Несобственные интегралы Стилтьеса, зависящие от комплексных параметров, и их приложение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Оруджев, Гардашхан Алимамед оглы
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Баку
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1994
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ
р ^ 0д На правах рукописи
УДК 517.53
ОРУДЖЕВ ГАРДАШХЛН АЛИМАМЕД оглы
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА ЗАВИСЯЩИЕ ОТ КОМПЛЕКСНЫХ ПАРАМЕТРОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ
(01.01.01 —математический анализ)
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
БАКУ — 1994
Работа выполнена в Азербайджанском Государственном Педагогическом Университете им. Н. Туси.
Официальные оппоненты:
— доктор физико-математических наук, профессор
БАБАЕВ М-Б. А.
— доктор физико-математических наук, профессор
МАМЕДОВ Р. Г.
— доктор физико-математических наук, профессор
ТОПУРИЯ с. Б.
Ведущая организация: Московский Педагогический Университет.
Защита состоится „ М_ “С&СГАЕрЯ ’ 99 4 г. в „ ‘
часов на заседании Специализированного Совета Б/Д 00401 при Институте Математики и Механики Академии Наук Азербайджана по адресу: 370602, Баку, ул. Ф. Агаева, 9.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики н Механики АН Азербайджана.
Автореферат разослан 1994 г.
Ученый секретарь Б/Д Специализированного Совета доктор физико-математических наук,
профессор Дж. И. МАМЕДХАНОВ
- 3 -
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА Ра^О'ГЙ
Актуальность темы. Теория интегралов Смлтьоса возникшая в тесной связи с решением рззличпых прикладных задач физики, механики, теории вероятностей и т.д., играет существенную роль также и в развитии самой математики. До настоящего времени имелись различные честные случаи интегралов Стилтьеса а чх представления различными рядами, например, рядааи Дирихле,ин-торполяционньшя рпдаш! Тейлора - Дирихле и г.д.
Теория интегралов Сттьвоа тем глубокие связи о различ ннии обласяяаи математики: яеориий функций, теорией ЧИ03Я,?00"
ризй дифференциальных уравнении, оиоратшпым исчислением,спектральной теорией и другими разделами.
В данной диссертации рассматриваются- наиболеа общие кв-собственные интегралы Стилтьвса, которые охватывают ранаа известные случаи; Поэтому естественно, чтобы осмыслить рассиагри* ваегай несобственный интеграл Стилтьесэ, зависящий от коыплекс-кых параметров, первоначально необходимо определить область сходимости этих интегралов, изучить кх функциональные характеристики. .
Цель работы. Изучение области простой,абсолютной.и равно мерной сходимости несобственных интегралов Стилтьеоа наиболео общего вида, рассмотрение частных случаев этих интегралов.
Изучение функциональных характеристик: рост интегралов 3 зависимости от наилучшего' кввзиполиноииального приближения; •ьжюанооть представления мероморфтой Функции ЮЮвряеяяцИОНИЫЫ рядом рациональных функций»
1,:зучнап новизна тбот. Найдены области сходякооти иите-Ч алоа о;'л:;.сих тияу, Лаялуса - Стилтьеса,установлена ООяасти 'Д!!:'ости шшорых носоОсгвошш йигйграяов Стилгьеса с при-
неценном к задачек интерполяции, изучены роса; целых функций, определенных всюду сходвдкмнся рядами Дирихле, росз функций многих переменных и иа;чзне, интерполяция функций в комплексной области.
Теоретическая и дракгическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в построении общей теории простой, абсолютной и равномерной сходимости несобственных интегралов Стилтьеса более общего вида пригодных, зз частности для функциональных и интерполяционных рядоь.
Практическая ¡;.’и;юс«> работы определяется в многоукладном примгнении этих интегралов во многих разделах математики и при рииетш различных прикладных задач. ■
Апробация работы, Основной материал диссертационной работы докладывался и получил одобрение на Всесоюзных симпозиумах по теории аппроксимации функций в комплексной области (Уфа,май, 1976 г. и май 1960г. Башкирский филиал АН СССР, Банкирским Гос.Университет), Всесоюзной ш'.оле - конференции ''Соършлоннка проблемы теории функций (Баку, ¿1 мал - I июня Ь77 год и 19-29 ыая,Баку~1989г.), республиканских семинарах по теории функции комплексного переменного руководимым академиком АН Азерб.ССР, профессором И.И.Ибрагимовым (ШШ АН Азеро.ССР),научной семинаре, руководимым академиком АН Укр.ССР профессоров Дэядыком В.К. (Киев, 1975 году ШИ АН Укр.ССР), XXI научно-от-четноИ конференции,' посвященной итогам научно-исследовательских работ за 1965 год» АПИ им.В.й.Ленина, научно-теоретическуй конференции ВУЗов Оов.Союза, носяэдх имя В,И,Ленина, Баку 1967г научной конференции профессорско-преподавательского состава ш итогам научно- исследовательских раосг ез 1967 года, Баку 1Э6Ы научной сессии (10-13 февраль 1971 года Боку - 1971г. АПИ им.
з.и./гшш), научной конференций профессуро/^-лреподавательско-го оосгава за 197В год, Сэку-ШЗ!’.; научной тфрвнции :¡po-фвссорсм-врепошвпзьсиого aparata АПК им,В^й,Леиаш),исс№- ' денной mavuu научно нсолпАОвятелйских рчбм за 1380 г. Баку, 1981г. 45-ой научной конференции, посвященной итогам научно-исслодозатзльской работы профвссорсм-прзпсдавательского состава АШ1 и1!.В*Й*Ленте за 1583г. Баку, цв-oi: научной конференций ДШЗ вы.ЁЛКЛзнкпа, 1985г. W-oii научвоЛ конференции,поозя-¡цонной atüfavi ' иаушо- исследовательских работ профессорско -преподавательского состазз ЛПИ «м. 3,11. Ленина. Бгку, 1986г., 49-ой научной конферзшда, лооляце;шог! итогам научно-исследовательской работ ЛГ1Й еи.' В»К*фл«йа за 1989 год. Баку.
Научной конференция, пооаящениой 60-летию Аа.Гос.Оэд.Института им.В.И.Ланина (£зку,1£31г.) научной коафйранциь профессорско» преподавательского соотазззАПЙ ¡ш.В. й. Ленина, посвященной 50-летию образования СССР (Багсу« 1982г.). Научной конференции, поавяганной игогая научио-Есачвдопзтальской работа иатеиатача-ского факультета АПИ йн.В<й»йеанна ва I9S8 г. 51»?ой-научной конференция, посвященной итогак научно-исследовательской работ т 198? год (АШ ям.З.&Яэягао, Es»y,1990р.)# 52-ой яду«-иой шфзрбйщм йрофеоворегго-йрэподагагйльскогв соеяаеа АШ1 им,В,Я.Д?йий« (Й»У 1991г.)« 5Í-0Ü «аучибй ¡ШфареИШШ АПУ ;;м.Н.Туси (Бачу, 1292г.)
. Публикации.' Основные результаты диссертация опубликованы рэ ботах , .
ClOYKTVUa диссертации. ДйССпрТацля С0СТ0ИГ И8 щеми глав общим объемом в 3W стр. машинописного гекс18{ биолио- -•'рафия - 109 названий.
Содержание робота. Диссертация чосввдена лоодядогаии» области сходимости некоторых несобственных кнїеградсв Стылтье-са, poüry цзлых функций, ипрадалевша всюду сходящимися рядами Дирихлв, некоторый ьеравзнсгваы, рЕяэаннцх с ростом анадаича-скоИ функции в полуплоскости, росту целых функций многих перо-Л8НЩХ, интерполяции функции в коыплвксноИ области. Изучению указанных вопросов восвящеиэ обширная литература. Среди ни* отмотан монографии: Гельфонда A.Q., Исчисление кеаечшх разностей. Москва, I35S,| Ибрагимом 4.И., Методы иатершышцни функций и некоторые их применения. “Наука1', 1971 | Леонтьева АЛ. > Ряды зкспоченї,- "Наука", I9?ó j МаздельброЫе С,, Ряды Дирих-ло принципа и метода, ''Мир", 1373 ; ЬЄ¥П$ІЄІП Y., ¿Є$ОПЬ Щ? fes pane’s recente ds fa {¡mvk Шк%с1г J)iv¿cAkf,fbH$J9¡¡5.
В данной работе изучаются Солей общие интеграла Стилтье-са, содержащие в себе как часзные случаи ранее'иавемгца>*
Пусть 0е -ксшвдксноа евклидовое пространство с элементом м = »где />>/ . Положим
||г»КЦ1*+|%^+... + |г,,|а)^. :
пі’«* 9p(h . -непрерывные функции на [0,+оо)
-ішлрерьдат вектор функции, действительного переменного* Под символом подразумевай выражение /
(¿а,р)>)р »^ей+д,^й)ч-... +8е$ф.'
Взедеи в рассмозраниа несобсг?оан$5 интеграл Cmmcg
£(g) - J /[(<3,^)>) f o(}} <P$) II)] c¡d(-é) , (I) '
где /СВ) -заданная целая функция, Я{і) -комплексная функ-. цид с ограниченной вариацией», не всяком конечном огрезке деіїст-
иителько'й полозшталвной полуоси. Причем, запись озпачаег',что отношение нс'.^огорп^. фугкц!1!1 к
стремится к нулю при Ь —*>• +оо рзвночарно по во всей
пространстве Ср с СР •
• Исследование интеграла (I) проводится при двух существенно различных предполонениях относительно ЛеЛИЧйНЫ 1»1| :
' ' I) величина И [| ышэтонко во&раставдая н .
,Ы Вв$)|| =■+<»*
5~й”(’05
2) наличии у (р$) {! ограничена, г.о, при !| 1<$М, , гдз М > О -константа.
Наши умзрадетнк об области простой и абсолютной сходимости интеграл п (I), в чоотлооицпри р»1 содеру.м а собэ ряд подобных утверждения 0(5 интегралах , *
Наряду с ингогрелоы (I)' расоидгризаэтся иамгрод
4-ОЭ
У&) « |е?гр|-(<г,^»)р +Ф(Дэ;}с/шк1), • £2}
где ({>0) (Э =3 ир) имевг интегрируемою на [о, Р] произвол-нуп 1р1&) (У»7р") ,УТ>Р, .
