Нестационарные течения тиксотропных жидкостей, в частности, крови тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.08 ВАК РФ

РГ 6 ой

а / поп

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И.В.ЛОМОНОСОВА

на правах рукописи

НЕТРЕБКО НИНА ВЛАДИМИРОВНА

Нестационаркыз течения тихсотропных жидкостей, з частности, крови

(01.02.08 - биомеханика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва -1993

Работа выполнена в Институте механики МГУ им. М.В.Ломоносова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Рбгирер С .А.

Официальные оппоненты: - академик РАН, профессор Нигматулин Р.И.

- кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ЦатурянА.К.

Ведущая организация:

Институт прикладной физики РАН (Н.Новгород)

Защита состоится " 1993 Г. В часов на

заседании специализированного Совета Л 053.05.02 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова по адресу: 117234 г. Москва, Воробьевы горы, Главное здание МГУ, ауд. 1&-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан 1993 Г.

Ученый секретарь Специализированного Совета профессор

__I В.П.Карликов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интерес к изучению нестационарных течений тиксотропных жидкостей вызван, во-первых, многочисленными экспериментальными данными о таких течениях при почти полном отсутствии их теоретического описания, во-вторых, необходимостью обработки данных вискозиметрических экспериментов. Актуальность темы обусловлена тем, что к тиксотропным жидкостям относится кровь -важнейшая подвижная среда в живых организмах. Для объяснения особенностей течения крови в кровеносных сосудах и каналах экстракорпоральных устройств необходимо иметь математическую модель крови как сплошной среды, адекватно описывающую ее поведение в различных условиях.

Цель работы - обосновать и конкретизировать математическую модель кинетики структурообразования в крови, на базе этой модели решить некоторые задачи о нестационарных течениях жидкостей с переменней ; г/ктурей в каналах и в зазоре ротационного вискозиметра, а также исследовать возможность математического моделирования некоторых патологических ¡грсцопсов в организме человека, протекающих по принципу положительной обратной связи.

Научная новизна.

- Предложена' модель кинетики структуроизменения в крови, адекватно описывающая происходящие в ней процессы при нестационарных течениях и пмготгно птличяетняяоя от рутоству™™Х «0Д9ЛРЙ тем, ЧТО одновременно учитывает влияние на образование и распад агрегатов всех важнейших факторов: скорости сдвига, размера и форт агрегатов, прочности связей частиц в агрегатах, вязкости несущей фазы и т. д.

- В рамках модели поставлены и решены задачи о течении тиксотропной жидкости в каналах и жестких бесконечных или полубесконечных трубках. Показано, что к приводимым в литературе оценкам вклада неньютоновских свойств крови в расходные характеристики малых кровеносных сосудов и трубок надо относиться с осторожностью, ибо они не принимают во внимание различие между квазистационэрной и нестационарной агрегацией.

- Модель использована для объяснения некоторых эффектов, наблюдавшихся при оседании частиц в зазоре ротационного вискозиметра; модель позволяет не только объяснить особенности процесса гравитационного оседания агрегирующихся частиц, но и дать рекомендации по усовершенствованию способов клинической диагностики крови путем определения прочности эритрощггарных агрегатов, которая через вязкость оказывает влияние на эффективность работы сердца и на кровоснабжение тканей.

- Построена математическая модель процесса необратимой прогрессирующей агрегации эритроцитов - спутника многих заболеваний; предсказаны способы предотвращения развития или коррекции такого процесса.

Практическая значимость. Полученные результаты могут быть использованы в задачах о нестационарных течениях многих природных жидкостей, двухфазных по строению и тиксотропных по реологическому поведению. Они могут быть полезны также при обработке данных вискозиметрических экспериментов, при проектировании экстракорпоральных устройств или их отдельных участков; при разработке неинвазивных методов исследования крови в диагностических целях.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуздались:

- на III Всесоюзной конференции по проблемам биомеханики, Рига, 1983 Г. ;

- на Международной конференции "Достижения биомеханики в медицине". Рига, 1986 г.;

- на конференции гематологов РСФСР, Саратов, 1988 г.;

- на рабочих совещаниях "Биомеханика - 87" и "Биомеханика - 89";

- на семинарах по биомеханике в Институте механики МГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в и работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти

ь

глав, выводов и списка литературы. Объем диссертации составляет страниц, включая рисунков и списка литературы,

насчитывающего наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во Введении обсуждается актуальность рассматриваемой темы и излагается краткое содержание работы.

