Неравенства для рядов из вероятностей больших уклонений для сумм случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ТАШКЕНТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 ОД - 5 АПР 1993

На правах рукописи

т

ГАССАН АХМЕД АБУД

НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ РЯДОВ ИЗ ВЕРОЯТНОСТЕЙ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ ДЛЯ СУММ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

01-01.05 — Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент —1993

Работа выполнена в Ташкентском государственном университете.

Научный руководитель — доктор физико-математических

наук, профессор М. У. Гафуров

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор И. С. Бадалбаев

кандидат физико-математических наук А. К. Мухамедов

Ведущая организация Институт математики

им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан

Защита диссертации состоится «ХИ^» _1993 г.

к /¿/^ чяроп на заседании специализированного совета К 067.02.13 в. Ташкентском государственном университете по адресу: 700095, Ташкент, Вузгородок, ТашГУ, факультет прикладной математики и механики, ауд. 205-А

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ТашГУ (Вузгородок).

Автореферат разослан « с I ъ'Ф^у'и?"1г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-матемагических наук, доцент

И. МИРЗАЕВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОМ

Актуальность темы. Теория суммирования независимых случайных величии (с.в.) с многомерными индексами является одной из наиболее bbihhx и интенсивно разрабатываемых новых областей теории вероятностей. Исследование сходимости рядов кз взвешенных хвостовых вероятностей сумм независимых с.в, . один из аспектов этого напревления. ■

В работах П.Эрдеша, М.Каца, И.О.Чао, Т.Л.Лая, И.II.Амосовой, Б.В.Петрова, С.Х.Сараяэднова, К.У.Гафурова, А.Д.Сяастни* • кова, щ.Шарзхметовв, Д.Юпдаиевп, ХЛ.Сарымсаковой, м.К.Хояму-радова, И.М.Хамдамове и яр. ато направление получало суяест-венное развитие, оСогаивясь новыми постановками, пршокения-ми й методвми Исследогения. Ргзультатй »тих исследований показывают, что вопрос о сходимости, рядов самым тесным сбразоя овязея с задачей с скорости сходимости в законах бсльпих чисел и распределением таких функционалов, как число выходов, максимальное отклонение (экоцесо) и момент последнего выхода случайного блуадания, дискретных случайных пплзй за подвижку!) границу. Помимо того, ряди аз вероятностей играют ва«нус ро» в предельных теоремах дм лестпичных пар. для максимума частных сумм а т.п.

Следует отметить,'что изучение с.в. с икогомерннма индексами имеет свои тснкйе специфика, сяяаянные с отсутствием полной упорядоченности мнояества d -мершх (d>i) leiKTopc» о неотрицательными деянии- координатами. отсюдп возникает интерес и необходимость разработка нсзых подходов, учйтыввсяих это обстоятельйтво.ВозмоЕНо, по этой пряча«« не л данной области остаогся нерешенными мнокесгво задзч.

Цель работы. Диссертация пссвяцена сисге-мвтическоку исследований ехг-дикоети рядов ия ьзяешеникх хростовнх вероятностей суми кезэсксиюк оаинакозо распределена* с.в, с многомерными вдекевми. Зтл исследования цр<:вол1стся по двум направлениям, которые ц. той яля.икей степени сясяйлипь в . кногочяспенних реботрх, появившихся ь поел едоке годк.

Первое направление относится к аахеиенвю необходимых и ¡¡остаточных услозий сходимости рядо? в термин* исходных распределений с учетом размерности индексов.

Второе направление касается "количественных" вопросов, т.е. проблей установления двусторонних неравенств типа Пади дяя рядов, »цравскных черев моменты исходных с.в. и через некоторые характеристики, учитывавшие-многомерность индексов.

Цетодика исследования^- Б работе, в основной, использован прямой вероятностный метод, опиравшийся не вероятностные неравенстве Нагаева-Фука дяя сумм независимых с.в.

Научная новизна,подученных в диссертационной работе' резуяьтагов, заключается в следувщем:

~ найдены необходимое а. достаточное условия сходимости рядов из взвешенных хвостовых вероятностей сумм независ иных одинаково распределенных с.в. с многомерными индексами;

- впервые введен многомерный аналог схемы суммирования А^еля с.в. Установлен критерий сходимости интегралов иа хвостовых вероятностей Абелезой суммы независимых, одинаково распределенных с.в. с многомерными мдехсами;

- впервые установлены двусторонние универсальные нера-. Еенсгва типа Паси для рлдов из вероятностей больших уклонения дяя сумм независимых, однаково распределенных с.в. с" многомерными индексами;

- разработана общая иетсдика исследования названных выше рядов.