Ф0,3)* -непрерывная функция по з в некотором подпространстве <? с: с? и У 3 щ & справедливо
=я О (¡1 */>'$) 11) при -¿->»4-со , аС(5) -комлшово-зяпчяая функция, имеющая ограниченную вариаций «а ограэяо £0,?*] при л ¡обои ?*>0; -
пря оаяапнцх и й(^) ииявграя. (2) еудег обозначая*■
<м},ч>ши'(4,р) • . .
Рааоцоярошша э работе янтмршш (¡одержат а сийе как;, часлшш случай следующие ф^шчиюио.чышо, а также интерполяци-
оиные ряда:
1. Интеграл г»:па Лапласа - Стилтьеса
<рН) ' +00 .
1г ехр{~ацЩс1{г&, Цехр{~з(3)
2. Ряд веда
00 о
2«е&хр{ -С<г,Я*»р +Фд0*Л , я&о, (4)
п.= | ■* <
где /,2,...)-непреривнае функции
по £ в некотором подпространстве. Ос: и
Фя+№) — фа (н) = о(НЯд+|“ЯлЦ)>^е£> прл Й —г» со
3. Болзе -честнш! случай - рад ьила Дирихле
оо
У]сйохр{-(<аДд>)р} , 2ЄС? (5)
Ь. Интерполяционный рид типа Ньютона ■
±авЩ*), (б)
• /£,<=( К«/ £*«/
ГДв оі к **Н* ОО ЛрИ ^ 00 .
5. Факториальный ряд вида '
. о» К
ТТ' И
*УУ-£г) - . (?)
,1=, к«, ~к .
где ¿ск~*>со при /.'-*• со.
б. Более оЗздл, чем 4), 5) интерполяционный ряд рациоцаль
пах дробей вида ..
оо а.,, гиі,
(8)
где сск,рк-е-са при *-*><»,^к>0(к=^.„) \
7. Интерполяционный ряд в;;да _
V»Л ТТ 3-я« ■
2зА X І. , • _> ' (9
8»? «э/ '-а*Е 4
где „“£«««-'» 2е^'
. 8.Интерполяционный ряд вида
f ! ■' - ; - 9- . ' ■
i M » '
«о»
*=f <~13~Ж ,
где последовательность комплексных чисел a¡i — удовлетворяет условиям
• l^ftl I вя+f I f Jin dfi «2,
CO ft-**» ••
а ряд S(l-la,0 расходится.
Закетиа.чго полагая в ряде (10) Y/ = а./{з-&),
. aíiOk— яу, pKátf{t/a¡'--v) ’
вд получзш рад вида (8). Понятно,что можно увеличить число частных случаев. Следует ответить,что наследованиям области сходимости в этих случаях при разных предположениях посвящены работа Го?тарзпйс ЕЛ. и И.К., Mpammsa II.tT. я Ахмедова Т.Г., Гайдара М., ГолсссгйЗ 3.,.Егф*алент А.., Яагранха Ф.,
Лунда Г .Л., Тйропсш В .Т., Толпа Яж.Л. и тяготах дрзтдс.
Диссертация состоит из-шести глав. В первой главе изу.ча-отся вопросы сходимости некоторых несобственных интегралов’ Зтилтьеса. Установлены следующие утверждения*.
Теорема I.I. • Пусть /(¿г) непрерывна в[D,V}x{t}QczCp -комплексная функция с ограниченной ррнациеа IJQ, iff на ®сякрм конечной отрезке 04Í<P и непре-равиая па g a 5eCf • ' -
■ ' I. Есяг я тоадз &taQ шяолнлю?бя услоги*
. - ■.
1) ‘ входится*
2) при ¿-*»-1-00; ; .
+00 ' . . ■ . "
-сходится, то интеграл .
* Здесь з дальнейшем мн сохраним нуисрац.чл) теорем и их следст-
вий проеденных в диссертации.
- ю - _
+оо ‘
. (II;
о
сходится в точ;ге 2д. ■
Л. Если условия I), ¿), 5) яыполняююя равномерно по в 5 ,ю.интеграл (II) сходится равномерно в 6.
ЛШШ 1.2. Пусть интеграл сходится в точка
Э,е$ = СРх(|Ф*$,г.)| >=-0(|| рОД II) при£->+со,
при Ь>^с>0 ,ГДС Т/>0 достаточно большое число.
Тогда интеграл 2(3> . СХОДИТСЯ Б ЛЛ)бОЙ ТОЧКе Ж£а(г
в которой выполняется соотноиеьиэ
&мцс<я-2,,|^}>г, (к)
где ' ■
уф / ^ Ур&) \
11^(01 \1!^)11 ’ * 5р'ФИ/’
Кроме того, интеграл $(&) сходится равномерно в либоы компакте, содаршшемся во цнозееотве, состоящем из всех тех точек £ , которые удовлетворяют соотновашш (12). . .
ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. Если интеграл 2(2) сходится абсолютно в заданной точке г(геб) ,ю в утверждении леииа 1.2 слово "сходится" запенится на " абсолютно сходится". -
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. ' Число назавается расстояние«
сходимости интеграла ^(2) , если этот интеграл в точках
/ Ы, Шр\ . *
3 — \?:е ,..7те у&(г сходится при 11 >п расходится при
*<Р« , где фиксированное ос = ^»ос2,...9сс^ удоглетш-
£яэт условию
. .-ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Число нааыиаатся расстоянии аб-
солютной сходимости интеграла 2(з-) ,если тот ннтограл в точках 3 а» сходится гбсоятно при *>Лс'
й пэ сходится абсолютно при г £Дв фиксированное ей
удозймаоряэт условна (13). - ■' .
, ГЕО^РЦ 1,£г ДНЯ ?0Г04 чтобы ДЭЙСТВИЮЛЬИОЗ ЧИСЛО Роь
пвяяяоеэ раооютим схадикоаги шюгрзла У(з) _ ' необходима и достаточно* ччо&ч шо ^до&яогвоояло соотнесению:
‘ ШСШ ' . ■ "
- 6 ' ?£Г/ ' / **9
гдо а) 4$ яз | «воли $4<Ш) расходится.
о В ’
. ’ . . - .. ■ 4са - ■ ‘
б) ^(¿). ЯР». »если £ с/<ЗЕ(0 СХЭДПТОЯ.
• 4 - й
Во вгорон параграфа приводился способ.кахэвдзййй.области
простой и абсолютной сходимости интеграла Р{щ), ■ •
теорем,- 1.3. . в пространства 0 оОлша еходишоти интеграла #(а-) • и интеграла ' ' .
(<*№)? ¿т -
совпадают. . , О . ■ .
ТЕОРЕМА-1.». Для Г ого, чг 00!! $№в$?№№ОЭ «ЙСЯО Дх являлось'расстоянии а.Ссойютвд!1 ск&дй'иэе?« ийвуралз;! .^) Н0О<5” кодимо и достаточно, чмШ от удоигбгеодяяо сат'.ашэмю;
м XI ■ ;
^ §}0^)р] (
где №-) ояредвяйетея шщтт образом»,
&
1.у £2) Ши
- 12 - •
•i 4so
a) 3(1) = X \da(b)\ ,если i расходятся,
0 . q ■
+ CO .fto '
5) 8$=3|с£аФ| ,еСЛ15 Jlciacftl сходится, -
~b 0
ГЕ0РЕМА I.6. Расстояние сходимости (абсолютной сходимости) pa.if&ci') интеграла (Q,^) -функция непрерывная
в Q ,гда •
йш Йеf(<e t ----- ■ >) 1 >0 3 ч ¿_^.+03 1ч Црф]] //>_ _
В третьем параграфе сравнивается расстояние сходимости с расстоянием абсолютной сходимости интеграла (й,СР) .
ТЕОРЁЦА 1.7 , Пусть а) неотрицательное действительное число удовлетворяет соотношении '
X“ ■
‘ V =3 ¿щ
т ¿->+оэ йо <р #»;Р]
б) Из сходимости интеграла (&,«) в течке ^¡л ' следует.
я+/ ГУ •
J ! e*PK<^tf;>)p]i 1 da{l)\<Jl£ («
$ # . ■ ’
Тогда в точке S интеграл сходится абсолкшш;эдесь
/ Щ г *Ч>\- -
ze,CC^+^48)e,...,f^+^+8)e 9,
и QJ удовлетворяет соотношению (13) %>0 -любое фикси-рованиоа число, Рл -расстояний сходимости интеграла (Q,f).
Из теореш I.?- следует.чго если выполняется условие
б) ЭТОЙ теореиы ТО ДЛЛ ОДНОГО Я ТОГО 23 ей ~ («f,...*#/>) РаР~ стояние сходимости и расстояние абсолютной сходимости интеграла связана кекду собой соотношение!,!
РсС<Мс(,<Рес +?«. •
. ■ • - гз - . .
Если и вштл^татся. у«овчо С) тиоринк 1.7 рас-
стояние сводимости ‘и расоюяние носолкти.! еходичости инмгий.'.-'-
»>
С«* ?>• ' соьладцм, И АЛЯ 10Г0»ЧТ0У'и вецвствениов Ч^СЧО /'<•<-)
было рзоотш« судимости иктегращ (а, (р) .ниооходтм ¡: дчеточяо» ч*абл то удозлегворяло ооотм-^ти
Р^О^Я * Ы Т17“5Г—Г1 ’
‘ " ^~»+во £е[^е
В четвергом парагрпуе оцошшегся остами: интеграла
такое,
чю выполняется уо'г'нм (и) > 2) р ярляетоя расстоянием сходимости ингеграла {ЯрЩ . Тогда (1/’>1рсь) при достаточно больном ^ я тойон имеет место неравенство
1Нч^н}^Ф-'(^е(<аг'?<н
В пягом цзрв1'ра|е доказывается теорема о трех системах прякцх (аналог гоорвюн Адамара о трех окруклостях): теорема о сисрхпколииоса» интеграла (в>!р) ' .обобщающая теорему Оотроградй е!?ого о орзрхс^одимооти ряда Дирихло. • .
, В шестой параграфа результат §§1-5 приызяяютоя к рядаи, близки!! к анторпсшиашшц рядам и рядеи типа Дирихле.
Ии ограпичимся приведенной здеоь слвдувщях результатов X) 3 пространстве 0 облаем сходимости ряда (14) и ря-« (5) «и«««.™
Д1 я, „ - Я, II -+м,йк5сС, та—.
