Несобственные интегралы Стилтьеса, зависящие от комплексных параметров, и их приложение тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ
|
Оруджев, Гардашхан Алимамед оглы
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Баку
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1995
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.01
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
и лкл-Д'емия наук и министерство образования
АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ
' ОТДЕЛ ПИНГ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ И
Л\Г.ХЛ II ич неких НАУК ЛИ ЛЗЕРБЛИДЖЛНЛ
На правах рукописи УДК 517.53
ОРУДЖЕВ ГАРДАШХАН АЛИМАМЕД оглы
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ СТИЛТЬЕСА ЗАВИСЯЩИЕ ОТ КОМПЛЕКСНЫХ ПАРАМЕТРОВ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ
(0! .0 1.0 ! — м а гем а I инее кий а мал ил)
А В 1 и 1' I. Ф Г. I1 \ I
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
БАКУ -1995
Работа выполнена в Азербайджанском Государственном Педагогическом Университете им. Н. Туси.
Официальные оппоненты:
— доктор физико-математических наук, профессор
БАБАЕВ М Б. А. '
— доктор физико-математических наук, профессор
МАМЕДОВ Р. Г. '
— доктор физико-математических наук, профессор
МАМЕДХАНОВ Дж. И.
Ведущая организация: Московский Педагогический Университет.
часов на заседании объединенного Специализированного Совета Д 004.01.01 Академии наук и Министерства образования при отделении физико-математических и механических наук Академии наук Азербайджана по адресу: 370602, Баку, ул. Ф. Агаева, 9.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Математики п Механики АН Азербайджана.
Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физико-математических>гаук,
старший научный сотрудник Р- А. БАЙРАМОВ
Защита состоится
Автореферат разослан «
1995 г.
- ъ ~
ОБШ ХАРАКТЕРИСТИКА РлиО'Ш
Актуальность темы. Теория интегралов Стйлтьеса возникшая в тесной связи с; рошен/ем различных прикладных задач физики, механики, теории вероятностей и т.д., играет существенную роль такае и в развитии самой математики. До настоящего времена имелись различные честные случаи интегралов Стилтьеса и чх представления различными рядами, например, рядами Дирихле,интерполяционными рядами Тейлора - Дирихле и т.д.
Теория интегралов Стилпеоя имам глубокие вши о различ иыми облаетями математики: теорией функций, теорией чиовл*Г90» риой яиффзрэшшямшх уртюят, атрацхоятм чсччслсчяом,спок» тральмй теорией и другими разделами.
В данной диссертации рассматриваются- наибачоа общие несобственные интегралы Стилтьеса, которые охватывают ранее известные случаи; Поэтому естественно, чтобы осмыслить рассматри> ваешй несобственный интеграл Стилтьеса, зависящий от комплексных параметров, первоначально необходимо определить область сходимости эщх интегралов, изучить их функциональные характеристики.
Цель работы. Изучение области простой,абсолютной.и равно мерной сходимости несобственных интегралов Стилтьвоа наиболее общего вида, рассмотрение частных случаев этих интегралов.
Изучение функциональных характеристик: рост интегралов В зависимости от наилучшего' квазиполиномиального прйблШШШЯ,* и.:ьаидии0 ."Ь Гродставления мероморфнвй функции ИНТбРШШЦИОШШЫ рядом рациональных функций»
ь'аучнап новизнд ваботи. Найдены ооласти сходимоб®и ивте-м алон слизких типу, Лапласа - Стилтьеса*уотаяолявиа области •.лсдчг'ости ««которых несобствйшш шлвграяоя Стилтьеса с при-
менением к задачам интерполяции, изучены роса; целых функций, определенных всюду сходящимися рядами Дирихле, росз функций многих переменных и научена интерполяция -функций в комплексной области.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая ценность работы заключается в построении общей теории простой, абсолютной и равномерной сходимости несобственных интегралов Стилтьеса более общего вида пригодных, в частности для Функциональных и интерполяционных рядов.
Практическая ценность работы определяется в многоукладной применении этих интегралов во многих разделах математики и при решении различных прикладных задач. •
Апробация работы. Основной материал диссертационной работы докладывался и получил одобрение на Всесоюзных симпозиумах по теории аппроксимации функций в комплексной области (Уфа,май, 1976 г. и май 1980г. Башкирский филиал АН СССР, Банкирский Гос.Университет), Всесоюзной ыколе - конференции '’Современные проблемы теории функций (Баку, Л мал - I июня Ъ77 год и 19-29 мая,Баку-1989г.), республиканских семинарах по теории функции комплексного переменного руководимым академиком АН Азерб.ССР, профессором И.И.Ибрагимовым (ШМ АН АзерО.ССР),научном семинаре, руководимым академиком АН Укр.ССР профессором Дзядыком В.К. (Киев, 1975 году ШШ АН Укр.ССР), XXI научно-отчетной конференции, посвященной итогам научно-исследовательских работ за 1965 год. АПИ им.В.И.Ленина, научно-теоретический конференции ВУЗов Оов.Союза, носящих имя В.И.Ленина, Баку 1Уб7г научной конференции профессорско-преподавательского состава но итогам научно- исследовательских раоот за 1967 года, Баку 196Ь1 научной сессии (10-13 февраль 1971 гола Баку - 1971г. АПИ им.
f . . p _
- 5 -
i.njemmi), научной ясшфбфвшда пре^ссзроло-лреяоламтельокЬ-
го сомова «и I9?8 год, Нзку-І9?9і',; научной конференции про-- : ’ ‘ ” ' ,4 ■ • • •
*иССОрС1{0-ПрЗПОДПйиТ5ЛЬСКОГО ОЭвШИ АПИ ИМ.В.Й.Л0Н(Иіа,ИСС£Я- ' адиой йїр?аи аауниолослйАОЕй'гвябиіиіУ. робої эа 1Э80 г. Баку,
■ І98ЇГ. -45-ой «аучной конфереации, иоевяаенной итогам научно-
г' Ті-. аг. ~л-іугчг-?‘ . - - , - _ ч ... . ^,fe. .. . . . ..
! исолвдовдйяьеїшй рйсо'аї. ііро^дсеорско-пропслааательекого ооота*-; ва'АШІ йм»В,0*Язішн« аа 1983г. Баку, чб-оі: научной кокфереп-циг АЙИ йй.ЫЬЛенкиа» І?85г. 47-ок научной конференции,лоозя-: щанвойятШві ааучио- исследовательских работ профвссороко г ярепбда»аэ?#дьсяого сосіавв &Ш йи.д.И.Лєним, Бгку, І98бг., Wrofi научной конференции, йооадвіенноіі итогам паучко-исследо-вателшсай работы АПИ т. В.К.Лвиийа за 1989' год. Баку.
Научной конференции, посвященной 60-летию Аз.Гос.Нед.Института им.В.й.Ленина (Баку, 1981г.) научной конференций профессорско-лрзподавательокого состава АПЙ км.В.И.Ленина, посвященной 50-летию образования ССОР (Баку, 1982г.). Научной конференции, посвященной итогам научно-исследовательской работ математического факультета АШ1 >ш.8<Ы.Двагша за..1Э88 г. 51*ой.научной, . .сиьференцад, посвявдпной ато’гаа научно-исследовательской рабо-1!( т 1989 год (Ш1 ті,В.й.Леяйиа» Шу, гзэог.)» 52-ой мучной конференции профвсеорбко-йрвяодвваївльского сшвва Aflli ич,8,я.&вш (Баку І99іг,), 53-вй яаучивй конференция АПУ ‘ •м.Ц.Туои (Вану, 139£г.)
. Публикации.’ Основные результаты диссертации; опубликованы pa6oTax[l3-fe7].
Структура диссертации. Диссертация состоит, из. дести глав общин объемом в 343 стр. машинописного те«сг9{‘ виблио*;• ■’рафия - 109 названий.
Содержание роботы. Диссертация постшаана ксолпдоезшш области сходимости некоторых несобственных интеграле» Ошше-са, роїїгу целых функций, определенных вскед сходящимися рядами Дирихле, некоторым неравенствам, связанных с ростом аналитической функции в полуплоскости, росту целых фуикций многих переменных, интерполяции функции в.комплексной области. Квучению указанных вопросов посвящена обширная литература. Среди них отметим монографии: Гольфоида A.U., Исчислений кеаеадад ревностей. Москва, 1959,{ Ибрагимова И.И,, Методы иатарадлпции функций и некоторые их применения. “Наука", 1971 і Леояумва А.Ф., • Ряды экспонент,- "Наука", 1976 ; Маадельброііте С,, Ряды Дирихле принципа и методы, ''Мир", J973 і Hevnsiein V., Шот s#h А* рюдгёs vecen fa de fa Нтт шіеь сіг M?Lckki,Pwi%,i951.
В данной работе изучается Солее общие интегралы Стилтье-са, содержащие в себе кан/частные случаи ранее' иьвкстнца.
Пусть С -комплексное евклидовое пространство с элементом 2 s(zf,3s,...,3!^) ,где . Пололиц
Пусть fp(i) . -непрерывные функции на\0, +со)
и ЩІ) = %&),%#), ...\<ргФ) -непрерывная вектор функция, действительного переменного, Под СИМВОЛОМ подразумеваем выражение : . .
(<5?,рс6>)р ~ ЩИ)+ЗГЛ%(І) + ... 4- Mptpft).
Введем в рассмотрение насобо;?вшшй интеграл Стиліьса
2(s) » У[(<з,уф» f o(JJp^ II)] ct*m w'
іде /СВ) -заданная целая функции, Л&) -комплексная фуня-. ция с ограниченной вариацией., на венком конечной отрезке двИст-
вителыю'й положительной полуоси. Причем, запись
означает,что отношение не.чоторо,. функции Р(з,£) а 11^101] стремится к нулю при Ь—#.+оо равномерно по 3 зо всем
Х’ р
пространстве СрС С' •
■ Исслсдованиэ интеграла (I) проводится при двух существенна вазлкшшх предположениях относительно лелтак! ![<£(£} ([ :
1) величина [| ip(£) 1| шногонно во&растающая и
. Jim з©{^)(1 =з+(я>-
$
2) швчш Ц Щ4) [| ограничена, г.о. при Yt}0
гда Ж> 0 -коисмни.
Наши утяэрвденин об области ярооаой и абсолютной оходииоохи ии-мгрола (I), * частности,при Р*1 СОДОр’Х'Ю 2 Ci-Йо ряд подобии/. утворядениЗ об интегралах •
«2) = иМ)т>, «». ГА***».