В Главе I представлен обзор литературных данных, касающихся основных результатов в механике тиксотропных жидкостей. Анализируются достоинства и недостатки различных реологических моделей крови как неньиггоновской жидкости, а также некоторые модели тиксотропных жидкостей. Рассматриваются те теоретические работы о течении неньютоновских жидкостей в трубках и каналах, идеи которых прилошшы к изучению течения крови.

Глава II посвящена конструированию модели суспензии с ах^егарукеиЕшся частицами с привлечением соображений теории размерное:?- и флзкческях представлений. Обсувдается область применимости простей®?: шделей первого порядка с единственным структурным параметром (для крови это средний объем агрегата или числовая концентрация агрегзмв).

Эволюцию числовой концентреакн агрегатов N в сдвиговом потоке при наличии силы гяевсгн предлаг?м :л спясывать уравнением

НАГ На .. (Ы 1'-?*

где 6 - разность истинных плотностей частиц и жидкости, д - ускорение свободного падения, % - вязкость плазмы, и - гематокрит, /2е - второй

инвариант тензора скоростей деформации, /V* - максимально возможная

числовая концентрация агрегатов (соответствующая полному распаду всех агрегатов на отдельные эритроциты), ч = - вязкость

суспензии, а - прочность эритроцитарных агрегатов (разрушающее напряжение), % - единичная функция Хевисайда, ФБ, Ф и Ф - непрерывные

монотомно возрастайте функции своих аргументов, обращающиеся в нуль вместе со своим аргументом. Первое слагаемое в правой части уравнения представляет собой скорость гравитационной агрегации эритроцитов, второе - скорость сдвиговой агрегации, третье - скорость сдвигового разрушения агрегатов. Скорости гравитационной и сдвиговой агрегации суммируются в силу независимости соответствующих механизмов столкновений, приводящих к слипанию частиц. Константы о*, a-, -f < г > р отражают скорости процессов образования и распада агрегатов (в% а ), форму агрегатов (у, г, р)- Физические соображения позволяют определить возможные пределы юс изменения. Функция ч определяет минимальный размер va агрегатов, которые могут быть разрушены при

данной интенсивности сдвиговых напряжений, а именно ^ = H/N+V.

Полная система уравнений, описывающая нестационарные течения жидкостей с переменной структурой без учета миграции частиц, состоит из уравнения (*), формулы для вязкости ij = ri(N/N+) и уравнения Ньютона

г = t} /2е, либо (раздел з главы IV) уравнения вязкоупругости А,г + г =

ч(/2е + Л2?2е), где А,, а2 зависят от л/л'».

Заданное в виде (*) уравнение кинетики агрегации обобщает многие ранее предлагавшиеся и качественно согласуется с результатами экспериментов для различных суспензий с агрегирующимися частицами. Зависимость касательных напряжений от скорости сдвига в стационарном течении (d/v/di = о) соответствует псевдопластическому (г* < г) или вязкопластическому (?♦ = г) поведению среды, причем для моделирования последнего не требуется явно вводить гипотезу о существовании предельного напряжения сдвига.

Б этой же главе приведены точные решения некоторых задач о сдвиговых прямолинейно-параллельных течениях в полупространстве с подвижной границей и о течениях Куэтта, исследованы возможности существования автомодельных решений, в частности, решений в виде бегущих сдвиговых волн.

