Неустойчивость гравитационных фронтов пропитки и процессы пальцеобразования в ненасыщенной пористой среде тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

Гоголашвили Булат Эдуардович

003169139

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ГРАВИТАЦИОННЫХ ФРОНТОВ ПРОПИТКИ И ПРОЦЕССЫ ПАЛЬЦЕОБРАЗОВАНИЯ В НЕНАСЫЩЕННОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЕ

01 02 05 — механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 5 МАМ 2008

КАЗАНЬ-2008

003169139

Работа выполнена в Отделении механики Научно-исследовательского института математики и механики им Н Г Чеботарева Казанского государственного университета им В И Ульянова-Ленина

Научный руководитель доктор физико-математических наук

Егоров Андрей Геннадьевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор

Саламатин Андрей Николаевич

кандидат физико-математических наук Беляев Алексей Юрьевич

Ведущая организация Институт механики и машиностроения

КазНЦ РАН, г Казань

Защита состоится 29 мая 2008 г в 14 часов 30 минут в аудитории мех 2 на заседании диссертационного совета Д 212 081 11 при Казанском государственном университете по адресу 420008, г Казань, ул Кремлевская, 18

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им Н И Лобачевского Казанского государственного университета

Автореферат разослан £ Ц апреля 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физ -мат наук, доцент

А А Саченков

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Угроза поверхностного заражения подземных вод токсичными веществами при авариях на промышленных предприятиях и складах химических продуктов является в наше время актуальной экологической проблемой Попавшие на дневную поверхность водорастворимые загрязнения мигрируют с потоком влаги через зону аэрации к зеркалу грунтовых вод и могут в конечном итоге нанести непоправимый ущерб природным экосистемам обширного региона Защитные свойства зоны аэрации, связанные с адсорбцией загрязнителя частицами почвы, во многом определяются режимом фильтрационных потоков

Многочисленные эксперименты свидетельствуют о том, что в ненасыщенных грунтах движимый гравитацией однородный фронт пропитки, как правило, распадается на систему устойчиво развивающихся потоков («пальцев») Понимание причин, вызывающих неустойчивость гравитационных фронтов пропитки, и учет этого эффекта необходимы для верного предсказания интенсивности переноса влаги и водорастворимых загрязнений от дневной поверхности к зеркалу грунтовых вод Действительно, наличие предпочтительных путей, порождаемых распадом фронта пропитки на отдельные пальцы, существенно уменьшает время миграции влаги в зоне аэрации, снижая ее защитную роль

Практическая важность и научная значимость феномена пальцеоб-разования диктуют необходимость разработки адекватной математической модели этого явления К сожалению, традиционные модели влаго-переноса (например модель Ричардса) оказываются в данной ситуации малопригодными, так как не принимают в расчет динамических эффектов, играющих значительную роль при образовании и развитии пальцев Многочисленные попытки учета динамических эффектов в модели Ричардса дали определенное понимание некоторых аспектов проблемы, однако построение целостной модели остается все еще актуальной задачей

Цели работы. Построение и верификация математической модели влагопереноса в ненасыщенном грунте, способной адекватно описать процессы образования и развития пальцев

Научная новизна. Реализована новая микромодель пористой среды, сочетающая в себе достоинства моделей связки капилляров и решетчатых моделей Предложенная модель учитывает взаимодействие пор

между собой, но, в отличие от решетчатых моделей, в качестве инструмента исследования используется не прямое численное моделирование, а аналитический подход, основанный на приближении среднего поля Применение построенной микромодели к описанию процесса пропитки показало, что основные параметры процесса существенно зависят от темпа пропитки

Проведен анализ возможных модификаций традиционной модели вла-гопереноса, учитывающий эффекты памяти Показано, что одновременный учет динамических (релаксация) и статических (гистерезис) эффектов позволяет качественно верно описать наблюдаемые особенности процесса пальцеобразования Гистерезис отвечает за устойчивое развитие пальцев, в то время как релаксация их генерирует

На основе обширного экспериментального материала проведена верификация релаксационной модели влагопереиоса Найдены коэффициентные зависимости времени релаксации от управляющих параметров (давления и водонасыщенности) для различных пористых сред

Научное и практическое значение. Полученные в диссертационной работе результаты расширяют теоретические знания о процессе переноса влаги в ненасыщенных пористых средах Разработанные модели могут применяться для расчета скорости распространения жидких загрязнителей в почве и оценки защитных свойств зоны аэрации

Достоверность результатов. Предложенные в диссертации математические модели основаны на общих законах и моделях механики сплошных сред, а также на физически обоснованных гипотезах и упрощениях Полученные результаты качественно и количественно согласуются с известными экспериментальными данными

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004), на Международной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2004), на Международном семинаре Recent Advances m Multi-phase Flow m Porous Media (Казань, 2004), на Международной конференции 2004 American Geophysical Union Fall Meeting (San Francisco, 2004), на Международном семинаре Upscaling Flow and Transport Process m Porous Media (Delft, 2005), на Четвертой молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения-2005» (Казань, 2005), на Международном семинаре Summer School on Upscaling and Modelling of Coupled Transport

Processes m the Subsurface (Utrecht, 2006), на XVIII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Саратов, 2007), на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета, на семинарах отделения механики НИИ математики и механики им Н Г Чеботарева Казанского государственного университета

Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ Список основных публикаций приведен в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы Работа изложена на 121 странице, содержит 61 рисунок и 7 таблиц Список литературы насчитывает 99 наименований

Содержание работы

Во введении отмечается актуальность темы, представлен обзор литературы по теме диссертации, формулируется цель и положения, выносимые на защиту Дается краткий обзор структуры и содержания диссертации

Первая глава работы посвящена исследованию особенностей процессов перераспределения влаги в пористой среде на основе микромоделирования

В параграфе 1 1 рассматривается модель пористой среды в виде связки цилиндрических капилляров различного размера, не взаимодействующих между собой Подробно излагаются положения микромодели Туллера-Ора, в которой эти капилляры имеют полигональное поперечное сечение Этот подход является значительно более реалистичным по сравнению с моделью цилиндрических капилляров, поскольку позволяет учитывать пленочные и уголковые течения жидкости, доминирующие при малых насыщенностях пористой среды Тем не менее игнорирование взаимодействия пор является ее принципиальным недостатком

Параграф 1 2 представляет модель, преодолевающую этот недостаток путем моделирования пористой среды в виде решетки со связями — цилиндрическими капиллярами различного поперечного сечения Определяющим параметром для такой модели является координационное число решетки Z, равное среднему числу выходящих из одного узла связей В работе использовалось характерное для типичных лабораторных песков значение Z = 4 б Другим параметром модели является плотность распределения поперечных размеров связей (капилляров)

Рис 1 Зависимость насыщенности от давления (в см водного столба) для

грунта 20/30

В качестве функции распределения пор по размерам использовалось гамма-распределение Выбор двухпараметрического закона распределения позволяет согласовать ее с известными эмпирическими моделями Брукса-Кори и Ван-Генухтена, в которые также входят два определяющих параметра

