Нестационарные процессы в упругих волноводах при преодолении критической скорости подвижной нагрузкой

Гаврилов, Сергей Николаевич

Нестационарные процессы в упругих волноводах при преодолении критической скорости подвижной нагрузкой тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Гаврилов, Сергей Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Санкт-Петербург МЕСТО ЗАЩИТЫ

1999 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Нестационарные процессы в упругих волноводах при преодолении критической скорости подвижной нагрузкой»

Автореферат диссертации на тему "Нестационарные процессы в упругих волноводах при преодолении критической скорости подвижной нагрузкой"

российская академия наук

институт проблем машиноведения

На правах рукописи

им--

Гаврилов Сергей Николаевич

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В УПРУГИХ ВОЛНОВОДАХ ПРИ ПРЕОДОЛЕНИИ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКОЙ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург — 1999

Работа выполнена в Институте проблем машиноведения Российской Академии Наук (Санкт-Петербург)

Научные руководители : доктор физико-математических наук

Индейцев Дмитрий Анатольевич доктор физико-математических наук Жилин Павел Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Блехман Илья Израилевич кандидат физико-математических наук Никитин Геннадий Леонидович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский

Государственный Университет

Защита состоится О^/С-ёУ/Я 1999 года в часов на заседании Диссертационного совета Д 200.17.01 Института проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В.О., 61.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью учреждения, просим направлять в адрес Совета.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ Института проблем машиноведения РАН.

Автореферат разослан 1999

года.

вълз./л 03

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 200.17.01

кандидат химических наук :^¿ГВ.П. Глинин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Задачи динамики упругих систем с подвижными нагрузками, как правило, рассматривают в стационарных постановках, полагая, что нагрузка движется с постоянной скоростью, и разыскивая стационарное установившееся решение. Имеется значительное число исследований, посвященных стационарным задачам с различными типами нагрузок и упругих волноводов, вдоль которых движется нагрузка.

Одной из интересных и важных проблем, принципиально не допускающих рассмотрения с подобных позиций, является задача о преодолении подвижной нагрузкой критической скорости волновода. Эта задача может иметь практические приложения, связанные, например, с высокоскоростным железнодорожным транспортом, где достижение одной из критических скоростей — скорости поверхностных волн Рэлея в грунте, на котором лежит железнодорожный путь, вполне возможно при сегодняшнем уровне развития техники. Однако задачи, связанные с реальными инженерными конструкциями, чрезвычайно сложны и громоздки. Для того, чтобы исследовать их, необходимо сначала рассмотреть простые модельные задачи, чтобы отработать на них приемы преодоления математических трудностей. Поэтому в работе рассматривается простейшая модель упругого волновода — струна на упругом основании.

Цели работы:

• Исследование на основе линейной модели струны нестационарных волновых процессов, сопровождающих переход через критическую скорость подвижной нагрузки. Построение решений в форме, удобной для качественного анализа.

• Исследование адекватности выбора линейной модели для описания перехода через критическую скорость. Исследование области применимости результатов, основанных на линейной модели.

• Анализ важности учета трения, инерционности нагрузки, распределенности нагрузки при описании перехода через критическую скорость.

• Исследование факторов, приводящих к возникновению силы сопротивления движению нагрузки, а также динамики изменения этой силы при преодолении нагрузкой критической скорости.

Общая методика работы. Сформулированные задачи приводят к рассмотрению задачи Коши для уравнения в частных производных гиперболического типа. При исследовании линейных задач рассматривается обобщенная постановка задачи Коши; подвижная нагрузка моделируется дельта-функцией Дирака. Решения строятся методом интегральных преобразований. Для вычисления асимптотик решений для больших времен используется метод стационарной фазы. Проводится сравнение построенных асимптотических решений с численными результатами. При исследовании нелинейных задач формулируется задача Коши с граничным условием на подвижной границе.

Результаты, выносимые на защиту.

• Задача о преодолении критической скорости сосредоточенной нагрузкой,' движущейся по струне на упругом оснований, исследована в линейной постановке. В момент преодоления критической скорости возникает сильно выраженный волновой фронт, перемещающийся вдоль струны со скоростью звука. Для больших времен построено асимптотическое решение задачи в окрестности фронта. Качественно проанализированы волновые процессы, сопровождающие переход через критическую скорость. Сила натяжения струны и сила волнового сопротивления движению сосредоточенной нагрузки в момент преодоления критической скорости обращаются в бесконечность.

• Задача о движении сосредоточенной нагрузки по струне исследована в нелинейной постановке. Учтена взаимосвязь поперечных и продольных колебаний струны. Рассмотрены случаи разгона и торможения нагрузки. Указана область применимости результатов, полученных исходя из линейной модели.

• Причинами возникновения силы сопротивления движению являются продольные колебания струны и трение в контакте между струной и нагрузкой. Получен общий вид определяющего уравнения для силы сопротивления движению. Для адекватного описания волновых процессов и силы сопротивления при преодолении критической скорости существен учет трения в контакте и инерционности нагрузки. Показана возможность преодоления критической скорости сосредоточенной нагрузкой при наличии трения.