2) Если ряд (4) сходится в точке г^е<? ,то он сходится в любой точке аез 9 ,в которой выполняется соотношение
(щ Се(г<^-г,,~*'**1 |>о.
й ~*х> I- 8 'Кщ' “ Яй 1 'Л
3) Ойласти о.оа^ыости ряда -^ й , 2 со
Т'пП(~~* V» -25й
¿«М«!! ~г~ и ряда ¿.]®и6 .
УДв
в пространстве сЧК}и{&}) совладают, иначе говоря, оба ряда иивюг одни и «в же рассаопиая сходимости я абсолютной сходимости. • '
В § I второй главы изучаются ооласти абсолютной % промой сходимости несобственного интеграла Стилтьеса £(¿) в случае, когда 19(^1 , мо&отсшго возраст^ит и ( 1т 8?«)1 =, + 03.
Пусть Ь(1/’) ->до!Ю5о;ши вырастающая"1 к непрерывная купч-
им 1Щ Т > К. >0 ,'Шйи,Ч'Сй йтп Ь{Р) + со и суцест-
«т-Э» •£-• §£ .
вует предел сШт'&Р)1Ь(&) равиокэрно ИО '• Й , в ЛюооУ ф ■"’£» 4*00 ' ' '
конечной части ппосиекяи *3 , '¿орда, очевидно, «о«но шорам монотонно газрастаюцую лосл«дс>:мте;шюс?ь положителышх чисел {^х} (*—^°°) так,чюои ряд .. -
со
2 ехр-[~-е &(а^(тл) !!)]■
сходился при любой фиксированном &>0.
Кроме того, пусть заданная целая функция № такова, что существует предел . ■
11Ш ^"(5)
у —а. со 2гС^9
рашомопнэ ио § в ліебоіі ісамечной области плоскости Ш.
Если в равенство (14) змеем верхнего предела сущесгзу-ет обычный предел, то оь обозначится через ¿(8).
. Рассмотрим векюр-функцигс
ШІЇ\ / (^(^) Ур№\ с*
*"\у) — ^ц#)Г• ■ "У—--]I а ооозначим через 4 инокеотао значений функций IV(4) при £> О .прачеи ЦИ'ФІІ“*/, УІУЄ 0. Вообще говоря, если § =»(й7,..,>!3р) принадлежит мно»ботву0 или оё заишшш £) »то ()|5 Ц 133
Пуотъ ’Р0’^0 “достаточно большое, а $/>0 -доегагото М1№ числа И ій,3]сі{і і і >14^ -любой конечный отрезок,
!'іі пояа^айи, чїо функция рФ о&іадаеа всэ ми шйфпом, ■
ЧТО ■
{{>ІІШ) — ЙI!га^ ^ЄIа»^3- , 8,,УВЄ 3}
есть конечное множество,- и '
га{^Н| ЩІ) - і [[< 1,'і >^}.
■ Множество представляется
в вида суммы-конечного числа взаимно неналагашихся интервалов, концц которых не принадлежат множеству $(&М) .Полонии &{%,%)$е*р{«} и *«- со • .если * е§(й) -пустое топдвпо,
^Сш &{%,*), в® Ж
ТЕОРБЫ '¿,1, йїікгрші %(р) сходится абеолймо т МН9Ждв-!В§ 0 ЇОЧЙК З (3/,.„,%р)@Ср гдовлбїйорящих
уеЯбЗВ ЧЙ ~ - '
•Ц<ё#Е>)*Н&?(8)«7 ■ - :
Йри любо« ¿1*3 $. '
ТЕОРЕМА Интеграл ¿¿{з} ,определений равенство"
(I) на су.одитсч абсолютно зыо шогестве <?"* точехс а удовлетворяющих неравенству !
К<5,2>) -Ь^(©Н0
при любом Л є %Г. Ичими словами, интеграл У(з) на схо-
_ ^
дится иисолшио в каидой ТОЧКО 2Є С/> ,для которой выполняется неравенство ¿(< В,2>) хотя бы для одного §£¿3
В § 2 второй гдмы теоремы '¿.1. и ¿.2. применяются к некоторым несобственным ишегралаа часгнсго вида, ишериоляцион-ниа рядам и рядам типа Дирихле.
І) Пусті числа %ц =• ( Я*^* •••/ Я*п*) такие,что
ІІЯдІ !іе Убніаит гри Я —І9-+00 !І%»II * " со.
Ц —>£>0
Еаберец функцию ' ■ .
Л0)
\аЧ, і>і, ' .
к<ь
о і й<-{<1 ,
гда й.ц -произвольные коїдилекенке числа, и фїакц'їіо
[ Сп^иа+ип^гА-
£<■“) ) к =/,2,.. , р-
Предположим,чго
п*ил+и П
Р(з,т)-
ір}(а; , о^і<г,
'Де ірц(з) («•=/,2,...) -непрерывные функции в некоторой пространстве ОрС.С^ удовлетворяющие услсЕ,:и: 1
Л&„{\Ч>«&\І\\Щ (Кгє ф.
йкеем
мо-а?, ?„'(«-С -С р!(
i . - 17 - ' ■
Очевидно,при эгих предположениях, интеграл р-(з) принимает вид ю '
. Pfe) =* Ю [ Я-Д% +... +%^3¡> 4- рп(2)]
ft“f . .
В.эхом случай, функция v/CO такаЯ|Ч1'0
|i=a VljW lUtlV .
Причем, qef)S3 Я обозначается совокупность всех пре-делыих точек ияеааома чисел «Кр^мо того, в зюн олу-
адэ miíüsísstíg Ф)(В) определяйся рязнствоа
,Vg€S S¡,
где -достагочно малое число.
Пусть подпоследовательность натуральных чисел { м-кая,что V§>0 сходится ряд . ,
' л
Положим -
2¡exp{ Д*-[ял, л**)я es(g)
Ясно, чю . , '
. Í |<Ш>1— SÍ®*!
я« кеаж
Кроне того,
’ 6«
Je*p{-^(íw)V«i» S , „ ..
#(&Я) &П 2 ---.r"<Wl
В чазгаоем»евяя • .- - -
: ар -
»(па«|111)~&(11Ч«-»0» '
то '
_ & 21«.1 ■
*-*м Киг%й) .. »->■* '
Из теороы 2.1 и 2.2 втекает следующие следствия.
СЛЕДСТВИЕ 2Л. Ряд ахсдится абсолютно во ыншшстве
(? точек ^ = (з/;..7г^еС^ удовлетворяющих условию
при лкбом и =в (ёь ¿$.
Ряд ^£0 па любои компактом множества Е ,содеряацеи-ся в множестве (? ,'сходится абсолютно и равномерно. '
СЛЕДСТВИЕ 2.2. Ряд £(з) на сходится абсолютно в как-£» ■
дой точке 3£~ С ,для котсроИ выполняется неравенство
Т(<%,2>) +&(£)< О
хотя бы для одного Л<= 3 .
СЛЕДСТВИЕ 2.5. Пусть //(’5) -индикатриса целой функций /(£) порядка + оо) и последовательность чисел {ад
удовлетворяет условии
Ьп 1\\?\,л1>/&рЛ = +°°>
Й —»оэ I j
сходится в множестве (? точек 5 ,длн когорих справедливо
неравенство '
\<Шг>\Ф)¥Ь?(£)<0,
где . 4> = а^(< §,2>), 5е & е.2р, при условии,что
• (г^{1фл(3)1/IIЯ* II*} =*0, У-?её.
Кроне того, ряд Р(3) при тех же условиях сходится равномерно
■ в каждом компакте, принадлеаащем множеству 1?.
Очевидно, что для целой ФУНКЦИИ /(3) порядка р функцию &[р) мозво заменим из %>? .Тогда Щв).
5змвтки,ч*о уяззрядонио влодашия 2.3, оад'шио, остается
2 0!!ЛЗ и в случае,когда $5(2) ДЯ» ^ ^ £ПЗ
Згот случай раосгютрся а работа Г.Л.Лувда , рззульгаш йвторого содержи э оебз ка» часгкае случаи, соетветстяуяадя результаты В.П.Гроиова, Б.П.Попова, И.Г\Упх?непа и другие.
Следует огаетитъ,что исследованию несобственных нрачщк интегралов типа Лапласа- Стшгаса зависящих от комплексных параметров поевлвдиы работы йсрагдаоза. Фархада Шрагим о г ли, опубликованные в .стапях. ■
Пусть Л» -целая функция, р( В, £ ) -непрерывная функция по каждому аргументу (4€[0,+&0),.Ше9с=С; )>Д§) «
-непрерывная функция в множестве <?
•л -функция о конечный изменением по на отрезке
[ О, Р~} при ¥Ф>0 ',непрерывная по £ с: 0^ .Крош того-, иы предполагаем,что функция 1р[£) ** фр(&)) ~~
непрерывна в промежутке I О, +£о) . в огрттииш аодуяем»
У^вС^+во).
Определим мишемо 1 ' ...
0|/1 ”7 § ;ее<?сСт, Ьм |/[</(§),#)>,
' I . ¿~»+ев , . ••• ■ ; ■>
где функция Ір^гЩ') такая,что
В эгои параграфе определяются также области простой (абсолютной) и равномерной сходимости несобственного интеграла Стиль тьэса
+Р&
*(злО = 1Г [<]{Ю.0)> +<? №] Р{1
о
зависящего 01 комплексных парацізтроь 2 и- § .
' ТЕОРЕМА 2.3. Пусть функция та-
ка я, чг о. интеграл т\ь\\ & сходится и Тогда 0 ^
а) для того,чтобы в точке (&а; пз множества сходился интеграл 3(2, В) необходимо и достаточно,чтобы й той же точке сходился бы интеграл • .
+оо I .
^ Иначе говоря, совпадают оодасїи, принадлежащие инокестзу . простой сходимости интегралоз и) если функции 11^11 и |^,В)1 »интегрируемые по І а непрерывные по В (£е[0, -Ью), £є(г) ,Т0 ДЛЯ ТОГО*
чтобы интеграл равномерно сходился на некотором огра-
ниченном замкнутом множестве #|/| .принадлежащем множеству (Ы) , необходимо и достаточно, чтобы в той •
же множестве равномерно сходился интеграл У(&,В) • •
Отметим,что аналогичное утверждение об абсолютной сходимости интеграла К*> 5) имеет место ив случае, когда Ф « ЩЩ) -напрернвше функции по и по § І$Є9ССЩ)
нгірфг •■ограничен п -щїю^о()\уту при ■¿■*>+00 .
