Нестационарные осесимметричные колебания оболочек вращения при соударении с препятствием и внезапном нагружении тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Введение.

1. Существующие методы расчета нестационарных колебаний упругих систем при ударных взаимодействиях.

1.1. Математические модели соударения тел с распределенными параметрами и методы исследования динамики упругих систем.

1.2. Основные соотношения теории оболочек.

1.3. Расчет тороидальных оболочек асимптотическим методом.

1.4. Построение передаточной функции.

1.5. Выводы. Цель и задачи исследования.

2. Метод конечных элементов (МКЭ) в динамике оболочек как вязко-упругих систем с распределенными параметрами.

2.1. Вариационные принципы динамики вязкоупругих систем с распределенными параметрами для разрывных полей смещений и напряжений.

2.2. Нестационарные колебания в упругих системах с учетом рассеяния энергии.

3. Динамический расчет конических оболочек.

3.1. Уравнения динамики оболочек вращения. Динамический расчет осе-симметрично нагруженной конической оболочки.

3.2. Колебания оболочек вращения при абсолютно упругом ударе при сохранении связи с препятствием и при отскоке от препятствия.

4. Статический и динамический расчет гофрированных мембран.

4.1. Статический расчет гофрированных мембран. Сравнение полученных результатов с известными результатами.

4.2. Динамический расчет гофрированных мембран.

Классическая теория колебаний основывается на решении дифференциальных уравнений и стыковке решений для различных частей системы при выполнении условий непрерывности. О состоянии теории колебаний в настоящее время можно судить по фундаментальным работам [3, 7, 8, 17, 19,20,23, 30,31,33,34,36,40,64,65,69,71,72,73, 110, 117,119,125, 130, 131, 134, 137, 138]. Развитие теории колебаний идет по пути применения метода конечных элементов (МКЭ) в сочетании с численным интегрированием соответствующих дифференциальных уравнений.

В настоящее время объем вычислений уже не является определяющим фактором. Важным становится построение простых и универсальных алгоритмов. Все этапы расчета должны быть строго формализованы при помощи удобного математического аппарата. Основной задачей является создание достаточно универсальной и эффективной программы вычислений на ЭВМ.

При изучении колебаний обнаруживается, что классических методов недостаточно и что необходимы новые, более общие и в то же время менее сложные методы. В связи с этим, перспективным, но недостаточно разработанным направлением расчета нестационарных колебаний оболочек вращения при соударении с препятствием, является подход, предложенный Санкиным Ю.Н., основанный на прямом и обратном преобразовании Лапласа, построении передаточной функции вязкоупругой системы с распределенными параметрами, позволяющий осуществлять обоснованный переход от сложной упругой системы к ее простой эквивалентной модели с применением современных вычислительных методов и средств.

Проблема моделирования динамических характеристик оболочек, как систем с распределенными параметрами (например, обшивка самолета, элементы конструкций космических аппаратов) является актуальной в связи с тем, что в ряде случаев приходится обеспечивать защиту от соударения с препятствием и внезапных силовых воздействий. Одной из первых работ, посвященных исследованию динамических явлений в системах с распределенными параметрами с применением преобразования Лапласа, является работа Кошутина М.П. [47]. Однако метод, предлагаемый в [47] был рассчитан на ручной счет и его возможности были сильно ограничены.

Здесь решение задачи осуществлено методом конечных элементов (МКЭ). Методу конечных элементов посвящены многочисленные работы [9,12,22, 35, 37, 41,44, 46, 54, 66, 77, 88, 100, 142]. Особенностью используемого в работе варианта МКЭ является то, что исходным является смешанный вариационный принцип, для соответствующих величин, преобразованных по Лапласу, куда входят начальные условия, предложенный Ю.Н. Санкиным [89, 91]. Под вариационным принципом понимается эквивалентность решения краевой или начально-краевой задачи условию стационара соответствующего функционала. Для прямого вариационного метода достаточно иметь в распоряжении функционал, которому искомое решение сообщает стационарное, а не обязательно экстремальное, значение.