Научная новизна и теоретическая ценность. Получены новые асимптотические решения задачи о преодолении критической скорости.-Проанализированы нестационарные процессы при переходе через критическую скорость в волноводе с нелинейными упругими характеристиками. Получен общий вид определяющего уравнения для силы сопротивления движению сосредоточенной нагрузки.

Практическая значимость. Построенные решения имеют наглядный характер и позволяют анализировать качественные особенности физических процессов, сопровождающих переход через критическую скорость упругого волновода. Методологические подходы, развитые в работе, могут быть использованы в более сложных и практически значимых задачах, связанных, например, с высокоскоростным железнодорожным транспортом.

ях по прикладной математике и механике GAMM-97 (Регенсбург, Германия, 1997) и GAMM-98 (Бремен, Германия, 1998); на XXV и XXVI Летних школах-семинарах "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (Санкт-Петербург, 1997-1998); на VIII сессии Российского акустического общества (Нижний Новгород, 1998).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 6 работах, перечисленных в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и двух приложений. Текст диссертации изложен на 98 страницах. Список литературы содержит 84 наименования. Нумерация формул и рисунков ведется отдельно для каждой главы.

Содержание работы

Первая глава представляет собой аналитический обзор литературы. Среди работ, посвященных анализу нестационарных процессов, вызванных движущимися с ускорением нагрузками, преобладают те, в которых рассматриваются упругие структуры конечных размеров. В этом случае решение строится с помощью рядов, что значительно упрощает задачу с математической точки зрения.

Нестационарные волновые процессы в бесконечном волноводе, вызванные равноускоренной нагрузкой, преодолевающей критическую скорость, исследовались в работах Ю.Д. Каплунова и Г.Б. Муравского. В качестве упругих волноводов они рассматривали струну и балку Тимошенко на упругом основании. Были получены асимптотики решений при ускорении нагрузки, стремящемся к нулю, т.е., по существу, при квазистатическом переходе через критическую скорость.

A.R.M. Wolfert, H.A. Dieterman и A.B. Метрикин рассматривали преодоление критической скорости нагрузкой, равномерно движущейся по струне с неоднородными характеристиками. Рассматривались слу-

чаи как скачкообразного, так и гладкого изменения характеристик волновода.

Вопросы, связанные с силой волнового сопротивления движению нагрузки, рассматривались в многочисленных работах нижегородской школы механиков (А.И. Весницкий и др.) В этих работах на основе линейной модели струны получено определяющее уравнение для продольной силы сопротивления движению, которая интерпретируется как сила, возникающая вследствие потери энергии на волнообразование, или сила давления упругих волн.

Вторая глава посвящена выводу и анализу основных соотношений (для линейной модели струны), используемых в работе. В первом параграфе дается общая постановка линейной задачи о колебаниях струны на упругом основании под действием сосредоточенной безынерционной подвижной нагрузки, а также вводятся основные обозначения. Уравнение динамики системы имеет вид:

и"- \ü-2~fü-ku = x(t)ö(x-l(t)), (1)

с2

Здесь: и(х, t) — перемещение точки струны с координатой х в момент времени t; с — скорость звука; к и 7 — коэффициенты упругости и вязкости деформируемого основания соответственно (к > 0, 7 > 0); l(t) — координата нагрузки; х(£) — интенсивность нагрузки. Введем обозначения v(t) = £(£), a(t) — l(t) — скорость и ускорение нагрузки соответственно. Рассматривается обобщенная задача Коши; начальные условия выбираются нулевыми.

Во втором параграфе демонстрируется вывод фундаментального решения уравнения (1).

В третьем параграфе получено общее интегральное представление для решения, справедливое для произвольных l(t) и x(t) (вязкость 7 предполагаем достаточно малой):

X /о (\Л.(с2(г-т)2- (х-1(т)У)) dT, (2) •

где /с, = к — с272, ./о — функция Бесселя нулевого порядка, в — функция Хевисайда. Представление (2) очень удобно для численного исследования решения задачи. Все численные результаты, представленные в диссертации, получены численным интегрированием по формуле (2).

В четвертом параграфе на основе анализа формулы (2) показано, что решение задачи непрерывно по г, если на промежутке интегрирования отсутствует конечный интервал времени, где скорость нагрузки равна ±с (функции /(£) и х(£) предполагаются достаточно гладкими).

В пятом параграфе получено общее представление для пространственной производной решения в виде:

и' = Ф1 + Ф2, (3)

1 ^ I с I I С I

где моменты времени — все решения уравнения

< + (5)

При ограниченных х и < функция Ф2 (она возникает при дифференцировании гладких подынтегральных функций в (2)) непрерывна и ограничена. Определяемый ею вклад появляется вследствие наличия дисперсии в системе. При отсутствии деформируемого основания и' = Ф1. В общем случае представление (3)-(5) удобно тем, что все разрывы и сингулярности в-и' определяются функцией Ф].. Оно представляет собой одномерный аналог потенциалов Лиенара-Вихерта в электродинамике. Из (4) видно, что сингулярности, возникающие в и', соответствуют вкладам тех моментов времени, когда скорость нагрузки равна критической. Разрывы и' (изломы струны) возникают при изменении количества решений уравнения (5). Формула (4) часто позволяет провести качественный анализ волновых процессов весьма простыми средствами.

