Моделирование течений ньютоновских и неньютоновских жидкостей в цилиндрическом зазоре тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ
|
Подрябинкин, Евгений Викторович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Новосибирск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2014
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.05
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Подрябинкин Евгений Викторович
Моделирование течений ньютоновских и неньютоновских жидкостей в цилиндрическом зазоре
01.02.05 - Механика жидкости, газа и плазмы
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
Новосибирск - 2014
005546896
005546896
Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего и профессионального образования «Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет (Сибсгрин)», на кафедре
Рудяк Валерий Яковлевич
Доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической механики Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин)
Аульчепко Сергей Михайлович
Доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник Института теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиа-новича СО РАН, лаборатория физики плазменно-дуговых и лазерных процессов
Матвиенко Олег Викторович
доктор физико-математических наук, профессор, старший научный сотрудник Томского государственного архитектурно-строительного университета, кафедра теоретической механики
Институт теплофизики им. С.С. Кутателадзе Сибирского отделения Российской академии наук
Защита диссертации состоится 16 мая 2014 г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.267.13, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 (корпус № 10, ауд. 239).
С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке и на сайте федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет» www.tsu.ru.
Материалы по защите диссертации размещены на официальном сайте ТГУ: http^/www.tsu.ru/content/news/announcement_of_the_dissertations_in_the_tsu.php
Автореферат разослан «3/ » марта 2014 г.
теоретической механики. Научный руководитель:
Официальные оппоненты:
Ведущая организация:
Учёный секретарь диссертационного совета доктор технических наук
Христенко Юрий Фёдорович
Общая характеристика работы
Актуальность работы. Задача о течении жцдкости в зазоре между двумя цилиндрами различного диаметра имеет множество практических приложений. Течения такого рода встречаются в теплообменниках, ротационных вискозиметрах, центрифугах, при бурении скважин, подшипниках скольжения и ряде других приложений. При этом, помимо течения жидкости вдоль оси цилиндрического канала (аксиального течения), может иметь место также и вращательное течение, вызванное вращением внутреннего, внешнего или обоих цилиндров. Ситуация когда ось внутреннего цилиндра может не совпадает с осью внешнего, то есть имеет место, эксцентриситет, существенно усложняет течение, однако является вполне типичной. Помимо этого, рабочая жидкость в упомянутых устройствах, как правило, имеет неныотоновскую реологию, а наряду с ламинарным зачастую реализуется турбулентный режим течения. Эти особенности, расширяют класс рассматриваемых течений, вместе с тем делая решение этой задачи крайне востребованным. При этом, в разных приложениях востребована самая разная информация о течении: гидродинамическое сопротивление, связывающее расход и перепад давления, гидродинамические моменты и силы, приложенных к цилиндрам, вязкие напряжения на стенках, поле скорости и т.п.
Не удивительно, что попытки решения этой задачи для ряда частных случаев предпринимались начиная со второй половины прошлого века. Однако даже для случая ламинарного течения ньютоновской жидкости точные или приближённые аналитические решения построены лишь для простейших случаев (например, для концентрического цилиндрического зазора, течения без вращения, либо для близких диаметров цилиндров в безинерционном приближении). В общем случае необходимо учитывать наличие эксцентриситета, вращение внутреннего цилиндра, неныотоновскую реологию жидкости, ламинарный и турбулентный режим течения. Некоторые частные случаи и отдельные течения были изучены в работах Эскудиера (Escudier М.Р.), Гольдсона (Gouldson I.W.), Оливейры (Oliveira P.J.), Ноури (Nouri J.M.), Уайтлау (Whitelaw J.H.), Нуара (Nouar С.), Умса (Ooms), Ушакова П.А., Гостева Е.А., Никитина Н.В., Бирда (Bird R.B.), Армстронга (Armstrong R.C.), Мори (Mori N.) и др. Однако имеющихся в литературе данных совершенно недостаточно как для широкого практического применения, так и для качественного понимания гидродинамических процессов в течениях рассматриваемого класса. Таким образом, изучение течений ньютоновских и неньютоновских жидкостей в зазоре между цилиндрами чрезвычайно актуально как с практической так и с фундаментальной точки зрения.
Предмет исследования. Среди разнообразных неньютоновских жидкостей, в которых вязкость не остаётся постоянной при заданной температуре и давлении, рассматривался класс обобщённых ньютоновских жидкостей, где напряжение т в каждой точке в любой момент времени полностью определяется скоростью деформации у в той же точке в тот же самый момент времени. Большинство таких жидкостей, встречающихся на практике (различные смазки, буровые растворы, грязи, масляные краски, различные пасты и т.д.), с хорошей точностью описываются реологическим законом Хершеля-Балкли, учитывающей как умень-
шение вязкости при увеличении скорости сдвига, так и наличие предельного напряжения сдвига т0.
В диссертационной работе рассмотрены развитые установившиеся изотермические ламинарные и турбулентные течения именно этого класса жидкостей в зазоре между двумя цилиндрами с различными диаметрами. Оси цилиндров параллельны, но могут не совпадать, а внутренний может вращаться с постоянной угловой скоростью. При этом на стенках цилиндров считаются выполненными условия прилипания, а через сечения канала задан постоянный массовый расход жидкости. Условие установившегося потока предполагает, что поле скорости (в турбулентном режиме поле осреднённой скорости) в сечении канала, перпендикулярном его оси, не меняется вдоль длины канала.
Попытки теоретического изучения поставленной задачи увенчались успехом лишь для сравнительно простых течений и, как правило, ньютоновской жидкости. Экспериментальное изучение даже отдельных течений этого класса - трудоёмкая и дорогостоящая задача. А изучить экспериментально всё многообразие встречающихся на практике течений просто невозможно, во-первых, из-за его обширности, а, во-вторых, из-за сложности и трудоёмкости проведения таких экспериментов. С другой стороны, стремительное развитие вычислительных технологий и вычислительных методов в последние два десятилетия открывают возможность для изучения описанного класса течений путём численного моделирования. На сегодняшний день это, пожалуй, не только оптимальный, но и единственный способ решения этой задачи.
Цель работы - систематическое моделирование и изучение ламинарных и турбулентных течений вязких неньютоновских жидкостей в цилиндрическом канале с эксцентриситетом и вращением внутреннего цилиндра.
Задачи работы. Реализация поставленной цели, требовало решения следующих практических задач.
1. Разработка алгоритма и программного обеспечения для моделирования ламинарных течений жидкости Хершеля-Балкли в цилиндрическом зазоре, путём численного решения уравнений гидродинамики обобщённых ньютоновских жидкостей.
2. Проведение систематического моделирования и изучение стационарных ламинарных и развитых турбулентных течений жидкости Хершеля-Балкли в цилиндрическом зазоре с эксцентриситетом и вращением внутренней трубы в широком диапазоне параметров.
3. Создание базы данных с результатами моделирования, разработка корреляций и методов быстрого определения основных характеристик данных течений.
4. Изучение структуры течений и механизмов их формирования, установление закономерностей и анализ влияния геометрии канала, свойств жидкости и режима течения на ключевые характеристики течения.
(1)
Методы исследования. Разработка алгоритма и программного обеспечения для моделирования ламинарных течений жидкости Хершеля-Балкли мотивирована тем, что большинство существующих доступных стандартных пакетов для численного решения уравнений гидродинамики непригодно для описания течений неньютоновских сред, а «закрытость» программного кода не позволяет это изменить. Кроме того, стандартные пакеты не учитывают специфику моделируемого класса течений, и не позволяет оптимизировать параметры вычислений, не говоря о дальнейшем развитии программы. Разработанный алгоритм основан на методе конечных объёмов, и процедуре расщипления 51МРЬЕС для согласования полей скорости и давления.