Сформулированная в параграфе 1 2 микромодель использовалась далее (параграф 1 3) для вычисления гидравлических функций (капиллярного давления и гидравлической проницаемости) пористой среды при ее дренировании Первая из этих функций при заданном уровне давления определялась осреднением насыщенностей отдельных капилляров по всему массиву пор с учетом взаимодействия между ними Зависимость водонасыщенности среды от давления s(p) может быть представлена в виде суммы вкладов жидкости, сосредоточенной в заполненных капиллярах, уголковых менисках пор и в пленках на твердой поверхности s(p) = 5сар(р) + Smen(p) + Sfilm(p) (СМ рИС 1) Асимптотический анализ поведения этих функций при р —> оо показал, что влияние адсорбированных пленок начинает сказываться лишь при очень низких насыщенностях s ~ Ю-4 В то же время мениски в углах пор играют существенную роль при влажностях менее 20%, и их влияние необходимо учитывать

s

Рис 2 Зависимость относительной фазовой проницаемости от насыщенности

Другой важной гидравлической характеристикой пористой среды является зависимость относительной фазовой проницаемости К от насыщенности Для ее вычисления была применена извесшая электрическая аналогия, сводящая проблему отыскания фазовой проницаемости к задаче нахождения эффективной проводимости решетки по заданному распределению проводимостей ее связей Считая, что проводимости отдельных пор не зависят друг от друга, и используя известную аппроксимацию среднего поля, можно найти эффективную проводимость решетки К„ (р) как решение алгебраического уравнения

*=(-__I_)

z \k + K*(Z/ 2-1)/

Здесь k — проводимость отдельной связи, а под средним понимается математическое ожидание относительно заданной плотности распределения пор по размерам Полученная в результате решения зависимость относительной фазовой проницаемости К от давления р вместе с найденной ранее зависимостью водонасыщенности среды от давления s{p) дает в итоге искомую функцию K{s) Ее типичный вид представлен на рис 2 сплошной линией На этом же рисунке штриховой линией показана та же самая кривая при игнорировании потока по адсорбированным

жидким пленкам Обе кривые практически совпадают вплоть до до стада

жения величинои 5 остаточного значения 5ге5

(а) Капитиярная кривая (Ь) Фазовая проницаемость

Рис 3 Сравнение теоретически полученных зависимостей гидравлических функций (сплошные линии) с экспериментальными данными (маркеры) для песка 12/20 и Z = 4 6

Построенная микромодель верифицировалась по известным экспериментальным данным дренирования промышленно производимых песчаных лабораторных засыпок 12/20, 20/30, 30/40 Их код соответствует размеру сит, через которые просеивается песок, средний диаметр зерен составляет, соответственно, 1 105, 0 713 и 0 532 мм Построенные гидравлические функции продемонстрировали вполне удовлетворительное согласование с экспериментальными данными как по капиллярной кривой, так и по относительной фазовой проницаемости для всех трех песков (см рис 3, на котором представлены результаты такого согласования для песка 12/20) Кроме того, была получена хорошая корреляция между найденными в результате подбора параметров величинами среднего размера пор и известными из экспериментов средними размерами зерен пористой засыпки Тестирование построенной микромодели на других (помимо гамма-распределения) двухпараметрических плотностях распределения пор по размерам дало приблизительно те же значения параметров модели, что и гамма-распределение

Найденные в ходе верификации по данным дренажа параметры модели были использованы в параграфе 1 4 для определения гидравлических функций при медленной (равновесной) пропитке При построении модели пропитки дополнительно учитывались кооперативный механизм и механизм схлопывания ("snap-off") заполнения пор, а также наличие в

Рис 4 Главные кривые пропитки для трех лабораторных песков

среде защемленного воздуха Это позволило получить значения остаточной по воздуху насыщенности sair = 0 823,0 874,0 879 для сред 12/20, 20/30 и 30/40 соответственно Полученные величины согласуются с экспериментальными данными

В параграфе 1 5 строится модель первичной (быстрой) пропитки Высокие темпы роста влажности изначально сухой пористой среды позволяют в этой ситуации пренебречь медленными (пленочные и уголковые течения) механизмами заполнения пор по сравнению с поршневым вытеснением в капиллярах и кооперативным заполнением Особенностью этой модели является немонотонность кривой р = P(s) первичной пропитки Разумеется, в реальных натурных экспериментах подобная немонотонность не может быть реализована, и переход из сухого во влажное состояние будет осуществляться скачком (пунктирная линия на рис 5) Соответствующая этому скачку характерная полка давления на кривой первичной пропитки, соединяющая состояние нулевой насыщенности с близким к полному насыщению состоянием, отмечается практически всеми исследователями, работающими с лабораторными песками

Полученные результаты позволяют сделать заключение о существенной зависимости общей картины протекания процесса пропитки от темпа его протекания и, следовательно, о необходимости модификации традиционных моделей влагопереноса учетом в них динамических (ре-

20 15 f" 10 5

0

0 02 04 06 08 1

s

Рис 5 Кривая первичной пропитки (сплошная линия) и главная кривая

пропитки (нггрихпунктирная линия) для среды 30/40 Маркеры — кривая первичной пропитки по экспериментальным данным Д А ДиКарло

лаксационных) эффектов В зависимости от темпа процесса пропитки элемент пористой среды в фазовой плоскости (s,p) должен следовать по траектории, промежуточной между первичной (бесконечно быстрый процесс) и главной (бесконечно медленный процесс) кривыми пропитки (рис 5)

Вторая глава диссертационной работы посвящена анализу макроскопических уравнений влагопереноса и их возможных релаксационных модификаций

В параграфе 2 1 проводится анализ устойчивости традиционной для механики грунтов модели Ричардса, которая при отсутствии источников или стоков жидкости имеет вид

K(s)Vp --^K(s) = 0, (1)

Р = Pis) (2)

Здесь s — относительная водонасыщенность (s е [0, 1]), р — давление жидкости, К — относительная фазовая проницаемость, z — вертикальная координата, противоположная по направлению силе тяжести Функция P(s) определяет равновесное капиллярное давление, отвечающее заданному уровню водонасыщенности

Анализ показал, что любое решение уравнения Ричардса является устойчивым, тем самым делая это уравнение непригодным для моделирования процессов пальцеобразования

Следующим шагом исследования стало рассмотрение модифицированных моделей Ричардса Изучались такие модификации, при которых изменению подвергается лишь равновесное соотношение (2) между дав-

TTAIITÏAUf Т* РЛТТЛЦОЛ1Т1МАЦилЛТ1.ТА

Hs,p,s,p, )=0 (3)

Для системы уравнений (1), (3) был проведен линейный анализ устойчивости решения типа бегущей волны

s = s(Ç), р=р(0, Ç = z + Vt,

описывающего распространение гравитационного фронта пропитки Соответствующие граничные условия имели вид

s(—оо) = s(+oo) = s+, 0 < S- < s+ < 1

Как обычно, задавались гармонические возмущения

s = so(£) + esi (О exp (i(ujxx + шуу) + kt) + 0(e2), P = Po(0 + m (0 exp (1(0;^ + шуу) + kt) + 0(e2)

базового автомодельного решения sq(Ç)> Po(0 задачи (1), (3), и исследовалась задача на собственные значения для отыскания собственных функций si(Ç), pi (£) и дисперсионной кривой k{uj) Оказалось, что при малых ш вне зависимости от вида функции Ф дисперсионная кривая определяется как

k=--—lj2+0(uj4), где С= Г°° K(s0)^-d£

S+ - s- JdÇ

Отсюда видно, что для низкочастотных возмущений автомодельное решение устойчиво при С > 0 и неустойчиво в противном случае

Полученный критерий показывает, что неустойчивость фронтов пропитки для общего случая модификации модели Ричардса связана с немонотонностью профиля давления в базовом решении типа бегущей волны С < 0 лишь в том случае, если ро возрастает с глубиной на некотором интервале изменения £ Поэтому для того, чтобы модифицированная модель Ричардса обладала свойством неустойчивости, необходимым для воспроизводства феномена пальцеобразования, нужно, чтобы