В шестом параграфе продемонстрировано, что, зная решение, соответствующее постоянной сосредоточенной подвижной нагрузке, легко найти решение, соответствующее распределенной нагрузке.

Седьмой параграф посвящен краткому описанию метода стационарной фазы. Приводятся формулировки основных теорем.

Во второй главе рассматриваются простейшие нестационарные задачи о подвижных нагрузках: исследуются волновые процессы в струне под действием внезапно возникшей нагрузки, движущейся далее с постоянной скоростью. Рассматривается идеально упругая система. Эта глава носит подготовительный характер. В ней иллюстрируется возможность применения формулы (2) для исследования переходных процессов в системе, приводящих к установлению стационарного решения. В первом и втором параграфе такой анализ проделан для случаев движения с докритической и закритической скоростью соответственно.

Третий параграф посвящен построению асимптотического решения для больших времен в закригическом случае. Решение этой задачи было получено Л.И. Слепяном другим методом. Настоящий анализ имеет две цели. Во-первых, продемонстрировать на простых примерах методы, которые будут использованы далее при рассмотрении задачи о преодолении критической скорости. Для упрощения интегральных представлений решений используются не традиционные в таких случаях методы теории функций комплексного переменного, а формулы Со-хоцкого из теории обобщенных функций. В задаче о преодолении критической скорости это позволит избежать существенных трудностей, т.к. там поведение подынтегральных функций в комплексной плоскости достаточно сложно. В итоге задача построения асимптотического решения сводится к вычислению асимптотик интегралов в смысле главного значения Коши методом стационарной фазы.

Следует также отметить, что на практике разгоняющаяся и преодолевающая критическую скорость нагрузка не может увеличивать в дальнейшем свою скорость до бесконечности. Весьма разумной будет постановка задачи, где за участком разгона следует участок движения с постоянной закритической скоростью. Так как рассматриваемая задача линейна, то ее решение есть суперпозиция решений двух задач. В первой из них нагрузка появляется в момент £ = 0, движется с постоянным ускорением а и исчезает в момент { = Т. Во второй нагрузка появляется

в момент £ = Т и движется с постоянной закригической скоростью. Поэтому полный качественный анализ задачи о преодолении критической скорости при разгоне невозможен без подробного рассмотрения задачи о движении с постоянной закритической скоростью. Этим и определяется вторая цель третьего параграфа.

В результате показано, что при больших f в задаче присутствуют два хорошо выраженных волновых фронта. Первый из них — фронт под нагрузкой, перемещающийся со скоростью V. Перед ним перемещения струны равны нулю. Второй фронт движется позади первого со скоростью с2/у. Между фронтами решение близко к стационарному синусоидальному ; в окрестности второго фронта происходит спад амплитуды колебаний струны до асимптотически малой величины. Проведен сравнительный анализ результатов, полученных аналитически, с численными результатами, полученными с помощью (2). Полученные результаты уточняют решение, построенное Л.И. Слепяном.

В четвертом параграфе формула (2) применяется для получения точного решения в случае движения нагрузки с критической скоростью. Нестационарное решение имеет разрыв под нагрузкой. Стационарное решение в этом случае не существует.

Четвертая глава посвящена исследованию перехода через критическую скорость в линейной постановке.

В первом параграфе качественно исследуются волновые процессы во время преодоления критической скорости. Показано, что в момент преодоления критической скорости возникает ярко выраженный волновой фронт, перемещающийся вдоль струны со скоростью звука. Позади фронта происходят интенсивные колебания струны (рис. 1). Показано, что сила натяжения струны на участке непосредственно перед нагрузкой, в случае разгона сосредоточенной нагрузки, или на участке за нагрузкой, в случае торможения, обращается в бесконечность в момент преодоления критической скорости. Применение известной формулы для силы волнового сопротивления движению нагрузки дает, что в обоих случаях она обращается в бесконечность и направлена против движения. Таким образом, сила сопротивления способствует переходу

Рис. 1: Переход через критическую скорость. Решение задачи при больших i

через критическую скорость при торможении и делает невозможным такой переход при разгоне, причем результат этот справедлив и при учете демпфирования в деформируемом основании. Показано, что подобные сингулярности отсутствуют в задаче с распределенной нагрузкой.

Второй параграф посвящен построению асимптотического решения для больших времен в окрестности фронта, возникающего под разгоняющейся сосредоточенной нагрузкой в момент преодоления критической скорости. Следует отметить, что невозможность преодоления критической скорости сосредоточенной нагрузкой не обесценивает такого исследования, так как, воспользовавшись полученным решением, легко получить и проанализировать решение для распределенной нагрузки. Рассматривается задача о движении с постоянным ускорением в течение конечного промежутка времени [0,Т]. Для Ь > Т предполагается, что нагрузка движется с постоянной закритической скоростью. Задача, таким образом, разбивается на две, причем вторая уже рассмотрена в третьей главе.

Решение представимо в виде

1 [[+ж ^, ...

