Волны деформации в пластинках и оболочках тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Ленинградский ордена Ленина политехнический институт имени М.И. Калинина

/Зд1

На правах рукописи

П о в е р у с Лембит Юрьевич

УДК 539.3

ЗОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ В ПЛАСТИНКАХ И ОБОЛОЧКАХ

01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Ленинград 1990

Работа выполнена в Таллиннском техническом университете.

Официальные оппоненты: академик АН ЭССР, доктор технических наук, профессор H.A. Алумяэ доктор технических наук, профессор А.К. Перцев

доктор технических наук Э.Г. Платонов

Ведущая организация: ВНШТрансМаш

Защита диссертации состоится " " _ 1990 г.

в_часов на заседании специализированного Совета

Д 063.38.12 при Ленинградском ордена Ленина политехническом институте им. М.И. Калинина по адресу: I94251, Ленинград, K-25I, Политехническая ул., 29, корп. I, ауд. 425.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ленинградского ордена Ленина политехнического института им. М.И. Калинина.

Автореферат разослан " "_1990 г.

Ученый секретаюь специализированного Совета

СКУБОВ Д.Ю.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Волновые процессы в деформируемых твердых телах являются актуальными в геофизике, сейсмологии, строительстве, машиностроении, электронике и ультразвуковом исследовании элементов конструкций. Вышеупомянутые области исследования отличаются друг от друга по величинам характерных измерений рассматриваемых объектов и по частотам колебаний. Геофизические колебания возбуждаются землетрясениями и взрывами атомных зарядов, и их характерные длины измеряются тысячами метров, характерные длины строительных и машиностроительных конструкций измеряются метрами или долями метров, при этом длительности импульса измеряется десятками или сотнями микросекунд. Интенсивное исследование волновых процессов, особенно в технических объектах, началось во время и продолжилось после второй мировой войны. Прогресс в этих областях связан с появлением новых аналитических и численных методов.

Исследование упругих волн в пластинках и оболочках в точной и приближенной постановках относится к сложным задачам современной математической физики.

Цель работы. Диссертация посвящена исследованию волновых процессов деформации пластин и оболочек, находящихся псд действием кратковременных импульсных нагрузок. В качестве исследузмых объектов выбраны однородные изотропные (и анизотропные) пластины, многослойные пластины, а также однородные и многослойные цилиндрические и сферические оболочки.

Целью настоящей работы является разработка математических моделей и аналитических и численных методов расчета для исследования указанных объектов, а также получение возможно более широкой содержательной информации о переходных волновых процессах в пластинках и оболочках.

Научная новизна. Научной новизной обладают полученные решения и методы решения рассмотренных задач. Уравнения теории упругости и теории пластинок и оболочек в двумерном случае решаются с помощью метода конечных разностей или при помощи прямого численного метода (непосредственный метод конечных элементов), а в одномерном случае при помощи преобразования Лапласа или прямого численного метода. Для решения этих уравнений применяются также вариационный метод и метод характеристик. В случае'применения метода конечных разностей волновые фронты волн расширения/и дополнительные условия на них определяются в соответствии с законами геометрической оптики, при помощи принципа Фецма. При решении ряда задач, поставленных в диссертации, при описании краевых и фронтовых условий, разработан метод /' численной геометрической оптики и численный лучевой метод с приложением рекуррентных формул. Использование рекуррентных формул позволяет сэкономить оперативную память вычислительной машины (в случае использования общей системы решения потребовалось бы для множителей и свободных членов системы - п^+п ячеек памяти, а в случае использования рекуррентных формул - 6п ячеек).

Практическая значимость. В результате решения задач порчена новая информация о волновых полях динамических характеристик пластин и оболочек. На основе анализа упомянутых волновых полей удалось дать ответ на ряд вопросов, интересующих практиков, например, закономерностей распределения напряжений и деформации, зон экстремальных напряжений.

Внедрение результатов исследования. В ходе исследований, на базе теории упругости и на базе теории пластин и оболочек, были разработаны математические модели однослойных и многослойных пластин и ободочек. В качестве методов решения использовались метод трехмерных сеток и прямой численный вариант метода конечных элементов. В результате исследований подучена обширная информация о волновых полях напряжений и деформации. На основе упомянутой информации разработаны методические рекомендации, позволяющие точнее

оценить несущую способность вышеупомянутых элементов конструкций под воздействием динамических нагрузок. Результаты исследований использовались в разработках, проводимых институтом.