оно продуцировало немонотонность в решениях типа бегущей волны Это требование к модели полностью согласуется с результатами экспериментальных работ

Вид модифицированной модели конкретизируется в параграфе 2 2 на основе термодинамического подхода Хассанизаде Всякая релаксационная модификация модели Ричардса должна удовлетворять энтропийному неравенству, которое выводится на основе балансовых соотношений для свободной энергии Гельмгольца на границе раздела фаз и может быть записано в виде

^(p-P(s))> О

В качестве таких модификаций далее привлекаются модели Р- и 5-релаксации Первая из них заменяет зависимость (2) на релаксационный закон вида

ds

r-=p-P(s), (4)

а вторая — на соотношение

ds

t-=S(p)-s (5)

Еще одним фактором, принятым в расчет при построении модифицированной модели, стал учет гистерезисного характера зависимости давления от насыщенности

В параграфе 2 3 рассматриваются решения типа бегущих волн для описанных выше релаксационных моделей Анализ фазовой плоскости модифицированных уравнений позволил получить критерий, связывающий значение коэффициента релаксации в точке за фронтом волны и ее форму (монотонная/немонотонная) В том случае, когда r(s+,p+) больше критического значения гсг, определяемого по формуле

P%+)K(s+) Tcr - V)'

профили насыщенности и давления будут немонотонными (см рис 6) Это свойство решения, как было доказано в параграфе 2 1, приводит к неустойчивости фронта пропитки при низкочастотных его возмущениях и к образованию пальцев Здесь же демонстрируется важная роль гистерезиса в подавлении нефизичных (осциллирующих) решений

Критерий устойчивости волны пропитки, полученный ранее, был выведен в предположении малости частоты возмущений и> исходного решения типа бегущей волны В параграфе 2 4 рассматривается вопрос

150

Рис 6 Профили насыщенности для различных моделей влагопереноса 1 — Я-модель при r(s+,p+) < т^, 2 — Р-модель при r(s+,p+) > Тег, 3 — модель с

учетом гистерезиса

устойчивости фронта пропитки во всем интервале изменения ш Для этого численно решается соответствующая спектральная задача Анализ решения показывает, что неустойчивость фронта пропитки на низких возмущающих частотах с ростом частоты меняется на устойчивость Имеется также характерное значение частоты шо, при котором возмущения растут быстрее всего Естественно связывать эту величину с характерным расстоянием между пальцами, на которые распадается изначально однородный гравитационный фронт пропитки

В параграфе 2 5 было проведено двумерное моделирование распространения одиночного пальца и распада фронта пропитки на систему пальцев на основе системы уравнений (1), (4) В качестве зависимости т($,р) выбиралась простейшая функция вида т = то (— р) Численная реализация опиралась на схему, предложенную ранее Р 3 Даутовым и А А Ахтареевым Численные расчеты подтвердили, что выявленная в предыдущих параграфах неустойчивость фронта пропитки приводит к его распаду на систему устойчиво развивающихся пальцев Характерное расстояние между пальцами соответствует теоретически предсказанному Размытие пальцев за счет оттока влаги из них в окружающую сухую среду обеспечивается гистерезисом капиллярной кривой при дренаже и пропитке Морфологические особенности пальца (область питания, тело

30

Рис. 7. Поле насыщенности для одиночного пальца

пальца, головка пальца) качественно совпадают с выявленными в экспериментах, а профиль влажности вдоль оси пальца — с полученным в результате решения автомодельной задачи.

Заключительная третья глава диссертационной работы посвящена верификации построенной в предыдущей главе релаксационной модели влагопереноса на основании экспериментов Д. А. ДиКарло по гравитационной пропитке пористых сред. Результаты этих экспериментов в силу своей полноты и широты охвата предоставляют хорошую базу для тестирования теоретических моделей.

В параграфе 3.1 даётся описание методики экспериментов и процедур по обработке их результатов. Установлены следующие характерные особенности процесса:

1. зависимость вида профиля насыщенности от величины потока жидкости (монотонные профили для очень больших и очень маленьких потоков, немонотонные в промежуточном случае);

2. зависимость вида профиля насыщенности от величины начальной водонасыщенности среды (немонотонные профили для сухой среды и монотонные для влажной);

3. почти постоянная скорость перемещения пальца.

В параграфе 3 2 обсуждается модель Р-релаксации

т(з,р)^=р-Р(з) (6)

Конкретный вид зависимости т(з,р) выбирается за счет согласования теоретических и экспериментальных зависимостей насыщенности в голове пальца от входного потока жидкости

Далее, в параграфе 3 3 формулируется исходная постановка задачи одномерного влагопереноса в пористой среде, записываются начальные и граничные условия, приводятся соотношения для сканирующих дренажных кривых, конкретизирующих гистерезисный закон

Постановка задачи завершается в параграфе 3 4, в котором на основании экспериментальных данных строятся аппроксимации главных кривых пропитки и дренажа, а также зависимость гидравлической проницаемости от насыщенности

В параграфе 3 5 описывается процедура определения решения типа бегущей волны модифицированной задачи (1), (6) В связи с необходимостью учета гистерезиса задачу приходится решать в два этапа Первоначально решается задача для фазы быстрой пропитки, и релаксация играет здесь важнейшую роль На втором этапе (отвечающем процессу дренирования) релаксационными эффектами можно пренебречь Это связано с тем, что дренирование, по сравнению с пропиткой, протекает значительно меделеннее Зависимость давления от насыщенности, в силу влияния гистерезиса, при этом будет определяться уже не главной, а сканирующей капиллярной кривой

Параграф 3 6 посвящен определению вида коэффициента релаксации т(з,р) Для этого было использовано предположение о том, что он может быть представлен в виде произведения двух независимых функций насыщенности и давления т(5, /?) = т3($)тр(р) Функции тр и т3 определялись из условия согласования результатов вычисления зависимости насыщенности в голове пальца с соответствующими экспериментальными данными Результаты вычисления этих функций представлены на рис 8 и 9

Адекватность построенной релаксационной модели проверялась в параграфе 3 7, где полученные с ее помощью результаты сравнивались с результатами экспериментов Д А ДиКарло Сопоставление установившихся профилей насыщенности показало хорошее согласование численных и экспериментальных кривых во всем диапазоне изменения потоков Столь же хорошее качество согласования продемонстрировали и зависимости насыщенности в хвосте и в голове пальца от величины по-

О 0 05 0 1 0 15 0 2 0.25 0 3 0 35

Рис 8 График функции т5

Рис 9 Графики функции тр для различных лабораторных песков

тока Эти же зависимости показали качественно сходное с экспериментами поведение при изменении начальной насыщенности 5о среды, а именно исчезновение немонотонности профилей насыщенности по мере приближения этой величины к 0 02 (см рис 10)

В заключении подводятся итоги и обозначаются возможности дальнейшего развития проведенных исследований

Основные результаты диссертационной работы

1 Построена микромодель пористой среды, учитывающая взаимодействие пор и использующая приближение среднего поля для вычисления зависимости капиллярного давления и проницаемости от водонасыщенности

2 Проведен анализ устойчивости релаксационных модификаций модели Ричардса влагопереноса в пористой среде Показано, что совместный учет релаксации и гистерезиса способен воспроизвести экспериментально наблюдаемое явление пальцеобразования

3 Предложена и верифицирована применительно к лабораторным пескам релаксационная модель влагопереноса в ненасыщенной пористой среде, способная адекватно описать известные экспериментальные данные