/ и
есдк илїйград і \\'гт & расходуйся
при ограниченности 1!(р(^?П ,то теорема 3.3. вообща говоря, не верна. .
Пусть теперь
гд8 ^(®) и М(2)=г.{щ(э),...,\¥?(!2)) не-
прерывные функции О'!’ 2 (§е(? с С*) И ¡¡(геБсС*), Щ=(8,И) -налреривная функция в промежутке [0, +оэ)^
-функция о конечной изменением на отрезке ’ ВД >ур>0 . В этих предположениях имеет место следующее
утверждение. .
ТЕОРЕМА 2.5. Пусть интеграл '
■ . +ео
~ I «Ф{юА*)»р ¿(<м(ю,с&)>) $
сходится (абсолютно) в множестве точек
,принад-
лоаащих ынокеству
и выполняются условия
Луу —
ф,(ем; ..
IV,(з(") .
+ 0
4*0.
Тогда интеграл %(&,&) сходится (абсолютно) в точках (%,%) при ьсех значениях § из О »являющихся .точками непрерывности функции ФСБ) и при всех г из С1** .являющихся
точками непрерывности функции
Кроме того, интеграл У/ г; 'сходится Хайсолитнр) и
- 22 - • _
равномерно в любом компакте прииадлекащом множеству ^®ХЕ) » где &сСш -!!нс;кео'хво '1счпк непрерывном!) функции Ф(Ю ,а , £*с -чнояестьо точек непрерывности функции 1/У(я) . ■ '
ТЕОРЕМА 2.6. для олоднлости (абсолютной) интеграла в точках при вссх ШеС^ ,где конечна функция ф(В)
и при всех ЗсСОТ ,гдз конечна функции
а) достаточна сходимость (абсолютная) интегралов
+00
Ук,1 = (*=/,.■■,^¿=*,■■■,9).
б) необходима сходимость (абсолютная) интегралов Уц £ ,
если существуют системы точек '
Ш'кУ0? и) Гп\
I Л 1 1/ ^§е0’ еС ^
таких,что в этих точках функции ф(Ш) и У(3) -конечные и де-ториинаиты ДфИ Дуу отличны от нуля. . .
Приложение результатов полученшх в § 3- главы П к частным задачам рассматривается в 5 4 главы ¡3. •
СЛЕДСТВИЕ 2Л. Если ] [| ^ сходится, то мно~
о
■ житель ©)Ср|(<Я,(^(^>)р 4- не влияет на сходимость или расходшооть интеграла ' . 1 .
+св Г т ' ^ \
|ехр {{<%у(Щ ±Ч>{Щ АДактя*). при любой конечном £ =*(§,,...,Шр) ,где \1р({зщ\ =0(!1^{0П),при 4->+ъа.
СЛЕДСТВИЙ 2.5. Если ^ \if\i) || -сходится (соответственно, функция || -ограниченная при +0°)] ,вд
интегсалы ■ • ' *
. ■ . - 23 - .
- . О
сходятся или расходятся одновременно при любой ЛбС ,гдэ при i—*+оо (соответственно абсолютно сходятся-или абсолютно не сходятся одновременно при любо«
ГЛ9 I = 0(!| (рО?-Д|) при i-*+£»).
’ СО
’ СЛКЛСТВИЕ 2.6. Вели оял »S!|a,4,-A„| ОИДИТМ«
iftö’-'&cei -о(1я,ч-а,11),(»—».яве;ссо
20 ряды ,
ео е»
2 Дд>)р +& fe>} / 3 #Л (3) (я Я Ср )
Д яг / f* а/
оходягоя йжи расжодягся одновременно. •
СЛЕДСТВИЕ! 2.б1 Пусть -t>G3 (к-^ео) а р>0
G3
«ЙЙОТОРОО ЦОЛОО ЧИСЛО XfiltÖO,Ч!ГО рял 5*1&к| СХОДНОЙ,
^ «р ÄÄff ,, о рял 33! а*! расходился. Тогда рта •
Hai ^ N
ГЛ я
Ия/ К sзf
(ф^Ри±± к±у~4^} .
П=1 I К«#4* *■ *я/ *** - г «*
сходятся или расходятся одаогронвшю го воех сочках (^,15
'(£ф*к,к~М-~) • , ,
■ В чаотности, ряды (Л). и (Ж) при 5 в Я сходятся одновременно при любоя 4'(й 4*0СщрК в>/,
СЛЕДСТВИЕ 2.7. ПуСТЙ «ЫН0Г0ЧЛ81Ш СТОЛЙЯИ
ко больиэ а ряд ^ ^ (?; сходится (абсолютно)
в а различных яоадсая. Тогда он сводится (абаолшно) э каждой девочкой части плоскости з * . ,
В качестве примера, отиитии, что вот ряд Стирлинга •
“ ч» .2Г , . 1 Ал **
12(-/) («i/[a^‘,+M +f)öftri]g Й('“тт)
Д«Л/ f\ “** f /
сходится (абсолатно) в двух равдачшх чйчках,, омнчных от узлог то он сходится (абсолютно) в лдабой коночной часта плоскости S Б о5*4оы случае для определения области сходииоста неооб-отвеииого иьтеграла введено понятие расстояния сходимости на-, собственного интеграла и дана формула для его определения.
Для ■ ряда Дирихле, калящегося частным случаом насобстш ного интеграла типа Стилтьса, sia формула моа^т быть значительно управдив. Эгоыу вопросу и посвящен § 5, глаза П.
П^С1Ь СО д .
■ /(*) = ІЗ««® п3> (^Á),
ft»»
гдо SG С, а& є с, %Re.C (й = 1,2-,...}>рт %„ «со и Я
* ' Д->03 *• *■ *
такая, что существует С£ ((¿ЄЙ) для которого наполняется
неравенство ___ . ’ . .
/5й1л^(е‘\')1<| • .
Множество таких СС -обозначим через ^ .
Определим р{ce) (p(c¿)<£ R) и назовём его расстоянием аСо^лютной сходимости ряда (Q, Л) так, что ряд (а,Л) сходится абсочютио в точке g =т?е£С6 і но сходится абсолютно в точке 3 =4^1К' при ^>^(aí).
Если /)(<й) -расстояние абсолютной сходииости, то ряд (Я,Л) абсолютно сходится в области а$^ .точки Л которой удовлетворяют неравенству '
Д® |лГ?[Ся^)в‘-а)Я4]|< ■§••
Пусть последовательность J4 = {/?й} (jU&>l)fn = f,3¿. такая,что ряд 2 ~51Я«1) сходится >0
и расходится VS<¿? .Множество таких JH =г^|^|обозначено ЧСре
' ТЕОРКМА Р..7, Расстояние абсолютной сходимости p[ot) ряда (а,Л) удовлої'.чарязї карачуисїпу
■ Ущ, . &(.*«!£!?.
. вв(е«я4) ЛгДя*^да «е(а‘%)
В частности, если для некоторого có [ає a (/¿бЩ) выполняется равенство . ■ .
йп
Я ->СО ?е(&ьйЯл)
то ряд ‘ (С£>Л) абсолютно сходится зо воєн пространстве С.
Пг’сть М. = (.Діді такая,что У§>0 рвд ^ JLg£|íW «у > Л-í Г *
сходится. Через обозначено множество ваех. jll
добавок для { Яд} і которые ' !/£< р(сС) удовлетворяют нэ-
равенству ¿~
Г ¿í?e(e Я/th ^
} =/'?д(0< + °°-
' «п^С»)
TE0PSMA 2.8. Если ду непустод ынонеотйо, то
имеет ыесто неравенство ■ ■
■т I)
sap т г~-------------------------*-v(oc)t
■ №%г(ві) Пч,с° RQ\Q &п)
(М) . ;
где ріє ,u •
Слэдсриэ 2.8. ,Пуоі& jO(cí) -раосїояниа абсолютной сходи-
кости ряда (<2, Л) .Коли непустоо мноаесгво, то
fyM Є {4ИЛ } Є Т& 1111961 мест0 Ра*0[(с'мо' •
й^м,
“ • »->í0 ^еСе^Ял)
где <*Є • .
СЛЕДСТЬН 2.9. П;/стъ для любого £>0 ряд НО©
" ' п*ч
сходится. Тогда дяя їол.чіооа- било . расстоянии.' абсо-
лютной сходимости ргда (а, Л) необходимо И ДОСїаТОЧНО,Ч!ГО- ; Сы имело месго равенство •
П ' П-»оо *«(«*%,)
Следствие 2.9. являемся обобщеннее геореш (зУаІЬі/'ОПй.
В третьей главе азучав’гоя рост цчлих функций, определенных всюду сводящимися рядами Дарюте. . .
Пусть посладоішельность псло«:иїєльккх чисел £Я^!> такая,что 0*5Я/<Я2<‘" ; Й^Я>= + оО и { ЯЛ- есть,
к~>&з ч *■
последовательность добаззок дли последовательности (Я«,! *
90 . —“*
т.в. ряд ~е сходится и расходится
к=) Лк
Рассмотрим ряд Дирихле . . .
/(г)^2айёЧа\(а,-Л).
к-г
' Пусть /(г) -целая 4о'шмйя, подставленная айсилкжнс
сходящийся а комплексной пйьслооти рядам Дирихле (а,-Л).
Поломим <М(&) о* $ир \£(<3 + ¿¿) | .
|£|<+са . - ■
Дяя /(г?^ определяйся й -порядок р , НИННЙЙ £
порядок % , £ -ТИП Т ~ Т(дС) И КИЯН ИЙ /? -ТИП І~І[ц
где 0<2£< -ЬОО і по фориулаи ' '
?-& 1±®£>, г»&, -А*?