Составлен акт о том, что результаты научно-исследовательской работы СКБ-208 "Динамика однослойных и многослойных пластин", выполненной на строительном факультете Таллиннского политехнического института, внедрены на факультете Даугавпилсского ВВАИУ им. Яна Фабрициуса. На основе полученных результатов выработаны рекомендации по применению изотропных и композитных материалов в элементах конструкции (в пластинах), подверженных динамическому воздействию. Точнее оценены прочностные и эксплуатационные свойства пластин. Благодаря использованию композитных материалов, можно в значительной мере уменьшить собственный вес конструкции.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались на ряде конференций и семинаров. В их числе: Всесоюзный симпозиум по переходным процессам деформации оболочек и пластин. Тарту, 196?; У Всесоюзный симпозиум по распространению упругих и упруго-пластических волн, Алма-Ата, 1971; Всесоюзная конференция по применению ЭЦВМ в строительной механике, Ленинград, 1972; Симпозиум "Нелинейные и тепловые эффекты при переходных процессах", Таллинн, 1973; IX Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластин, Ленинград, 1973; X Всесоюзная конференция по теории оболочек и пластин. Тбилиси, 1975; XI Зсесоюзная конференция по теории оболочек и пластин, Харьков, 1977; Республиканская научная конференция "Тонкостенные и пространственные конструкции". Таллинн, 1978; Всесоюзная конференция "Современные методы и алгоритмы расчета и проектирования строительных конструкций с использованием ЭВМ". Таллинн, 1979; У Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Алма-Ата, 1Э81; Семинар кафедры строительной механики и теории упругости Ленинградского ПИ им. Калинина. Ленинград, 1983; Семинар кафедры теории упругости механико-математического факультета

ЛГУ. Ленинград^1982; Республиканский семинар "Прочность и формоизменение элементов конструкций при воздействии физико-механических полей". Киев, 19Ь7.

Публикации. Яо теме диссертации опубликовано 26 статей.

Объем работы. Диссертация содержит 316 страниц машинописного текста, в т.ч. 65 страниц рисунков. В библиографическом списке литературы 360 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из предисловия, четырех глав, основных результатов и выводов, списка литературы.

В предисловии кратко описывается цель и общая по главам постановка диссертации.

Первая глава работы посвящена исследованию волновых процессов деформации в толстой, бесконечной в плане, изотропной (и анизотропной) пластине, на ограниченную область лицевой поверхности которой действует импульсная нагрузка.

Б обзорной части первой главы приводятся данные о первых работах, которые были написаны в конце прошлого и в начале настоящего столетия Релеем и Лембом. После зтого начального периода интерес к указанной проблеме на некоторое время угас. Начиная с 50-х годов проблемами динамики пластин и оболочек стали заниматься более интенсивно, и в течение нескольких лет проводились фундаментальные исследования волновых процессов как неограниченных, так и ограниченных упругих сред в виде пластин и оболочек.

Работы в области исследований распространения упругих волн в слоистых средах и пластинах, число которых весьма велико, по назначению можно разделить на геофизические и технические. Для их решения разработаны различные аналитические и численные методы. Первыми в этой области были исследования Лемба, посвященные изучению волнового поля в однородном полупространстве и в пластине.

Задача Лемба имеет многочисленные применения и неоднократно привлекала внимание исследователей. Здесь нужно отметить фундаментальные теоретические исследования академиков В.И. Смирнова и С.Л. Соболева и предложенный ими метод функционально-инвариантных решений, а также метод неполного разделения переменных, предложенный академиком В.И. Смирновым (и независимо от него Каньяром). Используя эти методы, Н.В. Зволинский, Г.С. Подьяпольский, Г.И.Пет-рвшень и их сотрудники решили ряд новых задач.

Переходя от исследования упругого полупространства к исследованию упругой плиты, нужно отметить, что вначале, вплоть до момента выхода первой продольной волны на тыльную сторону плиты, в ней имеет место волновая картина,характерная для полупространства.

Если в приложениях геофизики обыкновенно представляют интерес сравнительно высокочастотные компоненты небольшого числа элементарных волн, то волновые процессы деформации технических конструкций определяются совокупностью многочисленных элементарных волн, раздельное исследование которых практически не осуществимо.

По этой причине решения, основанные на уравнениях теории упругости и реализованные численными методами, являются весьма продуктивными. Они дают физически более достоверную картину явления. Численные методы (конечных разностей, характеристик, конечных элементов) в качестве результатов дают прямые сведения о волновых полях.

В настоящей работе использован метод трехмерных сеток. Ниже приведены некоторые уравнения и зависимости,использованные при решении задач.

В безразмерных переменных:

I4 г и1 из ^ /тл

дифференциальные уравнения осесимиетричного движения гранс-версально-изотропного слоя пластины представляются в следующем виде:

+1 ей _ ДЛ+Г, гв\> _ 1 Л

В выражениях (I) и в системе (2): г,2 - цилиндрические координаты пластины; и1,и1- перемещения в направлении г и г соответственно; И - толщина слоя; t - время;

скорость волны расширения слоя, наибольшая среди подобных скоростей (в случае многослойной пластины); С^-скорость волны расширения в направлении ; с^- скорость волны расширения в направлении ; с2 - скорость волны сдвига.

к - . к,=Е'/Е;кгг - с^сЧ (1 -к^у0 V), с^с2Кт

Е', Е - модуль Кйга в плоскости изотропии и в плоскости, перпендикулярной к ней соответственно; N - коэффициент Пуассона, характеризующий сокращения в плоскости изотропии при растяжении в той же плоскости; N - коэффициент Пуассона, характеризующий сокращение в плоскости изотропии при растяжении в направлении, перпендикулярном к ней; С» - модуль сдвига для плоскостей, нормальных к плоскости изотропии.