Анализ различных вариационных принципов содержится в работах [1, 21, 87, 89, 91, 140, 141, 143, 144, 145]. Однако решение проблемы начальных условий дано в работах [89, 91]. В предлагаемой работе исходные уравнения в частных производных преобразуются по Лапласу [45, 52, 57]. В преобразованные уравнения входят начальные условия, которые наряду с заданными силами также являются возмущающими воздействиями. Обратное преобразование Лапласа осуществляется численным образом. Для чего полагаем р = io, где р - параметр преобразования Лапласа, i - комплексная единица, со - частотный параметр. В результате задача сводится к решению алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Затем осуществляется построение амплитудно-фазо-частотных характеристик (АФЧХ). Данное построение, как правило, всегда возможно. Поскольку все особые точки соответствующих выражений, благодаря учету 5 внутреннего рассеяния энергии, лежат в левой полуплоскости, то обратное преобразование Лапласа осуществляется путем использования построенных АФЧХ. Кроме того, АФЧХ могут служить для построения простых математических моделей.

Математическое моделирование оболочек как систем с распределенными параметрами в настоящее время представляет собой весьма актуальную задачу, так как анализ переходных процессов при нестационарных возмущениях разработан в настоящее время недостаточно и сводится к решению задачи Коши для систем дифференциальных уравнений высокого порядка. Это ведет к потере точности после небольшого числа шагов интегрирования.

Предлагаемая работа посвящена исследованию оболочек вращения, как систем с распределенными параметрами, динамические явления в которых описываются уравнениями МКЭ, которые являются вариационными уравнениями. В работе рассматривается частотный метод построения переходных процессов.

В последнее время появилось большое количество работ по применению прямых методов типа Бубнова-Галеркина-Ритца и на их основе различных модификаций МКЭ, а также разностных уравнений. Предлагаемые здесь вычислительные схемы требуют построения АФЧХ с учетом начальных условий для отдельных сечений оболочки с последующим численным обратным преобразованием.

При разработке метода динамического анализа оболочек вращения автор основывался на фундаментальных работах [26,32,56,67,116, 127, 133, 139].

При составлении алгоритмов программ использовались работы [2, 14, 15, 27, 30, 53, 60, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 104, 109, 111, 112, 115, 118, 121,123,132]

Научная новизна положений, выносимых на защиту.

1. Впервые разработан способ расчета переходных процессов в оболочках вращения, позволяющий промоделировать состояние оболочки на протяжении нескольких сотен и тысяч циклов, основанный на соотношениях, полученных из вариационных соображений, для преобразованных по Лапласу узловых перемещений для конического конечного элемента.

2. Впервые разработана методика динамического расчета оболочек вращения при соударении с препятствием и внезапном нагружении, основанная на смешанном вариационном принципе для преобразованных по Лапласу полей обобщенных перемещений и обобщенных сил.

3. Впервые получены математические модели оболочек вращения, основанные на использовании экстремальных точек АФЧХ, позволяющие компактно представить результаты решения нескольких сотен или тысяч уравнений.

Выводы.

1. Приведенные тестовые примеры показывают, что полученные формулы работоспособны во всем диапазоне изменения угла 8 и позволяют аппроксимировать гофрированную мембрану набором конечных элементов, представляющих собой цилиндрические и конические оболочки и кольцевые элементы.

2. Сравнение результатов расчетов по предложенным формулам с точными решениями для цилиндрической оболочки и кольцевой плиты позволяют сделать вывод о достаточной точности разработанной методики.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе выполнен комплекс теоретико - экспериментальных исследований динамических явлений в осесимметрично нагруженных оболочках вращения и оболочках вращения соударяющихся с препятствием. В результате исследований получены новые научные выводы и практические результаты:

1. Впервые разработан способ расчета переходных процессов в оболочках вращения, позволяющий промоделировать состояние оболочки на протяжении нескольких сотен и тысяч циклов, основанный на соотношениях, полученных из вариационных соображений, для преобразованных по Лапласу узловых перемещений.

2. Впервые разработана методика динамического расчета оболочек вращения, основанная на смешанном вариационном принципе для преобразованных по Лапласу полей обобщенных перемещений и обобщенных сил.

3. Впервые получены математические модели оболочек вращения, основанные на использовании экстремальных точек АФЧХ, позволяющие компактно представить результаты решения нескольких сотен или тысяч уравнений.