Для турбулентных течений неньютоновской жидкости не существует стандартных пакетов программ позволяющих решать подобные задачи. Поэтому для моделирования турбулентных течений в настоящей работе был использован уникальный численный алгоритм и пакет программ, разработанный Гавриловым А.А. и Рудяком В.Я. на основе недавно развитой ими двухпараметрической модели турбулентности для обобщённых ньютоновских жидкостей. В этой модели используется Рейнольдсов подход осреднения уравнений гидродинамики. В уравнения вводится специальным образом осреднённый коэффициент эффективной молекулярной вязкости. Верификация модели и алгоритма проведена на основе всех имеющихся в литературе данных и результатах прямого численного моделирования турбулентных течений неньютоновских сред.
Изучение структуры отдельных течений, а также влияния независимых параметров задачи (например, эксцентриситета, чисел Рейнольдса и т.д.) на ключевые характеристики течения (перепада давления, поле скорости и т.д.) проводилось на основе результатов систематического моделирования в широком диапазоне изменения входных параметров. При этом результаты систематического моделирования фактически образуют базу данных течений рассматриваемого класса. Используя информацию, содержащуюся в этой базе данных, можно быстро определять ключевые характеристики течения путём интерполяции. В данной работе такой алгоритм реализован на основе полилинейной интерполяция в пространстве независимых параметров.
Научная новизна работы представлена следующими положениями.
• Впервые проведено масштабное систематическое моделирование развитых ламинарных и турбулентных течений жидкости Хершеля-Балкли в цилиндрическом зазоре в широком диапазоне шести независимых параметров, охватывающем практически все реально существующие псевдопластические жидкости
• Создана уникальная база данных изучаемого класса течений, содержащая результаты моделирования более миллиона различных течений.
• Впервые в широком диапазоне параметров изучена структура ламинарных и турбулентных течений жидкостей Хершеля-Балкли в цилиндрическом зазоре при наличии эксцентриситета и вращения внутренней трубы, а также влияние входных параметров на ключевые характеристики течения.
• Для турбулентных течений ньютоновской жидкости в осесимметричном канале построена корреляция для определения коэффициента сопротивле-
ния, учитывающая различные отношения диаметров и вращение внутренней трубы.
• - Установлены и систематически изучены режимы течений вязких неньюто-
новских жидкостей, при которых в течении одновременно сосуществуют области, занятые ламинарным и турбулентным течением.
• Разработан алгоритм для быстрого нахождения ряда интегральных характеристик (перепада давления, момента и сил, приложенных к внутреннему цилиндру), а также поля скорости для произвольного течения рассматриваемого класса на основе интерполяции результатов моделирования и с использованием методик сжатия данных. Опубликованных аналогов этого алгоритма, сопоставимых по функциональности до сих пор нет.
• Разработан алгоритм для моделирования течений неньютоновских жидкостей в цилиндрическом зазоре с эксцентриситетом.
Научная и практическая ценность. Исследование особенностей турбулентных течений неньютоновских жидкостей имеет самостоятельное фундаментальное значение. Полученные результаты способствуют углублению понимания гидродинамических процессов в неньютоновских вязких жидкостях. Алгоритм численного решения уравнений гидродинамики обобщённых ньютоновских жидкостей может использоваться для решения широкого круга гидродинамических задач, в том числе для прямого численного моделирования. Быстрые интерполяционные алгоритмы, могут применяться инженерами напрямую при проектировании различных технологических устройств. С другой стороны, полученные результаты можно использовать для управления перепадом давления в каналах, оптимизации гидродинамических процессов и перемешивания и т.п.
Реализация и внедрение результатов работы. Программное обеспечение для быстрого определения характеристик течения в настоящий момент интегрировано в программный комплекс Advantage, разработанный для автоматизации и контроля над процессом бурения скважин компанией Baker Hughes. Это позволило более точно предсказывать давление в скважине и прогнозировать критические и оптимальные режимы бурения и выноса шлама.
Достоверность данных получаемых в результате работы алгоритмов обеспечивается использованием широко распространённых и аппробированных методов, проведённом тестировании и верификации численных алгоритмов на основе ряда точных аналитических решений, расчётов других авторов, данных экспериментов. Кроме того, достоверность результатов моделирования подтверждается хорошим согласованием практически со всеми данными (корреляциями, результатами экспериментов и численного моделирования), представленными в литературе.
Личный вклад автора заключается в разработке алгоритма для моделирования ламинарных течений обобщённых ньютоновских жидкостей, организации и проведении систематического моделирования, создании средств автоматической обработки результатов, совместном с научным руководителем анализом результатов моделирования, разработке интерполяционных алгоритмов. Автор принимал также непосредственное участие в подготовке публикаций по теме диссертации.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы доложены на следующих конференциях и научных семинарах: 65-я Всероссийская научно-техническая конференция НГАСУ (Сибстрин), Новосибирск, НГАСУ, 8-9 апреля,
2008; Всероссийский семинар «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехнологий», Новосибирск, НГАСУ, 14-15 апреля, 2009; Всероссийский семинар «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехнологий», Новосибирск, НГАСУ, 6-8 апреля, 2010; Всероссийская конференция «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей», Новосибирск, ИТПМ, 21-23 апреля, 2010; Международная конференция «Гидродинамическая неустойчивость и турбулентность», Москва, 1-7 марта, 2010; Всероссийская молодёжная конференция «Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики», Новосибирск, ИТФ, 17-19 ноября, 2010; Всероссийский семинар «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехнологий», Новосибирск, НГАСУ, 25-27 мая, 2011; Всероссийская молодёжная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», Томск, ТГУ, 12-14 октября 2011; Всероссийская молодёжная научная конференция «Современные проблемы математики и механики», Томск, ТГУ, 23-25 апреля 2012; Всероссийская конференция «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехнологий», Новосибирск, ИТПМ, 6-8 мая, 2012; Celle Drilling Conference - 2012, Celle, Geoenergy-Celle, 17-18 September, 2012; XIII Международная молодёжная научная конференция «Интеллект и наука», Железногорск, 1618 апреля, 2013; 32nd International Conference on Ocean, Offshore and Arctic Engineering OMAF.13, Nantes, France, July 9-14, 2013. Помимо этого, материалы, полученные в результате работы, легли в основу серии журнальных публикаций (четыре из которых входят в перечень ВАК) и статьях в трудах конференций. Основные результаты и положения, выносимые на защиту:
• Данные систематического моделирования ламинарных и турбулентных течений ньютоновских и неиыотоиовских жидкостей в цилиндрическом зазоре и полученные данные по сопротивление канала, гидродинамическому моменту и силе, действующих на внутренний цилиндр.
• Вращение внутреннего цилиндра приводит к снижению перепада давления при ламинарном течении псевдопластической жидкости в концентричном канале, а в канале с эксцентриситетом вращение может как увеличить, так и уменьшить перепад давления.
• В концентричном канале коэффициент сопротивления практически не зависит от напорного числа Рейнольдса, если доминирует вращательное течение, и, наоборот, не зависит от вращения при доминировании напорного течения.
• В псевдопластических средах турбулизация течения, вызванная вращением внутреннего цилиндра, может приводить к снижению перепада давления по сравнению с ламинарным течением с тем же расходом.
• Алгоритм для численного решения уравнений гидродинамики обобщённых ньютоновских жидкостей, описывающих ламинарное установившееся течение в цилиндрическом зазоре с заданным эксцентриситетом и вращением внутренней трубы.
• Интерполяционные алгоритмы для быстрого определения перепада давления и поля скорости.
Структура и объём работы. Диссертация включает введение, четыре главы, заключение, список литературы. Работа изложена на 133 страницах, в том числе основной текст на 117 страницах, 61 рисунок, 5 таблиц, библиографический список из 122 наименований.
Основное содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, определены цели и задачи исследования, отражены научная новизна и практическая значимость, описан метод решения поставленной задачи, приведён обзор литературы, посвященной реологии неньютоновских сред и результатам изучения исследуемого класса течений.
