Нестационарная задача динамики пластин переменного сечения в уточненной постановке тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ
|
Дьяченко, Юрий Петрович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Самара
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2008
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.04
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Дьяченко Юрий Петрович
Нестационарная задача динамики пластин переменного сечения в уточненной постановке
01.02.04 — механика деформируемого твердого тела
Автореферат
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
□03456907
Саратов - 2008
003456907
Работа выполнена в ГОУ ВПО "Самарский государственный университет"
Научный руководитель: доктор физико-математических наук,
профессор
Радаев Юрий Николаевич
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор
Ковалев Владимир Александрович
Ведущая организация: Чувашский государственный педагогический
университет им. И.Я. Яковлева
Защита состоится 25 декабря 2008 г. в 1530 час. на заседании диссертационного совета Д 212.243.10 при ГОУ ВПО "Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского" по адресу: 410026, г. Саратов, ул. Астраханская 83, учебный корпус №9, ауд. 218.
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке библиотеке ГОУ ВПО "Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского".
доктор физико-математических наук, профессор
Козлов Владимир Анатольевич
Автореферат разослан 24 ноября 2008 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета,
кандидат физико-математических наук
Ю.В. Шевцова
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность работы. Решение нестационарных задач динамики для составных конструкций с распределенными параметрами в замкнутой форме представляет актуальную проблему современной механики. Условия надежности и экономичности при создании рациональных инженерных конструкций приводят к необходимости проведения динамических исследований на основе более сложных расчетных моделей при обеспечении высокой точности получаемых результатов. Актуальным представляется исследование уточненных моделей по отношению к классической теории стержней, пластин и оболочек. В настоящей работе используется неклассическая модель, основанная на кинематических гипотезах выдающегося отечественного ученого-механика С.П. Тимошенко, для исследования недостаточно изученного процесса нестационарного деформирования в пластинах, в том числе и переменного сечения. Проблема разработки и теоретического обоснования новых алгоритмов динамического расчета таких конструкций, моделируемых в виде систем с бесконечном числом степеней свободы, и создание на их основе универсальных программных модулей является актуальной.
Целью работы является изучение нестационарных динамических процессов в упруго закрепленных круглых и прямоугольных пластинах, включая пластины ступенчато-переменного сечения, определение частот и форм свободных колебаний на основе построения замкнутых аналитических решений.
Методика исследования. В работе используется вектор-матричная форма метода конечных интегральных преобразований, особенность которой заключается в том, что в процессе решения определяются все компоненты его структуры из рассмотрения соответствующих подзадач без какой-либо априорной информации о форме решения.
Научная новизна работы заключается в следующем: указанным методом получены точные аналитические решения нестационарных задач для прямоугольных и круглых пластин типа Тимошенко при наиболее общих граничных условиях для широкого класса динамических нагрузок. Использован новый подход исследования в замкнутой форме нестационарных динамических задач пластин ступенчатого сечения с конечной сдвиговой жесткостью. Эффективность предлагаемого решения обеспечивается значительно меньшим, по сравнению с методами конечной аппроксимации, порядком разрешающей системы уравнений и высокой точностью получения частот и форм свободных колебаний конструкции.
Практическая ценность и внедрение результатов:
• Получены эффективные расчетные соотношения, позволяющие исследовать напряженно-деформированные состояния пластин Тимошенко при наиболее общих условиях их опирания и динамического нагружения.
• Полученные в работе замкнутые решения могут быть использованы при ,
оценке погрешностей различных приближенных алгоритмов и методов, при расчете сложных фундаментов, дорожных плит покрытия, перекрытий сооружений, подпорных стенок гидротехнических сооружений.
• Результаты работы по договору о творческом содружестве с АО "Проек-тно-изыскательский институт Самарагидропроект" использованы в составе технико-экономического обоснования расширения Волжской ГЭС им. В.И. Ленина. Были выполнены расчеты (в соавторстве с Э.Я. Еле-ницким) по определению несущей способности пространственного блока перекрытия здания ГЭС при действии статических и динамических нагрузок. Ожидаемый экономический эффект 67000 тонн арматурной стали.
Достоверность полученных результатов исследования обеспечивается корректностью постановки и строгостью математического метода решения рассматриваемых начально-краевых задач, сравнением полученных решений в частных случаях с классическими решениями, а также соответствием качественных результатов общей физической картине исследуемых процессов.
На защиту выносятся:
• новые точные аналитические решения нестационарных задач для круглой и прямоугольной (в том числе и переменного сечения) пластин при произвольных динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований для общих граничных условий;
• новая интерпретация метода начальных параметров для получения аналитического решения пластин ступенчатого сечения в виде, не содержащем быстро возрастающих и убывающих частей, что позволяет исследовать частотный спектр системы в более широком диапазоне;
• новая форма метода конечных интегральных преобразований, дополненная операцией суммирования по элементам составной конструкции;
• результаты численного анализа напряженно-деформированного состояния, спектра частот и форм колебаний составной конструкции.
Апробация работы. Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих международных, всероссийских, региональных научных конференциях и симпозиумах, семинарах и школах:
• Научный семинар на кафедре "Математической теории упругости и биомеханики" Саратовского государственного университета под руководством доктора физико-математических наук, профессора Л.Ю. Коссо-вича, Саратов, СГУ, 12 ноября 2008 г.
• Научный семинар "Современные проблемы математики и механики" под руководством доктора физико-математических наук, профессора Ю.Н. Радаева. Самара, СамГУ, 2005-2008 гг.;
• Научный семинар "Актуальные проблемы механики, математики и информатики" под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.А. Ковалева. Москва, Московский городской университет управления Правительства Москвы, 15 мая 2008 г.;
• Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы". Стерлитамак, МГУ, АН Республики Башкортостан, 24-28 июня 2008 г.;
• Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Д.Д. Ивлева. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева, 28 июня 2007 г.;
• 15-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 26 февраля - 3 марта 2007 г.;
• Второй Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике "Нелинейное моделирование и управление" (летняя сессия), г. Самара, 1-6 июля 2001 г.;
• Международная конференция "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики". Нальчик, НАН Украины, Институт математики, Кабардино-Балкарский госуниверситет, 2-6 июня 1997 г.;
• Шестая межвузовская научная конференция "Математические модели и краевые задачи". Инженерная Академия России, Самарский государственный технический университет. Самара, 29-31 мая 1996 г.;
• Региональные научно-технические конференции "Актуальные проблемы в строительстве и архитектуре. Образование. Наука. Практика" под руководством доктора технических, профессора Ю.Э. Сеницкого. Самара, СамГАСА, 1994-2004 гг.;
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 19 печатных работ. Работы с соавторами выполнены на паритетных началах.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы —162 страницы машинописного текста, включая 28 рисунков, 4 таблицы и список литературы из 236 наименований.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность диссертационного исследования, сформулирована цель работы. Изложены основные положения диссертационной работы по главам.
Первая глава представляет обзор и анализ литературы, посвященной исследованию задач с распределенными параметрами при действии динамических нагрузок. Обосновывается выбор метода решения рассматриваемых начально-краевых задач и подчеркивается актуальность настоящего исследования.
Отмечается, что аналитическому исследованию тонких прямоугольных пластин посвящено огромное количество работ, начиная с С. Жермен, Г. Кирхгофа, Б. Навье, М. Леви, А. Лява. Затем эта проблема была отражена в трудах таких ученых, как И.Г. Бубнов, В.З. Власов, A.C. Вольмир, Б.Г. Га-леркин, А.Л. Гольденвейзер, Г. Генки, М. Губер, Д.Д. Ивлев, Ю.Д. Каплунов, В.А. Ковалев, Л.Ю. Коссович, Т. Карман, А.Н. Крылов, С.Г. Лехниц-кий, Л.С. Лейбензон, В.Б. Лидский, A.B. Манжиров, Р. Миндлин, А. Надаи, П.Ф. Папкович, Ю.Н. Радаев, Е. Рейснер, С.П. Тимошенко, П.Е. Товстик, А. и Л- Феппль и многие другие.
С середины XX в. возрос интерес к уточненным теориям пластин, так как решение ряда задач на основе классических уравнений, связанных с исследованием неустановившихся процессов, приводило к заметным погрешностям в силу их физического и математического несовершенства. Обобщение классической теории поперечных колебаний стержней, пластин и оболочек, основанное на учете влияния инерции вращения и деформации поперечного сдвига, связывают с именем выдающегося ученого-механика С.П. Тимошенко. Он общепризнанно считается автором этой уточненной теории (1916 г.), хотя учет инерции вращения еще был сделан ранее Дж. Релеем в 1877 г. В неклассической теории колебаний стержней, пластин и оболочек эффективно проявил себя метод конечных интегральных преобразований. Структурный алгоритм этого метода отличается тем, что все составляющие решения находятся из рассмотрения соответствующих подзадач без какой-либо первоначальной информации о форме этого решения. Достоинством такого подхода в рассмотренных в диссертации задачах является единая форма представления замкнутых решений в хорошо разработанных элементарных функциях и функциях Бесселя.
Во второй главе приводится точное решение динамической задачи для прямоугольной пластины, лежащей на упругом основании с коэффициентом постели 7, при наиболее общих (упругих) условиях опирания на двух ее противоположных краях.
Существенным представляется то, что полученное замкнутое решение построено для произвольных динамических воздействий и в такой общей постановке такая задача ранее не рассматривалась.
Начально-краевая задача в безразмерной форме имеет следующий вид:
¿К д, -до =
, (д\¥ \ д2а„ ь д2а„ д2ап п
При £ = О должны выполняться начальные условия
дас да„ „ . ,
Граничные условия имеют вид:
дсх дсх
при£ = 0: 1¥(0,Т1^)=0, «„(0,4,0 = 0, + ^ = 0, (3)
при£=1: 1^(1,77,0=0, а,(1,ч,4) = 0, + ^ = 0, (4)
, (да„ даЛ
при ту = 0 : 66 [-щ- + I + 71 = 0,
, \ „, „ , /Зас даЛ п ..
/<Эа„ даЛ
при ту = е : -66 I+ р— I + 71«,, = 0,
Граничные условия (3), (4) соответствуют шарнирному опиранию краев пластины £ = 0,1, а условия (5), (6) на краях т] — 0, е — упругому закреплению относительно углов поворота и прогибов. Соотношения (1)—(6) представляют математическую формулировку рассматриваемой начально-краевой задачи, в которой Ш, а^, а,, —прогибы и углы поворота нормали элемента в плоскости ££ и г]( соответственно, е = 6/а, а, Ь, /1 —длина, ширина и высота пластины, = 1,2,..., 9) — постоянные, приведенные в тексте диссертации.
