Нестационарные режимы тепломассообмена в пористой среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ии^О 1 О1

Марышев Борис Сергеевич

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь-2010

1 8 ипя 7(110

004613442

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте механики сплошных сред Уральского отделения РАН

Научный руководитель:

доктор физ.-мат. наук, профессор Любимова Татьяна Петровна

Защита состоится «9» декабря 2010 г. в часов на заседании диссертационного совета Д 004.012.01 при ИМСС УрО РАН по адресу: 614013, г. Пермь, ул. Ак. Королева, 1, тел: (342) 2378461; факс: (342) 2378487; сайт: www.icmin.ru

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института механики сплошных сред УрО РАН

Автореферат разослан «1 » ноября 2010 г.

Ученый секретарь совета, И.К. Березин

доктор технических наук т

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Пшеничников Александр Федорович (Учреждение Российской академии наук Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН г. Пермь)

доктор физ.-мат. наук, доцент Смородин Борис Леонидович (ГОУВПО «Пермский государственный университет»)

Ведущая организация:

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина», г. Екатеринбург.

Актуальность работы

Тепловая и концентрационная конвекция в пористой среде представляют интерес как с точки зрения прикладных задач фильтрации различного рода жидкостей и смесей (например, течение грунтовых вод, охлаждение реакторов, обогащение почв, распространение загрязнений и.т.д.), так и с точки зрения математической физики (свойства косимметрии).

Использование вибраций позволяет управлять режимами конвекции в пористой среде, что имеет разнообразные приложения (например, вибрационный контроль процессов тепло- и массопереноса). Вместе с тем воздействие вибраций на колебательные режимы конвекции в замкнутых полостях изучено недостаточно.

Наличие просачивания жидкости через неоднородно нагретую пористую среду приводит к возникновению колебательных режимов конвекции. Воздействие вибраций позволяет получать различные устойчивые периодические режимы, изменяя вибрационные параметр. Это в свою очередь позволяет осуществить переход от трехмерной динамики (которая реализуется в случае достаточно малых амплитуд вибраций) к двумерной.

Диффузия в пористой среде имеет множество приложений (почвоведение, планирование систем ирригации, движение грунтовых вод, экология почв, фильтрационные системы, производство пористых материалов и.т.д.). При этом стандартная модель диффузии, основанная на законе Фика, во многих важных ситуациях не соответствует экспериментальным данным. В то же время, теоретические работы, описывающие диффузию в замкнутых полостях пористой среды, практически отсутствуют.

Концентрационная конвекция в пористой среде при учете прилипания частиц примеси к скелету ранее не рассматривалась. Однако она принципиально важна при моделировании распространения примеси в почвах и проектировании фильтрационных установок, поскольку конвективный механизм неустойчивости изменяет режим фильтрации в системе.

Цели работы

1. Изучение совместного влияния слабого просачивания и модуляции силы тяжести на устойчивость и нелинейные режимы конвекции в горизонтальном пористом цилиндре.

2. Разработка и апробация методов решения задач аномальной диффузии в пористой среде с учетом адсорбции примеси.

3. Исследование неустойчивости Релея-Тейлора при распространении плоского диффузионного фронта тяжелой примеси в глубь полубесконечного массива пористой среды с учетом адсорбции примеси скелетом.

4. Исследование устойчивости однородного течения в вертикальном фильтре с учетом прилипания частиц примеси к твердой матрице фильтрующего элемента.

5. Выявление принципиальных отличий результатов, получаемых при использовании двух типов моделей аномальной диффузии.

Научная новизна результатов

1. Получена конечномерная динамическая система, описывающая надкритические режимы двумерной конвекции в бесконечном горизонтальном пористом цилиндре, насыщенном жидкостью, при наличии модуляции силы тяжести и однородного горизонтального просачивания. Найдены условия существования устойчивых периодических режимов и условие, при котором существует однопараметрическое семейство таких режимов.

2. Исследована устойчивость режима однородного горизонтального просачивания по отношению к двух- и трехмерным возмущениям, найдены условия параметрического резонанса.

3. В рамках фрактальной mobile immobile media (MIM) модели аномальной диффузии решен ряд одномерных задач фильтрационного переноса примеси с условиями типа Неймана и Дирихле.

4. Разработана консервативная конечно-разностная схема для решения задач аномальной диффузии в рамках MIM модели.

5. Получено численное решение ряда задач аномальной диффузии в рамках MIM модели для локализованных начальных распределений. Проведено сопоставление результатов с численным

решением, полученным с помощью метода молекулярной динамики.

6. Разработана и апробирована численная схема решения задач аномальной диффузии в рамках двухфазной модели с кинетикой второго порядка.

7. С учетом эффектов адсорбции решена задача об устойчивости диффузионного фронта, распространяющегося в глубь массива пористой среды.

В. В рамках MIM и двухфазной моделей аномальной диффузии исследована устойчивость однородного течения в вертикальном фильтре с учетом эффектов адсорбции.

Автором представляются к защите:

1. Результаты исследования устойчивости однородного горизонтального просачивания жидкости через бесконечный горизонтальный цилиндр пористой среды при наличии модуляции силы тяжести. Условия существования устойчивых двумерных периодических режимов и условия перехода от трехмерной конвекции к двумерной.

2. Полная схема разделения переменных для задач Дирихле и Неймана для уравнений фрактальной MIM модели.

3. Метод дискретизации потока в рамках фрактальной MIM модели и способ построения с помощью него консервативных схем.

4. Численная схема решения задач аномальной диффузии в рамках двухфазной модели с кинетикой второго порядка.

5. Результаты исследования устойчивости диффузионного фронта распространяющегося в глубь массива пористой среды с учетом эффектов сорбции.

6. Результаты исследования устойчивости однородного течения в вертикальном фильтре с учетом эффектов адсорбции в рамках MIM и двухфазной моделей аномальной диффузии. Условия существования колебательной неустойчивости.

Достоверность результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается согласием результатов, полученных разными методами и с использованием разных подходов; а также их полным

соответствием с результатами других авторов в известных предельных случаях.

Публикации

Материалы диссертации изложены в одиннадцати работах [1-11]. Личный вклад автора

При выполнении работ [1-4] соискатель участвовал в проведении расчетов и обсуждении результатов. В работах [5-8] соискателю принадлежит идея матричного представления временного оператора потока, на основе которого построена консервативная численная схема, им осуществлена часть численных и аналитических расчетов, он принимал участие в обсуждении результатов. В работах [9-11] автору принадлежат постановка задач, проведение численных расчетов, участие в обсуждении результатов.

Апробация работы

Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались на следующих научных семинарах и конференциях:

• Семинар отдела моделирования агро-гидросистем института агрономических исследований, Авиньон (EMMАН INRA Avignon), 2008;

• Пермский городской гидродинамический семинар им. Г.З.Гершуни и Е.М.Жуховицкого, Пермь, 2010;

• Отчетная научная конференция студентов и аспирантов ПГУ, Пермь (2005, 2006);

» Конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Пермь (2005, 2006, 2008, 2009);

• Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая, шестнадцатая), Пермь (2007, 2009);

• VII Международная конференция «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», Новосибирск, 2010;

• Международная конференция «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» НеЗаТеГиУс-2008, Москва;

• Конференция молодых ученых «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики», XV Научная школа «Нелинейные волны - 2010», Нижний Новгород.

Практическая значимость

Полученные результаты могут быть использованы при создании методов изучения физических параметров и свойств жидкости. Результаты первой главы диссертации могут быть использованы при разработке фильтрующих систем и изучении течения грунтовых вод. Методы, разработанные во второй главе, позволяют решать широкий круг задач, связанных с субдиффузией, вызванной адсорбцией примеси, таких как распространение загрязнений в почве, обогащение почв, разработка различных месторождений, производство пористых материалов, разработка фильтрующих элементов и фильтрующих систем очистки. Результаты, полученные в третьей главе, могут быть использованы при разработке фильтров и фильтрующих систем, а также для прогнозирования распространения тяжелых примесей в почвах.

Содержание и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Общий объем диссертации составляет 216 страниц, включая 89 рисунков и одну таблицу. Список литературы содержит 177 наименований.

Содержание работы

Введение. Во введении представлены обзор литературы, содержание и основные цели работы.

В первой главе диссертации рассматривается задача о конвекции однокомпонентной жидкости в бесконечном горизонтальном цилиндре прямоугольного сечения, заполненном пористой средой, при подогреве снизу и модуляции силы тяжести. Границы цилиндра считаются абсолютно теплопроводными, через боковые стенки осуществляется однородное горизонтальное просачивание жидкости.

Проводится линейный анализ устойчивости режима однородного горизонтального просачивания по отношению к пространственным возмущениям, слабонелинейный анализ двумерных слабонадкритических режимов и исследуются надкритические режимы конвекции.

Для случая, когда модуляция отсутствует, обнаружены два типа неустойчивости монотонный и колебательный. Колебательная

неустойчивость реализуется для длинноволновых возмущений, монотонная - в случае конечных длин волн.

В длинноволновом приближении для малых амплитуд модуляции тяжести и скоростей просачивания исследуется параметрический резонанс. Найдены границы неустойчивости по отношению к синхронным и субгармоническим возмущениям.

Исследование неустойчивости по отношению к возмущениям с конечной длиной волны показало: при малых амплитудах модуляции наиболее опасными являются пространственные синхронные возмущения с длиной волны порядка нескольких характерных линейных размеров сечения цилиндра.

При больших амплитудах модуляции потеря устойчивости при любых значениях волнового числа происходит синхронным образом, причем наиболее опасными являются плоские возмущения.

В коротких областях при любых значениях параметров наиболее опасными являются плоские возмущения.

Для плоского случая проводится также слабонелинейный анализ. Получена неавтономная двумерная нелинейная система, описывающая динамику конвективного течения.

а 6 в г

Рис. 1 Характерный вид фазовых портретов двумерной нелинейной системы, описывающей динамику' конвективного течения

В случае без модуляции и просачивания (Рис. 1а) в системе наблюдается однопараметрическое семейство стационарных решений1 (каждая фазовая траектория приходит в стационарную точку, принадлежащую окружности). Просачивание приводит к исчезновению стационарных режимов, в фазовом пространстве появляется притягивающий цикл (Рис. 1б)г. В присутствии

1 Любимов Д.В., ПМТФ. - 1975.-№ 2,- С. 131-137..

2 Lyubimov D.V.. Properties of Thermal Convection in Porous Medium. Instabilities in Multiphase Flows Plenum Publishing Co., London, 1993.

просачивания и модуляции тяжести система демонстрирует динамику на торе (Рис.1 в). Возникновение тора в расширенном фазовом пространстве обусловлено совокупностью двух причин: наличием собственных колебаний, возникающих при просачивании жидкости, и наличием модуляции. Существование тора обеспечивает условия для синхронизации собственных колебаний с внешней модуляцией (Рис. 1г, случай замкнутой фазовой траектории). Синхронизация исследована с помощью аппарата чисел вращения, получены области синхронизации в пространстве параметров. Найдено, что при отношении высоты сечения к

ширине, кратном V2/4, в системе наступает вырождение. В этом случае сосуществуют различные устойчивые периодические режимы, образующие однопараметрическое семейство. Реализация того или иного режима происходит в зависимости от начальных условий (на Рис. 1г показана пара периодических режимов, принадлежащих семейству).