■ Первая глава посвящена описанию численного алгоритма решения уравнений гидродинамики обобщённых ньютоновских жидкостей и разработанного програмного обеспечения для моделирования ламинарных установившихся течений этих жидкостей в цилиндрическом зазоре.
Разработанный алгоритм основан на методе конечных объёмов, пожалуй, наиболее широко применяемом для гидродинамического моделирования. Уравнения гидродинамики записаны и решаются в декартовой системе координат. Алгоритм развит на общий случай неструктурированных сеток с ячейками произвольной (выпуклой) формы и количеством граней, хотя для решения данной конкретной задачи использовались гексагональные криволинейные ортогональные сетки со сгущением к границам цилиндров, что позволило достичь большей эффективности вычислений (отношения погрешности к времени расчёта).
В первом параграфе описывается дискретизация обобщённого уравнения переноса (с конвективным, диффузионным и источниковым членами) на основе метода конечных объёмов. Форма динамических уравнений гидродинамики с некоторыми оговорками совпадает с формой уравнения переноса, поэтому дискретизация соответствующих членов в этих уравнений идентична. Неизвестные значения зависимых переменных привязаны к центрам ячеек. Дискретизация конвективных членов проводилась с использованием ТУП схем на неструктурированных сетках. Дискретизация диффузионного уравнения основана на аппроксимации нормального потока через грани ячейки. В результате дискретизации уравнения переноса для каждой ячейки имеем нелинейное уравнение, связывающее значения в центре ячейки со значениями в центрах смежных ячеек, включающее также значения в центрах граней и градиенты в центрах ячеек. При линеаризации этого уравнения неявно учитываются только значения зависимой переменой в центрах ячеек. Значения в центрах граней учитываются явно и находятся путём интерполяции значений из центров смежных ячеек, а значения градиентов в центрах ячеек вычисляются на основе теоремы Гаусса с использованием значений в центре граней и также учитываются явно. Система линейных уравнений, состоящая из уравнений для всех ячеек, решается методом верхней релаксации.
Во втором параграфе описан используемый метод решения уравнений На-вье-Стокса. При линеаризации динамических уравнений значения компонент скорости перед производными в конвективных членах учитывались явно. Решение находилось на совмещённых сетках для скорости и давления, т.е. значения компонент скорости и поля давления вычислялись в одних и тех же узлах. Для предотвращения осцилляций в таком подходе мировая практика показала эффективность введения поправки Рхи-Чоу, реализованного также в разработанном алгоритме. Линеаризованная система уравнений гидродинамики решается с помощью конечно-объёмной процедуры коррекции давления БШРЬЕС для согласования полей
скорости и давления. Система линейных уравнения на поправку давления решалась методом сопряжённых градиентов.
В третьем параграфе речь идёт об особенностях, связанных с переменной вязкостью, приводится реализация граничных условий, приводится специфика программной реализации алгоритма, а также описывается вычислительная сетка. Для жидкостей с предельным напряжением сдвига использовались регуляризо-ванные реологические уравнения с константами регуляризации т и т2.
//Цт|)=*тах{т|,и1»»,Гн )+ г0(1 -ехр(-ш|у|/Г ))/|г| Для получения развитого профиля скорости на входных и выходных границах расчётной области реализованы гранусловия с процедурой коррекции расхода в ходе итераций. Отличительной чертой алгоритма, позволяющей повысить эффективность, является оригинальный алгоритм построения сеток, сетки основанный на преобразовании декартовых координат к биполярным и позволяющий учесть специфику задачи. Вместе с тем, благодаря объектно-ориентированной организации программного кода и оперирования с неструктурированными сетками алгоритм обладает широкими возможностями расширения для решения других гидродинамических задач.
Четвёртый параграф посвящен верификации алгоритма. Результаты тестирования и сопоставления алгоритма и программного обеспечения как с точными и приближёнными аналитическими решениями, так и с результатами экспериментов показали хорошее согласование и его пригодность для описания рассмотренного класса течений.
Вторая глава посвящена обсуждению результатов моделирования ламинарных течений в цилиндрическом зазоре.
В первом параграфе приводится постановка задачи, на основе анализа уравнений вводятся безразмерные параметры, характеризующие течение: отношение диаметров цилиндров; эксцентриситет; напорное и вращательное числа Рей-нольдса, построенное по расходу и вращению соответственно; число Бингама, характеризующее влияние эффектов, связанных с' наличием предельного напряжения; показатель степени в реологическом соотношении.
Второй параграф посвящен анализу течений ньютоновских жидкостей в цилиндрическом зазоре. Для случая ламинарного напорного течения (без вращения внутреннего цилиндра) ньютоновской жидкости перепад давления монотонно убывает с ростом эксцентриситета (при фиксированном объёмном расходе). На их основе была построена новая корреляция для связи между падением давления и расходом, учитывающая влияние эксцентриситета при различных отношениях диаметров:
Из уравнений следует, что величина расхода в установившемся течении ньютоновской жидкости не влияет на распределение неаксиальных компонент скорости. Однако вращение внутреннего цилиндра в эксцентричном канале приводит к увеличению сопротивления. Причина этого в том, что вращение внутреннего цилиндра в эксцентричном канале приводит к переносу медленных в аксиальном направлении потоков жидкости со стенок цилиндров внутрь области и
дальнейшему перемешиванию этих потоков. В подавляющем большинстве случаев зависимость сопротивления от скорости вращения монотонна. Однако при малых отношениях радиусов и достаточно высоком эксцентриситете сопротивление канала растёт с увеличением скорости вращения при медленном вращении, а начиная с некоторых скоростей вращения, начинает убывать.
Увеличение эксцентриситета в спиральном течении сопровождается изменениями в его структуре. Так при некотором значении эксцентриситета в широком месте канала формируется зона рециркуляции (см. линии тока на рис. 1). При увеличении эксцентриситета размеры зоны рециркуляции расширяется, а скорость движения жидкости в ней увеличивается. й&йро /"/«о
Рис. 2: Слева -
0.2 ал 0.6 08 1 -
Зависимость относительного сопротивления канала от эксцентриситета, для степенных жидкостей при различных показателях степени. Справа -для бингамовских жидкостей при различных числах Бингама
Течениям степенных жидкостей посвящен третий параграф. В ламинарном напорном течении степенной жидкости перепад давления монотонно убывает с ростом эксцентриситета (см. рис. 2, слева). Однако это уменьшение не так существенно как в ньютоновской жидкости, что связано с увеличением градиентов скорости вблизи стенок. Вращение внутреннего цилиндра влечёт, с одной стороны, интенсификацию переноса импульса в аксиальном направлении, что повышает сопротивление, с другой — снижению эффективной вязкости за счёт увеличения скорости сдвига что, в свою очередь, приводит к уменьшению сопротивления. Таким образом, увеличение скорости вращения в ламинарном течении приводит к
появлению эффектов с противоположным влиянием на сопротивление. Степень влияния обоих факторов определяется отношением чисел Рейнольдса, построенных по среднеаксиальной и вращательной скорости. При преобладании аксиального течения эффективная вязкость формируется преимущественно за счёт аксиального сдвига, и изменение скорости вращения не столько меняет эффективную вязкость, сколько интенсифицирует перенос аксиального импульса. Поэтому увеличение скорости вращения ведёт к росту сопротивления (см. рис. 3). В то же время в каналах, где доминирует вращение, снижение вязкости при увеличении скорости вращения, как правило, оказывает большее влияние на сопротивление, чем перенос аксиального импульса (см. рис. 3). В работе показано, что это справедливо при всех отношениях радиусов, а уменьшение сопротивления канала достигается за счёт увеличения момента вязких сил на внутреннем цилиндре.
дра в степенной жидкости (и = 0.5) при различных эксцентриситетах
Четвёртый параграф посвящен анализу течений жидкостей с предельным напряжением сдвига. Аксиальное течение без вра1цения таких жидкостей сопровождается образованием квазитвёрдых областей в течении. Напряжения в этих областях ниже предельного и среда ведёт себя там как твёрдое тело. В случае течения в эксцен тричном канале можно выделить три характерных режима течения.