В главе III решаются модельные задачи о движении суспензии с агрегирующимися частицами. Первый раздел посвящен задаче о

пульсирующем течении в длинной трубке круглого сечения. Исследованы вопросы существования, единственности и устойчивости решений. Показано, что при т* < Г тривиальное решение г г о, где г = лу/У* -

безразмерная концентрация агрегатов, всегда неустойчиво, при т - у тривиальное решение устойчиво вблизи оси трубки при малых г и потому в потоке существует квазитвердое ядро - область, где 2 = о для всех I. В

зависимости от сходимости или расходимости интеграла 3 = /7(2) 2Г'1йг

о

решение 2=0 соответственно неединсгвеннно или единственно, а радиус ядра течения - периодическая функция времени или постоянная величина. Радиус ядра пропорционален прочности агрегатов, обратно пропорционален характерной скорости сдвига, уменьшается с ростом амплитуды колебаний градиента давления, а также зависит от отношения констант а* и с. От частоты колебаний градиента давления радиус ядра не зависит. Та-скм образом, при определенных типах кинетики агрегации жидкость, проязляктчая в стационарных течениях вязкопластические свойства, г* самом дзле не- обладает предельным напряжением сдвига в обычном смысле. Ьст.ч в зязкоштстической среде касательное напряжение яа границе игра всегда постоянно, то в тиксотропной жидкости с т - г оно мезяется пропорционально модулю градиента давления.

Решение системы уравнений гйдредапаьзши и кинетики агрегации (дезагрегации) исследовалось численно с использованием метода Кутта-Мерсона четвертого порядка с целью установлен;! зависимости от

иЯРТЛти XX оитпХ'Ит» »гл»аКвт1Й ттаи-тмттмл т»»Лляп»

---- . - .. »и.».»•««••кммши» л *. и ) V Ж «А

агрегатов, характерной скорости сдвига /*, констант у, г таких

характеристик течения, как профиль средней концентрации зграгзтов, размах колебаний концентрации агрегатов и вязкости кре&к, расход, эффективная вязкость и др. Рассмотрено отличие полученного решения от квазистационарного (по кинетике сгруктурообразованил). На основании расчетов можно сделать вывод о недопустимости игнорирования тиссотропных свойств крови при оценке вклада неньютоновских свойств крови в расходные характеристики малых кровеносных сосудов и трубок вискозиметрических приборов. Эти оценки обычно основываются на предположении о нелинейно-вязких свойствах

б

крови и о том, что характер течения полностью определяется средним значением пристенной скорости сдвига, которая для малых сосудов весьма велика, тогда как параметр /* может принадлежать области, где

различия между квазистационарной и нестационарной агрегацией следует принимать во внимание.

Второй раздел главы III посвящен исследованию развития течения тиксотропной жидкости в жесткой цилиндрической трубке. В отличие от классической задачи о развитии течения ньютоновской вязкой жидкости, в этой задаче вдоль направления течения меняется не только профиль скорости, но и профиль распределения 2, причем формирования профилей происходят с разными скоростями. Условия течения крови в реальных малых артериальных сосудах и в трубках экстракорпоральных устройств приборов часто таковы, что существенное изменение агрегационной структуры продолжается тогда, когда роль инерционных эффектов в уравнении гидродинамики становится несущественной, так что течение описывается уравнениями теории смазки с переменной вязкостью. Актуальность подобной задачи связана с тем, что длины сосудов в организме или трубок в приборах могут бьггь меньше, чем расстояние, на которой агрегационную структуру можно считать развитой. Неравновесность агрегации оказывает заметное влияние, особенно при низких скоростях сдвига, на распределение гидродинамических величин.

Численные расчеты проводились по методу Ньютона. Условие постоянства расхода влекло за собой наличие в правой части уравнения интегралов по всему сечению, что затрудняло использование методов более высокого порядка точности. В численных расчетах длина агрегационного начального участка оценивалась как расстояние от входного сечения, на котором )г. - тШю] = о,01 г„ю, где г„ и т,а -

напряжения сдвига на стенке, текущее и на бесконечности

г- радиальная координата.

Если пользоваться формулой Пуазейля, то кажущуюся вязкость (в

соответственно; последнее находилась по формуле г, = [} -¿-у аЛ где

х

безразмерном виде) можно найти как

о о

трубки. Величина ц может увеличиваться или уменьшаться с ростом г в

зависимости от того, является ли т. возрастающей или убываодей

функцией г. В соответствии с этим при небольших длинах сосудов можно получить завьшешшэ или заниженные значения вязкости. Кажущаяся вязкость зависит таклэ от начального распределения 20, от скоростей

процессов распада и образования агрегатов.

Глава IV посвящена изучению движения суспензии с згрегирупцамися частицами в зазоре ротационного вискозиметра.