Напряжения в слое в безразмерной форме представляются следующими выражениями:

_ „/Фи __ . 1-У Оуу,

сг - чЧк^1 м ^гы

+ (3)

Решение уравнений движения (2) приводится методом трехмерных сеток. Основными искомыми величинами являются перемещения и и V/ в узлах сетки. При определении их во внутренних точках сетки используется явная процедура типа крест. Для определения перемещений в остальных точках сетки нужно удовлетворить соответствующим начальным,граничным и фронтовым условиям. Фронт определяется методом геометрической оптики.

Имеют место следующие условия:

На верхней поверхности пластины нормальные напряжения должны равняться внешней нагрузке {¡,(т), зависящей от координаты ^ и от времени т . Касательные напряжения равны нулю.

На оси симметрии нагрузки перемещение и = 0 и касательное напряжение Т^ = 0. На фронте волны расширения перемещения и = ы = 0.

На нижней поверхности пластины нормальные и касательные напряжения равны нулю. Все вышеописанные условия выражаются через перемещения в дискретных точках. Чтобы решить уравнения движения и другие дифференциальные зависимости методом конечных разностей, нужно выбрать шаги сетки в направлении £ ит. Обозначим их через ^ и 1г.На поперечном сечении пластины можем изобразить сетку при помощи координатных линий, которые находятся друг от друга на расстоянии и Ц. Координаты точек сетки определяются величинами = и £ ~ ] С ^ , где I и ] обозначают номера вертикальных и горизонтальных координатных линий.

Безразмерное время т определяет время истечения волнового процесса, информация о котором фиксируется через отдельные дискретные промежутки времени. Это значит, что расчет ведется по отдельным слоям по времени. В записи г»п1т п обозначает номер слоя по времени.

Изложенный метод координатных линий используется для определения расположения фронта волны расширения, которую нужно определить при реализации метода геометрической оптики. Составлены комплекта усяовий и формул дяя решения разных задач.

Далее рассматривается распространение упругих волн в толстой пластине, которая нагружена кратковременной нагрузкой, действующей на ограниченной части (в виде полосы) верхней поверхности бесконечной в плане пластины. Предполагается, что реализуется плоская деформация.

Задача решается прямым численным вариантом метода конечных элементов.

Результаты расчета показывают, что одним из главных факторов, от которого зависит характер напряженного состояния пластины, является форма и длительность имцульса. Относительно короткие резкие имгчгльсы, длительность которых значительно меньше, чем время пробега характерной длины волны расширения, в данном случае толщина пластины или слоя, вызывают в пластине быстроосциллирущие напряженные состояния, особенно около фронта волны расширения.

Некоторые примеры расчета представлены на рисунках I, 2, 3, 4 и 5.

Вторая глава посвящена исследованию упругих волн в многослойной пластине с изотропными слоями.

Рассмотрены волны в трехслойных осесимметричных пластинах, бесконечных или конечных в плане с различными способами опирания контура.

Кратковременная распределенная нагрузка действует осесимметрично на некоторую ограниченную область в центре лицевой поверхности пластины, плавно возрастает до максимума и затем медленно убывает.

Исследование проводится на основе методики первой главы с некоторыми дополнениями. Основной целью является анализ различных задач и сопоставление соответствующих результатов.

Сперва рассматривается решение при постановке задачи по теории упругости. Исследуется трехслойная пластина с толщиной отдельных слоев Ь1,Ьг,Ь1. Внешние несущие слои предполагаются выполненными из одного материала. Средний

слой, заполнитель, сделан из другого материала. В плане пластина бесконечна.

Рассматриваются пластины со слоями из изотропного материала. Осесимметричное движение изотропных слоев описывается дифференциальными уравнениями, выведенными из уравнений (I).

Решение уравнений движения цриводится, как и в уравнении (I), методом трехмерных сеток. Основными искомыми величинами являются перемещения и и \л/ в узлах сетки. Для определения перемещения в точках сетки нужно удовлетворить соответствующим начальным, граничным и фронтовым условиям. Фронт определяется методом геометрической оптики.

Имеют место следуюпдае условия: на верхней поверхности пластины нормальные напряжения равны -^¿^На оси симметрии нагрузки перемещение ц = 0 и касательное напряжение равно нулю. На фронте волны расширения перемещения также равны нулю.

Условия контакта на поверхности раздела между слоями следующие. На первой поверхности раздела между слоями:

На второй поверхности раздела: 1. «а-и4

На нижней поверхности пластины нормальные и касательные напряжения равны нулю. В результате расчета получена обширная информация о волновых полях. /

В трехслойной пластине внешние несущие слои подвергаются действию нормальных напряжений несимметричного характера. Эти напряжения, действующие в направлении, параллельном свободной поверхности пластины, можно разделить на основе понятий теории пластин на два вида: напряжения из-гибного и напряжения цепного характера. Законы распределения этих двух видов напряжений зависят от геометрических и физических параметров отдельных слоев. На основе результа-

тов исследований выяснилось, что в случае длинного импульса, законы распределения напряжений по координатам носят плавный кваэистатический характер. Если средний слой выполнен из более жесткого материала, то в нем возникают значительные изгибные напряжения. Наибольшие нормальные напряжения возникают в верхнем слое под нагрузкой в момент времени, когда внешняя нагрузка достигает своего наибольшего значения. Максимальный прогиб пластины возникает в эпицентре пластины в конце действия импульса, в то время как остальные характеристики процесса (скорость и ускорение) принимают максимальные значения в период возрастания нагрузки.