1. При малых значениях эксцентриситета в течении, как и в случае концентричного канала, присутствует одна квазитвёрдая область, имеющая форму кольцевого цилиндра, движущаяся поступательно в аксиальном направлении и отделённая от стенок цилиндров жидкими сдвиговыми слоями, (см. рис. 4, слева).
2. При средних значениях эксцентриситета в течении присутствуют две квазитвёрдые области в самом узком и самом широком месте зазора. Эти части движутся поступательно в аксиальном направлении с различными скоростями и разделены жидким сдвиговым слоем (см. рис. 4, в центре). Разница скоростей между ними увеличивается с ростом эксцентриситета.
3. Наконец, начиная с некоторого значения эксцентриситета, твёрдое ядро в узком месте зазора вовсе перестаёт двигаться относительно стенок цилиндров, образуя неподвижную область в узком месте зазора. Вся жидкость
протекает через широкий зазор, формируя при этом движущуюся в аксиальном направлении квазитвёрдую область (см. рис. 4 справа).
Рис. 4: Распределение скорости в напорном течении жидкости с предельным напряжением. Светлый тон соответствует большей скорости, е = 0.15, 0.35, 0.7
Сопротивление канала монотонно падает с увеличением эксцентриситета, хотя влияние последнего в жидкостях с большим предельным напряжением выра-
Рис. 5: Зависимость относительного сопротивления канала от эксцентриситета при различных скоростях вращения в бингамовской жидкости
Вращение в концентричном канале приводит к снижению перепада давления. В этом случае разрушение квазитвёрдой структуры среды и формирование жидких зон осуществляется частично за счёт сдвига, вызванного вращением, что несколько уменьшает аксиальные напряжения, и, следовательно, перепад давления. Более того, достаточно быстрое вращение может привести к полному разрушению квазитвёрдых областей, что также способствует уменьшению аксиального сопротивления канала. В спиральных течениях одним из ключевых параметров является отношения напорного и вращательного чисел Рейнольдса. Однако в отличие от степенных этот параметр определяет не столько основной механизм формирования эффективной вязкости, сколько механизм формирования квазитвёрдых областей в течении, их положения и размеров, что в свою очередь влияет на величину перепада давления. Помимо разрушения квазитвёрдой структуры среды, вращение в эксцентричном канале также индуцирует перенос аксиального импульса в нормальном к стенкам направлении, что приводит к увеличению со-
противления (см. рис. 5). Таким образом, даже в бингамовских жидкостях зависимость перепада давления в канале с эксцентриситетом от скорости вращения внутреннего цилиндра, подобно степенным средам, как правило, немонотонна.
Показано, что вращение в эксцентричном канале даже с относительно небольшой скоростью позволяет избежать образования застойных областей в течении, обусловленных наличием предельного напряжения. При определённых условиях присутствующие в течении квазитвёрдые области интенсивно обмениваются составляющими их частицами с жидкими областями в течении. Частицы среды при этом могут проходить сквозь квазитвёрдую область, границы которой не меняют положения относительно стенок внешнего цилиндра. Подбирать такие режимы особо важно, например, для предотвращения затвердевания клеев, цементных растворов и т.п.
В пятом параграфе представлены результаты изучения гидродинамических реакций на внутреннем цилиндре: сил и моментов.
Вращение внутреннего цилиндра приводит в движение жидкость в зазоре, что в свою очередь индуцирует гидродинамическую реакцию - момент и силу, приложенные к внутреннему цилиндру. В концентричном канале момент сопротивления увеличивается вместе со скоростью вращения. В неньютоновских жидкостях, однако, момент сопротивления может быть уменьшен только за счёт увеличения расхода (и, как следствие, аксиального сопротивления) при неизменной скорости вращения. Это возможно благодаря изменению механизма формирования вязкости: увеличение расхода приводит к уменьшению вязкости за счёт роста аксиальной скорости сдвига, и, как следствие снижение момента сопротивления. Таким образом, при прокачке неньютоновской жидкости в концентричном канале, можно управлять сопротивлением вращению или аксиальным сопротивлением за счёт изменения обоих режимных параметров - расхода и скорости вращения. Очевидно, этот эффект может применяться на практике.
О 0.2 0.4 0 6 0.6 1
Рис. 6: Зависимость относительного момента сопротивления от эксцентриситета в степенных жидкостях при различных показателях степени
С ростом эксцентриситета момент сопротивления во всех жидкостях и при любых режимах монотонно возрастает. Причём при малых значениях эксцентриситета этот рост незначителен, а при высоких, когда фактически происходит запи-
рание для вращательного течения узкого места зазора, наблюдается резкий рост. Впрочем, в неньютоновских жидкостях этот рост, как правило, менее существенен (см. рис. 6).
Рис. 7: Зависимость радиальной (слева) и тангенциальной (справа) компоненты силы реакции от эксцентриситета в степенных жидкостях при различных показателях степени
Силы, действующие на внутренний цилиндр, складываются из результирующих сил давления и вязкого трения. В работе показано, что, как правило, силы обусловленные неравномерностью распределения давления по сечению канала на порядок больше сил вязкого трения. Радиальная компонента силы, на внутреннем цилиндре, при малых и средних значениях эксцентриситета отводит цилиндр от осесимметричного положения, а при большом эксцентриситете, напротив, отталкивает внутренний цилиндр от стенок внешнего (см. рис. 7, слева). Тангенциальная составляющая гидродинамической силы реакции индуцирует прецессионное движение внутреннего цилиндра в направлении его вращения (см. рис. 7, справа). В неныотоновских жидкостях это, как правило, остаётся справедливым, однако смена знака радиальной компоненты происходит при большем значении эксцентриситета, а тангенциальная составляющая относительно невелика (см. рис. 7). В работе также показано численно, что величина тангенциальной компоненты, в отличие от радиальной, имеет ненулевое значение в пределе нулевой скорости вращения.
Четвёртая глава посвящена результатам моделирования развитых турбулентных течений в цилиндрическом зазоре.
В первом параграфе приводится описание модели турбулентности и алгоритма для расчёта турбулентных течений неньютоновских жидкостей, разработанных A.A. Гавриловым и В.Я. Рудяком.
Во втором параграфе представлены результаты моделирования турбулентных течений ньютоновских жидкостей. Для связи перепада давления и расхода в напорном турбулентном течении (без вращения внутренней трубы) в цилиндрическом зазоре в литературе построена корреляция. Результаты проведённого моделирования очень хорошо согласуются с этими данными. Коэффициент сопротивления, как и в случае ламинарного течения, монотонно убывает с ростом эксцентриситета. Однако максимальное относительное изменение сопротивления вследствие эксцентриситета составляет порядка 20%, в то время как в ламинарных течениях этот показатель достигает 50%. Причём зависимость относительного
изменения давления практически одинакова при всех числах Рейнольдса, соответствующих турбулентному режиму течения.
10000
1000
/яИе
—1Ц.а=0
1000 1Ц3 = 10000 -«-1Ц0 = 100000 -*-Иеа = 1000000
1
1 10 100 1000 10000 100000 Рис. 8: Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления от аксиального числа Рейнольдса для различных вращательных чисел Рейнольдса
Турбулентность в спиральном течении может быть вызвана сильным напорным течением, быстрым вращением внутреннего цилиндра или обоими этими факторами. Структура течения в концентричном канале, а также перепад давления вдоль канала, определяется, тем, какое течение, напорное или вращательное, доминирует и преимущественно вызывает турбулентные пульсации. В случае, когда турбулентность вызвана вращением внутреннего цилиндра, перепад давления пропорциональны расходу, как и в ламинарных течениях (см. рис. 8). Такая пропорциональность имеет место даже при достаточно высоких числах напорного числа Рейнольдса, соответствующих турбулентному режиму течения в случае без вращения. Тем не менее, значения коэффициента сопротивления в этом случае определяется скоростью вращения и будет значительно превышать характерные значения для ламинарного случая. Когда доминирует аксиальное течение, значение коэффициента сопротивления канала (и перепада давления) в этом случае практически не зависит от скорости вращения внутреннего цилиндра и фактически совпадает с соответствующим значением для чисто напорного течения (см. рис. 8).