Во второй главе рассматриваются основные методы решения задач диффузии в пористой среде при учете прилипания примеси к скелету. Анализируются две модели: фрактальная М1М модель3 и двухфазная модель с кинетикой второго порядка для описания обмена примесью между фазами4.

Диффузия в рамках MIM модели описывается следующим уравнением:

+ = — + (1) dt ЭГ

где с - концентрация примеси, V - скорость фильтрации, D -коэффициент диффузии, Л - параметр мобильности, dpc/dtp -дробная производная типа Капуто5 порядка 0 < ß < 1.

3 Schumer R., Benson D. A., Meerschaert M. M. and Bauemer B„ Water Resour. Res. — 2003- V.39, №10.1296 - pp. 1-13

4 Selim. H. M,, and M. C. Amacher., Reactivity and Transport of Heavy Metals in Soils. Soils -CRC/lewis. Boca Raton, FL, 1997.-240 p.

'Mainardi F., Luchko Y„ Pagnini G , FCAA - 2001. - V. 4, №. 2. - P. 153-192

Уравнения двухфазной модели выглядят следующим образом:

Э с

— = DAc-V-Vc + aq-bc(q0-q)

д (2) = bc(q0-q)-aq

где с - концентрация примеси в мобильной фазе (движущаяся часть примеси), q - концентрация примеси в немобильной фазе (прилипшая часть примеси), а — коэффициент десорбции, Ъ -коэффициент адсорбции, q0 - максимальная концентрация примеси в немобильной фазе (концентрация при которой наступает насыщение твердого скелета).

В первом параграфе второй главы обсуждаются главные аспекты построения MIM модели и принципы, на основе которых получены уравнения. Построена схема разделения переменных для уравнений MIM модели для задач Дирихле, Неймана и смешанного типа.

Предложен способ дискретизации потока примеси на пространственно-временной сетке, что позволило сконструировать консервативную схему решения уравнений MIM модели.

На примере задачи об одномерной фильтрации примеси произведено сравнение результатов, получающихся с помощью разных методов и подходов. Так, для задачи Дирихле и задачи со смешанными граничными условиями получено аналитическое решение и произведено его сравнение с численными результатами, получающимися по консервативной схеме. Показано, что результаты совпадают с точностью до одного процента.

Для задачи с локализованными начальными распределениями, моделирующей эксперимент, проведены расчеты с помощью консервативной конечно-разностной схемы и метода молекулярной динамики. Сопоставление результатов показало их согласие с точностью до нескольких процентов. При этом, оба метода адекватно описывают основные эффекты, наблюдающиеся в экспериментах — кривые выхода примеси (зависимость концентрации на выходе расчетной области от времени), полученные численно, качественно совпадают с экспериментальными.

Во втором параграфе рассмотрены принципы построения и решения уравнений двухфазной модели диффузии. На основе эмпирических рассуждений выведены уравнения, приведен линейный вариант модели, применимый при значениях концентрации, много меньших концентрации насыщения твердого скелета.

Получено аналитическое решение линеаризованной задачи и разработана новая численная схема решения уравнений в рамках двухфазной модели. На примере решения одномерной задачи Дирихле в линейном приближении произведено сравнение аналитических и численных результатов, найдено их хорошее соответствие.

Численно решен ряд тестовых одномерных задач. Результаты вычислений подтвердили способность двухфазной модели описывать экспериментально обнаруженные эффекты памяти и замедления диффузии при учете прилипания.

В третьем параграфе второй главы произведено сопоставление основных результатов, получаемых с помощью обеих моделей. Поскольку в рамках моделей выделяются разные механизмы, влияющие на диффузию примеси, то результаты различны. Однако удалось показать, что для времен, меньших диффузионного, различия не столь существенны и проявляются в основном в «хвостах» (асимптотика больших времен) временных зависимостей, что позволяет в некоторых ситуациях использовать обе модели как вполне равноправные.

Подготовлена методологическая база для решения сложных конвективных задач, которые рассмотрены в третьей главе.

Третья глава. В первом параграфе третьей главы выведены уравнения концентрационной конвекции в пористой среде с учетом прилипания примеси к скелету. Показано, что для любого стационарного решения или нейтральных монотонных возмущений стационарного режима уравнения совпадают с классическими уравнениями, не учитывающими прилипание примеси.

Во втором параграфе исследуется устойчивость плоского диффузионного фронта тяжелой примеси, распространяющегося в глубь полубесконечного массива пористой среды. Рассматривается двумерная Релей-Тейлоровская неустойчивость плоского фронта по отношению к периодическим вдоль фронта возмущениям. На

верхней границе полубесконечного массива насыщенной пористой среды задается концентрация тяжелой примеси. В отсутствие течения жидкости механизм распространения примеси в глубь массива диффузионный. Поскольку примесь тяжелая, формируется неустойчивая стратификация в виде слоя тяжелой жидкости, находящейся над легкой, при достижении этим слоем критической толщины начинает развиваться неустойчивость Релея-Тейлора, вызванная тяжестью.

Неустойчивость Релея-Тейлора развивается существенно быстрее, чем происходит формирование неустойчивой стратификации (численные эксперименты показывают, что характерные времена отличаются на два порядка), поэтому для анализа задачи применяется метод замороженных коэффициентов. В данном случае «замораживается» профиль концентрации, то есть основное решение - решение концентрационной задачи в отсутствие течения. Решается задача об устойчивости такого «стационарного» состояния.

Получены нейтральные кривые на плоскости волновое число возмущений - критическое число Релея-Дарси, определяющее время начала развития неустойчивости Релея-Тейлора. Найдены характерные времена формирования неустойчивой стратификации и оценки толщины слоя, необходимой для развития неустойчивости. Выяснено, что наиболее быстро развиваются возмущения, соответствующие конечным значениям волнового числа, более того, характерный продольный масштаб возмущений всегда остается порядка толщины слоя проникновения примеси.

Учет аномальности диффузии приводит к увеличению времени формирования неустойчивой стратификации по сравнению с нормальной диффузией. Вид нейтральной кривой на плоскости число Релея-Дарси - волновое число качественно не меняется. Этот результат справедлив для обеих моделей, при должном выборе параметров моделей нейтральные кривые совпадают, что свидетельствует о возможности применения для решения такой задачи любой модели. Это обусловлено, прежде всего, временем формирования неустойчивой стратификации, характерные значения которого, оказываются порядка диффузионного времени, а наиболее существенное отличие моделей друг от друга проявляется на временах существенно больших диффузионного

В третьем параграфе исследуется линейная задача устойчивости однородного вертикального просачивания жидкости, обогащенной тяжелой примесью, через замкнутую область заполненную пористой средой. Рассматривается устойчивость режима однородного вертикального просачивания относительно двумерных возмущений в квадратной области, на верхней и нижней границах которой задаются концентрации примеси (примесь тяжелая, ее концентрация на верхней границе больше), боковые границы считаются непроницаемыми для примеси.

Выяснено, что при учете прилипания в спектре обнаруживаются колебательные возмущения, которые отсутствуют в случае классической модели диффузии. Численно получены

нейтральные кривые в пространстве параметров, а также зависимости частоты нейтральных возмущений от параметров моделей.

Результаты, полученные в рамках двух моделей, оказались различны. В рамках двухфазной модели наблюдается понижение устойчивости по сравнению с классическим случаем. Колебательные возмущения существуют лишь в некоторой области параметров, характеризующих интенсивность сорбции (Рис. 2). В рамках М1М модели в зависимости от значений параметров может наблюдаться как понижение, так и повышение устойчивости по сравнению с классическим случаем. Колебательные возмущения существуют при любых отклонениях параметров от случая классической диффузии, то есть для Я > О при ße (ОД).

В заключении представлены основные результаты и выводы диссертации.

Основные результаты

1. Получена конечномерная динамическая система, описывающая надкритические режимы двумерной конвекции в бесконечном горизонтальном пористом цилиндре, насыщенном жидкостью, при наличии модуляции силы тяжести и однородного горизонтального просачивания. Найдены условия существования устойчивых

Рис.2 Характерный вид области существования колебательных возмущений

периодических режимов и условие, при котором существует однопараметрическое семейство таких режимов.

2. Исследована устойчивость режима однородного горизонтального просачивания по отношению к двух- и трехмерным возмущениям, найдены условия параметрического резонанса. Получены условия перехода от режима трехмерной конвекции к двумерной.

3. Путем обобщения методов решения уравнений с дробной производной получена полная схема разделения переменных для задач Дирихле и Неймана для уравнений фрактальной MIM модели, решен ряд одномерных задач. Разработана консервативная конечно-разностная схема для решения задач аномальной диффузии в рамках MIM модели.

4. Получено численное решение ряда задач аномальной диффузии в рамках MIM модели для локализованных начальных распределений. Проведено сопоставление результатов с численным решением, полученным с помощью метода молекулярной динамики.

5. Разработана и апробирована численная схема решения задач аномальной диффузии в рамках двухфазной модели с кинетикой второго порядка.

6. Получены уравнения концентрационной конвекции в приближении Дарси-Буссинеска для произвольной модели, учитывающей прилипание. Выполнен анализ устойчивости диффузионного фронта распространяющегося в глубь массива пористой среды с учетом эффектов адсорбции. Показано, что результаты применения двух моделей аномальной диффузии качественно схожи.

7. Исследована устойчивость однородного течения в вертикальном фильтре с учетом эффектов адсорбции в рамках двух моделей диффузии, показано принципиальное различие двух подходов

Список основных публикаций

1. Марышев Б.С., Нестационарные режимы конвекции в замкнутой области пористой среды при боковом просачивании и модуляции силы тяжести // Отчетная конференция студентов и аспирантов Пермского Государственного Университета.

Материалы конференций за 2004-2005 гг.. Секция «Физика 2005 г.» -Пермь, 2005.-с. 60.

2. Марышев Б.С., Любимов Д.В. Исследование влияния низкочастотных вибраций и бокового просачивания жидкости на конвекцию в бесконечном цилиндре пористой среды ¡1 Конференция молодых ученых «Неравновесные переходы в сплошных средах». Тезисы докладов. - Пермь, 2006. - с. 36.

3. Марышев Б.С., Любимов Д.В. О конвективной неустойчивости в бесконечном цилиндре пористой среды при боковом просачивании и модуляции силы тяжести /7 Зимняя школа по механике сплошных сред (пятнадцатая), Сборник материалов конференции. ч.2. - Пермь. 2007. - с. 324.

4. Марышев Б.С., Любимов Д.В. О влиянии бокового просачивания и вертикальных вибрации на конвективную устойчивость жидкости в бесконечном цнлиндре пористой среды // Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах», Материалы конференции. — Пермь. 2007,- с. 2S6.