Практическая ценнооть. Результаты .работы носят теорета-" ческий характер. Они могут быть использованы при исследовании других задач, связанных с законами больших чисел, с граничными функционалами от дискретных случайных полей й т.п.

'Апробация работы, основные результаты диссертации до--кладывались но научных семинарах в Ташкентском государственном университете, в Институте математики ян.Б.¡1.романовского АН республика Узбекистан.

Публикации. По результатам исследований подготовлены и сдвны в печать две научные статьи (Доклады АН РУз, Теория Вероятностей и математическая статистика, Киев).

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух-гаав и списка литературы, содержащего 35 наименований, Общий объем работы 104 станицы машинописи.

СОДЕШШ РАБОТЫ ' ■

Во вЕеденаи лается'краткая обзор нзвестннх резуяьтптся по теме диссертации и дано' ойвдя характеристика получсипах результптга.' Пуст*

я* -{Н-(п,-,...,пл) ; } , (¿6 я

дгч т,Яе ^ соотношение ягЯ ознвчает т.^тг-,

1-1,и, ПI > 0 Я-«-® означает, что я—<*>

длч всех . Дазее, гезде пусть йеЯ.^

иносество назвЕЯсиных, одинаково распределенных с.в.,

8(д)-о, з(л)-^х^), Б™ да^'Т^М

Для-.простоты, через X обозначим с.в., которая на зависит

от Х(п), пс 2 + .и имеет то же самое распределение, что

а Х(п), ла . г

Свяжем с неотрицательно!!, строго мочстскно эозраотвр-цея функцией Н(х) , и веотрицательной функаиеЯ <р(х) , ряд составленный из зэвеиыпп« вероятностей больших уклонений

здесь и далее £ => О - свободны! параметр.

Почсяйм '

, . "С"!

пе

1 „Ы)

Пусть заданна» на [•Iстрого возрестасцая функция Hfa) удовлетворяет усював:

ftfcx)

-Щ-j < 00 Yo>i (Н)

Очевидно, «тону усдсвнп удовлетворяет, например, регулярные

функции Н(<с) - , <НдО, £(&) - иедланно ые-

нявщаяся функция в снисге Каре мата.

Предпоювам, что с.«. Х(к) таковы, что

Jim inj P{S(n)>-eH(<n>)] = у(£) > О, У& > О (р)

Нетрудно понять, что кдасс о.в. Х(к) , удовлетворяющий усscbhd (р), достаточно аирок. Нвприиер, оно вкеет место, если

S(n) ?

—— о npä ZI CD

Да гее паи понадобятся следующие классы функций:

для некоторых ¿¿[¿,2] и £>-./};

ос<р(ос tacjX

дня некоторой постоянное } .

Глава j "Сходимость рядов на вероятностей больших ук-аоиенкй", состоящая из четырех параграфов, посвяцена нйхов-ä3iiud неос^одаких и достаточных условия ди

Р<ф(<Р,Х,ё)*со Уе >0 и 1(с1)(£)ссо уе> О

Приведем некоторые ревуяьтаты, к от оряе являются характер!»»

МИ ДЛЯ ГЯ81М I.

Положив

Х+-пъах(0,Х),

л кх = е[нЬ+)]ФЬ+)) ео/~н-'(х+у

Здесь а далее Н *(х) - функция, обратная к Н(х) ,

Теорема Ы.1. Пусть яопоянепы условия (jf)t (P)f <рй fflf*

а н\х)/ г f для некоторого t € /ас ср(л)

Тогда сяедуотдае утверядения:

(!) р<*)(<ptи,е)<со Vs>o ;

(//; л™(ч>,х,х+) < «

ралносяяьны.

Аналогичная теорема 1.1.2 докована а при яругах огра- ' иичениях не функциях <р(х) я Л (ее) . н use приведено его наглядное следствие. ;-

Следствие. Пусть о(. Если выполнено одно яэ следующий условий:

1) 1<сА<£, £Х= О , Е(Х~) «*>,Х~-лшя(о,-Х);

2) ы = 2 , ЕХ*° О ;

3) <* 2, £гт ¿nf P(Sfi)>)>о, Vs>ot

Jl-r~ со

то следус®!е утверм.ечия

а) У* <n?~*P{S(R) > £ <п>Ы/к) < со Vs > 0 ■

■ иг „ +

<яЕ(х*уе°в * <оэ

равносильны.