Для коэффициента сопротивления в спиральном течении в концентричном канале построена корреляция, учитывающая влияние вращения при различных отношениях радиусов:
/аЯе =
Не.
Кс „,+ Ке,
{-2вг +2.50 + 0.2)—+ 10 Яе ^ ' 40
Ке„
0.1!*е„,+ Ке
-0.13Кев[1оё(Кее/8)]-2
е
Данные численного моделирования описываются этой корреляцией с точностью не ниже 7%.
При малых эксцентриситетах, жидкость полностью увлекается вращающимся внутренним цилиндром. В то же время при высоком значении эксцентри-
ситета в осреднённом течении образуется зона рециркуляции в широком месте зазора. Формирование зоны рециркуляции снижает интенсивность переноса ос-реднённого аксиального импульса в плоскости сечения канала, что приводит к снижению сопротивления и перепада давления при любых скоростях вращения (см. рис. 9).
Рис. 9: Зависимость отношения коэффициента гидравлического сопротивления в эксцентричном и концентричном канале от эксцентриситета для различных скоростей вращения
Третий параграф посвящён результатам моделирования турбулентных течений неньютоновских жидкостей.
Систематическое изучение турбулентных течений псевдопластических жидкостей с предельным напряжением сдвига на основе моделирования было проведено впервые в этой работе. В турбулентных течениях неныотоновских жидкостей пульсации скорости вызывают пульсации скорости сдвига и молекулярной вязкости. Поэтому с увеличением интенсивности пульсаций скорости происходит снижение осреднённой молекулярной вязкости. Этим вызвано принципиальные различия в структуре турбулентности ньютоновских и неныотоновских жидкостей. С другой стороны, турбулентная вязкость, оказывается, как правило, существенно выше молекулярной. Поэтому распределение турбулентной вязкости
играет ключевую роль в процессах переноса импульса и формировании распределений полей скорости, что делает структуры течений ньютоновских и неныото-новских жидкостей похожими. Показано, что рост сопротивления канала с увеличением числа Рейнольдса в степенных жидкостях менее быстрый, чем в ньютоновских (см. рис. 10, слева). В то же время, влияние наличия предельного напряжения в вязкопластических жидкостях нивелируется при увеличении числа Рейнольдса (см. рис. 10, справа). Оба этих результата объясняются изменением молекулярной вязкости, вызванным интенсификацией турбулентных пульсаций.
В развитом турбулентном течении ньютоновской жидкости происходит адвекция и диффузия турбулентных вихревых структур из области их генерации (вблизи стенки) в турбулентное ядро потока. Различие в структуре турбулентности ньютоновсих и пседопластических жидкостях обусловлено неоднородным распределением молекулярной вязкости. В пседопластических жидкостях средняя молекулярная вязкость вблизи стенок, где находятся области с высокой скоростью сдвига, оказывается меньше чем в ядре потока как раз за счёт высокой скорости сдвига. Вблизи стенок также находятся области генерации турбулентности. Однако в отличие от ньютоновской жидкости распространение турбулентных вихревых структур из области их генерации в ядро потока затруднено из-за высокой молекулярной вязкости в последних. В ядре потока средняя скорость, как правило, невысока, а снижение вязкости достигается преимущественно за счёт пульсаций скорости. Поэтому турбулентные вихревые структуры там быстро диссипируют. Такое демпфирование турбулентных пульсаций в ядре потока является, пожалуй, ключевой особенностью турбулентных течений псевдопластических жидкостей. В результате в некоторых случаях в поле течения одновременно сосуществуют турбулентная область с турбулентными пульсации, и ламинарная, где таких пульсаций нет. Как правило, режимы, в которых появляются такого рода течения, соответствуют быстрому вращению внутреннего цилиндра при относительно невысоком расходе. Естественно, что чем сильнее реология жидкости отличается от ньютоновской, тем в более широком диапазоне параметров наблюдается смешанное ламинарно-турбулентное течение.
0.04 ц, Ра 5
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
Рис. 11: Распределение молекулярной (пунктир), турбулентной (точки) и суммарной осреднённой вязкости (сплошная линия) в ламинарно-турбулентном течении степенной жидкости (п = 0.2)
Судить о том, в какой области произошла ламинаризация течения можно по локальному соотношению молекулярной и турбулентной вязкости. Этот критерий указывает на то, вклад каких эффектов вязких или пульсационных играет определяющую роль в формировании напряжений. В работе выявлены режимы, в которых одновременно сосуществуют турбулентная и ламинарная области в течении (см. рис. 11). Такие режимы возникают при достаточно быстром вращении внутреннего цилиндра и сравнительно слабом аксиальном течении. Более того, в течениях жидкостей с предельным напряжением сдвига, среда вдали от вращающегося внутреннего цилиндра может перейти в квазитвёрдое состояние.
ГаИеДаКе.
Рис. 12: Зависимость относительного аксиального сопротивления от скорости вращения для жидкости Бингама при различном расходе жидкости
В жидкостях, реология которых существенно отличается от ньютоновской переход от полностью ламинарных течений к таким режимам, где турбулентность ограничена кольцевой областью вблизи вращающегося внутреннего цилиндра, может сопровождаться резким снижением перепада давления (см. рис. 12). И более того, если турбулентность вызвана быстрым вращением внутреннего цилиндра, то в определённых случаях перепад давления в турбулентном течении будет существенно ниже, чем в ламинарном при том же расходе. В этом случае энергия вращения внутреннего цилиндра идёт на разрушение квазитвёрдой структуры или увеличение вязкости посредством механизма турбулентных пульсаций. Таким образом, турбулизация течения псевдопластической среды может привести к снижению перепада давления, чего никогда не может быть в ньютоновских жидкостях. Этот эффект может быть использован на практике для снижения сопротивления канала с помощью искусственной генерации турбулентности.
Четвёртая глава посвящена разработке быстрых алгоритмов для определения ключевых параметров течения.
Проведённое систематическое моделирование течений в зазоре в широком диапазоне изменения параметров дало возможность создать фактически базу данных течений этого класса. Её структура и организация описана в первом параграфе. В ходе систематического моделирования было проведено около миллиона
расчётов, охватывающих практически все реально существующий псевдопластические жидкости:
— отношение диаметров цилиндров, 0.2 -=- 0.9;
- эксцентриситет, 0 0.99 (0 соответствует концентричному каналу, 1 -каналу, в котором цилиндры касаются друг друга);
- напорное число Рейнольдса, построенное по средней аксиальной скорости, 0 200 000;
— вращательное число Рейнольдса, определяемое скоростью вращения внутреннего цилиндра, 0-5-1 000 000;
- число Бингама, характеризующее влияние предельного напряжения сдвига, 0-И 000;
— показатель степени в реологическом законе, 0.2 -г- 1.
Во втором параграфе описан интерполяционный алгоритм для быстрого вычисления скалярных характеристик течения. Быстрое определение характеристик произвольного течения с использованием базы данных течений возможно на основе интерполяции значений из базы данных. Для определения скалярных параметров (таких как перепад давления, момент сопротивления и компоненты сил, приложенных к внутреннему цилиндру и пр.) используется полилинейная интерполяция в пространстве входных независимых параметров. Погрешность интерполяции при этом не превосходит 5%, а время работы алгоритма - доли секунды.