5. Boris Maryshev, Maminirina Joelson, Dimitri Lyubimov, Tatjana Lyubimova and Marie-Christine Néel, Non Fickian flux for advection-dispersion with immobile periods // J. Phys. A: Math. Thcor. — 2009. — V. 42, jVal 15001. - pp. 1-17

6. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Марышев Б.С., Marie-Christine Néel, Об учете адсорбции примеси скелетом при диффузии в пористой среде //' Всероссийская конференция молодых ученых «Неравновесные процессы в сплошных средах» Материалы всероссийской конференции молодых ученых. Пермь, 2008. с. 203206.

7. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Марышев Б.С., Marie-Christine Néel, Об учете адсорбции примеси скелетом при диффузии в пористой среде // Материалы всероссийской конференции Механика сплошных сред как основа современных технологий. XVI Зимняя школа по механике сплошных сред. Опубликовано на CD. Пермь, 2009. - 5 с.

8. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Марышев Б.С., Marie-Christine Néel, Дискретизация потока примеси в рамках фрактальной MIM модели аномальной диффузии // Вычислительная механика сплошных сред. - 2010. - Т. 3, № 2. - С. 70-82 .

9. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Марышев Б.С., Конвективная устойчивость диффузионного фронта при учете прилипания частиц примеси к скелету пористой среды // Тезисы докладов конференции молодых ученых «Фундаментальные и прикладные задачи нелинейной физики», XV Научная школа «Нелинейные волны -2010»- Нижний Новгород. 2010. - с. 81.

10. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Марышев Б.С., Конвективная устойчивость однородного просачивания примеси в замкнутой полости насыщенной пористой среды при учете прилипания частиц примеси к скелету // Тезисы докладов VII Международной конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» - Новосибирск, 2010.-е. 126.

И. Марышев Б.С., Любимов Д.В, Любимова Т.П., Конвективная устойчивость однородного просачивания примеси в замкнутой полости насыщенной пористой среды при учете прилипания частиц примеси к скелету // Тезисы докладов V всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики п механики» АФСИД-2010. Абрау-Дюрсо, 2010.-е. 54.

Подписано в печать 28.10.2010 г. Формат 60x84 1/16. Усл. печ. л. 0.93. Тираж 100 экз. Заказ 3£Р Отпечатано в Типографии Пермского государственного университета 614990, г. Пермь, ул. Букнрева, 15.

Введение.

Общая характеристика работы.

Глава 1: Конвекция в замкнутой области пористой среды при наличии бокового просачивания жидкости и модуляции силы тяжести.

§1.1. Постановка задачи.

1.1.1. Двумерная постановка. Плоские возмущения.

1.1.2. Трехмерная постановка. Пространственные возмущения.

§ 1.2. Решение уравнений для малых возмущений.

1.2.1. Метод решения и общие замечания.

1.2.2. Неоднородная линейная задача для уравнений, описывающих плоские возмущения.

1.2.3. Неоднородная линейная задача для уравнений, описывающих пространственные возмущения.

1.2.4. Слабонелинейный анализ для уравнений, описывающих плоские возмущения.

1.2.5. Параметрический резонанс в длинноволновом приближении.

§ 1.3. Численный анализ нелинейных амплитудных уравнений в рамках двумерной постановки задачи.

1.3.1. Фазовое пространство.

1.3.2. Характерные режимы поведения.

1.3.3. Континуум циклов (вырожденный случай).

1.3.4. Переход континуума к одному режиму эволюции.

1.3.5. Анализ отображений фазового угла.

§ 1.4 Численное исследование уравнений для пространственных возмущений при конечных значениях волнового числа.

1.4.1. Анализ стационарных уравнений.

1.4.2. Анализ нестационарных уравнений. Общие замечания.

1.4.3. Метод естественного базиса.

1.4.4. Обсуждение результатов.

В данной работе рассматриваются конвективные течения в пористой среде, вызванные неоднородностью температуры или концентрации примеси. Тепловая и концентрационная конвекция в пористой среде представляют интерес как с точки зрения прикладных задач фильтрации различного рода жидкостей и смесей (например, течение грунтовых вод, охлаждение реакторов, обогащение почв, распространение загрязнений и.т.д.), так и с точки зрения математической физики (явление косимметрии, субдиффузия) [1-3].

Течение в пористой среде, закон Дарси, фильтрация

В задачах о течении жидкостей в пористых средах мы имеем дело со сложной структурой твердого скелета и тем, как эта структура влияет на процессы тепло- и массопереноса (в том числе, на диффузию в случае смесей). В общем случае механизмы этих процессов зависят как от деформируемости твердого скелета, так и от его пространственной структуры, которая может быть как упорядоченной, так и неупорядоченной. Из двух классов неупорядоченных сред: микроскопически неупорядоченных, но макроскопически однородных и микроскопически неупорядоченных и макроскопически неоднородных - в настоящей диссертации рассматриваются только среды первого класса, причем скелет также полагается макроскопически изотропным и недеформируемым.

При протекании однофазной жидкости через макроскопически однородную изотропную пористую среду во многих реальных ситуациях инерционные эффекты несущественны и справедлив закон Дарси [4]:

У = (1.1)

77 дх

Дарси получил одномерный вариант закона; в трехмерном случае закон выглядит следующим образом:

У=--7Р (1.2)

77 где V — скорость фильтрации жидкости, к — проницаемость пористой среды, Г] - коэффициент динамической вязкости, Р - давление. Проницаемость среды к измеряется в единицах площади и очень мала; для природных материалов она изменяется в пределах от к-ХОГ1 м2 (гравий) до /г~10~20ти2 (глина). Для случая несжимаемой жидкости уравнение (1.2) было получено теоретически в работе [5]

Использование уравнения (1.2) в качестве закона сохранения импульса понижает порядок дифференциальных уравнений относительно производных по пространственным координатам по сравнению со случаем течений в однородной вязкой жидкости (без твердого скелета). Это находит свое отражение, в том числе, и в изменении граничных условий для поля скорости (см., например, [6]), когда, кроме прочего, условие прилипания на твердой границе теряет смысл, поскольку жидкость точно так же прилипает и к стенкам твердого скелета во всем объеме пористой среды.

Конвекция в пористой среде

Движение жидкости в пористой среде может быть обусловлено различными причинами. В настоящей диссертации рассмотрены задачи, в которых движение происходит благодаря силе тяжести. Явление конвекции подразумевает неоднородность плотности, которая может быть обусловлена различными причинами. В случае наличия силы тяжести в уравнение (1.2) необходимо добавить соответствующее слагаемое [б]:

Г = --(УР-РЮ (1.3) где р — плотность жидкости, ускорение свободного падения. Плотность жидкости является функцией термодинамических переменных. В диссертации рассмотрены задачи, в которых жидкость считается несжимаемой (т.е. плотность не зависит от давления), а неоднородность плотности возникает из-за неоднородности концентрации или температуры.

Тепловая конвекция

Рассмотрим явление тепловой конвекции в пористой среде. В этом случае плотность является функцией температуры. В рассматриваемых в диссертации задачах предполагается выполненным приближение Буссинеска [7], в котором плотность считается линейной функцией температуры: р = р0\\-р(Т'-Т,)\ (1.4) где Т' — температура жидкости, р0 - плотность жидкости при температуре Т0, ¡5 — коэффициент теплового расширения. Уравнение (1.4) применимо при небольших перепадах температур, а именно:

0 «1 (1.5) где 0 - характерный перепад температуры. Подставим выражение (1.4) в уравнение (1.3):

У-? = -Чр + рйрГ8у (1.6) к где Т отклонение температуры от Г0, у — единичный вектор, направленный вертикально вверх, р — конвективная добавка к гидростатическому давлению. Добавив к уравнению (1.6) условие несжимаемости жидкости и уравнение баланса температуры, получим систему уравнений конвективной фильтрации в пористой среде в виде [8]:

11У = -Чр + рйртёу к сИУУ = 0 (1.7) где [р0с ) ,(р0с ) — теплоемкости единицы объема твердого скелета Р > с * ' ' Ж насыщенного жидкостью и жидкости соответственно, эффективная теплопроводность среды, насыщенной жидкостью. Здесь в теплоемкости не учитывается зависимость плотности от температуры в силу условия (1.5).

Тепловая конвекция в горизонтальном цилиндре

В настоящей диссертации рассмотрены задачи о двумерной конвекции в горизонтальном цилиндре. Приводимый обзор не касается смежных задач (например, исследования конвекции в слое пористой среды и.т.д.)

Впервые исследование тепловой конвекции в замкнутой области пористой среды произведено в работе [1], получены условия механического равновесия и исследована его устойчивость. Нижний уровень неустойчивости оказался двукратно вырожденным. Эксперименты [2] подтвердили справедливость выводов [1]. В работе [3] показано, что обнаруженное в [1] вырождение является следствием явления косимметрии.

Позднее в работах [9-11] производилось численное и аналитическое исследование для полостей различной формы. В этих случаях возможно механическое равновесие, которое становится неустойчивым при достижении критического значения концентрационного числа Релея-Дарси, причем, реализуются только монотонные возмущения, а критические значения числа Релея зависят сложным образом от геометрии области.

Обзор исследований по устойчивости равновесия жидкости в бесконечном цилиндре в, отсутствие пористой среды проведен в монографии [8]. Теоретические исследования, выполненные методом Галеркина, показали, что наиболее опасными являются пространственные возмущения, а критическое число Релея в коротковолновом пределе пропорционально четвертой степени волнового числа. Эксперименты Г.Ф. Шайдурова [121, подтвердили теоретические выводы

В работе [13] произведено численное моделирование конвекции в цилиндрах конечной длины, заполненных пористой средой. Показано, что при небольших длинах цилиндра (отношение радиуса к длине меньше 0.86) наблюдается двумерный двух- или трехвихревой режим конвекции, а при больших длинах движение становится трехмерным.

В работе [14] исследованы динамические свойства двумерной конвекции в пористой среде при слабых нарушениях условий реализации вырождения. Выяснено, что малый боковой нагрев, конечная теплопроводность границ и слабое просачивание жидкости через границы полости снимают вырождение. Построены фазовые диаграммы, проанализирован механизм снятия вырождения. Для случая слабого однородного просачивания жидкости через границы полости показано, что не существует стационарных нетривиальных режимов просачивания, и после потери устойчивости состояния однородного просачивания в системе реализуется колебательный режим.

В работе [15] исследованы нелинейные уравнения для системы при слабом однородном просачивании жидкости через полость. В этом случае реализуется динамика на торе, которая после нескольких бифуркаций переходит в сложную хаотическую динамику.

Если ввести модуляцию скорости просачивания жидкости, как это сделано в работе [16], то в системе наблюдается квазипериодический режим. Параметрический резонанс не возникает.

Параметрическое возбуждение конвекции

В связи с колебательной1 неустойчивостью, вызванной, влиянием , просачивания жидкости, представляет интерес параметрическое возбуждение конвекции.

Вибрационное воздействие на гидродинамические системы (включая термоконвективные) имеет самые разнообразные приложения: например, вибрационный контроль процессов тепло- и массоперепоса в теплообменниках, смесителях, сепараторах минеральных веществ и системах для выращивания кристаллов. Эти приложения обусловили большой теоретический интерес к задачам тепловой конвекции при периодической модуляции параметров во времени (например, вибрациях). Общее представление об исследованиях в данной области можно составить в первую очередь, на основе монографии [17], а основные ранние исследования в этом направлении отражены, например, в обзоре [18] и монографиях [8, 19].