Работа была выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 05-01-00516) и совместного проекта РФФИ и НВО (№ 05-01-890001-НВО)

• tail 0 35 ■ x hn- s =D 01 О

OO x

03

0 25

» 02

0 15

0 1

0 05

ÎF

10"

.-2

10'

10'

q

Рис 10 Сравнение расчетной зависимости насыщенности в хвосте (tail)

и в голове (tip) пальца от потока влаги с экспериментальными данными

для песка 20/30

Список опубликованных работ по теме диссертации

1 ГоголашвнлиБ Э Определение равновесных гидравлических функций на основе микромоделирования пористой среды / Б Э Гогола-швили // Тр Матем центра им H И Лобачевского — Т 27 Модели механики сплошной среды материалы XVII сессии Межд школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 4-10 июля 2004 г) - Казань Изд-во Казан матем об-ва, 2004 - С 88-95

2 ГоголашвнлиБ Э Применение микромоделирования пористой среды в задачах влагопереноса в ненасыщенных грунтах / Б Э Го-голашвили // Тр Матем центра им H И Лобачевского — Т 25 Актуальные проблемы математики и механики материалы межд научн конф (Казань, 26 сент-1 окт 2004 г) — Казань Изд-во Казан матем об-ва, 2004 - С 88-89

3 Gogolashvili В Е Hydraulic functions of variably saturated porous media Upscalmg from single-pore to sample-scale model /BE Gogolashvili, A G Egorov, J L Nieber // Eos Trans AGU, Fall Meet Suppl -2004 -85(47) - Abstract H31D-043 5

4 Егоров А Г Вычисление гидравлических функций на решетчатой модели пористой среды в приближении среднего поля / А Г Егоров, Б Э Гоголашвили // Учен зал Казан ун-та Сер Физ -мат науки - 2005 - Т 147, кн 3 - С. 57-74

5 Гоголашвили Б Э Приближение среднего поля при вычислении гидравлических функций на решетчатой модели пористой среды / Б Э Гоголашвили // Тр Матем центра им Н И Лобачевского

— Т 31 Лобачевские чтения-2005 материалы Четвертой молодежной научной школы-конференции (Казань, 16-18 декабря 2005 г)

— Казань Изд-во Казан матем об-ва, 2005 — С 45-46

6 Гоголашвили Б Э Применение релаксационных модификаций модели Ричардса для описания экспериментов по пальцеобразова-нию / Б Э Гоголашвили // Материалы Междунар конф «XVIII сессия Международной Школы по моделям механики сплошной среды» (Саратов, 27 авг-1 сент 2007 г) — Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2007 - С 91-94

7 Гоголашвили Б Э Верификация релаксационной модели Ричардса по экспериментальным данным для одномерной пропитки / Б Э Гоголашвили, Р 3 Даутов, А Г Егоров // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества - 2007 - № 3 - С 85-92

Введение

1 Определение гидравлических функций пористой среды

1.1 Модели невзаимодействующих капилляров.

1.1.1 Модель связки цилиндрических капилляров.

1.1.2 Модель Туллера-Ора.

1.2 Модель взаимодействующих капилляров.

1.2.1 Решетка

1.2.2 Капилляры.

1.3 Гидравлические функции при дренаже.

1.3.1 Капиллярная кривая.

1.3.2 Относительная фазовая проницаемость.

1.3.3 Верификация модели по экспериментальным данным для дренажа.

1.4 Гидравлические функции при пропитке.

1.4.1 Капиллярная кривая.

1.4.2 Относительная фазовая проницаемость.

1.5 Кривая первичной пропитки.

2 Теоретический анализ релаксационной модели влагопереноса

2.1 Устойчивость уравнений влагопереноса: общие результаты

2.1.1 Модель Ричардса.

2.1.2 Анализ устойчивости модифицированной модели Ричардса

2.2 Релаксационная модификация модели Ричардса.

2.2.1 Термодинамический анализ.

2.2.2 Модели Р- и S-релаксации.

2.2.3 Учёт гистерезиса в релаксационной модели.

2.3 Анализ релаксационных моделей на решениях типа бегущей волны.

2.3.1 Модель Р-релаксации.

2.3.2 Модель 5-релаксации.

2.4 Анализ устойчивости модели Р-релаксации.

2.5 Двумерное моделирование процесса пальцеобразования

3 Верификация релаксационной модели Ричардса

3.1 Эксперименты D. A. DiCarlo.

3.2 Модель.

3.3 Определяющие уравнения

3.4 Конкретизация гидравлических функций К и Р.

3.5 Решение типа бегущей волны.

3.6 Определение коэффициента релаксации.

3.7 Результаты расчётов.

Угроза поверхностного заражения подземных вод токсичными веществами при авариях на промышленных предприятиях и складах химических продуктов является в наше время актуальной экологической проблемой. Попавшие на дневную поверхность водорастворимые загрязнения мигрируют с потоком влаги через зону аэрации к зеркалу грунтовых вод и могут в конечном итоге нанести непоправимый ущерб природным экосистемам обширного региона. Защитные свойства зоны аэрации, связанные с адсорбцией загрязнителя частицами почвы, во многом определяются режимом фильтрационных потоков.

Многочисленные эксперименты [55, 45, 83, 64] свидетельствуют о том, что в ненасыщенных грунтах движимый гравитацией однородный фронт пропитки, как правило, распадается на устойчиво развивающуюся систему потоков («пальцев»). Понимание причин, вызывающих неустойчивость таких фронтов, и учёт этого эффекта необходимы для верного предсказания интенсивности переноса влаги и водорастворимых загрязнений от дневной поверхности к зеркалу грунтовых вод. Действительно, наличие предпочтительных путей, порождаемых распадом фронта пропитки на отдельные пальцы, существенно уменьшает время миграции влаги в зоне аэрации, снижая тем самым её защитную роль.

Практическая важность и научная значимость феномена пальцеобразо-вания диктуют необходимость разработки адекватной математической модели этого явления. К сожалению, традиционные модели влагопереноса (например модель Ричардса) оказываются в данной ситуации малопригодными, так как не принимают в расчёт динамических эффектов, играющих значительную роль при образовании и развитии пальцев. Многочисленные попытки релаксационной модификации модели Ричардса дали определённое понимание некоторых аспектов проблемы, однако построение целостной модели остаётся всё ещё делом будущего.

Одной из характерных особенностей пальцев, отмечаемой всеми экспериментаторами, является немонотонность профилей давления и насыщенности в их поперечном сечении. Эта немонотонность приводит к тому, что насыщенность в теле пальца оказывается значительно выше, чем насыщенность вне его. В то же время поток влаги, определяемый градиентом давления, оказывается направлен к оси пальца. В этой ситуации высоконасыщенный палец не отдает влагу окружающей пористой среде, а, напротив, иссушает её.

На самом деле возможность движения влаги в пористой среде в направлении градиента влажности (т. е. из областей с малой влажностью — в области с большой) была впервые обнаружена не в экспериментах по паль-цеобразованию, хотя и приблизительно в то же время. По-видимому первые наблюдения этого явления были сделаны в работах Абрамовой [1,2] и Аллера [47, 48, 49]. Позднее опыты Абрамовой по сути были повторены Collis-George et al. [35]; аналогичные явления наблюдались в экспериментах Дмитриева [14] и Бондаренко [5], а также были воспроизведены Роде и Романовой [24]. Именно эти эксперименты впервые поставили под сомнение применимость модели Ричардса для описания переноса влаги в ненасыщенной пористой среде.