1 о- о
Наряду С интегралом (I)' раоэдатриваохся интеграл -t-еэ
,/(д) =-. Ч-ф(Дг)1с/«Й), (2)
гдо (У — t, р J имеет интогрируекуи na [<7, г] пропзгзд-
«зп (у =*7/П,
ф(£*3)- -непрерывная функция по з в некотором подпространстве £с= 0^ в у 3 щ & справедливо
ф1И,3) — О (!) !|) при i->+co , С£(^) -комллаконо-
адачиая функция, иноаашя ограниченную вариации на огразко
при ЛЕС'ОЫ V>0.
При задаяша <р&) и интеграл. (2) суде? обоввачв»
ОЙМРОЙОМ 'М,р> - ■ . ' .
Расвнотрошши я patfofg интегралы аодоркат я с обе как/, иао“!:из случая следуввдо функциональные, а также интерполяци-
ошше ряды:
1. Интеграл т»:па Лапласа - Стилтьеса
г ' / ^ •
і г екр|-2уЩйаф, 5ехр-{-ярСО}</аб??,(з6(з)
2. Ряд вида
оо
1]ал&хр{ -(<зД*>)Р +ФЯ(*;}, %&с, (ц)
л*і '
где Я* = (я4°1 -,Яй,)>Фв(гі (й^А2,.-)~непрерцвнае функции по 3* в некотором подпространстве. £ С: С^* ' и
<^’д+? Ф — Фд (г) = О (|| Яд4» “Яд Я)> Уге £ при й нюо
3. Болае часа'кий случай - ряд іипа Дирихле со .
13свехр{-(<адв>)р} , геср (5)
Интерполяционный ряд типа Ньютона . .
|]ав ПО--!-), <«
К“/ и ак/ где оі. к —*• ОО при «-*.00.
5. Факториальный ряд вида . ’
со К і
П-1 к*=г ' Хк'
(7)
гдо «*-»» при К-)>&>.
6. Более общиД, чем 4), 5) интерполяционный ряд рациоцах
ных дробей вида ..
^а%Ц\ТХ/ е*р{-^М>4, <е;
• 'рк
где ак,рк-*00 при К-~-ОЭ,р1с>0(К;=Г}{1,...) <
7. Интерполяционный ряд еда
2с,#£Й- - "«
, Я=1 К~1 '~си« ‘
гд0 2ес(.
. 8.Интерполяционный ряд вида
где последовательность комплексных чисел (rt—f,2,...)
{Ю)
удовлетворяет условиям
|с«1«\йп+і і. Vim ая»=о, laiw
оо . Л -*►№
Заметны,что полагая в ряде (10) V/ = df[s—а.),
. оека а1(.ап — а), рк = —a) ,
ш получай ряд вида (8). Поняїіш,что можно увеличить число
сходимости в этих случаях при разных предполонениях посвящены работа Гсягарэнйе Е.Л. п М.К., НЙраппдазаИЛ. я Аягедоьа 1,?=, Гандлера М., ГшгосовзЗ Э,, Нафталевяча А., Лаграиза Яуица Г.Ле( ?1тропоЕа В,Т., Уолша &.Л. и-мнопк друтет.
Диссертация состоит из шести глав. Е первой глава изучается вопросы сходимости некоторых несобственных интегралов }тилтьеса. Установлены следующие утверндения*.
Теорема I.I. • Пусть Ms?) непрерывна в[0,^]х(?,бс:Ср лри )/v>0 г адз) -комплексная функция с ограниченной ®ериацяей по i:t i на всяком конечном отрезке Р и непре-
райноя no g a @сОЧ ■ • ■
I. Еа©' а точка выполняется уеловия
частных случаев. Следует отметить,что исследованиям области
. Q * . . ■
2) —**0 . ПРИ ^т*»+со ;
сходится;
3) -сходится, ти интеграл
х Здесь в дальнейшем мы сохраним нумерацию теореи и их следствий приведенных в диссертации.
. - 10 - . +оо ‘
S №>z)4 Л (■£,Ю . ‘ (XI)
о
сходится в точке Sj. ■
П. Если условия I), а), 3) выполняются равномерно по Z в Q ,то.интеграл (II) сходится равномерно в О.
ЛЕММА 1.2. Пусть интеграл У(3) сходится в точке
г/?££<?=:СРх(|ф^(^2<)| ;=s.O(i| при£-*>+оо,
II f\i)\\>0 при t>V0>0 ,гдо ц» доститочно большое число.
Тогда интограл У(3) . сходится в любой точке 2s&
в которой выполняется соотношение
т.
где • •
__ / vfa) ^ ' у'рЮ \
n^)S щЫ ’ ’ i^ii/ ’
Кроые того, интеграл У(£) сходится равномерно и люсюи
компакте, содеркаоемся во шкжестве, состоящем из всех тех точек G , которые удовлетворяют соотноиашш (12). . .
ЗАМЕЧАНИЕ i.I. Если интеграл У(з) сходится абсолютно в заданной точке з(3£&) tT0 в утверждении леыыы 1.2 слово "сходится" заменится на ,! абсолютно сходится".
ОПРЕДЕЛЕНИЕ I.I. ' Число J>u называется расстоянием сходимости интеграла У(3) , если этот интеграл в точках
/ fa. iUp\ л ' *
3 = (?’е ,...?Ve 'Jсходится при и расходится при
*<s>« , где фиксированное <х — {pct,oe2,... >а£р) удовлетво-
ряет условию
^-ь.+-СО 14 '
ОПРЕДЕЛЕНИЯ Т.2. Число нззыиаития расстоянии абсолютной сходимости интеграла ,если тот иктзграл в точках & — (ге^... ,ге^0 сходится абсолютно при V >№„
я яе-еядатса 2{&сяв$б''лвй‘’'$«^а=. гав 4икпмп<-и»»чио«л;
удовлетворяв? услазяю ,(13). • • .
, Щ)Р1?М 1.%л Для того, чтобы ‘дойствитальнов число рл яйяяяооа расоздяняем сходимоояи иигаграла 2(з) _ необходима и Д0мргоч!го,ч?об'1 око удовлэгиоряло соомоиелию:
« 'КИ Щ&Ш'
Я *=? Ш т-"з;—г--------------‘Г1-;
<-««•&(
ГДв й) «$(£) аъ 14&(4) ,ееяи $(з£@ф расходится.
0 4 '
. 40Э . '
б) £$$). “ ] с/аф » если I <3?$Ф сходная.
^ - о
Ео втором параграфе приводится способ адкеадзнйп области простой и абсолютной сходимости интеграла 3(~г), ■ .. .. .
ТЕОРЕМА 1.3. В пространстве б о&ша?.и ъ?о*иипп?и
интеграла У(п-) а интеграла '
совпадают. ■ . О . ■ <
ТЕОРЕМА Г.'к Для того, чтобы тывттшт твяо р{Х являлось'расстоянием абсолютной охЬД1№е?И Ий«йгрзла У(Ю иеоб-хащда к достаточно,чгоби оно удояявзяоряяа ооохвоаевяю ■
Т- ЛЭД ,
где 5(4) ойредбЛйвябя слвяущия образом*.
а) 60)-— І!сіа{і)\ ,если расходится,
0 . О
+со ^-йо •
б) в@) = ,если СХОДИТСЯ. '
1 О
ТЕОРЕМА 1.6. Расстояние сходимости (абсолютной сходимости) рсі^а) интеграла (0.}Ф) -функция непрерывная
В £ ,гда •
9Ы1*г ІІМ
° ч і~+*> ^ /р
>О
'П
В третьем параграфе сравнивается расстояние сходимости с расстоянием абсолютной сходимости интеграла (<2>^) .
ТЕОРЕМА 1.7_______ Пусть а) неотрицательное действительное число_________удовлетворяет СООТНОШЕНИЮ
■ х~Тп -М-—- ^.
а І~*+со 1Ц^€^0)>)р]
б) Из сходимости интеграла (&<ф) в тачке 30 ■ следует.
пн г/ ■
X (ехр[(<2^»(^>).]11 сШ)\<*М (н «1,2,-.)
и . . '
Тогда в точке 2 интеграл (<2,^) сходится абсолютно;здесь
гЧ<&+г*+г)е,...,с&+ул+8)е 9,
и <й удовлетворяет соотношению (13) %>0 -любое фиксированное число, -расстояние сходимости интеграла
Из теоремы 1.7- следует,-что если выполняется условие
б) этой теореш то для одного И ТОГО Ее СЙ =(«#,-..»<%р) Р8Р“ стояние сходимости и расстояние абсолютной сходимости интеграла (а, связаны «езду сосой совдиошсшши
. Ры.<Яи<р«.
. . — ІЗ -
Если £ »-2> її вшюльтгетсп условно С) т<‘о?.„-ик 1.7 ;..чс-
стсіяні'о сходккости к рассюяние і^совюїш.і иходич^сти иггсгри. {й/ір) ' совячлвм, к /.ля того, чї’ооїі вбцвстаен.юе чьсчо ^
$Ш расоі'ипши (шдимосги интеграла (а,<р) .аос-лодии.* і;
даетвїо^яе, чїойі шю удозлєгворяію еоонкоисзкию •
.' . ■ ■ ін
. . _ &
№)=*&, ^м=Сіт ~г7"7аГ—Ті'
- #е[(<;е
В четвергом параграфа оценивается остаток интеграла (а>№-
ЖШииЯ. лус» і) у{ї)^{${Ьтакое, что выполняется у«!л.-»*ив (15) ; 2) Ра ррляєтся расстоянием охеди-* мости интеграла (іМ/?} . Тогда УУ (у>рсс‘) при достаточно большом д, л ;іюс/он $ > 0 имеет уусто неравенство
:е
9
Б пятом иароурафе доказывается теорема о трех системах прякых (аналог їооревд Лдамара о трех окрунностях).; теорема о сперхсчодиуости мите!рала («/Vі)' «обобщающая теорему Остроград^ еного о оперхс/одимости ряда Дирихле.
, В »естои параграфа результаты §§1-5 применяются к рядаы, близким к интерполяционным рядаи и рядам типе Дирихле.
Мы огряяичимоя приводоякоя здаоь следующих результатов
1) Б пространстве £ области сходимости ряда (14) и ря-
я (5) »»т,гао • Р |ф№(г;_фіі(г)|
2і?.!„-ЯІ1І=+«,УгЕ&:С,
2) Зсли ряд (4) сходится в точке гдє<г • ,то он сходится в любой точке £6$ ,в которой выполняется соотношение.