Исследование влияния модуляции силы тяжести на конвекцию в замкнутой области пористой среды проводилось в работах [20-22], где показано, что вибрации приводят к стабилизации равновесия. В работе [23] проведен линейный и слабонелинейный анализ устойчивости, показано, что области неустойчивости определяются уравнением Матье. Появляется возможность мягкого и жесткого возбуждения конвекции. В работе [24] проведен анализ на основе осредненных и полных уравнений, показано что в осредненной модели возможно предсказание только синхронных возмущений, субгармонические можно предсказать только на основе полпой модели.

В серии работ [25-29] рассмотрен случай низких частот модуляции проведен линейный и нелинейный анализ, получены области синхронного и субгармонического поведения, показана принципиальная возможность конвективного течения при нагреве сверху.

Концентрационная конвекция

Третья глава диссертации посвящена концентрационной конвекции в пористой среде. Эти задачи имеют весьма разнообразные приложения, такие как, обогащение почв, распространение загрязнений, разработка месторождений различных растворимых веществ и.т.д.

При решении задач концентрационной конвекции в качестве закона сохранения импульса используется уравнение (1.3): у = -1(ур-р£) .(1.8) Л

Неоднородность плотности создается за счет неоднородности концентрации более тяжелой (легкой) компонент примеси, то есть: р = р,[\ + с13с} (1.9) где Рс——~ коэффициент концентрационного расширения, р,

Pi \ дс Jt,p плотность жидкости, с— концентрация. Подставляя выражение (1.9) в уравнение (1.8) получим, аналогично (1.6):

У — —Vp — p¡Pccgf (1.10) к где f — единичный вектор направленный вдоль поля тяжести, р ~ добавка к гидростатическому давлению.

Для получения полной системы уравнений концентрационной конвекции в пористой среде уравнение (1.10) должно быть дополпеио условием несжимаемости и уравнением для концентрации примеси. Полная система выглядит следующим образом: p-j3ccgfp, к divV = 0 (1.11) VVc = KAc Э t где К - коэффициент диффузии. В системе (1.11) использована классическая модель диффузии, обычно, для пористой среды считают, что диффузия происходит медленнее, чем в чистой жидкости, и просто увеличивают коэффициент диффузии. Подобное построение теории для многофазных течений можно найти в монографии [8]. Уравнения (1.11) математически эквивалентны уравнениям (1.7), поэтому считается, что нет смысла отдельно рассматривать концентрационную конвекцию, поскольку уравнения те же, только процессы идут медленнее.

Однако использование такой модели противоречит экспериментальным данным, например [29-31].

Диффузия в пористой среде

Пористая среда имеет достаточно сложную пространственную структуру. Дрейф частиц в такой среде не всегда подчиняется гауссовому распределению, поскольку частицы примеси прилипают к твердому скелету (адсорбируются), а их траектории становятся намного более извилистыми и длинными, чем в чистой жидкости. Эти эффекты приводят к явлению субдиффузии в пористой среде.

Выделяется две основных причины субдиффузии в пористой среде, пространственная и временная. Первая связана с удлинением траектории частицы по сравнению со случаем чистой жидкости при переносе. Удлинение траектории происходит из-за сложной пространственной организации среды, и математически проявляется в виде изменения пространственного оператора либо коэффициент диффузии становится тензором, зависящим от координат [32], либо вместо оператора V вводятся пространственные производные порядка ¿Г<1 [33-34]. В диссертации не рассматриваются пространственные эффекты, все задачи рассмотренные во второй и третьей главах связаны с явлениями адсорбции и десорбции, то есть временными эффектами.

Адсорбция-десорбция (прилипание-отрыв частиц), тормозят диффузию, поскольку примесь некоторое время проводит на стенке. Как отмечалось выше, прилипание жидкости к скелету пористой среды происходит непрерывно»по всему объему. Эффект не слишком существенен для мелких частиц, вроде молекул воды или двух- трехатомной примеси. Однако, достаточно крупные объекты, такие как молекулы большинства органических веществ, полимеры, кристаллические структуры, бактерии могут адсорбироваться достаточно активно, что приводит к существенному замедлению диффузии.

Прилипание чаще всего описывается либо в терминах случайных величин - MIM модель [35], либо с помощью двухфазных кииетических моделей с некоторой кинетикой перехода примеси между фазами [36].

При рассмотрении явления диффузии со статистической точки зрения, как ансамбля частиц, отличия от классического случая проявляются для различных типов примесей, это могут быть пассивные частицы, живые организмы, а также частицы коллоида. Такие частицы могут распространяться с плотностью, второй момент которой не пропорционален времени.

Иногда второй момент и вовсе не существует. Подобные особенности обнаруживают решения дифференциальных уравнений, содержащих частные производные нецелого порядка по пространству или времени, как линейных [37-40] так и нелинейных [41].

Классическая модель адвекции-дисперсии, следующая из закона Фика для потоков, не подтверждается множеством весьма точных экспериментов. Такая модель является гидродинамическим пределом класса моделей, описывающих малые масштабы и связанных с броуновским движением. Теоретический переход к гидродинамическому пределу, полученный в [42], был проиллюстрирован в [43] экспериментами, демонстрирующими траектории частиц. Более общий класс моделей составляют модели с уравнениями, содержащими частные производные дробного порядка. Эти модели являются гидродинамическим пределом моделей, учитывающих пространственные распределения с «тяжелыми хвостами», а также с интервалами ожидания между прыжками частиц. Они часто используются для описания экспериментальных данных, полученных для неоднородных сред. Строгое доказательство прямой связи моделей, использующих дробные производные, с моделями, описывающими малые масштабы, дано в работах [38,44], в предположении, что длины прыжков и времена ожиданий вместе с их суммами являются независимыми, одинаково распределенными случайными величинами. Тот факт, что суммы распределены, так же, как и сами величины, доказывается с помощью центральных предельных теорем [45-48]. Прямая проверка этих гипотез достаточно трудна. Однако, если говорить о вероятностных законах распределения длин прыжков и интервалов времени между прыжками, то асимптотики этих законов напрямую связаны с порядком производных в соответствующих макроскопических моделях. Поэтому такие модели могут быть полезны для описания экспериментов, направленных на получение асимптотик распределения частиц, плохо описываемых теорией'до сих пор. Конечно, в некоторых ситуациях независимость повторяющихся событий не сохраняется, в этом случае использование обеих моделей (дробной модели и классической) не приводит к адекватному описанию и необходимы другие подходы [41].

Уравнения с дробными производными достаточно широко используются для описания явлений переноса в пористых средах. В монографиях [49-51] рассмотрены наиболее общие классы уравнений, описывающих явления переноса в перколяционных и фрактальных, в том числе пористых средах. Диссертация [52] посвящена численному моделированию явлений переноса в пористых средах на основе решения уравнений для плотности вероятности или стохастических уравнений для ансамбля частиц.

Стоит заметить, что при описании явления дисперсии с помощью макроскопической модели с дробными производными, необходим учет случайного прилипания частиц к скелету пористой среды. Прилипание выхватывает частицу из потока на некоторый интервал времени, что влияет как на среднее течение, так и на флуктуации. На макроскопическом уровне такая ситуация соответствует кривой выхода примеси, обладающей «тяжелым хвостом», когда концентрация спадает со временем по степенному закону с отрицательной степенью, но большей чем минус два. Подобные особенности характерны для диффузии примесей в насыщенных (или ненасыщенных) пористых средах, со скелетом, обладающим областями захвата примеси или примесью, имеющей тенденцию к прилипанию [49], в том числе при рассеянии пассивных (не прилипающих) частиц в ненасыщенной пористой среде [54,55] и сорбции частиц коллоида на твердой матрице пористой среды [56].

Для описания подобных ситуаций часто используются различные модели, включающие интегродифференциальные уравнения с памятью, как например [57], однако более обоснованным и многообещающим кажется класс моделей, использующих дифференциальные уравнения с дробными частными производными, называемых моделями «fractal Mobile immobile Medium» (фрактальных мобильно-немобильных сред) (fractal MIM) [35]. Это расширение простой MIM модели [58], учитывающей наличие двух фаз примеси: мобильной (движущейся в потоке, частицы совершают прыжки) и немобильной (прилипшей к скелету), а также обмен частицами между фазами, описывающийся кинетикой первого порядка. Фрактальная версия такой модели лучше описывает поведение «тяжелых хвостов» кривых выхода примеси. Фрактальная модель без первой производной по времени подобна известному дробному уравнению Фоккера-Планка [59,60], решение которого на больших временах обладает аналогичными свойствами.

Теоретическое исследование диффузии в рамках MIM модели для неограниченных массивов пористой среды было проведено в работах [61,62], были получены «хвосты» распределений, которые удовлетворительно согласуются с хвостами кривых выхода примеси, полученными в экспериментах [54,63].

Другим подходом к описанию эффектов прилипания являются двухфазные кинетические модели диффузии. При их использовании предполагается наличие двух фаз примеси, прилипшей (адсорбированной) примеси и примеси, дрейфующей с потоком. Для примеси, дрейфующей с потоком, записывается классическое уравнение диффузии со стоковым слагаемым, которое описывает приток примеси в неподвижную фазу. Зависимость притока примеси в неподвижную фазу от концентраций двух фаз описывает кинетику «фазового перехода».

Модель такого типа впервые предложена в работе [64], а спустя несколько месяцев в [65]. В этих статьях в качестве кинетического закона выбрано линейное соотношение (с — между концентрацией адсорбированной (д) и свободной (с) примесей. Такой подход позволяет описать замедление процесса диффузии, но достаточно поверхностно, так как в этом случае происходит уменьшение коэффициента диффузии в 1 + ^ раз. Такая ситуация плохо описывает экспериментальные данные, что было отмечено еще в 1976 году в работе [66].

Впоследствии было предпринято несколько попыток построения моделей с использованием хорошо известных изотерм адсорбции Фрейндлиха и Ленгмюра, которые достаточно хорошо описывают равновесную ситуацию при адсорбции газов и примесей из растворов малой концентрации [67-70]. Полученные модели лучше описывают ситуацию, по сами по себе изотермы соответствуют установившемуся режиму адсорбции (когда достигнуто динамическое равновесие между адсорбантом и адсорбентом).

Ясно, что для описания изменения концентрации адсорбированной примеси нужно некоторое кинетическое уравнение, описывающие динамику процесса. Простейшей моделью такого рода стала модель с кинетикой первого порядка, когда скорость адсорбции линейно растет с концентрацией свободной примеси, и линейно уменьшается с ростом концентрации адсорбированной примеси. Такая модель, при достижении равновесия дает изотерму Ленгмюра, решение уравнений такой модели в случае одномерной диффузии впервые приведено в работе [58]. Модель с кинетикой первого порядка тоже неудовлетворительно описывает экспериментальные данные, по-видимому, это связано с тем, что в ней не учтен тот факт, что место на адсорбанте ограничено, и концентрация осевшей на нем примеси не может превышать некоторый предел. Это обстоятельство впервые учтено в работе [36], сформулированная модель получила название модели с кинетикой второго порядка.