Необходимость в постановке и решении задачи о гравитационном зседании-агрегирующихся частиц в сдвиговом потоке, о которой идет речь в разделе 1, возникла, во-первых, в связи с появлением в печати результатов экспериментального изучения оседания эритроцитов в щели ротационного вискозиметра и зависимости СОЭ (скорости оседания }ритроцитов) от скорости вращения ротора вискозшзтра, а во-вторых, в :вязи с тем, что стандартная методика диагностики крови по СОЭ обладает недостаточной информативностью. Теоретическое исследование эседапия эритроцитов в сдвиговом потоке позволяющзт проследить ззаимосвязь показателей оседания с агрегационными свойствами зритроцитоз. В задачу входило:

а) проверить модель кинетики агрегации эритроцитов в сдвиговом готоке путем сравнения результатов реаения исходной системы /равнений с результатами упомянутых экспериментов;

б) найти диапазоны численных значений но поддающихся теоретическому определению коэффициентов в уравнении кинетики згрегацки, определяющих скорости образования и распада агрегатов и влияние на эти скорости формы и размеров агрегатов;

в) исследовать возможность применения ротационного вискозиметра для диагностики обратимой агрегации эритроцитов в опсросбъемах крови.

В разделе 2 построена модель, описывающая процесс оседания агрегирующихся частиц, состоящая из трех уравнений:

<1г_ _ (1 - Н)г Vм

т~р—щщ—>

= -кНл- о, V/- V< V-1) и- Ц,

ат н=

i — x/L'

где р =[(р* - /Jsi^3]V = »/ц,, i - средний объем агрегата, q, -

объем одиночного эритроцита, ij - вязкость суспензии, L - высота рабочей части вискозиметра, х - вертикальная координата границы раздела между зоной чистой плазмы и зоной оседающих эритроцитов, И, Н0 - текущее и начальное значения геиатокрита, константа п отражает

форму агрегатов, 1— скорость сдвига, <г- средняя прочность агрегатов. Первое уравнение описывает скорость опускания граница раздела между зоной чистой плазмы и зоной оседающих агрегатов, второе уравнение -есть уравнение кинетики агрегации (*), упрощенное и переформулированное для среднего объема агрегатов,, связанного с числовой концентрацией агрегатов формулой Nv = Н; третье уравнение приближенно отражает постоянство суммарного объема всех эритроцитов. Начальные условия для системы: х = о, V - 1 при t = О. Система решалась численно методом Кутта-Мерсона четвертого порядка с переменным шагом. Исследовалась зависимость характеристик оседания в ротационном вискозиметре от скорости сдвига при различных значениях параметров к, а,, а2. Для сравнения с экспериментальными данными по

результатам расчетов строились графики зависимостей: а) высоты столба чистой плазмы через промежутки времени т = 5, ю, 20, зо и 60 кинут с момента запуска прибора от скорости сдвига; б) скорости оседания (т.е. скорости движения границы раздела между зоной чистой плазмы и зоной оседающих частиц) в мм/час от скорости сдвига при прохождении границей раздела уровней 5, ю, 15 мм, считая от верхней границы налитой крови. Полученные зависимости качественно и по порядку величин хорошо соответствуют экспериментальным данным. Зависимость от скорости сдвига таких характеристик, как скорость и величина> оседания через заданный промежуток времени, время "прохождения границы раздела чистой плазмы и зоны оседающих эритроцитов мимо заданной отметки, имеют немонотонный характер, связанный с усилением агрегации в сдвиговом потоке и распадом

агрегатов при больших скоростях сдвига. Это позволяет оценивать микрореологические параметры суспензии (крови), как с целью конкретизации математической модели кинетики агрегации .частиц (эритроцитов) в сдвиговом потоке, так и с диагностической целью. Установлено, что показатели гравитационного оседания агрегирующихся эритроцитов в ротационном вискозиметре при различных скоростях сдвига могут дать более полную информацию об агрегационных свойствах частиц, чем показатели оседания в отсутствие сдвигового потока.