Опишем вкратце суть поставленных экспериментов. Во всех них исследователи изучали движение «подвешенной» (по терминологии А. Ф. Лебедева [19]) влаги в вертикальной колонке, заполненной образцом природного грунта. Грунт в колонке промачивали водой, после чего с её верхней поверхности было организовано испарение (как при помощи нагрева электрической лампой, так и естественным путём без нагревания при комнатной температуре). Давление снималось при помощи ряда установленных с определённым шагом тензиометров, влажность определялась по исследованию взятых с разной глубины образцов почвы.

Во всех экспериментах исследователи отмечали восходящее движение влаги из глубины почвы к поверхности испарения, которое, в особенности на первых стадиях процесса, совершалось при отсутствии градиента влажности и иногда даже в направлении возрастающей влажности.

Описанные эксперименты не могли быть объяснены в рамках традиционно используемой в почвоведении диффузионной теории. Согласно ей, перенос влаги в ненасыщенной пористой среде описывается уравнением Ричардса [77, 78]:

Здесь s — влажность, t — время, х — пространственная координата, D(s) — коэффициент диффузивности, D(s) = Кдф/Os, где К — коэффициент вла-гопроводности, ip = i/)(s) — капиллярный потенциал влажности.

Кроме натурных экспериментов, о неприменимости диффузной теории по крайней мере для нестационарных процессов свидетельствуют и резульО таты численного моделирования. В качестве примера можно сослаться на работу Бондаренко и др. [6], в которой исследовалась степень отклонения численно рассчитанных по уравнению (1) значений влажности s от экспериментально наблюдаемых значений на различных стадиях сушки. Из сравнения этих величин видно, что расчётные значения даже качественно не совпадают с экспериментом на первых стадиях процесса.

Аллер был также первым, кто попытался теоретически обосновать описанный феномен [49, 50]. Для этого он модифицировал уравнение (1), заменив в нём капиллярный потенциал ф на так называемый эффективный потенциал влажности t,bc. Этот эффективный потенциал конструируется в виде суммы где А — некий варьируемый коэффициент. После этой подстановки уравнение (1) принимает вид

Предложение Аллера вызывает два естественных вопроса: а) воспроизводит ли указанная модификация экспериментально наблюдаемые факты и б) насколько данная модификация является теоретически обоснованной.

Что касается первого вопроса, то ответ на него можно считать положительным. Численные эксперименты [22, 26], проведённые по модели Аллера для значений А = 0 и А — 100 показали, что при А = 100 происходит поток влаги вдоль градиента влажности, в то время как при А — 0 этот эффект не наблюдается. В другой работе [7] численные расчёты по модели Аллера сравнивались с экспериментальными профилями влажности на различных стадиях сушки. При А — const экспериментальные и рассчитанные кривые демонстрируют неплохое согласование на начальных стадиях процесса. При этом было отмечено, что величина А не остаётся постоянной в процессе сушки, хотя никаких предположений о виде зависимости А от времени не было сделано.

Несмотря на всё сказанное, против модели Аллера были выдвинуты многочисленные возражения. Критики указывали на то, что уравнение (2) и рассуждения, приводящие к нему, аналогичны таким, которые обычно используются для описания движения жидкости в трещиновато-пористых средах. Однако обычная почва имеет существенно более однородную структуру, и в ней едва ли можно выделить крупные транспортные каналы и мелкие питающие капилляры, как это сделал Аллер.

По мнению Роде [25], теоретическое обоснование, выдвигаемое Алле-ром, является чисто умозрительным. Роде считает, что Аллер попросту не фе = ф + А — , принял в расчёт гистерезис зависимости влажности от давления. Между тем отчётливо показано [66, 99, 15], что после того, как инфильтрация сменяется испарением, распределение давления вследствие влияния гистерезиса должно сразу же измениться. Это создаёт предпосылку к передвижению влаги к испаряющей поверхности не только без появления соответствующего градиента влажности, но даже в направлении этого градиента, хотя и против градиента давления. Имеются теоретические расчёты [17], показывающие, что обычная модель Ричардса с гистерезисом ij->{s) даёт движение воды в направлении градиента влажности.

Среди других подходов к модификации модели Ричардса нельзя не упомянуть работы А. В. Лыкова [20, 21]. Лыков исходит из совершенно других соображений, чем Аллер, хотя его уравнение также предназначено для более полного учёта нестационарности. Вывод Аллера базируется на рассмотрении капиллярной модели, тогда как Лыков получает своё уравнение на основе методов термодинамики необратимых процессов. Он рассматривает релаксационные процессы в бесконечно малом элементе среды и записывает уравнение движения жидкости в пористой среде в виде:

Кулик [18] исследовал уравнения Аллера и Лыкова с точки зрения инвариантности относительно непрерывных групп преобразований. Его анализ показывает, что ни то, ни другое уравнение нельзя принять в качестве универсального уравнения движения влаги в почве. Модель Аллера, созданная специально для объяснения экспериментов по оггоку влаги при испарении, оказывется неспособна описать приток влаги в почву при пропитке. В то же время модель Лыкова, исходящая из экспериментов по инфильтрации жидкости в горизонтальную колонку, входит в противоречие с другой группой экспериментов. Кулик видит выход из этой ситуации в привнесении в модель гистерезисных свойств. По его мнению для того, чтобы быть равно пригодной как для пропитки, так и для дренажа, в модели Аллера коэффициент А должен испытывать очень сильный гистерезис. Коэффициент Лыкова At должен либо быть очень малым, либо также быть подвержен сильному гистерезису. Кулик также предлагает своеобразный гибрид уравнений (2) и (3) в следующем виде: где коэффициенты Л и Л] должны испытывать очень сильный гистерезис.

3)

Возрождение интереса к модификации уравнения Ричардса было связано с появлением большого количества экспериментальных фактов, касающихся экспериментов по пальцеобразованию. Как и в случае с ранними экспериментами по движеиию влаги в природных грунтах, описать этот феномен в рамках традиционной модели не оказалось возможным. Интересно отметить, что и в этом случае при построении модели весьма продуктивным оказалось привлечение термодинамических соображений, а также учёт в явном виде гистерезиса гидравлических функций. Наибольший вклад в теорию нестационарных течений в ненасыщенных пористых средах в настоящее время принадлежит S. Majid Hassanizadeh. В серии работ [51, 52, 53, 54] он последовательно применяет методы неравновесной термодинамики к процессам перераспределения влаги в поровом пространстве. Записывая балансовые соотношения для свободной энергии Гельм-гольца на границе раздела фаз, Hassanizadeh получает необходимое ограничение, накладываемое на возможные релаксационные модификации модели Ричардса в виде энтропийного неравенства

Им также была предложена одна из таких модификаций, известная как модель Я-релаксации:

Тщательный математический анализ этой модели был выполнен Cuesta et al. [36]. Предполагая, что зависимости P(s) и K(s) имеют степенной характер, ими было доказано существование и единственность решения типа бегущей волны уравнений (1), (4). Также был получен критерий немонотонности таких решений и исследовано их поведение при стремлении начальной водонасыщенности среды к нулю.

Привнесение гистерезисных свойств в предложенную Hassanizadeh модель было выполнено в работе Беляева и Hassanizadeh [30]. Авторы использовали простейшую модель гистерезиса (так называемую "play-type"), в которой все сканирующие кривые представляли собой вертикальные отрезки s = const.