В более сложных случаях, когда учитывается гетерогенность скелета среды, или некоторые геометрические и химические свойства адсорбента, достаточно часто используются модели более высокого порядка (см, например, [71]). В случае протекания химической реакции при соприкосновении примеси со скелетом также возможно использование кинетической модели. К примеру, при протекании реакции разрушения примеси (осаждения на стенку в виде нерастворимого продукта реакции), возможно использование кинетического уравнения, в котором скорость адсорбции не зависит от концентрации адсорбированной' примсси, простейший случай кинетики первого порядка рассмотрен в работе [72].

Таким образом, наиболее общей и широко применимой моделью является модель с кинетикой второго порядка, которая и будет рассматриваться в качестве альтернативы фрактальной М1М модели.

Существует множество экспериментальных данных, которые подтверждают применимость обеих моделей [54,73]. Более того, в некоторых случаях результаты, получаемые с помощью обеих моделей схожи, а отличия проявляются лишь на очень больших временах (времена, порядка десятка характерных диффузионных времен, что зачастую соответствует годам). Пример задач обоих типов приведен в третьей главе диссертации.

Аномальная диффузия

Вторая глава диссертации посвящена исследованию • свойств моделей аномальной диффузии-, и построению методов решения соответствующих уравнений. Аномальная диффузия отличается от нормальной диффузии прежде всего тем, что ширина диффузионного пакета растет со временем по закону ta, где аФ 1/2, процессы в; которых а >1/2 называют супердиффузией, от<1/2 - субдиффузией: В этих случаях нормальная форма диффузионного пакета может и не сохраняться, и для ее изучения необходима дополнительная информация о процессе (процессы с памятью).

Упоминание об аномальной диффузии впервые встречается в работах Ричардсона 1926 года по турбулентной диффузии [74]. В рамках теории переноса аномальная диффузия изучалась с конца 1960-х. Тогда же Леви предложил свою модель аномальных блужданий (Levy flights) [75]. Теоретическое исследование аномальной диффузии было в значительной степени спровоцировано Монтроллом [76] при описании дисперсионного переноса в аморфных полупроводниках - системе, для которой традиционные методы не работают.

Подход [76] к непрерывным, во времени случайным блужданиям очень отличался от его броуновского аналога и был призван: объяснить многие физические явления' [77]. В монографии [78] аномально-диффузионные и близкие к ним, явления рассматриваются при исследовании диффузии и рассеяния лучей и- волн в статистически неоднородных, слоистых и турбулентных- средах, с использованием различных методов, таких как решение стохастических дифференциальных уравнений, метод возмущений, теория многократного рассеяния волн и др.

В настоящее время диапазон явлений физической; биологической и . другой природы,характер протекания которых определяется; аномальной диффузией, довольно широк; [79-87] и постоянно; растет: В таких процессах, как. перенос носителей заряда в аморфных, полупроводниках [77, 88-92], диффузиометрия ядерного магнитного резонанса, в фильтрующих [93,94] и пористых системах [95], динамика полимеров [95-100], наблюдается явление субдиффузии. В коллективной скользящей диффузии на твердых поверхностях [101], турбулентной диффузии, наблюдавшейся Ричардсоном [74, 102,103], квантовой оптике [104, 105], контролируемой динамике объемно-поверхностного взаимодействия жидкостей и пористого стекла [106,107], переносе в системах мицелл (биол.) [108,109], в движении бактерий [110,111] проявляются супердиффузия и статистика Леви.

Аномальная диффузия в присутствии или в отсутствие внешнего потока или силы описывалась различными способами, такими как: 1) фрактальное броуновское движение, введенное Мапдельбротом [112-114], 2) обобщенные уравнения диффузии [115], 3) модели непрерывных во времени случайных блужданий [77, 95, 115,117], 4) уравнения Ланжевена [П8|, 5) обобщенные уравнения Ланжевена [111,119,120], 6) обобщенные кинетические уравнения [121], 7) обобщенные термодинамика и статистика [122-129], 8) стохастические уравнения переноса волн в хаотических средах, теория многократного рассеяния волн [130-132].

Для аномальной диффузии, только подходы 3) и 5) учитывают память системы и специфическую форму, для функции плотности вероятностей. Недостатками подходов 3) и 5) являются отсутствие прямого способа учета силовых полей, проблема постановки граничных условий, сложность анализа динамики в фазовом пространстве.

Альтернативный подход к аномальной диффузии основан на уравнениях дробного порядка. Замена локальной временной производной в уравнении диффузии на дробный оператор приводит к проявлению эффектов памяти, которые присутствуют во множестве сложных систем. Эквивалентность дробной модели диффузии и модели случайных блужданий с временами ожиданий (восстановления) доказывается в обзоре [133]. Дробные уравнения в настоящее время достаточно4широко применяются для описания процессов субдиффузии во многих областях науки.

В последние годы опубликовано большое число работ, посвященных дробным уравнениям релаксации [134], дробным диффузионным уравнениям [135-139] и дробным уравнениям Фоккера-Планка [140,141], в которых были задействованы различные обобщения дробного порядка; были введены новые дробные операторы для замены временной или пространственной производных или их обеих.

В первых попытках обобщения стандартного уравнения диффузии для описания процессов диффузии дробного порядка были предложены коэффициенты, зависящие от координат. О'Шонесси исследовал обобщенное диффузионное уравнение с коэффициентом диффузии, зависящим от координат, и получил субдиффузионный процесс [125]. Дальнейшие исследования показали, что асимптотическая форма пакета при субдиффузии является "расширенной" гауссовой. Дробные диффузионные уравнения переноса на дробных структурах имеют общие основные свойства, такие как среднеквадратическое отклонение и немарковская природа [142].

Неустойчивость Релея-Тейлора

В третьей главе диссертации рассмотрена задача о неустойчивости Релея-Тейлора при распространении диффузионного фронта в глубь массива пористой среды. Практическое приложение такая постановка имеет, например, при описании распространения крупномасштабных загрязнений в грунте.

Продвигающийся фронт диффузии (или тепловая волна, если выражаться в терминах тепловой конвекции), оставляет за собой слой большей плотности, чем жидкость, находящаяся под ним, что соответствует неустойчивой стратификации и развитию неустойчивости Релея-Тейлора.

Неустойчивость Релея-Тейлора широко исследуется для несмешивающихся жидкостей [143,144], в том числе в пористой среде [144]. При развитии этой неустойчивости наиболее опасными являются коротковолновые возмущения, при которых фронт дробится на все меньшие и меньшие структуры (пальцы) вплоть до молекулярных масштабов. Устойчивость Релея-Тейлора при наличии диффузии наиболее часто рассматривается для задач хемодиффузии, где исследуется устойчивость фронта реакции [146]. Наиболее близкими к тематике диссертации являются исследования для ячейки Хеле-Шоу, так как уравнение движения жидкости в этом случае совпадает с уравнениями Дарси для пористой среды [147-149]. В работах [147-149] используется дополнительные источниковые слагаемые в уравнении диффузии, описывающие кинетику химической реакции. Основная черта этих работ - наиболее опасными являются^ возмущения с конечными длинами волн, с характерным масштабом порядка масштаба переходного диффузионного слоя между растворяемым веществом и растворителем.

Общая характеристика работы

Содержание и структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Во введении представлены обзор литературы, содержание и основные цели работы.

Заключение

Первая глава

Рассмотрена задача о конвекции однокомпонентной жидкости в бесконечном горизонтальном цилиндре прямоугольного сечения, заполненном пористой средой при подогреве снизу и модуляции силы тяжести. Для случая абсолютно теплопроводных боковых границ и однородного горизонтального просачивания жидкости через боковые стенки цилиндра. Проведен линейный анализ устойчивости по отношению к плоским и пространственным возмущениям, слабонелинейный анализ двумерных слабонадкритических режимов и исследованы надкритические режимы конвекции.

В приближении малых надкритичности, интенсивности движения, скорости просачивания, частоты модуляции и значений волновых чисел возмущений вдоль оси цилиндра с помощью аналитических методов получена неавтономная двумерная линейная система, описывающая поведение возмущений режима однородного просачивания. Показано, что в отсутствии модуляции в ней существует два режима потери устойчивости: колебательный и монотонный. Колебательные режим реализуются для плоских и длинноволновых возмущений, при увеличении волнового числа реализуются монотонные возмущения.

В присутствии модуляции тяжести исследован параметрический резонанс, возникающий в длинноволновом приближении. Получены области существованя синхронных и субгармонических возмущений.

В случае конечных значений параметров численно проведен линейный анализ устойчивости. Выяснено, что при достаточно малых амплитудах модуляции наиболее опасными являются пространственные синхронные возмущения с длиной волны, порядка нескольких линейных размеров сечения цилиндра. При достижении амплитудой модуляции значений порядка = 40 потеря устойчивости при любых значениях волнового числа происходит синхронным образом, причем наиболее опасными становятся двумерные возмущения.

Анализ устойчивости режима однородного горизонтального просачивания показал, что в достаточно коротких областях будут реализовываться плоские возмущения.

В приближении малых надкритичности, интенсивности движения, скорости просачивания и частоты модуляции с помощью аналитических методов получена неавтономная двумерная нелинейная система, описывающая динамику системы в случае плоской конвекции.

Исследована динамика системы в нелинейном приближении. При условии малости амплитуд вибраций, получены условия существования устойчивых периодических режимов, обнаружена возможность как мягкого, так и жесткого возбуждения.

С помощью полуаналитических и численных методов описана динамика системы, в более широком диапазоне параметров. Исследован случай вырождения, когда сосуществуют различные устойчивые периодические режимы, образующие однопараметрическое семейство. Получены условия снятия такого вырождения.

Показано что полученная система демонстрирует динамику па торе. Исследовано явление синхронизации, с помошыо ависимостей числа вращения от параметров. Обнаружено, что такая зависимость имеет типичный вид «дьявольской лестницы» с многочисленными интервалами синхронизации. Построены области синхронизации собственных колебаний с внешней модуляцией.

Вторая глава

Во второй главе, рассмотрены основные методы решения задач диффузии в пористой при учете прилипания примеси к скелету. Исследуются две модели. Это фрактальная MIM модель [35] (2003) и «Двухфазная» модель с кинетикой межфазового обмена второго порядка [36] (1994).

В первом параграфе второй главы обсуждены основные аспекты построения MIM модели и принципы, на основе которых получены уравнения. Построена схема разделения переменных для уравнений MIM модели, для задач Дирихле, Неймана и смешенного типа.

Впервые произведена дискретизация потока примеси на пространственно временной сетке, что позволило сконструировать консервативную схему решения уравнений модели.

На примере задачи об одномерной фильтрации примеси произведено сопоставление результатов полученных с помощью разных методов и подходов. Так для задач Дирихле и задачи со смешанными граничными условиями, получено аналитическое решение и произведено его сопоставление с численными результатами, полученным по консервативной схеме. Показано что результаты совпадают с точностью до одного процента.

