Нетопологизируемые группы и уравнения над ними тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет 00349459 1

На правах; рукописи УДК 512.543.7+512.546.1

Трофимов Антон Владимирович

Нетопологизируемые группы и уравнения над ними

01.01.06 - Математическая логика, алгебра, теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва,2010 г.

003494591

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Нучный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Антон Александрович Клячко.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Молдаванский Давид Ионович,

кандидат физико-математических наук, доцент Дерябина Галина Сергеевна.

Ведущая организация: Математический Институт

имени В. А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится 19 марта 2010 года в 16часов 45 мин на заседании диссертационного совета Д501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу : Р.Ф, 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, д. 1 Главне здание МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 19 февраля 2010 года. Ученый секретарь совета Д501.001.84 при МГУ, доктор физико-математических наук, профессор ' А. О. Иванов

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Диссертация относится к теории групп — одному из основных разделов алгебры. Основные результаты этой работы связанны с исследованием групп, допускающих только дискретные групповые топологии (нетопологизируе-мые группы) и уравнений над ними.

В 1946 г. А. А. Марковым в работе1 был поставлен вопрос о существовании а) бесконечных б) счетных нетопологизируемых групп. Имеются ввиду отделимые топологии (когда для любых различных точек а и Ъ найдется окрестность точки а не содержащая Ь). Спрашивается, всякую ли бесконечную (счетную) группу G можно превратить в топологическую группу путем введения на ней некоторой отделимой недискретной топологии? (Понятно, что всякая группа является топологической с дискретной топологией.) В несчетном случае отрицательный ответ был получен в работе Шелаха2. В счетном случае отрицательный ответ был получен А. Ю. Ольшанским в статье3 и позже модифицирован Морисом и Образцовым4. Важно отметить, что, пример Ольшанского является факторгруппой по центральной подгруппе группы, построенной Адяном5 и является периодическим, а пример Мориса Образцова является квазициклическим.

В диссертации представлен пример нетопологизируемой группы6, которая имеет кручение, но не является периодической, более того, показано, что любая счетная группа может быть вложена в один из таких примеров.

В августе 1984 года в г. Тирасполе на основе материалов семинара по топологической алгебре был выпущен сборник открытых вопросов по топо-

'Марков А. А. О безусловно замкнутых множествах // Мат. сб.- 1946.- Т.18, №1,- С. 3-28.

2Shelah S. On a problem of Kurosb, Jonsson group and applications // Word problems, II. — Amsterdam: North-Holland, 1980. - P. 373-394.

Замечание о счетной нетопологизируемой группе // Вестн. МГУ: мат., мех,- 1980.- №3.- С. 103.

4Nondiscrete topological groups with many discrete subgroups // Topology Appl. - 1998 - V. 84- pp. 105-120.

5Адян С. И. О некоторых группах без кручения // Изв. АН СССР, сер. матем. - 1971- Т.35, №3-С. 459-468.

6Трофимов А. В. Теорема вложения в нетопологизвруемую группу // Вестн. МГУ: Сер. 1, мат., мех., - 2005. №3. С. 60 - 62.

логической алгебре7. В кем был сформулирован список открытых вопросов на два из которых удалось получить ответы.

Вопрос 1.1{А. Д. Тайманов) «Допускает ли недискретную групповую топологию бесконечная группа автоморфизмов произвольной группы?»

Отрицательный ответ на этот вопрос вытекает из теоремы 6.2, в которой приводится пример совершенной группы, допускающей только дискретную групповую топологию.

Вопрос 1.4 (П. И. Кирку) «Всякая ли счетная группа допускает недискретную групповую топологию? (Известные примеры нетопологизируемых счетных групп являются периодическими.)»

Существование группы без кручения, допускающей лишь дискретную групповую топологию, следует из теоремы 5.1 и следствия 5.3 главы 5.

Отметим, что согласно теореме Маркова, дополнение до единицы во всякой счетной нетопологизируемой группе должно разлагаться в объединение множеств решений конечного числа систем уравнений. В известных примерах бесконечных счетных нетопологизируемых групп эти разложения выглядят так:

п-1

С\{д,!...)д„} = и{5бС|5п = 5>} (1)

>=1

(пример Ольшанского и модификации Мориса и Образцова ),

G\{gi,-.., S2n} = {д е G | [д, а]71 = 1} (примеры из главы 3 диссертации,

(2)

G \ {1} = {д € G||[ci^([a,3])c11,'ü([b,5])] = 1} (примеры из главы 5 , (3)

где v(g) = J"J i=l

Здесь <?j и а — некоторые фиксированные элементы соответствующей группы G, а число п в обоих случаях является большим (по меньшей мере 665) и нечетным. Разложение (1) представляется максимально простым.