и = Ьт —х / / -—г;—(6)

Е-+0 4тг2 7У ^оо ^ - с(и + к) + 21Е& ■

Г(П,си) = с2 Ге^+^Л. (7)

Для построения искомой асимптотики используем интегральное представление (6). Главная трудность здесь — достаточно сложное поведе-

ние функции Р(С1,и>). Основная идея предлагаемого метода состоит в следующем. Известно, что нагрузка, движущаяся с постоянной скоростью V > с, излучает волны, фазовая скорость которых равна скорости нагрузки. Это позволяет предположить, что волновой пакет, излученный в момент преодоления критической скорости, состоит из волн, фазовая скорость которых приблизительно равна с (при этом она больше с: только такие волны могут существовать в волноводе). Таким значениям фазовой скорости на дисперсионной характеристике соответствуют значения частот = са> при и —> оо. Таким образом, у нас есть основания надеяться на то, что интеграл (6) при £ —► оо определяется значениями подынтегральных функций в области, где ±Г2 = ^ал, ш —> оо. Но для таких значений П, и: мы можем легко найти асимптотику со) и использовать ее вместо точного выражения.

Применив формулы Сохоцкого и метод стационарной фазы для оценки полученных интегралов, формулу (6) приводим к виду

(8)

Дальнейшие построения основаны на представлении (8). Опуская подробности, сформулируем результаты. Асимптотика решения позади фронта строилась в системе координат, движущейся со скоростью IV. Получено точное выражение для главного члена асимптотики решения позади фронта. Ввиду своей громоздкости здесь оно не приводится. В малой окрестности позади фронта это выражение хорошо приближается следующей формулой:

Для перемещений на фронте имеем:

с»)

Решение перед фронтом быстро убывает при удалении от фронта.

В третьем параграфе производится сравнение полученных асимптотических решений с результатами численных расчетов. Показано их хорошее соответствие.

Численные результаты, приведенные ниже, получены для следующих значений параметров : с = 1, к — 0.1, а = 0.01, Т = 150. На рисунках, представленных далее, сплошная линия соответствует численному решению, а пунктирная — асимптотическому.

На рис. 2 представлены графики перемещения струны на фронте (аналитическое решение получено по формуле (10)).

Рис. 2: Перемещения струны на фронте

На рис. 3 представлены графики перемещений точек струны поза- • ди фронта (£ = 900).

Рис. 3: Колебания струны позади фронта В четвертом параграфе производится сравнение построенного

решения с решением Ю.Д. Каплунова и Г.Б. Муравского, в работе которых получена асимптотика решения задачи при ускорении нагрузки, стремящемся к нулю. Решение построено для трех фронтов, первый из которых — фронт под нагрузкой. Второй фронт — фронт, рассмотренный в настоящей работе. Главный член асимптотики при а —> О, полученный в работе Каплунова и Муравского, совпадает с выражением (10). Третий фронт распространяется позади второго и соответствует точке с максимальной амплитудой колебаний струны. Однако найденное выражение для положения этого фронта и амплитуды колебаний струны на нем существенно опирается на предположение о равноускоренном движении нагрузки, т.е. движении, при котором скорость не ограничена.

В пятом параграфе подводятся итоги исследования, основанного на линейной модели струны, а также обсуждаются возможные обобщения решения, полученного в втором параграфе. В частности, без принципиальных изменений это решение может быть перенесено на случай торможения нагрузки. Обсуждается также возможность построения решения для случая движения с непостоянным ускорением.

Пятая глава посвящена рассмотрению проблемы на основе полной нелинейной модели струны для случал сосредоточенной нагрузки.

В первом параграфе получены уравнения совместной динамики струны и инерционной нагрузки. Используются следующие обозначения : г = 51, Щг, I) = г + и — радиус-векторы точек струны в отсчет-ной и актуальной конфигурациях соответственно, и(г, Ь) = ш + щ — перемещения точек струны; К = х I ® I + к (Е - 10 ¡) — тензор коэффициентов упругого основания; Б — величина сосредоточенной силы, действующей на струну со стороны нагрузки ; N — внутренняя сила в струне; р — линейная плотность струны в отсчетной конфигурации; Т — сила натяжения невозмущенной струны; с = уГ/р — скорость распространения поперечных волн в струне в линейной модели; — лагранжева координата точки приложения нагрузки, V = I, а = I. Из соображений удобства будем предполагать, что г> > 0. Штрихом обозначим производную по лагранжевой координате з.

Для описания взаимодействия нагрузки и струны формулируется граничное условие на подвижной границе :

[N + я/oR] = -F, (11)

где квадратными скобками обозначена величина скачка соответствующей величины под нагрузкой. Сила сопротивления движению нагрузки равна —F • i. Проекция (11) на i представляет собой, по сути, определяющее уравнение для этой силы.

Во втором параграфе получено определяющее уравнение для силы в струне. Сила N может быть представлена в виде N = AR'. Деформация струны определяется скалярной мерой

£ = • R' - 1) = -+- 2w' + и/2). (12)

Ограничиваясь квадратичным членом в разложении энергии, получим следующее определяющее уравнение :

\ = Т + Ъ£ = T+^(w,2-f 2w'+u/2). (13)

В третьем параграфе выведено энергетическое соотношение для контактного взаимодействия между струной и нагрузкой. Уравнение баланса энергии, записанное для бесконечно малого участка струны с нагрузкой, приводит к следующему соотношению :

где обозначено (£) =f (£- ■¥£+)/2. Здесь Г > 0 — скорость отвода энергии немеханического (теплового) происхождения, обусловленного трением в контакте между струной и нагрузкой. При отсутствии трения получим [5] = 0.