Для задачи с локализованными начальными распределениями, моделирующей эксперимент, разработан алгоритм на основе метода молекулярной динамики. Результаты, полученные по консервативной схеме, сопоставлены с результатами полученными методом молекулярной динамики. Оба результата находятся в хорошем согласии друг с другом.

Получены основные эффекты, наблюдающиеся в эксперименте, кривые выхода примеси (зависимость концентрации вблизи одного из концов расчетной области от времени), полученные численно, качественно совпадают с экспериментальными данными.

Во втором параграфе рассмотрены принципы построения и решения уравнений «двухфазной» модели диффузии. Выведены уравнения модели на основе эмпирических рассуждений, получен линейный вариант модели применимый при значениях концентрации много меньших концентрации насыщения твердого скелета.

Описан аналитический метод решения линеаризованной задачи и разработана новая численная схема решения уравнений двухфазной модели. На примере решения одномерной задачи Дирихле в линейном приближении, произведено сопоставление результатов аналитического расчета и численного, достигнуто хорошее соответствие.

Численно решен ряд тестовых одномерных задач, результаты решения которых, подтверждают способность двухфазной модели описывать экспериментально обнаруженные эффекты памяти и замедления диффузии при учете прилипания

В третьем параграфе второй главы произведено сравнение основных результатов получаемых с помощью обеих моделей. Поскольку в рамках моделей выделяются разные механизмы, влияющие на диффузию примеси, то результаты различны. Однако удалось показать, что для времен меньших или порядка диффузионного различия не столь существенны и проявляются в основном в «хвостах» временных зависимостей для обеих моделей, что позволяет в некоторых ситуациях использовать обе модели как вполне равноправные.

Подготовлена методологическая база для решения сложных конвективных задач, которые рассмотрены в третьей главе.

Третья глава.

В первом параграфе третьей главы выведены уравнения концентрационной конвекции в пористой среде с учетом прилипания примеси к скелету.

Показано что для любого стационарного решения или монотонных возмущений стационара уравнения совпадают с классическими уравнениями, не учитывающими прилипание примеси.

Во втором параграфе, рассмотрена задача устойчивости плоского диффузионного фронта тяжелой примеси, распространяющегося в глубь полубесконечного массива пористой среды. Рассматривается двумерная неустойчивость Релея-Тейлора в такой системе по отношению к периодическим вдоль фронта возмущениям.

Поскольку неустойчивость Релея-Тейлора развивается существенно быстрее, чем происходит формирование неустойчивой стратификации (численные эксперименты показывают, что характерные времена отличаются на порядки), для анализа задачи применяется метод замороженных коэффициентов. В данном случае «замораживается» профиль концентрации, то есть основное решение - решение концентрационной задачи в отсутствии течения, описывающее формирование неустойчивой стратификации — слоя тяжелой жидкости находящегося над легкой.

Решается задача об устойчивости такого «стационарного» состояния. Получены нейтральные кривые на плоскости волновое число возмущений -критическое число Релея-Дарси — определяющее время начала развития неустойчивостинеустойчивость Релея-Тейлора.

Получены характерные времена формирования и оценки толщины слоя. Выяснено, что наиболее быстро развиваются возмущения, соответствующие конечным значениям волнового числа, более того, характерный масштаб возмущений всегда остается порядка толщины слоя проникновения примеси, что соответствует результатам работ [146-147].

Учет аномальности диффузии приводит к увеличению времени формирования неустойчивой стратификации по сравнению с нормальной диффузией. Данный результат справедлив в рамках обеих моделей, при должном выборе параметров моделей нейтральные кривые совпадают, что свидетельствует о возможности применения любой модели в такой задаче. Это обусловлено, прежде всего, временем формирования неустойчивой стратификации, которое оказывается порядка диффузионного времени, а наиболее существенное отличие моделей друг от друга проявляется на временах существенно больших диффузионного.

В третьем параграфе исследована линейная задача устойчивости однородного вертикального просачивания жидкости, обогащенной тяжелой примесью, через замкнутую область пористой среды.

Выяснено, что при учете прилипания в спектре появляются колебательные возмущения, которые отсутствуют в случае классической модели диффузии.

Численно получены нейтральные кривые в пространстве параметров, а так же зависимости частоты нейтральных возмущений от параметров моделей.

Результаты применения двух моделей оказались различны, в рамках двухфазной модели наблюдается пороговое возникновение колебательных возмущений при изменении параметров характеризующих диффузию. Наличие этих возмущений приводит к понижению устойчивости относительно классического случая.

В рамках MIM модели колебательные возмущения, как и отклонения от случая классической модели диффузии, возникают непрерывно с изменением параметров модели, в зависимости от параметров может наблюдаться как повышение, так и понижение устойчивости.

1. Любимов Д.В. О конвективных движениях в пористой среде, подогреваемой снизу // ПМТФ. 1975. - № 2. - С. 131-137.

2. Глухов А.Ф., Любимов Д.В., Путин Г.Ф. Конвективные движения в пористой среде вблизи порога неустойчивости равновесия // Докл. АН СССР 1978.-Т. 238, №3.-С. 549-551.

3. Юдович В.И. Косимметрия, вырождение решений операторных уравнений, возникновение фильтрационной конвекции // Мат. заметки 1991. -Т. 49, №5. - С. 41-46.

4. Darcy H. P. G. Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon Victor Dalmont, Paris, 1856

5. Whitaker S. Flow in Porous-Media I: A Theoretical Derivation of Darcy's-Law // Transport in Porous Media 1986. - V. 1, №1. - pp. 3-25.

6. Donald A. Nield, Adrian Bejan Convection in Porous Media Springer, New York, 2006 -654 p.

7. Boussinesq, J. Thfeorie Analytique de la Chaleur, Vol. 2 Gauthier-Villars, -Paris, 1903.

8. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости М.: Наука, 1972. - 392 с.

9. Storesletten L. and Tveitereid M. Thermal convection in a porous medium confined by a horizontal cylinder // ASME HTD 1987. - №92. - pp. 223230.

10. Robillard L., Zhang X. and Zhao M. On the stability of a fluid-saturated porous medium contained in a horizontal circular cylinder // ASME HTD -1993.-№264.-49-55.

11. Andrew Rees and Peter A. Tyvand, The Helmholtz equation for convection in two-dimensional porous cavities with conducting boundaries // Journal of Engineering Mathematics 2004. - №49. - pp. 181-193.

12. Шайдуров Г.Ф. Тепловая неустойчивость жидкости в горизонтальном цилиндре // Инженерно-физический журнал 1961 - Т. 4, № 11 - С. 109-113

13. Storesletten L. and Tveitereid М. Natural convection in a horizontal porous cylinder // Int. J. Heat Mass Transfer 1991. - V. 34, № 8. - pp. 19591968.

14. Lyubimov D.V. Dynamic Properties of Thermal Convection in Porous Medium. Instabilities in Multiphase Flows Plenum Publishing Co. -London, 1993.

15. Dmitry A. Bratsun, Dmitry V. Lyubimov, Bernard Roux, Co-symmetry breakdown in problems of thermal convection porous medium // Physica D- 1995. V.82, № 3. - C. 398-417.

16. Любимов Д.В., Теплов B.C. Устойчивость модулированного просачивания жидкости в подогреваемой снизу пористой среде // «Гидродинамика», сборник научных трудов вып.11 Пермь, 1998.

17. Gershuni G.Z., Lyubimov D.V. Thermal Vibrational Convection Wiley. New York. 1998.-372 p.

18. Davis S.H. The Stability of Time Periodic Flows // Annu. Rev. Fluid Mech.- 1976.-V. 8.-pp. 57-74.

19. Гершуни Г.З., Жуховицкий E.M., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений М.: Наука, 1989. — 320 с.

20. Bardan G. and Mojtabi, A. On the Horton-Rogers-Lapwood convective instability with vertical vibration: Onset of convection // Physics of fluids -2000. V. 12, № 11. - pp. 2723-2731

21. Bardan G., Razi Y. P. and Mojtabi A. Comments on the mean flow averaged model // Phys. Fluids 2004, V.16, №12. pp. 4535-4538.

22. Mojtabi A. Influence of vibrations on the onset of thermo-convection in porous medium // Proc. 1st Int. Conf. Applications of Porous Media, Jerba,- Tunisia, 2002 pp. 704-721

23. Razi Y. P., Maliwan К. and Mojtabi A. Two different approaches for studying the Horton-Rogers-Lapwood problem under the effect of vertical vibration // Proc. 1st Int. Conf. Applications of Porous Media, Jerba, Tunisia, 2002, pp. 479-^188

24. Razi Y. P., Maliwan K., Charrier-Mojtabi M. C. and Mojtabi A. Influence of vibrations on buoyancy induced convection in porous media. Handbook of Porous Media (ed. K. Vafai), 2nd ed. Taylor and Francis, New York, 2005 -pp. 321-370

25. Malashetty M. S. and Padmavathi V. Effect of gravity modulation on the onset of convection in a fluid and porous layer // Int. J. Eng. Sci. 1997. — V. 35, №9.-pp. 219-226

26. Govender S. Stability of convection in a gravity modulated porous layer heated from below // Transport in Porous Media 2004. - V.57, №2. - pp. 113-123.

27. Govender S. Destabilizing a fluid saturated gravity modulated porous layer heated from above. // Transport in Porous Media 2005. - V.59, №2. - pp. 215-225.

28. Govender S. Linear stability and convection in a gravity modulated porous layer heated from below: Transition from synchronous to subharmonic oscillations// Transport in Porous Media 2005. - V.59, №2. - pp. 227-238.

29. Govender S. Weak non-linear analysis of convection in a gravity modulated porous layer. // Transport in Porous Media 2005. - V.60, №1. - pp. 33-42.

30. Haznedaroglu B.Z.,. Bolster C.H, Walker S.L. The role of starvation on Escherichia coli adhesion and transport in saturated porous media // J. Water research 2008. - V.42, №6. - pp. 1547-1554

31. Stephen E. Silliman Particle transport through two-dimensional, saturated porous media: influence of physical structure of the medium // Journal of Hydrology 1995.-V. 167, №2.-pp. 79-98

32. Архинчеев B.E Обобщенный закон Фика для аномальной диффузии в гребешковой модели // Письма в ЖЕТФ т. 86, № 8. - с. 580-583

33. Krepysheva N., Di Pietro L., Neel M-C. Space-fractional advection-diffusion and reflective boundary condition 11 Phys Rev E Stat Nonlin Soft Matter Phys. 2006. - V.73, № 021104. - pp. 1-9

34. Meerschaert M. M., Benson D. A. and Baumer B. Multidimensional advection and fractional dispersion // Phys. Rev. E 1999. - V.59, №5. -pp.5026-5028.

35. Schumer R., Benson D. A., Meerschaert M. M. and Bauemcr B. Fractal mobile/immobile solute transport // Water Resour. Res. 2003- V.39, №10.1296-pp. 1-13

36. Selim, H. M., and Amacher M. C. Reactivity and Transport of Heavy Metals in Soils CRC/lewis, Boca Raton, FL, 1997. - 240 p.