йв &{(<*-*,,/^^>}„и*.
И — >00 І- ИЯдМ “*^/вй •* .
. 5) Области с\одииоо*и ряда
ь° Л . 2 оо
$алМт~*~ иряАв ^в»®гв*-
ч-і к-г ї--£-к /?=,
где
8 Тт
Л МІ »-*«' \*к ^*/]| 2 *'
в пространства
совпадает, ішаче говоря, сх'о ряда иыбкт одни а -ге ке расстоянии сходимости а абсолютион сходимости. • ’
В § І второй главы изучаются очі/іасти абсолютной и простой сходимости несобственного интеграла Стплтьеоа £(з$) в случае, когда Я й(£)| , мої.отешіо воаростаит и #Й»г ІІ(І>(^)!! «4-00.
Пусть &{^у -моаозгоицо возрастающая в непрерывная функция при 1/>>У„>0 ,т£іі{йа(чтс И'Ш Ь[У) 4- оо и суцест-
04 . У *4 "У «ф»ФА
вует предел равномерно по •• Е - » » лысой
V “* +00 • '
конечной части аяоскосїи )§ , Тогда, очевидно, ноано шорам
монотонно возрастающую последователыомъ піміокитольинх чисел
{^х} ( Шк —►«») так,чтобы ряд ,.
сходился при любом фиксированном &>0, ■
Кроме того, пусть заданная целая функция т такова, Ч1'0 суадствуит предел .
» Ню -СИ)
ц —*»оо 2-(Т9
раїліомопно по . jH в лк'боіі конечной области плос.чости В.
Если б равенстве (14) вместо верхнего предела суцестау-от обшный предел, ти on обозначается через i(g). '
. PaCCMOTfUiM БЄІСЇОр-фуі«КЦИЮ
МЛ . ....... , ~ .
vr і ...... '» f ■ f* vviuodainii чороо wi «huabVT.HO «Нч*
VrirUJii itVirsii* •
.чапиЯ Функции 1У(4/ ' при i> 0 . ирлчем !jiV(£)|| Vtl'S £j ■ Вообца говоря, если g ?{ip) принадлежит мноиботву0
или аё замыкании $ , то |j g || в» ft
Пуеїь Tt>0 -досїаточно большое, а В^О -доамїошш и алоз числа и -любой КойэЧНЫЙ ОЇР08ОК,
Ш яояагазя, чїо Ауякшм 0L-) . ойлахаез sea usu одойеавои,
ЧТЙ
{M|W(0-S* IIVSs & ]
есть коночное мноаоство, и -
Ss®«{^:||wi;-s||<S,b4},
ЦнОІАбСТВО Q,{a} В) ^ 6j(g)fl (йг$) представляо'їсі! в виде суммы конечного числа взаимна неналагашихся интервалов, концы которых не принадлежат множеству .Полояка '
“[^л» we+f8(s) t ^ $axp{ -^И?Ф1)}<&Ю<+ю}
й &?(!?,$) «*-00 ' «ЄСЛи"0<^І§) -пустое fUiOnOUTIiQf
£?(в) — а % ^(ЯГД) , 11Є J ■
І£0Р£1!А Й.ї. Ицгегрвй £(Ш) схвд-ігся вбоолюїгіо во МНОждиВЗ <£ ЇОЧ0К З ~-= (£/,..<, %p)GCp УДОВЛбїЯррЯШИХ .
уеяояи» ; . •
■Д<ё,2>)+#(8)<0
при люЗом gQ #. ■
ТЕОРЕМА 2.?. Интеграл $(з) ,определений равенство::
(I) не сходится абсолютно вне множестве Ом точек г удовлетворяющих неравенству ' ' |
А(<В,2>)
лри любом Шє 1$”. Ишми словаип, интеграл У(&) не схо-
л *
дится абоолк»но в кавдои точко 2Є Ср ,для которой ваполкя-стся неравенство А(< Щ,5>) +££(%)>0, хотя бы для одного ё£<5 Б § 2 второй главы теоремы 2.1. и 2.2. применяются к некоторый несоботваннык.интегралаы частного виде, интерполяционный рядам и рядам типа Дирихле,
I) Пусть числа Я/д* •••> Я/дЬ такие,что
II Яд ІІ «о убывает при П—► + оо и ' Піт Ц^Ц «=» +оо.
_ „ . . . Й*-*оо *
Выберем функцию ■
ч О і 0<-і<1,
где О.Ц -произвольные комплексные числа, и функцию
\ (Я« -№)(.Ь-к)±?№,
г*1, о*1и/, хр-
Предположим,что '
г.Г п «&« + /. п =£2,...
. РМ~{ щ*) .}<-*<>,
где ірц(з) (К7,. .) -непрерывные; функции в некотором пространстве СрС.С? удовлетворяющие условны: ' . 1
П Яй1!} (кге ср.
Имеем .
$И) -Ял/, -Я(^ Рі&ії-Фпц-%ію
. . - 17 -
Очевидно, ппи~ этих предположениях, нктзгрзя р-(Ш) принимает аид м
з(%)10[ ЯлЧ +-•■ 4В. этом случае, фу акция Щ1) такая,чач> .
/ Хщ Я? N
4_Чизи11
V И <2 _ Я II а ..11 / ‘
Й
Лрячеы, через ^ обозначается совокупность всех предельных течек инокестга чисел Ш7 »Кронз того, • в этом случае ыноагсгяо определяэгся раяежогяоа .
в&(й)-*{й»1«в-8М} *Уйа Ш,
где В>о -достаточно малое число.
Пусть подпоследовательность натуральных чиеев 18-
кая,что У5>0 сходится ряд . ,
. 09 .
2 ехр{ 1)|.
Положим • . . ......... • . • -
Ясно,что .
5 Iс1лш\ ** ^2^*1
Яд .кеа*
Кроме того,
а*
В чаМйос*и,еояи
: - . .
&(ИЯ/Л7в 11) *•> 5-(|! ^13пн -1 05*
то ' ;
__ 2л 2»1<г*1 #№§) =/ш *~Ьп£{Щ.
■ *-»*> К^%«) ^
Кз теорем 2.1 и 2.2 вытекаю? следующие следствия.
СЛЕДСТВИЕ 2.1. Ряд сходится абсолютно во множестве
(? точек - Л =(а^...>2р)еС^’ удовлетворяющих условию
¥(<§,*>)+#Оз)<я
при любом Л =
Ряд па любом компактном множества Е .содержащемся в множестве (/ ,сходится абсолютно и равномерно.
СЛЕДСТВИЕ 2.2, Ряд £(з) не сходятся айоолтно в каждой точке зеср ,длп которой выполняется неравенство
хотя бы для одного вез .
сшттът г.з. пусть т - индикатриса целой функции т порядка ?(£></>< +оо) и последовательность чисел ад удовлетворяет условию .
&>{11А//Ц = +«,
Ще)=/гт„ {^|а«|/«Я,||^};ед=.йл ^(Лв;.
Иб«,(е) 0
Тогда ряд
со .
= ]ра*Д<Лл2>4-^(г;]
сходится в множестве (г точек В ,длп которых справедливо
неравенство
\<Ш2>\ РН(д)+&>(£)< 0, где & = ар$(<ё,з>), ge 3 <=Sp, при условии,что
• к Ы %(г)\/ н Я-1!^}—a У?е£\
Кроне того, рад при тех ;хо условиях сходится равномерно
• в каядоы компакте, принадлеаавдм множеству G.
Очевидно, что для целой функции f(s) порядка f> функция h(v) можно заменить на .Тогда М(Ю-
Замами,чго утвзрадвяив слвдсгаия 2.5. очевидно,остается 3 ОЯЯЭ и в случае,когда %($) f (ft saff3,„,)
Згог случай раосмотрс.ч и работе Г.Л.Луица , роэуям?агш которого содврка® в esfis как частные случаи, спаветстпупщв результаты В.П.Громоэа, В,П.Попова, Й.Г.Мяхтиева и других.
Следует отметить,что исследовании несобственных кря'ИШ интегралов типа Лапласа- Стилтьса зависящих от комплексных пера-нетров посвящены работы Ибрагимова. Фархада Ибрагим оглы, опубликованные в статьях. ■
Пусть /(•£") -целая функция, -непрерывная функ-
ция по каждому аргументу [i € \Р) +оо) f. § <5 £аС •")
-непрерывная функция в множестве £ -функция с конечным изменением по £ на отрвеке [ 0f У*] при У^*>0 ,непрерывная по 5б6 с CW .Яроде
тога, шд предполагаем,чго функция (р(£) а»
копрег-JBHa в промежутке (#, + Со) й агршг-шним модулем у .
1|уФ|| *•#<+», fttaty+ee), ; ■
Олределйм шшжтипо .: ’ v • •
4,'"■jBiSfitfeC", А» |/[<Д8),де>+#,«Д|>Ь-4'
-20- . где функция такая,что ^ (Ж Ю —Р (I! ф'ф II)
В атом параграфе определяются такке области простой (абсолютной) и равномерном сходимости несобственного интеграла Стиль тьэоа ■ .
+РО
»(*>Ю = УЫЮ.?&>+Ф(Ш1Р(1ш)Л$(и)
зависящего от комплексных параметров £ к § ,
ТЕОРЕМА 2.3. Пусть функция 1р({) « $/>[£)) века я, что. интеграл сходится и
Тогда 0 $
а) для того,чтобы в точке (Я*; из множества (РШ’Ю сходился интеграл 3(&> 5) необходимо и достаточно,чтобы Я той же точке сходился бы интеграл .
^ Иначе говоря, совпадают области, принадлежащие множеству . №|»Е) простой сходимости цнгегралоз
и) если функции !?'«)« и \Щ{Ш .интегрируемые по ^ л непрерывные по § (£е10, +0°), &€£) ,то для того, чтобы интеграл равномерно сходился на некотором огра-
ниченном замкнутом множестве Ф|у>| .принадлежащем множеству .
(Ы) , необходимо и достаточно, чтобы В ТОЫ '
же множестве равномерно сходился интеграл 8) •
Отметим, что аналогичное утверждение об абсолютной сходимости интеграла ф,5> имеет место и в случае, когда ЩЬ и №Ю -нзпрерывше функции по * (^€^+0°)) и по 5 ($£есСЩ) И !1 -ограничен и Тр&Ю *“ б (И при ^ -9»+0О .