'Нерешенные задачи топологической алгебры, (ред. В.И.Арнаутов, А.В.Архангельский, П.И.Кирку, А.В.Михалев, Ю.Н. Мухин, И.В.Протасов, М.М.Ч(}бан), Кишинев: Штиинца, 1985.

Отметим однако, что уравнение w(x) = 1, из примера (3) более замысловатое чем уравнения хп = а и [ж, а]п — 1, фигурирующие в примерах (1) и (2) счетных нетопологизируемых групп. Отметим еще, что пример Ольшанского и его модификации является периодическими (при этом примеры Морриса и Образцова являются квазициклическими); примеры предложенные в дисертации8 имеют кручение, но периодическими не являются, более того, показано, что любая счетная группа может быть вложена в один из таких примеров, а пример9 вообще не имеет кручения (здесь а, 6, Cj — некоторые элемены группы G).

Естественно задать вопрос, какие значения могут принимать мощность множества решений уравнения в группе и мощность дополнения до этого множества? Из теоремы 5.1 нетрудно вывести такой факт:

Теорема 1 Для любых двух кардиналов s и п, по крайней мере один из которых бесконечен, найдется такая группа G (мощности s+nj и такое уравнение и(х) = 1 над ней, что ровно s элементов группы G являются решениями этого уравнения и ровно п элементов группы G не являются решениями этого уравнения.

Замечание 2 Условие бесконечности одного из кардиналов здесь существенно. Например, нетрудно сообразить, что в группе порядка три число решений никакого уравнения не может быть равно двум.

Будем говорить, что бесконечная группа G удовлетворяет почти тождеству

w(xi,... ,х/с) = 1, если для произвольного набора бесконечных подмножеств Xi,... ,Х/с группы G найдется такой набор элементов х° <Е Х\,... ,х°к € Хк группы G, что w — w(xi,..., xGk) = 1. Рассмотрим групповое многообразие V{w) с тождеством w = 1 и класс групп V(w) с почти тождеством.

В работе10 был сформулирован вопрос: «Существует ли бесконечная группа G и слово w такие, что G G V{w*)n!F и G V(w) CMF ? » (здесь F — множество бесконечных групп ).

Отметим, что аналогичная проблема была рассмотрена в работе11 Бернарда Нейманн для тождества w{x\,x2¡ = [х\,х^ — 1. Она доказала, что

8Трофимов А. В. Теорема вложения в нетопологизируемую группу // Вестн. МГУ: Сер. 1, мат., мех., - 2005. №3. С. 60 - 62.

'Anton A. Klyachko Anton V. Tïofîmov The number of non-solutions to an equation in a group // Journal of Group Theory 2005 V.8 N. 6 pp 747-754.

1CP. Longobardi, M. Maj and A. Rhemtulla Infinite groups in a given variety and Ramsey's theorem// Comm. Algebra 20(1) (1992) 127-139

"B.H. Neumann A problem of paul Erdos on group // J. Austral, math. Soc. (Series A) 21 (1976), 467 —

почти тождество [3:1,2:2] = 1 выполнено в бесконечной группе G тогда и только тогда, когда группа G абелева. Позднее был получен ряд отрицательных ответов для следующих тождеств:

w — хт, w = [xi,..., хь\ Лонгобарди12,

w = [x,yf Лонгобарди в13,

ги — [х, у, у] Спайзиа в14,

w = [х, у, у, у] Спайзиа в15,

w — (ху)~3х3у3 Абдолахи в16,

w = х"1.....х£*, где а\,...,ак — ненулевые целые в Абдолахи и Тьери17,

w = {ху)2{ух)~2 или ги = [хт,у] где т 6 {3,6} U {2к\\к е N} в Абдолахи и Тьери18,

w = {хп,у\{х,уп\-1, где п £ {±2,3} Тьери в19,

w = [хт,хт] или w = (xf ...¡С)2 где т е {2fc||fc G N} Букарура в20, и многие другие.

В четвертой главе приведен первый пример тождества w = it»(xi,..., х;, t), для которого JF П V(w*) \!F П У(ги) ^ 0. Запишем это тождество. Пусть и = и(хь ...,xi,t) = [us_i... [«г, [«ь i*»]*^ _ Правонормирован-

ная нильпотентная скоба и

Vj = Vj(x\,.. .х{) j = 1,... I — некоторые не единичные слова в свободной группе Т с базисом {xi,...xj} минимальной длины и kj, j = 0,...s —

12Р. Longobardi, М. Maj and A. Rhemtulla Infinite groups in a given variety and Ramsey's theorem// Coram. Algebra 20(1) (1992) 127-139

I3P. Longobardi, M. Maj A finiteness condition concerning commutators in groups// Houston J. Math 19(4) (1993) 505-512

"L.S. Spiezia A property of the variety of 2-Engel groups// Rend. Sem. Math. Univ. Padova 91 (1994) 225 - 228.