При построения общего решения в случае произвольной динамической нагрузки сначала используем конечное синус- и косинус-интегральное преобразование Фурье по переменной а затем — в пространстве изображений
к полученной краевой задаче — обобщенное конечное интегральное преобразование по переменной г/ с компонентами вектор-функции ядра К\{Хт,г]), т,'п)у Кз(Кп,11)> определяемыми в процессе решения задачи. Такой общий прием позволяет построить решение для наиболее общих (упругих) условий закрепления краев 77 = 0, г/ = е.
В результате система уравнений (1) переходит в связанную систему дифференциальных уравнений для соответствующих трансформант, а начальные и граничные условия (2)—(6) будут также выражены через соответствующие трансформанты и их производные.
Затем на сегменте [0, е] вводится обобщенное конечное интегральное преобразование вида
€
= J {flWs(n,r|,t)Kl{Xin,т])+
o
+/2ас(п,г],Ь)К2(Хгп,п) + ¿т], (7)
ттг / ^(А^МВД^Т?)
' 1=1 00
а.{п,т1,г) = 2^-¡р^гр-, (8)
¿=1
а,
< IIКII2
'/'(Ат, П,Ь)Кг{\{п, V)
II КII2
Ч>{ Агп, П,Ь)К2{ХгП, V)
II К II2 ¿=1 11 11
Здесь
£
II К ||2= I [ЬККХы, т,) + Ат, ц) + /зК1(Хт, Т,)]<1Т, о
— квадрат нормы, Д, /2, /3 —весовые коэффициенты.
Выражение (7) представляет собой прямое преобразование, а (8) — формулы обращения, справедливые при выполнении соотношения ортогональности:
£
! /1К1(Лгп,77)К1(Л:,п,?7) + /2^2(А!п,'?7)^2(А:,п,т7) + 0
+ №(Аш, Ч)Яз(^п, *?)] = 6> || К ||2,
где 6? — символ Кронекера.
Использование двух условий структурного алгоритма метода конечных интегральных преобразований позволяет, с одной стороны, получить счетную последовательность задач Коши для трансформанты 1/?(Ат, п, £)
<р(\т,п,г) + Аг2п<р(А;п,п,г) = бгМяСАш.М) (г,п = 1,2,3,...),
1гп
(9)
решение которой, с учетом нулевых начальных условий, записывается в виде интеграла следующим образом:
а с другой стороны— позволяют найти как значения коэффициентов
так и сформулировать однородную краевую задачу для компонент ядра конечного интегрального преобразования и получить граничные условия.
После решения соответствующих дифференциальных уравнений находим выражение для компонент ядра интегрального преобразования, подстановка которых в граничные условия приводит к однородной системе алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных. Это позволяет получить трансцендентное уравнение для определения безразмерных собственных частот колебаний пластины Аш
Применяя теперь к выражению трансформанты (10) последовательно формулы обращения конечного интегрального преобразования (8), а также синус-и косинус-преобразований Фурье, получаем общие выражения для безразмерных динамических прогибов 77, ¿) и соответствующих углов поворота нормали ??,£), г},{) пластины, справедливых для произвольной динамической нагрузки д(£,?7,£):
= —— / Чн{\п, п,т) Бт А,-п(£ - т)йт, (10)
/1 = 1, /2 = /з = Мз
ае1||Аьп||=0 (к,гп= 1,2,..., 6).
СО 00
<р(\гП) п, ( * , 7?)зтП7Г^
1 = 1 п = 1
00 00
1 при П — О, 1/2 при п Ф О,
П = 0 ¿=1
СО ОО
г=1 п=1
В третьей главе рассматривается важная с теоретической и практической точек зрения динамическая задача, когда конструкция имеет переменную толщину, изменяющуюся непрерывно или ступенчато. При этом срединные плоскости участков пластины могут быть смещены относительно друг друга.
Аналитическое решение построено путем применения метода начальных параметров (МНП) в сочетании с методом конечных интегральных преобразований. В отличие от традиционной схемы применения МНП (когда начальные параметры имеют физический смысл перемещений и усилий), здесь в качестве последних используются произвольные константы одного из участков (например, первого) плиты ступенчато-переменной толщины. Применение такого подхода не приводит к появлению в решении функций, имеющих быстро возрастающие и быстро убывающие составляющие. В результате отпадает необходимость в ортогонализации решения.
В качестве примера рассмотрена плита ступенчатого сечения, состоящая из п элементов и имеющая шарнирное опирание на краях х = О, I и произвольное—на гранях у = О, Ь (рис. 1, а).
Рис. 1. а) прямоугольная плита ступенчато-переменной толщины, Ь) сопряжение элементов на границе участков
Конструкция лежит на упругом основании и загружена произвольными динамическими нагрузками ^ = 1,2,..., гг). Напряженно-деформированное состояние участков плиты определяется следующими векторами:
А ¡(х,у,Ь) = [б},РАт и = 1,2,...,«), (12)
где Р3 — соответственно вектор-функции перемещений и усилий, отнесенных к срединной поверхности ^-го участка, индекс Т означает транспони-
рование матриц. Математическая формулировка задачи для составной конструкции при нулевых начальных условиях в стандартной форме имеет вид:
(Ь, + С^/дЬ^В, {х, У, г) = Р3 {х, у, I), (13)
б3(х,у,0) = 0, дд,(х,у,г)/т1=0 = о, (14)
Л,_1(а:)о>_1,4)=В^(®>0,0 С? = 2,3,..., п), (15)
где Ь} — матрица дифференциальных операторов, — диагональная матрица инерционных коэффициентов. Равенства (15) представляют кинематические и статические условия сопряжения смежных элементов (рис. 1,Ь), взаимное смещение е} которых учитывается матрицей В
Для замкнутой формулировки задачи к соотношениям (13)—(15) необходимо добавить условия, соответствующие конкретным способам закрепления продольных и поперечных ребер плиты (а; = 0,1\ у = 0, Ь).
Принятые условия шарнирного опирания на краях х = 0,1 позволяют использовать синус- и косинус-преобразования Фурье по переменной х:
/оо
Ф к(х)А^х,у,^х, Ъ = 2'£фк(х)К!к. (16)
О *=1
В результате применения преобразования (16) к исходной начально-краевой задаче, соотношения (12)—(15) принимают вид:
(17)
(ь]к + о,д2/де) &]к{у, о = Р!]к(у,I) с? = 1,2,..., п), (18)
б;к(у,0)=0, дб/]к(у,Ь)/М1=о = 0, (19)
= В3Цк(Ъ,1) 0 = 2,3,..., п), (20)
I
ЩкШ) = / Ък(х)Р3{х,у,Ь)<1х.
о
Аналогичная процедура должна быть применена также для соответствующих граничных условий на ребрах у = для первого участка, у = ап для последнего участка конструкции.
С целью разделения переменных задачи (18)—(20) введем на сегментах [0, а;] конечное интегральное преобразование по переменной у, дополненное
операцией суммирования по элементам системы, что является новым в его структуре:
П а,
фы, *) = Е / 4л, У^Щу, (21)
j=i
о
Ыу,*) = (22)
¿=1
Здесь (21) — прямое преобразование, (22)—формула обращения, справедливая при выполнении обобщенного условия ортогональности
\\Zik\\ 2, при г = т,
Uj
i-1 о
где Ajkmi^mk, у) ~ вектор-функция форм перемещений и усилий, соответствующих г-му тону собственных колебаний системы.
Применим преобразование (21) к уравнениям (18) и начальным условиям (19). После выполнения соответствующих преобразований получим тождество Лагранжа для самосопряженных операторов Ljk:
ал а,
п í п i j,
У] / D]kiL]kDsjkdy = Дь - W (Цк) LjkDjkidy, (23)
i=i о
í=l О
где Якг — внеинтегральные члены.
Использование двух условий структурного метода конечных интегральных преобразований
Як, = 0, (24)
п п'
¿/{ЩТ 1>Ан<1у =-\1<р{\к,А (25)
7 = 1 о
представляющие равенство нулю внеинтегральных членов и операционное свойство, позволяют получить уравнения для нахождения трансформанты
фк,® + ХЪфь® = рь® (г = 1, оо), (26)
которое представляет, с учетом начальных условий счетную последовательность задач Коши для каждого тона колебаний, решение которой записывается в виде интеграла (12).
Преобразуя выражение для внеинтегральных членов (24) с учетом зависимости (20) и (15) приходим к выражениям
Л^.ьК-О = 5Аь(0) 0 = 2,3,... ,п). (27)
Полученные равенства (27) являются инвариантными по отношению к исходным краевым условиям (15) и обеспечивают обобщенную ортогональность разложения (22).
Использование второго условия структурного метода конечных интегральных преобразований (25) позволяет получить дифференциальные уравнения для форм колебаний системы:
{В']к)т{Ь,к - \ЪС,)В]к1<1у = 0. (28)
•? = 1 о
Из условия нетривиальности решения {Щк ф 0) приходим к следующим равенствам:
{Ь]к - Х^В^йу = 0 0 = 1,2,..., п). (29)
Таким образом, дифференциальные уравнения (29) совместно с граничными условиями (27) и представляют ядровую задачу по определению собственных функций разложения (22).
Интегралы уравнений (29) могут быть представлены в матричной форме:
Дда = (30)
] где А}к1 — матрица общих решений однородных уравнений (29), С^ы — вектор-столбец произвольных постоянных.
Подставляя (30) в (27) и выполняя стандартные процедуры метода начальных параметров, выражаем искомые векторы С]кг произвольного ,7-го элемента плиты через аналогичный вектор первого участка:
С}к,= |П[5"'Л™ь(0)]"1Лт_11ь(ат_1)|с1ь {т = ],з- 1,...,2). (31)
Заметим, что при наличии соотношения (31), достаточно сформулировать краевые условия на границах плиты (у = 0 при ] — I,у — ап при ] = п), что соответствует десяти граничным условиям задачи и обеспечивает замкнутую форму ее решения.
В качестве примера произведен расчет фундаментной части водонапорной плотины ГЭС при действии гидравлического удара (рис. 1, а). Нагрузка
±/
Р](х,у,€) внезапно приложена в момент времени í = 0 перпендикулярно ко всей поверхности фундамента и остается в дальнейшем постоянной и равной Р0. Расчеты выполнены при следующих исходных данных: Ь = 10м, а1 = а4 = 4м, 0,2 — Зм, аз = 2м, 8\ = 8^ — 2м, ¿2 = 1.4м, 83 = 1м, Е = 2,7 ■ 104МПа, ц = 0,16, Р0 = 0, ШПа, 7 = 28МПа/м.