Заметим, что если интеграл ^ II '/(*)!! сЦ расходятся
о
при ограниченности ,то теореме 3.3. вообще говоря,
не верна. .
Пусть теперь НІ Ю =(<Ф(5Л В{і) >)р ;д(і, Ю —(< W(£),a({)>)y ,
где И iv(?; =•■(№,(гЛ...,\У?(2)) не-
прерывннв *унк!!ии о'.’ Є Г6с: G а О1^) и &(?(=£ c£w );
8ttyss\£f{£} -uunpepuiwah "функции ь промежутке С^+«а)#
аф яэ» -функция с конечный изменением на отраако'
\D,V\ ,МУ>>0 . В етих предположениях имеет место следующее
утверждение. . . ,
ТЕОРЕМА 2.5. Пусть интеграл '
■ . +оо •
Щ>Ъ) ~ 3 (<Ф(Ъ),$(*)>)рd(<W&,О(0>) f
сходится (абсолютно) в множестве точек (Ш,ю .принад-
лскащих множеству
f _ W "I ? (e) ftj m
|g }fX{3 g qC , Z sO , к =■■?,.■■ ,f>;V=^
и выполняются условия
•ty
^,Cb№j.......4>(sw;
4((s«5 - Ф,,(а'в;
... Wj>(zi1})
Тогда интеграл сходится (абоеявзтво) в точках
В пЪ . ... ............
при всех значениях Ш из О .являющихся точками непрерыв-
ности функции
ф(6)
и при всех 2?
из
.являющихся
точками непрерывности функции
Кроме того, интеграл сходится (adcaiBiso) и
равномерно в любом компакте принадлежащем множеству (^0Х£) , где О с. С® -множество 'хсчяк непрерывности'функции Ф(В) ,а ; ?с Сда -множество точок непрерывности функции №(5?) . • '
ТЕОРЕМА 2.6. Для сходимости (абсолютной) интеграла в точках (2,?) при всех §еОт ,где конечна функция ф(§) и при всех гес ,гда конечна функции Щя) :
а) достаточна сходимость (абсолютная) интегралов
Ч-Оо
^кЛ = (*~ь-->Р> I)--;
б) необходима сходимость (абсолютная) интегралов 3^ ^ ,
если существуют системы точек '
(Ао\м.
таких,что в этих точках функции Ф(Ю и У(2) -конечные и де. -тсрминанты ДфИ Дуу отличны от нуля. . .
Приложение результатов полученных в § Ъ- главы П к частным задачам рассматривается в § 4 главы П. •
СЛР.ДСТВИЕ гл. Если, з сходится, то мно-
житель ©Хр{(<5Ь<рФ>)р 4- 1р{Ь%)\ не влияет на сходимость или расходимость интеграла ’ . 1
+оо ■ / 9 ч
|ехр {(<в,^р 4{Дак®яь).
при любом конечном 1§ = $з^,) ,где
\Щ^Ю\ *0(11^)11),при ^->+сю.
СЛЕДСТВИЕ 2.5. Если .ГН^ФЦ^ -сходится (соответственно, функция иуюи -ограниченная при ^€[^+0°)] ,вд интегралы »
& 40о % К 1
« Ы(23«.®* )
О *=> .
Р
сходятся или расходятся одновременно при любом |й€С ,где при Ь—(соответственно абсолютно сходдюя или абсолютно не сходятся одновременно при любой 56 С 1”^ 1г!!&~)! ССи **'■!) 51) а,‘Я
’• СЗЩСТВИВ 2,6. Если ряд ^£2 |] Яй+, - Ай|| сходится и
= о(ЛЯ«+,-А„ I). С*--», ле с/сС)
20 РЯДЫ , ’
2^®*р{(<зА,>)р +%&} /л2| Ы*) (заф
З.Ч0ЛЯТ0Л или расходятся одновременно.
алКЛОТВЫЁ 2.6 * Пусть .'4 ->00 Я р>0
&3 .» / *1
некоторое цолоа число такса,что ряд 321<УЙ| сходится,
О’ «а(
а ряд >]!«и! расходитоя. Тогда ррлв
№ ’ ’ 1!ксоЙ(/-&)
а
со ', % '* к р К ^
**71 Г “**Ц * чга ? 1
($) -Е 1,1 ----у 1лр ■
и-1 I к»|ч* 3:&в1А'* ■ 1 К-ГЯ-!
сходятся или расходятся одяоэремзнно ло возя точках (ё,В)' '(ШфС1ь,к -/,2,...) . ■
В частности, ряды («£) ц Г-3) дря модятся
одноарензнно при дайоа 3 (щ.^0(КгН
СЛЕДСТВИЯ 2.7. ПуСУ5 -11Н0Г0ЧЛ6ЯЫ СТОЛбВЙ
■’ ■ £>-Э * . .
;;о больше И РЯД ^ (V) СхоДйТСя (збВОЛЕТЯО)
в ^ раздичких точках. Тогда он сходится (абсолютно) в каждой конечной части плоскости г . ' ,
3 качэстзе примера, отметим,что ооли ряд Стирлинга ■
+(з+*+/)яй.2]г П('”)
/* ** / К '“'г '
- “С
сходится (абсолютно) в двух различных точках,, отличных от у зло: то он сходится (абсолютно) в любой конечной части плоскости Ш
£ общей случае для определения области сходимости несобственного иьтеграла введено понятие расстояния сходимости несобственного интеграла и дана формула для его определения.
Для ряда Дирихле, являющегося частный случаем несоботвеї ного интеграла типа Стилтьса, эта формула можот быть значительно упраівдна. Этому вопросу и посвящен § 5, глазы П.
Пусть 00 л _
■ К“Ч
где 2 Є С , а4еСДйєС (я = 1,%...)= со И % ={Я^ такая,что существует СС (осей.) для которого выполняется
неравенство _____ . ■ .
Множество таких ОС -обозначим через <Ц^.
Определим р{рс) (р(сі)& (І) и назовём его расстоянием абсолютной сходимости ряда (а, Л) так, что ЧІ ({<р№)
ряд (я, Л) сходится абсочютно в точке 2 =*-£&10С , НЗ сходится абсолютьо в точке г при і><р{рс).
Если ^(об) -расстояние абоидкиной сходимости, то ряд (Я,Л) абсолютно сходится в области оУ^ , точки 2 которой удовлетворяют неравенству
Пусть последовательность & <= такая,что ряд ^ ^ехР( ~ БІЯді) сходится Уё>0 и расходится \/&<0 .Множество такихуй =^^}обозначено черэ;
; '■ oaioii9?Bd огооя лээпи ^(ъ^^ЧС ^ ^ } Э и/к
oi ‘оааоайокп еоюХиэн ИК°Я' (V*®) Е1ГН^ ч^эол
-иїґохо «oiuraifooDB еиниоаоовсі- (*j}</ їіоЛц" ~g*F ойагої~ 2
■ я*Я' tv©90 ew (у *&),., ... „ оз<-г/ "
‘ (*>)Л-*-------------^--------- ед с?Я$
os.iOH3sed0H сіоуі; юэпи 01 ‘05І06Е0ИГ! ЄОІО&І0К (^<С.)«л иігоз *8*2’ V?iSd03I
; Ш: ■ ■ '■
00 + >(f)JV — Т ^>І *i?|J,?’/'r>
~ L/w-vr ©)©>/-> J
M’SIVl»"
J ЙІЗП0ЮІ
-єн laHdoaisractfA' (ю)іI > jiy) endoion* ^v'1^ J ній гюявроїґ
j/xsaa оагознони онэьвкзоро ^ ^\чС eQCI0h ‘Ь'оіиіґохо
І^іг -T ^ M,d ozu'-jjhsi, = Vj «оац
'q pa.t,OHttu’ioo<Ju иэуя oe Komtroxo онлпгоорс • w,c* oi
004— у
*°°“= Xm*hr)vj
сяіонаавії нохеншгоигнт (%э*/)г/ и(^ Эю) 50 oiiodoMJten икк иігоз ‘ихоонювь а
(^,Э)ед , (*%?)*$ <*S-zfesT ’"
‘(!*rW)V иЛ №% (\MUyq
Кампяи Bdo:i scBdoKjiovs'j*^ (у *2?) ^
-Bd ^уэ)сГ ихоокиКохо цоніїіігоорв гиниоюоод ^"ГтаЙОЗІ
- S2 -
' СЛЕДСТВИЙ 2.9. Пусть для любого £>0, ряд 5]
" й=7
сходится. Тогда для того.чюоы- р{ОС) било расстояние» абсолютной сходимости ряда (<2,Д) необходимо и достаточно,чтобы имело место равенство
к\Чл\
р(рс) s= _ fom
n-> 0О Refe^An)
Следствие 2.9. является обобщение» теоремы (г.УйІІУОЛа.
В третьей главе изучаются рост целых функций, определенных всюду сходящимися рядами Дирихле. , .
Пусть последовательность псло-даельккх чисел такая,что 5*5Я/<Дг<.-. ) йт - Т 00 и 4“ есть,
Я -»ЄО J ^
последовательность добавок для последовательности {%Л. ,
00 f —EX
т.е. ряд 2—е сходится V g> Q и расходится V£<0.
к=> 1<к ' •
Рассмотрим ряд Дирихле . .
' Пусть №) -целая функция, ііуидетазленная абсолютно сходящимся в комплексной плоскости рядам Дирихле (а,-А).
Поломим <М(б) ж* sup J+ .
lik+co . •
Для /(S9 определяются /2 -порядок ,ниянай Л
порядок Д , R. -тип Т = 7*(зс) и нижний £ -тип
где 0<ЗС< +00 , по формулам '
ЬЬМе) Г & &лй»
Л g-^+оо Є і +(>э eKS*
Введем обозначения . •
ft =Лш ^ih3±, т< -7Гг». 1 Г-я і/? 1*^*1 Я; й=>* ft-^Tao ЄзііЛ^ J'
я
'.п о. %f. $rj j ~7, Гл
%* 77—r7V ft “ST" Й? UAC.ev!««l) I
Д —>eO J Й—>to‘" ’ ' ' *
^ ~Яй
T? tviz-'^fT
hit) -M
3 puC/'Jiax Тапака С., ??.?. nc::cra;;c,"ro ссл;;
n ^eo a^wT< ~ то -^аве^лив0 -p336110™0 p ~p,MpeifaA.6.