Теорему 1.1.1 и 1.1.2 дополняет а обобщает теоремы. 3.2, Э.Э, приведенные в монографии С.Х. Сираиинове, К.У.ГафУрове "Метод рядов в граничных задачах для случайных блувданаа" (Ташкент: Фан, 1967) , в в случае являются

усилениями соответствующих результатов М.К.Ховмурадова "Оценки скорости сходимости в усиленном законе больших чисел для о.в. с нногомершмв индексами" (Диссертация на соискание ученой стелена х.ф.-м.н., Ташкент, 1968) и других иа-вестных результатов в «том направлении. В этой не главе для неотрицательных с,в. исследуется распределение с.в. .

Теорема 1.1.3. Пусть Р(Х^О) , ЕХ .

Тогда следуодие утверждения:

а) 1(Ы}(£)<<*> Ке >0 ;

б) />{5(л/-<дуг ^£<«>]<со Уе>0; л е 2+

равносильны.

Приведенный результвт является обобщением соответствующей теоремы из упомянутой выше монографии С.Х.Сиравдинова е М.У.Гафуровв (С.55). Следует такие отметить еще тот факт,

что при с1 а(и) = 1- и - ;. однако в сдучве с1>1

явный вид а(и) неизвестен и нам необходима его асимптотика при и { 1 .

В связи с атии, в этой ке главе, в четвертом параграфе доказана ключевая при доказательстве теоремы 1.1.3 лемма, которая представляет самостоятельный интерес и имеет непосредственное отношение к классической в теории чисел Проблеме мйователей Дирихле.

■Деима. пр\ Ъ \ I

¿од4"-*-1-1г

а(и)

(а-1)!(1-и)

Поновим

¿(к) = СагЫ. {п€2% <«> - ^ ] , « еN

М (сс)

О , Л?«^

I®]

И*(«), ;

К"!

Глава П "Неравенства тепа Пэпя для рядда аз вероятностей больших уклонения" посвящена вопросу о "количественной" сравнении величии Р<*> (Ч>,Н) и .М™ (Ч>,Х,Х*).

В диссертации отмечено, что условия Л(^(<Р,Л',Х*)<<а а М <а> (ч>,Н,Х1~)< оа равносильны,

В этой главе, при определенных условиях на монотонность функция <Р(сс) и /{(ев) , доквэани разные и уши ере о глине неравенства для рядов

, 'содержащие момент

М^К^М^Х*) а другие вешчинн, характеризующие ¡.-иого-

мерность1 индекса с.в. Следствия Э.1Л - 2,1.6, которые являются частными случаями общих творен, представляет уточие-'нения ооответстгусЕИх качественных результатов о сходамоо-ти рядов.

Будем предполагать, что все условия монотонности относительно <Р(з:) я И(х) в условиях теорем тыпо.теяются равномерно для всех а; е [1,<х>) щ к примеру, { оэна-

чает, что это отношение ко уйывает равномерно для всех а? с (А00) .

Для формулировки результатов нам необходимо следующее условие: для всех тьэ-1 ' и'некоторой постоянной

(см. определение класса ) суиествует постоянная

Сг (б", Н) >0 такая, что

л

к «Í

п М(п) Н"(п)

Уг>о.

м

Как отмечено в § 2.I.I условие (Аг) для степенных Н(х) проверяется непосредственно. —

Далее обозначим через ^(ж) -функцию, обратную

к НГ(х) ипустьД*^Г>1

а?

ю

s

К "i

2 /с»-ас

d(K)

d(K)

если ос < i

если сс з-1

Во второй главе доказаны пять общих теорем, где устанавливается неравенства сверху (теоремы 2.1.1-2.1,3) и снизу (теоремы 2.1.i»,2.1.5) для Ры*(ч>,Н), которые усиливают, уточняют .и обобщают все известные результаты в этом направлении. Выделим из втих пяти теорем лишь две, которые дают достаточные представления о сута вопросе исследуемого в этой главе.