37. Mainardi F., Luchlco Y., Pagnini G. The fundamental solution of the spacetime fractional diffusion equation // Fractional Calculus & Applied Analysis. 2001. - V. 4, №. 2. - P. 153-192.

38. Metzler R., Klafter J. The restaurant at the end of the random walk: rccent developments in the description of anomalous transport by fractional dynamics // J. Phys. A. 2004. - V. 37. - P. 161-208.

39. Scalas E., Gorenflo R., Mainardi F. Uncoupled continuous-time random walks: Solution and limiting behavior of the master equation // Phys. Rev E. -2004.-V. 69,№ 011107 pp. 1-8.

40. Zhang Y., Benson D. A., Meerschaert M. M., Schcffler H. P. On Using Random Walks to Solve the Space-Fractional Advection-Dispersion Equations // J. Stat. Phys. 2006. - V. 123, № 1. - pp. 89-110.

41. Lutsko J. F., Boon J. P. Generalized diffusion: A microscopic approach // Phys. Rev. E. 2004. - V. 77, №051103. - pp. 1 -13.

42. Einstein. A. Investigations on the Theory of Brownian Movement Dover, New York, 1956.-549 p.

43. Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach // Physics Reports. 2000. - V. 339, № 1 -pp. 1-76.

44. Meerschaert M. M., Scheffler H. P. Limit theorems for continuous-time random walks with infinite mean waiting times// J. Appl. Probab. 2004. -V. 41, № 3. - pp. 623-638.

45. Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 2, 2nd Edition. Addison-Wessley pub. company, London, 1968, -297 p.

46. Gnedenko В. V., Kolmogorov A. N. Limit distributions for sums of independent variables Wiley and sons, New York, 1971. - 704 p.

47. Lèvy P. Théorie de l'addition des variables aléatoires. Gauthier-Villars, Paris, 1937- 328p.

48. Meerschaert M. M., Scheffler H. P. Limit distributions for sums of independent random vectors // Heavy tails in theory and practice. Wiley and sons, New York, 2001. - 512 p.

49. Сербина JI. И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных системах М.: Наука - 2007 - 168с.

50. Нахушева В.А. Дифференциальные уравнения математических моделей нелокальных процессов М.: Наука, 2006. — 173 с.

51. Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2003.-272 с

52. Л. В. Пехтерева Математическое моделирование процессов субдиффузии: дис. к. т. н. Новосибирск, 2008, — 162 с.

53. Zhang Y., Benson D. A., Bauemer B. Moment analysis for spatiotemporal fractional dispersion // Water Resour. Res. 2008. - V. 44, № W04424 -pp.1-12.

54. Bromly M., Hinz C. Non-Fickian transport in homogeneous unsaturated repacked sand // Water Resour. Res. 2004. - V. 40, № W07402 - pp. 1-13.

55. Cortis A., Chen Y., Scher H., Berkowitz B. Quantitative characterization of pore-scale disorder effects on transport in "homogeneous" granular media // Phys. Rev. E. 2004. - V. 70, №041108 - pp. 1-8.

56. Jacobs А. В. Transport bacterien en milieu poreux, Modélisation et application aux cas, d'épandage d'effluents PhD University of Avignon, -2007, - Avignon, 216 p.

57. Дыхне A.M., Кондратенко П.С., Матвеев J1.B. Перенос примеси в перколяционных средах // Письма в ЖЭТФ 2004. - т. 80, №6. — С. 464-467.

58. Van Genuchten M. T., Wierenga P. J. Mass Transfer Studies in Sorbing Porous Media I. Analytical Solutions // Soil. Sci. Soc. Am. J. 1976. - V. 40.-pp. 473-480.

59. Zaslavslcy G. Fractional kinetic equation for Hamiltonian chaos // Phys. D. -1994. V. 76, №3. - pp. 110-122.

60. Magdziarz M., Weron A., Weron K. Fractional Fokker-PIanck dynamics: Stochastic representation and computer simulation// Phys. Rev. E. 2007. -V. 75, №016708-pp. 1-6.

61. B. Baeumer, M.M. Mcerschaert, Fractional diffusion with two time scales // Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications 2007. - V. 373, №1 -pp. 237-251.

62. Zhang Y., Benson D.A., Meerschaert M.M., LaBolle E. M., and Schefflcr H.P. Random walk approximation of fractional-order multiscaling anomalous diffusion // Physical Review E 2006. - V. 74, №026706 - pp. 1-10.

63. Gouze P., Le Borgne T., Leprovost R., Lods G., Poidras T. and Pczard P. Non-Fickian dispersion in porous media: 1. Multiscale measurements using single-well injection withdrawal tracer tests // Water Resour. Res. 2008. -V.44, № W06426 - pp. 1-15.

64. Shamir U. Y., and Harleman D. R. F. Dispersion in layered porous media // Proc. Am. Soc. Civil. Eng. Hydr. 1967. - №. 93 - pp. 237-260.

65. Lindstrom F. T., Haque R., Freed V. II., and Boersma L. Theory on movement of some herbicides in soils: Linear diffusion and convection of chemicals in soil//Environ. Sci. Techno1. 1967. -№2 -pp. 561-565.

66. Selim, H. M. and Mansell R. S. Analytical solution of the equation of reactive solutes through soils, Reply // Water Resour. Res. 1976. - V.12 №3 - pp. 703-704.

67. Barry D. A. and Parker J. C. Approximations for solute transport through porous media with flow transverse to layering // Transp. Porous Media -1987. V2, №4. - pp. 65-82.

68. Bosma, W. J. P. and van der Zee S. E. A. T. M. Analytical approximations for nonlinear adsorbing solute transport in layered soils // J. Contam. Hydrol. 1992. - V.10, №2. -pp.99-118.

69. Selim H. M., Davidson J. M. and Rao P. S. C. Transport of reactive solutes through multilayered soils // Soil Sci. Soc. Am. J. 1977. - V.41, №1. - pp. 3-10.

70. Wu, Y. S, Kool J. B. and Huyakorn P. S An analytical model for nonlinear adsorptive transport through layered soils // Water Resour. Res. '- 1997. -V.33,№1.-pp. 21-29.

71. Guo L., Wagenet R. J., Hutson J. L and Boast C. W. Nonequilibrium transport of réactivé solutes through layered soil profiles with depth-dependent adsorption // Environ. Sci. Technol. 1997. - V.31, №8. - pp 2331-2338.

72. Leij F. J., Dane J. H. and van Genuchten M. Th. Mathematical analysis of one-dimensional solute transport in a layered soil profile // Soil Sci. Soc. Am. J. 1991. - V.55, №4. - pp. 944-953.

73. Liuzong Zhou and Selim H. M. Solute Transport in Layered Soils: Nonlinear and Kinetic Reactivity // Soil Sci. Soc. Am. J. 2001. - V.65, №4. - pp. 1056-1064.

74. Richardson L.F. Atmospheric diffusion shown on a distance-neighbor graph // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1926. - V. 110. № 756. - pp. 709-720.

75. Levy P. Processus stochastiques et mouvement Brownien — Gauthier-Villars, Paris:, 1965-458p.

76. Montroll E W., Weiss G. H. Random walks on lattices II // J. Math. Phys. -1965.-V.6,№2.-pp. 167-181.

77. Blom P.W.M., Vissenberg G.J.M., Dispersive hole transport in poly (p-phenylene vinylene) // PRL 1998. - V. 80. - Pp. 3819-3822.

78. Рытов C.M., Кравцов Ю.А., Татарский В.И., Введение в статистическую радиофизику 4.2. Случайные поля М.:Наука, 1978. -463с.

79. Balescu R. Statistical Dynamics, Matter out of Equilibrium Imperial Gollege Press, London, 1997. - 325p.

80. Bouchaud J.-P. Anomalous diffusion in disordered media: statistical mechanisms, models and physical applications // Physics Reports. 1990. -V.195, №4. - pp. 127-293.

81. Grifoni M., Hanggi P. Driven quantum tunneling // Physics Reports 1998. - V.304,№5. - pp. 229-354.

82. Kutner R., Pekalski A., Sznajd-Weron K. Anomalous Diffusion, from Basics to Applications Springer, Berlin, 1999. - 378p.

83. Shlesinger M.F., Zaslavsky G. M. Levy Flights and Related Topics -Springer, Berlin, 1995. 347p.

84. Weiss G.H., Aspects and Applications of the Random Walk North-Holland, Amsterdam, 1994. - 378p.

85. West B.J., Deering W. Fractal physiology for physicists: Levy statistics // Physics Reports 1994. - V.246,№1 - pp. 1-100.

86. Zaslavsky G.M., Benkadda S. Ghaos, Kinetics and Nonlinear Dynamics in Fluids and Plasmas Springer, Berlin, 1998. - 440p.

87. Zschokke L., Optical Spectroscopy of Glasses Reidel, Dordrecht, 1986. -282p.

88. Учайкин В.В. Аномальный перенос частиц с конечной скоростью и асимптотическая фрактальность // ЖТФ. — 1998. —Т. 68, № 1. С. 138-139.

89. Учайкин B.B. К теории аномальной диффузии частиц с конечной скоростью свободного движения // ТМФ. — 1998. —Т. 115, №1 С. 154-161.

90. Учайкин В.В., Саенко В.В., К теории классической мезодиффузии // ЖТФ 2001. - Т.71, №2. - С. 8-15.

91. Gu Q., Schiff Е.A, Grebner S. Non-gaussian transport measurements and the Einstein relation in amorphous silicon // Phys. Rev. Lett. 1996. - У.76, №.17-pp. 3196-3199.

92. Rinn В., Dieterich W., Maass P., Stochastic modelling of ion dynamics in complex systems: dipolar effects // PhilosophicalMagazine В 1998. - V. 77, №.5.-pp. 1283-1292.

93. Klemm A., Muller H.-P., Kimmich R., Evaluation of fractal parameters of percolation model objects and natural porous media by means of NMR microscopy // Physica A. 1999. - V.266, №2. - pp. 242-246.

94. Klemm A., Mueller H.-P., Kimmich R. NMR microscopy of pore-space backbones in rock, sponge, and sand in comparison with random percolation model objects // Physical Review E. 1997. - V.55, №4 - pp. 4413-4423.

95. Kimmich R. NMR: Tomography, Diffusometry, Relaxomctry Springer, Berlin, 1997. - 526p.

96. Amblard F., Maggs A.G., Yurke В., Subdiffusion and anomalous local viscoelasticity in actin networks // Phys. Rev. Lett. 1996. - V.77, №21. -pp. 4470-4473.

97. Doi M., Edwards S.F. The theory of Polymer Dynamics Glarendon Press, Oxford, 1986-408p.

98. Fischer E., Kimmich R., Beginn U. Segment diffusion in polymers confincd in nanopores: A fringe field NMR diffusometry study // Physical Review E -1999. V. 59, №4. - pp. 4079-4084.

99. Bunde M.P.A., Havlin S. Structural and dynamical properties of the percolation backbone in two and three dimensions // Physical Review E. -1997. V.56, № 2. - pp. 1667-1676.

100. Weeks E.R., Swinney H.L. Anomalous diffusion resulting from strongly asymmetric random walks I I Physical Review E 1998. - V.57, №5. - pp. 4915-4921.