также доказал,что если lira -/---%■——^<-i-оо и p,l<f
*->Ю Яа'М* \ .
\0^Pf<+OOj ,то справедливо неравенство р*р,(1~Ъуг) : Оруджев С.Р. позже Бойчук B.C. и Еременко А.Э. доказали,что если Jim =*Й<+С0 ,то <?•« т^ехр^ос),
(Сроке вышеуказанных утверждений имеются результат Бойчука Б.С. и Еременко Л. Э,, Vuceja О. P. t связывающие ысвду собой НеЛЦЧННЦ ^pj Д^Т7, I •
Осношне результаты вьшеуказашшх работ имеют место при ограничениях на рост }•.
Полученные в трежъеп глазе результаты,относящиеся к оценка й -порядка, £ -нижнего порядка, /J -типа и £ -нижнего типа Ц ;ЛОЙ функции /(й9 через взхичпш зависящие от коэффициентов {««} и показателей {Я»} , имеют место без вся-
ких ограничений, на U»} .кроме Я/j ‘t Ч-оО.
Кроме того, получешше здесь оценки более точные, чеа оценки для частных случаев, рассмотренных в работах Бойчука B.C. и Еременко А.Э., i%%peiU<z&.G. ,0рудмева С.Р.
В § I третьей главы оценивается Ц -порядок р функций М) •в зависимости от {#«} и {Я*}\ .
ТЕОРЕМА 3.1. Если ряд (я, —Л) абсолютно сходится к /(jy на всей комплексной плоскости и Дд|<2/г| < / • при И>Цц ,
тс для J? -порядка, равного J? .этой функции справедливо
?< 1У А -Р. .
Креме того, если р< + оо. . ,тогда ряд (<2, — Д) абсо-
лютно сходится на всей комплексной, плосксоти.
СЛЕДСТВИЕ 3.1. Если выполняются условия Лчи ^ /-
® й й|вв|<' (*>«')>■ то £ -порядок, равный р , функции /(2) удовлетворяет не равенству .где
^ іпК /4(«І0ліГ] .
ЗАМЕЧАНИЕ 3.2. В ходе доказательства теоремы 3.1 ло-
казано,что всегда (б -%),П>о,где
{<$*}■ -последовательность добавок для {я»}.
Отсюда, в частности, если Л’»? (Рлй)/&» —СІ< +00,
й- —_ ■
то получится известное неравенство ОС —%)>
ГД2 О ^ •
^(6)- шх(|а4|ё *• ),т.б>ад, к?'/
В § 2 третьей главы изучена зависимость й -типа Т7 функции от коэффициентрв и показателей, в случае, когда функция /(£?) представляется в виде ряда Дирихле с вещественными показа гелями. . '
ТЕОРЕМА 3.2. Пусть ряд (а,-А) абсолютно оходшея к
/(&) на всей комплексной плоскости. ' і
Пусть $I = {Л} -последовательность добзвок для \%^
Го*да для Я -типа Т функции ^(з) выполняется соотношения . ■ ‘
г&т* Ш}
Кроме того, если /«.<4-00 , то ряд (&.• -Л) аб-
J& »* '
СОЛЮТНО СХОДИТСЯ па всей комплексной ПЛОСКОСТИ, Л о
СЛЕДСТВИИ 5.2. Если выполняется условие ОД? lOHtH.-/}
И ->оо '
то § -ТИЛ Т функции Ш) удовлетворяет неравенства!.! rr*.<- m.*- s> . - г»»—*406 ' " *fW * ' '
Если <^5<+°° 1то РМ (#> абсолютно сходится на
всей комплексной плосксоти. '
В частности, из следствия. 3.3 вытекает,что если V£>0
60 -зЯ Л
ряд Se к сходится, тогда для того чтобы ряд (а,-А)
ftef
сходился абсолютно на всей комплексной плоскости, а суима ряд^ имела R. -тип Т необходимо и достаточно выполнение равене-.- ■
В8 Т ~Tf.
В § 3 третьей главы предполагая
h-*t&
и оооньачая '
m ’
доказана следующая
Г;-:иРЕЫА 3.3 Пусть 0^Р< -V- 00 И 11иСЛВДОВЭг10ЛЬ
аиоть ш убывает,тогда ‘
а) Я«Я* = Ш и б) l*l*= blf-tu-
Л ■ J4 ^
Следствие 3.5. Пусть выполняется- условие
II для лого случая -не убывает.
Если Р< +СО , TD л О
^ ■а < ч * 0,* ЯлМд
a) At* AiJHg .ГДе Ам —ШП
U—"оо
- 30 - . . .
I г * л* А О- Я я
б) ,-ГДе с Л» — — Ш? 7--—-
<1*0 №о ©а» а-*ео Сй|Ой1)"*/;|'»
Кроме того, если С£ = - <+00 , то
# —^ ос А/я .
Ао* °1& • .
Л 2 3506
Следует отметить, что неравенство с^Г/е имеется в
работо Бойчука В.С. и Еременко А.Э. и там же указывается неулучшаемость этого неравенства. Хотя здесь понятно,что в некоторых случаях улучшение имеется,так как не исключен случай строго »« / ааоб
го неравенства г^<Т/е . . •
В §4 третьей главы изучается рост функции с бесконечным £ -порядком. •
Пусть •
%
' Дг) = 2в«е п%, Я«6+Й,Й» ЯЛ«+ю , (а,А).
ц = 1 &->&) *
Если Й -порядок р функции /(2р раиоп босконечаооги, определяются порядок и тип функции £(з) следующими формулам
гдэ —+ °°; х±?П{?Пк ,•£•); Лф) — 5&Р |/(б+г^)| .
' |4!<+00
• Положим ' .
рС*;= 2т Я/д^Яй ;
Ж№1</. ”РИ «>«*>
г до 0<Д<-|-оо.
и
такая,что ряд 2 ,
сходится УЗ >0 и расходится Ч%<0 .Множество таких
;г = {уил} (Мл>0 обозначим чороэ .
ТЕОРЕМА 3.6. Если ^ ,/\С* <-+оо тогда рад (а,Л)
“ М<&&я» Л
абсолютно сходится во всем пространстве С и порядок р& ,
Г () \> О.- с" иПі ) гттттттмм £( аТ»ТТОІПІїТОГА/>СХ ЛЧГКМЛЙ ГіСТТТО {ґ* Л \
>% • 4/ г, ' і ✓ 2%^ --
удовлетворяет неравенству
Р < іп{ р^}.
к *•**.* а&* ■
СЛЕДСТВИЕ 3.9. Если Ш —=0, П\ан\<1, И>П0 Н —
4ч^П^оО ЯА-Ам /&0М
тогда ряд (<2, А) абсолютно сходится во всей пространстве О и порядок Д-(0^Д<+оо) функции /Гз) удовлетворяет нера-во.їству Л*р£- {к>
В частности, если а*<+оо и </ > то ■
„ И. С*к-7
д.^, (/- д ; ,
где ___ _
Этот случай был доказан также ^ок5Ьтіпаі/,а5Іміоп Т.У.
ТЕОРЕМА 3.7. Если Т <+со тогда ряд
(ч»Л) абсолютно сходится во всем пространстве С и тип Тк при порядка рк {0<рк< -4-оо) функции /(2) .являющейся суммой ряда (а, Л) (Удовлетворяет неравенству ГК*Т™ СЛЕДСТВИЕ ЗЛО. Если 2іП Г Ы £п И /Ли 1 =• 0 и
71 —>ео *• * -*
гп(к) А„ Гй. о (йІС*!)^^]
- 32 - . •
то ряд (а, Л) 'абсолютно сходится во всем пространстве С и тип при порядке J2K (0</V<+00) удовлетворяет неравенству
• Тк « ТмТ- —
В частности, если сС *a'Fim f in tl/А*1 < -4- оо} то
Й ->ооL 1 -* •
fw
т7 ■ exp (<*/>*) > pit
что было доказано также Бабаевым Х.Б.
Следуето отметить,что имеют место неравенства
Здесь не исключено строгое неравенство '
Т^кГ^ехр^у
В четвертой главе доказываются некоторые неравенства связанные с ростом аналитической функции в полуплоскости.
В § 1 четвертой главы доказываются теоремы о верхнем порядке функции в полуплоскости., . . • .
Dyosb . «, .
/0?) “■ JjOee * , • (в,Л)
где - ,'й»^. я+'оо и ряд (а,Л)
I * .g -*>06 *
абсолютно сходится в полуплоскости Rq%z*G<0.
Дагене £. определен порядок и тип функции /(г?/ ,СЛУД6»Щ1Ш образом ... ■
р« 2ш , о<р<+оо,
Fun 0<J>< + tof
—>0- •
где *U$)=* SKp tf(e+tf)| l£k+co
а такке определены величины
й—*Ю ?tl О+J5)^ Й-*оо
■B.C.Бойчук,обобщая результаты Дагене Е. доказал следую-tsyn тесрг:^'. -leopcua. Пусть
ft« =■$,
£ ->+t»0 Г » >
где ЙЙ) -функция плотности последовательности^
ЛМ'Х<«М9> Я»**. ь , I
Если 5«/ ,то jOc ф-r) i если S</>/(/+J5) ,то Trf*j8’.
В частности, если ,Т0 J>saClCf/{l-OCf).
Если последовательность { растет медленно,вернув,
если S>f ,то для порядка, а при S >,р/(/ +/>) для типа функции но установлены оценка сверху посредством коэффи
циеитов и показателей ряда
В настоящей главе условие на рост последовательности^/^J, не накладывается и эти вопросы решаются полностью.
Имеют место неравенства
Д{б) * М¥) <■ wfiy («,8,?,) ,
1ДС Г Vn
« ег4.я51ММ'В+8-|
Ay(W,)-ro<7x|ftiat|e
3^ -постоянное число, зависящее от "Mfj
l -такая,что VS>0/Vg/>0 ряд^-^-ё^^*
4 *=f I*
сходится.
В работах Vuneja О.Р., Kflzhma Nandan, SvitrOs^Q&G ff, S.
при сильных ох’раничениях на рост показателей ,получены
формулы для выражения порядка и типа пункции Яг) я полуплос-
кости • через коэффициенты R} а показате-
ли { Я*} ряда (в,Л).'