"L.S. Spiezia A characterization of the third Engel groups// Arch. Math. (Basel) 64 (1995) 369 — 373.

16 A. Abdollahi A characterization of infinite 3-abelian groups// Arch. Math. (Basel) 73 (1999) 104 — 108.

17A. Abdollahi and B. Taeri A condition on finitely generated soluble groups// Comm. Algebra 27(1999) 5633 - 5638.

18A. Abdollahi, B. Taeri Some conditions on infinite subsets of infinite groups// Bull. Malaysion Math. Soc. (Ser. 2) 22 (1999) 87 - 93

19B. T&eri A combinatorial condition on a ceratin variety of groups// Arch. Math. (Basel) 77 (2001), 456 -460.

20A. Boukaroura A condition on infinite groups for satisfying cerain laws// to appear in Algebra Colloq.

4

1 некоторые целые числа, отличные от нуля. Тогда тождество V) — 10(2:1,..., XI, г) = ь(х1,..., XI, ¿)п = 1 для достаточно большого нечетного п.

Из теоремы 4.10, опубликованной в21, следует даже более сильное утверждение. Для любых фиксированных элементов ..., некоторой группы О и произвольного конечного подмножества У С С? достаточно большой но конечной мощности ттг найдется элемент у & У такой, что ги(х®,..., у) = 1.

Поскольку в определении тождества и> слова ь ..., X;) и целые ненулевые степени (здесь ] — 0, й - 1, в е К) достаточно произвольные, класс тождеств ш достаточно широк.

К примеру в следствии 4.11 показанно, что классы У(т)Г\У: и У(ги*)Ш: разрешимых (нильпотентных) групп достаточно большой нечетной экспоненты п не совпадают.

Также необходимо отметить, что группы, построенные в четвертой главе являются нетопологизируемыми.

Цель работы

Доказать теорему вложения в нетопологизируемую группу, показать существование нетопологизируемых групп без кручения и совершенных нетопо-логизируемых групп, привести пример тождества ю и группы С? таких, что ббУМ, но

Методы исследования

В работе используются результаты и методы теории групп.

Научная новизна

Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1) Показано, что произвольная счетная группа может быть изоморфно вложена в нетопологизируемую группу.

2) Представлены примеры.тождеств го и групп С? таких, что О 6 У(ги*) П

21Трофимов А. В. Группы, удовлетворяющие тождествам на бесконечных множествах.// Деп. в ВИНИТИ 15.09.09 №5б1-В2009.

3) Приведен пример счетной нетопологизируемой группы без кручения. Показано также, что для любых двух кардиналов в и п, по крайней мере один из которых бесконечен, найдется такая группа С? (мощности э + п) и такое уравнение и{х) = 1 над ней, что ровно в элементов группы С являются решениями этого уравнения и ровно п элементов группы (? не являются решениями этого уравнения.

4) Построена группа, группа автоморфизмов которой допускает только дискретную топологию.

Практическая и теоретическая значимость

Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы для решения различных задач теории групп и теории топологических групп.

Апробация результатов

Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинаре по теории групп на механико-математическом факультете МГУ (2002, 2005, 2006,2007,2009 г.), на научно-исследовательском семинаре кафедры общей топологии и геометрии МГУ(2005, 2007 г.), на международной алгебро-ической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры (Москва 2004 год).

Публикации

Основные результаты опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферата [1-4].

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, раздела обозначений и описания используемой методики исследования, четырех глав и списка литературы. Полный объем диссертации — 76 страниц, библиография включает 39 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении кратко отражена история вопросов освешенных в диссертации, кратко сформулированы основные результаты.

Вторая часть работы содержит основные определения и описание методики исследования.

В третей главе проводится доказательсво теоремы вложения произвольной конечно-порожденной группы в нетопологизируемую группу. Основным результатом является

Теорема 3.1 Произвольная конечно-порожденная группа Н может быть изоморфно вложена в нетопологизируемую конечно-порожденную группу й той же мощности.

В четвертой главе исследуется вопрос совпадения многообразия бесконечных групп У(и>) с тождеством ш(х1,..., Хк) = 1 с классом бесконечных групп У(ю*) со свойством почти тождества ш{х\,... ,хь) = 1. Из теоремы 4.1 и следствия вытекает ответ на вопрос 15 Кауровской тетради, принадлежащий П. Лонгобарди, М. Май, А. Ремтулла.