Анализ устойчивости решения типа бегущей волны уравнения Ричардса, а также некоторых её модификаций (релаксационной и стефановского типа) был проведён Егоровым и Даутовым [13]. Они доказали, что модель Ричардса в своём исходном виде абсолютно устойчива, а её стефановская модификация — абсолютно неустойчива и, следовательно, оба этих случая не подходят для моделирования пальцев. В отличие от них, релаксационная модификация демонстрирует условную неустойчивость, т. е. устойчи

Ds

L(p-P(s))> 0. dt

4) вость на высокочастотных возмущениях и неустойчивость на низкочастотных. Это приводит к наличию минимума на дисперсионной кривой, положение которого определяет характерный масштаб системы пальцев, генерируемых изначально однородным фронтом пропитки. Эти же авторы предложили иную возможность релаксационной модификации модели влагопереноса — модель S-релаксации. Вместо зависимости (4) в этом случае используется релаксационный закон вида ds

Tdi = S(P) ~ 3' (5)

Разумеется, всякая математическая модель должна быть тщательно протестирована и верифицирована по результатам натурных экспериментов. Только после этого можно делать окончательное заключение о её достоверности и практической применимости. С другой стороны, даже самый скрупулезный и аккуратный лабораторный эксперимент немного стоит без надёжного теоретического фундамента и непротиворечивых моделей. Накопленный массив экспериментальных данных с одной стороны и достижения теоретиков с другой позволяют в настоящее время значительно приблизиться к построению законченной модели влагопереноса в сухих средах.

Изложенное выше определяет основную цель данной работы, заключающуюся в построении и верификации математической модели влагопереноса в ненасыщенном грунте, способной адекватно описать процессы образования и развития пальцев.

Остановимся подробнее на содержании диссертации. Она состоит из введения, трёх глав, заключения, 61 рисунка, 7 таблиц. Список использованной литературы содержит 99 наименований.

Заключение

Представленные в диссертационной работе результаты показывают, как мы надеемся, возможные пути совершенствования существующих моделей влагопереноса в пористых средах. Необходимость такого совершенствования стала совершенно очевидной перед лицом многочисленных новых экспериментальных фактов, касающихся процессов пропитки изначально сухих грунтов (к которым относится и феномен пальцеобразования).

К этим путям относится, например, построение более реалистичных микромоделей пористых сред. Реалистичность здесь может достигаться через отказ от слишком идеализированного представления о пористой среде как о связке невзаимодействующих капилляров цилиндрического поперечного сечения. Привлечение более тонких моделей геометрии внугрипоро-вого пространства и учёт взаимодействия пор друг с другом позволяет принять во внимание дополнительные механизмы переноса жидкости, такие, например, как её транспорт через систему плёнок и уголковых менисков. Это, в свою очередь, расширяет диапазон применимости моделей в область малых насыщенностей, где эксперименты, как правило, не всегда могут предоставить исчерпывающую информацию.

Другим способом повышения адекватности существующих моделей должен стать учёт релаксационных свойств среды при записи уравнений переноса влаги. Необходимость этого шага на самом деле становится очевидной на этапе построения гидравлических функций пористой среды, когда обнаруживается зависимость этих функций от темпа и направления протекания процесса.

Теоретические исследования показали, что одновременный учёт динамических (релаксация) и статических (гистерезис) эффектов памяти может быть подходящим путём для описания феномена пальцеобразования. Гистерезис обеспечивает сохранность и устойчивое развитие пальцев, в то время как релаксация эти пальцы генерирует. Представленные результаты расчётов показали адекватность моделей такого рода для весьма представительного набора экспериментальных данных.

К сожалению, отсутствие прямых лабораторных измерений коэффициента релаксации затрудняет прямое математическое моделирование физических экспериментов. Поэтому полученные результаты необходимо всё же воспринимать с некоторой долей осторожности, отдавая себе отчёт в том, что они в большой степени носят качественный характер. Они, как нам кажется, адекватно воспроизводят основные особенности феномена пальцеобразования, но для окончательного заключения о пригодности предлагаемой математической модели необходима дополнительная, главным образом экспериментальная, работа.

1. Абрамова М. М. Опыты по изучению передвижения капиллярно-подвешенной влаги при испарении / М. М. Абрамова // Почвоведение.- 1948. -№ 1.

2. Абрамова М. М. Передвижение воды в почве при испарении / М. М. Абрамова // Труды Почв, ин-та им. В. В. Докучаева. — М., 1953. -Т. 41.

3. Бондаренко Н. Ф. Расчетные методы прогноза водного режима и его регулирование / Н. Ф. Бондаренко, С. С. Корчунов, С. В. Нерпин, И. И. Судницып, А. И. Якобе // Физика, химия, биология и минералогия почв СССР: сб. ст. М.: Наука, 1964. - С. 32-43.

4. Бондаренко Н. Ф. О переносе влаги к фронту испарения при сильно нестационарном процессе / Н. Ф. Бондаренко, С. В. Нерпин, С. М. Пак-шина // Сб. трудов по агрономической физике. — JL, 1967. — Вып. 14.

5. Бондаренко Н. Ф. Физика движения подземных вод / Н. Ф. Бондаренко.

6. JL: Гидрометеоиздат, 1973.

7. Даутов Р. 3. Моделирование неустойчивости влагопереноса в ненасыщенных пористых средах / Р. 3. Даутов, А. Г. Егоров // Исследования по прикладной математике и информатике. — Казань: Казанский Государственный Университет, 2003. — Вып. 24. — 180 с.

8. Дмитриев С. И. К вопросу о применимости уравнения диффузии для изучения явления влагопроводности в почвогрунтах / С. И. Дмитриев, В. К. Нечаев // Труды ЛГМИ. 1962. - Вып. 13.

9. Долгов С. И. Гидросорбционный гистерезис почв / С. И. Долгов, А. А. Житкова, Г. Б. Виноградова // Физика, химия, биология и минералогия почв СССР: сб. ст. — М.: Наука, 1964. — С. 62-70.

10. Егоров А. Г. Вычисление гидравлических функций на решётчатой модели пористой среды в приближении среднего поля / А. Г. Егоров, Б. Э. Гоголашвили // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2005. Т. 147. - Кн. 3. - С. 57-74.

11. Кулик В. Я. Исследование закономерностей движения воды в почво-грунтах: автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / В. Я. Кулик — JL: ГГИ, 1968.

12. Лебедев А. Ф. Роль парообразной воды в режиме почвенных и грунтовых вод / А. Ф. Лебедев // «Труды Южно-Русского мелиорационного съезда в Киеве»: отд. оттиск. — 1912.

13. Лыков А. В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена / А. В. Лыков // Инженерно-физический журнал. — 1965. — Т. 9. — № 3.

14. Лыков А. В. Эффект инерционности в тепломассообменных явлениях / А. В. Лыков // Инженерно-физический журнал. — 1965. — Т. 9. — № 3.

15. Нерпин С. В. О расчёте нестационарного движения влаги в почве / С. В. Нерпин, Г. И. Юзефович, В. А. Янгарбер // Доклады ВАСХНИЛ. 1966.-№ 6.

16. Панфилов М. Б. Осреднённые модели фильтрационных процессов с неоднородной внутренней структурой / М. Б. Панфилов, И. В. Панфилова. — М.: Наука, 1996. 383 с.

17. Роде А. А Изменение всасывающего давления в почве в процессе испарения подвешенной влаги / А. А. Роде, Г. И. Романова // Физика, химия, биология и минералогия почв СССР: сб. ст. — М.: Наука, 1964. -С. 54-61.

18. Роде А. А. Основы учения о почвенной влаге / А. А. Роде. — Л.: Гид-рометеоиздат, 1965. — Т. 1. — 663 с.