На рис. 2 приведены эпюры перемещений и усилий в срединных плоскостях элементов в сечении у\ = Ь/2 при = 0,01 с. Как и следовало ожидать, функции и и Мх имеют разрывы на границах участков в соответствии со следующими равенствами:
1,2/1, £1) - и,(0,У1,Ь) = 0,уьЬ),
N,■10', кН/м
Рис. 2. Эпюры перемещений и усилий фундамента плиты плотины ГЭС
Характерной особенностью полученных результатов является наличие продольных усилий при действии на конструкцию поперечных нагрузок. Так,
например, в рассматриваемом сечении у\ большая часть фундамента является внецентренно растянутой, причем максимальные растягивающие усилия возникают в ослабленной части конструкции (участок 3). Последнее обстоятельство особенно важно при проектировании железобетонных сооружений, при расчете сложных фундаментов, дорожных плит покрытия, подпорных стен гидротехнических сооружений.
В работе рассмотрены примеры, которые позволяют проанализировать отдельно влияние эксцентриситетов ступенчатых пластин на жесткостные свойства системы и оценить вклад мембранного состояния. Обнаружено влияние арочного эффекта на частоту основного тона несимметричной конструкции, исследовано влияние тангенциальных сил инерций на значения первых частот форм колебания конструкций, при этом сам спектр становится более плотным.
В четвертой главе рассматривается неосесимметричная задача динамики для упруго закрепленной относительно углов поворота и линейных смещений круглой пластины Тимошенко, подверженной действию произвольной нормальной к ее поверхности нагрузки. Система трех дифференциальных уравнений движения составлена относительно нормального перемещения и двух углов поворота поперечных сечений пластины. К полученным линейным уравнениям в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами добавлена система краевых условий, соответствующая состоянию пластины в начальный момент времени и схеме закрепления на контуре: шесть начальных условий, шесть условий периодичности, три условия ограниченности(регулярности решения) в центре пластины и три условия на контуре, связывающие через коэффициенты жесткости 71, 72, 73 моменты с углами поворота, а поперечные силы с прогибами.
Решение полученной начально-краевой задачи осуществляется также, как это описано во второй главе. В результате общие решения полученных уравнений выражаются в обычных и модифицированных функциях Бесселя. Из условия нетривиальности решений получается трансцендентное уравнение для определения собственных значений и связанных с ними круговых частот свободных колебаний пластины.
Выражения для прогибов и углов поворота, представляющие общее решение исследуемой динамической задачи в виде двойных рядов, составляются путем последовательного применения к трансформанте формул обращения конечного интегрального преобразования и преобразования Фурье. Расчетные соотношения для внутренних усилий определяются в результате дифференцирования построенных разложений. В работе указана процедура получения частных решений из полученного общего решения, справедливых для идеализированных схем опирания. В качестве примера определена реакция системы от сосредоточенного импульсного воздействия.
В работе исследовано влияние относительной толщины круглой пластины
на изменение частот свободных осесимметричных колебаний (рис. 3). Пунктирные линии соответствуют классической теории, а сплошные — уточненной. Для малых относительных толщин поправка Рэлея почти не оказывает существенного значения на первые частоты колебаний пластины. Более того, из сопоставления соответствующих кривых следует, что влияние инерции вращения является не существенным для первых двух тонов ее колебаний Ах и Аг во всем рассмотренном диапазоне толщин 0.05 < к/Я < 0.3.
Следует обратить внимание на то, что начиная с пятого тона и выше, частотные кривые, обозначенные на графике сплошными линиями, при увеличении относительной толщины, начиная с некоторых значений /г/Д имеют тенденцию к снижению.
Сопоставление частотных кривых, полученных с учетом и без учета поправки Рэлея выявляет причину ранее необъясненного эффекта понижения частот при увеличении относительной толщины пластины. Действительно, рост этого фактора при увеличении толщины к/В. приводит к доминирующему влиянию сил инерции, возникающих вследствие поворотов нормалей сечений, что и проявляется в значительном уменьшении частот колебаний.
На рис. 4 представлены формы колебаний \Утп круглой пластины при шарнирном закреплении и указаны соответствующие им собственные значения.
Рис. 3. Зависимость начальных тонов колебаний круг- Рис. 4. Формы колебаний Шт„ круглой пластины при лой пластины от их относи- шарнирном опирании тельной толщины
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ
1) Получены аналитические решения нестационарных задач упруго закрепленных прямоугольных и круговых пластин Тимошенко при достаточно общих условиях закрепления и динамического загружения.
2) Предложена универсальная, обладающая высокой точностью, методика расчета круглых и прямоугольных (в том числе переменного сечения) пластин с конечной сдвиговой жесткостью для широкого класса нестационарных динамических воздействий и произвольных условий закрепления на контуре.
3) Интегрирование начально-краевой задачи для пластин переменного сечения, возможно, путем применения метода конечных интегральных преобразований, включающего дополнительную операцию суммирования по элементам системы, что обеспечивает ортогональность получаемых разложений.
4) Выявлен эффект значительного повышения частоты основного тона колебаний плиты с несимметричным сечением, по сравнению с аналогичной конструкцией, имеющей симметричный профиль. Обнаруженная особенность является проявлением широко известного арочного эффекта, учет которого требуется нормативными документами (СНиП).
5) Принятая форма условий сопряжения элементов пластины сохраняет на границах участков гипотезу плоских сечений, хотя в действительности эти сечения искривляются. Математическое моделирование показало, что результаты, полученные на основе приведенной методики, дают оценку сверху в части определения частот и внутренних усилий, и оценку снизу в части определения перемещений конструкций. С инженерной точки зрения такой подход является оправданным.
6) Разработанная методика и программное обеспечение позволило произвести расчет и анализ напряженно-деформированного состояния дополнительной секции расширяемой части плотины Волжской ГЭС при различных режимах ее эксплуатации. При исследовании наиболее неблагоприятного расчетного случая для всего блока плотины в целом было показано, что картина распределения изгибающих моментов в этом случае приводит к появлению перерезывающих усилий высокой интенсивности. Выявлены зоны с растягивающими усилиями, которые следует учитывать при проектировании железобетонных конструкций плотины.
Статьи из перечня ведущих научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Министерства образования науки РФ по тематике диссертационной работы:
1. Дьяченко, Ю.П. Метод расчета нестационарного воздействия на прямоугольные пластины ступенчато-переменной толщины / Ю.П. Дьяченко // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. - 2008. - №2(61). -С. 136-159.
2. Еленицкий, Э.Я. Применение метода начальных параметров к решению нестационарной задачи динамики для прямоугольной пластины ступенчатого сечения / Э.Я. Еленицкий, Ю.П. Дьяченко // Известия вузов. Строительство. - 1997. -№11. -С. 13-18.
Основные результаты опубликованы также в работах:
1. Дьяченко, Ю.П. Динамический расчет конструкций, основанный на теории колебаний пластин / Ю.П. Дьяченко, Э.Я. Еленицкий // Тр. Юбилейной школы-семинара "Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики", посвященной 70-летию доктора физико-математических наук, профессора Геннадия Ивановича Быковцева (29 января-2 февраля 2008 г., г. Самара). -С. 37-39.
2. Дьяченко, Ю.П. Динамический расчет прямоугольных пластин ступенчатого сечения при действии нестационарных нагрузок / Ю.П. Дьяченко // Дифференциальные уравнения и смежные проблемы. Труды международной научной конференции (24-28 июня 2008, г. Стерлитамак). - Уфа: Гилем. - 2008. - С. 79-83.
3. Дьяченко, Ю.П. Спектральная оценка уточненных кинематических гипотез теории пластин / Ю.П. Дьяченко, С.А. Лычев // Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая). В 3-х частях. Часть 1. - Екатеринбург: УрО РАН, 2007. - С. 337-341.
4. Дьяченко, Ю.П. Определение напряженно-деформированного состояния пластин ступенчато-переменной толщины при действии нестационарных нагрузок / Ю.П. Дьяченко // Обозрение прикладной и промышленной математики. Второй Всероссийский симпозиум (летняя сессия) - М.: Научное издательство ТВП, - 2001. -Т. 8 - Вып 1. - С. 162-163
5. Еленицкий, Э.Я. Нестационарная задача динамики для прямоугольной пластины ступенчатого сечения / Э.Я. Еленицкий, Ю.П. Дьяченко // Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики. - Киев: Институт математики НАН Украины, - 1997. - С. 112-115
6. Еленицкий, Э.Я. Свободные колебания прямоугольной пластины ступенчатого сечения с конечной сдвиговой жесткостью / Э.Я. Еленицкий, Ю.П. Дьяченко // Задачи со свободными границами и нелокальные задачи для нелинейных параболических уравнений. Сборник научных трудов. - Киев: Институт математики НАН Украины. - 1996. - С. 31-34.
7. Дьяченко, Ю.П. К вопросу о нестационарных колебаниях круглых пластин с конечной сдвиговой жесткостью / Ю.П. Дьяченко //"Исследования в области архитектуры и строительства". Тезисы докладов 54-й научно-технической конференции.: Самара, СамГАСА, 1997. - С. 29.
8. Дьяченко, Ю.П. Колебания пластин под действием подвижной нагрузки с учетом инерции вращения и сдвига / Ю.П. Дьяченко // "Исследования в области архитектуры и строительства". Тезисы докладов 53-й областной научно-технической конференции по итогам НИР академии за 1995 г. - Самара, СамГАСА, 1990, - С. 34.
9. Дьяченко, Ю.П. Свободные колебания бесконечной полосы с учетом инерции вращения и сдвига / Ю.П. Дьяченко // Расчет пространственных строительных конструкций. Межвузовский сборник научных статей. В кн ■ Расчет пространственных строительных конструкций. - Куйбышев: КГУ, 1985. - Вып. XI. - С.170-175.
10. Сеницкий, Ю.Э. О точном решении динамической задачи для упруго закрепленной по двум сторонам прямоугольной пластины на основе модели Тимошенко / Ю.Э. Сеницкий, Ю.П. Дьяченко // Расчет пространственных строительных конструкций. Межвузовский сборник научных работ - Куйбышев: КГУ, 1979. -Вып. 8. - С. 35-45.