а ®^+ю в • і ^ ю . ^
_______£дадеы обозначения________;______________________________
л=^ гм,, ъ^.±и щК^А
Л] —>.{0 £?і\Сір_\ У ц~$&) вЗ£ І " л
%-lk r!~гя/ад^У4*]
-%и д->*> щА\ац\ ) ijit в-»*1- ' '1 л” ■*>
1 и г „л ^ №li № I IО
%w= îw-л*—7‘
3 работах Тапака С., ¿IspÇiéiadL.G. показано,что если
D
Jtiïl -х—п~п~—0, то справедливо .равенство р ~&1.'&-2ры.1аЛ&. П ->ео Як&Л< ’ яН Вп К % л
а’а:с.се доказал,что если Ш -7,-—Г-г- = <3<4со и А6<f /• N R 5ê0 Д>дсЬЙ.Ял ^
^ O'^.pfK +00} ,то справедливо неравенство
Орудкев С.Р. позке Бойчук B.C. и Еременко А.Э. доказа?/и,что если ==С£<+00 ,Т0 rP4>Tfbxp(zccc).
Кроие вцыеуказанных углвркдений имеются результаты Бойчука B.C. и Еременко Д.Э., Jurzejcz O.P. , связывающие меаду собой величины ¿3, Я,7,р,р,,%13 Т,,4,.
Основные результаты вышеуказашшх работ имеют место при ограничениях на рост ад. •
Полученные в треэьей глазе результаты,относящиеся к оцен-из Æ -порядка, £ -низшего порядка, R -типа я R -нижнего типа целой функции через величины зависящие от коэффициентов ы и показателей { Я«} , имеют место без всяких ограничений, на (Я,*} ,кроме ЯИ +оо.
Кроыо того, полученные здесь оценки более точные, чеп оценки для частных случаев, рассмотренных в работах Бойчука B.C. и Еременко А.Э., iîgpeiHa A.G. ,Оруднева С.Р.
Б § I третьей главы оценивается ft -порядок р функций Аз) ■в зависимости ог ■{#л} 11 {Я*}’. .
ТЕОРЕМА 5Л. Если ряд (г, —Л) абсолютно сходится к /(£/ на Ecoii комплексной плоскости и | < ^ ' ПРИ »
то для $ -порядка, равнего .этой функции справедливо
кроне того, если Р< +00. /тогда ряд (а, - Д) абсолютно сходится на всей комплексной.ПЛОСКСОТИ.
. СЛЕДСТВИЕ 3.1. Если выполняются условия ’
Рй ?п К •
К™*~~ТК----------0 и п^\<1 (п>пв), ■
то £ -порядок, равный р , функции ¿'■('2) удовлетворяет не равенству ,где
/Л=п%ю^"&Я*/4С'|а'!|Г] ■
ЗАМЕЧАНИЕ 3.2. В ходе доказательства теоремы 3.1 .показано, что всегда <М[б)*/Л^(б -£),у^с,где
-последоватзльность добавок для {Я#} * ^ ^
Отсюда, в частности, если Жп -(¿< 4-сО,
•V '* • "
то получится известное неравенство М(б)*$:/41(іо-сС—$')і
ГДЄ -Я в ■ ■ ' '
«/М6)*“ ^(¡аА|е *• ),-б>/У(5).
-
В § 2 третьей главы изучена зависимость й -типа Т7 функция от коэффициентрз и показателей, в случай, когда функцій
^(г) продсаавляеїся £ виде ряда Дирихле с вещественными показа гелями.
ШШАЛііс Пусть ряд (а,-Л) абсолюцію оходиїся к <г(2) на всей комплексной шосноочи, ■ .
Пусть -последовательность добавок для
"охда для к -типа Т функции £(&) выполняются соотношения , .
где
Кроме того, если Си /^<+00 , то ряд [о., -Л) аб-
солютно сходится на всей комплексной плоскости.
СЛЕДСТВИИ 3.2. Если выполняется условие //да ■-----
п ->х> %К '
то к -тип Т7 функции /(¿У) удовлетворяет неравенства«
й
Если ^0<+00 ,то ряд (#> -Л} абсолютно сходится всей комплексной плосксотн. '
3 частности, из следствия 3.3 вытекает,что если У§>с
00 —вА, /•
Рр-Д * "‘г сходится, тогда для того чтобы ряд [О., -Л)
сходился абсолютно на всей комплексной плоскости, а сумма ря£:
¡шелл Я -тип Т необходимо и достаточно выполнение раленс^
ва 7* =7).
В ^ 3 третьей главы предполагая г'
и обозначая '
р ^ м V _ ^ 11 1 I)
Л Ян/ “Я/Л
доказана следующая
ТДОРаИА 3.3 Пусть ¿?*$.Р< + 00 и последователь
нисть {ь} убывает,тогда ^
а) = 171/ и б) = ¿й/ .
д ^ /г ^
Следствие 3.5. Пусть выполняется- условие
2'т (& %п нДА) да ¿7
И —«»со
и для этого случая -не убывает.
Если Р< -+-оО , IV
б) ,где =* — ІОп -■■■’ / й
^ №о а-»«о (л|<2йІ)"Я!/;1»
Кропе того, если = , Піт -й— <-юо , 10
й -s' ос Л/Л .
3îe£
Следует отметить, что неравенство имеется в
работе Бойчука B.C. и Еременко А.З. и там же указывается неулучшаемость зтого неравенства. Хотя здесь понятно,что з некоторых случаях улучшение имеется,гак как не исключен случай строгр і» і
го неравенства . . •
В §4 третьей главы изучается рост функции с бесконечным £ -порядком. 1
Пусть -
Д2) = 2аЙе*й^ S=G + ii Jfî) Яй^+ОО , М).
пЩ Ц-&СА ®
Если й -порядок р функции і (я) рзвев 60СКОИ0ЧНОО2И, определяются порядок и тип функция f(s) следующими формулами
(**&<+»’«>*)•
Т‘ ^\<+со^У, .
где р =+оо, \x*&(ht •
rà|<+co
- Положим ’ •
№=lïm
Г/t »-*«, й{/,пШуг ад« n>ti(J
г до 0<Д<-{- оо.
и
j
такая,что ряд 22 ,
сходитоя V§ >0 и расходится Vg< О .Множество таких
/!={/Ил} Сріп>і) обозначим чэроз 7k% .
ТЕОРЕМА, 3.6. Если t'*/ я5*< + 00 тогда ряд Га,А)
“ ЛвЯл, ^ Л
абсолютно сходится во воем пространство С. и порядок р*
функции /(а?) «являющейся суммой ряда (S>A) удовлетворяет неравенству
р < Ш р^}. к ***** &&* ■
СЛЕДСТВИЙ 3.9. Если <ГШ —^-------=0, Й|ЯЛ|</, И>П0
П -3>00 Я*
“ДЙЛя АА-, / & 1 а* 0'] < -н» >
тогда ряд (<1, Л) абсолютно сходится во воем пространстве С и порядок рк (О^Д<+00) функции /(г) удовлетворяет неравенству
В частности, если сгк< + со и </ , то •
fk) . (а] -)
р^р, (/-«*/>, ) ,
ГД9 ___ -
ЛС'Ч^ЛяА.Д»/6іа..Г'],
Этот случай был доказан такав Lok^hmiftavaziwian T.V.
ТЕОРЕМА 3.7. Если 7W= /я/ 7!/“ <+оо тогда ряд ’ (3>Л) абсолютно сходится во всем.пространстве С и тип 7^
при порядке pH (¿KjDx< + оо) функции ¿(2) , являющейся
суммой ряда (ft, Л} «удовлетворяет неравенству Т ^ СЛИДСЖ15_Ц:0_. Если /¡^ [ ?ti lb. П Д л ] =• 0 и
то ряд (cit Л) ‘абсолютно сходится во всем пространстве С и
тип при порядке J>K (0<рк<+ оо) удовлетворяет неравенству
• Тк < .
В частности, если Г ?п /1/&Л <-4- оо. то
Й со *• J ■
Tf • exp ^
гдэ
что было доказано также Бабаевым Х.Б.
Следуето отменить,что имеют место неравенства
Здесь не исключено строгое неравенство •
В четвертой главе доказывается некоторые неравенства связанные с ростом аналитической функции в полуплоскости.
В | I четвертой главы доказываются теоремы о верхнем порядке функции я полуплоскости. . .
Пуск, . л я
¿Оа-'Е«»« , («.Ах
#"/ . '
где йтп Я п = + 00 И ряд (в, А)
' * ,4 -►«л * .
абсолютно сходится п полуплоскости
Дагене Б. определен порядок и тип функции /(г) , слуда щш образом ' . , 1 (
/> = &т о<р<+оо,
-------Г ■«-Fun
где М{?)= s«р |;/(б+#)| ,
lik+oo
а также определены велччины
* _Е WI4.I у! й-*ю Æl Я/6 (f+j»)^ Я^.00 ЯГ
В.С.Бойчук,обобщая результаты Дагене Е. доказал следукь мую теорему. Геороио. Iiyoïb
ffo [&&«$>/&•£] = S,
, . -?-»+оО г
где 8 к) -функция плотности последовательности J я,.
лда.4(«/,^)zsf, {, . L
Если s«f .то /)-5 ф-Г) если S <р!0 +JO ,Т0 Ч' ~р.
В частности, если S«&<£/ ,то jo==,atf{(j-ctf).
Если последовательность { Яд} растет медленно,вернее, если S>f ,ю для порядка, а при S >S>j(f+p) для типа функций Кю не установлены оценка сверху посредством коэффи циентов и показателей ряда (а,А}.
В настоящей главе условие на рост последовательности^^} ие накладывается и эти вопросы решаются полностью.
Имеют место неравенстве
&(б) « ÀL® * Я?jEj(«-в,еО » гдо г Vn
^ /• » ' Г Лй» + &f У1/Я
-постоянное число, зависящее or {?*}(?* >0 я 8,*,; -такая, что У?>0,У§,>0 ряд^Х^Я»* С1+^4'5
сходится. '
В работах Vunejct 0.Я, Kyizbwo Nandcjti, SyitrOséaia £.§.
при сильных ограничениях на рост показателей {*«} ,получены формулы для выражения порядка и типа функции /(г; я полуплос-
- 34 . ■
кости S< О ■ чорез коэффициенты и показате-
ли {Яа} Ряда {*>&)•
ТЕОРЕМА 4.1. Пусть _ ' •
u«j; z 1+р &_>*,
■ “ • «
&->*> ■
) ) VSf>0,V5>0, сходится.