В четвертом параграфе исследуется поведение системы без трения под действием безынерционной нагрузки в нерезонансном случае — случае, когда скорость нагрузки достаточно далека от критической при всех t. В этом случае движение нагрузки с интенсивностью порядка 0{е) приводит к малым поперечным колебаниям порядка того же порядка и продольным колебаниям порядка 0(е2). Показано, что именно

эти продольные колебания являются непосредственной причиной возникновения силы волнового сопротивления движению. Показано, что в нерезонансном случае решения, основанные на линейной модели струны, адекватно описывают волновые процессы.

В пятом параграфе исследуется поведение системы без трения под действием безынерционной нагрузки в резонансном случае — случае, когда скорость нагрузки близка к критическому значению. Существенным отличием нелинейной постановки задачи является то, что скорость распространения поперечных волн на малом участке струны зависит от деформации этого участка. Показано, что ни разгоняющаяся, ни замедляющаяся нагрузка не сможет преодолеть критическую скорость. Нагрузка может преодолеть значение скорости с и разгоняться (замедляться) дальше, однако решение по своему физическому смыслу будет оставаться докритическим (закритическим). Показано, что линейная постановка задачи в резонансном случае неадекватно описывает процессы в системе. Показано, что известная в литературе формула для силы волнового сопротивления в этом случае несправедлива.

В шестом параграфе рассматривается инерционная нагрузка. Показано, что инерционная нагрузка в системе без трения может преодолеть критическую скорость, если в момент преодоления критической скорости ее величина обратится в ноль.

В седьмом параграфе обсуждается влияние трения в контакте на характер резонансных решений. Показано, что при наличии трения возможно преодоление критической скорости сосредоточенной нагрузкой ненулевой интенсивности. Качественно исследуется характер соответствующих решений. Сила сопротивления движению возникает из-за продольных колебаний, обусловленных как нелинейной взаимосвязью поперечных и продольных колебаний, так и трением в контакте.

Основные выводы.

1. Анализ задачи в линейной постановке приводит к следующим результатам. В момент преодоления критической скорости возникает ярко выраженный волновой фронт, перемещающийся вдоль струны со скоростью звука. Для больших времен величина прогиба струны на фронте обратно пропорциональна корню из величины ускорения нагрузки в момент преодоления критической скорости и имеет порядок 0(£-1/'2). Позади фронта имеют место интенсивные колебания струны ; перед фронтом величина прогиба быстро убывает при удалении от фронта. Построенное асимптотическое решение позволяет описать поведение струны в достаточно большой окрестности фронта. Показано, что сила натяжения струны и сила волнового сопротивления движению сосредоточенной нагрузки в момент преодоления критической скорости нагрузкой обращаются в бесконечность. Полученные результаты свидетельствуют о том, что в данном случае для корректного описания динамических процессов необходимо рассмотрение задачи на основе нелинейной модели струны.

2. В нелинейной постановке рассмотрена задача о движении сосредоточенной нагрузки. Существенным отличием такой постановки задачи является учет связи между поперечными и продольными колебаниями струны. Исследована область применимости результатов, полученных исходя из линейной модели. Показано, что в случае движения нагрузки интенсивности 0(е) со скоростью, существенно отличающейся от критической, в струне возбуждаются малые поперечные колебания того же порядка и продольные колебания порядка 0(е2), которые и являются причиной волнового сопротивления движению нагрузки. В этом случае линейная модель адекватно описывает поперечные колебания. При приближении скорости нагрузки к критическому значению решение имеет существенно нелинейный характер.

3. Линейная постановка задачи приводит к невозможности преодоления критической скорости сосредоточенной нагрузкой даже при учете демпфирования в деформируемом основании. Распределенная нагрузка может преодолеть критическую скорость. В случае сосредоточенной нагрузки для корректного описания волновых процессов принципиально важно учесть трение в контакте между струной и нагрузкой, что возможно лишь при нелинейном подходе. При наличии трения переход к решению закритического типа возможен. Сосредоточенная нагрузка также сможет преодолеть критическую скорость, если ее величина в момент преодоления станет равной нулю: это может произойти из-за инерционности нагрузки. В противном случае переход к решению закритического типа невозможен.

4. Получен общий вид определяющего уравнения для силы сопротивления движению сосредоточенной нагрузки. Сила сопротивления движению появляется благодаря продольным колебаниям, возникающим, во-первых, вследствие нелинейной взаимосвязи продольных и поперечных колебаний струны, и, во-вторых, из-за трения в контакте между струной и нагрузкой.

Автору приятно выразить искреннюю признательность своим научным руководителям проф. Д.А. йндейцеву и проф. П.А. Жилину за постановку задачи, обсуждение результатов и возникавших проблем при работе над диссертацией.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Гаврилов С.Н. Струна на упругом основании под нестационарным воздействием подвижной нагрузки / Труды ХХУ-ХХУ1 летних школ "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем", под ред. Индейцева Д.А., т. 2. — СПб, ИПМаш РАН, 1998. — с. 180-197.

[2j Gavrilov S. Non-stationary problems in dynamics of systems with moving loads // ZAMM Supplement 1 for Proceedings of GAMM-97. — 1998. — p. 395-396.