Подписано в печать 10 ноября 2008 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Объем 1,25 п.л Тираж 100 экз Заказ № 1583 443011 г. Самара, ул. Академика Павлова, 1 Отпечатано на УОП СамГУ
Введение
Глава 1. Аналитические методы исследования напряженно-деформированного состояния пластин
1.1. Краткий исторический обзор исследований напряженно-деформированного состояния тонких прямоугольных пластин.
1.2. Краткий исторический обзор исследований напряженно-деформированного состояния пластин на основе уточненной теории
1.3. Аналитические методы разделения переменных в нестационарных задачах динамики линейно упругих систем.
1.4. Уравнения теории пластин, используемые в диссертации.
Глава 2. Динамическая задача для упруго закрепленной по двум сторонам прямоугольной пластины на основе модели Тимошенко
2.1. Математическая формулировка задачи.
2.2. Построение общего решения для произвольной динамической нагрузки
2.3. Спектральная оценка уточненных кинематических теорий пластин.
2.4. Частные случаи общего решения.
2.5. Численный анализ результатов.
Глава 3. Расчет прямоугольных пластин ступенчато-переменной толщины при действии нестационарных нагрузок методом начальных параметров
3.1. Математическая формулировка задачи.
3.2. Построение общего решения задачи для произвольного динамического воздействия.
3.3. Применение предлагаемой методики к расчету конкретных систем.
Глава 4. Динамика упруго закрепленной круглой пластины с конечно сдвиговой жесткостью
4.1. Математическая формулировка задачи.
4.2. Построение общего решения для произвольной динамической нагрузки
4.3. Частные случаи общего решения.
4.4. Анализ напряженно-деформированного состояния пластины при внезапно приложенной нагрузке.
Актуальность проблемы. Современное развитие техники, связанное с увеличением скорости движения транспорта, проектирование технологического оборудования, работающего в условиях высоких давлений и температур и возможных аварийных ситуациях — все это предъявляет высокие требования при расчете и проектировании конструкций на динамические воздействия, которые часто работают в условиях резко нестационарных режимов вследствие быстрого изменения во времени действующих на них внешних нагрузок. Предъявляемые требования надежности и экономичности при создании рациональных инженерных конструкций приводят к необходимости проведения динамических расчетов на основе более сложных расчетных моделей при обеспечении высокой точности получаемых результатов. Проблема разработки и теоретического обоснования новых 5 алгоритмов динамического расчета таких конструкций, моделируемых в виде систем с бесконечном числом степеней свободы, и создание на их основе универсальных программных модулей является актуальной. Вместе с тем, существующие методы расчета элементов конструкций на динамические воздействия далеко не совершенны. Это связано с тем, что недостаточно изучены математические модели рассматриваемых явлений, более или менее приемлемо отражающих закономерности реальных физических процессов. При исследовании нестационарных явлений большое значение имеет рассмотрение и анализ соответствующих им моделей с точки зрения физической и математической корректности. Большой интерес представляет исследование уточненных моделей по отношению к классической теории стержней, пластин и оболочек. В настоящей работе используется неклассическая модель, основанная на кинематических гипотезах выдающегося отечественного ученого-механика С.П. Тимошенко для исследования недостаточно изученного процесса нестационарного деформирования в пластинах при сложных условиях закрепления и динамического нагружения. В отличие от традиционных подходов, в работе рассматриваются нестационарные задачи динамики пластин ступенчатого сечения с конечной сдвиговой жесткостью, срединные плоскости которых могут быть смещены относительно друг друга. При этом в математической модели учитывается механизм взаимного влияния компонент напряженно деформированного пзгибного и мембранного состояний элементов.
Целью работы является изучение нестационарных динамических процессов в упруго закрепленных прямоугольных и круглых пластинах, определение частот и форм свободных колебаний на основе построения замкнутых аналитических решений. Это предопределило постановку и решение следующих вопросов:
• нестационарные задачи упруго-закрепленных прямоугольных и круговых пластин Тимошенко при достаточно общих условиях закрепления и динамического загружения;
• формирование универсальной, обладающей высокой точностью методики расчета прямоугольных и круглых пластин с конечной сдвиговой жесткостью ступенчатого сечения для широкого класса нестационарных динамических воздействий и произвольных условий закрепления на контуре;
• создание эффективных алгоритмов и разработка комплекса программ для исследования на ПЭВМ напряженно деформированного состояния, частот и форм колебаний пластин;
• используя полученные результаты для одной пластины, рассмотреть решение важной теоретической и практической задачи, когда конструкция имеет переменную толщину, изменяющуюся непрерывно или ступенчато;
• количественный и качественный анализ напряженно-деформированного состояния, спектров, частот и форм колебаний пластин различного сечения.
Методика исследования. В работе используется вектор-матричная форма метода конечных интегральных преобразований, особенность которого заключается в том, что в процессе решения определяются все компоненты его структуры (трансформанта, ядро преобразования, весовые функции, обобщенное соотношение ортогональности) из рассмотрения соответствующих подзадач без какой-либо априорной информации о форме решения. Использован новый подход исследования в замкнутой форме нестационарных динамических задач пластин ступенчатого сечения с конечной сдвиговой жесткостью.
Научная новизна работы заключается в следующем: указанными методами получены точные аналитические решения нестационарных задач для прямоугольных и круглых пластин типа Тимошенко, включая пластины ступенчатого сечения, при наиболее общих граничных условиях, соответствующих упругому опиранию, для широкого класса динамических нагрузок. В отличие от традиционных схем метода начальных параметров, срединные плоскости соединенных элементов пластин могут быть смещены относительно друг друга. Условия сопряжения частей сооружения формируются с помощью математического аппарата графов в рамках разработанной автором методики. Это позволило формализовать процедуру составления разрешающей системы алгебраических уравнений и обеспечить универсальность алгоритма автоматизации. Эффективность предлагаемого решения обеспечивается значительно меньшим по сравнению с методами конечной аппроксимации порядком разрешающей системы уравнений и высокой точностью получения частот и форм свободных колебаний конструкции, а также динамической реакции системы при действии широкого класса нестационарных нагрузок. Проанализированы частоты, формы колебаний, перемещения, усилия для пластин при различных условиях опира-ния и динамического загружения и в произвольный момент времени. Для пластин ступенчатого сечения получены аналитические решения в виде, не содержащем быстро возрастающих и убывающих частей, что позволяет исследовать частотный спектр системы в широком диапазоне, не прибегая к делению отрезков интегрирования на промежуточные участки.
Выявлены эффекты, обусловленные учетом различных инерционных факторов принятой математической модели. Установлены количественные и качественные различия в характере их влияния на динамические процессы в пластинах.
Практическая ценность и внедрение результатов. Получены эффективные расчетные соотношения, допускающие их реализацию на ПЭВМ с ограниченными ресурсами памяти и быстродействия, а также позволяющие исследовать напряженно деформированные состояния пластин с конечной сдвиговой жесткостью при наиболее общих условиях их опирапия и динамического нагружения.
Комплекс программ позволяет решать широкий класс прикладных задач динамики пластин, причем структура решения такова, что ее реализация при исследовании каждого частного случая приводит лишь к изменению программного модуля динамической нагрузки.
Полученные в работе замкнутые решения могут быть использованы при оценке погрешностей различных приближенных алгоритмов и методов, при расчете сложных фундаментов, дорожных плит покрытия, подпорных стен гидротехш I ческих сооружений.
Результаты работы по договору о творческом содружестве с АО "Про-ектно-изыскательский институт Самарагидропроект" использованы в составе технико-экономического обоснования расширения Волжской ГЭС им. В.И. Ленина. Были выполнены расчеты по определению несущей способности пространственного блока перекрытия здания ГЭС при действии статических и динамических нагрузок. Ожидаемый экономический эффект 67000 тонн арматурной стали. Научный руководитель темы к.т.н., доцепт Э.Я. Еленицкип (акт внедрения прилагается)'.
Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается корректностью постановки задач, строгостью математического метода, сравнением полученных решений в частных случаях с классическими решениями, а также соответствием качественных результатов физической картине исследуемых процессов.
Апробация работы. Основные положения и работа в целом докладывались и обсуждались на следующих международных, всероссийских, региональных научных конференциях и симпозиумах, семинарах и школах:
• Научный семинар на кафедре "Математической теории упругости и биомеханики " Саратовского государственного университета под руководством доктора физико-математических наук, профессора Л.Ю. Кос-совича, Саратов, СГУ, 12 ноября 2008 г.;
• Научный семинар "Современные проблемы математики и механики" иод руководством доктора физико-математических наук, профессора Ю.Н. Радаева. Самара, Самарский государственный университет, 2005 - 2008 гг.;
Юбилейная школа-семинар "Проблемы современной механики деформируемого твердого тела и прикладной математики", посвященная 70-летию доктора физико-математических наук, профессора Геннадия Ивановича Быковцева. Самара, Самарский государственный университет, 29 января - 2 февраля 2008 г.;
Научный семинар "Актуальные проблемы математики, механики и вычислительной техники" под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.А. Ковалева. Москва, Московский городской университет управления Правительства Москвы, 15 мая 2008 г.;
Международная научная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", г. Стерлитамак, МГУ, АН Республики Башкортостан, 24-28 июня 2008 г.;
Семинар по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физико-математических наук, профессора Д.Д. Ивлева. Чебоксары, Чувашский государственный педагогический университет им. И.Я. Яковлева, 28 июня 2007 г.;
15-я Зимняя школа по механике сплошных сред. Пермь, Институт механики сплошных сред УрО РАН, 26 февраля - 3 марта 2007 г.; Международная конференция "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики". Нальчик, НАН Украины, Институт математики, Кабардино-Балкарский госуниверситет, 2-6 июня 1997 г.;
• Второй Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике "Нелинейное моделирование и управление" (летняя сессия) г. Самара, 1-6 июля 2001 г.;
• Шестая межвузовская научная конференция "Математические модели и краевые задачи" Инженерная Академия России, Самарский государственный технический университет. Самара, 29-31 мая 1996 г.;
• Региональные научно-технические конференции "Актуальные проблемы в строительстве и архитектуре. Образование. Наука. Практика". Самара, Самарский государственный архитектурно-строительный университет, 1994-2004 гг.;
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 19 печатных работ. Работы с соавторами выполнены на паритетных началах.
Структура и содержание работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем работы — 162 страницы машинописного текста, включая 28 рисунков, 4 таблицы и список литературы из 236 наименований.