Тогда ряд (а, Л) абсолютно сходится в полуплоскости и /? -порядок со) функции jt(^) ,яв-
ляющейся суммой ряда (а, Л) в полуплошсоти #е5 = £<0 удовлетворяет неравзнству inf р., '
■ . 04 * .
СЛЕДСТВИЕ 4.1.' Если &/</., V§( ,£>0 И ряд' м ~Z,M\np-\ +■ 8 ■ //v
Se * сходится, тс р =Gifl{f-G£f).
* ” СЛЕДСТВИЕ 4.2. Если g< -f- оо и 1+Р+г
*ь оо[& я,*]<л
10 Я* /('-*?<,) »Р:-,
Из нераленства
Г/ «'Wvrvif" &&&• W'lQsl } . Г ■> '
11 из следствия 4.2 следует
•Р fyo ' ^
?+.Р* *+р?„ • . ■
. В работе Бойчука B.C. установлено,что если S^f ;то .
Pf{f+P)*V-
¿тот частный случай является, вообще говоря, пе точной оценкой.
В § 2 четвертой глави введена аеличша------------- —-
т ^ ^ f ^ 12* I)] ^
Т*» ------—- Ш --------------------- , . гдз 0<р<гЪО:
г (f+j»yv«-»e» Я,£ • ■ .
ьо .
t o*vn
такая,что рад Xj-—-
сходится V %>0 .Мнохестзо їаких т обозначим чэреэ#^.
ТЕОРЕМА 4.2 Цуоть 9=»{^е^р и Йг/ Г,< + 00.
%£.У%р и
Тогда ряд (а, А) абсолютно сходится в полуплоскости Rq%<0 и й -тип 'Г* при порядке О (О<р< -f со) фу.мции в полуплоскости =го< й удовлетворяет неравенству 74 £»/ П . ,
J , f/гмж '
СЛЕДСТВИЕ 4.5, Если Vg>0 ряд }<+Со,
то 7*= J5. >1~і
Следствие 4.3 более общее,чем соотвйтствулщее утверждение БоНчукэ B.C. о том,что Т при
3 § 4 четвертой главы изучен порядок и тип функции,являю-
щейся суммой абсолютно сходящегося в полуплосксоп! ряда Дирихле, з терминах ее каилуч'дегд приближения посредством квазиполиномов в ыэньией области. ■ •
В 1983 году Nouiiya! d. и skukfa $. 5? обрати-
СО £ g
лись к зі’ону вопросу, рассмотрев ряды Диркхдв /fr)-2a,eTM)
с лачаэзтвлйма { Яд} .удовлетворяющими условиям
і. ...<Ял <••• > Jw Я>» =-}-со>
іI 00
п. iim ~Яд) =■<$><?•
п —>со
Оставался открытым вопрос об окончательности услогип Я.
Пусть и ©2Г«с, классы функции /(?) , яредстьг.:-
мух в ввде суммы абсолюта о сходящегося ряда Дурила fO/A) в полупяоскоотях ЦеЗ < ОС и ЙЄЗГ ••$. ОС/ со^тветс :аоп-HO,I,vJ ясно, что
і1 (г) € .51 ^ => * (г) s ^ при j3«*.
Класс всех каазпаолч.-юмуу Ргп&)
ш
P«fe> - 1Цокъ
K=»i ¿h'
степени не выше ті .обозначим- черев і/Оц. . '
Наилучшее приближение функции /(2) в полу-
плоскости fie 3 •«. J3 определив формулой
£4(Лй- ¿8/ s«p №(е+г£)-Рк(б+г£)| . .
вс« ЯГД Н К+оо
Пусть {?«}( Ъ>0 такая последоватзльность.что при любах S/»S>0 сходится ряд , .
Jri-K-a/’**8),.
™ *»& ^№№i£S,
Ь «-»ее Їц%ь ■ об -^икоедаьаяо.
Множество всех таких последовательное*^ Ы обозначим через 7&р .Кроме того,обозначу через 37bj> ршозсясїво всех последовательностей (?я^О ДЛ8 К0^°рих пРй
любом к при 0< J3< +оо сходится ряд ' •
доложйи тая *э • . - - .
Iа о+р)'*г *-*«> : Я*
ь о^р) «-*« х;„
В работа Дагане 2. определены порядок р и тип Т функции /(г) являющейся суммой абсолютно сходящегося з полуплоскости £є;? = 6<о; ряда ,следующим образом
7“ Іл+№М№ .
Піт ----- —-=/>, о*р*+со,
&—р’О!," — й(ьб —б)
И ____
__(скз) &+я(в)— 7То), ¿><р< + вд,
«э
где л («о) = I /(6+ /І)|, б <а.
Іі|<+со
_ СО „Л
ТЕОРЕМА 4.12 Пусть /(г)«г % и У5>0 ряд 2® сходится. Тогда для того, что бы /(?)Є ^ необходимо*1 недостаточно, выполнение условия
яй,»и___—1Ч,,
ГДО —СО<р<С4<1-СО,
ТЕ0РЕІІА 'к 13 Пусть У$>О,\/£]>0 ряд
<4іе СХОДИТСЯ Н дг)е ®о.
Д — Ї - - «
Для зого.отобы функция 7 (з) є ¿3^, и была с порядком р в полуплоскости £еэ <05 , .необходимо и достаточно,чтобы 0^д</ 11 <Р ~ Р ?,Е 'Тде
Р — - /V _ йГ &?п+(£п ($'>&£
Не ?~Че ?'е ---------КТ
' ТЕОРЕМА 4.14 Пусть \/8>0 РЯД ^¿'
Л**»7
СХОДИТСЯ, где . £>< ^<Ґ + 00 И Дг>€^. Для того,
чтосм ^'(ї?) Є -оо<р<оі< ч-оо) и имела тип Т* при порядке ^0 иеобходкио И достаточно, чтобы Т7^ 7^ =а Т^£ • ТЕОРЕМА 4.15 Пусть ССе< 1 , ГДЗ<*Е-- Ш %
■г%р^У
и £ (2) € . Тогда / (2^ € и для порядка £>
фу акции имеют место неравенства
Да^/Ь * Яе • ’где /У“ т^~ •
ТЕОРЕМА 4-.16 Пусть 7^5 < +00 и /(г^е3^>
(-со<р<ов< + «о) ,где Те « * '
Тогда ;/(в)€ Зй и для Т ,типа функции /(з) при порядке р {0<Р < +■ со) , иыэют место неравенства
Т * 7«^ ^ »' где Т* " {ыезд/г*а • Заметим,что теореш 4.15 и 4.16 выполняются не накладывая условий на рост Д,е, .
В § 5 главы 1У доказаны теореш о росте фушсцкй, являющегося суммой абсолютно сходящегося во всем комплексной прост-« ранстве ряда Дирихле с комплексным показателем {Я л} »ГД®
Ш | Л^(е£%)|<^-. ■
й-»оа «' 1 £
В § 6 главы 1У теореш о росте функции,являющейся-сумкой
абсолютно сходящийся вз всем комплексной пространство,ряда Дирихле с вещественным .показателей, распространены на случай уточненного порядка . • . ‘
£ § 7 главы-1У-"установлены уточненные характеристики роста функции, являющейся суммой абсолютно сходящегося в полуплоскости ряда Дирихле с вещественными показателями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4Л. Функция ,р(Р) «удовлетворяющая условиям " .
1. -дифференцируемая при -
______г,11т—р{?) aШY,i------------------------------------------
--«>>+ОЭ « • *
з. йт рр(р) = О
^ у^*оО
называется уточненным порядком.
Предполагая,что рад
с<> Я -з
где 0«&;< %,<* I firn A, - +со, ox^itca 8O01»
п U со
ü полуплоскости «33 2srG< ct t/’iaHü окролов.« не
Г,
Tt.
G —> <X"
где <M(<5)*~ sap Щб+Й)! ,с<се.
| 5
ЕСЛИ БвЛИЧИНа T PfTOThÜ 04 ЧЦЛИ И Öe*. .{‘^s.^JilOUV..,
^ '¿¿~L'gr~) иазывавгся утсиытша щчднсм ;: м;;ий v.п-:«-,.!.. /(ä) в полуплоскости Rq£<06 , а 7* -'г^лоу ( V’, -
нижним ТИШМ) функции /(г) при J: • .• чн : ь и ом it'VfWKöj^St
ТЕОРЕМА 4.25 Пусть ряд (й,А) абсолютно сходится ПРИ Reg =■$<<£, Р(?Л (r/(Oi —&'))} -УТОЧИСНИИЙ П'.’|(«ДУ.С ПРИ 6 —> (X - Ö И ö< Т< +С0. ;.р
«да Ч«т, Гда ')}
И ? - & Ф(^ , является единственным решением уравнении
^p[ppi?) + r~]-i. ■
У искрствэ последоаатсльвосгей v “{^j* ,где fg.'Z't (X-f,2r и У%>0 ряд
tl-i-p-ifof
„äJ П<д, / . сходится,
В и/ 1
обозначай чзрез ЛЗр^ .
ТЩШ *,М Пусть j>(& (1((<* ~®))) №1 $-*Ч"0
уючк<шшй порядок, йалй '
» /тг/ Т„-=* т<+сО, -
?ея*Я, *
то ].цД (а,Л) лосолвтно сходится в полуплоскости
я уточненная ТИП Т [фИ уточненном П0;ИДК0 p(fil (iftf-*3))}
< -40- .
удовлетворяв* н&ргш;иству 7,< 7' ■, •
сдсддтвиа Пусть рШ?/(сс~<3)))
£<? / , лМЖОч
утй*:нояяы&: порядок и 1/5 >¿7. ряд ®ехр(~е5Ц ") ;
сходится,где 0<р< + СО, ** ’
Дм того, чтобы ряд (Я>Л) абсолютно сходится при #е£^ОС. и /(2)е 2Га было типа 7*. при уточненном порядке 1р^(/До£--6))^ ,необходимо и достаточно,что-
бы г ~тг ' '
В пятой главе,состоящей из пяти параграфов рассматривается вопрос роста функций многих переменных. • . .
В пе^в.а: параграфе этой главы исследуется рост целых фушс-;::1: многих нироменных,заданных рядами Дирихле,а во втором параграфе этот «опрос изучается,когда функция задана обобщенными рядами Дирихле. В § 3 главы У изучается зависимость сопряженного [2 -порядка и (I -типа целой функции; являгацоПся суммой кратного ряда Дирихле, от коэффициентов и показателей пяда Дирихле. • • . ■
В а Ь этой глава исследуется росу функции атнюлш&ся еуи-
мой кратного ряда Дирихяе1 Шсттю сходящегося в полиполу- .