[3] Gavrilov S. Non-stationary problems in dynamics of a string on an elastic foundation subjected to a moving load // Journal of Sound and Vibration, vol. 222, 1999 (в печати).

[4] Gavrilov S. Non-stationary problems in dynamics of a string on an elastic foundation under an action of moving load passing through the sound speed // Proceedings of GAMM-98 (в печати).

[5] Гаврилов C.H. О преодолении критической скорости подвижной нагрузкой в упругом волноводе // Журнал технической физики (в печати).

[6] Гаврилов С.Н. О переходе подвижной нагрузки на струне на упругом основании через критическую скорость // Нелинейная акустика твердого тела. Сборник трудов VIII сессии Российского акустического общества, под ред. Ерофеева В.И. — Нижний Новгород, Издательство общества "Интелсервис", 1998. — с. 48-51.

Подписано в печать 02.03.1999 г. Тираж 100 экз. 199178, СПб, Большой пр. В.О., 61, ИПМаш РАН

Текст научной работы диссертации и автореферата по механике, кандидата физико-математических наук, Гаврилов, Сергей Николаевич, Санкт-Петербург

О*? /

* /

I."./ I . г.-'' *

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОВЕДЕНИЯ

На правах рукописи

Гаврилов Сергей Николаевич

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ПРОЦЕССЫ В УПРУГИХ ВОЛНОВОДАХ ПРИ ПРЕОДОЛЕНИИ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ ПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКОЙ

(01.02.04 — механика деформируемого твердого тела)

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители:

доктор физико-математических наук Д. А. Индейцев доктор физико-математических наук П. А. Жилин

Санкт-Петербург — 1999

Оглавление

Введение 5

1 Библиографический обзор 9

2 Общие соотношения 13

2.1 Постановка задачи...............................13

2.2 Фундаментальное решение....................................15

2.3 Интегральное представление для перемещений............16

2.4 Непрерывность решения ......................................17

2.5 Представление для пространственной производной перемещений ..........................................................18

2.6 Распределенная нагрузка......................................21

2.7 О методе стационарной фазы..................................22

3 Движение с постоянной скоростью 26

3.1 Случай и < с............•............................26

3.2 Случай у > с....................................................29

3.3 Случай V > с. Асимптотика нестационарного решения . . 30

3.3.1 Интегральное представление для перемещений . . 30

3.3.2 Асимптотическая оценка перемещений при Ь —> оо 34

3.3.3 Сравнение асимптотического и численного решений 40

3.4 Случай V — с....................................................41

4 Переход через критическую скорость 43

4.1 Волновые процессы во время перехода через критическую скорость............................................................43

4.1.1 Случай разгона..........................................43

4.1.2 Случай торможения....................................46

4.1.3 Распределенная нагрузка.....•....................47

4.2 Асимптотика решения для больших времен................49

4.2.1 Интегральное представление решения для больших времен....................................................50

4.2.2 Асимптотика решения позади фронта................52

4.2.3 Асимптотика решения перед фронтом ..............56

4.2.4 Решение комбинированной задачи.............59

4.3 Сравнение аналитических и численных результатов ... 60

4.4 О решении Ю.Д. Каплунова и Г.Б. Муравского............63

4.5 Заключение.....................................66

5 Нелинейный подход 68

5.1 Уравнения совместной динамики струны и нагрузки ... 68

5.2 Определяющее уравнение для силы в струне................72

5.3 Определяющее уравнение для силы сопротивления движению ..............................................................73

5.4 Система без трения (нерезонансный случай).................75

5.5 Система без трения (резонансный случай)..................79

5.5.1 Переход через критическую скорость при разгоне . 79

5.5.2 Переход через критическую скорость при торможении ........................................................82

5.6 Инерционная нагрузка..........................................82

5.7 Система с трением..............................................83

5.8 Заключение......................................................86

Выводы 88

Литература 90

А О методике численных расчетов 99

В Обоснование корректности формулы (4.17) 101

Введение

Одной из интересных и важных проблем, принципиально не допускающих рассмотрения с подобных позиций, является задача о преодолении подвижной нагрузкой критической скорости волновода. Эта задача может иметь практические приложения, связанные, например, с высокоскоростным железнодорожным транспортом, где достижение одной из критических скоростей — скорости поверхностных волн Рэлея в грунте, на котором лежит железнодорожный путь, вполне возможно при сегодняшнем уровне развития техники [64]. Однако задачи, связанные с реальными инженерными конструкциями, чрезвычайно сложны и громоздки. Для того, чтобы исследовать их, необходимо сначала рассмотреть простые модельные задачи, чтобы отработать на них приемы преодоления математических трудностей. Поэтому в работе рассматривается простейшая модель упругого волновода — струна на упругом основании.

Цели работы:

Общая методика работы. Сформулированные задачи приводят к рассмотрению задачи Коши для уравнения в частных производных гиперболического типа. При исследовании линейных задач рассматривается обобщенная постановка задачи Коши; подвижная нагрузка моделируется дельта-функцией Дирака. Решения строятся методом интегральных преобразований. Для вычисления асимптотик решений для больших времен используется метод стационарной фазы. Проводится сравнение построенных асимптотических решений с численными результатами. При исследовании нелинейных задач формулируется задача Коши с граничными условиями на подвижной границе.