Предложенная методика допускает обобщения на произвольную оболочку, позволяет решать задачи динамики оболочек, при произвольном силовом воздействии.

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978.287с.

2. Аладьев В., Богдявичюс М. Maple 6. Решение математических, статических и инженерно-физических задач. М.: Лаборатория базовых знаний, 2001. 824 с.

3. Александров Е.В., Соколинский В.Б. Прикладная теория и расчеты ударных систем. М.: Наука, 1969.200 с.

4. Алимов О.Д., Манжосов В.К., Еремьянц В.Э. Распространение волн деформаций в ударных системах. Фрунзе: Илим, 1978.196 с.

5. Алимов О.Д., Манжосов В.К., Еремьянц В.Э. Удар. Распространение деформаций в ударных системах. М.: Наука, 1985.357 с.

6. Алимов О.Д., Манжосов В.К., Еремьянц В.Э. Ударное нагружение оснащенных стержней. Фрунзе: Илим, 1987.165 с.

7. Ананьев И.В., Колбин Н.М., Серебрянский Н.П. Динамика конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1972.416 с.

8. Ананьев И.В., Тимофеев П.П. Колебания упругих систем в авиационных конструкциях и их демпфирование. М.: Машиностроение, 1965. 526 с.

9. Аргирис Дж. Современные достижения в методах расчета конструкций с применением матриц. М.: Строийиздат, 1968.241 с.

10. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1965. 560 с.

11. Бабицкий В.И. Теория виброударных систем. М.: Наука, 1978. 352 с.

12. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. М.: Стройиздат, 1982.448с.

13. Белоус А.А. Колебания и статическая устойчивость плоских и пространственных рам // Расчет пространственных конструкций. М.-Л.Тосстройиздат, 1955. Вып. 3. С. 211-264.

14. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 1962. Т. 1,464 с.

15. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. М.: Изд-во физ.-мат. литературы, 1960. Т. 2,620 с.

16. Бидерман В.Л. Прикладная теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1972.416 с.

17. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высшая школа, 1980.408 с.

18. Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости. М.: Мир, 1965. 348 с.

19. Бондарь Н.Г. Устойчивость и колебания упругих систем в современной технике. Киев: Вища школа, 1987. 200 с.

20. Бохуа Т.А. Некоторые задачи динамики упругих пространственных систем с распределенными параметрами. Тбилиси: Изд-во Тбилисского унта, 1987. 165 с.

21. Буслаев B.C. Вариационное исчисление. Л.: ЛГУ, 1980.288 с.

22. Варвак П.М., Бузин И.М., Городецкий А.С. и др. Метод конечных элементов. Киев: Вища школа, 1981.176 с.

23. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т. / М.: Машиностроение, 1978.

24. Винер Н. Кибернетика или управление и связь в животном и машине. М.: Советское радио, 1968.326 с.

25. Власенков В.М., Феоктистов С.И. Удар. Теория. Практика. Владивосток: Изд-во Дальневосточного университета, 1987.158 с.

26. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложение в технике. М.-Л. Гостехиздат, 1949.

27. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.288 с.

28. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984 с.

29. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967. 416 с.

30. Гарднер М.Ф., Берне Дж.Л. Переходные процессы в линейных системах с сосредоточенными постоянными. М.: изд-во физ.-мат. литературы, 1961.552 с.

31. Голоскоков Е.Г., Филиппов А.П. Нестационарные колебания деформируемых систем. Киев: Наукова думка, 1977.334 с.

32. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек. М.: Наука, 1976.512 с.

33. Григорьев Е.Т., Тульчинская Н.Б. Определение динамических характеристик и нагруженности космических аппаратов // Косм, наука и техника, 1987. Вып. 2. С. 23 27.

34. Гробов В.А. Теория колебаний механических систем. Юнев: Вища школа, 1982.183 с.

35. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976.94 с.

36. Дондошанский В.К. Расчет колебаний упругих систем на вычислительных машинах. М.- Л.: Машиностроение, 1965.368 с.

37. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике / Пер.с англ. М.: Мир, 1975. 542 с.

38. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. М.: Высшая школа, 1979. Ч. 1,384 с.

39. Ионов В.Н., Огибалов П.М. Прочность пространственных элементов конструкций. М.: Высшая школа, 1979. Ч. 2,536 с.