ПЛОСКОСТИ. ■ 1 • . . . '
Наконец, и последнем параграфа глава У расоиатриввв?оя. распространение некоторых.теорем о роста ка случай; уточненной ыкалы роста целых функций многих вереиенных. ■
В шестой главе изучается сходимость интерполяционного ■' ьроцосое в комплексной области. .
В § I шестой главы изучается сходимость,ряда—------------
I ъДЬ-Ш'-ж) • М)
где ОС/1, и (П -1,2,— ) -произвольные комплексные
числа, удовлетворяющие условию,что /гд?^= Ра = СО-
Д-»оо к-*оо
Очевидно, ряд ($) в случае ірі ~ о (І превратится з интерполяционный ряд Ньютона, а в случае 7/^= 0 (І«*й2,...) з обобщенный факториальный ряд.
Ряд (і$) в случае <Сн^ч!Х-\-Ни,рк=*!?-{-1<ь(к — М,---) гдз й. и Ь -различные комплексные числа, был мзучун
КЛадтапде - и .
В.Л. и М.¿{.Гончаровы изучили сходимость ряда
С, + 'ШъТ7^-, №
л»/ к~і /-<г*з •
где { $;<} является монотонно возрастающей последовательностью действительных чисел, стремящейся :с единице, и ряд
<=/
расходизся.
Нетрудно заметить,чго ряд (»1)) посредством .» І'/-*-/ . /¿0>, „ І+Яі,
& ~а ---- ; к» *------,» , И _------
им * ?-ад ^ 1-а.л
преобразуется к виду (а).
Кроме того »7.^ . ЩіаІ&к изучил сходимость ряда
со а-
VI ~ ТТ г'“ ^ .
Ь°п 11 ~2—ХГ’ (^)
' Л =7 К га? ^ ^
гда последовательность комплексных чисел й,1 ¡.1=1,2,:.) удовлетворяет условиям
ІФіі« Ил-и!, Ііщ %),=: а „\а\ = 1, -и
РЯД ИЗ 0 — I а*|) расходится. .
«к? , . . '
Полагая в ряде (¡СО./
и, а С, &
■ IV» —. , сСК=я——Вк=* —----------------------
г-а о.^—й, » се.
Мл получим ряд вида (<?0.
Ряд («?!) в случае г ГДа ^
постоянное положительное число, # и і -данные комплексные числа, причем й фЬ>ифО, 5- £<0 был изучен В.Ї.Мироновым.
В настоящем параграфе обобщаются кекотррне результаты упомянутых авторов и установливаются ноше результаты.
В § 2 главы УІ изучается интерполяционный процесс Ны>-тола. Доказываются следующие теоремы.- ■ '
ТЕОРЕМА 6.7. Если функция /(з) предотавляетоя в вада ряда Ньютона «з -
13
в аосцтШ сходимости и утвш Щ ц » ) , доя-
Й се #
5Я ІЙ. сз+ОЭ И ’Й! аз^СО,
' ■ *■ 'я-*да " Й*й 5.%
то иие-эт место неравенство^ '
&|/(те^І-йі'-ЙІ5 & ^-)<Л(Й <в>
'гаа 6>1),^+о(|^.
.1 б<? * если конечное,
б»< •
1 -Д , ерли «?й еа — со (любое, конечное
число) и С не зависит от Р. •
Из этой теореиы получено следствие. При 9^*= Х[
имеет‘место неравенство . , • - ' .
4, ±і» і-*-. /:•'
|/(^е )|<С3о • • ?
і •
где к (&) ла С0В& $1 2С05& ■ -+• б 5?й &, Су -не зависит от Ї*. При £у=а ^ к** і получается теорема Н.Е.Яерлунда, ". ТЕОРЕМА 6.8 Если ¿(ш) регулярна в полуплоскости .
■?<ї еЖ непрерывна на прямой $22 =г(й и в этой полуплоскости удовлетворяет неравенству
, г/гте ____.____
'Й|?(й +«)|-кг-ие К^ЬІі^Ацно,
где !$\ < ~~ ,тогда № можно разложить в ряд Ньютона ю
^(2) - 13 [Л */,...,«*](3-Л,)...(в-Я!в) ,
К=! •'
абсцисса сходимости которого не моает превысить налевцьшес«из чисел р и , п
где _ ........... ^
а - V * I \ ^
Б § 3 шестой главы исследуется сходимость кигерполирующух рапионалышх функций с заданными полосам:! {Рк| • Следует отметить,что при ^=^=.„=5 00 доказанная теорема 6.10 совпадает с теоремой Д.И.Ибрагимова и М.В./Селдыша,
И § 4 шестой глави рассматривается задача об интерполировании мероыорйиой функции дробно рациональными функциями,когда иьоиссгзо всех полюсов Интерполируеиой иероморфной функции и течки интерполяции имеют предельную точку в бесконечности.
3 зависимости от расположения узлов интерполяции, полюсов интерполирующих рациональных функций и от интерполируемой иеро-морфной функции устанавливаются достаточные условия для сходимости процесса интерполяции. ' '
ТЛОРЕНА б.11 Пусть 0^,—,С6ц,... -последовательность
узлов интерполяции
КгК!<*д^!. !«л|=оо, |«слкрд,
• К —*00
функция ПЛОТНОСТИ последовательности Пусть далее Пг) -целочисленная функция, не меньшая .функции плотности 7й(ф последовательности 1^*+/1
ЬлЗ ¡8^1 а»со, В -множество всех полюсов мероморфной функции
д ~т»00
/(3) .в.содяцих г {А} с учетом кратности полюсов (*={&}), Т.!,'. '-СЛП Де ЯВЛЯОТСЯ ПО 1К‘С03 /(з) кратности р ,то в пос.^до^ичг л ь к и с т к {.в«} члело «я .повторяется не :мнвс
- И г- .
р раз, и • '
Если существует такие последовательности чисел , 41 о
выполняйтея условия . ■ ■ •
“СО (-#•)
и для оЯ(*9 выполняется предельное равенство-
-К?*)&Є/2 +адчРСРк) +8^ -»(П)]} --«О
каково бы ни было £ ,то посиедовательность интерполирующих рацманльных функций
будет при неограниченном росте К равномерно сходиться к Дї в любом яруге конечного радиуса с пропуском где &1,Ш>0 -сколь угодно иалые положительные числа, $у сколь угодно большое чирло, и
ад*,' 5* £££<#. .
ТЕОРЕМА 6,12 !^,1Дус1Ь М.[п »мреиууы асдуяя «вроыор иоа функции Дг), {«*> '•пос4едозате.’!Ьйоо?5 у&зэа шзгариол циа 10(*| ^ |«*+,|,1Сбс1 -*«»,І06кКД., Й(V) -4МВДНЯ плотности последовательности {л.} .пусть далее -цел
численная функция, не аеныаа'я функция плотности Щ &) -л з с; зательности чисел ^ ,гда І^В« 1< 1)3^!-»+«>* £ - множ го всех гс^юсов (£с .Зели существует последозател:
ность >»«и;ел {^*} »{ у*} для которых выполняются услонля (* -ІК-4С(IV) <(6 + £)'^ф >0__________________при л'сбом %>0 ¡КЖй
и Я(г)>[у/Х)при Г>7*е і и 2Д... ^ +>/> > V*
- « -
для любого фиксированного р>0 ,
К йтп \ Я £» /ш — Л =3 р
Л-»со\ ,РЛ(тЛ)/ К^ф\Рп(Гк)/
о,
то последовательность £ прн неогРапичеи”
нон росте к будет равномерно сходится к /(а; в любом круге конечного радиуса с пропуском ¡3К (/<=*£2»... ) зсли имеет место неравенство
S(^)'/JK< S І di
ГДЄ * и,/і,
/Vft. J
ЗАМЕЧАНИЕ 6.1 ■ Если /О) -целая функция,то арнр =tu' =г2ра -Vp как следствие из теоремы 6.II получится теорема Д.О.Гельфонда . .
Действительно, d otojj случао S =32,h =0/p =»7.
В § 5 вес той главы рассматривается та се задача,что и ъ § 4, когда узлн.интерполяции Л...«?>(« «7,2,... )> ямлютс-корняіш ft -й. степени из ап .где 1%|=з^д ,0<Щ<$2пн>
ііт .тл«»4*со.
?l —>GO '* ' • 1
ІІнтарполирувдй полином №) .определенный интерполяцией з корнях h -it степени яэ произвольного числа йц ,гдз
лиеется в монографиях Уолпа Дх.Л. а таете Скирновп Ь. • и Лебедева Н.А.-
Для кратности сформулируем следствие из доказанной з дз ной параграфа isopsmi*
- 46 - - ■ ■ .
. ' . ■ ' '
СЛЕДСТВИЕ б, I. Если Л(^) -функция плоіносги последовательности -целак
функция с ыаксиыум и одул я вМ.('У) и неравепсгва •
& <>Ж(р) < %т($¥)? о<%<~1ив,
выполняются при некотором фиксированном 0 } 0<9 <1 для
последовательности . ^ = Хк/& (К =* 1,2.,..: ) ) то
последовательность пРи неограничэннои росте Л
равномерно сходится к /(2) в любой круге конечного радиуса Основные результати диссертации опубликованы в следующих работах. •
I, Орудие б Г.Л, О сходимости интерголяцшшого ряда І!їі> това.Тр.Азерб. Нед. ин-та, 5,2, 1955, о.2'»5-152.
2.Орудиев Г,А, О охсдініооїй шїїврполяциоішого ряда радвэ-пальшис дробей. Изв, АН Asep6.CC?, сория фиа,гож* и хш.коук,
ІЕ 4, 1958, с. 3-22.
З.Орудиов Г.А. Об области сходидаоти дробпо-рацновальных рядов. Баку, Груда АЩ ии.В.И.Лапина, том. ХХП,1962, с.І66-ІЄ2.