Теорема 2.I.I. Пусть ЕХ «О, ЕХ*= <г\ <ре Щ(1) и существует постоянная j3¿*i такая, что

Ji + 2

а? Ч>(&) I Если кроме того, выполнено условие (Л£) , что

*Р(%,Н) * М (%Я^Х+)^кМ(Л) -<-а,Агср(Щ(А)> где обозначены

Я , О, - 7(Л: к *2).С3($,Ю ад,

У3 ^

а*°ег>

НА)

- индикатор. множества Л . Теореив г.1.2. Пусть

ЕХ-О, £(Х*)Г<<* , ч>€

а существует постоянная такая, что

• д? 4>(х) ,

Если, кроме того/ выполнены условия (ДО о -С<гие , то

где.

сг1(Н:к>а)ч>(1) . 4 --СГ(В,Н)% .

{i , если г=>г

■

2 , если г 6 Ц,2) Аналогичное неравенство доказано пра Ч> € а

других условиях монотонности функция (р(сс), Н(х) .

(Ь

Теорема 2.1.4. Пуотъ ф € и выполнено услов«

гп/р {8п>-Л(п)}>0 ^ (В)

пи

Если при некотором г>0

ъ)

б) выполнено условие (Дг)

а) Е (*+)*<«>

Нг(х)

X 1 »

то

где полонены

а =

. л \

Л>0 - любое по л ока тельное число.

Аналогичная накняя оценка в других предположениях и моменты с.в, X и монотонности функции приведена ;

теореме 2.1.5.

Теперь о некоторых наглядных следствиях, вытекащих

к) Зто условие требуется при <1-"£ . Тут полонено

=

из теорем 2.1.1-2.1.5. Как йило сказано выше, для степенных НСХ) справедливость условия (Д?) проверяется непосредственно.

рассмотрим случай Н(ж) = сс^, >4; , <5"-р<*-8.

А (Р-г)<*-1

Тогда оцениваемая сумма имеет вид > к &(*)

и для нее справедливы следуйте оценка:

л (Р-Г)Ы-Х

£ * *(*) <

К-1

с

Л М(п), ее ЕЯ О<Ср-г) >1

Сг(рм)п(Р г>4 *М(п) , если 0<*(р-г)<1

(I)

йдесь Сг(р&) - некоторое подокятельное число, зависящее

ляоь от V* ,/5 и , Значение Сг(р,°<) при а >1

явно не вычисляется, однако, в случае ,• как легко

увиде ть

У

1 , если Ы (р--г) >1

—-— , если- О <ы(р-г) <i Со-г)«

Теперь с учетом неравенства (г) перечисли« несколько следствий, которые представляют уточнение соответствупщнх результатов а.гута ( Ann. ProSad. 1978, v. 6, p. 4S9--482 . Ann. Praßaß. 1980, v. 8, p.398-3f3 ), И.С.ЧаО, ГЛ.Лая ( 2. Wahn verw. бев. 1973, v.45,j>. 1 -13 ),

З.в.Нагаева с Алп.РгоВав., 1979, v0e.?,»S,Р745-?аэ \

(.К.Сарыисаковой (Канд.диссертация, Ташкент, 1989. - 133 с.)

Следствие 2.1.I. Пусть

ры.

EX-О , £Гг=е-гс «>'/г >^ = ¿^7

Тогда справедливо

^ p(S(n) » <я>") <

neZf

2(р<*-2) ■ 2 2J*>< г

+вг& *«-' М(ага*~*) + %<г*а=т£г(о^) ,

где

Спедстаие 2.1.». Пусть. Е(Х+)Г<С° для некоторой ге(1,г] и выполнено.ус;ловие (Pt) с 7f(J?)«cc0<

Ы>А t р«>1 t р>г

Тогда

_j ры-г ,

2_, <*> p{s(a)><fi> J >

sieZ+

£izi + w

>4г{СО *м((§) ]-s2hBM(h),

<}А(1-та(г))

Далее приведен еще одно следствие при = 1

Следствие 2.1.6. В условиях следствия 2.1.1

« м-* »

Л-1

) ■

Основные результаты диссертации содержатся в следусоэх-, анних 2 печать работах автора:

1. Сходимость рядов из вероятностей больших уклснЕяаа я дискретных случайных полей (сдана в дан РУз);

2. Неравенство типа пэла для рядов из хвостовых вероятней для сумм независимых случайных величая с многоиершнн 1енсаиа (сдана в «урнап "Теория веролтносте.1 а матемотиче->я статистика", Киев),