40. Кадымов Я.Б. Переходные процессы в системах с распределенными параметрами. М.: Наука, 1968.192 с.

41. Кандинов В.П., Чесноков С.С., Выслоух В.А. Метод конечных элементов в задачах динамики. М.: МГУ, 1980.165 е.

42. Каталымов Ю.В. Математическое моделирование продольного удара в стержнях с учетом взаимодействия с внешней средой. Дисс. канд. техн. наук. Ульяновск, 1997. 154 с.

43. Кильчевский Н.А. Теория соударения твердых тел. Киев: Наукова думка, 1969.246 с.

44. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979. 320 с.

45. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1968. 720 с.

46. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности. Л.: Изд. ЛГУ, 1977.206 с.

47. Кошутин М. П. Определение напряжений в балках, вызванных кратковременным сотрясением их опор // Динамика и прочность машин. 1960. №240. С. 141 154.

48. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. Пер. с англ. М.: Наука, 1974.338 с.

49. Крылов A.M. Вибрация судов. М.-Л.: ОНТИ, 1936.442 с.

50. Кукишев В.Л., Санкин Ю.Н. О разновидности метода конечных элементов. Прикладная механика, 1982. № 7. С. 29-33.

51. Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.-Л.: Гос-техиздат, 1961,520 с.

52. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с.

53. Ланда П.С. Нелинейные колебания и волны. М.: Наука, 1997.496 с.

54. Леонтьев В.Л. Метод конечных элементов теории упругости. Ульяновск: УГУ, 1998. 167 с.

55. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961.750 с.

56. Лурье А.И. Общая теория тонких упругих оболочек.- ПММ, 1940, Вып. 4, №2.

57. Лурье А.И. Операционное исчисление. М.-Л.: Гостехиздат,1950. 720 с.

58. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. Л-М.: Гос-техиздат, 1947.

59. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

60. Мандельштам Л.И. Лекции по колебаниям. М.: Изд-во АН СССР, 1955. 503 с.

61. Маркеев. А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990.414 с.

62. Михлин С.Г. Вариационные методы математической физики. М.: ГИТТЛ, 1957.245 с.

63. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Наука, 1966.243 с.

64. Новацкий В. Динамика сооружений. М.: Издательство литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1963.376 с.

65. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.304 с.

66. Огибалов П.М. Колтунов М.А. Оболочки и пластины. М.: МГУ, 1969. 696 с.

67. Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976. 328 с.

68. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1971.240 с.

69. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих ситем. М.: Физматгиз, 1960.193 с.

70. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. JL: Политтехника, 1990.272 с.

71. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний. М.: Машиностроение, 1967,316 с.

72. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М: Наука, 1967.420 с.

73. Пирожков СЛ. Спектральные методы исследования математических моделей электромеханических систем, включающих звенья с распределенными параметрами. Дисс. канд. техн. наук. Ульяновск, 2001.160с.

74. Писаренко Г.С. Колебания упругих систем с учетом рассеяния энергии в материале. Киев: Изд-во АН УССР, 1955.238 с.

75. Пономарев С.Д., Андреева JI.E. Расчет упругих элементов машин и приборов М. 1980.326 с.

76. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. 342 с.

77. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. М.: Машиностроение, 1968. Т. 1,832 с.

78. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. М.: Машиностроение, 1968. Т. 2,464 с.

79. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. М.: Машиностроение, 1968. Т. 3, 568 с.

80. Рабинович И.М. Основы строительной механики стержневых систем. М.: Госстройиздат, 1960.519 с.

81. Рабинович И.М., Синицын А.П., Лужин О.В., Теренин Б.М. Расчет сооружений на импульсивные воздействия. М.: Изд-во лит-ры по строительству, 1970,305 с.

82. Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Пер. с англ. Т. 1. Л.: Судостроение, 1974.308 с. Т. 2. Л.: Судостроение, 1974. 312 с.

83. Розенвассер Е.Н., Воловодов С.К. Операторные методы и колебательные процессы. М.: Наука, 1985. 312 с.

84. Розин Л.А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: йзд-во Ленингр. ун-та, 1978.224 с.

85. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977.129 с.

86. Розин Л.А. Теоремы и методы деформируемых систем. Л.: Энергия, 1983. 231 с.