Анализ численных результатов, полученных на основе линейной теории упругости, указывает на возможность применения дополнительных упрощений. Так как отдельные слои работают сравнительно самостоятельно, то предполагается применить теорию типа Тимошенко, с прямым численным методом.

Перемещения в направлении оси г во всех слоях одинаковые, в в направлении оси р (рис. II) находятся в каждом слое отдельно, квк

и(? » - * - - - Н^э, (ht > 0) /

Здесь з - углы поворота слоев.

Из уравнения (4) определяются радиальные и окружные деформации (ер и Угловые деформации вычисляются как ]f = -tf>+ w\

Из закона Гука путем интегрирования получаются внутренние усилия, поперечная и продольная силы (X ,Т , радиальный и окружной моменты Мг, М,^.

Закон сохранения количества движения I -го элемента (сектор с углом в один радиан) как единого целого в направлении оси г определяет скорость элемента v t .

Для вычисления пяти неизвестных Доо,, и

N (приращений угловых скоростей и сдвигающихся сил, действующих между слоями), имеется шесть уравнений: законы сохранения момента и количества движения для каждого слоя. Перемещения в среднем слое в направлении оси о определяются соотношением из (4). Это значит, что нулевая линия (ось р ) находится в середине среднего слоя и I | Н6|. Соответственно продольная сила в среднем слое Т^ = 0. Учитывая предыдущее и применяя закон сохранения количества движения для среднего слоя, получим, что сдвигающие силы, действующие между слоями, равны Ы1= И1. Как подтвердил численный эксперимент, точное соблюдение этого равенства оказывается необходимым, и поэтому в расчетах пренебрегают прямым применением закона сохранения количества движения в нижнем слое. По-видимому, на каждом шаге времени решение шести уравнений с пятью неизвестными (например, методом наименьших квадратов) приводит к более точному решению, но с другой стороны, к резкому увеличению машинного времени.

Некоторые численные результаты, по.11ученные на основе теории упругости и на основе упрощенной теории,представлены на фигурах б, 7, Ь, 9, 10.

Пример с упрощенной теорией показывает, что варьирование опорами (жесткая, шарнирная, упругая) оказывает небольшое влияние на поведение перемещений и скоростей в центре пластины. Это объясняется тем, что нагрузка в пластине быстро расходится, и отражения оказывают умеренное влияние. Величины перемещений и скоростей хорошо согласуются с результатами, полученными на основе теории упругости.

Как видно из графиков, при данных нагрузках переменные как по времени, так и по координатам меняются плавно. Это оправдывает применение упрощенной теории пластины типа Тимошенко. На рис. II для упрощенной модели построен график нормальных напряжений в момент времени "Ь = 30. Максимальные нормальные напряжения, которые возникают в верхнем слое этой пластины, довольно хорошо совпадают с решением по

теории упругости. Однако процесс затухания по толщине пластины описывается плохо.

В третьей главе представляются результаты исследования упругих волн в толстых цилиндрических и сферических оболочках под воздействием кратковременной нагрузки.

Исследуется распространение упругих волн в цилиндрической и сферической оболочках как в одномерной, так и в двумерной постановке. Первые задачи возникают тогда, когда оболочка подвергается воздействию равномерно распределенной нагрузки по всей цилиндрической или сферической поверхности. Двумерные задачи реализуются тогда, когда на цилиндрическую оболочку вдоль образующей действует линейная или полосовая нагрузка, а в случае сферы - когда нагрузка приложена на некоторой круговой области. 3 качестве метода решения одномерных задач используется прямой численный метод, а для решения двумерных - метод трехмерных

Рассматривается толстостенная сферическая оболочка,на ограниченную область внешней поверхности которой воздействует осесимметричная импульсная распределенная нагрузка. В качестве разрешающих уравнений движения используются уравнения теории упругости в безразмерном виде:

сеток.

...

Безразмерные переменные определены так:

Напряжения в безразмерных переменных выражаются следующими зависимостями:

»е-^-а-О^+^ссЛе <б)

- -у-йё гр 1 *

где г, ьр, в - сферические координаты точки оболочки, ир, - перемещение точки оболочки в направлении г и 9 соответственно, t - время, И - толщина оболочки, к*= с*/с* =

1-2У

= ' С1»°г " скорости распространения волны

расширения и волны сдвига в упругом теле.

Уравнения движения при заданных краевых, начальных и фронтовых условиях решаются методом конечных разностей. В переходной стадии деформации оболочки, фронты имеют довольно сложную форму. Ход решения аналогичен примененному выше для пластин. Графики, описывающие характеристики деформации оболочки, имеют плавный характер. Это объясняется тем, что в качестве внешней нагрузки приложен длинный имцульс. Большие деформации и напряжения возникают в области под нагрузкой. Что касается изменений нормальны* напряжений Ор по толщине оболочки, то максимальное значение они имеют в точках под нагрузкой и убывают плавно до нуля к нижней поверхности оболочки, сохраняя при этом все время один и тот же знак (сжимающие напряжения). Нормальные напряжения сге в общем имеют изгябный характер. Кроме из-гибных возникают и цепные напряжения. Пример результата решения представлен на рис. 12 и 13.