Заключение
Резюмируя выше изложенное можно сделать следующие выводы:
1) Получены аналитические решения нестационарных задач упруго закрепленных прямоугольных и круговых пластин Тимошенко при достаточно общих условиях закрепления и динамического загружения.
2) Предложена универсальная, обладающая высокой точностью, методика расчета круглых и прямоугольных (в том числе переменного сечения) пластин с конечной сдвиговой жесткостью для широкого класса нестационарных динамических воздействий и произвольных условий закрепления на контуре.
3) Интегрирование начально-краевой задачи для пластин переменного сечения, возможно, путем применения метода конечных интегральных преобразований, включающего дополнительную операцию суммирования по элементам системы, что обеспечивает ортогональность получаемых разложений.
4) Выявлен эффект значительного повышения частоты основного тона колебаний плиты с несимметричным сечением, по сравнению с аналогичной конструкцией, имеющей симметричный профиль. Обнаруженная особенность является проявлением широко известного арочного эффекта, учет которого требуется нормативными документами (СНиП).
5) При наличии эксцентриситета влияние на обертоны колебаний тангенциальных сил инерции возрастает с увеличением частоты колебаний, чего нельзя сказать о жесткостных добавках, появляющихся в результате перекосов.
6) В статической постановке влияния эксцентриситета можно не учитывать, если они составляют менее половины высоты сечения. Тоже можно сказать при определении первой частоты колебаний системы. Однако, при решении нестационарных задач, когда требуется учитывать значительное число тонов колебаний, игнорировать указанный фактор не допустимо.
7) Принятая форма условий сопряжения элементов пластины сохраняет на границах участков гипотезу плоских сечений, хотя в действительности эти сечения искривляются. Математическое моделирование показало, что результаты, полученные па основе приведенной методики, дают оценку сверху в части определения частот и внутренних усилий, и оценку снизу в части определения перемещений конструкций. С инженерной точки зрения такой подход является оправданным.
8) Разработанная методика и программное обеспечение позволило произвести расчет и анализ напряженно-деформированного состояния дополнительной секции расширяемой части плотины Волжской ГЭС при различных режимах ее эксплуатации. При исследовании наиболее неблагоприятного расчетного случая для всего блока плотины в целом было показано, что картина распределения изгибающих моментов в этом случае приводит к появлению перерезывающих усилий высокой интенсивности. Выявлены зоны с растягивающими усилиями, которые следует учитывать при проектировании железобетонных конструкций плотины.
1. Абрамов, А.А. О переносе граничных условий для систем линейных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки) / А.А. Абрамов // Жури, вычисл. механикиимат. физики. 1961. - №3. -С. 542-545.
2. Александров. А.В: Расчет коробчатых балочных пролетных строений по методу перемещений / А.В. Александров // Исследования по теории сооружений. М.: Стройиздат, 1965. - Вып. XIV. - С. 209-213.
3. Александров, М.А. Расчет близких к равнопрочным гибких пластин и оболочек / М.А. Александров, М.С. Корнишин, Н.Н. Столяров // Прикладная механика, 1986. Т. XIV. - С. 41.
4. Александрова, С.В. О собственных колебаниях плиты Тимошенко / С.В. Александрова, М.А. Шленев // Сб. Теория плит и оболочек. Ростов па Дону. РИСИ, 1972. С. 78-88.
5. Айнола, JI. Волновые процессы деформации упругих плит и оболочек / JI. Айнола, У. Нигул // Изв. АН Эстон. ССР. Т XIV серия физ. мат. и техн. наук. 1965. - №1. - С. 3-62.
6. Амбарцумяи, С.А. К теории изгиба анизотропных пластинок / С.А. Амбарцумян // Изв. Ан СССР, Отд. техн. н., 1958. №5.
7. Амбарцумян, С.А. К теории изгиба анизотропных пластинок и пологих оболочек / С.А. Амбарцумян // ПММ, 1960. Т.XXIV. - Вып. 2.
8. Амбарцумян, С.А. Теория анизотропных пластин, (прочность, устойчивость и колебания) / С.А. Амбарцумян. М.: Наука, 1967. - 286 с.
9. Беллман, Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман . М.: Изд-во Наука, 1969. - 367 с.
10. Беркович, Л.М. Преобразование обыкновенных линейных дифференциальных уравнений / Л.М. Беркович. Куйбышев: КГУ, 1978. -92 с.
11. Беркович, Л.М. Факторизация и преобразования обыкновенных дифференциальных уравнений / Л.М. Беркович. Изд-во Саратовского университета, 1989. - 192 с.
12. Беркович, Л.М. Факторизация, преобразования и интегрируемость обыкновенных дифференциальных уравнений. 1. Линейные уравнения / Л.М. Беркович // Вестник Самарского гос. университета. -2003. Специальный выпуск. - С. 5-44.
13. Бидерман, В.Л. Механика тонкостепных конструкций / В.Л. Бидер-ман. М.: Машиностроение, 1977, - 488 с.
14. Бидерман, В.Л. Применения метода прогонки для численного решения задач строительной механики / В.Л. Бидерман // Изв. РАН. -Мех. тверд, тела. 1967. - вып 5. - С. 62-66.
15. Бидерман, В.Л. Прикладная теория механических колебаний /
16. B.Л. Бидерман. М.: Высшая школа, 1972. - 416 с,
17. Болотин. В.В. Динамический краевой эффект при упругих колебаниях пластин / В.В. Болотин // Инженерный сб. 1961. - Т.31.1. C. 3-14.
18. Болотин, В.В. Общие свойства собственных частот и собственных форм упругих систем / В.В. Болотин //В кн.: Вибрации в технике, т. I, М.: Машиностроение, 1978. С. 166-177.
19. Болотин, В.В. Динамическая устойчивость упругих систем / В.В. Болотин. М.: Гостехиздат, 1956.
20. Бубнов, И.Г. Труды по теории пластин / И.Г. Бубнов. Гостехиздат, 1953.
21. Валишвили, Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ / Н.М. Валишвили. М.: Машиностроение, 1976. - 278 с.
22. Ванюшенков, М.Г. Расчет тонких упругих пластин методом начальных функций / М.Г. Ванюшенков. МИСИ, 1965.
23. Варвак, П.М. Изгиб квадратной пластинки с различными условиями на краях / П.М. Варвак, И.О. Губерман // Информационные материалы. №10. - АНУ ССР, 1957.
24. Ватсон, Г.Н. Теория бесселевых функций / Г.Н. Ватсон. Ч. 1. М.: Изд-во ИЛ, 1949. - 799 с.
25. Векслер, Н.Д. Применение метода сеток в теории типа Тимошенко для исследования переходных волновых процессов плит конечных размеров / Н.Д. Векслер, А.И. Мянниль, У.К. Нигул // Прикладная механика, 1965. Т. I. - №12. - С. 38-49.
26. Власов, Б.Ф. Об уравнениях теории изгиба пластинок (учет касательных напряжений) /Б.Ф. Власов // Изв. АН СССР, ОТН, 1957, №12. С. 57-60.
27. Власов, В.З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В.З Власов, Н.Н. Леонтьев. М.: Физматгиз, 1960. - 489 с.
28. Власов, В.З. Новый метод расчета тонкостенных призматических покрытий и оболочек / В.З. Власов // Строительная промышленность, 1932. №11-12.
29. Власов, В.З. Новый метод расчета тонкостенных призматических складчатых покрытий и оболочек / В.З. Власов. ГСИ, 1933.
30. Власов, В.З. Строительная механика оболочек / В.З. Власов. -ОНТИ, 1936.
31. Власов, В.З. Тонкостенные упругие стержни / В.З. Власов. М.: Госиздат физико-матем. литературы, 1959. - 568 с.
32. Вольмир, А.С. Приведенная ширина плоской панели при одновременном действии сжатия и сдвига / А.С. Вольмир // Тр. Научно-технической конференции ВВИА имени Н.Е. Жуковского, 1945.
33. Вольмир, А.С. Гибкие пластинки и оболочки / А.С. Вольмир. ТТИ, 1956.
34. Вольмир, А.С. Нелинейная динамика пластин и оболочек / А.С. Вольмир. М.: Наука, 1972. - 432 с.
35. Галеркин, Б.Г. Упругие тонкие плиты / В.Г. Галер'кин. Изд. АН СССР. Т. I. - 1952, Т. II. - 1953.
36. Гельфанд, И.М. Метод прогонки / И.М. Гельфанд, О.В. Локуциев-ский. М.: Физматгиз, 1962.
37. Гершгорин, С.А. Бесконечная пластина на опорах, распо ложенных в прямоугольном порядке / С.А. Гершгорин // Сборник по теории сооружений. Издательство Кубич, 1932.
38. Гершунов, Е.М. Расчет круглых и кольцевых пластин на действие произвольной динамической нагрузки / Е.М. Гершунов // Изв. АН СССР, ОТН. Механика и машиностроение, 1964. - №6. - С. 89-95.
39. Годунов, С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений / С.К. Годунов // Успехи математических наук. 1961. - Т. 16. - Вып. 3. - С. 171-174.
40. Годунов, С.К. Уравнения математической физики / С.К. Годунов. -М.: Наука, 1971.-416 с.
41. Годунов, С.К. Элементы механики сплошной среды / С.К. Годунов. -М.: Наука, 1978. 304 с.
42. Голушкевич, С.С. О равновесии тонких плит. Труды Высшего венно-морского инженерно-строительного училища ВМФ, вып. 2, 1946.
43. Гольденвейзер, A.JI. Теория упругих тонких оболочек. Гостехтеорет-издат,1953.
44. Горшков, А.Г. Взаимодействие ударных волн с деформируемыми преградами / А.Г. Горшков // Итоги науки и техники. Сер. мех. деформ. тверд, тела. Т. 13. - М.: ВИНИТИ, 1980. - С. 105-186.
45. Горшков, А.Г. Нестационарные взаимодействия пластин и оболочек со сплошными средами / А.Г. Горшков // Изв. АН СССР. Механика твердого тела 1981. - №4. - С. 130-147.
46. Григолюк, Э.И. Контактные задачи теории пластин и оболочек / Э.И. Григолюк. В.М. Толкачев М.: Наука, 1970. - 556 с.
47. Григолюк, Э.И. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек / Э.И. Григолюк, И.Т. Селсзов // Итоги науки и техники. Сер. механика деформир. твердых тел. Т. 5. - М.: ВИНИТИ, 1973. - 272 с.
48. Гринберг, Г.А. Об изгибе прямоугольных пластин с закрепленным контуром / Г.А. Гринберг, Я.С. Уфлянд // Прикл. мат. и мех. -1949. Т. 13. - Вып. 4.