Третий параграф посвящён интерполяционному алгоритму для нахождения поля скорости. Задача быстрого определения поля скорости в поперечном сечении канала фактически решается в два этапа. Во-первых, для всех расчётов в базе данных определяются значения всех компонент скорости в определённых точках сечения, полученных гладким отображением узлов прямоугольной сетки Иг^Щ в прямоугольнике [0,1]х[0,2я] на криволинейную сетку в сечении зазора. Таким образом, для каждого расчёта в базе данных поле скорости представляется тройкой матриц (для каждой компоненты скорости) Иг*И<р. На втором этапе каждый элемент в матрицах определяется путём полилинейной интерполяции в пространстве входных независимых параметров, подобно тому, как это делалось для скалярной величины. Время работы описанного алгоритма зависит от размера матриц, представляющих поле скорости. Увеличение количества элементов матрицы влечёт линейное увеличение времени интерполяции. Тем не менее, для матриц размера 40x100, обеспечивающих хорошую для применения в инженерных целях детализацию поля скорости, время работы интерполяционного алгоритма составляло порядка одной секунды на современном компьютере.
В четвёртом параграфе описаны используемые методики сжатия входных данных. Применение программного обеспечения, разработанного на основе описанного подхода, для быстрого нахождения поля скорости ограничивается размером файлов, содержащих входные данные. В разработанном алгоритме сжатия и восстановления основная методика, основанная на разложении профиля скорости в ряд функциональному базису, была применена к столбцам матриц (отвечающих за распределение скорости в радиальном направлении). В качестве системы базисных функций тестировались различные базисные функции, но наилучшие показатели сжатия удалось достичь при использовании полиномов Лежандра для компонент скорости в плоскости сечения канала и 8т(гос) для аксиальной компо-
нентьГ скорости. Количество базисных функций к для каждого случая определялось отдельно исходя из допустимого уровня потерь при сжатии в 3%. Оба семейства функций (полиномы Лежандра и синусы) представляют собой ортогональный набор функций, что обеспечивает в среднем лучшую аппроксимацию по сравнению с неортогональным набором (например, степенных функций) при одинаковом их количестве. Суть сжатия заключается в том, что вместо значений матрицы достаточно хранить коэффициенты разложения в ряд и их число к. Как правило, число коэффициентов к, требующихся для воспроизведения исходных значений в столбцах матрицы, на порядок меньше количества строк Ыг, благодаря чему и возможно сжатие.
В заключении формулируются основные выводы
• Реализован численный алгоритм для моделирования ламинарных установившихся течений обобщённых ньютоновских жидкостей в цилиндрическом зазоре с эксцентриситетом и вращением внутренней трубы.
• Создана уникальная база данных с результатами моделирования ламинарных и турбулентных течений жидкости Хершеля-Балкли в цилиндрическом зазоре, содержащая более миллиона результатов расчётов.
• Вращение внутреннего цилиндра, как правило, приводит к увеличению давления в течении ньютоновской жидкости. А в неньютоновской жидкости может привести как к увеличению, так и уменьшению перепада давления.
• Момент сил сопротивления, действующий на внутренний цилиндр, монотонно увеличивается с ростом эксцентриситета.
• В ламинарных течениях при малых и средних значениях эксцентриситета радиальная компонента силы, действующей на внутреннюю трубу, направлена к периферии канала, а при высоком значении эксцентриситета, напротив, отталкивает внутреннюю трубу от стенки внешней.
• Окружная компонента силы, действующей на внутреннюю трубу, индуцирует прецессионное движение внутреннего цилиндра в направлении вращения.
• Характер турбулентного течения и зависимость интегральных характеристик течения от входных данных задачи в первую очередь определяется тем, какое течение, - напорное или вращательное, — доминирует и преимущественно вызывает турбулентные пульсации.
• Влияние предельного напряжения при увеличении скорости вращения или расхода в турбулентном режиме нивелируется.
• Переход к турбулентному режиму течения для неньютоновских сред при определённых условиях может приводить к уменьшению перепада давления по сравнению с ламинарным при условии, что турбулентность вызвана вращением внутреннего цилиндра.
• Разработаны алгоритмы для быстрого нахождения поля скорости, перепада давления, а также момента и сил, приложенных к внутреннему цилиндру, в произвольном течении рассматриваемого класса на основе интерполяции результатов моделирования.
Публикации по теме диссертации
Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, определённых Высшей аттестационной комиссией при Минобрнауки России, и
в журналах, включённых в библиографические базы данных цитировании
Web of Science и Scopus:
1. Podryabinkin E.V., Rudyak V.Ya. Moment and Forces Exerted on the Inner Cylinder in Eccentric Annular Flow. Journal of Engineering Thermophysics. 2011. Vol. 20, No. 3. pp. 320-328.
2. Подрябинкин E.B., Рудяк В.Я. Моделирование течений неныотоновских жидкостей в цилиндрическом канале с эксцентриситетом. Доклады АН ВШ РФ. 2012. №2 (19). С. 112-122.
3. Подрябинкин Е.В., Рудяк В.Я.. Моделирование турбулентных течений в цилиндрическом зазоре с эксцентриситетом и вращением внутрешгего цилиндра. Вестник НГУ: Физика. 2012. Т. 7, №4. С. 79-87.
4. Podryabinkin Е., Rudyak V., May R. Modeling of Drilling Fluids Flow in a Borehole for Drilling Optimization. Oil and Gas European Magazine. 2013. Vol. 39, No. l.pp. 29-31.
Публикации в других научных изданиях:
5. Подрябинкин Е.В., Рудяк В.Я. О моменте и силах, действующих на внутренний цилиндр при течении в эксцентричном цилиндрическом зазоре. Труды НГАСУ. 2010. Т. 13, №3 (49). С. 60-73.
6. Подрябинкин Е.В. Алгоритм для численного решения уравнений гидродинамики. Труды НГАСУ. 2012. Т. 15, №1 (53). С. 43-57.
7. Рудяк В.Я., Подрябинкин Е.В. Анализ момента и силы, действующих на вращающийся внутренний цилиндр при течении ньютоновских и неньютоновских жидкостей в зазоре. Материалы международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность». Москва: МГУ. 2010. С. 67-70.
8. Подрябинкин Е.В. Моделирование течений ньютоновских и неныотоновских жидкостей в цилиндрическом зазоре с эксцентриситетом. Доклады Всероссийской молодёжной конференции «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей». Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 2010. С. 241-245.
9. Подрябинкин Е.В. О моменте и силах, действующих на вращающийся внутренний цилиндр при течении в зазоре. Доклады Всероссийской молодёжной конференции «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей». Новосибирск: ИТПМ СО РАН, 2010. С. 245-249.
10. Подрябинкин Е.В., Рудяк В Я. Моделирование турбулентных течений в цилиндрическом зазоре с эксцентриситетом и вращением внутреннего цилиндра Современные проблемы математики и механики: материалы II Всероссийской молодёжной научной конференции. Издательство Томского университета. 2011. С. 195-199.
11. Подрябинкин E.B. Численный алгоритм для описания течений несжимаемых жидкостей в цилиндрическом зазоре. Современные проблемы математики и механики: материалы докладов III Всероссийской молодёжной научной конференции. Издательство Томского университета. 2012. С. 357-361.
12. Подрябинкин Е.В., Рудяк В.Я. Моделирование турбулентных течений жидкости Хершеля-Балкли в цилиндрическом зазоре с эксцентриситетом и вращением внутреннего цилицдра. Доклады IV всероссийской конференции «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехнологий». Новосибирск, 2012. С. 289294.
13. Тарасевич В.В., Подрябинкин Е.В., Рудяк В.Я. Моделирование течений неньютоновской жидкости в межтрубном пространстве при поступательном движении внутренней трубы. Доклады IV всероссийской конференции «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехнологий». Новосибирск, 2012. С. 323328.
14. Гаврилов A.A., Подрябинкин Е.В., Рудяк В.Я. Прямое численное моделирование турбулентного течения степенной жидкости в круглой трубе. Доклады IV всероссийской конференции «Фундаментальные основы МЭМС- и нанотехнологий». Новосибирск, 2012. С. 113-117.