В качестве примера решения одномерной задачи исследовано распространение цилиндрической и сферической упругих и термоупругих волн в слоистых средах. Счет выполнен прямым численньм методом. Рассмотрено распространение волн в толстых слоистых цилиндрической и сферической

оболочках и в случае нагружения распределенной кратковременной нагрузкой. Использованы уравнения связанной теории термоупругости с учетом конечной скорости распространения тепла. Процесс считается адиабатичным.

Основные физические законы и кинематические соотношения применяются непосредственно к системе. Такими законами являются закон сохранения энергии, количества движения и массы, второй закон термодинамики, закон распространения тепла, выражение энтропии. Применяются также зависимости, отражающие упругие и термические свойства материала.

Рассматриваемая конструкция разбивается на конечное число элементов (полуцилиндры и полусферы).

Подробный алгоритм для решения задачи о распространении упругих волн в однородном или слоистом цилиндре, или сфере приведен в работе. В расчетном примере рассматривается распространение термоупругих волн в кольцевой пластине.

Четвертая глава посвящена волнам в тонких оболочках вращения. Исследуется распространение волн упругой осе-симметричной деформации в тонкой замкнутой кругоцилинд-рической полубесконечной оболочке, возникающих при воздействии продольной нагрузки типа Хевисайда, которая приложена в торцевом сечении оболочки. Исходными являются уравнения типа Тимошенко.

Изучению переходных волновых процессов в цилиндрических оболочках посвящено немного работ. 3 большинстве этих работ в качестве основного метода решения применяется метод интегрального преобразования Лапласа, требующий довольно громоздкого аналитического изложения.

Примененный в работе вариационный метод свободен от вьшеупомянутого недостатка, но приносит с собой трудности, связанные с выбором подходящей аппроксимирующей функции для решения.

Для вывода основной вариационной формулы исходят из начала возможных перемещений с учетом принципа Даламбера.

би + 6У + 5К, = 0

(7)

где 6 и - вариация потенциальной энергии деформации оболочки, ВУ - вариация работы внешних сил, 5К1 - вариация кинетической энергии, соответствующая вариации расстояния фронта волны.

Решение отыскивается в виде рядов, каждый член которых является произведением двух функций. Одна из этих функций зависит от координат и времени, а другая - только от времени.

Проводилось исследование разрывов деформации в цилиндрической оболочке на базе геометрически нелинейных уравнений типа Тимошенко. Для определения соотношений разрывов деформации в оболочке были использованы вариационный принцип и законы сохранения. Определяются также характеристические направления и дифференциальные зависимости на характеристиках. Подтверждается положение о том, что линии сильных разрывов уже не совпадают с характеристиками. Геометрически нелинейные уравнения движения осесимметричной деформации оболочки в перемещениях имеют вид:

II I М I .. - .

и -+-w -чм - и = О

»(иЧ 1(*/')г)-=0 (6)

II 7/ ' Л 1 п

Ъ {V/ е, = О

Далее выводятся условия для разрывов, с использованием вариационного принципа в форме, изложенной для исследования сплошной среды

5$1_<и<1т®0 (9)

В этом выражении функции Лагранжа для рассматриваемой задачи. Условия для разрывов имеют следующий вид:

[(и' + -у (*/)*- V V/'+«Ч*/+IV)]

= (ю)

+ г и'ы')^=о

Эти условия позволяют определить скорости распространения фронтов или фронтовых разрывов.

Одной из целей настоящей работы было определение искажения формы волны в полубесконечной оболочке в течение нелинейного переходного процесса. В качестве метода решения был применен метод конечных разностей. Он оказывает некоторый " размазывающий" эффект на решения, но так как предполагается, что нагрузка, приложенная на торце оболочки, изменяется в течение времени весьма плавно, то принятое дополнительное фронтовое условие описывает действительное положение достаточно хорошо и "размазывающий" эффект не оказывает большого влияния на точность расчета.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В диссертационной работе численными методамич изучены начальные этапы динамических переходных процессов деформации плит и оболочек, а выполненный анализ решений позволил сделать следующие выводы:

I. Все известные аналитические решения о переходных процессах в пластинах и оболочках, большая часть которых \ 4 определена методом интегрального преобразования, очень сложны и их качественный анализ чрезвычайно затруднен. Трудности возрастают при расчетах элементов конструкций конечных размеров, ввиду необходимости удовлетворения различным граничным условиям. Расчет значительно усложняется также в том случае, когда нагрузки изменяются по сложным законам по координатам и времени.

Численные методы, такие, как метод сеток, метод конечных элементов или метод характеристик, исходят из возможно более точно математически поставленной задачи.И хо-

тя получаемые с,их использованием результаты являются приближенными, все же они позволяют получить обширную и полезную информацию о волновых полях.