49. Гринченко, В.Т. Равновесие и установившиеся колебания упругих тел конечных размеров / В.Т. Гринченко. Киев: Наукова думка, 1978. -264 с.
50. Гринченко, В.Т. Высокочастотные осесимметричные колебания круглых дисков / В.Т. Грииченко, В.В. Мелешко // Прикладная механика. 1976. - Т. 12. - С. 60-68.
51. Даревский, В.М. Изгиб прямоугольной пластинки средней толщины (задача Кармана) тр. ЦАГИ, вып. 297, 1937.
52. Джанелидзе, Г.Ю. Определение перерезывающих сил при изгибе опертых пластин / Г.Ю. Джанелидзе // Прикл. мат. и мех. 1946. -Т. X. - Вып. 2.
53. Деч, Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования / Г. Деч. М.: Наука, 1971. - 288 с.
54. Дыхта, В.В. Метод интегральных преобразований в волновых задачах гидроакустики / В.В. Дыхта. Киев: Наукова думка, 1981. -285 с.
55. Дубипкин, М.В. Колебания плит с учетом инерции вращения и сдвига / М.В. Дубинкин // Изв. АН СССР. Отд. техн. н. 1958. - №12. -С. 131- 135.
56. Дубинкин, М.В. О распространении волн в бесконечных плитах / М.В. Дубинкин // Прикл. матем. и механ. 1959. - Т. 23. - Вып. 5. -С. 984-987.
57. Поволжское отделение, Самарский гос. технич. университет. 1996. -С. 34-36. .
58. Еленицкий, Э.Я. Применение метода начальных параметров к решению нестационарной задачи динамики для прямоугольной пластины ступенчатого сечения / Э.Я. Еленицкий, Ю.П. Дьяченко // Известия вузов. Строительство. 1997. - №11 - С. 13-18.
59. Еленицкий, Э.Я. Применение структурного метода начальных параметров к расчету свободных колебаний плоской рамы / Э.Я. Еленицкий // Актуальные проблемы современного строительства // Сб. статей докторантов, С. Петербург. 1994.
60. Еленицкий, Э.Я. Расчет свободных колебаний призматических систем с распределенными параметрами /Э.Я. Еленицкий // Изв. вузов "Строительство", 1996. - №7. - С. 26-32.
61. Жарий, О.Ю. Введение в механику нестационарных колебаний иволн / О.Ю. Жарий, А.Ф. Улитко. Киев.: Выща, школа, 1989. -184 с.
62. Зверев, О.А. Изгиб упругих тонких пластинок нестационарной динамической нагрузкой /О.А. Зверев // Прикладная механика, 1986. -Т. XXII. -т. С. 127.
63. Именитов, Л.Б. Исследование собственных колебаний пластин без использования гипотезы Кирхгофа-Лява / Л.Б. Именитов // Строит, механ. и расчет сооруж. 1969. - №5. - С. 46-60.
64. Именитов Л.Б. К вопросу о собственных колебаниях прямоугольных пластинок / Л.Б. Именитов // Тр. VII Всес. конференции по теории оболочек и пластинок. 1969. М.: Наука, 1970. - С. 251-255.
65. Каландия, А.И. Матаматические методы двумерной теории упругости / А.И. Каландия. М.: Наука, 1973. - 939 с.
66. Каюк, Я.Ф. О методе разложения пот параметру в задачах изгиба гибких пластин и оболочек / Я.Ф. Каюк, М.К. Алексеева // Прикладная механика, 1986. Т. XV. - №8. - С. 63.
67. Кильчевский, Н.А. Исследование некоторых вопросов теории упругости / Н.А. Кильчевский // Изв. Киевск. политехи, ин-та. 1954. -Т. 15. - С. 96-111.
68. Кильчевский, Н.А. Основы аналитической механики оболочек. Т. I / Н.А. Кильчевский. Киев.: АН УССР, 1963. - 354 с.
69. Кирхгоф, Г.Р. Механика (Лекции по математической физике) / Г.Р. Кирхгоф. М.: Издат. АН СССР, 1962. - 403 с.
70. Ключникова, В.Г. Корректирование приближенного решения задачи о собственных колебаниях плиты в неклассической постановке /
71. B.Г. Ключникова // Прпкл. механика. 1966. - Т. 2. - Вып. 12.1. C. 27-35.
72. Колосов, Г.В. Об одном приложении теории функции комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости / Г.В. Колосов. Юрьев, 1909.
73. Колосов, Г.В. Применение комплексной переменной к теории упругости / Г.В. Колосов . M.-JL: ОНТИ, Гл. ред. общетех. дисциплин. -1935. - 223 с.
74. Колосов, Г.В. О некоторых приложениях комплексного преобразования уравнений математической теории упругости к отысканию общих типов решения этих уравнений / Г.В. Колосов. Известия Ле-нингр. электротехн. ин.-та, 1998.
75. Колманок, А.С. Строительная механика пластинок / А.С. Колма-нок. Машстройиздат, 1950.
76. Коссович, Л.Ю. Нестационарные задачи теории упругих тонких оболочек / Л.Ю. Коссович. Саратов: Изд-во СГУ, 1986. - 176 с.
77. Коренев. Б.Г. Об изгибе плиты,лежащей на упругом основании, нагрузкой, распределенной по прямой и прямоугольнику / Б.Г. Коренев /7 ДАН СССР, 1951. Т. 79. - №3, 411.
78. Коренев. Б.Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании / Б.Г. Коренев. Госстройиздат. 1954.
79. Кошляков, Н.С. Основные дифференциальные уравнения математической физики /Н.С. Кошляков, Э.Б. Глинер, М.М. Смирнов. М.: Физматгиз, 1962. - 768 с.
80. Красюков, В.П. Колебания анизотропных пластинок с учетом инерции вращения и деформации сдвига / В.П. Красюков // Научн. тр. Саратовск. политехи, ин-та. 1966. - Вып. 23. - С. 107-110.
81. Крылов, А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании / А.Н. Крылов // Изд. АН СССР. 1931.
82. Крылов, А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики, имеющих приложение в технических вопросах / А.Н. Крылов // Изд. АН СССР. 1931.
83. Крылов, А.Н. О некоторых дифференциальных уравнениях математической физики / А.Н. Крылов. M.-JL: ГИТГЛ, 1950. - 368 с.
84. Кузнецов, Д.С. Специальные функции / Д.С. Кузнецов . М.: Высшая школа, 1965. - 423 с.
85. Курдюмов, А.А. Колебания перекрытий, подкрепленных большим числом балок главного направления и несколькими перекрестными связями / Ф.Ф. Курдюмов // Труды ВНИТОСС. Т. 5. - вып. 3 -1948.
86. Лейбензон, Л.С. Собрание трудов / Л.С. Лейбензон. Издательство АН СССР, 1951. -Т. 1.
87. Лехницкий, С.Г. Анизотропные пластинки / С.Г. Лехпицкий. М.-Л. Гостехиздат, 1950. - 299 с.
88. Лехницкий, С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. М.-Л.: Гостехиздательство, 1950. - 299 с.
89. Лизарев, А.Д. Колебания металлополимерных и однородных сферических оболочек / А.Д. Лизарев, Н.Б. Ростанина. Минск: Наука и техника, 1984. - 192 с.
90. Литвинова, З.Н. Свободные колебания пластин / З.Н. Литвинова,
91. П.Е. Товстик, М.И. Улитин // Сб. "Прикладная механика". Изд-во Ленингр. ун-та. 1974. - Вып. 1. - С. 110-118.
92. Лурье, А.И. Теория упругости / А.И. Лурье. М.: Наука, 1970. -940 с.
93. Лурье, А.И. Операционное исчисление и его приложения к задачам механики / А.И. Лурье. М.-Л.: Госиздат. Техн. теорет. Лит., 1950. -432 с.
94. Лыков, А.В. Теория теплопроводности / А.В. Лыков. М.: Высшая школа, 1967. - 599 с.
95. Лычев, С.А. Замкнутое решение задач об изгибе жестко закрепленной прямоугольной пластины / С.А. Лычев, С.В. Салеев // Вестник Самарского университета. 2006. - №2(42). - С. 62-73.
96. Лычев, С.А. Уравнения движения трехслойной вязкоупругой оболос-ки / С.А. Лычев, Ю.Н. Сайфутдинов // Вестник Самарского гос. > университета. Естественнонаучная сер. - 2005. - №6(40). - С. 70-88.
97. Лычев, С.А. Динамика трехслойной непологой сферической оболочки / С.А. Лычев, Ю.Н. Сайфутдинов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.А. Яковлева.• Сер. Механика предельного состояния. 2007. - №2. - С. 55-90.
98. Ляв, А. Математическая теория упругости / А. Ляв. М.: ОНТИ, 1935. - 674 с.
99. ИЗ. Милейковский, И.Е. Расчет оболочек и складок методом перемещений / И.Е. Милейковский. ГСИ, 1960. - 173 с.
100. Михлин, С.Г. Основные уравнения математической теории пластичности / С.Г. Михлин. Изд.-во АН СССР, 1934.
101. Михлин, С.Г. Вариационные методы в математической физике / С.Г. Михлин. М.: Наука, 1970. - 512 с.
102. Москаленко, В.Н. К применению уточненных теорий изгиба пластинок в задаче о собственных колебаниях /В.Н. Москаленко // Инженерный ж. 1961. - Т. 1. - №3. - С. 93-101.
103. Москаленко, В.Н. Об учете инерции вращения и деформации сдвига в задачах о собственных колебаниях пластин / В.Н. Москаленко // Теория пластин и оболочек Киев, АН УССР, 1962. - С. 264-266.
104. Муштари, Х.М. Теория изгиба плит средней толщины / Х.М. Мушт-ари /У Изв. АН СССР, Отд. техн. н., Механика и машиностроение, 1959. №12.
105. Мяннил, А.И. О напряженных состояниях упругой плиты при распространении синусоидальных волн изгиба / А.И. Мяннил, У.К. Ни-гул // Изв. АН ЭстССР. Сер. физ. -матем. и техн. н. 1963. - Т. 12. -№3. - С. 273-283.
106. Нигул, У.К. О применении символического метода А.И. Лурье в трехмерной теории динамики упругих плит / У.К. Нигул // Изв. АН ЭстССР. Сер. фпз.-матем. и техн. и. 1963. - Т. 12. - №2. - С. 146-155.