87. Санкин Ю.Н. Динамика несущих систем металлорежущих станков. М.: Машиностроение, 1986. 96 с.

88. Санкин Ю. Н. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределенными параметрами. Саратов: Изд. Сарат. ун-та, 1977. 312 с.

89. Санкин Ю.Н. Малые колебания механических систем с одной степенью свободы: Учебное пособие. Ульяновск: УлПИ, 1991,36 с.

90. Санкин Ю.Н. Смешанные вариационные методы в динамике вязко-упругих тел с распределенными параметрами: Ученые записки УлГУ. Серия "Фундаментальные проблемы математики и механики". Вып. 1 (5). Ульяновск: УлГУ, 1988. С. 124 132.

91. Санкин Ю.Н., Трифанов А.Е. Динамический расчет круглых гофрированных мембран// Математическое моделирование и краевые задачи, Труды 12 межвузовской конференции, Самара, 2002. С. 160-162.

92. Санкин Ю.Н., Трифанов А.Е. Колебания оболочек вращения при ступенчатом возмущении// Тезисы докладов XXXIV научно-технической конференции УлГТУ, Ульяновск: УлГТУ, 2000. С. 38-39.

93. Санкин Ю.Н., Трифанов А.Е. Колебания оболочек вращения при ступенчатом возмущении// Математическое моделирование и краевые задачи, Труды 10 межвузовской конференции, Самара, 2000, С. 141-144.

94. Санкин Ю.Н., Трифанов А.Е. Осесимметричные колебания оболочек вращения при внезапном нагружении// Тезисы докладов XXXII научно-технической конференции УлГТУ, Ульяновск: УлГТУ, 1998. С. 23-25.

95. Санкин Ю.Н., Трифанов А.Е. Осесимметричные колебания оболочек вращения при внезапном нагружении//ПММ. Том 66, Вып. 4,2002.1. С. 608-616.

96. Санкин Ю.Н., Трифанов А.Е. Расчет круглых гофрированных мембран// Механика и процессы управления, Сборник научных трудов, Ульяновск: УлГТУ, 2002. С. 76-79.

97. Санкин Ю.Н., Трифанов А.Е. Расчет осесимметричных колебаний оболочек вращения при ударе о жесткое препятствие// Вестник УлГТУ, № 3, Ульяновск: УлГТУ, 2001. С. 99-107.

98. Санкин Ю.Н., Трифанов А.Е. Статический и динамический расчет круглых гофрированных мембран// Тезисы докладов XXXVI научно-технической конференции УлГТУ, УлГТУ, 2002. С. 33.

99. Санкин Ю.Н. Элертц О.О. Расчет тороидальных оболочек асимптотическим методом// Гироскопические и навигационные системы. Пермь. Межвузовский Сборник научных трудов, 1982. С. 95-104.

100. Санкин Ю.Н. Элертц О.О. Ряпосов А.Ю. Применение конического конечного элемента для расчета оболочек вращения// Прикладная математика и механика. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 1986. С. 35-48.

101. Санкин Ю. Н., Юганова Н. А. Нестационарные колебания стержневых систем // Ученые записки УлГУ. Серия «Фундаментальные проблемы механики и математики». Вып. 2(7). Ульяновск: УлГУ, 1999. С. 50 -56.

102. Санкин Ю.Н., Юганова Н. А. Продольные колебания упругих стержней ступенчато-переменного сечения при соударении с жестким пре-пятствием//ПММ. Том 65, Вып. 3,2001. С. 442-448.

103. Современная математика для инженеров. Под ред. Э.Ф. Беккенба-ха. Пер. с англ. под ред. И.Н. Векуа. М.: Изд-во иностр. лит., 1958. 500 с.

104. Способ определения относительных коэффициентов демпфирования механических и электромеханических систем. Санкин Ю.Н., Санкин Н.Ю. Патент № 2093808 от 20.10.97.

105. Способ определения относительных коэффициентов демпфирования механических и электромеханических колебательных систем по ускорению. Санкин Ю.Н., Санкин Н.Ю. Патент № 2108502 РФ, МКИ 6 F 16 F 15/00 G 01 М 7/02.