2. Метод трехмерных сеток, использованный в данной работе, для решения различных задач применен для этих задач впервые, Следует; подчеркнуть, хотя основная идея метода и одинакова для 'всех задач, в процессе алгоритмизации и программирования калсдой задачи необходимо ввести ряд специальных условий, так что каждую задачу нужно рассматривать как отдельный сложный вычислительный комплекс.

Разработанный метод трехмерных сеток можно рассматривать как некоторый вариант лучевого метода, так как возмущенная область пластины определяется проведением лучей и построением с использованием принципа Ферма волновых фронтов. Уравнения переноса могут быть использованы в случае необходимости для уточнения условий на волновых фронтах.

3. В зависимости от длительности импульсы можно разделить на относительно короткие и длинные. Относительно коротким называется импульс, затухающий в течение времени, необходимого для преодоления волной расширения расстояния, соответствующего одной или нескольким толщинам пластины или оболочки. В случае относительно длинного импульса упомянутое расстояние соответствует десяткам толщин.

В случае приложения относительно короткого импульса некоторые характеристики волнового процесса, например,напря- . жения, имеют колебательный характер. Сжимающие напряжения по толщине пластины чередуются с растягивающими напряжениями. При этом может возникать явление откола.

При действии относительно длинного импульса поведение характеристик волнового процесса "квазистатическое". Например, сжимающие напряжения по толщине пластины имеют \ максимальное значение под нагрузкой и уменьшаются плавно до нуля на нижней поверхности пластины.

4. Развит и впервые применен прямой численный метод для исследования переходных волновых процессов, которые зависят от времени и двух координат.

На основе предложенного подхода возможно дальнейшее развитие метода и перенос алгоритма на ряд новых задач.

Выявлены положительные стороны прямого численного метода, такие, как его ясный и обозримый характер, хорошие возможности при алгоритмизации и программировании задач. Метод хорошо подходит для малых машин.

С использованием прямого численного .метода определены волновые характеристики толстой пластины и трехслойной пластины. Исследованы упругие и термоупругие цилиндрические и сферические волны в слоистых средах. Учет связанности полей деформации и температуры приводит к незначительным количественным уточнениям. Учитывается также конечная скорость распространения тепла.

5. В трехслойной пластине внешние несущие слои подвергаются действию нормальных напряжений несимметричного характера. Эти йапряжения, действующие в направлении, параллельном свободной поверхности пластины, можно разложить на два вида - напряжения изгибного и напряжения цепного характера. Законы распределения этих двух видов напряжений зависят от геометрических и физических параметров отдельных слоев.

Кинематическая картина деформации трехслойной пластины, полученная на базе решения уравнений теории упругости, дает основание для разработки упрощенной теории типа Тимошенко для трехслойной пластины с помощью прямого численного метода. Разработанная теория цриложена к расчету слоистых пластин с конечными размерами и жестким, шарнирным и упругим закреплением на контуре. Тип опоры оказывает небольшое влияние на поведение перемещений и скоростей в центре пластины. Это объясняется тем, что нагрузка в пластине быстро расходится, и отражения оказывают умеренное влияние. Величины перемещений и скоростей довольно хорошо согласуются с результатами, полученными на основе теории упругости.

6. Результаты расчета толстой сферической оболочки методом трехслойных сеток, качественно близки к решениям тол-

стой пластины, нагруженной длинным импульсом. Напряжения имеют плавный "квазистатический" характер и их можно разложить на сжимающие, изгибные и цепные составляющие, как в случае пластины.

7. Разработан вариационный метод, базирующийся на линейной теории типа Тимошенког для исследования переходного процесса деформации в кругоцилиндрической оболочке. Для вывода основной вариационной формулы исходят из начала возможных перемещений.

Решение отыскивается в виде рядов,каждый член которых является произведением двух функций. Одна из этих функций зависит от координаты и времени, а другая только от времени. Метод хорошо сходится при малых значениях времени. При больших значениях времени целесообразно применять метод Рунге-Кутта.

8. На базе геометрически нелинейных уравнений типа Тимошенко Проведено исследование разрывов деформаций в цилиндрической оболочке. Для определения соотношения разрывов деформаций в оболочке были использованы вариационный принцип и законы сохранения. Определены характеристические направления и дифференциальные зависимости на характеристиках. Подтверждается положение, что линии сильных разрывов не совпадают с характеристиками.

На основании вышеупомянутых нелинейных уравнений проведен расчет цилиндрической оболочки методом конечных разностей для случая плавного приложения нагрузки. Из полученных результатов можно сделать вывод, что поперечные характеристики волнового процесса увеличиваются интенсивнее в случае сжимающей внешней торцевой нагрузки.

н * 2* И

Рис, I. Составляющие перемещений ии" и

^ , Т-/ . 0,04

г 5 9 и I? Ы 25

Рш,. 2. Нормальное напряжение при т - 1.

BapZ U и П-300

- сг^..... I—I 0,1 П = 300

Рис. Б. Напряжения и СТ^ в средней часта пластаны П - 300, 1 вар.

- п =90 ------сг^ I—•

Рис. В. Напряжения о» а сг^ в трехслойной пластине при п - 80.

