXVII. С. 450-458.

45. Azbelev N.V., Maksimov V.P., Rakhmatullina L.F. Introduction to the theory of linear functional differential equations. Atlanta: World Federation Publ., 1996. - 176 p.

46. Atkinson, K.E. A survey of numerical methods for the Solution of Fredholm integral equations of the second kind. Philadelphia: SIAM, 1976.

47. B.S.Dobronets Two-sided solution of ODE's via a posteriori error estimates. // Journal of Mathematical Analysis and Applications, 1988. N23. -pp.53-61.

48. B.S.Dobronets Two-sided Methods Based on Defects In: ed. By G.Alefeld, J.Herzberger: Mathematical Research, 1996. V.89. -pp.64-73.

49. B.S.Dobronets On some two-sided methods for solving system of ordinary differential equations. // Interval computations, 1992. Л/о 1(3) -pp.6-19.

50. Ch.Kenney, P.Linch, R.L.C. Wang Effective error estimates for the Numerical Solution of Fredholm Integral Equations // Computing, 1988. -V.42. pp. 353-362.

51. E.W.Kaucher, W.L.Miranker Self-Validating Numerics for Function Space Problems, Academic Press, 1988. 254p.

52. E.W.Kaucher, W.L.Miranker Validating Computation in a Function Space. In: Reliability in computing, R.R.Moor, eds. 1988. pp. 404-425.

53. G.F.Corliss Where Is Validated ODE Solving Going? In: ed. By G.Alefeld, J.Herzberger: Mathematical Research, 1996. V.89. -pp. 4857.

54. G.F.Corliss, G.S.Krenz, P.H.Davis Bibliography on interval methods for the solution of ordinary differential equations. Technical report 289, Marquette University Department of Mathematics, Statistics and Computer Science, Milwauke, Wise., 1988.

55. G.Alefeld, J.Herzberger An Introduction to interval computations. New York: Academic Press, 1983.

56. H.Bauch, W.Kimmel Solving ordinary boundary value problems with guaranteed bounds. // Z.angew. Math. Mech., 1989. V.69.

57. Lohner R.J. Computation of guaranteed enclosures gor the solutions of ordinary initial value problems and boundary value problems // Proceeding of the IMA Conference on Computational ODEs. Oxford Univ. Press, 1992.

58. Lanford O.E. Lect. Notes Phys., 1980, Л/о 116, p. 340-342.

59. Maksimov V.P., Munembe J.S.P. On the question of enclosing solutions of linear functional differential systems // Memoirs on Different. Equat. and Mathem. Physics. Tbilisi: Publishing House GCI, 1997. - Л/о 12. - P. 149-156.

60. M.Plum Computer-Assisted Existence Proofs for Two-Point Boundary Value Problems. // Computing, 1991. V.46. - pp.19-34.

61. M.Plum Verified Existence And Inclusion Results For Two-point Boundary Value Problems. In: Contributions to computer arithmetic and Self-Validating numerical methods, C.Ullrich, eds., IMACS, 1990, pp.341-355.

62. M.Plum Numerical Existence Proofs and Explicit Bounds for Solutions of Nonlinear Elliptic Boundary Value Problems. 11 Computing, 1991. -V.49. pp.25-44.

63. Munembe J.S.P. On the asymptotic behavior of solutions of nonlinear differential delay systems // International conference "Nonlinear science on the border of millenniums": Preprints. Saint-Petersburg: St.PbSIFMO-TU, 1999. P.54.

64. Munembe J.S.P. On a stabilization problem for nonlinear differential delay systems with periodic parameters // International Congress "Nonlinear analysis and it's applications": Abstracts. Moscow: ЦИУНД при ИМАШ PAH, 1998. P.149.

65. Munembe J.S.P. On a stabilization problem for nonlinear differential delay systems with periodic parameters // Труды Конгресса "Нелинейный анализ и его приложения". М.: ЦИУНД ИМАШ РАН, 1999. 1 компакт диск (563-573).

66. R.Rihm Problems in Enclosing Solutions of ODEs. In: ed. By G.Alefeld, J.Herzberger: Mathematical Research, 1996. -V.89. pp.297-302.

67. R.E.Moor Interval Analysis. Prentice-Hall, 1966.

68. S.K. Godunov Ordinary differential equations with constant coefficient. American Mathematical Society, 1997. -~282p.