Результаты, выносимые на защиту.

• Задача о преодолении критической скорости сосредоточенной нагрузкой, движущейся по струне на упругом основании, исследо-

вана в линейной постановке. В момент преодоления критической скорости возникает сильно выраженный волновой фронт, перемещающийся вдоль струны со скоростью звука. Для больших времен. построено асимптотическое решение задачи в окрестности фронта. Качественно проанализированы волновые процессы, сопровождающие переход через критическую скорость. Сила натяжения струны и сила волнового сопротивления движению сосредоточенной нагрузки в момент преодоления критической скорости обращаются в бесконечность.

• Причинами возникновения силы сопротивления движению являются продольные колебания струны, обусловленные как нелинейной взаимосвязью поперечных и продольных колебаний струны, так и трением в контакте между струной и нагрузкой. Получен общий вид определяющего уравнения для силы сопротивления движению. Для адекватного описания волновых процессов и силы сопротивления при преодолении критической скорости существен учет трения в контакте и инерционности нагрузки. Показана возможность преодоления критической скорости сосредоточенной нагрузкой при наличии трения.

Научная новизна и теоретическая ценность. Получены новые асимптотические решения задачи о преодолении критической скорости. Проанализированы нестационарные процессы при переходе через критическую скорость в волноводе с нелинейными упругими характеристиками. Получен общий вид определяющего уравнения для силы сопроти-

вления движению сосредоточенной нагрузки.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по акустике при Восточно-европейской ассоциации акустиков в Санкт-Петербургском Морском Техническом Университете под руководством проф. Д.П. Коузова (1997); на международных конференциях по прикладной математике и механике САММ-97 (Регенсбург, Германия, 1997) и САММ-98 (Бремен, Германия, 1998); на XXV и XXVI Летних школах-семинарах "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (Санкт-Петербург, 1997-1998); на VIII сессии Российского акустического общества (Нижний Новгород, 1998).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 6 работах [27, 28, 69, 26, 68, 70].

Автору приятно выразить искреннюю признательность своим научным руководителям проф. Д.А. Индейцеву и проф. П.А. Жилину за постановку задачи, обсуждение результатов и возникавших проблем при работе над диссертацией.

Глава 1

Библиографический обзор

Задачи динамики упругих систем с подвижными нагрузками, как правило, рассматривают в стационарных постановках, полагая, что нагрузка движется с постоянной скоростью, и разыскивая стационарное установившееся решение. Имеется значительное число исследований, посвященных стационарным задачам с различными типами нагрузок и упругих волноводов, вдоль которых движется нагрузка. Обширная библиография, посвященная задачам такого типа, содержится в работах [66, 58, 29].

Одной из интересных и важных проблем, принципиально не допускающих рассмотрения в стационарной постановке, является задача о преодолении подвижной нагрузкой критической скорости волновода. Эта задача может иметь практические приложения, связанные, например, с высокоскоростным железнодорожным транспортом, где достижение одной из критических скоростей — скорости поверхностных волн Рэлея в грунте, на котором лежит железнодорожный путь, вполне возможно при сегодняшнем уровне развития техники [64].

Л.И. Слепян [58], В.Л. Андрианов и C.B. Крысов [2] рассматривали задачу о нестационарных волновых процессах, вызванных внезапно возникающей подвижной нагрузкой, движущейся далее с постоянной скоро-

стью по струне на упругом основании. В работе [2] подробно рассмотрен переходный процесс в случае движения нагрузки с докритической скоростью по струне на упругом основании. В монографии Л.И. Слепяна [58] анализируется вопрос об условиях, при которых нестационарный волновой процесс, вызванный такой нагрузкой, переходит в процесс, описываемый решением стационарной задачи. Подробно рассматривается задача о внезапно появившейся нагрузке, движущейся далее с постоянной закритической скоростью по струне.

Среди работ, посвященных анализу нестационарных волновых процессов, вызванных движущимися с ускорением нагрузками, преобладают те, в которых рассматриваются упругие структуры конечных размеров [78, 67, 84, 40]. В этом случае решение строится с помощью рядов, что значительно упрощает задачу с математической точки зрения. Однако качественный анализ специфических особенностей волнового процесса, вызванного такой нагрузкой, в подобной постановке затруднителен из-за переотражения волн от границ объекта, по которому движется нагрузка. С другой стороны, подобная постановка позволяет получить результаты для более сложных типов нагрузок. Например, в работе [84] рассмотрена случайная по величине нагрузка, движущаяся с ускорением по балке конечных размеров.

В работах [81, 82] рассмотрен переход через критическую скорость нагрузкой, движущейся с постоянной скоростью по струне на упругом основании с неоднородными (кусочно-постоянными или гладкими, соответственно) характеристиками. Преодоление критической скорости в этом случае обусловлено въездом нагрузки на участок, где скорость поперечных волн меньше, чем на участке, по которому нагрузка двигалась до того.