ТЕОРЕМА 4.1. Цусть ' ' • •
Utej/ я 1+ф & —>оо
11 00 /
^їГЄХР(‘*'^‘? ) • VS,>O,M>0,(?s»O СХОДИТСЯ.
Тогда ряд (в, Л) абсолютно сходится в полуплоскости Rq3<0 и ft -порядок р(04>р< + оо) функции .являющейся суммой ряда (а, Л) в полуплосксоти #ЄЙ =б’< 0 .
удовлетворяет нераззнству о* lllf p„, '
- . {*•} .
СЛЕДСТВИЕ 4.1. Если OCf<t ) Л>0 И ряд • СХОДИТСЯ, TO J5
СЛЕДСТВИЕ 4.2. Если S< _|_ оо и
Из неравенства .'
л/ ^ГГ hkh. X- Шк№ Г ■ , , - •
*-*> ~ЙГ"1
и из следствия 4.2 следует
В работе Бойчука B.C. установлено.что если S^f ,то ..
РІО +p)*v>-
атот частный случай является, вообще говоря, не точной оценкой.
В § 2 четвертой главы введена величина
Г. * stvw»ІДУ., w;
Г (f+p/tP8-»co . . •
ьо {
такая»что рад ДЗ-j^-в п
сходится V£>0 Лнояестзо таких ІЬ} обозначим через тг ТЕОРЕМА 4.2 Пусть У,~\%\е.Ж0 и Лг/ 7U + CO.
' J ґ ПШрі
-v АЧ . . 7. • ... , --- Оа^^Л
iui дд упд~ **/ UUViMiAiiitW VAW^MAWit XI iilMtjlMVVHVV*!!' ;«»f- -W
и # -Ї1Ш 71 при порядке 0 (0<p< -+co) фуп:;цни і в полуплоскости £е З =6< 0 удовлетворяет неравенству 74 Ія/ 7* .
2б»р »
СЛЕДСТВИЙ 4.3. Если
то Т7^ J5. "
Следствие 4.3 более общее,чем соответствующее утверждение БоМчуїса B.C. о том,что 7* = р при •
В § 4 четвертой главы изучен порядок и тип функции,являющейся суммой абсолютно сходящегося в полуплосксоти ряда Дирихле, з терминах ее наилуч'легА приближения посредством квазиполиномов в иеньчеіі области. • ■
З 1903 году їїоиііуаі d. и Skukia $. 5? обратились к этому вопросу, рассмотрев ряды Дирихде
h. я f
с !!.;<анз гелями { Яа 1 * удовлетворяющими условиям
I. й/»< 7\/я< ,...< <..., titn й/и=Ч-00>
‘ Ц —>00 «
П. JlTff ~Яя) 1=1 $>0.
П-*(Х>
оставался открытым вопрос об окончатольп_сї.: ^слия:-".
Пусть одос й классы функции jfa) ,;чк.дсі'ал,.--
мь/х в виде суммы абсолютно сходящегося ряда Днрил: \ 'J,A) а
полуплоскоотях. #ЄЗ < об и Re і* ^ 05 соответсгвен-но,где ясно,что
і’фє&оі =*Дг)є при ficoi.
Класс всех каазиполиномиз Ргг:'?)
Vg>0 РздДЗ^^-іЯід^^+ю,
степени не выше % ’обозначим черва %%ц. '
Наилучшее приближение функции /(г) в полу-
плоскости Re Я <• Р определим формулой
MfyO- s«p . .
fic€#el*l<+o°
Пуоть такая последовательность,что при
любах 8/,8>0 сходится ряд , .
vi 1 {
А'.'йГ ^_е' *
г* .. ~SZ №(хЛ\а*\е^“)
- ^ .............. *
z' ~*’£>с & Зч а -фиксиурояаио.
Множество всех таких последовательностей { обозначим через .Кроме того, обозначим через 7Jbf> множество
всех последовательностей ({f/J-^O ДЛ? при
любом £>0 й при 0< J>< +оо сходится ряд ■
S£«r(-«a2*+")- ; ,
П-1
Похожим так же
ЛО • л • • ‘
(j.Z'5
ЧЛ (нр)иГ *■**>■
,. ■ _£_s
?»•' «-**> *,&, ’
„ 7Г WCr.e.Cf.We^"')
---------
В работа Дагане 2. определены порядок р и тип Т
Функции /(г) являющейся суммой абсолютно сходящстося з полу-
плоскости £ег = б<0« ряда (а,Л) .следующим образом
-рГ №№<М{<5) .
— ——
‘1 -------- р
6 ^ОС ^ тТ(&' 0<Р<+:Ю>
где ^(б-) = €мр | /(6+ Ц)\ ,<о<ОС.
1 *•!<+« л
__ оо л
ТЕОРЕМА 4.12 Пуоть /(зг)€ Зр и Ц>0 ряд *
сходится. Тогда для того,чтобы /(?)€«£{£ необходимо и'достаточно, выполнение условия
- й[Е„(Л0е^М*«]
І in
■*о,
?ї —S-CO Яій^
гдо —ю<р<с4с + со ,
ТЕОРЕМА 4.13 Пусть V$>0, V§1>0 ряд
-3 ,, -
сходится И +(2)е &о.
|! *■» я 'Г
Дія того.атобы функция J (г, Є была с порядком р в полуплоскости ЙЄ5! <о£ .необходимо и достаточно, чтобы ol/jS<t и р =рьв ,где
о _ *« „ 'л «Л'ад,а^'Мін')
Vi?M—
• ТЕОРЕМА 4.14 Пусть VS>0 ряд "
сходится,где .0<J>< + оо и /(г)е . Дія того,
чтобч Дг) Є §fo6( -0Q<J3<O4< ч-оо) и имела тип 7* при порядке jo необходимо и достаточно,чтобы 7T=,7’J,(1 =»7^s' ТЕОРЕМА «.15 Пусть 0СЕ< 1 , гда<*Е л inf (Ц » «
к / (г) € с$р . Тогда / (?) е ■ и для порядка 'Р
функции /(?) имеют место неравенства
' &£■
Я,а*Р*Ра * Ре • ’где^!=-Г^-
ТЕОРЕМА 4.16 Пусть 7*5 < +СО и /'(г)£3^.> (-00<P<06<+ 00) ,где -Ге = 1пГ ТЬЕ . .
Тогда и для 7* , типа функции /(£-) при по-
рядке р (в<1р< + со) , имеют место неравенства
Тиа.*Т ч< ’Га< ^ »• гда ^ {ыея*/’?'® •
Заметим,что теоремы 4.15 и 4.16 выполняются не накладывая условий на рост %&• ,
В § 5 главы 1У доказаны теоремы о росте функций,являющегося суммой абсолютно сходящегося во всем комплексном прост»* ранстве ряда Дирихле с комплексным показателем -{Яд} »ГД°
В § 6 главы 1У теоремы о росте функции,являющейся-суммой абсолютно сходящийся во всем комплексном пространстве,ряда Дирихле с вещественным .показателем, распространены на случай уточненного порядка . . ' . . .
В § 7 главы 1Уустановлены уточненные характеристики роста функции, являющейся суммой абсолютно сходящегося в полуплоскости ряда Дирихле с вещественными показателями.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Ц,Л. Функция £>(?) .удовлетворяющая усло-
ВИЯ11
і- Г О') -дифференцируемая при 1/>>У,р>0 }
г. &тп = о ■,
—Й-+О0 “ ■
3. ІІТП ур(у) = О
V —>-+оО
называется уточненный порядком.
Предполагая,что ряд
' СО Л
Д*-)яя^^пе 11 » (я > Л),
. ех..,.:/':/' ъоо
п ■•; > 60
полуплоскости ЛбЧС =г С> < СС .ЛИ; и1’р'-М:-'
Т,
ГАО (®])
1г!<+со
Если величина Т ог;ична оч нули и б<?1..<';-и.»чнос г.-, <. рФ1 называется уточнении;,! г.ос^/агсл ;;.:и;,ой у,«"|;.1..
в полуплоскости ^62 <сб , а Т -т»:юи ( ’/^ -
низшим тшшм) функции Дг) При уа о4г!>:ЬН0М П-.'рЯДКвр(&1 -£~г) *
ТЕОРЕМА 4.23 Пусть ряд (а,Л) абсолютно сходитсн
г*к ,\е^=£<й',/ ^/С04"®))) -утошши.лл: П'!-■ -
при <6—у*<Х~0 и 0<9’<-ьОО.
'1-”Да 7', * 7* , где 7)-^ Б *)\ "
[ирУ'! я-*чо1 А,!/ \ .!
я Г =» & Ф&) является единственным 1,ешени<?'4 у П.Гш'.СНП--
е*р[ ГДП) + 1Й] = 1
Уискрсч'вэ поолвАиаатмшисюх /’ =|^д} *”Д« ;
я / & "> О г яд
ъЩЪ Р' " ' ыоантся,
обозначим чэрез .
ШЩШЛ’М- йуогь ОЦ&г&$ ДОи£-><&*0
уточненный порядок, £еЯЦ '
гг тс
т>
ь
11 №/ Ту- = 7<4-со,
* ,
то ;.ЯД (а, Л) абсолютно сходится и полуплоскости £ег = С<°с 1! уточненный тип Т при уточненном порядке р(к Ыо-*)))
- 40 « , •
І ‘ ' 4
удовлетворяет неравенству Т «6 *7* ■, ■
СЛЕДСТВИЯ Дусіь рІ?п{іКсі~0))) при&~*0і-/?
' » / , л/>/(/+. й) ч ■
уточненный порядок И V . ряд ІЗбХрІ-бїЦ } ;
сходится,/де /7<р< + 0О. Л*ї ..
Дія того,чтобы ряд (а,Л) абсолютно сходится при Яе2<оС и /(г)Є было типа 7*. при уточ-
ненном порядке Р$(і( С<Л-Є))) ,необходимо и достаточно,чтобы
В пятой главе,состоящей из пяти параграфов рассматрива-., ется вопрос роста функций многих переменных. ■ • /
В первом параграфе этой главы исследуется рост целых фуак-;;гН многих иирааениых,заданных рядами Дирихле,а во второй параграфе этот допрос изучается,когда функция задана обобщенными рядами Дирихле. В § 3 главы У изучается зависимость сопряяенно-го К -порядка и й -типа целой функции; являющоііся суммой кратного ряда Дирихле, от коэффициентов и показателей пяда Дирихле. . ' ' . ■ '
В й 4 этой главы исследуется рос? функции .чрляшейся суммой кратного ряда Дирихле* абсолютно сходящегося в полиполу- . плоскости. • 1 • . ' ■ = '
Наконец, в последнем параграфе ряаш У расомртривавїоя-распространение некоторых.теорем о росте «а случай/ уточненной шкалы роста целых функций многих переиешшх. . •
В шестой главе изучается сходимость интерполяционного 1 ігроцоесг; з комплексной области. ,
В § I шестой главы изучается сходимость ряда •
где О’.п и ро. (К—1)2,... ) -произволі ше комплексные
числа, удовлетворяющие условию,что ИтаСц=і Ііі?) Ри = £Ф.