19. Юзефович Г. И. Исследование нелинейного уравнения влагопереноса / Г. И. Юзефович, В. А. Янгарбер // Сб. трудов по агрономической физике. — Л., 1967. — Вып. 14.

20. Alt W. On nonstationary flow through porous media / W. Alt, S. Luckhaus, A. Visintin // Ann. Math. Рига Appl. J. 1984. - Vol. 136. - P. 303-316.

21. Bakke S. 3-D pore scale modelling of heterogeneous sandstone reservoir rocks and quantitative analysis of the architecture, geometry and spatial continuity of the pore network / S. Bakke, P. 0ren // Soc. Pet. Eng. — 1996.-SPE paper 35479.

22. Bauters T. W. J. Soil water content dependent wetting front characteristics in sands / T. W. J. Bauters, D. A. DiCarlo, T. S. Steenhuis, J.-Y. Parlange // J. Hydrol. 2000. - Vol. 231-232. - P. 244-254.

23. Beliaev A. Y. A theoretical model of hysteresis and dynamic effects in the capillary relation for two-phase flow in porous media / A. Y. Beliaev, S. M. Hassanizadeh // Transp. Porous Med. 2001. - Vol. 43. - P. 487510.

24. Beliaev A. Y. Analysis of a new model of unsaturated flow in porous media / A. Y. Beliaev, R. J. Schotting // Computational Geosciences. — 2002. — Vol. 5. P. 345-368.

25. Biggar J. W. Some aspects of the kinetics of moisture flow into unsaturated soil / J. W. Biggar, S. A. Taylor // Soil Sci. Soc. Am. Proc. — 1960. -Vol. 24. P. 81-85.

26. Blunt M. J. Pore-level modeling of wetting / M. J. Blunt, H. Scher // Phys. Rev. E. 1995. - Vol. 52(6). - P. 6387-6403.

27. Brooks R. H. Hydraulic properties of porous media / R. H. Brooks, A. T. Corey // Hydrol. Pap. 3 / Colorado State Univ. Fort Collins, 1964.

28. Collis-George N. Etude du mecanisme de la dessication des sols par evaporation / N. Collis-George, S. Henin, J. A. Kelley // C. R. Ac. Sc. Sc. 1963.-Vol. 257.

29. Cuesta C. Infiltration in porous media with dynamic capillary pressure: travelling waves / C. Cuesta, C. J. van Duijn, J. Hulshof // Euro. Jnl of Appl. Math. 2000. - Vol. 11. - P. 381-397.

30. Dautov R. Simulation of two-dimensional gravity-driven unstable flow / R. Dautov, A. Egorov, J. Nieber, A. Sheshukov // Proc. 14th Int. Conf. on Сотр. Meth. in Wat. Resour. (Delft, The Netherlands). Delft, 2002. -Vol. 1. - P. 9-16.

31. Davidson J. M. The dependence of soil water uptake and release upon the applied pressure increment / J. M. Davidson, D. R. Nielsen, J. W. Biggar // Soil. Sci. Soc. Am. Proc. 1966. - Vol. 30. - P. 298-304.

32. DiCarlo D. A. Experimental measurements of saturation overshoot on infiltration / D. A. DiCarlo// Water Resour. Res. 2004. - Vol. 40(4).

33. DiCarlo D. A. Modeling observed saturation overshoot with continuum additions to standard unsaturated theory / D. A. DiCarlo // Advances in Water Resources. 2005. - Vol. 28. - P. 1021-1027.

34. Dimcnt G. A. Stability analysis of water movement in unsaturated porous materials: 3. Experimental studies / G. A. Diment, К. K. Watson // Water Resour. Res. 1985. - Vol. 21. - P. 979-984.

35. Egorov A. Stability analysis of gravity-driven infiltrating flow / A. Egorov, R. Dautov, J. Nieber, A. Sheshukov // Water Resour. Res. — 2003. -Vol. 36. No 6. - P. 1266-1278.

36. Geiger S. L. Infiltration in homogeneous sands and a mechanistic model of unstable flow / S. L. Geiger, D. S. Durnford // Soil Sci. Soc. Am. J. — 2000. Vol. 64. - P. 460-469.

37. Glass R. J. Mechanism for finger persistence in homogenous unsaturated, porous media: Theory and verification / R. J. Glass, T. S. Steenhuis, J.-Y. Parlange // Soil Sci. 1989. - Vol. 148. - P. 60-70.

38. Gogolashvili В. E. Hydraulic functions of variably saturated porous media: Upscaling from single-pore to sample-scale model / В. E. Gogolashvili, A. G. Egorov, J. L. Nieber // Eos Trans. AGU, Fall Meet. Suppl. 2004.- 85(47). Abstract H31D-0435.

39. Hallaire M. Soil water movement in the film and vapor phase under the influence of evapotranspiration / M. Hallaire // Highw. Res. Board. — 1958.- Sp. Rep. Vol. 40.

40. Hallaire M. Diffusion de l'eau a l'etat vapeur et liquide en voisinage de la surface d'evaporation / M. Hallaire // UGGI. Assemblee Gen. — Toronto, 1958. — Vol. 11.

41. Hallaire М. The moisture potential of soil and availability of water to plants / M. Hallaire // Ann. Phys. Veg. 1960. - Vol. 2.

42. Hallaire M. Le potenciel efficace de l'eau daus le sol en regime de dessechement / M. Hallaire // „L'eau et la production vegetale". Institut National de la Recherche Agronomique. — Paris, 1964. — № 9.

43. Hassanizadeh S. M. Mechanics and thermodynamics of multiphase flow in porous media including interphase boundaries / S. M. Hassanizadeh, W. G. Gray // Adv. Water Resour. 1990. - Vol. 13. - P. 169-186.

44. Hassanizadeh S. M. Thermodynamic basis of capillary pressure in porous media / S. M. Hassanizadeh, W. G. Gray // Water Resour. Res. — 1993. — Vol. 29. P. 3389-3405.

45. Hassanizadeh S. M. Dynamic effects in the capillary pressure-saturation relationship / S. M. Hassanizadeh // 4th Int. Conf. on Civil. Eng. — Teheran, Iran, 1997. Vol. 4. - P. 141-149.

46. Hassanizadeh S. M. Dynamic effect in the capillary pressure-saturation relationship and its impacts on unsaturated flow / S. M. Hassanizadeh, M. A. Celia, H. K. Dahle // Vadose Zone J. 2002. - No. 1. - P. 28-57.

47. Hill S. Chanelling in packed columns / S. Hill // Chem. Eng. Sci. 1952. -No. l.-P. 247-253.

48. Hughes R.G. Pore scale modeling of rate effects in imbibition / R.G. Hughes, M. J. Blunt // Transport in Porous Media. — 2000. -Vol. 40(3). P. 295-322.

49. Iwamatsu M. Capillary condensation and adhesion of two wetter surfaces / M. Iwamatsu, K. Horii // J. Colloid Interface Sci. 1996. - Vol. 182. -P. 400-406i.

50. Kacimov A. R. Nonmonotonic moisture profile as a solution of Richards' equation for soils with conductivity hysteresis / A. R. Kacimov, N. D. Yakimov // Advances in Water Resources. — 1998. — Vol. 21(8). -P. 691-696.

51. Kirkham D. Some testes of the diffusion theory, and laws of capillary flow, in soils / D. Kirkham, L. Feng // Soil Sci. 1949. - Vol. 67. - P. 29^10.