101. Luedtke W.D., Landman U. Slip diffusion and Levy flights of an adsorbed gold nanocluster // Phys. Rev. Lett. 1999. - V. 82, №.19 - Pp. 3835-3838.

102. Shlesinger M.F., West B. J., Klafter J. Levy dynamics of enhanced diffusion: Application to turbulence // Phys. Rev. Lett. 1987. - V.58, №11. -pp. 1100-1103.

103. Sokolov L M., Blumen A., Klafter J. Drade approach to anomalous diffusion: Application to Richardson dispersion in turbulent flows // Europhys. Lett. 1999. - V.47, №2. - pp. 152-157.95

104. Schaufler S., Schleich W. P., Yakovlev V. P. Key-hole look at Levy flightsin subrecoil laser cooling // Phys. Rev. Lett. 1999. - V.83, №16. - pp.i3162-3165.

105. Schaufler S., Schleich W. P., Yakovlev V. P. Scaling and asymptotic laws in subrecoil laser cooling // Europhys. Lett. 1997. - V.39, №4. - pp. 383-388.

106. Bychulc O. V., O' Shaughnessy B., Anomalous diffusion at liquid surfaces // Phys. Rev. Lett.- 1994.- V.74, № 10.-pp. 1795-1798.

107. Stapf S., Kimmich R., Seitter R.-O. Proton and deuteron field-cycling nmr relaxometry of liquids in porous glasses: Evidence for levy-walk statistics // Phys. Rev. Lett. 1995. - V.75, № 15. - pp. 2855-2858.

108. Ott A., Bouchaud J. P., Langevin D. Anomalous diffusion in "living polymers": A genuine Levy flight // Physical Review Letters. Phys. Rev. Lett. 1990. - V.65, № 17. - pp. 2201-2204.

109. Sahimi M., Non-linear and non-local transport processes in heterogeneous media: from long-range correlated percolation to fracture and materials breakdown // Physics Reports. 1998. - V.306, №.4 - pp. 213-395.

110. Alt W., Hoffmann G. Biological Motion, Lecture Notes in Biomathematics V. 89 Springer, Berlin, 1984. - 604p.

111. Matthews C. K., van Holde K. E. Biochemistry, 2nd Edition Benjamin-Cummings Pub Co, Menlo Park, CA, 1996. - 1156p.

112. Falconer K. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications- Wiley, Chichester, UK, 1990. 3 lOp.

113. Mandelbrot B. B. The Fractal Geometry of Nature Freeman, New York 1983.-468p.

114. Takayasu H. Fractals in the Physical Sciences Manchester University Press, Manchester, 1990. - 176p.

115. O' Shaughnessy B., Procaccia I. Analytical solutions for diffusion on fractal objects // Phys. Rev. Lett. 1985. - V.54, № 5. - pp. 455-458.

116. Barkai E., Fleurov V. N. Levy walks and generalized stochastic collision models // Physical Review E. 1997. - V.56, № 6 - pp. 6355-6362.

117. Berkowitz B., Scher H. Theory of anomalous transport in random fracture networks // Phys. Rev. Lett. 1997. - V.79, № 20. - pp. 4038-4041.

118. Klafter J., Silbey R. Derivation of the continuous-time random-walk equation // Phys. Rev. Lett 1980. - V.44, № 2. - pp. 55-58.

119. Kutner R., Maass P. Levy flights with quenched noise amplitudes // Journal of Physics A. 1998.-V.31,№ 11.-pp. 2603-2609.

120. Fogedby H. C. Levy flights in random environments // Phys. Rev. Lett. -1994. V.73, № 19. - pp 2517-2520.

121. ICubo R., Toda M., Hashitsume N. Statistical Physics II, Solid State Sciences, Vol. 31 Springer, Berlin, 1985. - 279p.

122. Wang K.G., Tokuyama M. Nonequilibrium statistical description of anomalous diffusion // Physica A. 1999. - V.265, № 3. - pp 341-351.

123. Oppenheim I., Shuler К. E., Weiss G. H., Stochastic Processes in Chemical Physics: The Master Equation MIT Press, Cambridge, Massachusetts, 1977.-561p.

124. Borland L., Microscopic dynamics of the nonlinear fokkcr-planck equation: A phenomenological model // Physical Review E. 1998. - V.57, № 6 - pp. 6634-6643.

125. Compte A., Jou D. Non-equilibrium thermodynamics and anomalous diffusion // Journal of Physics A. 1996. - V.29, № 15. - pp. 4321-4329.

126. Tsallis C., Bukman, D. J. Anomalous diffusion in the presence of external forces: Exact time-dependent solutions and their thermostatistical basis // Physical Review E. 1996. - V.54, № 3 - pp. R2197-R2200.

127. Tsallis C., Levy S. V. F., Souza A. M. C. Statistical-mechanical foundation of the ubiquity of levy distributions in nature // Phys. Rev. Lett. 1995. -V.75, № 20. - pp. 3589-3593.

128. Zanette D. H., Alemany P. A. Thermodynamics of anomalous diffusion // Phys. Rev. Lett. 1995. - V.75, № 3. - pp. 366-369.

129. Кляцкин В.И., Татарский В.И. Новый метод последовательных приближений в задаче о распространении волн в случайных средах // Известия ВУЗ. Радиофизика. 1971,-Т. 14,№9 - С. 1400-1415.

130. Анресян JI.A., Методы статистической теории возмущений// Известия ВУЗ. Радиофизика. 1974. - Т. 17, №2. - С. 165-184.

131. Барабаненков Ю. Н., Кравцов Ю. А., Рытов С.М., Татарский В. И. Состояние теории распространения волн в случайно-неоднородной среде // УФН. 1970. - ТД02,№1 - 3-43.

132. Учайкин В В Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФН 2003. -Т. 173, № 8. - с.847-876

133. Mainardi F. Fractional relaxation-oscillation and fractional diffusion- wave phenomena // Chaos, Solutions & Fractals. 1996. - V.7, №9 - pp. 14611477.

134. Metzler R., Gloclcle W. G., Nonnenmacher T. F. Fractional model equation for anomalous diffusion // Physica A. 1994. - V.211, №1 - pp. 13-24.

135. Metzler R., Klafter J. Boundary value problems for fractional diffusion equations // Physica A. 2000. - Vol. 278, №1 - pp. 107-125.

136. Metzler R., Nonnenmacher T.F. Fractional diffusion, waiting-time distributions, and cattaneo- type equations // Physical Review E. 1998. -V.57, №6 - pp. 6409-6414.

137. Roman H.E., Alemany P.A., Continuous-time random walks and the fractional diffusion equation // Journal of Physics A. 1994. - V.27, №10 -pp.3407-3410.

138. Saichev A.I., Zaslavsky G.M. Fractional kinetic equations: solutions and applications // Chaos. 1997. - V.7, №4 - pp. 753-764.

139. Barlcai E., Metzler R., Klafter J., From continuous time random walks to the fractional foklcer- planck equation // Physical Review E. 2000. - V.61, №1 -pp. 132-138.

140. Jespersen S., Metzler R., Fogedby H.C. Levy flights in external force fields: Langevin and fractional fokker-planck equations and their solutions // Physical Review E. 1999. - V.59, №3 - pp. 2736-2745.

141. Саичев А. И., Уткин С. Г., Переход многомерных скачкообразных процессов от аномальной к линейной диффузии //ТМФ. 2005. — Т. 143,№3. - с. 455-464.

142. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability Clarendon, Oxford, 1961.-704p.

143. Hattori F., Talcabe K, and Mima K. Rayleigh-Taylor instability in a spherically stagnating system // Phys. Fluids 1986. - V.29, №5 - pp. 17191724.

144. Sharma R. С. and Sunil J. Thermal instability of a compressible finite-Larmor-radius Hall plasma in a porous medium // J. Plasma Physics- 1996.- V.55, №1 pp. 35-45.

145. Yang J., D'Onofrio A., Kalliadasis, S. De Wit A. Rayleigh-Taylor instability of reaction-diffusion acidity fronts // J. Chemical Physics 2002.- V.l 17, №20 pp. 9395-9408.

146. Voltz C., Pesch W. and Rehberg I. Rayleigh-Taylor instability in a sedimenting suspension // Physical Review E. 2001. - V.65, № 011404 -pp. 1-7.

147. Lima D., van Saarloos W., De Wit A. Rayleigh-Taylor instability of pulled versus pushed fronts // Physica D 2006. - V.218, № 2 - pp. 158-166.

148. Bratsun, D. A.; Shi, Y.; Eckert, K.; DeWit, A., Control of chemo-hydrodynamic pattern formation by external localized cooling // Europhys. Lett. 2005. - V.69, № s - pp. 746-752.

149. Boris Maryshev, Maminirina Joelson, Dimilri Lyubimov ,Tatiana Lyubimova and Marie-Christine Néel Non Fickian flux for advection-dispersion with immobile periods // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. - V. 42, №115001.-pp.1-17

150. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Марышев Б.С., Marie-Christine Néel, Дискретизация потока примеси в рамках фрактальной MIM модели аномальной диффузии // Вычислительная механика сплошных сред. — 2010.-Т. 3, № 2. С. 70-82

151. Найфе. А. Введение в методы возмущений. М: Мир, 1984. - 536с.

152. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики, — М: Наука, 1977.-735с.

153. Кузнецов С.П. Динамический хаос (курс лекций) М: Физ.-Мат. Лит., 2001 .-296с.

154. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильпиков Л.П. "Итоги науки и техники" Современные проблемы математики т. V. Теория бифуркаций М: ВИНИТИ, 1986. - 218с.

155. Ford J. A., Generalization of the Jenlcins-Traub Method // Mathematics of Computation 1977,-V.31,№. 137, pp. 193-203.

156. Лобов Н.И, Любимов, Д.В., Любимова Т.П., Численные методы решения задач теории гидродинамической устойчивости: Учебное пособие Пермь: ПТУ, 2004. - 99с.

157. Калиткин H.H. Численные методы М: Наука, 1978. - 512с.

158. Burns E. Results of 2-dimensional sandbox experiments: Longitudinal dispersivity determination and seawater intrusion of coastal aquifers // Master's thesis, Univ. of Nevada 1995.

159. Gorenflo R., Mainardi F. Integral and differential equations of fractional order // CISM lecture notes 1997. - №. 378. - pp. 223-274.

160. Потапов A.A., Черных B.A. Дробное исчисление A.B. Летникова, теория фракталов и скейлинг- М.: Физматлит, 2009. 820с.

161. Diethelm К., Ford N. J., Freed A. D. and Luchko Y. Algorithms for the fractional calculus: a selection of numerical methods // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 2005. - V.194, №7. - pp.743-773.

162. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление М, Физматгиз, 1961. - 524с.

163. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. — 432 с.

164. Uchaikin V.V., Zolotarev V.M. Chance and Stability. Stable Distributions and their Applications. Netherlands, Utrecht, VSP, 1999 - 570p.

165. Полубаринова-Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод М.: Наука, 1977.-664с.

166. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. Перев. с англ. М.: Изд. иностранной лит, 1963. - 219с.I