/2-»со Л->оо
Очевидно, рад (it) в случае ?/~ О (і ~іfi
превратится в интерполяционный ряд Ньютона, а в случаеlju^=0 з обобщенный факториальный ряд.
Ряд (d) В случае GtH = a,+m, fiK --^І+КЬ где 2i и Ь -различные комплексные числа, был изучен
W ;.i7nn^)1fip — *1 . .
B.JI. и М.хС.Гончаровы изучили сходимость ряда
cv + ixn-rv1-' №)
га~/ >.=/ /-a*s
где { является монотонно возрастающей последовательно-
*• со
стью действительных чисел, стремяцеИся к единице, И ряд 13Ц-йЛ
К=/
расходится.
ІІеїрудко заметить,что ряд ($) посредством
VJ-bi , 1-ьйц „ 1-ьС{гу
■ г Ъп « —-Г-7Г ? Д =
У/~ / 1 ‘!~аґ, иt~Q.il
преобразуется к виду (<ъ).
Аро.’^ того ;7.А.Щ/аРзк изучил сходимость ряда
ю й- „
"Т"'< ”7*?
..1:1 ^ І І (ад)
. л„г
і'/,; ас'следойаткльїіисгь кишыиксшдх чпсол />?*...)
у А и 2 ЛІ і Т ВирЯЙТ У СЛОВЯ Ы
і#йК|а*+,| , Ііш ая = а ,\а\~ {, гя 00 • Я-»»
РЯД ЛЗ 0 —1я*жО расходится. .
Полагая в ряде (СО^)
ш а ■ а ' а,
ДО .... ■■ ) СС- Д2Я .■ - « Вы ГГ* .
з-а ’ * ак-а,’ 4--а
Мы получим ряд вида ($0.
Ряд («#) в случае аз Ц‘їь^,^ц =Ь’^г гДб 9
постоянное положительное число, 11 и & -да.іпие комплексные числа, причем и. фЪ >и фй, Ъ ФО был іізучин В.Т.Мироновым.
- чг - ■; .
В настоящим параграфе обобщаются некиррые результата '.упомянутых авторов и установлаваются ноше результаты.
В § 2 главы И изучается интерполяционный процесс Ньютона. Доказываются следующие теоремы. • . '
ТЕОРЕМА 6.7. Если функция /(з?) представляется в ваде ряда Ньютона «з . '
/(a?) ~ ~"%l) • •*
Ля/
о аесцисоой сходимости &е и уялайа Щ (I») , удов-
Я Св .
ЛеТВООЯШИХ УСЛОВИЯМ #/«$ «О +03 И -J-.sa4.OO,
то имеет иесто неравенство tfJS/
0
'где %>о,Ь-Л-(<+о(|$
«-J
-' 1 -д , ее.
2№0
если конечные,
если 0“о «нг— ад ( fll>0 любое.конечное
число) и С 8) не зависит от Р. . ■
; Из этой теоремы получено следствие. При 3^<*Jey+({T-f)i
имеет‘место неравенство . . . • • ■ .
,,/л, ite-4-^' ■
|Д*е )|<С3© • , .
где А(&) =* COS$ it 2C0S& *+ в $№&> С5 -не зависит от й При &f — i, h — f получается теорема Н.Е.Лерлунда. \
ТЕОРЕМА 6.8 Если /(й) регулярна в полуплоскости .
.?e2>oi непрерывна на прямой /fes=0& и в этой полуплоскости удовлетворяет неравенству , . '
. г/гст ,
&|/(vel+ot)| ~hf-R& &Ф)<0, .
где !е! < ,тогда /(з) мо:1:но разложить з р:;;д Ньютона
' СО
/(г) « 13 [&*/»•■■,*<](з-«/)-(г-*4) »
К
абг.пиг.са сходимости которого не ноает превысить налстяынесв из
ЧЛСоЛ р Л , ц
гю ^-ДоСй^>/(,21В-
В § 5 шестой главы исследуется сходимость кнтарполирующух рациональных функций с заданными полосами {*} . Следует от-метпть,что при р! = — со доказанная теорема б.Ю совпада-
ет с теоремой И.И.Ибрагимова и М.В./Селдыша.
В § 4 шесто:! главы рассматривается задача об интерполировании мероморфней функции дробно рациональными функциями,когда 1.'Ь0У.иС?У0 всех полюсов интерполируемой моромор^аой функции и течки интерполяции имеют предельную точку в бесконечности.
3 зависимости от расположения узлов интерполяции, полюсов Интерпол пру юда рациональных функций и от интерполируемой меро-морфной функции устанавливаются достаточные условия для сходи-!\;с'1; ль’.цесса плтерлоляции.
•Х^аиА 6.11 Дусгь -последоваиглыюсть
узлов интерполяции
КгНКм-И, 1«£дКрд>
й, —*^ро и
ф)- функция плотности последовательности {л}-
Пусть далее НЮ -целочисленная функция, не меньшая .функции плотности 7М{|») последовательности {/}»<}■, 1,Р*к1 Рыг1 “00» ^ -множество всех полюсов нероморфной функции
X -^00
/(3) ,ВХОДЯЩИХ В 0 УЧ3»0М кратности полюсов- (*={&}),
т. о. если 1рк0 является П0 7МСВ /(?) кратности р ,то в
11 о с л е до £ а т ь л ь н и с т и { 8*^ число к ,повторяется.не менее
- 44 - .
р раз, и * '
Если существуют такие последовательности чисел {£*},{*#}■ Лчю выполняются условия . .
V***/ >^<Пц,^К “«> С*)
и для а#0) выполняется предельное равенство-
-К^)^е/2 +ад+%)+5[^ -Ч^)]} =“°С>
каково бы ни было р ,то последовательность интерполирующих рациоанлышх функций '
будет при неограниченном росте к равномерно сходиться к № в любой уруге конечного радиуса с пропуском где й!,§>0 -сколь угодно малые положительные числа, $ г о сколь угодно большее число, и
ТЕОРЕМА 6.12 . • Пусть \М(р) -М£КО(ШуЫ УВДУЛЯ Ыброцорф-ной функции Дз)Л<*к} -последовательность узяоа нмарпояя-
ЦИИ |<**| < ||, |оСк 1—^00,1ак1сд, Щр) -функция
плотности последовательности £</эл'}- «пусть далее -цело-
численная функция, не меньшая функция плотности щ(р) -последовательности чисел ,ГД0 | Вк |< 1^^ |->+оо; £ - множество всех полюсов .Если существует последователь-
ности чйсел » { Ч’к} для которых выполняются условия 2пЖ(Гк)< (б4-£).^;)/и>0 ■при любом %>0}К>Ко И Й (V) >(Т’/Я) 1^п при V > , И 5Д,
- щ - . . .
для любого фиксированного Р>*> '
К йт ('—■—■Л = о, йтп р
*-М<>\ РлГТ«)/ \ Рп(тк)/
?ш (Шя)+ЩУг)-тЬлРн£) оГ.^ =*к<+оо,
то последовательность ^ ПРИ неограничен-
ном росте к будет равномерно сходится к £(*&) в любом круге конечного радиуса с пропуском зй (к=*1>2»... ) з°ли имеет место неравенство
где Ї1
#-)= I і^і
ЗАМЕЧАНИЕ 6.1 • Если /(г) -целая функция,то присяги (К Ы2,...) Ъ=*2& -І-Р кая следствие из теорему 6.ІІ получится теорема'’ А.О.Гельфойда*.' ” : -" - ......■■•
Делствите.чьно, в этом случае Іі =®2,іІ =*0>р =» »•
... й §.-5 вое той главц. рассматривается та ке задача,что и в
§4, когда узлы.интерполяции »...л0£д (й«*,2>...), являются корнями Ц -й. степени из а« .где \Яц\я*Э$,0<Хл«2пн,
йт о;»«>4*со.
л->оо е ■ •
йнтврполируюигой ПОЛИНОЙ Р^(ё) определенный интерполяцией в корнях и -і! степени из произвольного числа ,г.ло
имеется в монографиях Уолша Да.Л. а такге-Смирнова. Ь»-* и Лебедева Н.А.-
Для кратности сформулируем следствие из доказанной в да:ч ном параграфа теореш.
- б - ' . .
. ' . ’• ' ■
СЛЕДСТВИЕ 6.1. Если Ч{Р) -функция плотности посяедо-ватьльности {х^} , % а <£/,+■! , 1ш Хц =■•+«> , /(х) -целая функция с максимум модуля оМ.(^) и неравенства •
1па№{?) < 0<%<~ЬВу '
выполняются при некоторой фиксированном б , 0<9<1 для последовательности. ~ Хк/в (К =• 1,2. >... } ^ *о последовательность {ФйдС?)} при неограниченном росте Й равномерно сходится к /(2) в любом круге конечного радиуса
Основные результата диссертации ойубликоааны в следующих работах. , •
I. Орудие в Г.Л. О сходимости интерполяционного ряда !Й0-тона.Тр.Ааеро'. Пед, ин-та, т.2, 1955, 0,146-152.
2.0рудкев Г.А. О сходимости интерполяционного ряда рациональных дробей, йзв. АН Азера.ССР, серия фиалах» и хш.наук,
1ё Ь, 1958, с. 3-22.
З.Оруджов Г.А. Об области сходимости дробко-рацаоанльшос рядов. Баку, Труды АПИ им.В.И.Лопина, том. ХХП.1962, с.Кб-182.
4.Оруджев Г.А... ‘ Тригонометрии интерполЗасиЗа просесииии Зигылма области Ьаггында/ "Ученые■записка" АТУ иа.С.М.Кирова, ■ й 4, 1%5г.,с.23-27. : . . .. .
.5. Оруджев Г.А. 1 0 сходимости интерполяционного процесоа Ньютона. "Ученые эапиоки" АШ1 ин.В.И.Лоншга, & 6,XI серия, 1968, с.82-87. ■ : . . ' . ' ■ !