Теорема 4.1 Для всех достаточно больших т и нечетных п существует группа С такая, что для любого фиксированного элемента хо 6 й и любого подмножества У С й мощности т найдется элемент у € У, для которого верно равенство [х(ьу]п = 1, но тождество [х\,х?\п = 1 в группе <? не выполнено.

Следствие 4.2 Классы У([х, у]п) П Т и К([:е, у]п) П Т групп не совпадают (здесь Т множество бесконечных групп).

Также в теореме 4.10 приведен ряд более сложных тождеств ш для которых У(г^*)П^:\У(г(;,')гиг ф 0. Среди них тождества разрешимых (ниль-потентных) большой нечетной экспоненты п многообразий.

Основным результатом пятой главы стала теорема

Теорема 5.1 Существует такая конечно порожденная группа без кручения Н и такое уравнение ш(х) = 1 (где ы(х) € Н * (х)х ) над ней, что решениями этого уравнения являются все элементы группы Н, кроме одного:

{/г € Я | ш(А) ф 1} = 1. (4)

из которой следует существование нетопологизируеммой группы без круче-ня

Следствие 5.3 Существует нетривиальная счетная нетопологизиру-емая группа без кручения.

и терема о количесве решений уравнений над бесконечной группой

Теорема 5.4 Для любых двух кардиналов s un, по крайней мере один из которых бесконечен, найдется такая группа G (мощности s + п) и такое уравнение и(х) = 1 над ней, что ровно s элементов группы G являются решениями этого уравнения и ровно п элементов группы G не являются решениями этого уравнения.

В шестой главе исследуется вопрос А. Д. Тайманов о допустимости недискретной топологии на группе автоморофизмов произвольной группы. Основными результатами являются следующие утверждения Теорема 6.2

Существует такая конечно порожденная бесконечная совершенная группа H и такое уравнение w(x) = 1 (где w(x) € H * (х)^) над ней, что решениями этого уравнения являются все элементы группы H, кроме одного:

{he H [ w(h) ¿1} = {1}. (5)

Следствие 6.3 Существует счетная бесконечная совершенная нето-пологизируемая группа.

Благодарности. Автор выражает благодарнсть своему научному руководителю кандидату физико-математических наук, доценту Антону Александровичу Клячко за постановку задач, ценные советы и многочисленные плодотворные обсуждения.

Работы автора по теме диссертации

[1] Трофимов А. В. Теорема вложения в нетопологизируемую группу // Вестн. МГУ: Сер. 1, мат., мех., - 2005. №3. С. 60 - 62.

[2] Трофимов А. В. Совершенная нетопологизируемая группа// Вестн. МГУ. Сер. 1. Мат., Мех. 2007. №1. С 7 - 13.

[3] Трофимов А. В. Группы, удовлетворяющие тождествам на бесконечных множествах.// Деп. в ВИНИТИ 15.09.09, №561-В2009.

[4] Anton A. Klyachko Anton V. Trofimov The number of non-solutions to an equation in a group // Journal of Group Theory 2005 V.8 N. 6 pp 747-754.

Подписано в печать 02, {О Формат 60x90 1/16. Усл. печ. Тираж -ЮО экз. Заказ 0>5

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

1. A. Abdollahi A characterization of infinite 3-abelian groups// Arch. Math. (Basel) 73 (1999) 104 - 108.

2. A. Abdollahi Finitely generated soluble groups with an Engel condition on infinite subsets// Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 103 (2000), 47 — 49.

3. A. Abdollahi Some Engel conditions on infinite subsets of certain groups// Bull. Austral. Math. Soc. 62 (2000), 141 148.

4. A. Abdollahi and B. Taeri A condition on finitely generated soluble groups// Comm. Algebra 27(1999) 5633 5638.

5. A. Abdollahi and B. Taeri A condition on a certain variety of groups// Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 104 (2000), 129 — 134.

6. A. Abdollahi, B. Taeri Some conditions on infinite subsets of infinite groups// Bull. Malaysion Math. Soc. (Ser. 2) 22 (1999) 87 93

7. Адян С. И. О некоторых группах без кручения // Изв. АН СССР, сер. матем. 1971.- Т.35, №3.- С. 459-468.

8. A. Boukaroura A condition on infinite groups for satisfying cerain laws// to appear in Algebra Colloq.

9. C. Delizia Finitely generated soluble groups with a condition on infinite subset// Istit. Lombardo Accad. Sci. Lett. Rend. A 128 (1994) 201 — 208.