107. Нигул, У.К. Волнлвые процессы деформации оболочек и пластин / УК. Нигул // Тр. VI Всес. конференции по теории оболочек и пла-стин.1969. М.: Наука, 1966. - С. 846-883.
108. Новацкий, В. Динамика сооружений / В. Новатдкий. М.: Госстрой-издат.1963. - 376 с.
109. Новацкий, В. Теория упругости / В. Новацкий. М.: Мир, 1975. -872 с.
110. Оболошвили, Е.И. Преобразование Фурье и его применение в теории упругости / Е.И. Оболошвили. Тбилиси: Мецниереба, 1979. - 230 с.
111. Образцов И.Ф. Вариационные методы расчета тонкостенных авиаконструкций. М.: Машиностроение, 1996. 392 с.
112. Огибалов, П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок / П.М. Огибалов. Издательство Московского университета, 1958.
113. Пальмов, В.А. О вычислительных трудностях матричных методов расчета колебаний / В.А. Пальмов, А.А. Первозванский // Сб. Динамика и прочность машин. Труды ЛПИ №210 M.-JL: Машгиз, I960.
114. Папкович, П.Ф. Два вопроса теории тонких упругих плит / П.Ф. Пап-кович Прикл. мат.и мех. - 1941. - Т. V. - Вып. 3.
115. Партон, В.З. Интегральные уравнения теории упругости / В.З. Пар-тон, П.И. Перлин. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1977. - 312 с.
116. Партон, В.З. Методы математической теории упругости / В.З. Пар-тон, П.И. Перлин. М.: Наука, 1981. - 688 с.
117. Петрашень, Г.И. К теории колебаний тонких пластин / Г.И. Петра-шень // Уч. зап. ЛГУ Сер. матем. н. Динамические задачи теории упругости, 1951. №149. - С. 172-249.
118. Петрашень, Г.И. О некоторых проблемах динамической теории упругости в случае сред; содержащих тонкие слои./ Г.И. Петрашень, Л.А. Молотков // Вести. Ленингр. ун-та, 1958. №22. - С. 137-156.
119. Петрашень, Г.И. О колебаниях однородных и слоистых пластин / Г.И. Петрашень, Л.А. Молотков // Теория оболочек и пластин. Ереван. АН АрмССР, 1964. С. 788-794.
120. Перцев, А.К. Динамика оболочек и пластин (нестационарные задачи) / А.К. Перцев, Э.Г. Платонов. J1.: Судостроение, 1987. - 316 с.
121. Положий, Г.Н. Уравнения математической физики / Г.Н. Положий. -М.: Высшая школа, 1964. 660 с.
122. Прокопов, В.К. Применение символического метода к выводу уравнений теории плит / В.К. Прокопов // Прикл. мат. и мех., 1965. -Т. 29. №5. - С. 902-919.
123. Работнов, Ю.Н. Пластинки и оболочки / Ю.Н. Работнов. Сб. "Механика за 30 лет", АН СССР, 1950.
124. Рвачев, B.JI. Алгебра логики и интегральные преобразования в краевых задачах / В.Л: Рвачев, А.П. Слесаренко. Киев: Наукова думка, 1976. - 287 с.
125. Селезов, И.Т. Моделирование волновых и дифракционных процессов в сплошных средах / И.Т. Селезов. Киев: Наукова думка, 1989. -204 с."
126. Селезов И.Т. Исследование поперечных колебаний пластины / И.Т. Селезов // Прикл. механика, 1960. Т. 6. - №3. - С. 319-327.
127. Селезов, I.T. Дослщження поперечних коливань пластини / I.T. Селезов // Прикл. мехашка, 1960. Т. 6. - №3. - С. 319-327.
128. Селезов, И.Т. Исследование распространения упругих волн в плитах и оболочках / И.Т. Селезов // Тр. конференции по теории пластин и оболочек, 1960. Казань, 1961. - С. 347-352.
129. Селезов, I.T. Про поперечш коливання пластини / I.T. Селезов // Доповцц АН УРСР, 1960. №9. - С. 1190-1193.
130. Селезов I.T. Про ппотези, яю лежать в ocuoBi уточнених р1внянь поперечных коливань пластин, i деяю особливост! цих р1внянь / I.T. Се-лезов // Прикл. мехашка, 1961. Т. 7. - №5. - С. 538-546.
131. Семенов, Н.С. Применение вариационного метода профессора JI.B. Конторовича к решению задач об изгибе тонких прямоугольных пластин / Н.С. Семенов // Прикл. мат. и мех., 1939. Т. III. - Вып. 4.
132. Сеницкий, Ю.Э. Вынужденные колебания упруго закрепленной круглой пластины /Ю.Э. Сеницкий // Изв. Вузов. Строительство и архитектура, 1969, №6. - С. 19-25.
133. Сеницкий, Ю.Э. Динамическая задача для упруго закрепленной круглой пластины на основе теории типа Тимошенко / Ю.Э. Сеницкий // Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев: Бущвельник, 1977. - Вып. 31. - С. 122-130.
134. Сеницкий, Ю.Э. О физически непротиворечивой модели уточненной теории пластин и оболочек / Ю.Э. Сеницкий, Э.Я'. Еленицкий // ДАН, 1993. Т. 331. - №5. - С. 580-582.
135. Сеницкий, Ю.Э. Исследование упругого деформирования элементов конструкций при динамических воздействиях методом конечных интегральных преобразований / Ю.Э. Сеницкий. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та., 1985. - 176 с.
136. Сеницкий, Ю.Э. Изгиб тонкой прямоугольной пластины при различных условиях закрепления на контуре / Ю.Э. Сеницкий // Известия вузов. Строительство, 1998. №6.
137. Слепян, Л.И. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики / Л.И. Слепян, Ю.С. Яковлев. Л.: Судостроение, 1980. - 344 с.
138. Слободянскпй, М.Г. Пространственные задачи теории упругости для призматических тел / М.Г. Слободянский // Уч. зап. МГУ. Механика, 1940. Вып. 39.
139. Снеддон, И.Н. Преобразования Фурье / И.Н.'Снеддон. М.: Изд-во ИЛ, 1955. - 668 с.
140. Тимошенко, С.П. Курс теории упругости. Ч. II Стержнии пластинки / С.П. Тимошенко.: Петроград, Тип. А.Э. Коллинса, 1916.
141. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Гудьер. -М.: Наука, 1975. 576 с.
142. Тимошенко, С.П. Пластинки и оболочки / С.П. Тимошенко, С. Вой-новский-Кригер. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1948. - 635 с.
143. Титчмарш, Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Ч. 1. М.: Изд-во иностр. лит., 1960. - 278 с.
144. Трантер, К.Дж. Интегральные преобразования в математической физике / К.Дж. Трантер. М.: Госиздат техн.-теорет. лит., 1956. -204 с.
145. Улитии, М.И. О поперечных колебаний пластин с учетом сдвига и инерции вращения /М.И. Улитин // Сб.: Прикладная механика. Изд-во Лепингр. ун-та, 1974.- Вып. 1. С. 119-129.
146. Улитко, А.Ф. Метод собственных векторных функций в пространственных задачах теории упругости / А.Ф. Улитко. Киев: Наукова думка, 1979. - 264 с.
147. Уфлянд, Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости / Я.С. Уфляпд. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1963. - 367 с.
148. Уфлянд, Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин / Я.С. Уфлянд // Прикл. матем. и мех., 1948. -Т. 12. №3. - С. 287-300.
149. Феппль А. Сила и деформация / А. Феппль, Л. Феппль. М.: ГТТИ, 1933.
150. Филиппов, А.П. Колебания прямоугольной пластины, загруженной сосредоточенными силами / А.П. Филиппов // Прикл. матем. и мех. Т.1. - Вып. 4.
151. Филиппов, А.П. Поперечный упругий удар тяжелым телом по круглой плите / А.П. Филиппов // Изв. АН СССР. Мех. твердого тела, 1971. - №6. - С. 102-109.
152. Филиппов, А.П. Поперечный упругий удар по прямоугольной плите с учетом инерции вращения и перерезывающих сил / А.П. Филиппов, В.А. Скляр // Динамика и прочность машин. Респ. межвед. темат. научн. -техн. сб., 1971. Вып. 14. - С. 12-19.
153. Филиппов, А.П. Колебания деформируемых систем / А.П. Филиппов. М.: Машиностроение, 1970. - 734 с.
154. Филоненко-Бородич, М.М. Теория упругости / М.М. Филоненко-Бородич. Гостехиздат, 1947.
155. Фридман, Л.И. Представление решения динамических задач для упругих тел разложением в ряд по собственным формам / Л.И. Фридман // Проблемы прочности, 1973. №11. - С. 91-96.
156. Фридман, Л.И. Поперечные колебания круглых пластин с учетом инерции вращения и деформации сдвига / Л.И. Фридман // Куйбышев: Тр. Куйбышевск. авиац. ин-та, 1974. Вып. 67. - С. 140-149.
157. Фридман, Л.И. Динамический расчет круглых пластин переменной толщины при отказе от гипотезы Киргофа /Л.И. Фридман // Вопросы проектирования и доводки авиационных газотурбинных двигателей. Межвузовский сборник . Куйбышев, КуАИ, 1977. - С. 122-130/
158. Фридман, Л.И. Динамический расчет конструкций, основанный на теории колебаний пластин (модель Тимошенко) / Л.И. Фридман // Труды XVI международной конференции по теории пластин. Т. I. -Н.-Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1994. - С. 152-158.
159. Фридман, Л.И. Построение и реализация рашепий задач нестационарных колебаний пластин (модель Тимошенко) / Л.И. Фридман, К.С. Моргачев // Вестник Самарского госуниверситета. 2006. -№2(42). - С. 92-102.
160. Цейтлин, А.И. Прикладные методы решения краевых задач строительной механики / А.И. Цейтлин. М.: Стройиздат, 1984. - 334 с.
161. Цейтлин, А. И. Методы учета внутреннего трения в динамическихрасчетах конструкций / А.И. Цейтлин, А.А. Кусаинов. Алма - Ата: Наука, 1987. - 240 с.
162. Чижевский, К.Г. Расчет круглых и кольцевых пластин / К.Г. Чижевский. JL: Машиностроение, 1977. - 184 с.
163. Шерман, Д.И. Новые вопросы строительной механики / Д.И. Шер-ман // Механика в СССР за тридцать лет Гостехиздат, 1934.
164. Шиманский, Ю.А. Изгиб пластинки / Ю.А. Шиманский // ОНТИ, 1934.