6. Орудхев Г.А.,Салиыов в.Г. Об области сходимости ряда :'рихле и Тейлора-Дирихле с комплексными показателями. "Ученые
залзски" АГУ им.С.Н.Кирова, К» 2, 1969г.,с.53-56.
7. Оруджев Г»А. Об области абсолютной сходикоптк '-дов
близки'; к интерполяционный и Дирихле. "Ученые нБ к
ССО Аэерб.ССР, сэр.физ.-математичвс|шх наук, 1975;‘Л 4, с.62-69.' •
8. Оруджев Г, А,, Ибрагимов Ф.И. Об области сходимости некоторых нлсоЗсттнных интегралов Сотлтьесэ и применения в теории интерполяции. Всесоюзный симпозиум-по теории аппроксимации, функцій в
' 150;.Е.~2гссиой , Тезтатг .™эх.тйдор, Т976, У'їн. АН СССР. ..
с.37-38. ' ' ' ’ : ■
9. Орудтев Г.А. О сходимости одного интерполяционного процесса для мероморфных фуквдіїй. ДАН Азерб.ССР, 1577, г.ХХШ, Я, с. 6-9.
10. Оруджев Г.А., Ибрагимов Ф.И. Об области'сходимости некоторых несоюственшх интегралов. ДАН Азерб.ССР, 1977, т;ХПШ, Я 6,
с.8-ІІ. ' . ,
11. Оруджев Г.А., Ибрагимов Ф.И. О сходимости некоторых несобственных интегралов с применением к задачам интерполяции.
ДАН Азерб.ССР, 1977, 1.ШШ, й'7, с.3-6.
12» Орудаквв Г.А. Об области сходимости интеграла типа Дапласа-Стклтьеса. Кзв.АН Азерб.ССР, серия фк'-иво-твхкичееких и математических неук, 1377, й 5-, с.77-78. ‘ •
’ ’’ 13. Оруджев ПА. О Нахождении области сходимости некоторых-
несобственна интегралов., серия физико-технических и матемзтачостснХ -аду/., 1378, 3 5,..с,36-45.... ........... ■.
. -14. Орудав Г,'А, Об интерполяции целых функций многих комыокс-
. ішх пэрамонных. $ 5806-77 деп., 30 октября 1977 года через Изч.ВУЗоз. Математика РЖ "Математика", 1976, .4 2, Реф.2Б.155.
- : 15. Оруднев Г.А. Я.росте Целых арнздий. ДАН Азерб.ССР, 1979,
т.Ш7, й 5, с.13-16. • ' - '
. 16. Оруджев Г.А/О рооте и тигте целых функций, .ДАН Азерб.ССР, •
1979, т.ШУ. » 7,- с.14-18, •' ; : . . . '
■ 17. Сруд-кэз Г.А; О функций, определенных вощу
сходящимся рядом зкопоненг. Веесовзюй (^тозиум -по теорті ■ ерпхж-симадаї» функций в комплексной области (Тзэисы докладов),- У\5Аг
- 46 - • . ' ■ ■
май 1980, Башкирский филиал АН СССР,' с‘.І08-І09. •
■ ' 18. ОругдеЬ Г.А. Об инторполяцш раЦИОИЯШІїІМН М^рО-
' морфных фрикций в плоскости оез конечного множестве, точок. -Стгршп,-.
■ ные вопросы теории, функций АН Азерб.ССР, вып.2, Балу, 1980,. о, 145-155, . . 19. Орудаев Г.А,, Ибрагимов Ф Л. Об области сходимости• некото-
рых несобственных интегралов Стилтьеса с 'применением к задачам интерполяции. Специальные вопросы теории функци^ АН Азерб,ССР, шп.2,
БАКУ, 1980, с.157-132. ,
' '. 20. Орудаев Г.А. Об интерполяции рациональными функциями. / .
Іізв.ВУЗов, Математика, 1981, Л 8, о,'74-7?.' . ‘ .
■ - ■ 21» Орудаев Г.А. Об интерполяции рациональными функциями. Спё-. циальные вопросы теории функций, вып.Ш, Баку, "Элм", 1986, с.157-171.
Ч 22. Орущьзв Г.А. О росте целцхфункций, определенных вскщу схо-дящимоя рядами экспонент. Специальные вопросы теории функций, внп.Ш,
; Б<зку, "Элм", 1986, р.172-194. ' - ‘
23. Орудаев Г.А. К вопросу роста функций многих переменных. .
Нзэ.ВУБов, Математика, 1989, 8, с,95 (полностью статья депониро-
шш в ШШШ1 через'ядгрная Изз.ВУЗоЬ, Мзтематикэ,'за номером 3394-В82І ’ 0.18), . , ’ ■ • • ,.
. - 24.■ Орудаев Г.А.' Всеоошдая тат-шфувчтя, "Совршгї^іш проблемы теории фущсций" Тезисы додогадой, Балу, Шб, с,06. г . ,
' 25. Орудаев Г.А. Некоторые неравенства.,’связанные е. ростом 8вд-(
лйтичеркой функции в полуплоскости. Изв.ВУЗов, Математика, 1989,
#12, ‘С.30-34, /■ .. .'. ; ■ , ■ • •.’ '
26. Оруджев Г.А. О росте функции, являющейся суммой кратного1
ряда Дир-:хлз абсолютного сходящегося в полиполуплоскости, Деп. з , АЗНИШЩГ Q5.IO.I990 года, Д5 1568-Аз,90, с.II. ' '
27. Орудаев Г.А. О росте Функций, определяемых рядами Дирихле. Известия педагогического Университета, серия ес оственных паук,
1:-,% 1993, № 1-2, с.70-80,
Г.д.ОРУЧОВ ■
Комплекс парачетрдэн асылы геЗри-иэхоуси Стилтес
интегрзллары в-э онларын тэтбиги
X У Л А С а Дисс'--()тзсиЗз пяты фэснлдэн ио'арэтдип.
«•НИИ ОИрИНЧИ ИКИ Ф;ЗГ!/ГИ 0*“ЯИ !'В,11'И-МЯХиу(;'И ОТИМвО янтв—
грэялпринин Зигнлма.мгтлэг Зигылмп вэ этнтэзэм Зьггилиа ооласт-лармнын оЗрчнилмаси мэсэлэсинэ Ъэср едилмишдир. Бурэдэ еЗрэнилэн гвЛри-махсуси Стилтес ингеграллары хтоуси 1;элдз классик Лаплас иитегралнны, Стилтес-Лаплас иктегралини вэ ОУзи функционал сыри лары мэсэлэн: ИЗутон ИнтерполЗзсиЗасы сырасыны,Дирихле сираснны, Те3лор-Дирихле оырачнны.ряоионал -ЬункеиЗаварын интерполЗаси.За сн-Р'1С1ШЧ аз счир сыпздарн эЬчтэ едир.Бу хгсуси Ьвчлэрдвкы ичтвграллар Р.1 'Ырчл.чр 0!!р ЧОХ !.!ТЭЛЛИ£ЛЭрИН ТЗД"В!»8Т ОЙЗвКТИ
.квд зени .плэЗивлзр ьерг.лмг.ш вэ Зени ке.ЗфиЗЗэтли нэтичэлэр ". пиглпдгр.
Сонрэкы уч ртсил (В,ГУ,у) Днри-г/ге стпсы илэ га"3:1Н олунан
':.,":!(('.’Зтл!?п!:ц ^ догп чох дэ?кач**лг) бо?у«ун тэдгигк
'.•л'гэлллэ^.: 13 Ьэср едилмишднр.
у а 1ариа эсрдэ тт/ в=» ’з^зл/тач I:,шс::;3а лэрын Созунун оЗ-
рэн;1.:мэии Ьагтьшдз чох иилэъ дз'.’Ч едилмиидир. Бу ишлэрдв эсасэн
уЗгун Дирихле снрэсыны! кэстэричилэри тзэрииэ агыр шзртлэр гоЗмаг-
ля нэтичэлзр алынютдыр.
ИИДЭ Дирихле СЫГ'ТСЫННН КЭОТ^ОИЧКЧЭрШШЧ ертм'з сгр"эти УЗЭ-
ринэ гаэрт гоЗаадэн ^/йксиЗ'шин боЗУ тэдриг е -чл’^и ттвайиг келчуд '
нчт чэлар т>лу:дииэидкрклииа вз дэгиглтпг.лрляциидйр.
Ахышнчи ^эсплдэ НЗттон интерполззсазя синэсн илэ кэстврилэр
|--,:'"!«3,‘дапнн хзсс~лэрн,мере:.!ор5 фулкскЗашш оаокэнзл й-.учксйЗаячр-
лт иптерлол1воиЗа сд:;л:.:оси оЗрэн’лгчилгп.Азккпн нэткчэлэр А.О.Гал-
,сонд.\ч,!•!.Я.ИбраЬП'/ов - В.МДел.тглш тэч г.?якс’.:3ялзрыя чохЬэдлилэр-ло г’ч»эз}злл35 е^аи'эск )•:> т ’' •’!' — п т!'пг”Н'Л тку*."-
Orudjav G.A
Complex parameter dependent improper Stielties integrals and their application.
Summary
The dissertation consists of six chapters. The first two chapters are devoted to the convergence, absolute and uniform convergence of some improper integrals. Improper Stielties integrals studied here contain in particular the classic Laplace, Laplace-Stielties integrals and also some functional series as for example, inetpolational newtonian series,Dirichlet series, Taylop-Dirichlet series, interpolations! series of rational functions and some other ones. These partial integrals and series were investigated by many authors. In this work are given new definitions and obtained qualitatively new results.
The following three chapters (HI.IV.V) are devoted to the problems of investigation of function growth {of one and many variables) presented by Dirichlet series. At the latter fifty years there have been published many papers devoted to the study ot entire and analytic functions growth. In these papers, the results have been obtained imposing more rigid conditions on exponents of corresponding Dirichlet series.
Imposing any conditions on growth of exponents of Dirichlet series the function growth is studied, the existing results are generalized and refined.
At the last chapter, the peculiarities of functions presented by Newton's mterpotational series and also the interpolation of meromorphic functions by rational functions are studied.
The obtained results generalize the corresponding theorems obtained by A.O.Geifcnd, l.l.lbragimov, V.M.Keldysh on interpolation of entire functions by polynomials.