Рис. 7. Напряжения и с» в трехслойной пластине при п - 210.

п =200 сг^ ст-Фа-ст

1 5 9 11 17 2) 25 29 14 V Al 45 49

43i-.J_l-.Li.JJ—J__H— ——i--J—1

Рис. 8. Напряжение о^ в трехслойной пластине при Г) - 200.

-ф ( СГ-^а-СГ

л —2 V \

V \ 20 Ш V \ // 60 I

\ \ // А /й «

42 V V/ Г--* — ъ

Рис. 9. Зависимость перемещений и скоростей V в центре пластины от времени X для первого вариавта материалов при различном опиракии пластаны по контуру»

. Рис» 10. Зависимость перемещений ^ и скоростей V в центре пластины от времени X для второго варианта материалов при различном опирании пластины по контуру < Безразмерные переменные для прямого численного метода

- схорость во . £

С, ' ^

с^ - схорость волны расширения %

Рис. 12. Нормальное напряжение о^ в сферической оболочке при п - 140.

а"е, п = 1А0 I—I

Рис. 13. Нормальное напряжение сту, в сферической оболочке при п » 140.

Дополнительные данные к расчетный примерам согласно представленным рисункам:

1. Рис. I, 2. На верхней поверхности пластины в круговой области (диаметром 2^>а) действует равномерно распределенная нагрузка h) h - толщина пластины. Нагрузка возрастает по линейному закону до своего максимального значения, а после этого резко убывает, х = I, это безразмерное время, в течение которого фронт волны расширения успевает пройти одну толщину пластины. Временем х- I выбрано число слоем времени п = 40. Длительность данного импульса 0,1т-.

2. Рис. 3, 4 и 5. Круглая пластана диаметромd = 200 мм и толщиной h = 3 мм; край жестко защемлен: Е=2,85-1010 Па,

0,20, ^ = I860 кг/м3, закономерность измерения импульса по времени: -f(t) = De'^sinwt характеристика импульса +ф/Т = 9/30 > "t<f, - время достижения максимальной нагрузки. Т - длительность импульса. Равномерно распределенная нагрузка действует на круговой области диаметром 2^a=h,

3. Рис,/6, 7. Трехслойная пластина. Геометрические и физические параметры следующие: hr/hJ¡r=A-, Ьп/Ьш = 5,

Ед = 2,0.Ю10Па, = = 0,3, Njj= 0,125, И=200мМ

характеристика имцульса "Ц/Т = 60/300,Т=1 время прохождения волной расширения толщины первого слоя. Диаметр нагруженной области 2^>a = h1.

4. Рис. 8. Трехслойная пластина. Геометрические и физические параметры: ^/Ьд-О,5, ИЕ/ЬШ=2, ^ = <^«7950 ^

= Ч-Ч-^-1«110«»» Ед» 0,7-10й Па

Vj = Vjj в 0,3, S = 0,21, h = 35 мм •

/

характеристика импульса tф/T = 10/100 Т=1 - время прохождения волной расширения первого слоя.

Рис./9. Трехслойная пластина типа Тимошенко решена прямым численнш методом. Данные те же самые, что и в предыдущем пункте.

6. Рис. 10 и II. Трехслойная пластина решена прямым численным методом. Геометрические и физические параметры:

Н1/Нв-0,5, Ьп/Иш = 2, 91-9я-П00§

Ег= Еш=Еп«0,7-10"Па, Ь=35мм.

характеристика имцульса t Ф/Т = 30/100 •

7. Рис. 12 и 13. Сферическая оболочка нагружена в круговой области диаметром, равным толщине оболочки с равномерно распределенным импульсом, характеристика которой по времени tф/T « 30/100.

Основное содержание диссертации опубликовано

в следующих работах:

1. Поверус Л. С. Исследование распространения волн в упругой цилиндрической оболочке на базе геометрически нелинейной теории типа Тимошенко (Тезисы). Переходные процессы деформации оболочек и пластин // Мат. Всесоюзн. симп. по переходным процессам деформации оболочек и пластин. Тарту, 28 июня - 3 июля 1967 г.

2. Лахе А.Я., Поверус Л.Ю. Исследование условий распространения разрывов осесимметричной нелинейной деформации цилиндрической оболочки // Изв. АН ЭССР. Т. 19 физ.-мат. 1970. № 4. С. 423-427.

3. Поверус Л.Ю., Ряямет Р.К. Распространение упругих волн в трансверсально-изотропной толстой пластине // Тр. Таллиннск. политехи, ин-та. Серия А. 1970. № 296, С. 95103.

4. Ловерус Л.Ю. Исследование распространения упругих волн деформации в цилиндричзской оболочке вариационным методом // Тр. Таллиннск. политехи, ин-та. Серия А. 1970.

№ 297. С. 57-65.

5. Поверус Л.Ю., Ряямет Р.К. Распространение упругих волн в трансверсально-изотропноа и изотропной толстой пластине // Распространение упругих и упругоплаетических волн: Материалы У Всесоюзного симпозиума. Алма-Ата: Наука, 1973. С. 282-288.