52. Kirkpatrick S. Percolation and conduction / S. Kirkpatrick // Rev. Mod. Phys. 1973. - Vol. 45. - P. 574-588.

53. Lenormand R. Mechanisms of the displacement of one fluid by another in a network of capillary ducts / R. Lenormand, C. Zarcone, A. Sarr // J. Fluid Mech. 1983. - Vol. 135. - P. 337-353.

54. Lenormand R. Role of roughness and edges during imbibition in square capillaries / R. Lenormand, C. Zarcone // Proceeding of 59th SPE Annual Technical Conference and Exhibition — Houston, TX, 1984. — paper SPE 13264.

55. Lenormand R. Liquids in porous media / R. Lenormand // J. Phys.: Condens. Matter. 1990. - Vol. 2. - P. 79-88.

56. Liu Y. Formation and persistence of fingered flow fields in coarse grained soils under different moisture contents / Y. Liu, T. S. Steenhuis, J.-Y. Parlange // J. Hydrol. 1994. - Vol. 159. - P. 187-195.

57. Mason G. Capillary behavior of a perfectly wetting liquid in irregular triangular tubes / G. Mason, N. R. Morrow // J. Colloid Interface Sci. -1991.-Vol. 141.-P. 262-274.

58. Miller R. D. Field capacity in laboratory columns / R. D. Miller, E. F. McMurdie // S. S. S. Am. Pr. 1953. - Vol. 17.

59. Mualem Y. A conceptual model of hysteresis / Y. Mualem // Water Resour. Res. 1974. - Vol. 10. - P. 514-520.

60. Nieber J. L. Modelling finger development and persistence in initially dry porous media / J. L. Nieber // Geoderma. 1996. - Vol. 70. - P. 207-229.

61. Nieber J. Dynamic Capillary Pressure Mechanism for Instability in Gravity-Driven Flows; Review and Extension to Very Dry Conditions / J. Nieber, R. Dautov, A. Egorov, A. Sheshukov // Transport in Porous Media. — 2005. Vol. 58. - P. 147-172.

62. Nielsen D. R. Experimental consideration of diffusion analysis in unsaturated flow problems / D. R. Nielsen, J. W. Biggar, J. M. Davidson // Soil Sci. Soc. Am. Proc. 1962. - Vol. 26. - P. 107-111.

63. Morel-Seytoux H. J. Soil water retention and maximum capillary drive from saturation to oven dryness / H. J. Morel-Seytoux, J. R. Nimmo // Water Resour. Res. 1999. - Vol. 35(7). - P. 2031-2041.

64. Or D. Liquid retention and interfacial area in variably saturated porous media: Upscaling from pore to sample scale model / D. Or, M. Tuller // Water Resour. Res. 1999. - Vol. 35. - No. 12. - P. 3591-3605.

65. Or D. Flow in unsaturated fractured porous media: Hydraulic conductivity of rough surfaces / D. Or, M. Tuller // Water Resour. Res. — 2000. — Vol. 36.-No. 5.-P. 1165-1177.

66. Otto F. О -contraction and uniqueness for unstationary saturated-unsaturated water flow in porous media / F. Otto // Adv. Math. Sci. Appl.- 1997. № 7. - P. 537-553.

67. Patzek T. W. Verification of a complete pore network model of drainage and imbibition / T. W. Patzek // Soc. Pet. Eng. 2000. - SPE paper 59312.

68. Prazak J. M. Oscillation phenomena in gravity-driven drainage in coarse porous media / J. M. Prazak, M. Sir, F. Kubik, J. Tywoniak, C. Zarcone // Water Resour. Res. 1992. - Vol. 28. - P. 1849-1855.

69. Richards L. A. The usefullness of capillary potential to soil moisture and plant investigations / L. A. Richards // J. Agr. Res. — 1928. — Vol. 37.

70. Richards L. A. Capillary conduction of liquids through porous mediums / L. A. Richards // Physics. 1931. - Vol. 1. - P. 318-333.

71. Ritsema C. J. Preferential flow mechanism in a water-repellent sandy soils / C. J. Ritsema, L. W. Dekker, J. M. N. Hendrickx, W. Hamminga // Water. Resour. Res. 1993. - Vol. 29. - P. 2183-2193.

72. Roberts J. N. Grain consolidation and electrical conductivity in porous media / J. N. Roberts, L. M. Schwartz // Phys. Rev. B. 1985. - Vol. 31.- P. 5990-5997.

73. Ross P. J. Equation for extending water-retention curves to dryness / P. J. Ross, J. Williams, K. L. Bristow // Soil. Sci. Soc. Am. J. 1991.- Vol. 55. P. 923-927.

74. Schroth M. H. Characterization of Miller-similar silica sands for laboratory hydraulic studies / M. H. Schroth, S. J. Ahearn, J. S. Selker, J. D. Istok // Soil Sci. Soc. Av. J. 1996. - Vol. 60. - P. 1331-1339.

75. Selker J. S. Fingered flow in two dimensions: 2. Predicting finger moisture profile / J. S. Selker, J.-Y. Parlange, T. S. Steenhuis // Water Resour. Res.- 1992. Vol. 28. - P. 2523-2528.

76. Smiles D. E. A test of the uniqueness of the soil moisture characteristic during transient, non-hysteretic flow of water in a rigid soil / D. E. Smiles, G. Vachaud, M. Vauclin // Soil Sci. Soc. Am. Proc. 1971. - Vol. 35. — P. 535-539.

77. Stauffer F. Cyclic hysteretic flow in porous medium column: model, experiment, and simulations / F. Stauffer, W. Kinzelbach // Journal of Hydrology. 2001. - Vol. 240. - P. 264-275.

78. Tuller M. Adsorption and capillary condensation in porous media-liquid retention and interfacial configurations in angular pores / M. Tuller, D. Or, L. M. Dudley // Water Resources Research. 1999. — Vol. 35(7). -P. 1949-1964.

79. Tuller M. Hydraulic conductivity of variably saturated porous media: Film and corner flow in angular pore space / M. Tuller, D. Or // Water Resour. Res. 2001. - Vol. 37. - No. 5. - P. 1257-1276.

80. Tuller M. Unsaturated hydraulic conductivity of structured porous media: A review of liquid configuration-based models / M. Tuller, D. Or // Vadose Zone Journal. 2002. - Vol. 1. — P. 14-37.

81. Ustohal P. Measurement and modeling of hydraulic characteristics of unsaturated porous media with mixed wettability / P. Ustohal, F. Stauffer, T. Dracos // Journal of Contaminant Hydrology. — 1998. — Vol. 33. — P. 5-37.

82. Wanna-Etyem C. Static and dynamic water content-pressure head relations of porous media. Ph. D. diss / C. Wanna-Etyem; Colorado State University. Fort Collins, CO, 1982.

83. Watson К. К. System dependence of the water content-pressure head relationship / К. K. Watson, F. D. Whisler // Soil. Sci. Soc. Am. Proc. 1968. - Vol. 32. - P. 121-123.

84. Wildenschild D. Flow rate dependence of soil hydraulic characteristics / D. Wildenschild, J. W. Hopmans, J. Simunek // Soil Sci. Soc. Am. J. — 2001.-Vol. 65. — P. 35-48.

85. Wong P.-Z. Flow in porous media: permeability and displacement patterns / P.-Z. Wong // MRS Bulletin. 1994. - Vol. 19(5). - P. 32-38.

86. Yanuka M. Percolation processes and porous media / M. Yanuka, F. Dullien, D. Enick // J. Colloid Interface Sci. 1986. - Vol. 112. - P. 24-41.

87. Youngs E. G. Redistribution of moisture in porous materials after infiltration / E. G. Youngs // S. S. 1958. - Vol. 86. - № 3-4.