15. Игнатенко Я.С., Подрябинкин Е.В. Моделирование спирального течения жидкости Хершеля-Балкли через частично блокированный кольцевой канал. Труды ХШ Международной молодёжной научной конференции «Интеллект и наука». 2013. С. 25-26.
16. Подрябинкин Е.В. Моделирование турбулентных течений псевдопластических жидкостей в кольцевом канале. Труды XIII Международной молодёжной научной конференции «Интеллект и наука». 2013. С. 42—43.
Подписано в печать 27.03.2014 г. Формат 60x84/16. Ризография. Объём 1.5 пл. Тираж 120 экз. Заказ № 109 Отпечатано в типографии Новосибирского государственного архитектурно-строительного университета (Сибстрин) 630008, г. Новосибирск, ул. Ленинградская 113
Новосибирский государственный архитектурно-строительный университет
На правах рукописи
04201459907
Подрябинкин Евгений Викторович
Моделирование течений ньютоновских и неньютоновских жидкостей в цилиндрическом зазоре
01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы
Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
Научный руководитель -
доктор физико-математических наук,
профессор, Рудяк Валерий Яковлевич
Новосибирск - 2013
Содержание
Введение............................................................................................................................................5
1 Алгоритм для численного решения уравнений гидродинамики неньютоновской жидкости......................................................................................................21
1.1 Метод численного решения уравнения переноса...........................................................22
1.1.1 Аппроксимация нестационарного члена............................................................................22
1.1.2 Аппроксимация конвективного члена................................................................................23
1.1.3 Аппроксимация диффузионного члена..............................................................................24
1.1.4 Аппроксимация источникового члена................................................................................25
1.1.5 Нахождение геометрических характеристик ячейки........................................................25
1.1.6 Вычисление градиентов и значений величины (р на гранях ячеек...................................26
1.1.7 Численная реализация алгоритма для решения уравнения переноса..............................26
1.2 Процедура коррекции скорости и давления 81МРЬЕС..................................................27
1.2.1 Аппроксимация динамических уравнений.........................................................................27
1.2.2 Уравнение поправки давления............................................................................................28
1.2.3 Устранение осцилляции поля давления.............................................................................30
1.3 Особенности алгоритма и его программной реализации...............................................30
1.3.1 Вычислительная сетка..........................................................................................................30
1.3.2 Программное представление вычислительной сетки........................................................31
1.3.3 Программное представление матрицы СЛАУ...................................................................32
1.3.4 Программная реализация формирования СЛАУ для решения уравнения переноса.....32
1.3.5 Граничные условия...............................................................................................................33
1.3.6 Вычисление эффективной вязкости....................................................................................34
1.3.7 Структура алгоритма численного решения уравнений гидродинамики.........................34
1.4 Тестирование алгоритма...................................................................................................35
1.4.1 Установившееся течение в круглой трубе.........................................................................35
1.4.2 Спиральное течение в концентрическом кольцевом зазоре.............................................38
1.4.3 Спиральное течение в канале с эксцентриситетом и сопоставление с экспериментальными данны ми...........................................................................................................40
2 Моделирование ламинарных течений ньютоновских и неньютоновских жидкостей......................................................................................................................................43
2.1 Постановка задачи.............................................................................................................43
2.2 Ламинарное течение ньютоновской жидкости в цилиндрическом зазоре...................46
2.3 Ламинарное течение степенной жидкости в цилиндрическом зазоре..........................51
2.3.1 Случай аксиального течения...............................................................................................51
2.3.2 Случай спирального течения степенной жидкости в концентрическом канале.............53
2.3.3 Случай спирального течения степенной жидкости в канале с эксцентриситетом.........55
2.4 Ламинарное течение жидкостей с предельным напряжением сдвига в цилиндрическом зазоре...............................................................................................................57
2.4.1 Случай аксиального течения...............................................................................................57
2.4.2 Характеристики спирального течения................................................................................59
2.5 Момент и силы, действующие на внутренний цилиндр................................................66
2.5.1 Момент, действующий на внутренний цилиндр в ньютоновской жидкости.................66
2.5.2 Силы, действующие на внутренний цилиндр в ньютоновской жидкости......................69
2.5.3 Момент и силы, действующие на внутренний цилиндр в неньютоновских жидкостях72
3 Моделирование турбулентных течений ньютоновских и неньютоновских жидкостей......................................................................................................................................79
3.1 Модель коэффициента молекулярной вязкости и численный метод моделирования турбулентных течений................................................................................................................80
3.1.1 Математическая модель.......................................................................................................80
3.1.2 Численный алгоритм............................................................................................................83
3.2 Моделирование турбулентных течений ньютоновской жидкости в цилиндрическом зазоре............................................................................................................................................84
3.2.1 Характеристики аксиального напорного течения.............................................................84
3.2.2 Особенности спирального течения в осесиммстричном зазоре.......................................85
3.2.3 Характеристики спирального течения в канале с эксцентриситетом..............................87
3.3 Моделирование турбулентных течений неньютоновской жидкости в цилиндрическом зазоре...............................................................................................................91
3.3.1 Случай аксиального напорного течения............................................................................91
3.3.2 Течение в концентрическом канале с вращением внутреннего цилиндра......................94
3.3.3 Ламинарно-турбулентные режимы течения......................................................................95
3.3.4 Влияние эксцентриситета в течении с вращением внутреннего цилиндра..................101
4 Алгоритмы для быстрого определения параметров течения.............................104
4.1 Описание базы данных течений и её организация.......................................................104
4.2 Интерполяционный алгоритм для быстрого вычисления скалярных величин..........106
4.3 Интерполяционный алгоритм для быстрого вычисления поля скорости..................107
3
4.4 Применение методик сжатия данных для полей скорости..........................................110
4.4.1 Сжатие при помощи воспроизводящих функций............................................................111
4.4.2 Аппроксимация методом наименьших квадратов...........................................................111
4.4.3 Побитовое сжатие...............................................................................................................112
4.5 Тестирование и верификация интерполяционных алгоритмов...................................113
Заключение..................................................................................................................................115
Список литературы...................................................................................................................122
Приложение 1: Построение расчётных сеток в зазоре между двумя цилиндрами с эксцентриситетом.....................................................................................................................132
Введение
Задача о течении жидкости в зазоре между двумя цилиндрами различного диаметра имеет множество практических приложении. Течения такого рода встречаются в теплообменниках, ротационных вискозиметрах, центрифугах, при бурении скважин, подшипниках скольжения и ряде других приложений. При этом, помимо течения жидкости вдоль оси цилиндрического канала (аксиального течения), как правило, имеет место также и вращательное, вызванное вращением внутреннего, внешнего или обоих цилиндров. Ситуация когда ось внутреннего цилиндра может не совпадает с осью внешнего, то есть имеет место эксцентриситет, нарушающий осевую симметрию существенно усложняет течение, однако является вполне типичной. Кроме этого, рабочая жидкость в упомянутых устройствах, как правило, имеет неньютоновскую реологию, а наряду с ламинарным зачастую реализуется турбулентный режим течения. Все эти особенности, расширяя класс рассматриваемых течений, существенно усложняют классическую задачу гидродинамики, однако, вместе с тем, делают её решение крайне востребованным.
В практических приложениях используется самая различная информация о течении. Например, для центрифуг, вискозиметров и буровых колонн необходимо знание момента гидродинамических сил, приложенных к цилиндрам. Для подшипников скольжения, помимо этого, важна информация о силах, действующих на цилиндры со стороны жидкости. В буровой индустрии и в процессе эксплуатации теплообменников огромное значение имеет информация о перепаде давления. В случаях, когда канал используется для гидротранспорта (как, например, при бурении скважин и в центрифугах) или теплообмена имеет практическое значение не только информация об интегральных характеристиках течения, но и поля скоростей, давления, вязкости и т.д.