10. C. Delizia On certain residually finite groups// Comm. Algebra 24 (1996) 3531 3535.

11. C. Delizia, A. Rhemtulla and H. Smith Locally graded groups with a nilpotency condition on infinite subset// J. Austral. Math. Soc. (Series A) 69 (2000), 415 420.

12. J.R.J. Groves A conjecture of Lennox and Wiegold concerning supersoluble groups// J. Austral. Math. Soc. (Series A) 35 (1983)

13. J. C. Lennox and J. Wiegold Extensions of a problem of Paul Erdos on groups// J. Austral. Math. Soc 31 (1981) 459 — 463.

14. P. Longobardi, M. Maj A finiteness condition concerning commutators in groups// Houston J. Math 19(4) (1993) 505-512

15. P. Longobardi, M. Maj Finitely generated soluble groups with an Engel condition on infinite subsets// Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 89 (1993) 97 102.

16. P. Longobardi, M. Maj, A Mann and A. Rhemtulla Groups with many nilpotent subgrups// Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 95 (1996) 143 — 152

17. P. Longobardi, M. Maj and A. Rhemtulla Infinite groups in a given variety and Ramsey's theorem// Comm. Algebra 20(1) (1992) 127-139

18. Марков А. А. О безусловно замкнутых множествах // Мат. сб.- 1946-Т.18, т.- С. 3-28.

19. Morris S. A., Obraztsov V. N. Nondiscrete topological groups with many discrete subgroups // Topology Appl. 1998 - V. 84 - pp. 105-120.

20. B. Neumann A problem of paul Erdos on group //J. Austral, math. Soc. (Series A) 21 (1976), 467 472.

21. Нерешенные задачи топологической алгебры, (ред. В.И.Арнаутов, А.В.Архангельский, П.И.Кирку,А.В.Михалев, Ю.Н. Мухин, И.В.Протасов, М.М.Чобан), Кишинев: Шти-инца, 1985.

22. Ольшанский А. Ю. Замечание о счетной нетопологизируемой группе // Вести. МГУ: мат., мех 1980 - №3 - С. 103.

23. Ольшанский А. Ю. Геометрия определяющих соотношений в группах. М.: Наука, 1989.

24. A. Rhemtulla and Н. Smith On infinite locally finite groups// Canad. Math. Bull. 37 (1994) 537 544.

25. Shelah S. On a problem of Kurosh, Jonsson group and applications // Word problems, II. — Amsterdam: North-ilolland, 1980. — P. 373-394.

26. L.S. Spiezia A property of the variety of 2-Engel groups// Rend. Sem. Math. Univ. Padova 91 (1994) 225 228.

27. L.S. Spiezia A characterization of the third Engel groups// Arch. Math. (Basel) 64 (1995) 369 373.

28. B. Taeri A combinatorial condition on a ceratin variety of groups// Arch. Math. (Basel) 77 (2001), 456 460.

29. Schupp P. E. On Den's algorithm and the conjugacy problem// Math. Ann.(1968) Bd 178 №2. 119 130.

30. Ольшанский А. Ю. О теореме Новикова — Адяна // Мат. сб. (1982) Т 118, №2 с. 203 235.

31. Lyndon R. С. On Dehn's algorithm // Math. Ann. (1966) Bd 166. s 208 -228.

32. Р. Линдон, П. Шупп Комбинаторная теория групп: пер. с анг. // Москва изд. Мир 1980 пер.

33. Derybina G. S., Kozhevnikov P. A. The derived subgroup of a group with commutators of bounded order can be non-periodic // Comm Algebra 1999 27 (9). 4525 4530.

34. Nielsen J. Die Isomorphismen der allgemeinen, unendlichen Gruppe mit zwei Erzeugenden// Math. Ann. 1918 Bd 78 S.385-397.- (G40)

35. В.Д. Мазуров Е.И. Хухро Нерешенные вопросы теории групп. Коуров-ская тетрадь. Новосибирск 2006.Работы автора по теме дисертации

36. Anton A. Klyachko Anton V. Trofimov The number of non-solutions to an equation in a group // Journal of Group Theory 2005 V.8 N. 6 pp 747-754.

37. Трофимов А. В. Теорема вложения в нетопологизируемую группу // Вестн. МГУ: Сер. 1, мат., мех., — 2005. №3. С. 60 — 62.

38. Трофимов А. В. Совершенная нетопологизируемая группа// Вестн.МГУ.Сер. 1 .Мат.,Мех. 2007. т. С 7 13.

39. Трофимов А. В. Группы, удовлетворяющие тождествам на бесконечных множествах.// Деп. в ВИНИТИ 15.09.09 №561-В2009.