106. Способ определения постоянных времени механических и электромеханических колебательных систем при наличии интегрирующего усилителя в цепи измерения. Санкин Ю.Н., Пирожков C.JI. Патент № 2152603, МКИ7 7 G 01 М 7/02.

107. Способ определения постоянных времени механических и электромеханических колебательных систем при наличии двух интегрирующих усилителей в цепи измерения. Санкин Ю.Н., Пирожков С.Л. Патент № 2163361, МКИ7 7 G 01 R 27/00.

108. Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машиностроение, 1978.222 с.

109. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. М.: Мир, 1971.558 с.

110. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащенко БЛ. и др. Строительная механика. Стержневые системы. М.: Наука, 1981. 265 с.

111. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1967.

112. Соболев В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. М.: Наука, 1968.288 с.

113. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Госстройиздат, 1960.131 с.

114. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 350 с.

115. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: изд. физ.-мат. литературы, 1963. 636 с.

116. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Физматгиз, 1959.439 с.

117. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.

118. Тимошенко С.П., Янг Д.С., Уивер У. Колебания в инженерном деле / Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1985. 472 с.

119. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.496 с.

120. Троицкий В.А. Матричные методы расчета колебаний стержневых систем // Динамика и прочность машин: Труды ЛПИ. № 210. М.-Л.: Маш-гиз, 1960. С. 31-38.

121. Тумаркин С.А. Асимптотическое решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с переодной точкой и его приложение к расчетам торообразных оболочек и лопастей. ПММ, вып 23,1959, №2.

122. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1979. 605 с.

123. Филин А.П. Матрицы в статике стержневых систем. Л.: Стройиз-дат, 1966.438 с.

124. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение, 1970.736 с.

125. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. 352 с.

126. Флюге В. Статика и динамика оболочек. М.: Издательство литературы по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1961. 306 с.

127. Фридман В.М., Чернина B.C. Видоизменение метода Бубнова -Галеркина Ритца, связанное со смешанным вариационным принципом в теории упругости // Изв. АН СССР, МТТ, 1969. №1. С. 104 - 108.

128. Фрейденталь А., Гейрингер X. Математические теории неупругой сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 349 с.

129. Хазанов Х.С. Современные методы исследования колебаний механических систем. Куйбышев: Куйбышевский авиационный институт, 1988. 72 с.

130. Цзе Ф.С., Морзе И.Е., Хинкл Р.Т. Механические колебания. М.: Машиностроение, 1966. 808 с.

131. Цлав Л.Я. Вариационное исчисление и интегральные уравнения. Справочное руководство. М.: Наука, 1966.176 с.

132. Чернина B.C. Статика тонкостенных оболочек вращения- М.: Наука, 1968.

133. Чудновский В.Г. Методы расчета колебаний и устойчивости упругих систем. Киев: Изд. АН УССР, 1952.420 с.

134. Юганова Н.А. Нестационарные колебания стержневых систем при соударении с препятствием. Дисс. канд. техн. наук. Ульяновск, 2000.193с.

135. Clark R., Asymptotic solution of toroidal shells problems. Quazt. Appl. Math. 16 №1 1958.

136. Denys J. Mead. Passive Vibration control, Wiley. N. Y., 2000. 540 p.

137. Fairhurst C. Wave mechanics of percussive drilling // Mine and Quarry, 1961. №3. P. 122-133.

138. Khanh Chaun Le. Vibration of shells and rods. Berlin: Springer, 1999/ 424 p.

139. Prager U. Variational Principles of Linear Elastostatics for Discontinuous Displacement, Strains, and Stresses // Recent Progress in Fpplied Mechanics. The F. Odgvist Volume, N. Y., 1967. P. 41 50.

140. Reissner F. On Some Variational Theorems in Elasticity, contr. Problem in Continuum Mechanics. SIAM, 1961.

141. Shabana A. Vibration of discrete and continuous systems. New York, Berlin, Hei del berg, 1966. 393 p.

142. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. Berlin: Springer, 1997. 650 p.

143. Tonti E. Variational principles of elastostatics. «Mechanica», 2, N 4, 1967.

144. Veubeke B. F. Stress Analysis, Chap. 9 Ed. О. C. Zienkiewich and G. S. Holister, Wiley. N. Y., 1965.