Й известных экспериментальных работах каждай эксперимент по определению СОЭ проводился при постоянной скорости сдвига. Ясно, что трудоемкость такого метода на позволяет использовать его в клинической практике. Нозтому интересно проследить за скоростью оседания при постепенном (непрерывном или дискретном) увеличении скорости сдвига. Как показали численные расчеты, зависимость скорости оседания от времени имеет, как и ожидалось, немонотонный характер, причем, как и в случае экспериментов при постоянной скорости сдвига, положение и величина максимальной скорости оседания также могут служить для оценки парачатров агрегации.

Предложенная модель реологического поведения крови хорошо описывает процессы, происходящие в крови при постоянной или медленно меняющейся во времени скорости сдвига, когда вязкие эффекты преобладают над упругими. Поэтому результаты описанных недавно в литературе нестационарных реологических экспериментов не могут быть объяснены с помощью этой модели. В разделе 3 главы IV для моделирования реологического поведения крови в однородном КйСхаЦйОНзрНОм СдййГОБС'Ы ПОтОКб ПрёДЛвГсюйСЯ ИСЛОЛЬЗОБаТЬ СйСТсЫу уравнений, состоящую из определяющего уравнения вязкоупругости V + т = + -Мг<). уравнения кинетики агрегации эритроцитов и

зависимости характеристик упругости среда А,, а2 от гематокрита и

числовой концентрации агрегатов. Зависимость вязкости от тех же параметров выводилась с использованием стационарного решения кинетического уравнения, а также того факта, что в стационарных условиях поведение крови удовлетворительно описывается моделью Кессона тхп = т^1 + Численно исследовалось поведение крови на

основе предложенной системы уравнений при ступенчатом и пилообразном

изменении скорости сдвига. Полученные при численных расчетах кривые зависимостей г(() в обоих случаях качественно совпадают с экспериментальными. Представления о возможности интерпретации гистерезисных кривых только на основе уравнения вязкоупругости, полагая агрегационное состояние крови квазистационарным, не подтверждаются расчетами.

Предложенная модель позволяет исследовать влияние различных параметров на вид гистерезисных кривых, однако анализ вклада каждого из параметров в окончательный вид кривых и, следовательно, оценка параметров на основе экспериментальных кривых пока затруднительна вследствие их сложного взаимовлияния.

В главе V делается попытка построения и исследования математической модели прогрессирующей агрегации эритроцитов -патологического процесса, протекающего в организме при многих заболеваниях по принципу положительной обратной связи. Основу модели составляет кинетическое уравнение агрегации (дезагрегации) эритроцитов, а также дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию прочности эритроцитарных агрегатов. Эта система уравнений позволяет исследовать динамику изменения со временен определявших реологических характеристик крови, а также влияние на их изменения параметров, связанных с работой сердца, геометрией артериального и венозного русла, с размерами и числом функционирующих сосудов.

Качественное исследование модели на фазовой плоскости (<г, »), где г - средний размер агрегатов, а - средняя прочность агрегатов, позволяет проследить фазы развития патологического процесса, а также исследовать влияние на него параметров, поддающихся контролю и изменению, что делает возможный предсказать вероятные последствия различных воздействий, включая способы лечения. Вид фазового портрета зависит от названных параметров, влияпцих на расположение сепаратрис, ограничивающих области притяжения особых точек. Возможны два направления вмешательства, приводящего к остановке прогрессирования отклонения: прямое возвращение параметров в жестко заданные пределы или смещение границ областей. Показано, что необходимо контролировать влияние пригашаемых мер на динамику развития патологии не только по значениям вязкости крови, но и по прочности агрегатов. Следить за ходом болезни по измерениям только

и

одного из стандартных показателей недостаточно, поскольку развитие / неустойчивых возмущений при возвращении к норме одних параметров может сопровождаться необратимыми и опасными для жизни изменениями других параметров. г

ВЫВОДЫ

1. Предложенная модель кинетики сдвиговой агрегации и дезагрегации эритроцитов удовлетворительно описывает большинство известных из литературы данных вискозиметрических экспериментов, непротиворечива по физическому смыслу и иогат служить основой для расчета нестационарных течений крови. Ваннам отличием модели от существующих является отсутствие наперед заданного значения предельного напряжения сдвига; оно определяется решением конкретной задачи.