Ю.Д. Каплунов и Г.Б. Муравский рассматривали переход через критическую скорость нагрузкой, движущейся с постоянным ускоре-

нием по струне [37] и по балке Тимошенко [38] соответственно. В результате были получены асимптотики решения при ускорении нагрузки, стремящемся к нулю, т.е., по существу, для квазистатического перехода через критическую скорость. Построенные решения существенным образом опираются на предположение о равноускоренном характере движения. Решение Ю.Д. Каплунова и Г.Б. Муравского для случая струны подробно анализируется в параграфе 4.4.

Вопросы, связанные с давлением волн на тела, препятствующие их свободному распространению, и с волновым сопротивлением движению обсуждались в литературе достаточно давно. Исторический обзор по этой теме имеется в работе [18]. Данный вопрос обсуждался JI. Эйлером, Д. Максвеллом (для электромагнитных волн) [45], Д. Рэлеем [77], И. Лармором [71], Дж.Г. Пойнтингом [76], П.Н. Лебедевым [43], Е.Л. Николаи [51, 73]. В работе Е.Л. Николаи [51] (1912 г.) рассмотрена задача об определении силы сопротивления движению "бусинки", свободно скользящей по струне. Николаи показал, что при движении точечного тела вдоль струны (со скоростью, не превышающей критическую) на тело действует сила сопротивления движению порядка 0(е2) (при поперечных перемещениях тела порядка О(е)), и получил'формулу для этой силы. Возникновение такой силы Николаи связывал с возникающими в струне продольными колебаниями второго порядка.

В дальнейшем эта тема нашла отражение в многочисленных работах [18, 1, 12, 10, 14, 19, 41, 20, 13, 11, 36, 59, 60, 16, 21, 5, 22, 44, 6, 15] нижегородской школы механиков (А.И. Весницкий, Е.Е. Лисенко-ва, Г.А. Уткин, C.B. Крысов, В.Л. Андрианов, А.В. Метрикин и др.). А.И. Весницким и его коллегами был предложен общий подход к постановке задачи исследования совместной динамики упругой направляющей и движущегося по ней объекта, основанный на вариационном принципе Гамильтона. Подобный подход позволяет [18], в частности, получить

формулу, аналогичную полученной Николаи. Однако существенной особенностью такого подхода является тот факт, что получить эту формулу удается без учета продольных смещений точек струны: они полагаются равными нулю. Сравнительный анализ подходов Е.Л. Николаи и А.И. Весницкого дается в главе 5 (параграф 5.4), где эта задача рассматривается с позиций подхода, основанного на использовании полной нелинейной модели струны.

Следует отметить, что выбор струны на упругом основании в качестве модели упругого волновода, вдоль которого движется нагрузка, сделанный во многих процитированных выше работах, неслучаен. Эта простейшая модель позволяет отработать приемы преодоления математических трудностей при решении нестационарных задач и получить полное качественное описание волнового процесса. Отработанные на модельных задачах приемы позволят в дальнейшем- рассматривать более сложные задачи, связанные с реальными инженерными конструкциями, такими, как, например, железнодорожный путь. Именно поэтому в диссертационной работе рассматривается струна на упругом основании.

Глава 2

Общие соотношения

2.1 Постановка задачи

Рассматривается линейная модель струны на деформируемом (упруго-вязком) основании (рис. 2.1). Струна находится под действием безынерционной сосредоточенной подвижной нагрузки, моделируемой дельта-функцией Дирака.

Введем обозначения:

и{х^) — перемещение точки струны с координатой х в момент времени £;

Т — сила натяжения невозмущенной струны ; р — погонная плотность струны ; с = у/Т/р — скорость звука (критическая скорость);

к > 0 и 7 > 0 — приведенные коэффициенты упругости и вязкости деформируемого основания соответственно ; l(t) — координата нагрузки ; x(t) — приведенная интенсивность нагрузки ;

v(t) = l(t), a(t) = l(t) —скорость и ускорение нагрузки соответственно. Уравнение динамики струны имеет следующий вид :

и" 2jù -ки = x(t) 6(х —l(t)) (2.1)

Относительно нагрузки предполагаем, что она внезапно возникает при t = 0, причем до этого струна находится в состоянии покоя. Поэтому положим, что х(£) = 0 при t < 0. Соответственно, для уравнения (2.1) ставится обобщенная задача Коши [24] :

u(x,t) |£<0 = 0, ù(x,t)\t<Q = 0. (2.2)

Замечание 1. В диссертации для записи выражений, в которых присутствуют обобщенные функции, будет использоваться "обычная" классическая форма, которая бы использовалась, если бы эти функции были гладкими. Это позволяет формулировать необходимые соотношения более компактно и выразительно, но заставляет внимательно следить за тем, каков точный математический смысл записанного. Замечание 2. Вместо того чтобы рассматривать уравнение (2.1) с ненулевыми начальными условиями

u(x,t)\t=Q = u0(x), ù(x,t)\t=Q = u1(x), ■ (2.3)

можно рассмотреть обобщенную задачу Коши для уравнения

и" 2~fù — ки — x(t) ö{x - l(t)) + щ(х) ô'(t) + ui(x) 6(t) (2.4)

с начальными условиями (2.2). Все эффекты, связанные с преодолением критической скорости подвижной нагрузкой, обусловлены первым слагаемым в правой части уравнения (2.4). Влияние начальных условий может может быть учтено отдельно и поэтому не рассматривается.

Замечание 3. В дальнейшем при исследовании конкретных задач чаще всего