^.Оруджэв Г.А... < Тригонометрия ингерполЗасиЗа просесиния Зыгылыа области Ьаггында. "Ученые.записки" АГУ иа.С.М.Кирова,' Ш 4, 1265г., с.23-2?, •' •’ . - . - ■
.5. Орудкев Г.А.1 О ожодшосги интерполяционного процесса Ньютона. "Ученые записки" АІШ км.В.И.Лоаиш, й 6ДІ серия,1968, с’82“87- ' : ' | 6. Орудэшв Г.А.,Салшов Ф.Г. Об области сходности'ряда ,-ірихле и Тейлора-Дирихле с комплексными показателями. "Ученые записки" АГУ им.С.Ы.Кирова, Й 2, 1969г.,с.53-56.
________7. Орудяев Г .Л. 00 .области .абсолютной гаодииоати --^лоа---
бдиакт; к интерполяционным и Дирихле. "Ученые эащцщз.," УВ В
ССО Азерб.ССР, сэр.фаз.-математических наук, 1975, .$ 4, с.52-69* .
8. Орудаэв Г.А., Ибрагимов Ф.И. Об области сходимости такото-рих несобственных интегралов Сталтъесэ и применения б теории интерполяции. Всесоюзный симпозиум ПО теории аППрОКС!№ДШ1 <ЙПШГ1Н в комплексной области. Тезисы докладов, май 1976, Ура, АН СССР,
0.37-38. ' " .
9, Орудтав Г.А. О сходимости одного интерполяционного процесса для мероморфннх фуксдий. ДАН Азерб.ССР, IS77, г.ХХШ; Ä 2, о.6-9.
10, Оруднев Г.А., Ибрапп.юв Ф.И, Об области сходимости некото-
рых несоюственных интегралов. ДАН Asepd.CCP, 1977, т.ХНШ, JS 6,
С.8-ІІ. ’ • . ■ .
11. Орудаов Г.А,, Ибрагимов О.И. О сходимости некоторых несобственных интегралов с применением к задачам интерполяции,
ДАК Азерб.ССР, 1977, т. ХОТ, 31 7, с.3-6. ■ . ,
' 12, Орудавв Г.А. Об области сходимости интеграла, тлпа Лапласа-
Стклтьеса. Изб.АП Азэрб.ССР, серия фк^ико-технических и математических наук, 1977, Ж 5', с.77-78. ? ■
, 13. Орудиев Г.А. О нахождении области сходимости некоторых
'несобственных интегралов., серия физико-технических и математических Hart, I97S, .4 5, с.Зй-45. ■ ,
14. Оругркэв Г, А, Об интерлолшрш цолых функций многих когаиекс-инх перемените. й 3806-77 деп., 30 октября 1977 года через Из».ВУЗов. Математика РЕ "Математика", І978,. Те 2, Реф.22Л55.
■= 15. Орудаев Г.А. -О росте целшс йушщми ДАН Азерб.ССР, 1979,
!.щ & 5, с.Г3-16.
. Тб. Оруллев Г.А/0 рооте й ЇИЧ9 целых функций.-ДАН Asepd.CCP, ■
1979, ї.ХМ/, Я 7-і с..14-18. ^ '■ = . '
17. Оруддзэ Г.А. О ^л-.'ге делит $ушщй8, опре деле иных воаду СХОДЯЗДХЯ рядок ЗКОІіОНвІС. Всзсокз№?. '*ЧП08ИУМ-Я0 теории £ргг.ск-симадаг» Іункцай в кивыгэданой области (Тэзкси докладов), 7<Щ,-
' ' 48 - . ■' •
май 1980, Банкирский филиал АН СССР, с’,-108-109. .
■ 18. Орудаэв Г.А. об инторполшсіи рашоїмд&ииш {уикциям« аді;<к шрфных функций в плоскости иез конечного мноагоства. точок. Сисгрша-■ ны& Еопросы теории, функций АН Азерб.ССР, вып.2, Баку, 1980, О.І45-І5 . 19. Орудаев Т.А,, Ибрагимов Ф.Л. 0(5 областе сходимости некото-
рых несобственных интегралов Стклтьеса с 'применением к задачам интер полиции, Специальные вопросы теории функций АН Азерб.ССР, івші.2, БАКУ, 1980, с.157-132. - '
' 20. Орудаев Г.А. Об интерполяции рациональными функциями.
Изв.ВУЗов, Математика, Г98І, її 8, с.74-77. '
21. Орудаев Г.А. Об интерполяции рациональными функциями. Спв-. циалькые вопросы теории функций, вып.Ш, Баку, "Элм", 1986, с.157-171
22. Орудкзв Г.А. О росте целых-функций, определенных всиду схо-
дящимся рядами экспонент. Специальные вопросы теории функций, вып.Ш, Баку, "Элм", 1986, р.172-194. ■ '
■ 23. Орудаев. Г.А. К вопросу роста функций многих переменных. .
Изв.ШЗос, Итоттят, І9В9, й 8, с.95 (полностью статья деаониро-_ зало в ВЩГЩ через ігвгрш Иза.ВУЗоЬ, Математика, 'за но,тарам 3394-В8
с.18), . , .
. 24. Орудаев Г.А.'Всесошшя шгэяа-шфрандия, "Ооц/лятж
Проблемы теоріїи функций"-Тезисы'доцязярб, Еаідг, !£>&.&, с.015,
25. Орудаев Г.А. Некоторые неравенства., связанные с ростом аналитической функции в полуплоскости. Изв.ВУЗов, Математика, 1989,
Л 12, 'с.30-34. ' ' !■ , . ; ' ■ : > ' ■
26. Оруджев Г.А. О росте функции, являющейся суммой кратного1 . ряда Дир,:х.;з абсолютного сходящегося в шлиполуплоскостй. Деп. в
АЗНИШПИ 05.10.1990 года, Я 1568-Аз,90, с.II.. л !
----------27. Ортдадв Г.А. О росте функций," определяемых рядами ‘Дирихле.’
Известия педагогического Университета, серия єоїосївєшшх паук,
Елку, 1993, & 1-2, С.70-80, '
Г.Э.ОРУЧОВ •
Комплекс паряуетрдэн зсылы геЗри-иэхоуси Стилтес интегрэппяры тзз окяарын тэтбиги
X Y Л А С а
flnccr-:>T3ci'¡,1a пяти фэсилдэн ибарэтдип.
И шин бир::нчи шеи фэсли бэ"зи гезри-мэхсуси Сталтес интв-Грэлларинин ,1!.!ГМЛН5,!(ТТЛЭГ 314ГЫЛЧЯ вэ этгнтэзэм Зыгплмз обгаст-ларинын оЗрэтжэси мэсэпэсннэ Ъэср ецилмикдир. Бурэда вЗрэнилэн гоЗри-мэхоупи Стилтес интеграллари гг с.у с л Ьалда классик Лаплас иитегралшш, Стилтес-Лвплас интогргшиш лэ бУзи «^унктионал сы-оялзри мэсэлэн: Híytoh ИнтерполЗчсизяси сырасыны.Диряхле сираснны, ТзЗлор-Дирихле сирзинны.расионал ЗДнксиЗаларын интзрполЗасиЗа сн-расшш 3j coup оырзяарм э’пзтэ едир.Б.у хтсуси Ьаллардакы интеграллар ю енрзляр о'пр чех «тэллифлэрин тэдгнгзт сбЗокти ои-дупцур.
Лпдэ Зеня ачлэЗиплар вермипи вэ Зени кеЗфиЗЗэтли нэтичэлор плшютадир. ■
Сонракы гч {псил (11¡,IY,Y) Дирихле сирасы илэ гэ"3'.!н олунан '¡ ;,’,:кс',1.Плап!.:и (б;:р до Значили вэ чох дэляюнлк) боз.унун тодгигв '.п^эяэлэ^ло Ьэср едилмивдир.
'Jon за рым эердэ там вэ аналитик ¡..ушамЗалзрын боЗунун оЗ-pj.ii!: э о и Ьагрнндп чох ивлэр 1э»<ч едилвшдпр. Б.у ишлэрде эсас-эн узгун Дирихле снрэсыны! юстэричилэри тзэшнэ згыр изртлэр гоЗ:лаг— ла нэтичэлэр алынмыадыр.
Ишдэ Дирихле сыгзсннын каегэтгеклэршшн артма сур"эти узэ-ринэ ээрт гоЗиадчн •¡¡унксиз-лиин боЗу тэдгиг е-’иктаа «увз^иг иозчуд нэпчэлэр тчуаияэшдерклиаа вэ дэриглэ'л.-.-.фллииидкр.
Ахыринчи ])3силдэ НЗутои интсрполЗзсл!Зя cm.асы илэ к.зстэрилэг
Зялопнч хпееэ T3p:i,.vepe:iop}j i?;; мслЗчиик ¡»оком 2 л ¿уксиЗэлтр-;n Hi!veciJOBleBB33 еxv.n-nav. о}рг.я-л г - чглглг).Ат.кклн н-эткчэяэг А.О.Гсл-
.гондV4 ,!•!.И.ИбраЬя-.'ОЗ - В.МДел.тг:!:н тт: ьу.чкслЗчларзи чохЬэдяиетр-
лэ ::*■ с*;;т"эск ' г; 1' тиу»:'.-
Orudjev G.A
Complex parameter dependent improper Stielties integrals and their application.
Summary
The dissertation consists of six chapters. The first two chapters are devoted to the convergence, absolute and uniform convergence of some improper integrals. Improper Stielties integrals studied here contain in particular the classic Laplace, Laplace-Stielties integrals and also some functional series as for example, inetpolational newtoman series,Dinchlet series, Taylop-Dirichlet series, interpolations! series of rational functions and some other ones. These partial integrals and series were investigated by many authors. In this work are given new definitions and obtained qualitatively new results.
The following three chapters (111,1V,V) are devoted to the problems of investigation of function growth (of one and many variables) presented by Dirichlet series. At the latter fifty years there have been published many papers devoted to the study of entire and analytic functions growth. In these papers, the results have been obtained imposing more rigid conditions on exponents of corresponding Dirichlet series.
Imposing any conditions on growth of exponents of Dirichlet series the function growth is studied, the existing results are generalized and refined.
At the last chapter, the peculiarities of functions presented by Newton's interpolational series and also the interpolation of meromorphic functions by rational functions are studied.
The obtained results generalize the corresponding theorems obtained by A.O.Gelfcnd,l.l.lbragimov,V.M.Ke!dysh on interpolationoT entire functions by polynomials.