6. Мяннил А.Ю., Ряямет Р.К., Поверус Л.Ю. Исследов^-ние распространения упругих волн в бесконечной пластине при воздействии кратковременной нагрузки: Краткие тезисы докладов к ков}. по применению ЭЦВМ в строит, механике, 31 янв.-б февр. 1971 г. Секшя 4. Ленинград. 1972. С. 26-27.

7. Поверус Л.Ю. Исследование изменения осесимметриче-ских волновых характеристик в цилиндрической оболочке на базе геометрически нелинейной теории типа Тимошенко // Тр. Таллиннск. политехи./ин-та. 1972. № 321. С. 3-12.

8. Кяэрди Х.Х., Поверус Л.Ю. Исследование распространения упругих волн в цилиндрической, сферической оболочках методом конечных элементов // Тр. Таллиннск. политехи, ин-та. 1972. Г- 321, С. 25-32.

9. Кяэрди Х.Х., Поверус Л.Ю. Исследование распространения цилиндрических и термоупругях волн в слоистых средах методов конечных элементов //Тр. симпозиума: Нелинейные и тепловые э'?<[екты при переходных волновых процессах. Горький-Таллинн. 197о-. С. 127-134. /

10. Кяэрди Х.Х. Поверус Л.Ю. Упругие волны в складчатых конструкциях // Тр. Таглиннск. политехи, ин-та. 1974.

}• 360. С. 57-70. ' ' ,

К. Кяэрди Х.Х., Поверус Л.Ю. Метод конечных элементов для исследования переходных волновых процессов // Тр. Таллиннск. политехи, ин-та. 1974. № 360. С. 33-47.

12. Кяэрди Х.Х., Поверус Л.Ю. Исследование распространения упругих волн в угловых соединениях балок и складчатых конструкциях методом конечных элементов // Тр. Тал-линнск. политехи, ин-та. 1974. № 360. С. 49-55.

13. Поверус Л.Ю., Мяннил А.И. Исследование упругих волн в сферической оболочке. Труды IX Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин (24-28 дек. 1973 г.). Л.: Судостроение, 1975. С. 212-215.

14. Кяэрди Х.Х., Поверус Л.Ю. Исследование упругих волн в складчатых конструкциях // Тр. X Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Т. II. 22-29 сент. 1975 г. Тбилиси: Мецниереба, 1975. С. 255-259.

15. Поверус Л.Ю. Неосесимметричные собственные коле- бания упругих тонких оболочек вращения малой положительной

кривизны // Тр. Таллиннск. политехи. ин-та. 1976. № 394. С. 57-70.

16. Кяэрди Х.Х., Поверус Л.Ю. Исследование упругих волн в складчатых констр. методом трехмерных сеток и методом конечных элементов // Тр. Таллиннск. политехи, ин-та. 1976, № 394. С. 47-55.

17. Поверус Л.Ю., Рейман A.A. Исследование эффекта затухания при распространении волн деформации в слоистых пластинах //Тр. Таллиннск. политехи, ин-та. 1977. № 428. С. II-23.

18. Кяэрди Х.Х., Мяннил А.Ю., Поверус Л.Ю. Распространение упругих волн в слоистых преградах // Тр. Таллиннск. политехи, ин-та. 1977. № 428. С. 25-34.

19. Кяэрди Х.Х. КорсунскиЙ В.М., Мяннил А.И., Поверус Л.Ю., Рейман A.A. Математическое моделирование слоистых пластин и оболочек для исследования волновых процессов деформации // Тезисы докл. республ. научн. конф. "Тонкостенные и пространственные конструкции". Таллинн, 1978. С. 31-32.

20. Поверус Л.Ю., Кяэрди Х.Х. Мяннил А.Ю. Исследования нестационарных процессов деформации в слоистых пласти-

нах методом численного анализа // Тезисы докл. Всесоюзн. конф. "Современные методы и алгоритмы расчета и проектирования строительных конструкций с использованием ЭВМ". Таллинн, 1979. С. 165-166.

21. Корсунский В.М., Поверус Л.Ю. Волны в слоистых пластинах и оболочках // Тр. Таллиннск. политехи, ин-та. 1979. № 468. С. 51-60.

22. Кяэрди Х.Х., Поверус Л.Ю. Динамика слоистых пластин. Тр. Таллиннск. политехи, ин-та. 1980. № 487. С. 69-

23. Поверус Л.Ю. Упругие волны в однослойных и слоистых пластинах // Тр. Таллиннск. политехи, ин-та. 1981.

№ 507. С. 79-91.

24. Поверус Л.Ю. Анализ волнового напряженного состояния в однослойных и слоистых пластинах // Тр. Таллиннск. политехи, ин-та. 1982. Г 532. С. 27-38.

25. Поверус Л.Ю. Упругие волны в круглой пластине // Тр. Таллиннск. политехи, ин-та. 1984. № 575. С. 51-63.

26. Поверус Л.Ю., Кяэрди Х.Х., Мяннил А.Ю. Упругие волны деформации в однослойных и слоистых пластинах // Мат. Республиканского семинара "Прочность и формоизменение элементов конструкций при воздействии физико-механических полей". Киев, 23-25 сент. 1987 г.

■79