2. Получено решение задачи о развитом пульсирующем течении тиксотропнсй жидкости в цилиндрической жесткой трубке, исследовано влияние скорости сдвига, частоты пульсаций, размера и формы агрегатов, средней прочности связей частиц в агрегатах и др. Показано, что нестационарная агрегация эритроцитов вносит значительный вклад в расходные характеристики малых кровеносных сосудов и трубок приборов, отличный от вклада квазистационарной агрегации.

$. Решена задача о развитии стационарного течения тиксотропной зицкоста в начальном участке гголуЛескснечнсй жесткой цилиндрической трубки. Реальные размеры малых кровеносных сосудов и трубок экстракорпоральных устройств часто таковы, что при расчете течений в них и при обработке данных вискозиметрических экспериментов необходимо -учитывать, особенно при низких скоростях сдвига, влияние неравновесности агрегации на распределение гидродинамических величин. Установлено, что показатели гравитационного оседания агрегирующихся эритроцитов в ротационном вискозиметре могут дать более полную информацию об агрегациоиных свойствах эритроцитов, чем показатели оседания в отсутствие потока. Подобные данные представляют интерес для клинической оценки

iZ

состояния крови. Введение в модель определяющего дифференциального уравнения с учетом вязкоупругости позволяет с единых позиций интерпретировать результаты нестационарных вискозиметрических экспериментов. Модель может быть использована для расчета нестационарных течений крови и оценки агрегационных и упругих характеристик крови на основе стандартных нестационарных экспериментов.

5. Модель пригодна для анализа некоторых патологических изменений в системе кровообращения, развивающихся по типу положительных обратных связей. Решение задачи о прогрессирующей агрегации эритроцитов позволяет не только сделать качественные вывода о причинах развития . необратимых изменений в системе кровообращения, но и предсказать возможные варианты их предотвращения и коррекции.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих

работах:

1. Лосев Е.С., Нетребко Н.В., Орлова И.В. Гравитационное оседание агрегирующих частиц в сдвиговом потоке // Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1989. №2. С.95-98.

2. Лосев Е.С., Нетребко Н.В. Гравитационное оседание частиц суспензии (эритроцитов) в ротационном вискозиметре Отчет Института механики МГУ. № 3570. -1987. 42 с.

3. Лосев Е.С., Нетребко Н.В. Моделирование реологического поведения крови в нестационарных условиях : Отчет Института механики МГУ tt 3717. -1988. 53 с.

4. Моисеева И.Н., Регирер С.А.,. Юзбашева Н.В. О нестационарных течениях тиксотропной жидкости: Отчет Института механики МГУ № 2191. -1979. 52 С.

5. Нетребко Н.В., Орлова И.В., Регирер С.А. Некоторые эффекты агрегации эритроцитов при течении крови: Отчет Института механики МГУ № 2622. - 1982. 51 с.

6. Нетребко Н.В., Орлова И.В.. Регирер С.А. Квазистационарное пульсирующее течение тиксотропной жидкости в цилиндрической трубке//Изв. АН СССР. Мех. жидкости и газа. 1987. №l. С. 3-9.

/

i3 /

л'

/ /

7. Нетребко Н.В.. Регирер С.А. Квазистацг^нарноо пульсирующее течение тиксотропной жидкости в длинной трубке : Отчет Института механики МГУ № 2930. -1984. 40 с.

8. Нетребко Н.В., Регярер С.А. Развитие течения тиксотропной жидкости: Отчет Института механики МГУ № 2764. -1983. 34 с.

9. Нетребко Н.В., Фирсов H.H. Прогрессирующая агрегация эритроцитов как причина развития шока: Тезисы конференции гематологов РСФСР. Саратов, 1988. С. 253-255.

Ю. Орлова И.В., Нетребко Н.В. Агрегация эритроцитов при пульсирующем течении крови: асимптотическая теория и численный расчет//Тез. докл. з-йВсес. конф. по проблемам биомеханики. Т.1. Рига, 1983. С.256-257.

11. Фирсов H.H., Регирер С.А., Нетребко Н.В. Моделирование гемодинамики для задач клинической токсикологии на основе идеи синергетики//Науч. и техн. аспекты охраны окруж. среды. 1991. »1. С.66-75.