Не удивительно, что попытки решения этой задачи для ряда частных случаев предпринимались начиная со второй половины прошлого века. Простейшим случаем здесь является ламинарное течение ньютоновской жидкости в концентричном цилиндрическом зазоре, для него известно точное аналитическое решение [1]. Нарушение осевой симметрии течения вследствие эксцентриситета усложняет задачу, однако для случая напорного течения всё же существует точное аналитическое решение в виде ряда в биполярной системе координат, впервые опубликованное Снидером (Snyder) [2]. А используя безынерционное приближение для узкого зазора, удаётся построить аналитическое решение и для вращательного течения
[3] в эксцентрическом зазоре, которое часто используется в гидродинамической теории смазки.
Под неныотоновскими жидкостями обычно понимают жидкости, в которых вязкость не остаётся постоянной при заданной температуре и давлении, а зависит от других факторов, таких как скорость деформации или предыстория течения жидкости. Все неныотоновские жидкости можно разделить на три группы: (1) неныотоновские вязкие жидкости или обобщённые ньютоновские жидкости, (2) неньютоновские нереостабильные жидкости, (3) неньютоновские вязкоупругие жидкости. К первым из перечисленных относятся жидкости, для которых напряжение в каждой точке в любой момент времени полностью определяется скоростью деформации в той же точке в тот же самый момент времени, то есть, определяющее уравнение, устанавливающее зависимость между тензором напряжений Т и тензором скоростей деформации у, имеет вид
T = g(y). (0.1)
Ко второму типу неныотоновских жидкостей относятся более сложные системы, в которых связь между напряжением и скоростью сдвига зависит от времени действия напряжения или предыстории жидкости. Кажущаяся вязкость может убывать (тиксотропные жидкости) или возрастать (реопектические жидкости) со временем при постоянной скорости деформации. Жидкости третьего типа обладают свойствами как твёрдого тела, так и жидкости. Они частично проявляют свойства упругого восстановления формы после снятия напряжения. Это более общий и более сложный для изучения класс жидкостей, чем первый. Эти жидкости также называют средами с памятью. Стоит отметить, что некоторые классы течений (в частности, развитые ламинарные стационарные течения) жидкостей второго и третьего типов хорошо описываются более простой моделью неньютоновской вязкой жидкости [4].
Механические и термодинамические принципы накладывают ограничения на вид функции g в уравнении (0.1). Как показано, например, в [5, 6] тензорная функция g должна быть линейной, с коэффициентом пропорциональности, зависящим лишь от второго инварианта тензора скоростей деформации II (у) = tr(y : у)
т = 2т](Щу))у (0.2)
Коэффициент т] в (0.2) принято называть коэффициентом эффективной вязкости. В зависимости от знака производной эффективной вязкости dr}{s)/ds жидкости разделяют на два типа: дилатантные, где вязкость увеличивается с ростом скорости сдвига drj(s)/ds>0, и псевдопластические, в которых вязкость, напротив, уменьшается drj(s)/ds <0 (см. рис. 0.1). Типичным примером дилатантных жидкостей являются некоторые виды суспензий (как прави-
ло, концентрированные) твёрдых частиц. Псевдопластические жидкости распространены несколько шире: полимерные расплавы и растворы, различные смазки, буровые растворы, грязи, масляные краски, различные пасты и т.п. Уменьшение вязкости с увеличением скорости сдвига объясняется тем, что асимметричные частицы или молекулы полимеров вместо хаотических положений, которые они занимают в покоящейся жидкости, ориентируются большими осями вдоль направления потока, уменьшая тем самым вязкое трение. Эффективная вязкость убывает до тех пор, пока сохраняется возможность дальнейшего ориентирования молекул или частичек вдоль линий тока, а после этого не меняется. При этом предполагается, что ориентирование молекул или частичек при возрастании скорости сдвига происходит мгновенно или по меньшей мере гораздо быстрее изменения скорости сдвига во времени, так что временной эффект запаздывания пренебрежимо мал. Различные экспериментальные исследования свойств множества разнообразных жидкостей показали, что реология широкого класса жидкостей может быть описана так называемым степенным законом [5, 6, 7]
Здесь // - показатель степени, а коэффициент к - так называемый индекс консистентности, размерность которого [Па-с"]. Несмотря на то, что эта модель предсказывает неограниченно большую вязкость при малых скоростях сдвига и неограниченно малую при высоких скоростях сдвига (хотя у реальных жидкостей значения максимальной и минимальной вязкости конечны), эта модель давно успешно применяется и в инженерном анализе. В литературе можно встретить отличные от (0.3) виды зависимости напряжений от скорости деформации для псевдопластиков, лишённые указанных выше недостатков [5, 6], однако они гораздо сложнее, содержат больше эмпирических констант, а их применение обычно не даёт никаких преимуществ, компенсирующих эти трудности.
Рис. 0.1. Кривые зависимостей напряжения от скорости сдвига для различных реологических типов. 1 - ньютоновская жидкость; 2 - псевдопластическая жидкость; 3 - дилатантная жидкость; 4 - вязкопластическая жидкость.
(0.3)
У
Среди обобщённых ньютоновских жидкостей особое место занимают жидкости с предельным напряжением сдвига, называемые также вязкопластическими. Такие жидкости, как правило, содержит мельчайшие частицы или крупные молекулы полимеров, которые взаимодействуя, формируют жёсткую структуру. Для того чтобы эту структуру разрушить необходимо приложить определённое значение сдвигового напряжения г0. Таким образом, эти жидкости ведут себя как твёрдое тело там, где напряжения не превосходят определённого предельного значения г0 и текут если это значение напряжения превышено (см. рис. 0.1).
Пожалуй, наиболее известной при описании таких сред является модель вязкопластической жидкости Бингама [8]
Гт = (р+т0/|у|)у, |у|>0,
Н<т0, Ы = 0.
Естественная суперпозиция бингамовскои (0.4) и степенной (0.3) моделей жидкости даёт реологическую модель Хершеля-Балкли (НегзсЬе1-Ви1к1еу) [9], которая с хорошей точностью описывает практически все реальные обобщённые ньютоновские жидкости
т = (а|уГ'+т0/|у|)у, |у| > о, (05)
М<т0> Ы = 0.
В настоящей работе рассматриваются неныотоновские жидкости именно с такой реологией.
Уравнения гидродинамики для ламинарных течений неныотоновских жидкостей содержат нелинейные члены, связанные с переменной вязкостью, поэтому получение точных аналитических решения даже для самых простых течений является намного более сложной задачей, чем для ньютоновских сред. Тем не менее, в [10] такие решения приводятся для аксиального и плоского вращательного течения бингамовской жидкости в концентричном цилиндрическом зазоре. Для степенной жидкости получение подобного решения для аксиального течения сопряжено с решением трансцендентного уравнения, которое может быть разрешено лишь численно [7]. Аналогичные трудности возникают при построении асимптотического решения для спирального течения в концентрическом канале с близкими радиусами цилиндров [7]. А для жидкости Хершеля-Балкли аналитическое решение существует лишь для течения в круглой трубе [11].
Как видно, аналитические решения для задачи о течении в цилиндрическом зазоре существуют лишь для небольшого количества простейших частных случаев. Кроме того, зачастую использование аналитических решений на практике затруднительно, особенно если они даются в виде ряда или требуют применения численного интегрирования. Поэтому для инженерных целей обычно используются различные приближённые полуаналитические ре-
шения и корреляционные формулы, построенные с использованием эмпирических данных. Этими целями мотивирован ряд работ, проводившихся разными авторами и в разное время, по изучению упомянутого класса течений на основе экспериментов и численного моделирования. Интенсивное экспериментальное изучение течений в зазоре проводилось последние шесть десятилетий, однако в подобных экспериментах изучались характеристики лишь отдельно взятого течения или некоторой серии течений.
В одной из первых экспериментальных работ [12] авторы изучали ламин