165. Шпигельбурд, И.Я. Некоторые вопросы учета внутреннего трения в материале при колебаниях элементов конструкций / И.Я. Шпигельбурд. Новосибирск, 1970. - 39 с.
166. Шпигельбурд, И.Я. Об учете внутреннего трения в материале при расчете колебаний упругих тел в условиях сложного напряженного состояния / И.Я. Шпигельбурд // Вопросы виброзащиты и вибротехники. Новосибирск, 1970. - С. 10-23
167. Achong, A. Vibrational analisis of circuler and elliptcal plates carrying point and ring masses and with edges elastically restrained / A. Achong // I. Sound and Vibr., 1995. No. 1. - P. 157-168.
168. Anderson, G.L. On the determination of finite integral transforms for forsed vibrations of circular plates / G.L. Anderson //I. Sound and vibrat, 1969. V. 9. - No. 1. - P. 127-144.
169. Bercin, A.N. Free vibration solution for clamped or thotropic plates using the Kfntorovich method / A.N. Bercin // J. Sound and vibr. 1996-196. -No. 2. P. 243-247.
170. Bolle, L. Contribution au probleme lineaire de flezion d'une plaque elastique / L. Bolle // Bui tech. Suisse rom., 1947. No. 21-22.
171. Bresse, M. Cours de M'ecanique appliquee, part 1,/M. Bresse. — Paris, Mallet-Bachelier, 1859.
172. Callahan, W.R. On the flexural vibrations of circular and elliptical plates / W.R. Callahan // Quart. Appl. Math. 1956. - V. 13. - No. 4. -P. 371-380.
173. Cauchy, A.L. Sur l'equilibre et le movement d'une lame solide / A.L. Cauchy // Exercices de Math., 1828. V. 3. - P. 245-326.
174. Chao, C.C. On the flexural motions of plates at the cut-off frequency / C.C. Chao, Y.H. // Trans.'ASME, 1964. E 31. - No. 1. - P. 22-24.
175. Chou, P.C. Flexural wave propagation in a circular plate due to impulsive loads / P.C. Chou // Proc. 6th Internat Sympos. Space Technol. and Sci., Tokyo, 1965. Tokyo, 1966. - P. 393-406.
176. Danaial, A.N. Inverse Solutions in Folded Plane Structures / A.N. Danal // Ph. D. Thesis. Purdue University, 1994.
177. Danaial, A.N. Dynamic Analysis of folded Plate Structures on a Massively Parallel Computer / A.N. Danaial, J.F. Doyle // Computers and Structures, 1995. Vol. 54. - P. 521-529.
178. Danaial, A.N. Dynamicanalysis of folded plate structures / A.N. Danaial, J.F. Doyle, S.A. Rizzi // Trans. ASME J. Vibr. And Acoust. Trans. ASME J. Vibr., Acoust., Stress and Rel.Des 1996-118. - No. 4. -P. 591-598.
179. Dengler, М.А. Transversale Wellen in Staben und Platten under stobformiger Belastung / M.A. Dengler // Osterr. Ing.-Arch., 1956. -V. 10. No. 1. - P. 39-66.
180. Deresiewicz, H. Axially symmetric flexural vibrations of a circular disk / H. Deresiewicz, R.D. Mindlin // J. Appl. Mech., 1955. V. 22. - No. 1. -P. 86-88.
181. Deresiewicz, H. Symmetric flexural vibrations of a clamped circular disk / H. Deresiewicz // J.Appl. Mech., 1953. Vol. 23. - No. 2. - P. 319-322.
182. Dolph, G.L. On the Timoshenko teory of transverse beam vibra ons / G.L. Dolpli // Quart of Appl. Math., 1954.-V. 12. No. 2.-P. 175-187.
183. Donnell, L.H. Btams, plates and shells / L.H. Donnell. M.: Наука, 1982. - 568 с. Перевод с англ. под ред. Э.И. Григолюка.
184. Eringen, А.С. The finit sturm-Liouville transform / А.С. Eringen // Qart.I.Math., 1954. V. 2. - No. 5. - P. 120-131.
185. Eringen A.C. Transform techniqul for boundary value problems in fourth-order partial diferential equations / A.C. Eringen // Quart j.of Math., 1955. V. 6. - No. 24. - P. 241-249.
186. Flugge, W. / W. Flugge // ZAMM 1942. Bd 22. - No. 6.
187. Germain, S. Recherches sur la theorie des surfaces elastiquues / S. Germain // Paris, 1821.
188. Germain, S. Examen des Principles Qui Conduire a' "la Connaissance des Loisde FEquilibre et du Mouvement, des Solides E'lastiques / S. Germain // Annales de Chimie et de Physique, 1828. Ser. 2. -V. 38. - P. 123-131.
189. Goldberg, J.E. Theory of Prismatic Folded Plate Structures / J.E. Goldberg, H.L. Leve // ABSE, 1957. Vol. V.
190. Goodman, R.R. Reflection from a thin infinite plate using the Epstein method / R.R. Goodman //J. Acoust. Soc. Amer., 1961. V. 33. -No. 8. - P. 1096-1098.
191. Gupta, A.P. Effect of transverse shear and rotatory inertia on the farced motion of a plate-strip of linearly varying thicliness / A.P. Gupta, N. Goya // J.Sound and vibr. 1994. V. 174. - No. 4. - P. 461-474.
192. He I.-F. Vibration analysis ot laminated plates using a refined sheer deformation theory / I.-F. He, B.-A. Ma // I. Sound and Vibr, 1994. -V. 175. No. 5. - P. 577-591.
193. Hencky, H. Der Spannungszustand in rechteckingtn-Platten (Diss) / H. Hencky. Munchen und Berlin (1913) Z. angew, Math und Mtch., 1921. -V. 1.
194. Huang, T.C. Application of variational to the vibration of plates including rotatory inertia and sher / T.C. Huang // Developm. Mech., -Vol. I. New York, 1961. - P. 61-72.
195. Huber, M.T. Teorja plyt, Liwow. 1921. Eining Anwendunge der Biegungs-theorie orthotroper Platten. Zeitschr. F. Angew. Math, b. 6. H3, 1926. Probleme der Statik techniseh wichtiger orthotroper Platten. Warzawa. 1929.
196. Jones, R.P.N. Transverse impact waves in a bar under conditions of plane-strain elasticity / R.P.N. Jones // Quart. J. Mech. And Appl. Mach. , 1964. V. 17. - No. 4. - P. 401-421.
197. Karman, Т./ Th. von Karman // Encyklopadie der Mathematischen Wissenschaftcn, 1910. V. IV.
198. Kirchhoff, G. Uber das Gleichgewicht und die Bewcgung einer elastischtn
199. Scheibe / G. Kirchoff // J. reine und angew. Math., 1850. V. 40. -No. 1. - P. 51-88.
200. Lamb, H. On the flexure of an elastic plate (Appendix) / H. Lamb // Proc, Lond. Math. Soe., 1889-1890. V. 21. - P. 85-90.
201. Lamb, H. On the waves in an elastic plate / H. Lamb //Proc. Roy. Soc. London, 1917. Ser. A. - V. 93. - No. A648. - P. 114-128.
202. Levy, M. Compt. rend,1898. V. 129. - P.535-539.
203. Liew, K.C. Vibration of Mindlin plates using boundary characteristic orthogonal polynomials / K.C. Liew, M.K. Lim // J. Sound and Vibr. 1995. V. 182. - No. 1. - P. 77-90.
204. Martincek, G. Vplyv smyku a rotacnej zotrvacnosti pri kmitanf dosak / G. Martincek // Strojnicky casop., 1964 V. 15. - No. 4 - P. 337-357.
205. Mindlin, R.D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates / R.D. Mindlin // J. Appl. Mech., 1951. -V. 18. No. 1. - P. 31-38.
206. Mindlin, R.D. Flexural vibrations of rectangular plates / R.D. Mindlin, A. Schacknow, H. Deresiewicz // Paper Amer. Soc. Mech. Engrs, 1955. -Ser. No. A-78., // J. Appl. Mech., 1956. V. 23. - No. 3. - P. 430-436.
207. Mindlin, R.D. Vibrations of an infinite, elastic plate at its cut-off frequencies / R.D. Mindlin // Proc. 3rd U.S. Nat. Congr. Appl. Mechanics, Providence, Rhode Island, 1958. New York, N.Y., 1958. -P. 225-226
208. Mindlin, R.D. High frequency vibrations of crystal plates / R.D. Mindlin // Quart. Appl. Math., 1961. -V. 19. No. 1. - P. 51-61.
209. Nadai, A. / A. Nadai // Forschungarbeiten No. 170, 171 Berjin, 1915. u. // Elastische Platten Berlin, 1925.
210. Navier, L.M. / L.M. Navier // Bull. Soc. phil.-math., Paris, 1823.
211. Pfeiffer, G. / G. Pfeiffer // ZAMM. 1947. No. 22.
212. Poisson, S.D. Memoire sur l'equilibrG et le mouvement des corps elastiques / S.D. Poisson // Mem. Acad. Roy. Sci., 1829. V. 8. -P. 357-570.
213. Prescofct, J. Elastic waves and vibrations of thin rods / J. Prescott // Philos Magazine, 1942. V. 33. - Ser. 7. - No. 225. - P. 703-754.
214. Rayleigh, J.W. On the free vibrations of an infinite plate of homogeneous isotropic elastic matter / J.W. Rayleigh // Proc. London Math. Soc., 1888-1889. V. 20. - No. 357. - P. 225-234.
215. Reismann, H. Forced motion of elastic plates / H. Reismann // Trans. ASME, 1968. Ser. E35. - No. 3. - P. 510-515.
216. Reissner, E. On the theory of bending of elastic plates / E. Reissner // Journ. Math. Phys., 1944. V. 23. - No. 4.
217. Reissner, E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates / E. Reissner // J. Appl. Mech., 1945. V. 12. - No. 2. -A-69 -A-77.
218. Reissner, E. On axi-syminetrical vibrations of circular plates of uniform thickness, including the effects of transverse shear deformation and rotator inertia. J. Acoust. Soc. Araer., 1954, 26, No. 2, P. 252-253.
219. Rizzi S.A. Spectral Element Approach tj Wave Motion in Layered Solds / S.A. Rizzi, F.A. Doyle // Journal of Vibra,tion fnd Acoustics, 1992. -Vol. 114. P. 569-577.
220. Timoshenko, S.P. On the correction for shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bar / S.P. Timoshenko // Phil. Mag. 1921. Ser. 6. - V. 41. - No. 245. - .P. 744-746.
